Institut Alexandre Satorras

Departament de Matemàtiques

Segon de Batxillerat

(ciències socials)

MATEMÀTIQUES

curs 2013/14

2

ÍNDEX

1.- Matrius i sistemes d’equacions lineals pàg 3

2.- Programació lineal pàg 11

3.- Teoria de funcions pàg 14

4.- Derivades, estudi local de funcions i gràfics pàg 22

5.- Optimització pàg 35

CONNEXIONS AMB ALTRES MATÈRIES ECONOMIA DE L’EMPRESA Programació lineal. Màxims i mínims. Representació gràfica de funcions, per mitjà de l’ús de programes informàtics. ECONOMIA Estadística descriptiva: gestió, tractament i interpretació crítica de dades, gràfics i paràmetres. Anàlisi de funcions per extrapolar models de fenòmens socials i econòmics; corbes de demanda i oferta. Representació gràfica de funcions, per mitjà de l’ús de programes informàtics. Elaboració i ús del full de càlcul per a resoldre problemes de matemàtica financera. Resolució de sistemes d’equacions. Equilibri de mercat. GEOGRAFIA Càlcul d’índexs i taxes.

3

MATRIUS I SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

1. Sistemes d'equacions lineals Una equació lineal és una equació de la forma ax + by + cz + .... = d on x, y, z, ... són les incògnites , a, b, c, ... els coeficients i d el terme independent .

Un sistema d'equacions lineals és un conjunt d'equacions lineals amb les mateixes incògnites.

Un sistema d'equacions lineals pot tenir qualsevol nombre d'incògnites i qualsevol nombre d'equacions, i aquests dos nombres no tenen perquè coincidir.

A 4t d’ESO ja havíeu estudiat els sistemes de dues equacions amb dues incògnites i els quatre mètodes de resolució que tenien: gràfic, reducció, igualació i substitució, que cal tenir ben assimilats.

La solució d'una equació lineal és un conjunt de valors numèrics per a les incògnites que fa que la igualtat que figura a l'equació sigui vàlida. La solució d'un sistema és una solució comú a totes les equacions que el formen.

Quant al nombre de solucions els sistemes es divideixen en:

• incompatible : no té solució

• determinat : té solució única

• indeterminat : té infinites solucions.

Un sistema indeterminat té una solució general , que és un conjunt de fórmules depenent d'una o més variables que permeten obtenir directament el valor de totes les solucions del sistema. Cadascuna d'aquestes solucions concretes és una solució particular . El nombre de variables de la solució general s'anomena el nombre de graus de llibertat del sistema.

2. Matrius Una matriu és un conjunt de nombres aij disposat en forma de quadre:

A =

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

Els nombres aij són els elements de la matriu. Les línies horitzontals d'elements reben el nom de files i les línies verticals el de columnes . Els elements aii que tenen iguals l'índex de fila i el de columna formen una línia sobre la matriu anomenada diagonal .

Una matriu ens serveix per organitzar de forma esquemàtica la informació relativa als valors d’una variable que depèn de dues condicions. Per exemple: comprem una sèrie de productes iguals a diferents supermercats, aleshores cada fila representa un supermercat i cada columna un producte, i un nombre de la matriu ens donarà el preu d’un article en un supermercat determinat.

Si una matriu té m files i n columnes direm que és una matriu de tipus m,n. Quan m=n és una matriu quadrada d'ordre n.

Una matriu és triangular si els elements situats per sota la diagonal són 0 i els de la diagonal no ho són.

Els coeficients d’un sistema lineal formen una matriu anomenada matriu del sistema . Té tantes files com equacions i tantes columnes com incògnites. si a aquesta matriu se li afegeix la columna dels termes independents es té la matriu ampliada .

4

Una matriu d'una sola columna s'anomena un vector columna , i una matriu d'una única fila s'anomena un vector fila .

Una matriu de tipus m, n es pot interpretar com un conjunt de regles de transformació d'unes variables d'entrada x1, x2, ...xn en unes variables de sortida y1, y2, ...ym.

Dient X a la llista de variables d'entrada X = [x1, x2, ...xn ], Y a la llista de variables de sortida

Y =[ y1, y2, ...ym ] les regles de transformació són

AX = Y o sigui

=+++

=+++=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

yxa....xaxa

................................................

yxa....xaxa

yxa....xaxa

3. Resolució de sistemes. Mètode de Gauss Si e1 i e2 són dues equacions, una nova equació e3 = αe1+ βe2 s'anomena una combinació lineal de e1 i e2, i direm que és dependent de e1 i e2.

És clar que una solució comú a e1 i e2 és solució d'e3. Per tant en un sistema d'equacions, les equacions que són dependents de les altres no aporten informació nova i poden suprimir-se.

El nombre d'equacions independents que té un sistema s'anomena el seu rang .

Dos sistemes són equivalents si tenen les mateixes solucions. Si una equació d'un sistema es substitueix per una combinació lineal de les altres s'obté un sistema equivalent.

La resolució d'un sistema pel mètode de Gauss consisteix en transformar-lo en un d'equivalent amb la matriu triangular. Si en el procés apareixen files amb tots els elements iguals a 0, s'eliminen.

Les transformacions es fan exclusivament sobre la matriu ampliada. Consisteixen en:

- intercanviar el lloc de les equacions

- eliminar files de zeros, files repetides o files proporcionals

- multiplicar una fila per un nombre diferent de zero

- sumar i restar files

- i les transformacions compostes de les anteriors.

Un cop reduïda la matriu a forma triangular:

• si apareix una equació de la forma 0 = k, amb k ≠ 0, el sistema és incompatible

• si no passa això i hi ha menys equacions que incògnites el sistema és indeterminat , i algunes incògnites es consideren incògnites lliures

• si el sistema no és incompatible i té tantes equacions com incògnites, el sistema és determinat i es resol esglaonadament.

4. Discussió d’un sistema Un sistema pot tenir, a més de les incògnites, altres quantitats variables anomenades paràmetres , que no són objecte de recerca sinó que varien segons l'aplicació concreta que es fa del sistema. Segons el valor dels paràmetres el sistema pot ser determinat, indeterminat o incompatible. Decidir quins d'aquests casos es poden donar s'anomena la discussió del sistema.

5. Operacions amb matrius Dues matrius del mateix tipus m,n es poden sumar o restar, sumant o restant els elements que ocupen la mateixa posició.

5

La multiplicació A·B de dues matrius només es pot fer si A és del tipus m,n i B és del tipus n, p. És a dir, si A té tantes columnes com B files.

El producte A·B és de tipus m,p: té tantes files com A i tantes columnes com B.

En tal cas la multiplicació es fa segons la regla:

L'element del producte de la fila i, columna j s'obté multiplicant terme a terme la fila i de la matriu A per la columna j de la matriu B, i sumant els resultats.

Per exemple, al producte de matrius següent (una 2,3 per una 3,2), el resultat és una matriu 2,2

3 4 −1

0 2 5

1 2

−3 0

5 −1

=−14 7

19 −5

L’element que va a la 1a fila i 1a columna surt de fer 3·1+4·(-3)+(-1)·5=-14... i així successivament

En particular una matriu de tipus m,n es pot multiplicar per un vector columna de n components, i el resultat és un vector columna de m components.

El producte de matrius no és commutatiu: A·B és diferent de B·A, suposant que tots dos productes es puguin fer. Quan sí és A·B = B·A direm que A i B commuten .

La matriu identitat és la matriu quadrada que té 1 a la diagonal i 0 a totes les altres posicions. Es designa per I.

Dues matrius A i B són inverses si són quadrades i A·B = B·A = I. No totes les matrius quadrades tenen inversa.

La inversa de la matriu A es designa per A-1.

Per calcular la matriu inversa d'A s'escriu una nova matriu, amb el doble de columnes, afegint a la dreta d'A la matriu I; i es transforma com en el mètode de Gauss fins que a la meitat esquerre hi ha I; llavors a la meitat dreta quedarà la inversa A-1.

6. El rang d'una matriu El rang d'una matriu és el nombre de files independents, és a dir que no poden reduir-se a 0 per les transformacions associades al mètode de Gauss. El rang d'un sistema coincideix amb el rang de la matriu ampliada.

El rang no pot ser més gran que el nombre de files ni que el nombre de columnes.

Per calcular efectivament el rang d'una matriu se la transforma en una matriu triangular, i llavors el rang és el nombre de files diferents de zero.

Utilitzant el concepte de rang es pot sintetitzar la classificació dels sistemes:

Si r és el rang de la matriu del sistema, R el rang de la matriu ampliada, i n el nombre d'incògnites, el tipus de sistema ve determinat pel Teorema de Rouché-Frobenius :

• Si r<R el sistema és incompatible.

• Si r = R = n, el sistema és determinat.

• Si r = R < n, el sistema és indeterminat i té n-r graus de llibertat , que vol dir que hi haurà r incògnites que dependran de les n-r restants.

6

EXERCICIS MATRIUS I SISTEMES

1. Resol pels mètodes gràfic, de reducció, d’igualació i de substitució els sistemes següents:

=+=−

7y2x3

14yx2

=−=+5y2x

10y5x4

2. Una empresa d'electrònica produeix amplificadors i sintonitzadors en dues fàbriques M i N. La taula mostra les unitats diàries produïdes a cada fàbrica:

Fàbrica

M N

Amplificadors 30 20

Sintonitzadors 35 15

Suposa que a la fàbrica M es treballa x dies i a la fàbrica N es treballa y dies. Calcula:

a) les expressions del total d'amplificadors i del total de sintetitzadors produïts.

b) els dies que ha de treballar cada fàbrica per servir una comanda de 1000 amplificadors i 1000 sintonitzadors.

3. Vols comprar aliments de tres tipus I, II i III. El quadre adjunt mostra les unitats de vitamina A, B i C per quilogram de cada aliment:

Aliments I II III Vitamina A 1 2 3 Vitamina B 3 3 0 Vitamina C 4 5 1

a) Si compres x quilograms de l'aliment I, y de l'aliment II i z de l'aliment III, calcula el nombre total d'unitats de cada vitamina que has comprat.

b) Calcula les quantitats de cada aliment que has de comprar si necessites 16 unitats de vitamina A, 9 de vitamina B i 17 de vitamina C

Suposa ara que es reforça el contingut en vitamina C de l'aliment III, que passa de 1 a 3. Calcula ara:

c) com aconseguir 16 unitats de vitamina A, 9 de vitamina B i 25 de vitamina C

d) com aconseguir 16 unitats de vitamina A, 9 de vitamina B i 20 de vitamina C

4. El preu d'un producte ve determinat per l'oferta i la demanda que hi ha d'ell. Se suposa en economia que l'oferta O i la demanda D s'expressen linealment en funció del preu P amb equacions, per tant, de la forma: O = -a+bP

D = m-nP on a, b, m i n són positius. a) Un fabricant té comprovat que posant el seu producte a 40 € en ven 8000 unitats, i si el posa a 50 € en ven 6000. Calcula els paràmetres m i n de l'equació de la demanda.

b) Quan el preu és 30 € el fabricant produeix ("oferta") 3000 unitats, i si el preu és 40 € en produeix ("oferta") 6000. Calcula els paràmetres a i b de l'equació de l'oferta.

c) Per a quin preu la oferta i la demanda s'equilibren?

7

5. Si al mercat hi ha competència, és a dir un altre producte de característiques semblants i de preu Q, el preu de cadascun influeix en la demanda de l'altre (si un producte puja molt de preu hi ha part dels compradors que es desplacen a la competència i a l'inrevés).

Suposa dos productes de preus P i Q i d'ofertes i demandes expressades per: demanda del producte 1: 18-3P+Q oferta del producte 1: -2+4P demanda del producte 2: 12+P-2Q oferta del producte 2: -2+3Q

Calcula els preus P i Q que equilibren el mercat d'aquest tipus de producte.

6. En un país les preferències polítiques dels ciutadans es classifiquen en tres grups: C (centre), D (dreta) i E (esquerra). Aquestes preferències van canviant i a cada elecció algunes persones canvien d'idees segons s'indica a la matriu de percentatges següent: abans C D E C 70 8 15 després D 10 90 5 E 20 2 80 Interpreta que significa el 8 que hi ha a la primera fila de la matriu?

Si actualment un 20% són de centre, un 45% són de dreta i un 35% són d'esquerra, què passarà a les properes eleccions? I a les següents?.

7. Demostra que

==

−=

zz

zy

z3x

és la solució general del sistema

x y z

x y z

x y z

− + =− + =

− + =

2 3 3

2 3 5 6

3 4 3

. Calcula una

solució particular en què x=11 i una altra solució particular en què les tres components sumin 23.

8. Resol aquests sistemes: calcula la solució dels que siguin determinats, i per als indeterminats calcula la solució general, i si és possible una solució particular formada per nombres enters.

x y z

x y z

x y z

− + =+ − = −− + = −

2

3

5 5 4

5 11 9 4

3 5 2

2 4 2 1

x y z

x y z

x y z

− + =− + =

− + =

3 4 0

5 2 10 0

7 4 1 0

x y

x y z

x z

− − =− − − =

+ + =

x y z t

x y z t

y z t

− + + =− − + =

+ − =

2 1

2 2 3 4

2 1

2 3 1

6

3 4 2 1

4 6 4 6

x y z

x y z

x y z

x y z

+ − = −− + + = −

+ − =+ − = −

x y z

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =

− − + =+ − = −

2 2

2 4 3

2 2 1

2 3 2

x y z

x y z

x y z

+ + =+ − =

− − =

2 3 0

3 2 0

4 12 0

3 0

2 3 0

2 4 2 0

2 2 0

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

+ + − =+ − + =

+ + + =+ − − =

9. Calcula les solucions de

−=−+=+−

=−+

4z5,5y4x

6z2yx

2zyx

tals que les seves components sumin 0.

10. Un pagès ven al mercat ànecs a 6 €, pollastres a 3 € i guatlles a 0,6 €. Avui ha venut 50 animals i ha tret 60 €. Quants ha venut de cada classe?

8

11. Compres 20 segells, alguns de 10 cèntims, uns altres de 24 cèntims i uns altres de 45 cèntims. T'has gastat 4,1 €. Quants segells de cada valor has comprat?

12. Tens en aquest esquema quatre carrers que s'encreuen als punts A, B, C i D. Les fletxes indiquen la direcció dels cotxes i els números i les lletres x, y, z i t els cotxes que passen cada hora per cada tram de carrer.

a) Calcula els valors possibles de x, y, z i t

b) Justifica que entre A i D han de passar entre 100 i 300 cotxes

c) Un dia es talla el tram AD per obres. On hi haurà un embús?

100 100 A A B 200 z 100 t y D C 200 x 300 400 200

13. Afegeix una equació al sistema

=−=++

2zx

1zyx de forma que el sistema resultant sigui:

a) incompatible b) determinat c) indeterminat

14. Escriu un sistema de 2 equacions i 3 incògnites que tingui una solució x = 1, y = 2, z = 3. Troba totes les altres solucions que tingui.

15. Discuteix els sistemes

x y z

x y z

ax y z

+ + =+ + =− + =

7 0

3 2 6 0

13 0

=+=+=+

3ayax

2ayx

1yax

x + 2y + az = 6

2x − y + z = −a

ax + y + 4z = 13

=++=+

=++

1zyx

mzy2

0mzyx2

16.- Discuteix el sistema següent segons els valors del paràmetre a:

−=+=++2y2ax

1y)1a(x

Resoleu-lo per al valor de a que el fa indeterminat.

9

17. Tens les matrius (o vectors columna) següents:

−−=

23

51

10

A

=0121

0200

2111

B

−−=

513

107

211

C

=

2/166

802D

−=

1022

433

802

E

−=

50

4/35/3

31

F u =

1

3 v =

0

4

4

w =

−3

2

6

2

z =

− 4

11

7

Calcula:

Au Bw Cv Dz 2v-3z A+F C - E 3C - 4E C·E E·C 18. Amb les matrius de l'exercici anterior, quines d'aquestes multiplicacions es poden fer? Calcula les que puguis. A·C D·A A·D B·C C·B D·A·C B·C·D·A

19. Tens les matrius A =

−−12

23, B =

10

11. Calcula:

a) una matriu X tal que A·X = B b) B10

c) una matriu Y tal que A · Y · A =

23

41

d) les matrius inverses d'A i de B e) comprova que (A·B)-1 = B-1 · A-1 20. Calcula, si és possible, la matriu inversa de cada una de les següents:

−−

−

412

112

013

−−

−

211

112

013

21. Calcula el rang de les matrius

1 1 33

0 0 3

2 0 11

−

3 2 1 2

2 2 5 5

4 2 3 1

−− − −

−

1 2 5 3 4

1 3 4 1 2

1 7 6 5 10

1 8 3 1 8

− − − −

− −

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 1 0 1

10

22. Una família vol llogar un apartament a la costa. L'agència Solimar demana 150 € d'entrada i 31 € al dia. L'agència Marivent demana 70 € d'entrada i 37 € cada dia. Decideix a partir de quants dies d'estada és millor la primera oferta.

23. Dos amics observen que cadascun d’ells s’ha gastat la mateixa quantitat de 76 euros assistint a una sèrie d’espectacles que tenen sempre el mateix preu: en Toni ha anat tres vegades a un concert, quatre vegades al cinema i dues al futbol i en Joan ha anat una vegada la futbol, quatre a concert i tres vegades al cinema.

Sabent que la Maria ha anat una vegada a cada cosa i s’ha gastat 26 euros, calcula quant val l’entrada a cada espectacle, i raona si la solució és vàlida pel context del problema.

24. Compreu dos productes i us costen 220 euros. La setmana següent un amic vostre fa la mateixa compra i, com que el primer article està rebaixat un 10% i el segon un 20% respecte a la setmana anterior, només li costen 186 euros.

Quant us havia costat a vosaltres cada producte?

25. Un constructor compra tres parcel·les i paga 1.500 euros/m2 a la primera, 1.800 euros/m2 a la segona i 2.000 euros/m2 a la tercera. Calcula la superfície de cada parcel·la sabent que entre totes tres ocupen 1.870 m2, que per totes elles ha pagat 3.360.000 euros i que el preu de la tercera equival a les tres quartes parts de la suma dels preus de les altres dues juntes.

26. Hem fet un trajecte de 200 km repartit en taxi (que costa 5€/km), en tren (que costa 2€/km) i en autobús (que costa 3€/km).

Calcula quants quilòmetres hem fet en cada medi de transport sabent que ens ha costat 500 € i que hem fet el recorregut fet en tren ha estat el doble que en taxi i autobús junts.

11

PROGRAMACIÓ LINEAL 1. Sistemes d'inequacions lineals Una inequació lineal és una relació de la forma ax + by + cz + .... > d on x, y, z, ... són les incògnites . El signe > pot ser també <, ≥ o ≤.

Si el signe de desigualtat es canvia pel d'igualtat s'obté una equació ax + by + cz + .... = d que és l'equació associada .

Un sistema d'inequacions lineals és un conjunt d'inequacions lineals amb les mateixes incògnites.

La solució d'una inequació lineal és un conjunt de valors numèrics per a les incògnites que fa que la desigualtat que figura a la inequació sigui vàlida. La solució d'un sistema és una solució comú a totes les inequacions que el formen.

Un sistema d'inequacions lineals té, normalment, o bé cap solució o bé infinites solucions.

Per resoldre:

• una inequació lineal d'una incògnita: es resol l'equació associada, es marca la solució sobre un eix graduat i es decideix a quina de les dues semirectes es verifica la inequació.

• una inequació lineal de dues incògnites: es representa gràficament la recta corresponent a l'equació associada, i es decideix a quin dels semiplans que determina es verifica la inequació.

• un sistema d'inequacions lineals: es busca la part comú (a la recta o al pla) de les solucions de totes les inequacions del sistema.

Una recta de la que sabem la seva equació es representa de forma ràpida trobant els dos punts en que talla als eixos (posant x=0 i trobant el valor de la y, i després posant y=0 i trobant el valor de la x), i unint els dos punts resultants.

Recordeu també que l’equació d’una recta paral·lela a l’eix de les x és de la forma y= constant i l’equació d’una recta paral·lela a l’eix de les y és de la forma x= constant.

La solució d'un sistema d'inequacions lineals de dues incògnites és una zona convexa del pla, que si no és buida pot ser tancada (polígon) o oberta (poligonal).

De vegades es planteja el problema invers consistent en trobar les inequacions que fan que un detereminat recinte del pla sigui la seva solució.

2. Programació lineal Un problema de programació lineal és el consistent en elegir, entre les solucions d'un sistema d'inequacions lineals, aquella que fa mínim o màxim (segons els casos) el valor d'una expressió lineal donada, que s'anomena funció objectiu del problema.

La resolució del problema consta de dos passos:

- Obtenir la solució del sistema d'inequacions lineals, que s'anomena la regió factible del problema.

- Seleccionar, entre aquestes solucions, la que optimitza la funció objectiu

Per fer aquesta selecció cal calcular els vèrtexs de la regió factible, que s'anomenen els punts extrems . Després s'avalua la funció objectiu en ells i s'anota en quin d'ells té valor màxim o mínim, segons es demani.

Atenció: Si en algun cas hi ha dos extrems que donen el mateix valor la solució del problema estarà formada per tots els punts del costat que uneix aquests dos vèrtexs.

EXERCICIS DE PROGRAMACIÓ LINEAL

12

1. Un camioner transporta sacs de 40 kg i de 70 kg en un camió que no admet més de 5.000 kg ni més de 100 sacs. Quines formes té de carregar el camió?

2. En un jardí hi ha rosers de flor blanca i rosers de flor vermella. Cada un dels primers fa tres flors; cada un dels segons en fa 4. Al jardí mai hi ha més de 20 roses. Què pots dir sobre el nombre de rosers de cada classe?

3. Un bosc creix cada any un 4%. A principi d'any una empresa de fusta talla 2.000 arbres. A final d'any hi ha més arbres que abans de la tala. Què pots dir del nombre d'arbres que hi havia a principi d'any?

4. La recepta del còctel Planter's Punch diu: "Es barregen suc de taronja, suc de llimona i suc de pinya, rom blanc i rom negre. Els licors van a parts iguals, i el total de sucs no ha de ser inferior als 2/3 del total. Hi ha d'haver més suc de taronja que de les altres fruites juntes". Què pots dir de les quantitats dels ingredients?

5. Un examen té menys de 20 preguntes, algunes que valen 3 punts i altres que valen 5 punts. La puntuació que es pot treure de l'examen no arriba a 70. Què pots dir del nombre de preguntes de cada classe?

6. En una bossa de monedes hi ha menys de 800 pessetes en monedes de 5, 25, 50 i 100. Hi ha més monedes de 25 que de totes les altres juntes, i entre les monedes de 50 i de 100 no arriben a 7. Què pots dir de la quantitat de monedes de cada classe?

7. Resol aquests quatre sistemes d'inequacions lineals:

≥−−≥−

≤+

4yx3

4y3x

0yx

≤+≥−

−≥−

7yx

3yx4

1y4x3

−≥−≤+

2yx2

7y6x5

−≤−≤+≥+

≤−

1yx2

3y4x

2yx3

1y3x2

8. Calcula el màxim i el mínim de les dues funcions objectiu 2x-3y i 3x+5y sobre el polígon de vèrtexs (1,3), (4,1), (7,2), (8,7) i (2,6)

9. Dibuixa la regió factible de les desigualtats y ≥ 1, x+2y ≤ 6, x-y ≥ 0 i calcula el valor màxim de 2x+y en aquesta regió.

10. Una escola porta 400 alumnes d'excursió. L'empresa de transports té 8 autobusos de 40 places i 10 de 50 places, però només 9 conductors. El lloguer dels autobusos grans costa 50 € i el dels petits 35 €. Quina és la distribució més econòmica per a l'escola?. 11. Un pagès vol plantar presseguers i pereres en un terreny de 4400 metres quadrats. Els presseguers necessiten 25 m2 de terra i 30 litres d'aigua al dia, i les pereres necessiten 40 m2 de terra però només 15 litres d'aigua. El pou del terreny només dóna 3300 litres d'aigua al dia. No convé que cap espècie tingui més del doble d'arbres de l'altra. El benefici que produeix cada presseguer és 1,5 vegades el que produeix una perera. Quants arbres de cada classe cal plantar?

12. Una fàbrica de mobles produeix taules i armaris. Cada taula necessita 24 kg. de materials i 25 hores de feina, i cada armari necessita 36 kg. de material i 32 hores de feina. No es poden vendre més de 15 taules ni més de 50 armaris, i quan es venen es guanyen 33 € per cada taula i 38 € per cada armari. Només hi ha 2500 kg. de material i 1600 hores disponibles. Què cal fabricar?.

13

13. Un botiguer ofereix dues classes de verdura. La primera li costa 0,8 € el kilo i espera vendre-la a 1 €. La segona li costa 1 € el kilo i espera vendre-la a 1,4. No vol tenir a la botiga més del doble d'una verdura que de l'altra. Pensa invertir 250 € en comprar la verdura al majorista. Quants kilos de cada classe ha de comprar?

14. Un supermercat prepara dues classes de paneres de Nadal. Les de primera classe porten 4 barres de torrons i 5 ampolles de cava, i les de segona classe porten 3 barres de torrons i 4 ampolles de cava. Al magatzem hi ha preparades 360 barres de torrons i 460 ampolles de cava. El propietari espera vendre un màxim de 30 paneres de primera, i entre 50 i 80 paneres de segona. Si amb les paneres de primera guanya 20 € i amb les de segona guanya 16 €, quantes ha de preparar de cada classe?

15. Un taller de confecció fa jaquetes i pantalons per a criatures. Per a fer una jaqueta es necessiten 1m de roba i 2 botons i per a fer uns pantalons calen 2 m de roba, 1 botó i una cremallera. El taller disposa de 500 m de roba, 400 botons i 225 cremalleres. El benefici que s’obté per la venda d’una jaqueta és de 20 € i per la d’uns pantalons és de 30 €.

Suposant que es ven tot el que es fabrica:

a) Calcula el nombre de jaquetes i de pantalons que s’han de fer per tal d’obtenir un benefici màxim. Determina també aquest benefici màxim.

b) Si el material sobrant es ven a 1 € el metre de roba, a 0’20 € cada cremallera i a 0’01 € cada botó, calula quan es pot obtenir de la venda del que ha sobrat.

16.- a) Troba un sistema d’inequacions que tingui com a conjunt de solucions l’interior i els costats del triangle del pla de vèrtexs (0,0), (2,3) i (3,1).

b) Troba un sistema d’nequacions que tingui com a conjunt de solucions l’interior i els costats del quadrilàter de vèrtexs (1,4), (3,4), (2,0) i (1,1)

17. Una empresa té fàbriques a Barcelona i a Pamplona, i distribueix els productes a Saragossa, Madrid i València. Els costos de transport són els expressats a la matriu:

Saragossa Madrid València

Barcelona 2 4 2

Pamplona 2 3 3

La fàbrica de Barcelona produeix 500 unitats i la de Pamplona 400, i cal enviar-ne 100 a Saragossa, 700 a Madrid i 100 a València. Estudia quina és la millor manera d'organitzar la distribució.

TEORIA DE FUNCIONS

14

1. Les funcions i les seves característiques

Una funció ve donada per una fórmula y = expressió matemàtica formada a partir de x.

x és la variable independent i y la variable dependent.

Una funció té un gràfic format pels punts en què es representen els parells (x,y) associats per la fórmula.

S’anomena domini de f, i es designa per Dom f, al conjunt dels x que tenen imatge. Correspon a la projecció de la gràfica sobre l'eix d'abscisses.

S’anomena recorregut de f, i es designa per Rec f, al conjunt de les y que són imatge d'algun x. Correspon a la projecció de la gràfica sobre l'eix d'ordenades.

El domini i el recorregut de les funcions s'expressen normalment mitjançant intervals de nombres reals, oberts o tancats i amb extrems finits o infinits.

Entre les funcions elementals només tenen restriccions de domini:

A)Les funcions racionals: El domini de )x(Q)x(Pés el conjunt de tots els valors de x excepte

les arrels del denominador. El càlcul d'aquests valors especials és la resolució de l'equació Q(x) = 0.

B) Les funcions irracionals d'índex parell: El domini de )x(f és el conjunt de tots els valors de x tals que f(x) és positiu o zero.

C) Les funcions logarítmiques: El domini de ln(f(x)) és el conjunt de tots els valors de x tals que f(x) és positiu.

El càlcul dels valors excepcionals és la resolució de la inequació f(x) ≥ 0.

Per resoldre aquesta inequació es fa:

a) es resol l'equació f(x) = 0 b) es busquen els valors que no pertanyen al domini de f(x) c) es disposen en ordre de menor a major tots els valors obtinguts en els passos anteriors i es comprova el signe de f(x) en un valor situat entre cada dos d'ells d) si entre un valor α i un valor β és f(x)>0, l'interval [α, β] forma part del domini

Una funció és creixent si conserva l'ordre de les variables: si x<x' llavors f(x)<f(x'), i és decreixent si inverteix l'ordre de les variables: si x<x' llavors f(x)>f(x').

Una funció és monòtona si és o bé sempre creixent o bé sempre decreixent.

Una funció és parella si f(-x) = f(x). La seva gràfica és simètrica respecte l'eix de les Y.

Una funció és imparella si f(-x) = -f(x). La seva gràfica és simètrica respecte l'origen.

Una funció és contínua si el seu gràfic és una línia ininterrompuda. Una funció que no és contínua té punts de discontinuïtat.

Les principals propietats de les funcions més habituals es recullen en aquest quadre:

Funció Domini Recorregut Creixement Simetria Continuitat

15

xn, n parell R R+ parella contínua

xn, n senar R R creixent imparella contínua

1/x R-{0} R-{0} decreixent imparella discontínua

x R+ R+ creixent contínua

ex R R+ creixent contínua

ln x R+ R creixent contínua

sin x R [-1,1] imparella contínua

cos x R [-1,1] parella contínua

tan x R-kπ/2, k senar

R creixent imparella discontínua

2. Funcions definides a trossos Normalment una funció ve donada per una sola fórmula que s’aplica en tot el seu domini, però hi ha vegades en que pot venir donada per diverses fórmules que s’apliquen segons el valor de la variable x que estiguem considerant i a quin interval pertanyi.

Es diuen funcions definides a trossos , i se solen escriure així:

y

∈∈∈

=

...

trosr3xsi)x(f

trosn2x si (x)f

trosr1 xsi )x(f

3

2

1

Aleshores per trobar la imatge d’un determinat valor de x s’ha de veure en quin tros està situat i segons això aplicar la fórmula que li correspongui.

Els “trossos de la definició” poden venir donats tant en la forma habitual d’un interval, o sigui )a,(−∞ , )b,a( o (b, ∞ ), o també en forma de desigualtats, que serien ax⟨ , en el primer cas, bxa ⟨⟨ , en el segon cas, i x b⟩ , en el tercer).

Els intervals també poden ser tancats i venir indicats amb claudator, i aleshores els símbols de les desigualtats seran ≥≤ o .

Qualsevol valor de x com a màxim ha d’estar en un interval de la definició. Si un valor de x no és a cap interval, aleshores no serà del domini de la funció.

Si hem de representar una funció definida a trossos ho hem de fer dibuixant a cada tros la fórmula indicada. El problema pot sorgir en els punts en que canvia la definició. En aquells punts hem de calcular el valor de les fórmules de cada costat, i sobre el gràfic hem d’indicar d’alguna forma si el punt representat és vàlid o no.

Punt vàlid s’indica amb [ o amb • Punt no vàlid s’indica amb ( o amb o

Quan en un punt ens trobem que per un costat i per l’altre la funció dóna valors diferents la funció és discontinua en aquell punt.

3. Transformació de gràfics Hi ha determeinats canvis a al funció que van associats a canvis a la seva gràfica. Els més importants són aquests.

16

A) Translació

Si es canvia la funció y = f(x) per la y = f(x+a), el gràfic es desplaça cap a l'esquerra (si a és positiu) o cap a la dreta (si a és negatiu) en la magnitud a .

Si es canvia la funció y = f(x) per la y = f(x)+b, el gràfic es desplaça cap a dalt (si b és positiu) o cap avall (si b és negatiu) en la magnitud b .

B) Canvi de signe

Si es canvia la funció y = f(x) per la y = f(-x), el gràfic es converteix en el seu simètric respecte de l'eix de les Y. Si es canvia la funció y = f(x) per la y = -f(x), el gràfic es converteix en el seu simètric respecte de l'eix de les X.

C) Canvi d'escala

Si es canvia la funció y = f(x) per la y = f(ax), essent a positiu, el gràfic es dilata (si a <1) o es contrau (si a>1) en la direcció de l'eix de les X. Si es canvia la funció y = f(x) per la y = bf(x), essent b positiu, el gràfic es dilata (si b>1) o es contrau (si b<1) en la direcció de l'eix de les Y.

D) Valor absolut

Si es canvia la funció y = f(x) per la y = )x(f la part de gràfic per sota de l'eix de les x es

converteix en el seu simètric respecte de l'eix de les x.

Tenint en compte això si coneixem la gràfica d’una fórmula elemental,per exemple la de y=x2, podrem deduir la gràfica de funcions com y= x2-4 o de y=-3x2

4. Composició i inversió

17

La composició de dues funcions és la seva aplicació successiva: f o g(x) = f(g(x)). Es pot fer si Rec f ⊂ Dom g.

La composició no és commutativa: f o g ≠ g o f.

Dues funcions f i g són inverses entre els conjunts A i B si A B B Af g → →, i f o g(x) = x quan x és de B i g o f (x) = x quan x és d'A.

Llavors f i g associen els elements d'A i els de B un a un i en forma invertida.

Les gràfiques de dues funcions inverses són simètriques respecte la recta y = x.

Són parells de funcions inverses:

y = x+a y = x-a entre R i R

y = ax y = ax

entre R i R

y = nx y = n x entre R+ i R+ si n és parell

entre R i R si n és imparell

y = ax y = logax entre R i R+

Les funcions y = a-x i y = xa

són inverses cadascuna d'ella mateixa.

L'aplicació de funcions inverses permet l'aïllament de la variable en una expressió en què figuri una sola vegada.

La fórmula de f o g s'obté substituint les x de la fórmula de f per g(x). La fórmula de la funció inversa de f s'obté aïllant x de y = f(x).

6. Estudi asimptòtic d’una funció Una variable, ja sigui x o y, s'aproxima o tendeix a + ∞ quan es va fent progressivament més gran i superior a qualsevol nombre positiu imaginable. S'escriu +∞→x , +∞→y

Una variable s'aproxima o tendeix a - ∞ quan es va fent progressivament més petita i inferior a qualsevol nombre negatiu imaginable. S’escriu −∞→x o −∞→y .

El terme matemàtic que tradueix aquesta idea és el de límit i s’escriu abreviat com a lim

La variable x s'aproxima al valor a si la separació entre x i a, que es calcula fent |x-a|, es va fent progressivament més petita i menor que qualsevol nombre positiu imaginable. S’escriu x→a. Si a més x<a direm que s'aproxima per l'esquerra i s'escriu x→a-. Si, en canvi, és x>a direm que s'aproxima per la dreta i s'escriu x→a+.

El mateix es pot dir amb la variable y.

Una asímptota és una recta a la qual la gràfica de la funció s’aproxima cada vegada més i tant com es vulgui, quan una de les variables s’aproxima a +∞ o a −∞.

Aquesta definició no contradiu el fet que la gràfica de la funció pugui tallar a l’asímptota en un punt finit.

L'estudi asimptòtic d'una funció és la resposta a les preguntes següents:

1) Si +∞→x , què es pot dir de y?

18

Quan la resposta és y→b, la funció té una asímptota horitzontal a la dreta que és la línia y = b.

2) Si −∞→x , què es pot dir de y?

Quan la resposta és y→b, la funció té una asímptota horitzontal a l'esquerra que és la línia y = b.

3) Hi ha algun valor de x per al qual si x→a , és +∞→y o −∞→y ?

Aleshores la funció té una asímptota vertical que és la línia x = a.

Una funció només pot tenir dues asímptotes horitzontals, una a la dreta i una a l'esquerra. En canvi, pot tenir moltes asímptotes verticals, fins i tot infinites. Una funció també pot tenir asímptotes obliques .

Les funcions que tenen asímptotes verticals són discontínues.

6.- Asímpotes de les funcions elementals Entre les funcions elementals que hem vist tenen asímptotes només:

A) Les funcions racionals )x(Q)x(P

- per als valors a tals que Q(a) = 0 i P(a) ≠ 0, hi ha una asímptota vertical x = a.

Quan Q(a)=0 i també P(a)=0 s’ha d’estudiar detingudament que passa amb el quocient descomponent els polinomis i simplificant el factor que faque dongui zero.

- si grau P = grau Q hi ha una asímptota horitzontal als dos costats; la seva equació és

y = quocient dels coeficients dels termes de grau m àxim

-si grau P ⟨grau Q, l’asímptota horitzontal és y=0 (o sigui l’eix de les x)

-si grau P= (grau Q)+1, hi ha una asímptota obliqua que téper equació el quocient de dividir els dos polinomis

B) La funció exponencial ex té una asímptota horitzontal y = 0 a l’esquerra .

Així mateix qualsevol funció exponencial de base més gran que 1.

Una funció exponencial de base més petita que 1 la té a y=0 però per la dreta .

C) La funció logaritme ln x té una asímptota vertical x = 0

Així mateix qualsevol funció logarítmica de la base que sigui.

TEORIA DE FUNCIONS EXERCICIS

19

1. Calcula el domini de les següents funcions algebraiques:

yxx

= −+

2 13 4

yx

x x= −

− +4 1

4 32 y = x 2 + 1

x 3 − 7x + 6 y = 3x 2 + 7

x 4 − 5x 2 + 4

y x= +3 1 y x= −25 2 y = x 2 − x − 6

y = 4x 2 − 83 y

xx

= +−

12

yx

x= + +11 1xx1y −+−=

2. Compara els dominis de les funcions:

y =x

x− 3

y =xx− 3

y = x

x

− 3 y =

xx − 3

y = x

x − 3 y =

x

x − 3

3. Fes una taula de valors per a x variant de -3 a 3 de 0,5 en 0,5, i la gràfica de les funcions:

y = 2x

- 1 y = -3x+2 y = 1-x² y = x+|x| y = [2x] y = x-[x] y = |x2-4|

y = x + x1

y = 22 1x

1

)( −

4. Essent f(x) = 3x+2 fes les gràfiques de f(x), f(-x), -f(x), -f(-x), |f(x)|.

5. Fes el mateix amb f(x) = (x+1)².

6. A partir de la gràfica de y = ln x dibuixa les gràfiques de ln(-x), -ln(x), -ln(-x), ln(x+2), ln(x) +2, ln x , ln(x) .

7. Compara les funcions y = x, ( )y x= 22

, y = x (valors, domini, gràfiques)

8. Fes la gràfica de les següents funcions a trossos:

≥<<

−≤

=2 xsi 1-2x

2x1- si x

1 xsi x

)x(f 2

≥ 3 xsi 0

3<x<2 si 4-

2<x<0 si 1

0< xsi 3

=g(x) i(x) =

≥ 1 xsix -2

1< xsi 1

j(x) =

≥ 1 xsix +2

1< xsi 1 k(x) =

2> xsi 1+x

0< xsi x l(x) =

+−

2> xsi 6-3x

2< xsi 2x

9. Escriu el domini i el recorregut de totes les funcions que surten a l'exercici anterior. Digues quins són els seus punts de discontinuïtat. 10. Calcula els valors d'a, b i c que fan que aquestes dues funcions a trossos siguin contínues en tots els punts:

20

f(x) =

>+≤+-1 xsi 5ax

-1 xsi ax2 g(x) =

>+

<≤+<

2 xsi bx1

2x0 sic bx

0 xsi ex

11. Calcula el valor de:

ln x3 quan x=15 ln x3 quan x = 15 1 2+ ex quan x=-0'3

12. Si g(x) = x , h(x) = ln x, i(x) = 1/x, escriu les fórmules de les funcions compostes h o g, g o h, i o h, h o i, i o g, g o i o h, i o g o h, i o i, h o g o h, h o g o h o i

13. Descompon en les seves components més simples les funcions:

y = (x4+1)

2 y = (ln x)2 y = ln x

2 y = ln 1

x2 − 3

14. Calcula el domini de les funcions transcendents:

y = ln(x-2) y = ln(x²-4) y = +1 ln x y = ex + 1

yx= −−

11 ln x

y = −1 ln xx - 1

ye x=

−1

3 2

15. Calcula la solució de les equacions:

x e 1

ln x

4

x3 2x-5

5+ = = = =4 5 3 3 15 0 2

3' ' '

16. Escriu la fórmula de la funció inversa de cadascuna de les següents:

y x= + + −3 2 1 5 3 y = ln 5x y =1

x - 1 y = e y = 6 ln (x-x 4 )

17.Estudia que passa amb la funció següent quan x → 0, quan x →1 i quan x → 2

y = 2x 2 − x

x 2 − 2x

Quines asímptotes verticals té?

Té asímptotes horitzontals?

21

18. Escriu els valors asimptòtics de les funcions que tenen els gràfics següents:

18. Calcula totes les asímptotes de les funcions següents:

y = 6x5x

12 +−

y = 3x1x2

−+

y = 4x 3 + 1x 3 − 3x + 2

y = 6x 2 −1x 2 + 1

y = ex + 2 y = ln(x −1)

y = ex−3 y = ln x + 2

22

CÀLCUL DIFERENCIAL

1. La derivada d'una funció en un punt Si y = f(x) és una funció, la seva variació entre x1 i x2 és f(x2)-f(x1) i la seva variació mitjana entre x1 i x2 és

12

12

xx

)x(f)x(f

−−

La recta que uneix els punts de la gràfica de f corresponents a x1 i x2 és la recta secant a la gràfica en aquests dos punts. La variació mitjana és el pendent de la recta secant.

La variació instantània de f(x) quan x = a és el valor al qual s'acosten les variacions mitjanes entre a i x quan x s'aproxima a a. Es designa per f'(a) i rep el nom de derivada de f(x) en a. És una quantitat numèrica.

La derivada es pot calcular, teóricament, fent ax

)a(f)x(f−−

i ara substituïnt x per a. Cal, però,

simplificar aquest quocient fent ús de recursos de tipus algebraic per tal que la substitució no

produeixi 00

.

És el que matemàticament s’escriu com un límit: f’(a)= limx→a

f (x) − f (a)x − a

Quan x s'aproxima a a, la recta determinada per x i per a s'aproxima a una recta que només té contacte amb la gràfica en a i que s'anomena recta tangent a la gràfica en a. La derivada de f en a és el pendent de la recta tangent a la gràfica de f en a: tan α = f'(a)

L’equació de la recta tangent la podem trobar tenint en compte que f’(a) és el pendent i que sabeu que la recta tangent passa per (a, f(a)). L'equació de la recta tangent a f en a és y = f(a)+f'(a)(x-a).

23

Una funció no és derivable en un punt , quan no és continua en aquell punt, o quan tot i ser continua hi ha un canvi sobtat de direcció com per exemple la següent:

2. Funció derivada d’una funció Es pot definir una nova funció f' fent correspondre a cada a el valor de la derivada f'(a). Aquesta funció és la funció derivada de f i es designa per f' o per y'. El càlcul de la funció f' derivada de la funció f segueix un conjunt de regles que es divideixen en: a) Regles d'operació

1. Suma : (f+g)' = f' + g' 2. Producte : (f · g)' = f' · g + g' · f ; en particular si c és constant (cf)' = cf'

3. Quocient : 2

'

g

'gfg'fgf ⋅−⋅=

; en particular si c és constant

c'f

cf

'

=

4. Composició (“regla de la cadena”) : 'g)g 'f()'gf( ⋅= oo b) Derivades de funcions fonamentals 1. Funció constant : (c)' = 0

2. Funcions potencials : (xp)' = p. xp-1 ; en particular ( )'xx

= 1

2

3. Funcions exponencials : (ex)' = ex (ax)' = ax ·ln a

4. Funcions logarítmiques : (ln x)' = 1x

(logax)' =

1x

·logae

c) Casos especials importants de la composició: (fp)' = p·fp-1·f' (ef)' = ef · f'

(ln f)' = 1f

· f'

3. Anàlisi local

24

Per tal d'aplicar les tècniques següents cal saber com determinar el signe d'una funció F. Això es fa en quatre passos:

1. Es troben els x tals que F(x) = 0.

2. Es troben els x en què F és discontínua.

3. Els valors de x així trobats són els únics on F pot canviar de signe, i divideixen al domini de F en zones de signe constant.

4. El signe de F a cada zona és el de qualsevol dels seus valors en ella. Una funció f és creixent en un interval si per a dos valors x i z de l'interval es té que si x<z llavors f(x)<f(z).

Una funció f és decreixent en un interval si per a dos valors x i z de l'interval es té que si x<z llavors f(x)>f(z).

Una funció f és creixent en un punt a si ho és en un interval que conté a.

Una funció f és decreixent en un punt a si ho és en un interval que conté a.

Generalment una funció és creixent en alguns intervals i decreixent en uns altres. El criteri per decidir-ho és:

si f'(a)>0 , f és creixent en a si f'(a)<0 , f és decreixent en a

El recíproc d'aquest criteri és fals: una funció pot ser creixent o decreixent en a i tenir f'(a)=0.

funció creixent / angle agut funció decreixent / angle obtús / derivada positiva / derivada negativa La funció f té un màxim relatiu en a si per a tots els x d'un interval que inclou a és f(x)<f(a).

La funció f té un mínim relatiu en a si per a tots els x d'un interval que inclou a és f(x)>f(a). Els màxims i mínims reben el nom indistint d'extrems de la funció. Una funció pot tenir un nombre variable d'extrems: algunes no en tenen cap (la funció exponencial) i d'altres infinits (la funció sinus). Quan una funció passa per un extrem canvia el seu sentit de variació: passa de creixent a decreixent (en un màxim) o de decreixent a creixent (en un mínim). Gràficament, els extrems són punts on la tangent és paral·lela a l'eix d'abscisses (horitzontal). El criteri d'existència d'extrems és:

25

si f és derivable en el punt a i té un extrem en a és f'(a) = 0

El recíproc és fals: pot ser que f'(a)=0 i que no hi hagi un extrem en a. També pot passar que una funció no sigui derivable i tingui un extrem en el punt a, i aleshores f’(a) tampoc és 0. Per tal d'obtenir els extrems d'una funció f cal seguir els passos:

1. Calcular els a tals que f'(a)=0

2. Estudiar el signe de f' a dreta i esquerra d'a per veure el tipus de variació i decidir si és un màxim, un mínim o cap de les dues coses.

4. Traçat de gràfics El gràfic d'una funció es pot obtenir dibuixant-ne un nombre suficient de punts, però això requereix un gran esforç de càlcul i queda reservat als ordinadors. Per tenir una idea de la forma del gràfic d'una funció cal utilitzar la informació proporcionada per la fórmula de la funció i per la seva derivada. A. Informació de la funció f

- domini

- signe

- punts de tall amb els eixos

- asímptotes B. Informació de la primera derivada f' - zones de creixement i decreixement

- extrems Després amb aquesta informació al davant cal procedir al traçat:

1. Es separen del pla les zones on f no existeix (segons el domini) i els valors que no pot prendre (segons el signe).

2. Es situen els talls amb els eixos i els extrems.

3. Es tracen totes les asímptotes.

4. Es comença la gràfica per l'esquerra del dibuix, entrant per una asímptota (si n'hi ha).

5. Es segueix el traçat d'acord amb els criteris de creixement, passant pels punts prefixats, i sortint del dibuix per una asímptota (si n'hi ha).

26

CÀLCUL DIFERENCIAL EXERCICIS 1. Calcula la variació mitjana de la funció y = 3x²-2x+5 entre: a) x = -1 i x = 1 b) x = 1 i x = 2 c) x = 1 i x = 1,1 d) x = 1 i x = 1,0001

2. Calcula la variació mitjana de la funció y = 1

1x + entre:

a) x = 0 i x = 1 b) x = 0 i x = 0,1 c) x = 0 i x = 0,01 d) x = 0 i x = 0,00001 3. Calcula la variació mitjana de la funció y = x3 entre: a) x = 0 i x = 0,1 b) x = 0 i x = 0,01 c) x = 0 i x = 0,001 d) x = 0 i x = 0,0001 4. Fent servir la definició de derivada, calcula les derivades següents: a) de y= 3x2+9x quan x=-1 (resp.: 3) a) de y = x3+x2-2 quan x=2 (resp.: 16)

b) de y = 7x2 2 + quan x=3 (resp.: 6/5)

c) de y = 2x3

1+

quan x=1 (resp.: -3/25)

5.- Donada la funció y=x2-4x+5 calcula:

a) Quan val la funció en el punt x=-3 b) En quin punt o punts la funció val 17 c) Quina és la variació absoluta a l’interval 0,5[ ]

d) Quina és la variació mitjana a l’interval 2,4[ ] e) Quin és el pendent de la funció en el punt x=5 f) En quin punt el pendent de la funció val 7

6. Dibuixa i escriu la fórmula d’una funció definida a trossos que sigui continua i derivable en el punt x=-2, que no sigui continua en el punt x=0 i que sigui continua però no sigui derivable en elpunt x=3.

27

CALCULA LA FUNCIÓ DERIVADA DE CADASCUNA DE LES FUNCIONS DE LA COLUMNA DE L'ESQUERRA. LES RESPOSTES SÓN A LA COLUMNA DE LA DRETA. 7. y = 7x6+5x4-3x2+11x-12 y' = 42x5+20x3-6x+11

8. y = 3x-2+5x-3+2x-1 y' = -6x-3-15x-4-2x-2

9. y = 2x-3-4x-4-x-2 y' = -6x-4+16x-5+2x-3

10. y = x2(x+6) y' = 3x(x+4)

11. y = x3(x2+1)(x3+6) y' = 8x7+6x5+30x4+18x2

12. y =

+53 x

1

x

13 y' =

64 x

15

x

9 −−

13. y =

+−3

2

x

15x y' = -5x-6-10x-3

14. y = 63 x

2

x

1 − y' = 74 x

12

x

3 +−

15. y = 2x

64 +

y' = 24

3

)2x(

x24

+−

16. y = 7

2x3 + y' =

7x3 2

17. y = 2x1

2

+ y' =

22 )1x(

x4

+−

18. y = 2x21

1

− y' =

22 )x21(

x4

−

19. y = 1x21x2

+−

y' = 2)1x2(

4

+

20. y = 23

2

x3x

2x

−+

y' = 223

24

)x3x(

x12x6x

−+−−

21. y = 2x

x2

− y' =

2

2

)2x(

x4x

−−

22. y = 5x2/3+3x-x5/7 y' = 103

x-1/3+3-57

x-2/7

23. y = 4x-1/2-3x-2/3+7 y' = - 2x-3/2+2x-5/3

24. y = ( )502 x6x + y' = (100x+300) ( )492 x6x +

25. y = 1x4x3 2 +− y' = 1x4x3

2x32 +−

−

26. y = 2xx 2 +⋅ y' = 2x

2x22

2

+

+

28

27. y = 3 2)x1( + y' = 3 x13

2

+

28. y = 4 3 9x + y' = 4 33

2

)9x(4

x3

+

29. y =

32

2x42x

++

y' = 4

222

)2x4(

)8x4x4()2x(3

+−++

30. y = (2x+1)(3x+5)5 y' = (36x+25)(3x+5)4

31. y = 4

2

x8

x

− y' = 4·

+

−2

32

x

8x2

x8

x

32. y = ( )57x3 − y' = ( )

27x315

3−

33. y = 3)x6(

2x

−+

y' = 4x6

12x2

)( −+

34. y = x·ln x y' = 1+ln x

35. y = ln(1+x2) y' = 2x1

x2

+

36. y = ln(4+3x) y' = 3

4 3+ x

37. y = ln(1+ x ) y' = )xx(2

1

+

38. y = ln 3 52 7

−+

xx

y' = )7x2)(x53(

41+−

−

39. y = ln 4x

x2 +

y' = x4x

43 +

40. y = ln 1x

x2

2

+ y' =

xx

2x3

2

++

41. y = ln(x - x2 1− ) y' = 1x

12 −

−

42. y = 2xe

1 y' =

2xe

x2−

43. y = (x2+1)e2x y' = 2(x2+x+1)e2x

44. y = (x3-3)ex y' = (x3+3x2-3)ex

45. y = x2

ex

1x1

+ y' = x3

ex

2x1

−

29

46. y = xe y' = x2

e x

47. y = x

x5

e1

e

+ y' =

2x

x6x5

)e1(

e4e5

++

48. y = ln x

x

e1

e1

+−

y' = 1e

e2x2

x

−

49. y = ln x1

x1

−+

y' = )x1(x

1

−

50. y = ln ln x y' = xlnx

1⋅

51. y = x3

x5

e

e y' = ex

52. Calcula el pendent de y = x2-4x i de y = 1x

x2 −

en x=0 ( -4 i -1)

53. Escriu l'equació de la recta tangent a y = 1x1x2

−+

quan x = 2 (x+y = 7)

54. Calcula el pendent de y = x2-7x+10 en els punts en què la gràfica talla l'eix de les x. (3 i -3)

55. Calcula el pendent de x2-8y = 0 en els punts d'intersecció amb la recta x-2y = 0. (0 i 1)

56. Calcula els punts en què:

a) el pendent de y = x2-6x+5 val 4 (x=5)

b) el pendent de 5x2-xy+4 = 0 val 1 (x=1 i x=-1)

c) la tangent a y = x3

3 + 3x2+5x+2 és paral·lela a la recta 3x+y=1 (x=-4 i x=-2)

d) la tangent a la funció anterior és perpendicular a x-4y=1 (x=-3)

e) la tangent a la funció anterior forma amb l'eix de les X un angle de tangent 5. (x=0 i x=-6)

57. Calcula els punts de la corba y = x2-5x-3 en què la tangent forma el mateix angle amb els dos eixos. ((3,-9) i (2,-9))

58. Calcula el punt d'intersecció de les corbes xy = 1 i y = x2-x+1 i l'angle entre les seves tangents en aquest punt. ((1,1), recte)

59. Determina a i b sabent que la corba y = a·ln x +b passa pel punt (1,2) amb un pendent igual a 4. (a=4, b=2)

60. Calcula els intervals de creixement de les funcions:

a) y = x ·ln x b) y = 3x5-25x3+60x c) y = (x2-1)4 d) y = x2·ex e) y = 6x5x

3x2 +−

−

30

61. A continuació tens la gràfica de la derivada d'una funció f. Intenta reconstruir aproximadament la gràfica de f.

62. Als fulls següents tens els gràfics de 18 funcions i el de les seves 18 derivades. Aparella el gràfic de cada funció amb el de la seva derivada.

63. Calcula k per a que y = x3+kx tingui un extrem en x=1. Decideix de quin tipus és. (k=-3; mínim)

64. Calcula a, b, c i d per a que la corba y = ax3+bx2+cx+d tingui un màxim en (0,4) i un mínim en (2,0). (1, -3, 0, 4)

65. Estudia les funcions següents i fes-ne la gràfica:

a) y = x3-x b) y = 3x4-8x3-6x2+24x c) y = x + 1x

d) y = 2x1

x

−

e) y = 4x6x3

+−

f) y =2xe− g) y =

x2

x

12

− h) y = (ln x)2

31

Funcions

a b c

d e f

g h i

32

j k l

m n p

q r s

33

Derivades

1 2 3

4 5 6

7 8 9

34

10 11 12

13 14 15

16 17 18

35

OPTIMITZACIÓ 1. Optimització Els problemes d'optimització són aquells en què es busca el valor que ha de prendre una magnitud o variable perquè una altra dependent d'ella sigui màxima o mínima. Es tracten d'acord amb l'esquema següent:

1. Identificar i donar nom a totes les variables que intervenen.

2. Escriure la que cal optimitzar en funció de les altres.

3. Reduir la funció anterior a una sola variable eliminant les altres utilitzant les condicions del problema.

4. Calcular els extrems de la funció obtinguda.

5. Interpretar el resultat segons l'enunciat del problema, seleccionant les solucions vàlides.

EXERCICIS D’OPTIMITZACIÓ

1. Dibuixa rectangles de perímetre 32. Anota en una taula la base i l'àrea d'aquests quadrats, i representa gràficament els parells de valors d'aquesta taula. Quines dimensions ha de tenir el rectangle per a què l'àrea sigui màxima?.

2. Calcula dos nombres positius de suma 21 i tals que el producte d'un pel quadrat de l'altre sigui màxim. Solució: 7 i 14

3. Calcula un nombre tal que la suma de quadrats de les seves diferències amb 3, 7, 15, 31 sigui mínima. Solució: 14

4. Calcula les dimensions del rectangle d'àrea màxima inscrit en un cercle de radi 2.

Solució: un quadrat de costat √8

5. Calcula les dimensions del rectangle d'àrea màxima inscrit en un triangle isòsceles de base 10 i altura 15 i amb un costat sobre la base del triangle.

Solució: 5 i 7.5

6. Calcula els catets del triangle rectangle d'àrea màxima que tingui hipotenusa 10.

Solució: iguals a √50

7. Un triangle isòsceles té base 12 i altura 5. Calcula el punt de l'altura tal que la seva suma de distàncies als tres vèrtexs sigui mínima.

Solució: punt a distància 2√3 de la base

8. Calcula les dimensions del cilindre d'àrea total mínima i volum 4π. Solució: radi de la base 1.26

9. Calcula el punt de la corba y = x més proper a (4,0). Calcula l'angle entre la tangent a la corba en aquest punt i la recta que l'uneix amb (4,0).

Solució: x=3.5; angle recte

36

10. Si P=(1,4) i Q=(5,2), calcula el punt R de l'eix d'abscisses tal que la suma de les distàncies PR i QR és mínima. Comprova que les rectes PR i QR formen angles iguals amb la recta x=R.

Solució: R = (11/3,0)

11. Un filferro d'un metre es divideix en dues parts amb les que es fan un quadrat i un cercle. Calcula la longitud de les parts si la suma d'àrees de les dues figures és minima.

Solució: la part del quadrat és 0.56 metres

12. El propietari d'un bloc de 40 pisos els lloga a 250 €. Si puja 15 € el lloguer, un dels llogaters deixa el pis i no troba qui el substitueixi. Quin és el preu que li portarà més benefici? Quants pisos deixarà desocupats?.

13. Un fabricant de televisors que en produeix x al mes els ven al botiguer a un preu de 400-0,01x² € cadascun. Té uns gastos fixos de 2.100 € i uns gastos variables de 150x, en funció del nombre d'aparells que fabrica. Calculeu quants n'ha de produir cada mes per a que: a) els ingressos siguin màxims b) els beneficis siguin màxims

14. Els beneficis mensuals d’un artesà expressats en euros, quan fabrica i ven x objectes, s’ajusten a la funció B(x)= -0’5x2+50x-800, on 20 60x ≤≤ .

a) Troba el benefici que obté en fabricar i vendre 20 objectes i en fabricar i vendre 60 objectes.

b) Troba el nombre d’objectes que ha de fabricar i vendre per a obtenir el benefici màxim, així com el valor d’aquest benefici màxim.

c) Fes un esbós del gràfic dela funció B(x)

d) El benefici mitjà per x objectes és M(x)=x

)x(B. Digues quants objectes ha de fabricar i

vendre perquè el benefici mitjà sigui màxim, i quin és aquest benefici.

15. D'un vidre rectangular de 40 i 70 cm. de costat es trenca una part triangular de 10 i 20 cm. respectivament. Calcula les dimensions del vidre rectangular de dimensió màxima que pot tallar-se de la part que queda.

Solució: 32,5 cm. i 65 cm.

16. Un home és a una barca dins el mar, a 3 Km. del punt A més proper d'una costa recta. Vol anar a un punt B de la costa a 6 Km. d'A, i pot remar a 3 Km/h i caminar a 4 Km/h. On ha de desembarcar per arribar a B l'abans possible?.

Solució: a 3,4 Km. d'A en direcció a B.

17.- Una fàbrica de DVD decideix introduir al mercat un nou model. El departament de màrqueting de l’empresa estima que la relació entre la demanda x del producte, mesurada en unitats, i el preu de venda p de cada unitat, mesurat en euros ve donada per l’expressió

p=2

x600 −

Els costos de producció estimats responen a la fórmula C(x)=8000+60x

Determineu:

a) la demanada en funció de p

b) els costos C(p) en funcó del preu

37

c) els ingressos I (p) que rep el fabricant per la venda d’aparells, en funció del preu

d) el benefici B(p) del fabricant per la venda d’aparells, en funció del preu

e) el preu per al qual el benefici és màxim, i trobeu quin és el benefici màxim i el nombre d’unitats venudes corresponent.

18. Un equip de treballadors ha de fer una collita en un camp de pomeres a partir del dia 1 d’octubre i treballant un sol dia.

Si treballen el dia 1 d’octubre podran collir 60 tones i el preu serà de 2000€/tona.

Per cada dia que passi a partir del dia 1 d’octubre la quantitat augmentarà en una tona per dia, però el preu d’una tona disminuirà en 20€ cada dia.

a) Determina la fórmula que expressa elsingressos depenent delnombre de dies que es deixen passar per fer la collita.

b) Calcula quants dies han de passar perquè els ingressos siguin màxims.

c) Calcula quin és el valor màxim d’aquests ingressos

d) Calcula quants dies han de passar perquè els ingressos siguin els mateixos que si la collita es fa el dia 1 d’octubre