Matemàtiques – I Sol PE 2.16-17 - 1/5

PE 2.1.- Resoleu les equacions trigonomètriques següents : a) 2sin2 x - 2cos2 x = 1 b) cos2 x – sin2 x + tg2 x = 1 c) 4 sin x + sec x = 0 d) cos (2x) + 7 cos x = -4 e) 1+3cos 2x = 5 sin(-x)

a) 2sin2 x - 2cos2 x = 1 ⇒ 2(sin2 x – cos2 x )= 1 ⇒

-2 (cos2 x – sin2 x )= 1⇒ -2 cos (2x) = 1 ⇒ cos(2x) = -0.5 ⇒

⇒ 2x= ± 2π/3 +2kπ ⇒ x = ±π/3 +kπ. b) cos2 x – sin2 x + tg2 x = 1 ⇒ cos2 x – sin2 x + tg2 x = sin2 x + cos2 x ⇒

tg2 x = 2sin2 x ⇒ 2sin2 x- tg2 x = 0 ⇒ 2sin� x − �� ��� = 0 ⇒

sin� x · �2 − ���� � = 0 ⇒

⟹ � sin� x ⟹ x = ����π2 − ���� ⟹ cos� x = �� ⟹�� �±√�� ⟹ x = �"��·��

c) 4sin x + sec x = 0 ⇒ 4sin x = -sec x ⇒ 4sin x = -1/cos x ⇒ ⇒ 4sin x cos x =-1 ⇒ 2sin(2x)=-1 ⇒ sin(2x) = -0.5 ⇒

2# = �−$ 6&5$ 6& + 2)$ = �−$ 12& + )$5$ 12& + )$ d) cos(2x) + 7 cos x = -4 ⇒ cos2x – sin2x + 7 cos x = -4 ⇒ ⇒ cos2x – 1+ cos2x + 7 cos x + 4 = 0 ⇒

⇒ 2cos2x + 7 cos x + 3 = 0

cos # = +,±√-.+�-- = +,±/- = 0 −1 2&−3 ∉ 3−1,15 ⇒ x = ±2π/3+2kπ .

e) 1+3cos (2x) = 5 sin(-x) ⇒ 1 + 3 cos2x - 3 sin2x = -5 sin x ⇒ ⇒1 + 3 – 3 sin2 x – 3 sin2 x + 5 sin x = 0 ⇒ ⇒ 4 – 6 sin2 x + 5 sin x = 0 ⇒ – 6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0 ⇒

⇒ sin # = +/±√�/�67+�� = +/±��+�� = 016 12& ∉ 3−1,15−1/2 ⇒

⇒ # = 9−π/6 + 2kπ7π/6 + 2kπ

Matemàtiques – I Sol PE 2.16-17 - 2/5

PE 2.2.- Calculeu l'altura d'una torre que veiem sota un angle de 45º i que 10 m més

enrere, la veiem sota un angle de 30º. L’enunciat es pot concretar amb el gràfic, on h és l’altura

de la torre i d la distància inicial al peu de la torre. Se’ns defineixen dos triangle rectangles

<= 45 = ?@ ⟹ 1 = ?@ ⟹ ℎ = B

<= 30 = ?@��C ⟹ √DD = ?@��C ⟹ �√D = ?@��C ⟹

ℎ + 10 = √3ℎ ⟹ 10 = √3ℎ − ℎ ⟹

ℎ = 10√3 − 1 = 5E√3 + 1FG

PE 2.3.- Trobeu l'àrea d'un rombe de costat 6m, sabent que un dels seus angle interiors

és de 3π/4.

A= base · altura = 6·h = 6 · 6 sin (3π/4)

H = 6 · 6 √22 = 18 · √2G�

PE 2.4.- Les diagonals d'un rectangle amiden 26 cm. i l'angle que formen és de π/6.

Trobeu la superfície i el perímetre d'aquest rectangle.

12

13·sin aπ

= 12 13·cosbπ

=

Area rectangle = B·H = 2b·2a .

6sin ·13·2

12 cos·

12sin ·2·13·2

12 13·cos·2·

1213·sin 2· rect Area 22 πππππ

===

222 16913

2

1·13·2 rect Area cm===

Perímetre = 4a + 4b ⇒ 12

·cos13·412

4·13·sin Perππ

+= ⇒

Matemàtiques – I Sol PE 2.16-17 - 3/5

26

cos113·4

26

cos-14·13· Per

ππ+

+=⇒

4

32·13·4

4

3-2·13·4

22

31

13·4 22

3-1

4·13· Per+

+=

+

+=⇒

+

+−

=2

32

2

32·13·4 Per ⇒

cm

++−= 3232·13·2 Per .

PE 2.5- Trobeu l’àrea de la corona circular formada pels cercles inscrit i circumscrit a

un triangle equilàter de costat 5m

Considerant el triangle

és clar que : 3

·sin2

5 πR= i

3·cos

πRr = .

3·sin

2

5 πR= ⇒ 3

5

2

32

5

3sin2

5===

πR

3

·cosπ

Rr = ⇒ 32

5

3·cos

3

5==

πr .

Amb el que AC= π R2

2

2

2C 3

25

3

5R A m

πππ =

==

2

2

2I 12

25

3·4

25

32

5r A m

ππππ ==

==

2IC 4

25

12

25

3

25AAcorona Area m

πππ=−=−=

PE 2.6.- Calculeu l'àrea d'un dodecàgon regular inscrit a

una circumferència de radi 7m.

ÀKLM <KNMO=PL = ,·?� = ,·, �QR� = -6- G�

Àrea dodecàgon = 12·(Àrea triangle) = 147 m2

Matemàtiques – I Sol PE 2.16-17 - 4/5

PE 2.7.- Per reforçar l’estabilitat d’una torre de 12 m d’altura li volem posar quatre cables tensors que vagin des de el punt més alt de la torre fins a quatre tres punts del terra, que coincideixin amb els vèrtex d’un quadrat del que el peu de la torre n’és el centre. Si volem que l’angle que formin aquests tensors amb el terra sigui

de π/3 rad. Quina longitud de cable tensor necessitarem? A quina distància del peu de la torre estaran les fixacions dels tensors?

Si t és la longitud d’un tensor i d la distància d’una fixació al centre la torre, el dibuix ens mostra que són quatre triangles rectangles. i per tant

12 = < · sin $3 ⟹ < = 12sin SD = 12√D�

= 8 · √3

B = < · cos $3 ⟹ B = 8 · √3 · 12 = 4 · √3

Amb el que necessitarem 4 · 8 · √3 = 32√3G de cable tensor. I cada fixació estarà a 4 · √3 G del peu de la torre.

PE 2.8.- a) Trobeu l’àrea d’un octàgon regular de costat 7m. b) Si li numerem els vèrtexs des de l’1 fins al 8 i unim el vèrtex 2 amb el 4,

el 4 amb el 6 i el 6 amb el 8, obtenim un quadrat. Trobeu l'àrea d’aquest quadrat

Unint els vèrtexs amb el centre, se’ns formen 8

triangles isòsceles on el costat i angle desiguals tenen 7 m i

T- rad . Si dividim aquets triangles en 2, obtenim:

On és clar que X�Y = tg T. ⇒ r = X�\] �̂ ⇒ i la seva àrea és:

A\ = �� · X�\] �̂ · ,� = -6. · �`�abcd �"�ebcd �"

= -6. `���� �"�+�� �" = -6. `��√���+√�� = -6. f��√��+√� =

= -6.fE��√�F�

√� = -6. · ��√�√� = -6. · �√���� = -6. · E1 + √2F.

I per tant l’àrea de l’octàgon és:

A = 16 · A\ = 16 · -6. · E1 + √2F = 98 · E1 + √2F. m� .

Matemàtiques – I Sol PE 2.16-17 - 5/5

b) Si ens fixem en el quadrat, veiem que la seva àrea és 2·R2. Treballant sobre el mateix triangle que l’apartat a, tenim que

X�j = sin T.

R = X���̂ = ,�·`�abcd �"�

= ,�·`�a√���

= ,�·f�a√�"

= ,l�+√�

Amb el que l’àrea del quadrat és

Am = 2 · n ,l�+√�o� = 2 · -6�+√� = 2 · -6·E��√�F� = 49 · E2 + √2F m�.