1

Matemàtiques de l’anticEgipteTreball de recerca

Maria Perramon Saura

2n. Batxillerat D

Treball de recerca

Tutor: Daniel Bentué

Curs 2008-2009

2

Índex

1. Pròleg pàg.3

2. Introducció. pàg.7

3. Bloc 1. Orígens de la matemàtica Egípcia pàg.8

3.1. Escriptura pàg.8

3.2. Numeració jeroglífica pàg.9

3.2.1. Fonemes de la numeració egípcia pàg.10

3.3. Fraccions pàg.10

3.4. Mesures pàg.13

3.4.1. Mesura de longitud pàg.13

3.4.2. Mesura de superfícies pàg.15

3.4.3. Mesura de capacitat pàg.15

3.4.4. Ull d’Horus. El mite de les subdivisions de heqat pàg.16

3.5. Escriptura hieràtica pàg.19

3.6. Jocs d’escriptura i símbols numèrics pàg.20

3.7. Cosmologia egípcia pàg.23

3.7.1. Calendari egipci pàg.23

3.8. Documentació matemàtica pàg.25

3.8.1. Papir Rhind pàg.25

3.8.2. Papir de Moscou pàg.25

3.8.3. Papir de Berlín pàg.26

4. Bloc 2. Aritmètica pàg.27

4.1. Suma i resta pàg.27

4.2. Multiplicació i divisió. pàg.27

4.2.1. Pas a pas. Procés de multiplicació pàg.27

4.2.2. Procés de divisió pàg.28

4.3. Equacions i sistemes d’equacions pàg.28

4.4. Superfícies i àrees pàg.30

4.4.1. Superfícies rectangulars pàg.31

4.4.2. Superfícies triangulars pàg.32

4.4.2.1. Teorema de Pitàgores pàg.33

4.4.2.2. Àrea del trapezi pàg.34

4.4.2.3. Àrea del trapezoide pàg.36

4.4.3. Àrea d’un cercle pàg.36

4.4.3.1. Número pàg.37

3

4.4.3.2. L’àrea d’un cercle per “Pitàgores” pàg.38

4.4.3.3. Àrea d’una semiesfera pàg.40

4.4.4. Volums pàg.40

4.4.4.1. Volum d’un cub o base rectangular pàg.40

4.4.4.2. Volum d’un cilindre pàg.41

4.4.5. Piràmides truncades pàg.41

5. Bloc 3. Piràmide de Kheops pàg.45

5.1. Volum de la piràmide de Kheops pàg.46

5.2. Apotema de la piràmide pàg.46

5.3. Inclinació de la piràmide pàg.47

5.4. El número pàg.48

5.4.1. El teorema de Fibonacci pàg.48

5.4.2. El pentàgon pàg.50

5.4.3. Relació de Phi amb la piràmide pàg.50

5.4.4. Relació de Pi amb la piràmide pàg.51

6. Bibliografia pàg.52

7. Conclusió pàg.54

4

1. Pròleg (carta a la Maria)

Maria, celebro molt que t'hagis decidit fer un treball sobre la matemàtica i

l’arquitectura a l'antic Egipte. El desenvolupament de les matemàtiques es deu

a la necessitat de resoldre problemes d'ordre pràctic, repartir menjar entre els

treballadors, fer construccions, preveure el temps atmosfèric,… tanmateix la

matemàtica es desmarca aviat de la ciència i pren el seu propi camí perquè la

ciència parteix dels fets (conclusions) per arribar a les lleis que els expliquen

(les premisses), mentre que la matemàtica és deductiva i parteix dels axiomes

(premisses) per arribar als teoremes (conclusions). La ciència és sempre

provisional mentre que la matemàtica és eterna. La realitat física l'anem

descobrint i redescobrint contínuament, mentre que la matemàtica es va

ampliant. Aquelles operacions matemàtiques emprades pels egipcis, al cap de

milers d'anys continuen tenint la mateixa validesa.

La matemàtica, a més, ha arribat a ser espiritual i, com és això? Doncs

veuràs, la raó àuria és bella per la seva simplicitat, és un número, i a la vegada

en l’expressió de la raó àuria hi sublimem moltes idees.

El matemàtic, com el pintor o el poeta és un constructor de models. La

bellesa del model augmenta quan la seva utilitat es fa universal i eterna, com la

raó àuria, que és aplicable per a explicar l’expansió de l’univers, els canons

estètics, els pentagrames musicals, la disposició de les pipes en un gira-sol o la

forma d’un cargol.

5

Celebro la teva elecció perquè les matemàtiques a l’arquitectura no

solament t’aproparan a la tècnica, la qual cosa és molt important ja que a la

vida hem de tenir contacte amb la realitat i tocar de peus a terra, sinó també

t’apropen a la saviesa que, com la matemàtica, és coneixement útil per

universal i atemporal.

……….…

Les noves tecnologies de la informació ens posen tant a l’abast el

coneixement que cada dia les matèries científiques es tornen més i més

interdisciplinaris. Per aquesta raó vull explicar-te que em suggereix a mi el tema

d’Egipte. Potser aquesta reflexió que et faig com a economista et pugui servir.

El pare de l’economia moderna, Adam Smith, va inventar un concepte

que anomenava la “mà invisible”. Imagina’t la quantitat de persones que hi ha al

món i lo difícil que podria ser organitzar a tanta gent. En canvi no és difícil quan

hi ha uns mecanismes automàtics que fan que tothom sàpiga que ha de fer. I

això son els mercats. Per guanyar-se la vida es tracta de ser competitiu.

Doncs això ens ho explicava Adam Smith en el segle XVIII, fa quatre

dies, si tens en compte la durada de civilitzacions anteriors, com Egipte que

durà 4000 anys. Una eternitat!

Doncs bé, fa temps que m’interesso per descobrir si hi havia

mecanismes automàtics o mans invisibles en les grans civilitzacions. Encara

que no hi havia tanta gent, aquests imperis antics també eren grans i extensos i

havien de ser difícils d’organitzar. A part el poder el tenen les persones i tal

com és la naturalesa humana les accions dels governants solen estar regides

per l’ambició a curt termini i no pas per la cooperació. Això també passa amb

algunes col·lectivitats animals. Les termites tenen molt poc desenvolupada la

intel·ligència i en canvi realitzen en cooperació unes construccions complexes.

En el cas dels humans, Adam Smith mostrà que en determinades

circumstancies on actuen aquests automatismes socials, el comportament

individualista pot acabar sent una bona manera de cooperar entre els individus

i sobreviure socialment. Aquesta és la qüestió doncs, saber quins són els

mecanismes automàtics que fan que tota l’organització funcioni sense cap

direcció centralitzada aparent.

6

En primer lloc l’economia d’Egipte depèn del Nil. Els egipcis van

aprendre a aprofitar cada cop millor aquest recurs natural. Van fer

embassaments, canals,…Segons Adam Smith 1 els canals que permetien la

navegació fluvial entre els pobles més importants serien una de les causes més

importants del precoç progrés egipci.

Però a part d’això, hi ha el problema cabdal de com s’organitzava aquell

imperi. Els Faraons representaven el mateix Egipte, era l’Estat i es composava

de militars, sacerdots, funcionaris, nobles…. Certs cortesans tenien terres que

les cedien a camperols qualificats. Els soldats també aspiraven a aconseguir

terres. L’Estat cobrava impostos als propietaris agrícoles; més impostos quan la

collita era bona i menys si era dolenta. La collita depenia de l’aigua de manera

que el cobrador d’impostos prenia la lectura dels nilòmetres i cobrava segons

havia anat la cosa. Aquí trobem un primer mecanisme automàtic: tots hi

guanyen si s’aprofita bé l’aigua i l’estat no escanya la població, la qual cosa

seria també el seu final.

L’Estat també paga els que treballen per a les obres o la seva

organització. No tenien moneda, que sol ser un altre mecanisme d’organització

automàtica en moltes civilitzacions. La principal funció de la moneda que la de

informar dels costos relatius d’unes coses respecte les altres la suplien amb un

sistema de repartiment pel qual van haver de desenvolupar certes idees

matemàtiques. Per tant el sistema de repartiment també es un automatisme a

considerar.

M’imagino que hi ha també altres automatismes socials tal com la

renovació del poder. Els egipcis tenien escoles i això és símptoma de que hi

havia aquests mecanismes de renovació. A La Casa de la Vida , s’impartien

estudis avançats als que tenien accés, escribes i sacerdots i s'estudiava

medicina astronomia i matemàtica. A la Casa Jeneret s’hi educaven les dames

de la Cort. També hi havia escola militar a la que hi podien accedir els fills de

famílies de cert nivell.

Finalment hi un altre fenomen importantíssim en la cooperació entre

individus, és a dir, en la organització de grans col·lectius, que és la il·lusió. Ja

veus el Barça: el que es pot arribar a fer per una pilota ! Una constant en el

                                                           1 La riquesa de les nacions, 1796, p.38

7

que ha motivat la il·lusió col·lectiva han estat les grans construccions. Fa poc-

l’any 2004- a França van inaugurar el viaducte de Millau; una obra sensacional.

Doncs resulta que espontàniament s’han organitzat autocars que porten

turistes que el volen veure. Un altre cas ben proper el tens amb la sagrada

Família a Barcelona. Sembla ser que als homes els ha agradat de sempre tot

allò que és colossal. I això és una constant en les civilitzacions; de manera que

aquest valor que donem a allò colossal, en tant que valor, sembla més fort que

altres concepcions del valor com l'associada al diner, per exemple. Per això

crec que la construcció te molt a veure amb la longevitat dels imperis, perquè

pot servir per generar riquesa- és el cas dels canals- però també perquè pot

posar en marxa de manera sòlida gràcies a aquesta il·lusió col·lectiva una sèrie

de mecanismes d'organització social automàtica - podria ser el cas de les

piràmides.

En tot això que t’he explicat Maria, hi ha moltes hipòtesis, les meves

cabòries, ja ho veus. La tasca dels investigadors és informar-se i anar

comprovant si aquestes hipòtesis tenen fonament o si n’hi ha unes altres més

admissibles. Això és el que et toca fer a tu amb aquelles creences que et vagis

formant i que aniràs contrastant. I mentrestant també aniràs creixent

intel·lectualment i humanament.

Petons del teu pare

Sant Adrià de Besòs, octubre de 2008

Quim

8

2. IntroduccióL’antic Egipte, considerat la civilització més antiga de la història, estava situat ala part est del Nord d’Àfrica, al voltant de l’alt i el baix riu Nil, on es formaren l’alti baix Egipte. La seva durada comprèn des de prop de l’any 3150 aC fins al’actualitat, passant, doncs, per vàries etapes:

Període dinàstic antic

Imperi Antic

Primer període intermedi

Imperi mitjà

Segon període intermedi

Imperi Nou

Tercer període intermedi

La conquesta de les terres egípcies per l’Imperi Romà, les tropesfranceses, gregues i la dominació de l’ Islam.

Amb tot, el que intento explicar és la impressionant deducció amb queresolien aspectes rutinaris, com és el càlcul dels volums i terrenys que elspermetien organitzar de manera cooperativa la societat o la recursivitat dediferents mètodes per fer bones construccions. De fet, algunes de lesconstruccions fetes a aquella època són reconegudes encara com a gransedificacions, de les quals en destaco la piràmide de Giza.

9

Considero molt interessant el fet que els egipcis, tot i que, en principi, noconeixien la roda, poguessin construir una piràmide cada pedra de la qual valiadues tones i mitja.

Per una altra banda, m’agradaria destacar que les interpretacions del’escriptura egípcia no haguessin estat possibles sense la Pedra de Rossetta,una estela que consta d’una inscripció bilingüe entre el grec i l'egipci (escripturajeroglífica, demòtica i grega en lletres majúscules)

En referència a l’estructura del text, aquest treball està dividit en tresblocs:

Primer bloc. Actua de referència en alguns aspectes pràctics, com arales mesures o els papirs. També s’explica l’escriptura, que crec que ésuna informació necessària.

Segon bloc. A partir d’aquí considero que el treball és molt més pràctic ivisual, per la qual cosa, he introduït un nombre considerable d’imatges.

Tercer bloc. És un apartat dedicat a la piràmide de Kheops i lesproporcions que hi van relacionades.

Per últim, m’agradaria donar el meu agraïment al meu tutor de treball, DanielBentué que ha fet el possible per entendre aquest món matemàtic i a la mevafamília (Pare, mare i germà) que m’han recolzat i ajudat sempre que els ho hedemanat.

3. Orígens de la matemàtica egípcia

Al voltant dels 3000 aC, es considerava que la societat dels egipcis estavadesenvolupada en aspectes socials, econòmics i psicològics. Un cop cobertesles necessitats per a la supervivència i l’ordre, els egipcis varen començar atenir necessitats administratives i comercials que els dugueren a introduir laseva pròpia escriptura i numeració.

3.1. Escriptura

Ens basem en el començament de l’escriptura a partir dels jeroglífics.

Jeroglífics. L’arrel de l’escriptura egípcia. Foren definits i consideratscom l’expressió de les paraules divines.

En les primeres èpoques, el jeroglífics feien únicament la funció derepresentar les formes o objectes amb sentit complet. En definitiva, estavenbasats en el que avui en dia s’anomena pictografia: significa el que representa.

Tot i així, considero que els egipcis no trigaren en adonar-se de la granlimitació i ,alhora, relativitat que tenia aquest mètode.

10

Per una part, els era impossible representar idees abstractes, ideespròximes i accions. A més, un pictograma podia variar de significat segons lament que la tractés, en altres paraules: era massa relativista.

Vistos els grans inconvenients del recurs pictogràfic, els egipcisdecidiren fer actuar el fonetisme com a pilar principal de la seva escriptura.

11Novament ara tindrem en comptela divisió de components i l’ús dedeterminants.

Tot símbol tenia un valor fonètic que,

agrupant-lo amb altres, aconseguia transcriureuna paraula.

Tot seguit, es col·loca un determinantque, independent del seu fonema (ja que tampoc es pronuncia), concreta elsignificat del conjunt.

Cal destacar que l’escripturaegípcia era consonàntica, malgratque, en el transcurs oral de lallengua, també s’hi afegissin vocals.

Exemple:

Voltor = NeRet

S’escrivien les consonants NRT mentre que a la parla es pronunciavenambdues e.

3.2. Numeració jeroglífica

11En el seu naixement, la numeració egípcia estava composta d’un llistat dejeroglífics per a les unitats icadascuna de les potències de10 (fins a 106).

Unitats. D’origennatural, és un signe present entot moment històric.

Desenes. Prové de deldibuix de la corda que serviaper lligar deu pals (o unitats).

Centenes. En certsnombres, com ara lescentenes, desconeixem de certun origen, no obstant, davant

del dubte es funda una teoria.

11SeT = dona. Compost per un pany (S) + trosde pa (T) + determinant (silueta dona)

Imatge 1. Exemple de dos jeroglíficsacompanyats per un determinant (orange =taronja)

11

Probablement aquest jeroglífic té una presència a causa de la seva fonètica, ala que també hi correspon la paraula que s’usa per lescentenes.

Una altra possibilitat seria considerat que l’espiral reprodueixi la mesurade longituds que s’utilitzava durant aquella època.

Milers. La flor de lotus era molt abundant al voltant del Nil. Malgrat això,també pot estar considerada pur interès homogràfic.

Desenes de miler. Les desenes de miler representen un dit aixecat ibreument flexionat.

S’explica que durant l’antiguitat els egipcis van arribar a contar, mitjançantdiferents posicions dels dits, fins a 9.999.

Centenes de miler. Cap la possibilitat que, a causa de la sevaabundància en alguns períodes de l’any, el capgròs acabés simbolitzant ungran nombre. Aquest, però, també podria arribar a ser un cas d’identitat per a lafonètica.

Milió. De representació relativa, les teories més lògiques d’aquestnombre són, en primer lloc, la seva fonètica, la qual també era usada perreferir-se a un milió d’anys o eternitat.

D’altra banda, la seva forma podria provenir de la idea que un geni,sostenint una volta celestial, que pren consciència de l’abundància d’estels.

Deu milions. Representat per mitjà d’un sol, com a imatge del déu Ra

És un jeroglífic poc usual, a causa de la gran quantitat numèrica querepresenta.

Exemple transcripció jeroglífica:

0000

Imatge 3

3.2.1. Fonemes de la numeració egípcia.

Imatge 2 Jeroglífics de les potències de 10 fins al milió

12

1 W [wa] 10 Md [medj]

2 Snw [sénou] 20 Dwty [dwetye]

3 Hmt [khémet] 30 M’b’ [m’aba’]

4 fdw [fédou] 40 Hm [khem]

5 Díw [diwou] 50 díyw [diyou]

6 Srsw [sersou] 60 Sí

7 Sfh [séfekh] 70 Sfh [séfekh]

8 Hmn [khémet] 80 Hmn [khémen]

9 Psd [pesedj] 90 psd [Pesedj]

St [Shet] H’ [kha’] Db’ [djebe’] hfn [hefen] hh [heh]

100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

3.3. Fraccions

11Per plasmar una fracció, els egipcis empraven el jeroglífic d’una boca.S’explica que boca i part eren homògrafs (part/ boca = eR).

Per fer una fracció, tan sols calia afegir unnombre, de manera que el nombre afegit fa la funció dedenominador.

Un altre aspecte és el fet d’aconseguir unnumerador diferent a 1: s’ha de descompondre la fracciódesitjada. Per exemple:

=

Generacions d’escribes havien elaborat una taula per anotar cadascunade les igualtats de fraccions possible. Aquesta estava composta per unacolumna que representava la descomposició de fraccions amb numerador 2 iun nombre imparell (entre 3 i 101) com a denominador. El problema,però, erasaber quina igualtat era la més adequada per a representar el nombre escollit.

Imatge 4 Exemple d'unjeroglífic representant unafracció.

13

0000

Òbviament els escribes no podien pensar en cadascuna de les igualtats pertriar-ne la més convenient, ja que, cap els anys 60, gràcies a un programainformàtic es va poder arribar a aconseguir 22.295 igualtats. Per aquesta raó,R.J. Gillings va idear una teoria en la que es descriuen cinc principis bàsics pera seleccionar ràpidament quina és la igualtat ideal.

1. Sempre és preferible la igualtat amb el menor denominador.

2. Es tria la combinació amb el menor nombre d’igualacions possible.

3. El denominador ascendeix i no es repeteix.

4. Si la igualtat amb el denominador menor (sempre de la primera fracció)és el més petit però, en canvi, la fracció que el segueix ésdesproporcionadament major en comparació amb les altre igualacions,aquesta combinació haurà de ser descartada.

5. Són preferibles els denominadors imparells als parells.

Exemple:

- Aquesta fracció té 1967 possibles igualtats i, gràcies al segon principi, enseleccionem només les compostes per dos termes.

- Queden 7 igualtats:

14

;

- La segona, tercera i cinquena es descarten pel cinquè principi. A més, lasetena igualtat queda també descartada pel tercer principi.

; ;

- Veiem que 24<30<360. El 24 és el denominador més petit encara que lafracció és descartada, ja que, segons el quart principi, la relació entre 90i 360 és desproporcionada a diferència de 24 i 30. Per una altra banda,30<60 i 90 no estableix una relació notablement desigual amb 60.

- Finalment, valorem com a ideal la igualtat:

=

La numeració egípcia, però, també comptava amb fraccions especials, que esrepresentaven amb un símbol específic:

11½ (GeS = meitat)

11 ⅔ (dues parts)

11¾(tres parts)

15

3.4. Mesures

3.4.1. Mesures de longitud

Gràcies a la investigació de la Pedra de Palermo2 els egiptòlegs foren capaçosde trobar la primera mesura oficial usada per descriure l’altura del riu Nil. Perexemple:

Setè any. Aparició del rei de l’Alt Egipte i naixement de Min. L’altura delNil és de cinc colzes.

Vuitè any. Adoració d’Horus i naixement d’Anubis. L’altura del Nil és desis colzes i un pam.

Novè any. Primera aparició de la festa Seth. L’altura és de quatre colzesi un pam

Per tant, la mesura definida fins aquell moment, havia estat el colze (Meh),juntament amb les seves subdivisions, el pam (Shesep), el dit (Yeba) i el peu,de les quals se’ns esmenta la relació de longitud en varis problemes del PapirRhind. Altres unitats fraccionaries més grans que el colze eren la Vara (Jet) i elriu (Iteru)

1 colze = 7 pams 1 pam = colzes

1 pam = 4 dits 1 dit = pams

1 colze = 28 dits 1 dit = colzes

1 vara = 100 colzes 1 riu = 20.076 colzes

1 peu = 4+ pams

En referència a l’equivalència entre colzes i centímetres, la seva fontd’investigació prové del problema 41 de volums del Papir Rhind:

A partir de les seves dimensions, expressades en colzes, s’obté lacapacitat d’un graner. A l’hora de multiplicar les tres dimensions obtenim colzescúbics, els quals són transformats per l’escriba per expressar una nova unitat,el khar.

                                                           2 Estela redactada en la V dinastia de l’antic Egipte (2452-2442 aC) en la que es mencionen els reisprehistòrics egipcis fins Neferirkare.

16

1 khar = colzes cúbics

Mesura que es relaciona amb una altre, el hin.

1 khar = colzes cúbics = 200 hin

D’aquesta darrera unitat de mesura se n’han trobat dades que la relacionenamb el cm3 i, com a conseqüència, amb centímetres.

1 colze cúbic = 300 hin = 143.056 cm3

1 colze = 52,37 cm = 0,5237 m (S.I.)

Finalment, un cop deduït el valor del colze en centímetres podem saber elsvalors de les seves subunitats: el pam i el dit.

11

1 pam = 7,5 cm

1 dit = 1,8 cm

1 peu= 36 cm

1 vara = 52,3 m

1 riu = 10,5 km

No obstant, el terme colze no sempre tenia elmateix valor, sinó que era classificat en colze real

o colze curt (o petit).

11El colze real, que tenia una longitud de 52,3 cm (o7 pams), s’usava per a la descripció de cultes, construccióarquitectònica i mesura dels camps, mentre que el colzecurt ,que equivalia a una longitud de 45 cm o 6 pams, esfeia servir com a referència en les formes artístiques.

Malgrat tot, el colze era massa petit com per mesurarlongituds de camps, ja que, usant nombres grans, lesoperacions hagueren estat més difícils i molt pocpràctiques. Així, aquest fet donà origen a un múltiple delcolze, el khet.

1 khet = 52,3 m = 100 colzes

Imatge 5 Referència gràfica delpam, el peu i el dit

Imatge 6. Referència gràficaal colze

17

3.4.2. Mesura de superfícies

És a l’Imperi Nou quan sorgeix la necessitat de precisar les superfíciesterrenals. Aquesta evidència, que sorgia dels papirs administratius,lademostraven fets pràctics com, entre d’altres coses, l’efectuació dels cens ideterminació de impostos pel temple.

La unitat de mesura de les superfícies era el setat. Un setat equival a lasuperfície del quadrat de 1 khet de longitud. Per tant:

11

1 khet = 100 colzes = 52,3m

Aquadrat = (52,3m)2 = 1 setat

1 setat = 2.735,29 m2 = 2,75 hectàrees = 10.000colzes quadrats

Era una mesura gran i per això no era útil per a terres petites desacerdots, camperols, soldats o altres. En definitiva, van començar a aparèixer

subunitats: el , el i el de setat i, més tard, el , el de setat i el colzede terra, del qual s’explica l’equivalència amb el setat en el problema 55 delPapir Rhind, on s’observa la formació d’un camp de 3 setat extraient parts

iguals de cinc camps que té com a resultat l’expressió de setat:

de setat = ( ) de setat

L’expressió no és habitual, i l’escriba la descriu en colzes de terra.

de setat = 10 colzes de terra

de setat = 1 colze de terra = 100 colzes quadrats = 27,3m2

Imatge 7

18

3.4.3. Mesura de capacitat

Normalment, volum i capacitat eren dos valors que estaven presentatsconjuntament i de manera indiferenciada.

Per una part, definim volum com la capacitat d’un cos per ocupar unespai i, per una altra, la capacitat com el valor màxim que té un espai percontenir un volum (o cos).

Ambdós aspectes eren usats en aspectes tipus rural on es calculava lacapacitat d’un cistell o recipient per poder guardar l’aliment.

A partir del procés de transformació que fa l’escriba al problema 41 delPapir Rhind, podem definir les unitats de volum i les de capacitat:

Es tracta de calcular la capacitat d’un graner cilíndric d’un cert diàmetre,base3 i altura el volum del qual acabava tenint com a resultat 640 colzes cúbics.

L’escriba, que pretén passar de volums a capacitat, té en comte unfactor: l’espai entre cadascun dels grans introduïts al graner. I sabent-t’ho, obtéla meitat del volum i després la suma amb aquest.

En definitiva, obtenim que

colzes cúbics = 1 khar

Hem de tenir en compte que 1 colze cúbic és el mateix que 300 hin queequival a 143.056 cm3

1 khar = 95.370 cm3

Una altra mesura, usada per el gra i la civada, és el heqat i el seusmúltiples, el heqat-cuádruple i el jar.

1 heqat = 4,785 litres 20 heqats = 1 khar

1 heqat-cuádruple = 4 heqats = 19,14 litres

5 heqat-cuádruples = 1 jar = 95,7 litres

                                                           3 La fórmula per calcular el volum d’un cilindre avui en dia és (àrea per altura).No obstant

això, els egipcis encara no havien definit el nombre . Més endavant, però, faig referència a les àrees.

19

3.4.4. Ull d’Horus. El mite de les subdivisions de heqat

El mite de l’ull d’Horus comença quan Nut, deessa del cel, desposseeixsecretament a Geb, déu de la Terra.

11Ra, que se n’assabenta, llança un encanteri a Nut per impossibilitar-litenir fills en qualsevol dia de l’any.

Tenint en compte , doncs, que les creences posteriors a

aquest mite eren que un any durava 360 dies, Tot, mestre supremde l’aritmètica, la paraula, l’escriptura, protector de la lluna i regentdel temps i del calendari tant humà com diví, enamorat de Nut, decideix ajudar-la.

Primerament fa una partida de daus amb la lluna, a qui acaba guanyant.La lluna, reconeixent la seva derrota, li dóna part del seu foc i llum que qualsTot usa per fabricar 5 dies més a l’any, és a dir, dóna a Nut cinc dies que nofiguraven al calendari, durant els que ella té la possibilitat de donar a llum, I téun fill per cada dia regalat: Osiris, Haroeris, Seth, Isis i Neftys.

Més tard, quan hagueren crescut, Osiris es coronà rei d’Egipte i rescatàels egipcis de la societat totalment salvatge i poc desenvolupada en la quevivien. Unificà l’alt i baix Egipte i els atorgà coneixements sobre l’or i el bronze,el menjar i els cultius, la natura, la fabricació d’armes i utensilis, les lleis i, ambl’ajuda de Tot, també els va facilitar els principis de l’escriptura, la màgia, laciència i el respecte, tant cap els déus com als humans.

11Mentrestant, però, Seth, conegut com la reencarnació del mal, gelósdel seu germà, creà un pla per destruir-lo.

Prèviament, Seth reuneix 62 aliats i, ensecret, prengué mesures d’Osiris per fer un bellcofre. Un cop enllestides aquestes dues tasques,organitzà una festa en honor a Osiris, on hi vaportar el cofre. A mitja festa, Seth, va sortejar elcofre entre tots els convidats per al que hi cabésa la perfecció. Òbviament, amb el propòsit queaquesta persona fos el seu germà. Aquest, uncop entrà al cofre, va ser tancat a traïció pels 62aliats de Seth que, a més, van clavar i segellar latapa amb el propòsit d’avocar-lo cap el riu Nil.

Com és natural, Osiris mor i va a parar a laribera de Biblos.

Isis, esposa i germana d’Osiris, demanàdesconsolada l’ajuda a Tot que li donà el coratge per anar a buscar el seucadàver.

Isis el cerca fins a trobar-lo i més tard amagar-lo per Egipte.

Imatge 8

Imatge 9 Osiris al centre i a ambdóscostats l'ull d'Horus, el seu fill

20

Seth, però, trobà el cadàver i va partir en catorze parts, de les quals lapart sexual va acabar essent devorada. No obstant això, Isis no es va deixarvèncer amb facilitat i comença una nova busca per trobar les 13 parts avocadesal Nil per Seth.

A la fi, aconseguí reunir-les i, amb l’ajuda de Neftys, reconstruir el cos.Seguidament, Tot i Anubis el van momificar, amb la qual cosa el feren immortali així quan Osiris va renéixer, ho feu com a déu dels morts.

Temps després Isis dóna a llum secretament a Horus.

Educat amb esperit de venjança, Horus va créixer preparat en ànima icos per lluitar contra Seth, amb el que va empendre una sèrie de ferotgescombats en un dels quals Seth va arrancar un ull a Horus i, tallat en 6 trossos,el va escampar per Egipte.

Aleshores l’assemblea divina intervé: posa fi a aquesta lluita, sense capvencedor , Horus va ser coronat rei d’Egipte i Seth condemnat a portar persempre el seu germà i ser considerat el déu maleït dels bàrbars i senyor delmal.

Mentrestant, a Tot se l’encarregà la tasca de reunir els sis trossos de l’ulld’Horus per sanar-lo i entregar-se’l al seu antic amo.

El déu Horus era conegut per oudjat.

L’oudjat [WaDJaT] era simbòlic en tot ritual màgic i funerari.

Es va convertir en un dels amulets més importants. L’amulet era untalismà que atorgava “màgia”, llum i coneixement a qui ho portava. Tambésimbolitzava la integritat del cos, la salut, la visió i la fertilitat.

A més era signe diví de la victòria del bé sobre el mal i, per tant, laprevisió de bones èpoques en diferents aspectes de la vida diària.

Si observem l’ull d’Horus, podem apreciar una doble identitat. Esdivideix en dues parts:

Humà: Cella, còrnia i iris.

Falcó: Marques

Per una altra banda, les sis fraccions de l’ull són:

21

0000

Imatge 10 Ull d'Horus fraccionat

4

Totes aquestes fraccions representen subdivisions de heqat a les qualss’afegeixen:

El ro, per a mesurar les quantitats més petites

El henu, normalment usada per a la mesura de perfums.

3.5. Escriptura hieràtica

11Cap els 2500 aC va sorgir la necessitat d’abreviar l’escriptura jeroglífica entextos per d’enumeracions, informes, inventaris, testaments i altres documents.Es per això que l'escriptura jeroglífica només es va mantenir per a actescommemoratius i per raons simplementdecoratives

Amb el pas del temps, l’escripturahieràtica s’anava desenvolupant. Si partimde la seva arrel, podrem comprovar que, toti que a primera vista aparentaria no tenirres a veure, prové de l’escriptura jeroglífica:

                                                           

4 L’absència de l’ es deu a la creença que Tot la proporcionaria a aquell calculador que estigues sota

la seva protecció.

22

- Els escribes simplificaren el traç, enllaçaren els traços, feren ús del signecursiu i, mica en mica, anaren suprimint detalls, fins que, finalment tansols quedarien els traços essencials.

- L’escriptura hieràtica era unidireccional (de dreta a esquerra), un tret ques’ha de tenir em comte, ja que, jeroglíficament es podia escriure tant dedreta cap a esquerra com viceversa.

Una altra característica és que tambéera unidireccional. Si fins ara, en l’escriptura jeroglífica, es podia escriure tantde dreta a esquerra com d’esquerra a dreta, ara, per raons d’adaptació a labase (el papir), únicament s’escriuria de dreta a esquerra.

Anys més tard, als 600 aC, va aparèixer l’última variació de l’escripturaegípcia, la demòtica. Aquesta, però, únicament oferia lleus variacions de lesxifres que havien compost l’escriptura hieràtica.

Exemple transcripció hieràtica:

11

3.6. Jocs d’escriptura i símbols numèrics

Antigament, a Egipte els artesans de la pedra van elaborar jocs gràfics utilitzantcom a imatges els jeroglífics.

El joc consistia en plantejar enigmes amb cadascun d’aquests jeroglífics,és a dir, estem parlant d’un joc de caràcter lògic.

Exemples:

- Número 1

Homofonia de 1 (wa’) amb l’arpó (wa’)

És una unitat

Imatge 11. .Transcripció hieràtica numèricade les unitats, desenes, centenes i milers

Imatge 12

23

És una unitat

Representa la fracció que simbolitza el primer dia o undia del mes.

- Número 2

És la suma de dues unitats (arpó + arpó)

És la suma de dues unitats (sol + lluna)

- Número 3

La suma de tres unitats (arpó + arpó + arpó)

- Número 4

Actualment no hi ha cap explicació

- Número 5

És una flor de cinc pètals

- Número 6

Suma de la flor (5) i una unitat

- Número 7

Els set orificis del cap: dues orelles, la boca, els dosorificis del nas i els ulls.

24

Suma de la flor (5) i dues unitats

Es tracta de la suma de fraccions que simbolitzen

set dies. Per un costat, del mes són dos dies i , comhem vist abans,

- Número 8

Ibis, mitològicament, encarnava a Tot. Aquest era el principalDéu de Hermòpolis, una ciutat que antigament també es deia

Khéménou, ciutat dels vuit.

Es relaciona, per la seva semblança pictogràfica, amb elsigne hieràtic del vuit.

Suma de l’estrella (5) i tres unitats

Suma de la cara (7) i el sol (1)

Suma de la cara (7) i una unitat

- Número 9

El jeroglífic significa brillar, psd en egipci igual que elnúmero 9

Representa una falç i s’explica que manté una relació desemblança d’imatge amb el signe hieràtic del 9

Suma de la flor (5) i quatre unitats

Suma de la cara (7) i dues unitats

- Número 10

El falcó o déu Horus, va ser el primer déu en formar part de laGran Enéada5 per constituir el col·legi diví ampliat a 10

25

- Número 14

Suma del falcó (10) i el pavelló de festes (4)

- Número 15

La fracció simbolitza la meitat del mes, és a dir, 15 dies

- Número 17

Suma del cap (7) i la desena

- Número 18

Aquest jeroglífic representa la suma de fraccions .

Tenint en compte que vol dir “mig mes” (15), veiem que de mes són tres dies.

- Número 19

Suma de la falç (9) i la desena

- Número 20

Suma de dos falcons (10 +10)

- Número 107

Suma del cap (7) i la centena

3.7. Cosmologia egípcia

                                                                                                                                                                             5 La Gran Enéada era la reunió entre nou déus que s’identifiquen amb els elements universals. Aquesta,amb Horus, va ser ampliada.

26

A l’antic Egipte es creia que, degut a la poca diferència que observaven entre elcel, nocturn o diürn, i el Nil, l’univers ( tot el que els envolta) estava format peraigua celestial i que, submergits en aquesta, nosaltres érem un buit, protegitper l’atmosfera. Com si d’un inflable es tractés.

Per la seva part, el Sol, que es transportava a través d’un vaixell, donavallum i se n’anava, a partir del vespre, cap a un indret anomenat Duat, equivalental cel.

3.7.1. Calendari egipci

Els egipcis es van adonar que un any dura 365¼ dies. De tota manera, lesdades d’avui dia ens informen que la Terra triga exactament 365,25636 dies endonar una volta completa a l’òrbita.

Malgrat que la diferència de 0,00636 dies sembli inapreciable, elsegipcis, molt acertadament, idearen una manera que els permetria assabentar-se’n d’aquest fet. Es va construir un estàtua, al temple d’Abu Simbel deRamsés II, la qual s’il·lumina cada vint-i-dos de febrer. Tenint en compte que lacivilització egípcia és de gran antiguitat, per cada 0,00636 dies no comtats,l’estàtua variaria el dia de la seva il·luminació. Posem per cas que, si hantranscorregut 3.200 anys des d’aleshores, ara per ara anirien amb 20 dies deretràs.

Així que l’organització del calendari egipci serà la següent:

11 L’any estàorganitzat en dotzemesos i els primersonze mesos entrenta dies. A més,constava de tresestacions, dequatre mesoscadascuna: akhet(inundació), peret(hivern) ishemú(estiu).

Els cinc diesrestants, esconsideraven a fid’any i el ¼ esmanifestava cada quatre anys amb un diasuplementari.

Per altra banda, els 0,00636 dies es resolien afegint un dia cada 157¼

anys ( ). És a dir, si partim de 157: 157, 314, 471 i el 628, de

Imatge 13.Calendari egipci

27

la mateixa manera que ¼ es manifestava cada quatre anys, s’hi sumariaun altre dia.

L’any començava a partir del primer dia de la inundació o Akhe (actualmentcorrespon a l’onze de Setembre), en que una estrella anomenada Siri eravisible una mica abans que claregés. A més, disposaven d’un calendari basaten els cicles lunars.

En els papirs de Clarsberg (144 dC) van recollir els coneixements de quedisposaven sobre els cicles lunars. Explica que, en un període de 25 anys hihavia un total de 309 cicles lunars, el que equival a 9.125 dies, agrupats enmesos de trenta dies, dels quals comprovem que:

3.8. Documentació matemàtica

3.8.1. Papir Rhind

11L’any 1855 a Tebas, l’actual Luxor, es va desenterrar un rotlle de papir, elRhind, el papir egipci més important en aspectesmatemàtics. Tres anys més tard (1858), Henry Rhind, elva comprar juntament amb altres papirs.

El 1865, després de la mort de Rhind, va passara mans del Museu Britànic de Londres i algunsfragments al Museu Brooklyn de Nova York.

11Aquest papir està format per quaranta fulles(cinc metres de longitud)a les quals es trobenvuitanta-cinx problemesredactats en escripturahieràtica per l’escriba

Ahmes (Ach-mosè). Va ser realitzat durant elsegon Període intermedi i el baix regnat d’Apofis

Imatge 14 Alexander HenryRhind (1833 ‐ 1863)

28

(1585 – 1542) i, aproximadament tres segles després, durant l’imperid’Amenemes III, l’Imperi mig (1844-1797), Ahmes va fer una copia.

Dels 85 problemes en consten 5 parts: l’aritmètica, l’estereometria6, lageometria, el càlcul de piràmides i altres problemes pràctics. Amb la finalitat decercar coneixements útils en la vida quotidiana com ara l’econòmica, laconstrucció, organització de camps...

3.8.2. Papir de Moscou

1111L’any 1833 Golenishchev, va comprar un papir que inicialment duia el seunom però que, anys méstard, a partir del 1912 enque va adquirir el Museude Belles Arts deMoscou, s’anomenariapapir de Moscou.

El papir de Moscou,de cinc metres de llarg,conté vint-i-cinc problemesredactats en escriptura

hieràtica( traduït en jeroglífica) iimportants dins l’àmbit matemàtic, encara que no se sap qui el va elaborar i,per tant, tampoc la finalitat per la qual es va fer.

3.8.3. Papir de Berlín

11El papir de Berlín és un conjunt de papirs fets aproximadament l’any al 1300aC i que estan dedicats a l’àmbit matemàtici mèdic.

S’hi poden trobar problemesrelacionats amb fraccions, equacionslineals, sistemes d’equacions amb duesincògnites i, dins d’aquestes últimes, unade segon grau.

                                                           6 Estereometria: Art per a mesurar els sòlids.

Imatge 15 Fragment del papir Rhind

Imatge 17WladimirGolenishchev(1856‐1897)

Imatge 16 Fragment del papir de Moscou

Imatge 18 Fragment del papir de Berlín

29

4. Aritmètica

4.1. Suma i resta

La suma, al igual que avui en dia, tan sols consistia en afegir símbols segons elnombre corresponent, de manera que, si es donés el cas que a la sumaresultessin deu símbols de la mateixa quantitat, es substituirien per la següentpotencia de 10.

Exemple:

11 11

30

La resta era adjacent a la suma, de manera que el procediment era similar.La diferència, però, resideix en que en aquesta no s’havien de sumar símbols,sinó que s’havien de suprimir.

4.2. Multiplicació i Divisió

És important tenir en compte que els antics egipcis feien ús de taules deduplicació o, dit d’una altra manera, potències de 2.

4.2.1. Pas a pas. Procés de multiplicació.

a) Hem de multiplicar dos nombres:

b) Es consideren les potències de 2. En elmoment que 2n+1 sigui major que el primer nombre, ja no caldran méspotències:

1, 2, 4, 8 i 16, ja que, 24˂24+1

c) Es fa una taula on hi constaran: en laprimera columna les potències de 2; en la segona el valor resultantde multiplicar la potència per un dels dos nombres (en aquest cas24); i la tercera s’usa per seleccionar els valors necessaris per fer elcàlcul.

Marquem la segona i cinquena columna ja que

Tot seguit, es sumen les multiplicacions d’aquestes dues potènciesles quals resideixen a la taula:

1 24

2 48 X

4 96

8 192

16 384 X

31

4.2.2. Procés de divisió

En el cas de la divisió, es repeteix gairebé el mateix procés seguit per a ferla multiplicació.

a) Hem de dividir dos nombres:

b) Desenvolupem les potències de dos:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 i 128, perquè, 140˂28+1

c) A partir de la multiplicació de les potències iel numerador obtenim la taula.

Marquem la primera, la segona i la sisena, doncs:

Aquest cop, però, no multipliquem el nombre per les sevespotències de manera que:

1 4 X

2 8 X

4 16

8 32

16 64

32 128 X

64 256

128 512

32

4.3. Equacions i sistemes d’equacions

Va ser qüestió de temps que sorgís la necessitat d’elaborar un seguit deproblemes d’equacions i sistemes de dos equacions amb dues incògnites perpoder resoldre, a la pràctica, necessitats de repartir salaris, terres i altres.

Exemples de problemes:

Papir Rhind, problema 63:

Tenim un total de 700 pans els quals volem repartir entre 4 homes: pel

primer, pel segon, pel tercer i pel quart. Quants pans tindrà cadascundels homes?

En primer lloc, sumarem totes les parts:

1,75 és a 700 com 1 és a x. És a dir, que mentre el conjunt de pans és1,75, x serà 700, de manera que per regla de tres:

33

I, per tant, cada home rebrà:

Papir Rhind, problema 39

Entre 10 homes es reparteixen 100 pans: 50 pels 6 primers i 50 pelsaltres 4. Quina és la diferència?

La solució consta, primerament, en repartir els dos grups de 50 pansentre 6 i 4 homes

Amb la qual cosa, establirem la diferència entre ambdós resultats:

Papir de Berlin

La suma de l’àrea de dos quadrats és igual a un altre quadrat més gran

de 100 colzes quadrats. El costat d’un quadrat és de de l’altre. A quantequival el costat de tots dos quadrats?

Observem que el sistema d’equacions ara també en forma part unaequació incompleta de segon grau:

34

4.4. Superfícies i àrees

El riu Nil, la font de vida egípcia, creixia durant l’akhet i, gràcies a aquest fet, elscamps eren productius i l’aigua podia ser aprofitada mitjançant la instal·lació decanals. No obstant, si la inundació no era adequada es manifestaven greusconseqüències per a la civilització:

En cas que la pujada de l’aigua no fos suficient venien temps desequera. Pel contrari, si pujava més del que convenia, inundava laciutat.

Quan una inundació era massa ràpida, les aigües no absorbien béles sals minerals i el terra quedava pobre i, quan la inundació eramassa lenta, les terres, que havien estat inundades més temps delcompte, no s’havien pogut airejar.

Cada cop va ser més evident la necessitat de determinar i regularl’extensió dels camps, després i abans de la inundació, per determinar lanaturalesa del sòl, preveure la producció i assignar les terres als seuspropietaris corresponents.

4.4.1. Superfícies rectangulars

La superfície rectangular, generalment aplicada a la dimensió de camps, escalculava mitjançant la fórmula.

S’observa que, per simplificar aquesta fórmula a la que coneixem avui

dia, tan sols ens cal valorar que

35

i, en definitiva

Papir Rhind, problema 49

Calcular l’àrea d’un rectangle de 1000 colzes de llarg per 10d’ample.

Si 1 khet = 100 colzes

4.4.2. Superfícies triangulars

11Els egipcis, per enegistrar la producció agrícola, van el·laborar els papirsReinhardt i Wilbour. En el primer s’hi recull informació sobre la varietat de

Imatge 19

36

formes que tenien els camps i sobre el canal de rec, el qual sempres’instal·lava en el costat més curt del camp, de manera que el pas d’aiguaquedés facilitat i així pogués arribar al major nombre de camps possibles. Peraquesta raó, els camps més usuals eren el rectangle ,el trapezi i, un altre,encara que no tan usual, el trapezoide.

Així doncs, tots els camps esmentats estaven compostos per trianglesrectangles, de manera que el seu càlcul era senzill i clar. A més, aquesta reglatambé era aplicable per a qualsevol triangle que no fos rectangle.

0000

Imatge 21 Triangles dividits en triangles rectangles

Exemple del càlcul d’una superfície triangular:

11Papir Rhind, problema 51

Calcular l’àrea de 10 khet d’alçada i 4 khet de base.

Fins ara hem estat veient com calculaven elsegipcis l’àrea d’un rectangle, ara, per a resoldre l’àreatriangular, consideraven aquesta com un àrea rectangularperò partida per la meitat.

4.4.2.1. Teorema de Pitàgores

Per poder calcular l’àrea es necessiten saber tots els costats (a i b). Per això, avegades cal aplicar el teorema de Pitàgores

Imatge 20 Camps trobats en el papir Reinhardt

Imatge 22

37

Tot i que existeix el dubte de si els egipcis realment sabien aplicar-lo pera qualsevol triangle rectangle és cert el fet que el coneixien per a un casespecial i, que gràcies a això, poguessin definir superfícies amb angles rectes,com és el cas de la construcció d’una piràmide.

El problema especial que he esmentat tracta de calcular la hipotenusad’un triangle rectangle de costats 3 i 4.

3 hipotenusa?

4

11El mètode que ells empraven per a calcular-laconsisteix en fer servir una corda amb tretze nusos i,seguidament, unir els extrems d’aquesta i així es formés untriangle rectangle on hi quedessin agrupats per costats, quatre,

tres i cinc nusos, respectivament, els dos costats i lahipotenusa.

Imatge 25 Corda de tretze nusos formant un triangle rectangle

4.4.2.2. Àrea del trapezi

Segons el raonament aplicat en el papir Rhind, el càlcul de l’àrea d’un trapezi otriangle truncat pot ser descompost per triangles o rectangles, de tal maneraque el seu càlcul és possible aplicant la seva fórmula.

Imatge 23

Imatge 24 . Cordaamb tretze nusos

38

Papir Rhind, problema 52

Calcular l’àrea d’un triangle truncat de terra (trapezi) format per: 20khet d’alçada, 6 khet de base i 4 khet de línia truncada.

4 khet

20 khet

6 khet

Avui dia coneixem una fórmula específica per a cada trapezi

De la que obtenim el resultat

No obstant això, a l’antiguitat probablement no la coneixien i haviend’utilitzar un altre mètode. transformar el trapezi en una altra figurasenzilla, clara i equivalent a aquest.

El primer mètode consistia en afegir el doble de la superfície deltrapezi i que, aquesta nova superfície, fos inversa a l’original de talmanera que encaixaven a la perfecció. El resultat, aleshores,s’aconseguia mitjançant el càlcul de l’àrea d’un triangle, ja que, si escalculava A’ en resultava el següent:

11

Imatge 26

Imatge 27 Doble trapezi

39

El resultat és igual com quan parlem d’un rectangle que els seuscostats

Finalment sabent quant val l’alçada i la base:

Una altra possibilitat consisteix en fer una superfície equivalent altrapezi. Un rectangle.

11

En primer lloc, per trobar la base s’havia de saber que a i b han deser equivalents.

Imatge 28 Trapezi estructurat enrectangle

40

És a dir, la meitat de la base del triangle que hem obtingutanteriorment:

4.4.2.3. Àrea del trapezoide

Un trapezoide, figura geomètrica plana de costats desiguals, pot arribar aformar una aproximació del rectangle i, per tant, els egipcis en farien servir lamateixa fórmula:

11

4.4.3. Àrea d’un cercle

11A l’antic Egipte, el camp circular era molt poc usual, ja que, els hagués estatimpossible encaixar terres rodones sense desaprofitar elterritori.

No obstant això, a causa de la poca freqüència i lautilitat que tenia per resoldre problemes de volum, comper exemple, el d’un graner cilíndric, els escribes egipcisvaren elaborar un problema en el que aconseguirenaproximar-se a l’obtenció d’una superfície circularmitjançant la comparació amb un octògon.

Papir Rhind, problema 48

Calcular l’àrea d’un diàmetre de 9 khet

11

11

Imatge 29 Trapezoide

Imatge 30 Papir Rhind,problema del cercle

Imatge 31

41

9 khet

En primer lloc, consideraven l’àrea del quadrat de 9 khet per cada costat.

Seguidament, formant un octògon, calculaven també l’àrea dels quatrecantons, els quals formen dos quadrats de 3 khet de costat. De manera que,obtenien l’àrea de l’octògon com una aproximació a l’àrea del cercle

3 khet

A continuació per calcular l’àrea del octògon, o àrea de cercle, enrestaven els quatre cantons

4.4.3.1. Número

Havent obtingut l’àrea del cercle del quaranta vuitè problema del Papir Rhind,

els egipcis pogueren obtenir una aproximació del número , encara queaquest no fos pròpiament dit Pi.

Sabent, aleshores, que l’àrea del quadrat és igual al diàmetre al quadrat,van aïllar l’àrea del cercle, la qual cosa va fer possible que, després d’un seguitd’operacions, poguessin parlar d’una fórmula per al cercle.

Imatge 33Imatge 32

Imatge 34

42

El denominador es multiplicava per 4, ja que era necessari si esdesitjava passar de diàmetres quadrat a radis quadrats.

Obtingueren llavors la fórmula actual entenent que

4.4.3.2. L’àrea d’un cercle per “Pitàgores”

Tot i que no hi ha cap indici que els egipcis calculessin l’àrea d’un cerclemitjançant Pitàgores7, abans hem vist com n’havien fet una aproximaciód’aquest. A més, aquests càlculs són més ràpids i pràctics que els anteriors.

11 Per emprar aquest mètode en primer lloc obtenim elquadrat, de 8 khet per cada costat, inscrit en un cercle.

Si dividíssim, doncs, 8 khet entre quatre grups de 2khet, ens seria possible calcular el diàmetre fent servir elteorema de Pitàgores per a un triangle rectangle ambcatets de 8 i 4 khet.

A partir d’aquest mètode, els egipcis hagueren pogut saber, tan eldiàmetre com l’àrea del costat inscrit ja que aquesta era molt aproximada a ladel cercle.

4.4.3.3. Àrea d’una semiesfera

Per al càlcul d’una semiesfera els egipcis feien referència al procedimentper obtenir l’àrea d’un cercle. Aquesta es podia obtenir mitjançant dos mètodes:

La representació d’un octògon inscrit en un quadrat.

La representació d’un quadrat inscrit i parcialment circumscrit almateix cercle.

Tots dos mètodes donaven un mateix resultat:

                                                           7 Ideat després de l’època grega per Briso d’Atenes

Imatge 35

43

On era la diferència entre l’àrea calculada del quadrat ooctògon i l’àrea del cercle.

Ara, per tant, veiem un problema del càlcul d’una semiesfera plantejatper un escriba.

Papir de Moscou, problema 10

11Calcular l’àrea d’una semiesfera sabent queaquesta està formada per un diàmetre de 4,5 unitats.

En primer lloc, l’escriba, per no haver de fer càlculsamb fraccions i, d’aquesta manera, facilitar la resoluciódel problema, duplicava el diàmetre, de tal manera que

Un cop obtingut el diàmetre l’escriba aplicava l’equació de l’àrea circular

El resultat obtingut era restat per el seu novè

Per últim, es multiplicava el diàmetre al resultat obtingut, de manera queaquest, complia la condició d’estar elevat al quadrat.

Un cop enllestit el procediment tan sols calia desfer el primer pas, és adir, dividir el diàmetre que s’havia doblat.

Imatge 36 Semiesfera

44

El procediment emprat per l’egipci dóna com a resultat la mateixafórmula que coneixem a l’actualitat

4.4.4. Volums

De la mateixa manera que els egipcis començaren a plantejar problemespràctics de superfícies per cobrir necessitats, com ara el repartiment de terres,també ho feren amb el volum, ja que la utilitat que podria tenir el fet de calcularvolums esdevingué evident en casos ben clars i habituals com, per exemple,l’emmagatzematge de gra en graners.

4.4.4.1. Volum d’un cub o base rectangular

Pel càlcul del volum d’un recipient de base quadrada els egipcis tenien presentl’alçada, l’amplada i la longitud, encara que les dues darreres eren iguals si estractava d’un espai quadrat.

11

11

L’amplada era a, la longitud, b i l’alçada, h.

Papir Rhind,problema 45

Calcular el volum d’un graner quadrat que té una longitud, amplada ialçada de 10 colzes.

Imatge 38

Imatge 37 Paral•lelepípede

45

Un cop sabien el volum, si es desitjava calcular la capacitat s’aplicavaque

És a dir, dividien el volum obtingut i li sumaven la seva pròpia meitat

4.4.4.2. Volum d’un cilindre

11Tenint en compte que els egipcis havien obtingut una aproximació de resolien l’àrea d’un cilindre mitjançant la fórmula actual

Papir Rhind, problema 41

Calcular el volum d’un graner de base circular format per un diàmetrede 9 colzes i una altura de 10 colzes.

Imatge 39 Cilindre

46

La capacitat resultarà ser, com s’ha esmentat en un apartat anterior,de 960 khar

4.4.5. Piràmides truncades

Durant l’Imperi Mig, els egipcis van anar solucionant el càlcul de volum de lespiràmides troncades, ja que, l’obtenció d’aquest era un requisit per poder ferconstruccions funeràries.

El seu procés es basava en l’ús de la fórmula que és vigent actualment:

D’aquesta fórmula se’n pot extreure un element nou, . S’entén que elsegipcis l’obtingueren a partir de la relació entre els volums de la piràmide iparal·lelepípede.

11La relació entre aquests volums s’explicava mitjançant ladescomposició del paral·lelepípedeen una piràmide interna de lamateixa base i alçada.

Ambdues bases formavenquatre prismes iguals i, al mateixtemps, era des de allà que s’hiconstruïa un tetraedre. De totamanera, de la formació del tetraedreen relació a la quarta part d’unapiràmide es destacava un terç queno era ocupat per cap cos.

Per un altre costat, s’han estudiat dues possibilitats per saber de quinamanera els egipcis foren capaços d’extreure la fórmula exacte de la piràmide.

1) 11El primer mètode es basa en la descomposició d’una piràmidetroncada en altres cossos geomètrics, dels quals en formen part: unparal·lelepípede, quatre triangles rectangulars i quatre tetraedres.

Imatge 40 Relació de volums entre paral•lelepípede ipiràmide

47

En primer lloc, calculaven el volum del paral·lelepípede (figura b)

11

I el del prisma triangular (figura c), considerant aquestcom un paral·lelepípede de mateixa altura i longitud però

d’una amplada , és a dir, calculaven amb unacombinació de dos prismes per facilitar el procediment.

Havent calculat el volum d’ambdós cossos geomètrics (el prisma i elparal·lelepípede) es sumen els seus respectius resultats.

Tot seguit, tan sols quedaria calcular el volum de la figura restant, el

tetraedre, entenent per la seva longitud i amplada , és a dir, lameitat de l’amplada del prisma.

El volum, a més, el multiplicaven per quatre, en referència al nombre detetraedres que formen part de la piràmide troncal.

Finalment, per obtenir el volum total, sumaven el volum dels quatretetraedres i la combinació de volums del paral·lelepípede i el prisma, tenint encompte, però, que a aquesta combinació no se l’havia sumat els últims dos

Imatge 41 Piràmide troncal descomposta

Imatge 42 Quatreprismes formantunparal•lelepípede

48

prismes, amb la qual cosa, s’entén que, en formar-ne part un altreparal·lelepípede, l’altura i la base quedaran conjuntament multiplicades per tres

.

2 Parlem del segon mètode com un mètode més ràpid que el que hem vistanteriorment. El procediment tracta de fer una partició del volum que nocorrespon a la piràmide i, seguidament, trobar-ne la diferència.

11

Els egipcis, doncs, resolien , ja que representava ladiferència de les dues àrees. Llavors, considerant m com la meitat del’alçada, obtenien el següent:

11

(mirar imatge 44)

Amb el que, definitivament, en resultava

Imatge 43 Piràmide dividida

Imatge 44 Referència gràfica de (a2‐b2)

49

Papir Moscou, problema 14:

11Calcular el volum d’una piràmide troncada formadaper una base de 4 unitats de costat i per una d’altra de 2unitats.

Únicament s’havia d’aplicar la fórmula obtinguda finsara.

11

5. Piràmide de Kheops11Durant la tercera dinastia, el món científic i l’arquitectònic estava a punt de

fer un gran avenç gràcies a Imhotep, conseller deZoser des del 2680 aC.

11Imhotep fou un gran metge, guià el poble entemps de sequera, va fer progressar l’escripturainventant, a més, el papir com a base d’aquesta i, elmés important, fou el creador de la primera piràmide,

Imatge 45 Fragmentdel problema 14 delpapir de Moscou

Imatge 46

Imatge 47 Mastaba de Zoser

50

considerada l’edificació més antiga del món, la mastaba de Zoser (120x105 m),situada al Sàqqara.

Sneferu, successor de Zoser, va edificar una mastaba encara més gran,la primera piràmide de superfície plana en la història, ja que, tot i que enprincipi havia fet una mastaba esglaonada, va recobrir els esglaons a cada pis.

Anys després es va construir una altra piràmide, anomenada piràmideinclinada, perquè, havent començat amb una inclinació, aquesta, a una alturaconsiderable, va experimentar un canvi d’angle.

La construcció de piràmides es va anar posant de moda i al cap del tempsja s’havien construït al voltant d’unes vuitanta piràmides.

La gran piràmide

Cap a l’any 2580 aC, després d’un segle de la mastaba de Zoser, l’erapiramidal va arribar al seu cim amb la gran piràmide.

Kheops (Jufu) va fer construir una piràmide a prop del Sàqqara, a Giza,formada per una base de 230,35 metres i una alçada de 146,73 metres, isituada de manera que els seus quatre prismes triangulars estaven orientatsamb els quatre punts cardinals.

La seva construcció, que va durar vint anys, la van portar a terme unscent mil homes, generalment lliures, que es mantenien enfeinats mentre l’aiguadel riu Nil ocupava les seves terres.

Malgrat que, en principi, mai s’ha mostrat cap indici que els egipcisfessin ús de la roda, van ser capaços de fer la dita construcció amb pedres de2,5 tones.

Passaren els anys i el 2530 aC, el successor de Kheops, Khefren(Jefren), va construir una altra piràmide al costat. Així mateix, Micerí (Menkure)va alçar una tercera piràmide l’any 2510 aC.

Actualment, totes aquestes piràmides són les anomenades piràmides deGiza, de la que en destaca la de Kheops, considerada com una de les setmeravelles de la construcció humana.

5.1. Volum de la piràmide de Kheops

En apartats anteriors hem determinat que el càlcul del volum d’una piràmidetruncada:

Ara, però, el valor de a serà nul, doncs, la piràmide de Kheops no té labase superior que caracteritza a una piràmide troncada.

1. Piràmide inclinadaImatge 48 Piràmide inclinada

51

11

Tenint em compte que té una base de230,35 metres i una altura de 146,73 metres calconsiderar el següent:

11

5.2. Apotema de la piràmide

L’apotema (ap o a) d’una piràmide és l’alçada queaquesta té en qualsevol cara triangular.

L’apotema es considerava com la hipotenusa d’untriangle rectangle format pels costats altura (h) i la meitatd’un costat de la base.

5.3. Inclinació de la piràmide

Per a la construcció de la piràmide de Kheops, era imprescindible calcularels angles rectes amb precisió, ja que, en cas de basar-se en una aproximacióde l’angle recte, una petita desviació d’aquest podia descol·locar-la fins a mésde 200 metres.

Imatge 49 Piràmide

Imatge 50 Referènciagràfica de l’Apotema

52

Un altre factor important era la inclinació de les parets laterals. Un cop escomençava la construcció aquesta era necessàriament invariable. Si pelcontrari, durant la seva llargada variava a causa de pedres mal tallades, lespuntes de les quatre cares no arribaven a coincidir. A més, era necessariorganitzar unes estructures per al sosteniment de les càmeres de la piràmide,tenint en compte el volum de la pedra

Aleshores, els egipcis idearen l’ús d’un objecte triangular amb un angle que,juntament amb l’angle desitjat de la construcció, en sumés 180º, com la funcióque fa ara un transportador. Aquest objecte, que actuava com a referènciaangular, es col·locava a la base de la piràmide i a qualsevol punt de la paret.

Si la pendent de Kheops era de 51º50’, llavors:

11

11

11

Per una altra banda, els egipcis no mesuraven la inclinació mitjançant elsgraus -això prové de la cultura grega- sinó que utilitzaven el seked, el nombrede pams a un colze d’alçada de la diagonal de la base. Es mesurava en pams,ja que, en colzes en resultava un nombre massa petit.

Imatge 52 Objecte d’inclinació (a)

Imatge 51 Objecte d’inclinació (b)

Imatge 53 Seked

53

Seked de la gran piràmide

5.4. El número Phi ( )

El número (1,618033989...), també anomenat proporció Àurea o númerod’or, queda definit com la proporció de la circumferència de qualsevol cercleen relació al seu diàmetre. No obstant, jo faré servir el teorema deFibonacci per explicar-lo.

5.4.1. El teorema de Fibonacci

Escollim dos nombres qualsevol, com ara el l’1 i el 0, i sumemsempre el resultat obtingut amb el nombre de la suma anterior mésgran.

54

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

Aleshores, d’aquesta llista s’aparellen els nombres amb els seusanterior i es divideixen entre si essent el nombre més gran eldenominador.

Observem que, a mesura que van augmentant el valor dels componentsde la divisió, el resultat oscil·la a 1,618033989, aproximant-se cada cop més,essent la relació de diferència entre els diferents resultats cada cop és méspetita, equivalent a una ona, ja que, per cada divisió següent en van alternantels resultats, de manera que si la quarta divisió és major que la tercera tambéserà més gran que la cinquena, alhora, si la cinquena és més petita que laquarta també serà menor que per la setena. No obstant, cada cop la diferènciaentre resultats és més petita.

Una altra manera d’aconseguir la proporció Àurea consisteix enrestar un mig a Phi després duplicar-lo i, finalment, elevar-lo alquadrat.

És a dir, que per a l’equació de segon grau , el resultatseria:

55

5.4.2. El pentàgon

Valorem un pentàgon en el qual cadascun dels seus costats és igual a 1. Si adins d’aquest pentàgon hi tracem una estrella, una línia d’aquesta que creui depunta a punta el pentàgon serà igual a Phi.

0000  Imatge 54 Pentàgons

Si, per una altra banda, en volem calcular el pentàgon més petit format a dinsl’estrella (mirar figura) A mesura 1,618... vegades el que mesura B i aixícontínuament.

5.4.3. Relació de Phi amb la piràmide

El número Phi apareix en els següents casos:

1)

2)

56

3)

5.5. Relació de Pi amb la piràmide

Pi esta relacionat amb la piràmide en la divisió del perímetre de la base entredos vegades l’alçada:

57

6. Bibliografia

ASIMOV, Isaac (1981). Los egipcios. Alienaza Editorial. Madrid. AB

BERCIANO, Ainhoa (2007). Matemáticas en el Antiguo Egipto. Euskal HerrikoUnibertsitatea. Facultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de MatemáticaAplicada, Estadística e Investigación Operativa INT

IFRAH, Gerorges. (1994). Historia universal de las cifras. Edhasa, Barcelona.

MAZA, Carlos. (2000): Las Matemáticas de la Antigüedad y su contextohistórico. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Sevilla.

ROSSI, Corinna (2004) Architecture and Mathematics in Ancient Egypt.Cambridge University Press. United Kingdom

RUIZ PALMERO, Julio (2004). Egipto y las matemáticas. Revista La Torre (IESTorre del Prado). Campanillas. Málaga.

Recursos a internet

Fibonacci. La magia de los números

58

- I Part

http://es.youtube.com/watch?v=Xw4xFxzpy4s&feature=related

- II Part

http://es.youtube.com/watch?v=V9uk4rd3w3k&feature=related

Carlos Maza. Matemáticas en Egipto

http://personal.us.es/cmaza/egipto/

Egiptologia.org. La tierra de los faraones.

http://www.egiptologia.org/

Calendari egipci

http://www.egypt-tehuti.org/espanol/articulos/calendario.html

Astronomia i cosmos

http://www.astromia.com

Informació general

http://centros5.pntic.mec.es/

http://www.vitutor.net

59

7. Conclusió

Fa la vora un any, que ja tenia clara la idea de fer el treball sobre l’antic Egipte.Cap allà l’estiu el meu pare em va proposar la idea de treballar amb fotos peraplicar-les a les matemàtiques i, aleshores, va sorgir una nova idea: Lesmatemàtiques a l’antic Egipte.

Al principi el meu objectiu va ser tractar les matemàtiques i bona part del’arquitectura. No obstant, m’he adonat que un treball de ciències aplicades noés un treball que es pugui portar a terme a curt termini. Tot i així, m’he quedatperquè satisfeta de tot plegat, o un altre objectiu també era el d’aprendre isaber ensenyar. Crec que, almenys, en el primer sentit compleixo. Per això, hehagut de recórrer a llibres, el museu egipci i a algunes pàgines d’Internet.

Un cop acabat el treball, m’he adonat de la practicitat de les matemàtiquesegípcies en tots els seus plantejaments i del seu avenç matemàtic.

Quan penso en la quantitat d’anys que va començar a existir, segons heentès, una de les civilitzacions més antigues.

60

Per una altra banda, m’han semblat molt interessant els procedimentsque feien servir per obtenir fórmules i com perduren algunes d’aquestes encaraavui dia.

Per realitzar aquest treball he viscut certes complicacions, com ara el fet de fersola un temari tan dens.

Malgrat haver tingut molta feina, estic satisfeta amb els resultatsobtinguts. He de reconèixer que hi ha moments en els que pensava que eramassa per a mi, però, però vaig haver d’acceptar aquesta complicació.

Per una altra banda, hi ha dubtes dels que encara no s’han obtingutexplicacions i que, per tant, m’han quedat per resoldre, com per exemple:

De quina manera els egipcis van alinear les piràmides de Giza amb elcinturó d’Orió? Pot ser que al cap i a la fi sigui un mite?

Què empraven els egipcis per perforar la pedra, si, segons el que hellegit, els forats que en resultaven eren inclòs millor que els de lesperforadores actuals?

Per últim, m’agradaria destacar que m’ha semblat molt interessant, dins elsaspectes pràctics, la proporció Àurea i la relació que mantenien els egipcisamb aquesta i pi.