matemàtiques GrupZERO IV

B.U.P. 1-2

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

~editorial vicens-vives

•

matemàtiques GrupZERO IV

progressions

B.U.P. 1-2

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

~editorial vicens-vives

Direcció d'edició: Anna Vicens

Il·lustrat per: Nando

...-------GRUP ZERO (BARCELONA) _______ ~

Formen part del GRUP ZERO:

Carmen Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Marti Casadevall, Ester Casellas. M.ª José Castelló, Montse Comas, Rubi Cor­beró, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat, Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paco Moreno, Manuel Udina.

Portada: Fels Struktur. G. F RUHTRUNK

Primera edició, 1981

Dipòsit Legal: B. 15.283·1981 ISBN: 84-316-1972-4 N. 0 d'Ordre V.V.: B-935

Llibre presentat al Departament d'Ensenyament de la Generalitat de Catalunya per a l'aprovació el 23-1V-1981.

© GRUP ZERO: Carmen Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Marti Casadevall, Ester Casellas, M.ª José Castelló, Montse Comas, R u hi Cor­bera, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat, Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paca Moreno i Manuel Udina. Sobre la part literària.

Reservats tots els drets d'edició a favor d'Edicions Vicens-Vives, S.A. Prohibida la reproducció total o parcial per qualsevol mitja.

IMPRÈS A ESPANYA PRINTED IN SPAIN

Editat per Edicions VI CENS-VI VES, S.A. Avda. de Sarrià, 130. Barcelona-17. Imprès per Gràfiques INSTAR, S.A. Constitució, 19. Barcelona-14.

l

Presentació

Els llibres que formen la present col·lecció han estat preparats, experimentats i revi­sats durant cinc anys, des del juliol del 1975 fins a l'edició actual del juny del 1980. La seva utilització experimental ens ha portat a redactar una guia per al professor que conté les intencions del GRUP ZERO en presentar aquest material, descriu en detall l' es­tructura i el contingut dels temes, i dóna suggeriments de cara al seu ús pràctic; recull, en part, l'experiència obtinguda durant l'etapa d'experimentació.

Al nostre país no és freqüent que els llibres d'ensenyament siguin projectats i expe­rimentats degudament abans de ser autoritzats per a l'ensenyament, com s'exigeix a al­tres països. En el nostre cas això ha estat possible gràcies a l'ICE de la Universitat Au­tònoma de Barcelona, en el marc del qual i dintre del projecte d'investigació «L' ense­nyament de les Matemàtiques al BUP» s'ha portat a terme. Hem comptat també amb el suport del Col·legi de Doctors i Llicenciats de Catalunya i Balears.

La idea bàsica que va motivar aquest projecte és la necessitat de disposar d'un ma­terial que faciliti un ensenyament de les Matemàtiques que no sigui purament deductiu, que respecti el procés genètic del coneixement, tot buscant la motivació de l'alumne en les aplicacions dels mètodes matemàtics a situacions reals.

Els fascicles que constitueixen la col·lecció fins ara són:

l. La mesura i els nombres. 11. Estudi de les funcions lineals i quadràtiques.

111. Estadística i atzar. IV. Progressions. V. Estudi de les funcions exponencial logarítmica.

VI. Introducció a les derivades. VII. Les funcions circulars.

Un primer curs de Matemàtiques es pot enfocar bàsicament a partir dels fascicles l, 11 i Ill. Els temes IV, V, VI i VII constituirien el nucli d'un segon curs. Cal complementar els dos cursos amb qüestions de Geometria.

Actualment estan en preparació altres fascicles que completarien el programa de BUP.

Índex

A. SUCCESSIONS .................................... . 1 . l ntroducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

B. PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

C. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

D. SUMA DELS TERMES D'UNA PROGRESSIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1. Progressions aritmètiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Progressions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

E. SUMA D'UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA INDEFINIDA 1. Suma dels termes d'una progressió geomètrica decreixent . . . . . 26 2. Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. Treball sobre successions i progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

F. PROBLEMES DE CONSOLIDACIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

G. ESTUDIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1. Anualitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2. Llei de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3. Un mètode per a sumar successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Pròleg

La fotografia de l'arribada dels corredors a la meta no ens diu res sobre el tipus de cursa que han fet. No ens diu si la cursa ha estat d'obstacles o eren els 100 metres lli­sos. Si ha estat d'obstacles, no ens permet descobrir quins obstacles han hagut de su­perar els corredors, ni tampoc ens permet de saber en quines condicions aquests han hagut de córrer.

Els qui formem el Grup Zero creiem que la majoria dels llibres de text de Matemàti­ques que podem trobar en aquests moments són com fotografies (tot deixant de banda els que són simples fotocòpies; almenys la fotografia pot suposar una certa originalitat). fotografies, com dèiem, de l'etapa final d'un treball, del resultat d'un cert procés, d'una cursa que, estigueu-ne segurs, ha estat d'obstacles. Però, què ha caracteritzat aquest treball? Quin tipus de treball ha estat? Quins motius hi havia per tal de dedicar temps a realitzar-lo?

Les Matemàtiques no les podem reduir a fotografies, a instantànies dels resultats del treball fet per uns altres. Saber Matemàtiques no és «posseir informació mate­màtica», sinó que vol dir SABER FER Matemàtiques. La matemàtica fonamentalment és un mètode. En aquest sentit, podria ser il·lustrativa del treball matemàtic, del mètode matemàtic, una pel·lícula, però mai una fotografia.

Saber Matemàtiques significa poder-ne fer: saber plantejar i resoldre problemes, criticar arguments, utilitzar el llenguatge matemàtic amb facilitat, reconèixer un con­cepte matemàtic en una situació concreta ...

De tota manera no us volem presentar cap pel·lícula, sinó aquest material de treball que ara teniu a les mans. L'objectiu d'aquest material de treball és introduir-vos en el mètode propi de les Matemàtiques. Un treball dur, difícil, que exigeix molt més esforç per part de tots, molta més disciplina de treball, però que a la llarga és molt més fruc­tífer.

Aquest llibre no és, doncs, un «llibre de text» habitual, en el sentit que la teoria no hi és recollida de forma estructurada. Caldrà elaborar-la a partir del treball fet sobre els problemes. Així, cada alumne construirà el propi text a posteriori, seguint els guions que hi ha al final del tractament dels diversos temes. És necessari que aquest treball sigui després útil com a material de repàs i d'estudi i, per això, cal que tingui una bona pre­sentació, gràfics ben fets (en paper mil·limetrat). etc., que reculli una selecció dels pro­blemes més interessants i tots els aspectes teòrics que han sortit

A

• successions

1. INTRODUCCIÓ

En aquests primers problemes veurem situacions en què es presenten col·leccions ordenades de nombres. Ben segur que se'n podrien donar més exemples i et proposem que en busquis.

Els pitagòrics afirmaven que el nombre és el principi de totes les coses. Pensaven en els nombres concebuts com a reticles geomètrics en la forma següent:

• • •

• • • ••• • . . . . . • • • •

Nombres triangulars l 3 6 10

• . . . . . . • • • • . . . . . • • • • • • • • • • • • • •

Nombres quadrats l 4 9 16

a) Escriu els vuit primers nombres de cada classe. Coneixent un nom­bre triangular, com s'obté el següent? Per exemple, el vintè nombre triangular és 210. Quin és el vint-i-unè?

1

b) Observa que un nombre triangular és la meitat del nombre quadrat següent menys la diagonal. Utilitza això per a escriure una fórmula que ens permeti trobar Tn, és a dir, el nombre triangular d'ordre n.

e) Investiga la proposició següent: La suma de dos nombres triangulars consecutius és un nombre quadrat.

Una persona col·loca els seus diners, 500 000 pts., a la Caixa d'Estalvis a un interès simple del 2 per cent.

a) Quants diners tindrà al final de cada any, durant cinc anys?

2 3 4 5

b) Quina llei segueixen els nombres d'aquesta successió? Pots expres­sar el saldo corresponent a n anys? Escriu-ne la fórmula.

Prenem un full de paper i dobleguem-lo pel mig unes quantes ve­gades.

a) Si el gruix del full és de 0,1 mm, quin és el gruix del plec després de doblegar-lo cinc vegades? l després de fer-ho deu vegades?

b) ¿Creus que si poguéssim doblegar-lo vint vegades el gruix del paper superaria 1 km? l amb quaranta vegades, ¿el gruix superaria la distància Terra-Lluna?

e) Escriu la successió dels gruixos segons el nombre de doblegades.

d) En la pràctica, quantes vegades pots arribar a doblegar un foli?

L'algorisme de càlcul d'una arrel quadrada ens permet, pas per pas, trobar nombres que donen valors més aproximats de l'arrel. Escriu, fent servir aquest algorisme, una successió de nombres que aproximin \12 amb una, dues, tres, quatre i cinc xifres decimals.

2

- Si coneixem el costat d'un polígon regular inscrit en una circumfe-rència de radi l, utilitzant el teorema de Pitàgores podem calcular el costat del polígon regular d'un nombre doble de costats.

Per exemple, el costat del quadrat és e4 = V2. Per calcular es, ens cal trobar a4 l'apotema del quadrat i aplicar el teorema de Pitàgores al triangle

de costats es, ~ i (l - a4 ). 2

A A

C4 C4~ T T es

O B B C

a4=i/1-(~f=l4=~ es = V ( ~ r + (l - a4)2 = V ( ~ r + ( l - '7 r= V 2 - V2

a) Comprova, seguint el mateix procés, que C16 = -J2 - -J2 + V2

b) Calcula també C32. Pots inferir quant val c64?

Els nombres de Fibonacci

Quin és el nombre de parelles de conills adults que neixen en un any d'una parella de conills inicial, si cada parella adulta origina men­sualment una nova parella, i els nou nats esdevenen adults al cap d'un mes?

3

Es tracta d'un antic problema que fou resolt per FIBO!\Acc (Leonar­do de Pisa) (1170-1230). Per resoldre'l, escriu el nombre de parelles adultes que hi ha cada mes. És clar que 81 (nombre de parelles adultes el primer mes) és 1. Al cap d'un mes neix una parella, però el nombre de parelles adultes continua essent 82 = 1. Un mes més tard els nou nats ja són adults, i tindrem 83 = 1 + 1 = 2. Observem, doncs, que per trobar el nombre de parelles adultes en un mes cal sumar els nombres corres­ponents als dos mesos anteriors.

Continua, doncs, la successió:

1, 1, 2, ...

respon la qüestió plantejada.

2. SUCCESSIONS

D'una col·lecció de nombres en direm successió i cada un dels seus ele­ments és un terme de la successió. Així, en la successió dels nombres parells 2, 4, 6, 8, ... el 2 és el primer terme, el 4 és el segon terme, etc. Quin és el terme que ocupa el desè lloc? Aquest terme el designarem per a10, és a dir, escriurem a10 = 20. El terme que ocupa el lloc que fa n s'es­criurà an i l'anomenarem terme general.

Troba els dos termes que segueixen els indicats en les successions:

a) 1, 2, 3, 4, . . . 1, 2, 4, 8, . . . 2, 4, 6, 8, .. .

b) 1, 4, 7, 10, ... 1, 3, 5, 7, ... 1, 3, 6, 10, .. .

e) 1, 10, 100, 1000, ... 7, 4, 1, -2, ... 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...

d) Troba els termes 810 i 811 de totes elles.

Forma successions (escriu en cada cas sis termes) d'acord amb les regles següents:

a) Cada terme de la successió (llevat del primer) és el doble del terme precedent.

4

..

b)

e)

d)

Cada terme de la successió (excepte el primer) s'obté sumant el nombre 5 a l 'anterior.

Cada terme de la successió (excepte els dos primers) és igual a l'anterior de l'anterior.

n+2 El terme 8n es calcula amb la fórmula 8n = --­

n + 5

Ou in és el terme que segueix el 8 en la successió 2, 4, 6, 8, ... ?

Segurament en donar la resposta has pensat en la successió de nom­bres parells. Però hi ha altres possibilitats:

a) Si es tractés de la successió que dóna l'última xifra dels nombres que són múltiples de 2, quin terme seguiria?

b) Si la successió fos aquella de terme n-èsim 8n = 2n + [n - 1) [n - 2) (n - 3) (n - 4). quin seria el terme 8s?

Una successió queda perfectament definida si disposem d'una regla de formació dels seus termes i el primer terme (o en alguns casos els dos o més primers termes).

Per exemple, considerem una successió tal que:

a) Cada terme de la successió és igual a l'anterior més dues unitats, és a dir, an = an-1 + 2.

b) El primer terme és a1 = l .

Aquestes dues condicions defineixen la successió l, 3, 5, 7, 9, . . . dels nombres senars.

Quan, com en aquest cas, la regla de formació permet trobar un terme coneguts els precedents, direm que la successió és definida per recurrència.

A.10

Escriu els cinc primers termes de les successions:

a) Cada terme és igual a la meitat de l'anterior, i 81 = 4.

b) 8n+1 = 28n

e) 8n+1 = 28n

81 = 1.

81 = 4.

5

d) an+I = an + 3 a1 = 2.

e) an+I = -an 3

a1 = 3.

A.11

Posa en relació cada successió amb la regla de formació que li cor­respon.

successió regla de formació

2, 2, 4, 6, 10, ... an+I = an + n a1 = 1

1 1/3, 2/3, 4/3, 8/3, ... an+I = 2an 81 =-

3

2, 3, 5, 8, ... an-'-1 = an + 2n + 1 a1 = 1

1 ' 2, 4, 7, 11' ... an+I = an + an-1 a1 = 2, a2 = 2

1, 4, 9, 16, 25, ... 8n+I = an + n a1 = 2

1, 3, 7, 15 an+I = 2an + 1 a1 = 1

Una altra manera de definir una success10 es donant una expressió algèbrica del terme n-èsim. Té l'avantatge que, per conèixer un terme, no cal conèixer tots els termes anteriors a aquest.

A.12

Escriu els sis primers termes de les successions definides pels termes generals que s'indiquen. Escriu també per a cadascuna els ter­mes a20 i a100.

a) an = -n

b) an = 2 • 3n

A.13

an = 3n + 4

ªº = (n - 1) 2 + 1

an=2·3n-I

an= (-1)nn

Posa en relació cada successió amb l'expressió del terme general que li correspon.

6

l

l

Successió T erme general

3, 9, 27, 81, ... n+1

8n = n

O, 3, 8, 15, ... 8n = n2 -1

1, 5, 9, 13, ... 8n = 3n

2, 3/2, 4/3, 5/4, ... 8n = 4n-3

Escriu l'expressió algèbrica del terme general ªºper les successions:

a) O, 5, 10, 15, ... 3, -6, 12, -24, ...

b) 1, 4, 9, 25, 36, ... 4, 4, 4, 4, ...

4, 8, 16, 32, ...

2 4 6 0,-,-,-, ...

3 5 7

Hem dit que una successió es podia definir donant una expressió del terme general an. Això ens permet pensar que una successió és una funció del conjunt dels nombres naturals en el conjunt dels nombres reals que podem esquematitzar.

a:!N~IR

l l > a1

2 l > a2

n~an

(Observem que el costum és escriure an per comptes de a(n) com és cor­rent amb les funcions que havíem estudiat.)

Per tant, té sentit parlar de la representació en un sistema d'eixos carte­sians d'una successió.

Representa gràficament els sis primers termes de les successions del problema A.12.

7

B • progressions

. ' . ar1tmet1ques

El cost d'impressió d'un cert fullet publicitari és de 300 pts. en con­cepte d'elaboració dels clixés i preparació de la màquina, i de 10 pts. més per exemplar (paper, tinta, etc.).

Escriu quin seria el cost d'1, 2, 3, ... n fullets.

Un satèl·lit artificial fou llançat el 14 d'abril i es va situar en òrbita a les oh3om. El temps que tarda a recórrer una òrbita completa és de 90 minuts. Indica les hores a les quals haurà completat les sis primeres voltes. Disposa els resultats en una taula.

Nombre d'òrbites 2 3 4 5 6

hora

a) Dóna la regla que permet d'obtenir l'hora en funció del nombre d'òrbites.

b) Aplica la regla per calcular quantes voltes haurà donat a les 3 de la tarda del dia 3 de juny.

Les successions com les dels problemes A.2, B.1 i B.2, són tals que cada terme s'obté sumant a l'anterior una constant d. Les successions

8

í

l d'aquest tipus s'anomenen progressions aritmètiques. La constant s'ano­mena diferència de la progressió.

Digues quines de les successions següents són progressions aritmè­tiques, i quina n'és la diferència:

a) 1, 2, 3, 4, ...

b) 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

e) 1, -2, 3, -4, ...

d) 1 /2, 3/ 4, 5/6, 7 /8, ...

2, 4, 6, 8, .. . - 5, - 1, 3, 7, .. .

0'5, 1, 1'5, 2, ... 2, 4, 8, 16, .. .

10,8,6,4,... 1,1,1,1, .. .

100, 95, 90, 85, ... 2, 3, 5, 8, 14, ...

Escriu els sis primers termes de les progressions aritmètiques defi­nides pels primers termes i les diferències indicades.

a) 81 = 2 i d = 2 81 = 2 d = -2

b) 81 = - 5 i d = - 3 81 = 1 d = 1/2

e) Troba per cada progressió els termes 810 i 8100.

~

81 = -5 i d = 3

81 = 3 i d =o

l Es clar que la fórmula de recurrència d'una progressió aritmètica de diferència dés: an = an-1 + d

Ou i na és l'expressió algèbrica del seu terme general 8n?

Per deduir-ho completa la taula:

n 8n

1 81

2 82 = 81 + d

3 83 = 82 + d = (81 + d) + d = 81 + 2d

4 84 =

n 8n =

9

Digues quines de les següents successions són progressions aritmè­tiques, i, per les que ho siguin dóna el primer terme 81, la diferència d, i l 'expressió algèbrica del terme general 8n.

a) 3, 8, 13, 18, ... 2/3, 3/7, 4/11, 5/15, ...

b) 2, 6, 18, 54, 162, ... 7, 6, 5, 4, 3, ...

e) -6, -1, 4, 9, 14, ... 1, -1, 1, -1, 1, ...

d) 2, 4, 8, 16, 32, ... 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ...

Escriu els cinc primers termes i l'expressió del terme general per les progressions aritmètiques següents. Fes-ne també la representació gràfica:

a) 81 = 3 i d = 2 81 = 0,7 d = 2,5

b) 83 = 3,2 i d=-2,1 83 = 5,7 82 = 12

81 = 7 i d = -3

82 = o ,5 i 87 = 3 ,5

Escriu tres progressions aritmètiques de diferència positiva i tres de diferència negativa. Comprova que per a cadascuna de les tres primeres és possible de trobar un terme el valor del qual és més gran que M = 1 320 000. l comprova també que, per a les altres tres, es pot trobar un terme el valor del qual sigui més petit que N = - 2 412 000.

Discuteix les proposicions següents:

a) Els termes d'una progressió aritmètica de diferència d >0, arriben a superar qualsevol valor M preestablert.

b) Els termes d'una progressió aritmètica de diferència d < O, arriben a ser més petits que qualsevol valor M preestablert.

Per a la discussió et pot ser útil la representació gràfica de les pro­gressions.

B.10

a) Escriu la fórmula del terme general d'una progressió aritmètica de primer terme 81 i diferència d.

10

b) Quin és el tipus de funció que té com a fórmula la que acabes d'escriure? Què distingueix les progressions aritmètiques de les funcions d'aquell tipus?

e) Com és el gràfic d'una progressió aritmètica? Observa que l'orde­nada a l'origen corresponent a la recta que s'obté unint els punts del gràfic d'una progressió aritmètica és útil per escriure el terme general de manera més senzilla. Fes-ho.

B.11

Troba el quart terme d'una progressió aritmètica de diferència d = 0,75 i en què 820 = 45.

B.12

Troba la diferència d'una progressió aritmètica per la qual 84 = 0,2 81 = 3,5. Calcula també el primer terme i el desè.

B.13

En una progressió aritmètica 81 = 32 81s = 72. Troba el terme 823.

B.14

Troba el lloc que ocupa el nombre 100 en la successió 10, 13, 16, ...

B.15

En una progressió aritmètica d = 5, 81 = 3 8k = 83. Quant val k?

11

C

progressions ' . geometr1ques

En aquest apartat es plantegen una sene de qüestions lligades a la física i l'economia, juntament amb alguna contalla curiosa, que mostren la importància d'un altre tipus de successions: les progressions geomè­triques.

Començarem amb una llegenda famosa.

La llegenda d'en Sissa i el rei Shirham

Conta la llegenda que hi havia un rei molt ric i poderós els dominis del qual eren al mateix cor de l'índia. Vivia en un palau de marbre i or, i quan sortia a caçar la terra tremolava al pas dels seus elefants. Caminava envoltat d'un brillant seguici, gran nombre de servidors ricament vestits, soldats, trompeters ...

El gran rei Shirham, però, s'avorria. Reposant damunt bons c01xms, envoltat de tots els seus servidors, veia passar les hores, l'una darrera l'altra, sense que mai se li il·luminés la cara amb un somriure.

Havien vingut artistes famosos d'arreu del món per distreure'l. Músics, poetes, malabaristes, cantants, acròbates i pallasos. Ningú no va acon­seguir arrencar-li un somriure i el seu semblant era sempre trist.

S'oferí una recompensa fabulosa per a qui aconseguís proporcionar al rei unes hores de felicitat.

12

Però fou inútil. Passaven els anys i el gran rei continuava trist i avorrit.

Un dia arribà al palau un vell. Era prim i anava vestit pobrament, però li brillaven els ulls amb una llum que denotava inteHigència.

Es va presentar al rei i li va dir:

-Et porto el remei per a la teva tristesa.

Va col·locar damunt una tauleta un tauler ple de caselles i va distri­buir-hi unes petites peces de marfil.

-Poderós senyor, aquest és el joc més bonic, més emocionant i més difícil de tots els que coneixes. Dins aquests quadres lluitaran dos exèrcits igualment poderosos. Tu en conduiràs l'un i jo l'altre. Guanyarà el més intelligent i astut.

Un cop li hagué explicat com es movien les peces, començaren a jugar. Van jugar algunes partides, totes emocionants i difícils, totes diferents.

Quan en Shirham, el poderós, aconseguí guanyar en Sissa se li obriren els llavis en un ample somriure i els cortesans elevaren els ulls al cel. El rei s'havia divertit!

Tan feliç es va sentir amb el nou joc que ordenà que l'aprenguessin tots els ministres i els nobles. (Es tractava del joc que avui coneixem com el joc dels escacs.)

-I tu, Sissa, fill de Dahir, demana el que vulguis.

I en Sissa va dir:

-Majestat, doneu-me tan sols un gra de blat per a la primera casella, 2 per a la segona, 4 per a la tercera, 8 per a la quarta, i així, successiva­ment; concediu-me, Altesa, la gràcia de cobrir d'aquesta manera les 64 ca­selles del tauler.

El rei i els cortesans van riure en sentir tan estranya petició.

-Amb poca cosa t'acontentes, bon home -va dir el rei, i demanà que li portessin un grapat de blat i ell mateix va anar col·locant els grans en el tauler.

Era un entreteniment senzill i fins i tot el rei es queixà que li demanés tan poca cosa.

-Continua posant grans, si et plau, senyor.

13

Els cortesans veien amb curiositat que havia col·locat a la primera fila: l, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 grans de blat. I va posar-ne 256 a la primera casella de la segona fila. El grapat de blat s'havia acabat.

-Porta'n mig sac i encara en sobrarà -ordenà Shirham, que ja s'havia cansat, però com que volia complir la promesa va cridar els seus ministres perquè comptessin per ell.

Però com que tampoc no podien amb tan grans quantitats de blat, cri­daren els savis, mestres i filòsofs del regne, que van comptar durant dies

dies.

Quan van arribar a la primera casella de la quarta línia comprovaren admirats que li corresponien 16 .777 .216 grans. En mesurar-ho veieren que era més d'un metre cúbic.

Mentrestant, en Sissa callava i esperava.

El rei ordenà que li portessin més blat. Els seus graners eren inmensos. Els savis continuaven comptant.

A la primera casella de la cinquena línia, li corresponien 4.294.000.000 grans de blat. En un dipòsit de 10 m de llarg, per 8 d'ample i 3 d'alçada, encara sobreeixia.

Es buidaren els graners i, al palau, ja no hi cabien més sacs de blat. De tot arreu del regne arribaven caravanes de camells i elefants que traginaven grans quantitats de blat.

14

Fins que en Shirham, el poderós, va comprendre que era impossible de complir la promesa.

Aquesta és la llegenda que explica la invenció dels escacs.

Era realment impossible de complir la promesa?

a) Fes una taula amb el nombre d'ordre de la casella i el nombre de grans que li correspon, per a les dues primeres files.

b) Dóna la regla n ~ ª" que expressa la quantitat de grans correspo­nents a la casella n.

e) Quants grans s'haurien de posar a l'última casella del tauler? (Res­posta: 93223.3722036.8541775.808 grans).

d) ¿És cert que és impossible de complir la promesa? Sabem que, per terme mitjà, 1 ha sembrada de blat produeix aproximadament uns 28.000.000 de grans. Quants en podria produir Catalunya, suposant que fos possible sembrar de blat tota la seva superfície? (La super­fície de Catalunya és de 31 930 km2). l totes les terres del món (120.000.000 km2)? Hi hauria prou grans de blat? ¿Quantes vegades caldria sembrar tota la terra per produir el gra necessari per a omplir la darrera casella?

L'emissió de radiació d'una substància radioactiva és un fenomen alea­tori, de tal manera que no es pot saber d'antuvi quin àtom es desintegrarà o emetrà radiació. Però, si es tenen gran nombre d'àtoms, es pot assegurar que aproximadament la meitat s'hauran desintegrat en un temps caracte­rístic de cada substància radioactiva. Aquest temps hom l'anomena període de semidesintegració. Així el radi té un període T = 1600 anys, de manera que si ara tenim l g de radi, d'aquí a 1600 anys només en quedarà 1/2 sense desintegrar i d'aquí a 3200 anys en quedarà 1/4 sense desintegrar.

a) Fes una taula indicant les quantitats de radi que hi haurà al cap de 1, 2, 3, 4, ... períodes.

b) Dóna la regla n ~ ª" (essent n el nombre de períodes que han passat i ª" la quantitat de radi que queda sense desintegrar).

15

e) Repeteix totes les preguntes anteriors en el cas que inicialment hi hagués 24 mg de radi, en comptes d'un g.

d) Busca en algun llibre el període de semidesintegració d'altres subs­tàncies radioactives.

Una persona col·loca els seus diners, 500.000 pts. a la Caixa d'Estalvis en una llibreta a la vista i a un interès del 2 per cent. Suposant que no necessita els diners durant cinc anys, quants en tindrà al cap dels cinc anys?

En aquest cas, els interessos, contràriament al problema A.2 s'afe­geixen al capital, i els anys següents produeixen nous interessos. És l'anomenat interès compost.

Concretant: lnicialment ingressa 500.000 pts .. al cap d'un any aquest

500.000 . 2 capital haurà produït uns interessos de: = 10.000 pts.

100

Així el capital al començament del segon any serà de 500.000 + + 10.000 = 510.000 pts. i així succesivament.

Disposarem els càlculs a la taula següent:

Capital al començament Saldo o

Any de l'any Interessos Capital al fin al de l'any

1 500.000 0,02 . 500.000 500.000 + 10.000 = 510.000 2 510.000 3 4 5

a) Completa aquesta taula fins als 5 anys.

b) Trobes alguna relació entre els nombres de l'última columna? Com s'obté Sn a partir de Sn-1?

e) Sabries escriure una fórmula que ens permetés calcular el saldo al final del cinquè any? l de l'any dotzè? l d'un any qualsevol?

d) Compara la successió dels saldos amb la corresponent al pro­blema A.2.

16

Les successions com les dels problemes C. l, C.2 i C.3 no són progres­sions aritmètiques, perquè la diferència entre termes consecutius no és constant. En canvi, cada terme s'obté de l'anterior multiplicant-lo per una constant r. Les successions d'aquest tipus s'anomenen progressions geomè­triques. La constant s'anomena raó de la progressió.

Escriu els sis primers termes de les progressions geomètriques defi­nides per les condicions:

a) 81 = 2 r= 2

b) 81 = 5 82 = 4

81 = 2 i r= 1/2

83 = 5 i r= 1,5

81 =g i 82 = 3

82 = 3 i r= v2

a) La fórmula de recurrència d'una progressió geomètrica és

8n = 8n-1 . r

Per tal de calcular l 'expressió del terme general completa la taula:

n 8n

1 81

2 82 = 82 . r

3 83 = 82 . r= 81 ,2 . . . . . . n 8n=

b) Escriu el terme general de les progressions geomètriques dels pro­blemes C.1, C.2 i C.3.

Digues quines de les successions següents són progressions, i les que ho siguin dóna la diferència o raó i l'expressió algèbrica del terme general.

a) 2, 4, 6, 8, 10, ...

b) 8, 5, 2, - 1, - 4, ...

2, 4, 8, 16, 32, ...

1 V2' 1, V2, 2, 2V2, ...

17

e) 625, 375, 225, 175, 105, ...

d) 1, 4, 9, 16, 25, ...

e) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

3, -5, 7, -9, 11, ...

0.3, 0.03, 0.003, 0.0003, ...

1/2, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, ...

a) Escriu tres progressions geomètriques de raó positiva i més petita que 1, i tres de raó més gran que 1. Comprova que per a cada una de les tres primeres és possible de trobar un terme més petit que 0,000001. l que per a les altres es pot trobar un terme el valor del qual és més gran que M = 1320000.

b) Discuteix la proposició: Una progressió geomètrica de raó més petita que 1 és decreixent i els seus termes s'acosten a zero indefini­dament.

Escriu quatre termes de cadascuna de les següents progressions geomètriques, i digues si es tracta de successions creixents, decreixents, o ni una cosa ni l'altra.

a) 81 = 3, r= 2

b) 81 = 3 - V2. r = V2 - 1

C) 82 = 12, r = 0 .1

Quant val r en cada cas?

d) 2

ai= 162, r=--3

e) a1 = 12, r= 0,1

f) a2 = V2 - 1 ' ª4 = V2 + 1

Al problema C.3 hem calculat el saldo obtingut en col·locar un capital a l 'interès compost. Resoldrem ara aquest problema en general.

a) Considerem un capital e sotmès a un r per cent durant un any. Comprova que al cap de l'any el capital s'ha multiplicat per un factor. Troba'l.

b) Escriu l'expressió del terme general de la progressió geomètrica de primer terme e i raó el factor que has trobat.

e) Dóna amb precisió la fórmula del saldo obtingut al cap d'n anys par­tint d'un capital e imposat a l'interès compost de l'r per cent.

18

r ,.

11

C.10

Durant deu anys, el preu d'un cert metall s'ha multiplicat per 1,20 cada any. Quant val al cap dels deu anys allò que valia 1.000 pts. al començament?

C.11

En una progressió geomètrica a, = 3 i 82 = 7. Calcula ª"·

C.12

Continua la successió 3, 5, ...

a) Si es tracta d'una progressió aritmètica

b) Si es tracta d'una progressió geomètrica.

19

D

suma d'una

dels termes ,

progressi o

1. PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES

Diuen que a GAUSS, un dels més grans matemàtics des que el món és món i al qual devem importants contribucions tant en Matemàtiques com en altres branques de la ciència aplicada, li agradava explicar allò que li va passar quan a deu anys fou admès a la classe d'aritmètica. Contava que des­prés de l'explicació del primer dia, el mestre els va proposar un llarg problema.

l li l l 11 1

Cari Friedrich Gauss ( 1777-1855)

20

l

El problema era d'aquest tipus: havien de sumar els nombres 81 297 + 81 495 + ... + 100 899, on hi havia 100 nombres tals que ca­dascun era igual a l'anterior sumant-li el nombre 198.

Era costum que el qui primer acabava, posés la seva pissarra sobre la taula, el següent en acabar la posava a sobre de la del primer, i així succes­sivament.

El mestre havia acabat l'enunciat quan GAUSS va posar la pissarra, on hi havia escrit un sol nombre, sobre la taula. Mentrestant, els seus com­panys s'escarrassaven a fer multitud de càlculs.

GAUSS explicava que el nombre escrit per ell era el correcte i tots els altres estaven equivocats.

Ara et preguntem, quin és aquest nombre?

Per ajudar-te a resoldre aquesta qüestió, farem de primer un petit exercici semblant, encara que de resolució més senzilla.

Volem calcular el nombre de campanades que toca durant un dia un rellotge que només toca a les hores.

" Per això, fixa't que n'hi ha prou de sumar les campanades que toca durant mig dia i multiplicar per 2. El problema queda, doncs, limitat a trobar la suma de la progressió aritmètica:

1, 2, 3, 4, ... , 12

o sigui, buscar:

1 + 2 + 3 + ... + 12

Ben cert que aquest resultat el pots calcular directament.

Malgrat això, veurem ara un procediment que et permetrà de calcular la suma de n termes consecutius de qualsevol progressió aritmètica.

Representarem gràficament la progressió de la manera següent: cada terme serà representat per un rectangle de la mateixa alçada i de llargària proporcional al seu valor i es disposen tal com s'indica a la figura:

21

----,, 2¡

31 41

s¡ 61

7 l

ª' 91

10 l 111

12 ¡

i afegim a cadascun d'aquests rectangles, els rectangles corresponents als termes de la progressió canviats d'ordre.

Obtenim així la figura:

1 l 12

2 l 11

3 l 10

41 9

s l 8 6 l 7

7 l 6

8 l s 91 4

10 l l

111 2

12 l 1

Dues vegades la suma buscada és l'àrea del rectangle.

Comprova que el resultat és el mateix que l'obtingut sumant direc­tament.

Utilitzant aquest procediment suma els termes de la progressió:

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20

i comprova que no t'has equivocat.

22

-,

Suma, ara sense fer el dibuix, la progressió:

2 + 5 + 8 + 11 + ... + 200 + 203 + 206 + 209

Resol el problema que van posar a Gauss a la classe d'aritmètica.

Ben segur t'hauràs adonat que el procediment emprat per trobar la suma dels termes de les progressions aritmètiques dels quatre pro­blemes anteriors es recolza en la propietat de les progressions aritmè­tiques elaborada en el gràfic del problema D .1.

Si observem el gràfic, és palès que la suma dels termes inicial i últim és igual a la suma del segon i antepenúltim, i així successivament.

Anem a provar aquesta propietat en general. Considerem n termes consecutius d'una progressió aritmètica.

a,' a2, ... ' an-3, ªn-2, ªn-1, ª" i indiquem per ah i ak dos termes que equidistin dels extrems, és a dir:

a,, ... , ah, ... , ak. ... , ª" '-v--' '-v--'

h termes h termes

a) Expressa ah en funció de a, i ak en funció de ª"· b) Quant val la suma ah + ak?

e) Enuncia la propietat provada.

Troba la suma S dels n termes consecutius d'una progressió arit­mètica:

Per fer-ho, utilitza el procediment emprat en els quatre primers pro­blemes i basa't en la propietat provada al problema 0.5.

23

2. PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES

Recorda que a la llegenda d'en Sissa i el rei Shirham, el rei havia de col·locar l, 2, 4, 8, ... grans de blat a les diverses caselles del tauler. En el problema C. l vam calcular el nombre de grans que corresponien a cada casella, però, quants grans de blat són necessaris en total?

Per contestar aquesta pregunta hem de calcular:

l + 2 + 4 + 8 + . . . + 26 2 + 26 3

Abans d'abordar aquest càlcul, cerquem quants grans hi ha a la primera línia. Caldrà calcular

5 = l + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128

Ho podries sumar directament, però anem a veure un procediment que ens estalviï de fer la suma i que es pugui aplicar a casos més complexos.

Observa que si multipliquem l'última expressió per 2 resulta

25 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256

I restant ambdues expressions, com que gairebé tots els termes són iguals, queda reduïda:

25-5 = 256-1

i així 5 = 255

a) Segueix el mateix procediment per trobar el nombre total de grans de blat necessaris per cobrir tot el tauler.

b) Emprant el mateix mètode calcula

s = 3 + 15 + 75 + 375 + 1875 + 9375 + 46875

Per quin nombre hauràs de multiplicar ara? Per què?

Considerem, ara, el cas general d'una progressió geomètrica de terme inicial 81 i raó r. Volem calcular la suma Sn dels termes fins al terme 8n.

És a dir:

Sn = 81 + 82 + 83 ... + 8n-2, + 8n-1 + 8n

24

a) Per quin nombre haurem de multiplicar Sn perquè l'expressió obtin­guda tingui gairebé tots els termes iguals que Sn?

b) Un cop feta la multiplicació, resta les dues expressions i aïlla Sn.

a)

b)

e)

d)

e)

D'aquesta manera hauràs obtingut una fórmula que ens permetrà de sumar directament qualsevol nombre de termes consecutius d'una progressió geomètrica.

Utilitza la fórmula obtinguda per calcular:

1 1 1 1 1 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32

1 1 1 1 1 1--+---+---

2 4 8 16 32

(\12-1) + (\12-1)\12+ h/2-1) h/2)2+ ... + ( V2 -1) ( \(2)9

5 + 5(1,1) + 5(1,1) 2 + 5(1,1) 3 + ... + 5(1,1)7

3 - 6 + 12 - 24 + 48 - 96 + 192 - 384 + 768

~ Un alumne de primer de BUP fa una proposta al seu germà, que estu­

dia EGB: «Et donaré 1 pesseta el primer dia d'abril, 2 pessetes el segon dia, 3 el tercer i així-successivament fins a fi de mes. En canvi, tu em donaràs solament 1 cèntim el primer dia, 2 cèntims el segon, 4 el tercer, 8 el quart dia, etc.»

Calcula el saldo i comprova qui hi surt guanyant.

Una comissió de delegats d'un Institut ha de convocar els seus companys a una assemblea. Es reparteixen la feina de la manera següent. Cadascun en convocarà 3 amb el compromís que cadascun d'aquests en convoqui tres més i així successivament. Suposant que per terme mitjà s'empra 1 /2 hora en cada comunicació, quant temps tardaran a conèixer l 'hora i el lloc tots els alumnes de l 'Institut? Suposa que la Comissió de Delegats té 20 alumnes i que el nombre total d'alumnes de l'Institut és de 2.187.

25

E suma d'una

. ,. ' . progressia geometr1ca indefinida

En l'apartat anterior hem obtingut una expressió que ens permet calcu­lar la suma de n termes d'una progressió geomètrica. En el cas que la raó de la progressió sigui més petita que l, la progressió és decreixent, i es pot parlar de la suma d'infinits termes de la progressió.

1. SUMA DELS TERMES D'UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA DECREIXENT

Veurem un exemple en el qual això té sentit. Es tracta d'una formu­lació de la coneguda Paradoxa d'Aquilles i la tortuga, plantejada originà­riament per ZENÓ n'ELEA (n. 489 a.C.).

«Aquil·les i una tortuga han de competir en una cursa. Aquil·les, com a bon esportista, dóna un cert avantatge a la tortuga. Un cop començada la carrera, quan Aquil·les arribi al punt de partença de la tortuga, ella ja estarà en un altre punt i quan Aquil·les hi arribi la tortuga ja haurà avançat un altre tros. Així, Aquil·les s'està aproximant a la tortuga, però mai no arriba a atrapar-la.»

Aquesta paradoxa ha estat considerada i interpretada per molts pen­sadors en els darrers vint-i-cinc segles.

26

Per precisar l 'argument quantitativament, posem per cas que la velo­citat d'Aquil·les és el doble de la velocitat de la tortuga, i que l'avantatge inicial és d'1 km. Quan Aquil·les arriba al punt de partença de la tortuga, aquesta ja és 1 /2 km més enllà, i en el següent pas 1/4, ... Per calcular el camí d'Aquil·les abans d'atrapar la tortuga, caldrà sumar:

1 1 1 1 +-+-+- ...

2 4 8

és a dir, els termes d'una progressió geomètrica indefinida de raó 1 /2.

a) Comprova, utilitzant l'expressió de la suma de n termes d'una pro­gressió geomètrica, que la suma dels n primers termes d'aquesta

progressió (des de 1'1 fins al -1-) és: 2n-l

1 Sn= 2--2n-1

b) Comprova, fent un gràfic de la funció f : n --7 1 /2" que a mesura que n augmenta, f(n) = 1/2n tendeix a zero.

Això ho escriurem en la forma:

tim n~ oo

Quant val, doncs, tim Sn? n~ oo

1 -=O 2n

e) Els moviments d'Aquil·les i la tortuga es poden representar en un gràfic com el següent. Interpreta en el gràfic la suma dels termes de la progressió.

a) Donada la progressió 1 /3, 1 /9, 1 /27, ... Calcula li m Sn trobant n~ oo

primer Sn i seguint un procés com l'anterior

b) Fes el problema d'Aquil·les suposant que la velocitat d'aquest és deu vegades la de la tortuga.

Escriu l'expressió que dóna la suma dels infinits termes d'una pro­gressió geomètrica de primer terme a1 i raó r (r < 1). Segueix un procés semblant al del problema f.1.

a) Troba la fracció generatriu del decimal periòdic 0,3. (Fixa't que podem escriure 0,3 = 0,333 ... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ...

b) Fes el mateix amb els nombres 0,45, 1,1'j, 2,'615'. 21,1572.

En el quadrat d'1 m de costat s'uneixen els punts mitjans dels quatre costats, formant un altre quadrat, del qual unim una altra vegada els punts mitjans dels costats, i així successivament. Troba el límit de la suma de les àrees dels quadrats formats en aquest procés.

Calcula la longitud de la línia poligonal indefinida representada en la figura.

28

2. LfMITS

- En els problemes anteriors s'ha plantejat el càlcul de sumes d'infinits termes d'una progressió, que hem resolt calculant els límits de les succes­sions de sumes Sn. La idea de límit d'una successió és útil en moltes altres situacions. Per exemple, el nombre 1t (relació entre una circumferència i el seu diàmetre) es defineix com a límit d'una successió que precisarem ara:

En el problema A.5 fèiem el càlcul del costat del quadrat, de l'octògon, dels polígons de 16, 32, ... costats. Recordem que obteníem:

es= 1(2- V2 C4 = V2 C16 = /2 - v& 'lf2

C32 = v 2 - -v2 + v12 + V2

Si prenem com a aproximació de la longitud de la circumferència el perímetre de cada un d'aquests polígons inscrits en la circumferència de radi l, podrem trobar successives aproximacions del número '!t.

a) Escriu els cinc primers termes d'aquesta successió.

b) Amb l'ajut d'una màquina de calcular troba els valors aproximats de cada un d'aquests termes. Compara-ho amb l'aproximació de 1t amb deu decimals: 1t = 3,1415926535 ...

El nombre 7t amb 707 xifres decimals (Universitat de París)

29

Per algunes successions és intuïtiu endevinar-ne el límit. Et proposem que amb ajut de la representació gràfica o per observació dels valors, encertis el límit de les successions següents:

2n-7 a) 8n = 1 l n 8n = 5/n 8n=1-5/n ª" =---n

b) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ... 2,9, 2,99, 2,999, 2,9999, ...

e) 1

8n =--­n2-2n

8n = n2 8n = 2 + (-1)"

n-1 Considera la successió 8n = ---

2n + 1

8n = n2 -n

b) Cap a quin nombre creus que s'aproxima la successió?

E.10

Per cada una de les successions proposades troba 8100, 81000, 81.000.000.

a) 3, 5, 7, 9, ... 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ... ª" = 6 + 1/n

b) n n-7

8n = n + 10

8n = n2 + 2

8n = 2 + (-1)"

e) n2 + 1 2+(-1)"

8n = 3 + 8 (n - 1) 8n = n+3 ª" = n

En algunes de les successions proposades veiem que quan n pren valors molt i molt grans, an s'aproxima molt i molt a un nombre fix. D'aquest nombre en direm límit de la successió i l'escriurem lim an.

Per exemple:

lim }:___ = O n lim ( 6 + ~ ) = 6

I en el cas que els termes de la successió per valors grans de n superin tots qualsevol nombre preestablert, direm que la successió és de límit infinit.

30

Per exemple:

lim n = 00 lim Vn = oo

No hi ha un procediment general per determinar si una successió té límit o no, i per trobar-lo. Hi pot ajudar molt disposar del terme general i a vegades transformar l'expressió del terme general en una altra que permeti endevinar el límit de la successió.

Per exemple:

an = 3n2 -7n +l 2n2 + l

es pot escriure:

3n2 -7n +l nz

an=-------2n2 + l

nz

7 l 3--+-

n n2

l 2 +-n2

i d'aquesta última expressió es pot deduir lim an = ~ .

E.11

Troba el límit de les successions:

a) n2 + 3 2n + 1 n3 + n2

- Vn ª" = 5n2 ª" = 4n-3 ª" = 3n3 -n

Vn 2n-1 ª" = Yl1+1 - Vn b) ª" = ª" = 5-3n + 1 3n + 7

E.12

Et proposem unes quantes successions més perquè consideris quin podría ser el seu límit, o si és que no en tenen. Et pot ser un ajut:

• Dibuixar el gràfic cartesià de la successió, o bé

• Escriure el terme general de la successió, o bé

• Expressar els termes de la successió en forma decimal.

a) 1, O, 2, O, 3, O, 4, O, ...

31

b) 3, 5, 7, 9, 11, ... 0,6, 0,66, 0,666, 0,6666, ...

e) 1 + 1/2, 1 + 1/3, 1 + 1/4, 1 + 1/5, ... 3/2, 5/3, 7/4, 9/5,

d) 1, 10, 2, 11, 3, 12, 4, 13, ... O, 1, O, 1/2, O, 1/3, O, 1/4, ...

E.13

Digues, segons la diferència o la raó, quins poden ser els límits de les progressions aritmètiques i geomètriques. (Recorda els problemes B.8 i C.7.)

E.14

Escriu successions de límit O; de límit 7; sense límit; de límit oo,

Escriu-ne tres per a cada cas.

32

TREBALL SOBRE SUCCESSIONS l PROGRESSIONS ------.

1. Successions

• Definició.

• Terme general.

• Formes de definir una successió.

• Les successions com a funcions de domini fN. Representació gràfica.

2. Progressions aritmètiques

• Definició.

• Terme general d'una progressió aritmètica de primer terme a1 i diferència d.

• Progressions aritmètiques de diferència positiva i negativa.

• Gràfic d'una progressió aritmètica.

3. Progressions geomètriques

• Definició.

• Terme general d'una progressió geomètrica de primer terme a1 i raó r.

• Progressions geomètriques de raó r > 1 i r < 1.

4. Suma dels termes d'una progressió aritmètica.

5. Suma dels termes d'una progressió geomètrica.

6. Suma d'una progressió geomètrica indefinida i decreixent.

7. Límit d'una successió. Exemples.

33

F

problemes de consolidació

En un conegut acudit es conta que: «Dos antics companys d'estudi, en Joan i l'Albert, es troben després de molt de temps de no veure's. L'Albert tenia fama entre els seus companys d'ésser poc hàbil en Mate­màtiques. En Joan li pregunta com li, van les coses i l'Albert respon:

-No puc queixar-me; vaig començar amb un petit capita/et, el vaig invertir en la compra de terrenys i cada any guanyo el 2 per cent d'allò que vaig tenint.

-Només un 2 per cent?

-Sí, compro a 100 i venc a 200.

a) Si l'Albert va començar amb 500.000 pts fa vuit anys, quant té ara realment?

b) Quant tindria si fos cert que només guanyés el 2 per cent anual?

e) Quin és realment el tant per cent de guany de cada any?

Sabent que, en fer una perforació, a mesura que hom s'endinsa sota la terra, la temperatura augmenta 1 ºC cada 33 m de profunditat, a quants metres s'assoliran els 100 ºC, si a la superfície hi ha una temperatura de 18 ºC?

34

Desgraciadament, la taxa de desvaloració anual que experimenten els diners és molt gran. L'any 1975, aquesta desvaloració fou a l'Estat espanyol del 17 per cent. Suposem que aquesta taxa s'hagi mantingut constant durant els anys posteriors al 1975. Si avui tenim 500.000 pts, quant hauríem de tenir d'aquí a cinc anys per conservar el mateix poder adquisitiu? l al cap de deu anys?

Un dels documents més antics que hi ha és el papir de Rhind, així anomenat per haver estat el seu primer posseïdor, l'any 1858, un anti­quari escocès que es deia Rhind. Aquest papir fou escrit cap al 1700 a.C. i és un manual pràctic de matemàtiques egípcies. És format per uns 85 problemes referents a l'ús de fraccions, solucions d'equacions sim­ples, mesura d'àrees i volums, i progressions.

Un d'aquests problemes és el següent: Entre cinc persones es repar­tiren 100 mesures de blat de manera que cadascuna rebé la mateixa quantitat més que l'anterior, i les dues primeres la setena part del que va correspondre a les tres restants. Quina quantitat en va rebre cadascuna?

El nombre aproximat de bacteris d'una colònia ve donada per la taula següent:

Temps (hores) o 1 2 3 4 5 6

Nombre (milers) 8 9,6 11,7 14 16,7 19,7 23,6

El temps es compta des de l'instant en què es fa la primera obser­vació.

a) Busca una progressió aritmètica o geomètrica que s'aproximi a aquestes dades.

b) Quin serà el nombre aproximat de bacteris al cap de deu hores?

e) A quina hora creus que el nombre de bacteris haurà superat els 50.000?

35

En una certa ciutat la població augmenta cada any, però la taxa de creixement es manté pròxima al 2 per cent des de l 'any 1959. En aquest any la població era d'un milió de persones.

a) Quin és el nombre d'habitants a cada un dels anys 1960, 1961, 1962, 1963, 1964, 1965?

b) Quina població es pot preveure per a l'any 1983? l per a l'any 2000?

e) A quin any aproximadament s'haurà duplicat la població?

El senyor A és un gran afeccionat al camp i la il·lusió de la seva vida és fer-s'hi una caseta. Creu que amb un milió de pessetes se la podrà fer i per això està estalviant, des del 1970, 60.000 pessetes cada any. Aquesta quantitat la ingressa, cada fi d'any en una llibreta a termini d'un any. Haurà estalviat prou diners l'any 1980?

Per fer aquest càlcul informa't sobre quin és el tant per cent d'interès que produeix una llibreta d'estalvis d'aquest tipus. Observa que el pro­blema és idèntic a suposar que les 60.000 pts. produeixen interès com­post durant el nombre d'anys que hi ha des de l'any en què foren ingres­sades fins a l'any 1980.

En una antiga aritmètica trobem aquest divertit problema: "Una per­sona, ja fa molts anys, va vendre el seu cavall per 156 pts. Però el com­prador se'n penedí i el va retornar al seu antic amo, tot dient-li:

-No m'interessa comprar el cavall per aquest preu, puix no ho val.

El venedor li proposà noves condicions.

l

-Si aquest preu et sembla car, compra'm només els claus de les l ferradures i et donaré el cavall com a regal.

A cada ferradura hi ha sis claus, per tant compra'm els 24 claus i paga'ls de la manera següent: pel primer clau em pagues 1 /4 de cèntim; pel segon 1 /2 cèntim; pel tercer 1 cèntim i així successivament.

El comprador, enlluernat per les noves condicions, va acceptar la pro­posta, creient que no hauria de pagar més de 1 O pts.,,

Quin va ésser l'import de la compra?

36

Considerem una successió els dos primers termes de la qual són 729, 810, ...

Escriu-ne tres termes més en cada un dels casos següents:

a) Suposant que és una progressió aritmètica.

b) Suposant que és una progressió geomètrica.

e) De manera que no sigui ni una progressió aritmètica ni una progres­sió geomètrica.

En el cas a) dóna la diferència i en el b), la raó.

F.10

Al papir de Rhind, ja esmentat en el problema F.4, hi trobem un pro­blema de progressió geomètrica l'enunciat del qual pot ésser: «En cada una de 7 cases hi ha 7 gats i cada gat mata 7 rates; cada rata es podria haver menjat 7 espigues d'espelta; cada espiga d'espelta podria haver produït 7 hekats de gra (hekat: mesura de capacitat aproximadament igual a 4,5 /).Es demana de calcular, quant de gra s'ha salvat gràcies als 7 gats de les 7 cases.>•

Hi ha una gran semblança entre aquest problema i una antiga ende­vinalla rimada del segle XVlll que posarem en anglès perquè no perdi el seu encant.

As l was going to St. Ives l met a man with seven wives Every Wife have seven sacks Every sack had seven cats Every cat had seven kits Kits, cats, sacks and wives How many were there going to St. Ives.

(Mentre anava cap a Sant Ives) (Vaig trobar un home amb 7 esposes) (Cada esposa portava 7 sacs) (A cada sac hi havia 7 gats) (Cada gat tenia 7 gatets) (Gatets, gats, sacs i esposes) (Quants eren els que anaven cap a Sant Ives).

Intenta resoldre ambdós problemes.

F.11

Les freqüències corresponents a les notes «do" de les 7 octaves d'un piano són:

37

Freqüència

do2 (do més greu del piano) 32 s-1

do3 64 s- 1

do4 128 s-1

do9 (do més agut del piano) 4.096 s-1

a) Completa els buits de la taula.

b) Una octava de do a do comprèn 12 intervals de semitons; per exem­ple a l'octava do5 -do6 hi ha

do5 do# 5 re5 re# 5 mis fa5 fa#s sols sol#s

las la:lif s sis do6

Amb les dades de la taula i un cop admès que cada interval repre­senta aproximadament un augment del 6 per cent, calcula les freqüèn­cies corresponents a les notes fas, la 5 sense haver de calcular les freqüències de totes les notes intermèdies.

F.12

S'ha col·locat a interès compost una quantitat de 500.000 pessetes; si s'hi haguessin deixat dos anys menys, el capital definitiu haguera disminuït en 4.412,93 pts; si, contràriament, hi hagués estat dos anys més, el capital haguera augmentat en 4.773 pts. Calcula el percentatge a què estaven col·locades aquestes pessetes.

F.13

Un hortolà va vendre a un primer comprador la meitat de les pomes del seu jardí més mitja poma; al segon, la meitat de les que li quedaven més mitja poma; al tercer, la meitat de les que li restaven més mitja poma i així successivament fins a 7 compradors. Quantes pomes tenia l 'hortolà al seu jardí?

F.14

El material d'una fàbrica val 800.000 pts. Tenint en compte que cada any perd el 15 per cent del seu valor, quant valdrà al cap de sis anys?

38

F.15

Per a 31 gallines s'han preparat unes reserves de menjar d'un deca­litre setmanal per a cadascuna. Això es feia suposant que el nombre de gallines seria invariable. Però com que cada setmana aquest nombre disminuïa en una, el menjar va durar el doble d.el que s'havia calculat. Quina quantitat de menjar van preparar com a reserva i per a quant temps fou calculada?

F.16

En una progressió aritmètica d'un nombre senar de termes, la suma dels que ocupen lloc senar és 100 i la dels que ocupen lloc parell 75. Calcula el terme central i el nombre de termes de la progressió.

F.17

Per obrir una rasa es va contractar un equip de treballadors. Aquesta rasa hauria estat acabada en 24 hores d'haver-hi treballat tot l'equip. Però, de primer va començar un sol treballador, al cap d'un cert temps se li va afegir un segon treballador, i així fins a l'últim sempre al cap d'un mateix temps.

Quan es va fer el recompte de les hores treballades es va veure que el primer obrer havia treballat 11 vegades més de temps que l'últim.

Quant de temps va treballar l'últim? ¿Tens suficients dades per co­nèixer el nombre d'obrers de l'equip?

F.18

En el problema D .5 vas determinar una curiosa propietat de les pro­gressions aritmètiques que et va permetre de trobar la suma de n termes consecutius.

Hi ha una propietat semblant per a les progressions geomètriques que et permetrà de trobar el producte den termes consecutius.

a) Considera n termes consecutius d'una progressió geomètrica:

i indica per a ah i ak dos termes que equidistin dels extrems, és a dir:

39

a1, ... , ah, ... ak, ... ª" ~''-y-'

h termes h termes

Expressa ah en funció de a1 i ak en funció de ª" i calcula ah · ªk· Quina propietat en dedueixes?

b) Utilitzant un procés semblant al del problema 0.5, demostra que el producte dels n termes consecutius de la progressió anterior és P = V (a1 · an)"

F.19

a) Troba els termes d'una progressió aritmètica tals que la suma dels tres primers sigui 63 i la diferència entre el tercer i el primer 4.

b) Troba el terme 113 d'una progressió aritmètica en la qual els termes segon i quart sumen 32, i els termes cinquè i novè sumen 60.

e) La suma dels termes de lloc imparell d'una progressió geomètrica és 16.383 i la dels de lloc parell 32.766. Determina el primer terme i la raó sabent que té 14 termes.

F.20

En un prisma recte la base és un triangle rectangle, els costats del qual estan en progressió aritmètica. Troba les dimensions del prisma i el volum, si l'altura és doble que la hipotenusa de la base i el perímetre bàsic és 300 cm.

F.21

El capital d'una persona es divideix en dues parts iguals que es col·loquen a interès compost del 5 per cent i del 3 per cent, respectiva­ment, durant dos anys. La diferència entre els capitals finals és de 3.000 pessetes. Quin era el capital primitiu?

F.22

a) Calcula els angles d'un quadrilàter sabent que estan en progressió geomètrica i que el quart és nou vegades el segon.

b) El producte de 3 nombres en progressió geomètrica és 216. Si multi­pliquem el primer per 12, el segon per 5 i el tercer per 2 obtenim

40

l

l

tres nombres en progressió aritmètica disposats en el mateix ordre. Calcula'ls.

e) Els angles d'un polígon convex formen una progressió aritmètica de primer terme 9/7 d'angle recte i de raó 1/21 d'angle recte. Troba'n el nombre de costats.

d) Troba tres nombres que estiguin es progressió geomètrica i tals que si els disminuïm en 1, 2, 8, unitats, respectivament, els resultats són proporcionals a 2, 4, 6.

F.23

Interpolar n termes diferencials entre dos nombres a i b, és cercar nombres que formin amb els a i b una progressió aritmètica.

Interpolar n termes proporcionals entre dos nombres a i b, és cercar n nombres que formin amb els a i b una progressió geomètrica.

a) Interpola entre 8 i 5.832 cinc termes proporcionals.

b) Interpola quatre termes diferencials entre 7 i 32.

F.24

En un quadrat de costat 1 m s'inscriu un cercle i en aquest un qua­drat; en aquest últim es torna a inscriure un cercle i així successivament. Calcula la suma de les àrees dels infinits quadrats que s'anirien obtenint. Calcula la suma de les àrees dels infinits cercles.

41

F.25

a) Dividim una corda de 700 m en tres parts i un dels trossos de l'extrem amida 100 m. Determina'n les longituds, si sabem que estan en progressió geomètrica.

b) Troba el cinquè terme d'una progressió geomètrica, els dos primers

termes de la qual són 81 = 3 i 82 = ~ 5-1

e) Troba la raó d'una progressió geomètrica de sis termes, si la suma dels cinc primers val 170,5 i la dels cinc últims 682. Escriu-ne la pro­gressió.

f,26

Una teranyina té forma hexagonal. Els hexàgons són regulars i equi­distants els uns dels altres. El més interior té un costat de 2 mm i el més exterior de 92 mm. El nombre total d'hexàgons és de 150.

a) Quina és la longitud del fil que ha segregat l'aranya per construir la tela? (Nota: considera només el fil dels hexàgons i menysprea els fils de sosteniment AA', BB', CC' i el camí que ha hagut de recórrer l'aranya per construir la tela.)

b) Anomenant 81 la longitud de l'hexàgon interior i 8150 la del més exterior, calcula la raó de la progressió.

B

A C

C' A'

B'

42

l

G

estudis

1. ANUALITATS

En aquest estudi veurem una aplicació de les progressions geomètriques que, donada la seva importància a la societat de consum on vivim, bé me­reix una certa atenció.

Com molt bé sabem avui dia, poca gent es pot deslliurar de pagar una hipoteca, sol·licitar un crèdit personal o comprar a terminis. Tractarem, ara, aquests tipus de qüestions.

Anualitats d'amortització

Es demana un préstec de 100.000 pts i es tornarà en terminis iguals durant cinc anys. Les condicions del prèstec són:

a) Se suposa que el deute no queda saldat fins al final del cinquè any.

b) Durant aquests cinc anys, el deute produeix un interès compost del 1 O per cent anual: la suma total a pagar al final dels cinc anys serà, doncs, el deute més el interessos.

e) Cada termini és pagat en finalitzar cadascun dels cinc anys.

d) Cada termini pagat produeix interès compost al 1 O per cent anual fins que el deute queda liquidat.

43

Amb aquestes condicions es vol saber quina és la quantitat que hem d'ingressar anualment (anualitat) perquè el deute quedi liquidat.

Per fer-ho:

• Calcula en quina quantitat s'han convertit les 100.000 pts ini­cials al cap dels cinc anys.

• Completa la taula següent, on figuren els pagaments anuals i el saldo de cada un al cap dels cinc anys.

Anys que falten per

Pagament amortitzar Anualitat + Interessos d'anualitats Anualitats el deute al cap de cinc anys

Al final 1r. any a 4 a (1 + 0,1) 4 = a1 ,1 4

Al final 2n. any a Al final 3r. any Al final 4t. any Al final 5è. any

• La suma de l'última columna representa el total acumulat en els cinc anys. Fes aquesta suma.

• Aquesta suma ha de coincidir amb la quantitat que hem de pagar. Igualant els darrers resultats podràs calcular a.

Amb les condicions del problema anterior, suposem que volem amortitzar un préstec de D pessetes en n anys i a un interès del r per cent anual.

Repeteix el procediment emprat a l'apartat G.1 i calcula la quantitat a.

l

La quantitat a hom l'anomena anualitat d'amortització i l'expressió tro- l bada ens permet de calcular les quantitats que hem d'ingressar anualment per amortitzar un deute D en n anys.

Aquesta mateixa expressió ens serveix en el cas d'amortitzar el deute en n períodes iguals encara que no siguin anuals, sinó, per exemple. mensuals, trimestrals, semestrals. En aquest cas, el percentatge r ha de ser mensual, tri­mestral, semestral.

44 ~ !

- En l'estudi fet fins ara hem emprat un model matemàtic que ens ha servit per a explicar com es realitzen els pagaments dels deutes. Tanma­teix, el funcionament real no és aquest, encara que doni el mateix resultat. La justificació de l'ús del model és la major senzillesa en els càlculs per a l'obtenció de a.

Anem a veure, ara, quin és el funcionament real.

Ens han fet un préstec de 100.000 pts, el qual hem de tornar al cap de cinc anys sota les condicions següents:

a) En finalitzar cada any s'ingressa la mateixa quantitat, en aquest cas 26.379,74 pts, que hem calculat en el problema anterior.

b) Aquesta quantitat es fa servir, el primer any, per una banda per a pagar els interessos produïts per les 100.000 pts al 10 per cent en aquest any i per l'altra la resta s'utilitza per a amortitzar una part del deute.

Els anys següents, l'anualitat s'inverteix a pagar els interessos pro­duïts pel capital no amortitzat en aquest any i la resta a amortitzar més capital.

Disposarem els càlculs de la manera següent:

Capital Capital per Any Anualitat Interessos amortitzat amortitzar

1r. 26.379,74 10.000 16.379,74 83.620,27 2n. 26.379,74 -,8.362,03 65.502,56 3r. 19.819,49 4t. 5è.

Es tracta d'amortitzar un deute de 150.000 pts en tres anys al 12 per cent anual.

a) Calcula l'anualitat.

b) Construeix la taula d'amortització.

45

Encara que aquest és el funcionament dels préstecs, els bancs i les caixes d'estalvis introdueixen lleugeres modificacions, de les quals veurem, irra, alguns exemples significatius.

Hipoteca

Una caixa d'estalvis hipoteca un pis en una quantitat de 350.000 pes­setes a pagar en dotze anys. Durant els dos primers anys, només es paguen interessos i no s'amortitza capital. L'amortització es realitza en els anys següents en terminis semestrals. Si el percentatge d'interès és 8,5 per cent anual, calcula:

a) El valor de cada termini.

b) Els interessos totals.

e) El percentatge d'interessos respecte al capital prestat.

d) El capital que queda per amortitzar al final del sisè any d'haver-se contractat la hipoteca.

Préstec personal

Un banc concedeix un préstec personal sota les condicions següents:

a) El valor del préstec és de 300.000 pts; el rèdit un 13 per cent anual.

b) El pagament es farà en 40 mesos i de la manera següent: el capital total a tornar es divideix en dues parts, una de 214.225 pts. es paga en terminis mensuals iguals durant 39 mesos; el mes 40 es paga un termini de 85.775 pts, més els interessos produïts per aquesta quan­titat durant els 40 mesos.

e) La mensualitat a pagar durant els primers 39 mesos és de 6.764 pts.

46

Per facilitar el pagament de l'últim termini, el mateix banc obre una llibreta d'estalvis a un 2,75 per cent anual a la qual s'ingressa cada mes 3.300 pts.

Totes aquestes condicions queden reflectides a la taula d'amortit­zació següent:

Capital 300.000 Tipus d'interès 13 per cent anual

Interès Amortit- Capital Quota del zació del per Capital Dipòsit

Període periòdica préstec préstec amortitzar amortitzat voluntari

1 6.764 2.321 4.443 295.557 4.443 3.300 2 6.764 2.273 4.491 291.066 8.934 6.600 3 6.764 2.224 4.540 286.526 13.474 9.900 4 6.764 2.175 4.589 281.937 18.063 13.200 5 6.764 2.125 4.639 277.298 22.702 16.500 6 6.764 2.075 4.689 272.609 27.391 19.800 7 6.764 2.024 4.740 267.869 32.131 23.100 8 6.764 1.973 4.791 263.078 36.922 26.400 9 6.764 1.921 4.843 258.235 41.765 29.700

10 6.764 1.868 4.896 253.339 46.661 33.000 11 6.764 1.815 4.949 248.390 51.610 36.300 12 6.764 1.762 5.002 243.388 56.612 39.600 13 6.764 1.707 5.057 238.331 61.669 42.900 14 6.764 1.653 5.111 233.220 66.780 46.200 15 6.764 1.597 5.167 228.053 71.947 49.500 16 6.764 1.541 5.223 222.830 77.170 52.800 17 6.764 1.485 5.279 217.551 82.449 56.100 18 6.764 1.428 5.336 212.215 87.785 59.400 19 6.764 1.370 5.394 206.821 93.179 62.700 20 6.764 1 .311 5.453 201.368 98.632 66.000 21 6.764 1.252 5.512 195.856 104.144 69.300 22 6.764 1.192 5.572 190.284 109.716 72.600 23 6.764 1.132 5.632 184.652 115.348 75.900 24 6.764 1.071 5.693 178.959 121.041 79.200 25 6.764 1.009 5.755 173.204 126.796 82.500 26 6.764 947 5.817 167.387 132.613 85.800 27 6.764 884 5.880 161.507 138.493 89.100 28 6.764 820 5.944 155.563 144.437 92.400 29 6.764 756 6.008 149.555 150.445 95.700 30 6.764 691 6.073 143.482 156.518 99.000 31 6.764 625 6.139 137.343 162.657 102.300 32 6.764 559 6.205 131.138 168.862 105.600 33 6.764 491 6.273 124.865 175.135 108.900 34 6.764 423 6.341 118.524 181.476 112.000 35 6.764 355 6.409 112.115 187.885 115.500 36 6.764 285 6.479 105.636 194.364 118.800 37 6.764 215 6.549 99.087 200.913 122.100 38 6.764 144 6.620 92.467 207.533 125.400 39 6.764 72 6.692 85.775 214.225 128.700 40 132.000 46.225 85.775 o 300.000 132.000 Total capital amortitzat Total interessos Total capital i interessos

300.000 95.796 395.796

Calcula:

a) Quina seria la mensualitat en el cas d'amortitzar-se les 300.000 pts. a terminis iguals en 40 mesos.

b) La diferència d'interessos entre aquest cas i el real.

e) La suma d'interessos produïts a la llibreta d'estalvis.

Remarca l'analogia amb el problema G.1.

Venda a terminis

Un automòbil costava, el mes d'agost de 197 4, 244.000 pts posat a la carretera. Una modalitat de pagament seria:

• Una entrada de 94.000 pts i les 150.000 restants a terminis.

• Els terminis són a interès simple al 12 per cent anual i els inte­ressos es calculen sobre el total del capital retardat.

Calcula:

a) Quant sumen els interessos quant la mensualitat, si es paga en un any.

b) Si es paga en dos anys.

e) Quines serien aquestes mensualitats, si els interessos correspon­guessin a interès compost, tal com hem calculat els problemes anteriors.

48

Anualitats de capitalització

Tractarem, ara, una qüestió semblant a la del problema F.7. Ens inte­ressa trobar l 'anualitat que és necessari ingressar al començament de cada any perquè al cap de deu anys tinguem un capital de 1.000.000 de pessetes. Les condicions són:

a) L'anualitat s'ingressa a començament de cada any.

b) Cada anualitat produeix interès compost al 8 per cent durant el nombre d'anys que hi ha entre l 'any en què fou ingressada fins al dia que es retira el capital acumulat.

Pots disposar el càlcul de la manera següent:

Anys que Any al principi falten per del qual es fa a retirar

l'ingrés Anualitat el capital Anualitat + Interessos

1r. C 10 c(1 + 0,08) 10 = C· 1,081º 2n. C 9 C ( 1 + 0,08) 9 = C • 1,099

. . . 10è. C 1 c(1 + 0,08) =C· 1,08

Un cop acabats els càlculs, remarca que el capital acumulat, el qual volem que sigui 1.000.000, ha d'ésser igual a la suma de l'última columna. D'aquesta manera podràs determinar l'anualitat c.

Amb les condicions del problema anterior, suposem que volem acu­mular un capital C en n anys a un interès del r per cent anual.

Repeteix el procediment emprat a l'apartat G.8 i calcula la quantitat c.

L'expressió obtinguda també ens serveix en el cas que la imposició de l'anualitat es realitzi en n períodes iguals encara que no siguin anuals, sinó, per exemple, mensuals, trimestrals, semestrals, etc. En aquest cas el percentatge r ha de ser mensual, trimestral, semestral, ...

49

2. LLEI DE MALTHUS

Veurem, ara, una qüestió de gran importància en la història de l'econo­mia, on es fa palesa la gran diferència entre la variació dels termes d'una progressió aritmètica i els d'una de geomètrica.

L'any 1798 es va publicar un llibre que s'ha fet famós: Principi sobre la població, on el seu autor, Robert MALT H US, feia un estudi comparant el creixement de la població i el creixement dels aliments necessaris per a la seva subsistència. «Crec honradament -deia Malthus- poder assentar els dos postulats següents:

PRIMER: L'aliment és necessari per a l'existència de l'home.

SEGON: La passió entre els sexes és necessària i es mantindrà pràctica­ment en el seu estat actual.»

Basant-se en el fet que als Estats Units, en un període de gran prospe­ritat i sense catàstrofes o guerres que n'haguessin debilitat el creixement, la població es va doblar en 25 anys, Malthus va concloure que la població, quan no hi ha cap obstacle que ho impedeixi, es dobla cada 25 anys, creixent en progressió geomètrica:

l, 2, 4, 8, 16, ...

D'altra banda, també va estimar que els recursos agrícoles poden augmentar cada 25 anys en la quantitat existent en un moment donat, però no doblar-se cada 25 anys, sinó créixer sempre en aquesta mateixa quantitat, és a dir, al ritme:

l, 2, 3, 4, 5, ...

de manera que si a Anglaterra hi havia 7 milions de persones l'any 1800, n'hi hauria 14 milions l'any 1825 i 112 milions, és a dir, 16 vegades més, l'any 1900. Mentre que si els aliments fossin suficients el 1800, n'hi hauria només quatre vegades més el 1900. Per tant, solament es podrien alimentar 35 milions de persones i la resta, 77 milions, no tindrien aliments l'any 1900.

«Considerant certs els meus postulats, asseguro que la capacitat de crei­xement de la població és infinitament més gran que la capacitat que té la terra de produir aliments per a l'home. La població, si no troba obstacles, augmenta en progressió geomètrica. Els aliments només augmenten en

50

progressió aritmètica. N'hi ha prou d'ésser posseïdor de les més elementals nocions de nombres per a poder apreciar la gran diferència a favor de la primera d'aquestes dues forces.

Perquè es compleixi la llei que l'aliment és indispensable per a la vida, els efectes d'aquestes dues forces tan desiguals han d'ésser mantinguts al mateix nivell.

La necessitat que la població es redueixi al nivell dels mitjans de subsis­tència és una veritat evident.

Això implica que la dificultat de la subsistència exerceixi sobre la força de creixement de la població una forta i constant pressió restrictiva. Aquesta dificultat haurà de manifestar-se i fer-se sentir cruelment en un ampli sector de la humanitat.

La misèria és una conseqüència absolutament necessària d'aquesta llei. Aquesta natural desigualtat entre els dos factors de la població i de la

producció i aquella gran llei de la nostra natura, gràcies a la qual els efectes d'aquestes forces es mantenen anivellats, constitueixen la gran deficultat, al meu entendre insuperable, per anar perfeccionant la societat. Tots els altres arguments, comparats amb aquest, són d'escassa i secundària significació. No veig manera que l'home pugui eludir el pas d'aquesta llei que abraça i penetra tota la natura animada. Cap pretesa igualtat, cap reglamentació agrària, per molt radical que sigui, no pot eliminar, ni tan sols durant un segle, la pressió d'aquesta llei, que apareix, doncs, com decididament opo­sada a la possible existència d'una societat en què els seus membres puguin tenir tots una vida de repòs i felicitat, i no sentin angoixa davant la difi­cultat de proveir-se dels mitjans de subsistència que necessiten ells i llurs famílies.

Per tant, sí les premisses són justes, l'argument en contra de la perfec­tíbilidad de la massa de la humanitat és terminant.»

ºº * o

o

51

EVOLUCIÓ DE LA POBLACIÓ l DE LA PRODUCCIÓ DE L'ESTAT ESPANYOL ENTRE 1954 l 1974

Producte Població Nacional Brut

Any (milers Agricultura Indústria i Serveis P.1.8. (en milions d'habitants) i Pesca Construcció de pts de 1964)

1954 28.812 153.809 204.100 288.652 646.561 683.686 1955 29.056 151.388 221.596 299.238 672.222 715.033 1956 29.301 160.913 240.832 327.374 729.119 774.301 1957 29.548 164.042 251.239 336.360 751.641 800.643 1958 29.798 176.498 269.936 346.994 793.4281 846.625 1959 30.049 175.554 270.392 329.162 775.108 ¡ 827.224 1960 30.303 176.124 277.523 328.033 781.680 833.108 1961 30.592 189.840 315.168 364.685 869.693 926.805 1962 30.917 204.029 350.822 398.608 953.459 1.019.578 1963 31.246 216.840 389.959 426.791 1.033.590 1.105.419 1964 31.578 196.787 414.585 470.500 1.081.872 1.155.329 1965 31.913 193.560 460.314 501.174 1.155.048 1.232.736 1966 32.253 202.809 515.744 534.629 1.253.182 1.337.409 1967 32.595 206.862 548.703 565.118 1.320.683 1.408.924 1968 32.942 217.942 588.462 600.876 1.407.280 1.501.812 1969 33.292 222.861 662.009 645.761 1.530.631 1.631.787 1970 33.646 228.214 706.038 695.540 1.692.792 1.739.579 1971 34.003 246.240 733.567 724.758 1.704.565 1.820.799 1972 34.365 252.143 821.583 781.265 1.854.991 1.986.209 1973 34.730 266.011 907.028 838.297 2.011.336 2.161.473 1974 35.099 279.046 970.520 876.020 2.125.586 2.278.281

Les xifres del quadre donen dades reals relatives a l'estat espanyol en els anys que s'indiquen.

Es demana que cada grup estudiï aquestes dades i les comenti tot comparant-les amb les afirmacions de Malthus.

Cada grup redactarà un treball que un cop acabat lliurarà.

Podeu prendre com a base les preguntes següents:

1. La població espanyola creix en progressió geomètrica? A quin ritme anual? A quin ritme indica Malthus?

52

2. Els productes agrícoles creixen en progressió aritmètica? ¿l els aliments?

3. El Producte Nacional Brut no creix ni en progressió geomètrica ni en progressió aritmètica, però el seu creixement, a què s'assembla més?

4. Quines dades hi ha a les taules, a les quals Malthus no es refereix? Podrien influir sobre les seves afirmacions?

5. De quina manera el creixement de la indústria pot afectar els aliments?

6. Què creus que ha crescut més ràpidament: la població o els ali­ments?

7. Fes una mitjana anual del creixement de la producció d'aliments i, suposant que es mantingui, fes una previsió global per a l'any 2000.

8. Fes una previsió de la població de l'estat espanyol per a l'any 2000 bo i suposant que es mantingui la progressió geomètrica que mos­tren les dades.

9. Quines raons hi poden haver perquè no augmenti la producció d'aliments?

10. L'any 1974 es va celebrar a Bucarest una conferència mundial sobre la població. Allà, els països rics i els països en vies de desenvolupa­ment no es mostraren d'acord sobre el projecte de mantenir una mateixa taxa màxima de natalitat a tots els països. Quines raons creus que tenen els països en vies de desenvolupament per a tenir un punt de vista diferent al dels països rics?

3. UN MÈTODE PER A SUMAR SUCCESSIONS

En aquest apartat estudiarem un altre procediment per a sumar els termes d'una progressió geomètrica o d'una progressió aritmètica.

Aquest procediment té dos avantatges:

a) Pot ésser emprat tant per a progressions aritmètiques com per a pro­gressions geomètriques.

b) És més general, perquè permet trobar, a més, altres sumes: per exem­ple, sumes de quadrats, sumes de cubs, etc.

53

G.10

Abans d'entrar en el càlcul de la suma dels termes d'una progressió geomètrica veurem una propietat que és vàlida per a una successió qualsevol.

En primer lloc presentarem un exemple: considerem una successió finita qualsevol 6, 8, 14, 2, 5 /3, 10.

Fixeu-vos que la diferència entre l'últim i el primer terme es pot escriure:

10-6 = (10-5/3) + (5/3-2) + (2-14) + (14-8) + (8-6)

Utilitzant la notació funcional tindríem: per a la successió

i ~f(i)

1~6

2~8

3~14

i per a la diferència entre l'últim i el primer:

4~2

5~5/3

6~10

f(6)-f(l) = f(6)-f(5) + f(5)-f(4) + f(4)-f(3) + f(3)-f(2) + + /(2)-f(l)

i, fins i tot, si emprem la notació L per a indicar la suma de manera abreu­jada, ens quedarà:

s

~ [f(i + l ) - f(i) J = f( 6) - f(l ) i=l

Escriu, seguint un procés semblant al de l'exemple, la diferència entre l'últim i el primer terme de les successions següents, usant la notació funcional.

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

b) 1/2, 1/6, 1/18, 1/54, 1/162

e) -3, 1, 5, 9, 11, 13, 15, 21

54

G.11

Considerem la successió escrita de manera funcional i f (i) de domini A= 1, 2, ... ,n.

Comprova, tenint en compte l'exemple i els exercicis de G.10 la igualtat:

n-1

¡ [f (i+ 1) - f Ci)] = f (n) - f (1)

i=l

Calcularem, ara, la suma dels termes d'una progressió geomètrica.

Si considerem els termes d'una progressió geomètrica fins al an:

sabem que:

on r és la raó de la progressió.

La suma d'aquests termes serà:

S = a1 + ... + an = a1 + a1 · r + a1r2 + ... + a1r"-1

i traient a1 factor comú queda:

S= a1(l +r+ r2 + ... + r"- 1)

El problema queda reduït, doncs, a calcular la suma l + r + r2 + + ... + rn-1

Per fer-ho, considera la funció (successió) f: i---+ ri de domini IN. Calcula, usant el resultat anterior, la suma:

n-1

2 [f (i + 1) - f (i) J i=l

D'aquesta expressió dedueix que:

n-1

¡ . r"-r r'=---

r-1 i=l

i determina el valor de S.

55

G.12

Anem a calcular, ara, la suma den termes consecutius d'una progres­sió aritmètica.

a) Considera la funció de domini IN f : i---+ i2 i emprant la fórmula:

Z [f(i + 1) - f (i)] = f [n + 1) -f (1)

j;]

obtinguda a G.11, comprova que:

i=l

b) Considera la successió de domini IN f : i---+ 1 + 4 (i -1)

Escriu la successió i comprova que és una progressió aritmètica i utilitzant el resultat de la part a), calcula'n la suma de n termes consecutius.

e) Considera la progressió aritmètica de raó d:

81, 82, ... , 8;, ...

Completa la funció de domini IN:

f: i 8¡ =

de manera que sigui la progressió anterior i calcula'n la suma dels n primers termes.

G.13

Per últim, utilitzem la fórmula:

Z[f U + 1 J - f U)] = f [n + 1J - f C 1J i=l

per calcular altres sumes, per exemple:

ZP (i) essent P [i) un polinomi.

56

a) Comencem calculant:

2i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2

i=l

Per això considera la funció f : i f (i) = i3 i emprant un procés semblant al de G.12, demostra que és igual a:

2 ¡2 = 2n3 + :n2 + n

i=l

b) Calcula ¡ i3, però emprant la funció f (i) = i4 i els resultats caleu-

i=l

lats abans.

e) Calcula:

n

¡(3i2- 2i + 5)

i=l

Observa que aquest mètode té les seves limitacions, perquè, per

exemple, per calcular 2i4 cal conèixer o haver calculat prèviament

n

~·3 ~\ ~. ~'·~l, ~l i=l i=l i=l

57

~®©lofüQ)[fD@íl vicens-vives . - - ---------