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Matemáticas III Unidad 5. La Parábola y su Ecuación Cartesiana.
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MATEMÁTICAS III
UNIDAD 5
Cuando lanzamos un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal, éste
describe una trayectoria parabólica. En su obra Dialogo sobre los Sistemas del Mundo (1633),
Galileo Galilei expone que el movimiento de un proyectil puede considerarse el resultado de
componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme;
otro, vertical y uniformemente acelerado.
LA PARÁBOLA
Y SU ECUACIÓN
CARTESIANA
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UNIDAD 5
LA PARÁBOLA Y SU ECUACION CARTESIANA
5.1 Propósitos de la Unidad y los diferentes Conocimientos,
Conceptuales, Procedimentales y Actitudinales 186
5.2 Diagrama Estructural 187
5.3 Nota Histórica 188
5.4 La parábola como lugar geométrico. 189
5.5 Trazo de una Parábola, el método del sastre. 190
5.6 Definición de Parábola y sus Elementos. 190
5.7 Ecuación Ordinaria de la Parábola con V(0,0) 192
5.8 Ecuación Ordinaria de la Parábola con V(h,k) 194
5.9 Ejercicios propuestos con solución. 198
5.10 Respuestas a los ejercicios propuestos. 201
5.11 Ejercicios diversos de Parábola. 202
5.12 Propuesta de Evaluación 205
5.13 Glosario 207
5.14 Bibliografía 207
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UNIDAD 5.
LA PARÁBOLA Y SU ECUACION CARTESIANA
5.1 PROPÓSITOS: Reafirmar el método analítico al obtener la ecuación de la parábola.
Consolidar el reconocimiento de formas, estructuras y procedimientos al resolver
diversos problemas que involucren a la parábola y otros lugares geométricos ya vistos.
Conocimiento Conceptual.
• Comprender el Concepto de la Cónica: Parábola como lugar Geométrico, así como los elementos que la definen.
• Conocer la Ecuación ordinaria con vértice en el origen de la Parábola.
• Conocer la Ecuación Ordinaria con vértice fuera del origen de la Parábola.
• Conocer la Ecuación General de la Parábola.
• Identificar cuando una ecuación cuadrática, representa una Parábola.
• Conocer la importancia práctica e histórica del estudio de la Parábola. Circunferencia.
Conocimiento Procedimental.
• Trazar una Parábola, utilizando elementos geométricos.
• Pasar de la Ecuación General de la Parábola, a la Ecuación Ordinaria de la misma, para identificar sus elementos principales y graficar.
• Identificar los problemas que se pueden resolver mediante ecuaciones de la Parábola.
• Resolver problemas de corte euclideano utilizando la Parábola.
Conocimiento Actitudinal.
• Tener confianza en sus propias capacidades, fomentando la autoestima.
• Curiosidad del alumno por el planteamiento y resolución de problemas que se resuelven utilizando Parábolas.
• Gusto por la sistematización y secuenciación de la resolución de un problema geométrico que involucre la Parábola.
• Disciplina y cumplimiento del trabajo en clase y de las tareas en casa.
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5.2 DIAGRAMA ESTRUCTURAL
MATEMÁTICAS III.
UNIDAD 5. LA PARÁBOLA Y SU ECUACION CARTESIANA
Cónicas
La Parábola como lugar Geométrico
La Ecuación Cartesiana de la
Parábola.
Problemas diversos de corte Euclideano, que se resuelven con la Parábola.
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5.3 NOTA HISTÓRICA. El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las
denominaba así y experimentaba con tiros parabólicos. Recuerda las destrezas de
David frente a Goliat. Pero hasta que Galileo explicó las leyes que rigen los
movimientos no se ponen las bases de su conocimiento. Este conocimiento fue el que
permitió poner una nave, lanzada desde la Tierra, (planeta en movimiento), en órbita
con Marte, que no ha parado de moverse y el que permite predecir donde estará
mañana un objeto sabiendo donde está hoy.
Galileo estudió la caída de los cuerpos y basándose en su estudio experimental pudo
contradecir la creencia de los aristotélicos que afirmaban "que un cuerpo de 10 veces
más pesado que otro tardaba en caer 10 veces menos". Utilizó su pulso para medir el
tiempo de caída y también relojes de agua, que le proporcionaban poca precisión.
Calculó con diferentes experimentos que, despreciando la resistencia del aire, todos los
cuerpos caen en el vacío con aceleración g=9.8 m/s 2.
La parábola que describe un objeto lanzado al aire se puede estudiar como la
combinación de un movimiento uniforme rectilíneo horizontal a la altura de la salida y
otro vertical uniformemente acelerado.
Galileo calculó la expresión del alcance en función de la velocidad inicial y del ángulo
de lanzamiento, le produjo una especial satisfacción puesto que logró explicar lo que le
habían contado los artilleros respecto a que el alcance máximo se produce con un
ángulo de 45 º.
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5.4 LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede
apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una
pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver
que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento,
podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función
que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la
pelota.
La parábola es una de las curvas cónicas más utilizadas en la tecnología actual.
Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar las señales de
televisión emitidas por un satélite. Con ella podemos ver emisoras de televisión de
todas partes del mundo. Del mismo modo, la parábola también se emplea para
fabricar los faros de los coches o algunas obras de arquitectura, como se aprecia
en la siguiente figura:
La ciudad norteamericana de San Luis, a orillas del Mississippi, da la bienvenida a
sus visitantes con un enorme arco en forma de parábola. Es el Gateway Arch, que
mide 192 metros de altura. Este impresionante monumento simboliza el papel de
San Luis como "puerta de entrada" al Oeste americano.
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5.5 TRAZO DE UNA PARÁBOLA Hay muchas formas de trazar una parábola. El método del sastre es uno de los
más sencillos. Lo usan esos profesionales cuando quieren coser una tela en forma
de curva.
Se dibuja un ángulo cualquiera. Se marcan divisiones iguales en cada uno de los
dos lados, numeradas empezando en ambos casos por el vértice. Se unen los
puntos cuyos valores suma una constante, por ejemplo 11, (se puede hacer con
cualquier otro número). La envolvente de las rectas obtenidas es una parábola.
5.6 DEFINICION DE PARÁBOLA Y SUS ELEMENTOS
Se llama Parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
Dado P un punto cualquiera de la parábola, siendo F el foco y d, la recta directriz,
se cumple:
d (P, F)= d (P, d)
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de
parámetro de la parábola (suele denotarse por a ).
Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es
perpendicular a la directriz.
Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.
Los anteriores elementos se ilustran en la siguiente figura.
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La parábola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto P, de la
parábola con su foco, el ángulo que forman el radio focal con la tangente en ese
punto, es igual al ángulo que forma la tangente en ese punto con la recta paralela
al eje de la parábola.
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Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la
emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja paralelo al eje y viceversa (una
emisión, de luz o sonido, paralela al eje de la parábola se concentra en el foco.
Los faros de los coches y las antenas parabólicas hacen uso de esta propiedad.
5.7 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE ( 0,0) Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma
distancia de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Aplicando
esta definición de la igualdad: d (P, F)= d (P, d)
Se obtienen las siguientes ecuaciones:
Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical con vértice en el origen y parámetro
0a ≻ 2 4x ay=
Elementos de la parábola.
1.- Vértice V(0,0)
2.- Foco F(0, a ) es decir, la distancia del vértice al foco es la distancia a .
3.- Lado recto (longitud del segmento AB)= 4a El lado recto es un segmento que
pasa por el foco y determina la “abertura” de la parábola, por lo que las coordenadas
de los puntos extremos son ( 2 , )A a a− , y (2 , )B a a
4.- Ecuación de la recta directriz y a= −
5.- Gráfica de la ecuación 2 8x y= , con vértice en el origen y parámetro 2a =
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Si en la ecuación 2 4x ay= , el parámetro 0a≺ , entonces la gráfica será una
parábola vertical que abre hacia abajo y los distintos elementos que se
mencionaron simplemente se reflejan sobre el eje X.
Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal con vértice en el origen y parámetro
0a ≻ 2 4y ax=
Elementos de la parábola.
1.- Vértice V(0,0)
2.- Foco F( a ,0) es decir, la distancia del vértice al foco es la distancia a
3.- Lado recto (longitud del segmento AB)= 4a El lado recto es un segmento que
pasa por el foco y determina la “abertura” de la parábola, por lo que las coordenadas
de los puntos son ( , 2 )A a a , y ( , 2 )B a a−
4.- Ecuación de la recta directriz x a= −
5.- Gráfica de la ecuación 2 4y x= , donde el parámetro 1a =
Si en la ecuación 2 4y ax= el parámetro 0a≺ , entonces la gráfica será una
parábola horizontal que abre a la izquierda y los distintos elementos que se
mencionaron simplemente se reflejan sobre el eje Y.
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5.8 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE (h,k )
Para obtener la Ecuación Ordinaria de la Parábola con Vértice (h,k), se realiza un
procedimiento de cambio de coordenadas, es decir, en la Ecuación Ordinaria
básica de la Parábola con Vértice en el origen, reemplazamos x y y por x-h y y-
k respectivamente, lo que significa cambiar el Vértice de la Parábola (0,0) por
(h,k). De esta manera se obtiene las siguientes Ecuaciones:
Ecuación ordinaria de la parábola vertical con V(h,k) 2( ) 4 ( )x h a y k− = −
Si 0a ≻ la parábola abre hacia arriba.
Si 0a≺ la parábola abre hacia abajo.
Ecuación ordinaria de la parábola horizontal con V(h,k) 2( ) 4 ( )y k a x h− = −
Si 0a ≻ la parábola abre hacia la derecha.
Si 0a≺ la parábola abre hacia la izquierda.
EJEMPLO 1
1. Determinar las coordenadas del foco, la longitud del lado recto la ecuación de la
recta directriz y graficar la parábola con la Ecuación General 24 32 0x y− = .
Solución:
Primero dividimos toda la ecuación entre cuatro y la rescribimos como 2 8x y= .
Comparándola con la ecuación ordinaria se observa que 4 8a = , por lo que el
parámetro 2a = , es decir, tenemos una parábola con vértice en el origen que debe
abrir hacia arriba, en consecuencia las coordenadas del foco serán (0, 2)F ,
claramente el lado recto es igual a ocho y la ecuación de la recta directriz es
2y = − .
En seguida mostramos la gráfica:
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EJEMPLO 2.
Determinar la ecuación ordinaria, las coordenadas del foco, la longitud del lado
recto y trazar la gráfica de la parábola, si se sabe que su vértice es V(0,0) y la
ecuación de la recta directriz es 3x = .
Solución:
La ecuación de la directriz tiene la forma x a= − luego se deduce que a= 3− y
dado que el vértice es el origen tenemos una parábola horizontal que abre a la
izquierda y en consecuencia las coordenadas del foco son ( 3,0)F − y la ecuación
ordinaria es igual a 2 (4)( 3)y x= − , es decir, 2 12y x= − , el lado recto es igual a 12.
La gráfica es:
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EJEMPLO 3.
Dada la ecuación ordinaria de la parábola 2( 2) 8( 3)x y− = + , determinar las
coordenadas del vértice, foco, longitud del lado recto, ecuación de la directriz y
ecuación general de la misma.
Solución:
De la forma ordinaria se deduce que las coordenadas del vértice son V(2,-3), así
también se deduce que 4 8a = , por lo que el parámetro 2a = , por ser positivo la
parábola es vertical y abre hacia arriba. Se sabe que el foco se localiza a una
distancia adel vértice, por lo que las coordenadas del foco son (2, 1)F − . La
longitud del lado recto es igual a 8. Para determinar la ecuación de la recta
directriz se sabe que ésta se localiza a una distancia a del vértice y dado que será
una recta horizontal se obtiene la ecuación 5y = − .
Para obtener la Ecuación General basta desarrollar e igualar a cero la ecuación
ordinaria, es decir, 2 4 4 8 24x x y− + = + finalmente se obtiene la Ecuación General
2 4 8 20 0x x y− − − =
La gráfica es la siguiente:
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EJEMPLO 4. Dada la ecuación general de la parábola 2 6 12 27 0y y x+ + − = ,
determinar la ecuación ordinaria, las coordenadas del vértice, foco, ecuación de la
recta directriz, longitud del lado recto y graficar.
Solución:
Primero ordenamos la ecuación general de la siguiente manera: 2 6 12 27y y x+ = − +
Completando el trinomio cuadrado perfecto, se tiene, 2 6 9 12 27 9y y x+ + = − + +
Factorizando obtenemos la ecuación ordinaria
2( 3) 12( 3)y x+ = − −
Observando esta ecuación se tiene una parábola horizontal con vértice V(3,-3),
parámetro 3a = − , por lo que la parábola debe abrir a la izquierda, con lado recto
igual a 12, y dado que el foco se encuentra a tres unidades del vértice F(0,-3). La
ecuación de la recta directriz, por encontrarse a tres unidades del vértice en
sentido opuesto tiene ecuación 6x = .
La gráfica es la siguiente:
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EJEMPLO 5.
Trazar la grafica de: 2( 1) 4( 2)y x− = −
Solución:
En este caso tenemos una parábola horizontal, con parámetro 1a = , V(2,1), F(3,1)
y la Ecuación de la recta directriz es x =-1
5.9 EJERCICIOS PROPUESTOS CON SOLUCIÓN
En los problemas del 1 al 13 se consideran parábolas con vértice en el origen, es
decir, V (0,0). En los problemas del 1 al 7 determinar la ecuación de la parábola
que satisface la condición dada y trazar la gráfica.
1. Foco (4,0)
2. Foco (-3,0)
3. Directriz x – 6 = 0
4. La longitud del lado recto es 12 y abre hacia abajo.
5. Abre hacia la izquierda y pasa por el punto P (-1,1)
6. Abre hacia la derecha y la longitud del lado recto es 12.
7. Los extremos del lado recto son los puntos A (-3,6) y B (-3,-6)
8. Determinar las coordenadas del foco, el lado recto y trazar la gráfica de la
parábola con la ecuación 23 24 0x y− = .
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9. Determinar las coordenadas del foco, el lado recto y trazar la gráfica de la
parábola con la ecuación 24 48 0y x+ = .
10. Determinar las coordenadas del foco, el lado recto y trazar la gráfica de la
parábola con la ecuación 2 10 0x y+ = .
11. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con parámetro 3.5a = − que
tiene la siguiente gráfica:
12. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con parámetro 5a = que
tiene la siguiente gráfica:
13. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con parámetro 1a = − que
tiene la siguiente gráfica:
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En los problemas del 14 al 17, calcular la ecuación ordinaria de la parábola que
satisface las condiciones dadas.
14. V (2,0) , F (2,2)
15. V (-3,1) , F (1,1)
16. Los extremos del lado recto son A (3,1) y B (3,5) y abre hacia la derecha.
17. V (-1,-2), el lado recto = 12 y abre hacia abajo.
En los problemas 18 y 19, dada la ecuación general de la parábola, hallar las
coordenadas del vértice y del foco.
18. 2 12 6 45 0y x y+ − + =
19. 2 12 16 60 0x x y− + − =
20. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con parámetro 1a = − que
tiene la siguiente gráfica:
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5.10 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1. 2 16y x=
2. 2 12y x= −
3. 2 36y x= −
4. 2 12x y= −
5. 2y x= −
6. 2 12y x=
7. 2 12y x= −
8. 1
,03
F
, lado recto = 8, la gráfica es la siguiente:
9. ( )3,0F − , lado recto = 12, la gráfica es:
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10. ( )0, 2.5F − , lado recto = 10, la gráfica es:
11. 2 14x y= −
12. 2 20y x=
13. 2 4x y= −
14. 2( 2) 8x y− =
15. 2( 1) 16( 3)y x− = +
16. 2( 3) 4( 2)y x− = −
17. 2( 1) 12( 2)x y+ = − +
18. V (-3,3) F (-6,3)
19. V (6,6) F (6,2)
20. 2( 1) 4( 1)x y− = − −
5.11 EJERCICIOS DIVERSOS DE PARÁBOLA
Hallar todos los elementos de las parábolas que se indican y graficar:
1. Hallar todos los elementos de las parábolas que se indican y graficar:
a) y2=8x b) 3x2-20y=0 c) y2-24x=0 d) x2+6y=0 e)V=(0,0) F= (0,2)
f) V=(0,0) directriz x+2
3=0 g) V=(0,0) F=(0,-5) h) V=(0,0) directriz y=-2
i) F=(-3,-2) V=(-3,-5) j) V=(3, 5
3) directriz y=-2 k) V=(-4,-1) F=(-4,-3)
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l) 4x2+16x-3y+28=0 m) y2-24x+10y+49=0 n) x2-y+7=0
ñ) 2x2+20x+4y+58=0 o) y2-8x-8y+64=0 p) 12x2-72x+y+78=0
q) Los extremos del lado recto son (3,1) y (3,5) y abre a la derecha.
r) V=(-1,-2) lr=12 y abre hacia abajo.
s) V=(3,-2) y los extremos del lado recto son (-2, 1
2) y (8,
1
2)
t) Extremos del lado recto (-2,-7) y (6,-7) y abre hacia arriba.
u) Es horizontal y pasa por R=(6,12) S=(2
3,8) T=(
1
6,5)
Indicación:
Sustituir cada punto en la ecuación general 2 0y Cx Dy E+ + + =
Se formará un sistema de tres ecuaciones, con las tres incógnitas
?, ?, ?C D E= = =
Enseguida resolver el sistema de ecuaciones, con los métodos estudiados en la
unidad 1 del presente curso, y una vez que se tenga la ecuación general,
transformar ésta a la ecuación ordinaria completando el TCP, como en el ejemplo
4, después obtener la ecuación ordinaria, deducir el vértice, el parámetro, el resto
de los elementos y graficar.
v) Es vertical y pasa por R=(0, 7
4
−) S=(
5
2,2) T=(-
1
2,2)
w) Es vertical y pasa por R=(-1,4) S=(3,-38) T=(-4,4)
x) Es horizontal y pasa por R=(3
4,9) S=(-
5
4,1) T=(0,11)
2. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la
circunferencia x2+y2-2x+2y=0 y la directriz es x=2.
3. Encuentra la ecuación de la parábola vertical que abre hacia abajo cuyo vértice
es el centro de la circunferencia x2+y2-14y+40=0.
4. Encuentra los puntos donde se cruzan la parábola y2-x=0 y la circunferencia
x2+y2-2x=0.
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5. Encuentra la intersección de la recta y la parábola:
a) 6x-y-2=0, x2+4x-y-5=0
b) x-6y-15=0, y2-x+9y-25=0
c) 4x-7y+38=0, y2-2x-4=0
d) x+2y+14=0, y2+x+16y+63=0
6. Aplicaciones
a) Un telescopio reflector tiene un espejo parabólico que mide 20 pies de un lado a
otro en la parte de arriba y 4 pies de profundidad.
¿Dónde debe colocarse la lente (posición del foco)?
b) Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan
en puente colgante cuando el claro es de 150m y la depresión de 20m.
7. Dibuja la región que se encuentra fuera de la parábola y2-2x-6y+5=0 y dentro
de la parábola 3y2+4x-30y+67=0
8. Determinar la ecuación ordinaria, vértice, foco, gráfica y lado recto de la
parábola con ecuación general 2 10 20 25 0x x y+ + + = .
9. Dada la siguiente gráfica, si se sabe que el parámetro 3a = , determinar la
ecuación general de la parábola.
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5.12 PROPUESTA DE EVALUACIÓN
EXAMEN DE LA UNIDAD 5
LA PARÁBOLA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA
1. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y foco en
(0,5), Graficar.
2. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen con
extremos del lado recto ( 4,8)A − y, ( 4, 8)B − − , Graficar.
3. Graficar la parábola con ecuación ordinaria 2 12x y= − , indicando las
coordenadas del vértice y foco.
4. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola con foco en (-5,0) y directriz 5 0x− =
y graficar.
5. Dada la siguiente gráfica, si se sabe que el parámetro 2a = − , determinar la
ecuación ordinaria de la parábola.
6. Determinar la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en (2,3) y foco en
(7,3) Graficar.
7. Graficar la parábola con ecuación 2( 3) 8( 2)y x− = + , indicando las coordenadas
del vértice, del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la recta directriz.
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8. Determinar la ecuación ordinaria, vértice, foco, gráfica y lado recto de la
parábola con ecuación general 2 10 20 25 0x x y+ + + = .
9. Dada la siguiente gráfica, si se sabe que el parámetro 3a = , determinar la
ecuación ordinaria de la parábola.
10. Hallar la ecuación general de la parábola horizontal que pasa por los puntos
R(1,1), S(1,-3) y T(-2,0)
Indicación: sustituya cada uno de los puntos en la ecuación general: 2 0y Bx Cy D+ + + =
Al sustituir cada punto se genera una ecuación que contiene las incógnitas B, C, D,
por lo que se forma un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, mismo que
se puede resolver por los métodos estudiados en la unidad 1 del presente curso,
de esta manera se obtiene la ecuación general pedida.
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5.13 GLOSARIO
Parábola. Se llama Parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
Dado P un punto cualquiera de la parábola, siendo F el foco y d, la recta directriz,
se cumple: d (P, F)= d (P, d)
Parámetro de la Parábola. Es la distancia entre el foco y la directriz de una
parábola, también es la distancia entre el Vértice y el Foco de la parábola.
Eje de la Parábola. Dada una parábola, se llama eje de la misma a la recta que
contiene al foco y es perpendicular a la directriz.
Vértice de la Parábola. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta
a su eje.
Foco de la Parábola. Es un punto sobre el eje de la Parábola, que biseca
perpendicularmente el lado recto de la misma.
Lado recto de la Parábola. Es un segmento de longitud 4( )parámetro , que es
bisecado por el foco. Determina la “abertura” de la parábola.
Ecuación de la Parábola. Ec. Ordinaria de la parábola vertical: )(4)( 2 kyphx −=−
Ec. General de la Parábola vertical: 2 0x Cx Dy E+ + + =
Ec. Ordinaria de la parábola horizontal: )(4)( 2 hxpky −=−
Ec. General de la Parábola horizontal: 2 0y Cx Dy E+ + + =
5.14 BIBLIOGRAFÍA
1. Oteyza, Lam. Geometría Analítica y Trigonometría. Ed. Pearson . México, 2001.
2. Ruiz Basto. Geometría Analítica. Publicaciones Cultural. México, 2002.
3. Fuenlabrada, Samuel. Geometría Analítica Ed. Mc. Graw Hill. México, 2000.
4. Cuevas,Mejia .Geometría Analítica Dinámica Ed. Oxford. México 2005.
5. Hernández, Landa,et.al. Lecciones de Matemáticas 3, CCH-NAUCALPAN,
2004.