MATEM`TICAS I, Grado en Ingeniería ElØctrica, Electrónica...

MATEMÁTICAS I, Grado en Ingeniería Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica.

Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Politécnica Superior de Sevilla

Curso 2010-11

Boletín no 1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

1. Resolver los siguientes sistemas por el método de Gauss.

a)

8<:x1 + x2 + 2x3 = 8

�x1 � 2x2 + 3x3 = 13x1 � 7x2 + 4x3 = 10

b)

8<:2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

�2x1 + 5x2 + 2x3 = 18x1 + x2 + 4x3 = �1

c)

8>><>>:x� y + 2z � w = �1

2x+ y � 2z � 2w = �2�x+ 2y � 4z + w = 1

3x� 3w = �3

d)

8<:�2b+ 3c = 1

3a+ 6b� 3c = 16a+ 6b+ 3c = 5

e)

8<:2x1 � 3x2 = �22x1 + x2 = 13x1 + 2x2 = 1

f)

8<:4x1 � 8x2 = 123x1 � 6x2 = 9

�2x1 + 4x2 = �6

g)�5x1 � 2x2 + 6x3 = 0�2x1 + x2 + 3x3 = 1

h)�

x1 � 2x2 + 3x3 = 0�2x1 + 4x2 � 6x3 = 1

2. Sin usar lápiz y papel, determinar cuáles de los siguientes sistemas homogéneos tienen solucionesno triviales.

a)

8<:2x1 � 3x2 + 4x3 � x4 = 07x1 + x2 � 8x3 + x4 = 02x1 + 8x2 + x3 � x4 = 0

b)

8<:x1 + 3x2 � x3 = 0

x2 � 8x3 = 04x3 = 0

c)�3x� 2y = 06x� 4y = 0

3. Resolver los siguientes sistemas homogéneos, por cualquier método

a)

8<:2x� y � 3z = 0

�x+ 2y � 3z = 0x+ y + 4z = 0

b)

8>><>>:v + 3w � 2x = 0

2u+ v � 4w + 3x = 02u+ 3v + 2w � x = 0

�4u� 3v + 5w � 4x = 0

4. Resolver los siguientes sistemas, donde a; b y c son constantes.

a)�

2x+ y = a3x+ 6y = b

b)

8<:x1 + x2 + x3 = a2x1 + 2x3 = b3x2 + 3x3 = c

5. ¿Para qué valores de a el sistema (S) no tiene solución, tiene exactamente una solución o in�nitassoluciones?

(S) :

8<:x+ 2y � 3z = 43x� y + 5z = 2

4x+ y + (a2 � 14)z = a+ 2

1

Boletines 1-4. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla 2

6. ¿Para qué valores de a el sistema (S) tiene soluciones no triviales?

(S) :

�(a� 3)x+ y = 0x+ (a� 3)y = 0

7. Demostrar que si ad� bc 6= 0; entonces la forma escalonada reducida de la matriz A =�a bc d

�es la matriz identidad:

8. Dadas las matricesA =

24 3 0�1 21 1

35 ; B = � 4 �10 2

�; C =

�1 4 23 1 5

�; D =

24 1 5 2�1 0 13 2 4

35 ;E =

24 6 1 3�1 1 24 1 3

35 : Calcular, cuando sea posible:a) D � E b) 2ET � 3DT c) A(BC) d) (DA)T e)

�CTB

�AT f) (�AC)T + 5DT :

9. Dadas las matrices A =

24 3 �2 76 5 40 4 9

35 y B =24 6 �2 40 1 37 7 5

35 : Calcular, sin realizar el productode las dos matrices completamente:

a) La segunda columna de AB: b) La primera columna de BA: c) La tercera columna de AA:

10. En cada apartado, determinar las matrices A, x y b que expresen el sistema de ecuaciones dadoscomo una ecuación matricial Ax = b:

a)

8<:x1 + x2 + 2x3 = 8

�x1 � 2x2 + 3x3 = 13x1 � 7x2 + 4x3 = 10

b)

8>><>>:x� y + 2z � w = �1

2x+ y � 2z � 2w = �2�x+ 2y � 4z + w = 1

3x� 3w = �3

11. En cada apartado, expresar la ecuación matricial como un sistema de ecuaciones lineales:

a)

24 3 �1 24 3 7

�2 1 5

3524 x1x2x3

35 =24 2�14

35 b)

26643 �2 0 15 0 2 �23 1 4 7

�2 5 1 6

37752664wxyz

3775 =26640000

377512. En cada apartado encontrar la forma escalonada y escalonada reducida de la matriz de orden

tres cuyos elementos son

a) aij = i+ j b) aij = ij�1 c) aij =�

1 si ji� jj > 1�1 si ji� jj � 1

13. Sean A =

24 2 �1 30 4 5

�2 1 4

35 ; B =24 8 �3 �50 1 24 �7 6

35 ; C =24 0 �2 31 7 43 5 9

35 ; a = 4 y b = �7:


Comprobar que se veri�can las siguientes igualdades:

a) (AB)C = A(BC) b) (a+ b)C = aC + bC c) A(B � C) = AB �AC:

d)�AT�T= A e) (A+B)T = AT +BT f) (aC)T = aCT :

g) (AB)T = BTAT h) (AB)�1 = B�1A�1

14. Sean A y B 2Mn(R);¿es cierto que (AB)2 = A2B2? Justi�car la respuesta.

15. En cada apartado, usar la información para calcular A.

a) A�1 =�2 �13 5

�b) (7A)�1 =

��3 71 �2

�c) (I + 2A)�1 =

��1 24 5

�

16. Sea A =�2 04 1

�. Calcular A3; A�3 y A2 � 2A+ I: ¿Se tiene que veri�car que A2 � 2A+ I =

(A� I)2? ¿Es cierto que (A�B)2 = A2 � 2AB +B2 ? Justi�car la respuesta.

17. Demostrar que si una matriz A regular cumple la ecuación A2 � 3A + I = O, entonces A�1 =3I �A:

18. Dadas las matrices A =

24 3 4 12 �7 �18 1 5

35 ; B =24 8 1 52 �7 �13 4 1

35 ; C =24 3 4 12 �7 �12 �7 3

35 :Encontrar matrices elementales F1; F2;F3;; F4; tales que:

F1A = B; F2B = A; F3A = C; F4C = A:

19. Calcular, en el caso de que exista, la inversa de cada una de las siguientes matrices:

a)�1 42 7

�b)�

6 �4�3 2

�c)

24 3 4 �11 0 32 5 �4

35 d)

24 �1 3 �42 4 1

�4 2 �9

35

e)

24 1 0 10 1 11 1 0

35 f)

26641 0 0 01 3 0 01 3 5 01 3 5 7

3775 g)

26641 2 39 5 �10 2 5

�1 3 1

3775

20. Considerar la matriz A =�

1 0�5 2

�:

a) Encontrar matrices elementales F1 y F2 tales que F2F1A = I:

b) Escribir A�1 como un producto de dos matrices elementales.

c) Escribir A como un producto de dos matrices elementales.


21. Expresar la matriz A =

24 0 1 7 81 3 3 8

�2 �5 1 �8

35 en la forma A = EFGU , donde E;F y G son

matrices elementales y U está en la forma escalonada.

22. En cada apartado, encontrar las condiciones que deben satisfacer las bi para que el sistema tengasolución

a)�6x1 � 4x2 = b13x1 � 2x2 = b2

b)

8<:x1 � 2x2 + 5x3 = b14x1 � 5x2 + 8x3 = b2

�3x1 + 3x2 � 3x3 = b3c)

8<:x1 � 2x2 � x3 = b1

�4x1 + 5x2 + 2x3 = b2�4x1 + 7x2 + 4x3 = b3

23. Considerar las matrices A =

24 2 1 22 2 �23 1 1

35 y x =24 x1x2x3

35 :a) Demostrar que la ecuación Ax = x se puede escribir como (A� I)x = 0 y usar esteresultado para resolver Ax = x:

b) Resolver Ax = 4x:

24. Resolver la ecuación matricial:

24 1 �1 12 3 00 2 �1

35X =

24 2 �1 5 74 0 �3 03 5 �7 2

3525. Encontrar todos los valores de a; b y c para los que la matriz A es simétrica

A =

24 2 (a� 2b+ 2c) (2a+ b+ c)3 5 (a+ c)0 �2 7

3526. Encontrar todos los valores de a y b para los que las matrices A y B no son invertibles si-

multáneamente.

A =

�a (+b� 1) 0

0 3

�B =

�5 00 (2a� 3b+ 7)

�27. Sea A una matriz simétrica.

a) Demostrar que A2 es simétrica.

b) Demostrar que 2A2 � 3A+ I es simétrica.


Solución de los ejercicios del boletín no 1.

1. a)

8<:x1 = 3x2 = 1x3 = 2

b)

8<:x1 = �1=7� 3sx2 = 1=7� 4sx3 = 7s

con s 2 R.

c)

8>><>>:x = �1 + �y = 2�z = �w = �

con �; � 2 R. d)

8<:a = 4=3� 2�b = �1=2 + 3�=2c = �

con � 2 R.

e) El sistema es incompatible. f)�x1 = 3 + 2tx2 = t

con t 2 R.

g)

8<:x1 = 2� 12

5 tx2 = 5� 3tx3 = t

con t 2 R. h)El sistema es incompatible.

2. a) y c).

3. En ambos casos utilizaremos el método de Gauss.

a) El sistema es C.D. y la única solución es x = y = z = 0.

b)

8>><>>:u = t=2� s=2v = �3t+ 2sw = tx = s

con t; s 2 R.

4. Aplicaremos en ambos casos el método de Gauss.

a) La única solución es x = 23a�

19b; y =

29b�

13a

b) La única solución es

8<:x1 = a� 1

3cx2 = a� 1

2bx3 =

13c� a+

12b

5. Si a2 � 16 6= 0 (o equivalentemente, a 6= 4 y a 6= �4) el sistema es C.D.,si a = 4, el sistema es C.I., si a = �4, el sistema es incompatible.

6. El sistema posee soluciones no triviales si y sólo si a = 2 ó a = 4.

7. Sugerencia: distinguir los casos a 6= 0 y a = 0:

8. a)D � E =

24 �5 4 �10 �1 �1

�1 1 1

35 b) 2ET � 3DT =

24 9 1 �1�13 2 �40 1 �6

35

c) A(BC) =

24 3 45 9�11 �11 177 17 13

35 d) (DA)T =�0 �2 1112 1 8

�

e)�CTB

�AT =

24 12 6 948 �20 1424 8 16

35 f)(�AC)T + 5DT =

24 2 �10 1113 2 54 �3 13

35


9. a)

24 412167

35 b)

24 6663

35 c)

24 769897

35

10. a)

24 1 1 2�1 �2 33 �7 4

3524 x1x2x3

35 =24 8

110

35 b)2664

1 �1 2 �12 1 �2 �2

�1 2 �4 13 0 0 �3

37752664xyzw

3775 =2664�1�21

�3

3775

11. a)

8<:3x1 � x2 + 2x3 = 2

4x1 + 3x2 + 7x3 = �1�2x1 + x2 + 5x3 = 4

b)

8>><>>:3w � 2x+ z = 05w + 2y � 2z = 0

3w + x+ 4y + 7z = 0�2w + 5x+ y + 6z = 0

12. a) U =

24 1 3=2 20 1 20 0 0

35 ; Ur =24 1 0 �10 1 20 0 0

35

b) U =

24 1 1 10 1 30 0 1

35 y Ur = I3 c)

24 1 1 �10 �1 00 0 1

35 y Ur = I3:13. Sólo se expondrán los resultados de las igualdades.

a) (AB)C = A(BC) =

24 �10 �222 2683 �67 27887 33 240

35 b) (a+ b)C = aC+bC =

24 0 6 �9�3 �21 �12�9 �15 �27

35

c) A(B � C) = AB �AC =

24 20 �32 �231 �84 �23�13 �52 2

35 d) (AT )T = A =

24 2 �1 30 4 5

�2 1 4

35

e) (A+B)T = AT +BT =

24 10 0 2�4 5 �6�2 7 10

35 f) (aC)T = aCT =

24 0 4 12�8 28 2012 16 36

35

g) (AB)T = BTAT =

24 28 20 0�28 �31 �216 38 36

35 h) (AB)�1 = B�1A�1 =

24 � 531456

21208 � 439

4368� 15182

326 � 59

546� 5104

7104 � 11

312

3514. En general la igualdad es falsa. Por ejemplo, si A =

�1 2

�1 3

�y B =

��1 02 1

�, se tiene

(AB)2 6= A2B2:

15. a) A =�

513

113

� 313

213

�b) A =

�27 117

37

�c) A =

�� 913

113

213 � 6

13

�

16. a) A3 =�8 028 1

�, A�3 =

�A3��1

=

�18 0

�72 1

�, A2 � 2A+ I =

�1 04 0

�b) Sí, pues AI = IA = A:

c) En general no es cierto. Sólo se veri�caría si A y B conmutan.


17. Sugerencia: multiplicar por A�1 los dos miembros de A2 � 3A+ I = O.

18. a) F1 = F13 =

24 0 0 10 1 01 0 0

35, F2 = F13 =24 0 0 10 1 01 0 0

35

b) F3 = F31(�2) =

24 1 0 00 1 0

�2 0 1

35 ; F4 = F31(2) =24 1 0 00 1 02 0 1

3519. a) A�1 =

��7 42 �1

�b) La matriz A no tiene inversa.

c) A�1 =

24 32 �11

10 �65

�1 1 1�12

710

25

35 d) La matriz A no tiene inversa.

e) A�1 =

24 12 �1

212

�12

12

12

12

12 �1

2

35 f) A�1 =

26641 0 0 0

�13

13 0 0

0 �15

15 0

0 0 �17

17

3775g) La matriz A no tiene inversa porque no es cuadrada.

20. a) F2 = F2�12

�=

�1 00 1

2

�y F1 = F21 (5) =

�1 05 1

�b) A�1 = F2

�12

�F21 (5)

c) A = F21 (�5)F2 (2)

21. A = EFGU; siendo E = F21; F = F31 (�2) ; G = F32 (1) ; y U =

24 1 3 3 80 1 7 80 0 0 0

3522. a) 2b2 � b1 = 0.

b) b3 + b2 � b1 = 0.c) El sistema tiene solución para cualquier valor de los bi. Además para cada b el sistema tendrásolución única.

23. a) La única solución es

8<:x1 = 0x2 = 0x3 = 0

b) La solución es

8<:x1 = tx2 = 0x3 = t

24. X =

24 11 12 �3 27�6 �8 1 �18�15 �21 9 �38

3525. a = 11; b = �9; c = �13:

26. a = �45 ; b =

95 :

27. Sugerencia: Hallar la traspuesta.


Boletín no 2. El espacio vectorial Rn

1. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de R3.

(a) Todos los vectores de la forma (a; 0; 0).

(b) Todos los vectores de la forma (a; 1; 1).

(c) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a+ c:

(d) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a+ c+ 1:

2. Determinar si el espacio solución del sistema Ax = 0 es una recta que pasa por el origen, unplano que pasa por el origen o sólo el origen. Si es un plano, encontrar su ecuación general; sies una recta, encontrar sus ecuaciones paramétricas.

(a) A =

24 �1 1 13 �1 02 �4 �5

35 (b) A =

24 1 2 32 5 31 0 8

35 (c) A =

24 1 �3 12 �6 23 �9 3

353. ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de u = (0;�2; 2) y v = (1; 3;�1)?(a) (2; 2; 2) (b) (3; 1; 5) (c) (0; 4; 5) (d) (0; 0; 0).

4. Expresar cada uno de los siguientes vectores como combinación lineal de

u = (2; 1; 4), v = (1;�1; 3) y w = (3; 2; 5) :(a) (�9;�7;�15) (b) (6; 11; 6) (c) (7; 8; 9) (d) (0; 0; 0).

5. En cada apartado, determinar si los vectores dados generan R3.

(a) v1 = (2; 2; 2), v2 = (0; 0; 3) y v3 = (0; 1; 1) :

(b) v1 = (2;�1; 3), v2 = (4; 1; 2) y v3 = (8;�1; 8) :(c) v1 = (1; 2; 6), v2 = (3; 4; 1), v3 = (4; 3; 1) y v4 = (3; 3; 1) :

6. Explicar, por inspección, por qué los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependi-entes

(a) v1 = (�1; 2; 4), y v2 = (5;�10;�20) :(b) v1 = (3;�1), v2 = (4; 5) y v3 = (�4; 17) :

7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R4 son linealmente independientes?

(a) (3; 8; 7;�3) ; (1; 5; 3;�1) ; (2;�1; 2; 6) ; (1; 4; 0; 3) :(b) (0; 0; 2; 2) ; (3; 3; 0; 0) ; (1; 1; 0;�1) :

8. Determinar si los vectores (�1; 2; 3) ; (2;�4; 6); (�3; 6; 0) pertenecen a un mismo subespacio deR3 de dimensión menor que tres: ¿El vector (1; 1; 0) está en el mismo subespacio?

9. ¿Para qué valores de � los vectores��; �12 ;

�12

�;��12 ; �;

�12

� ��12 ;

�12 ; �

�forman un conjunto lin-

ealmente dependiente en R3?

10. a) Expresar (4a; a� b; a+ 2b) como una combinación lineal de (4; 1; 1) y (0;�1; 2) :b) Expresar (3a+ b+ 3c;�a+ 4b� c; 2a+ b+ 2c) como una combinación li-neal de (3;�1; 2) y(1; 4; 1) :

c) Expresar (1; 1) como una combinación lineal de (1;�1); (3; 0) y (2; 1) de dos formas diferentes.


11. Explicar, por inspección, por qué los siguientes conjuntos de vectores no son bases en los espaciosvectoriales R2 y R3 respectivamente.

(a) v1 = (3;�1), v2 = (4; 5) y v3 = (�4; 17) :(b) v1 = (3;�1; 9) y v2 = (4; 5; 0) :

12. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R2?a) (2; 1) ; (3; 0) b) (3; 9) ; (�4;�12) c) (0; 0) ; (1; 3):

13. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R3?a) f(1; 0; 0) ; (2; 2; 0) ; (3; 3; 3)gb) f(3; 1;�4) ; (2; 5; 6) ; (1; 4; 8)gc) f(1; 6; 4) ; (2; 4;�1); (�1; 2; 5)g:

14. En los siguientes apartados, determinar la dimensión y una base para el espacio solución delsistema

a)

8<:x1 + x2 � x3 = 0

�2x1 � x2 + 2x3 = 0�x1 + x3 = 0

b)�3x1 + x2 + x3 + x4 = 05x1 � x2 + x3 � x4 = 0

c)

8>><>>:x+ y + z = 0

3x+ 2y � 2z = 04x+ 3y � z = 06x+ 5y + z = 0

15. Determinar bases para los siguientes subespacios de R3:

(a) El plano 3x� 2y + 5z = 0(b) El plano x� y = 0:(c) La recta x = 2t; y = �t; z = 4t:(d) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a+ c:

16. Expresar Ax como una combinación lineal de los vectores columnas de A:

a)�

2 3�1 4

� �12

�b)

24 4 0 �13 6 20 �1 4

3524 �235

35 c)�2 1 56 3 �8

�24 305

3517. En cada apartado, determinar si b está en el espacio columna de A y, en caso a�rmativo, expresar

b como una combinación lineal de las columnas de A:

a) A =�1 34 �6

�, b =

��210

�b) A =

24 1 1 21 0 12 1 3

35, b =24 102

35c) A =

24 1 �1 11 1 �1

�1 �1 1

35, b =24 200

35 :18. En cada apartado, encontrar una base para el espacio nulo de A:

a) A =

24 1 0 31 1 �1

�1 �1 1

35 b) A =

24 1 1 21 0 12 1 3

35 c) A =

24 2 0 �14 0 �20 0 0

35


19. En cada apartado, encontrar el rango y la dimensión del subespacio nulo de la matriz y comprobarque se veri�ca que el teorema de la dimensión.

a) A =

24 1 �1 35 �4 �47 �6 2

35 b) A =

24 1 4 5 22 1 3 0

�1 3 2 2

35 c) A =

24 2 0 �14 0 �20 0 0

3520. ¿Qué condiciones deben satisfacer b1; b2; b3; b4; b5 para que el siguiente sistema lineal tenga solu-

ción? 8>>>><>>>>:x1 � 3x2 = b1x1 � 2x2 = b2x1 + x2 = b3x1 � 4x2 = b4x1 + 5x2 = b5

21. Analizar como el rango de A varía con t:

a) A =

24 1 1 t1 t 1t 1 1

35 b) A =

24 t 3 �13 6 2

�1 �3 t

3522. ¿Para qué valores de s el espacio solución del sistema (S) es sólo el origen, un subespacio de

dimensión uno o un subespacio de dimensión dos?

(S) :

8<:x+ y + sz = 0x+ sy + z = 0sx+ y + z = 0



1. a)�(a; 0; 0) 2 R3: a 2 R

; sí es un subespacio s.v.

b) W =�(a; 1; 1) 2 R3: a 2 R

; no es subespacio.

c) W =�(a; b; c) 2 R3: b = a+ c

sí es subespacio vectorial.

d) W =�(a; b; c) 2 R3: b = a+ c+ 1

; no es subespacio vectorial.

2. a) S = L f(�1;�3; 2)g, es una recta que pasa por el origen.b) S = f(0; 0; 0)gc) S = L f(3; 1; 0) ; (�1; 0; 1)g, es un plano que pasa por el origen.

3. a) w = 2u+ 2v:

b) w no es combinación lineal de u y w:

c) w = 4u+ 3v:

d) El vector 0 es combinación lineal de cualesquiera vectores, en particular 0 = 0u+ 0v:

4. a) t = u� 2v � 2wb) t = �5u+ 4v + wc) t = �2u+ 3w:d) 0 = 0u+ 0v + 0w

5. a) Los vectores fv1; v2; v3g constituyen una base.b) Estos tres vectores no generan R3:c) Los vectores fv1; v2; v3; v4g constituyen un sistema generador que no es base.

6. a) Son l.d. por ser proporcionales.

b) Como dim R2 = 2, en R2 no puede haber conjunto de tres vectores que sean l.i., luego estostres vectores son l.d.

7. a) Los vectores son l.i. b)Los vectores son l.i.

8. Los tres vectores sí pertenecen a este subespacio vectorial de dimensión dos, pero (1; 1; 0) =2 H:

9. Si � 6= 1 y �2�� 1 6= 0 los vectores son l.i. y si � = 1 ó � = �12 los vectores son l.d.

10. a) (4a; a� b; a+ 2b) = a (4; 1; 1) + b (0;�1; 2) :b) (3a+ b+ 3c;�a+ 4b� c; 2a+ b+ 2c) = (a+ c) (3;�1; 2) + b (1; 4; 1) :c) Hay in�nitas formas (1; 1) = (�1+t)(1;�1)+ 2�3t

3 (3; 0)+t (2; 1) ;siendo t 2 R: Haciendo t = 0obtenemos que (1; 1) = �(1;�1) + 2

3(3; 0) y haciendo t = 1 obtenemos (1; 1) = �13(3; 0) + (2; 1).


11. a) En R2 no puede haber más de dos vectores independientes, luego los vectores fv1; v2; v3g sonlinealmente dependientes y no pueden constituir base.

b) Los vectores v1 y v2 son independientes pero no pueden generar a todo R3, que sabemos quetiene dimensión tres.

12. Sólo la pareja de vectores del apartado a) es l.i y por lo tanto es una base.

13. Los tres conjuntos de vectores son bases de R3:

14. S = N(A):

a) BS = f(1; 0; 1)g y dimS = 1:b) BS = f(�3;�3; 12; 0) ; (0;�3; 0; 3)g y dimS = 2.

c) BS = f(4;�5; 1)g y N(A) = 1.

15. Determinar bases para los siguientes subespacios de R3:a) BS = f(2; 3; 0) ; (�5; 0; 3)g :b) BS = f(1; 1; 0) y (0; 0; 1)g:c) BS = f(2;�1; 4)g :d) BS ={(1; 1; 0) y (0; 1; 1)g:

16. a)�

2 3�1 4

� �12

�= 1 �

�2

�1

�+ 2 �

�34

�.

b)

24 4 0 �13 6 20 �1 4

3524 �235

35 = �224 430

35+ 324 0

6�1

35+ 524 �12

4

35.

c)�2 1 56 3 �8

�24 305

35 = 3 � 26

�+ 5

�5

�8

�.

17. a) b 2 R(A), de hecho b = a1 � a2, donde a1 y a2 son las columnas de A:b) b =2 R(A):c) b 2 R(A), b = a1 + (t� 1)a2 + ta3, siendo t 2 R:

18. a) B = f(�3; 4; 1)gb) B = f(�1;�1; 1)gc) B = f(1; 0; 2) ; (0; 1; 0)g :


19. a) N(A = L f(16; 19; 1; )g, dimN(A) = 1 y rg(A) = 2. Se veri�ca rg(A) + dimN(A) = 3.b) N(A = L f(�1;�1; 1; 0) ; (2;�4; 0; 7)g, dimN(A) = 2 y rg(A) = 2. Se veri�ca rg(A) +dim (N(A)) = 4.

c) N(A = L f(1; 0; 2) ; (0; 1; 0)g, dimN(A) = 2 y rg(A) = 1. Se veri�ca rg(A) + dim (N(A)) = 3.

20. Ha de veri�carse que

8<:b3 � 4b2 + 3b1 = 0b4 + b2 � 2b1 = 0b5 � 8b2 + 7b1 = 0

Estas son las condiciones que tiene que cumplir b para que el sistema tenga solución. Tambiénse puede decir que son las ecuaciones implicitas del subespacio R(A) � R5.

21. a) Si t = 1; rg(A) = 1;si t = �2; rg(A) = 2; si t 6= 1 y t 6= �2; rg(A) = 3:b) Si t 6= �1

2 ó t 6= 1, rg(A) = 3; si t = �12 , rg(A) = 2; si t = 1, rg(A) = 2.

22. Si s 6= 1 y s 6= �2 entonces el sistema tiene sólo la solución trivial (0; 0; 0). Si s = 1; rg(A) = 1y dimN(A) = 2: Si s = �2; rg(A) = 2 y dimN(A) = 1:


Boletín no 3: Ortogonalidad y mínimos cuadrados

1. Determinar si el vector (�1; 1; 0; 2) es ortogonal al subespacio de R4,

W = L f(0; 0; 0; 0) ; (1;�5;�1; 2) ; (4; 0; 9; 2)g :

2. ¿Para qué valores de k son ortogonales los vectores u y v?

a) u = (2; 1; 3) y v = (1; 7; k) b) u = (k; k; 1) y v = (k; 5; 6):

3. Determinar una base de W?, siendo W = L f(1; 2)g :

4. Encontrar unas ecuaciones paramétricas para W?, sabiendo que W está determinado por laecuación x� 2y � 3z = 0: Idem si W = L f(2;�5; 4)g :

5. Sea A =

24 1 2 �13 5 01 1 2

35.(a) Encontrar bases para el espacio columna de A y para el espacio nulo de AT :

(b) Comprobar que todo vector en el espacio columna de A es ortogonal a todo vector en elespacio nulo de AT :

6. Encontrar una base para el complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores:

(a) v1 = (1;�1; 3) ; v2 = (5;�4;�4); v3 = (7;�6; 2):(b) v1 = (2; 0;�1) ; v2 = (4; 0;�2):(c) v1 = (1; 4; 5; 2) ; v2 = (2; 1; 3; 0); v3 = (�1; 3; 2; 2):

7. Demostrar que si u y v son vectores ortogonales tales que kuk = kvk = 1 entonces ku� vk =p2:

8. Comprobar que los vectores v1 =��35 ;45 ; 0�; v2 =

�45 ;35 ; 0�; v3 = (0; 0; 1) forman una base

ortonormal para R3. Expresar cada uno de los siguientes vectores como una combinación linealde v1; v2; v3:

a) (1;�1; 2) b) (3;�7; 4):

9. Transformar la base fu1; u2g en una base ortonormal.a) u1 = (1;�3) ; u2 = (2; 2) b) u1 = (1; 0) ; u2 = (3;�5) :

10. Sea S = Lfu1; u2g; un subespacio de R3; determinar una base ortonormal S.a) u1 = (1; 1; 1) ; u2 = (�1; 1; 0) :b) u1 = (1; 0; 0) ; u2 = (3; 7; 2) :

11. Encontrar la proyección ortogonal de u sobre el espacio vectorial generado por el vector a

a) u = (�1;�2); a = (�2; 3) b) u = (1; 0; 0) ; a = (4; 3; 8):

12. a) Encontrar todos los escalares k tales que kkvk = 5, siendo v = (�2; 3; 6):b) Encontrar dos vectores en R2 con norma uno cuyo producto escalar con (3;�1) sea cero.c) Demostrar que existe una in�nidad de vectores en R3 con norma uno cuyo producto escalarcon (1;�3; 5) es cero.


13. Encontrar la distancia entre u y v, siendo

a) u = (�1;�2); v = (�2; 3); b) u = (1; 0; 0) ; v = (4; 3; 8):

14. Sea W = L��

45 ; 0;�

35

�; (0; 1; 0)

. Expresar el vector w = (1; 2; 3) en la forma w = w1 + w2,

donde w1 2W y w2 2W?.

15. Repetir el ejercicio anterior con W = L f(1; 1; 1) ; (2; 0; 1)g y w = (4; 2; 0):

16. Repetir el ejercicio anterior siendo ahora W = L f(1; 1; 1)g y w = (�1; 1; 0):

17. Encontrar la solución por mínimos cuadrados del sistema lineal Ax = b y hallar la proyecciónortogonal de b sobre el espacio columna de A:

a) A =

24 1 1�1 1�1 2

35 ; b =24 707

35 b) A =

24 2 �21 13 1

35 ; b =24 2�11

35

c) A =

26641 0 �12 1 �21 1 01 1 �1

3775 ; b =26646093

3775 :18. Determinar la proyección ortogonal de u sobre el subespacio W = L fv1; v2g

(a) u = (2; 1; 3); v1 = (�1; 2; 1); v2 = (2; 2; 4)(b) u = (0; 1;�1); v1 = (�1; 2; 1); v2 = (�2; 4; 2):

19. Hallar la proyección ortogonal del vector u = (5; 6; 7; 2) sobre el espacio solución del sistema�x1 + x2 + x3 = 02x2 + x3 + x4 = 0

20. Sea W el subespacio de R3 de ecuación 5x� 3y + z = 0:

(a) Encontrar una base para W:

(b) Encontrar la distancia entre el punto P (1;�2; 4) y el subespacio W:

21. Deteminar cuáles de las siguientes matrices son ortogonales. Para las que lo sean, encontrar suinversa.

a)

"1p2

�1p2

1p2

1p2

#b)

264 0 1 1p2

1 0 00 0 1p

2

375 c)264

�1p2

1p6

1p3

0 �2p6

1p3

1p2

1p6

1p3

375d)264

�1p2

1p2

1p6

1p6

1p3

1p3

37522. Determinar a; b; c tales que la matriz A sea ortogonal. ¿son únicos los valores de a; b; c?

A =

264 a1p2

�1p2

b 1p6

1p6

c 1p3

1p3

37523. Si medimos cuatro veces el peso de un cuerpo, obtenemos los siguietes resultados p1 = 150; p2 =

153; p3 = 150; p4 = 151: ¿Cúal es el valor que asignaríamos al peso según el método de losmínimos cuadrados?


24. Se ha observado en una granja que la producción diaria de huevos está relacionada con lascantidades de dos comidas �jas x1 y x2, por y = c1x1 + c2x2; con c1; c2 2 R. Para determinarla relación se ha realizado un programa de investigación donde se han obtenido los siguientesdatos:

y 4 5 6 5 4x1 1 0 1 2 1x2 0 1 1 1 2

Encontrar la mejor aproximación utilizando el método de los mínimos cuadrados.

25. Dados los puntos (�1; 0); (0; 3); (1; 2); (2; 1). Ajustar a una recta por el método de los mínimoscuadrados. Repetir la operación ajustando a una parábola.

26. Unos grandes almacenes obtienen los siguientes datos relacionando el número de ventas con elde ventas anuales:

Número de vendedores 5 6 7 8 9 10Ventas anuales (en millones de euros) 2.3 3.2 4.1 5.0 6.1 7.2

Emplear el método de los mínimos cuadrados para ajustar los datos a una recta. Utiliza estarecta para estimar el número de ventas con 14 vendedores.

27. Encontrar la ecuación cúbica y = ax3 + bx2 + cx + d que mejor se ajusta a la nube de puntos(�2;�8); (�1;�1); (0; 3); (1; 1); (2;�1); (3; 0):

28. En un experimento para determinar la capacidad de orientación de una persona, se coloca aun individuo en una habitación especial y después de un cierto tiempo en ella se le pide queencuentre el camino de salida en un laberinto. Los resultados que se obtienen son:

Tiempo en una habitación (horas) 1 2 3 4 5 6Tiempo en salir del laberinto (minutos) 0.8 2.1 2.6 3 3.1 3.3

Encontrar la recta que mejor se aproxime a los datos anteriores y estimar el tiempo que tardaríaen salir una persona que hubiera permanecido en la habitación 10 horas.



1. v no es ortogonal a W:

2. a) k = �3 b) k = �2 ó �3:

3. BW? = f(�2; 1)g:

4. a) Unas ecuaciones parámetricas de W? son

8<:x = ty = �2tz = �3t

con t 2 R.

b) Unas ecuaciones paramétricas de W?:

8<:x = 5

2 t� 2sy = tz = s

con t; s 2 R:

5. a) BR(A) = f(1; 3; 1) ; (2; 5; 1)g, BN(AT ) = f(2;�1; 1)g:

b) Sugerencia: veri�car que las bases de R(A) y N(AT ) son ortogonales.

6. a) BW? = f(16; 19; 1)g.b) BW? f(1; 0; 2) ; (0; 1; 0)g.c) BW? = f(�1;�1; 1; 0) ; (2;�4; 0; 7)g :Nota: Observese que dim(W ) + dim(W?) = n:

7. ku� vk2 = (u� v) � (u� v) = u � u � v � u � u � v + v � v = kuk|{z}=1

2 � 2u � v|{z}=0

+ kvk|{z}=1

2 = 1 + 1 = 2,

luego ku� vk =p2.

8. Veri�car que v1 � v2 = v1 � v3 = v2 � v3 = 0 y kv1k = kv2k = kv3k = 1.a) (1;�1; 2) = �7

5v1 +15v2 + 2v3.

b) (3;�7; 4) = �375 v1 �

95v2 + 4v3.

9. a) fw1; w2g =n�

1p10;� 3p

10

�;�

3p10; 1p

10

�o.

b) fw1; w2g = f(1; 0); (0;�1)g.

10. a) fw1; w2g =n�

1p3; 1p

3; 1p

3

�;��1p2; 1p

2; 0�o:

b) fw1; w2g =n(1; 0; 0) ;

�0; 7p

53; 2p

53

�o


11. Sea S = Lfag; a) proyS(u) =�813 ;�

1213

�.b) proyS(u) =

�1689 ;

1289 ;

3289

�12. a) k = 5

7 y k = �57 .

b)�

1p10; 3p

10

�y �

�� 1p

10;� 3p

10

�.

c) Todos los vectores v = (x; y; z) 2 R3 ortogonales al vector (1;�3; 5) deben pertenecer al planoque pasa por el origen y su ecuación es x � 3y + 5z = 0. De estos vectores debemos encontraraquellos que tienen norma uno. Por tanto, deben pertencer a la esfera de centro el origen y radiouno (cuya ecuación es x2+ y2+ z2 = 1). Es decir, los vectores de norma unidad y ortogonales alvector (1;�3; 5) son los que están en la intersección del plano con la esfera y esta interseccióntiene in�nitos vectores.

13. a) d(u; v) =p26. b) d(u; v) =

p82.

14. w1 =��45 ; 2;

35

�y w2 =

�95 ; 0;

125

�.

15. w1 = (3; 1; 2) y w2 = (1; 1;�2).

16. w1 = (0; 0; 0) y w2 = (�1; 1; 0).

17. a) x1 = 3; x2 = 9=2, b1 = proyR(A) b = (152 ;

32 ; 6)

b) x1 = 3=7; x2 = �2=3. b1 = proyR(A) b = (4621 ;�521 ;

1321)

c) x1 = 12; x2 = �3; x3 = 9;. b1 = proyR(A) b = (3; 3; 9; 0)

18. a) proyW u = u b)proyW u = (�16 ;13 ;16)

19. proyW u = (0; 0; 0; 1):

20. a) B = f(3; 5; 0) ; (�1; 0; 5)g

b) Nos están pidiendo que calculemos kproyW?(v)k =q

457 , siendo v = (1;�2; 4) :

21. a) Si, Q�1 = Qt: b) No c) Si, Q�1 = Qt d) No es cuadrada.

22. (a; b; c) =�0;�

q23 ;

1p3

�y (a; b; c) =

�0;q

23 ;�

1p3

�

23. p =p1 + p2 + p3 + p4

4


24. La pseudosolución es c1 = 2, c2 = 2.

25. a) y = 15x+

75 b) y = �x2 + 6

5x+125 .

26. y = 0: 974 29x� 2: 657 1: Con 14 vendedores se estima un volumen ventas de 10: 983 millones deeuros.

27. y = 49x3 � 137

84 x2 + 5

36x+4421 .

28. y = 0:454 29x+0:893 33. Si una persona permanece 10 horas en la habitación, el tiempo estimadopara salir del laberinto es 5: 4362:


Boletín no 4.Diagonalización de matrices.

1. Obtener los autovalores y bases para los subespacios propios asociados a cada autovalor de lassiguientes matrices

a)�10 �94 �2

�b)�0 34 0

�c)�0 00 0

�d)�1 00 1

�

e)

24 4 0 1�2 1 0�2 0 1

35 f)

24 �1 0 1�1 3 0�4 13 �1

35 g)

24 5 0 11 1 0

�7 1 0

35

2. Calcular los autovalores de la matriz A =

266410 �9 0 04 �2 0 00 0 �2 �70 0 1 2

3775 :3. Encontrar los autovalores y bases para los subespacios propios asociados de la matriz A25, siendo

A =

24 �1 �2 �21 2 1

�1 �1 0

35 :

4. Encontrar los autovalores y autovectores de A�1, siendo A =

24 �2 2 3�2 3 2�4 2 5

35.5. Determinar cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables

a)�2 01 2

�b)�2 �31 �1

�c)

24 3 0 00 2 00 1 2

35 d)26644 0 0 01 �1 0 00 1 2 00 1 4 3

3775 e)26642 �1 0 10 2 1 �10 0 3 20 0 0 3

37756. Determinar si las siguientes matrices son diagonalizables y en caso a�rmativo encontrar unamatriz de paso P y obtener P�1AP:

a)

24 �1 4 �2�3 4 0�3 1 3

35 b)

24 5 0 01 5 00 1 5

35 c)

24 0 0 00 0 03 0 1

35 .7. Encontrar una matriz cuadrada de orden dos cuyos autovalores sean 1 y 2 y tal que V (1) =L f(1; 1)g y V (2) = L f(1; 0)g :

8. Encontrar una matriz cuadrada de orden tres cuyos autovalores sean �1 y 2 y tal que V (2) =L f(1; 1;�1)g y V (�1) =

�(x; y; z) 2 R3 : x� z = 0

.

9. Sean A =

24 �1 7 �10 1 00 15 �2

35 y B =

�1 0

�1 2

�. Hallad A6 y B10 (sugerencia diagonalizar

previamente A y B).


10. Diagonalizar las siguienets matrices simétricas.

a)�

6 �2�2 3

�b)

24 1 1 01 1 00 0 0

35 c)24 2 �1 �1�1 2 �1�1 �1 2

35 d)24 3 2 42 0 24 2 3

35 e)24 5 4 24 5 22 2 2

3511. Los autovalores de una matriz simétrica A; de orden tres, son 1;�2 y 3 y los subespacios propios

asociados son V (1) = L f(1; 1;�1)g ; V (�2) = L f(0; 1; 1)g : Obtener una base para V (3) yaveriguar cuál es la matriz A.

12. De una matriz simétrica de orden tres se sabe que tiene por autovalores 1 y �1 y que V (1) =�(x; y; z) 2 R3 : x+ y + z = 0

: Obtener la matriz.



1. a) � = 4; m = 2, V (�) = L f(3; 2)g.b) �1 = 2

p3; �2 = �2

p3: V (�1) = L

�(p3; 2)

. y V (�2) = L

�(�p3; 2)

.

c) � = 0; m = 2. V (�) = R2, cualquier base, por ejemplo, f(1; 0) ; (0; 1)g.d) �1 = 1; m1 = 2. V (�1) = R2 y f(1; 0) ; (0; 1)g una base de V (�1).e) �1 = 1; �2 = 2 y �3 = 3: V (�1) = L f(0; 1; 0)g ; V (�2) = L f(1;�2;�1)g. V (�3) =L f(�1; 1; 1)g.f) �1 = 2; m1 = 1. V (�1)) = L f(1; 1; 3)g :g) �1 = 2; m1 = 3. V (�1) = L f(�1;�1; 3)g.

2. �1 = 4; m1 = 2.

3. Autovalores de A : �1 = 1 y �2 = �1. Los autovalores de A25 : �1 = 125 = 1 y �2 = (�1)25 = �1.Los subespacios coinciden: V (1) = L f(�1; 1; 0) ; (�1; 0; 1)g ; V (�1) = L f(2;�1; 1)g :

4. Los autovalores de A son 1; 2 y 3 y los de A�1 son sus inversos: 1; 12 y13 :

VA�1(1) = VA(1) = L f(1; 0; 1)g, VA(2) = VA�1(12) = L f(1; 2; 0)g y VA(3) = VA�1(

13) =

L f(1; 1; 1)g.

5. a) A no es diagonalizable, pues �1 = 2; m1 = 2 6= �1 = 1.b) A no posee ningún autovalor real y es no diagonalizable en R .c) A no es diagonalizable, pues �1 = 1; m1 = �1 = 1, y �2 = 2;m1 = 2 6= �2 = 1.d) Los autovalores son todos distintos: 4;�1; 2 y 3, y la matriz es diagonalizable.e) No es diagonalizable, pues �1 = 2; m1 = 2 6= �1 = 1 y �2 = 3, m2 = 2.

6. a) P =

24 1 2 11 3 31 3 4

35, D =

24 1 0 00 2 00 0 3

35 :b) La matriz no es diagonalizable, pues �1 = 5; m1 = 3 6= �1 = 1:

c) P =

24 �1 0 00 1 0

�3 0 1

35, D =

24 0 0 00 0 00 0 1

357. A =

�2 �10 1

�:

8. A =

24 12 0 �3

232 �1 �3

2�32 0 1

2

35.9. A6 =

24 1 �315 630 1 00 �315 64

35, B10 = � 1 0�1023 1024

�.


10. a) P =

�1 �22 1

�D =

�2 00 7

�b) P =

24 �1 0 11 0 10 1 0

35 D =

24 0 0 00 0 00 0 2

35 c)P =

24 1 �1 �11 0 11 1 0

35 D =

24 0 0 00 3 00 0 3

35

d) P =

24 2 �1 �11 0 22 1 0

35 y D =

24 8 0 00 �1 00 0 �1

35e) P =24 �1 �1 2

1 0 20 2 1

35 y D =

24 1 0 00 1 00 0 10

35 :11. V (3) = L f(2;�1; 1g ; A =

24 73 �2

323

�23 �1

6 �116

23 �11

6 �16

35

12. A = 13

24 1 �2 �2�2 1 �2�2 �2 1

35 :

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