MATEMÁTICAS 1º BAC Aplicaciones de las derivadas

 

Ejercicios de optimización – 1º y 2º de Bachillerato Página 1

1. Queremos construir una caja abierta, de base cuadrada y volumen 256 litros. Halla las

dimensiones para que la superficie, y por tanto el coste, sea mínimo.

2. Entre todos los rectángulos de área 16 halla el de perímetro mínimo.

3. La suma de las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 36. Halla las dimensiones para que

el volumen sea máximo.

4. Un ganadero quiere encerrar a sus ovejas en un redil rectangular de área máxima, para lo cual

aprovecha la pared de la finca y con 100 metros de valla construye ese redil. Halla las dimensiones

del rectángulo.

5. Entre los pares de números cuyo producto es 64 encuentra aquellos positivos cuya suma de

cuadrados sea mínima.

6. En un campo se quiere limitar una parcela de 24 m2 por medio de una valla rectangular y además

dividirla en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de los lados. ¿Qué

dimensiones deben elegirse para que la cantidad de valla sea mínima?

7. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 40 cm. Halla sus dimensiones para que la

superficie de ese rectángulo sea máxima.

8. Se quieren fabricar latas de refresco (cilíndricas) cuyo contenido sea de 1/3 de litro, de manera que

el coste de la chapa sea mínimo; halla su altura y radio de la base. Mide las dimensiones de

cualquier lata que tengas en casa y comprueba si se fabrican siguiendo ese criterio.

9. Halla a, b y c en f(x) = x3+ax2+bx+c de modo que la gráfica de f tenga tangente horizontal en

x=-2 y en x=2 y que pase por (0,3).

10. Halla el valor de x para el que las tangentes a las curvas y=x2-x+3 e y=x3-x2 son paralelas y

escribe las ecuaciones de esas tangentes.

11. Determina la parábola: y = ax2+bx+c que es tangente a la recta y=4x+1 en el punto A(1,2) y

que pasa por el punto B(0,1).

12. Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (1,-1) y que la pendiente de la recta

tangente en el punto (0,-3) vale 0.

13. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 1+x

x =y que son paralelas a la recta

y=4x-2.

14. Sabiendo que la derivada de la función f(x)= 1/x es f '(x)=-1/x2 halla el punto de f en el que su

derivada vale -1/4. ¿Cuál es la ecuación de la tangente en ese punto?

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15. Con un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué

dimensiones hay que dar al rectángulo?

16. Calcular dos números reales cuya suma sea 5 y su producto sea el mayor posible. Razonar la

respuesta.

17. Indica cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de perímetro 30 cm.

18. Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base

cuadrada, de 500 m3 de capacidad que tenga un revestimiento de coste mínimo.

19. Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior un triángulo. Sabiendo que

el perímetro de la ventana es de 6,6 m. hallar sus dimensiones para que su superficie sea

máxima.

20. Una ventana “normanda” consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encontrar

las dimensiones de la ventana de área máxima si su perímetro es de 10 m.

21. En una oficina de correos, solo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular,

tales que la anchura sea igual a la altura y además, la suma de ancho, alto y largo debe ser de

72 cm. Hallar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.

22. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior

deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que el

gasto de papel sea el mínimo.

23. Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular. Si dispone de 20 m de

alambre para rodearlo, ¿qué radio debe tener el sector para que el parterre tenga la mayor

superficie posible?

24. Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área total 150

cm2 y volumen máximo. Determinar su generatriz y su radio.

25. Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de

160 l. Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea

mínima.

26. Una piedra preciosa pesa 12 g. Sabiendo que el valor de una piedra preciosa es proporcional al

cuadrado de su peso y que su valor es de 144000 €, calcular, cuando dicha piedra se divide en

dos trozos, el valor de cada uno de ellos cuando la depreciación sea máxima.

27. En una carrera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P

situado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las

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ciudades A Y B y que le permite ir a una velocidad de 100 km/h, mientras que por el desierto la

velocidad es de 60 km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las

ciudades A y B es de 300 km, determinar la ruta que deberá usar para ir desde A a P en el

menor tiempo posible.

28. Una fábrica situada a 12 km de la orilla de un río rectilíneo, ha de transportar sus productos a

una ciudad situada en la orilla del río y a 80 km del punto de éste más próximo de la fábrica. El

transporte de mercancías en camión cuesta 130 € por tonelada y km y el transporte en gabarra

por el río cuesta 50 € por tonelada y km. ¿En qué punto de la orilla se debería cargar la

mercancía en gabarras para que el coste total de transporte sea mínimo?

29. Un granjero compra una ternera de 270 kg por 18000 €. Alimentar al animal cuesta 15 € al día

y la ternera aumenta de peso 0.45 kg cada día. Por otro lado, cada día que pasa, el valor del

animal en el mercado disminuye, de modo que el valor al cabo de t días, dependiendo del peso

del animal, es (100-(t/18)) € por kilo. Calcular:

a) Peso de la ternera al cabo de t días.

b) Valor total de la ternera en el mercado al cabo de t días.

c) Coste total invertido en esos t días, incluyendo la compra y la alimentación.

d) Ganancia obtenida por el granjero si vende la ternera a los t días (la ganancia será el

valor de la ternera en ese instante menos los costes invertidos).

e) ¿Cuándo deben vender la ternera para obtener la máxima ganancia?

30. Se pretende fabricar una lata de conservas cilíndrica (con tapa) de 1 l de capacidad. ¿Cuáles

deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo de metal posible?

31. Una fábrica elabora un producto de dos calidades distintas: x toneladas de baja calidad e y

toneladas de alta calidad, siendo y = (18-5x)/(10-x). Hallar la cantidad de toneladas del

producto de baja calidad que ha de producir para obtener ingresos máximos si el precio por

tonelada de éste es la mitad que el de alta calidad.

32. Un triángulo isósceles tiene su lado desigual de longitud 12 cm y la altura sobre dicho lado es 5

cm. Determina los puntos sobre esa altura tales que la suma de sus distancias a los tres vértices

sea máxima y mínima respectivamente.

33. Encuentra k, para que la función f(x) = x2 – k x, tenga en x = 2, una recta tangente que forme un

ángulo de 45º con el eje de abscisas.

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34. Halla a para que la función y=ax2+2x+3 tenga en x=1 una recta tangente que forme un ángulo

de 45º con el eje de abscisas.

35. Halla los puntos de la función y = x3-3x2+1, en los cuales la tangente es paralela a la recta

y=9x+2.

36. La curva y = ax2+bx+c pasa por el punto P(1,5), y es tangente en el punto (0,1) a la bisectriz

del primer cuadrante. Halla la ecuación de la curva.

37. ¿En qué puntos del intervalo (0,5) la tangente a la curva y = arctg(2x) es paralela a la recta

2x-37y=6.

38. ¿En qué puntos de la curva y = x3-x2-2x la recta tangente forma un ángulo de 135º con la parte

positiva del eje de abscisas?

39. Halla el valor de a para que la función y=x2-ax+2 tenga un mínimo en x=1.

40. Halla a, b, c y d para que la función f(x)=ax3+bx2+cx+d tenga un máximo en el punto (0,1) y un

mínimo en (1,2).

41. Halla el valor de a para que la función y=x2+2x+a tenga un mínimo en x=1.

42. Halla b, c y d para que la función x3+bx2+cx+d tenga un extremo en (2,0) y un punto de

inflexión en x=1.

43. Encuentra k, para que la función f(x) = x3 - kx2 + 3, tenga en x = 1 por recta tangente y=-x+3.

44. Halla los puntos de la función y = 2x3-3x2+12x, en los cuales la tangente es paralela a la recta

y=24x-10.

45. La curva y = ax2+bx+c pasa por el punto P(1,8), y tiene un mínimo en x=(0,5). Halla la

ecuación de la curva.

46. Halla la ecuación de las rectas tangentes a las curvas:

a) y=x2.ex en x=1 b) y=sen2x en x = π/4

47. ¿En qué puntos del intervalo (0,5) la tangente a la curva y = arctg(2x) es paralela a la recta

2x-17y+34=0.

48. ¿En qué puntos de la curva y = x2-3 la recta tangente forma un ángulo de 45º con la parte

positiva del eje de abscisas?

49. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=x3-3x2+2 en su punto de inflexión.

50. Hallar el valor de a para que la función y=x2-ax+2 tenga un mínimo en x=1.

51. Hallar el valor de a para que la función y=x2+2x+a tenga un mínimo en x=-1.

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52. Hallar a, b, c y d para que la función f(x)=ax3+bx2+cx+d tenga un máximo en el punto (0,1) y

un mínimo en (1,2).

53. Hallar b, c y d para que la función x3+bx2+cx+d tenga un extremo en (2,0) y un punto de

inflexión en x=1.

54. Representa las siguientes funciones:

19

2

2

−

−=xxy

142

+

−=xxy

22

+−

=xxy

82 24 ++−= xxy

142 −−

=xxy

1

2

−=xxy

992 −

=x

y

42

3

−=xxy

xxxy +−= 23 2

12

3

−=xxy

xy 1=

2

1x

y =

xxy 12 −

=

11

2

2

−

+=xxy

xxy 12 +

=

21

−+

=xxy

)xln(y 2−=

2xlny =

21xey =

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55. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

1>xsi2-x

1xsi2 - x = k(x)

1=xsi1

1xsi1 - x 1 - x

= j(x)

0xsicosx

0<x<2-sie

-2xsi3x

= i(x)2

x≤

⎩⎨⎧

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0=xsi0

0xsix1 senx

= m(x) 1=xsi3

1xsi1+x = l(x)2 ≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧≠

⎩⎨⎧

56. Hallar m y n para que sea continua la función:

2>xsix

2x0sin + mx

0<xsisenx

= f(x)2

≤≤⎪⎩

⎪⎨

⎧

57. Probar que la ecuación x3-3x-1=0 tiene por lo menos una raíz real en el intervalo (1,2).

58. Comprueba que la función f(x)=x2+x-1 corta al eje de abscisas en algún punto de [0,2], ¿se

puede decir lo mismo de la función f(x) = (x3-3)/(x-1)?

59. La función y = sec(x) toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [0,π] y, sin

embargo, no se anula en él, ¿contradice esto el teorema de Bolzano?

60. Estudia la derivabilidad de las funciones:

a)0

0

>xsisenx

xsix + x = f(x)2 ≤

⎩⎨⎧ b) g(x) = |x-1|

61. Calcula "a" y "b" para que la función f sea derivable en todo R.

2>xsi4 - bx + x

2xsi2 + ax = f(x)

2

2 ≤

⎩⎨⎧

62. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

a)

3 > x si4 - x

3 x 0 si2 + x

0 < x si2

= f(x) 2 ≤≤⎪⎩

⎪⎨

⎧ b)

1 = x si0

1 x si1 - x

|1 - x| = f(x)

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

63. Comprueba que la ecuación x3+2x2-x-1 = 0 tiene una solución en el intervalo [0,1]

64. ¿Satisface la función f(x)=2-|x-1| las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2]? ¿Y

la función 3 x ?

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65. Indicar si las funciones f y g verifican las hipótesis del teorema del valor medio (de Lagrange) y,

en caso afirmativo, encontrar los puntos intermedios cuya existencia asegura el teorema:

a) f(x) = x2-x+1 en [0,2]. b) g(x) = lnx en [1,e]

66. La función f(x) = x3-9x+1 cumple el teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. ¿Cuál es el valor de

b? Hallar el punto intermedio cuya existencia asegura el teorema.

67. Estudia si las siguientes funciones cumplen las hipótesis del teorema del valor medio. En caso

afirmativo calcula el punto que dice el teorema que tiene que existir:

a) [0,3] en 1+x = f(x) b) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

0, en senx= g(x) π

68. ¿Cumple la función f(x) = |x2-4| el teorema de Rolle en el intervalo [1,3]?

69. La función y = x cumple el teorema del valor medio en el intervalo [4,6]? ¿Y en el intervalo

[-2,2]?

70. ¿Cumple el teorema del valor medio la función:

[2,6]? en 3x8 + 40x - x

3<x1-2x = f(x)

2 ≥⎩⎨⎧

71. Comprobar si f(x)=x2-2x+1 cumple el teorema de Rolle en el intervalo [0,2].

72. Comprobar si f(x)=x2-2|x|+1 cumple el teorema de Rolle en el intervalo [-1,1].

73. Comprobar si la función 0x si4-3x

0<x si1+x = f(x)2

≥⎩⎨⎧ cumple el teorema de Bolzano en el

intervalo [-1,1].

74. Probar que la ecuación x3-3x-1=0 corta al eje X en el intervalo (1,3).

75. ¿Cumple la función 1-x2-x = f(x)

2

el teorema de Bolzano en el intervalo [0,4].

76. Hallar a y b para que sea continua la función:

2>xsix

2x<1sib - 3ax

1xsix a

= f(x)2

2

≤

≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧

77. Estudia la derivabilidad de las funciones:

a) 112

1

>xsi x

xsi2 + x = f(x)2

+

≤

⎩⎨⎧ b) 4-x = g(x) c) 2 - x + x = h(x) 2

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78. Calcula "a" y "b" para que la función f sea derivable en todo R.

1>xsi1 - 2x + bx

1xsib + ax = f(x)2 ≤

⎩⎨⎧

79. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

a)

1 > x six

1 x 1- si1 + x + x

1- < x si2-x

= f(x) 2

2

≤≤⎪⎩

⎪⎨

⎧ b)

2>xsi3

4+x2

2 < x 1si2x

1 < xsi1 + x

= f(x)

2

2

≤

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

80. Comprueba que la ecuación x3-2x-2 = 0 tiene una solución en el intervalo [0,2]

81. ¿Satisface la función f(x)=x2-2|x| las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-1,1]?

¿Y la función 1xsi1+x-x

1<xsi1-x2 = f(x)

2

2

≥⎩⎨⎧ en [-2,3]?

82. Indicar si las funciones f y g verifican las hipótesis del teorema del valor medio (de Lagrange) y,

en caso afirmativo, encontrar los puntos intermedios cuya existencia asegura el teorema:

a) f(x) = x2+3x en [0,1]. b) g(x) = arctg(x) en [0,π/4]

83. La función f(x) = x3-13x+2 cumple el teorema de Rolle en el intervalo [1,b]. ¿Cuál es el valor

de b? Hallar el punto intermedio cuya existencia asegura el teorema.

84. Estudia si las siguientes funciones cumplen el teorema de Rolle en el intervalo que se indica. En

caso afirmativo halla el punto en que se anula la derivada:

a) [-2,3] en 1xsi1 + x - x

1<xsi1 - x2 = f(x)

2

2

≥⎩⎨⎧ ; b) [-2,2] en x = g(x) 3