Matemática Ensayocorreccionpsust.cl/mat_pauta_oct2019.pdf4.- Las respuestas a las preguntas se...

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forma: 1062408

RESPUESTAS

Número Clave eje temático habilidad cognitiva1 A Números Aplicación2 E Números Comprensión3 C Números Comprensión4 C Números Aplicación5 C Números Análisis, Síntesis y Evaluación6 A Números Aplicación7 E Números Aplicación8 A Números Análisis, Síntesis y Evaluación9 B Números Análisis, Síntesis y Evaluación10 B Números Aplicación11 C Números Aplicación12 A Números Análisis, Síntesis y Evaluación13 A Números Comprensión14 A Números Aplicación15 B Números Análisis, Síntesis y Evaluación16 C Números Análisis, Síntesis y Evaluación17 B Números Análisis, Síntesis y Evaluación18 D Álgebra Comprensión19 E Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación20 C Álgebra Aplicación21 B Álgebra Comprensión22 A Álgebra Comprensión23 A Álgebra Aplicación24 C Álgebra Comprensión25 A Álgebra Aplicación26 B Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación27 C Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación28 B Álgebra Aplicación29 B Álgebra Comprensión30 E Álgebra Comprensión31 E Álgebra Comprensión32 E Álgebra Comprensión33 C Álgebra Aplicación34 B Álgebra Aplicación35 C Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación36 D Álgebra Análisis, Síntesis y Evaluación37 C Geometría Aplicación38 D Geometría Comprensión39 E Geometría Aplicación

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40 B Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación41 C Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación42 C Geometría Aplicación43 E Geometría Aplicación44 C Geometría Comprensión45 E Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación46 D Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación47 D Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación48 D Geometría Comprensión49 C Geometría Comprensión50 B Geometría Aplicación51 A Geometría Aplicación52 B Geometría Aplicación53 D Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación54 D Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación55 C Geometría Aplicación56 E Geometría Aplicación57 D Geometría Aplicación58 C Geometría Análisis, Síntesis y Evaluación59 E Datos y azar Comprensión60 E Datos y azar Comprensión61 D Datos y azar Aplicación62 C Datos y azar Aplicación63 D Datos y azar Comprensión64 D Datos y azar Aplicación65 B Datos y azar Aplicación66 A Datos y azar Aplicación67 D Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación68 B Datos y azar Aplicación69 C Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación70 A Datos y azar Comprensión71 D Datos y azar Aplicación72 B Datos y azar Aplicación73 C Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación74 B Datos y azar Comprensión75 C Datos y azar Comprensión76 C Datos y azar Aplicación77 D Datos y azar Comprensión78 C Datos y azar Aplicación79 B Datos y azar Comprensión80 A Datos y azar Análisis, Síntesis y Evaluación

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Instrucciones

ES DE SUMA IMPORTANCIA QUE PRESTE ATENCIÓN A TODAS LASINSTRUCCIONES QUE SE LE ENTREGAN, TANTO EN EL FOLLETO COMO EN LA

HOJA DE RESPUESTAS.

1.- Este modelo consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con lasletras A,B,C,D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.- COMPRUEBE QUE LA FORMA QUE APARECE EN SU HOJA DE RESPUESTASSEA LA MISMA DE SU FOLLETO. Complete todos los datos pedidos, de acuerdocon las instrucciones contenidas en esa hoja, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVARESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entregue susresultados. Se le dará tiempo suficiente para ello antes de comenzar la prueba.

3.- DISPONE DE 2 HORAS y 40 MINUTOS PARA RESPONDERLO.

4.- Las respuestas a las preguntas se marcan solo en la hoja de respuestas que se le haentregado. Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de lapregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de nosalirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito No 2 o portaminas HB.

5.- NO SE DESCUENTA PUNTAJE POR RESPUESTAS ERRADAS.

6.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no se olvide traspasar oportu-namente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluaciónexclusivamente las respuestas marcadas en dicha hoja.

7.- Cuide su hoja de respuestas. No la doble ni la manipule innecesariamente. Escriba enella solamente los datos solicitados y las respuestas.

8.- El número de serie del folleto no tiene relación con el número del código de barra queaparece en la hoja de respuestas; por lo tanto, pueden ser iguales o distintos.

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INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Las figuras que aparecen en el ensayo son solo indicativas.

2. Los gráficos que se presentan en este ensayo están dibujados en un sistema de ejesperpendiculares.

3. Se entenderá por dado, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras sonequiprobables de salir.

4. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menosque se indique lo contrario.

5. Los números complejos i y -i son las soluciones de la ecuación x2

` 1 “ 0.

6. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y |z| es su módulo.

7. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z „ Np0, 1q y donde la partesombreada de la figura representa a P pZ § zq, entonces se verifica que:

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INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS

En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decidasi con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) sepueda llegar a la solución del problema.Es así, que se deberá marcar la opción:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a lapregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

† es menor que – es congruente con° es mayor que „ es semejante con§ es menor o igual a K es perpendicular a• es mayor o igual a ‰ es distinto de§ angulo recto Î es paralelo a§ angulo P pertenece a

log logaritmo en base 10 AB trazo AB„ conjunto vacio |x| valor absoluto de x

ln logaritmo en base e x! factorial de xY unión de conjuntos X intersección de conjuntos

Ac complemento del conjunto A u vector u

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1.- El resultado deˆ

17 ¨

213 ` 4

˙: 2

3 es:

A) 152

B) 122

C) 153

D) 103

E) 83

Pregunta ID: 17842Autor:

SOLUCIÓN

Para resolver este ejercicio es necesario realizar las operaciones en el orden correcto.Primero el paréntesis; dentro de él encontramos una multiplicación y una suma;primero se debe multiplicar y luego sumar; en este caso tenemos que:

ˆ17 ¨

213 ` 4

˙“

ˆ1 ¨ 217 ¨ 3 ` 4

˙“

ˆ2121 ` 4

˙“ p1 ` 4q “ 5

Luego debemos resolver la división:

5 : 23 “ 5 ¨

32 “

51 ¨

32 “

5 ¨ 31 ¨ 2 “

152

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2.- ¿En cuál de las siguientes rectas numéricas el punto C representa correctamente

al número 5, 3? (considere que las rectas están divididas en partes iguales)

A)

B)

C)

D)

E)

Pregunta ID: 1034856Autor: Camilo Navarro VivarSOLUCIÓN

En la figura de la alternativa E. El segmento r5 ´ 6s se ha dividido en 3 partesiguales. Por lo tanto, el punto C representa al número 5 `

13 “ 5, 3.

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3.- ¿Cuál es la aproximación del número irracional fi “ 3, 141592 . . . por exceso y pordefecto con dos decimales, respectivamente?

A) 3, 14 y 3, 14B) 3, 14 y 3, 15C) 3, 15 y 3, 14D) 3, 15 y 3, 15E) 3, 15 y 3, 16


SOLUCIÓN

Al aproximar por defecto, el número obtenido es menor al número que se aproxima.En este caso, al aproximar por defecto el número irracional fi “ 3, 141592 . . . , seobtiene 3, 14. Note que 3, 14 es menor que fi.Al aproximar por exceso, el número obtenido es mayor al número que se aproxima.Cuando aproximamos por exceso el número irracional fi “ 3, 141592 . . . se obtiene3, 15. Note que 3, 15 es mayor que fi.

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4.- Tres hermanos, Pedro, Juan y Diego, reciben una herencia de $318.000. Pedro se

queda con 16 de la herencia, Juan se queda con 3

5 de lo que queda y Diego se quedacon el resto. ¿Cuánto dinero recibe Juan?

A) $53.000B) $106.000C) $159.000D) $190.800E) $265.000


SOLUCIÓN

Primero veamos cuánto dinero de la herencia recibe Pedro:

$318.0006 “ $53.000

Luego, lo que queda de herencia es:

$318.000 ´ $53.000 “ $265.000

Ahora veamos cuanto recibe Juan:

$265.0005 “ $53.000 ˆ 3 “ $159.000

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5.- Acerca del resultado de: 3?

´0, 001, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?I. No pertenece a los reales.II. Es irracional.III. Es equivalente al inverso aditivo de la décima parte del neutro multiplicativo.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) Solo I y III


SOLUCIÓN

Observa que:

3?

´0, 001 “3

c´

11.000 “ ´

110

Donde te puedes dar cuenta que este número es real, no es irracional y equivale alinverso aditivo de la décima parte de 1.

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6.- Si 5r“ a y 7r

“ b, entonces 5r`1¨ 7r`1 =

A) 35ab

B) ab2

C) pabq2

D) 12ab

E) 35ab2

Pregunta ID: 1040578Autor: Editorial Moraleja ..SOLUCIÓN

Notemos que 5r`1¨ 7r`1 se puede reescribir como:

5r¨ 5 ¨ 7r

¨ 7

Luego reemplazamos a y b:

5a ¨ 7b “ 35ab

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7.- En el planeta “X-Alpha” se encontraron 34 partículas desconocidas, las cuales día adía se multiplican en 34 partículas cada una de ellas. A partir de esta información,¿cuántas partículas habrá en 3 días?

A) 34

B) 37

C) 38

D) 312

E) 316


SOLUCIÓN

Cada partícula se convierte en 34 cada día. Esto significa que si fueran dos partí-culas, seria 2 ˆ 34, si fueran 3 serían 3 ˆ 34, pero como son 34 partículas iniciales,entonces en un día habrán:

34ˆ 34

En dos días hay:

34ˆ 34

ˆ 34

Y en 3 días hay:

34ˆ 34

ˆ 34ˆ 34

“ p34q

4“ 316

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8.- En la recta numérica están ubicados los números P y Q donde P ° Q. ¿Cuál(es)de los siguientes números siempre se ubica(n) entre P y Q en la recta numérica?

I. P ` Q

2II. P ` 1III. 2P ´ Q

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Analicemos cada una de las afirmaciones:I.P ` Q

2 corresponde al punto medio de P y Q. Por lo tanto, la afirmación I. esverdadera.Supongamos que P “ 0, 5 y Q “ 0, 4. Entonces:II.P ` 1 “ 0, 5 ` 1 “ 1, 5 y 1, 5 no se ubica entre P y Q.Por lo tanto, la afirmación II. es falsa.III.2P ´ Q “ p2 ¨ 0, 5q ´ p0, 4q “ 0, 6 y 0, 6 no se ubica entre P y Q.Por lo tanto, la afirmación III. es falsa.

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9.- Para determinar los valores de n y q en la ecuación n?

8q “ 2 es necesario saber que:(1) n es el triple de q.(2) q ` n “ 4.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


SOLUCIÓN

(1)Si n “ 3q ñ

3q?

8q “ 8q

3q “3

?8 “ 2 lo cual no sirve.

(2)Si q ` n “ 4Ñ n “ 4 ´ q entonces 4´q

?

23q “ 2 expresando en potencias:

2

¨

˝3q

4 ´ q

˛

‚

“ 21 iguales bases, iguales exponentes 3q

4 ´ q“ 1 Ñ 3q “ 4 ´ q donde

q “ 1.Con esta opción se puede determinar los valores de n y q. Por lo tanto, (2) por sísola.

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10.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 3?

0, 1251´x?

A)ˆ

12

˙´x

B)ˆ

12

˙1´x

C)ˆ

12

˙´ x2

D)ˆ

12

˙ x2

E)ˆ

12

˙x


SOLUCIÓN

Para encontrar la expresión equivalente recuerda que:

n?

pm “ pmn “ p n

?pq

m

Por lo tanto:

3a

0, 1251´x “3

dˆ18

˙1´x

“

˜3

c18

¸1´x

“

ˆ12

˙1´x

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11.- Si logab “ 6 y loga10 “ 1, ¿cuál es el valor numérico de a3

b?

A) 1?

b

B) 1?

10

C) 11.000

D) 10?

b3

E) 1


SOLUCIÓN

Como logab “ 6 ùñ a6

“ b

Además loga10 “ 1 ùñ a1

“ 10 ùñ a “ 10Reemplazando en:

a3

b“

a3

a6 “1a3

Con a “ 10

a3

b“

1103 “

11.000

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12.- ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) irracional(es)?

I. p?

2 ´ 3q2

II. p?

8 `?

2q2

III. p?

3 ´?

5qp?

3 `?

5q



SOLUCIÓN

I.La primera afirmación sí corresponde a un número irracional, pues:

´?

2 ´ 3¯2

“ 2 ´ 6?

2 ` 9 “ 11 ´ 6?

2

El número 6?

2 es irracional y al sumarlo con 11, el resultado también es irracional.II.La segunda afirmación no corresponde a un número irracional:

´?

8 `

?

2¯2

“ 8 ` 2?

16 ` 2 “ 18

III.Análogamente para la tercera afirmación:

´?

3 ´

?

5¯ ´?

3 `

?

5¯

“

?

32´

?

52“ 3 ´ 5 “ ´2

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13.- ¿Cuál de las siguientes fracciones es propia y además irreductible?

A) 58

B) 12525

C) 721

D) 123

E) 515

Pregunta ID: 1039933Autor: Francisca Benavente GouetSOLUCIÓN

Una fracción propia e irreductible debe cumplir las siguientes dos condiciones:1. el numerador debe ser menor que el denominador, para que sea propia. Esto

descarta B y D.2. irreductible significa que no se puede simplificar, lo que descarta C y E.Luego A es la respuesta correcta.

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14.- Simplifique la siguiente expresión:

1 ` i

2 ´ i

A) 0,2 ` 0,6 i

B) 0,2 ´ 0,4 i

C) 0,6 ` 0,6 i

D) 0,4 ´ 0,6 i

E) 0,4 ` 0,4 i


SOLUCIÓN

Se amplifica por p2 ` iq y se obtiene:

2 ` i ` 2i ` i2

4 ´ i2 “2 ` 3i ´ 1

4 ` 1 “1 ` 3i

5 “15 `

35i

Entonces,

ñ 0,2 ` 0,6 i

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15.- Si z “w ´ i

1 ` iw, con w “ x ` iy, ¿qué condiciones deben cumplir x e y para que z

sea un número complejo?

A) x “ í e y “ í.B) x e y pueden tomar cualquier valor.C) x “ í e y puede tomar cualquier valor.D) y “ í y x puede tomar cualquier valor.E) La expresión x

2´ 2y ` y

2` 1 debe ser distinta de cero.


SOLUCIÓN

Multplicamos el denominador y numerador por p1 ´ y ´ ixq:

z “x ` yi ´ i

1 ` ipx ` iyq¨

1 ´ y ´ ix

1 ´ y ´ ix“

x ´ xy ´ ix2

` iy ´ iy2

´ i2yx ´ i ` iy ` i

2x

1 ´ y ´ ix ´ y ` y2 ` iyx ` ix ´ ixy ´ i2x2

ñx ´ xy ´ ix

2` iy ´ iy

2` yx ´ i ` iy ´ x

1 ´ 2y ` y2 ` x2 “íx

2` iy ´ iy

2´ i ` iy

1 ´ 2y ` y2 ` x2

ñip´x

2` y ´ y

2´ 1 ` yq

1 ´ 2y ` y2 ` x2 “íp1 ´ 2y ` y

2` x

2q

p1 ´ 2y ` y2 ` x2q

Simplificamos las expresiones en el denominador y numerador, y nos queda í.Como la solución es í, x e y pueden tomar cualquier valor.

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16.- Ax2

` Bx ` C “ 0 es una ecuación cuadrática donde A, B y C son constantesreales y A es distinto de cero. Las raíces x1 y x2 de esta ecuación son imaginarias,entonces x1 ` x2

I. también es solución de la ecuación.II. también es un número imaginario.III. es un número real.

¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) correcta(s)?

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III


SOLUCIÓN

Si x1, x2 son soluciones imaginarias de Ax2

` Bx ` C “ 0, entonces deben ser de laforma ri, donde r es un número real e i “

?´1. Analizamos cada afirmación:

I.La primera no es correcta, por ejemplo para x

2` 1 “ 0 las soluciones son i y ´i,

pero i ` p´iq “ i ´ i “ 0 no es solución para la ecuación.II. y III.Para la segunda y tercera afirmación, la suma de números imaginarios también esun número imaginario, sean ai y bi dos números imaginarios, luego:

ai ` bi “ pa ` bqi

Sin embargo al ser dos soluciones de una ecuación cuadrática estos númerosimaginarios serán conjugados y por tanto, la suma de ellos será un número real.

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17.- Se puede determinar el número complejo z, si se sabe que:(1) z

2“ 5 ´ 12i.

(2) 5 ¨ z “ 15 ´ 10i.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


SOLUCIÓN

Analicemos la información proporcionada:(1)Supongamos que z “ a ` bi. Entonces, z

2“ a

2´ b2 ` 2abi “ 5 ´ 12i.

Por lo tanto:

a2

´ b2

“ 52ab “ ´12

Este sistema de ecuaciones lo satisfacen tanto a y b como ´a y ´b, por lo tanto noes posible determinar el valor exacto de a y b.Por lo tanto, esta información no es suficiente para determinar el número complejoz.(2)Si 5 ¨ z “ 15 ´ 10i, entonces z “

15 ´ 10i

5 , entonces z “155 ´

10i

5 y por lo tanto,z “ 3 ´ 2i. Con esto podemos determinar el valor de z.Esta información es suficiente.

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18.- Marca la alternativa que presente una expresión equivalente a:

x4

´ 10x2

` 9px2 ´ 1q px2 ´ 4x ´ 21q

A) x ´ 7x ´ 2

B) x ´ 7x ´ 3

C) x ´ 7x ´ 1

D) x ´ 3x ´ 7

E) x ´ 2x ´ 7


SOLUCIÓN

Factoricemos:

x4

´ 10x2

` 9px2 ´ 1q px2 ´ 4x ´ 21q

“px

2´ 9qpx

2´ 1q

px ` 1qpx ´ 1qpx ` 3qpx ´ 7q“

px ` 3qpx ´ 3qpx ` 1qpx ´ 1qq

px ` 1qpx ´ 1qpx ` 3qpx ´ 7q

Cancelamos todos los términos semejantes:

ñpx ` 3qpx ´ 3qpx ` 1qpx ´ 1q

px ` 1qpx ´ 1qpx ` 3qpx ´ 7q“

x ´ 3x ´ 7

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19.- Sea la ecuación ax ´ 1 “ a ` x, donde x es la incógnita, se afirma que siI. a “ 1, no existe solución.II. a “ ´1, entonces x “ 0.III. a ‰ 1, para cada valor de a, existe un valor distinto para x.¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) verdadera(s)?

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

En la ecuación: ax ´ 1 “ a ` x, despejamos primero x:

ax ´ x “ a ` 1 ñ xpa ´ 1q “ a ` 1 ñ x “a ` 1a ´ 1

I.Si a “ 1, tendríamos x “

20 , por lo que no existiría tal valor de x (no está definido).

II.Si a “ ´1, tendríamos x “

0´2 . Por lo tanto, x “ 0.

III.Es correcta, ya que al dar valores distintos de a a la expresión: a ` 1

a ´ 1 se obtienenvalores distintos de ella.

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20.- El cine local ha vendido 1.000 entradas el día de hoy, con lo que recaudaron$1.500.000. Si la entrada de adulto cuesta $2.000 y la de los niños $1.000. ¿Cuántasentradas de adulto se vendieron?

A) 250B) 300C) 500D) 750E) 900


SOLUCIÓN

Sea x el número de entradas para adultos, e y el de niños, se tiene que x`y “ 1.000.Por otro lado, sabemos que el costo de las entradas para adultos es de $2.000, y paraniños de $1.000, además que la recaudación del día fue de $1.500.000, que planteadomatemáticamente es igual a 2.000x ` 1.000y “ 1.500.000, o equivalentemente 2x `

y “ 1.500. Planteamos el sistema de ecuaciones:

x ` y “ 1.0002x ` y “ 1.500

Restando la segunda ecuación sobre la primera, obtenemos que x “ 500, por lotanto se tiene que el número de entradas vendidas para adultos es igual a 500.

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21.- Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

3x ` 2y “ 19x ` 6y “ 3

¿Cuál(es) de los siguientes tipos de soluciones tendrá el sistema?I. Solución únicaII. Infinitas solucionesIII. Sin solución

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Al resolver un sistema lineal, se pueden tener los tres casos.I.La solución única se obtiene cuando los coeficientes que acompañan a x e y no sonproporcionales.II.Se obtienen infinitas soluciones cuando las ecuaciones que conforman al sistema sonequivalentes.III.Finalmente, no hay solución cuando los coeficientes que acompañan a x e y sonproporcionales entre sí, pero no con los términos libres.Si multiplicamos la primera ecuación por 3 obtenemos la segunda ecuación, por lotanto son ecuaciones equivalentes y así el sistema tiene infinitas soluciones.

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22.- ¿Qué valor debe tener c para que la ecuación x2

` 2x ` c “ 0 tenga una únicasolución?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5


SOLUCIÓN

Para que la ecuación tenga una única solución, el discriminante debe ser cero:

� “ 0 ñ b2

´ 4ac “ 0

ñ 4 ´ 4c “ 0 ñ 4 “ 4c ñ c “ 1

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23.- En una fiesta de cumpleaños se repartieron un total de 2x2

`3x´2 dulces entre losniños. ¿Cuáles de las siguientes expresiones pueden representar el número de niñosy el número de dulces que recibió cada uno?

A) p2x ´ 1q niños y px ` 2q dulcesB) px ` 1q niños y p2x ` 2q dulcesC) p3x ´ 2q niños y px ´ 1q dulcesD) px ´ 1q niños y pxt ` 2q dulcesE) px ` 1q niños y pt ` 2xq dulces


SOLUCIÓN

Tenemos que:

2x2

` 3x ´ 2

Luego si completamos el cuadrado de binomio y factorizamos obtenemos lo siguien-te:

2x2

` 4x ´ x ´ 2 “ p2x ´ 1qpx ` 2q

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24.- Si una de las soluciones de una ecuación cuadrática con coeficientes reales es elcomplejo 1 ` 2i, entonces ¿cuál de las siguientes ecuaciones podría ser dicha ecua-ción?

A) x2

` 2x ´ 5 “ 0B) x

2´ 2x ´ 5 “ 0

C) x2

´ 2x ` 5 “ 0D) x

2` x ´ 5 “ 0

E) x2

´ 2x ´ 3 “ 0


SOLUCIÓN

Una ecuación cuadrática con soluciones x1 y x2 se puede escribir de la forma:

px ´ x1qpx ´ x2q “ 0

Desarrollando y factorizando se puede expresar de la forma:

x2

´ px1 ` x2qx ` x1x2 “ 0p˚q

Como una de las soluciones es x1 “ 1`2i la otra debe ser x2 “ 1´2i (la conjugadade la anterior). Reemplazando en (*) se obtiene:

x2

´ 2x ` 5 “ 0

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25.- Indica el conjunto solución del sistema de inecuaciones:

2x ´ 5 • 13x ` 2 † 5

A) H

B) tx P R{ 1 † xu

C) tx P R{73 † x § 3u

D) tx P R{ 1 ° x _ x • 3u

E) tx P R{ 1 ° x _ x ° 3u


SOLUCIÓN

Resolvemos cada inecuación por separado e intersectamos los conjuntos solución decada una, así obtendremos el conjunto solución del sistema de inecuaciones.En la primera inecuación:

2x ´ 5 • 1 ùñ 2x • 6 ùñ x • 3

Luego, x P [3, 8[. Análogamente para la segunda inecuación:

3x ` 2 † 5 ùñ 3x † 3 ùñ x † 1

Nos queda que x P ]´8, 1[. Finalmente, el conjunto solución del sistema deinecuaciones es ]´8, 1[X[3, 8r“ H.

31

26.- Sean a, b, c y d números reales, tales que a y c son mayores que 0. De acuerdo alsistema de inecuaciones:

ax ` b • 0cx ´ d † 0

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Si ad ` bc ° 0, las soluciones pertenecen al intervalo„

´b

a,d

c

„.

II. Si ad ` bc † 0, el sistema no admite soluciones.III. Si ad ` bc “ 0, la solución al sistema es el conjunto R.

A) Solo IIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Antes de analizar las afirmaciones, resolvemos cada inecuación:I.Para la primera desigualdad tenemos que:

ax ` b • 0 ùñ x • ´b

aùñ x P

„´

b

a, 8

„

II.Mientras que para la segunda desigualdad:

cx ´ d † 0 ùñ x †d

cùñ x P

⇢´8,

d

c

„

La solución al sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de ambos con-juntos, y todo depende de los posibles valores que puedan tomar los coeficientesa, b, c y d. Analizamos las afirmaciones; la primera es correcta, pues:

ad ` bc ° 0 ùñ ´b

a†

d

cùñ

„´

b

a, 8

„X

⇢´8,

d

c

„“

„´

b

a,d

c

„

III.Por último, la tercera afirmación NO es correcta; al igual que en la segunda afir-mación el conjunto solución es vacío si ad ` bc “ 0 y no es todo el conjunto R.

32

27.- Se puede conocer el número de participantes mujeres en una fiesta si:(1) el número de hombres es el doble del número de mujeres.(2) se sabe que si abandonan la fiesta 10 hombres e ingresan 10 mujeres, entonces

el número de participantes queda igualado.



SOLUCIÓN

(1)

Ñ h “ 2m

(2)

Ñ h ´ 10 “ m ` 10

Luego el problema se puede resolver con ambas juntas m “ 20 y h “ 10.

33

28.- El precio de los limones en una tienda siguen una relación proporcional entre elcosto y la cantidad de limones (en kilógramos) que se desea comprar. En dondeun kilógramo de limones cuesta 330 pesos y 2 kilógramos cuestan 660 pesos. ¿Cuálde las siguientes funciones representa el costo total de los limones en función de lacantidad de kilógramos?

A) fpxq “ x ` 330B) fpxq “ 330x

C) fpxq “ 2x ` 330D) fpxq “ 330 ` 660E) fpxq “ 330x ` 660


SOLUCIÓN

El costo total es directamente proporcional a la cantidad de kilógramos comprados.Determinemos la constante de proporcionalidad:

Determinemos la constante de proporcionalidad:

k “3301 “

6602 “ 330

fpxq: Costo total.x: kilógramos de limones comprados.Entonces:

fpxq “ kx ñ fpxq “ 330x

34

29.- Un recipiente que contiene 1.000 litros de aceite, pierde constantemente 2 litros porminuto debido a un agujero. Al mismo tiempo el recipiente es llenado de manerapermanente a razón de 5 litros por hora. ¿Cuál de las siguientes expresiones modelala cantidad de litros L en el recipiente en función del tiempo t, medido en minutos?

A) Lptq “ 1.000 ´4712t

B) Lptq “ 1.000 ´2312t

C) Lptq “ 1.000 ` 3t

D) Lptq “ 1.000 ´ 3t

E) Lptq “ 1.000 ´ 115t


SOLUCIÓN

En un principio, el recipiente contiene 1.000 litros de aceite y pierde 2 litros porcada minuto que pasa, al mismo tiempo se van agregando 5 litros cada 60 minutos,por lo tanto, por minuto se agregan 5

60 litros.La expresión que permite calcular la cantidad de litros L dentro del recipiente, enfunción de cada minuto que pasa desde que se abrió el agujero es:

Lptq “ 1.000 ´ 2t `560t “ 1.000 ´

2312t

35

30.- ¿Cuál(es) de las siguientes alternativas es (son) función(es) exponencial(es) o loga-rítmica(s)?I. fpxq “ x

3

II. gpxq “ 6x

III. hpxq “ Lnp2xq

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III


SOLUCIÓN

Veamos por cada función:I.La primera función es cúbica, ya que la variable está elevada a 3.II.La segunda función es exponencial, dado que hay una constante elevada a unavariable.III.La tercera función es logarítmica, ya que es un logaritmo natural de una variable.

36

31.- ¿Cuál de los siguientes gráficos puede corresponder a una función cuadrática fpxq “

mx2

` nx ` p con m † 0 y n2

´ 4mp ° 0?

A)

B)

C)

D)

E)


SOLUCIÓN

Se sabe que el gráfico de una función cuadrática fpxq “ mx2

` nx ` p es unaparábola con eje de simetría paralelo al eje de ordenadas. Esto nos lleva a descartarla alternativa Bq.También se sabe que el coeficiente del término cuadrático, m en este caso, determinala concavidad de la curva, siendo cóncava hacia abajo cuando este coeficiente esnegativo. Esto permite descartar la alternativa Dq.Por último, la expresión n

2´ 4mp es el discriminante �, del cual depende la

naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente fpxq “

mx2

` nx ` p “ 0, y por tanto, la cantidad de puntos de intersección entre lagráfica de la función cuadrática y el eje de abscisas, pudiendo ser:0 (no existe punto de intersección) si � † 01 (el vértice de la parábola es el único punto de intersección) si � “ 02 si � ° 0En el enunciado se supone � “ n

2´4mp ° 0, por lo cual el único gráfico compatible

con esta información es E.

37

32.- Dada la función fpxq “ x2

´ 6x ` 5 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobredicha función es (son) correcta(s)?I. Es una función cuadrática.II. Intersecta al eje y en el punto p0, 5q.III. Es equivalente a la función gpxq “ px ´ 5qpx ´ 1q.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN Veamos por afirmación.I.Se dice que la función corresponde a una cuadrática, para ello, la función debe tenerun término cuadrático, y que este sea el mayor. Por lo tanto, como la función tieneel término x

2 y es el término elevado a la mayor potencia, entonces corresponde auna función cuadrática.II.Se dice que la función corta el eje y en el punto p0, 5q, para ello, debemos evaluarla función en x “ 0, con ello tenemos que fp0q “ 02

´ 6 ˆ 0 ` 5 “ 5, por lo tanto,cuando la función pasa por el eje y, esta se intersecta con el en el punto p0, 5q.III.Se dice que la función es equivalente a gpxq “ px ´ 5qpx ´ 1q, lo cual es cierto, yaque corresponde a la forma factorizada de la función original.

38

33.- Se sabe que la función T pLq “ 2fi

cL

g, muestra la relación del periodo de un

péndulo (T ) en función de su largo (L). ¿Cuál es la función inversa que muestra larelación entre el largo del péndulo en función de su periodo?

A) LpT q “ T2

¨ g

B) LpT q “T

2fi¨ g

C) LpT q “

ˆT

2fi

˙2¨ g

D) LpT q “

cT

g

E) LpT q “ 2fi

cT

g


SOLUCIÓN

Para resolver este problema, es necesario conocer la teoría de la función inversa.Vemos que al despejar la variable L, de la función expuesta en el enunciado, nosqueda:

T pLq “ 2fi

dL

gñ

T

2fi“

dL

g

ñ

ˆT

2fi

˙2“

L

gñ

ˆT

2fi

˙2¨ g “ LpT q

39

34.- Un capital C se invierte a una tasa de interés anual de r por ciento de interéscompuesto n veces al año, entonces el capital final Cf en la cuenta al final de t añostranscurridos es:

Cf “ C ˆ

´1 `

´r

100n

¯¯nt

Si se decide invertir $100.000 a un 4 % anual de interés compuesto trimestral, altérmino de dos años se tendrá un capital final Cf igual a:

A) 100.000 ¨ p1, 010q6

B) 100.000 ¨ p1, 010q8

C) 100.000 ¨ p1, 003q6

D) 100.000 ¨ p1, 003q8

E) 100.000 ¨ p1, 002q6


SOLUCIÓN

Primero definamos las variables:C “ 100.000, porque se dice que la inversión inicial es de $100.000.r “ 4, porque se dice que la tasa de interés es de 4 %.n “ 4, porque un año se compone de 4 trimestres, es decir, el interés crece 4veces al año.t “ 2, porque se pide la cifra final al término de 2 años.

Al reemplazar todos los valores en la fórmula resulta que:

Cf “ C ¨

´1 `

´r

100n

¯¯nt

ñ Cf “ 100.000 ¨

ˆ1 `

ˆ4

p100 ¨ 4q

˙˙4¨2

Cf “ 100.000 ¨ p1 ` p1100qq8

ñ Cf “ 100.000 ¨ p1 ` 0, 01q8

ñ Cf “ 100.000 ¨ p1, 01q8

40

35.- En el plano cartesiano de la figura, fpxq, gpxq y hpxq son funciones potencia.

De acuerdo a la representación gráfica de estas funciones, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?I. Su representación algebraica es de la forma ax

n, donde a “ 1 para cada funcióny n es par.

II. La función de mayor exponente es hpxq.III. fp´1q ` gp1q ` hp´1q “ ´1.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Analicemos cada caso:Caso I.De acuerdo al enunciado son funciones potencia, por ende se escriben de la formaax

n. Si observamos, las tres funciones se intersectan en los mismos dos puntos. Deesta manera fp1q “ gp1q “ hp1q “ ap1q

n“ 1. Sabemos que para cualquier valor de

n, p1qn

“ 1, por lo tanto, a “ 1.Si n es par, entonces lo podemos escribir como n “ 2k, donde k P N. Luego lafunción queda:

fpxq “ axn

“ 1 ¨ x2k

“ pxkq

2

Sabemos que el cuadrado de cualquier número siempre dará positivo, por ende lasimágenes de las funciones descritas siempre serían mayores o iguales a cero. Siendocorrecto que n es par.Caso II.Claramente la curva que más se acerca al eje de las ordenadas tiene un crecimientomucho más rápido, por lo tanto, el exponente debe ser mayor que el de las demásfunciones. Se concluye que esta afirmación es verdadera.Caso III.Resolvamos a partir del gráfico:

fp´1q ` gp1q ` hp´1q “ 1 ` 1 ` 1 “ 3 �“ 1

Finalmente concluimos que solamente las afirmaciones I y II son correctas.

41

36.- Dada la función fpxq “ 2x2

` ax. Se puede saber el valor de a si se sabe que:(1) fp1q “ 4.(2) fpaq “ 12, a ° 0.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) (1) y (2), ambas juntasD) (1) o (2), cada una por si solaE) Se requiere información adicional


SOLUCIÓN

(1)x “ 1 Ñ fp1q “ 4 “ 2p1q

2` a ¨ 1 Ñ a “ 2.

(2)x “ a Ñ fpaq “ 12 “ 2a

2` a

2Ñ a

2“ 4 entonces a “ 2 ó ´2, pero a ° 0.

Entonces a “ 2. Luego se puede con cada una por sí sola.

42

37.- Los triángulos �BCA y �BED son congruentes y D es un punto sobre el segmentoAC. Si =CBE “ 50˝, ¿cuál es la medida del =BDE?

A) 15˝

B) 50˝

C) 65˝

D) 90˝

E) 115˝


SOLUCIÓN

Como �BCA – �BED los lados y ángulos homólogos son iguales. Así que =DBE “

=ABC, por lo tanto =CBE “ =ABD “ 50˝. Además �ABD es isósceles de baseAD, por lo que:

=BAD “ =BDA “ 65˝

Finalmente como �BCA – �BED tenemos que:

=BDE “ =BAC “ 65˝

43

38.- Indica la alternativa que presente un poducto positivo entre las coordenadas de lospuntos del siguiente gráfico:

A) a ¨ f

B) b ¨ e

C) d ¨ f

D) e ¨ f

E) c ¨ d


SOLUCIÓN

Ambas coordenadas del punto en el primer cuadrante son positivas, el punto en elsegundo cuadrante tiene positiva la coordenada vertical mientras que la coordenadahorizontal es negativa. El punto en el tercer cuadrante tiene ambas coordenadasnegativas, por lo tanto:

a ¨ f † 0

b ¨ e † 0

d ¨ f † 0

e ¨ f ° 0

c ¨ d † 0

44

39.- Si u “ p5, ´6q y v “ p´2, ´3q, ¿cuál es el par ordenado que representa al vectorw “ 7u ´ 5v?

A) w “ p3, ´9q

B) w “ p15, ´45q

C) w “ p21, ´63q

D) w “ p25, ´57q

E) w “ p45, ´27q


SOLUCIÓN

Tenemos que:

w “ 7u ´ 5v “ 7 ¨ p5, ´6q ´ 5 ¨ p´2, ´3q

w “ p35, ´42q ` p10, 15q “ p35 ` 10, ´42 ` 15q “ p45, ´27q

45

40.- ¿A cuántas unidades cuadradas corresponde el área del triángulo de la figura?

A) 2 unidadesB) 7 unidadesC) 8 unidadesD) 12 unidadesE) 16 unidades


SOLUCIÓN

Podemos determinar el área del triángulo calculando el área del rectángulo paraluego restarles el área de los triángulos rojos:

Arectángulo “ 5 ¨ 3 “ 15

Atotal triángulos rojos “5 ¨ 1

2 `4 ¨ 2

2 `3 ¨ 1

2 “52 ` 4 `

32 “ 8

Por lo tanto:

A “ Arectángulo ´ Atotal triángulos rojos “ 15 ´ 8 “ 746

41.- En la figura AP : PB “ 3 : 5 y el segmento BP mide 15 cm. ¿Cuál es la medidade AB?

A) 9 cm

B) 18 cm

C) 24 cm

D) 30 cm

E) 32 cm


SOLUCIÓN

Por teorema de Thales se pueden sacar las medidas de los segmentos AB y AP , eneste caso nos piden el segmento AB, entonces se tiene que:

38 “

x

x ` 15 ñ 3px ` 15q “ 8x ñ 3x ` 45 “ 8x

45 “ 8x ´ 3x ñ 45 “ 5x ñ x “455 “ 9

Luego el segmento AB “ x ` 15, por lo que al reemplazar nos queda:

9 ` 15 “ 24 cm

47

42.- En la figura, O es el centro de la circunferencia B es un punto sobre la circunferenciay AC es diámetro. Si >ABO “ 40 ˝, ¿cuánto mide >BOC?

A) 40˝

B) 60˝

C) 80˝

D) 100˝

E) 120˝


SOLUCIÓN

Note que los segmentos OA y OB corresponden a radios de la circunferencia, por lotanto, —BOA es isósceles, siendo AB la base del triángulo. Se cumple que >ABO “

>BAO “ 40˝. Como >BOC es adyacente a >BOA, su medida es:

>BOC “ >ABO ` >BAO “ 40˝` 40˝

“ 80˝

48

43.- En la figura, L1 Î L2. ¿Cuál es el valor de x?

A) 38 cm

B) 35 cm

C) 23 cm

D) 53 cm

E) 83 cm


SOLUCIÓN

Aplicamos directamente el teorema de Thales sobre trazos proporcionales:

6 cm2 cm “

14 cmx ` 2 cm ùñ x “

83 cm

49

44.- Se tienen dos triángulos tales que �ABC „ �DEF . Si el perímetro del triángu-lo �ABC es igual al doble del perímetro del triángulo �DEF , ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. ?ABC “ 2 ¨ ?DEF .II. 2 ¨ AC “ DE.III. El área del triángulo �ABC es igual al cuádruple del área del triángulo

�DEF .

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Analicemos cada una de las afirmaciones.I.Los ángulos ?ABC y ?DEF son congruentes, es decir, ?ABC “ 2 ¨ ?DEF .Lo afirmado en I. es falso.II.Como el perímetro del triángulo �ABC es igual al doble del perímetro del triángulo�DEF , entonces, AC “ 2 ¨ DE.Lo afirmado en II. es falso.III.Como el perímetro del triángulo �ABC es igual a 2 veces el perímetro del triángulo�DEF , el área del triángulo �ABC es igual a 22

“ 4 veces el área del triángulo�DEF .Lo afirmado en III. es verdadero.

50

45.- En el triángulo �ABC de la figura, DE Î AB.

Si AC “ DE “ 8 cm, BC “ 12 cm y AD “ DC, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) correcta(s)?

I. AC

DC“

x

DE“

BC

y

II. x ` y “ 22 cm

III. Perímetro�DEC

Perímetro�ABC“

12

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

I.Tenemos una aplicación directa del teorema de Thales en un triángulo. Al serparalelos los segmentos DE y AB se cumple que los lados de cada triángulo estánen proporción (son semejantes), luego:

ACDC

“x

DE“

BCy

II.Dada esta relación despejamos los valores de x e y, obteniendo que x “ 16 cm ey “ 6 cm. Por lo tanto:

x ` y “ 16 cm ` 6 cm “ 22 cm

III.Note que la razón de semejanza entre ambos triángulos es:

—DEC—ABC “

12 ùñ

Perímetro — DECPerímetro — ABC “

12

51

46.- Considera la circunferencia de la figura:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. �ABP „ �DCP

II."AD“

"BC

III. AP ¨ CP “ DP ¨ BP



SOLUCIÓN

Analicemos cada una de las afirmaciones:I.?ABP – ?DCP , ya que ambos sostienen el mismo ángulo.?BAP – ?CDP , ya que ambos sostienen el mismo ángulo.Por lo tanto, por criterio AA, se cumple que �ABP „ �DCP

II.Esta afirmación es falsa. Para que fuera cierta P tendría que ser el centro de lacircunferencia lo que no es proporcionado como información.III.Esta afirmación es verdadera debido a teorema de las cuerdas.

52

47.- Se puede afirmar que el �ABC es semejante con el �PQR si:

(1) AB

PQ“

BC

QR“

CA

RP.

(2) a “ a1 y b “ b

1.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


SOLUCIÓN

(1)Sí es por el criterio LLL(2)Sí es por el criterio AALuego cada una por sí sola.

53

48.- En el plano cartesiano, el —ABC se transforma en el —A1B

1C

1 bajo una homoteciade centro O. ¿Cuáles son las coordenadas del centro O de la homotecia?

A) (5, 3)B) (4, 4)C) (3, 3)D) (4, 3)E) (3, 4)


SOLUCIÓN

Si trazamos los segmentos que unen los puntos A, B y C con sus respectivas imá-genes bajo la homotecia, se tiene lo que se muestra en la imagen anterior. El centrode homotecia se encuentra donde concurren todos los segmentos, o sea el centro dela homotecia está en el punto p4, 3q.Otra forma de razonar es verificando que la homotecia es de razón ´

12 , ya que todos

los lados del triángulo �ABC disminuyen a la mitad su longitud y se invierte, porlo que basta con trazar el segmento AA’ y dividir dicho segmento en la razón 2 : 1,ya que (obviando el signo negativo):

12OA “ OA’

OA “ 2OA’

Es decir, la distancia entre el vértice A y el centro de homotecia O tiene que serigual al doble de la distancia entre el punto O y el vértice A’.

54

49.- El punto p1, 4q es punto medio del trazo Ap´2, 5q y Bpk, 3q. ¿Cuál es el valor de k?

A) 2B) 3C) 4D) 6E) 8


SOLUCIÓN

Determinemos el punto medio del trazo Ap´2, 5q y Bpk, 3q:ˆ

´2 ` k

2 ,5 ` 3

2

˙

Como el punto medio es p1, 4q debe cumplirse que:

´2 ` k

2 “ 1 ñ ´2 ` k “ 2 ñ k “ 4

55

50.- Los cuadriláteros de la figura ABCD y PQRS son dos figuras homotéticas. Si sabeque OA “ OP , OB “ OQ, OC “ OR y OP “ OS, por lo tanto la razón de lahomotecia es:

A) ´2B) ´1C) 0D) 1E) 2


SOLUCIÓN

Vemos que estas dos figuras homotéticas, tienen en común que distan una mismadistancia del centro de la homotecia, además, como están una a cada lado delcentro, esto quiere decir que es una homotecia inversa, por lo que la razón dehomotecia es negativa, además como tienen la misma distancia desde el centropor lo tanto, la figura que se genera por homotecia no sufre ningún efecto deampliación o disminución, y en consecuencia su tamaño se mantiene, es por estoque la razón de homotecia en este caso es ´1.

56

51.- P pertenece a la recta y “ 2x en el primer cuadrante, y la distancia del punto P

al origen es 5. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P?

A) (?

5 , 2?

5)B) (3, 6)C) (4, 8)

D) (2?

5 ,?

5)

E) (?

5 ,?

5)


SOLUCIÓN

Si P pertenece a la recta y “ 2x entonces P “ pa, 2aq, luego la distancia de P alorigen es 5.

5 “

bpa ´ 0q

2` p2a ´ 0q

2Ñ 5 “

?

5a2 Ñ a “5

?5

¨

?5

?5

“

?

5

Entonces P “`?

5, 2?

5˘.

57

52.- La ecuación de la recta que pasa por los puntos Ap1, 4q y Bp3, 2q está dada por:

A) y “ ´2x ` 6B) y “ ´x ` 5C) y “ 2x ` 2D) y “ x ` 3E) y “ 2x ´ 4


SOLUCIÓN

Determinemios la pendiente de la recta:

m “y1 ´ y0x1 ´ x0

“4 ´ 21 ´ 3 “

2´2

ñ m “ ´1

La ecuación de la recta es, entonces, y “ ´x ` n.Determinemos ahora el valor del coeficiente de posición n. Como p1, 4q pertenece ala recta debe cumplirse que:

4 “ ´1 ` n

Por lo tanto:

n “ 5

Conlcuimos que la ecuación de la recta es y “ ´x ` 5.

58

53.- Considerando las rectas:

L1 : x ` 2y “ 1L2 : ´2x ` y “ 3

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto de lasrectas?1. Son perpendiculares.2. Se intersectan en el punto p´1, 1q.3. Una de las rectas pasa por el origen.



SOLUCIÓN

Analicemos cada una de las afirmaciones:I.Para determinar si las rectas son perpendiculares debemos calcular sus pendientes:

L1 : x ` 2y “ 1 ñ 2y “ ´x ` 1 ñ y “ ´x

2 `12

ñ m1 “ ´12

L2 : ´2x ` y “ 3 ñ y “ 2x ` 3

ñ m2 “ 2

m1 ¨ m2 “ ´12 ¨ 2 “ ´1

Por lo tanto, las rectas son perpendiculares. Esta afirmación es verdadera.II.Para determianr el punto de intersección debemos resolver el sistema:x ` 2y “ 1{ ¨ 2ñ ´2x ` y “ 3ñ 2x ` 4y “ 2ñ ´2x ` y “ 3ñ 5y “ 5ñ y “ 1Reemplacemos este valor en la ecuación x ` 2y “ 1:ñ x ` 2 ¨ 1 “ 1ñ x ` 2 “ 1ñ x “ ´1Por lo tanto, las rectas se intersectan en p´1, 1q

Esta afirmación es verdadera.III.Como ninguna de las rectas corresponde a una fucnión lineal, ninguna pasa por elorigen.Esta afirmación es falsa.

59

54.- Las coordenadas de los puntos que forman el cuadrado ABCD son Ap0, 0q; Bp2, 0q;Cp2, xq y Dpy, 2q. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?I. La distancia entre B y D es 3 unidades.

II. La distancia entre A y C es 2?

2 unidades.III. Los valores de x e y son 2 y 0 respectivamente.

A) Solo IIB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Analizamos cada afirmación:I.La primera afirmación no es correcta, el segmento de recta que une los puntos B yD corresponde a uno de los lados del cuadrado, que tiene de lado 2 unidades.II.La segunda afirmación es correcta, el segmento de recta que une los puntos A y Bcorresponde a la diagonal del cuadrado, como el cuadrado tiene lado 2 unidades, ladiagonal mide 2

?2 unidades.

III.La tercera afirmación también es correcta, para que los puntos formen un cuadrado,los valores de x e y deben ser 2 y 0 respectivamente.

60

55.- ¿Cuál es la distancia entre los puntos p´2, ´4, 5q y p1, 0, 8q?

A)?

17 unidades

B)?

21 unidades

C)?

34 unidadesD) 4 unidadesE) 7 unidades


SOLUCIÓN

La fórmula de distancia entre 2 puntos es:

d “

apx2 ´ x1q2 ` py2 ´ y1q2 ` pz2 ´ z1q2

Luego si tomamos los puntos como:p1, 0, 8q “ px1, y1, z1q

p´2, ´4, 5q “ px2, y2, z2q

Al reemplazarlos en la fórmula nos queda:

d “

ap´2 ´ 1q2 ` p´4 ´ 0q2 ` p5 ´ 8q2

d “

ap´3q2 ` p´4q2 ` p´3q2

d “?

9 ` 16 ` 9d “

?34

61

56.- ¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta L que pasa por el punto p12, ´3, 6q ycuyo vector director es x8, 12, ´4y?

A) L : xx, y, zy “ x4⁄ ` 4, 3⁄ ´ 1, ´⁄ ` 2y con ⁄ P RB) L : xx, y, zy “ x8⁄ ` 4, 12⁄ ´ 1, ´4⁄ ` 2y con ⁄ P RC) L : xx, y, zy “ x´4⁄ ` 4, ´3⁄ ´ 1, ⁄ ` 2y con ⁄ P RD) L : xx, y, zy “ x8⁄ ´ 4, 12⁄ ` 1, ´4⁄ ´ 2y con ⁄ P RE) L : xx, y, zy “ x8⁄ ` 12, 12⁄ ´ 3, ´4⁄ ` 6y con ⁄ P R


SOLUCIÓN

La ecuación vectorial de la recta L en el espacio es:

L : xx, y, zy “ ⁄ ¨ d ` P0 con ⁄ P R

L : xx, y, zy “ ⁄ ¨ xxd, yd, zdy ` xx0, y0, z0y

Donde d corresponde al vector director de coordenadas pxd, yd, zdq y P0 correspondeal punto de coordenadas px0, y0, z0q perteneciente a la recta. Por otro lado, ⁄ es unescalar en R.A partir de la ecuación vectorial de la recta se define la ecuación paramétrica de lamisma como:

xx, y, zy “ x⁄ ¨ xd ` x0, ⁄ ¨ yd ` y0, ⁄ ¨ zd ` z0y

Reemplazando los datos datos del enunciado se tiene:

L : xx, y, zy “ ⁄ ¨ x8, 12, ´4y ` x12, ´3, 6y

L : xx, y, zy “ x8⁄, 12⁄, ´4⁄y ` x12, ´3, 6y

L : xx, y, zy “ x8⁄ ` 12, 12⁄ ´ 3, ´4⁄ ` 6y

62

57.- Se rota indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura sobre DC. Si r “ 5 cmy h “ 7 cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo generado por el área achurada encentímetros cúbicos?

A) 35fi cm3

B) 105fi cm3

C) 70fi

3 cm3

D) 350fi

3 cm3

E) 35fi

3 cm3


SOLUCIÓN

El volumen del cuerpo generado por la zona achurada corresponde al volumen quequeda entre el cono y el cilindro que se forma al girar indefinidamente el rectánguloABCD sobre el lado CD. Dicho volumen se obtiene mediante la diferencia entre elvolumen del cilindro con el volumen del cono:

Vcilindro “ fi ¨ r2

¨ h “ fi ¨ 52¨ 7 cm3

“ 175fi cm3

Vcono “fi ¨ r

2¨ h

3 “fi ¨ 52

¨ 73 cm3

“175fi

3 cm3

Luego:

V “ 175fi cm3´

175fi

3 cm3“

525fi ´ 175fi

3 cm3“

350fi

3 cm3

63

58.- Se puede determinar la capacidad de un tanque cilíndrico de h metros de altura, sise sabe que:

(1) los 23 de los 5

4 de h es igual a 10 m.

(2) el diámetro de la base del cilíndro es 2 m.



SOLUCIÓN

La capacidad o volumen (V ) que es capaz de contener el tanque cilíndrico corres-ponde a:

V “ fir2h

Donde h es la altura del cilíndro y r es el radio de la base. Por lo tanto, paradeterminar la capacidad del tanque es necesario saber cuáles son las medidas de h

y r.Usando (1) podemos conocer el valor de h y luego usando (2) podemos obtener elvalor r.

64

59.- El siguiente gráfico de frecuencia acumulada corresponde a la masa corporal de ungrupo de personas.

De acuerdo a este, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?I. El número de personas cuya masa corporal pertenece al intervalo r50, 60r es el

mismo que el que pertenece al intervalo r60, 70r.II. El número de personas cuya masa corporal pertenece al intervalo r70, 80r es

mayor que el que pertenece al intervalo r60, 70r.III. No hay personas cuya masa corporal sea mayor a 80 kg.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Analicemos la infromación proporcionada:I.Por semejanza podemos concluir que b´a “ c´b. Entonces, el número de personascuya masa corporal pertenece al intervalo r50, 60r es el mismo que el que perteneceal intervalo r60, 70r.II.Por semejanza podemos concluir que d´c ° c´b. Podemos conlcuir que el númerode personas cuya masa corporal pertenece al intervalo r70, 80r es mayor que el quepertenece al intervalo r60, 70r.III.Como la frecuencia acumulada de los intervalos r70 ´ 80r y r80 ´ 90r es la mismapodemos concluir que no hay personas cuya masa corporal sea mayor a 80 kg.65

60.- El siguiente gráfico muestra el número de personas que participaron en actividadesacuáticas en una piscina municipal durante el año 2013, según rango de edad y sexo(considerar que para cada rango de edad, la barra izquierda representa la cantidadde hombres y la barra derecha representa la cantidad de mujeres).

Al respecto, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es falsa?

A) Las mujeres que participaron de la actividad representan la mitad de los asis-tentes.

B) La cantidad de hombres menores de 26 años que participaron de las actividadescorresponden aproximadamente al 12 % del total de participantes.

C) La asistencia a las actividades fue en igual medida tanto para hombres comopara mujeres.

D) Hay la misma cantidad de mujeres en los dos últimos intervalos de edad.E) El rango de cada intervalo de edad es el mismo.


SOLUCIÓN

Si sumamos la cantidad de mujeres que participan de las actividades, obtendremos:

10 ` 20 ` 15 ` 30 ` 30 “ 105

De igual forma, la cantidad de hombres es:

15 ` 10 ` 20 ` 35 ` 25 “ 105

Con lo cual podemos ver que la cantidad de mujeres corresponde a la mitad depersonas que participan.Por otro lado, el número de hombres menores de 26 años es:

15 ` 10 “ 25

Además, 210 personas conforman total de participantes de las actividades, de modoque el porcentaje de hombres sobre el total de asistentes es:

25 ¨ 100210 “

25021 – 11, 9 – 12

Junto a lo anterior, a cada uno de los dos últimos intervalos le corresponden 30mujeres, por lo que es correcto afirmar que en cada intervalo participó el mismonúmero de mujeres.Finalmente, el rango corresponde a la diferencia entre el mayor y el menor de losdatos de un conjunto. En este caso, para cada uno de los intervalos de edad existendos distribuciones diferentes: uno para los hombres y otro para las mujeres. El rangoen el primer y segundo intervalo es 6 años, en el tercero es 9 años, en el cuarto es24 años, y finalmente el último intervalo no posee rango por no estar acotado. Así,el rango no es el mismo para cada uno de los intervalos.

66

61.- José va a la tienda a comprar semillas de girasoles. La siguiente tabla muestra elprecio por unidad, según la cantidad de semillas que se compren:

De acuerdo a lo expuesto en la tabla de precios, ¿cuál(es) de las siguientes afirma-ciones es (son) verdadera(s)?I. Comprar 9 semillas equivale a gastar $300 en total.II. Si José tiene $5.000, entonces puede comprar 20 semillas en total.III. Al comprar entre 50 y 59 semillas, se puede ahorrar un 50 % por unidad en

comparación a comprar entre 1 y 9 semillas.

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Según lo expuesto en la tabla, tenemos que:I.Vemos que al comprar 9 semillas, cada una valdría $300, por lo que en total segastaría $2.700. I es falsa.II.Vemos que la cantidad máxima que aspira José está entre 20 y 29, ya que 30 semillasle costarían $6.300.Vemos que 20 semillas costarían $4.800, por lo que solo le sobran $200, con loscuales no puede comprar ninguna semillas más. Entonces II es correcta.III.Es correcta, ya que al comprar entre 1 y 9, el valor unitario es de $300, pero alcomprar entre 50 y 59 el valor unitario es $150, lo que equivale al 50 % de $300.

67

62.- En la siguiente tabla, se muestra el porcentaje de avance en la elaboración deltrabajo final de un ramo, de un grupo de estudiantes. De acuerdo a la informaciónentregada en la tabla, ¿cuál es el segundo cuartil de esta muestra?

A) 7 %B) 12,5 %C) 37,5 %D) 50 %E) 75 %


SOLUCIÓN

Para calcular el segundo cuartil, primero debemos ver cuántas personas componennuestra muestra, para esto sumamos la frecuencia de cada intervalo, esto es: 5 `

6`2`1 “ 14. Por lo tanto, encontrar la posición en donde se encuentra el segundocuartil, se tiene:

2n

4Donde n es la cantidad de componentes de la muestra, esto es en este caso, 14.Entonces se tiene 2 ¨ 14

4 “284 “ 7

Esto nos indica que el segundo cuartil se encuentra en el segundo intervalo, por lotanto, vemos que:

Q2 “25 ` 50

2 “752 “ 37,5

En conclusión, el segundo cuartil es 37,5 %.

68

63.- Una persona tiene 8 pares diferentes de zapatos. Tomando en cuenta que nuncarepite la elección del mismo par de zapatos durante la misma semana, ¿de cuántasformas diferentes puede elegir los zapatos que usará durante una semana?

A) 1B) 5C) 7D) 8E) 10


SOLUCIÓN

En esta situación se nos pide agrupar un total de 8 elementos (pares de zapatos)en grupos de 7, por lo cual nuestro cálculo será:

ˆ87

˙“

8!p8 ´ 7q!7! “ 8

Esto significa que la persona tiene 8 formas diferentes para elegir el par de zapatosque usará durante una semana.

69

64.- La siguiente gráfica muestra las edades de los estudiantes de cuarto medio A ycuarto medio B.

Considerando que la edad promedio de ambos cursos es 18 años, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?I. La distribución de las edades del cuarto medio A es más heterogénea que la

distribución de las edades del cuarto medio B.II. La desviación estándar de las edades es menor para el cuarto medio B que

para el cuarto medio A.III. La dispersión de las edades es la misma para ambos cursos.



SOLUCIÓN

La desviación estándar de un conjunto de datos, cuando éstos se expresan en unatabla/gráfico de frecuencias es:

‡ “

cf1 ¨ px1 ´ xq2 ` f2 ¨ px2 ´ xq2 ` . . . ` fn ¨ pxn ´ xq2

NDonde x corresponde al promedio de los N datos x1, x2, . . ., xn que conforman elconjunto, y cuyas frecuencias absolutas son f1, f2, . . ., fn respectivamente.Por otra parte, la desviación estándar nos entrega información acerca de la disper-sión de los datos estadísticos con respecto a su media. En otras palabras, nos indicaqué tan homogéneos son los datos con respecto a su media, o equivalentemente, quétan “apegados” a ésta se encuentran. A mayor desviación estándar, mayor disper-sión de los datos respecto a la media. Al contrario, a menor desviación estándar,menor dispersión.Calculemos la desviación estándar del cuarto medio A (‡A) y el cuarto medio B(‡B):

‡A “

c9 ¨ p17 ´ 18q2 ` 5 ¨ p18 ´ 18q2 ` 3 ¨ p19 ´ 18q2 ` 3 ¨ p20 ´ 18q2

20

“

c9 ¨ p´1q2 ` 5 ¨ 02 ` 3 ¨ 12 ` 3 ¨ 22

20 “

c9 ¨ 1 ` 5 ¨ 0 ` 3 ¨ 1 ` 3 ¨ 4

20

“

c9 ` 0 ` 3 ` 12

20 “

c2420

‡B “

c4 ¨ p17 ´ 18q2 ` 13 ¨ p18 ´ 18q2 ` 2 ¨ p19 ´ 18q2 ` 1 ¨ p20 ´ 18q2

20

“

c4 ¨ p´1q2 ` 13 ¨ 02 ` 2 ¨ p´1q2 ` 1 ¨ 22

20 “

c4 ¨ 1 ` 13 ¨ 0 ` 2 ¨ 1 ` 1 ¨ 4

20

“

c4 ` 0 ` 2 ` 4

20 “

c1020

Con lo anterior, ‡A ° ‡B, pues posee mayor numerador.Luego, de acuerdo con las consideraciones hechas en un principio, la desviaciónestándar de las edades es menor para el cuarto medio B que para el cuarto medioA, y como consecuencia, la distribución de las edades del cuarto medio A es másheterogénea que la distribución de las edades del cuarto medio B. Esta últimaafirmación es posible de realizar dado que ambos cursos poseen la misma edadpromedio.

70

65.- En una muestra se sabe que la desviación estándar es 2. ¿Cuál es el valor de lavarianza de dicha muestra?

A) 2B) 4C) 8D) 10E) 12


SOLUCIÓN

La varianza se calcula como el cuadrado de la desviación estándar, luego, si estaes 2 la varianza será 4.

71

66.- Las edades de tres hermanos son 2, 4 y 6 años. ¿Cuál es la desviación estándar, enaños, de las tres edades?

A) 2c

23

B) 3c

23

C) 2c

32

D) 3c

32

E) 2c

12


SOLUCIÓN

La desviación estándar (S) de un grupo de datos está dada por:

S “

c∞ni“1pxi ´ xq

2

n

donde n corresponde a la cantidad de datos, xi representa a cada dato y x elpromedio de los datos. El promedio de los datos es:

x “p2 ` 4 ` 6q

3 años “123 años “ 4 años

Luego, la desviación estándar de las edades, en años, es:

S “

cp2 ´ 4q

2` p4 ´ 4q

2` p6 ´ 4q

2

3 “

cp´2q2 ` 22

3 “

c4 ` 4

3 “ 2c

23

72

67.- Las estaturas de los integrantes de dos equipos de básquetbol A y B se muestranen la tabla adjunta.

La estatura promedio de los equipos A y B es 1,97 m y 1,93 m respectivamente.¿Qué se puede afirmar respecto de las estaturas de ambos equipos?I. La desviación estándar de las estaturas es la misma para ambos equipos.II. La distribución de estaturas es más homogénea para el equipo B.III. La desviación estándar de las estaturas del equipo A es 4 cm.



SOLUCIÓN

La desviación estándar nos entrega información acerca del grado de dispersión delos valores de un conjunto. En este sentido, la desviación estándar informa sobre lahomogeneidad del conjunto: entre mayor sea la desviación estándar de un conjunto,mayor es la dispersión de sus valores con respecto de la media, y consecuentementemenos homogéneo es dicho conjunto. Al contrario, un conjunto con una desviaciónestándar pequeña indica que los valores que lo componen son muy parecidos entresí.La desviación estándar se define como:

‡ “

apx1 ´ xq2 ` px2 ´ xq2 ` . . . ` pxn ´ xq2

donde x es la media de N valores x1, x2, . . . , xn del conjunto.Con el fin de simplificar los cálculos se expresarán las estaturas de los jugadores encentímetros. Para ello tenga presente que 1 metro equivale a 100 centímetros, demodo que para realizar la conversión se debe multiplicar por 100, lo que a su vezcorresponde a desplazar la coma (“,”) dos espacios hacia la derecha.La desviación estándar del equipo A es:

‡ “

cp197 ´ 197q2cm ` p191 ´ 197q2cm ` p195 ´ 197q2cm ` p199 ´ 197q2cm ` p203 ´ 197q2cm

5

‡ “

cp0 cmq2 ` p´6 cmq2 ` p´2 cmq2 ` p2 cmq2 ` p6 cmq2

5

‡ “

c0 cm2 ` 36 cm2 ` 4 cm2 ` 4 cm2 ` 36 cm2

5 “

c80 cm2

5

‡ “

?

16 cm2 “ 4 cm

Operando análogamente para las estaturas del equipo B se obtiene que su desviaciónestándar es 4 cm, al igual que para el equipo A. Compruébelo. Luego, la distribuciónde estaturas es igual de homogénea para ambos equipos (¿significa ello que losintegrantes de ambos equipos son en promedio igual de altos?).Advierta que el rango de las estaturas del equipo A y B es 12 cm y 11 cm respec-tivamente, razón por la que se pudiera pensar que la distribución de estaturas esmás homogénea para el equipo B. Pero no se engañe, pues el rango no consideralos valores intermedios del conjunto, sino que sólo sus extremos, perdiendo asíinformación valiosa acerca del mismo.

73

68.- En un ensayo PSU de Lenguaje realizado a 500 estudiantes, se obtuvo una distri-bución normal de puntajes de media 550 y desviación estándar igual a 80 puntos.¿Qué cantidad de alumnos obtuvo más de 700 puntos en el ensayo?

A) 2B) 15C) 154D) 331E) 485


SOLUCIÓN

Queremos conocer P pX ° 700q, cambiando variables tenemos:

P pX ° 700q “ P

ˆZ °

700 ´ 55080

˙“ P pZ ° 1,875q “ 1 ´ P pZ † 1,875q

Buscamos en la tabla de distribución normal, y tenemos que:

1 ´ P pZ † 1,875q “ 1 ´ 0, 9693 “ 0, 0307

Resultado que al multiplicar por la cantidad de alumnos, se obtiene que:

P pX ° 700q “ 0, 0307 ¨ 500 “ 15, 35

Resultado que aproximamos a 15 pues el número de personas debe ser entero.

74

69.- En una caja se encuentran 10 fichas con los siguientes números:2, 5, 5, b, 5, 2, a, 2, 5, 1Se puede determinar que el número con mayor probabilidad de salir será el 2 alsacar una ficha al azar, si se sabe que:(1) a “ b

(2) b “ 2

A) Solo (1)B) Solo (2)C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


SOLUCIÓN

Veamos qué pasa con cada una de las opciones por separado.En (1) se dice que a “ b, entonces las fichas serían, 2, 5, 5, a, 5, 2, a, 2, 5, 1. Veamosla probabilidad de obtener un 2 sin esta condición, y con esta condición, primero,sin la condición, se tiene:

P p2q “310

Y con la condición, se tiene que la probabilidad no cambia, por lo tanto esta afir-mación por sí sola no me permite determinar si es más o menos probable obtenerun 2.Veamos ahora con la segunda afirmación, la cual dice que b “ 2, entonces se tendría2, 5, 5, 2, 5, 2, a, 2, 5, 1. Y como ya vimos la probabilidad de obtener un 2 sin lacondición, veremos ahora con esta condición, cuál es la probabilidad de obtener un2, esto es:

P p2q “410

Por lo tanto, con (2) sí es posible determinar lo pedido.Sin embargo, si además de cumplirse (2), se cumple (1) al mismo tiempo, entoncesel apostador tendría aún más probabilidades de ganar, ya que las fichas quedaríande la siguiente manera 2, 5, 5, 2, 5, 2, 2, 2, 5, 1. Y la probabilidad de obtener un 2sería:

P p2q “510 “

12

Por lo tanto, cuando tengo ambas condiciones juntas es más probable aún que elapostador gane.

75

70.- En un experimento se lanza una moneda. Si sale sello, se lanza un dado y si salecara, la moneda se lanza por segunda vez, terminándose el experimento. ¿Cuál esla probabilidad de que se lance el dado?

A) 12

B) 18

C) 12 ¨

16

D) 16

E) 12 `

16


SOLUCIÓN

La probabilidad de que el dado sea lanzado depende directamente de que si allanzar la moneda se obtiene sello, que corresponde a 1

2 .

71.- En una fiesta de cumpleaños puedes elegir entre distintas cajas sorpresa idénticaspor fuera, pero con diferente cantidad de dulces en su interior.Si las cajas tienen 7, 12, 6, 6, 7, 11, 9 y 11 caramelos, ¿cuál es la probabilidad deque al elegir una de ellas al azar contenga 7 o menos dulces?

A) 0,2B) 0,25C) 0,43D) 0,5E) 0,75


SOLUCIÓN

Designamos con la letra A al evento probabilístico de que la caja escogida tenga 7o menos dulces, luego los casos favorables son 4 de un total de 8, por lo tanto:

P(A) “número de casos favorables

número de casos totales “48 “

12 “ 0,5

76

72.- Un mazo de cartas “Mitos y Leyendas” consta de 50 cartas y cierto competidorreparte dentro de este 12 cartas “Oro” y 8 “Talismanes”. ¿Cuál es la probabilidadde que al sacar una carta al azar del mazo esta sea un “Oro” o un “Talismán”?

A) 15

B) 25

C) 35

D) 425

E) 625


SOLUCIÓN

Para solucionar este ejercicio debemos conocer cómo se opera la suma de probabi-lidades, cuando en una pregunta se separan dos eventos por la conjunción “o” estoindica matemáticamente una suma de probabilidades, en el caso de una “y” seríauna multiplicación. Por lo tanto, debemos sumar las probabilidades de obtener un“Oro” con la probabilidad de obtener un “Talismán”.Como sabemos que el mazo contiene 50 cartas entonces ya sabemos los casosprobables, luego el enunciado nos indica cuál es la cantidad de cartas “Oro” yun “Talismán” son 12

50 y 850 que sumadas nos dan 20

50 “25 que corresponde a

la probabilidad de obtener un “Oro” o un “Talismán”, debido a que ambos soneventos independientes.

77

73.- Una moneda es lanzada tres veces y se define la variable aleatoria X como el númerode sellos que resultan. ¿Cuál es la varianza de X?

A) 58

B) 78

C) 34

D)?

32

E) 0


SOLUCIÓN

Podemos obtener las probabilidades de todos los eventos utilizando el triángulo dePascal:

Por lo tanto:

P(X = 0) = 18

P(X = 1) = 38

P(X = 2) = 38

P(X = 3) = 18

Calculemos la esperanza de X:

EpXq “ 0 ¨18 ` 1 ¨

38 ` 2 ¨

38 ` 3 ¨

18 “

128 “

32

Calculemos la esperanza de X2:

EpX2q “ 0 ¨

18 ` 1 ¨

38 ` 4 ¨

38 ` 9 ¨

18 “

248 “ 3

Calculemos la varianza de X:

V pXq “ EpX2q ´ pEpXqq

2“ 3 ´

94 “

34

78

74.- Se elige al azar un número entre los primeros 20 números naturales. ¿Cuál es laprobabilidad de que el número sea divisor de 24?

A) 15

B) 720

C) 14

D) 25

E) 310


SOLUCIÓN

Definamos X como los divisores de 24 menores o iguales que 20, los cuales son:

t1, 2, 3, 4, 6, 8, 12u

Entonces la probabilidad de que:

ñ P pX § 20q “720

75.- Gabriela y Juan tienen 3 hijos, dos mujeres y un hombre. ¿Cuál es la probabilidadde que el cuarto hijo sea una mujer?

A) 14

B) 13

C) 12

D) 34

E) 23


SOLUCIÓN

Tener un hijo o una hija son eventos independientes, que Gabriela y Juan tengandos hijos y una hija anteriormente no afecta en nada la probabilidad de tener unhombre o una mujer en el futuro, por lo tanto la probabilidad es simplemente 1

2 .

79

76.- La tabla representa la función de distribución acumulada de la variable aleatoriadiscreta X cuyo recorrido es t0, 1, 2u.

Entonces, ¿cuál es el valor de P pX “ 1q?

A) m

B) m `12

C) 12 ´ m

D) 12m

E) 14m


SOLUCIÓN

De la tabla se puede deducir que p “ 1, porque la imagen (recorrido) de la funciónde probabilidad acumulada para el mayor valor de la variable aleatoria es siempreigual a 1.En este caso la imagen de la función de distribución (probabilidad acumulada) parael valor 2, es p. Por lo tanto, si p “ 1:

ñ p ´12 “

12

Luego,

P pX “ 1q “12 ´ m80

77.- Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas allanzar un dado común dos veces. ¿Cuál(es) de los siguientes valores puede tomarla variable?I. 1II. 6III. 12

A) Solo IIB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

El valor mínimo y máximo que puede tomar X es 2 y 12 respectivamente. Los otrosposibles valores corresponden a los enteros entre 2 y 12 (3, 4, ... ,10, 11).Esto es porque la variable aleatoria se define como la suma de las puntuacionesque se obtienen al lanzar un dado común dos veces. Para que la variable aleatoriatome el valor 1, deben existir dos caras del dado que al sumarlas resulte 1. Esto esimposible, ya que el mínimo valor que puede resultar en un ensayo individual es 1,por lo tanto al lanzarlo dos veces el mínimo valor que se obtiene al sumar las carases 2.

81

78.- Se tiran dos dados comunes y se define la variable aleatoria X como la suma de losnúmeros que se obtienen. ¿Cuál de las alternativas es falsa?

A) El menor valor que puede tomar X es 2.B) El mayor valor que puede tomar X es 12.

C) P pX † 5q “411 .

D) P pX ° 9q “311 .

E) P pX “ número parq= 611 .


SOLUCIÓN

Con la información del enunciado, se obtiene que:

X “ t2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12u

Donde hay 11 valores posibles y efectivamente el menor es 2 y el mayor es 12, porlo que A y B son correctas.Además, X ° 9 cuando X “ t10, 11, 12u lo que corresponde a una probabilidad de311 , por lo que D es correcta también.X será par cuando sea igual a t2, 3, 4, 6, 8, 10, 12u, lo que corresponde a 6 casos deun total de 11, por lo que E también es correcta.En cuanto a C, X † 5 cuando sea igual a t2, 3, 4u lo que corresponde a 3 casos deun total de 11, no a 4, por lo que esta es la afirmación falsa.

82

79.- Se define una variable aleatoria continua X de recorrido r0, 5s. ¿Cuál de las siguien-tes afirmaciones es siempre verdadera?

A) P pX “ 0q “ 0, 1B) P pX “ 1q “ 0C) P pX § 5q “ 0, 5D) P pX • 5q “ 1E) La probabilidad de que el intervalo sea correcto es igual al 95 %


SOLUCIÓN

Para una variable aleatoria continua siempre se cumple que P pX “ xq “ 0 paracualquier valor de x. Además siempre se debe cumplir que P pX § xq “ 1 dondex es el máximo valor que puede tomar la variable aleatoria. Por lo tanto, la únicaigualdad verdadera es P pX “ 1q “ 0.

80.- Sean A y B dos eventos complementarios, se puede determinar P pAq si se conoceel valor de(1) P pBq.(2) P pA Y Bq.



SOLUCIÓN

Se dice que dos eventos son complementarios cuando su unión es el espacio muestraly su intersección es vacía.Luego si A y B son complementarios, necesariamente P pAq ` P pBq “ 1, por loque basta con (1) para determinar P pAq.

83

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