MINISTERIODE EDUCACIÓN

Estudiantes 9.o grado

Matemática

Orientaciones para estudiantes

Fase 2, semana 4

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Uni

dad

2

( )

Efectúa la operación .

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma se cumple para números reales y en particu-lar para raíces cuadradas, también en el caso (a + b)(c + d).

Por ejemplo: 7 3 +( ) 2 3 +( )

5 3 +( ) 2 1 +( )

Efectúa las siguientes operaciones de raíces cuadradas. Simplifica las respuestas a su mínima expresión.

Desarrollando la multiplicación:

Para operar se efectúa así:(a + b)(c + d)

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

7 3 +( ) 2 3 +( ) 3 ( )27 7 3 ++ +=

5 5

5

3

3

3

3

+

+

+

+

+

+

( )2

( )2 ( )2 ( )3

2

2 ( )1 ( )1 5 3 +( ) 2 1 +( )3

2

4

1

=

= 10

6 + + += 14 21 3

2 1 +( )2Efectúa la operación .

Aplicando los productos notables:

2 ( )2 2 ( )+ +2 1 +( )2= (1) (1)2

+= 3 2 2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Desarrollo del producto notable:

7 2 +( ) 5 4 –( )a) 2 3 –( ) 2 7 –( )c)6 5 +( ) 6 4 +( )b)

d) 7 5 +( ) 7 5 –( ) e) 5 6 +( )2 f) 3 2 –( )2

Para 4 números reales a, b, c, d se cumple que (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

2.11 Operaciones combinadas de raíces cuadradas, parte 2

++= 1 2 2 2

2

( ) ( )6 4 – 2 2 –h)g) 6 5 +( ) 3 6 +( ) 5 2 +( ) 5 2 –( )i)

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Uni

dad

2

En la escuela de Mario se han destinado $225 para comprar las camisas de la promoción. Si el número de camisas coincide con el precio de cada una de ellas, ¿cuánto es el costo de cada camisa?

• Si fueran 3 camisas, cada camisa debería costar $3 y se gastarían $9 en total. • Si fueran 10 camisas, cada camisa debería costar $10 y se gastarían $100 en total.

En general, tomando a como el costo de cada camisa.El problema menciona que el número de camisas coincide con el precio de ellas.

Entonces, se compraron a camisas a un precio de a dólares.Y como el gasto total es $225, se cumple que a2 = 225.

Por lo tanto, el costo de cada camisa es: 225 .Descomponiendo en factores primos: .

El costo de cada camisa es de $15.

32 × 52 = = 3 × 5 15

Para resolver una situación problemática se siguen los pasos:

1. Identificar la información que brinda el problema.

2. Si es posible realizar un esquema de la situación del problema.

3. Buscar un método de solución para el problema.

4. Brindar la respuesta al problema planteado.

5. Verificar si la respuesta satisface todas las condiciones del problema.

1. En la escuela de Carmen gastarán $144 para comprar los uniformes de los intramuros, si el número de uniformes coincide con el precio de cada uno de ellos, ¿cuánto es el costo de cada uniforme?

2. Un tablero de ajedrez es cuadrado y tiene 64 cuadritos, ¿cuántos cuadritos tiene cada lado del table-ro?

3. Se enladrillará un terreno cuadrado con baldosas cuadradas de 0.25 m cada una, ¿cuántas baldosas hay que comprar si el terreno tiene un área de 25 m2?

2.14 Resolución de problemas con números reales

Recuerda que 225 significa el número positivo que elevado al cuadrado da 225.

3En matemática, el uso de símbolos no solamente se da en no-taciones para números; el primer paso hacia el razonamiento simbólico se dio en el contexto de la solución de problemas. En la antigua Babilonia lo que se hacía era presentar información sobre una cantidad desconocida y luego se presentaba su valor; un ejemplo de esto se da en la Tablilla BM 13901, que data del siglo XVIII: “He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces el área, obteniendo 6 1

4 ” a esto se le denominó “el método de falsa posición” que resulta ser el proceso de solución de la siguiente ecuación ax2 + bx + c = 0, c < 0.

A pesar de que las soluciones de una ecuación cuadrática fueron conocidas por algunos matemáticos hindúes y árabes de forma verbal y a través de construcciones geométricas, fue por el ma-temático hindú Bhaskara nacido en el 1114 d. C., que se conoció la solución de este tipo de ecuaciones utilizando el álgebra sim-bólica.

Desde épocas muy remotas, muchos calcula-dores y prácticos utilizaban métodos que se apoyaban en las técnicas para medir tierras; en la actualidad, el algoritmo es utilizado para conocer la cantidad de materiales que se ne-cesitarían en una construcción, en las finanzas para conocer el sueldo devengado por los tra-bajadores, también para conocer raciones de alimentos, reparto de herencias, entre otros.

Tablilla BM 13901 es uno de los textos matemáticos más antiguos

se encuentra en el Museo Británico de Londres, Inglaterra, comprende

24 problemas y sus soluciones.

Con estos contenidos verás la importancia de resolver ecuaciones cuadráticas utilizando factorización y la fórmula cuadrática usando recursos geométricos. Además estudiarás si hay soluciones en una ecuación cuadrática y se plantearán ecuaciones cuadráticas para resolver problemas de aplicación.

Ecuación Cuadrática

Si se tiene una cantidad definida de ladrillos cuadrados y el área que se debe cubrir, se puede formular una

ecuación cuadrática para identificar el tamaño de los ladrillos.

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Don Antonio tiene un terreno cuadrado para cultivar frijol, ¿cómo se puede determinar la medida de los lados del terreno si este tiene un área de 100 m2?

Haciendo un esquema de la situación:

Utilizando x para simbolizar la longitud del lado.

El área del terreno es de 100 m2, entonces se puede plantear la ecuación:

x2 = 100

Para determinar la medida de los lados del terreno hay que resolver esta ecuación.

La ecuación planteada en el problema es x2 = 100, si se transpone el 100, también se puede expresar como x2 – 100 = 0, en la cual la incógnita está elevada al cuadrado. Este tipo de ecuaciones son llamadas ecuaciones cuadráticas.

En general, se define ecuación cuadrática como las ecuaciones de la formaax2 + bx + c = 0; con a, b, c números reales y a ≠ 0.

Por ejemplo: 2x2 – 3 = 0, 9x2 – 3 = 0 , (x + 5)2 – 16 = 0, x2 + 4x + 1 = 0, x2 + 4x = 0, etc.

xA = 100

Don Miguel tiene un terreno rectangular cuyo largo tiene 2 m más que el ancho y su área es de 99 m2. Determina la ecuación que simboliza el problema representando con x la medida del largo.

Aplicando el área del rectángulo (A = base × altura). x (x – 2) = 99

Desarrollando el producto: x2 – 2x = 99

Transponiendo el 99: x2 – 2x – 99 = 0

x – 2

x

A = 99

1. Encuentra la ecuación que determina la longitud desconocida en cada figura.

xA = 25 a)

xA = 64 b)

x – 3

5

A = 10 c)

2

x

A = 6 d) e) f)

6A = 6

xA = 8 x

x – 6

2. Determina cuáles de las ecuaciones planteadas en el ejercicio anterior son cuadráticas.3. Determina la ecuación para encontrar dos números enteros consecutivos que al multiplicarlos re-

sulten 42.

El área del cuadrado es:A = L2

Donde L es la longitud del lado al cuadrado.

Transponer en una ecua-ción significa pasar de un miembro de la ecua-ción al otro.

1.1 Sentido y definición de la ecuación cuadrática

x

xTambién se puede plantear el mismo problema con un trián-gulo, se debe tener presente que el área del triángulo es: A = base × altura

2

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dad

3

Determina cuáles de los números, –4, –3, 3, 4, son soluciones de las ecuaciones.

a) 3x = 12 b) x2 – x – 12 = 0

Utilizando –4 y sustituyendo en ambas ecuaciones.a) 3(–4) = –12 b) (–4)2 – (–4) – 12 = 16 + 4 – 12 = 8–4 no es solución de ninguna de las ecuaciones.

Utilizando –3 y sustituyendo en ambas ecuaciones.a) 3(–3) = –9 b) (–3)2 – (–3) – 12 = 9 + 3 – 12 = 0–3 no es solución de la ecuación a), pero si es solución de la ecuación b).

Utilizando 3 y sustituyendo en ambas ecuaciones.a) 3(3) = 9 b) (3)2 – (3) – 12 = 9 – 3 – 12 = –63 no es solución de ninguna de las ecuaciones.

Utilizando 4 y sustituyendo en ambas ecuaciones.a) 3(4) = 12 b) (4)2 – (4) – 12 = 16 – 4 – 12 = 04 es solución de ambas ecuaciones.

Por lo tanto, la ecuación a) tiene una solución (4), y la ecuación b) tiene dos soluciones (4 y –3).

Los valores de la incógnita que cumplen una ecuación cuadrática se llaman soluciones.

El proceso de resolver una ecuación cuadrática consiste en encon-trar todas las soluciones de ella. En la ecuación cuadrática pueden haber hasta dos soluciones.

1. Determina cuáles de los números en los paréntesis son soluciones de las ecuaciones.

2. Determina cuáles de las ecuaciones del numeral anterior son cuadráticas y cuáles lineales. Justifica la respuesta.

e) x2 + 4x + 3 = 0 f) 4x + 12 = 0(–3, –1, 1, 3) (–3, –1, 1, 3)

g) x2 – 8x + 16 = 0 h) x – 4 = 0(–4, –2, 2, 4) (–3, –1, 1, 3)

c) x2 – 2x – 8 = 0 d) 2x + 8 = 0(–4, –2, 2, 4) (–4, –2, 2, 4)

a) x2 – 9 = 0 b) 2x – 6 = 0(–3, –1, 1, 3) (–3, –1, 1, 3)

1.2 Soluciones de la ecuación cuadrática

Las ecuaciones lineales tienen solamente una solución.

60

Para resolver esta ecuación se puede utilizar la idea de las raíces cuadradas de un número. Como x2 = 100 significa que al elevar x al cuadrado da como resultado 100.

Entonces: x = ± 100 .

Expresando sin el símbolo de radical, x = ±10.

El problema de don Antonio era sobre la longitud de los lados del terreno, por lo que la solución nega-tiva no se puede tomar en cuenta y por lo tanto, la solución del problema es: 10 m.

Al elevar un número al cuadra-do da el mismo resultado que elevar el negativo del número al cuadrado:

32 = (–3)2 = 9

Resuelve la ecuación cuadrática planteada en el problema de don Antonio de la primera clase.x2 = 100

x = ± c

Por ejemplo: x2 = 14

x = ± 14

1.

x = 2. 12

±

a) x2 = 16

1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

b) x2 = 19 c) x2 = 4

9 d) x2 – 1 = 0

e) x2 – 9 = 0 14f) x2 – = 0 16

25g) – x2 = 04

36h) – x2 = 0

2. El hermano de Julia es 4 años mayor que ella y la hermana es 4 años menor, ¿qué edad tiene Julia si al multiplicar las edades de sus hermanos resulta 20?

1.3 Solución de ecuaciones de la forma x2 = c

Para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma x2 = c se siguen los pasos:

1. Se resuelve la ecuación determinando las raíces cuadradas de c.

2. Se expresa el número sin el símbolo de radical, si es posible.

Resuelve la ecuación cuadrática x2 – 20 = 0.

Se transpone el número 20 en la ecuación x2 = 20.

Se resuelve la ecuación .x2 = 81 x = 20 ± 1. 2. x = 2 5 ±