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MATEMÁTICA APLICADA À ANÁLISE DE CIRCUITOS

[Exemplo demonstrativo da Apostila de Matemática Aplicada]

OBJETIVOS:

Fornecer, atualizar, capacitar, habilitar, desenvolver competências e aprimorar os conhecimentos

relativos ao CÁLCULO MATEMÁTICO E ANÁLISE VETORIAL, aplicados às Áreas Elétrica e

Eletrônica, fixando conceitos e ampliando a capacidade de análise em circuitos.

Estudar de modo objetivo e prático, os recursos matemáticos, aplicando-os à solução de problemas

práticos, permitindo um estudo e/ou tratamento mais profundo dos mesmos.

NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO

1. Números complexos - Revisão

- Conceitos fundamentais.

- Notação Retangular, Polar e Exponencial.

- Representação no Plano Cartesiano.

- Operações com números complexos.

2. Representação no domínio do tempo e da frequência de grandezas elétricas.

- Impedância Complexa. - Conceito de fasor.

3. Conceitos fundamentais que devem ser observados para o traçado de um diagrama vetorial.

4. Resolução de problemas práticos de circuitos elétricos monofásicos e trifásicos.

1.1- CONCEITO DE IMAGINÁRIO PURO

Sabe-se que as raízes de índice par dos números negativos não possuem um sentido numérico. assim,

temos que:

As raízes de 9 não podem ser + 3, nem - 3; visto que, (+3)2 quanto (-3)

2 não produzirá

respectivamente o radicando - 9. Há, em consequência, para dar-lhes sentido, a necessidade de se ampliar o conjunto numérico, criando-se o Conjunto dos Números Imaginários. Seja o desenvolvimento abaixo:

131.9)1).(9(9

Generalizando: A raiz quadrada de um número negativo pode ser escrita sob a forma 1. a

O símbolo √ será representado por i, sendo denominado Unidade Imaginária, com a qual se formará

o Conjunto dos Números Imaginários Puros, a saber: √

... ; - 4i; -3i; -2i; -1j; 0; 1i; 2i; 3i; 4i; 5i; ....

Na matemática o símbolo da unidade imaginária é a letra i, porém nos cálculos elétricos, para não se confundir a unidade imaginária i, com a intensidade de corrente, a qual é também representada pela letra i, substitui-se o símbolo i da unidade imaginária por j. Portanto, a unidade imaginária j é definida pela condição:

√ j2 = -1 e também, i

2 = -1

Exemplo: = (2)j .... pois: [(2)j]

2 = 4j

2 = 4(-1) = - 4

2

1.2- POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA j0 = 1

j1 = j

j2 = - 1

j3 = j

2 x j = (- 1) x j = - j

j4 = j

2 x j

2 = (- 1) x (- 1) = 1

j5 = j

4 x j = 1 x j = j

j6 = j

5 x j = j x j = j

2 = - 1

Observa-se que os valores das potências de j se repetem em intervalos de quatro em quatro! Assim sendo podemos escrever:

N 4 N = Q X 4 + R R Q

J23

23 4 Assim, temos: j23

= 5 x 4 + 3 j23

= j3 = - j

3 5 1.3 - CONCEITO DE NÚMERO COMPLEXO

Chama-se Número Complexo à expressão a jb, composta de um número real a e um imaginário puro jb. Os números a e b são denominados de componentes reais do número complexo. 1.4 - CONDIÇÕES DE IGUALDADE Postulado da Igualdade e Nulidade: a) Dois complexos são iguais quando suas componentes reais são iguais. Exemplo:

x + y + xyj = 5 + 6j x + y = 5 e xy = 6

b) Dois complexos são nulos, quando suas componentes reais são nulas. Exemplo:

a + jb = 0 a = 0 e b = 0

c) Módulo de um número complexo a + jb ao valor a + jb= √

Exemplo: 3 – 4j 3 - 4j = √ = √ = ± 5

d) NORMA de um número complexo: Denomina-se Norma de um número complexo a + jb, ao valor de a

2 + b

2; isto é, ao quadrado do seu

módulo. e) Complexos Conjugados: Dois complexos são conjugados, quando eles diferem apenas no sinal do termo imaginário puro.

Exemplo: N = 6 + 9j e Q = 6 - 9j O número Q é o complexo conjugado de N. Podemos utilizar as seguintes notações (forma de se escrever) para indicar representar um número complexo conjugado: N = 6 - 9j N = 6 - 9j f) Complexos opostos: Dois complexos são opostos, quando têm ambas as parcelas, real e imaginária, com sinais opostos. Exemplo: Z = 4 - 5j e N = - 4 + 5j 1.5 - REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

Consideremos o eixo xx abaixo, de origem O e cujos pontos correspondem aos números reais. Tracemos o círculo de raio b e centro em O.

3

y

B h

x’ x C O b A y’

Consideremos o triângulo ABC, retângulo em B, visto ser um triângulo inscrito numa semi-circunferência. A altura h é média geométrica entre os segmentos que a mesma determina sobre a hipotenusa AC. Assim sendo teremos:

(OB)2 = (AO) x (OC) (OB)

2 = (+b) . (- b) = - b

2 (OB) = √ = √ = √ x √ = (± b) √

Sendo “b” o valor da raiz quadrada do termo b2.

e portanto: (± b) √ .... Podemos concluir que:

"Todo imaginário puro está situado sobre o eixo das ORDENADAS" Um número complexo P = a + jb define uma abscissa a e uma ordenada b, portanto, ao número complexo a + jb corresponde um ponto P, no plano xy, como mostrado na figura abaixo. j

x x 1.6 - REPRESENTAÇÃO TRIGONOMÉTRICA Seja a figura abaixo:

y jb

x o a x

y

Façamos: OP = , sendo o módulo do complexo. O ângulo chama-se Argumento do complexo. Do triângulo retângulo teremos:

6j 5j 4j 3j 2j 1j 0 - 1j - 2j - 3j - 4j - 5j - 6j

- 6 -5 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5

P

P = 5 + 5,5j

a = 5 b = 5,5

P

4

a = .cos b = .sen ... que substituindo no número complexo a + jb, teremos:

a + jb = .cos + j.sen a + jb = ( cos + jsen ) ... que é a Forma Trigonométrica do

número complexo e apresenta-se também por cis ou . A forma a + jb é denominada Forma

Retangular, e a representação é chamada de Forma Polar. Um número complexo N será representado na Forma Polar com sendo:

N =

OBS.: O ângulo é considerado positivo quando no sentido anti-horário e negativo, quando considerado no sentido horário. 1.7 - NOTAÇÃO EXPONENCIAL Pode-se demonstrar através da Série de MacLaurin(a ser estudado em Fundamentos Matemáticos), que:

cos + jsen = ej

... Fórmula de Euler Logo, teremos como consequência:

ejn

= cos n + jsen n .... Fórmula de Moivre Em função da fórmula de Euler podemos representar um número complexo N na Forma Exponencial, ou seja:

N = ej

Através de considerações matemáticas chegamos a:

cos = (ej

+ e-j

)/2 sen = (ej

- e-j

)/2

1.8 - OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS a) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO SÃO REALIZADAS NA FORMA RETANGULAR - Exemplo: I - (3 - j5) + (- 8 + j12) = 3 - j5 - 8 + j12 = - 5 + j7 II - (- 7 + j10) - (- 4 + j3) = - 7 + j10 + 4 - j3 = - 3 + j7 b) MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E LOGARITMAÇÃO SÃO REALIZADAS NA

FORMA EXPONENCIAL OU POLAR - Exemplo:

I - MULTIPLICAÇÃO: A = 1 B = 2 A x B = 1 x 2 ( + )

A = 10 - 600 B = 5 20

0 A x B = 50 - 40

0

II - DIVISÃO: A = 1 B = 2 A B = (1 2 )( - )

A = 100 1600 B = 25 - 40

0 A B = 4 140

0)

III - POTENCIAÇÃO: A = (A)n =

n n x

A = [2(cos 300 + jsen 30

0)]

2 [2 e

j30]2 2

2 (e

j30)2 4e

j60 =8(cos60 + jsen60)

A = 3 - 600 (A)

3 = 27 - 180

0

IV - RADICIAÇÃO: A = √

= √ (2K + )/n K = 0;1;2;3;4; ... (n - 1)

A = 27 1200 32733 A

Cálculo do Argumento K irá variar de 0 a 2 .... para K = 0 = 400

5

para K = 1 = 1600 para K = 2 = 280

0 Assim sendo teremos para as raízes:

r1 = 3 400 r2 = 3 160

0 r3 = 3 280

0 .... Representação no plano complexo:

V - LOGARÍTMO: A = A = e

j

Log (A) = Log + Log ej

Log (A) = Log + j x Log e

e = 2,7182.... Sendo Log o Logarítmo Decimal (Base 10) de A .... ou ainda:

Ln (A) = Ln + j(Ln e) ... sendo Ln = Logarítmo Neperiano (Base e = 2,7182) de A; sendo Ln e = 1, teremos então:

Ln (A) = Ln + j 2 - REPRESENTAÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO TEMPO – FASORES Seja o circuito RL abaixo:

OBS.: No próximo capítulo mostraremos a razão dos sentidos adotados para os vetores representativos da corrente e das quedas de tensão no circuito! Pela fórmula de Euler v(t) possui um termo em seno e um termo em cosseno, ou seja:

v(t) = Vmejt

= v(t) = Vmcos t + jVmsen t

Aplicando-se a 1

ª Lei de Kirchhoff ao circuito temos:

Ri(t) + Ldi(t)/dt = Vmejt

A expressão anterior trata-se de uma Equação Diferencial Linear de 1

a Ordem, cuja solução veremos em

outra seção, porém, podemos resolvê-la intuitivamente, adotando-se uma solução particular para i(t), tal que i(t) seja:

i(t) = Kejt

Pelo estudo das Derivadas (a ser visto em oura seção) temos que di(t)/dt = KjVmejt

, assim sendo, substituindo i(t) e di(t)/dt pelos seus respectivos valores, temos:

RKejt

+ LKejt

.j = Vmejt

RK + LK j = Vm

K(R + j L ) = Vm k = Vm/(R + jL) Substituindo o valor de K na expressão de i(t), teremos a solução particular da equação diferencial:

R

L

i(t)

v(t) = Vmejt

VR VL

VR = R.i(t)

VL = Ldi(t)/dt VL

6

i(t) = Vm/(R + jL)ejt

Calculando a relação v(t)/i(t) temos:

Assim sendo temos:

Z = v(t)/i(t) = R + jL

Z = R + jL

"O quociente entre a tensão e a intensidade de corrente indica que a IMPEDÂNCIA (Z) é um número complexo expresso, neste caso, na forma retangular." 2.1 - CONCEITO DE FASOR

Consideremos as figuras abaixo, correspondendo a um circuito indutivo R - L:

j

Real

Na figura acima temos: i(t) = Im sen(t - /3) v(t) = Vm sen(t) sendo = 600 = /3

Consideremos uma tensão genérica v(t) = Vmej(t + )

, onde representa um ângulo de deslocamento de

fase qualquer. Aplicando-se esta tensão a uma impedância Z = zej

, sendo z o módulo de Z e o ângulo de

defasamento entre v(t) e i(t), sendo dado por: A intensidade de corrente i(t) é dada por:

A igualdade acima está no Domínio do Tempo. Devemos fazer duas modificações a fim de obtermos o a expressão em termos de FASORES.

Primeiramente a igualdade será multiplicada por e-jt

, para eliminarmos o domínio do Tempo. Em seguida,

dividiremos ambos os membros por √ , afim de obtermos o Valor Eficaz de V e I. Assim teremos:

... visto que Vm/z = Im, portanto:

Imej(t - )

VMejt

7

Os valores de Im e Vm que estão divididos por √ representam os valores eficazes da corrente e da tensão I e V, respectivamente, logo:

... e finalmente, temos:

(B)

A equação A) é a equação transformada no DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA, visto que o Tempo não mais está contido na mesma. Em (B), I e V representam o VALOR EFICAZ DE I E V, respectivamente com seus ângulos de fase, recebendo então o nome de FASOR. Assim sendo, na representação do FASOR, nós apenas indicamos o MÓDULO E O ÂNGULO DE FASE DA GRANDEZA, como indicado em (B). 2.2 - REPRESENTAÇÃO VETORIAL

i(t) j v(t) t Real Domínio do Tempo Domínio da Frequência 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS QUE DEVEM SER OBSERVADOS PARA O TRAÇADO DE UM DIAGRAMA VETORIAL. Seja o circuito abaixo:

Embora a tensão VG seja uma tensão senoidal do tipo VG = Vm.sen t, estamos representado o circuito em um determinado instante de tempo t. Utilizando o SENTIDO CONVENCIONAL, vemos que os vetores que

representam as diferentes "quedas de tensão" nos terminais dos componentes (cargas), apontam () para o terminal de onde está vindo a corrente, ou seja, têm sua “seta” apontando para o ponto de maior

potencial (). Assim sendo, vemos que o sentido do vetor tensão é oposto ao sentido indicado da corrente, e portanto, em qualquer circuito temos que, uma vez definido o sentido de circulação da corrente teremos os vetores representativos das diversas tensões, indicados em sentido oposto ao sentido definido para a corrente, não se indicando mais as polaridades como acima, visto que para outro instante de tempo as mesmas já terão se invertido. Nota-se também que em cada vetor tensão, o índice subscrito possui a sua primeira letra como sendo a letra correspondente ao ponto de maior potencial, ou seja:

Vmej(t + )

Imej(t + - )

V

I ( - )

(A)

VG = Vae

- -

-

-

R1 R2

C

L

a b b c

e d

c d

i

-

8

Vab .... a letra a (terminal em relação ao terminal b ), vem em precedendo a letra b (terminal )

Vbc .... a letra b (terminal em relação ao terminal c ), vem precedendo a letra c (terminal ). Afim de elaborarmos o diagrama vetorial de um circuito devemos determinar a escala adequada para o mesmo, bem como representar no diagrama apenas os FASORES; isto é, módulos e argumentos(ângulos), correspondentes a cada grandeza elétrica considerada. A seguir, veremos diversos exemplos de circuitos resolvidos e com os respectivos diagramas vetoriais, afim de se fixar os conceitos apresentados, bem como desenvolver a habilidade em operações com números complexos.

4 - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PRÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS MONOFÁSICOS E TRIFÁSICOS.

4.1 - Determinar para o circuito abaixo o ângulo de fase entre Vg e iT, bem como o valor da relação Vs/Vg.

Faça o diagrama vetorial das tensões e correntes:

Sendo:

Vg = 30000 [ V ]

R1 = R2 = R = 100 100 00 [ ]

F = 60Hz

C1 = C2 = C = 26,5 F XC = 1/2fC = 100 XC = 100- 900 [ ]

Escala: 1 cm = 40 V 1 cm = 0,5 A

I - RESOLUÇÃO ANALÍTICA:

a) Z1 = Zac = R1 + jL Z1 = Zac = 100 - j100 = 141,42- 450

Z1 = Zac = 141,42- 450

Z1 = Zac = 100 - j100

b) Z2 = Zcd = XC2//R2 Z2 = Zcd = (100 00 x 100 - 90

0)/( 100 - j100) = 10000- 90

0/141,42 - 45

0 = 70.71 -

450

Z2 = Zcd = 70.71 - 450 [ ]

Z2 = Zcd = 50 - j50

c) ZT = Zac = Z1 + Z2 = 100 - j100 + 50 - j50 ZT = Zac = 150 - j150 = 212,132 - 450

ZT = Zac = 212,132 - 450 [ ]

VG = Vab

R1

C1

R2 C2 Vs = Vcd

V1 = Vab

V2 = Vbc

Vs = Vcd = VC2 = VR2 a

d

b

c

iT

i1 i2

9

iT = VG/ZT = 300 00/212,132 - 45

0 = 1,4142 45

0

iT = VG/ZT = 1,414 450 [ A ]

e) Vab = V1 = Z1 x iT = 141,414- 450 x 1,414 45

0 Vab = V1 = 200 0

0

Vab = V1 = 200 00 [ V ]

f) Vs = Vcd = VG - Vab = 300 00 - 200 0

0 Vs = Vcd = 300 - 200 Vs = Vcd = 100 0

0

Vs = Vcd = 100 00 [ V ]

" Vs está em fase com VG e corresponde a 1/3 de VG "

VG/Vs = 3 VG = 3 x Vs

OBS.: A tensão Vs = Vcd, pode também ser determinada pela expressão:

Vs = Vcd = (VG x Z2)/( Z1 + Z2) ...... o qual é o critério do "divisor de tensão"

g) i1 = Vs/XC2 = 100 00/100 - 90

0 i1 = 1 90

0 [A ]

h) i2 = Vs/R2 = 100 00/100 0

0 i2 = 1 0

0 [A ]

É óbvio que i2 + i1 = iT 1 + j1 = 1,414 450

i) DIAGRAMA VETORIAL:

Para traçarmos o diagrama vetorial calcularemos também as tensões Vab e Vbc, afim de serem situadas

também no diagrama. Assim sendo temos:

Vab = R1 x iT = 100 00 x 1,414 45

0 = 141,4 45

0 Vab = 141,4 45

0 l V ]

Vbc = XC1 x iT = 100 - 900 x 1,414 45

0 = 141,4 - 45

0 Vbc = 141,4 - 45

0 [ V ]

4.2 - Considere o circuito abaixo, onde os componentes XL1, XL2 e XC, representam o circuito equivalente de uma linha de transmissão de RF, sendo ZL a impedância da carga.

a d

i1

i2 c

b

iT

Vs = Vcd

Vbc Vab

10

Seja:

EG = VAM = 30000 [ V ] XL1 = XL2 = 173,2190

0 [ ] XC = 346,41- 90

0 [ ]

ZL = 30000 [ ] ... Carga puramente resistiva

Determine o valor (módulo), bem como a fase dos parâmetros abaixo indicados: a) IE b) IC c) IL d) VAB e) VBM f) VBC g) VL = VCM SOLUÇÃO: I - Iremos calcular em primeiro lugar o valor da impedância total (ZT), ou impedância equivalente(ZEQ).

Consideremos Z1 a impedância representada na forma retangular por: Z1 = RL + jXL2 = 300 + j173,21

Convertendo Z1 para a forma polar teremos:

Z1 = 346,41300 []

II - Consideremos como Z2, a impedância equivalente ao paralelo de Z1 com a reatância capacitiva XC, e teremos então:

Z2 = (Z1 . XC)/(Z1 + XC)

Z2 = (346,41300).(346,41- 90

0)/( 346,4130

0+346,41- 90

0)

Z2 = 119999,89- 600/[(300 + j173,21)+(- j346,41)]

Z2 = 119999,89- 600/(300 - j173,21)

Z2 = 119999,89- 600/346,41- 30

0

Z2 = 346,41- 300 [] Z2 = 300 - j173,21

III - Consideremos agora o cálculo de ZT ou ZEQ:

ZT = XL1 + Z2

ZT = 173,21900 + 300 - j173,21 = 300

ZT = 30000 []

Considerando o resultado encontrado para ZT, podemos concluir que o circuito se comporta como um circuito resistivo puro, e veremos que IE estará em fase com EG e que toda o potência fornecida pelo gerador(fonte), estará integralmente aplicada ao terminais da carga ZL.

IV - Cálculo de IE:

IE = EG/ZT IE = 30000/3000

0 IE = 10

0 [A]

A B C

M

VAM

VAB

VBM

VBC

VCM = VL ZL

XL1

XL2

XC EG

IL

IC

IE

11

V - Cálculo de VAB:

VAB = XL1.IE VAB = 173,21900.10

0 VAB = 173,2190

0 [V]

VI - Cálculo de VBM:

1 processo de cálculo de VBM VBM = EG - VAB VBM = 30000 - 173,2190

0 VBM = 300 - j173,21

VBM = 346,41- 300 [V]

2processo de cálculo de VBM

VBM = IE.Z2 VBM = 100. 346,41- 30

0 VBM = 346,41- 30

0 [V]

3processo de cálculo de VBM (Utilizando-se do conceito de divisor de tensão) VBM = (EG.Z2)/(XL1+Z2)

VBM = (30000).(346,41- 30

0)/(173,2190

0 + 346,41- 30

0)

VBM = (103923,00- 300)/(j173,21 + 300 - j173,21)

VBM = 103923,00- 300/3000

0 VBM = 346,41- 30

0 [V]

VII - Cálculo de IL:

IL = VBM/(XL2 + ZL) ou IL = VBM/Z1 IL = 346,41- 300/346,4130

0 IL = 1- 60

0 [A]

VIII - Cálculo de VBC:

VBC = XL2.IL VBC = 173,21900.1- 60

0 VBC = 173,2130

0 [V]

IX - Cálculo de VCM = VL Tensão nos terminais da Carga VCM = VL = ZL.IL VCM = VL = 30000.1- 60

0

VCM = VL = 300- 600 [V]

Observar que o ângulo de fase de VL é idêntico ao de IL, o que implica em que teremos apenas Potência Ativa(Watts) na carga!

X - Diagrama vetorial: Escala de tensão 20V/cm Escala de corrente 0,2A/cm

4.2 – Determine o diagrama vetorial para as tensões do sistema trifásico. Represente também o diagrama

funicular das tensões. Considerar:

VAM M

B

IL

IE

IC

C

A

VAB

VBC

VCM

12

a) v1, v2 e v3 ... tensões simples (Fase-Neutro). b) V12, V23 e V31 ... tensões de linha (Fase-Fase).

Sendo ainda: ... v1 = 120900 ... v2 = 120- 30

0 ... v3 = 120- 150

0 ... V12 = 2080

0 ... V23 = 208- 120

0

V31 = 2081200

A relação entre as tensões de linha e as tensões simples = V/v = √ Escala: 1 cm = 25V

V12 = v1 – v2 = v1 + (- v2) = V12 V23 = v2 – v3 = v2 + (- v3) = V23 V31 = v3 – v1 = v3 + (- v1) = V31 Podemos traçar o diagrama funicular das tensões:

4.4 - Para o circuito abaixo, determine as grandezas indicadas e faça o diagrama vetorial das tensões e correntes.

V12

v1

v2 v3

V23

V31

- v3

- v2

- v1

V12

V23

V31

OBS.: SISTEMA EQUILIBRADO

v1

v2 v3

13

RESOLUÇÃO:

I - Z1 = R1 – jXC = 40 – j30 = 50 - 370

II - Z2 = R2 + jXL = 40 + j30 = 50 370

III . ZT = (Z1 x Z2)/( Z1 + Z2) = (50 - 370 x 5037

0)/( 40 – j30 + 40 + j30) = 2500 0

0/80 0

0 = 31,25 0

0

ZT = 31,25 00 [ ]

IV. IT = VG/ ZT = 312,5 00/31,25 0

0= 10 0

0 IT = 10 0

0 [ A ]

V - i1 = VG/ Z1 = 312,5 00/50 - 37

0 = 6,25 37

0 i1 = 6,25 37

0 [ A ] ou i1 = 5,00+ j3,76

VI - i2 = VG/ Z2 = 312,5 00/50 37

0 = 6,25 - 37

0 i2 = 6,25 - 37

0 [A ] ou i2 = 5,00 - j3,76

VII - iT = i1 + i2 = 5,00+ j3,76 + 5,00 - j3,76 = 10 00 ... comprovando o cálculo anterior de iT.

VIII - Vab = R1 x i1 = 4000 x 6,25 37

0 = 250 37

0 Vab = 250 37

0 [ V ]

IX - Vbc = XC x i1 = 30 - 900 x 6,25 37

0 = 187,5 - 53

0 Vbc = 187,5 - 53

0 [ V ]

X - Vad = XL x i2 = 30 900 x 6,25 - 37

0 = 187,5 53

0 Vad = 187,5 53

0 [ V ]

XI - Vdc = R2 x i2 = 40 00 x 6,25 - 37

0 = 250 - 37

0 Vdc = 250 - 37

0 [ V ]

Verificação: Vac = Vab + Vbc = (Va – Vb) + (Vb – Vc) = Va – Vb + Vb – Vc = Va – Vc = Vac

Vac = Vab + Vbc = 250 370 + 187,5 - 53

0 = 199,66 + j150,45 + 112,84 – j149,74 = 312,50 – j071

Vac = Vab + Vbc = 312,50 - 0,130 312,5 0

0 [ V ]

Vac = Vab + Vbc = 312,5 00 [ V ]

XII - Vbd = Vbc – Vdc = (Vb - Vc) – (Vd – Vc) = Vb - Vc - Vd + Vc = Vbd

Vbd = 187,5 - 530 - 250 - 37

0 = (112,84 – j149,74) – (199,66 - j150,45)

Vbd = 112,84 – j149,74 – 199,66 + j150,45 = - 86,82 + j0,71 = 86,82179.50 86,82 180

0

a

b

c

d

iT

i1 i2

VG = Vac

Vab Vad

Vdc

Vbd

Sendo:

VG = 312,5 00 [ V ]

R1 = R2 = R = 40 = 40 00

C = 88,46 F XC = 30 ou

Xc = 30- 900

L = 79,62 mH XL = 30

XL = 30 900

C

R1

R2

L

Vbc

14

Vbd = 86,82 1800

Ou ainda:

Vac = Vad + Vdc = (Va – Vd) + (Vd – Vc) = Va – Vd + Vd – Vc = Va – Vc = Vac

Vac = Vad + Vdc = 187,5 530 + 250 - 37

0 = 112,84 + J149.74 + 199,66 – 150,45 = 312,5 – J0,71

Vac = Vad + Vdc = 312,50 - 0,130 312,50 0

0

Vac = Vad + Vdc = 312,50 00 [ V ]

XIV - DIAGRAMA VETORIAL: Escala: 1 cm = 50 V 1 cm = 2 A 4.5 – CONSIDERAÇÕES SOBRE O CIRCUITOS TRIFÁSICOS TRIÂNGULO/ESTRELA: I – Conversão Triângulo para Estrela:

Zx = (Za x Zc)/(Za + Zb + Zc) Zy = (Za x Zb)/(Za + Zb + Zc) Zw = (Zb x Zc)/(Za + Zb + Zc) Podemos substituir o circuito triângulo por um circuito estrela equivalente. No qual teremos:

OBS: Se Za= Zb= Zc = Z e a = b = c = Zx = Zy = Zw = Z/3 VAN = VBN = VCN = Tensões FASE-NEUTRO DO SISTEMA TRIFÁSICO.

VAB = VBC = VCA = Tensões de linha(FASE- FASE) DO SISTEMA TRIFÁSICO.

IA = ia IB = ib IC = ic

I1

I2

VG

c

IT

Vbc

b d

Vdc

a

Vad Vab

Vbd

Za

Zb

Zc

Zx

Zy

Zw

N

A B

C

A B

C

IA

IB

IC

Ia

ib

iN

iA

iB

iC

1

2

3

15

As potências ATIVA(P), REATIVA(Q) E APARENTE(S), SERÃO IDÊNTICAS EM AMBOS OS CIRCUITOS, assim sendo, podemos substituir o circuito triângulo pela representação equivalente de apenas uma fase do sistema estrela equivalente. No caso do cálculo das potências totais P, Q e S, multiplicaremos por 3 cada uma das potências calculadas afim de se encontrar as potências totais, no caso de sistema trifásico EQUILIBRADO. Para sistemas triângulo desequilibrados, faremos a representação equivalente individual para cada fase, e teremos para as potências totais:

PT = P1 + P2 + P3 + ... QT = Q1 + Q2 + Q3 + ... (ST)2 = (PT)

2 + (QT)

2 (Teorema de Pitágoras)

Considerações: a) Observando o diagrama vetorial representativo das tensões FASE–NEUTR0, e das tensões FASE–

FASE, notamos que: V1N está atrasada de 30

0 da

respectiva tensão V12. V2N está atrasada de 30

0 da

respectiva tensão V23. V3N está atrasada de 30

0 da

respectiva tensão V31. Assim sendo, ao determinarmos o ângulo de defasamento de V1N, teremos apenas de adicionar ao mesmo o valor de 30

0, para encontrarmos o ângulo de V12, e assim respectivamente para V23 e V31, como veremos

nos exercícios a serem resolvidos. b) Para as correntes de LINHA, a saber: IA, IB, IC e as respectivas correntes de FASE iA, iB, iC, teremos as

seguintes relações em um sistema equilibrado: Observando do diagrama vetorial das correntes vemos que: - Corrente de linha IA está atrasada de 30

0 em relação à corrente de carga(ou de fase) iA.

- Corrente de linha IB está atrasada de 30

0 em relação à corrente de carga( ou de fase) iB.

- - Corrente de linha IC está atrasada de 30

0 em relação à corrente de carga( ou de fase) iC.

Pela observação do circuito triângulo, temos:

1. Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff no nó 1, podemos escrever: IA + iC = iAc IA = iA - iC

IA = iA - iC ou IA = iA + (- iC)

2. Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff no nó 2, podemos escrever: IB + iA = iB IB = iB - iA

IB = iB - iA ou IB = iB + (- iA)

3. Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff no nó 3, podemos escrever: IC + iB = iC IC = iC - iB

IC = iC - iB ou IC = iC + (- iB)

17

A relação Ilinha/Ifase(corrente na carga) = √ Notação: I ..... Corrente de Linha. i ..... Corrente de fase ou corrente na carga DIAGRAMA FUNICULAR DAS CORRENTES:

2. Dado o circuito abaixo, representar o seu equivalente, referindo-se à fase A do sistema trifásico adotado. Calcular os parâmetros do mesmo e traçar o diagrama vetorial das tensões e correntes, bem como o diagrama funicular das correntes IA, IB e IC.

Sendo dados: RA = RB = RC = 90 = 90 00

XA = XB = XC = 10 = 10 900 Ra = Rb = Rc = 10 = 10 0

0

VAN = 12000 VN = 120-120

0 VCN = 120120

0

Circuito equivalente à fase A:

RESOLUÇÃO:

a) ZAN = RA // Ra ZAN = (3000 x 100

0)/(30 + 10) = 300/40 = 7,5 0

0

A B

C

IA

IB

IC

A

B

C

IB

IA

IC

IA

IB

IC

ia

ib

ic

XA

XB

XC

Ra Rb Rc

RA

RC

RB

VAA

VBB

VCC

N

VAN

VBN VCN

VAB

VBC

VCA

VA’N

18

ZAN = 7,5 00 [ ]

b) ZT = ZAN = ZA’N + XA = 7,5 + 10900 = 7,5 + j10 = 12,553

0 ZT = ZAN = 12,553

0 []

c) IA = VAN/ZT = 12000/12,553

0 = 9,60- 53

0 IA = 9,60- 53

0 [A]

d) VAA = XA x IA = 10900 x 9,60- 53

0 = 9637

0 VAA = 9637

0 [V] ou VAA = 76,67 + j57,77

d) VAN = VAN - VAA = 12000 - 9637

0 = 120 – (76,67 + j57,77) = 43,33 – j57,77 = 72,21- 53

0

VAN = 72,21- 530 [ V ] ... consequentemente VBN = 72,21- 173

0 [ V ] VCN = 72,2167

0 [ V ]

f) IA = VAN/Ra = 72,21- 530/100

0 = 7,22- 53

0 IA = 7,22- 53

0 [ A ] ou IA = 4,35 – j5,77

g) IA = VAN/RA = 72,21- 530/300

0 = 2,41- 53

0 IA = 2,41- 53

0 [A] ou IA = 1,45 – j1,92

... e também IB = 2,41- 1730 [ A ] IC = 2,4167

0 [ A ]

VERIFICAÇÃO:

IA = IA + IA = 4,35 – j5,77 + 1,45 – j1,92 = 5,80 – j7,69 = 9,63- 52,980 9,6- 53

0

IA = 9,60- 530 [A]

g) Em termos de módulo, termos para VAB:

VAB = VA N x ..... tendo um ângulo de fase de 300 em avanço em relação a VA N . Portanto:

VAB = 124,92- 230 125- 23

0 [V] e teremos em consequência:

VBC = 125- 1430 [V] VCA = 12597

0 [V]

h) Em termos de módulo, teremos para ia:

ia = IA / , tendo um ângulo de fase de 300 em avanço em relação a IA. Portanto:

ia = 2,41/1,73 = 1,39 ia = 1,39- 230 [A] e teremos em consequência :

ib = 1,39- 1430 [A] ic = 1,3997

0 [A]

Lembramos que há um defasamento de 1200, entre as tensões VAB, VBC, VCA, bem entre as correntes ia, ib

e ic.

i) As tensões VAA,VBB e VCC, estão igualmente defasadas de 1200 entre si, e portanto, teremos:

VAA = 96370 [V] VBB = 96- 83

0 [V] VCC = 96157

0 [V]

j) Para o cálculo das potências ST, PT e QT, sabe-se que:

S = V x I = P jQ, sendo que o termo I representa o conjugado da corrente. Isto faz com que ao efetuarmos o calculo Potências Reativas Indutivas e Capacitivas, os sinais encontrados para as mesmas fiquem coerentes com a normalização(ou convenção) adotada, saber:

19

+Q = Potência Reativa Positiva Potência Reativa Indutiva O circuito é Indutivo.

- Q = Potência Reativa Negativa Potência Reativa Capacitiva O circuito é Capacitivo. Assim sendo, teremos:

1 Processo para o cálculo da potências totais: Calculamos a potência de uma fase somente e multiplicamos por 3, para encontrar o valor total.

SA = VAN x IA = 12000 x 9,6053

0 = 115253

0 = 693,29 + j920,03 SA = 115253

0 [ VA ] ... teremos

Ainda que:

SA = 1152 [ VA ] PA = 693,29 [ W ] QA = 920,03 [ VAR ] .... o que nos dará para potências totais, respectivamente:

ST = 3 x 1152 = 3456 [ VA ] PT = 693,29 x 3 = 2079,87 [ W ] QT = 920,03 x 3 = 2760,09 [ VAR ]

VERIFICAÇÃO:

a) Potência Ativa Total do circuito estrela P1 = 3 x Ra x (IA)2 = 3 x 10 x (7,22)

2 = 1563,85 W

b) Potência Ativa Total do circuito triângulo P2 = 3 x RA x (ia)2 = 3 x 90 x (1,39)

2 = 561,67 W

Potência Ativa Total = PT = P1 + P2 = 1563,85 + 561,67 = 2125,52 PT = 2125,52 W

PT = 2125,52 [ W ] ... Há uma diferença de apenas 45,65 W, devido às aproximações provocadas por este método de cálculo!

c) Potência Reativa Total QT = 3 x XA x (IA)2 = 3 x 10 x (9,60)

2 = 2764,80 QT = 2764,80 [ VAR ]

E teremos para ST:

ST = = = 3487,40 ST = 3487,40 [ VA ] .... com uma diferença de apenas 31,40 [VA], também devido às aproximações provocadas por este método de cálculo.

c) 2 processo para o cálculo das potências totais:

PT = 3 x VAN x IA x cos = 3 x 120 x 9,60 x cos 530 = 3 x 120 x 9,60 x 0,60 = 2073,60 [ W ]

QT = 3 x VAN x IA x sen = 3 x 120 x 9,60 x sen 530 = 3 x 120 x 9,60 x 0,80 = 2764,80 [ VAR ]

ST = 3 x VAN x IA = 3 x 120 x 9,60 = 3456,00 [ VA ] ST = = = 3456,00 [ VA ]

Fator de Potência resultante FP = cos ; portanto:

= 53

0 (como era de se esperar!).

Ainda poderíamos considerar:

ST = √ VI = 1,73 x 208 x 9,6 = 3458,56 [ VA ]

PT = √ VI cos = 3458,56 x 0,6 = 2075,14 [ W ]

20

QT = √ VI sen = 3458.56 x 0,8 = 2766,85 [ VAR ]

DIAGRAMA VETORIAL: Escala 1 cm = 1,5 A 1 cm = 40 V

Por outro lado temos:

IA + ic = ia IA = ia – ic = 1,39- 230 – 1,3997

0 = (1,28 – j0,54) – (- 0,17 + j1,38)

IA = 1,28 – j0,54 + 0,17 - j1,38 = 1,45 – j1,92 = 2,41- 530 IA = 2,41- 53

0 [ A ]

IB + ia = ib IB = ib – ia = 1,39- 1430 – 1,39- 23

0 = (-1,11 – j0,84) - ( 1,28 – j0,54)

IB = -1,11 – j0,84 – 1,28 + j0,54 = - 2,39 – j0,30 = 2,41- 1730 IB = 2,41- 173

0 [A ]

IC + ib = ic IC = ic – ib = 1,39970- 1,39- 143

0 = (- 0,17 + j1,38) - (-1,11 – j0,84)

IC = - 0,17 + j1,38 + 1,11 + j0,84 = 0,94 + j2,22 = 2,41670 IC = 2,4167

0 [ A }

DIAGRAMA VETORIAL COMPLETO: ESCALA: 1 cm = 1 A

DIAGRAMA FUNICULAR DAS CORRENTES IA, IB e IC: ESCALA: 1 cm = 0,5A

IC

21

4.7 – CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA TRIFÁSICO ESTRELA DESEQUILIBRADO SEM O CONDUTOR NEUTRO Estaremos considerando a geração do nosso sistema trifásico como sendo perfeitamente equilibrada. Seja o sistema abaixo indicado:

Vemos que as tensões na carga irão de deslocar, não guardando mais o defasamento de 1200 e são

diferentes entre si em módulo, porém, as tensões nos terminais do gerador (fonte) se mantêm equilibradas e com sua soma vetorial igual a zero. O ponto O ou foi considerado arbitrário para o nosso estudo. Assim sendo teremos: Para se obter a tensão de deslocamento do neutro VON, escreveremos as correntes de linha em termos das tensões e admitâncias, lembrando-se que a admitância é o inverso da impedância.

IA = VAO . YA IB = VBO . YB IC = VCO . YC

Aplicando-se a 1ª Lei de Kirchhoff ao ponto O, teremos: IA + IB + IC = 0 (I) Logo teremos : VAO x YA + VBO x YB + VCO x YC = 0 (II) ... indicamos os vetores sobre os termos apenas para indicar que se trata de operação vetorial. Para efeitos didáticos omitiremos esta notação, embora a mesma esteja implícita! Pelo diagrama vetorial podemos escrever que : VAN = VAO + VON VBN = VBO + VON VCN = VCO + VON

VAO = VAN - VON VBO = VBN - VON VCO = VCN - VON

Substituindo as expressões em (II), temos:

(VAN - VON) . YA + (VBN - VON) . YB + (VCN - VON) . YC = 0 (III) Tirando o valor de VON da expressão (III), temos:

A

B C

O N

A B C N

O

ZA

ZB

ZC

IA

IB

IC

VAO

VBO

VCO

VON

22

4.8 – Calcular as tensões VAO, VBO, VCO e VON para o circuito abaixo, bem como as correntes em cada fase. Determine as potências ST, PT e QT. Faça o diagrama vetorial das tensões e correntes. Determine as correntes nas fases com o neutro conectado ao ponto O.

VON = ?

Sendo dados:

ZA = 2000(Resistivo) ZB = 60- 30

0(Capacitivo) ZC = 8060

0(Indutivo)

VAN = 120900 VBN = 120- 30

0 VCN = 120- 150

0

VAB = 2081200 VBC = 2080

0 VCA = - 120

0

a) Cálculo das admitâncias: OBS.: É conveniente, para melhor exatidão fixarmos quatro casas decimais no cálculo das admitâncias. Para os valores de correntes e tensões fixaremos apenas duas casas decimais, em função da classe de exatidão dos instrumentos utilizados na prática de um modo geral.

YA = 1/ZA 100/200

0 = 0,05000

0 YA = 0,05000

0 [ S ]

YB = 1/ZB 100/60- 30

0 = 0,016730

0 YB = 0,016730

0 [ S ]

YC = 1/ZC 100/8060

0 = 0,0125- 60

0 YC = 0,0125- 60

0 [ S ]

Na forma retangular teremos : YA = 0,0500 [ S ] YB = 0,0145 + j0,0084 [ S ] YC = 0,0063 – j0,0108 [ S ]

YA + YB + YC = 0,0500 + 0,0145 + j0,0084 + 0,0063 – j0,0108 = 0,0708 – j0,0024 = 0,0708- 1,940

YA + YB + YC = 0,0708- 20

b) Cálculo do numerador da expressão de VON, correspondendo às correntes em cada fase e com o

neutro conectado:

YA . VAN = 0,050000 . 12090

0 = 6,0090

0 YA . VAN = j6,00 Valor de IA com condutor neutro ligado.

YB . VBN = 0,0167 300 . 120- 30

0 = 2,000

0 YB . VBN = 2,00 Valor de IB com condutor neutro ligado.

YC . VCN = 0,0125- 600 . 120- 150

0 = 1,50- 210

0 YC . VCN = - 1,30 + j0,75 Valor de IC com condutor

neutro ligado.

A B C N

O

ZA

ZB

ZC

IA

IB

IC

VAO

VBO

VCO

VON

23

YA . VAN + YB . VBN + YC . VCN = 6,79840 Valor de IN com condutor neutro ligado.

c) Cálculo de VON:

VON = 6,79840/0,07- 2

0 = 97,0086

0

VON = 97,00860 [V ] VON = 6,77 + j96,76

d) Cálculo de VAO, VBO e VCO:

VAO = VAN – VON = 120900 - 97,0086

0 = j120 – (6,77 + j96,76) = - 6,77 + j23,24 = 24,21106

0

VAO = 24,211060 [ V ]

VBO = VBN – VON = 120- 300 - 97,0086

0 = 103,92 – j60,00 – (6,77 + j96,76) = 97,15 – j156,76 = 184,42- 58

0

VBO = 184,42- 580 [ V ]

VCO = VCN – VON = 120-1500 - 97,0086

0 = - 103,92 – j60,0000 - (6,77 + j96,76) = - 110,69 – j156,76

VCO =191,90- 1250 [V ]

Observa-se que haverá SUB-TENSÃO, na fase com MAIOR POTÊNCIA instalada e SOBRE-TENSÃO, na fase com MENOR POTÊNCIA instalada. Cálculo das correntes IA, IB e IC com o neutro interrompido:

IA = YA . VAO = 0,050000 . 24,21106

0 = 1,21106

0 IA = 1,21106

0 [A ] Valor de IA com

condutor neutro interrompido.

IA = - 0,33 + j1,16

IB = YB . VBO = 0,0167300 . 184,42- 58

0 = 3,08- 28

0 IB = 3,08- 28

0 [ A ]

Valor de IB com

condutor neutro interrompido.

IB = 2,72 – j1,45

IC = YC . VCO = 0,0125- 600 . 191,90- 125

0 = 2,40-185

0 IC = 2,40-185

0 [A ] Valor de IC com

condutor neutro interrompido.

IC = - 2,39 + j0,21 VERIFICAÇÃO:

IA + IB + IC = 0 IA + IB + IC = - 0,33 + j1,16 + 2,72 – j1,45 - 2,39 + j0,21

IA + IB + IC = - 0,00 + j0,08 = 0,08900 ... vemos que o módulo da corrente resultante é de aproximadamente

80mA. e) Cálculo das correntes com o neutro interligado:

IA = YA . VAN = 0,050000 . 12090

0 = 6,0090

0 j6,00 Valor de IA com condutor neutro ligado.

24

IB = YB . VBN = 0,0167 300 . 120- 30

0 = 2,000

0 2,00 Valor de IA com condutor neutro ligado.

IC = YC . VCN = 0,0125- 600 . 120- 150

0 = 1,50- 210

0 - 1,30 + j0,75 Valor de IC com condutor neutro

ligado.

f) Corrente resultante com o neutro interligado:

IA + IB + IC = j6,00 + 2,00 - 1,30 + j0,75 = 0,07 + j6,75 = 6,75890 ... portanto IN = 6,7589

0

g) Cálculo das potências com o neutro interrompido:

SA = VAO . IA = 24,21- 1060 . 1,21106

0 = 29,290

0 = 29,29

QA = 0 [ VAR ] PA = 29.29 [ W ]

SB = VBO . IB = 184,42- 580 . 3,08 28

0 = 568,01- 30

0 = 491,91 – j284,01 = 491,91 [VA]

QB = 284,01 [ VAR ] Capacitivo PB = 491,91 [ W ]

SC = VCO . IC = 191,90- 1250 . 2,40185

0 = 460,5660

0 = 230,28 + j398,86

PC = 230,28 [ W ] QC =398,86 [ VAR ] Indutivos

PT = 29,29 + 491,91 + 230,28 = 751,48 PT = 751,48 [ W ]

QT = (- 284,01) + (398,86) = 114,85 [ VAR ] Indutivo ST = PT + jQT ST = 751,48 + j114,85

ST = ST = 760,218,70 [ VA ]

Fator de Potência resultante:

Cos = PT/ST = 751,48/760,21 = 0,99 Cos = 0,99 = 8,70

VERIFICAÇÃO:

ZA = 2000

RA = 20

ZB = 60- 300

ZB = 51,96 – j30 RB = 51,96 XB = 30 (Capacitivo)

ZC = 80600 ZC = 40 + j69,28 RC = 40 XC = 69,28 (Indutivo)

PT = RA . (IA)

2 + RB . (IB)

2 + RC . (IC)

2 = 20 . (1,21)

2 + 51,96 . (3,08)

2 + 40 . (2,40)

2

PT = 29,28 + 492,91 + 230,40 = 752,59 PT = 752,59 [ W ] QT = XA . (IA)

2 + XB . (IB)

2 + XC . (IC)

2 = 0 . (1,21)

2 + (- 30) . (3,08)

2 + 69,28 . (2,40)

2

QT = 0 + (- 284,59) + 399,05 = 114,46 QT = 114,46 [ VAR] (Indutivo)

ST = = 761,24 ST = 761,24 [ VA ]

Fator de potência resultante: Cos = PT/ST = 752,59/761,24 = 0,99 Cos = 0,99 = 8,70

DIAGRAMA VETORIAL COM O NEUTRO INTERROMPIDO: Escala : 1 cm = 40 V 1 cm = 0,8 A

25

4.8 – Calcular as tensões VAO, VBO, VCO e VON para o circuito abaixo, bem como as correntes em cada fase. Determine as potências ST, PT e QT. Faça o diagrama vetorial das tensões e correntes. Determine as correntes nas fases com o neutro conectado ao ponto O.

Sendo dados:

ZA = 1000 ZB = 100

0 ZC = 10- 90

0

VAN = 12700 VBN = 127-120

0 VCN = 127120

0

a) Cálculo de VON:

YA = 1/ZA = 100/100

0 = 0,010

0 [ S ]

YB = 1/ZB = 100/100

0 = 0,010

0 [ S ]

YC = 1/ZC = 100/10- 90

0 = 0,0190

0 [ S ] YC = j0,01

YA + YB + YC = 0,01 + 0,01 + j0,01 = 0,02 + j0,01 = 0,02236260

YA . VAN + YB . VBN + YC . VCN = 0,0100 . 1270

0 + 0,010

0 . 127- 120

0 + 127- 120

0 . 0,01- 90

0

YA . VAN + YB . VBN + YC . VCN = 1,2700 + 1,27- 120

0 + 1,27210

0

VON = (1,2700 + 1,27- 120

0 + 1,27210

0)/ 0,0223626

0

VON = 1,80- 1050/00223626

0 = 80,5- 131

0

VON = 80,5- 1310 [V ] VON = - 52,81 – j60,75

d) Cálculo de VAO, VBO e VCO:

VAO = VAN - VON = 12700 - 80,5- 131,6

0 = 127 – (- 52,81 – j60,75) = 179,81 + j60,75 = 18918

0

VAO = 189180 [ V ]

VBO = VBN - VON = 127- 1200 - 80,5- 131

0 = - 63,50 – j110,00 - (- 52,81 – j60,75) = - 10,69 – j49,25

A

B

IB

O

N

IA

VBO VCO

VAO

VON

IC

A B C N

O

ZA

ZB

ZC

IA

IB

IC

VAO

VBO

VCO VON

C

26

VBO = 50,40- 1020 [ V ]

VCO = VCN - VON = 127 1200 - 80,5- 131

0 = - 63,50 + j110 - (- 52,81 – j60,75) = - 10,69 + j170,75 = 171,0893

0

VCO = 171,08930 [ V ]

e) Cálculo das correntes IA, IB e IC com o neutro interrompido:

IA = YA . VAO = 0,0100 . 18918

0 = 1,8918

0

IB = YB . VBO = 0,0100 . 50,40- 102

0 = 0,50- 102

0

IC = YC . VCO = 0,01900 . 171,0893

0 = 1,71183

0

e) Cálculo das correntes IA, IB e IC com o neutro interligado:

IA = YA . VAN = 0,0100 . 1270

0 = 1,270

0

IB = YB . VBN = 0,0100 . 127-120

0 = 1,17- 120

0

IC = YC . VCN = 0,01900 . 127120

0 = 1,170

0210

0

DIAGRAMA VETORIA COM NEUTRO INTERROMPIDO: Escala: 1cm = 25 V 1 cm = 0,5 A

f) Cálculo das potências com o neutro interrompido:

SA = VAO . IA = 189180 . 1,89- 18

0 =357,210

0 PA = 357,21 [W] QA = 0 [VAR]

SB= VBO . IB = 50,40- 1020 . 0,50102

0 = 25,200

0 PB = 25.20 [W] QB = 0[VAR]

SC = VCO . IC = 171,08930 . 1,71- 183

0 = 292,55- 90

0 = - j292,55 ... e teremos, portanto:

PC = 0 [W] QC = 292,55 [VAR] Capacitivo PT = PA + PB = 382,41 [W] VERIFICAÇÃO: PA = RA (IA)

2 = 100 . (1,89)

2 = 357,21 [W]

PB = RB . (IB)

2 = 100 . (0,50)

2 = 25,00 [W] PT = PA + PB =382,21 [W]

QC = QT = XC . (IC)

2 = 100 . (1,71)

2 = 292,41 [VAR]

B

C

A

O

N

IA

IB

IC

27

ST = PT – jQT = 481,24- 370 [VA]

OBS.: O sinal negativo na parte imaginária se deve ao fato da potência reativa ser CAPACITIVA. g) Triângulo das potências: ESCALA: 1cm = 40 Unidades de potência.

4.9 – Calcule as correntes e tensões VAO, VBO, VCO, IA, IC e faça os diagramas vetoriais respectivos:

vetoriais respectivos: Teremos então:

ZA = RA + j XA = 36 + j48 = 60530 [] ZC = - jXC = - j90 = 90- 90

0 []

a) YA = 1/ZA = 100/6053

0 = 0,0167/60- 53

0 [S] YA = 0,0167- 53

0 [S] ou YA = 0,0101 – j0,0133

b) YC = 100/90- 90

0 [S] YC = 0,0111 90

0 [S] ou YC = j0,0111

c) YB = 1/ZB = 0, visto que ZB = Cálculo de VON:

d) YA . VAN = 0,0167- 530 . 120- 30

0 = 2,00- 83

0 = 0,24 – j1,99

e) YB . VBN = 0 . 120- 1500 = 0

f) YC . VCN = 0,0111900 . 12090

0 = 1,33180

0 = - 1,33

g) YA . VAN + YB . VBN + YC . VCN = 0,24 – j1,99 + 0 + (- 1,33) = - 1,09 – j1,99 = 2,27 - 1190

h) YA + YB + YC = 0,0101 – j0,0133 + 0 + j0,0111 = 0,0101 – j0,0022 = 0,0103-120

VON = (YA . VAN + YB . VBN + Yc . VCN)/(YA + YB + YC)

RA XA

A B C

N

O

VAO

VBO

VCO

VON

IA RA = 36

XA = 48

C = 29,5F

XC = 90 F = 60 Hz

VAN = 120- 300

IC

28

VON = 2,27- 1190/0,0103-12

0 = 220,39- 107

0 VON = 220,39- 107

0 [ V] VON = - 64,44 – j210,76

VAO = VAN - VON = 120- 300 - 220,39- 107

0 = 103,92 – j60,00 – (- 64,44 – j210,76) = 168,36 + j150,76

VAO = 225,99420 [V]

h) VBO = VBN - VON = 120- 1500 - 220,39- 107

0 = - 103,92 – j60,00 - (- 64,44 – j210,76) = - 39,48 + j150,76

VBO = 155,84 1040[V]

i) VCO = VCN - VON = 120900 - 220,39- 107

0 = j120,00 - (- 64,44 – j210,76) = 64,44 + j330,76

VCO = 336,98790 [V]

Cálculo de IA, IB e IC, com o neutro interrompido:

IA = YA . VAO = 0,0167- 530 . 225,9942

0 = 3,77- 11

0 IA = 3,77- 11

0 [A]

j) IB = YB . VBO = 000 . 113,8469

0 = 0 IB = 0

k) IC = YC . VCO = 0,0111 900 . 336,9879

0 = 3,74169

0 IC = 3,74169

0 [A]

Cálculo de IA e IC e IN, com o neutro interligado:

IA = YA . VAN = 0,0167- 530 . 120- 30

0 = 2,00- 83

0 = 0,24- j1,99 IB = 0

IC = YC . VCN = 0,0111900 . 12090

0 = 1,33180

0 = - 1,33

IN = IA + IC = 0,24- j1,99 + (-1,33) = - 1,10 – j1,99 = 2,27-1190

DIAGRAMA VETORIAL: 1 cm = 40 V 1 cm = 1 A

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