Matemàtiques 3r i 4t eso

MATEMÀTIQUES3r i 4t d'ESO

Setembre 2015 – Juny 2017INS Les Termes Sabadell

Prof: Albert Sola

3r ESO 15-16

1. Repàs de 2n ESO

2. Estadística

3. Nombres racionals

4. T. de Pitàgores i Semblança

5. Monomis i polinomis

6. Equacions de 2n grau

7. Funcions

8. Sistemes d'equacions

9. Els cossos geomètrics

Sortida a Barcelona

Pel·lícula 21 Black Jack

Taller cossos geomètrics

4t ESO 15-16

1. Semblança

2. Trigonometria

3. Geometria analítica

41. Polinomis

42. Equacions i Sistemes

5. Funcions

6. Arrels

7. Estadística

Sortida a Cornellà

Pel·lícula The imitation game

Taller Colisseu

3r d'ESOCurs 2015-16

Unitat 1: Repàs 2n ESO

1. Els nombres

2. Càlcul amb nombres enters

3. Càlcul amb fraccions

4. Potències

5. Proporcionalitat numèrica

6. Proporcionalitat geomètrica

7. Equacions

8. Geometria

1. Els Nombres

-Naturals

-El 0

-Negatius

Nombres Enters

Nombres Fraccionaris

Nombres Racionals

ℕℤ

ℚ

6

8, -3,26, 5,333...

Els Nombres Racionals (Q) són tots aquells que es poden expressar en

forma de fracció.


a) Criteris en eliminar parèntesis

-En suprimir un parèntesi precedit del signe +, els signes interiors no

varien.

-En suprimir un parèntesi precedit del signe -, els signes interiors

s'inverteixen.

+ (5 – 7 + 4) = 5 – 7 + 4

- (5 – 7 + 4) = -5 + 7 - 4

b) Suma de dos nombres enters

-Si tots dos són positius, se sumen els valors absoluts i el resultat és

positiu.

-Si tots dos són negatius, se sumen els valors absoluts i el resultat és

negatiu.

-Si un és negatiu i l'altre positiu, es resten els valors absoluts i el

resultat té el signe del que sigui més gran.

6 exemples

6 exemples

6 exemples

c) Suma/resta de diversos nombres

-1r eliminarem parèntesis:

Fitxes

5 – (3 – 10) + (4 – 8 + 2) – (7 – 5 + 1) =

5 – 3 + 10 + 4 – 8 + 2 – 7 + 5 – 1 =

-2n ordenarem positius i negatius:

5 + 10 + 4 + 2 + 5 – 3 – 8 – 7 – 1 =

-3r sumarem positius per una banda i negatius per l'altra:

26 – 19 =

-4t farem la resta final.

7


-Caldrà aplicar la regla dels signes:

Positiu Negatiu

Positiu + -

Negatiu - +

O el que és el mateix:

+ · + = + + · - = -

- · - = + - · + = -

-Caldrà aplicar la jerarquia de les operacions:

1r) Interior de parèntesis

2n) Multiplicacions i divisions

3r) Sumes i restes Ex 5 i 6 pàg.11

Extres 11 i 12, pàg. 21

d) Multiplicació i divisió d'enters

e) Operacions combinades


a) Multiplicació i divisió de fraccions

2

3·4

5=

8

15

2

3:

4

5=

10

12=

5

6

Exercici 15 i 16 pàg.41


b) Suma i resta

NOMÉS es podran fer si el denominador té el mateix valor.

Exemple:

1

6−

7

10

4

15=

30

−30

30

1

6−

7

10

4

15=

−

1r pas: Trobar un nou denominador, el mcm dels anteriors

6 = 2 · 3

10 = 2 · 5

15 = 3 · 5

Agafem comuns i no comuns amb l'exponent més alt:

mcm (6, 10 i 15) = 2 · 3 · 5 = 30


1

6−

7

10

4

15=

30

−30

30

2n pas: Trobar els nous numeradors

Dividir

Multiplicar

Resultat

30 : 6 = 5 5 · 1 = 5

30 : 10 = 3 3 · 7 = 21

30 : 15 = 2 2 · 4 = 8

1

6−

7

10

4

15=

5

30−

21

30

8

30

3r pas: Resoldre la operació

5

30−

21

30

8

30=

58−21

30=

13−21

30=

−8

30=

−4

15

Exercici 2 pàg.31

5, 9 pàg 32

extres 18 i 19, pàg 41

Problemes 1 a 4, pàg. 34

26-42

4. Potències

a · a · a ·a · ...=anExponent

Basen vegades

ex: 7·7·7·7=74

Ex 2, pàg. 56

-Si la base és positiva, és positiva

-Si la base és negativa: i exponent parell, positiva

i exponent senar, negativa

33

= 3 · 3 · 3 = 27

(-3)2

= -3 · (-3) = + 9

(-3)3

= -3 · (-3) · (-3) = - 27

(-3)4

= -3 · (-3) · (-3) · (-3) = + 81

(-3)5

= -3 · (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = - 243

4. Potències

-Propietats:

Exercici 5, 6, 7 pàg.49

Ex 3, 6, 7, 8 i 9 pàg 56

am

· an=am+n a

m

an=am−n

(am)n=am· n a0=1

a−n=

1

an

Unitat 2: Estadística

1. Conceptes generals

2. Les Taules de freqüències

3. Tipus de gràfics

4. Paràmetres estadístics

4.1 De centralització

4.2 De dispersió

5. Taules de doble entrada


Exemple pàgina 7

L'Estadística és la part de les matemàtiques que s'ocupa de recollir,

ordenar i analitzar dades per tal d'estudiar les característiques o el

comportament d'un col·lectiu.

-Parts de l'estudi estadístic: 1r Elaborar una enquesta

2n Recollida de dades

3r Elaboració de les taules de freqüències

4t Calcular els paràmetres necessaris

5è Elaboració de gràfics

6è Anàlisi crític dels resultats (conclusions)

1. Conceptes generals-Població: Conjunt de persones, animals o objectes al qual fa la

referència l'estudi.

Ex 1, pàg.11

-Mostra: Part de la població sobre la qual duem a terme la recollida de

dades.

Exemples pàgina 8

-Variable estadística: Característica o propietat concreta de la població

que volem estudiar.

Poden ser

-Qualitatives: no es poden expressar amb nombres

Color dels ulls, Menjar preferit, Religió, Professió

-Quantitatives: s'expressen amb números

Número germans, Alçada, Pes, Temperatura, Talles roba

Discretes (valors enters)

Contínues (qualsevol dins interval)

2. Les taules de freqüències

-Freqüència Absoluta (ni): Nombre de vegades que es repeteix un

determinat caràcter o valor.

Exemple Esport preferit i Número de germans

-Variable estadística (xi): A la 1a columna, si és quantitativa

s'anomenen valors, si és qualitativa s'anomenen caràcters.

-Mostra (N): La suma de totes les freqüències absolutes, que coincideix

amb el nombre d'individus que té la mostra.

Completar taules


-Tant per cent (%): És la fi multiplicada per cent.

Ex 2 al 6, pàg.12

Afegim 4 columnes als exemples

-Freqüència relativa (fi): És el resultat de dividir la ni entre la mostra (N).

-Freqüència absoluta acumulada (Ni): És el resultat de sumar a la Ni

les Ni anteriors.

fi=ni

N

-Freqüència relativa acumulada (Fi): És el resultat de sumar a la fi les fi

anteriors.

N i=∑ ni

F i=∑ f i

Exemples pàg.10 (marca de classe)


Ex 7 al 19, pàg.15

a) Diagrama de barres: Barres separades i tan altes com indiquin les

freqüències corresponents. Serveix per variables qualitatives o

quantitatives discretes.

b) Histograma: Barres juntes i tan altes com indiquin les freqüències

corresponents. Serveix per variables quantitatives contínues.

c) Polígon de freqüències: En un histograma, es construeix unint els

punts mitjos superiors de les barres.

d) Diagrama de sectors: Cada sector circular és proporcional a una

freqüència. S'han de repartir els 360 graus.

360 : N = graus per a cada unitat

graus per unitat · freqüència

Equip preferit

Exercici 5

Exercici 5

Equip preferit 5


Ex 20 al 32, pàg.21

a) La mitjana:

x̄=∑ x · n

N

b) La mediana (Me): Ordenades de menor a majors els valors, la mediana

és el que ocupa el valor central. Si el nombre de valors és parell, es pren

la mitjana dels dos centrals.

c) La moda (Mo): És la variable que més es repeteix.

Exemple notes Albert: 7, 8, 6, 8, 6, 7, 9, 6


Unitat 3: Els nombres racionals

1. Les fraccions

1.1 Definició

1.2 Fracció d'un nombre

1.3 Fraccions equivalents

1.4 Pas a decimals i viceversa

2. Operacions amb fraccions

2.1 Suma i resta

2.2 Multiplicació, potència i divisió

3. Nombres racionals

Representació gràfica

1. Les fraccions

1.1 Definició

-Si numerador < denominador, la fracció és pròpia, expressa una part de

la unitat i el seu valor és inferior a 1.

3

4, 51, 52, 53

4

7

numerador

denominador

-Una fracció ens expressa un nombre que obtenim dividint el numerador

entre el denominador

4

7=0,5714...

-Si numerador > denominador, la fracció és impròpia i el seu valor és

superior a 1. Si a més el numerador és múltiple del denominador, es tracta

d'un enter. 10

4=2,5

36

12=3

1, 42, 43

1. Les fraccions

1.2 Fracció d'un nombre

Problema: L'assistència a un Congrés de científics és de 210 participants.

Dues setenes parts són biòlegs, un terç són químics, una cinquena part

són físics, i 19/105 parts són geòlegs. Quants científics hi ha de cada

especialitat?

Volem calcular els 4/5 de 260

4

5·260=

4 · 260

5=

1040

5=208

(el numerador multiplica i el denominador divideix)

2, 44, 45,46, 47, 49, 50

1. Les fraccions

1.3 Fraccions equivalents

5, 54, 55

Dues fraccions són equivalents quan expressen el mateix nombre

3

4

a) Propietat de les fraccions equivalents

6

8

3

4=

6

8=0,75

En una equivalència de fraccions, el producte dels extrems és igual

al producte dels mitjans.

3

4=

6

8

mitjans extrems

3 · 8 = 24

4 · 6 = 24

6, 7, 8, 56, 57, 58

b) Obtenció de fraccions equivalents

-Per amplificació: multipliquem numerador i denominador pel mateix

nombre.

3

4=

6

8=

12

16=

24

32

-Per simplificació: dividim numerador i denominador pel mateix

nombre.

36

48=

18

24=

9

12=

3

4

La fracció irreductible

57 i 58 DESCOMPOSANT!

1. Les fraccions

1.4 Pas de decimal a fracció i viceversa

a) Pas de fracció a decimal: dividir numerador entre denominador

4

7=0,5714...

b) Pas de decimal exacte a fracció: al numerador s'hi posa el nombre

sense la coma, i al denominador una potència de 10 amb tants 0 com

xifres decimals té el nombre inicial.

3,47=347

1000,5=

5

10=

1

22,125=

2125

1000=

17

8

26, 27, 28, 29, 84

1. Les fraccions

1.4 Pas de decimal a fracció i viceversa

c) Pas de decimal periòdic a fracció: al numerador s'hi posa el resultat

de restar-li el període al nombre sense coma ni barret; al denominador

s'hi posa un nombre format per tants 9 com xifres té el període i

tants 0 com xifres té l'avantperíode.

5,3 8=538−53

90=

485

90=

97

181, 23=

123−1

99=

122

99

30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 86, 87, 88, 89

2. Operacions amb fraccions

2.1 Suma i resta

NOMÉS es podran fer si el denominador té el mateix valor.

Exemple:

1

6−

7

10

4

15=

30

−30

30

1

6−

7

10

4

15=

−

1r pas: Trobar un nou denominador, el mcm dels anteriors

6 = 2 · 3

10 = 2 · 5

15 = 3 · 5

Agafem comuns i no comuns amb l'exponent més alt:

mcm (6, 10 i 15) = 2 · 3 · 5 = 30

1

6−

7

10

4

15=

30

−30

30

2n pas: Trobar els nous numeradors

Dividir

Multiplicar

Resultat

30 : 6 = 5 5 · 1 = 5

30 : 10 = 3 3 · 7 = 21

30 : 15 = 2 2 · 4 = 8

1

6−

7

10

4

15=

5

30−

21

30

8

30

3r pas: Resoldre la operació

5

30−

21

30

8

30=

58−21

30=

13−21

30=

−8

30=

−4

15

9, 10, 11, 12, 60-67

2.2 Multiplicació, potència i divisió

2

3·

4

5=

8

15

2

3:

4

5=

10

12=

5

6

3

2 2

=3

2

22=

9

4 3

2 −2

=2

3 2

=2

2

32=

4

9

13, 14, 15, 16, 17, 18, exemp 9 i 10, 19, 20, 21, 68-82

22-25, 83

3. Nombres racionals i irracionals

-Naturals

-El 0

-Negatius

Nombres Enters

Nombres Fraccionaris

Nombres Racionals

Nombres Irracionals

Nombres Reals

ℕ

ℤ

ℚ

ℝ6

8, -3,26, 5,333...

3,141592...

Els Nombres Racionals (Q) són tots aquells que es poden expressar en

forma de fracció.

Els nombres amb infinites xifres decimals no periòdiques, que no es poden

expressar en forma de fracció, formen el conjunt dels Nombres Irracionals.

Unitat 4: Teorema de Pitàgores i Proporcionalitatgeomètrica

1. El Teorema de Pitàgores

1.1 Formulació

1.2 Aplicacions

2. Semblança

3. Plànols, mapes i maquetes

4. El Teorema de Tales

4.1 Formulació

4.2 Aplicacions


En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets

és igual al quadrat de la hipotenusa.

1.1 Formulació

Pitàgores de Samos (illa grega), 582-496 aC,

filòsof i matemàtic, relació matemàtiques i la

música, terra rodona, secta dels pitagòrics,

doctrina estricta, “tot és nombre”, prohibit

menjar faves, llegenda mort pel camp de faves.

c

b

a a2=b

2c

2

En un tringle rectangle, la hipotenusa és el costat oposat a

l'angle recte i el més llarg; els catets són els dos costats

adjacents a l'angle recte.

catet

hipotenusacatet

Demostració:


a) Si coneixem 2 catets, càlcul de la hipotenusa

1.2 Aplicacions

c=8cm

b=15cm

a?

a2=b

2c

2a= b2

c2

a2=15

28

2;

a2=22564 ;

a2=289 ;

a= 289=17cm

Exemple


b) Si coneixem la hipotenusa i un catet, càlcul de l'altre catet.

1.2 Aplicacions

c=20dm

b?

a=29dm

a2=b

2c

2b= a2

−c2

292=b

220

2;

841=b2400 ;

b2=841−400=441 ;

b= 441=21dm

Exemple 231

c) Si coneixem els tres costats, comprovar si és rectangle o no.

342=30

216

2;

Exercicis 231-257

Exemple 1: Tenim un triangle de costats 30, 16 i 34 cm. És un

triangle rectangle?

El més llarg hauria de ser la hipotenusa, per tant s'hauria de complir:

1156=900256 ; 1156=1156

SÍ

432=32

220

2;

Exemple 2: Tenim un triangle de costats 43, 20 i 32 cm. És un

triangle rectangle?

1849=1024400 ; 1849=1424

NO

2. Semblança

Dues figures són semblants quan són iguals o només es

diferencien en les dimensions que tenen.

a

a '

a=b '

b=c '

c=d '

d=k

Exemple gràfic amb triangle53, 54, 55, 26177, 78, 80, 81, 82

b

c

d

a'

b'

c'

d'

Els segments corresponents són proporcionals, és a dir, la raó

entre cada parella de valors és constant.

3. Plànols, mapes i maquetesSón representacions o figures semblants a la realitat.

La raó de semblança amb la realitat és l'Escala, que és el

quocient entre la unitat de longitud en la reproducció i la longitud

corresponent a la realitat.

E = 1:200 E = 1/200

Un centímetre al plànol són 200 cm de la realitat


-Exercici tipus 1: En el plànol d'una casa dibuixat a E=1/200, una

paret fa 2,5 cm. Quant fa a la realitat?

plànol

realitat

1

200=

2,5

xx=

200 ·2,5

1=500cm=5m

-Exercici tipus 2: Dues ciutats disten 35 km. A quants centímetres

estan en un mapa a E=1/100000?

1

100000=

x

3500000

x=3500000 ·1

100000=35cm

plànol

realitat


-Exercici tipus 3: Calcula a quina escala està la maqueta d'un

cotxe si una roda, que fa 60 cm de diàmetre a la realitat, hi és

representada amb un diàmetre de 2 cm.

plànol

realitat

1

x=

2

60x=

60 ·1

2=30 E=1/30

71, 74, 75, 76Activitat (llibreta):I. Distància de Ripollet a Mataró / Distància de Manresa a l'HospitaletII. De l'Estació a l'Ajuntament / De la Presó al Centre NatacióIII. Altura façana (x), Altura golfes (y), Profunditat semisoterrani (z)IV. Ample edifici habitacions (x), Ample garatge (y), Llargada façanasud (z)


Si un feix de rectes paral·leles tallen dues altres rectes

secants, els segments que hi determinen són proporcionals.

4.1 Formulació

Tales de Milet (actual Turquia), 625-546 aC,

filòsof, matemàtic, físic i astrònom, “aigua com

a origen de totes les coses”, terra rodona, lluna

reflecteix llum del sol, prediu eclipsi solar

585aC, viatg. Egipte, llegenda altura piràmides.



4.1 Formulació

b

a

c

b'a'

c'

a '

a=b '

b=c '

c=k

Un parell d'exercicis d'exemple44, 45, 46, 47


Comparteixen tots els angles, per tant són triangles semblants.

4.2 Aplicacions


4.2 Aplicacions

Quan dos triangles tenen dos dels costats sobre la mateixa

recta, i el tercer és paral·lel al corresponent, diem que estan en

posició de Tales, podem afirmar que són semblants i , per tant,

que els seus costats són proporcionals.

b

a

c

b'

a'

c'

b

a

c

b'

a'

c'

266, 265, 267, 268, Exem p126, 6.26, 6.27, 6.28

Unitat 5: Monomis i Polinomis

1. Els monomis x

2. Operacions amb monomis x

3. Polinomis x

3.1 Suma x

3.2 Resta x

3.3 Producte x

3.4 Quocient x

3.5 El valor numèric d'un polinomi x

3.6 Extracció de factor comú x

3.7 Productes notables x

Introducció a l'Àlgebra

Parts de les matemàtiques que coneixeu:

-Treball amb nombres, operacions,jerarquia, etc.

-Treball amb figures planes i cossos,al pla o a l'espai.

-Treball amb relacions de dependènciaentre nombres: funcions.

-Treball amb dades: recopilació,representació i interpretació.

-Treball amb nombres desconeguts,que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...

Àlgebra

Estadística i probabilitat

Anàlisi

Geometria

Aritmètica

Un monomi és el producte indicat entre un nombre

conegut (el coeficient) i un o més nombres desconeguts

(lletres) elevats a un exponent natural (la part literal).

x2y

7Són monomis o no?9xt

4xy2 2

3a

3

x2

3x2+4x 5 √ x

7x

1

x

-Les lletres o incògnites no poden trobar-se al denominador, ni estar

elevades a un nombre que no sigui natural.

-No poden aparèixer ni sumes ni restes.

1. Els monomis

1. Els monomis

El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.

a) Nomenclatura Monomi de grau 4(3+1=4)5x

3y

Coeficient(el número) Part literal

(les lletres)

b) Grau d'un monomi

Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que són

monomis semblants.

c) Monomis semblants

3x2 −4x

2 x2

3

−5

3x

2

Exercicis 1-4, 1-2

2. Operacions amb monomis

El producte d'un o més monomis és un monomi que té com a

coeficient el producte dels coeficients, i com a part literal el producte

de les parts literals.

2.1 Suma i resta:

2.2 Producte:

3x2+4x

2−9x2=−2x

2

3a ·5b=(3 ·5)·(a ·b)=15ab

Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest

cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part

literal.

2a+b−4a+2b=−2a+3b

5x2·2x

3=(5 · 2)·( x2· x

3)=10x5

2. Operacions amb monomis

2.3 Quocient:

2x2:5x

2=2x

2

5x2=

2

5

Del quocient entre dos monomis se'n pot obtenir un nombre, un altre

monomi o una fracció algebraica. Posarem l'operació en forma de

fracció i simplificarem factors idèntics.

Exemples 3-4, Ex 5-7,3-10

6a3b

2: 2ab

2=6a

3b

2

2ab2=

2 ·3 · a · a ·a ·b ·b

2 · a · b · b=

3a2

1=3a

2

8x2y : 6y

3=8x

2y

6y3

=2 ·2 ·2 · x · x · y

2 ·3 · y · y · y=

4x2

3y2

(Nombre)

(Monomi)

(Fracció algebraica)

3. Polinomis

a) Nomenclatura Polinomi de grau 4

11x3y−7xy

2+5x−13

Terme

b) Grau d'un polinomi: el més alt dels termes que el formen.

8-10, 11-13

Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no

semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")

Terme Terme TermeGrau 4 Grau 3 Grau 1 Grau 0

c) Oposat d'un polinomi: s'obté canviant els signes de cada terme

3. Polinomis

3.1 Suma:

A=5x3−1

Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els

termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.

Exemple: B=7x3−5x

2+3

A+B5x

3

7x3−5x

2+3+

−1

12x3−5x

2+2

3. Polinomis

3.2 Resta:

A=5x3−1

Restar és el mateix que sumar l'oposat. Així, procedirem de la mateixa

manera però sumant l'oposat del polinomi que actua de subtrahend.

Exemple: B=7x3−5x

2+3

A−B=A+(−B)5x

3

−7x3+5x

2−3+

−1

−2x3+5x

2−4

P (x)=3x2−2x+7

15-17, 18-20

Exemple: Q( x)=3x−5

P ( x) ·Q( x)

x

−15x2+10x−35

3x2−2x+7

3x−5

9x3−6x

2+21x

9x3−21x

2+31x−35

3. Polinomis

3.3 Multiplicació:

3x ·(5x3−2x)

Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la

propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes

de l'interior del parèntesi.

núm 5 fitxa monomis

3x ·(5x3−2x)=3x ·5x

3−3x ·2x

3x ·5x3−3x ·2x=15x

4−6x2

3. Polinomis

3.3 b Multiplicació per propietat distributiva:

18, 19 / 25, 22, 23, 24

P(x) Q(x)

C(x)

R(x)

4x3+2x

2−4x+3

3. Polinomis3.4 Divisió de polinomis

Dividend Divisor

Quocient

Residu

-Dividir 1r terme de P(x) entre el 1r terme de Q(x) per obtenir 1r de C(x)

-Multiplicar resultat per Q(x) i restar-lo a P(x) per obtenir nou dividend.

-Repetir operació fins que R(x) sigui de menys grau que Q(x).

2x2−x+1

2x−4x3+2x

2−2x

4x2−6x+3

+2

−4x2+2x−2−4x+1

11-13 / 14-15

És el nombre o resultat que s'obté en substituir les incògnites

per nombres determinats i realitzar les operacions indicades.

Exemple: Trobar el valor numèric del següent polinomi per a x = 5.

3x2+x+10

3 ·52+5+10=3 · 25+5+10=75+5+10=90

3 ·52+5+10

si x = 5

3. Polinomis3.5 El valor numèric d'un polinomi

15x4−6x

2

Extreure factor comú d'una expressió algebraica és aplicar la

propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns

ténen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un parèntesi.

Exemple 13, 21, 35 / fitxa monomis

3 ·5· x · x · x · x−3 ·2 · x · x

3 · x · x ·(5 · x · x−2)

3x2·(5x

2−2)

3. Polinomis

3.6 Extracció de factors comuns:

ab2=a22abb2

Demostració:

a) Quadrat de la suma

(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a ·a+a ·b+b· a+b·b

a ·a1a · b1a · bb·b=a22abb2

Exemple:

2x3y 2=2x22 ·2x ·3y3y 2=4x212xy9y

2

3. Polinomis

3.7 Productes notables

a−b2=a2−2abb2

Demostració:

b) Quadrat de la diferència

(a−b)2=(a−b)·(a−b)=a ·a+a ·(−b)−b ·a−b·(−b)

a ·a−a ·b−a ·bb ·b=a2−2abb2

Exemple:

2x3−6x2=2x

32−2 ·2x3·6x6x 2=4x

6−24x436x

2

3. Polinomis

3.7 Productes notables:

24, 25, 26

(a+b)·(a−b)=a2−b2

27, 28, 29 / 26-36

Demostració:

c) Suma per diferència

(a+b)·(a−b)=a · a+a ·(−b)+b ·a+b ·(−b)

a ·a−1a · b+1a · b−b·b=a2−b2

Exemple:

(x+2y )·( x−2y)=( x)2−(2y)2=x2−4y2

3. Polinomis

3.7 Productes notables:

Unitat 6: Equacions de 2n Grau

0. Introducció: definició, solucions i tipus

1. Resolució d'equacions ax2 + c = 0

2. Resolució d'equacions ax2 + bx = 0

3. Resolució d'equacions ax2 = 0

4. Resolució d'equacions ax2 + bx + c = 0

0. Introducció

a) Les equacions de 2n grau són aquelles en què hi ha un

terme amb la incògnita x elevada a dos.

5x2−3+4=3+2x

5x3+x=4

Ll: 2, 3, 4

b) Poden tenir: dues solucions

una única solució

cap solució.

Sí

No (seria de 3r grau)

Ll: 5 i 6

c) Per resoldre equacions de 2n grau, abans les haurem

d'"arreglar" passant tots els termes al 1r membre i reduint-los,

obtenint la forma: ax2 + bx + c = 0.

5x2−3+4=3+2x

d) Hi ha dos tipus d'equacions de 2n grau:

5x2−2x−2=0

ax2+bx+c=0

ax2+bx=0

ax2+c=0

ax2=0

Completes

Incompletes (falta algun terme)

"a" és el coeficient que acompanya x2, "b" la x i "c"

el terme independent Identificar a, b i c

1. Resolució d'equacions ax2+c=0 (incompletes)

5x2−180=0 ;5x

2=180 ; x2=

180

5;

Resol les equacions següents:

-Aïllarem la x2, i farem l'arrel quadrada, obtenint dues

solucions, la negativa i la positiva.

x2=36 ; x=√ 36=±6

3x2 - 3=0

2x2=50

x2-64=0

x2=52-3

x2-6=30

x2/2=2

3x2=220+23

x2/3+9=60-3

13x2-12x2=16

x2-117=4

-120+20=-x2

4x2-2x2=18

T: 47, 48 pàg 72

2. Resolució d'equacions ax2+bx=0 (incompletes)

-Extraurem factor comú dels termes del membre esquerre, i

igualarem a 0 cada un dels factors resultants, obtenint així dues

equacions senzilles de 1r grau.

3x2+27x=0 ;

3 · x · x+3 ·3 ·3 · x=0

T: 49, 50 pàg.72

3x ·(x+9)=0 Si el resultat del producte és 0, ésveritat que cada un dels factors potser 0

3x=0 ; x=0/3 ; x=0

x+9=0 ; x=−9

3. Resolució d'equacions ax2=0 (incompletes)

-Si aïllem la x2, en aquesta forma l'equació sempre tindrà una única

solució: x= 0.

6x2=0 ; x

2=0

6; x

2=0 ; x=√ 0 ; x=0

Uns quants exemples absurds

4. Resolució d'equacions ax2+bx+c=0 (completes)

-Un cop transformada l'equació en la seva forma canònica,

identificarem els coeficients a, b i c per aplicar la fórmula:

x=−b±√ b2−4ac

2a

Exemple:

2x2−3x−2=0

a=2

b=-3

c=-2

x=−(−3)±√ (−3)2−4 ·2 ·(−2)

2 ·2

x=−(−3)±√ (−3)2−4 ·2 ·(−2)

2 ·2

x=3±√ 9+16

4=

3±√ 25

4=

3±5

4

3+5

4=

8

4=2

3−5

4=

−2

4=

−1

2

x=

TE: Ex.7, 17, 18 / p.71: 44, 45, 46Ll: 22, 23

Exercicis:

3x2+5x-2=0

5x2-2x-3=0

x2-2x+1=0

x2-3x-4=0

3x2-2x-1=0

x2+5x+8=0

2x2-4x+3=0

2x2+5x-3=0

Unitat 7: Funcions

1. Introducció

2. Eixos de coordenades

3. Expressió de funcions

4. Funcions abstractes: x i y

5. Funcions lineals (de proporcionalitat directa) y=k·x

6. Funcions afins y=k·x+a

7. Funcions quadràtiques y=ax2+bx+c

8. Funcions de proporcionalitat inversa y=k/x

1. Introducció

-Magnituds: Aspectes o fenòmens de la realitat que són mesurables:

distància, preu, superfície, temperatura, volum, temps, velocitat, pressió,

etc.

Sabem que n'hi ha que es relacionen entre si:

-Magnituds directament proporcionals

-Magnituds inversament proporcionals

Aquesta relació s'expressa mitjançant

-Les funcions: Són relacions de dependència entre dues variables tals que

cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la

variable dependent.

2. Eixos de coordenades (el terreny de joc)

Serveixen per representar punts concrets en el pla.

-Eix x: eix abscisses.

-Eix y: eix d'ordenades.

-Quatre quadrants.

-Origen de coordenades.

Les coordenades del

punt P són P(3,5).

3 és l'abscissa (x) i 5 és

la ordenada (y).

Exercici pissarra

3. Expressió de funcions-Exemple1: kg de taronges que compro i el seu preu (m.directament prop.)

kg que compro preu que pago

1 1,25 euros

2 2,50 euros

3 3,75 euros

4 5 euros

a) Taula de valors: b) Expressió algebraica (funció)

Si P és "preu que pago" i n és

"kg que compro":

P = 1,25 · n

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

n: número de kg que compro

P: pre

u q

ue

pago

c) Gràfica en eixos de coordenades: Variabledependent Variable

independent

1,25 = 1,25 · 1

2,50 = 1,25 · 2

3,75 = 1,25 · 3

5,00 = 1,25 · 4

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

c: costat del quadrat

A: à

rea

del q

uadra

t

-Exemple 2: àrea d'un quadrat i longitud del seu costat

costat Àrea

1m 1 m2

2m 4 m2

3m 9 m2

4m 16 m2


Si A és "àrea" i c és "costat":

A = c2

c) Gràfica en eixos de coordenades:

Variabledependent

Variableindependent

1 = 12

4 = 22

9 = 32

16 = 42

Exercici: Taula, expressió i gràficade "litres de gasolina consumits"i "km recorreguts" d'un cotxeque gasta 7l cada 100km

-Exemple 3: Un cotxe va a 15m/s i frena uniformement, fins a aturar-se,

disminuint 3m/s cada segon. Magnituds: temps i velocitat

temps (s) velocitat (m/s)

0 15

1 12

2 9

3 6

4 3

5 0


Si v és "velocitat" i t és "temps":

v = 15 - 3 · t


Variabledependent

Variableindependent

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

16

t: temps

v: v

elo

cita

t

-Exemple 4: Un venedor de cotxes té un sou fix de 900 euros i cobra a

més 50 euros per cada cotxe venut. Magnituds: sou i cotxes venuts.

cotxes venuts (n) Sou (euros)

0 900

5 1150

10 1400

15 1650

20 1900

25 2150


Si S és "sou" i n és "cotxes venuts":

S = 900 + 50 · n


Variabledependent

Variableindependent

0 5 10 15 20 250

500

1000

1500

2000

2500

n: cotxes venuts

S: sa

lari

Exercici: Taula, expressió i gràficade "preu que pago" i "nombre deretoladors que compro" en unabotiga on els retoladors valen 2 euros.


Aquestes funcions ens expressaven problemes reals.

-En una funció abstracta:

la variable dependent serà y

la variable independent serà x

P = 1,25 · n A = c2 v = 15 - 3 · t S = 900 + 50 · n

EXEMPLE:

y = 3x + 1

Variabledependent

Variableindependent

-Per representar-la gràficament haurem de fer una taula de valors


y = 3x + 1

x y=3x+1

-2 y=3·(-2)+1=-5

-1 y=3·(-1)+1=-2

0 y=3·0+1=1

1 y=3·1+1=4

2 y=3·2+1=7

Variabledependent

Variableindependent

Exercici: dibuixar funcions en eixos

Representen parells de magnituds directament proporcionals.

5. Funcions lineals: y=kx

y = k · x

kg que compro preu que pago

1 1,25 euros

2 2,50 euros

3 3,75 euros

4 5 euros

Exemple de les taronges:

1,25 : 1 = 1,25

2,50 : 2 = 1,25

3,75 : 3 = 1,25

5,00 : 4 = 1,25

1,25 és la constant de proporcionalitat "k". P = 1,25 · n

V. dependent

V.independent

nombre

-La v.ind. té per coeficient la constant de proporcionalitat (k).

-Sempre passa per l'origen de coordenades (0,0).

-Com més gran és k, més gran és el pendent de la funció.

-Si k és positiva, la funció lineal és creixent.

-Si k és negativa, la funció lineal és decreixent.

6. Funcions afins: y=kx+a

y = k · x + a

V. dependent

V.independent

nombre

-La v.ind. té per coeficient la constant de proporcionalitat (k).

-Com més gran és k, més gran és el pendent de la funció.

-Si k és positiva, la funció és creixent.

-Si k és negativa, la funció és decreixent.

-El nombre "a" indica el valor per al qual la funció tallarà l'eix

d'ordenades (y)

nombre

7. Funcions quadràtiques: y = ax2 + bx + c

y = a · x2 + b · x + c

V. dependent

V.independent

-Les funcions quadràtiques dibuixen una corba anomenada paràbola.

-Com més gran és la "a", més apuntada és la paràbola.

-Si la "a" és positiva, la paràbola mira cap amunt, si la "a" és negativa

mira cap avall.

-Si apareix "bx", la paràbola es desplaça lateralment.

-La "c" indica el valor per al qual la paràbola tallarà l'eix d'ordenades (y)

Representen parells de magnituds inversament proporcionals.

8. Funcions de proporcionalitat inversa: y=k/x

-Exemple 5: En un dòmino de 28 fitxes, quantes fitxes toquen per jugador?

jugadors(x)

fitxesc/jug. (y)

1 28

2 14

4 7

7 4

14 2

28 1


Si x és "jugadors" i y és "fitxes/jug":

y = 28 / x

Variabledependent

Variableindependent

Nombre de jugadors (x) i nombre de fitxes per jugador són mgn.inv.prop.

1 · 28 = 28

2 · 14 = 28

4 · 7 = 28

7 · 4 = 28

14 · 2 = 28

28 · 1 = 28

28 és la constant de proporcionalitat "k"

x · y = 28 ; y = 28/x


La funció forma un corba anomenada "hipèrbola"Representar 16/x i -16/x

Característiques:

y = k / x

V. dependent

V.independent

nombre

-Les funcions de proporcionalitat inversa dibuixen una corba

anomenada hipèrbola.

-La v.ind. (x) està al denominador.

-Si k és positiva, la funció és decreixent.

-Si k és negativa, la funció és creixent.

EN RESUM:

-Funcions lineals:

-Funcions afins:

-Funcions quadràtiques:

-Funcions de

proporcionalitat inversa:

y = k · x

y = k · x + a

y = k · x2 + bx + a

y = k / x

Recta

Recta

Paràbola

Hipèrbola

Unitat 8: Sistemes d'Equacions

1. Introducció

2. Mètode de resolució gràfica

3. Mètode de substitució

4. Mètode d'igualació

5. Mètode de reducció

6. Problemes a resoldre amb sistemes

1. Introducció

Tindrem un sistema d'equacions quan dues equacions s'hagin

de complir al mateix temps.

4x+4=2y

3y=15−3xS'han de complir al mateix temps.

La solució del sistema serà un parell de valors (x i y) que

verificaran simultàniament les dues equacions.

Si x=1 i y=4, s'ha de verificar:

4 ·1+4=2 ·4

3 · 4=15−3 ·1

4+4=8

12=15−3Ok.

2. Mètode de resolució gràfica

Consisteix a assimilar cada equació a una recta

representada a un pla de coordenades. Les solucions x i y

seran les coordenades del punt a on es creuin.

−x+ y=−1

2x+3y=12

x+ y=7

x−y=3

3x−y=0

2x+3y=11

4x+ y=−8

y−x=7

3x+5y=8

5x−2y=3

x+ y=6

x−y=0

2x+ y=7

2x+ y=−2

3x−y=4

6x−2y=8

-Tipus de sistemes:

Compatibles

Incompatibles

Determinats

Indeterminats

Paral·leles

Secants

Coincidents

x−y=3

x+2y=9

x+ y=5

x−y=3

2x+ y=13

x−y=2

x+ y=7

y−x=5

x+ y=6

2x−2y=12

3x−5y=9

3x−y=−3

x−3y=2

3x−2y=6

2x−6y=4

9x−6y=18

x+2y=3

2x+4y=6

3. Mètode de substitució

Consisteix a aïllar una de les incògnites en una de les

equacions, i substituir en l'altra equació la incògnita aïllada per la

seva expressió equivalent.

EXEMPLE:

3x+2y=−11

x−3y=−33

1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en una de les equacions.

x−3y=−33 ; x=−33+3y

La "x" de la segona és la més fàcil:

3x+2y=−11

x−3y=−33

1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en una de les equacions.

x−3y=−33 ; x=−33+3y

La "x" de la segona és la més fàcil:

2n pas: Substituir la incògnita aïllada en l'altra equació.

3(−33+3y)+2y=−11

3r pas: Resoldre l'equació de primer grau que m'ha quedat.

3(−33+3y)+2y=−11 ; −99+9y+2y=−11 ;

11y=−11+99 ; y=88

11=8

3 ·(−9)+2 ·8=−11

−9−3 ·8=−33

4t pas: Resoldre l'altra incògnita.

x=−33+3y ;

5è pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.

Utilitzant l'expressió obtinguda al primer pas:

Ara ja sabem que y=8

x=−33+3 ·8 ;

x=−33+3 ·8=−33+24=−9

SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = -9 i y = 8

−27+16=−11

−9−24=−33

−11=−11

−33=−33Ok.

A tope amb els del llibre

3x+4y=4

x−3y=10

5x−y=7

x−5y=11

5x−12y=26

3x+4y=38

2x+ y=13

x−y=2

x+2y=4

2x−4y=0

x+ y=8

x−y=8

x+2y=3

2x+4y=6

2x+ y=13

x−y=2

x+ y=5

x−y=3

2x+3y=4

4x+6y=8

3x−4y=8

6x−8y=15

4. Mètode d'igualació

Consisteix a aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions, i

igualar l'expressió obtinguda.

EXEMPLE:

5x− y=2

−2x− y=2

1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en les dues equacions.

La "y" és la més fàcil:

5x− y=2

−2x− y=2

5x−2= y−2x−2= y

5x−2=−2x−2

2n pas: Igualar les dues expressions obtingudes.

3r pas: Resoldre l'equació de primer grau que m'ha quedat.

1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en les dues equacions.

La "y" és la més fàcil:

5x− y=2

−2x− y=2

5x−2= y−2x−2= y

5x−2=−2x−2 ;5x+2x=−2+2

7x=0 ; x=0

7=0

5 ·0−(−2)=2

−2 ·0−(−2)=2

4t pas: Resoldre l'altra incògnita.

5x−2= y ;

5è pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.

Utilitzant una de les expressions obtingudes al primer pas:

Ara ja sabem que x=0

5 ·0−2= y ;

y=−2

SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = 0 i y = -2

0+2=2

0+2=2

2=2

2=2Ok.

3x+4y=4

x−3y=10

5x−3y=0

2x+ y=11

x+3y=6

5x−y=−2

4x+5y=−12

−2x+ y=6

x+ y=5

x−y=3

2x+ y=13

x−y=2

2x+5y=10

4x+10y=20

2x−y=−1

3x+ y=11

−x+ y=3

2x−2y=−6

2x+ y=8

2x+ y=12

2x+ y=8

2x−y=12

x−y=5

2x−2y=10

5. Mètode de reducció

Consisteix a multiplicar cada equació pel nombre adequat

perquè, en sumar o restar les dues equacions resultants, s'obtingui

una equació amb una sola incògnita.

EXEMPLE: 3x+2y=−11

x−3y=−33

1r pas: Transformar les dues equacions multiplicant-les per un

nombre que faci eliminar una de les dues incògnites.

3x+2y=−11

x−3y=−33

·1

·(-3)

3x+2y=−11

−3x+9y=+99

2n pas: Sumar les dues equacions, i resoldre la que queda.

1r pas: Transformar les dues equacions multiplicant-les per un

nombre que faci eliminar una de les dues incògnites.

3x+2y=−11

x−3y=−33

·1

·(-3)

3x+2y=−11

−3x+9y=+99

3x+2y=−11

−3x+9y=+99

11y=88 ; y=88

11; y=8

3 ·(−9)+2 ·8=−11

−9−3 ·8=−33

3r pas: Resoldre l'altra incògnita utilitzant una de les equacions

inicials.

4t pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.

Ara ja sabem que y=8

SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = -9 i y = 8

−27+16=−11

−9−24=−33

−11=−11

−33=−33

Ok.

x−3y=−33

x−3 ·8=−33 ; x−24=−33 ;

x=−33+24=−9

3x+4y=4

x−3y=10

x−y=5

x+ y=3

3x+4y=24

−x+ y=−1

x−3y=1

5x+3y=−13

x+ y=0

2x−3y=25

3x+4y=1

4x−2y=5

6x+7y=13

2x+3y=5

x+ y=5

x−y=3

2x+3y=4

4x−y=1

2x+ y=13

x−y=2

x−5y=6

4x+3y=1

x+2y=25

2x+3y=40

2. Simplificació: arreglem els sistemes

Si ens trobem parèntesis i denominadors, abans de fer res els

haurem de liquidar.

Objectiu: deixar el sistema en la forma:

ax+by=cdx+ey= f

Exercici 1 del full

-Els parèntesi els treiem aplicant la propietat distributiva.

-Els denominadors els treiem multiplicant cada terme pel mcm de

tots ells.

*Tinguem en compte que cada una de les dues equacions és independent

Unitat 7: Els cossos geomètrics

1. Classificació: poliedres i cossos de revolució

2. Superfícies i desenvolupaments

2.1 Prismes

2.2 Piràmides

2.3 Poliedres regulars

2.4 Cilindres

2.5 Cons

2.6 Esfera

3. Volums

3.1 Unitats de volum

3.2 Prismes i cilindres

3.3 Piràmides i cons

3.4 Esfera


-Prismes

-Piràmides

-Poliedres regulars o platònics

-Poliedre: cos geomètric limitat per polígons.

Elements: cares, arestes i vèrtexs.

-Cilindres

-Cons

-Esferes

-Cos de revolució: cos geomètric que es genera fent girar

una superfície plana al voltant d'un eix.


Un prisma és un poliedre limitat per dos polígons iguals i paral·lels

(les bases) i uns quants parel·lelograms (les cares laterals)

2.1 Els prismes

Prisma de base

hexagonal

Arestes

Cares laterals Vèrtexs

Altura: distància

entre les bases

2 Bases

-Casos especials: Ortoedres i Hexaedres o cubs.


Desenvolupament (desplegar-lo):

2.1 Els prismes

2 bases + 1 rectangle

Àrea base=P ·ap

2

Àrea lateral=P · h

Àrea d ' un prisma=Àrea lateral2 · Àrea de la base

7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.10 i 7.11


Una piràmide és un poliedre limitat per una sola base i unes cares

laterals en forma de triangle amb un vèrtex en comú.

2.2 Les piràmides

Piràmide de base

pentagonal

Cares laterals

1 baseApotema de la base

Apotema de la

piràmide

Vèrtex

de la piràmide

Altura de la

piràmide


Desenvolupament:

2.2 Les piràmides

1 base + 5 triangles

Àrea base=P · apb

2

Àrea lateral=n·c ·app

2

Àrea d ' una piràmide=Àrea lateralÀrea de la base

7.12, 7.13, 7.39, 7.44, 7.47


Un poliedre regular té totes les cares idèntiques.

2.3 Els poliedres regulars o platònics

Tetraedre: quatre triangles equilàters

Hexaedre o cub: sis quadrats

Octaedre: vuit triangles equilàters

Dodecaedre: dotze pentàgons regulars

Icosaedre: vint triangles equilàters

Àrea total=n · Àrea de la caraExercici 7.41


Un cilindre és un cos de revolució generat a partir d'un rectangle,

amb dues bases que són cercles.

2.4 Els cilindres

Cilindre recte

Altura (distància

entre les dues bases)

Cara lateral

2 Bases

Eix de rotació

(Altura)

RectangleRadi


Desenvolupament:

2.4 Els cilindres

2 cercles + 1 rectangle

Àrea base=r2 ·

Àrea lateral=2 · · r · h

Àrea d ' un cilindre=Àrea lateral2 · Àrea de la base

7.17, 7.18, 7.19


Un con és un cos de revolució generat a partir d'un triangle

rectangle, amb una base en forma de cercle.

2.5 Els cons

Con recte

Altura (eix de rotació)Cara lateral

1 base

TriangleRadi

Generatriu


Desenvolupament:

2.5 Els cons

1 cercles + 1 sector

Àrea base=r2 ·

Àrea lateral= · r · g

Àrea d ' un con=Àrea lateralÀrea de la base

7.22, 7.23, 7.24


Una esfera és un cos de revolució generat a partir d'un semicercle.

2.6 Les esferes

Radi

Àrea d ' una esfera=4 · · r2

Exercici d'exemple

3. Volums

-La longitud és la mesura de la distància entre dos punts.

3.1 Les unitats de volum

-El volum és la mesura de l'espai que ocupa un cos.

-La superfície o àrea és la mesura de l'extensió que ocupa un pla.

1m1m2

1m3

1m

1m · 1m = 1m2

1m · 1m · 1m = 1m3

Quina superfície de terra té

l'habitació? I quin volum ocupa?

Ample= 3m

Llarg = 4m

Alt =3m

Àrea = 3m · 4m = 12m2

Volum = 3m · 4m · 3m = 36m3

3. Volums

km hm dam m dm cm mm

3.1 Les unitats de volum

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2


·10 :10

·100 :100 (10x10 = 100)

·1000 :1000 (10x10x10 = 1000)

kl hl dal l dl cl ml

L:

S:

V:

·10 :10

Capacitat:


·1000 :1000 (100x100 = 1000)

kl hl dal l dl cl ml

V:

·10 :10

Capacitat:

t xx xx kg hg dag g

·10 :10

Pes (aigua):

Quadre d'exemples quotidians (4x5)Exercicis pàg. 159

8.3

3. Volums

-L'ortoedre de dimensions a, b, c:

3.2 Prismes i cilindres

Volum=a ·b· cExemple, 8.8

-Per extensió, el cub d'aresta a:

Volum=a3

Exemple, 8.9

-Per extensió, en prismes i cilindres:

Volum=Àrea de la base · h

8.13, 8.33-34-35-36-37

3. Volums

Per experimentació, sabem que una piràmide o un con ocupa una

tercera part del volum que ocupa el prisme o el cilindre que té la

mateixa base i la mateixa altura.

3.3 Piràmides i cons

Per tant, en piràmides i cons:

Volum=1

3· Àrea de la base · h

8.14-15-16

3. Volums

Per experimentació, sabem que una esfera ocupa dues terceres

parts del volum que ocupa el cilindre en la qual la podem inscriure.

3.4 L'esfera

Exemple, 8.198.33-58

Si R és el radi de l'esfera, el cilindre té

per radi de la base R, i per altura 2R.

Vc= · R2 ·2R=2 · · R3

Ve=2

3·Vc=

2

3·2 · · R3

Volumesfera=4

3· · R3

Institut Les Termes. Departament de Matemàtiques Nota:

3r ESO: Cossos geomètrics i proporcionalitat. Grups "1"

Nom i cognoms: Data: pàg. 1/6

SORTIDA A BARCELONA 3r D'ESO, 23 de novembre de 2015

Matèria: Matemàtiques

Tema: ELS COSSOS GEOMÈTRICS I LA PROPORCIONALITAT

Objectius didàctics de la sortida:

-Geometria: Identificar i reconèixer figures en el pla i cossos en l'espai-Geometria: Càlcul d'àrees i volums-Geometria/Informàtica: Ús del "Paint" i de l'"SketchUp"-Proporcionalitat: Semblança de triangles i escales.

Metodologia:

-Material necessari: Carpeta, llapis i goma per dibuixar, papers en blanc, bolígraf per escriure. Utilitzareu el mòbil per fer fotografies i per a la calculadora.

-El treball es podrà lliurar imprès en paper o escanejat i en format pdf via email.-Es treballarà sobre el dossier que tens a les mans, afegint-hi una portada i els annexos necessaris de

dibuixos i fotografies.-Cadascú lliurarà el treball individualment, si bé la feina durant la sortida es realitzarà en equips de

quatre persones com a màxim, i del mateix grup partit.

Avaluació:

-Aquest treball serà avaluat com una activitat del 1r trimestre.-La puntuació és sobre 20 punts. Cada pregunta té indicat el seu valor en punts i el tema al qual

pertany (P proporcionalitat, G geometria). Les activitats que tenen el número ombrejat es faran posteriorment a la sortida.




A. Baixada en tren

1. Membres del grup:

2. Cal que us fixeu bé per on passeu. Marca l'itinerari fet al mapa:

3. (P, 1p) En línia recta, de la Plaça de Catalunya al Parlament hi ha 2 km. Mesura quants centímetres els separen en el mapa i completa la regla de 3 per esbrinar l'escala.

Paper Realitat

cm > cm

1 > x E: 1/

4. (P, 0,5p) Ara que ja saps l'escala, calcula quina distància hi ha de la Plaça de Sant Jaume a Urquinaona.




5. (G, 1p) Recorda les fórmules del volum dels cossos a l'espai que coneixes:

Poliedres Cossos de revolució

B. Itinerari per Ciutat Vella

6. (G, 1p) Casa Jorba (1926) (Corte Inglés Portal de l'Àngel). Observa bé aquesta façana. Diries que és més aviat plana o que té molt de relleu? Fés-li una foto i anota després les figures i cossos geomètrics que hi puguis identificar.

[Adjunta-ho com a annex]

6b. Escapada fins a la Casa Martí-Els Quatre gats (1896)

7. (G, 1p) Palau Pignatelli (1968) Entra al pati interior i, prenent la mesura del radi, calcula la longitud de l'arc de pedra.

Radi = Fórmula longitud circumferència:

Longitud arc =

8. (G, 0,5p) Façana posterior Casa de l'Ardiaca. Quins cossos geomètrics pots identificar formant les torres que volen representar l'antiga muralla romana?


9. (G, 0,5p) Plaça de Sant Jaume. Observa al teu voltant, identifica i fotografia algun cos de revolució format per un semicercle. Com anomenem aquest tipus de cos?





10. (G, 1p) Seu del Centre Excursionista de Catalunya-Columnes Temple romà. Entra al pati interior i, prenent la mesura del radi, calcula l'àrea de pas de l'arc d'accés a les estances inferiors.

Radi = Fórmula àrea circumferència:

Àrea de pas =

11. (G, 1p) Capçalera de la Catedral-Plaça del rei. Observa al teu voltant, identifica, fotografia i anota diferents cossos geomètrics. Aconsegueix-ne com a mínim un de cada família.

12. (G, 2p) Santa Maria del Mar - Façana. Asseu-te a la plaça i fés un dibuix de la façana principal o lateral. Has d'intentar simplificar els volums i formes que veus.

13. (G, 2p) Santa Maria del Mar - Interior.a) Observa bé l'espai: la profunditat de les capelles dels murs és la meitat que l'amplada de les naus

laterals, que al seu torn és la meitat de la de la nau central. L'altura d'aquestes capelles coincideix amb

l'ample de la nau central. L'altura màxima interior de l'edifici coincideix amb la seva amplada total: això fa

que la seva secció interior es pugui inscriure en un quadrat de 10x10 mòduls.

b) Observa bé la superfície del terra: cada tram de volta de la nau central és exactament un quadrat

de 4x4 mòduls en planta, i per tant els trams laterals són de 4x2.

Amb aquesta informació, completa esquemàticament la planta i la secció de l'edifici:




14. (G, 2p) Antic Mercat del Born. Càlcul del volum de l'espai central.

a) Quins dos cossos el conformen? Dibuixa'ls esquemàticament.

b) Pren les mesures:

-Costat de la base (c):

-Apotema de la base. Com que no la podem medir perquè hi ha un forat, utilitza aquesta fórmula:

ap=√c

0,765−

c2

4=

-Altura 1 (2c):

-Altura 2 (0,5c):

c) Càlculs:

-Fórmula de l'àrea del polígon regular:

-Aplicació de la fórmula:

-Càlcul del volum 1:

-Càlcul del volum 2:

-Suma total:




C. Parc de la Ciutadella

15. (P, 1,5p) Calcula l'alçada del Monument a Rius i Taulet servint-te de la proporcionalitat directa entre la teva ombra i la de l'escultura.

a) Dibuix-Esquema:

b) Càlculs:

c) Resposta:

16. (G, 3p) Càlcul del volum del Castell dels Tres Dragons


a) Dibuixa, esquemàticament, l'edifici com a suma de diferens volums simples, i després acota'l segons les mides preses.

b) Càlcul de l'altura mitjançant la proporcionalitat directa entre la teva ombra i la de l'edifici.

c) Càlculs per al volum total.

17. (GI, 2p) Genera a l'Sketchup Maker una maqueta virtual de l'edifici. Imprimeix diverses vistes.


3r ESO. Activitat per a l'expressió escrita

Nom i cognoms: Data:

VISIONAT DE LA PEL·LÍCULA: "21", Robert Luketic, EUA, 2008

Activitat: Es dedicaran dues sessions i mitja de classe a veure la pel·lícula, per després fer un petit treball individual de redacció escrita. Aquest treball consisteix en desenvolupar les cinc qüestions plantejades més avall. Caldrà fer-lo a l'ordinador amb el programa Word o similar i lliurar-lo imprès en la data que s'indicarà.

Objectius: -Treballar la redacció escrita-Conceptes matemàtics: Nombre d'Or, Probablilitat, Percentatges-Treballar l'ús dels processadors de textos informàtics: tipologia lletra, justificacions, taules, fórmules matemàtiques, etc.

Eines: Al Moodle hi ha penjats arxius d'ajuda per a fer un bon redactat.

Avaluació: El treball s'avaluarà com un examen més de l'assignatura. Els ítems a avaluar de la redacció escrita són els següents:

Estructura del text: inici, desenvolupament i conclusions (si s'escau) 1 punt

Coherència: claredat i ordre en les idees 2 punts

Concordança i cohesió en les frases 2 punts

Lèxic: variat i adequat 1punt

Ortografia 2 punts

Presentació 2 punts

QÜESTIONS

1. Debat: a l'inici de la pel·lícula veiem com el protagonista té problemes perquè no té diners per pagar-se la universitat. Creus que els estudis universitaris haurien de ser gratuïts? I els estudis secundaris? Què opines? [mínim 3-4 línies]




2. En el pastís d'aniversari d'en Ben hi ha escrita amb nata la Successió de Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

a) Quants anys celebra?b) Quina lògica segueix aquesta successió de nombres?c) Completa-la fins al 377:

0 1 1 2 3 5 8 13 377

- -E- 1 2 1,5 1,66 1,6 1,62

d) Completa la segona fila de la taula dividint cada número per l'anterior. Què observes?

e) Activitat grup: Amb l'ajuda de cinc voluntaris i una cinta mètrica, mesureu el següent:

1. La distància "a" que hi ha, en cm, entre el terra i el melic2. La distància "b" que hi ha entre el melic i el cap

Anota les mides en el següent quadre:

Distància a Distància b a/b

Persona 1

Persona 2

Persona 3

Persona 4

Persona 5

x =

f) A quin valor s'aproximen els resultats obtinguts? Quina lletra de l'abecedari grec utilitzem per anomenar aquest nombre? Quin tipus de nombre és?

g) Agafa algun carnet de biblioteca, DNI, targeta sanitària o targeta bancària. Mesura els dos costats i divideix el llarg entre el curt. Quin nombre torna a sortir?

Costat llarg: Costat curt:costat llarg

costat curt=




3. A la classe d'equacions no lineals, el professor Mickey Rosa planteja al protagonista "el problema de Monty Hall", basat en un antic programa de televisió. Darrere tres portes hi ha un sol premi, un cotxe; després d'una primera elecció, el presentador, que sap on s'amaga el cotxe, obre una de les dues portes restants sense premi, i pregunta al concursant si vol canviar l'elecció.

a) Tu què faries? Raona la teva resposta [mínim 3-4 línies]

b) La probabilitat es calcula amb la Regla de Laplace:

P=nombre decasos favorables

nombre decasos possibles

Exemple: Càlcul de la probabilitat d'encertar el premi a la primera

P=1 porta amb premi

3 portes aobrir=

1

3=0,33 · 100 = 33%

Llencem una moneda a l'aire, calcula:

-La probabilitat de treure cara: P (C) =

-La probabilitat de treure creu: P (+) =

Tirem un dau de sis cares, calcula:

-La probabilitat que surti un 6: P (6) =

-La probabilitat que surti nombre parell: P (2, 4, 6) =

En una baralla espanyola, calcula:

-La probabilitat de treure bastos: P (bastos) =

-La probabilitat de treure rei: P (rei) =

Jugant a la ruleta russa, calcula:

-La probabilitat de morir el 1r jugador: P (1r) =

-La probabilitat de morir el 2n jugador: P (2n) =

-La probabilitat de morir el 3r jugador: P (3r) =

-La probabilitat de morir el 4t jugador: P (4t) =

-La probabilitat de morir el 5è jugador: P (5è) =

-La probabilitat de morir el 6è jugador: P (6è) =

Si et toqués jugar-hi, què faries? Començar el primer o ser l'últim? [mínim 3-4 línies]




4. Completa la taula dels càlculs que el protagonista fa mentalment quan treballa de dependent a la botiga:

Article Preu inicial Descompte Preu final

Cinturó 49,95 $ 15,00%

Jaqueta 589,95 $ 10,00%

Pantalons 365,00 $ 10,00%

Sabates 140,77 $ 0,00%

TOTAL:

Si el dòlar està a 0,89 euros, quin seria el cost total a Europa?

5. Escriu una ressenya crítica de la pel·lícula. La redacció ha de contenir com a mínim les dades (any, lloc, director, actors, etc.), un resum de l'argument i l'opinió personal, si creus que és bona o no, si t'ha agradat, etc.

[mínim 6-8 línies]

Taller cossos geomètrics

4t d'ESOCurs 2016-17

Temari matemàtiques 4t d'ESO

1. Semblança

2. Trigonometria

3. Geometria analítica. Vectors

4. Àlgebra

4.1 Polinomis (Ruffini, Factorització)

4.2 Equacions i sistemes

5. Funcions

6. Estadística

7. Probabilitat

8. Radicals

1T

2T

3T

ANÀLISI

ÀLGEBRA

GEOMETRIA

ARITMÈTICA

ESTADÍSTICA I COMBINATÒRIA

Avaluació: 55% exàmens, 30% activitats (deures) 10% actitud, 5% llibretes/Dossiers

Unitat 1: Semblança

1. Semblança


3. Semblança de triangles

4. Aplicacions de la semblança de triangles

5. Semblança en àrees i volums

1. Semblança

Dues figures són semblants quan tenen la mateixa forma i les

dimensions són proporcionals.

a

a '

a=b '

b=c '

c=d '

d=k

Exemple pàg.108 Oralment 1, 2 i 3Moodle: 25, 26, 27, 28, 29, 32, 34Mètode de Projecció: Exemple 109, 6, 35, 36

b

c

d

a'

b'

c'

d'

Els segments corresponents són proporcionals, és a dir, la raó

de semblança entre cada parella de valors és constant.




2.1 Formulació

Tales de Milet (actual Turquia), 625-546 aC,

filòsof, matemàtic, físic i astrònom, “aigua com

a origen de totes les coses”, terra rodona, lluna

reflecteix llum del sol, prediu eclipsi solar

585aC, viatg. Egipte, llegenda altura piràmides.



2.1 Formulació

b

a

c

b'a'

c'

a '

a=b '

b=c '

c=k

p110 E3, 8 i 9(divisió rectes)40, 41, 45

3. Semblança de triangles

-Criteri 1: Dos triangles són semblants si tenen com a mínim

dos angles iguals. (el tercer tb ho serà)

3.1 Criteris

-Criteri 2: Dos triangles són semblants si els seus tres costats

són proporcionals. (si un falla ja no)

-Criteri 3: Dos triangles són semblants si tenen un angle igual

i els costats contigus són proporcionals.

3.2 Criteris entre dos triangles rectangles

-Criteri 1: Són semblants si un dels angles aguts és igual. (l'altre

tb ho serà)

-Criteri 2: Són semblants si els catets són proporcionals.

10, 47, 49, 51

13, 52, 53

4. Aplicacions de la semblança de triangles

Comparteixen tots els angles, per tant són triangles semblants.

4.1 La posició de Tales

Quan dos triangles tenen dos dels costats sobre la mateixa

recta, i el tercer és paral·lel al corresponent, diem que estan en

posició de Tales, podem afirmar que són semblants i , per tant,

que els seus costats són proporcionals.

b

a

c

b'

a'

c'

b

a

c

b'

a'

c'

E6, E7, 19, 20, 21, 59, 60, 61, 62, 63 i 64

4.2 Càlcul de distàncies

5. Semblança en àrees i volums

-Si dues figures planes són semblants, amb raó de semblança r,

les àrees són proporcionals i la raó de semblança és r2.

Exemple quadrat

-Si dos cossos geomètrics són semblants, amb raó de semblança r,

els volums són proporcionals i la raó de semblança és r3.

Exemple cub

E8, 22, 23, 24, 66, 67, 68, 69, 70

Unitat 2: Trigonometria

1. Introducció

1.1 Triangles

1.2 El Teorema de Pitàgores

2. Raons trigonomètriques d'un angle agut

3. Relacions trigonomètriques fonamentals

4. Raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º.

5. Ús de la calculadora

6. Resolució de triangles rectangles

7. Càlcul de longituds i àrees

8. Càlcul de distàncies

1. Introducció

1.1 Els triangles

Quadre classificació

-Un triangle és el polígon de tres costats i tres angles.

*Un polígon és una figura plana formada per una línia poligonal

tancada.

-Classificació segons els costats: Equilàter, Isòsceles i Escalè.

-Classificació segons els angles: Acutangle, Rectangle i Obtusangle.

-Importància en la vida real per la seva indeformabilitat.

Exemples

En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets

és igual al quadrat de la hipotenusa.

Formulació:

Pitàgores de Samos (illa grega), 582-496 aC,

filòsof i matemàtic, relació matemàtiques i la

música, terra rodona, secta dels pitagòrics,

doctrina estricta, “tot és nombre”, prohibit

menjar faves, llegenda mort pel camp de faves.

c

b

aa2=b2c2

1.2 El Teorema de Pitàgores

catet

hipotenusacatet

Demostració geomètrica:

4 blaus + a2 = 4 blaus + b2 + c2

a2 = b2 + c2

Fitxa Pitàgores

2. Raons trigonomètriques d'un angle agut

El sinus:

p124: E1, 1 i 2, 19, 20, 21, 23, Fitxa raons

catetoposat

hipotenusa

α

catet contigu

catetcontigu

β

catet oposat

hipotenusa

c

b

a

sin α=catet oposathipotenusa

=ca

α El cosinus: cosα=catet contiguhipotenusa

=ba

La tangent: tg α=catet oposatcatet contigu

=cb

3. Relacions trigonomètriques fonamentals

sin2α+cos

2α=1 tg α=sin αcosα

c

b

a

α

( ca )2

+( ba )2

=1

c2

a2+b2

a2=1

c2+b2

a2=1

c2+b2=a2

cb=

caba

cb=ca

:ba

cb=c ·aa ·b

cb=cb p

12

5: E

1, 4

, 27

, 28,

29,

fitx

a R

ela

cio

ns

4. Raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º

1

1

h

45º

h2=12+1

2 ; h2=1+1 ; h2=2 ; h=√ 2

sin 45=1

√ 2=

1 · √ 2

√ 2 · √ 2=√ 2

2cos 45=√ 2

2

tg 45=1

1=1

a) Angle de 45º

11

1

60º1/2

b) Angles de 30 i 60º

a

12=a2+( 1

2 )2

;1=a2+1

4;

a2=1−1

4=

3

4; a=√ 3

4=√ 3

√ 4= √ 3

2

30º

11

1

60º1/2

b) Angles de 30 i 60º

a

12=a2+( 1

2 )2

;1=a2+1

4;

a2=1−1

4=

3

4; a=√ 3

4=√ 3

√ 4= √ 3

2

30º

sin 30=1 /21

=1

2cos 30=√ 3/2

1= √ 3

2

tg 30=1

2:√ 3

2=

2

2 · √ 3=

1

√ 3=

1 ·√ 3

√ 3 · √ 3=√ 3

3

sin 60=√ 3/21

=√ 3

2

cos 60=1/21

=1

2tg 60= √ 3

2:1

2=

2 · √ 3

2=√ 3

Fer quadre resum i empollar-lo com a animals

5. Ús de la calculadora

a) Sistema de mesura d'angles

MODE

Deg (1):

Rad (2):

Gra (3):

Degrees = Graus sexagesimals, minuts i segons

Radians: π = 180°, π/2 = 90°

Graus centesimals (90°/100)

Tots posem mode degb) Raons trigonomètriques

-Calcular el Cosinus de l'angle 53°23'47'':

COS 53 23 47 = 0,596275472

c) Trobar angle a partir de la raó

-Calcular l'angle que té per tangent 1,34:

SHIFT TAN 1,34 ° ' ''= 53,26717334tan-1

= 53° 16' 1,82''

fitxa calculadora

° ' '' ° ' '' ° ' ''

6. Resolució de triangles rectangles

a) Problema tipus 1: Tenim dos catets

E3 p127

b) Problema tipus 2: Tenim un catet i la hipotenusa

(Resoldre un triangle significa dir quant valen tots els seus angles i costats)

-Calcular hipotenusa:

-Calcular un dels angles aguts:

-Calcular l'altre angle agut:

fitxa resolució

Per Pitàgores (+)

Amb la tg, i fer inversa

Restar a 90

E4 p127

-Calcular altre catet:

-Calcular un dels angles aguts:


Per Pitàgores (-)

Amb el sin/cos, i fer inversa

Restar a 90

c) Problema tipus 3: Tenim un costat i un angle

E5 p127

-Calcular 2n costat:

-Calcular 3r costat:


Per definició sin/cos/tan

Per definició sin/cos/tan

Restar a 90

7. Càlcul de longituds i àrees

p128, E7, E6 and go on

Àrea pol. reg.=Perímetre · Apotema

2Àrea triangle=

Base · Altura2

Base

hap

Només sabent un angle i un costat d'un triangle rectangle, la trigonometriaens permetrà mesurar altures i apotemes desconeguts.

ap

c

costa

t

c

c/2

αh

h=c ·sin α

sin α=hc α

ap=c /2tgα

tg α=c /2ap

8. Càlcul de distàncies a punts inaccessibles

47, 48, E9 p129

La clau per resoldre aquests tipus de problemes és:

-Identificar el triangle rectangle

-Tenir un dels costats (cinta mètrica, làser, roda mètrica, etc.)

-Tenir un dels angles (teodolit, clinòmetre)

Amb sin/cos/tg i Pitàgores puc aconseguir tot el què necessito

-Problemes més complexes: 2 triangles rectangles, un SISTEMA D'EQUACIONS

E10, 16, 62, fitxa problemes

Unitat 3: Geometria Analítica1. Vectors

2. Operacions amb vectors

2.1 Suma i resta gràficament

2.2 Suma i resta per coordenades

2.3 Multiplicació per un nombre

3. Equacions de la recta:

Vectorial, Paramètrica, Contínua, Punt-pendent, Explícita, General

Exemples d'equacions de diverses formes geomètriques

4. Propietats analítiques i mètriques

4.1 Distància entre dos punts

4.2 Càlcul del punt mitjà

1. Vectors

Prèvia repàs coordenades

-Un vector és un segment orientat, amb un origen "A" i un

extrem "B", que anomenem AB.

A (a1,a

2)

Exemples gràfics

-Mòdul: Longitud del segment.

-Direcció: Recta sobre la qual està situat (inclinació)

-Sentit: Manera d'anar d'origen a extrem (2)

-Coordenades: Indiquen quant avança en x, quant avança en y.

A⃗B=(b1−a1,b2−a2)

B (b1,b

2)

p140 E1, 1, 2, 3, 4, 34, 35

Per Teorema de Pitàgores:

-Càlcul del mòdul

v⃗=(v1,v2)

p141 E2 amb dibuix, 6, 45, 46

v1

v2 ∣⃗v∣=√ (v1)

2+(v2)2

2. Operacions amb vectors

2.1 Suma i resta gràficament

Fitxa

v⃗

u⃗

v⃗+u⃗

v⃗

u⃗

v⃗−u⃗

−u⃗

2.2 Suma i resta per coordenades

142 E4, 8, 9, retorn fitxa, 54, 55, 56, 57

v⃗=(v1,v2)Si

u⃗=(u1,u2)

v⃗+u⃗=(v1+u1,v2+u2)

v⃗−u⃗=(v1−u1,v2−u2)

2.3 Multiplicació per un nombre

k · v⃗=(k · v1, k · v2)

143 E5, 11, 12, 62, 63

3. Equacions de la recta

3 exemples a dibuixar

Per definir una recta necessitem: -un vector director (direcció)

-un punt de pas.

(x , y)=(a ,b)+t ·(v1,v2)

x=a+t · v1

Equació vectorial de la recta

y=b+t · v2

A(a,b)v⃗ P(x,y)

Equacions paramètriques de la recta

Els 3 exemples, p144 E6, 14, 15, 16

x=a+t · v1

y=b+t · v2

Equació contínua de la rectap145 E7, 17, 18 i 19

t=x−av1

t=y−bv2

x−av1

=y−bv2

x−av1

=y−bv2

; (x−a)v2

v1

= y−b ; m=v2

v1

Pendent de la recta

y−b=m(x−a)

y−b=mx−ma ; y=mx−ma+b ; y=mx+n

Equació punt-pendent

Equació

explícitan20, 22, 23

E9, 21

Pas eix y

x−av1

=y−bv2

Equació general

A

(x−a)· v2=( y−b)· v1 ;

(x−a)· v2−( y−b)· v1=0 ;

v2 · x−v2 · a−v1 · y+v1 · b=0 ;

v2 · x−v1 · y−v2 · a+v1 · b=0 ;

B C

Ax+By+C=0

v⃗=(v1,v2)=(−B , A)

p147 E10, 23, 24, 25, 26, 65, 66, 67, 69, 70

Exemples d'equacions de diverses formes geomètriques

ax+by+c=0

x−av1

=y−bv2

x−av1

=y−bv2

=z−cv3

x2+y2+Dx+Ey+F=0 (x−a)2+( y−b)2+( z−c)2=r2

Re

cta

al pla

Re

cta

a l'e

spa

i

Circu

mfe

rència

Esfe

ra

y2=2px z=

x2

a2+y

2

b2

z=y

2

b2−x

2

a2

Pa

ràbo

la

Pa

rabo

loid

e

Pa

rabo

loid

e h

ipe

rbòlic

x2

a2−y

2

b2=1

Hip

èrb

ola

Hip

erb

olo

ide

Hip

erb

olo

ide

de 2

fulle

sx

2

a2+y

2

b2−z

2

c2=1 z

2

c2−x

2

a2−y

2

b2=1

x2

a2+y

2

b2=1

El·lip

se

El·lip

so

ide

Hè

lix c

ircula

r

x2

a2+y

2

b2+z

2

c2=1

x = a · cos t

y = a · sin t

z = h · t

4. Propietats analítiques i mètriques

p148, 27, 28

4.1 Distància entre dos punts en el pla

d (A , B)=√ (b1−a1)2+(b2−a2)

2

A⃗M=1

2· A⃗B

Si A(a1, a

2) i B(b

1, b

2)

(m1−a1,m2−a2)=1

2·(b1−a1,b2−a2)

E11, 29

d (A , B)=∣A⃗B∣

4.2 Punt mitjà d'un segmentA

B

M

m1−a1=b1−a1

2;

1a coor.m1=

b1−a1

2+a1=

b1−a1+2a1

2=b1+a1

2

M ( b1+a1

2,b2+a2

2 )

Unitat 41: Polinomis

1. Recordatori conceptes

2. Operacions bàsiques

3. Regla de Ruffini

4. Factorització de polinomis

5. Simplificació de fraccions algebraiques

6. Binomi de Newton

1. Recordatori conceptes

a) Nomenclatura Polinomi de grau 4

11x3y−7xy

2+5x−13

Terme

b) Grau d'un polinomi: el més alt dels termes que el formen.

p56 E1, 3

Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no

semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")

Terme Terme Terme

Grau 4 Grau 3 Grau 1 Grau 0

c) Oposat d'un polinomi: s'obté canviant els signes de cada terme

d) Valor numèric d'un polinomi: valor que pren el polinomi quan en

coneixem les variables

2. Operacions bàsiques

2.1 Suma:

A=5x3−1

Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els

termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.

Exemple: B=7x3−5x

2+3

A+B5x

3

7x3−5x

2+3+

−1

12x3−5x

2+2

2.2 Resta:

A=5x3−1

Restar és el mateix que sumar l'oposat. Així, procedirem de la mateixa

manera però sumant l'oposat del polinomi que actua de subtrahend.

Exemple: B=7x3−5x

2+3

A−B=A+(−B)5x

3

−7x3+5x

2−3+

−1

−2x3+5x

2−4

P (x)=3x2−2x+7

E2, 1, 2, 26, 27, 28

Exemple: Q( x)=3x−5

P ( x) ·Q( x)

x

−15x2+10x−35

3x2−2x+7

3x−5

9x3−6x

2+21x

9x3−21x

2+31x−35

2.3 Multiplicació:

p57 E3, 5, 34

P(x) Q(x)

C(x)

R(x)

4x3+2x

2−4x+3

2.4 Divisió de polinomis

Dividend Divisor

Quocient

Residu

-Dividir 1r terme de P(x) entre el 1r terme de Q(x) per obtenir 1r de C(x)

-Multiplicar resultat per Q(x) i restar-lo a P(x) per obtenir nou dividend.

-Repetir operació fins que R(x) sigui de menys grau que Q(x).

2x2−x+1

2x−4x3+2x

2−2x

4x2−6x+3

+2

−4x2+2x−2−4x+1

3. Regla de Ruffini

La regla de Ruffini ens permet fer divisions ràpidament quan el divisor

és un binomi del tipus “x – a”, essent “a” un nombre enter.

Paolo Ruffini (1765-1822)

Metge, filòsof i matemàtic.

Primer fer (x3+1):(x-2) com fins ara.

1 0 0 1

2

1

2

2

4

4

8

9

El quocient és x2 + 2x + 4 i el residu és 9.

8, 9, 10, 37, 38, 40

4. Factorització de polinomis

Un nombre “a” és arrel d'un polinomi P(x) si es compleix que P(x) és

divisible per “x – a”. La divisió ha de tenir un residu igual a 0.

Recordatori factorització de nombres naturals.

4.1 Arrels d'un polinomi

-Quines són les arrels del polinomi P(x) = x2 + 2x – 3 ?

Propietats:

-L'arrel (nombre “a”) ha de ser divisor del terme independent.

-El nombre d'arrels mai serà superior al grau del polinomi.

p59 E5

1r: Poden ser: Div (-3) = {+1,-1,3,-3}

1 2 -3

+1

1

1

3

3

0

-Quines són les arrels del polinomi P(x) = x2 + 2x – 3 ?

1r: Poden ser: Div (-3) = {+1,-1,3,-3}

2n: Anar comprovant per Ruffini

1 2 -3

- 3

1

-3

-1

3

0

3r: Les arrels són 1 i -3

p59 11, 12, 49, 50, 51

Factoritzar un polinomi consisteix en anar trobant binomis divisors de

tipus “x – a” fins a arribar a un polinomi irreductible, essent “a” una arrel del

polinomi.

4.2 La factorització d'un polinomi

-Exemple: factoritzar el polinomi P(x) = x4 – 2x3 + 3x2 + 2x – 4 ?

1r: Les arrels poden ser: Div (-4) = {+1,-1, 2, -2, 4,-4}

2n: Anar encadenant Ruffini's, començant de nou cada vegada:

1 -2 3 2 -4

1

1

1

-1

-1

2

2

4

4

0

-1 -1 2 -4

1 -2 4 0

-Exemple: factoritzar el polinomi P(x) = x4 – 2x3 + 3x2 + 2x – 4 ?

p61 fact. els del 17, E9b, 20 extret, 63, 64

1r: Les arrels poden ser: Div (-3) = {+1,-1, 2, -2, 4,-4}

2n: Anar encadenant Ruffini's, començant de nou cada vegada:

1 -2 3 2 -4

1

1

1

-1

-1

2

2

4

4

0

-1 -1 2 -4

1 -2 4 0

3r: Interpretar el resultat:

P(x) = x4 – 2x3 + 3x2 + 2x – 4 = (x – 1)·(x + 1)·(x2 – 2x + 4)

5. Simplificació de fraccions algebraiques

-Una fracció algebraica és aquella formada pel numerador i

denominador en forma de polinomis.

-Per simplificar-les factoritzarem els dos polinomis i n'eliminarem els

factors comuns.

Exemple:

p63 23,24,69,72,73

x2+x

x2+2x+1

x2+x=x ·(x+1)

El numerador:

(no puc fer Ruffini,extrec factor comú)

Exemple:

x2+2x+1=(x+1)·(x+1)

El denominador:

(faig Ruffini)1 2 1

- 1

1

-1

1

-1

0

=x ·(x+1)

(x+1)·(x+1)=

x

x+1

6. El binomi de Newton

p60 E7, 14, 16, 55, 57

(x+ y)0=

(x+ y)1=

(x+ y)2=

(x+ y)3=

(x+ y)4=

1

x+ y

(x+ y)(x+ y)=

x4+4x

3y+6x

2y

2+4xy3+ y4

x2+xy+ yx+ y2= x

2+2xy+ y2

(x+ y)(x2+2xy+ y2)=(x3+2x2y+xy2+ yx2+2xy

2+ y3)

=x3+3x2y+3xy

2+ y3

111

2

33

1

1

1

1

1

51

6

1010

1

15

4 4

Triangle de

Tartaglia:

(a+b)n=A· an+B ·an−1b+C · an−2

b2+...+X ·bn

Unitat 7: Funcions

1. Introducció – recordatori curs anterior

2. Propietats de les funcions: domini i recorregut, punts de

tall amb els eixos, continuïtat, creixement i decreixement,

simetria, periodicitat

3. Funcions definides a trossos

4. Funcions polinòmiques

5. Funcions racionals

6. Funcions exponencials

7. Funcions trigonomètriques

1. Introducció - recordatori

Les funcions són relacions de dependència entre dues variables tals

que cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la

variable dependent.

a) Funcions lineals: y = k·x (recta)

c) Funcions quadràtiques:

y = k · x2 + bx + a (paràbola)

b) Funcions afins: y = k·x + a (recta)

d) Funcions de proporcionalitat

inversa: y = k / x (hipèrbola)

Representar p158: 2, 25, 32

2. Propietats de les funcions

a) El domini (Dom f) d'una funció és el conjunt de tots els valors que pren

la variable independent (la x).

El recorregut (Im f) d'una funció és el conjunt de tots els valors que pren

la variable dependent (la y).

Exemples ràpids, 39,40, 41

b) Els punts de tall amb els eixos:

-Amb l'eix y es calcula f(0).

-Amb l'eix x es resol l'equació f(x)=0.

Exemples ràpids

c) Continuïtat: Una funció és contínua si la puc dibuixar amb un sol traç.

Quan aquesta s'interromp parlem de punts de discontinuïtat (evitable, de

salt finit, de salt infinit).

p162 E8, 13, 14

d) Creixement: En interval (x1, x

2), si f(x

1) < f( x

2) la funció és creixent.

si f(x1) > f( x

2) la funció és decreixent.

si f(x1) = f( x

2) la funció és constant.

p163 E9, E10, 16, 17 i 18

e) Simetria: -Respecte eix y: f(-x) = f(x) Funció parella

-Respecte origen: f(-x) = -f(x) Funció imparella

E11, 19, 20 amb sketch

f) Periodicitat: Una funció és periòdica quan els valors de y es repeteixen

a intervals determinats. L'amplitud (T) d'aquest interval s'anomena

període. E12, 22, 23practica p167, 49, 50, 55

-La funció presenta un màxim quan passa de creixent a decreixent, i un

mínim quan passa de decreixent a creixent.

3. Funcions definides a trossos

p161 10, 11 i 12

a) De primer grau: rectes f (x) = mx + n p174 2, 3

4. Funcions polinòmiques

b) De segon grau: paràboles f (x) = ax2 + bx + c

p177 E5, 10Posició del vèrtex: V = ( -b/2a, f(-b/2a) )

c) De grau superior: corbes parabòliques

provatures

5. Funcions racionals

p178, sempre gsk, E6, 13, 14, E7, 16

6. Funcions exponencials

La x al denominador: hipèrboles f (x) = a/x

p180, sempre gsk, E8, 19, 20, 22, E10, 25, 26

La x a l'exponent: corbes exponencials f (x) = ax

7. Funcions trigonomètriques

6.Arrels

1. Definició d'arrel

2. Solucions d'una expressió radical

3. Radicals equivalents

4. Potències d'exponent fraccionari

5. Propietats dels radicals

-Producte

-Quocient

-Potència

-Arrel

6. Extracció de factors

1 Definició d'arrel

n√ a=bÍndex

Radicand

Arrel (solució)

Radical

-L'índex n és sempre un nombre natural

-Si no hi ha valor, vol dir que n=2 i parlem d'arrel quadrada

-Si n=3 parlem d'arrel cúbica

-Si n=4 parlem d'arrel quarta, si n=5 parlem d'arrel cinquena, etc.

n√ a=b si es compleix que bn=a

√ 9

√ 36

= 3 i -3

= 6 i -6

ja que 3 · 3 = 32 = 9

ja que 6 · 6 = 62 = 36

3√ 27 = 3 ja que 3 · 3 · 3 = 33 = 27

Exercici 1 fitxa d'arrels

1 Definició d'arrel

2 Solucions d'una expressió radical

√ 36=+6

Exercici 2 fitxa

-Si l'índex és parell i el radicand positiu:

√ 36=−6

DUES SOLUCIONS: Una positiva i una negativa

√−9=∅

-Si l'índex és parell i el radicand negatiu:

CAP SOLUCIÓ: Un nombre per ell mateix mai pot donar negatiu

3√ 8=2

-Si l'índex és senar:

3√−8=−2

UNA ÚNICA SOLUCIÓ. Si el radicand és positiu l'arrel seràpositiva, i si és negatiu serà negativa

3 Radicals equivalents

√ 4=±2

-Si dos radicals tenen la mateixa arrel (solució), diem que

són equivalents o iguals

Fixem-nos que:

Per passar d'un radical a l'altre estem multiplicant l'índex il'exponent del radicand pel mateix nombre

5√ 32=24√ 16=±2

√ 4=4√ 16=

5√ 32

√ 22=

4√ 24=

5√ 25

√ 22=

4√ 24=

5√ 25

·2·2,5

Exercici 3 fitxa

És a dir:

Si multipliquem o dividim l'índex d'un radical i l'exponent delradicand per un mateix nombre natural, obtindrem un radical

equivalent.

n√ am=n · p√ am· p

3√ 72=

3 ·3√ 72 ·3=

9√ 76 √ 5

3=2 ·2√ 5

3 ·2=4√ 5

6

4√ 3=4 ·6√ 3

1 ·6=24√ 3

6 10√ 215=

10 /5√ 215 /5=

2√ 23

3. Radicals equivalents

4. Potències d'exponent fraccionari

Exercici 4 fitxa

Una potència d'exponent fraccionari és igual a un radical que técom a índex el denominador de la fracció, i com a radicand la

base elevada al numerador.

n√ am=am

n

9

1

2=(32)1

2=32 ·

1

2=3

2

2=3

√ 9=3i sabem que:

per tant: √ 9=9

1

2

5√ 23=2

3

5 7√ 52=5

2

7 11√ 7=7

1

11


-El producte de radicals del mateix índex és un altre radical que

té com a índex l'índex comú, i com a radicand el producte dels

radicands.

n√ a · n√ b= n√ a ·b 3√ 2 ·3√ 5=

3√ 2 ·5=3√ 10

-El quocient de radicals del mateix índex és un altre radical que

té com a índex l'índex comú, i com a radicand el quocient dels

radicands.

n√ a :n√ b=n√ a :b 5√ 45:

5√ 9=5√ 45:9=

5√ 5

-La potència d'un radical és un altre radical que té el mateix

índex i com a radicand la potència del radicand del primer.

( n√ a)m= n√ am

-El radical d'un radical és un altre radical de mateix radicand que

té com a índex el producte dels índexs.

m√ n√ a=m·n√ a

(4√ 23)

3

=4√ 23

3

3√ 4√ 7=3 · 4√ 7=

12√ 7

Exercici 5 fitxa


6. Extracció de factors

√ 108

Aplicant la propietat del producte de radicals:

√ 22·3

3=√ 22· √ 3

3=√ 22· √ 3

2·3

1=√ 22· √ 3

2· √ 3

=

1085427

931

22333

√ 22·3

3

√ 22· √ 3

2· √ 3=2

2

2 ·3

2

2 · √ 3=2 ·3 · √ 3=6 · √ 3

Passant els radicals a potència d'exponent fraccionari:

√ 108=6 · √ 3És a dir:Hem tret fora del radical tots els

factors possibles per a obtenir

un radicand més senzill.

Passos a seguir per extreure factors d'un radical:

3√ 432=3√ 2

4·3

3

1r: Descomposar en producte de factors el radicand

2n: Agrupar el factors en potències d'exponent igual a l'índex

del radical

3r: Per simplificació, les bases de les potències d'exponent

igual a l'índex, s'extreuen fora de l'arrel

3√ 24·3

3=3√ 2

3·2

1·3

3

3√ 23· 2

1·3

3=2 ·3 ·3√ 2=6 ·

3√ 2

Exercici 6 fitxa6. Extracció de factors

Unitat 7: Estadística


2. Les Taules de freqüències




4.2 De dispersió


-Població: Conjunt de persones, animals o objectes (elements) al qual fa

la referència l'estudi.

p194, E1, 1

-Mostra: Part de la població sobre la qual duem a terme la recollida de

dades.

L'Estadística és la part de les matemàtiques que s'ocupa de recollir,

ordenar i analitzar dades per tal d'estudiar les característiques o el

comportament d'un col·lectiu.

-Individu: Cadascun dels elements de la població.

2 i 3

-Variable estadística: Característica o propietat concreta de la població

que volem estudiar.

Poden ser

-Qualitatives: no es poden expressar amb nombres

Color dels ulls, Menjar preferit, Religió, Professió

-Quantitatives: s'expressen amb números

Número germans, Alçada, Pes, Temperatura, Talles roba

Discretes (valors enters)

Contínues (qualsevol dins interval)


-Freqüència Absoluta (fi): Nombre de vegades que es repeteix un

determinat caràcter o valor.

-Variable estadística (xi): A la 1a columna, si és quantitativa

s'anomenen valors, si és qualitativa s'anomenen caràcters.

-Mostra (N): La suma de totes les freqüències absolutes, que coincideix

amb el nombre d'individus que té la mostra.

-Tant per cent (%): És la fi multiplicada per cent.

E2, 4, 5, 6

-Freqüència relativa (hi), tant per u:

-Freqüència absoluta acumulada (Fi): És el resultat de sumar a la Ni

les Ni anteriors.

hi=f i

N

-Freqüència relativa acumulada (Hi): És el resultat de sumar a la fi les

fi anteriors.

F i=∑ f i

H i=∑ h i


7, 8 i 9, E3, 10, 11, 12

a) Diagrama de barres: Barres separades i tan altes com indiquin les

freqüències corresponents. Serveix per variables qualitatives o

quantitatives discretes.

b) Histograma: Barres juntes i tan altes com indiquin les freqüències

corresponents. Serveix per variables quantitatives contínues.

c) Polígon de freqüències: En un histograma, es construeix unint els

punts mitjos superiors de les barres.

d) Diagrama de sectors: Cada sector circular és proporcional a una

freqüència. S'han de repartir els 360 graus.

360 : N = graus per a cada unitat

graus per unitat · freqüència


E4, 13 i 14

a) La mitjana:

x̄=∑ xi · f i

N

b) La mediana (Me): Ordenades de menor a majors els valors, la mediana

és el que ocupa el valor central. Si el nombre de valors és parell, es pren

la mitjana dels dos centrals.

c) La moda (Mo): És la variable que més es repeteix.



E6, 19, 20, 21

a) El rang: R=Màx−mín

b) Desviació mitjana:

c) Variància (σ2):

4.2 De dispersió

DM=∑ f i ·∣xi− x̄∣

N

σ2=∑ f i ·(xi− x̄)

2

N

d) Desviació típica (σ):

σ=√∑ f i ·(xi− x̄)2

N

e) Coeficient de

variació: CV=σ

x̄

Sortida a Cornellà. Les cúpules de Leonardo


4t ESO: Activitat per a l'expressió oral i escrita


VISIONAT DE LA PEL·LÍCULA “The imitation game” dir. Morten Tyldum, 2014

Activitat: es dedicaran dues sessions i mitja a veure la pel·lícula biogràfica, perdesprés fer un treball individual d'expressió escrita i una exposició oral en parelleso trios. El treball escrit caldrà fer-lo en ordinador (TNR 12, 1,5) i lliurar-lo en ladata que s'indicarà.

Objectius:

-Treballar l'expressió escrita

-Treballar l'expressió oral

-Repassar el context històric de la Segona Guerra Mundial

-Reflexionar sobre diferents temes èticosocials

-Conceptes matemàtics: Informàtica, Intel·ligència artificial, Estadística

Avaluació:

Exp. escrita: Estructura del text (1p) Exp. oral: Claredat del discurs (2,5p)

Coherència (2p) Ordre, esctructura i lèxic (2,5p)

Concordança i cohesió (2p) Adequació del contingut (2,5p)

Lèxic (1p) Argumentació (2,5p)

Ortografia (2p)

Presentació (2p)

PART A: EXPRESSIÓ ESCRITA

1. La pel·lícula

Fés un breu resum de l'argument de la pel·lícula.

2.Alan Turing (1912-1954)

Qui fou Alan Turing? Consulta la seva biografia a la Viquipèdia.




3. La Segona Guerra Mundial

Quin és l'origen de la Segona Guerra Mundial? En quins dos bàndols es va desenvolupar la Guerra? Quins països principals pertanyien a cada bàndol? Qui fou Winston Churchill (1874-1965)? Per què els soviètics tenien espies dins del Govern britànic? ¿Quin país subministrava queviures a Londres, amb gran dificultat per la presència de submarins alemanys? Com va acabar la Guerra i a quin any? Quin tipus de Guerra comença llavors?

Ajudant-te d'aquestes qüestions, fés un breu resum del context històric de la Segona Guerra Mundial.

4. El desxifratge de llenguatges i la criptografia

Quina importància van tenir els criptòlegs britànics en el desenllaç de la guerra? Per què els servia als nazis la màquina Enigma? Com l'aconsegueixen vèncer? Mmfhfjy brtftuft gsbtft pvf bqbsfjyfo b mb qfm·mjdtmb:

“Quan les persones parlen mai diuen el què pensen. En què es diferencia això de la criptografia?”

-----------

“Vindrà ell, li he somrigut fa quinze minuts i ha tornat a mirar-me”

“Vol que m'acosti, m'ha somrigut fa una estona i m'ha tornat a mirar”

Tj fut dbqbd ef eftyjgsbs brtftu ufyu, sftqpo mft qsfhtouft j sfgmfyjpob tpcsf fmt dpejt wfscbmt j op wfscbmt bmt rtbmt ftub tpunftb mb dpntojdbdjp ivnbob.




5. Les conductes d'assetjament

Llegeix aquestes frases que apareixen a la pel·lícula:

“Els humans obtenen una gran satisfacció de la violència, però si eliminem la satisfacció, l'acte perd

sentit”

“-Em peguen perquè sóc més llest que ells.-. -No, et peguen perquè ets diferent”

“De vegades, la persona a la qual ningú imagina capaç de fer res, fa coses que ningú imagina”

Com soluciona l'Alan Turing nen de la pel·lícula l'assetjament escolar que pateix? Per què creus que l'assetgen? Has conegut algun cas real? Com es pot solucionar aquesta xacra ben present a la nostra societat?

Tot responent a aquestes preguntes, reflexiona sobre el respecte a la diferència.

6. El paper de la Dona a la societat

Per què la Joan Clarke (1917-1996) no pot accedir a treballar amb els altres criptòlegs? Què explica que el porter no la cregui capaç d'haver resolt els mots encreuats? A quina Universitat va poder anar després de treure dues Matrícules d'Honor? Quina és l'actitud dels seus pares davant la possibilitat d'anar a treballar a Bletchley Park? Què s'entén per conducta indecorosa?

Utilitza aquestes qüestions per descriure el rol de la dona a la societat de mitjans del segle XX i reflexionar sobre aquest a l'actualitat.




7. La homofòbia

Uns anys després de la Guerra, de què fou acusat Alan Turing? A quin càstig el van sotmetre? Com va acabar els seus dies? Què s'entén per conducta indecent? Fins a quin any a la Gran Bretanya van estar imposant aquests tipusde penes? Són vigents encara avui en alguns països?

Amb l'ajuda d'aquestes preguntes, desenvolupa una reflexió sobre la homofòbia, en què consisteix, per què es produeix i fins a quin punt encara està present a la nostra societat.

8. L'origen de la informàtica i la intel·ligència artificial.

Llegeix aquestes frases que apareixen a la pel·lícula:

“I si només una màquina pot vèncer una altra màquina??”

------> La “Màquina Universal de Turing” (idea de màquina capaç de resoldre qualsevol problema)

“Digui'm: podran algun dia les màquines pensar com els humans?”

“La pregunta és estupida, perquè si màquines i humans són diferents, pensaran diferent.” [no es poden comparar]

“La pregunta és: si algú pensa diferent de nosaltres, significa que no pensa?” [pot pensar una màquina a la seva manera?]

“¿No permetem que els humans tinguin discrepàncies entre si? Vostè plora amb les pel·lícues tristes i jo ploro

perquè sóc al·lèrgic al pol·len.”

“¿Quina explicació tenen els diferents gustos o preferències si no és que el seu cervell treballa de diferent

manera i per tant pensen diferent?”

“Si podem dir això l'un de l'altre, ¿per què no podem dir el mateix entre un cervell humà i un fet de metall?”

------> El “Test de Turing” (test ideat per comprovar si parles amb una màquina o un ésser humà)

“Què va fer durant la guerra? Vaig treballar en una fàbrica de ràdios.”

“Què va fer realment durant la guerra? ...Vostè m'està escoltant.”

Els últims anys la gran innovació tecnològica han sigut els smartphones (=telèfons intel·ligents) que porteu a la butxaca. Els propers anys sembla que seran els cotxes sense conductor. Creus que algun dia les màquines podran pensar? Aprendre? Tenir sentiments? Fer una revolució contra els humans? Moltes pel·lícules de ciència ficció han tractat sobre el tema, n'has vist alguna?




9. Les fredes dades de l'Estadística

Un cop desxifrada Enigma, per què guarden la informació i no aborten de cop tots els atacs dels nazis? Què passa amb el germà d'un dels criptòlegs? Quina mena de càlculs matemàtics fan per saber quan atacar i quan no? I amb quin objectiu?

De vegades, la raó s'oposa als sentiments. Com hauries actuat tu en el seu cas? Salvaries al teu germà o guanyariesla Guerra? Què opines sobre els atacs militars que alguns països fan contra uns altres, per exemple, per derrocar un Dictador?

10. El Binomi de Newton

Durant l'entrevista de feina amb el comandant Alastair Denniston l'Alan Turing comenta que té vint-i-set anys i que encara no ha fet res perquè, entre d'altres, Isaac Newton (1643-1727) ja havia formulat amb vint-i-dos anys el Teorema del Binomi. Com que el vas aprendre el segon trimestre d'aquest curs, desenvolupa la següent expressió:

(x+3)4 =

I ja que hi som, anuncia les tres Lleis de Newton de la mecànica clàssica:

I qui, segons el Turing de la pel·lícula, amb vint-i-sis anys posa fi a la mecànica clàssica amb la seva Teoria de la Relativitat?




PART B: EXPRESSIÓ ORAL

Tria un dels temes implícits a la pel·lícula per fer una exposició oral d'entre 5 i 10 minuts. Es pot fer en solitari, enparelles o trios com a màxim.

Temes: Alan Turing La Segona Guerra Mundial Criptografia

Assetjament escolar Discriminació per raó de sexe Homofòbia

Intel·ligència Artificial Ètica de la Guerra ...

Utilitza aquesta pàgina per fer un esquema/guió del què exposaràs:

Taller el Colisseu

Matemàtiques 3r i 4t eso

Education

Transcript of Matemàtiques 3r i 4t eso