1

1) EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES. El llenguatge numèric serveix per expressar operacions en les quals només intervenen nombres . a) Així per exemple si volem indicar quin és el nombre total d'alumnes d'una classe que inicialment tenia 28 alumnes però que n'han marxat ,3 ho podem fer utilitzant simplement el llenguatge numèric que tots coneixem. Total = alumnes25328 =−

Amb una simple resta entre dos valors numèrics concrets, hem expressat quina és la situació. b) Si per exemple volem veure com fem el repartiment de 18 € entre 3 persones a parts iguals i saber quants diners toquen a cada un, podem explicar completament aquest problema utilitzant el llenguatge numèric i les seves operacions. Repartiment = 18 : 3 = 6 € ( a cada un) I així amb moltíssims problemes en que intervenen valors numèrics ben determinats i amb els quals directament podem fer les operacions que siguin necessàries per tal d'obtenir el resultat. Hi ha situacions però, que no es poden expressar satisfactòriament utilitzant únicament el llenguatge numèric. Això passa quan volem descriure situacions més generals o quan part de les dades del problema no són numèriques o són desconegudes. a) Si per exemple volem expressar que a un cert nombre indeterminat li hem de sumar el seu doble ho podem fer així. nn 2+

Evidentment que si no ens diuen quin és el valor d'aquest nombre de l'enunciat, no podem concretar més el resultat, llavors aquest fet queda expressat de forma general tal i com l'hem deixat i és vàlid per a qualsevol valor "n". b) Per explicar que al triple d'un cert valor general "x" li restem el seu doble, podem utilitzar la següent expressió algebraica. xx 23 −

c) Si volem repartir una certa quantitat de diners a parts iguals entre 5 persones ho podem fer de manera general amb la següent expressió algebraica.

Repartiment = 3

x

TEMA 4: EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

2

En tots els casos anteriors per descriure una situació determinada hem utilitzat lletres per referir-nos a valors no especificats. No hem utilitzat el llenguatge numèric per expressar-nos ja que no era possible, ha estat necessari utilitzar el llenguatge algebraic, que ens ha permès explicar de manera més general el problema.

DEFINICIÓ: Expressió algebraica: És un conjunt de nombres i lletres que estan units mitjançant signes d'operacions. EXEMPLES:

a) yx + b) x31+ c) 14

++ zx

d) yxx 534 ++ e) xxyx 323 2 ++ f) 423 5362 yyxx −+−

Les expressions algebraiques estan formades per diferents termes que se sumen o resten entre ells per formar la expressió algebraica i que s'anomenen monomis. Un monomi és una expressió algebraica que està formada pel producte d'un nombre i una o diverses lletres. - El nombre s'anomena coeficient (el coeficient pot ser negatiu o positiu, inclou el signe) - Les lletres amb el seu exponent s'anomenen part literal (poden portar un exponent ) EXEMPLES

3

EXEMPLE 1) Considereu la expressió algebraica 3267 bbaabA −−= i indiqueu quants termes o monomis

té i identifiqueu per a cada un d’aquests termes el seu coeficient i la seva part literal. 3267 bbaabA −−=

Aquesta expressió té tres termes o monomis que són:

a)

→→

abliteralPart

Coeficientab

77

b)

→

−→−

baliteralPart

Coeficientba

22

66

c)

→

−→−

33

1

bliteralPart

Coeficientb

2) VALOR NUMÈRIC D'UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA És el nombre que s'obté en substituir les lletres d'una expressió algebraica per un cert nombre donat i efectuar les operacions indicades. EXEMPLES: 1) Calculeu el valor numèric que pren l'expressió 332 ++ xx per 5=x

28315103)5(3)5(2 =++=++=V

2) Calculeu el valor numèric que pren l'expressió xx 25 + per 2−=x

14)4()10()2(2)2(5 −=−+−=−+−=V

3) Calculeu el valor numèric que pren l'expressió 123 2 −+ xx per 2=x

15141214)4(31)2(2)2(3 2 =−+=−+=−+=V

4

4) Calculeu el valor numèric que pren l'expressió 132 +− yx per 2=x i 1−=y

21341)1(3)2(2 =+−=+−−=V

5) Calculeu el valor numèric que pren l'expressió 237 +− aba per 2−=a i 4=b

12224142)4)(2(3)2(7 =++−=+−−−=V

6) Calculeu el valor numèric que pren l'expressió 234 yxy− per 1=x i 1−=y

73)4()1·(3)4()1(3)1)(1(4 2 −=−−=−−=−−−=V

7) Calculeu el valor numèric que pren l'expressió 22 2 baba ++ per 1=a i 3−=b

49)6(1)3()3)(1(2)1( 22 =+−+=−+−+=V

El valor numèric d'una expressió algebraica varia en funció dels valors que prenen les lletres. Així una mateixa expressió algebraica pren diferents valors numèrics si donem diferents valors a les lletres. EXEMPLE

Considereu la expressió algebraica 453 2 −+= xxA i calculeu els diferents valors numèrics que pren

aquesta expressió quan 2=x ; 3−=x ; 1=x ; 10=x i 0=x

a) Per 2=x

18410124104·34)2(5)2(3 2 =−+=−+=−+=A

b) Per 3−=x

8415274159·34)3(5)3(3 2 =−−=−−=−−+−=A

c) Per 1=x

4453451·34)1(5)1(3 2 =−+=−+=−+=A

d) Per 10=x

346450300450100·34)10(5)10(3 2 =−+=−+=−+=A

e) Per 0=x

4400400·34)0(5)0(3 2 −=−+=−+=−+=A

5

3) OPERACIONS AMB EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES Les operacions amb expressions algebraiques segueixen les mateixes regles que les operacions amb nombres, però cal tenir en compte alguns aspectes que s'han tenir presents. a) Monomis semblants: Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal inclosos els exponents de les variables, es a dir que dos monomis que són semblants únicament poden diferir en el coeficient

EXEMPLES Són semblants No són semblants xix 83 xyix 54

23124 xix 243 aia

xyixy 23 272 biab

tit 37− 32xix−

bib 35 23

43 2yiy −

b) Suma i resta de monomis. Únicament es poden sumar o restar aquells monomis que són semblants. Per sumar o restar aquests monomis, es suma o resta els coeficients d'aquests monomis i es deixa intacta la part literal. EXEMPLES: 1) Sumeu els següents monomis 1) aaa 734 =+ 2) xxx 16115 =+

3) xyxyxy 1073 =+ 4) bbb 459 =−

5) aaa 8113 −=− 6) 222 1064 xxx =+

7) xzxzxz 527 =− 8) 333 927 bbb =+

9) xxx 32 =+ 10) 444 15172 yyy −=−

11) yyy =− 67 12) aaaa 9432 =++

13) 2222 425 xxxx =−+ 14) xxxxxx 94352 =+−++

15) zxysumarpodenesnosemblantssónNozxy 74).........,(74 +==+

6

c) Suma d'expressions algebraiques Per sumar expressions algebraiques cal sumar entre ells el monomis d'aquestes expressions que són semblants. EXEMPLES: 1) yxByxA 97;53 +=+=

yxyxyxBA 1410)97()53( +=+++=+

2) 25;432 ++=++= baBbaA

647)25()432( ++=+++++=+ bababaBA

3) zxBzyxA 53;234 +=++=

zyxzxzyxBA 737)53()234( ++=++++=+

4) 785;234 +−=++= yxByxA

959)785()234( +−=+−+++=+ yxyxyxBA

5) 424;2523 2323 +−=+++= xxBxxxA

657)424()2523( 32323 ++=+−++++=+ xxxxxxxBA

6) 372;1423 +−+−=−++= cbaBcbaA

233)372()1423( +−+=+−+−+−++=+ cbacbacbaBA

d) Resta d'expressions algebraiques Per restar expressions algebraiques es fa igual que la suma però en lloc de sumar monomis semblants cal restar-los. (Cal anar amb compte amb els signes dels monomis) EXEMPLES: 1) 143;357 ++=++= yxByxA

24)143()357( ++=++−++=− yxyxyxBA

7

2) 235;43 +++=++= cbaBcbaA

2232)235()43( −−+−=+++−++=− cbacbacbaBA

3) 9;456 22 ++=++= xxBxxA

545)9()456( 222 −+=++−++=− xxxxxxBA

4) 1865;6347 2323 −+−=−−+= xxxBxxxA

511102)1865()6347( 232323 −−+=−+−−−−+=− xxxxxxxxxBA

5) 324;23 −−−=+−= ababBcbabA

32)324()23( ++++−=−−−−+−=− acbabababcbabBA

e) Multiplicació d'expressions algebraiques 1) Un nombre per un monomi Es multiplica el nombre per el coeficient del monomi i es deixa igual la part literal del monomi. EXEMPLES 1) xx 155·3 = 2) xyxy 142·)7( −=−

3) 22 168·2 aa = 4) yxyx 33 5·5 =

5) xx 12)4(·)3( =−− 6) yy −=− ·)1(

2) Un nombre per una expressió Es multiplica el nombre per cada un dels monomis de la expressió algebraica. EXEMPLES 1) yxyx 86)43(·2 +=+

2) baba 1215)45(·3 −=−

8

3) cbabcbab 448)2(·)4( 22 −−−=++−

4) zyxzyx 201510)432(·5 −+=−+

5) yxyx 43)43(·)1( +−=−−

6) 11812)132(·)6( ++=−−−− xyxxyx

3) Expressions combinades Es poden combinar en una mateixa línia d'operacions la suma o resta d'expressions algebraiques amb el producte d'un nombre per una expressió algebraica. EXEMPLES 1) Considereu les expressions algebraiques yxCyxByxA 2;143;232 −=−−=++= i

efectueu amb elles les següents operacions: a) =−−+++=+ )143(·5)232(·252 yxyxBA

1141952015464 −−=−−+++= yxyxyx

b) =−−−++=− )143(·4)232(·343 yxyxBA

1025641612696 ++−=++−++= yxyxyx

c) =−−−−+++−=−+− )2()143(·2)232(·)5(25 yxyxyxCBA

122152286101510 −−−=+−−−+−−−= yxyxyxyx

4) Producte de dos monomis Es multipliquen els coeficients d'aquests dos monomis i també les parts literals d'aquests dos monomis. Recordem que per multiplicar les parts literals pot ser aplicable la propietat del producte de les potències. nmnm aaa +=·

Sempre que les parts literals coincideixin, es a dir que siguin la mateixa base.

9

EXEMPLES 1) 2105·2 xxx =

2) 972 62·3 aaa =

3) 43· bbb =

4) 32 186·3 xxx =

5) 642 55· yyy =

6) 54 21)3(·7 zzz −=−

7) 1183 15)3(·)5( xxx =−−

8) 43 82·)4( bbb −=−

Si les dues parts literals són diferents, la propietat anterior no és completament aplicable. 1) abba =·

2) abba 62·3 =

3) yxyx 22 124·3 =

4) yxxyx 752 63·2 =

5) baaab 215)5(·3 −=−

6) zxyzyx 22 6)2(·3 −=−

7) 38632 14)7(·)2( yxxyx =−−

5) Producte d'un monomi per una expressió algebraica Per multiplicar un monomi per una expressió algebraica multipliquem el monom i per cadascun dels termes de la expressió algebraica. EXEMPLES 1) ( ) xxxxxxxxxxx 61562·35·32·3252·3 2322 −+=−+=−+

2) ( ) 4233 51015·)5(2·)5(3·)5(23·)5( yxyxyyyxyyxyyxyxy +−−=−−−+−=−+−

10

3) ( ) =−+−−−−−=+−−− xyxyxxyyxxyxxxyxyx ·)(2·)(5·)(·)(25·)( 226222622

yxyxyxyx 32734 25 −++−=

4) ( ) =+−++−=+−+− 1·2)5(·2·4·2)(·2154·2 223252352 xxxxxxxxxxx

2357 21082 xxxx +−+−=

6) Divisió de dos monomis Per dividir dos monomis cal dividir els coeficients d'aquests dos monomis entre si i també les dues parts literals. Per dividir les dues parts literals recordem que pot ser aplicable la següent propietat de les potències.

nmn

m

aa

a −=

EXEMPLES 1) 325 58:40 xxx =

2) 459 :· aaa =

3) ( ) 7310 42:·8 xxx −=−

4) yyy 26:·12 56 =

5) ( ) 43273 65:·30 xyyxyx −=−

* Si la divisió entre coeficients no és exacta llavors cal expressar el resultat en forma de fracció.

6) 99312

4

3

8

68:·6 xxxx ==

7) 23

5

35:·3 xxx =

8) y

xyx

4

54:·5 =

9) b

aba

24:·8 =