MATEMATIKAREN PROGRAMA

J.M. Gofii

Lan honen hasieran bertan bi ohar: -ez dugu Geometriaren programa aztertuko. -E. G. B-ko 5., 6., 7. eta 8. mailetako programak hartuko ditugu aztergai.

Programa bati buruz ari izateak, hau da bederen beti egiten dena, bi pauso es- katzen ditu:

A) Gaur eguneko programaren kritika bat burutzea. B) Ordain bat proposatzea.

A) Gaur eguneko programaren kritika.

Lehen-lehenik zera esan nahi nuke: matematikaren programa planteatzeko gaur egun burutu gabe dauden bi ondorengo azterketa hauen beharra senti- tzen dugula.

- 1 : Azterketa honen gaia, ikaslearen desarroilo sikologikoari jarrai- tuz kontzeptu matematikoen mailaketa, litzateke; ez dugu ahantzi behar, gaur egun, matematikaren programak desarroilo logiko eta historikoari jarraitzen diola batik bat, ikaslearen buru-egituratzeari begiratu beharko litzaioke programaren mailaketa prestatzeko, ze- ren ez bait da gauza segurua bide logikoa eta sikologikoa paraleloak izango direnik; eta dudarik gabe bigarren honek garrantzi gehiago du metodologia zuzen batetarako. Aipa dezagun adibide gisan multzo teoriarekin gertatzen ari zaiguna, teoria hau Matematika- ren oinarrian dago eta hau nahiko arrazoi dirudi programa guztie- tan ipintzeko eta programaren hasiera izateko gainera; baina teoria honen abstrakzio maila altua da eta beraz lau betiko gauzak esan ondoren utzi beharra dago edo bestela ikasleari zeharo arrotza egi- ten zaion Matematika teoriko eta formalizatu batetan sartzen gara.

Piageten lanek ederki erakutsi dute haurren desarroiloan zeharka- tzeadiren etapak, dudarik ez dugu euki behar aitortzeko etapa ho- dek gure iparra izan behar direla programa zdhazteko, baina zori- txarrez ez dakigu Matematikaren programa barruan etapa horien Saliokideak zeintzuk diren eta metodologiarako laguntza badira ere programan oraindik ez digute laguntza handirik eskatzen. Bego be- raz esandakoa bide ireki bat bezala, baina gaur egun alternatiba bat eskeintzeko moduan oraindik prestez dagoen zerbait dela onartu beharra dago.

a-12: , Pedagogiari, ordea, beste zerbait eskatu beharko genioke; ikas- learen interesa oinarritzat hartzen duen irakaskintza batek eskatu- ko lukeen kontzeptu matematikoen mailaketa argitzea hain zuzen; gaur egun eta jarraitzen den sistema dela eta, hots historiko- logikoa, oso interes gutxi eskeirii dezaketen gaiak azaltzen dira. Gai horik eman behar dira; hori esaten du, bederen, programak, bainan nekez lor dezakegu gai horik zerbait interesgarri bihurtzea; hortxe daukagu, burua gehiegi nahastu gabe, segituan bururatzen zaigun gaia. Polinomioak, alegia; zenbat eta zenbat, buruhauste eta itzul inguru ez dugu eman gai honi interes bat bilatzeko, zaila dela edo irudimen eskasa dugula aitortzeko beharrean sentitzen gara oso gutxi lortu bait dugu gai honen arintze asmoan.

Benetazko pedagogia aktibo batek eskatu beharko liguke gai hau edo beste hura aztertzea, segun prozeso horren barruan beharra nun azaltzen den; bainan ez da hala gertatzen zer, noiz, nola, nondik eta noraino guk asmatu behar dugu eta biharko urruti batetan gaurko guzti hau oso garrantzitsua izango dela esanez gure jokabideari arrazoi bat bilatu nahi diogu; Arrazoi hori oso beharrezko dugu, gu geu konturatzen bait gara ematen dugunaren artifizialkeriaz, eta jakina denez sasiarrazoiak erremediorik hoberenak izan ohi dira kontzientzia txarraren kontra.

Izan ere, bi puntu hauk burutu gabe daude eta lehenengoa argi- tzeko egiten ari diren ahaleginek etorkizunari itxaropenez begira- tzea, posible egiten badute ere, bigarrenak irakaskintza osoaren iraulketa eskatuko luke eta dirudienez hori ez da bihar goizean iku- siko dugun gertaera. Beraz eta praktikotasunaren izenean gaurko koordenatuetan finkatuko dugu kritika hau, bego, hor goian esan- dakoa, zutik, baina egin dezagun lana gaur eta orain.

Hari honi jarraituz, hari Iogiko-historikoari alegia, ezaguera ma- tematikoen mailaketa egoki dela azpimarkatu beharra dago, ez da Matematikaren programa, liburuetan etortzen ohi den bataz beste- ko programa behinik behin, ankarik eta bururik gabekoa; urte as- koren esperientzia jasota dago eta ondo jasota ere. Perfekzio honek programa honen gaindipena planteamendu teoriko berrietatik eto- rri behar duela erakusten digu.

a-20: Aipa ditzagun laburki ez bada ere E. G. B-ko 5. , 6., 7. eta 8. mail hauetan ikutzen diren gai inportanteenak.

- 1 2 -

GAI OROKORRAK: MuItzo teoria Logika Egitura Algebraikoak

I Erlazio matematikoak: multzo barrukoak , multzo artekoak

Estatistika Bektoreak ,

Estudiatzen diren zenbaki multzoak:

Zenbaki arrunten multzoa - N a osoen . - Z (, rationalen ,, - Q <( errealen ,< - P u hamartarren << -

Multzo bakoitzaren barruan ikusten diren eragiketak: Batuketa

- Kenketa Biderketa Zatiketa Berreketa

GAI BEREZIAK: Ekuazioak-lehenengo eta bigarren mailakoak Ekuazio sistemak Problemak Proportzionaltasuna Funtzioak - y=ax i b

y=ax2+ bx + c Multiplo komunetako txikiena eta zatitzaile komune- tako handiena. Polinomioak.

Dena dela eta gaurko linea onartu arren, badago liburuek ekartzen dituz- ten programetan zenbai akatz, batzutan, akats hauek handiak dira eta ona izan zitekeen programa zeharo aldrebesa egiten dute.

a-31 Gai orokorrak (matematika teorikoa) beti hasieran ipintzea Gaur eguneko ia liburu guztiak eta edozein maila delarik, -Multzo

teoriari), buruz idei sinple pare bat ematen hasten dira, hasiera hauk errepetitzen dira maila desberdinetako textuetan. Ondoren aerlazio matematikoak» deituriko gaiari toka ohi zaio txanda. <<Ezertarako» balio ez duen matematika honen ondoren matematika «serios» dator eragiketak, ekuazioak, problemak eta abar ... Oso okerra deritzait jo- kabide hau, ez bait dirudi oso komenigarria kontzeptu elaboratu hauk ikasleen begien bistan ipintzea, kontzeptuak berberak suposa-

- 13 -

tzen dituzten ariketak eta lan praktikoak lehenago egin gabe; zerta- rako (cbaliokidetasun erlazioaren~, teoria aipa liburuaren hasieran, geroxeago bjkote baliokideen klaseak osatzerakoan delako teoria hori ezta arnets gaizto bat bezala ez bada gogoratzen ere? zertarako aplikazioaren definizio dotore eta sakon bat eman, geroxeago aplika- zioa bera suposatzen duen funtzio sinple bat rnaneiatzen ez badakite ere? Zertarako luza <<zertarako. hauen zerrenda? argi dago erabiltzen den ordena honen okerra.

Egun jarraitzen diren printzipio pedagogikoek, esperientzia kon- tzeptiien iturria dela diote eta printzipio hauk jarraitzeak, esperien- tzia teoriari aurreratzea eskatzen du. Esperientziatik abstrakziora doan bidea guztii pertsonala da; abstrakzio egina, bazkari ustela esan dezakegu edo esperientzia ugari eta egokia, bazkari osesuntsiia.

Teoriaren eta praktikaren artean egoten den loturaren ahu- lezia

lha t s bakar eta txarrena ez da izaten teoria praktika baino lehe- nago kokatzea, baizik eta askotan egiten den beste planteamentu tiau, teoria berez justifika daitekeen zerbait dela pentsatzea, alegia; oso ulergarria izan daiteke egitura algebraikoen interesa matemati- kari batentzat, nahiz eta errealitateko gertaerekin loturik ez euki, baina neketsa agertzen da berezko interes hori E . G. B-ko muti- hoengan piztea eta neketsago oraindik bere bizitzan matematikari izango ez diren gehiengo zabal horri gai latz hau inposatzea. Oso arrunta da liburuaren hasieran aipatzen diren printzipio teorikoak geroueago ez erabiltzea, edo okerrago izanik askotan gertatzen de- na, zeharo desberdinak diren beste bideak jarraitzea problema kon- hretuak soluzio~iatzeko garaian. Adibide gisan zera aipa daiteke: hor ari gara jo eta ke, ia aspertzeraino, erlazio matematikoekin gora eta behera, baina geroxeago proportzionaltasunari dedikatutako ar- loan ez da lehenagokoa asko erabiltzen eta zenbait kasoetan iikatri ere ukatu egiten dira lehenagoko printzipio teorikoak. Ekuazio ber- dintza mota bat da, eta berdintza berdintasun erlazioaren adieraz- pena, bainan ekuazioak azaltzeko unean erlazioak ahantzi egiten di- ra, zergatik? Logika, Maternatikaren hizkuntza omen da, eta Logi- ka estudiatzen da bainan gero ez da hizkuntza matematiko egoki bat erabiltzen zergatik? Teoriaren eta praktikaren artean dagoen lotura ahula erabiltzen ditugun programen zati negatiboenetariko hat da ezbairik gabe.

Matematikaren barneko batasuna apurtzea lskotan beren artean zerikusirik ez balute bezala azaltzen dira

gaiak ; zenbait liburuetako programa titulo batzuen bilduma dirudi, ez da horien zehar hari logikorik ikusten, adabakiz jositako jantzi zahar baten antza nonbait. Maternatika berria, ~~multzoz jositako horrialde zatar horik,,, ernateko beharrean aurkitzen dira gaurko li- buruak, bestela <<zoko usaia»; geroxeago eta problema konkretuak suluzionatzeko orduan batez ere lehengoko metodo berdinak azal-

- 14-

tzen dira; era honetan bereizketa edo partiketa faltsu bat sortu eta hedatu zaigu, Matematika berria eta zaharra, zaharra eta berria; ez da makala izan, hala-fede, zatiketa honen inguruan sortu den ezta- baida, ez da falta Matematika berria delakoa kendu izan nahi due- na ezta nahiz eta liburuan etorri eman nahi ez duena ere, kaltega- rria nonbait, sobran, gehiegikeria, aplikaziorik gabekoa. Zeinek ez du ,(eta multzoek zertarako balio dute), leloa entzun?

Eztabaida hau oso kaltegarria gertatu da Matematikaren irakas- kintza berriztatzeko, zeren eta berriztapen hau «multzotis» bat be- zala azaldua izan da, kontrako errakzio bat sortuz; Matematikaren berriztapen honek beti sofritu dugun gaitza konpondu nahi zuen, gai desberdinen arteko lotura eskasa alegia; programa osoari barne- ko eta benetazko batasuna lortzeko posibilitate bat bezala azaltzen zen delako berriztapena, baina gaizki planteatua dela deritzait eta batasun hori gertuagotu beharrean noraeza sortu du irakasleen ar- tean. Ez dakit ausartakeria bat ez den problema honi soluzio bat proposatzea bainan nere ustez, behintzat, gaitzaren erroa zera izan da: multzo teoria sartzeko multzo teoria jo eta ke aipatzeko sentitu den beharra; oso metodologia txarra erabili da, igeriketan ez dakien bati erakusteko, hamaika aldiz «aizu igeri ba» esatea izan da jarrai- tu den sistema, ez gera konturatu aipatzea ez baizik eta erabiltzen erabiltzea da benetazko gakoa. Azalari eman diogu lehentasuna barneko muina eta egitura itxuragabeki ahantziz; edozein gaia dela eta multzo teoria erabiltzea posible da eta baietztapen honek oso esannahi sakona gordetzen du posible egiten bait digu gaien artean sailketa logiko bat burutzea eta baita batasun hori nonbait finka- tzea. Ordaina proposatzerakoan itzuliko gara gai honi funtzeskoe- netariko bat dela pentsatzen bait dut.

a-34: Gai bakoitzaren barruan besteak ez erabiltzea Berez gaitz hau oso loturik dago aurreneko puntuan aipatutakoa-

rekin ez da oso argi ikusten zeinen akatsa den programarena ala me- todologiarena. Gai bakoitza, isolaturiko uharte batetan galdutako naufrago bakarra dirudi, berez justifika daitekeen zerbait, besteen laguntza behar ez duena, kalkuloarena ez ezik. Logikataz ari izango da liburua eta ondo eta sakonki gainera; esango digute Matemati- karen oso zati inportantea dela baina gero ez da liburuaren beraren beste gaietan aipatuko. Logika hizkuntza bat da, Matematikaren hizkuntza esango nuke nik, eta ondorioz jokabiderik zuhurrena hiz- kuntza hori erabiltzea dirudi edozein gaia dela idazten dugularik. Hona hemen aiferrik galtzen dugun beste posibilitatea batasuna lortzeko, hizkuntza bakarra erabiltzea ez bait litzateke pauso ma- kala izango gure programak eta metodologiak hobetzeko.

Lau puntu hauetan bildu nahi izan ditugu gaurko programen akats handienak; eta emandako arrazoi guztiek ordain baten beha- rra nahiko justifikatzen dutelakoaren nagoelako, ordain horren azalpenean saiatu behar gara ondorengo honetan.

B) Ordain baten proposamena b-1: Ordain hau burutzean kritikan aipaturiko akatsak sahiesten saiatu

gara eta proposamen konkretora pasa baino lehenago, guzti horren oinarrian dagoen filisofia zehaztu nahi genuke. , 4smoa hauxe da; Matematikaren ikuspegi orokor bat finkatzea; ikuspegi honek programak jarraitu behar duen bidea markatuko du. Hau lortuz gero gai bakoitzaren lekua ondorio bat izango litzateke, hots, programak duen ikuspegiaren ondorioa.

Hona hemen guk proposatzen duguna: 1- Multzo konkretu bat hartu eta aztertu 2- Multzo horretan definituriko erlazioak

B-1 Barne konposaketaren legeak B-2 Multzo barruko erlazioak B-3 Multzo arteko erlazioak

3- Multzo horren egitura ikasi. -

1.- Lehenengo hiru puntuetan erabilitako teoria matematikoen oi- narri teorikoa k.

Posible ahal da Basikako 2. zikloan ematen diren gai guztiak 4 puntii hauetan biltzea? Gure ustez, bai eta horregatik ausartzen gara proposamen hau egitera.

Lau puntu hauek eta batez ere hiru lehenengoek ordena logiko bat gordetzen dute eta honek berezko eta barrueko batasun bat ematen dio edo diezaioke programari. Egituraketa honen beste abantaila zera da: ez dela huts-hutsean programari begira egindako sailketa bat, baizik eta Matematikaren funtsa hila dago taxuturik, horra hor multzo teoriak eskein dezake abantail paregabea, gaien ordenazio lo- giko eta zientifiko bat alegia, eta nahiz eta eremu horretan sudurra sartu ez E. G. B-ko lehenengo zikloan filosofia berdinari jarraituz programa zehatzea posiblea dela usaintzen dugu.

b-2: Ez dugu proposamen hau planteamentu teoriko batetan utzi nahi, eta lau kurtso horietarako programa konkretoak eskeintzen ditugii ondoren, programa era berezi batez azaltzen da, lau parteetan zatitu- rik.

Motibazioa edo erreferentzia materiala: gaiaren abiaburu be- zala hartzen dugun errealitate fisiko edo soziala, nahiz eta arazo hau kutsu metodologiko bat eduki oso beharrezkoa ikusten dugu programan zehatzea. Gai matematikoa: lantzen ari garen gaia zein den zehazten da zati honetan. - Programa orokorra: hemen lehenago proposaturiko ordena ba- rruan non gauden esaten da, bidea ondo eramaten dela zihurtatze- ko. Erabiltzen diren teoria matematikoak: zuzenean ez aipatu arren, gai horren desarroiloan ukitzen diren beste gai matemati- koak, gai hauen artean aukeratzen dira bat edo beste programaren (4) punturako.

5. BASIKA

MOTIBAZIO EDO ERREFERENTZIb MATERIALA

KONTAKETA

NEURKETAK

ERABILTZEN DIREN TEORlA MATEMATIKOAK

- Multzo teoria

- Zenbaki teoria

- Multzo teoria - Multzo arteko

eragiketak - Hizkuntza matematikoa - Logika - Erlazio matematikoak

- Multzo teoria - N barruko eragiketak - Hizkuntza matematikoa - Logika

- Multzo teoria - Zenbaki teoria - Erlazio matematikoak - Multzo teoria - Multzo arteko

eragiketak - Hizkuntza matematikoa - Logika - Erlazio matematikoak

- Multzo teoria - Erlazio matematikoak - Logika - Hizkuntza matematikoa

GAI MATEMATIKOA

5-1 N multzoa

zenbaki teoria oinarriak

5-2 N barruko eragiketak

- , x , : , b e r eragiketa konposatuak

5-3 N barruko erlazioak

Multiploa, zatitzalea

5-4 Zenbaki hamartarrak

Magnitudeak (H) H barruko eragiketak

5-5 N multzoko egitura

5-6 Erlazio matematikoak - adierazpena

Multzo teoria Teoria Matematikoa z -17 -

PROGRAMA OROKORRA

1

N multzoa

2-1

Barne konposaketaren legeak

2-2 Multzo barruko erlazioak

1 Q multzoa 2-1 Barne konposaketaren posaketaren legea

3 Multzoaren egitura

4 Teoria Matematikoa

MOTIBAZIO EDO ERREFERENTZIA MATERIALA

Desplazarnentuak:

G A1 MATEMATIKOA

6-1 Z rnultzoa

Z barruko eragiketak

konposatuak

Z barruko erlazioak

BASIKA

PROGRAMA OROKORRA

1 Z rnultzoa (NxN)

2-1

Barne

konposaketaren l e ~ e a k

2-2 Multzo barruko erlazioak

- Multzo teoria - Erlazio rnatematikoak

- Multzo arteko eragiketak

- Erlazio matematikoak - Hizkuntza matematikoa

- Erlazio rnaternatikoak - Logika - Hizkuntza matematikoa

Neurketak: 6-2 Zenbaki harnartarrak (H) Magnitudeak

H barruko eragiketak konposatuak

1 Q rnultzoa

2-1 Barne konposaketaren legeak

- Multzo teoria - Zenbaki teoria - Erlazio matematikoak

- Multzo arteko eragiketak

- Erlazio maternatikoak - Hizkuntza matematikoa

Bizitza a r r u n t a r e n da toak prezioak soldatak, ... n a t u r zientziako zenbaii ideia a r r u n t a k abiadura , ixuria pisti espezifikoa

6-3

Propoltzionaltasuna Multzo arteko erlazioak

- Multzo teoria - Erlazio Matematikoak - H barruko eragiketak - Magnitudeak

Uni ta te osoa ez di ren e l emen tuen adierazpena ,

6-4 Q rnultzoa

1 Q rnultzoa (NxN)

Q barruko Multzo barruko erlazioak erlazioak l 2-2

- Multzo teoria

- Erlazio matematikoak - Logika - Hizkuntza matematikoa

1 egitura 1 egitura 1 1 6-6 1 4

Hizkuntza Teoria maternatikoa mateniatikoa Logika

1

Erlazio ~ a t e m a t i k o a k 6-7

Teoria matematikoa 4

7. BASIKA

MOTIBAZIO EDO ERREFERENTZIA MATERIALA

IJnitate osoa ez diren elementuen aztdrketa ,

Iriidi geometrikoak, gcrtaera fisikoak,

Bizitza arruntaren datoak prezioak, soldatak, deskuentoak Natur zientziako aenbait ideia arruntak ubiadiira, ixtiria, pisu espezifiko~. ... Gizarte Zientziako zrnbait idei arruntak

I Proportzionaltasuna

GAI PROGRAMA ERABILTZEN DIREN MATEMATIKOA OROKORRA TEORIA 1 1 MATEMATIKOAK

7-1

Q multzo

Q barruko eragiketak konposatuak

7-2 Q barruko erlazioak

Q multzoa (2x2)

2-1 Barne konposaketaren legeak

272 Multzo

-Multzo teoria - Erlazio matematikoak

- Multzo arteko eragiketak - Erlazio matematikoak - Hizkuntza matematikoa

, - Erlazio Matematikoak berdintza 1 barruko 1 - Logika desberdintza , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , erlazioak Hizkuntza matematikoa ekuazioak, inekuazioak, problemak

- Hizkuntza matematikoa - Egitura matematikoak - Q barruko eragiketak

Proportzionaltasuna Multzo - Multzo teoria arteko - Erlazio matematikoak erlazioak - Q barmko eragiketak

- Magnitudeak

7-4 3 Q multzoko Multzoaren egitura egitura

7-5 4 Erlazio I Teoria Tematikoak matematikoak y = a.x y = a.x b

Logika Teoria matematikoak

8. BASIKA

MOTIBAZIO EDO ERREFERENTZIA MATERIALA t Irudi geometrikoak Zenbaki segidak L I Porportzionaltasuna Geometria

GAI PROGRAMA MATEMATIKOA OROKORR A

P Multzoa

Funtzio polinomikoa - Hizkuhtza maternatikoa

Polinomioa

Polinomio arteko eragiketak konposatuak

8-2 Lehenengo eta bigarren mailako funtzioak

2-3 Multzo arteko erlazioak

ER&DILTZEN

MATEMATIKOAIC

- Multzo teoria 1 - Erlazio matematikoak 1 - Q multzoko egitura - Q barruko eragiketak

- Erlazio matematikoak - Hizkuntia matematikoa - Q b a m k o eragiketak I

Logika Matematikoak

Programa honen barruan hutsune nabari bat daga, Estatistikare- na alegia. Programa barruan azaltzen da bainan oso modu artifizial batetan, nere iritziz hiru aukera daude:

a) ez eman, BUP-erako utziz b) planteamentu bat eginez beste gaiekin batera ematea C) ahal den moduan ematea. b) bidetik saiatzea interesgarria litzateke bainan egin gabe dauka-

gu lan hori eta beraz ez nago soluzio bat emateko moduan.

b-3: Hona hemen, hasieran aipatu ditugun lau akatsak konpontzeko es- keintzen diren bideak.

a-31 : Gai orokorrak (matematika teorikoa) beti hasieran ipintzea Gai teorikoak bukaeran jarri ditugu, bainan honekin batera bi

ohar : Aurreneko lanetan erabilitako gai teorikoak ukituko dira baka-

rrik bukaeran. Gai teorikoetan ere, erabiltzen den maila teorikoa zaindu behar-

ko da. Hau metodologiari dagokio.

a-32: Teoriaren eta praktikaren artean egoten den loturaren ahu- lezia

Praktikari eman diogu lehentasuna, bainan praktika honen erro teorikoak apurtu gabe.

Gai praktikoak teoriari zegokion tokian ipini ditugu; adibidez ((multzo arteko erlazioak), aztertzeko garaian ~ekuazioak! ipini ditu- gu (ikus 7. Basikako programa) ; arlo honetan asko saiatu gara eta programak duen abantail hobenetariko bat dela pentsatzen dut.

a-33: Matematikaren barneko batasuna apurtzea b-1 sailean planteatutako 4 puntuetan finkatzen da programa

osoa; 4 puntu horiek beraiek ere multzo ideian dute batasun osoa; ondorioz lehenago salatutako batasun eza gainditzen dugula irudi- tzen zait; gaiak ere planteatutako ordenean azaltzen dira, era hone- tan gaia ez da etortzen zerbait arrotza balitz bezala, baizik eta era- maten ari garen hari logikoaren ondorio bat bezala.

a-34: Gai bakoitzaren barr-uan besteak ez erabiltzea Lehenago esan genuen bezala metodologiari dagokion gaia dirudi

hau, bainan toki egoki batetan aipatzeak asko laguntzen du eginbe- har honetan; aproportzionaltasuna», werlazio matematikoen)) tokian ezplikatzeak laguntzen du, ezin bestean, gai honen desarroiloan de- lako teoria hori erabiltzeko.

c)(BUKAERA Bukaera honek hasieral eta abiapuntu bat izan pahi du; lantxo

honen lehenengo hitzak eqrepikatuko nahi nituzke hemen. Progra-

maren problema konpondu gabeko problema dugu eta guk eskaini- takoa gaurkoa ordenatzeko eta logikoago bihurtzeko asmo bat bes- terik ez da izan, oinarrizko galderak erantzun gabe utzi ditugu eta beraz nun saiatzea badagoela ikusten da.

Metodologia eta programa batera aztertu beharra ez bait da gure eginbeharra, nahiz eta batzuek hala uste, gai jakin batzuk esplika- tzeko metodo edo sistema egokiak bilatzea huts-hutsean; baizik eta Matematika aktibitate bat bihurtzea eta aktibitate honek eskatzen diguna aztertzea; hori'da gure aurrean dugun apostua.