Matematicas2 2determinantes

Nuestra Señora de la Paz Carmen

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Matemáticas

Colegio La PazCarmen García Suarez

Eolapaz.com / Historia de España


2

Tema 2Determinantes

2.1 ConceptoCálculo de

determinantesde orden 2 y 3

2.2 Propiedades2.3 Métodos para

el cálculo de determinantes

de orden superior

2.4 Cálculo delrango de una

matriz

2.5 Existencia y cálculo de la matriz inversa

2.3.1Por adjuntos 2.3.2 Por Chio 2.3.3 Por triangulación


3

Producto que si cambia de signo

(–)

Producto que no cambia de

signo (+)

a11 a12

a21 a22

2.1.1. CONCEPTO DE DETERMINANTENúmero asociado a una matriz CUADRADA


4Productos con signo cambiadoProductos con su signo

2.1.3.CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN 3

Regla deSarrus


5

2.2.PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

I. Un determinante es igual a CERO si:

Hay una línea de ceros

Hay dos líneas paralelas iguales

Hay dos líneas paralelas proporcionalesUna línea es c.l. de las demás

II. EL DETERMINANTE NO VARÍA SI A UNA LÍNEA SE LE SUMA UNA C.L. DE LAS DEMÁS

311 5CCC

322 CCC

0

432

864

201

0

353

232

111

010

30

4222

100

259

422

115

231


6

III Si cambiamos dos líneas paralelas entre sí, el determinante cambia de signo

42

13

24

31

IV Si multiplicamos todos los elementos de una línea por el mismo número, el determinante queda multiplicado por ese número

VI Si A y B son cuadradas BABA ..

V

VII El determinante de una triangular es igual al producto de la diagonal principal 100 n

t IAA

413

021

152

413

041

132

413

011

122

433

071

1102

31

232

31

46

7104

323

141

2

1

754

313

121


7

(–1)1+4 = –1(–1)1+3 = +1(–1)1+2 = –1

Adjuntos de la primera fila de la matriz A y sus signos correspondientes

(–1)1+1 = +1

ADJUNTO DE UN ELEMENTO


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Dada la matriz cuadrada A, se llama MATRIZ ADJUNTA de A y se representa adj A, a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij

adj A =

1 0

–2 2 – 2 0 3 2

2 1 3 –2

––2 2 –2 2

2 2 3 2 –

2 –2 3 –2

–2 2 1 0 –

2 2 2 0

2 –2 2 1

=

2 –4 –7

0 –2 –2 –2 4 6

MATRIZ ADJUNTA


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2.3. METODOS PARA CALCULAR DETERMINANTES3.3.1. POR ADJUNTOS

• El determinante de una matriz cuadrada es igual a la SUMA de los ELEMENTOS de una fila o columna MULTIPLICADOS por sus ADJUNTOS correspondientes.

• El valor del determinante es independiente de la fila o columna elegida para su desarrollo.


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Si en un determinante todos los elementos de una fila o columna son nulos, salvo uno, el valor de dicho determinante se puede obtener multiplicando dicho elemento por su adjunto.

det (A) = | A | = 0 . A12 + a22 . A22 + 0 . A32 + 0 . A42 = a22 . A22

2.3.2. REGLA DE CHIO

2.3.3 TRIANGULACIÓN O GAUSS

Se hace triangular la matriz sin que varíe el valor del determinante, con lo que su cálculo se reduce al producto de la diagonal principal

Para hacer ceros se utiliza la propiedad II de los determinantesII. EL DETERMINANTE NO VARÍA SI A UNA LÍNEA SE LE SUMA UNA C.L. DE LAS DEMÁS 4222

100

259

422

115

231


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El rango de una matriz coincide con el orden del mayor determinante distinto de 0 que se puede extraer de la matriz

1

C1 C2 C3 C4

2.4. CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

Si las dos filas son l.i. el rango es 2. Si las dos filas son l.d. el rango es 1


12

2

C1 C2 C3 C4

• Se eligen dos columnas independientes: por ejemplo C1 y C2.

• Si no existen, rango(A) = 1 ó rango(A) = 0 (en caso de que los

elementos de la matriz fueran nulos).

• Si existen, rango (A) 2

• Se calculan det(C1, C2, C3), det(C1, C2, C4), ...

• Si algún determinante no es 0, rango(A) = 3.

• Si todos son 0, rango(A) = 2.


13

3

C1 C2 C3 C4

• Se eligen tres columnas independientes: por ejemplo C1, C2 y C3.

• Si no existen, rango(A) = 2, rango(A) = 1 ó rango(A) = 0 (en caso

de que los elementos de la matriz fueran nulos).

• Si existen, rango (A) 3

• Se calculan det(C1, C2, C3, C4), det(C1, C2, C3, C5), ...

• Si algún determinante no es 0, rango(A) = 4.

• Si todos son 0, rango(A) = 3.


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• Dada la matriz cuadrada A, su inversa es igual a la matriz traspuesta de su adjunta dividida por el determinante de la matriz dada.

• Una matriz es inversible o regular si su determinante es distinto de cero. En caso contrario se dice singular.

A-1 = 1

det(A) tadj A =

1–2

2 0 –2

–4 –2 4 –7 –2 6

=

–1 0 1

2 1 –2 7/2 1 –3

2.5. MATRIZ INVERSA

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