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MATEMÁTICAS SECUNDARIA PRIMER GRADO

Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius

Gerencia de publicaciones escolares Felipe Ricardo Valdez González

Coordinación editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar

EdiciónCésar Jiménez EspinosaAlberto Lara CastilloArmando Solares Rojas

Revisión técnicaLaura ReséndizAlicia Vicuña Guante

AutoresDavid Francisco Block Sevilla, Silvia García Peña

ColaboraciónMónica de Lourdes Valencia (páginas 68, 69, 120, 121, 178, 179, 218 y 219)Ana Laura Barriendos (páginas 256, 257)

Coordinación de correcciónAbdel López Cruz

CorrecciónEquipo SM, Daniel García

Dirección de arte y diseñoQuetzatl León Calixto

Diseño de la serieJesús García, Herminia Olvera

Diseño de portadaSegundo Gerardo Pérez Cuevas

Coordinación de iconografía e imagenRicardo Tapia García

ImagenEquipo SM

Coordinación de diagramaciónJesús Arana

DiagramaciónJesús Arana, Jesús García,Aldo Botello, María Elena Amaro,Víctor Hugo Romero Vargas

IlustracionesGuillermo López Wirth

FotografíaArchivo SM, CONACULTA.-INAH.-MEX. Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Antropología e Historia, pág. 18D.R. Salvador Dalí/VEGAP/SOMAAP/México/2008. Pág. 120M.C. Escher’s © 2008 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. Pág. 218.© 2011, Thinkstock

Digitalización y retoqueCarlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni

ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya

Fractal 1. MatemáticasSerie ConStruir

Primera edición, 2006Segunda edición, 2007Tercera edición, 2008Cuarta edición, 2011D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx

ISBN 978-607-471-880-5

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V.

Prohibida su reproducción total o parcial.

Impreso en México/Printed in Mexico

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Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, contar las sillas para saber si alcanzarán para los invitados, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica que

más conviene, decidir si un juego con dados es equitativo, son algunas de muchas acciones en las que hacemos matemáticas.

También hacemos matemáticas cuando intentamos contestar preguntas de las matemáticas mismas, por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5?; las medidas de los lados de un triángulo, ¿pueden ser tres números cualesquiera?; ¿es posible prever cuál será el centésimo término de una sucesión que empieza así: 1, 3, 5, 7…?

Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina que ya se tienen, para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen no son suficientes.

Hacer matemáticas es una buena manera de aprender matemáticas. Por ello, en este libro procuramos proponerte numerosas cuestiones que pueden resolverse con ayuda de las matemáticas.

Cuando enfrentas problemas nuevos, debes sentirte con la libertad de hacer todo lo que se te ocurra para resolverlos; por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer lo que hacen tus compañeros y con la ayuda de tu profesor, la manera en que resuelves esos problemas se irá haciendo más sistemática y segura.

Cuando desarrollas o conoces una técnica nueva para resolver cierto tipo de problemas, debes practicarla para dominarla.

Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos o en grupo: l al enfrentar una nueva tarea, es bueno que pienses un rato tú solo. Después, compartir

las ideas y las dudas con los otros, trabajando en parejas o en equipos, te puede ser muy útil para avanzar;

l al terminar de resolver los problemas, explicar al grupo lo que hiciste o lo que hicieron en tu equipo, conocer lo que hicieron tus otros compañeros, decidir juntos si los resultados son correctos o no, y conocer los aportes del profesor, te ayudará mucho a aprender.A lo largo del libro se indican únicamente los momentos de trabajo en grupo, en equipo

o en pareja que son muy necesarios, con estos símbolos:

Sin embargo, en muchos otros momentos que no se indican, esas formas de organización pueden ser convenientes. Tu profesor o profesora les propondrá en qué momentos usarlas.

Esperamos, como todos los autores que escriben para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te haga decir, algunas veces, ¡esto sí me gusta!

Los autores

Presentación

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194

Cuando una relación entre dos conjuntos de cantidades es de proporcionalidad, hay un número (siempre el mismo) que al multiplicarlo por cualquier valor de un conjunto, da el valor que le corresponde en el otro conjunto. Ese número se denomina constante de proporcionalidad. Por lo tanto, si se representa a los valores de un conjunto con la letra x, a los del otro conjunto con la letra y, y a la constante de proporcionalidad con la letra k, la regla de co-rrespondencia de una relación de proporcionalidad es del siguiente tipo:

y = kx

Por ejemplo: y = 3.14x; y = 0.2x; y = 5x

Lección 81 Reglas de correspondencia IIEs posible saber si una relación es de proporcionalidad a partir de su regla de correspondencia.

1 En la lección anterior, “Reglas de correspondencia I”, trabajaste con varias relaciones entre cantidades de dos conjuntos que se presentaron en tablas. En la segunda columna de la tabla siguiente, indica cuáles de esas relaciones son de proporcionalidad y cuáles no. En la tercera columna explica cómo lo supiste. Para recordar qué caracteriza a una relación de proporcionalidad, puedes consultar la lección 19, “¿Son proporcionales?”; la lección 20, “Barcos a escala”; o la lección 61, “La regla de tres”.

Tabla ¿La relación es de proporcionalidad? Porque…

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2 En grupo y con ayuda de tu profesora o profesor, realicen lo siguiente:

a) Comparen las respuestas que dieron a la tarea anterior. b) Observen en qué se parecen las reglas de correspondencia de las relaciones que son de propor-

cionalidad.c) Lean y comenten la información que se presenta enseguida.

195

3 A continuación se presentan reglas de correspondencia de varias relaciones.

a) Marca con 3 cuando consideres que la relación es de proporcionalidad y un tache cuando con-sideres que no lo es.

y = 2x y = 34 x y = 0.1x y = 2x +1 y = 5x 3

b) Escribe los valores que faltan en las tablas usando las reglas de correspondencia anteriores.

c) Indica en qué tablas la relación no cumple con la siguiente propiedad y por lo tanto no es de proporcionalidad:

Cuando una cantidad de un conjunto aumenta dos, tres veces o n veces, la cantidad correspondiente del otro conjunto también aumenta ese mismo número de veces.

d) Indica en qué tablas la relación tiene un factor de proporcionalidad. Indica cuál es el factor.

4 Con tus compañeras y compañeros y con ayuda de tu profesora o profesor comparen las respuestas que obtuvieron en la actividad 3.

5 Describan una relación que tenga como regla de correspondencia la que se indica. Vean el ejemplo.

Regla de correspondencia x representa y representa Descripción de la relación

y = 3x Número de tamales Precio que se paga Cada tamal cuesta $3.00, por lo tanto, por x tamales se pagan 3x pesos.

y = 100x

y = 0.2x

6 Comparen las relaciones que escribieron con las de sus compañeros y compañeras.

7 Resuelve el anexo 5 de las páginas 262 a 263.

Tabla 12y = 2x

x y1412

1

3

Tabla 13

y = 34

x

x y

1

4

8

9

Tabla 14y = 0.1x

x y

1

10

20

5

Tabla 15y = 2x + 1

x y

1

2

4

13

Tabla 16y = 5x 3

x y

1

2

3

22

4.3.

Exp

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rela

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amen

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xpre

sión

y =

kx.

TECNOLOGÍA

15

La palabra cero viene del árabe sifr, que significa vacío. Los árabes difundieron por el mundo muchos conocimien-tos matemáticos que tomaron de otras culturas, como el cero, proveniente del sistema de numeración de la India.

Una muestra del conocimiento geométrico de los árabes puede verse en la Alhambra, en España, donde existen muchos mosaicos elaborados con repeticiones simétricas de una figura (teselados).

En este bloque estudiarás:• las propiedades de los sistemas

de numeración;• la representación de números

fraccionarios y decimales en la recta numérica;

• sucesiones de números y figuras construidas a partir de una regla;

• fórmulas del área de figuras geométricas;

• la simetría con respecto a un eje;

• problemas de proporcionalidad directa y de reparto proporcional;

• algunas técnicas para solucionar problemas de conteo.

BLOQUE I

15

Comentario sobre algún aspecto histórico de un conocimiento de matemáticas.

Fractal 1 está dividido en cinco bloques. Cada bloque se inicia con una página intro-ductoria que consta de los siguientes elementos:

Actividades de construcción del conocimiento.Actividades diseñadas para que el alumno se enfrente a situaciones problemáticas con los conocimientos de matemáticas que ya posee y desarrolle nuevas técnicas y conceptos que le permitan resolver problemas similares.

Formas de organizaciónEn algunas actividades se sugieren formas de organizar el trabajo: individual, en parejas, en equipo o grupal.

tecnologíaEstas actividades se refieren a la sección Anexos, al final del libro.

programáticos que se estudian en el bloque.

Imagen que ilustra algunos conceptos matemáticos del bloque.

Los contenidos se desarrollan con lecciones de dos páginas que presentan estos componentes:

ConceptosCuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.

introducciónTexto breve donde se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que se va a estudiar.

ContenidoEn cada lección se indica el contenido que se trabaja del programa oficial. Si intervienen de manera importante dos o más contenidos del programa, se señalan todos.

Guía de uso

Guía de uso

Repasemos lo aprendidoContiene preguntas de los distintos temas que se vieron en el bloque. Contestar estas preguntas te permitirá repasar y, al mismo tiempo, identificar algunas cuestiones que quizá no te hayan quedado claras. Encontrarás el formato típico de los exámenes para que te vayas acostumbrando a usarlo: preguntas de opción múltiple y una o varias preguntas abiertas.

Al finalizar cada bloque, encontrarás tres secciones:

Las matemáticas en…Se proponen situaciones de la vida cotidiana, de la naturaleza, de la música o de otros ámbitos, en los que sorprendentemente, hay un conocimiento de matemáticas en juego.

Y para terminar…Contiene una actividad final que se relaciona con varios de los temas que se vieron en el bloque.

Al final del libro, encontrarás la sección Anexos, con algunas actividades que se llevan a cabo con computadora. Estas actividades te permitirán afirmar algunos aspectos de los temas que has venido estudiando, al mismo tiem-po que aprenderás a usar algunos programas. Los momentos en los que se sugiere realizarlas vienen indicados en las lecciones con el símbolo TECNOLOGÍA.

También se incluye una tabla que relaciona los contenidos programáticos con los del libro.Por último, hallarás una tabla que relaciona los contenidos del programa y las lecciones del libro.

Lección 13

66

I Subraya la respuesta correcta

1 En cierto sistema de numeración, el 205 se escribe así: De las siguientes afirmaciones, ¿cuáles son verdaderas con respecto a ese sistema de numeración?i. Es un sistema posicional.ii. Tiene un símbolo especial para el cero.iii. No es un sistema posicional.iv. El símbolo vale 1.

a) i y iii b) i y ii c) ii y iv d) iii y iv

2 Esta secuencia de números está en base 4: 14, 24, 34, 104, 114, 124, 134,… ¿Qué número sigue?

a) 144 b) 204 c) 244 d) 214

3 Júpiter es el planeta más grande de nuestro sistema solar, tiene un diámetro ecuatorial de ciento cuarenta y dos millones ochocientos mil metros. ¿Cómo se escribe ese número?

a) 1 428 000 b) 14 280 000 c) 142 800 000 d) 1 428 000 000

4 ¿Qué número señala la flecha?

5 ↑ 7

a) 23 b) 5 2

3 c) 6 1

2 d) 6 1

3

5 ¿Cuántos palillos tendrá en total la figura 100?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400

6 Si se considera la secuencia de la pregunta 5, ¿cuántos palillos tendrá la figura n?

a) 3 + n b) 3 ÷ n c) 3n d) 3 n

Repasemos lo aprendido

67

∉ ⊄ ∈∇

7 ¿Cuál es la expresión que corresponde al perímetro de la figura? Subráyala.

m m

na) 2 + m + n b) 2m + n c) m + n d) 2mn

8 Considera la simetría con respecto a un eje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Los puntos simétricos están a distancias diferentes del eje de simetría.b) El segmento que une a un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría.c) La simetría con respecto a un eje no conserva la medida de los ángulos.d) La simetría con respecto a un eje no conserva la medida de lo segmentos.

9 Tres maestros, Daniel, Carlos y Érica, necesitan comprar pliegos de cartoncillo para realizar un trabajo con sus alumnos. Deciden comprar entre los tres un pa-quete de 90 pliegos, pues así les sale más barato. El paquete les cuesta 45 pesos. Daniel se queda con 40 pliegos, Carlos con 30 y Érica con 20. Deciden que el pago sea proporcional a la cantidad con la que cada uno se quedó. ¿Con cuánto debe cooperar cada uno? Subraya la opción correcta.

a) Daniel $15, Carlos $15, Érica $15b) Daniel $40, Carlos $30, Érica $20c) Daniel $10, Carlos $30, Érica $5d) Daniel $20, Carlos $15, Érica $10

10 En una urna se tienen 4 bolas como las siguientes:

Sin ver se extrae una bola, se anota su símbolo y se regresa a la urna; después se extrae una segunda bola y se anota el símbolo. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden extraer las dos bolas? Subraya la opción correcta.

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16

II Haz lo que se te indica

1 ¿Cómo se puede formar la cantidad de $20.00 con monedas de 10 centavos y de 50 centavos?a) Encuentra todas las soluciones posibles.b) Compara con tus compañeros, comenten el procedimiento de cada uno. Vean si es seguro que

tienen todas las soluciones posibles.1

1 FFente: SFdovsky, PFtriciF. Tesis doctorFl

Y para terminar...

258

1 Formen equipos.

2 Por equipo, hagan un tablero como el siguiente:

3 Consigan fichas (pueden ser frijolitos o botones).

4 Nombren a la persona que manejará la caja.

5 Cada integrante se queda con 20 fichas y el cajero con 50.

6 Cada integrante puede hacer apuestas de acuerdo con estas reglas:

• Nadie puede apostar al 7.• Se puede apostar el número de fichas que se desee

a un número en particular, por ejemplo, al 8, al 3, al 4. Si al lanzar los dos dados el total de puntos es igual a ese número, la caja le dará al jugador el doble de fichas de las que apostó.

• Se puede apostar a “chicos” o “grandes”, colocando en la parte azul las fichas por apostar. Si al lanzar los dos dados cae un número chico, a quienes hayan apostado a “chicos” la caja les dará el mismo número de fichas que apostaron; si cae uno grande, se dará lo mismo a quienes hayan apostado a “grandes”.

¡Juguemos a chicos y grandes!

• Si a un equipo se le acaban las fichas, queda fuera.La caja, en cambio, puede pedir más fichas.

7 Cuando los dados marquen 7, la caja recoge todas las fichas que en ese momento estén en el tablero.

¡A divertirse!Cuando terminen de jugar, analicen:

1) La probabilidad de que el total de puntos de los dos dados sea igual a cada uno de los números del tablero.

2) ¿Qué número tiene más probabilidades de salir en los dos dados?

3) ¿Qué números tienen menos probabilidades?4) Si se lanzan dos dados y en el tablero hubiera un 1,

¿le apostarías al número 1?, ¿por qué?5) ¿Conviene más apostarle a números chicos, a números

grandes o da lo mismo?

6969

Las plantas distribuyen sus hojas, ramas y pétalos, de tal manera que absorben la máxima luz solar. Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en otro, ¡dos números que están en la sucesión de Fibonacci!

El caracol ha logrado sobrevivir a muchas etapas de evolución. En su estructura es posible encontrar la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

¿Cómo puede notarse que los datos que se dieron sobre la reproducción de los conejos no son reales?

Si ya tienes la regla, puedes continuar la secuencia. Escribe 10 números más.

El “problema de los conejos” proviene del libro Liber Abaci, escrito por el matemático italia-no Leonardo Fibonacci y publicado en 1202. Desde entonces, el problema ha fascinado a muchos debido a la sucesión de números que aparece al encontrar la respuesta. La lista es conocida como sucesión de Fibonacci y resulta aún más fascinante encontrarla en los lugares menos esperados.

Haz dos listas de números que contengan los principios de la sucesión de Fibona-cci; inicia la primera con “3, 3”, y la segunda con “5, 5”.

3, 3,

5, 5,

112

35

8

13

Las matemáticas en la naturaleza

68

Imagínate que en enero te regalan una pareja de conejos recién nacidos. Después de dos meses, esos conejos procrean una nueva pareja. Des-

pués de ello, cada mes, siguen procreando una nueva pareja.Cada nueva pareja de conejos, después de dos meses, produce una

nueva pareja y sigue produciendo una pareja cada mes.

Completa la tabla. Observa que los conejos recién nacidos se representan con un círculo pequeño y los conejos de más de un mes con un círculo mayor.

Mes Conejos Núm. de parejas

Enero 1

Febrero 1

Marzo 2

Abril 3

Mayo 5

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Escribe la secuencia de números de la tercera columna de la tabla anterior.

1, 1, 2, 3, 5, 8

¿Cuál es la regla que sigue esta secuencia? Descúbrela y anótala.

Presentación para el maestro

El enfoque didáctico de Fractal

A continuación se exponen las principales características del enfoque didáctico que subyace en el desarrollo de los temas en los libros Fractal.

Empezar con un problema. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que éste aparezca como respuesta a una pregunta o como so-lución a una problemática que los alumnos ya hayan enfrentado. Se considera también que, en muchos casos, al enfrentar una problemática adecuada, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al que se les quiere enseñar.

Por esta razón, numerosas lecciones de Fractal comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas; sólo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado.

¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información sobre el cono-cimiento involucrado, han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan abordarlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución de dichos problemas con herramientas más elementales o bien que, aun cuando no pudieran resolverlos, identifiquen una limitación en sus conoci-mientos previos y la necesidad de uno nuevo.

Después de abordar estos problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejerci-cios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, el profesor complementará los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que él diseñe o tome de otros materiales.

Varios procedimientos y no uno solo. “¿Por qué tanto brinco estando el suelo tan parejo?” es la pregunta que se hacen algunos maestros ante la diversidad de proce-dimientos que se propone para resolver ciertos tipos de problemas. Hay varias razones: ocurre con frecuencia que los procedimientos más rápidos, o más elaborados, para re-solver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres), tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pa-sos; otros procedimientos, en cambio, aunque más precarios, por ser más largos o menos sistemáticos, son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso en ciertos casos los pueden establecer por sí mismos. Estos procedimientos cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunos son más económicos que el procedimiento más avanzado e, incluso, constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que olvidan la técnica más avanzada.

Cabe señalar, además, que está demostrado, al menos para algunos temas, que los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la re-solución de problemas. A final de cuentas, ¿cuál de varios procedimientos es el mejor? Esto depende muchas veces del tipo de problema y de los conocimientos de quien resuelve.

Articulación de contenidos. Uno de los “males” de los programas escolares es que atomizan los conocimientos en aras de organizar la enseñanza: los conocimientos en los

Presentación para el maestro

programas han tendido, a lo largo del tiempo, a segmentarse en pequeños conocimientos parciales, aislados unos de los otros, con lo cual su sentido se ha mermado y dificultado, contrariamente a lo que se buscaba.

Una tendencia actual en la enseñanza de las matemáticas es buscar mayor integración de los conocimientos. Si bien en este aspecto todavía hay mucho camino por andar, los programas actuales ofrecen ciertas mejoras, y en la serie Fractal hemos intentando apro-vechar esas posibilidades. Así, por ejemplo, los temas de números racionales, proporciona-lidad y escala se articulan en la secuencia propuesta para el estudio de la multiplicación por números no enteros; la noción de función lineal se articula con la de relación proporcional; las áreas y los volúmenes se exploran para determinar si varían proporcionalmente. Estas integraciones pueden identificarse en la indicación de los contenidos del programa que se tratan en cada lección, señalados en el margen derecho de las lecciones.

Secuencias de lecciones. Las lecciones se presentan casi siempre en grupos de dos a cuatro y, en pocos casos, cinco. Cada grupo constituye una pequeña secuencia en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra; esto no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún aspecto de ese mismo tema.

En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los apren-dizajes esperados con dos innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.

• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones, en ésta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases;

• para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento.

Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enri-quezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos.

Los autores

Dosificación

S E M A N A S

1 2 3 4

BLO

QU

ES

1

1.1. Sistemas de numeración(lecciones 1 a 5)

1.2. Fracciones y decimales en la recta numérica (lecciones 6 a 9)

1.3. Sucesiones de números (lecciones 10 a 13)

1.4. Uso de literales en fórmulas geométricas(lecciones 14 y 15)

1.5. Simetría respecto a un eje(lecciones 16 a 18)

2

2.1. Problemas aditivos con fracciones y decimales(lecciones 26 a 28)

2.2. Multiplicación y división con fracciones (lecciones 29 a 32)

2.3. Multiplicación y división con decimales (lecciones 33 a 35)

2.4. Mediatriz y bisectriz(lecciones 36 y 37)

2.5. Polígonos regulares(lecciones 38 y 39)

3

3.1. División de números decimales(lecciones 49 a 51)

3.2. Ecuaciones de primer grado (lecciones 52 a 56)

3.3. Condiciones geométricas de posibilidad y unicidad (lecciones 57 y 58)

3.4. Perímetro y área. Conversiones de medida de superficie(lecciones 59 y 60)

4

4.1. Números con signo(lecciones 75 a 77)

4.2. Raíz cuadrada y potencia (lecciones 78 y 79)

4.3. Tabla y expresión algebraica de una relación de proporcionalidad directa(lecciones 80 a 82)

4.7. Gráfica de una relación de proporcionalidad directa(lecciones 83 a 85)

5

5.1. Adición y sustracción de números con signo(lecciones 92 a 95)

5.2. Gráfica, tabla y expresión algebraica de una situación (lecciones 96 a 98)

5.3. Cálculo de áreas (lecciones 99 a 101)

5.4. Juegos de azar equiprobables y no equiprobables(lecciones 102 y 103)

Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o lección depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que usted podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,

Dosificación

S E M A N A S

5 6 7 8 9

1.6. Proporcionalidad directa(lecciones 19 a 21)

1.7. Reparto proporcional(lecciones 22 y 23)

1.8. Problemas de conteo(lecciones 24 y 25)

Repasemos lo aprendido(páginas 66 y 67)

Evaluación del bloque 1

2.6. Perímetro y área (lecciones 40 y 41)

2.7. Proporcionalidad directa (operadores fraccionarios y decimales)(lecciones 42 y 43)

2.8. Aplicación sucesiva de factores de proporcionalidad(lecciones 44 a 48)



3.5. Proporcionalidad (procedimientos expertos) (lecciones 61 y 62)

3.6. Porcentajes (lecciones 63 a 67)

3.7. Frecuencia absoluta y relativa(lección 68)

3.8. Gráficas de barras y circulares(lecciones 69 a 71)

3.9. Probabilidad de eventos(lecciones 72 a 74)



4.4. Construcción de círculos (lecciones 86 y 87)

4.5. Justificación de la fórmula para perímetro y área del círculo(lecciones 88 y 89)

4.6. Cálculo de perímetro y área del círculo (lecciones 90 y 91)



5.5. Proporcionalidad inversa (lecciones 104 y 105)

5.6. Medidas de tendencia central (lecciones 106 y 107)



podrá trabajar las actividades de Las matemáticas en… así como Y para terminar o adelantar el trabajo de otros apartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan al eje que corresponde a cada apartado: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en amarillo Forma espacio y medida; y en verde Manejo de la información. Cabe señalar que la redacción de los apartados ha sido simplificada.

Bloque 1 Conocimientosyhabilidades

Lección 1. Grandes construcciones 16 1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.

Lección 2. Los mayas y el cero 18Lección 3. El cajero 20Lección 4. Un número, diferentes representaciones 22Lección 5. Con cifras o con letras 24

Lección 6. Las apariencias engañan 26 1.2. Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Lección 7. Rectas y números 28Lección 8. Números ocultos I 30Lección 9. Números ocultos II 32

Lección 10. Las matemáticas de las rejas 34 1.3. Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.

Lección 11. Bordados 36Lección 12. Símbolos en lugar de palabras 38Lección 13. Construyendo secuencias 40

Lección 14. La fórmula es útil pero no es lo único 42 1.4. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

Lección 15. Con números o con letras 44

Lección 16. Reflejos 46 1.5. Construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Lección 17. Reflejos en el geoplano 48Lección 18. Sin cuadrícula 50

Lección 19. ¿Son proporcionales? 52 1.6. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

Lección 20. Barcos a escala 54Lección 21. La casita a escala 56

Lección 22. El reparto proporcional I 58 1.7. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.Lección 23. El reparto proporcional II 60

Lección 24. Tarjetas de felicitación 62 1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

Lección 25. Futbol 64

Repasemos lo aprendido 66

Las matemáticas en la naturaleza 68

Y para terminar… 70


Lección 26. La migración indocumentada de Estados Unidos de América

72 2.1. Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.

Lección 27. Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío

74

Lección 28. El tipo de cambio y algo más 76

Índice

Presentación 3guía de uso 4Presentación para el maestro 6Dosificación 8

Lección 29. La mitad de un cuarto I 78 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

Lección 30. La mitad de un cuarto II 80

Lección 31. Vueltas alrededor de un circuito I 82 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

Lección 32. Vueltas alrededor de un circuito II 84 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

Lección 33. Multiplicando y dividiendo por 10, 100, 1 000

86 2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

Lección 34. Técnicas para multiplicar por decimales 88

Lección 35. ¿Qué número multiplicado por 2 da 3? 90 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

Lección 36. A la misma distancia I 92 2.4. Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos.

Lección 37. A la misma distancia II 94

Lección 38. Con doblado de papel 96 2.5. Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.Lección 39. Vitrales 98

Lección 40. Unas fórmulas se originan de otras 100 2.6. Justificar las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.Lección 41. La mitad del doble 102

Lección 42. Banderas a escala 104 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.2.7. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales.

Lección 43. Más del doble pero menos del triple 106

Lección 44. Copias de copias 108 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.2.8. Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Lección 45. Engranajes I 110Lección 46. Engranajes II 112Lección 47. Desandando el camino. El factor

recíproco I114

Lección 48. Desandando el camino. El factor recíproco II

116


Las matemáticas en el arte 120


Índice


Lección 49. Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I

124 3.1. Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

Lección 50. Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II

126

Lección 51. Técnicas para dividir decimales 128

Lección 52. Adivinanzas I 130 3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.

Lección 53. Adivinanzas II 132Lección 54. Balanzas en equilibrio 134Lección 55. Ecuaciones equivalentes 136Lección 56. Problemas diversos 138

Lección 57. Triángulos imposibles 140 3.3. Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.Lección 58. Explorando cuadriláteros 142

Lección 59. Terrenos irregulares 144 3.4. Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.

Lección 60. Por 100 146

Lección 61. La regla de tres 148 3.5. Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos.Lección 62. Un mismo problema, varias

técnicas150

Lección 63. Analizar información 152 3.6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal.3.7. Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.3.8. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Lección 64. Lo importante no es cuánto, sino qué parte

154 3.6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal.Lección 65. Terrenos sembrados 156

Lección 66. Uno y diez por ciento 158Lección 67. El IVA y otros porcentajes 160

Lección 68. ¿Es mucho o es poco? 162 3.7. Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Lección 69. Deportistas de México 164 3.8. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Lección 70. México en el año 2000 166Lección 71. Información diversa 168

Índice

Lección 72. Resultados posibles 170 3.9. Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.

Lección 73. La medida de lo probable 172Lección 74. Laberinto de tubos 174


Las matemáticas en los recorridos 178



Lección 75. Temperaturas bajo cero 182 4.1. Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.Lección 76. Números positivos, números

negativos184

Lección 77. Estadísticas del futbol mexicano 186

Lección 78. La medida de un lado 188 4.2. Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Lección 79. Crecimiento exponencial 190

Lección 80. Reglas de correspondencia I 192 4.3. Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

Lección 81. Reglas de correspondencia II 194Lección 82. Relacionar dos magnitudes 196

Lección 83. Puntos en el plano 198 4.7. Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.Lección 84. ¡La gráfica también informa! 200

Lección 85. Viajar en automóvil 202

Lección 86. El círculo en la arquitectura 204 4.4. Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.Lección 87. Círculos y algo más 206

Lección 88. Dar la vuelta 208 4.5. Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Lección 89. En la pizzería I 210 4.5. Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

Lección 90. En la pizzería II 212 4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.Lección 91. Circulando 214


Las matemáticas en los mosaicos 218


Índice


Lección 92. Pérdidas y ganancias 222 5.1. Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

Lección 93. La suma de números con signo 224Lección 94. La resta de números con signo 226Lección 95. Juegos con números 228

Lección 96. Tarifas telefónicas 230 5.2. Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad directa.

Lección 97. Tiempo, distancia y velocidad 232Lección 98. Tablas de valores y gráficas 234

Lección 99. Diseños 236 5.3. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras.

Lección 100. Dimensiones desconocidas 238Lección 101. Áreas y variación 240

Lección 102. Juegos equitativos I 242 5.4. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Lección 103. Juegos equitativos II 244

Lección 104. Relaciones inversamente proporcionales I

246 5.5. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.Lección 105. Relaciones inversamente

proporcionales II248

Lección 106. El salario representativo 250 5.6. Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

Lección 107. Niveles de contaminación por ozono 252


Las matemáticas en la música 256


Anexos 259Bibliografía 276

Índice

15

La palabra cero viene del árabe sifr, que significa vacío. Los árabes difundieron por el mundo muchos conocimien-tos matemáticos que tomaron de otras culturas, como el cero, proveniente del sistema de numeración de la India.

Una muestra del conocimiento geométrico de los árabes puede verse en la Alhambra, en España, donde existen muchos mosaicos elaborados con repeticiones simétricas de una figura (teselados).

En este bloque estudiarás:• las propiedades de los sistemas

de numeración;• la representación de números

fraccionarios y decimales en la recta numérica;

• sucesiones de números y figuras construidas a partir de una regla;

• fórmulas del área de figuras geométricas;

• la simetría con respecto a un eje;

• problemas de proporcionalidad directa y de reparto proporcional;

• algunas técnicas para solucionar problemas de conteo.

BLOQUE 1

15

1 LaGranPirámidedeKeopsfueconstruidaenEgiptoenelaño2400antesdenuestraera.Tieneunaalturadecasi150metrosyelperímetrodesubasemide932metros.Durante20años,alrededorde100000esclavostrabajaronensuedificacióndesplazandobloquesdeentre2y60toneladas1alolargode10000hectómetros.2

a)Acontinuaciónserepitelainformaciónanterior,ahoraconcifrasegipcias.Analizaambostextosydescifraelvalordecadasímboloegipcio.Anotatushallazgosenlatablaqueapareceabajo.

b)Escribeconsímbolosegipcioslossiguientesnúmeros.

456 21345

c)Escribeelvalorquerepresentanlossiguientessímbolosegipcios.

Símbolo egipcio Valor decimal Símbolo egipcio Valor decimal

1 000 000

GrandesconstruccionesAlolargodelahistorialasculturashandesarrolladomaneraseficientesparacontar,dedondehansurgidodiferentessistemasdenumeración.

Lección 1

Pirámide de Kéops

FueconstruidaenEgiptoenelaño antesdenuestraera.Tieneunaalturadecasi

metrosyelperímetrodesubasemide

metros.Durante años,alrededorde esclavostrabajaronensuedificacióndesplazan-

dobloquesdeentre y toneladasalolargode hectómetros.

16

1Unatoneladaequivalea1000kilogramos.2Unhectómetroequivalea100metros.

30 145 2 060

2 Conmásde2000añosdeantigüedad,laGranMurallaChinaseextiendealolargodeunos6700kilómetros;lapartemásfamosafueconstruidaen1381,duranteladinastíaimperialMing.Esunamaravilladeingenieríaqueen22siglosnohasidoigualada.FuedeclaradaPatrimoniodelaHumanidaden1987.

a)Observalasdostablassiguientes;ladelladoizquierdocontienelos13sím-bolosconqueloschinosformansusnumeralesyladelladoderechocon-tienelosdatosnuméricosdeltextoanterior,escritosconsímboloschinos.

l Descubrecómoseformanlosnumeraleschinosycompletalatablasiguiente.

b)Escribeentucuadernoel99999connúmerosegipciosychinos.¿Conquésistemaempleaste

menossímbolos?

c)¿Quéesloquepermiteenelsistemachinonorepetirlossímbolostantasvecescomoenelegipcio?

3 Comparatusrespuestasconlasdelrestodelgrupo.

Muralla China

1 10

2 100

3 1 000

4 10 000

5

6

7

8

9

2 000 6 700 1 381 22 1 987

1.1.

Sis

tem

as d

e nu

mer

ació

n eg

ipci

o y

chin

o.

17

18

1 Leelasiguienteinformación.

Lasreglasdeescrituradelsistemamayason:a)Paraescribircualquiernúmerosólosedisponedetressímbolos:

uno cinco cero

Encadanivel,•sepuederepetirhastacuatrovecesy——hastatres.b)Losnúmerosseescribenporniveles,deabajohaciaarriba.c)Lascifrasdecadaniveltienenunvalordiferente:

Cuarto nivel Multiplican su valor por 20 x 20 x 20 x8 000

Tercer nivel Multiplican su valor por 20 x 20 x400Segundo nivel Multiplican su valor por 20 x20Primer nivel Multiplican su valor por 1 x1

Enrealidadlosmayasdabanunvalorde360altercernivel;parasimplificarloscálculosaquíledamoselvalorde400.

d)Encadanivelsepuedeescribirhasta19.

2 Completalaseriedel0al19usandolascifrasmayas.

3 Contuscompañerosaveriguaquénúmeroestárepresentadoencadarecuadroyescríbeloenlacasilladeabajo,comosehizoconel403.

403

LosmayasyelceroLaculturamayausóunsistemadenumeraciónenelqueconsólotressímbolospodíanescribircualquiernúmero.Ademásfueunodelospocossistemasquedisponíadeunsímboloparaelcero.

Lección 2

2

Códice maya

19

4 Anotaenlatabla,conlossistemasdenumeraciónqueseindican,losdatosquesepiden.Elsistemadecimaleselquenosotrosusamos.

Número/sistema Egipcio Chino Maya Decimal

Mi edad en meses

Número de alumnos de mi grupo

Año actual

¿Encuálesdelossistemasdelatablaexisteunnúmeroparaelcero? Reflexiona:¿enquéesútilelceroennuestrosistemadenumeracióndecimal?¿cómotendríamos

queescribirlosnúmerossinoexistieraelcero?Escribetusconclusionesentucuaderno.

5 Enlatablasemuestracómoseescribeunmismonúmeroencuatrosistemas.

Egipcio Chino Maya Decimal

33

¿Encuálesdelossistemasdelatabla,unsímbolonuméricocolocadoendiferentelugaroposición

cambiadevalor?

Observa que: l El símbolo vale 10 todas las veces que aparece. En cambio el símbolo vale 1 en el primer nivel, mientras que en el segundo nivel vale 20.l El símbolo vale tres, tanto si está arriba como si está abajo. Es necesario

colocar el símbolo para indicar que se multiplica por 10.

6 Comparatusrespuestasconlasdelgrupo.

1.1.

Sis

tem

as d

e nu

mer

ació

n m

aya.

20

Lección 3 ElcajeroConelpropósitodehacermáseficienteslossistemasdenumeración,serealizanagrupaciones.Ennuestrosistemadenumeraciónsehacenagrupacionesde10,enelmayade20.¿Habrásistemasdenumeraciónconagrupacionesdeotrovalor?

1 Juguemosalcajero.

a)Formenunequipode4o5integrantes.b)Nombrenaunapersonaparaqueseaelcajero.c)Elcajerosequedaconlacajadefichas.d)Cadaunolanzaráeldadoypediráalcajeroelnúmerodefichasazulesquemarqueeldado.e)Cuandoalguienjunte4fichasazulesdebecambiarlasporunaroja,4fichasrojaslascambiapor

unaverdey4fichasverdeslascambiaporunablanca.f) Ganaelprimeroqueobtengatresfichasblancas.

2 Contestaestaspreguntas.

a)¿Cuántasfichas azulessenecesitanparaconseguirunaficharoja?

b)¿Cuántasfichas azulessenecesitanparaconseguirunafichaverde?

c)¿Cuántasfichas azulessenecesitanparaconseguirunafichablanca?

3 Consideraquecadafichaazulvaleunpunto.Enlasiguientetablaanotaelnombredelosintegrantesdetuequipo.Enlacolumna“Fichasobtenidas”,dibujalasfichasconlasquesequedócadaunoalfinaldeljuego.Enlacolumna“Totaldepuntos”,escribeeltotaldepuntosquecadaunoobtuvo.

Nombre Fichas obtenidas Total de puntos

4 Anotaeltotaldepuntosqueseobtuvoencadacaso.

Blancas Verdes Rojas Azules Total de puntos

Ana 1 3 3 3

Luis 0 2 2 3

Gisela 2 0 0 0

Cadaequiponecesita:Undado

20fichasazules,20rojas,20verdesy20blancas.

21

El sistema de numeración que se ha estudiado en esta lección es posicionaldebase4. El sistema de numeración que nosotros usamos cotidianamente también es posicional, pero su base es 10.

5 Completalatabla.

Total de fichas azules ganadas

Después de hacer todos los cambiosFichas blancas Fichas verdes Fichas rojas Fichas azules

12

34

76

100

150

Observa que, si se quita la tabla, el orden permite saber qué representa cada cifra: el primer número de la derecha se refiere a las fichas que valen 1; el que le sigue, a las que valen 4; el siguiente, a las que valen 16, y el siguiente, a las que valen 64; por ejemplo:

1 2 0 3 4

El número 4 pequeño indica que los cambios se hacen cada vez que se juntan 4 fichas de un color.

6 Anotaeltotaldepuntosencadacaso.

a)120345 b)221145 c)2345

d)2145 e)130245 f)11245

7 Contestalassiguientespreguntas.

a)¿Eslomismo1034que3014?b)¿Porquécambiaelvalorsienlosdosnúmeroshayun1,un3yun0?

8 Comparatusrespuestasconlasdeotroscompañerosycompañerasdelgrupo,ycomentenlasiguienteinformaciónconsuprofesoroprofesora.

Número de fichas que valen 1




1.1.

Sis

tem

as d

e nu

mer

ació

n ba

se 4

.

22

Lección 4 Unnúmero,diferentesrepresentacionesAntelanecesidadderepresentarcantidadesgrandesyderealizarcálculosconellas,elsistemaqueutilizamos,llamadoindoarábigo,presentaventajasimportantesencomparaciónconotros.

1 Completalatabla.

Indoarábigo Egipcio Chino Maya Base 4

10

3334

23

2 Contestalassiguientespreguntasconrespectoalossistemasqueaparecenenlatablaanterior.

a)¿Quésistemadenumeracióntegustamás? ¿Porqué?

b)¿Quésistemaconstademenossímbolos?

¿Cuántossímbolosseusanycuálesson?

c)¿Quésistemastienenunsímbolopararepresentarelcero?

d)¿Enquésistemaseescribemásbrevementeelnúmero999?

e)¿Quésistemassonposicionales?

f) ¿Quésistemasnosonposicionales?

g)¿Lossistemasquetienenunsímboloparaelcerosontambiénsistemasposicionales?

3 Comparacontuscompañeroslamaneraenquellenaronlatablaylasrespuestasquedierona laspreguntasplanteadas.Después,conayudadelprofesoroprofesoraelaborenunresumenensucuadernosobrelosdistintossistemasdenumeración.

4 Reúneteconuncompañeroocompañeraydescubranlossímbolosylasreglasdelsistemaquesemuestraenseguida.¿Cuálessubase?¿Esposicional?¿Tienecero?Escribanlasconclusionesensuscuadernos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Alolargodelahistoriaalgunasculturashaninventadodiferentesmanerasderepresentarnúmeros.Lossímbolosylasreglasutilizadasparaescribirnúmerosconstituyenunsistemadenumeración.

Algunossistemasdenumeraciónsonmáseficientesqueotros.Unade lasventajasdenuestrosistemadenumeraciónconrespectoaotrosradicaenquepermiteescribircualquiercantidad,porgrandequesea,conpocascifras.

1.1.

Com

para

ción

y re

flexi

ón d

e di

fere

ntes

sis

tem

as d

e nu

mer

ació

n.

24

ConcifrasoconletrasLosnúmerossepuedenescribirconcifrasoconletrasperotambiénsepuedenexpresardemaneraoral.Cadaformatienesuspropiasreglas.

Lección 5

Nuestrosistemadenumeraciónesposicionalporqueunamismacifrapuedetenerdistintosvalores,dependiendodelaposiciónqueocupeenunnúmero.

Porejemplo,lascifrasdelosnúmeros73y37sonlasmismasperoencadanúmerotie-nenunvalordistinto.

1 Formaunequipodecuatrocontuscompañerosyhaganlosiguiente:

a)Tomecadaquienunahojatamañocartaydivídanlaenochopartesigualespartiendosiemprealamitad.

b)Anotenencadatarjetaunnúmerodeunacifra,delceroalsiete.c)Realicenelsiguientejuego.

Reglas:

l Juntenlastarjetasdetodos,revuélvanlasypónganlasunasobreotraconelnúmerohaciaabajo.l Porturnos,cadajugadorvatomandounatarjetahastacompletartresyconellastratadeformar

elnúmeromayorposible.l Cadajugadorleesunúmeroenvozalta.Ganaelquelogróformarelnúmeromayor.l Despuésdecuatrorondasinicianunnuevojuegoperoahoracadaquientomacuatrotarjetas.

Enelúltimojuegocadaquientomaráochotarjetas.

2 Alterminardejugar,contestalosiguiente:

a)¿Cuáleselmayornúmeroquesepudoformarconochotarjetas?

b)Describeelprocedimientoqueseguisteparaformarelnúmeromayorposibleconlastarjetasque

tetocaron:

c)Sidosnúmerostienenigualcantidaddecifras,¿enquétefijasparasabercuálesmayor?

d)RosayPedrohansacadotrestarjetascadaunoylesfaltaunaporsacar.¿EsposiblequeganePe-dro? ¿Cómo?

Tarjetas de Pedro Tarjetas de Rosa

6 6 6 1 0 0

Reglas:

l

l

l

l

25

3 Enelreversodesustarjetasescribanestaspalabras:

Realicenotrojuego,ahoraconlaspalabrasqueescribieronensustarjetas.Éstassonlasreglas:l Cadaunorevuelvesustarjetasylascolocaunasobreotraconlapalabrahaciaabajo.l Cadaquientomatresdesustarjetasytratadeformarelnúmeromayorposible.Noesobliga-

toriousarlastrestarjetas.l Despuésdetresrondasaumentanunatarjeta,esdecir,cadaunotomacuatrodesustarjetasy

tratadeformarelnúmeromayorposible.

4 Loschequesllevananotadalacantidadconcifrasyconletras.Anotaencadaunoloquehacefalta.

5 Formaunequipodecuatrocontuscompañerosydespuéshagandosparejas.JugarálaparejaAcontralaparejaB.

l Cadaunoescribaunalistade5númerosquetenganentre7y10cifras.Habrácuatrolistasentotal.

l LaparejaAdebedarsuslistasalaparejaByviceversa.l PrimerojuegalaparejaAmientraslaparejaBobservayvequesecumplanlasreglas.l UnmiembrodelaparejaAtomaunadelaslistasquehicieronsuscompañerosyledictaasu

parejaloscinconúmerosdelalista.Debedecirelnombredelosnúmeros,nosevaledecircifraporcifra.Elotromiembroanotalosnúmerosconcifras,enunahojadepapel.Luego,cambian:tocaalsegundomiembrodictarlosnúmerosdesulista,yalotroanotarlos.Alterminar,compa-ranlosnúmerosdictadosconlosnúmerosanotados,cifraporcifra.Cadavezquelosnúmerosseaniguales,laparejatieneunpunto.

l Después,tocajugaralaparejaBdelamismamanera.Alterminar,veanquéparejasacómáspuntos.

Un(o) diez cien(to)(s) mil millón (es) dos tres cuatro

Fecha Páguesea:

$50060.00

Conletra:

Fecha Páguesea:

$35004356.00

Conletra:

1.1.

Aná

lisis

de

prop

ieda

des

del s

iste

ma

deci

mal

de

num

erac

ión.

Recuerda.Paraleerunacantidadescritaconcifras,convienesepararéstasengruposdetres,comen-

zandoporlasunidades.Porejemplo,lacantidad23201035804sepuedeescribirasí:

23 201 035 804

milesmillonesmiles Yselee:veintitrésmildoscientosunmillonestreintaycincomilochocientoscuatro.

26

LasaparienciasengañanConnúmerosdiferentespuedenescribirsefraccionesquevalenlomismo,porejemplo, 23 y 46 .Aestasfraccionesselesllamaequivalentes.¿Sabíasqueidentificarfraccionesequivalentessirveparacompararyparasumarfracciones?

Lección 6

1 Reúneteconuncompañeroocompañerayrealicenjuntoslossiguientesejercicios.

a)Eldibujodeabajorepresentaunapistade9kilómetros.Ubiquenaloscorredoresenellugaraproximadoenquevan,comosemuestraenelejemplo.

Corredor A B C D E F G H I J

Kilómetros que lleva

recorridos6

34

213 6 5

34

163

183 6

12 5

13

132 7

14

• ¿Cuálescorredoresvanempatados?_________________________

b)Localicenenlarectanuméricalassiguientesfracciones:

13 ,

23 ,

12 ,

56 ,

26 ,

39 ,

46 ,

1518,

36 ,

69

0 1

1

2

3

4

5

E6

7

8

0

27

Siubicaronbienlasfracciones,variasquedanenelmismolugar,esdecir,sonequivalentes.Delasfraccionesanteriores,escribanenelespaciocorrespondientelasequivalentesalasqueseindican.

13 ,

12 ,

23 ,

56 ,

c)Encadaparejadenúmeros,averigüencuáleselmayorysubráyenlo.Silosnúmerossonequiva-lentes,subrayenlosdos.

612

y 1 76

y 1 56

y 1 32

y 1 66

y 1

12

y

13

12

y

23

12

y

36

12

y

46

12

y

56

32

y

23

46

y

64

34

y

43

612

y

126

64

y

46

23

y

46

512

y

76

1112

y

34

812

y

23

23

y

56

d)Ubiquenlosnúmerosanterioresenlarecta.Unavezqueesténubicados,usenelordenenquequedaronpararevisarlapreguntaanterior.

e)Paracadaunade lassiguientes fraccionesencuentraotraqueseaequivalenteperoqueseescribaconlosnúmerosmenoresposibles,esdecir,simplificalafracción.

68 = 8

16 = 50100=

3090 = 10

12 = 1015 =

2 Comparensusresultadosyentretodosrecuerdencómosepuedesabercuáldedosfraccionesesmayorosisonequivalentes,ycómosimplificarunafracción.

10 2

1.2.

Ord

en, s

impl

ifica

ción

y e

quiv

alen

cia

de fr

acci

ones

.

28

Lección 7 RectasynúmerosLarecta numéricapermiterepresentardistintasclasesdenúmeros,compararloseinclusoayudaaefectuaralgunasoperaciones.

1 Aungrupodealumnosselepidiórepresentarlosnúmeros0,8,16y24enestarecta.

Acontinuaciónveráscómoresolvieronelproblemacuatroalumnos.Anotaencadacasosicreesqueestábienomalyexplicaporqué.

a)Josélohizoasí:

LoquehizoJoséestá porque

b)Pedrohizolosiguiente:

LoquehizoPedroestá porque

c)Maríalohizoasí:

LoquehizoMaríaestá porque

d)Rosaresolvióasí:

LoquehizoRosaestá porque

e)Ytú,¿cómoloharías?Usalarectaquehayaliniciodelalecciónparadarturespuesta.

29

Alrepresentarnúmerosenunarectanuméricaesimportantetomarencuenta:Primero:Nohayunlugarespecíficoparaelcero,demaneraque,aligualqueenelpro-

blema4,lopudisteubicardondeteparecióconveniente.Segundo:Unavezqueseestableceunamedida,fraccionariaoentera,esamedidadebe

conservarseenesarecta.Joséseequivocóporquenoconservólamismamedida.De0a8cadaespaciovaleuno,perode8a16cadaespaciovaledos,yde16a24cadaespaciovalecuatro.Estonosepuedehacerenlamismarecta.

Tercero:Sehaconvenidoqueelvalordelosnúmerosrepresentadosenunarectaau-mentadeizquierdaaderechaodeabajohaciaarriba.Rosanotomóencuentaestaconven-ciónyporesoestámal.

2 Representaenlasiguienterectalosnúmeros 14 , 1

2 y2.

3 Contuscompañerosyconlaayudadetuprofesorcomparenycomentenlasrespuestasquedieronenlosproblemas1y2.

4 Representaenlasiguienterectalosnúmeros 12 , 5

4 y3,despuéscontestalaspreguntas.Tomaencuentaqueyahayunnúmerorepresentado.

a)¿Cuántosoctavoshayde 18 a 1

2 ?

b)¿Cuántosoctavoshayde 18 a3?

c)¿Cuántosoctavoshayde 12 a 5

4 ?

d)¿Acuántosmilímetrosde 18 pusisteel0? ¿Coincideestamedidaconladetus

compañeros? ¿Eranecesarioquecoincidiera?

5 Representaenlaprimerarectatresnúmerosnaturalesconsecutivos;enlasegunda,tresnúmerosfraccionariostalesqueeldeenmedioestéalamismadistanciadelmenorquedelmayor.Enlatercerarectarepresentatresnúmerosdecimalesquecumplanconlasmismascondicionesquelosfraccionarios.

1.2.

Aná

lisis

de

conv

enci

ones

al r

epre

sent

ar n

úmer

os e

n la

rect

a nu

mér

ica.

30

Lección 8 NúmerosocultosILarectanuméricapuedeserunrecursoparaplantearyresolverproblemas.

1 Enlasiguienterectaelsegmentode0a20estádivididoencincopartesiguales.Anotaelnúmeroquelecorrespondealpuntoqueseñalalaflecha.

a)Unalumnodeotrogrupodicequeelnúmeroquecorrespondealpuntoseñaladoconlaflecha

esel3.Explícaleporquénopuedeser.

b)Conbaseenlainformaciónquehayenlarectaanterior,¿cuáleselvalordecadaunadelascinco

partesenquesedivideelsegmentode0a20?

c)Sielsegmentode0a20estuvieradivididoencuatropartesigualesenvezdecinco,¿quévalor

tendríacadaparte? ¿Cómoloaveriguaste?

d)Ysielsegmentode0a20estuvieradivididoentrespartesiguales,¿quévalortendríacadaparte?

Verificaque,efectivamente,alsumartresvecesestevalorllegasa20.

+ + =20

2 Enlasiguienterectaelsegmentodeceroa20estádivididoenseispartesiguales.Anotaelnúmeroquecorrespondealpuntoseñaladoconlaflecha.

a)Enungrupoenelquehabíacincoequipospropusieronlossiguientesnúmerosparaelpuntose-ñaladoconlaflecha.Anotaenlacolumnadecomentariosporquésíoporquénoescorrectocadaresultado.

Equipo Resultados Comentarios

1 6

2203

3 7

4 6 + 23

5 6.6

31

b)¿Cómocreesqueaveriguaronelresultadolosdosequiposqueacertaron?

3 Enlasiguienterecta,elsegmentode0a5estádivididoentrespartesiguales.

a)Anotaelnúmeroquecorrespondealpuntoseñaladoconlaflecha.

b)¿Quénúmerohabríasanotadosienlugardel5estuvierael1?c)Y,sien lugardel5estuvierael2, ¿quénúmerohabríasanotadoenelpuntoseñaladocon la

flecha?

d)Verificaquesumandotresveceselnúmeroqueanotaste,efectivamentellegasal5.

+ + =5

asícomo: + + =1

obien: + + =2

4 Elsegmentode0a5estádivididoenochopartesiguales.

a)Anotalosnúmerosquecorrespondenalospuntosseñaladosconflechas.

b)Laflechadeenmedioseñalajustamentelamitaddelsegmentode0a5;verificaqueelnúmeroqueanotasteefectivamenteeslamitadde5.

c)¿Quépartede5eselnúmeroqueanotasteenlaprimeraflechadelaizquierda?

5 Enlasiguienterecta,elsegmentoABsedividióensietepartesiguales.

a)¿QuénúmeropuedecorresponderalpuntoA?

b)¿QuénúmeropuedecorresponderalpuntoB?

c)AnotaotronúmeroqueseubiqueenelsegmentoAB.

d)AnotaunnúmeroqueseubiquefueradelsegmentoAB.

e)Comentatusrespuestasengrupo.¿PuedesencontrarotrosvaloresparaAyB?

1.2.

Ubi

caci

ón d

e nú

mer

os e

n la

rect

a, b

ajo

cier

tas

cond

icio

nes.

32

Lección 9 NúmerosocultosIILarectanuméricaayudaaverqueentredosnúmerosfraccionariosodecimalescualesquierasiempresepuedeubicarotronúmero.

1 Enlasiguienterecta,elsegmentode0a13 estádivididoencuatropartesiguales.

a)Anotaelnúmeroquecorrespondealpuntoseñaladoconlaflecha

b)Otramaneraderepresentar 13 divididoencuatropartes igualesescomosemuestraen la

figuradelaizquierda.

¿Quéfraccióndelenterorepresentalapartecoloreada?

Verificaqueestenúmeroeselmismoqueanotasteenelpuntoseñaladoconlaflecha.

c)Unamaneradeindicarladivisiónde 13 encuatropartesigualesesmediantelaescrituradela

operación.Anotaelresultadoyverificaquesumandocuatrovecesestenúmeroseobtiene 13 .

13

÷4=porque: + + + =13

2 Enlasiguienterectaelsegmentode2a5sedividióentrespartesiguales.

a)Anotaelnúmeroquecorrespondealpuntoseñaladoconlaflecha.

b)Comotehabrásdadocuenta,enestecasolalongituddelsegmentode2a5noestáindicada,porqueelsegmentonoempiezaenelcero.

¿Cuáleslalongituddelsegmentode2a5? ¿Cuáleselvalorquecorrespondeacadaunadelastrespartesenquesedivide?

c)Sielmismosegmentode2a5sedivideencuatropartesiguales,¿cuáleselnúmeroquecorres-pondealpuntoseñaladoconlaflecha?Anótaloenlasiguienterecta.

3 Antesdecontinuarconlalección,comentacontuscompañeros,compañerasy

contuprofesoraoprofesor,sobrelasrespuestasquehanencontrado.

33

4 Enlarecta,laflechaseñalaelpuntomediodelsegmentoquevade 13

a

23

.

Acontinuaciónsepresentancuatrorazonamientosdistintosquepermitenencontrarelnúmeroqueseñalalaflecha;anotasobrelaslíneascorrectooincorrecto.

l Elsegmentoquevade13 a

23 mide

13

.Lamitadde13 es

16 ,entonces,elnúmeroqueseñala

laflechaes 13 + 1

6 = 36 .

l Elnúmeroqueseñalalaflechaes 13 + 1

2 ,esdecir,56 .

l 13 eslomismoque 26 ,y 2

3 eslomismoque46 ,elnúmeroqueestáalamitadentre

26 y

46 es

36 .

l Elnúmeroqueseñalalaflechaeslamitadde 13 ,esdecir, 1

6 .

5 EnlarectaAelsegmentoquevade0a1sedividióendiezpartesiguales.EnlarectaB,unadeestaspartesseamplificóysevolvióadividirendiezpartesiguales.EnlarectaC,unaparteseamplificóyotravezsedividióendiezpartesiguales.

a) Anota losnúmerosquecorrespondena lospuntosseñaladosconflechasydespuéscontesta laspreguntas.

A

B

C

b)Escribeunnúmeroqueestécomprendidoentre 110 y 2

10

c)Escribeunnúmeroqueestécomprendidoentre0.4y0.5

6 Comentaengrupo,conayudadetuprofesoraoprofesor,sobrelosresultadosdelasactividades4y5.

1.2.

Pro

pied

ad d

e de

nsid

ad d

e lo

s nú

mer

os ra

cion

ales

.

34

Lección 10 LamatemáticadelasrejasLasmatemáticasestánpresentesenmuchosobjetosdelavidacotidiana.¿Algunaveztehaspreguntadoquétienenqueverlasrejasconlasmatemáticas?

1 DonManolo,elherrero,diseñarejasformadasportresmodelosdebarras.

TipoA TipoB TipoC

Éstaespartedeunareja.

1 2 3 4 5 6 7

a)¿Quétipodebarraeslabarranúmero5?

b)Silarejacontinúa,¿dequétiposerálabarranúmero10?

c)¿Yla39?

d)¿Labarranúmero45esdeltipoB?

e)¿Cómoloaveriguaron?

35

2 VeamosunaseccióndeotrarejaquediseñódonManolo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

a)Completalatabla.

Tipo de barra Lugares que ocupan

A 3 6 9

B 2 5 8

C 1 4 7

b)Encuentrayexplicalareglaquesiguecadaunadelastressecuenciasnuméricasanteriores.

Tipo de barra Regla

A

B

C

c)Escribeeltipodebarra(A,BoC)queestáencadaunodelossiguienteslugares.

Lugar 18 19 20 33 38 55 104 121 201 102

Tipo

3 Comparalosresultadosyprocedimientosdetuequipoconlosdelosdemásequipos.

1.3.

Rec

onoc

imie

nto

de p

atro

nes

en s

ecue

ncia

s fig

urat

ivas

.

36

Lección 11 BordadosMuchasdelasfigurasqueconocessiguenunaciertareglaopatrón.Enlalecciónanterioraprendisteareconocerpatronesenlasrejas,¿tehasdadocuentadequealgunosbordadostambiénsiguenciertopatrón?

1 Lasfigurasdelaizquierdasondiseñosparahacerbordadosenpuntodecruz.

a)Consideraquelasfigurascontinúanycompletalatabla.

Figura 1 2 3 4 5 10 50 100

Cuadrados bordados

4 8

b)¿Cómocalculasteelnúmerodecuadradosbordadosdelafigura100?

c)Siconoceselnúmerodeunafigura,¿cómocalculaselnúmerodecuadradosbordadosquetiene?

d)Siaunafiguralecorrespondeelnúmero200,¿quéoperacióntienesquehacerparasaberelnúmerodecuadrados?

e)Siaunafiguralecorrespondeelnúmeron,¿cómoexpresaselnúmerodecuadradosbordadosquetiene?

f) ¿Algunafiguracompletadeestediseñotendrá101cuadradosbordados? ¿Porqué?

2 Comparatusresultadosconlosdeotroscompañerosycompañeras.Noolvidencomentarloqueentiendenpornúmero n.

3 Aquítienesotrodiseño.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4


37

a)Consideraquelasfigurasanteriorescontinúanycompletalatabla.

Figura 1 2 3 4 5 10 50 100 n

Cuadrados bordados 5 9

b)¿Cómocalculasteloscuadradosdelafigura100?


d)Siaunafiguralecorrespondeelnúmero200,¿quéoperacionestienesquehacerparasaberel

númerodecuadrados?

e)¿Algunafiguracompletadeestediseñotendrá45cuadradosbordados?

4 Finalmente,tepresentamosundiseñomás.

a)Consideraquelasfigurascontinúanycompletalatabla.

Figura 1 2 3 4 5 10 50 100 n

Cuadrados bordados 4

b)¿Cómocalculasteloscuadradosdelafigura100?


d)Siaunafiguralecorrespondeelnúmero200,¿quéoperacionestienesquehacerparasaberel

númerodecuadrados?

e)¿Algunafiguracompletatendrá121cuadradosbordados?

5 Comparatusresultadosconlosdeotroscompañerosycompañeras;noolvidencomentarlaexpresiónqueencontraronparalafiguran.


1.3.

Rec

onoc

imie

nto

y ex

pres

ión

sim

bólic

a de

pat

rone

s en

sec

uenc

ias

figur

ativ

as.

38

Lección 12 SímbolosenlugardepalabrasComoyaviste,lareglaopatrónquesigueunasecuenciapuedeexpresarseconlaayudadelaletran.Además,paraabreviar,esposibleusarsolamenteletrasysímbolosmatemáticosenlugardepalabras.

1 Consideralasecuenciadefiguras.

a)Completalatabla

Figura 1 2 3 4 50 100

Número de círculos

b)Analizaycompleta

Lafigura8tiene338círculos,lafigura90tiene3390círculos,lafigura1 000tiene

círculos,lafigura5 000tiene círculos,lafigurantiene círculos.

2 Consideralasecuenciadefigurasycompletalatabla;enlaúltimacolumnatienesqueanotarcuántoscírculostendrálafiguran.

Figura 1 2 3 50 100 n

Número de círculos

Cuando se usan letras, por ejemplo la n, no conviene usar el signo x para la multiplicación porque se confunde con la letra equis. En matemáticas, en lugar de anotar 3 3 n, podemos anotar 3n que significa “tres por n” o “tres veces n”.


Figura 1 Figura 2 Figura 3

39

Número de mesas 1 2 3 4 20 100 n

Número de sillas

1 2 3 4 20 100 n

4 8 12 16 80

1 2 3 4 5 10 20 100 n

2 4 6 20 2n

5 10 100

3 5 7 201 2n11

1 3 5 9 199

6 12 60

Secuenciadefiguras:

Figura 1 Figura 2

3 Analizaelnúmerodesillas(puntos)quesepuedenponeralrededordemesasparacuatropersonascolocadascomosemuestra.Completalatabla.

4 Lasiguientetablaesdeunasecuenciadenúmeros;complétalaeinventalasecuenciadefiguras.

5 Comparatusresultadosyprocedimientosconlosdetuscompañerosycompañerasdegrupo;enespecial,comparenlasexpresionesdondeutilizaronlaletran.

6 Completalatabladesecuenciasnuméricas.

1.3.

Rec

onoc

imie

nto

y ex

pres

ión

sim

bólic

a de

pat

rone

s en

sec

uenc

ias

figur

ativ

as.

40

Lección 13 ConstruyendosecuenciasApartirdeunasecuenciadenúmeros,yahasaprendidoaexpresarlareglageneralqueladefine.Ahora,apartirdelaregla,¿podrásdeterminarlasecuencia?

1 Enlasleccionesanteriorescompletastetablascomoésta:

1 2 3 4 5 6 n3 6 9 12 15 18 3n

Enelsegundorenglónseformaunasecuencia:3, 6, 9, 12, 15, …Lospuntossuspensivos(…)indicanquelasecuenciacontinúa.

Lasecuenciaanteriorsepuedegenerarapartirdelaexpresión3ndelasiguientemanera:Sienlugardenponemoslosnúmeros1, 2, 3, 4, 5,...

3n 3 3 1 5 3 3 3 2 5 6 3 3 3 5 9 3 3 4 5 12 3 3 5 5 15

Losresultadosformanlasecuencia:3, 6, 9, 12, 15, . . .

2 Veamosotroejemplo.

Sienlaexpresiónn1 4ponemoslosnúmeros1, 2, 3, 4, 5,...enlugarden,obtenemosotrase-cuencia.Completalosiguiente.

n 1 4

1 1 4 5

2 1 4 5

1 4 5

1 4 5

1 4 5

Anotalasecuencia: , , , , ...

41

3 Realizaenlatablasiguienteloquesepideacontinuación.

l Alsustituirlandelaexpresión2nporlosvaloresdelprimerrenglón(1, 2, 3…),seobtiene,enelsegundorenglón,lasecuencia 2, 4, 6…Complétalaenlatabla.

l Hazlomismoconlasexpresionesdelosrenglonessiguientes.l Cuandonosedalaexpresión,indágalaapartirdelosvaloresquesedan.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n 2 4 6 10 12 14

5n

n 1 10

n 2 1

2n 1 1

3n 2 1

6 7 8 10

3 4 5 7

4 8 12 16

2 4 6 8

11 21 41

4 Comparatusresultadosengrupoy,conayudadetuprofesor,leanycomentenlasiguienteinformación.

5 Inventatresreglasalgebraicasdesecuencias,escríbelasentucuadernoyanotalosprimeros10términosdecadasecuencia.

6 Enlacomputadorapuedesgenerarsecuenciasnuméricas.Consultalosanexos1y2delaspáginas262a265.

Lasexpresionescomo n16 3n 4n12sellamanexpresionesalgebraicas.Observaquetienenunaletraquepuedetomardife-rentesvalores.

Cuandolaexpresiónalgebraicaseusaparaexpresarelpatróndeunasecuencia,laletranrepresentaellugarqueocupacualquiertérminodelasecuencia.Porejemplo,enlasecuenciacuyaexpresiónes4n12,eltérminoqueestáenelquintolugares:43512522.

Recuerdaqueenunaexpresiónalgebraicanoconvieneusarelsigno“por”(3)delamul-tiplicación,porqueseconfundeconla“equis”,porloque “3n” significa “3porn” o “3veces n”.

1.3.

Con

stru

cció

n de

sec

uenc

ias

num

éric

as a

par

tir d

e un

a re

gla

dada

.

TECNOLOGÍA

42

Lección 14 Lafórmulaesútil,peronoesloúnicoLasfórmulasconstituyenunaayudaenlarealizacióndediversoscálculos,peroavecesnosonsuficientes.

1 Imaginarectángulosdiferentes:pequeños,medianos,grandes,uobjetosquetenganformaderectángulo;porejemplo,cuadernos, losetas,pizarrones,ventanas,patios,etc.¿Quéprocedimientoutilizaríasparacalculareláreadecualquieradeellos?Descríbelo.

2 Aunqueexisteunprocedimientogeneralparacalculareláreadecualquierrectángulo,lainformaciónquesenecesitaparahacerelcálculopuededarsededistintasmaneras,comolassiguientes.

a)Sobre fondo cuadriculado.¿Cuáleseláreadecadarectángulo?Considerauncuadritocomounidad.

A= A5

b)Sobre fondo blanco, con medidas reales.¿Cuáleseláreadelsiguienterectángulo,encentímetroscuadrados?

A53.5 cm

6 cm

43

c)Con medidas ficticias.¿Cuáleseláreadeesterectángulo,enmetroscuadrados?

A5

d)Con medidas disfrazadas.Elradiodelcírculopequeñomide3yelradiodelcírculograndemide5.¿Cuáleseláreadelrectángulo?

A5

e)Con medidas representadas con literales. Ellargodelrectángulomidemyelanchomiden.¿Cuáleseláreadelrectángulo?

A5

3 Analizaengrupo,contuprofesoroprofesora,cadaunadelasrespuestasqueobtuvieron.Encasodehaberdiferencias,tratendeaveriguarquiéntienerazónyaquésedebenloserrores.

Elresultadoobtenidoenelúltimoproblemaeslaexpresióngeneral,tambiénllamadafórmula,conlacualsecalculaeláreadecualquierrectángulo.

Laexpresiónconpalabrases:Área(delrectángulo)esigualalargoporancho.Laexpresiónconliteraleses:A5mn.Envezdelargoyanchosueledecirsebase(b)yaltu-

ra(h),demaneraquelafórmulamásconocidaesA5bh,perosetratadelamismafórmula.Recuerdaquecuandosemultiplicandosliteralesnoseusaelsigno3,paranoconfun-

dirloconlaletraequis.

13 m

25 m

35

n

m

1.4.

Sig

nific

ado

de la

fórm

ula

para

el á

rea

del r

ectá

ngul

o.

44

Lección 15 ConnúmerosoconletrasElusodeliteralesparaexpresarmedidasconstituyóungranavanceeneldesarrollodelamatemática.

1 Realizalosiguiente.

a)Expresaconpalabras,de lamaneramásbreveposible,elprocedimientoqueseutilizaparacalcularelperímetrodeunrectángulo.

b)Conayudadelprofesoroprofesora,averigüencuáles ladescripciónmásbrevedelgrupo.Verifiquenqueseacorrecta.

c)Expresenenformageneralelprocedimientoparacalcularelperímetrodelrectángulodelaizquierda.

d)Lafórmulaparaobtenerelperímetrodelrectángulopuedeexpresarsealmenosdedosmaneras:comolasumadelasmedidasdesuscuatroladosocomolasumadedosveceslamedidadeunladomásdosveceslamedidadelotrolado.Anotaloquehacefaltaenestasdosexpresiones.

P5 1 1 1

P5 1

e)Todavíahayunaformamássimpledeexpresarelperímetrodelrectángulo.¿Cuáles?

2 Lasdosfigurassiguientessontriángulosequiláteros,esdecir,tienensustresladosiguales.Enunodelostriángulos,lasmedidasestánexpresadasconnúmerosy,enelotro,conliterales.

a)Anotasobrelaslíneaslasmedidasquesepiden.

Medidadeunlado:

Medidadelaaltura:

Perímetro:

Área:

a

l

P5

2.6 cm

3 cm

a

b

Eláreadeltriánguloesigualalproductodesubaseporlaalturadivididoentre2.

Medidadeunlado:

Medidadelaaltura:

Perímetro:

Área:

45

b)Engrupoyconayudadeldocenterevisencadaunadelasmedidasqueescribieronsobrelaslíneas,especialmenteenloscasosenquenocoincidan.Tratendeverquiénestienenrazón.

3 Ahorahazlomismoconlossiguientescuadrados.

4 Lasiguientefiguraesunparalelogramo.Dosmedidasestánindicadasconnúmerosyunamásconunaliteral.Anotaloquesepideenlapartederecha.

5 ElperímetrodeunafiguracuyosladosyángulossonigualespuedecalcularsemediantelafórmulaP=a+a+a+a+a,obien,P=5a,enlaquearepresentalamedidadeunlado.

a)¿Dequéfigurasetrata?

b)Siavale3.5,¿cuáleselperímetrodelafigura?

c)Sielperímetrodelafiguramide28,¿cuáleselvalordea?

d)Entucuaderno,hazundibujodelafiguraydivídelaen5triángulosiguales.Laalturadeunodeesostriángulosmideb.¿Cómoseexpresaeláreadelafiguraconliterales?A5

6 Conayudadelprofesorrevisencadaunadelasrespuestasdelproblemaanterior,enparticularaquellasquesondiferentes.

7 LasiguientefórmulasirveparacalculareláreadeuntrapecioA5(B1b)h

2.

a)AsignenvaloresaB,byh.

b)Calculeneláreadeltrapecio.

c)Traceneltrapecioyescribansusmedidas.

3 cm a

Medidadeunlado:

Perímetro:

Área:

Medidadeunlado:

Perímetro:

Área:

6.5 cm

3 cm x

Medidadelabase:

Medidadelaaltura:

Perímetro:

Área:

1.4.

Uso

del

leng

uaje

nat

ural

par

a ex

plic

ar e

l sig

nific

ado

de a

lgun

as fó

rmul

as g

eom

étric

as,

inte

rpre

tand

o lit

eral

es c

omo

núm

eros

gen

eral

es c

on lo

s qu

e es

pos

ible

ope

rar.

Recuerda.Eláreadelparalelogramoesigualalproductodesubaseporlaaltura.

46

Lección 16 Reflejos¿Tehasfijadocómosereflejaunaimagenenunespejo?

1 Imaginaquesecolocaunespejosobrelalínearoja.Escribesiunadelasfigurasdecadaparejaesreflejoonoesreflejodelaotrayporqué.

a) b)

c) d)

2 Trazaunalínearectadondecreasquesetienequecolocarelespejoparaque,encadapareja,unafiguraseaelreflejodelaotra.Lalíneapuedeserhorizontal,verticaloinclinada.

Lalíneaquetrazasteencadaparejasellamaejedesimetría.Sedicequeunafiguraysureflejosonsimétricosconrespectoalejedesimetría.

47

3 Identificalospuntosqueseansimétricosconrespectoalalínearojaypíntalosdelmismocolor.


a)Unelasparejasdepuntossimétricosconunsegmentoymidelosángulosqueformacadasegmentoconelejedesimetría.

¿Cuántomidenestosángulos?

b)¿Cómosellamanlosángulosquetienenestamedida? ¿Cómosellamanlasrectas queformanángulosdeesamedida?

5 Comparensusrespuestasycomentenloescritoenlosrecuadros.

Elejedesimetríayelsegmentoqueunepuntossimétricossonperpendiculares.

Unpuntoysureflejoestánalamismadistanciadelejedesimetría.

Comparaladistanciadeunpuntoalejedesimetríaconladistanciadesureflejoalmismoeje.¿Quépuedesconcluir?

1.5.

Noc

ión

de s

imet

ría y

pun

tos

sim

étric

os.

48

Lección 17 ReflejosenelgeoplanoLasimetríarespectoaunejeconservaalgunaspropiedadesdelasfiguras.Lasactividadesdeestalecciónteayudaránadescubrircuáles.

1 Encadaarreglodepuntos,dibujaelsimétricodecadafigurarespectoalsegmentorojo.

2 Anotalasletrasquecorrespondenalosvérticesdelasfigurasquetrazasteenlaactividad1.

Habrásobservadoque sehanpuesto letrasa losvérticesdecadafigura.Seacostumbranombraraunpuntoyasusimétricoconlamismaletra,poniendounapóstrofoalaletradelsimétrico.Así,alsimétricodeAselenombraA’yselee“Aprima”.

I II III

IV V VI

I

A D

B C

II

H

G

E

F

III

L

K

I

J

IV

MN

O

V

P

Q

R

S

PPPP

SSSSSSQQQQQQQQQQQQ

RRRRRRRRRR

VI

T

U

V

WWWWWWW

TTTTTTTT

VVVVVVVVVVVVV

UUUUUUUUU

49


a)Anotalasmedidasdelossegmentosusandounladodelcuadritocomounidad.

AB5 BC5 CD5 DA5

A’B’5 B’C’ 5 C’D’5 D’A’ 5 b)Comparalamedidadecadasegmentoconladesusimétrico.

¿Sonigualesodiferentes?

c)Anotalasmedidasdelosángulos.

/E 5 /F5 /G5 /H5

/E’ 5 /F’ 5 /G’ 5 /H’5

d)Comparalasmedidasdeunánguloydesusimétrico.

¿Sonigualesodiferentes?


a)¿Enquéarreglosdepuntosdelapáginaanteriorhayfigurasconladosparalelos?

ABesparaleloaCD;estoseescribeABi’CD.

b)¿LossegmentosA’B’yC’D’tambiénsonparalelos?

c)Sidossegmentossonparalelos,¿susreflejostambiénloson?

d)¿Enquéarreglosdepuntoshayfigurasconladosperpendiculares? ADesperpendicularaAB;estoseescribeAD'AB.

e)¿LossegmentosA’D’yA’B’tambiénsonperpendiculares?

f) Sidossegmentossonperpendiculares,¿susreflejostambiénloson?

5 Verificasilasfigurasquetrazasteenlaactividad1cumplenlosiguiente:cuandodossegmentossonparalelosoperpendiculares,susreflejostambiénloson.

6 Comparatusresultadosconlosdetuscompañerosycompañerasdelgrupo.

A A D D

B B C C

F G

F G

E H

E H

Alreflejarunafiguraseconservan:llasmedidasdesusladosydesusángulos,lelparalelismoylaperpendicularidaddesuslados.

Unidad

1.5.

Rec

onoc

imie

nto

de la

s pr

opie

dade

s qu

e se

con

serv

an e

n la

sim

etría

.

50

Lección 18 Sincuadrícula¿Cómoseteocurrequeseconstruyenlasfigurassimétricascuandonohaygeoplanonicuadrícula?

1 Trazalasimétricadelafiguraazulconrespectoalalínearoja.AnotaA’alpuntosimétricodeA,B’alsimétricodeB,yasísucesivamente.

2 Ahoranohaycuadrícula.Piensacontuscompañerosquépuedenhacerparatrazarlasimétricadelafiguraazulconrespectoalalínearoja.

Cuandosepongandeacuerdo,tracenlafigurayescribanensuscuadernoselprocedimientoqueemplearon.

3 Comparensuprocedimientoconlosdeotrosequiposdelgrupo.Entretodoselijanlosprocedimientosquecreanmásprecisosparaconstruirunafigurasimétricaaotrarespectodeuneje.

B

C

A

E

D

51

4 Trazalasimétricadecadafiguraconrespectoaleje.Rotulaconletraslosvértices.

a)

b)

c)

Paratrazarunafigurasimétricaaotraconrespectoauneje:1Setrazanperpendicularesalejeporcadavérticedelafigura.2Sobrelaperpendiculartrazadasemideladistanciadecadavérticealejeyesamisma

distanciasetomadelotroladodelejeparaencontrarlosvérticessimétricos.3Seunenlosvérticessimétricosparaformarlafigurasimétrica.

1.5.

Con

stru

cció

n de

figu

ras

sim

étric

as re

spec

to a

un

eje.

52

Lección 19 ¿Sonproporcionales?Cuandolascantidadesdeunconjuntodependendelasdeotroconjunto,enciertoscasosesposiblepreverelvalorquetendráunacantidadapartirdelvalordeotra.

1 Calculenlosdatosquefaltanencadatabla.Cuandoconsiderenquealgúndatonopuedecalcularse,tachenlacasillacorrespondiente.

Cuando Mario nació, Luisa tenía 6 añosAcontecimiento Edad de Mario Edad de Luisa

Mario entra a la primaria 12

Luisa termina su carrera 18

Luisa tiene su primer hijo 36

Mario tiene su primer hijo 42

Tabla 1

El taxi cobra $6.50 por el servicio más $4.50 por kilómetroKilómetros recorridos en taxi Precio del recorrido

3

5

15 $74.00

30

Tabla 2

Una receta para un pastel pide hornear durante 45 minutos a 200 grados

Número de pasteles que se hornean al mismo tiempo Tiempo de horneado

1 45 min

2

3

Tabla 3

Los helados se venden a …Núm. de helados Precio

3

6 $18.00

15

30 $90.00

Tabla 4

Todas las cajas tienen la misma cantidad de chocolates

Número de cajas Número de chocolates

3 36

6

10

12 144

Tabla 5

El disco trae 20 cancionesNúmero de canciones

reproducidasTiempo transcurrido desde que

se pone la primera canción

1 3 min

2 7 min

3 9 min

4

Tabla 6

Ana lee un libroNúmero total de páginas

leídasNúmero de páginas

por leer

12 102

24

36

60 5544

Tabla 7

Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 90 km/h

Tiempo transcurrido Distancia

1 hora

2 horas

3 horas

4 horas

Tabla 8

53

2 Engrupoyconlaayudadesuprofesor,revisencadaunadelastablasanterioresdelasiguientemanera:

a)Comparenlascantidadesqueencontraron.Sinosoniguales,analicensihayvariascorrectasosisolamenteunaloes.

b)Ponganunapalomitaountacheenelsiguientecuadroparaindicarsilatablaqueestánrevisandotieneonolacaracterísticaqueseindica.

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

Cuando una cantidad de uno de los conjuntos varía (au-menta o disminuye), la cantidad que le corresponde en el otro conjunto puede no variar (solamente una tabla tiene esta característica).

Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las can-tidades correspondientes en el otro conjunto también tie-nen un aumento.

Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las canti-dades correspondientes en el otro conjunto disminuyen.

La diferencia (resta) entre dos cantidades de un conjunto es siempre igual a la diferencia entre las dos cantidades correspondientes en el otro conjunto.

4 8

Cuando una cantidad se hace dos, o tres, o n veces mayor, la cantidad correspondiente en el otro conjunto también se hace ese mismo número de veces mayor (tres tablas tie-nen esta característica).

c)Contestenlassiguientespreguntas:l ¿LasedadesdeLuisasonproporcionalesalasedadesdeMario?l ¿Lascantidadesdetiempoquerequierenlospasteles parahornearsesonproporcionalesalascantidades depastelesquesehornean? l ¿Lascantidadesdedineroquesedebenpagarporloshelados sonproporcionalesalascantidadesdeheladosquesecompren?l ¿Lacantidadtotaldetiempotranscurridodesdelaprimeracanción esproporcionalalnúmerodecancionesquehansidoreproducidas?

d)Encuentrentresparejasdecantidadesqueustedespiensenquesonproporcionalesyotrastresquenoloson.

Recuerda.Haymuchasformasenquelascantidadesdeunconjuntopuedendependerdelascantidadesdeotroconjunto.

Siunacantidaddeunconjuntoaumentadosveces, tresvecesonveces,y lacantidadcorrespondientedelotroconjuntotambiénaumentaesemismonúmerodeveces,sedicequelascantidadesdeunconjuntosondirectamenteproporcionalesalasdelotroconjunto.

1.6.

Iden

tific

ació

n de

rela

cion

es d

e pr

opor

cion

alid

ad.

54

Lección 20 BarcosaescalaCuandosehaceunacopiaaescaladeunafigura,todaslasmedidasdelosladosaumentanodisminuyen,peronodecualquiermanera.Hayunarelaciónentrelasmedidasdelafiguraaescalaylasdelafiguraoriginal.

1 Observalosbarcosdeldibujo.¿Cuálesteparecequepodríanserampliacionesaescaladelbarco1?

2 Anotaenlatablalasmedidasdecadabarco.Usalosladosdeloscuadritoscomo

unidaddemedida.

Lado AB Lado BC Lado CD Lado DE Lado EF Lado GH Lado IJ Lado KL

Barco 1 2 1 1 1 1 1 1 4

Barco 2

Barco 3

Barco 4

A

A

AA

B

B

BBC

C

C

C

1 2 3

4

D

D

D

DE

E

E

E

F

F

F

F

G

G

G

GH

H

H

H

I

I

II

J

J

JJ

K K KL

KL

L L

Recuerda.Unafiguraesunaampliaciónoreducciónaescaladeotracuandotienelamis-maformaperodiferentetamaño,comosiunafuerafotografíadelaotra.Tambiénsedicequelasfigurassonsemejantes.

55


a)Enelbarco1,elladoDEesigualalladoEF. ¿EnquébarcoselladoDEnoesigualalladoEF? b)Enelbarco1,elladoABmidelodoblequeelladoBC. ¿EnquébarcoselladoABnomidelodoblequeelladoBC?c)Deacuerdoconloanterior,¿québarcosnopueden sercopiasaescaladelbarco1?

d)¿Cuáleselúnicobarcoqueesunacopiaaescaladelbarco1?e)¿Cuáleselfactordeescalaquepermiteobtenersusmedidas almultiplicarlasdelbarco1?

4 Conayudadetuprofesor,comparatusrespuestasdelascincopreguntasanterioresconlasdetuscompañeros.

5 Dibuja,juntoalbarconúmero4delapáginaanterior,otraampliaciónaescaladelbarco1enlaqueelfactordeescalasea3.

6 Enunanuevaampliaciónaescaladelbarco1,elladoKLmide24unidades. ¿Cuáleselfactordeescalaquecorrespondeaesebarco? Dibújaloen

lacuadrículadeabajo.

Cuandounafiguraesunacopiaaescaladeotra,losladosdeunasonproporcionalesalosladosdelaotra.Estoquieredecirque:

Sienunafiguraunladoaesdos,tresvecesonvecesmayorqueunladob,entonces,enlaotrafigura,elladoquecorrespondeaadeberásertambiénesemismonúmerodevecesmayorqueelladoquecorrespondeab.

A B

CD

E F

GH

I J

KL

Todaslasmedidasdeunafiguraaescalasepuedenobtenermultiplicandoodividiendolasmedidasdelafiguraoriginalporunmismonúmero.Esenúmerosellamaconstante de pro-porcionalidadofactordeescala.

1.6.

La

prop

orci

onal

idad

en

la e

scal

a. Id

entif

icac

ión

y us

o de

un

fact

or d

e pr

opor

cion

alid

ad e

nter

o o

frac

ción

uni

taria

.

56

Lección 21 Lacasitaaescala¿Quéinformaciónesnecesariaparadeterminareltamañodeunacopiaaescala?¿Lamedidadetodoslosladosdelacopia?,¿bastaconlamedidadeunlado?,¿esnecesarioconocercuántasvecesmayoromenoreslacopiaenrelaciónconlafiguraoriginal?

1 Sevanahacercincocopiasaescaladeldibujoqueaparecealaizquierda.Enlatabladeabajoseindicanvariasmedidasdeldibujoysólounadelasmedidasdecadacopia.

Antesdecalcularlasmedidasquefaltan,contestalassiguien-tespreguntas.Explicaenquébasastusrespuestas.

a)¿Quécopiaserálamáspequeña?

¿Cómolosabes?

b)¿Quécopiaserálamásgrande? ¿Cómolosabes?

c)Haydoscopiasquesaldrándelmismotamaño. ¿Cuálescreesqueson? ¿Porqué?

Dibujo original Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5Lado a 4 12Lado b 10 5

Lado c 6 18Lado d 2 10Lado e 5 10

d)Conayudadelprofesoroprofesora,comparensusrespuestasyexpliquenlasrazonesporlasque

respondieronasí.Noesnecesarioquelleguenaacuerdostodavía.Másadelantepodránverificar.

2 Realizaahoralosiguiente:

a)Calculatodaslasmedidasquefaltanyanótalasenlatabladelaactividad1.b)Enlaprimeracolumnadelasiguientetablaseindicanalgunasrelacionesqueguardanloslados

deldibujooriginal.Indicaconpalomaotachesilasmedidasdelascopiasverificanesasrelaciones.Sinoseverificaalgunarelación,tratadeencontrarelerror.

Dibujo original Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5El lado a mide lo doble que el lado dEl lado c mide lo triple que el lado dEl lado b mide lo doble que el lado e

a b

ef

c

d

57

c)Anota,enelprimerrenglóndelatabladelaactividad1,elfactordeescalaquecorrespondeacadacopia.

d)Verificasiseobtienentodaslasmedidasdelacopia1almultiplicartodaslasmedidasdelafiguraoriginalporelfactordeescaladelacopia1.

e)Dibujalacopia2enlacuadrículasiguiente.

3 Conayudadetuprofesoroprofesora:a)Comparalasmedidasylosfactoresqueanotasteentutablaconlosdetuscompañeros.b)Verificasisupistecuálibaaserlacopiamenorycuállacopiamayor.

c)Anotaencuáldelascopiaselfactordeescalaes12

.

4 Enlatabladeabajoseindicanvariasdelasmedidasdeldibujodeladerechaytambiénalgunasmedidasdecincocopiasaescaladeesedibujo.Contestalassiguientespreguntas. Justificatusrespuestas.

a)¿Quécopiaserálamáspequeña?

b)¿Quécopiaserálamásgrande?

c)Doscopiassaldrándelmismotamaño.¿Cuáles

son?

Dibujo original Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5Lado a 3 12Lado b 5 10

Lado c 1 5Lado d 4 12Lado e 2 6

d)Calculalosdatosquefaltan.

e

a

bc

d

1.6.

La

prop

orci

onal

idad

en

la e

scal

a. Id

entif

icac

ión

y us

o de

un

fact

or d

e pr

opor

cion

alid

ad e

nter

o o

frac

ción

uni

taria

. Com

para

ción

de

razo

nes.

58

1 EnelcampamentoalquefueJuan,losvíveressedistribuyeronportiendadecampaña.Lacantidaddevíveresqueseentregóacadatiendadependiódelnúmerodeocupantes.Undía,huboprotestasporelrepartodegalletas.

a)ComparaloquelestocóalosocupantesdelastiendasAyBenelrepartodegalletasyanota

quiénescreesqueprotestaronyporqué.

b)Encadaunodelossiguientesparesdetiendas,indicasielrepartodegalletasteparecejustoono.Cuandonoteparezcajusto,explicaporqué.

2 Comentacontuscompañerosycompañerasycontuprofesoroprofesoraquécondicionesdebecumplirunrepartoparaqueseajusto.Escribeaquílasconclusionesalasquelleguen.

Lección 22 ElrepartoproporcionalICuandosevaarepartiralgoentregruposdepersonasylosgrupossondedistintotamaño,¿cómohacerparaqueelrepartoseajusto?

Tiendadecampaña A BNúm.deocupantes 3 5

Núm.degalletas 7 7

Tiendadecampaña C DNúm.deocupantes 4 4

Núm.degalletas 7 8

Tiendadecampaña E FNúm.deocupantes 3 6

Núm.degalletas 9 15

Tiendadecampaña I JNúm.deocupantes 2 8

Núm.degalletas 5 10

Tiendadecampaña G HNúm.deocupantes 3 2

Núm.degalletas 5 7

1

Tiendadecampaña

59

Tiendadecampaña A B C D E F G H I J TotalNúm.deocupantes 3 5 4 4 3 6 3 2 2 8

Núm.degalletas 80

Sitodoslosgruposdepersonasfuerandelmismotamaño,paraqueelrepartofuerajustobastaríacondarlamismacantidadacadagrupo.

Comolosgruposdepersonasnosontodosdelmismotamaño,unamaneradelograrqueelrepartoseajustoesquelascantidadesquesedanseanproporcionalesaltamañodecadagrupo,esdecirque,siungrupoesdos,tresonvecesmayoraotro,entoncesrecibaunacantidadqueseaesemismonúmerodevecesmayorquelacantidaddelotro.Cuandoestoocurre,tambiénsedicequeelrepartoesproporcional.

1.7.

Pro

cedi

mie

ntos

par

a re

solv

er p

robl

emas

de

repa

rto

prop

orci

onal

.

Tiendadecampaña A B C D E F G H I J TotalesNúm.deocupantes 3 5 4 4 3 6 3 2 2 8 40

Núm.delatasdeatún 120

Núm.delitrosdeagua 160

Núm.depanes 50kgdequeso 10

3 Repartenuevamentelas80galletasentrelasdieztiendasdemaneraqueahorasíelrepartoseajusto.Anotaenlatabladeabajotusresultados.

4 Comparalascantidadesquepusisteenlatablaconlasdetuscompañeros.Vesielloslascalcularondelamismamaneraquetúodeotra.

5 Enlasiguientetablasepresentanotrascantidadesdevíveres.

a)Distribuyanlosvíveresdemaneraquelosrepartosseanproporcionales.

Enestecaso,aunquealosdistintosgruposdepersonasnolestocalamismacantidad,acadapersonasílecorrespondelamismacantidad.

b)Verifiquenqueentodaslastiendasletoqueunapiezaycuartodepanacadapersona.

c)¿Cuántoslitrosdeagualecorrespondenacadapersonaencadatienda?

d)¿Cuántoskilogramosdequesoletocanacadapersonaencadatienda?

6 Resuelveelsiguienteproblema.

Loshabitantesdetrespequeñascomunidadesvanahacerunaobradedrenajequelosbeneficiaráatodos.Elcostodelosmaterialesnecesariosasciendea$360000.00.Sedecidequelasaportacio-nesseanproporcionalesalnúmerodehabitantesdecadacomunidad.EnlacomunidadAhay120habitantes,enlacomunidadBhay240yenlacomunidadChay360.¿Concuántodebecooperarcadacomunidad?

60

1 Trespersonasabrieronunapequeñasastrería.Debidoaquetienendistintasocupaciones,acordaronturnarseparaatenderelnegocioyrepartirselasgananciasdecadasemanaenfuncióndeltiempoquehubiesetrabajadocadaquien.

Enlasiguientetablaseindicanlashorasquetrabajócadapersonadurantelaprimerasemana,asícomolasgananciasqueobtuvieron.Buscaunaformadedistribuirlasgananciasentrelastresper-sonasenfuncióndeltiempotrabajado.

Primera semana María Ana Pedro TotalNúmero de horas trabajadas 20 horas 8 horas 12 horas 40 horasGanancia que le corresponde $2 000.00

2 Comparatusresultadosconlosdetuscompañeros.Sirepartieronlasgananciasdedistintasmaneras,comentencuáleslesparecenmásjustas.

3 Unaformadehacerunrepartojustoconsisteenhacerquelasgananciasseanproporcionalesaltiempotrabajado.Completalasdossolucionesquesemuestranacontinuación,enlasquesehaceunrepartoproporcionaldelasgananciasdelasegundasemana.

María Ana Pedro TotalNúmero de horas trabajadas 32 horas 12 horas 4 horas 48 horasGanancia que le corresponde $2 880.00

Verificación ¿Lasumadeloquegananlostresjuntosesiguala$2880.00?

AnatrabajóeltripledetiempoquePedro,¿tambiénganóeltriple?

Maríatrabajó8vecesloquetrabajóPedro,¿tambiénganó8vecesmásqueél?

Lección 23 ElrepartoproporcionalII

Unrepartojustonosiempreesaquelenelquesedistribuyeenpartesiguales.

Solución2

Sipor48horasganaron$2880.00,entoncesganaron

enpromedio$ porhora.

Siporhoraganaron$ ,entoncesPedro

ganó$ ,Anaganó$ y

Maríaganó$ .

Solución1

4horases112de48horas,por lotantoaPedroleco-

rresponde112de$2880.00,esdecir$ .

12horases

de48horas,porlotanto,aAnale

corresponden$ ;32horases

de48

horas,porlotanto,aMaríalecorresponden$ .

61

4 Ahorahazlomismoconlossiguientesdatos.

Tercera semana María Ana Pedro TotalNúmero de horas trabajadas 18 horas 6 horas 24 horas 48 horasGanancia que le corresponde $4 320.00

5 Resuelveelsiguienteproblema.

Tresamigosreunieronsudineroparacomprarunboletode$250.00paraunarifa.Luisaportó$50.00,Jaime$125.00yRosa$75.00.Tuvieronsuerteyganaronunpremiode$2000.00.Decidie-ronquelascantidadesquelescorrespondieranfueranproporcionalesalascantidadesquedieronparacomprarelboleto.

a)¿Cuántodinerolecorrespondeacadauno?

b)Verificatusresultados:¿lasumadeloqueletocaacadaunoesiguala$2000.00? Jaimeaportó2

12

vecesloqueaportóLuis. ¿LagananciadeJaimetambiénes2

12

ladeLuis?

6 Completalassiguientessolucionesdelproblemaanterior.

7 Resuelvelossiguientesproblemas.

Cuatroamigas,Martha,Pati,LupitayMarinahicieronunviajejuntas.Reunieroneldineroquecadaunatenía:$600.00deMartha,$600.00dePati,$950.00deLupitay$850.00deMarina.Alregresardelviaje,lesquedaron$150.00.Decidieronrepartirseesesobrantedemaneraproporcionalaloquecadaunaaportó.

a)Calculacuántoletocaacadauna.b)Calculacuántolehabríatocadoacadaamigasielsobrantehubierasido:

$300.00 $450.00

Solución2

Sipor$250.00seganaron$2000.00,por$1.00seganan... Boleto Premio $250.00 $2000.00

$1.00

Luis $50.00

Jaime $125.00

Rosa $75.00

Solución1

Elpremio($2000.00)es vecesmayorqueelcostodelboleto($250.00). X Boleto Premio Total $250.00 $2000.00

Luis $50.00

Jaime $125.00

Rosa $75.00

1.7.

Pro

cedi

mie

ntos

par

a re

solv

er p

robl

emas

de

repa

rto

prop

orci

onal

.

62

Lección 24 TarjetasdefelicitaciónContarnosiempreesfácil.Avecesserequierentécnicasespeciales.Porejemplo,¿algunaveztehaspreguntadocuántasparejasdebailediferentessepuedenformarenunareunióndondehay8hombresy6mujeres?

1 ParaelDíadelAmor,Patipiensahacertarjetasentrescoloresdiferentesydecorarlasconcorazonesocupidos.Legustaponersolamenteuncoloryuntipodeadornoportarjeta.

a)Hazunalistaentucuadernodetodaslastarjetasdiferentesquepuedehacer;porejemplo,unacombinaciónposiblees:azulconcupidos.

b)¿Cuántastarjetasdiferentespuedehacer?

2 Paticonsiguióvariosejemplaresdeotrotipodeadorno.

a)¿Cuántastarjetasdiferentespuedehacerentotalsiaumentaesteadorno?

3 ParaelDíadelasMadres,Patipiensahacertarjetascuadradasytarjetasrectangulares.Paraelaborarlas,tienepapeldedoscoloresydostiposdeadornos.

a)¿Cuántastarjetasdiferentespuedehacer?

b)¿Cómoloaveriguaste?

c)Elaboraentucuadernolalistadetodaslastarjetasdiferentesquepuedehacer.Porejemplo,unacombinaciónes:cuadrada,azul,conrosas.

Colores

Formas Adornos

63

d)Enlastarjetascuadradasnocabenlasrosas,asíquePatihadecididonohacertarjetasconesa

combinación.¿Cuántastarjetaspuedehacerconsiderandoestanuevacondición?

4 Parasaberlasdiferentesmanerasdecombinarloscoloresylosadornos,sepuedehacerundiagramacomoelsiguiente.Complétaloconloscoloresyadornosdelaactividad1.

5 ParalaNavidad,Pativaahacertarjetascondosformasdiferentes,trescoloresytrestiposdeadornos.

a)¿Cuántastarjetasdiferentespuedehacer?

b)¿Cómoloaveriguaste?

c)Entucuaderno,hazundiagramadeárbolquemuestrelasdiferentescombinacionesdetarjetas.

d)Patihanotadoquenoconvienehacertarjetasdecolorverdeconelpino,porloquedescarta

estacombinación.¿Cuántascombinacionespodráhacerconestanuevacondición?

e)Tampocoharátarjetascuadradasencolorrojo;entonces,¿cuántastarjetasdiferenteshará?

6 Comparalosresultadosdelaactividad5conlosdetuscompañerosycompañeras.

amarillo

azul

Recuerdaqueestamaneradeorganizarlosdatossellamadiagramadeárbol.

Formas Adornos

corazón

cupido

1.8.

Dia

gram

as d

e ár

bol.

64

Lección 25 Futbol¿Decuántasmanerassepuedellenarunaquinieladefutbol?Preguntascomoéstaserespondenaprendiendotécnicasdeconteo,comolaqueestudiasteenlalecciónanteriorylaqueaprenderásenésta.

1 Unequipodefutboltienetresplayerasydosshortsdiferentes.

¿Cuántascombinacionesdeuniformesepuedenhacer?

2 Lasdiferentescombinacionessepuedenorganizarenunatablacomolasiguiente.Coloreacadacombinacióndeuniforme.Observaelejemplo.

a)¿Coincideturespuestaalapreguntaanteriorconelnúmerodecombinacionesquesemuestranenlatabla?

b)Siademáslosequipospuedenescogerentredosparesdecalcetasdistintas,¿cuántosuniformesdiferentespuedenformarconsiderandolascalcetas?

c)Lasiguiente tablacontieneelnúmerodeplayerasydeshortsquetienendistintosequipos.Calculayanotaelnúmerodeuniformesdiferentesquepuedehacercadauno.Tratadecalcularelnúmerodeuniformessintenerquehacerlalistadetodosellos.

Número de playeras diferentes

Número de shorts diferentes

Número de uniformes diferentes que pueden formar

4 2

5 2

5 4

8 4

m n

65

3 Comparatusrespuestasyprocedimientosconlosdelrestodelgrupo.

4 Losalumnosdelasecundaria401organizaronuntorneodefutbolyformaroncuatroequiposdiferentes.Decidieronquecadaequiposeenfrentaríadosvecesconlosdemásequipos.

a)¿Cuántospartidosjugaránentotal?

b)Elaboraentucuadernounatabla—comoladelaprimeraactividad2—quemuestrelosdosequiposqueseenfrentaránencadapartido.

c)¿Cuántospartidossejugaránsidecidenquecadaequiposeenfrentarásólounavezconlosdemásequipos?

5 Enlaprimerasemanadeltorneosejugarándospartidos,HalconescontraBúhosyToroscontraVaqueros.Losalumnosquierenhacerunaquiniela.Laquinielasellenasombreandoelrecuadrodelequipoquesesuponequevaaganaroeldelcentro,sisepiensaqueempatarán.

a)Sisólosesombreauncuadroporpartido,¿cuántasmanerasdiferenteshaydellenarestaquiniela?

b)Silaquinielafuerasobreelresultadodetrespartidos,¿decuántasmanerasdiferentespodríallenarse?

Losproblemasqueresolvisteenlalecciónanterioryenéstasellamanproblemasdeconteo.Algunosdeestosproblemaspuedenresolverseconunamultiplicación.

Porejemplo,sisetienen2playerasdiferentesy3shorts,elnúmerodeuniformesdiferen-tesquesepuedenformares33256.

Halcones

Toros

Búhos

Vaqueros

EMPATE

Halcones Vaqueros Búhos Toros

1.8.

La

mul

tiplic

ació

n y

las

tabl

as d

e do

ble

entr

ada

en la

reso

luci

ón d

e pr

oble

mas

de

cont

eo.

Lección 13

66

I Subrayalarespuestacorrecta

1 Enciertosistemadenumeración,el205seescribeasí:Delassiguientesafirmaciones,¿cuálessonverdaderasconrespectoaesesistemadenumeración?i.Esunsistemaposicional.ii.Tieneunsímboloespecialparaelcero.iii.Noesunsistemaposicional.iv.Elsímbolovale1.

a)iyiii b)iyii c)iiyiv d)iiiyiv

2 Estasecuenciadenúmerosestáenbase4:14,24,34,104,114,124,134,…¿Quénúmerosigue?

a)144 b)204 c)244 d)214

3 Júpitereselplanetamásgrandedenuestrosistemasolar,tieneundiámetroecuatorialdecientocuarentaydosmillonesochocientosmilmetros.¿Cómoseescribeesenúmero?

a)1428000 b)14280000 c)142800000 d)1428000000

4 ¿Quénúmeroseñalalaflecha?

5 ↑ 7

a) 23 b)5 2

3 c)6 1

2 d)6 1

3

5 ¿Cuántospalillostendráentotallafigura100?

Figura1 Figura2 Figura3 Figura4

a)100 b)200 c)300 d)400

6 Siseconsideralasecuenciadelapregunta5,¿cuántospalillostendrálafiguran?

a)3+n b)3÷n c)3n d)32n

Repasemosloaprendido

67

∉ ⊄ ∈∇

7 ¿Cuáleslaexpresiónquecorrespondealperímetrodelafigura?Subráyala.

m m

na)2+m+n b)2m+n c)m+n d)2mn

8 Consideralasimetríaconrespectoauneje,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera?

a)Lospuntossimétricosestánadistanciasdiferentesdelejedesimetría.b)Elsegmentoqueuneaunpuntoconsusimétricoesperpendicularalejedesimetría.c)Lasimetríaconrespectoaunejenoconservalamedidadelosángulos.d)Lasimetríaconrespectoaunejenoconservalamedidadelosegmentos.

9 Tresmaestros,Daniel,CarlosyÉrica,necesitancomprarpliegosdecartoncillopararealizaruntrabajoconsusalumnos.Decidencomprarentrelostresunpaquetede90pliegos,puesasílessalemásbarato.Elpaquetelescuesta45pesos.Danielsequedacon40pliegos,Carloscon30yÉricacon20.Decidenqueelpagoseaproporcionalalacantidadconlaquecadaunosequedó.¿Concuántodebecooperarcadauno?Subrayalaopcióncorrecta.

a)Daniel$15,Carlos$15,Érica$15b)Daniel$40,Carlos$30,Érica$20c)Daniel$10,Carlos$30,Érica$5d)Daniel$20,Carlos$15,Érica$10

10 Enunaurnasetienen4bolascomolassiguientes:

Sinverseextraeunabola,seanotasusímboloyseregresaalaurna;despuésseextraeunasegundabolayseanotaelsímbolo.¿Decuántasmanerasdiferentessepuedenextraerlasdosbolas?Subrayalaopcióncorrecta.

a)4 b)8 c)12 d)16

II Hazloqueseteindica

1 ¿Cómosepuedeformarlacantidadde$20.00conmonedasde10centavosyde50centavos?a)Encuentratodaslassolucionesposibles.b)Comparacontuscompañeros,comentenelprocedimientodecadauno.Veansiesseguroque

tienentodaslassolucionesposibles.1

1Fuente:Sadovsky,Patricia.Tesisdoctoral

Lasmatemáticasenlanaturaleza

68

Imagínatequeeneneroteregalanunaparejadeconejosreciénnacidos.Despuésdedosmeses,esosconejosprocreanunanuevapareja.Des-

puésdeello,cadames,siguenprocreandounanuevapareja.Cadanuevaparejadeconejos,despuésdedosmeses,produceuna

nuevaparejaysigueproduciendounaparejacadames.

Completalatabla.Observaquelosconejosreciénnacidosserepresentanconuncírculopequeñoylosconejosdemásdeunmesconuncírculomayor.

Mes Conejos Núm. de parejas

Enero 1

Febrero 1

Marzo 2

Abril 3

Mayo 5

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Escribelasecuenciadenúmerosdelaterceracolumnadelatablaanterior.

1,1,2,3,5,8

¿Cuáleslareglaquesigueestasecuencia?Descúbrelayanótala.

6969

Las plantas distribuyen sus hojas, ramas y pétalos, de tal manera que absorben la máxima luz solar. Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en otro, ¡dos números que están en la sucesión de Fibonacci!

El caracol ha logrado sobrevivir a muchas etapas de evolución. En su estructura es posible encontrar la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

¿Cómopuedenotarsequelosdatosquesedieronsobrelareproduccióndelosconejosnosonreales?

Siyatieneslaregla,puedescontinuarlasecuencia.Escribe10númerosmás.

El“problemadelosconejos”provienedellibroLiber Abaci,escritoporelmatemáticoitalia-noLeonardoFibonacciypublicadoen1202.Desdeentonces,elproblemahafascinadoamuchosdebidoalasucesióndenúmerosqueaparecealencontrarlarespuesta.LalistaesconocidacomosucesióndeFibonacciyresultaaúnmásfascinanteencontrarlaenloslugaresmenosesperados.

HazdoslistasdenúmerosquecontenganlosprincipiosdelasucesióndeFibonacci;inicialaprimeracon“3,3”,ylasegundacon“5,5”.

3,3,

5,5,

112

35

8

13

70

Y para terminar...

70

UncuentoElHombrequeCalculabayyonosencontramosenelcaminoaunpobreviajero.SellamabaSalem,eraunricomercader.Fueatacadopornómadas,sucaravanafuesa-queadaycasitodosperecieron.Alconcluirlanarracióndesudesgracia,nospreguntóconvozansiosa:

—¿Traéisquizáalgodecomer?Meestoymuriendodehambre…

—Mequedantrespanes—respondí.—Yo llevocinco—dijoami ladoelHombreque

Calculaba.—Puesbien—sugirióSalem—,lesruegoquejunte-

mosesospanesyhagamosunrepartoequitativo.Cuan-dollegueaBagdadpagaréconochomonedasdeoroelpanquemecoma.

Asílohicimos.Aldíasiguiente,alcaerlatarde,entra-mosensuciudad.Salemdijo:

—Osdejo, amigosmíos.Quiero repetirmi agra-decimiento.Ypara cumplir la palabra dada, pagaré.YdirigiéndosealHombrequeCalculabaledijo:

—Recibiráscincomonedasporloscincopanes.Yvolviéndoseamí,añadió:—Ytú,recibirástresmonedasporlostrespanes.Mas,elHombrequeCalculabadijo:—¡Perdón!Ladivisión,hechadeesemodo,puedeser

sencilla,peronoesmatemáticamentecierta.Siyoen-tregué5paneshederecibir7monedas;micompañero,quedio3panes,deberecibirunasolamoneda.

—¿Cómovaa justificarestedisparatado reparto?—intervinoSalem—Sidiste5panes¿porquéexiges7monedas?,ysituamigodio3panes¿porquééldeberecibirsólounamoneda?

Deténaquílalecturaycomentaengrupo:¿PorquécreenqueelHombrequeCalcu-

labaproponíaestereparto?

ElHombrequeCalculabaseacercóaSalemyhablóasí:

—Voyademostrarqueladivisióndelas8monedaspormípropuestaesmatemáticamentecierta.Cuando,duranteelviaje,teníamoshambre,yosacabaunpandelacajaenqueestabanguardados,lodividíaentrespeda-

zosycadaunodenosotroscomíauno.Siyodi5panes,aporté15pedazos,¿noesverdad?Simicompañerodio3panes,aportó9pedazos.Delos15pedazosqueapor-té,comí8;luegodienrealidad7.Micompañeroaportó9pedazos,ycomiótambién8;luegosólodio1.Los7queyodiyelrestantequediomiamigoformaronlos8quecomióSalem.Luego,esjustoqueyorecibasietemonedasymicompañerouna.

Salemhizo losmayores elogios yordenóqueledieranlassietemo-nedas,puesamísólomecorres-pondía una. LademostraciónpresentadaporelHombrequeCalculabaeralógica,perfectaeincontestable,sinembargodijo:

—Ladivisiónqueyohepro-puestoesmatemáticamenteclara,peronoperfecta.Yjuntandolasmo-nedasnuevamente lasdividióendospartesiguales:cuatromedioamíycuatroparaél.Salemdijo:

—Este joven,apartedeparecermesabioyhabilísi-moenloscálculos,esbuenoparaelamigoygenerosoparaelcompañero.

Adaptado de: El Hombre que Calculaba, Tahan

Malba, Limusa, México, 1990.

Y para terminar...

Salemhizo losmayores elogios yordenóqueledieranlassietemo-

puestoesmatemáticamenteclara,peronoperfecta.Yjuntandolasmo-peronoperfecta.Yjuntandolasmo-peronoperfecta.Yjuntandolasmo-nedasnuevamente lasdividió

paraelamigoygenerosoparaparaelamigoygenerosopara

peronoperfecta.Yjuntandolasmo-

MATEMÁTICAS SECUNDARIA PRIMER GRADO · simétricas de una figura (teselados). En este bloque...

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