Matematicas Resueltos(Soluciones) Trigonometria Nivel I 1º Bachillerato

1

: Es la parte de matemáticas que estudias las

RELACIONES MÉTRICAS entre los elementos de un triángulo.

- Esto quiere decir, las medidas de las longitudes de los lados de los

triángulos y los valores de los ángulos de los triángulos.

- A cada ángulo central – ejemplo - le corresponde un

ARCO DE

CIRCUNFERENCIA (en la figura el señalado en verde)

y a cada

ARCO le corresponde un ángulo.

- En toda circunferencia a ARCOS IGUALES le

corresponden, por supuesto, ÁNGULOS CENTRALES IGUALES.

- Por tanto podemos hablar de ARCOS y

ÁNGULOS o simplemente de ángulos,

cuando tratemos de calcular razones

trigonométricas.

- El punto A, en el que la dirección

positiva del

eje de abcisas corta a la

circunferencia, es

el ORÍGEN de los arcos.

- POSITIVO: Es el que recorre la

circunferencia en sentido contrario a las

agujas del reloj.

- NEGATIVO: Es el que recorre la circunferencia en

el mismo sentido de las agujas del reloj.

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ÁNGULO RECTO: Si dividimos a la circunferencia en 4 partes iguales,

llamados cuadrantes, cada ángulo central es un ángulo recto.

GRADOS SEXAGESIMALES: Aquí cabe dar dos posibles definiciones, que

serán

a.- Si dividimos la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo CENTRAL

correspondiente a cada una de esas partes es un ángulo que tiene por valor

1º.

b.- Es el ángulo PLANO que teniendo su vértice en el centro de un círculo

INTERCEPTA

( corta ) sobre la circunferencia de este círculo un arco cuya longitud es :

Cada grado se divide en 60 partes iguales llamados MINUTOS.

Cada minuto se divide n 60 partes iguales llamados SEGUNDOS.

GRADOS CENTESIMALES: Si dividimos la circunferencia en 400 partes

iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de ellas es un ángulo

que tiene por valor 1º centesimal

Cada grado se divide en 100 partes iguales llamados MINUTOS.

3

Cada minuto se divide en 100 partes iguales llamados SEGUNDOS.

RADIÁN: Aquí cabe también la posibilidad de dar dos definiciones:

a.- Es el ángulo que le corresponde a un arco que tiene la longitud igual a la

del radio de la circunferencia,

b.- Es el ángulo plano, que teniendo su vértice en el centro del círculo

INTERCEPTA (corta)

sobre la circunferencia de este círculo un arco cuya longitud es igual a la

del radio.

Observemos el triángulo que tenemos dibujado y comencemos a establecer

razones entre ángulos y

lados del triángulo:

se definen del modo siguiente: Las razones trigonométricas del ángulo

4

Seno del ángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno del ángulo es la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa.

Tangente del ángulo es la razón entre el cateto opuesto cateto

contiguo.

Las razones inversas del seno, coseno y tangente se llaman

respectivamente:

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Primero vamos a insertar una serie de imágenes para hacer el cálculo, lo

más comprensible posible. Es necesario “no memorizarlo, sino razonarlo”:

En el triángulo de la izquierda tenemos el

triángulo equilátero BCB’:

Sabemos que un triángulo equilátero es el que tiene los tres lados iguales:

Los hemos designado en la figura con la letra “a“ a cada uno de ellos.

También sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo son 180º

Por ser un triángulo equilátero, cada uno de ellos mide 60º.

Lado BC = a Ángulo B = 60º

Lado CB’ = a Ángulo C = 60º

Lado BB’ = a Ángulo C’ = 60º

En el triángulo de la derecha tenemos el triángulo equilátero ABC.

Si dividimos el triángulo a la mitad, formamos un nuevo triángulo ABD.

CBB’

CBB’

6

Este nuevo triángulo ABD que aparece “rayado” en la figura es un triángulo

rectángulo.

Lado AB = a Angulo D = 90º

AB Angulo B = 60º

Lado BD = vamos

a calcularlo Angulo A = 30º

¿Cómo lo calculamos? Sencillo: partiendo de la

base de que es un triángulo rectángulo,

establecemos las siguientes

generalidades:

Suma de los ángulos de un triángulo = 180º Â+B+C = 30º+60º+90º =

180º

Al ser un triángulo rectángulo, aplicamos el Teorema de Pitágoras:

“La hipotenusa al cuadrado = suma de los cuadrados de los catetos”

En el triángulo ABD:

Hipotenusa = a

Un cateto = a

a2 = h2 + (a/2)2

a2 = a 2 + h2 a2 = a2 + h2 4a2 = a2 + 4h2

2 4

4h2 = 3a2 h2 = 3a2

4

Por tanto, ya hemos calculado el lado que nos faltaba en el triángulo

rectángulo ABD

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Aprovechando que tenemos el triángulo rectángulo ABD, y ya conocemos las

medidas de los tres lados, estamos en condiciones de calcular las razones

trigonométricas de los 3 ángulos.

Para ello recurrimos a las definiciones de las razones trigonométricas en los

triángulos rectángulos.

Seno de 30º:

Coseno de 30º:

Tangente de 30º:

Cosec 30 º Es la inversa del seno de 30 º

Sec 30º Es la inversa del coseno de 30º

Cotag 30º Es la inversa de la tangente de 30º

* Ahora vamos a calcular las razones del ángulo de 60º

Seno 60º

8

Coseno 60º

Tangente 60º

* Ahora vamos a calcular las razones de los

ángulos de 45º:

Hemos dibujado un cuadrado y lo hemos dividido a la mitad, trazando su

diagonal.

El cuadrado ha quedado dividido en 2 partes iguales, que son dos triángulos

rectángulos.

La diagonal del CUADRADO es la hipotenusa ( h ) del triángulo rayado :

Aplicando el teorema de Pitágoras: h2 = a2 + a2 h =

Seno de 45º:

9

Coseno de 45º

Tangente de 45º

A continuación creamos una tabla de valores trigonométricos de los

ángulos que vamos a trabajar con más frecuencia y que”conviene aprender

de memoria”

Si interpretamos geométricamente que un ángulo es una región plana: solo

podemos expresar ángulos menores o iguales a 360º.

PERO HAY MÁS CASOS

1º Caso.- Vamos a suponer un móvil que se desplaza efectuando un

movimiento circular en una circunferencia de radio r. Parte del punto A

(origen de los ángulos) y giro en sentido positivo (es decir contrario a las

agujas del reloj).

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Cuando se para en el punto P, el arco recorrido es: AP.

La región angular es AOP.

2º Caso.- El móvil no se detiene en P, sino que sigue girando, pasando por A

y deteniéndose en P, al efectuar el segundo paso.

- El camino recorrido es 1 vuelta entera a la circunferencia + el

arco AP.

Sabemos que la longitud de la circunferencia es L =2Пr.

Cuando el móvil completa una vuelta partiendo del punto A (origen de los

ángulos) hasta volver a detenerse en el punto A ha recorrido toda la

longitud de la circunferencia =2Пr, pero sigue su camino y llega al punto P

y se detiene.

En este momento habrá recorrido 2Пr+AP:

En este momento ya no podemos hablar de región angular .Será toda la

circunferencia + la región angular OAP.

No la podemos representar en el plano será toda la circunferencia + parte

de de ella.

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La única forma de expresar este camino es comparándolo con el arco que

determina un radián. 1 vuelta = 2

Ejemplo 3 vueltas y cuarto serán: 3.2 +

Vamos a dibujar una circunferencia y establecer relaciones:

Figura 2

Figura 1

- En la figura 1 el ángulo es AGUDO: En el triángulo OA’A :

El cateto AA’ es la ordenada del punto A.

El cateto OA’ es la abcisa del punto A.

La hipotenusa es el radio OA.

- En la figura 2 el ángulo no es agudo, es OBTUSO : En el triángulo OA’A

:

El lado AA’ es la ordenada del punto A.

El lado OA’ es la abcisa del punto A.

El lado OA es el radio de la circunferencia.

Ahora ya vamos a comenzar a establecer las razones trigonométricas:

Ahora ya podemos deducir: Las razones trigonométricas “NO DEPENDEN”

de la circunferencia elegida para definirlas.

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* La circunferencia más sencilla es la que tiene por radio 1. Se llama

circunferencia goniométrica o circulo unitario.

Tomando como referencia la circunferencia de radio 1, aplicando las

razones trigonométricas, observamos lo siguiente:

sen = x abcisas cos = y ordenadas

Los signos de ordenadas y abcisas se determinan, conociendo el cuadrante

en que se encuentra el ángulo, y viene determinado por sus coordenadas.

Son las siguientes:

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Hipotenusa = radio

Sen = cateto opuesto = AC = OG Cos = OA = GC tg = BD

radio

Cosec = OE sec = OD cotg = FE

Son las siguientes:

Sen = CA = OG cos = OA = CG tg = BD

OC OC OC OC OB

Cosec = OE sec = OD cotg = FE

OF OB OF

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Ángulos suplementarios: Son los que unidos suman 180º.

Observamos que el ángulo determinado por la amplitud de

determina un arco de circunferencia, que abarca desde A

(origen de los ángulos ) hasta P.

En la figura central, el punto P, lo unimos con el eje de abcisas, y formamos

un triángulo rectángulo, en el cual podemos establecer las razones

trigonométricas generales:

Para ello observamos las coordenadas del punto P:

La proyección de x sobre el eje de abcisas determina un valor negativo, ya

que el eje de abcisas desde el origen (0,0) hacia la izquierda toman un valor

negativo.

Por tanto el valor de x es negativo: -x

La proyección de y sobre el eje de ordenadas determina un valor positivo,

ya que el eje de ordenadas desde el origen (0,0) ha arriba toman un valor

positivo.

Por tanto el valor de y es positivo: y

Conclusión el punto P, queda determinado por las coordenadas ( -x, y) como

vemos en la figura de la derecha.

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Ahora ya establecemos las relaciones trigonométricas del triángulo

rectángulo OAP :

Ya que el punto “y” como hemos dicho

toma un valor positivo.

Ya que el punto “x” como hemos dicho

toma un valor negativo.

Podemos resumirlas de la siguiente forma:

sen 180º-α = + sen α

cos 180- α = - cos α

tg 180º- α = - tg α

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Observamos que el ángulo determinado por la amplitud de º180

determina un arco de circunferencia, que abarca desde A (origen de los

ángulos) hasta P.

En la figura central, el punto P, lo unimos con el eje de ordenadas, y

formamos un triángulo rectángulo, en el cual podemos establecer las

razones trigonométricas generales:

Para ello observamos las coordenadas del punto P:

La proyección de x sobre el eje de abcisas determina un valor negativo, ya

que el eje de abcisas desde el origen (0,0) hacia abajo toman un valor

negativo.

Por tanto el valor de x es negativo : -x

La proyección de y sobre el eje de ordenadas determina un valor negativo,

ya que el eje de ordenadas desde el origen (0,0) hacia abajo toman un valor

negativo.

Por tanto el valor de y es negativo: - y

Conclusión el punto P, queda determinado por las coordenadas (-x, -y) como

vemos en la figura de la derecha.


rectángulo OAP:

17

Ya que el punto “y” como hemos

dicho toma un valor negativo.

Ya que el punto “x” como hemos

dicho toma un valor negativo.


sen 180º+α = - sen α

cos 180º+α = - cos α

tg 180º+α = tg α

.

Observamos que el ángulo determinado por la amplitud de -α determina un

arco de circunferencia, que abarca desde A (origen de los ángulos) hasta P.

En la figura derecha, los puntos P, los unimos con el eje de ordenadas, y

formamos un triángulo rectángulo, en el cual podemos establecer las

razones trigonométricas generales:

Para ello observamos las coordenadas de los puntos P:

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La proyección de x sobre el eje de abcisas determina un valor positivo, ya

que el eje de abcisas desde el origen (0,0) hacia la derecha toman un valor

positivo.

Por tanto el valor de x es positivo : x

La proyección de y sobre el eje de ordenadas determina un valor negativo,

ya que el eje de ordenadas desde el origen (0,0) hacia abajo toman un valor

negativo.

La proyección de y sobre el eje de ordenadas determina un valor positivo,

ya que el eje de ordenadas desde el origen (0,0) hacia arriba toman un valor

positivo.

Por tanto el valor de y es negativo: - y en el punto P de abajo

En cambio el valor de y es positivo; y en el punto P de arriba.

Conclusión el punto P abajo, queda determinado por las coordenadas (x, -y)

como vemos en la figura de la derecha.


rectángulo OAP:


Sen –α = - sen α

Cos – α = cos α

Tg – α = - Tg α

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Ángulos Complementarios, son aquellos que sumados valen 90º.

En el triángulo OAA´ En el triángulo OPP´

OA´ = x = abcisas = valor del seno 90º-α PP´ = x= abcisas = valor seno α

Sen α =

Sen 90º-α =

AA´ = y = ordenadas = valor cos 90º-α OP´ = y = ordenadas = valor cos α

Cos 90º-α = cos α =

Tg 90º-α =

20


Sen 90º-α = cos α

Cos 90º-α = sen α

Tg 90º-α = cotg α

Aplicando Teorema de Pitágoras:

r = 1

Por tanto la relación fundamental es

21

A continuación, partiendo de la formula fundamental, vamos a deducir

otras:

- Dividimos la relación fundamental entre

- Dividimos la relación fundamental entre

Este nos sirve para:

CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

CONOCIENDO:

a.- Una razón trigonométrica cualquiera.

b.- El cuadrante en que se encuentra el ángulo.

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SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Una vez terminada la teoría, a continuación vamos a comenzar a hacer

prácticas (problemas)

Lo primero unas cuantas cuestiones para aclarar conceptos.

23

1.- Expresar en radianes los siguientes ángulos dados en grados

centesimales:

2.-Expresar en grados los siguientes ángulos dados en radianes

24

3.- Dados los ángulos α = 30º 56´ 50´´ y β = 60º 58´ 55´´ calcular:

α+β = 30º 56’ 50’’ α-β = 30º 56´ 50´´

60º 58´ 55´´ 60º 58´ 55´´

91º 54’ 50´´ -30º -2´ - 5´´

3 α = 3 ( 30º 56´ 50´´) = 90º 168´ 150´´ = 92º 50´ 30´´

= 30º 56 ´ 50´´ 3

2 10º 18´ 56´´

170

2´´

4.- Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de

vueltas y un ángulo menor de 360º.

720º 360 720º = 2 vueltas + 0º

0 2

900º 360 900º = 2 vueltas + 180º

180º 2

-3000º 360º -3000º = - ( 8 vueltas + 120º)

120º -8

7200º 360º 7200º = 20 vueltas + 0º

0 20

25

5.- Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de

vueltas y un ángulo menor de 360º.

10Πradianes 10.180º = 1800º 1800º 360º

5

1800º = 5 vueltas + 0º

13Π/4 rad 13. 180 = 585º 585º 360º

4 225º 1

585º = 1 vuelta + 225º

6.- Expresar las razones trigonométricas del ángulo α y del ángulo β.

26

7.- Expresar las razones trigonométricas del ángulo α y β.

27

A continuación vamos a practicar sobre algunas consideraciones, para

aclarar conceptos:

a.- Si un ángulo mide 1,5 radianes ¿es mayor, menor o igual que un ángulo

recto?

1 Radián = 57º 17´ 45’’ x 1,5 rad = 85º 56´ 37´´

1 Angulo recto = 90º Por tanto es menor de un recto

b.- Decir si es verdadero o falso:

* El seno de un ángulo puede ser mayor que 1.

Falso. El recorrido del seno de cualquier ángulo oscila entre -1 y + 1

* El seno de un ángulo es siempre menor que 1.

Falso. El recorrido del seno de cualquier ángulo quedamos en la cuestión

anterior que toma valores entre –1 y + 1

*El seno de un ángulo puede ser 1.

Cierto. Uno de los posibles valores del seno de cualquier ángulo es 1

* El seno de un ángulo siempre es mayor que 0.

Falso. Puesto que los valores que puede tomar el seno de cualquier ángulo

oscila entre -1 y +1. Por tanto el seno de un ángulo puede ser negativo

(menor que 0).

* La tangente de un ángulo puede ser mayor que 1.

Cierto. El recorrido de la tangente de cualquier ángulo oscila entre + ∞ y -

∞

* La tangente de un ángulo es siempre menor que 1.

Falso. Puede tener cualquier valor en la recta de los números reales.

28

* La tangente de un ángulo puede ser igual a 1.

Cierto. Puede tomar cualquier valor en la recta de los números reales.

* La tangente de un ángulo siempre es mayor que 0.

Falso. Puede tomar cualquier valor en la recta de los números reales.

La cotangente de un ángulo puede ser mayor que 1.

Cierto. Los valores que puede tomar la cotangente de cualquier ángulo oscila

entre + ∞ y - ∞.

* La secante de un ángulo puede ser igual a 1.

Cierto. Se produce cuando el coseno toma el valor de 1. Sería un ángulo de

0º

* La cosecante de un ángulo siempre es mayor que 0.

Falso. Puede ser menor que 0. Toma estos valores entre 180º y 360º

* ¿Qué ángulos tienen iguales, en valor absoluto, el seno y el coseno ?

Son los de 45º. Ya que el triángulo rectángulo es isósceles.

Si los senos de dos ángulos son iguales ¿cómo pueden ser entre si estos

ángulos, siendo menores de 360º?

Son complementarios.

¿Queda determinado un ángulo menor de 360º conociendo su seno?

Falso. Para determinar un ángulo es necesario conocer:

1º.- Una razón trigonométrica.

2º.- El cuadrante correspondiente en el cual se encuentra el ángulo.

¿Existe algún ángulo menor de 360º cuyo seno sea igual a la cosecante? ¿Y

que tenga el coseno igual a la secante?

Cierto. Cuando las razones trigonométricas sean 1 en las razones dadas.

¿Es posible que un ángulo tenga igual la tangente que la cotangente?

Cierto. Cuando el ángulo es de 45º.

29

1.- Calcular las razones trigonométricas conociendo el cos α = 4/5 y 270º ≤

α ≤ 360º

El ángulo está localizado en el cuarto cuadrante: Son positivos los

valores del coseno y su inversa la secante y son negativos los valores del

seno, tangente y sus inversas la cosecante y la cotangente (ver

circunferencia en la página 22 de este documento)

30

2.- Calcular las restantes razones trigonométricas, conociendo tg α = 2/3 y

Π ≤ x ≤ 3Π/2

2 y Π ≤ x ≤ 3Π 180º ≤ x ≤ 270º 3 2

- Por tanto ya sabemos que el ángulo está localizado en el tercer cuadrante.

- Los signos que toman las razones en este cuadrante son (ver

circunferencia página 22):

Positivos: La tangente y su inversa la cotangente.

Negativos: El seno y el coseno, así como sus inversas la cosecante y la

secante.

Aplicamos la razón fundamental

Conocemos el valor de tg α = 2/3 por tanto el valor de su inversa la cotg

= 3/2

Sustituimos valores en la razón fundamental que estamos aplicando y

obtenemos:

Ahora vamos a aplicar otra de las razones fundamentales, para calcular la

secante:

Por tanto ya estamos en disposición de dar todos lo valores, incluyendo sus

signos:

31

Tg α = 2/3 cotg α inversa de la tg = 2/3

3.- Calcular las razones trigonométricas conociendo la cosec α = - 2, siendo

180º≤ α ≤ 270º

- Ya sabemos que el ángulo está localizado en el tercer cuadrante.



Positivos: La tangente y su inversa la cotangente.

Negativos: El seno y el coseno, así como sus inversas la cosecante y la

secante.

Aplicamos la 1ª formula fundamental de las razones trigonométricas:

Como dato conocemos el valor

de la cosecante, y sabemos que la inversa de la cosecante es el seno, por

tanto si:

cosec α = 2 el sen α = 1

2

* En este momento sustituimos estos datos en la fórmula fundamental y

obtenemos:

Aplicamos otras de las fórmulas de las razones fundamentales:

Sustituimos el valor de la secante que hemos

calculado:

Por tanto las razones con sus signos correspondientes son:

32

4.- Calcular las razones trigonométricas conociendo que el sen α = 3/5 y

90º ≤ α ≤ 180º

Partimos de la fórmula fundamental

Otra fórmula fundamental:

- Ya sabemos que el ángulo está localizado en el 2º cuadrante.



Positivos: El seno y su inversa la cosecante.

Negativos: El coseno y la tangente, así como sus inversas la secante y la

cotangente.

5.- Expresa las siguientes razones trigonométricas en función de un ángulo

del primer cuadrante:

a) sen ( -120º) = - sen 120º = - sen 60º = En el 2º cuadrante el

seno es +

33

b) cotg (-150º) = cotg 30º = En el 2º cuadrante la

cotg es –

c) sen 2700º = sen 180º = 0 En el 2º cuadrante el

seno es +

d) sec (-25º) = sec 25º En el 4º cuadrante la

secante es +

e) cos (-30º) = cos 30º En el 4º cuadrante el

coseno es +

f) cosec 4420º = cosec 100º = 80º En el 2º cuadrante la

cosec es +

g) tg (-275º) = tg 85º En el tercer cuadrante

la tangente es +

h) cotg 4500º = cotg 180º =

6.- Si tg α = 3/4 y α está en el primer cuadrante, calcula las siguientes

razones trigonométricas

tg (90º- α) = cotg α = 4 tg ( 180º- α) = - 3

3 4

tg (270-α) = cotg α = 4 tg (-α) = - 3

3 4

tg (90º+α ) = - cotg α = - 4 tg (180º+α) = 3

3 4

tg (270º+α) = - cotg α = - 4 tg (720º+α) = 3

3 4

7.- Hallar los valores de x que satisfagan las siguientes ecuaciones

trigonométricas sabiendo que 0º ≤ α ≤ 720º.

34

720º = 2 vueltas completas a la circunferencia. Ángulo descrito = 2α

Por tanto

* Al dar 2 vueltas a la circunferencia:

1ª Vuelta 1º Cuadrante 60º 2x1 = 60º x1 = 60 = 30º

2

2º Cuadrante 120º 2x2 = 120º x2 = 120 = 60º

2

2ª Vuelta 60º+360º = 420º 2x3 = 420º x3 = 420 = 210º

2

120º+360º = 480º 2x4 = 480º x4 = 480 = 240º

2

8.- cosec (2x -30º) = -2

* La inversa de la cosecante es el seno.

* En este caso la inversa de -2 es – 1

2

Por tanto cosec – 2 = sen – 1 = sen ( -210º)

2

* El seno es negativo en el 3º y en el 4º cuadrante.

* Aplicamos las fórmulas de las relaciones entre las razones trigonométricas de

ciertos ángulos

180º + α 180º+30º = 210º 3º Cuadrante

* Relaciones de ángulos opuestos:

α = - α

35

360º - 30º = 330º 210º 210º+360º = 570º * En el primer giro cumplen En el segundo giro cumplen

330º 210º+360º = 690º

A continuación, establecemos las ecuaciones correspondientes:

2x1-30º = 210º x1 = 210º+30º = 120º

2

2x2-30º = 330º x2 = 330º+30º = 180º

2

2x3-30º = 570º x3 = 570º+30º = 300º

2

2x4-30º = 690º x4 = 690º+30º = 360º

2

9.- cos 2α = 1

- El coseno de un ángulo vale 1, cuando el ángulo es de 0º.

-Vuelve a valer 1 cuando el ángulo es de 360º.

* A continuación, establecemos las ecuaciones correspondientes:

2x1 = 0º x1 = 0º

2x2 = 360º x2 = 360º = 180º

2

2x3 = 720º X3 = 720º = 360º

2

10.- cos 4x = -1

* El coseno de un ángulo toma por valor -1, cuando el ángulo es de 180º

36

En el primer giro x1 = 180º

En el segundo giro 180º + 360º = 540º * A continuación, establecemos las ecuaciones correspondientes:

4x1 = 180º x1 = 180º = 45º

4

4x2 = 540º x2 = 540º = 135º

4

11.- tg 2α = -1

* La tangente es negativa en el 2º cuadrante.

* Toma valor absoluto 1, cuando el ángulo mide 45º.


ciertos ángulos

* En el primer giro cumple: 180º En el segundo giro cumple: 180º+360º= 540º

180º- α = 180º -45º = 135º

* Vuelve a ser negativa en el 4º cuadrante.

* Toma valor absoluto1, cuando el ángulo mide 45º.


ciertos ángulos

α = - α 360º - 45º = 315º 135º 135º+360º = 495º En el primer giro cumplen En el segundo giro cumplen

315º 315º+360º = 675º


2x1 = 135º x1 = 135º

2

37

2x2 = 315º x2 = 315º

2

2x3 = 495º x3 = 495º

2

2x4 = 675º x4 = 675º

2

12.- sen ( 3x -30º ) = 1

2

* El seno es positivo en el primer cuadrante.

* Toma valor absoluto ½, cuando el ángulo correspondiente mide 30º.

* Vuelve a ser positivo en el segundo cuadrante.

* Vuelve a tomar valor absoluto ½, cuando el ángulo correspondiente mide

150º.


ciertos ángulos

180º- α = 180º -30º = 150º

30º 30º+360º = 390º * En el primer giro cumplen En el segundo giro cumplen

150º 150º+360º = 510º


3x1-30º = 30º x1 = 30º+30º = 20º

3

3x2-30º = 150º x2 = 150º+30º = 60º

3

3x3-30º = 390º x3 = 390º+30º = 140º

3

3x4-30º = 510º x4 = 510º+30º = 180º

3

13.- tg ( 3x – 45º) = -1

* La tangente de un ángulo es negativa en el 2º cuadrante.

38

* Toma valor absoluto 1 cuando el ángulo el ángulo mide 45º.


ciertos ángulos

180º- α = 180º -45º = 135

* Vuelve a tener valor negativo en el 4º cuadrante.

* Vuelve a tomar absoluto 1 cuando el ángulo mide 315º.


ciertos ángulos

* Ángulos opuestos en el 1º y 4º cuadrante.

α = - α 360º-45º = 315º


315º 315º+360º = 675º


3x1-45º = 135º x1 = 135º+45º = 60º

3

3x2-45º = 315º x2 = 315º+45º = 120º

3

3x3-45º = 495º x3 = 495º+45º = 180º

3

3x4-45º = 675º x4 = 675º+45º = 240º

3

14.- cos ( 2x – 60º ) = -1

* El coseno de un ángulo, toma valor absoluto -1, cuando el ángulo mide 180º. * En el primer giro cumple: 180º En el segundo giro cumple: 180º+360º= 540º

39

A continuación, establecemos las ecuaciones correspondientes

2x1-60º = 180º x1 = 180º+60º = 120º

2

2x2-60º = 540º x2 = 540º+60º = 300º

2

15.- cotg ( 4x-60º) =

* La cotangente de un ángulo toma valor absoluto cuando el ángulo

mide 30º.

* Tiene valor positivo en el primer cuadrante.

* Vuelve a tomar valor absoluto cuando el ángulo mide 210º.

* Vuelve a tener valor positivo en el 3º cuadrante.


ciertos ángulos

180º + α 180º+30º = 210º


210º 210º+360º = 570º


4x1-60º = 30º x1 = 30º+60º = 45º

4 2

4x2-60º = 210º x2 = 210º+60º = 135º

4 2

4x3-60º = 390º x3 = 390º+60º = 225º

4 2

4x4-60º= 570º x4 = 570º+60º = 315º

4 2

16.- Simplifica la siguiente expresión:

40



41

19.- Simplificar la siguiente expresión:

20.- Simplificar la siguiente expresión:

42

21.- Simplifica la expresión:

22.- Demostrar que cualquiera que sea el ángulo α se verifica:

Elegimos el primer miembro y efectuamos operaciones:

con lo cual queda demostrado.

23.- Comprobar si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:

Hacemos operaciones para eliminar el denominador del 1º miembro:

Sustituimos este valor en el denominador del 1º miembro y obtenemos:

43


En el numerador


Comenzamos haciendo operaciones con el 1º miembro de la igualdad:

44

A continuación efectuamos operaciones en el 2º miembro de la igualdad:

Ahora igualamos las operaciones que hemos hecho con el 1º y 2º miembro:

Simplificamos y nos queda:

26.- Demostrar si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:

Efectuamos en la igualdad, producto de medios igual a producto de

extremos:

45

A continuación efectuamos operaciones en el 1º miembro de la nueva

igualdad:

Ahora efectuamos operaciones en el 2º miembro de la nueva igualdad:

Igualamos el 1º y el 2º miembro y obtenemos:

Dividimos entre cos α y nos queda:

Haciendo producto de medios igual a producto de extremos:

Con lo cual el 1º miembro es igual al segundo por tanto queda demostrado que la

igualdad es cierta

27.- Demostrar si es cierta la siguiente igualdad:

Sustituyendo estos valores en la fórmula obtenida:

46

28.- Demostrar si es verdadera la siguiente igualdad:

c.q.d

29.- Demostrar si es cierta la siguiente igualdad:

Hacemos producto de medios = a producto de extremos:

30.- Calcular en grados, minutos y segundos el valor de 1 radián

Simplemente hacemos unas regla de tres:

360º……………………………………… 2∏ radianes

x ……………………………………… 1 radián

31.- Expresar en grados, minutos y segundos

Establecemos una regla de tres:

360º ……………………… 2 ∏ rad

……

x ………………………

47

32.- Expresar 62º 11’ 12’’ en radianes

Convertimos la expresión dada a grados 62º 11’ 12’’ = 62,1666667º

A continuación establecemos, como siempre una regla de tres:

360º ……………………………………………. 2 ∏ radianes

62,1666667 …………………………………. X

33.- Reducir al primer giro un ángulo de 2123º

1º Dividimos entre 360º

2123º : 360º = 5,897222 vueltas.

A continuación tomamos la parte decimal obtenida y multiplicamos por 360º

0,897222 * 360º = 323º

34.- Reducir al primer giro un ángulo de 132 radianes.

1º Dividimos el número de radianes entre 2 ∏

132 : 2 ∏ = 21, 0085 vueltas

2º Tomamos la parte decimal obtenida y la multiplicamos por 2 ∏

0,0085 . 2 ∏ = 0,053 radianes

35.- Reducir al primer giro el ángulo

En este caso, simplemente dividimos el ángulo dado entre 2 ∏

A continuación multiplicamos la parte decimal obtenida

por 2∏ :

48

0,8571 * 2 ∏ = 5,3856 radianes

36.- Calcular el seno, coseno y tangente del ángulo α del dibujo:

1º calculamos la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras:

Aplicamos las fórmulas de trigonometría:

37.- Calcular seno, coseno y tangente del ángulo α del dibujo adjunto.

1º Calculamos la longitud del cateto que nos falta aplicando Teorema de

Pitágoras:

49

Aplicamos las razones trigonométricas generales a un triángulo y

obtenemos:

38.-Calcular las demás razones trigonométricas de un ángulo agudo,

sabiendo que cotg x = 0,34

1º Paso la

Ahora aplicamos otra de la fórmula fundamental de trigonometría:

39.-Calcular las razones trigonométricas de un ángulo del 2º cuadrante si su

seno vale 4/5

50

Aplicando la fórmula fundamental de trigonometría obtenemos:

El coseno en el 2º cuadrante tiene signo negativo por tanto

40.- Sabiendo que la tangente de cierto ángulo es positiva y su coseno vale

(-0,7). Calcular las demás razones trigonométricas de ese ángulo.

Como el coseno es negativo, el ángulo solo puede pertenecer a los

cuadrantes 2º y 3º. Ahora bien, al ser la tangente positiva, el ángulo ha de

pertenecer al 3º cuadrante.

Aplicamos la fórmula fundamental de trigonometría:

El seno en el tercer cuadrante es positivo.

51

41.- Hallar el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale -7 y está

localizado en el 4º cuadrante

A continuación aplicamos la fórmula fundamental de trigonometría:

El seno es negativo porque el ángulo está localizado en el 4º cuadrante.

42.- Resolver la siguiente ecuación:

Lo primero que vamos a hacer, es una transformación:

Vamos a sustituir este valor, en la ecuación dada:

A continuación sacaremos denominadores:

Vamos a ordenar la ecuación, para proceder a resolverla:

52

Por tanto ¿cuál es el ángulo, cuya razón trigonométrica es ½?

X = 30º


Si echamos un vistazo con calma, lo único que se nos puede ocurrir a cualquiera de

nosotras/nosotros, es aplicar la razón fundamental:

Vamos a despejar y sustituirla en la ecuación dada:

Si multiplicamos, por (-1), obtenemos:

Ahora tendremos que acordarnos de los valores de las razones trigonométricas.

¿Cuándo el coseno de un ángulo vale o, de qué ángulo se trata?

La cumplen dos ángulos. Por tanto x = 90º y x = 270º. Tiene dos soluciones.


Echando un vistazo, lo único que se nos puede ocurrir a cualquiera de nosotros, es

aplicar la razón fundamental:

Vamos a despejar en este problema el:

El paso siguiente, consiste en sustituir este valor en la ecuación dada:

Vamos a sacar factor común sen x :

Para poder resolver esta ecuación, resulta que tenemos un producto de dos términos

igual a 0.

1º Paso: Igualamos el primer término a 0.

53

Ya estamos en disposición, de dar la primera solución al problema:

¿Cuál es el ángulo, cuyo seno tiene por valor 0?

Se cumple cuando el ángulo vale: 0º o bien 180º

2º Paso: Igualamos a 0 el segundo término del producto:

Ya estamos en disposición, de dar la segunda solución al problema:

¿Cuál es el ángulo, cuyo seno tiene por valor 1?

Se cumple cuando el ángulo vale: 90º

Y ya tenemos resuelto el problema.

45.- Simplificar:

Tranquilas/tranquilos todos. Este problema, está claro que nos lo ponen, para que

hagamos operaciones. Por tanto debemos de ser muy prudentes y andar con mucho

cuidado, para no equivocarnos.

1º Paso: Vamos a reducir a común denominador la expresión, para empezar por algún

sitio:

2º Paso: Hagamos operaciones en el numerador, a ver a donde nos lleva:

Creo que ya hemos avanzado un poquito.

3º Paso: Vamos a efectuar el producto del denominador:

54

Vamos a sustituir este valor obtenido, en la expresión dada:

El siguiente paso, es tratar de resolver esta raíz cuadrada:

¿Veis en el denominador, algo que os sea familiar? Vengaaaa, no ser vagos, hay que

romperse un poquito el coco.

Pensad en la razón fundamental:

¿Os dais cuenta ahora?

Bueno en nuestra fórmula el ángulo es X y en nuestro problema, el ángulo es 2 X.

Damos la solución al problema:

46.- Calcular el valor exacto(con radicales) de sen α y cos α sabiendo que

tg α = ¾, siendo α ‹ 90º

Lo primero que vamos a hacer, es escribir la fórmula de la tangente, en función del

seno y del coseno:

Ahora, la única tabla de salvación que tenemos, es agarrarnos a la fórmula de la

razón fundamental de la trigonometría:

Es el momento de sustituir valores en ésta fórmula:

Por tanto:

55

47.- Dibujar dos ángulos, cuyo seno sea 2/5 y calcula su coseno.

Tenemos como datos:

Ahora ya podemos recurrir a la única fórmula que

nos permita continuar resolviendo, es decir la de la

razón fundamental de la trigonometría.

Vamos a sustituir valores en esta fórmula obtenida:

Ya que el coseno es negativo en el 2º cuadrante.


Lo primero que haremos, para poder continuar, es sacar factor común sen x.

Vamos a efectuar esta operación:

Tenemos el producto de 2 factores igual a 0.

Seguimos con nuestro método de siempre, igualar cada uno de los factores a 0.

Empezamos con el primero(para que no haya mosqueos)

sen x = 0

¿Pero otra vez? Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii ¿qué pasa, eh!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?

Preguntita de marras: Cual es el seno del ángulo, cuya razón trigonométrica es 0?

Esta condición la cumplen los ángulos de 0º y de 180º

Entonces, ya estamos en disposición de dar las primeras soluciones:

56

1ª Solución:

En el primer cuadrante: En el segundo cuadrante:

Seguimos con el segundo

sen x = 1


Preguntita de marras: Cual es el seno del ángulo, cuya razón trigonométrica es 1?

Esta condición la cumplen los ángulos de 90º

Entonces, ya estamos en disposición de dar la segunda solución:

2ª Solución:

Y ejercicio resuelto.


Más de lo mismo que en el ejercicio anterior, es repetir ejercicio para darnos cuenta,

que la única posibilidad, es sacar factor común para poder continuar resolviendo el

ejercicio.

Tenemos el producto de 2 factores igual a 0.

Seguimos con nuestro método de siempre, igualar cada uno de los factores a 0.

Empezamos con el primero(para que no haya mosqueos)

cos x = 0

Preguntita de marras: Cual es el coseno del ángulo, cuya razón trigonométrica es 0?

Esta condición la cumplen los ángulos de 90º y de 270º

Entonces, ya estamos en disposición de dar las primeras soluciones:

1ª Solución:

57

En el primer cuadrante: En el tercer cuadrante:

Continuamos con la segunda solución


Preguntita de marras: Cual es el coseno del ángulo, cuya razón trigonométrica es ?

Esta condición la cumplen los ángulos de 30º y 330º

Entonces, ya estamos en disposición de dar la segunda solución:

En el primer cuadrante: En el cuarto cuadrante:


Lo primero que haremos, será pasar el segundo término de la ecuación, al segundo

miembro:

Ahora ya estamos en condiciones de despejar sen x y resolver:

Vamos a comenzar por resolver el resultado positivo de la ecuación de 2º grado:

Cual es el seno del ángulo, cuya razón trigonométrica es + ½ ?

Lo primero que debemos acordarnos, es que el seno es positivo en el 1º y en el 2º

cuadrante:

Por tanto: Esta condición la cumplen los ángulos de 30º y de 150º

1ª Solución:

En el primer cuadrante: En el segundo cuadrante:

58

Continuamos resolviendo el resultado negativo de la ecuación de 2º grado:

Cual es el seno del ángulo, cuya razón trigonométrica es - ½ ?

Lo segundo que debemos acordarnos, es que el seno es negativo en el 3º y en el 4º

cuadrante:

Por tanto: Esta condición la cumplen los ángulos de 210º y de 330º

2ª Solución:

En el tercer cuadrante: En el cuarto cuadrante:


Si observamos los datos proporcionados, el problema se limita a resolver la ecuación

de 2º grado dada en el enunciado.

Vamos a efectuar operaciones para obtener resultados:

Vamos a iniciar con la primera solución, es decir cuando el cos x = 1, ¿cuál es el valor

del ángulo, qué cumple con esta razón trigonométrica?

Sencillo. Cuando el coseno describe un ángulo de 90º

1ª Solución:

Continuamos efectuando cálculos con la segunda solución(que por cierto es un valor

negativo, por tanto ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ojito!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! en que cuadrantes el coseno es negativo).

Y sabemos que es negativo en el 2º y en el 3º cuadrante, por tanto:

2ª Solución:

En el segundo cuadrante En el tercer cuadrante:

Y ejercicio resuelto.

Matematicas Resueltos(Soluciones) Trigonometria Nivel I 1º Bachillerato

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