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MATEMATICASIIMOMENTO 1 Ecuaciones de segundo grado con una y dos incógnitas. RESUMEN: Ecuaciones Cuadráticas. Definición.- Es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2, siendo además racional y entera de la forma: ax2 + bx + c = 0; donde a, b, c, son números reales y a 0. CLASEs: Completas: ax2 + bx + c = 0

Incompletas: ax2 + bx = 0 donde c = 0 ax2 + c = 0 donde b = 0

Se pueden resolver analítica y gráficamente, en el primer caso puede lograrse justo como se realiza con las ecuaciones de primer grado (despeje) y el segundo consiste en asignar valores arbitrarios a la variable independiente para hallar los valores de la dependiente con el OBJETIVO de hallar el par ordenado y localizar los puntos en el plano cartesiano.

OBJETIVO: Emplear los métodos algebraico y gráfico, a partir del planteamiento de ecuaciones cuadráticas para resolver problemas de la vida cotidiana. INTRODUCCIÓN: Si requieres recordar ecuaciones de primer grado pincha en este link: http://www.youtube.com/watch?v=NDEwNJ7M0eY Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1. Este tipo de ecuaciones son las que manejaremos a continuación, su estudio es de gran importancia, ya que nos serán útiles para estudios superiores y para hallar eficazmente la solución de problemas. Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven problemas que dan lugar a ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han descifrado tales problemas y la forma de resolverlos. Algunas de las antiguas tablillas contienen problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la geometría. Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la solución de la ecuación: x2-x = 870 "Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x , y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a 870, para obtener 3.481/4. Ahora, tómese la raíz cuadrada de 3.481/4 para obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación". Si se utilizan símbolos en lugar de palabras, se dan los siguientes pasos:

Del ejemplo mencionado anteriormente, se deduce que el método empleado para la solución era el de completación de cuadrados, el cual se sigue empleando y enseñando actualmente. A continuación, se describen los resultados teóricos más importantes relacionados con las ecuaciones de segundo grado.

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DESARROLLO: Ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones lineales y cuadráticas fueron estudiadas por los babilonios, como lo revelan algunas tablas de arcilla que datan del año 2.100 a.C. Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es una ecuación en la cual la incógnita está elevada al cuadrado, y no está elevada a exponentes mayores que 2. El siguiente problema aparece en una tabla de arcilla de Babilonia, y para su solución se recurre a una ecuación cuadrática: "Una viga de 30 unidades de largo se apoya verticalmente contra un muro. Si la extremidad superior de la viga se coloca 6 unidades más abajo, ¿en cuántas unidades se desplazará el otro extremo de la viga?''

Para la solución de este problema, los babilonios usaban el Teorema de Pitágoras, pues ellos conocían el Teorema, aunque muy probablemente no conocían ninguna demostración del mismo. El triángulo que se obtiene en la figura de arriba es rectángulo, y se conocen las medidas de dos de sus lados: la hipotenusa (mide 30 unidades, pues representa la viga) y el cateto vertical, que mide 24 unidades. El cateto horizontal, que representa el segmento recorrido por la extremidad inferior de la viga, es la incógnita. Gracias al Teorema de Pitágoras, se puede asegurar que

Estamos en presencia de una ecuación cuadrática, o ecuación de segundo grado. Se denomina "cuadrática" por estar la incógnita elevada al cuadrado. La otra denominación que tienen estas ecuaciones: "de segundo grado" se debe a que, en general, se llama "grado de una ecuación" al mayor exponente al cual esté elevada la incógnita en esa ecuación.

Volviendo a la ecuación de segundo grado que surgió a raíz del problema babilonio, se tiene:

Resolviendo, se obtiene :

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La solución de la ecuación es, entonces, aquel número que, elevado al cuadrado, sea igual a 324. Como se sabe que todo número negativo elevado al cuadrado es un número positivo, hay dos soluciones para la ecuación:

Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1. Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos: 3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de segundo grado para resolverlas. En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente. Por ejemplo: EJERCICIO 1.- Expresar en la forma más simple y simplificada posible, la ecuación:

3x2 - 3x/2 = x/2 - x + 2 + x2 Primero haremos denominador común para eliminar los denominadores existentes. Llegaremos a:

6x2 - 3x = x - 2x + 4 + 2x2 Expresando todos los términos en el primer miembro: 4x2 - 2x - 4 = 0 y simplificando (dividiendo todo por 2): 2x2 - x - 2 = 0.

Resolución gráfica.

Enseguida la resolveremos numéricamente, pero ahora veamos cómo hacerlo gráficamente: La expresión del primer miembro de la ecuación inicial del apartado anterior, una vez simplificada, corresponde a una función cuadrática, que para el primer ejemplo anterior corresponde a :

f(x) = 3x2- 4x + 1 ó

y = 3x2- 4x + 1.

Por tanto: la solución de una ecuación de segundo grado es la "x" de los puntos de corte de la gráfica (parábola que se obtiene de la ecuación), con el eje de abscisas (X). Seguro que habrás obtenido como soluciones: x = 1 y x = 0,33 (en realidad x = 1/3). A las soluciones de la ecuación, también se les llama "raíces" de la ecuación.

Nota: la gráfica que se muestra corresponde solo a una muestra de la representación de las ecuaciones cuadráticas. Tú deberás observar la relación entre las gráficas que se obtienen según la ecuación que gráficas.

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Problemas de aplicación.

Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuación de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar lugar a una ecuación de primer grado en algún caso. Problema 1. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos Solución: Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa es el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos.

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1)2 + x2. Operando: x2 + 4x + 4 = x 2 + 2x + 1+ x2. Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: x2 - 2x - 3 = 0 Ecuación que sabes resolver numéricamente, con soluciones: x = 3 y x = -1 y también gráficamente. Puedes hacerlo en la siguiente escena. Naturalmente la solución x =-1 hay que rechazarla porque un lado no puede tener una medida negativa, luego nos queda: Hipotenusa: x + 2 = 5 ; Cateto mayor: x + 1 = 4 ; Cateto menor: x = 3.

Plantea la ecuación necesaria en cada caso para resolver los siguientes problemas. Resuélvelas numéricamente y también gráficamente usando la escena adjunta.

MOMENTO 2 Métodos de solución. RESUMEN: Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

1. Sustitución

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2. Igualación 3. Reducción

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Sea el sistema Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x

y=11-3x Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado

5x-(11-3x)=13 Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos

5x-11+3y=13 5x+3x=13+11

8x=24 x=3

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y=11-3x y=11-9

y=2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN

Sea el sistema Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones

11-3x=-13+5x 8x=24

x=3 Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y=11-9 y=2

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

Sea el sistema Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema

8x=24

x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y=2

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OBJETIVO: Emplear los métodos de sustitución, igualación, suma y resta a partir del planteamiento de sistema de ecuaciones lineales para resolver problemas de la vida cotidiana. INTRODUCCIÓN: A partir de la presente sesión, estudiaremos sistemas de ecuaciones y sus métodos de solución, para esto antes analizaremos una situación a partir de la cual es posible establecer un sistema de ecuaciones. Un lápiz vale $3.00…………………..lápiz (y) Una libreta vale $12.00………………libreta (x) Si compro tres libretas y cinco lapiceros, ¿Cuánto pago? De lo anterior, establezca la ecuación correspondiente. 3(12) + 5 (15) = 51

1) 3(x)+25(y) = 51 Si compro 4 libretas y 2 lápices. 4(12) + 2(3) = 54

2) 4x + 2 y = 54 El sistema de ecuaciones formado es:

1) 3x + 25 y = 51 2) 4x + 2 y = 54

*Condiciones: el número de ecuaciones es el número de incógnitas que tenga. Ahora bien, a continuación analizaremos los métodos de solución para resolver un sistema de ecuaciones como el establecido. DESARROLLO. Sistemas de ecuaciones Ahora tendremos dos sentencia y nuestro OBJETIVO será hallar valores de x y de y tal que las dos sentencias sean verdaderas.

Luego hallamos el único par de valores (x ; y) = (1;2) tal que las dos sentencias sean verdaderas. Analice intuitivamente las dos cuestiones que siguen. Corrija, de ser necesario:

Respuesta: (x ; y)= (2;1) es la única solución posible a este sistema de ecuaciones.

Respuesta: Existe dos únicas soluciones posibles (1;1) y (0;3) Técnicas de resolución Resolución por igualación Tenemos que resolver el sistema:

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son:

Luego:

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Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

Operamos para hallar el valor de y:

y=2

Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):

Resolución por sustitución. Tenemos que resolver el sistema:

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):

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Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta. Resolución por triangulación Tenemos que resolver el sistema:

El objetivo es obtener un cero en el lugar de 2x, dado que entonces es trivial despejar y. Por otro lado sabemos que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número. También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad. Surge entonces la pregunta: ¿Por cuál número debo multiplicar a la segunda ecuación, tal que si la sumo a la primera en el lugar de 2x obtenga un cero ? Planteando:

entonces:

Luego, dejamos la primera ecuación tal como está y reemplazamos la segunda por ella misma multiplicada por (-2) :

Con lo que obtenemos:

Y la sumamos la primera, con lo cual tenemos un sistema equivalente al original:

Esto nos permite despejar y:

y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

Y finalmente hallar el valor de x:

Omitimos nuevamente la verificación por haberla ya realizado. MOMENTO 3 Factorización. RESUMEN: Para factorizar por medio de factor común, basta con analizar si la expresión cuenta con coeficientes divisibles todos entre un mismo número y con apoyo de los ( ) es necesario colocar como primer factor al término común divisor para todos y dentro del paréntesis colocaremos los términos que multiplicados con este den como resultado la expresión propuesta. Para factorizar un trinomio de la forma x2 +bx +c, basta con obtener la raíz cuadrada del primer término y hallar dos números cuya suma algebraica corresponda al coeficiente del segundo término y cuyo producto sea igual al tercer término de la expresión dada.Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se debe hallar la raíz cuadrada del el primer y tercer término, la suma o diferencia de estos al cuadrado será el resultado buscado. OBJETIVO:

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Identificar qué tipo de factorización se requiere aplicar y dominar el proceso en un ambiente de respeto, colaboración y honestidad. INTRODUCCIÓN: En esta sesión veremos como descomponer una expresión en factores comúnmente conocido como:FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO: Como veremos no todo polinomio se puede se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, pues en el mismo modo que en aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que , por lo tanto, o son el producto de otras expresiones algebraicas, el teorema fundamental del álgebra puede dar la respuesta de cuando se puede obtener una descomposición. En el presente momento veremos como resolver factorización por factor común y por Trinomio cuadrado perfecto y trinomio de la forma x2 +bx + c DESARROLLO:Factor común El caso mas simple es cuando todos los términos de un monomio o en general un polinomio tienen un factor común. a).- Factor común monomio.Se pretende descomponer en factores la expresión algebraica: . Como los factores de la expresión son y , los cuales tienen en común a escribiremos al factor común como coeficiente de la expresión teniendo b).- Factor común polinomio. Se pretende descomponer la expresión .Los términos y tienen en común el factor por lo que Como podemos observar en ambos casos, factor común monomio y factor comúnpolinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir porel factor común.Ejemplos:

Expresión algebraica Factor común descomposición2+2x 2 2 + 2x =2(1+x)

x(a + b) + m(a + b) (a + b) x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)

3x2 + 3 3 3x2 + 3 = 3(x2+1)2x+1 Ninguno

3x2 + 1 Ninguno En el último EJERCICIO se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar. Polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir porel factor común.En el último EJERCICIO se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.***Por Trinomio cuadrado perfecto y trinomio de la forma x2 +bx + c OBJETIVO: Analizar que la inversatividad entre un trinomio cuadrado perfecto y el producto de binomios con término común, factorizar por trinomio cuadrado perfecto. Trinomio cuadrado del tipo: x2 +bx + c

Observe que en este tipo de trinomios a = 1. Este tipo de trinomio se factoriza en un binomio con término común: (x + m)(x + n). Luego entonces,

mn = cm + n = b

EJERCICIO 1, Consideremos por ejemplo, x2 +7x + 12

Entonces, mn = 12

m + n = 7

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Enlistamos los que dan por producto el 12,

Factor 1 Factor 2 Suma de factores12 1 136 2 84 3 7

Las otras combinaciones repiten los mismos factores (3 y 4 por ejemplo) o no da el producto (11 * x). La tercera fila nos da el producto y nos da la suma por lo que tendremos finalmente, (x + 4)(x + 3)

EJERCICIO 2, Consideremos por ejemplo, x2 +6x + 5

Entonces, mn = 5

m + n = 6 Enlistamos los que dan por producto el 12,

Factor 1 Factor 2 Suma de factores5 1 6

Es la única combinación por lo que tendremos finalmente, (x + 5)(x + 1)

Trinomio cuadrado perfecto Se denomina así al trinomio resultado de elevar un binomio al cuadrado. Por ejemplo, x2 +2xy + y2 Es un trinomio cuadrado perfecto porque, x2 +2xy + y2 = (x + y)2 . EJERCICIO 1, Sea el siguiente trinomio: 4x2 + 20xy + 25y2 = 0

Se sacan las raíces cuadradas del primero y del tercer sumando,

Multiplicamos ambos resultados por 2, 2(2x)(5y) = 20xy El resultado debe dar el segundo sumando. Así escribimos finalmente,

4x2 + 20xy + 25y2 = (2x + 5y)2 = 0 EJERCICIO 2, Sea el siguiente trinomio: y2 – 16y + 64 = 0

Se sacan las raíces cuadradas del primero y del tercer sumando,

Multiplicamos ambos resultados por 2, 2(y)(8) = 16y El resultado debe dar el segundo sumando. Como el segundo sumando es negativo tendremos una resta al cuadrado. Así escribimos finalmente,

y2 – 16y + 64 = (y – 8)2 .Para que tengas una mayor comprension de este tema pincha en el siguiente link: http://www.youtube.com/watch?v=Mv6kHJE1cHc

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MOMENTO 4 Método de complementación cuadrática. RESUMEN: 1.- Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar Ax2+bx+c=0 En la forma (x+A)2=B Donde A y B son constantes 2.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO: ax2 + bx = 0 Todas las ecuaciones del tipo ax2 + bx = + tiene como solución las raíces: X1= 0 X2= -b/a 3.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO: ax2 + c = 0 Tener solución en Q ( Conjunto de números racionales ), en cuyo caso las raíces son simétricas:

No tener solución en Q por ser el radicando negativo 4.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO: ax2 = 0Todas las ecuaciones del tipo ax2 = 0 tiene solución doble, que es siempre:

x1= x2=0

5.-

Procedimiento para resolución de una ecuación 1) .Se identifica los coeficientes a y b 2) Se remplaza en la fórmula y se efectua las operaciones indicadas OBJETIVO: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

INTRODUCCIÓN: Completando el cuadrado: DESARROLLO: Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es :

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Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Ejemplos para discusión en CLASE: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. MOMENTO 5 Solución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general. RESUMEN: Cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma:

ax2 +bx + c = 0 donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Para ello bastará obtener el denominador común (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro. Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles" soluciones de la ecuación son:

Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x2 - 4x + 1 = 0 tendrá por soluciones:

Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación. OBJETIVO: Conocer y manejar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas INTRODUCCIÓN: Fórmula resolvente El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:

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La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente. Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual. DESARROLLO: Fórmula cuadrática: La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática: 5.- Ejemplos. Verificación de las soluciones A continación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados. 5.1.- Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0 Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:

=

=

Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:

Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación. Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro. Probando X = -2/5, se tiene

Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de - 5x2 + 13x + 6 = 0 MOMENTO 6 Aplicación de las ecuaciones cuadráticas RESUMEN

EJERCICIOs que se resuelven con ecuaciones cuadráticas Los siguientes EJERCICIOs son planteamientos que generan una ecuación de segundo grado. Primero debe plantearse la lógica del problema, llamando x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y finalmente, se resuelve la ecuación.

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No existe un procedimiento general para manejar la parte lógica de este tipo de problemas, sólo la experiencia va dando la experticia necesaria para plantearlos. El lector interesado puede consultar el libro "Algebra" de Aurelio Baldor, considerado por muchos como la biblia del álgebra. La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:

x = Primer número // Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será: 10 - x = Segundo número Merece la pena explicar mejor esto: Si entre su amigo y usted tienen Bs 1000, y su amigo tiene Bs 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1000 - 400 = Bs 600. Si su amigo tiene Bs x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1000 - x La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces: x2 + (10 - x )2 = 58 Esta es la ecuación a resolver Para resolverla, hay que aplicar algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la resolvente. La operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común entre los estudiantes (muy difícil de erradicar, por cierto) que escriban: ( a - b ) 2 = a2 - b2 , lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: ( a - b )2 = a2 - 2.a.b + b2 Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 - 2.10.x + x 2 = 58 => x2 + 100 - 20.x + x 2 = 58 Ordenando y agrupando: 2x2 - 20.x+ 42 = 0 ; Dividiendo entre 2 toda la ecuación: x2 - 10x+ 21 = 0 Aplicando la resolvente resulta x1 = 3 y x2 = 7. El problema genera (aparentemente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades. Supóngase que se toma la primera (x = 3). Revisando el planteamiento inicial, se observa que: Primer número: x = 3 ; Segundo número = 10 - 3 = 7. Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo número = 10 - 7 = 3. En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es: Los números buscados son 3 y 7.

OBJETIVO: Que el alumno resuelve problemas cuya solución requiera de ecuaciones de segundo grado. INTRODUCCIÓN: En diferentes situaciones nos vemos en la necesidad de resolver un problema como estos:

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168. 2. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres

números consecutivos 3. Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial

disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial. U otros semejantes. Intenta hallar la solución a cada uno de los problemas y posteriormente confronta tus resultados con el proceso que a continuación se presenta.

DESARROLLO: APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168. Resolución: 1. Cualquier número par puede expresarse en la forma 2x. 2. Sea pues 2x un número par. El par consecutivo de 2x es 2x + 2. 3. El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) = 168. Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.

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4. 2x(2x + 2) = 168 4x2 + 4x - 168 = 0. 5. Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta x2 + x - 42 = 0.

6. Si x = 6, 2x + 2 = 12 + 2 = 14 Una solución es 12 y 14. 7. Si x = -7, 2x + 2 = -14 + 2 = -12 Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12. El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.

2. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380. Resolución: 1. Si x es uno de los números, el otro será 39 - x, puesto que entre las dos han de sumar 39. 2. El producto de los dos números es 380: x(39 - x) = 380 3. Las soluciones de esta ecuación son: x(39 - x) = 380 Þ 39x - x2 - 380 = 0 Þ x2 - 39x + 380 = 0

Si un número es 20, el otro será 39 - 20 = 19. Si un número es 19, el otro será 39 - 19 = 20. 3. Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 pta. Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peseta en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron? Resolución: 1. Sea x el número de gomas que se han comprado por 60 pesos. El precio de cada goma se obtendrá dividiendo el precio total entre el número de gomas.

sería de 1 peso menos cada una, entonces se obtendrá:

2. Resolviendo esta ecuación:

è 60x + 180 - x2 -3x = 60x è x2 + 3x - 180 = 0

El número de gomas que se compraron fue 12, ya que una solución negativa para un número de objetos no tiene sentido. Cada goma costó 60/12 pesos. Si se hubieran comprado 3 gomas más, es decir, 15 gomas, el precio hubiese sido de 4 pesos cada una.

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4. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro? Resolución: 1. Sea x el número de horas que emplea el primer obrero en realizar el trabajo.

del trabajo.

2. Se resuelve la ecuación: m.c.m. (x, 5 + x, 12) = 12 × x × (5 + x) 12 × (5 + x) + 12x = x(5 + x) 60 + 12x + 12x = 5x + x2 x2 - 19x - 60 = 0

El primer obrero tarda en realizar el trabajo, él solo, 21,75 horas, es decir, 21 horas y 45 minutos. El segundo obrero tarda 5 horas más, es decir, 26 horas y 45 minutos. 5. Una ecuación de segundo grado con un incógnita tiene una solución igual a 3 y el término independiente vale 15. Calcular la ecuación. Resolución: 1. Por ser 3 solución de la ecuación, ésta se puede descomponer en la forma (x - 3) (x - x2) = 0, donde x2 es la segunda solución de la ecuación. 2. Desarrollando el producto: x2 - x × x2 - 3x + 3x2 = 0. 3. El término independiente es 3x2, y vale 15.

4. La ecuación es (x - 3) (x - 5) = 0 Þ x2 - 8x + 15 = 0. 6. Determinar el valor de m para que la ecuación 2x2 - 4x + m = 0 tenga una raíz doble. Resolución: 1. Una ecuación de segundo grado tiene una raíz doble si su discriminante es cero. D = b2 - 4ac = 0

2. La ecuación 2x2 - 4x + m = 0 tiene una raíz doble si m = 2. 7. Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2. Calcular el área y perímetro del cuadrado inicial. Resolución: 1. Sea l el lado del cuadrado. El área será S = l 2. 2. Si se aumenta en 4 cm el lado del cuadrado, l + 4, su área será (l + 4)2. 3. Al hacer la transformación, el área aumenta en 104 cm2, es decir: l 2 + 104 = (l + 4)2

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4. Se resuelve la ecuación l 2 + 104 = l 2 + 16 + 8l . 5. Simplificando l 2 en los dos miembros, resulta una ecuación de primer grado: 6. El área del cuadrado inicial es S = l 2 = 112 = 121 cm2 7. El perímetro del cuadrado inicial es P = 4 × l = 4 × 11 cm = 44 cm

MOMENTO 7 Ángulos y grados RESUMEN: Trigonometría Grados y radianes

Las unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son las siguientes: 360° = un giro completo alrededor de una circunferencia 180° = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia 90° = 1/4 de vuelta 1° = 1/360 de vuelta, etc. También se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones físicas es mucho mas practico y directo que trabajar con grados. La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar. De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes. Long. arco de circunferencia = [Angulo en radianes] x [Radio de la circunferencia] Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2π * r = 2< Imagen >), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2pi. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una equivalencia: 1 radian = 57,29° a partir de esta igualdad, determinamos que: 90° = π/2 radianes 60° = π/3 radianes 45° = π/4 radianes 30° = π/6 radianes OBJETIVO: Que el alumno resuelve problemas cuya solución requiera de ecuaciones de segundo grado. INTRODUCCIÓN: Medición de ángulos Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus medidas. Un ánguloq es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado

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inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.

lado s terminal P q lado inicial r

Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitada. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales. lado lado inicial

terminal q q lado terminal b lado inicial a lado inicial q ángulo positivo q ángulo negativo a y b ángulos coterminales Nota: b ángulo positivo a ángulo negativo Figura 1 Figura 2 Figura 3 Una vez analizados algunos conceptos importantes sobre ángulosGrado, en trigonometría, arco igual a 1/360 de la circunferencia de un círculo, o ángulo central que corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de ángulos y arcos de un círculo. Se divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale a 1/21.600 de la circunferencia de un círculo; cada minuto se divide en 60 segundos, cada uno de los cuales equivale a 1/1.296.000. Los grados se indican normalmente con el símbolo °, los minutos con ´ y los segundos con ", como en 41°18´09", que se lee "41 grados 18 minutos y 9 segundos".La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente de localizar una estrella, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. Los posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por Greenwich en Inglaterra.

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DESARROLLO: Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.

lado terminal vértice lado inicial Angulo en posición normal Angulo cuadrantal Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados oradianes. Definición: Medición en grados Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados. Definiciones: Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Unángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo. ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso

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ángulo central Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 1800. Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y). Definición: Medición en radianes Si el vértice de un ángulo q está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a q en la circunferencia es s, entonces q medido en radianes está dado por:

s r q Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, q se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo. Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades. Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central q opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación: 1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros Conversión entre grados y radianes: La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:

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Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:

Radianes a grados Grados a radianes

Ejemplos para discusión: 1)Cambia de radianes a grado: 5 radianes 2) Cambia de grados a radianes: 750 Usando la calculadora También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora. Para cambiar radianes a grados: Ejemplo: 5 radianes a grados

Calculadora científica Calculadora gráfica- Seleccionar el modo “radianes” con la tecla [DRG]. - Entrar el número 5.- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “grados”.- La respuesta es 286.50

- Seleccionar el modo “grados con las teclas [MODE],[ENTER],[Exit]. - Entrar al menú [Math].- Elegir <Angle>.- Entrar el número 5.- Elegir <r> y oprimir [ENTER].- La respuesta es 286.50

Para cambiar grados a radianes: Ejemplo: 750 a radianes

Calculadora científica Calculadora gráfica- Seleccionar el modo de “grados” con la tecla [DRG]. - Entrar el número 75.- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “radianes”.- La respuesta es 1.31

- Seleccionar el modo ”radianes” con las teclas [MODE],[ENTER],[EXIT]. - Entrar al menú [Math]- Elegir <Angle>- Entrar el número 75.- Elegir <o> y oprimir [ENTER].- La respuesta es 1.31

MOMENTO 8 Radianes. RESUMEN: Consideramos una circunferencia con centro en el vértice del ángulo y el arco que interceptan los lados del ángulo. Si el arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia, entonces decimos que el ángulo es de un radián. En general, los radios que mida el arco son los radianes que tiene el ángulo. Como la circunferencia mide 2p radios, un ángulo de 360º tiene 2p radianes.

1 radián=360º/2p=180º/p=aprox 57º17'45"

1º=2p/360 radianes=p/180 radianes=aprox 0'01745 radianes

No se suele sustituir p por un valor aproximado. Se habla de un ángulo de p/3 radianes, de p/2 radianes, etc. La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes. Grados 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π OBJETIVO: Que el alumno maneje el concepto de radían y lo aplique en la solución y conversión de problemas.

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INTRODUCCIÓN: Anteriormente realizamos operaciones haciendo uso del radián, en esta sesión aclararemos aún más el concepto empezando por la definición. El radián es la unidad del ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades conocido por SI. Pese a que inicialmente fue clasificado, junto al estereorradián, como unidad suplementaria, dicha clasificación se considera obsoleta, atribuyéndose a ambas la categoría de unidad derivada.

El radián se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Una definición más general, indica que el ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco formado sobre el radio, es decir, θ = s /r, donde θ es el ángulo, s es la longitud del arco y res el radio. Por tanto, el ángulo, α, completo en radianes de una circunferencia de radio, r, es:

Su símbolo es rad. DESARROLLO: Radianes. Estamos acostumbrados a medir ángulos en grados sexagesimales, pero no es la única forma de caracterizar ángulos. Los ángulos sexagesimales, divididos en 60 minutos de 60 segundos son incómodos de utilizar, por lo que se han desarrollado otras formas de medida más útiles. Por ejemplo, los grados centesimales, divididos en cien minutos de cien segundos, que pueden ser sumados y restados con mucha más facilidad. Los radianes son otra forma de medir un ángulo, en la que éste se caracteriza según la relación entre la longitud del radio y la del arco abarcado por dicho ángulo. Supongamos una circunferencia de perímetro C. Si la recorremos por completo (360º) la longitud recorrida L1 sería, obviamente C. Si únicamente recorriéramos la mitad (180º) la longitud recorrida L2 sería 1/2 · C. Si la recorriéramos en un sexto (60º) la longitud recorrida L3 sería 1/6 · C...

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Como el perímetro C de una circunferencia de radio r es C = 2πr

en el primer caso (en el que recorremos la circunferencia por completo) la longitud recorrida sería 2πr; en el segundo caso, en el que hemos recorrido 180º, la longitud recorrida sería 1/2 · 2πr; en el tercero, en el que hemos recorrido 60º, la longitud recorrida sería 1/6 · 2πr... Hemos dicho que los radianes caracterizan el ángulo por la relación entre la longitud del radio de la circunferencia y la del arco abarcado por el ángulo. Si llamamos radian al ángulo que abarca una longitud de arco igual a la del radio, los ángulos en radianes que abarcan las longitudes de arco anteriores son

L1/r = 2πr/r = 2π rad ≈ 6,28... rad L2/r = 1/2 · 2πr/r = π rad ≈ 3,14... rad

L3/r = 1/6 · 2πr/r = 1/3 · π rad ≈ 1,05... rad En general, para convertir un ángulo en grados sexagesiales en un ángulo en radianes, se divide el valor del ángulo en sexagesimales por 360 y se multiplica por 2π.

Ángulo en sexagesimales. Ángulo en radianes. α (rad) = 2π/360 · α (º)

Ángulo en radianes (aproximado).

360 2π 6,28...

180 π 3,14...

90 π/2 1,57...

60 π/3 1,05...

45 MOMENTO 9 Rectas y puntos notables del triángulo. OBJETIVO: Hallar otra expresión para calcular el área del triángulo. Trazar los centros de un triángulo. INTRODUCCIÓN: Traza un triángulo como el que se muestra y señala su altura. La expresión mejor conocida para calcular el área de este y cualquier otro triángulo es base x altura sobre dos. ¿Sabrías hallar otra expresión para calcular su área? DESARROLLO Cálculo de la superficie de un triángulo

Área del triángulo • La superficie de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es un

segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto). y dividiendo en dos. Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a esa base la superficie S queda expresada del siguiente modo:

• Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie

empleando la fórmula de Herón.

donde p = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

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Cuando el triángulo es muy "afilado" (la suma de los dos lados menores es muy similar al valor del lado mayor) la fórmula anterior es inestable numéricamente. Rescribiendo la fórmula anterior obtenemos: (suponiendo a ≥ b ≥ c )

Los paréntesis evitan la inestabilidad en la fórmula. Centros del triángulo Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo: • Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de

gravedad • Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del

triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. • Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se

encuentra en laintersección de las bisectrices de los ángulos. • Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

El único caso en que los centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero. RESUMEN. La fórmula de A = b x h / 2 no es la única expresión valida. Los puntos notables en un triángulo son el baricentro, el circuncentro, el incentro y el ortocentro. En el estudio de los triángulos, algunas rectas, puntos y circunferencias se destacan por sus propiedades. A continuación se presenta una lista exhaustiva de definiciones. • Mediatrices: son las rectas perpendiculares a los lados que dividen a éstos en partes iguales. • Circuncentro: es el punto en el que se encuentran las mediatrices. Este punto no siempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior; en el caso de los triángulos rectángulos, pertenece a la hipotenusa.) • Circunferencia circunscripta: es la circunferencia no incluida en el triángulo que contiene sus tres vértices. Su centro es el circuncentro, de ahí el nombre de éste. • Bisectrices: son las rectas que dividen a los ángulos en partes iguales. • Incentro: es el punto en el que se encuentran las bisectrices. El incentro es siempre interior al triángulo, de ahí su nombre. • Circunferencia inscripta: es la circunferencia incluida en el triángulo que es tangente a los tres lados. Su centro es el incentro. • Circunferencias exteriores: son las circunferencias exteriores al triángulo, tangentes a cada lado y a la prolongación de los otros dos. El centro de cada una de ellas es la intersección de la bisectriz del ángulo opuesto al lado al cual la circunferencia es tangente con las perpendiculares a las bisectrices de los otros dos ángulos que pasan por los vértices correspondientes. • Bases: son los segmentos que unen los puntos medios de los lados del triángulo. • Medianas: son los segmentos que unen los vértices con los puntos medios de los lados opuestos. • Baricentro: es el punto en el que se encuentran las medianas. En un cuerpo real de forma triangular, el baricentro es el centro de masa (de ahí su nombre, gr. baros = "gravedad"), es decir, el punto desde el cual se puede tomar el cuerpo sin que manifieste tendencia a girar. El baricentro es siempre interior al triángulo. • Alturas: son los segmentos perpendiculares a los lados (o a la prolongación de éstos) que tienen su otro extremo en el vértice opuesto. • Ortocentro: es el punto de encuentro de las alturas. Este punto no siempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior. En el caso de los triángulos rectángulos, coincide con el vértice del ángulo recto.) • Recta de Euler (pronúnciese óiler) [1]: es la recta que contiene al ortocentro, el baricentro y el circuncentro. MOMENTO 10 Teorema de Pitágoras OBJETIVO:

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Apropiarse y comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en la solución de problemas para facilitar el estudio de la trigonometría. INTRODUCCIÓN • Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de sus lados es

siempre mayor que la longitud del tercer lado. • La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°.

DESARROLLO

El teorema de Pitágoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. • Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica

que:(Teorema de Pitágoras) a² + b² = c²

Para una mejor comprencion del teorema de pitagoras pincha en el siguiente link: http://www.youtube.com/watch?v=yDR5FDcMO5 RESUMEN: En cualquier triángulo rectángulo, se cumple que: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos y simbólicamente se expresa:

a² + b² = c²

MOMENTO 11 FUNCIÓN OBJETIVO: Adquirir familiaridad con el concepto de función en trigonometría para aplicarlo en la resolución de problemas. INTRODUCCIÓN: En Trigonometría es común trabajar con funciones, para esto es necesario estudiar el concepto y aprender a resolver problemas por medio de estas. Una función, en MATEMATICAS, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valorespermitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

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La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f. Observaciones: En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B. Un elemento y E B puede: No ser imagen de ningún elemento x E A Ser imagen de un elemento x E A Ser imagen de varios elementos x E A. La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función. Formas de expresión de una función Mediante el uso de tablas:

X Y

-1 0 ½ 1 2

1 0 ¼ 1 4

Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

DESARROLLO: Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III,

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IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0. Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1. Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo. Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A

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estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado. Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias. En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la

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altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre. En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material. En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos. El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto. RESUMEN: Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes. Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades: Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87). Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.). Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64). A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64. (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en CLASE y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos). MOMENTO 12 Funciones Trigonométricas OBJETIVO: Reafirmar y analizar las funciones trigonométricas en el círculo unitario y sus valores para aplicarlo en le resolución de problemas. INTRODUCCIÓN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

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Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes. Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. Observe:

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia. • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y

la hipotenusa,

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

Es el cociente del seno entre el coseno. DESARRROLLO: En anterior se mostraros tres razones trigonométricas, a continuación mencionaremos las faltantes conocidas también como funciones inversas: Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo: • cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:

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• secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:

• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:

Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones MATEMATICAS se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse. Valor de las funciones trigonométricas A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Radián Ángulo sen cos tan csc sec ctg

RESUMEN: Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente. Consultar valor de las funciones trigonométricas en la tabla. Valor de las funciones trigonométricas

Circunferencia en radianes.

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MOMENTO 13 SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS OBJETIVO: Identificar el sentido de las funciones trigonométricas en los cuadrantes del círculo trigonométrico. INTRODUCCIÓN Con lo que hasta ahora has venido manejando, resulta imprescindible analizar con mayor profundidad el sentido de las funciones trigonométricas. En la presente sesión tendrás la oportunidad de procesar el sentido de cada una. Sentido de las funciones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B. La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa porB corta a la recta r en el punto D. Por semejanza de triángulos:

La distancia , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

tenemos:

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

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DESARROLLO Primer cuadrante Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a. Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 π rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 π rad, el seno vale 1 y el coseno 0. Segundo cuadrante

Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo. La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 π rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por Bno se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 π rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los π rad. Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 π rad, hasta que valga 0, para a= π rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 π rad, hasta –1, para a= π rad. La tangente conserva la relación:

incluyendo el signo de estos valores.

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Tercer cuadrante [editar]

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de π rad a 1,5 π rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para π rad:

Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante. A medida que el ángulo crece el punto A se acerca a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente. Cuando el ángulo a alcance 1,5 π rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y. El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, notese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito. Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 π rad y 2 π rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 π rad:

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hasta los que toman para 2 π rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y. Cuando a, vale 2 π o 0 π al completar una rotación completa los puntos A, B y C, coinciden en D, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante. RESUMEN: Primer cuadrante: todas las funciones son positivas Segundo cuadrante

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

MOMENTO 14 Solución de triángulos rectángulos. OBJETIVO: Demostrar que las lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos y aplicarlo en la resolución de problemas.

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INTRODUCCIÓN: En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos para los dioses,...) exigió un alto grado de precisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo deelevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre laslongitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy como larelación pitagórica. ¿En qué consiste resolver un triángulo rectángulo? Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado. Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera.Las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

Los lados de un triángulo rectángulo verifican el teorema de Pitágoras : Para hallar los ángulos se utilizan las inversas de seno, coseno y tangente de la siguiente forma:

Utilizando dichas relaciones se pueden calcular los elementos desconocidos a partir de los conocidos. Se pueden dar dos casos: -Se conocen dos lados del triángulo. I.- Un cateto y la hipotenusa II.-Los dos catetos -Se conoce un lado y un ángulo agudo del triángulo. III.-Un ángulo agudo y un cateto

IV.- Un ángulo agudo y la hipotenusa DESARROLLO:Resolver un triángulo es encontrar la medida de todos suselementos, es decir sus tres lados y sus tres ángulos. Si el triánguloes rectángulo es suficiente tener como datos las medidas de dos desus elementos, de los cuales uno debe ser necesariamente un lado.Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es encontrar las medidas de sus tres lados y tres ángulos a partir de algunos de ellos que son conocidos. Para calcularlos hay que emplear algunas de las siguientes relaciones:

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Analizaremos los dos casos posibles: Conocidos los dos lados, y conocidos un lado y un ángulo. Conocidos los dos lados El ejemplo típico es el de la escalera de una longitud conocida que se apoya en una pared y que se sitúa a una determinada distancia del suelo. Las incógnitas son el ángulo que forma la escalera con la pared y la altura que alcanza la escalera sobre ella. La escena permite simular este caso como si se tratara de apoyar la escalera en la pared e indica en cada momento el ángulo que forma con el suelo. Conocidos un lado y un ángulo Supongamos que en un triángulo rectángulo se conoce el valor de uno de los catetos y el ángulo opuesto a él, por ejemplo, b y B. La escena ahora permite mover el vértice A hasta conseguir el ángulo C, complementario del B; en ese momento el triángulo queda resuelto. Las razones trigonométricas se emplean en la resolución de triángulos rectángulos, esto es, en el cálculo de uno o más de sus lados o ángulos, con un mínimo de datos. Para aplicar estas razones, es necesario conocer el valor numérico de dos de sus elementos (que pueden ser dos lados o un ángulo agudo y un lado) para encontrar el valor desconocido de otro de ellos. Existen dos casos en la resolución de triángulos rectángulos cuyo procedimiento se ejemplifica a continuación. 1.-Obtención del valor de un lado, conocidos un ángulo y un lado Ejemplo: Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso. Procedimiento: a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.

b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.

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c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.

d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos.

e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.

c = 5 m f) Dar solución al problema. c = longitud de la escalera Por lo tanto, la escalera mide 5 m. RESUMEN:

RESOLVER UN TRIÁNGULO

• Resolver un triángulo cualquiera consiste en calcular todos sus elementos : sus tres lados y sus tres ángulos.

• Para resolver un triángulo debemos conocer, al menos, tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente debe ser un lado.

• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Dicho de otra manera, una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos. En este curso se abordan únicamente los triángulos rectángulos. También veremos cómo resolver triángulos no rectángulos por descomposición en triángulos rectángulos. Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres ángulos. El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras, nos permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo dos datos, uno de ellos ha de ser un lado. MOMENTO 15 Resolución de Triángulos Oblicuángulos OBJETIVO: Demostrar que los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. INTRODUCCIÓN ¡FELICIDADES!, es momento de trabajar con triángulos haciendo uso de la trigonometría. Veremos entonces la relación que existe entre los triángulos oblicuángulos y las funciones trigonométricas. Esta sesión didáctica pretende que se familiarice con los distintos casos de resolución y llegue a adquirir la habilidad para saber de antemano si el problema va a tener o no solución y cuantas soluciones puede encontrar. La posibilidad de manipulación de los elementos hasta llegar a la construcción del triángulo facilitará la comprensión de las propiedades que han de cumplir los elementos de un triángulo cualquiera. Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo (*). Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b y c.

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Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado). (*) Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente. Se utilizan tres propiedades:

Suma de los ángulos de un triángulo A + B + C = 180º

Teorema del seno

Teorema del coseno a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C

Casos en la resolución de triángulos: CASO DATOS CONOCIDOS INCÓGNITAS

I Los tres lados: a, b, c Los tres ángulos A, B, C

II Un lado y los ángulos adyacentes:a, B, C Dos lados y un ángulo: b, c, A

III Dos lados y el ángulo formado: a, b, C Un lado y dos ángulos: c, A, B

IV Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A Un lado y dos ángulos: c, B, C

DESARROLLO La ley de los Senos dice así: “En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”. Su fórmula es la siguiente:

Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Las letras minúsculas de los ángulos se encuentran separadas de su letra mayúscula. Es decir, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Resolución de triángulos por la ley de los Senos Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos por la ley de senos. Datos Fórmulas A = 80° 25', A + B + C = 180°; B = 35° 43', a = b = c . c = 60. sen A sen B sen C Cálculo de C. A + B + C = 180°; 80° 25' + 35° 43' + C = 180°; 116° 8' + C = 180° .

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. . C = 180° 116° 8' = 63° 52' Cálculo de a. a = c ; a = 60 Sen A sen C sen 80° 25' sen 63° 52' a = 60 0.98604 0.89777 . . . a = (60) (0.98604) = 59.16240 = 65.88 0.89777 0.89777 Cálculo de b. b = c ; b = 60 . sen B sen C sen 35° 43' sen 63° 52' b = 60 . 0.58378 0.89777 . . . b = (60) (0.58378) = 39.01 0.89777 Ley del Coseno La ley de los Coseno es un término que permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°. La ley del Coseno dice así: “En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman”

Pero si tienes los lados, y quieres saber el ángulo que hacen los lados B y C, entonces realizaras la siguiente formula: A, B y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo: Las letras minúsculas y mayúsculas del mismo tipo no se encuentran juntas, es decir, la a está en el ángulo opuesto de A, la b está en el ángulo opuesto de B y la c está en el ángulo opuesto de C. Esto siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá erróneo. Observa que la ley del coseno sólo será cuando tienes los dos lados y el ángulo que hacen los lados, porque si no te dan el ángulo que hacen los lados, tendrás que usar la ley de senos. Arriba se muestran las características que tiene que tener el triángulo para resolverlo por la ley de cosenos, es decir, los tres datos necesarios. Recuerda que para sacar el ángulo interno la suma de los tres ángulos internos dará 180° y te quedara la formulita de la manera siguiente: c = 180° - a - b Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos. Primer caso: Conocidos los tres lados. Ejemplo. Resolver el triángulo cuyos datos son: a = 34, b = 40, c = 28. Se aplica la ley de coseno. Cálculo de A. a2 = b2 + c² - 2bc cos A. Despejando cos A: cos A = b² + c² - a² 2bc Cos A = 40² + 28² - 40² = 1600 + 784 - 1156 = 307 = 0.54821. 2 x 40 x 28 2240 560 . . . A = 56° 45'. Cálculo de B. Análogamente: a² + c² - b² cos B = 2ac .

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. . Cos B = 34² + 28² 40² = 1156 + 784 1600 = 340 = 0.17857. (2) (34) (28) 1904 1904 . . . B = 79° 43'. Cálculo de C. Análogamente: Cos C = a² + b² - c² . 2ab ´ Cos C = 34² + 40² 28² = 1156 + 1600 784 = 1972 = 0.72500 (2) (34) (40) 2720 2720 .. . C = 43° 32´ Es decir: A = 56° 45" B = 79° 43' C = 43° 32' A + B + C = 178° 120' = 180°. EJERCICIOS: Ejemplo no. 1 a = 41 B = 27 ° 50´ C = 51° A = 27 ° 50´+ 51°- 180° = A = 101° 10´ Cálculo de c a . = c _ 41 _ = c _ c = 32.4778 Sen A Sen C Sen 19° 10´ Sen51° Cálculo de b b = 41 _ b = 19.5123 Sen 27° 50´ Sen101° 10´ Se resolverá un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido. Resolver el triangulo cuyos datos son: A = 68° 18'; b = 6; c = 10. Datos Fórmulas A = 68° 18', a = "b² + c² 2bc cos A. b = 6, cos B = a² + c² - b² 2ac ´ c = 10, cos C = a² + b² - c² 2ab

Cálculo de a. a = "b² + c² 2bc cos A = "6² + 10² (2) (6) (10) (cos 68° 18',) a = "36 + 100 - (120) (0.36975) = "136 - 44.37 = "91.63 a = 9.57 Cálculo de B. Cos B = a² + c² b² = 9.57² + 10² 6² = 91.63 + 100 36. 2ac 2 x 9.57 x 10 191.4 ' Cos B = 191.63 - 36 = 155.63 = 0.81311. • 191.4 . . . B = 35° 36. Cálculo de C. Cos C = a² + b² - c² = 9.57 + 6² - 10² = 91.63 + 36 - 100 . 2ab (2) (9.57) (6) (12) (9. 57) ` Cos C = 127.63 - 100 = 27.63 = 0.24059. • 114.84 . . . C = 76° 6. RESUMEN LEY DE SENOS

LEY DE COSENOS