Matemáticas II
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DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES
PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Página: 1/5
Curso Asignatura
1º Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba
de Acceso a la Universidad
La siguiente relación de objetivos, contenidos y niveles tiene como finalidad el servir de orientación para la elaboración de la Prueba de Acceso a la Universidad de la materia Matemáticas II. Esta relación se adapta al currículo de la asignatura y su objetivo es matizar y especificar con cierto detalle algunos aspectos de los apartados del currículo dedicados al Análisis, al Álgebra Lineal y a la Geometría. En todo caso, las orientaciones se ajustan a los contenidos de la asignatura descritos en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, BOE del 6, por el que se establece la estructura y las enseñanzas mínimas de Bachillerato, así como a la Orden de 5 de Agosto de 2008, BOJA del 26, por la que se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en Andalucía. ANÁLISIS: - Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales. - Saber aplicar el concepto de límite de una función en el infinito para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas. - Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes: infinito dividido por infinito, cero dividido por cero, cero por infinito, infinito menos infinito (se excluyen los de la forma uno elevado a infinito, infinito elevado a cero, cero elevado a cero) y técnicas para resolverlas. - Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto. - Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función. - Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto. - Saber determinar las propiedades locales de crecimiento o de decrecimiento de una función derivable en un punto y los intervalos de monotonía de una función derivable. - Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos. - Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones con no más de dos composiciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. - Conocer la regla de L'Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones. - Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o puntos de inflexión. - Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos. - Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, intervalos de concavidad (f''(x)<0) y de convexidad (f''(x)>0) y puntos de inflexión. - Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.). - Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra. - Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función. - Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado. - Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales. - Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente. - Conocer la técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas. - Conocer la propiedad de linealidad de la integral definida con respecto al integrando y conocer la propiedad de aditividad con respecto al intervalo de integración. - Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando. - Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores). - Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow. - Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas. ÁLGEBRA LINEAL: - Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, transposición, producto de matrices, y saber cuándo pueden realizarse y cuándo no. Conocer la no conmutatividad del producto. - Conocer la matriz identidad I y la definición de matriz inversa. Saber cuándo una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices de orden 3x3). - Saber calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3. - Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos. - Conocer que tres vectores en un espacio de dimensión tres son linealmente dependientes si y sólo si el determinante es cero. - Saber calcular el rango de una matriz. - Resolver problemas que pueden plantearse mediante un sistema de ecuaciones. - Saber expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo. - Conocer lo que son sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles. - Saber clasificar (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo. GEOMETRÍA: - Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en el plano y en el espacio.
2011/2012 MATEMÁTICAS II
DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES
PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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- Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente independientes o linealmente dependientes. - Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra. - Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.). - Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos como sistemas de ecuaciones lineales. - Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta. - Conocer las propiedades del producto escalar y su interpretación geométrica. - Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (por ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.). - Conocer el producto vectorial de dos vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos. - Conocer el producto mixto de tres vectores y saber aplicarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo.
2º Estructura de la prueba que se planteará para la asignatura.
Cada estudiante recibirá dos exámenes -etiquetados Opción A y Opción B- y tendrá que elegir uno de ellos sin que pueda mezclar ejercicios de una opción con ejercicios de la otra opción. Cada examen constará de cuatro ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual.
3º Instrucciones sobre el desarrollo de la prueba.
3.1 De carácter general.
- En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas. - Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico.
3.2 Materiales permitidos en la prueba.
Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. Durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.
4º Criterios generales de corrección (es imprescindible concretar las valoraciones que se harán en cada apartado y/o aspectos a tener en cuenta):
Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente: - En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos. - Los estudiantes pueden utilizar calculadora que no sea programable, gráfica ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados indicando los pasos más relevantes del procedimiento utilizado. - Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente. - Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizará la redacción incorrecta y el uso incorrecto de símbolos. - La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente. - Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.
5º Información adicional (aquella que por su naturaleza no está contenida en los apartados anteriores):
En los siguientes puntos de acceso electrónico: http://matema.ujaen.es/jnavas/web_ponencia/index.html pueden encontrarse, entre otra información, enlaces a otras páginas de profesores y centros de Enseñanza Secundaria que tienen colecciones de ejercicios y exámenes resueltos. Otras páginas de interés son http://www.ujaen.es/serv/acceso/inicio Estas orientaciones están disponibles en el punto de acceso electrónico: http://www.juntadeandalucia.es/innovacioncienciayempresa/sguit
DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES
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6º Modelo de prueba:
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DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES
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7º Criterios específicos del modelo de prueba:
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EJERCI
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BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 1 19
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es así, escr
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ealizar únicame
s procesos con
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 3 19JUNIO
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ribe dicha
ribe dicha
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RATO CAS II 998-1999
O
EJERCI
el logarit(1) [1'5 extremos(2) [1 puel eje OX EJERCI
donde no
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EJERCI
(1) [1 pu(2) [1'5
soluc EJERCIvalores d
Instruccioa) Durb) Tien
ejerc) Cond) Pue
obte
ICIO 1. Co
tmo neperiapuntos] D
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ones: ración: 1 hora ynes que elegir rcicios de la Opntesta de formaedes usar calcuención de resul
nsidera la f
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'5 puntos]
el denomina
e todos los p
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pasa por eluno que es
Clasifica
52
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x
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ACCESO
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scribe ordenadae ser programastar suficientem
Opción A
(0, )+∞ →
os de creci
la gráfica de
a una primi3
)(x
xxf−−
=
contienen la
⎩⎨⎧
−−+−
9394
zyyx
l punto P = sté a 3 un
el siguiente
2
4 2 03 0y z
y zy m z m
+ =+ + =
+ =
DE ANDA
A LA UNI
s cuatro ejercic
amente y con leble o tener pan
mente justificad
dada por
imiento y d
e f en el pun
tiva F de la
2
32xx
−+− tal
a recta r dad
==
;0,0
(1, 4, 0); nidades de
e sistema d
00
1m
⎫⎪⎬⎪− ⎭
ALUCIA
IVERSIDA
cios de la Opció
etra clara. ntalla gráfica),
dos.
r Ln)(xf =
de decrecim
nto de corte
a función f
l que la gráf
da por
distancia d
de ecuacione
AD
ón A o bien re
pero todos los
MM
,)(nx
x donde
miento así
de dicha gr
f dada (en lo
fica de F pa
del origen,
es lineales
ealizar únicame
s procesos con
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 4 19
e Ln(x) es
como los
ráfica con
os puntos
ase por el
¿cuántas
según los
nte los cuatro
ducentes a la
RATO ICAS II 998-1999
EJERCI(1) [1 pu(2) [1'5
EJERCI EJERCI(1) [1 pu(2) [0'75(3) [0'75
EJERCI
(1) [1'75parámetr(2) [0'75
Se deseaque la pun perímsu super
Instruccioa) Durb) Tien
ejerc) Cond) Pue
obte
ICIO 1. Counto] Deterpuntos] D
ICIO 2. [2'5
ICIO 3. unto]. Defin5 puntos]. 5 puntos]. ¿
ICIO 4. Co
5 puntos]. ro a. 5 puntos].
a construir parte superimetro de 6 mrficie sea má
PR
ones: ración: 1 hora ynes que elegir rcicios de la Opntesta de formaedes usar calcuención de resul
onsidera la frmina los exetermina el
5 puntos]
ne el concepDa algún cr¿Es invertib
onsidera la r
⎩⎨⎧
++
≡2(
xr
Estudia la
Para a = 1 d
una ventanor es una s
m. ¿Qué dimáxima?
UNIVER
RUEBA DE
y 30 minutos. entre realizar
pción B. a razonada y esuladora (puedetados deben es
función :fxtremos relvalor de la
1
0∫
pto de inverriterio que p
ble la matriz
=A
recta r y el p
−−+++
2))1(
yxazya
posición re
determina e
na como la semicircunfmensiones d
RSIDADES
ACCESO
únicamente los
scribe ordenadae ser programastar suficientem
Opción B
→ defativos de f (integral
( )2
1 ( )f x+
rsa de una mpermita decz A siguiente
101201
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
plano π da
==
;02,0
zz
y
elativa de l
el punto de i
de la figuraferencia) qudebe tener p
DE ANDA
A LA UNI
s cuatro ejercic
amente y con leble o tener pan
mente justificad
finida en la (dónde se al
.dx
matriz cuadridir si una me? Justifica
.1
31
⎟⎟⎟
⎠
⎞
−
ados, en func
y 3π ≡
la recta y
intersección
a (en la ue tenga para que
ALUCIA
IVERSIDA
cios de la Opció
etra clara. ntalla gráfica),
dos.
forma (xflcanzan y cu
rada. matriz cuadra la respuest
ción de un p
3 .x z a− =
el plano se
n de la recta
AD
ón A o bien re
pero todos los
BM
M
.) 2xxex = uál es su va
rada es inveta.
parámetro r
egún los va
a con el plan
ealizar únicame
s procesos con
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 4 19
alor).
ertible.
real a, por
alores del
no.
nte los cuatro
ducentes a la
RATO CAS II 998-1999
EJERCI
EJERCI
derivable
EJERCI
(1) [1 puhállalos. (2) [1'5
1π EJERCI
(1) [1'(2) [1 p
Instruccioa) Durb) Tien
ejerc) Cond) Pue
obte
ICIO 1. [2'
ICIO 2. [2'
e, que su grá
ICIO 3. Se
unto] ¿Pue
puntos] ¿C
5 6x y≡ + +
ICIO 4. Con
5 puntos] punto] Det
PR
ones: ración: 1 hora ynes que elegir rcicios de la Opntesta de formaedes usar calcuención de resul
'5 puntos]
5 puntos]
áfica pasa p
sabe que la
eden determ
Cuál es la sit
7 5,z+ =
nsideremos
Halla el puntermina el p
UNIVER
RUEBA DE
y 30 minutos. entre realizar
pción B. a razonada y esuladora (puedetados deben es
Calcula el
lím→x
Determina
por el punto
a siguiente m
minarse a, b
tuación de l
2 x aπ ≡ +
s el punto P
r
nto de r máplano que p
RSIDADES
ACCESO
únicamente los
scribe ordenadae ser programastar suficientem
Opción A
siguiente lím
1))(sen(m
2
0 −−→ xex
x
la función
(1, l), que
matriz M tie
215
⎜⎜⎜
⎝
⎛=M
b, c, d? Jus
os planos d
2ay bz+ =
= (1, 0, –1
⎩⎨⎧
=−=+
≡1zyx
s cercano a asa por el p
DE ANDA
A LA UNI
s cuatro ejercic
amente y con leble o tener pan
mente justificad
mite
1
2
: (0, )f +∞ →
0)1(' =f y
ene rango 1,
.21
765
⎟⎟⎟
⎠
⎞
dcba
stifica la re
de ecuacione
y 3π
) y la recta
.0,0
P y la distapunto P y co
ALUCIA
IVERSIDA
cios de la Opció
etra clara. ntalla gráfica),
dos.
→ sabien
que )('' xf
espuesta y,
es respectiv
3 2x cy≡ + +
r dada por
ancia entre Pontiene la re
AD
ón A o bien re
pero todos los
BM
MO
ndo que es
.1)x
=
en caso af
vas
1?dz+ =
P y r. ecta r.
ealizar únicame
s procesos con
BACHILLERMATEMÁTICODELO 5 199
dos veces
firmativo,
nte los cuatro
ducentes a la
RATO CAS II 98-1999
EJERCI(1) [0'5 (2) [2 pu
EJERCIpunto (3,
Determincon estos
EJERCI
(1) [1'5 p
halla el p(2) [1 pu EJERCI
(1) [1'5 (2) [1 pu
Instruccioa) Durb) Tien
ejerc) Cond) Pue
obte
ICIO 1. puntos] Enuntos] Haci
ICIO 2. [2', 0) y que la
na sus extres elementos
ICIO 3.
puntos] D
punto dóndeunto] Halla
ICIO 4. Con
puntos] Dunto] Resu
PR
ones: ración: 1 hora ynes que elegir rcicios de la Opntesta de formaedes usar calcuención de resul
nuncia la Reiendo el cam
'5 puntos] a gráfica de
emos locale, esboza raz
Demuestra q
e lo hacen. a la ecuación
nsidera el s
iscute el sisuélvelo para
UNIVER
RUEBA DE
y 30 minutos. entre realizar
pción B. a razonada y esuladora (puedetados deben es
egla de Barmbio de var
∫π
0
x
De una fusu función
es así comozonadament
que las recta
n del plano
istema de e
25
xxx
stema segúna a = 8.
RSIDADES
ACCESO
únicamente los
scribe ordenadae ser programastar suficientem
Opción B
rrow. iable 2 tx =π
2 )cos( dxxx
unción deriderivada es
o sus intervte la gráfica
as x
r yz
=⎧⎪≡ =⎨⎪ =⎩
que contien
cuaciones q23
x y zx y zx ay z
+ − =+ + =+ + =
n los valores
DE ANDA
A LA UNI
s cuatro ejercic
amente y con leble o tener pan
mente justificad
,t calcula la
ivable :fs la que se m
alos de crea de f.
2 34 21
λλ
λ
+++
y
ne las rectas
que depende226
⎫⎪⎬⎪⎭
s de a.
ALUCIA
IVERSIDA
cios de la Opció
etra clara. ntalla gráfica),
dos.
a integral
→ se smuestra en l
cimiento y
1
4
xs y
z
=⎧⎪≡ = −⎨⎪ =⎩
s r y s.
e de un pará
AD
ón A o bien re
pero todos los
BM
MO
sabe que pala figura.
de decrecim
2
μμ
μ
+−+
se int
ámetro real
ealizar únicame
s procesos con
BACHILLERMATEMÁTICODELO 5 19
asa por el
miento y,
tersecan y
a:
nte los cuatro
ducentes a la
RATO CAS II 998-1999
EJERCI(1) [1 pu
(2) [1'5 ecuacion EJERCIzona impizquierdodebe tene EJERCI(1) [1'5 p
3 : (1,
son linea
(2) [1 pu
EJERCIecuacion
que se en
Instruccioa) Durb) Tien
ejerc) Cond) Pue
obte
ICIO 1. unto] Esboz
puntos] Canes 02 =+x
ICIO 2. [2'presa debe oo, 3 cm. de er el cartel p
ICIO 3. puntos] De1, a), (a,
almente inde
unto] Dete
1 xπ ≡ +
ICIO 4. [2nes paramétr
ncuentran a
PR
ones: ración: 1 hora ynes que elegir rcicios de la Opntesta de formaedes usar calcuención de resul
za la gráfica
alcula el áre0 y 12 −x
5 puntos] ocupar 100 margen sup
para que se
etermina lo, 3, 2) y
ependientes
rmina la po
3 5,y z+ + =
2'5 puntosricas
2 unidades
UNIVER
RUEBA DE
y 30 minutos. entre realizar
pción B. a razonada y esuladora (puedetados deben es
a de la funci
⎩⎨⎧
=2
)(x
xf
ea del recint.0=
Una imprecm2. y hay perior y 2 cutilice la m
os valores d (0, 0, a)
s. Justifica l
osición relat
2 3π ≡
s] Calcula
r⎧⎪≡ ⎨⎪⎩
de distanci
RSIDADES
ACCESO
únicamente los
scribe ordenadae ser programastar suficientem
Opción A
ión :f →
−
+
si si22
3 xxxxx
to limitado
nta recibe eque dejar 4
cm. de marmenor cantid
el parámetr),
la respuesta
tiva de los p
3 3 2x y z+ +
todos los
10 5100250 1
xyz
= − +== −⎩
a del punto
DE ANDA
A LA UNI
s cuatro ejercic
amente y con leble o tener pan
mente justificad
→ dada po
−>
−≤
.1,1
xx
por la gráfi
el encargo d4 cm. de margen inferiordad de papel
ro a para lo
a.
planos cuyas
8=
planos per
5
2
t
t
P = (2, –7,
ALUCIA
IVERSIDA
cios de la Opció
etra clara. ntalla gráfica),
dos.
or
ica de f, el e
de diseñar cargen derecr. Calcula l que sea po
s que los si
s ecuacione
y 3π ≡
rpendicular
l).
AD
ón A o bien re
pero todos los
BM
MO
eje OX y las
carteles en lcho, 4 cm. d
las dimensosible.
iguientes ve
es son:
3 3.z≡ =
res a la re
ealizar únicame
s procesos con
BACHILLERMATEMÁTICODELO 6 19
s rectas de
los que la de margen iones que
ectores de
ecta r de
nte los cuatro
ducentes a la
RATO CAS II 998-1999
EJERCI
Dibuja sulocales, i EJERCImóvil B
:g →(1) [1'25el que la (2) [1'25región lim EJERCIr dada po
EJERCI
(1) [1'25(2) [1'25
Instruccioa) Durb) Tien
ejerc) Cond) Pue
obte
ICIO 1. [2'5
u gráfica dintervalos d
ICIO 2. La se desplaz es la fun
5 puntos] Hfunción g ti5 puntos] ¿mitada por a
ICIO 3. [2'5or las ecuac
ICIO 4. Con
5 puntos] ¿P5 puntos] P
PR
ones: ración: 1 hora ynes que elegir rcicios de la Opntesta de formaedes usar calcuención de resul
5 puntos] C
determinande crecimien
recta de ecza según l
nción definidHalla el valiene su máx¿Coinciden ambas traye
5 puntos] Diones param
nsidera la m
Para qué vaPara a = 0 h
UNIVER
RUEBA DE
y 30 minutos. entre realizar
pción B. a razonada y esuladora (puedetados deben es
Considera l
f
do previamento y de dec
uación =ya trayectorda por )(xglor de c sabiximo local.
ambas trayectorias y ca
Dado el punmétricas:
r⎧⎪≡ ⎨⎪⎩
matriz B que
=B
alores de a thalla la inve
RSIDADES
ACCESO
únicamente los
scribe ordenadae ser programastar suficientem
Opción B
a función f
1)( 2x
xxf+
=
ente los sigurecimiento
24 +− x reria dada po
2) 2 xx +−=iendo que a
yectorias enalcula su áre
nto A = (3,
122
x ty tz t
= −= − += −⎩
e depende d
1112
2
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+aaaa
tiene B inversa de B.
DE ANDA
A LA UNI
s cuatro ejercic
amente y con leble o tener pan
mente justificad
:f → d
.2
uientes elemy la existen
presenta la or la curva
.cx + ambas traye
n algún otroea.
1, 0), halla
de un parám
.121
⎟⎟⎟
⎠
⎞
ersa? Justifi
ALUCIA
IVERSIDA
cios de la Opció
etra clara. ntalla gráfica),
dos.
definida por
mentos: susncia de sime
trayectoria de ecuaci
ctorias coin
o punto? E
su simétrico
metro a.
ica la respue
AD
ón A o bien re
pero todos los
BM
MO
r
s asíntotas, etrías.
de un móviión (xgy =
nciden en el
En tal caso,
o respecto d
esta.
ealizar únicame
s procesos con
BACHILLERMATEMÁTICODELO 6 19
extremos
il A. Otro )x donde
l punto en
dibuja la
de la recta
nte los cuatro
ducentes a la
RATO CAS II 998-1999
Instruccionea) Duraciób) Tienes
ejercicioc) La puntud) Contestae) Puedes
de resul
Ejercicio 1(a) [1 pun
(b) [1'5 pu
Ejercicio 2
es derivable
Ejercicio 3
calcula los
(a)
(b)
Ejercicio 4los planos d
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. nto] Dibuja
untos] Halla
2. [2'5 punt
e.
3. [2’5 punt
siguientes d
[1 punto]
[1'5 puntos
4. [2’5 puntde ecuacion
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
el recinto li
y x=
a el área del
os] Calcula
tos] Sabiend
determinant3 3 1
5a b
d eg h
s] 222
a bd eg h
+++
tos] Halla lanes respectiv
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
imitado por 2 1,x +
l recinto con
a a y b sabie
( )f x⎧⎪= ⎨⎪
do que adg
tes y enunci1555
cfi
c bf ei h
a distancia vas 2x y+ +
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción A
los semieje2yx
=
nsiderado e
endo que la
25
ax xa bxx
⎧ +⎨
+⎩
2b ce fh i
=
ia las propie
entre el orig2 4z = y
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
es positivos
e
en el apartad
función :f
si 2
si 2
x
x
≤
>.
2
edades que u
gen de coor 2x y z− +
BM
M
ón A o bien r
odos los proces
de coorden
1y x= −
do anterior.
: ,→ de
utilices:
rdenadas y 2.=
BACHILLERMATEMÁTIODELO 1 19
ealizar únicam
sos conducente
nadas y las c
efinida por
la recta inte
RATO CAS II 999-2000
mente los cuatr
es a la obtenció
curvas
ersección de
ro
n
e
Instruccionea) Duraciób) Tienes
ejercicioc) La puntud) Contestae) Puedes
de resul
Ejercicio 1dimensione
Ejercicio 2
(a) [1 pun
punto d
(b) [1'5 pu
Ejercicio 3recta dada p
Ejercicio 4
(a)
(b) (c)
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. [2’5 puntes del que ti
2.
ntos] Dibuja
de abscisa x
untos] Calc
3. [2’5 punpor las ecua
4. Considera
[1 punto]correspond[1 punto] [0'5 punto
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
tos] De entiene área má
a el recinto l
1x = y el ej
ula el área d
ntos] Calculaciones
a el sistema
] Halla todiente tiene Resuelve el
os] Discute
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
tre todos losáxima.
limitado po
e de abscisa
del recinto c
la las coord
1x −
de ecuacion
3
xxx
λ +⎧⎪ −⎨⎪ −⎩
odos los vinfinitas so
l sistema pael sistema p
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción B
s rectángulo
or la curva y
as.
considerado
denadas del
1 3 zy= + =
nes 2 2
7
yz
y zλ
+ =+ =
− − =
valores deloluciones. ara los valorpara los rest
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
os de 40 kil
294
xy −= ,
o en el apart
punto simé
4 .2
z −
3 1
1λ
== −= +
.
l parámetro
res de λ entantes valor
BM
M
ón A o bien r
odos los proces
lómetros de
la recta tang
tado anterio
étrico del (l
o λ para
n el apartadores de λ .
BACHILLERMATEMÁTIODELO 1 19
ealizar únicam
sos conducente
e perímetro
gente a esta
or.
l, –3, 7) res
a los que
o anterior.
RATO CAS II 999-2000
mente los cuatr
es a la obtenció
, calcula las
a curva en e
specto de la
el sistema
ro
n
s
el
a
a
Instruccionef) Duracióg) Tienes
ejercicioh) La puntui) Contestaj) Puedes
de resul
Ejercicio 1α, ,2<α d
Ejercicio 2
Ejercicio 3
(a) [1’5 pun1).
(b) [1 puntdetermi
Ejercicio 4
(a) [1’75 pu
(b) [0’75 pu
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. [2’5 punde forma qu
2. [2’5 punto
3.
ntos] Halla
to] Determinada por (a
4. Considera
untos] Dete
untos] Resu
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
ntos] Considue
os] Calcula
la ecuación
mina los vala).
a el sistema
ermina a y buelve el sist
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
dera la func
2
α∫
lix→
n de la circu
lores de m
de ecuacion
24
3
⎪⎩
⎪⎨⎧
x
x
b sabiendo q
ema resulta
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción A
ción :f →
( )f x dx =
)tan((senim 20 xxx
→
unferencia q
m tales que
nes
3252
+−−+−+
azyxzyxzyx
que el sistem
ante.
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
,→ defini
9 .2
=
.))x
que pasa po
el punto
.31
===
b
ma tiene inf
ón A o bien r
odos los proces
MM
ida por (xf
or los punto
(3, m) esté
finitas soluc
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 2 19SEPTIEM
2) xx −+=
os (0, 2), (0
é en la cir
ciones.
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000 BRE
.2x Calcula
0, −2) y (−1
rcunferencia
ro
n
a
,
a
Instruccionef) Duracióg) Tienes
ejercicioh) La puntui) Contestaj) Puedes
de resul
Ejercicio 1función :f
tiene un pu810 ++ yx
Ejercicio 22xxy −α=
Ejercicio 3
más cercan
Ejercicio 4
(a) [1 punto
(b) [1’5 pun
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. [2’5 punt: ,→ de
unto de infl.0=
2. [2’5 punt2 y el eje de
3. [2’5 punto
no al punto A
4. Consider
o] Determin
ntos] Calcu
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
tos] Determefinida por
lexión en (−
tos] Calculae abscisas s
os] Calcula
1,1,1( −=A
ra la matriz
na para que
la 1−A para
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
mina el valor
( )f x−2, 12) y q
a el valor dea 36. Repr
el punto de
1−x
).1
A =
valores del
a .2=b
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción B
r de las con
2·(x ax b= +que en dich
de α, positivresenta la cu
e la recta de
221 =+= y
1 00 34 1
b−⎛
⎜= ⎜⎜ −⎝
parámetro
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
nstantes a, b
)bx c+ o punto la
vo, para quurva que se
ecuaciones
31
−+z
13 .b
− ⎞⎟⎟⎟− ⎠
b existe −A
ón A o bien r
odos los proces
MM
b y c sabien
recta tange
ue el área enobtiene par
s
.1−
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 2 19SEPTIEM
ndo que la g
ente tiene p
ncerrada enra dicho val
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000 BRE
gráfica de la
por ecuación
ntre la curvaor de α.
ro
n
a
n
a
Instruccionek) Duraciól) Tienes
ejerciciom) La puntun) Contestao) Puedes
de resul
Ejercicio 1(a) [1 p
(b) [1’5
Ejercicio 2metros alca
(a) [1’5 pu(b) [1 punt
segundo
Ejercicio 3)6,1(=A y
Ejercicio 4
calcula (A
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. punto] Dibuj
5 puntos] H
2. Un objetoanzada al ca
untos] Calcuto] Teniendos.
3. [2’5 puny )2,5(=B
4. [2’5 punt
) .21 AAt −
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
uja el recinto
Halla el área
o se lanza vabo de t segu
ula el tiempdo en cuent
ntos] Deter) y tiene su
tos] Dada la
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
o limitado p
,2+= xey
a del recinto
verticalmentundos, vien
)(th
o transcurrita que la ve
rmina la eccentro sobr
a matriz
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción A
por las curva
xey −=
o considerad
te hacia arrine dada por
555 t −−=
ido hasta alclocidad es
cuación de re la recta y
4321⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=A
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
as
y =x
do en el apar
iba desde un
.5 2te−
canzar la al),(')( thtv =
la circunf.2xy =
,⎟⎟⎠
⎞
ón A o bien r
odos los proces
MM
.0
rtado anteri
n determina
tura máxim, calcula la
ferencia que
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 3 19JUNIO
ior.
ado punto. L
ma y el valorvelocidad a
e pasa por
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000
O
La altura en
r de ésta. al cabo de 2
los puntos
ro
n
n
2
s
A
Instruccionek) Duraciól) Tienes
ejerciciom) La puntun) Contestao) Puedes
de resul
Ejercicio 1con un campts/metro yárea del terr
Ejercicio 2
Ejercicio 3
ABCD. El v
(a) [0’75 pu
Ejercicio 4
(a) [1 punt(b) [1’5 pu
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. [2’5 punmino recto. y el de la vareno rectan
2. [2’5 punt
3. Los punto
vértice C co
untos] Dete
4. Considera
to] Halla losuntos] Toma
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
tos] Se dispSi el preci
alla de los regular de áre
tos] De term
os 3,3(=A
onsecutivo d
ermina el vé
a la matriz
s valores deando ,1=λ
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
pone de 28io de la valestantes ladea máxima q
mina a, b y c
)5,3 y =B
de B está en
értice C.
A
e λ para los resuelve el
A
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción B
88.000 pts. Plla que ha d
dos es de 10que se pued
c para que la
)2,3,3( so
n la recta de
(b) [0’75 p
1001121
⎜⎜⎜
⎝
⎛
λλ=
que la matrl sistema es
000
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zyx
A
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
Para vallar de ponerse
00 pts/metrode vallar?
a curva y =
on los vértic
ecuaciones
puntos] De
.01
⎟⎟⎟
⎠
⎞
λ
riz A no tiencrito en form
.⎟⎟⎟
⎠
⎞
ón A o bien r
odos los proces
MM
un terreno en el lado
o, ¿cuáles so
cbxxa
++= 2
ces consecu
s 16
−−= yx
etermina el v
ne inversa. ma matricia
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 3 19JUNIO
rectangulardel camino
on las dime
c sea la sig
utivos de un
.2
1+= z
vértice D.
al
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000
O
r colindanteo es de 800nsiones y e
guiente:
n rectángulo
ro
n
e 0 el
o
Instruccionep) Duracióq) Tienes
ejercicior) La puntus) Contestat) Puedes
de resul
Ejercicio 1Considera l
(a) [1'5(b) [1 p
Ejercicio 2
(a) [1'5(b) [1 p
Ejercicio 3rectas r y s
Ejercicio 4
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. la función
5 puntos] Cpunto] Calc
2. Considera
5 puntos] Cpunto] Calc
3. [2’5 pundefinidas re
4. Considera
(a) [0'75(b) [0'75(c) [1 pu
son l
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
:f →
Calcula los lícula el valor
a la función
Calcula (1∫cula una prim
tos] Halla lespectivame
1x −
a las matrice
A =
5 puntos] H5 puntos] Hunto] Encue
linealmente
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
, definida p
( )f x⎧⎪= ⎨⎪⎩
ímites laterar de la deriv
:f →
1 ) xx e dx+ ⋅ ⋅mitiva de f c
las ecuacioente por
1 2 zy= − =
es 3 2
,4 3⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
alla los valoalla la matr
entra los pos
dependient
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción A
por
1
1 s1 0
xe+
ales de f en vada de f en
, definida p
.x cuya gráfica
nes de la re
1,2
z −−
x−
xX
y⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ores de x e yriz 1A− y casibles valor
1A
m⎛
⋅⎜⎝
tes.
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
si 0.
si 0
x
x
≠
=
0.x = ¿Es f 1.x =
por ( )f x =
a pase por e
ecta que se
4 11 3
y− +=−
y U ⎛= ⎜⎝
y tales que lcula 1A U−
es de m par
m⎞⎟⎠
y 1m
⎛⎜⎝
ón A o bien r
odos los proces
MM
f continua e
(1 ) .xx e+ ⋅
el punto (0,
apoya perp
.2z=
79⎞⎟⎠
.
.AX U= .
ra los que lo⎞⎟⎠
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 4 19
en 0x = ?
3).
pendicularm
os vectores
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000
mente en las
ro
n
s
Instruccionep) Duracióq) Tienes
ejercicior) La puntus) Contestat) Puedes
de resul
Ejercicio 1alcanza un es tangente Ejercicio 2
¿Qué repre Ejercicio 3respectivam Ejercicio 4
(a) [1 pu
corre(b) [1 pu(c) [0'5 p
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. [2’5 punmáximo en a su gráfica
2. [2’5 punt
senta geom
3. [2’5 punmente, en lo
4. Considera
unto] Hallspondiente
unto] Resuepuntos] Dis
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
tos] Determn 1,x = quea en el punt
tos] Calcula
métricamente
ntos] Calcus planos 2x
a el sistema
la todos lotiene al me
elve el sistemscute el siste
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
mina una fu su gráfica to de abscis
a la siguient2
0∫
e?
ula el volum2 1x y z− + −
de ecuacion
x λ+⎧⎪⎨⎪⎩
os posiblesnos dos soluma para los ema para lo
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción B
unción polinpasa por el a 0.x =
te integral d2
2 4dx
x x+ +
men de un 1 0= y 2
nes
( 1)
2
y zy z
x y z
λ λ+ −+
+ −
valores duciones distvalores de
os restantes
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
nómica de gpunto (1,1)
definida
3+.
cubo sabie2 2x y z− + −
1 1
3
zzz
=== −
del parámettintas. λ obtenidovalores de
ón A o bien r
odos los proces
MM
grado 3 sab) y que la re
endo que d5 0− = .
tro λ par
os en el aparλ .
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 4 19
biendo que vecta de ecua
dos de sus
ra los que
rtado anteri
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000
verifica queación y x=
caras están
el sistema
ior.
ro
n
e x
n,
a
Instruccioneu) Duracióv) Tienes
ejerciciow) La puntux) Contestay) Puedes
de resul
Ejercicio 1
Ejercicio 2
(a) (b)
(c)
Ejercicio 3
Ejercicio 4al plano de
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. [2'5 punt
2. Sea f la f
[1 punto [1 punto
locales d[0'5 punesbozo d
3. [2'5 punt
4. [2'5 puntecuación 3
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
tos] Calcula
función defi
] Halla las ao] Determine f.
ntos] Teniene la gráfica
os] Discute
tos] Halla la3 2x y z+ + −
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
a el valor de
finida para x
asíntotas dena los interv
ndo en cuede f.
e y resuelve
x
xλ⎧⎪⎨⎪⎩
as coordena7 0.− =
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción A
e la integral
2x ≠ por
e la gráfica dvalos de cre
enta los res
el siguiente
x y zx y z
x y z
λλ
λ
+ + =+ + =
+ + =
das del pun
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
l 3
2
1
( 5)x−
+∫
2
( )2
xf xx
=+
de f. ecimiento y
sultados de
e sistema se
000
===
.
nto simétrico
ón A o bien r
odos los proces
MM
.xe dx−⋅
.2
de decrecim
los aparta
egún los val
o del punto
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 5 19
miento, y lo
dos anterio
ores de λ :
(1, 2,P = −
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000
os extremos
ores, haz un
2)− respecto
ro
n
s
n
o
Instruccioneu) Duracióv) Tienes
ejerciciow) La puntux) Contestay) Puedes
de resul
Ejercicio 1coches entr
(a) [1(b) [1
Ejercicio 2
(a) (b)
Ejercicio 3
Ejercicio 4
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. Se ha obsre las 2 h. y
'25 puntos]'25 puntos]
2. Considera
[1 punto
[1'5 punt
3. [2'5 punt
4. [2'5 punt
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
servado quelas 6 h. de l
(v t] ¿A qué ho] ¿A qué ho
a las funcion
f
] Dibuja el
tos] Calcula
os] Resuelv
A =
os] Halla la
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
e en una cala tarde vien
3 2) 15t t t= −ora circulan ora circulan
nes , :f g
( ) 6f x x= −
recinto limi
a el área del
ve la ecuació
1 12 3
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
a ecuación d
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción B
arretera de sne dada por
2 72 8t+ + plos coches los coches
,→ defin
2 ,x ( )g x
itado por la
l recinto de
ón matricia
y B =
del plano cu
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
salida de unr
para [2,t ∈con mayor con menor
nidas por
| | ,x x= ∈
as gráficas d
scrito en el
l 2 2A X⋅ =
1 10 3
−⎛= ⎜ −⎝
uyo punto m
ón A o bien r
odos los proces
MM
na gran ciud
],6 . velocidad? velocidad?
.
de f y g. apartado an
2 ,B siendo
41⎞⎟⎠
.
más próximo
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 5 19
dad la veloc
Justifica la Justifica la
nterior.
o al origen e
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000
cidad de los
respuesta.respuesta.
es ( 1, 2,1).−
ro
n
s
.
Instruccionez) Duracióaa) Tienes
ejerciciobb) La puntucc) Contestadd) Puedes
de resul
Ejercicio 1
(a) [1'5 p(b) [1 pun
Ejercicio 2capacidad estudian lasdichas med
Ejercicio 3
que equidis
Ejercicio 4
(a) (b)
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. Sea :F
puntos] Detnto] Halla l
2. [2'5 puntde 250 cens medidas a
didas? Justi
3. [2'5 punt
stan de los p
4. Considera
[1'5 punt[1 punto
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
,→ la fu
ermina (1Fla ecuación
tos] Una emntímetros capropiadas pfica la respu
os] Determ
planos de ec
3x
a el sistema
tos] Discute] Resuelve
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
unción defin
( )F x
1). de la recta t
mpresa quiecúbicos. Ppara que la uesta.
ina los punt
12
x −
cuaciones
4 1x y+ − =
de ecuacion
101
bbb
⎛⎜⎜⎜⎝
e el sistemael sistema c
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción A
nida por
0(2
xt= +∫
tangente a l
ere fabricar Para utilizar
superficie t
tos de la rec
1 13
y z+= =
0 y 4
nes escrito
11
b xyz
⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ =⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠
a según los vcuando sea
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
) .t dt
la gráfica de
vasos de cr la mínimtotal del vas
cta de ecuac
22
z +
4 3 1x z− − =
en forma m
2 02
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
valores del pcompatible
ón A o bien r
odos los proces
MM
e F en el pu
cristal de foma cantidad
so sea mínim
ciones
0.
matricial
parámetro bindetermin
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 6 19
unto de absc
orma cilíndrposible de
ma. ¿Cuále
b. nado.
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000
cisa 1.x =
rica con unae cristal, sees deben ser
ro
n
a e r
Instruccionez) Duracióaa) Tienes
ejerciciobb) La puntucc) Contestadd) Puedes
de resul
Ejercicio 1
Estudia la d
Ejercicio 2
(a) (b)
Ejercicio 3intersección
y es tangen
Ejercicio 4para preparcontenidos
Suponiendode los tipos
U
PRUE
es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent
os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es
1. Sea :f
derivabilida
2. Considera
[1 punto[1'5 pun
3. [2'5 pun de las rect
nte a la recta
4. [2'5 puntrar tres tipoen kilos y p
o que el pres base de ca
UNIVERSI
EBA DE A
minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe
ora (puede ser pstar suficientem
,→ la fu
ad de f.
a las funcion
(f
o] Dibuja la tos] Calcula
ntos] Hallatas de ecuac
a 3 3x y− +
tos] Un mayos de mezcprecios del k
MokBras
ColomPrecio (cad
eparado de lfé?
IDADES DE
ACCESO A
icamente los c
indicada en lase ordenadamenprogramable o t
mente justificad
unción defin
nes [, : 0f g
( ) 2 (x sen= ⋅
región del pa el área de
a la ecuaciciones respe
2 4x y− − =
0.= Calcul
yorista de cacla, A, B y kilo en euro
Mka sil
mbia da Kg.)
las mezclas
E ANDALU
LA UNIVE
cuatro ejercicio
s mismas. nte y con letra ctener pantalla g
dos.
Opción B
nida en la fo
]0,2 ,π →
( )x y g
plano limitala región d
ión de la ectivas
0= y x −
la el punto d
afé disponeC, que en
os:
Mezcla A15 30 15 4
s no supone
UCIA
ERSIDAD
os de la Opció
clara. gráfica), pero to
orma ( )f x =
( ) (2g x sen=
ada por las gdescrita en e
circunferen
2 3 0y− + =
de tangencia
e de tres tiponvasa en sac
Mezcla B30 10 20 4'5
e coste algun
ón A o bien r
odos los proces
MM
3
3
13 0 13
x x
x x
⎧ − +⎪⎪
= ⎨⎪⎪ − +⎩
2 ).x
gráficas de fel apartado a
ncia cuyo c
.
a.
os base, Mocos de 60 K
Mezcla C1218304'7
no, ¿cuál es
ealizar únicam
sos conducente
BACHILLERMATEMÁTI
MODELO 6 19
2 si 3
si 2 si 3
+
+
f y de g. anterior.
centro es e
oka, Brasil yKg. con lo
C
s el precio d
mente los cuatr
es a la obtenció
RATO ICAS II 999-2000
2
2 1
1
x
x
x
≤ −
− < ≤
<
.
el punto de
y Colombias siguientes
de cada uno
ro
n
.
e
a, s
o
���������� ��� � ���������� ��� ���� �
������������ �� ������
������ �� ���� � �� �� ��� �������
�������
��������� ��
������������
� ��������� � ���� � �� �� ���
� ����� ��� ���� �� �� ������� ������� � ��� ��� �� �������� �� �� ������ � ���� ������� ������� � ��� ��� �� �������� �� �� ������ ��
� �� ��� ������ �� ���� ������ � �� �� ������ �� ��� ����
� ��� �� � �� ���� �������� � ������ ���������� � � ��� �� �� ������
������ ���� ����������� ����� ��� ���������� � ���� ��� ���� ����!��"# ���� ������� �������� �������� �� � �� �� ������ �� ����� ���� ����� �� �� ��!��� ��� ���� !������
������ �
������� �� ���� ����� $� ����� �%�� �� ������ ����� ��������� �� �� �� ��������� � & �� � �� ��� � � & ��� ��� ������� �� ���� ����� ���� � ��� ��� � � & �� '���� �� %���� �� ��
������� �� $�� � �� ������� ��!��� ���� � �& � ��� � �" &(��
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������������ �� ������
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�������
��������� ��
������������
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������� %� ���� ����� �������� ��� ��� ��
� �� �� �"� � ����� �"� ����� (" � �� ����"�
'���� � � � ������� ��� �� ��� � ��� ���� ��� � � � ��� � �������������� � � �� ��� � ��� ���� ��� � �
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������������ �� ������
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�������
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������������
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UNIVERSIDADES DE ANDALUCIAPRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
BACHILLERATO
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula
limx→0
Ln(1 + x)− senx
x · senx,
siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x.
Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = ex/3.
(a) [1 punto] ¿En que punto de la grafica de f la recta tangente a esta pasa por el origen de coordenadas?Halla la ecuacion de dicha recta tangente.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto acotado que esta limitado por la grafica de f , la rectatangente obtenida y el eje de ordenadas.
Ejercicio 3. Considera las matrices
A =
1 0 01 m 01 1 1
, B =
0 1 11 0 00 0 0
y C =
1 0 00 1 01 0 1
.
(a) [1’25 puntos] ¿Para que valores de m tiene solucion la ecuacion matricial A·X + 2B = 3C ?
(b) [1’25 puntos] Resuelve la ecuacion matricial dada para m = 1.
Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(1, 0,−1), B(3, 2, 1) y C(−7, 1, 5) son vertices consecutivos de unparalelogramo ABCD.
(a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto D.
(b) [1’5 puntos] Halla el area del paralelogramo.
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BACHILLERATO
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) −→ R la funcion definida por f(x) = (x − 1)Ln(x), dondeLn(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de f cuya grafica pasa por el punto (1,−3/2).
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funcion f : R −→ R definida por
f(x) =
x
1− |x| si x 6= −1 y x 6= 1,
0 si x = −1 o x = 1.
Ejercicio 3. Considera las matrices A =
−2 −2 1−2 1 −2
1 −2 −2
y X =
xyz
.
(a) [1’25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matrizA + λI no tiene inversa.
(b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema A ·X = 3X e interpreta geometricamente el conjunto de todassus soluciones.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1) son vertices consecutivos de un rectanguloABCD. Ademas, se sabe que los vertices C y D estan contenidos en una recta que pasa por el origen decoordenadas. Halla C y D.
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MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. En la figura adjunta puedes ver representada parte de la grafica de una funcion f que estadefinida en el intervalo (−3, 3) y que es simetrica respecto al origen de coordenadas.
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(a) [0’75 puntos] Razona cual debe ser el valorde f(0).
(b) [0’75 puntos] Completa la grafica de f .
(c) [1 punto] Halla f ′(x) para los x ∈ (−3, 3) enlos que dicha derivada exista.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : R −→ R definida por f(x) = ax2 + bx + ctiene maximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su grafica pasa por el punto (1, 4) y que∫ 3
−1f(x) dx =
322
. Halla a, b y c.
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema deecuaciones
2x + y + z = mxx + 2y + z = my
x + 2y + 4z = mz
tiene mas de una solucion.
Ejercicio 4. [ 2’5 puntos] Halla la ecuacion de la recta que pasa por el punto (3, 1,−1), es paralela alplano 3x− y + z = 4 y corta a la recta interseccion de los planos x + z = 4 y x− 2y + z = 1.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : R −→ R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d estal que f(0) = 4 y que su grafica tiene un punto de inflexion en (1, 2). Conociendo ademas que la rectatangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0, 2] la graficade la parabola de ecuacion y = x2/4. Halla el valor de m para el que las areas de las superficies rayadasson iguales.
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Ejercicio 3.
(a) [1 punto] Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 ¿Cuanto valeel determinante de la matriz 4A?
(b) [1’5 puntos] Dada la matriz B =
1 2 0λ 0 10 1 −2
, ¿para que valores de λ la matriz 3B + B2 no
tiene inversa?
Ejercicio 4. Considera la recta r ≡{
x + y − z = 1y = 2
y el plano π ≡ x− 2y + z = 0.
(a) [1 punto] Calcula el haz de planos que contienen a la recta r.
(b) [1’5 puntos] Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano π en una recta paralela alplano z = 0.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + ctiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f(1) = 1. Calcula a, b y c.
Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2 − 2x + 2.
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 3.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , la recta tangente obtenida yel eje OY.
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dadas las matrices
A =
−1 1 0
3 −2 01 5 −1
y B =
−5 0 3
1 −1 1−2 4 −3
,
halla la matriz X que cumple que A·X = (B ·At)t.
Ejercicio 4. Considera el punto P (−2, 3, 0) y la recta r ≡{
x + y + z + 2 = 02x− 2y + z + 1 = 0.
(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que pasa por P y contiene a la recta r.
(b) [1’5 puntos] Determina el punto de r mas proximo a P .
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BACHILLERATO
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : (0, 3) −→ R es derivable en todo punto de sudominio, siendo
f ′(x) =
{x− 1 si 0 < x ≤ 2,
−x + 3 si 2 < x < 3,
y que f(1) = 0. Halla la expresion analıtica de f .
Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion continua definida por
f(x) =
{|2− x| si x < a,
x2 − 5x + 7 si x ≥ a,
donde a es un numero real.
(a) [0’5 puntos] Determina a.
(b) [2 puntos] Halla la funcion derivada de f .
Ejercicio 3. Dada la matriz A =
1 1 1m2 1 1m 0 1
, se pide:
(a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.
(b) [1’5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2.
Ejercicio 4. Considera una recta r y un plano π cuyas ecuaciones son, respectivamente,
x = ty = tz = 0
(t ∈ R)
x = αy = αz = β
(α, β ∈ R).
(a) [1’25 puntos] Estudia la posicion relativa de la recta r y el plano π.
(b) [1’25 puntos] Dados los puntos B(4, 4, 4) y C(0, 0, 0), halla un punto A en la recta r de maneraque el triangulo formado por los puntos A, B y C sea rectangulo en B.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea Ln(1 − x2) el logaritmo neperiano de 1 − x2 y sea f : (−1, 1) −→ R lafuncion definida por f(x) = Ln(1− x2). Calcula la primitiva de f cuya grafica pasa por el punto (0, 1).
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + ctiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su grafica tiene un punto de inflexion en el
punto de abscisa x = −1. Conociendo ademas que∫ 1
0f(x) dx = 6, halla a, b y c.
Ejercicio 3. Considera los vectores −→u = (1, 1, 1), −→v = (2, 2, a) y −→w = (2, 0, 0).
(a) [1’25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores −→u , −→v y −→w son linealmente indepen-dientes.
(b) [1’25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores −→u +−→v y −→u −−→w son ortogonales.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sabiendo que las rectas
r ≡ x = y = z y s ≡
x = 1 + µy = 3 + µz = −µ
se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que estan a mınima distancia.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Dadas la parabola de ecuacion y = 1 + x2 y la recta de ecuacion y = 1 + x, se pide:
(a) [1’5 puntos] Area de la region limitada por la recta y la parabola.
(b) [1 punto] Ecuacion de la recta paralela a la dada que es tangente a la parabola.
Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = (x + 3) e−x.
(a) [0’5 puntos] Halla las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexion de su grafica.
(c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 3. Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matrizcuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
(a) [0’5 puntos] El determinante de A3.
(b) [0’5 puntos] El determinante de A−1.
(c) [0’5 puntos] El determinante de 2A.
(d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,respectivamente, 3C1 − C3, 2C3 y C2.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ x− 12
=y + 1
1=
z
3que equidista de
los planos
π1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π2 ≡
x = −3 + λy = −λ + µz = −6− µ.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Sea la funcion f : R −→ R definida por
f(x) =
{x2 + 3 si x ≤ 1,
2− x2 si x > 1.
(a) [1’25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1.
(b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcion f .
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina el valor positivo de λ para el que el area del recinto limitado porla parabola y = x2 y la recta y = λx es 1.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones:
x + my − z = −2 + 2mymx− y + 4z = 5 + 2z6x− 10y − z = −1.
(a) [1’5 puntos] Discute las soluciones del sistema segun los valores de m.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
Ejercicio 4. Se sabe que el plano Π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A,B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen decoordenadas.
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion del plano Π.
(b) [1 punto] Calcula el area del triangulo ABC.
(c) [0’75 puntos] Obten un plano paralelo al plano Π que diste 4 unidades del origen de coordenadas.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = 3√
x.
(a) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 1.
(b) [0’5 puntos] Esboza el recinto limitado por la grafica de f y la recta tangente obtenida.
(c) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto descrito en el apartado anterior.
Ejercicio 2. Considera la funcion f definida para x 6= −2 por f(x) =2x2 + 2x + 2
.
(a) [1’25 puntos] Halla las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1’25 puntos] Estudia la posicion relativa de la grafica de f respecto de sus asıntotas.
Ejercicio 3. Considera la matriz
M(x) =
2x 0 00 1 x0 0 1
,
donde x es un numero real.
(a) [1’5 puntos] ¿Para que valores de x existe (M(x))−1? Para los valores de x obtenidos, calcula lamatriz (M(x))−1.
(b) [1 punto] Resuelve, si es posible, la ecuacion M(3)·M(x) = M(5).
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular comun a las rectas
r ≡
x = 1 + αy = αz = −α
y s ≡
x = βy = 2 + 2βz = 0.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea la funcion f : R −→ R definida por f(x) = 2x3 − 6x + 4. Calcula elarea del recinto limitado por la grafica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondienteal maximo relativo de la funcion.
Ejercicio 2. Dada la funcion f definida para x 6= −1 por f(x) =x3
(1 + x)2, determina:
(a) [1’5 puntos] Las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1 punto] Los puntos de corte, si existen, de dicha grafica con sus asıntotas.
Ejercicio 3. Considera las matrices
A =
1 0 −10 m 34 1 −m
, B =
1−1
3
y X =
xyz
.
(a) [0’75 puntos] ¿Para que valores de m existe la matriz A−1?
(b) [1 punto] Siendo m = 2, calcula A−1 y resuelve el sistema A·X = B.
(c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema A·X = B para m = 1.
Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ x− 2y + 1 = 0 y la recta r ≡{
x− 3y + z = 0x− y + az + 2 = 0.
(a) [1’25 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta esta contenida en el plano.
(b) [1’25 puntos] Calcula el angulo formado por el plano π y la recta s ≡{
x− 3y + z = 0x− y + z + 2 = 0.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todos los rectangulos que tienen uno de sus vertices en el origen de
coordenadas, el opuesto de este vertice en la curva y =2x2
x2 − 1(x > 1), uno de sus lados situado sobre
el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene areamınima.
Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R −→ R definidas por
f(x) = 6− x2 y g(x) = |x|.
(a) [0’75 puntos] Dibuja el recinto acotado que esta limitado por las graficas de f y g.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto descrito en el apartado anterior.
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Una empresa cinematografica dispone de tres salas, A, B y C. Los preciosde entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un dıa la recaudacion conjunta de lastres salas fue de 720 euros y el numero total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala Ahubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudacion de 20euros mas. Calcula el numero de espectadores que acudio a cada una de las salas.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuacion de una circunferencia que pase por el punto (−1,−8) y seatangente a los ejes coordenados.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2 e−x2
.
(a) [0’75 puntos] Halla las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).
(c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x |x|.
(a) [0’75 puntos] Dibuja la region acotada del plano que esta limitada por la grafica de f y la bisectrizdel primer y tercer cuadrante.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area de la region descrita en el apartado anterior.
Ejercicio 3. Se sabe que el sistema de ecuaciones
x+ αy = 1x+ αz = 1y + z = α
tiene una unica solucion.
(a) [1’25 puntos] Prueba que α 6= 0.
(b) [1’25 puntos] Halla la solucion del sistema.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula el area del triangulo de vertices A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) y C, siendo C laproyeccion ortogonal del punto (1, 1, 1) sobre el plano x+ y + z = 1.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Halla una funcion f : R −→ R tal que su grafica pase por el punto M(0, 1),que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x− y + 3 = 0 y que f ′′(x) = 3x2.
Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = ex + 4e−x.
(a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremosabsolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas y las rectasx = 0 y x = 2.
Ejercicio 3. Sabiendo que∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y z
t u v
a b c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −6,
calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:
(a) [0’75 puntos]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−3x −y −z3t u v
3a b c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
(b) [0’75 puntos]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−2y x z
−2u t v
−2b a c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
(c) [1 punto]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y z
t u v
2x− a 2y − b 2z − c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera el punto A(0, 1,−1), la recta r ≡
{
x− 2y + z = 02x− z = −4
y el plano
π ≡ x− 2y − z = 2. Halla la ecuacion de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.
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e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1e /cm2 y para la base se empleaun material un 50% mas caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mınimo.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Siendo Lnx el logaritmo neperiano de x, halla el area de la superficie som-breada.
PSfrag replacements
1 3
y = Lnx
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones
x+ 3y + z = 1−x+ y + 2z = −1ax+ by + z = 4
tiene al menos dos soluciones distintas.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Se sabe que el triangulo ABC es rectangulo en el vertice C, que pertenece ala recta interseccion de los planos y+ z = 1 e y− 3z+3 = 0 , y que sus otros dos vertices son A(2, 0, 1)y B(0,−3, 0). Halla C y el area del triangulo ABC.
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d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. De una funcion f : [0, 4] −→ R se sabe que f(1) = 3 y que la grafica de su funcion derivadaes la que aparece en el dibujo.
PSfrag replacements
1 32 4
1
(a) [0’5 puntos] Halla la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 1.
(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . ¿En que punto alcanzala funcion f su maximo absoluto?
(c) [1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f .
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula el area del recinto acotado que esta limitado por la recta y = 2x y
por las curvas y = x2 e y =x2
2.
Ejercicio 3.
(a) [1 punto] Sabiendo que la matriz A =
3 −2 11 −4 −2
−1 a− 1 a
tiene rango 2, ¿cual es el valor de a?
(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones
3 −2 11 −4 −2
−1 −6 −5
x
y
z
=
10
−1
.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular comun a las rectas
r ≡
x = 1y = 1z = α
y s ≡
x = β
y = β − 1z = −1.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula∫
0
−2
1
x2 + 2x− 3dx.
Ejercicio 2. Se sabe que la funcion f : (−1, 1) −→ R definida por
f(x) =
2x2 −1
2x+ c si −1 < x < 0,
√1− x si 0 ≤ x < 1.
es derivable en el intervalo (−1, 1).
(a) [1 punto] Determina el valor de la constante c.
(b) [0’5 puntos] Calcula la funcion derivada f ′.
(c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la grafica de f que son paralelas a la rectade ecuacion y = −x.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones
x+ λy = λ
λx+ y + (λ− 1)z = 1λx+ y = 2 + λ
.
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro λ.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera las rectas
r ≡
{
x = y
z = 2y s ≡
{
x+ y = 1z = 3.
Halla la ecuacion de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0.
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e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Sea f : [0, 2π] −→ R la funcion definida por f(x) = ex (cosx+ senx).
(a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f .
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = (x − 1) e2x. Calcula laprimitiva de f cuya grafica pasa por el punto (1, e2).
Ejercicio 3. Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. Elmencionado tendero observa que si vende a 1e las botellas del tipo A, a 3e las del tipo B y a 4e lasdel tipo C, entonces obtiene un total de 20e . Pero si vende a 1e las del tipo A, a 3e las del B y a6e las del C, entonces obtiene un total de 25e .
(a) [0’75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el numero de botellas de cada tipoque posee el tendero.
(b) [1 punto] Resuelve dicho sistema.
(c) [0’75 puntos] ¿Puede determinarse el numero de botellas de cada tipo de que dispone el tendero?(Ten en cuenta que el numero de botellas debe ser entero y positivo).
Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 0,−1) y B(2,−1, 3).
(a) [1’5 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por B.
(b) [1 punto] Calcula el area del paralelogramo de vertices consecutivos ABCD sabiendo que la rectadeterminada por los vertices C y D pasa por el origen de coordenadas.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Considera la integral definida I =
∫
9
1
1
1 +√xdx.
(a) [1’5 puntos] Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables 1 +√x = t.
(b) [1 punto] Calcula I.
Ejercicio 2.
(a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta tangente a la parabola y = x2 que es paralela a la recta−4x+ y + 3 = 0.
(b) [1’5 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parabola y = x2 que pasan por elpunto (2, 0).
Ejercicio 3. Denotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M .
(a) [1 punto] Sabiendo que A =
(
a b
c d
)
y que det(A) = 4, calcula los siguientes determinantes:
det (−3At) y
∣
∣
∣
∣
2b 2a−3d −3c
∣
∣
∣
∣
.
(b) [0’75 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B3 = I.Calcula det(B).
(c) [0’75 puntos] Sea C una matriz cuadrada tal que C−1 = Ct. ¿Puede ser det(C) = 3? Razona larespuesta.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la distancia entre las rectas
r ≡
x = 0
y − 1 =z − 2
−3
y s ≡
{
x− 1 = 1− z
y = 0.
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MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = −1
3x2 +
2
3x+ 1.
(a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en un punto de la misma deordenada y = 1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area de la region del plano limitada por la grafica de f , la recta tangenteobtenida y el eje de ordenadas.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litrosde capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones
mx+ 2y + z = 2x+my = m
2x+mz = 0
.
(a) [0’5 puntos] Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es solucion del sistema.
(b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible.
(c) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera los puntos P (6,−1,−10), Q(0, 2, 2) y R, que es el punto de inter-seccion del plano π ≡ 2x+ λy + z − 2 = 0 y la recta
r ≡
{
x+ y + z − 1 = 0y = 1.
Determina λ sabiendo que los puntos P , Q y R estan alineados.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = 2− x |x|.
(a) [0’75 puntos] Esboza la grafica de f .
(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0.
(c) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Considera las funciones f : (0,+∞) −→ R y g : R −→ R definidas,respectivamente, por
f(x) = Lnx y g(x) = 1− 2x,
siendo Lnx el logaritmo neperiano de x. Calcula el area del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2y las graficas de f y g.
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Considera el sistema de ecuaciones
x+ 3y + z = 02x− 13y + 2z = 0
(a+ 2)x− 12y + 12z = 0
.
Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solucion trivial y resuelvelo para dichovalor de a.
Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ 2x+ y − z + 7 = 0 y la recta r ≡
x = 1 + λ
y = 1 + λ
z = 1 + 3λ.
(a) [1 punto] Halla la ecuacion de un plano perpendicular a π y que contenga a la recta r.
(b) [1’5 puntos] ¿Hay algun plano paralelo a π que contenga a la recta r? En caso afirmativo determinasus ecuaciones.
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e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que
limx→0
(
1
ex − 1−
a
2x
)
es finito. Determina el valor de a y calcula el lımite.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el area del recinto limitado por la
parabola de ecuacion y = (1
3x− b)2 y los ejes coordenados es igual a 8.
Ejercicio 3. Se sabe que
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −2. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los
siguientes determinantes:
(a) [0’75 puntos]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 a11 3 a12 15 a13
a21 a22 5a23
a31 a32 5a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(b) [0’75 puntos]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 a21 3 a22 3 a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(c) [1 punto]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 a13
a21 − a31 a22 − a32 a23 − a33
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Ejercicio 4. Las rectas
r ≡
{
x+ y − 2 = 02x+ 2y + z − 4 = 0
y s ≡
{
x+ y − 6 = 0x+ y − z − 6 = 0
contienen dos lados de un cuadrado.
(a) [1’25 puntos] Calcula el area del cuadrado.
(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que contiene al cuadrado.
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d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. De la funcion f : (−1,+∞) −→ R se sabe que f ′(x) =3
(x+ 1)2y que f(2) = 0.
(a) [1’25 puntos] Determina f .
(b) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f cuya grafica pasa por el punto (0, 1).
Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = (x+ 1)(x− 1)(x− 2).
(a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de f en el punto deabscisa x = 1.
(b) [1’5 puntos]Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . ¿Tiene puntos de inflexionla grafica de f?
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones
mx− y = 1x−my = 2m− 1
}
.
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores de m.
(b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solucion en la que x = 3.
Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(−1, 4, 3).
(a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos estan en el mismo plano. Halla la ecuacion de dicho plano.
(b) [0’75 puntos] Demuestra que el polıgono de vertices consecutivos ABCD es un rectangulo.
(c) [0’75 puntos] Calcula el area de dicho rectangulo.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Se sabe que la funcion f : (−1,+∞) −→ R definida por
f(x) =
x2 − 4x+ 3 si −1 < x < 0,
x2 + a
x+ 1si x ≥ 0.
es continua en (−1,+∞).
(a) [1’25 puntos] Halla el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0?
(b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el area de la region limitada por lacurva y = x2 y la recta y = bx es igual a 9/2.
Ejercicio 3. Considera las matrices
A =
(
1 0 10 1 2
)
, B =
1 00 10 0
y C =
1 00 21 0
.
(a) [1’25 puntos] Calcula A·B, A·C, At ·Bt y Ct ·At, siendo At, Bt y Ct las matrices transpuestas deA, B y C, respectivamente.
(b) [1’25 puntos] Razona cuales de las matrices A, B, C y A·B tienen matriz inversa y en los casos enque la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Dados los vectores −→u = (2, 1, 0) y −→v = (−1, 0, 1), halla un vector unitario −→wque sea coplanario con −→u y −→v y ortogonal a −→v .
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] De la funcion f : R −→ R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabeque tiene un maximo en x = −1, y que su grafica corta al eje OX en el punto de abscisa x = −2 y tieneun punto de inflexion en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, ademas, que la rectatangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.
Ejercicio 2. Se sabe que las dos graficas del dibujo corresponden a la funcion f : R −→ R definida porf(x) = x2ex y a su funcion derivada f ′.
(a) [1 punto] Indica, razonando la respuesta, cual es la grafica de f y cual la de f ′.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area de la region sombreada.PSfrag replacements
12
−1
−2
−3−4
123
2
1
Ejercicio 3. Sean las matrices A =
(
2 13 −2
)
, B =
(
0 1 03 −1 2
)
y C =
(
1 2 0−1 1 4
)
.
(a) [1 punto] ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calculala.
(b) [1’5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A ·X + C ·Bt = B ·Bt, siendo Bt la matriztranspuesta de B.
Ejercicio 4. Considera el punto P (2, 0, 1) y la recta r ≡
{
x+ 2y = 6z = 2.
(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a P y a r.
(b) [1’5 puntos] Calcula el punto simetrico de P respecto de la recta r.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Sea f la funcion definida para x 6= 0 por f(x) =x2 + 1
x.
(a) [1 punto] Estudia y determina las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).
(c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = e−x/2.
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 0.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area de la region acotada que esta limitada por la grafica de f , la recta deecuacion x = 2 y la recta tangente obtenida en (a).
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones
x+ y + z = −2−λx+ 3y + z = −7
x+ 2y + (λ+ 2)z = −5
.
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro λ.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
Ejercicio 4. Sean los vectores
−→v1 = (0, 1, 0), −→v2 = (2, 1,−1) y −→v3 = (2, 3,−1).
(a) [0’75 puntos] ¿Son los vectores −→v1 ,−→v2 y −→v3 linealmente dependientes?
(b) [0’75 puntos] ¿Para que valores de a el vector (4, a + 3,−2) puede expresarse como combinacionlineal de los vectores −→v1 ,
−→v2 y −→v3?
(c) [1 punto] Calcula un vector unitario y perpendicular a −→v1 y −→v2 .
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e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Sea f la funcion definida para x 6= 1 por f(x) =ex
x− 1.
(a) [0’5 puntos] Halla las asıntotas de la grafica de f .
(b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(c) [0’75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f .
(d) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula la integral∫
3x3 + x2 − 10x+ 1
x2 − x− 2dx.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones
x+ 3y + z = 5mx+ 2z = 0my − z = m
.
(a) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene una unica solucion. Calculadicha solucion para m = 1.
(b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calculadichas soluciones.
(c) [0’5 puntos] ¿Hay algun valor de m para el que el sistema no tiene solucion?
Ejercicio 4. Sea el punto P (1, 0,−3) y la recta r ≡
{
2x− y − 1 = 0x+ z = 0.
(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a P y es perpendicular a r.
(b) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto simetrico de P respecto de r.
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d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Determina los puntos de la parabola de ecuacion y = 5 − x2 que estanmas proximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen decoordenadas.
Ejercicio 2. Se sabe que la funcion f : [0,+∞) −→ R definida por
f(x) =
√ax si 0 ≤ x ≤ 8,
x2 − 32
x− 4si x > 8.
es continua en [0,+∞).
(a) [0’5 puntos] Halla el valor de a.
(b) [2 puntos] Calcula
∫
10
0
f(x) dx.
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Halla la matriz X que cumple que
A·X ·A−B =
(
0 00 0
)
,
siendo A =
(
3 1−2 −1
)
y B =
(
5 −21 3
)
.
Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(m, 0, 1), B(0, 1, 2), C(1, 2, 3) y D(7, 2, 1) estan en un mismo plano.
(a) [1’5 puntos] Halla m y calcula la ecuacion de dicho plano.
(b) [1 punto] ¿Estan los puntos B, C y D alineados?
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d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que
limx→0
x− α senx
x2
es finito. Determina el valor de α y calcula el lımite.
Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por
f(x) =
2x+ 4 si x ≤ 0,
(x− 2)2 si x > 0.
(a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la grafica de f con el eje de abscisas y esboza dicha grafica.
(b) [1’5 puntos] Halla el area de la region acotada que esta limitada por la grafica de f y por el eje deabscisas.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones
(b+ 1)x+ y + z = 2x+ (b+ 1)y + z = 2x+ y + (b+ 1)z = −4
.
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro b.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
Ejercicio 4. Se sabe que las rectas
r ≡
{
x+ y − z − 3 = 0x+ 2y − 2 = 0
y s ≡
{
ax+ 6y + 6 = 0x− 2z + 2 = 0
son paralelas.
(a) [1’5 puntos] Calcula a.
(b) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a las rectas r y s.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x 6= 0, por
f(x) =x2 − 1
x, g(x) = e1/x y h(x) = Ln |x|,
siendo Ln la funcion logaritmo neperiano.
(a) [1’75 puntos] Halla las ecuaciones de las asıntotas de las graficas de f , g y h.
(b) [0’75 puntos] Identifica, entre las que siguen, la grafica de cada funcion, justificando la respuesta.
Grafica 1 Grafica 2 Grafica 3 Grafica 4
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula
∫
0
−1
Ln (2 + x) dx, siendo Ln la funcion logaritmo neperiano.
Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =
0 0 −1−1 1 −11 0 b
.
(a) [1’25 puntos] Determina el valor de b para el que A2 − 2A+ I = O.
(b) [1’25 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A·X − 2At = O, donde At denota lamatriz transpuesta de A.
Ejercicio 4. Considera las rectas r ≡
{
x+ z − 2 = 0x− y − 1 = 0
y s ≡x
2= y − 1 =
z
3.
(a) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano π que contiene a s y es paralelo a r.
(b) [1’25 puntos] Calcula la distancia de la recta r al plano π.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) =5x+ 8
x2 + x+ 1.
(a) [0’5 puntos] Calcula los puntos de corte de la grafica de f con los ejes coordenados.
(b) [0’5 puntos] Halla las asıntotas de la grafica de f .
(c) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).
(d) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x2 − 5x+ 4.
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 3.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area de la region acotada que esta limitada por el eje de ordenadas, porla grafica de f y por la recta tangente obtenida.
Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A =
(
2 11 2
)
.
(a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A− xI no tiene inversa.
(b) [1’5 puntos] Halla los valores de a y b para los que A2 + aA+ bI = O.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas
r ≡
x = 6 + λ
y = 1− 2λz = 5− 7λ
y s ≡
{
2x− 3y + 1 = 03x− y − 2 = 0.
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PLANES DE 1994 yDE 2002
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] De un terreno se desea vender unsolar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas igua-les como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallarlas lindes de las tres parcelas (los bordes y las separacionesde las parcelas), determina las dimensiones del solar para quela longitud de la valla utilizada sea mınima.
Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales:
(a) [0’5 puntos]
∫
cos (5x+ 1) dx.
(b) [0’5 puntos]
∫
1√
(x+ 2)3dx.
(c) [1’5 puntos]
∫
1
0
xe−3x dx.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones
5x+ 2y − z = 0x+ y + (m+ 4)z = my
2x− 3y + z = 0
.
(a) [1 punto] Determina los valores del parametro m para los que el sistema tiene una unica solucion.
(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solucion en la quez = 19.
Ejercicio 4. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los vertices de un triangulo.
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion del plano π que contiene al triangulo.
(b) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen decoordenadas.
(c) [1 punto] Calcula el area del triangulo ABC.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Se sabe que la grafica de la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx+ c esla que aparece en el dibujo.
(a) [1’25 puntos] Determina f .
(b) [1’25 puntos] Calcula el area de la region sombreada.
PSfrag replacements
1 2−1−2
y = f(x)
1
Ejercicio 2. Sea f la funcion definida para x 6= 2 por f(x) =x2 − 4x+ 3
x− 2.
(a) [1 punto] Estudia y determina las asıntotas de la grafica de f .
(b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(c) [0’75 puntos] Calcula, si existen, el maximo y el mınimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntosen los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Alvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Alvaro dice a Marta: si tedoy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo quetiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.
Ejercicio 4. Considera el punto A(0,−3, 1), el plano π ≡ 2x−2y+3z = 0 y la recta r ≡ x+3 = y =z − 3
2.
(a) [1 punto] Determina la ecuacion del plano que pasa por A y contiene a r.
(b) [1’5 puntos] Determina la ecuacion de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. De la funcion f : (0,+∞) −→ R definida por f(x) =ax2 + b
xse sabe que la recta tangente
a su grafica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = −2.
(a) [1’5 puntos] Calcula a y b.
(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2 sen(2x). Calcula laprimitiva de f cuya grafica pasa por el punto (0, 1).
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones
x+my + z = 0x+ y +mz = 2mx+ y + z = m
.
(a) [1 punto] ¿Para que valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?
(b) [1’5 puntos] ¿Para que valores de m el sistema admite solucion en la que x = 1?
Ejercicio 4. Se sabe que las rectas
r ≡
x = 1 + t
y = −1− t
z = b+ t
y s ≡
{
x− y + z = 36x+ 2z = 2
estan contenidas en un mismo plano.
(a) [1’25 puntos] Calcula b.
(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que contiene a las rectas r y s.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. De una funcion f : R −→ R se sabe que f(0) = 2 y que f ′(x) = 2x.
(a) [1 punto] Determina f .
(b) [1’5 puntos] Calcula el area de la region limitada por la grafica de f , por el eje de abscisas y porlas rectas de ecuaciones x = −2 y x = 2.
Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = (x− 1)2 e−x.
(a) [0’5 puntos] Halla las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen,sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtieneny valores que alcanza la funcion).
(c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 3. [2’5 puntos] En una excavacion arqueologica se han encontrado sortijas, monedas ypendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Ademas, 4sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformadoe irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o unpendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.
Ejercicio 4. Considera un plano π ≡ x+ y +mz = 3 y la recta r ≡ x = y − 1 =z − 2
2.
(a) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos.
(b) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean perpendiculares.
(c) [1 punto] ¿Existe algun valor de m para que la recta r este contenida en el plano π?
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. De una funcion f : [0, 5] −→ R se sabe que f(3) = 6 y que su funcion derivada esta dadapor
f ′(x) =
5x− 2 si 0 < x < 1,
x2 − 6x+ 8 si 1 ≤ x < 5.
(a) [1 punto] Calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 3.
(b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).
Ejercicio 2. Considera la integral definida I =
∫
8
3
1√1 + x− 1
dx.
(a) [1’25 puntos] Expresala aplicando el cambio de variables√1 + x− 1 = t.
(b) [1’25 puntos] Calcula I.
Ejercicio 3. Sabiendo que |A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b c
d e f
g h i
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los
siguientes determinantes:
(a) [1 punto] | − 3A| y |A−1|.
(b) [0’75 puntos]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c b a
f e d
2i 2h 2g
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
(c) [0’75 puntos]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b a− c
d e d− f
g h g − i
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Ejercicio 4. Sean los planos π1 ≡ 2x+ y − z + 5 = 0 y π2 ≡ x+ 2y + z + 2 = 0.
(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que esta en el plano π1 y que suproyeccion ortogonal sobre el plano π2 es el punto (1, 0,−3).
(b) [1 punto] Calcula el punto simetrico de P respecto del plano π2.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la funcion logaritmoneperiano.
(a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de lafuncion f (puntos donde se alcanzan y valor de la funcion).
(b) [1’5 puntos] Calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de inflexion deabscisa negativa.
Ejercicio 2. Sea f la funcion definida por
f(x) ={
ex − 1 si x ≥ 0xe−x2
si x < 0
(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dichopunto.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas y la rectax = −1.
Ejercicio 3. Sean −→u = (x, 2, 0), −→v = (x,−2, 1) y −→w = (2,−x,−4x) tres vectores de R3.
(a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes.
(b) [1’5 puntos] Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.
Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuacion
x = a + ty = 1− 2 tz = 4− t
y s la recta de ecuacionx− 1
2=
y + 21
=z
3
(a) [1’5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan.
(b) [1 punto] Calcula el punto de corte.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula
lımx→ 1
(1
Lnx− 1
x− 1
)
siendo Ln la funcion logaritmo neperiano.
Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) =
−a
xsi x ≤ −1
x2 + 1 si x > −1
(a) [0’75 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua.
(b) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
(c) [1’25 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas y las rectasx + 2 = 0 y x− 2 = 0.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales
λx + y − z = 1x + λy + z = λx + y + λz = λ2
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro λ.
(b) [1 punto] Resuelvelo para λ = 2.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla un punto A de la recta r de ecuacion x = y = z y un punto B de la
recta s de ecuacion x =y
−1=
z + 12
de forma que la distancia entre A y B sea mınima.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2 − |x|(a) [0’75 puntos] Estudia la derivabilidad de f .
(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .
(c) [0’75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la funcion).
Ejercicio 2. Calcula
(a) [1’5 puntos]∫
5x2 − x− 160x2 − 25
dx.
(b) [1 punto]∫
(2x− 3) · tg (x2 − 3x) dx, siendo tg la funcion tangente.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales
λx− y − z = −1x + λy + z = 4x + y + z = λ + 2
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro λ.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones
{x = 0
y − 1 =z − 3
2que
equidistan del plano π de ecuacion x + z = 1 y del plano π′ de ecuacion y − z = 3.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma uncuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma delas areas de ambos recintos sea mınima.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla la funcion f : R −→ R sabiendo que f ′′(x) = 12x − 6 y que la rectatangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuacion 4x− y − 7 = 0.
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve AB t X = −2C, siendo Bt la matriz traspuesta de B y
A =(
1 0 32 −1 0
), B =
( −1 3 00 2 −2
)y C =
(1 40 −1
).
Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 0,−2) y B(−2, 3, 1).
(a) [1 punto] Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del triangulo de vertices A, B y C, donde C es un punto de la rectade ecuacion −x = y − 1 = z. ¿Depende el resultado de la eleccion concreta del punto C?
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Determina un punto de la curva de ecuacion y = x e−x2en el que la pendiente
de la recta tangente sea maxima.
Ejercicio 2. Sea I =∫ 2
0
x3
√1 + x2
dx.
(a) [1’25 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable t = 1 + x2.
(b) [1’25 puntos] Calcula el valor de I.
Ejercicio 3. Considera A =(
a 10 −a
), siendo a un numero real.
(a) [1 punto] Calcula el valor de a para que A2 −A =(
12 −10 20
).
(b) [1 punto] Calcula, en funcion de a, los determinantes de 2A y At, siendo At la traspuesta de A.
(c) [0’5 puntos] ¿Existe algun valor de a para el que la matriz A sea simetrica? Razona la respuesta.
Ejercicio 4. Considera el plano π de ecuacion 2x+y−z+2 = 0 y la recta r de ecuacionx− 5−2
= y =z − 6
m
(a) [1 punto] Halla la posicion relativa de r y π segun los valores del parametro m.
(b) [0’75 puntos] Para m = −3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.
(c) [0’75 puntos] Para m = −3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Sea f la funcion definida por f(x) =x4 + 3
x, para x 6= 0.
(a) [0’75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f .
(c) [0’75 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 2. [2’5 puntos] El area del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y =x2
ae y =
√ax,
con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a.
Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve
2 0 51 1 −2
−1 1 1
xyz
+
−2
23
=
502
Ejercicio 4. Considera el punto P (3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones{
x + y − z − 3 = 0x + 2z + 1 = 0
(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene al punto P y a la recta r.
(b) [1’5 puntos] Determina las coordenadas del punto Q simetrico de P respecto de la recta r.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.
(a) [1’5 puntos] Sea f : R −→ R la funcion dada por f(x) = ax2+b. Halla los valores de a y b sabiendo
que∫ 6
0f(x) dx = 6 y que la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion f en el punto
de abscisa 3 vale −12.
(b) [1 punto] Sea f : R −→ R la funcion dada por f(x) = x2 + p x + q. Calcula los valores de p y q
sabiendo que la funcion f tiene un extremo en x = −6 y su valor en el es −2.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula ∫(x2 − 1) e−x dx
Ejercicio 3. Sea
A =
1 1 −10 m− 3 3
m + 1 2 0
(a) [1 punto] Determina los valores de m ∈ R para los que la matriz A tiene inversa.
(b) [1’5 puntos] Para m = 0 y siendo X =(
x y z), resuelve X A =
(3 1 1
).
Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuacionx− 5
2=
y + 2−1
=z
4y s la recta dada por
{3x− 2y + z = 2
−x + 2y − 3z = 2
(a) [1’5 puntos] Determina la posicion relativa de ambas rectas.
(b) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f (x) =x2 − x + 1x2 + x + 1
(a) [0’75 puntos] Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y losvalores que alcanza en ellos la funcion f .
(c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla el area del recinto limitado por la grafica de la funcion f(x) = senx ylas rectas tangentes a dicha grafica en los puntos de abscisas x = 0 y x = π.
Ejercicio 3. Sea A =(
4 21 3
)y sea I la matriz identidad de orden dos.
(a) [1’25 puntos] Calcula los valores λ ∈ R tales que |A− λI| = 0.
(b) [1’25 puntos] Calcula A2 − 7A + 10 I.
Ejercicio 4. Considera la recta r de ecuaciones{
x + y + z = 1x− 2y + 3z = 0
(a) [1’25 puntos] Determina la ecuacion del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ.
(b) [1’25 puntos] Calcula la proyeccion ortogonal del punto A(1, 2, 1) sobre la recta r.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (1, +∞) −→ R la funcion dada por f(x) =x (Lnx)2
(x− 1)2, siendo Ln la
funcion logaritmo neperiano. Estudia la existencia de asıntota horizontal para la grafica de esta funcion.
En caso de que exista, hallala.
Ejercicio 2. Sea f : [0, 4] −→ R una funcion tal que su funcion derivada viene dada por
f ′(x) =
23
x si 0 < x < 3
−2x + 8 si 3 ≤ x < 4
(a) [1’75 puntos] Determina la expresion de f sabiendo que f(1) =163
.
(b) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 1.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales
x− y + z = 2x + λy + z = 8
λx + y + λz = 10
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro λ.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2.
Ejercicio 4. Considera los puntos A(2, 1, 2) y B(0, 4, 1) y la recta r de ecuacion x = y − 2 =z − 3
2
(a) [1’5 puntos] Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B.
(b) [1 punto] Calcula el area del triangulo de vertices ABC.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. Se sabe que la funcion f : [0, 5] −→ R definida por f(x) =
{ax + bx2 si 0 ≤ x < 2
−4 +√
x− 1 si 2 ≤ x ≤ 5es derivable en el intervalo (0, 5).
(a) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b.
(b) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sean las funciones f y g : [0,+∞) −→ R , dadas por f(x) = x2 y g(x) = λ√
x,donde λ es un numero real positivo fijo. Calcula el valor de λ sabiendo que area del recinto limitado por
las graficas de ambas funciones es13
.
Ejercicio 3. Considera las matrices
A =
1 1 02 1 1
m− 4 1 1−m
, X =
xyz
y O =
000
(a) [1 punto] Halla el valor de m ∈ R para el que la matriz A no tiene inversa.
(b) [1’5 puntos] Resuelve AX = O para m = 3.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuacion de un plano que sea paralelo al plano π de ecuacionx + y + z = 1 y forme con los ejes de coordenadas un triangulo de area 18
√3 .
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f (x) = x3 + a x2 + b x + 1
(a) [1’5 puntos] Determina a, b ∈ R sabiendo que la grafica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene unpunto de inflexion de abscisa x = 0.
(b) [1 punto] Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de f en el punto deinflexion.
Ejercicio 2. Sea f : (0, 2) −→ R la funcion definida por
f(x) ={
Ln x si 0 < x ≤ 1Ln (2− x) si 1 < x < 2
siendo Ln la funcion logaritmo neperiano.
(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1.
(b) [1’5 puntos] Calcula∫ 1′5
1f(x) dx.
Ejercicio 3. Considera las matrices
A =( −3
2
), B =
(2 1
)y C =
( −1 −26 6
)
(a) [1’25 puntos] Halla, si existe, la matriz inversa de AB + C.
(b) [1’25 puntos] Calcula, si existen, los numeros reales x e y que verifican: C
(xy
)= 3
(xy
).
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sea la recta r de ecuacionx− 1
1=
y + 23
=z − 3−1
y el plano π de ecuacion
x− y + z + 1 = 0. Calcula el area del triangulo de vertices ABC, siendo A el punto de corte de la recta r
y el plano π, B el punto (2, 1, 2) de la recta r y C la proyeccion ortogonal del punto B sobre el plano π.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular rectoque tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para queel volumen sea maximo.
Ejercicio 2. Ejercicio 2.
(a) [0’75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas y =15
1 + x2e y = x2 − 1.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area de dicho recinto.
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales
x + y − z = −43x + λy + z = λ− 12x + λy = −2
(a) [1’25 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro λ.
(b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema para λ = 1.
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla las ecuaciones parametricas de una recta sabiendo que corta a la recta rde ecuacion x = y = z, es paralela al plano π de ecuacion 3x+2y− z = 4 y pasa por el punto A(1, 2,−1).
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- Sea f : (0,+∞) −→ R la funcion definida por f(x) =3x + 1√
x.
(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos def (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
(b) [1 punto] Calcula el punto de inflexion de la grafica de f .
Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x |x − 2|.
(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 2.
(b) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
(c) [1 punto] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f y el eje de abscisas.
Ejercicio 3.- Sean I la matriz identidad de orden 2 y A =
(
1 m
1 1
)
.
(a) [1’25 puntos] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A − I)2 = O, donde O esla matriz nula de orden 2.
(b) [1’25 puntos] Para m = 2, halla la matriz X tal que AX − 2AT = O, donde AT denota la matriztraspuesta de A.
Ejercicio 4.-
(a) [1’25 puntos] Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3) entres partes iguales.
(b) [1’25 puntos] Determina la ecuacion del plano perpendicular al segmento AB que pasa por supunto medio.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Determina una funcion f : R −→ R sabiendo que su derivada viene dadapor f ′(x) = x2 +x− 6 y que el valor que alcanza f en su punto de maximo (relativo) es el triple del valorque alcanza en su punto de mınimo (relativo).
Ejercicio 2.- Sea f : (−1,+∞) −→ R la funcion definida por f(x) = Ln(x + 1) (Ln denota la funcionlogaritmo neperiano).
(a) [1 punto] Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 0.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , la recta tangente obtenida enel apartado anterior y la recta x = 1.
Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones
ax + y + z = 4x − ay + z = 1x + y + z = a + 2
.
(a) [1’5 puntos] Resuelvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para a = −2.
Ejercicio 4.- Considera los vectores ~u = (1, 1,m), ~v = (0,m,−1) y ~w = (1, 2m, 0).
(a) [1’25 puntos] Determina el valor de m para que los vectores ~u, ~v y ~w sean linealmente dependientes.
(b) [1’25 puntos] Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector ~w comocombinacion lineal de los vectores ~u y ~v.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Determina dos numeros reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadradoses maximo.
Ejercicio 2.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas mediante
f(x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3.
(a) [1’25 puntos] Esboza las graficas de f y de g calculando sus puntos de corte.
(b) [1’25 puntos] Calcula el area de cada uno de los dos recintos limitados entre las graficas de f y g.
Ejercicio 3.- Considera la matriz A =
(
1 −11 λ
)
.
(a) [1 punto] Determina la matriz B = A2 − 2A.
(b) [0’75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.
(c) [0’75 puntos] Calcula B−1 para λ = 1.
Ejercicio 4.- Considera los planos de ecuaciones x − y + z = 0 y x + y − z = 2.
(a) [1 punto] Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planosdados.
(b) [1’5 puntos] Determina los puntos que equidistan de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenecen a la rectainterseccion de los planos dados.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que larecta tangente a la grafica de f en su punto de inflexion es la recta y = 2x + 3.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Dada la funcion f : R −→ R definida por f(x) = Ln(1 + x2), halla la primitiva de f cuya grafica pasapor el origen de coordenadas (Ln denota la funcion logaritmo neperiano).
Ejercicio 3.-
(a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de A =
1 1 00 1 11 0 1
.
(b) [1’5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuelvelo usando la matriz A−1
hallada en el apartado anterior,x + y = 1y + z = −2
x + z = 3
.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(0, 3,−1) y B(0, 1, 5).
(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de x sabiendo que el triangulo ABC de vertices A(0, 3,−1), B(0, 1, 5)y C(x, 4, 3) tiene un angulo recto en C.
(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que pasa por los puntos (0, 1, 5) y (3, 4, 3) y es paralelo
a la recta definida por las ecuaciones
{
x − y + z = 02x + y = 3
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- Sea f : (0,+∞) −→ R la funcion definida por f(x) = x2Ln(x) (Ln denota la funcionlogaritmo neperiano).
(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos def (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
(b) [1 punto] Calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x =√
e.
Ejercicio 2.- Considera las funciones f : R −→ R y g : R −→ R definidas por
f(x) = ex−1 y g(x) = e1−x.
(a) [1’25 puntos] Esboza las graficas de f y de g y determina su punto de corte.
(b) [1’25 puntos] Calcula el area del recinto limitado por el eje OY y las graficas de f y g.
Ejercicio 3.- Considera las matrices A =
(
α 12 3
)
y B =
(
2 0−1 1
)
.
(a) [0’75 puntos] Determina los valores de α para los que la matriz A tiene inversa.
(b) [1’75 puntos] Para α = 1, calcula A−1 y resuelve la ecuacion matricial AX = B.
Ejercicio 4.-
Sea r la recta definida porx − 2
3=
y − k
4=
z
5y s la recta definida por
x + 2
−1=
y − 1
2=
z − 3
3.
(a) [1’25 puntos] Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto.
(b) [1’25 puntos] Determina la ecuacion del plano que contiene a las rectas r y s.
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c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. Elprecio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centımetro cuadrado, respectivamente. Porotra parte, la suma de los perımetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Como hemos de elegirlos lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mınimo?
Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x(x − 3)2.
(a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(b) [0’5 puntos] Haz un esbozo de la grafica de f .
(c) [1 punto] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f y el eje de abscisas.
Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones
x + y + z = 02x + λ y + z = 2x + y + λ z = λ − 1
.
(a) [1’5 puntos] Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 1.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos]Halla la ecuacion de la recta contenida en el plano de ecuacion x + 2y + 3z − 1 = 0 que corta perpendi-
cularmente a la recta definida por
{
x = 2z + 4y = 2z + 3
en el punto (2, 1,−1).
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
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Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos]
De entre todos los rectangulos situados en el primercuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejescoordenados y un vertice en la recta r de ecuacionx
2+ y = 1 (ver figura), determina el que tiene mayor
area.
1
2 X
Yr
Ejercicio 2.- Sea I =
∫
2
2 − exdx.
(a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t = ex.
(b) [1’5 puntos] Calcula I.
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Clasifica y resuelve el siguiente sistema segun los valores de a,
x + y + z = 0(a + 1)y + 2z = y
x − 2y + (2 − a)z = 2z
.
Ejercicio 4.-
Considera la recta r definida porx − 1
α=
y
4=
z − 1
2y el plano π de ecuacion 2x − y + βz = 0.
Determina α y β en cada uno de los siguientes casos:
(a) [1 punto] La recta r es perpendicular al plano π.
(b) [1’5 puntos] La recta r esta contenida en el plano π.
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d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
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Opcion B
Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2e−x.
(a) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que sealcanzan).
(b) [1 punto] Estudia y determina las asıntotas de la grafica de f .
Ejercicio 2.- Sea f : (−2, 0) −→ R la funcion definida mediante f(x) =
α
xsi −2 < x ≤ −1
x2 − β
2si −1 < x < 0.
(a) [1’5 puntos] Determina α y β sabiendo que f es derivable.
(b) [1 punto] Calcula
∫
−1
−2
f(x) dx.
Ejercicio 3.- Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales
−λx + y + (λ + 1) z = λ + 2x + y + z = 0
(1 − λ)x − λ y = 0
tiene mas de una solucion.
(a) [1’5 puntos] Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ.
(b) [1 punto] Halla todas las soluciones del sistema.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula la distancia del punto P (1,−3, 7) a su punto simetrico respecto dela recta definida por
3x − y − z − 2 = 0x + y − z + 6 = 0
}
.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = (x − 3)ex.
(a) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
(b) [1’5 puntos] Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en su punto de inflexion.
Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) =
{
1 + αx si x < 0e−x si x ≥ 0
(a) [1 punto] Determina el valor de α sabiendo que f es derivable.
(b) [0’5 puntos] Haz un esbozo de la grafica de f .
(c) [1 punto] Calcula
∫
1
−1
f(x) dx.
Ejercicio 3.-
(a) [1’5 puntos] Calcula el valor de m para el que la matriz A =
(
1 01 m
)
verifica la relacion 2A2−A = I
y determina A−1 para dicho valor de m.
(b) [1 punto] Si M es una matriz cuadrada que verifica la relacion 2M2−M = I, determina la expresionde M−1 en funcion de M y de I.
Ejercicio 4.-
(a) [1’5 puntos] Encuentra la ecuacion de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralelaa los planos π1 de ecuacion x + y + z = 3
√3 y π2 de ecuacion −x + y + z = 2.
(b) [1 punto] Halla la distancia de la recta r al plano π1.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Sea f la funcion definida, para x 6= 2 y x 6= −2, por f(x) =x2 + 3
x2 − 4.
(a) [1 punto] Determina las asıntotas de la grafica de f .
(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f
(puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
(c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 2.-Calcula
(a) [1 punto]
∫
3x + 4
x2 + 1dx.
(b) [1’5 puntos]
∫ π
4
0
x cos(2x) dx.
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lohacen compatible:
x + m y = m
m x + y = m
m x + m y = 1
.
Ejercicio 4.- Considera el punto P (1, 0,−2) y la recta r definida por
{
2x − y = 52x + y − 4z = 7
(a) [1’5 puntos] Determina la recta perpendicular a r que pasa por P .
(b) [1 punto] Halla la distancia entre el punto P y su simetrico Q respecto de la recta r.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Determina la funcion f : R −→ R sabiendo que f ′′(x) = x2 − 1 y que la recta tangente a la grafica de f
en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Calcula β > 0 para que el area del recinto limitado por las graficas de las funciones f : R −→ R yg : R −→ R definidas por
f(x) = x2 y g(x) = −x2 + 2β2
sea 72 (unidades de area).
Ejercicio 3.- Sea A la matriz A =
3 0 λ
−5 λ −5λ 0 3
e I la la matriz identidad de orden 3.
(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de λ para los que el determinante de A − 2I es cero.
(b) [1’25 puntos] Calcula la matriz inversa de A − 2I para λ = −2.
Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuacion 2x + 2y − z − 6 = 0 y el punto P (1, 0,−1).
(a) [1’25 puntos] Calcula la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π.
(b) [1’25 puntos] Encuentra el punto simetrico de P respecto del plano π.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Se quiere construir un deposito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidadde 500 m3. ¿Que dimensiones ha de tener el deposito para que su superficie sea mınima?
Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2.
(a) [0’75 puntos] Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisax = 1.
(b) [1’75 puntos] Dibuja el recinto limitado por la grafica de f , la recta tangente obtenida en el apartadoanterior y el eje OX. Calcula su area.
Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones
x + y + m z = 1m y − z = −1
x + 2m y = 0
.
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores de m.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuacion 2x + 2y − z − 6 = 0 y la recta r definida por
x − 1
2=
y + 1
−1=
z
2.
(a) [1’25 puntos] Calcula el area del triangulo cuyos vertices son los puntos de corte del plano π conlos ejes de coordenadas.
(b) [1’25 puntos] Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al plano π.
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDADMATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas por
f(x) = x2 + ax+ b y g(x) = c e−(x+1)
Se sabe que las graficas de f y g se cortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma rectatangente.
(a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c.
(b) [0’5 puntos] Halla la ecuacion de dicha recta tangente.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+∞) −→ R y g : [0,+∞) −→ R definidas por
f(x) =√x y g(x) = 3√x
calcula el area del recinto limitado por las graficas de f y g.
Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
x+ λy − z = 02x+ y + λz = 0x+ 5y − λz = λ+ 1
(a) [1’5 puntos] Clasifıcalo segun los valores del parametro λ.
(b) [1 punto] Resuelvelo para λ = −1.
Ejercicio 4.- Los puntos A(−2, 3, 1), B(2,−1, 3) y C(0, 1,−2) son vertices consecutivos delparalelogramo ABCD.
(a) [1 punto] Halla las coordenadas del vertice D.
(b) [1 punto] Encuentra la ecuacion de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC.
(c) [0’5 puntos] Halla la ecuacion del plano que contiene a dicho paralelogramo.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funcion definida por
f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d
Se sabe que f tiene un maximo local en x = 1, que el punto (0, 1) es un punto de inflexion de su grafica
y que∫ 1
0f(x) dx =
94
. Calcula a, b, c y d.
Ejercicio 2.- Sea g : (0,+∞) −→ R la funcion dada por g(x) = lnx (ln denota logaritmo neperiano).
(a) [0’75 puntos] Justifica que la recta de ecuacion y =1ex es la recta tangente a la grafica de g en el
punto de abscisa x = e.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de g, el eje de abscisas y la rectatangente del apartado anterior.
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Dadas las matrices
A =
1 1 10 1 01 2 2
, B =
1 00 −12 1
y C =(−2 0 −1
1 −1 1
)
Calcula la matriz P que verifica AP −B = CT (CT es la matriz traspuesta de C).
Ejercicio 4.- Sea la recta r dada por{
2x+ y −mz = 2x− y − z = −m
y el plano π definido por x+my − z = 1
(a) [1 punto] ¿Existe algun valor de m para el que π y r son paralelos ?
(b) [1 punto] ¿Para que valor de m esta la recta contenida en el plano ?
(c) [0’5 puntos] ¿Cual es la posicion relativa de la recta y el plano cuando m = 0 ?
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funcion f : R −→ R definida por f(x) =x+ 1ex
, determina la
ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en su punto de inflexion.
Ejercicio 2.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas mediante
f(x) = x3 − 4x y g(x) = 3x− 6
(a) [0’75 puntos] Determina los puntos de corte de las graficas de f y g.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto limitado por dichas graficas.
Ejercicio 3.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones
x+ y = 1ky + z = 0
x+ (k + 1)y + kz = k + 1
(a) [1’25 puntos] Determina el valor del parametro k para que sea incompatible.
(b) [1’25 puntos] Halla el valor del parametro k para que la solucion del sistema tenga z = 2.
Ejercicio 4.- Considera la recta r definida por{
x = 03y + z = 3
y la recta s definida por{
2x− z = 3y = 0
(a) [1 punto] Estudia la posicion relativa de r y s.
(b) [1’5 puntos] Halla la ecuacion general de un plano que contiene a s y es paralelo a r.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Sea la funcion f : [0, 4] −→ R definida por
f(x) ={x2 + ax+ b si 0 ≤ x < 2c x+ 1 si 2 ≤ x ≤ 4
(a) [2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable enel intervalo abierto (0, 4) y que f(0) = f(4).
(b) [0’5 puntos] ¿En que punto del intervalo se anula la derivada de la funcion?
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula ∫ 1
0x ln(x+ 1) dx
(ln denota la funcion logaritmo neperiano).
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Halla los valores del parametro m que hacen compatible el sistema deecuaciones:
−x+ 2y − 2z = 22x+ y + z = mx+ 3y − z = m2
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Sea la recta r definida por{
x = 1x− y = 0
y sean los planos π1, de ecuacion x+ y + z = 0, y π2, de ecuacion y + z = 0. Halla la recta contenida enel plano π1, que es paralela al plano π2 y que corta a la recta r.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- Sea f : [0, 2π] −→ R la funcion definida por f(x) = ex(senx+ cosx) .
(a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexion de la grafica de f .
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones dadas por
f(x) = x2 y g(x) = a (con a > 0)
Se sabe que el area del recinto limitado por las graficas de las funciones f y g es 4/3. Calcula el valor dela constante a.
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y A =
0 −1 −2−1 0 −2
1 1 3
. Calcula, si
existe, el valor de k para el cual (A− kI)2 es la matriz nula.
Ejercicio 4.- Se sabe que los planos de ecuaciones x + 2y + bz = 1, 2x + y + bz = 0,3x+ 3y − 2z = 1 se cortan en una recta r.
(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de b.
(b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones parametricas de r.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funcion definida por
f(x) ={
x |x| si x ≤ 26− x si x > 2
(a) [0’75 puntos] Esboza la grafica de f .
(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f .
(c) [0’75 puntos] Calcula el area comprendida entre la grafica de f y el eje de abscisas.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula ∫ e1x2 ln(x) dx
(ln denota la funcion logaritmo neperiano).
Ejercicio 3.- Dadas las matrices A =
1 1 21 2 11 1 1
y B =
1 0 22 0 4−1 1 1
(a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B.
(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuacion matricial AX + B = A+ I, donde I denota la matriz identidadde orden 3.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Dados los puntos A(2, 1,−1) y B(−2, 3, 1) y la recta r definida por lasecuaciones {
x− y − z = −13x− 2z = −5
halla las coordenadas de un punto de la recta r que equidiste de los puntos A y B.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion A
Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = (3x− 2x2) ex .
(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Ejercicio 2.- Considera las funciones f :(
0,π
2
)−→ R y g : (0,+∞) −→ R definidas por
f(x) =sen x
cos3 xy g(x) = x3 lnx ( ln denota la funcion logaritmo neperiano).
(a) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x =π
3(se puede hacer el cambio de variable t = cos x ).
(b) [1’25 puntos] Calcula∫g(x) dx .
Ejercicio 3.-
(a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parametro m para los que el siguiente sistemade ecuaciones tiene mas de una solucion:
2x+ y + z = mxx+ 2y + z = myx+ 2y + 4z = mz
(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.
Ejercicio 4.- Se considera la recta r definida por mx = y = z + 2, (m 6= 0),
y la recta s definida porx− 4
4= y − 1 =
z
2(a) [1’5 puntos] Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.
(b) [1 punto] Deduce razonadamente si existe algun valor de m para el que r y s son paralelas.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funcion f definida, para x 6= 0, por f(x) =ex + 1ex − 1
determina las
asıntotas de su grafica.
Ejercicio 2.- Sea g : R −→ R la funcion definida por g(x) =14x3 − x2 + x .
(a) [0’5 puntos] Esboza la grafica de g.
(b) [0’75 puntos] Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de g en el punto de abscisax = 2.
(c) [1’25 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de g y el eje de abscisas.
Ejercicio 3.- Dada la matriz A =
1 3 kk 1 31 7 k
(a) [1’25 puntos] Estudia el rango de A en funcion de los valores del parametro k.
(b) [1’25 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(2, 0, 1), B(−1, 1, 2), C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0).
(a) [1 punto] Calcula la ecuacion del plano π que contiene a los puntos B, C y D.
(b) [1’5 puntos] Halla el punto simetrico de A respecto del plano π.
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CURSO 2009-2010
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Entre todos los triangulos rectangulos de 5 metros de hipotenusa, determinalos catetos del de area maxima.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f : (−2,+∞) → R la funcion definida por f(x) = ln(x + 2). Halla unaprimitiva F de f que verifique F (0) = 0. (ln denota el logaritmo neperiano).
Ejercicio 3.- Considera el sistema
3x − 2y + z = 52x − 3y + z = −4
}(a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al anadirle la
ecuacion x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado.
(b) [1 punto] ¿Existe algun valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solucion?
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 2, 4) y la recta r definida por
x + 22
= y − 1 =z − 1
3
(a) [1’5 puntos] Determina la ecuacion del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B.
(b) [1 punto] Halla la ecuacion del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B.
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CURSO 2009-2010
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Sea f : (0,+∞) → R la funcion definida por f(x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota ellogaritmo neperiano.
(a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la grafica de f en los que la recta tangente a lagrafica es paralela a la recta de ecuacion x− 2y + 1 = 0.
(b) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta tangente y de la recta normal a la grafica de f en el puntode abscisa x = 3.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el area del recinto comprendido entrela parabola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas.
Ejercicio 3.- Sean las matrices
A =
1 2 3α 1 30 2 α
y B =
−234
(a) [0’5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa.
(b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1.
(c) [0’75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 1, 1), B(0,−2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2,−1, 2).
(a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vertices A, B, C y D.
(b) [1’5 puntos] Determina la ecuacion de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano quecontiene a los puntos A, B y C.
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CURSO 2009-2010
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- Sea f la funcion definida como f(x) =ax2 + b
a− xpara x 6= a.
(a) [1’5 puntos] Calcula a y b para que la grafica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una asıntotaoblicua con pendiente −4.
(b) [1 punto] Para el caso a = 2, b = 3, obten la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en elpunto de abscisa x = 1.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula ∫ π2
0sen(
√x)dx
Sugerencia: Efectua el cambio√
x = t.
Ejercicio 3.- Sean las matrices
A =
1 0 −10 m 34 1 −m
, B =
1 03 2−1 1
y C =(
5 −3 4−3 −2 2
)(a) [0’5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible.
(b) [2 puntos] Resuelve la ecuacion matricial XA − Bt = C para m = 0. (Bt es la matriz traspuestade B).
Ejercicio 4.- Considera las rectas r y s de ecuaciones
x− 1 = y = 1− z y{
x− 2y = −1y + z = 1
(a) [0’75 puntos] Determina su punto de corte.
(b) [1 punto] Halla el angulo que forman r y s.
(c) [0’75 puntos] Determina la ecuacion del plano que contiene a r y s.
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CURSO 2009-2010
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula
lımx→0
ex − esen x
x2
Ejercicio 2.- Considera la funcion f dada por f(x) = 5−x y la funcion g definida como g(x) =4x
para x 6= 0.
(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las graficas de f y g indicando sus puntos de corte.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area de dicho recinto.
Ejercicio 3.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones
λx + y + z = λ + 22x − λy + z = 2x − y + λz = λ
(a) [1’75 puntos] Discutelo segun los valores de λ. ¿Tiene siempre solucion?
(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = −1.
Ejercicio 4.- Los puntos P (2, 0, 0) y Q(−1, 12, 4) son dos vertices de un triangulo. El tercer vertice Spertenece a la recta r de ecuacion {
4x + 3z = 33y = 0
(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta quepasa por P y S.
(b) [1 punto] Comprueba si el triangulo es rectangulo.
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CURSO 2009-2010
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea la funcion f : R → R dada por
f(x) =
ex(x2 + ax) si x ≤ 0
b x2 + c
x + 1si x > 0
Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la grafica de f en elpunto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dada la funcion f definida por f(x) =3
x2 − 5x + 4para x 6= 1 y x 6= 4.
Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas, y las rectas x = 2, x = 3.
Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices
A =(−1 2
0 1
)y B =
(−3 0
2 −1
)(a) [0’75 puntos] Calcula A−1.
(b) [1’75 puntos] Resuelve la ecuacion matricial AXAt − B = 2I, donde I es la matriz identidad deorden 2 y At es la matriz traspuesta de A.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3).
(a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partesiguales.
(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A.
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CURSO 2009-2010
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funcion definida como f(x) = (x + 1) 3√
3− x. Halla lasecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la grafica de f en el punto de abscisa x = −5 yen el punto de abscisa x = 2.
Ejercicio 2.- Considera la funcion f : R → R definida por f(x) = x|2− x|.
(a) [1 punto] Esboza su grafica.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas y la rectade ecuacion x = 3.
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Obten un vector no nulo v = (a, b, c), de manera que las matrices siguientestengan simultaneamente rango 2.
A =
1 1 a1 0 b1 1 c
B =
2 0 a0 −1 b3 1 c
Ejercicio 4.- Considera el plano π definido por 2x− y + nz = 0 y la recta r dada por
x− 1m
=y
4=
z − 12
con m 6= 0.
(a) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π.
(b) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r este contenida en el plano π.
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Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 90 cm. Si se hace giraralrededor de uno de sus catetos, el triangulo engendra un cono. ¿Que medidas han de tener los catetosdel triangulo para que el volumen del cono engendrado sea maximo? (Recuerda que el volumen del cono
es: V =13πr2h).
Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g : R → R definidas por f(x) = 2− x2 y g(x) = |x|.
(a) [1 punto] Esboza sus graficas en unos mismos ejes coordenados.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por las graficas de f y g.
Ejercicio 3.- Sea la matriz
A =
5 −4 22 −1 1
−4 4 −1
(a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica 2A−A2 = I.
(b) [1’25 puntos] Calcula A−1. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula el area del triangulo cuyos vertices son los puntos de intersecciondel plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas.
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2009-2010
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Sea f la funcion definida como f(x) =x3
x2 − 1para x 6= ±1.
(a) [1 punto] Estudia y halla las asıntotas de la grafica de f .
(b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(c) [0’75 puntos] Esboza la grafica de f .
Ejercicio 2.- Dada la funcion f : (0,+∞) → R definida por f(x) = ln x, donde ln es la funcion logaritmoneperiano, se pide:
(a) [0’75 puntos] Comprueba que la recta de ecuacion y = −ex + 1 + e2 es la recta normal a lagrafica de f en el punto de abscisa x = e.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area de la region limitada por la grafica de f , el eje de abscisas y la rectanormal del apartado (a).
Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
(m + 2)x − y − z = 1−x − y + z = −1
x + my − z = m
(a) [1’75 puntos] Discutelo segun los valores de m.
(b) [0’75 puntos] Resuelvelo para el caso m = 1.
Ejercicio 4.- Sean los puntos A(1, 1, 1), B(−1, 2, 0), C(2, 1, 2) y D(t,−2, 2)
(a) [1’25 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D esten en el mismo plano.
(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B,que contenga al punto C.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los margenes superiore inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para queel gasto de papel sea mınimo.
Ejercicio 2.- Sea I =∫
51 +
√e−x
dx.
(a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t2 = e−x.
(b) [1’5 puntos] Determina I.
Ejercicio 3.-
(a) [1’75 puntos] Discute, segun los valores del parametro λ, el siguiente sistema de ecuaciones
−x + λy + z = λλx + 2y + (λ + 2)z = 4x + 3y + 2z = 6− λ
(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ = 0.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla la ecuacion del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones{x− 2y + 11 = 02y + z − 19 = 0
y contiene a la recta s definida por
x = 1− 5λy = −2 + 3λz = 2 + 2λ
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Considera la funcion f : [0, 4]→ R definida por:
f(x) ={
x2 + ax + b si 0 ≤ x ≤ 2cx si 2 < x ≤ 4
(a) [1’75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determinalos valores de a, b y c.
(b) [0’75 puntos] Para a = −3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde seobtienen y valores que se alcanzan).
Ejercicio 2.- Considera la funcion f : R→ R dada por f(x) = x2 + 4.
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 1.
(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la grafica de f , el eje de ordenadas y la recta deecuacion y = 2x + 3. Calcula su area.
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sean las matrices
A =(
1 0−1 1
), B =
1 0 00 −1 −10 1 2
y C =(
3 1 20 1 −2
)Calcula la matriz X que cumpla la ecuacion AXB = C.
Ejercicio 4.- Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones
x + y = 1, ay + z = 0 y x + (1 + a)y + az = a + 1
(a) [1’5 puntos] ¿Cuanto ha de valer a para que no tengan ningun punto en comun?
(b) [1 punto] Para a = 0, determina la posicion relativa de los planos.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funcion f : R → R definida como f(x) = a sen(x) + bx2 + cx + d,determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la grafica de f tiene tangente horizontalen el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f ′′(x) = 3 sen(x)− 10.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea la funcion f dada por f(x) =1
x2 + xpara x 6= −1 y x 6= 0.
Determina la primitiva F de f tal que F (1) = 1.
Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones
λx + 2y + 6z = 02x + λy + 4z = 22x + λy + 6z = λ− 2
(a) [1’75 puntos] Discutelo segun los valores del parametro λ.
(b) [0’75 puntos] Resuelvelo para λ = 2.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla el punto simetrico de P (1, 1, 1) respecto de la recta r de ecuacion
x− 12
=y
3=
z + 1−1
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Considera la funcion f : R → R definida por
f(x) =
e−x si x ≤ 0
1− x2 si 0 < x < 1
2x + 1
si 1 ≤ x
Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la funcion derivada de f .
Ejercicio 2.- Sean f, g : R → R las funciones definidas por f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) =12x2 + 1.
(a) [1 punto] Esboza las graficas de f y g, y halla su punto de corte.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por las graficas de ambas funciones y el eje deordenadas.
Ejercicio 3.- De la matriz A =(
a bc d
)se sabe que det(A) = 4. Se pide:
(a) [1’25 puntos] Halla det(−3At) y det(
2b 2a−3d −3c
). Indica las propiedades que utilizas.
(At es la matriz traspuesta de A).
(b) [0’75 puntos] Calcula det(A−1At).
(c) [0’5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(B).
Ejercicio 4.- Sean los puntos A(2, λ, λ), B(−λ, 2, 0) y C(0, λ, λ− 1).
(a) [1 punto] ¿Existe algun valor de λ ∈ R para el que los puntos A, B y C esten alineados? Justificala respuesta.
(b) [1’5 puntos] Para λ = 1 halla la ecuacion del plano que contiene al triangulo de vertices A, B y C.Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectangulocoronado con un semicırculo.
De entre todas las ventanas normandas de perımetro 10 m, halla las dimensionesdel marco de la de area maxima.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de b > 0, sabiendo que el area de la region comprendidaentre la curva y =
√x y la recta y = bx es de 4
3 unidades cuadradas.
Ejercicio 3.- Considera las matrices
A =
1 0 00 λ 10 −1 λ
y B =
0 0 11 0 00 1 0
(a) [1 punto] ¿Hay algun valor de λ para el que A no tiene inversa?
(b) [1’5 puntos] Para λ = 1, resuelve la ecuacion matricial A−1XA = B.
Ejercicio 4.- Dados los puntos A(1, 0, 0), B(0, 0, 1) y P (1,−1, 1), y la recta r definida por{
x− y − 2 = 0z = 0
(a) [2 puntos] Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades.
(b) [0’5 puntos] Calcula el area del triangulo ABP .
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Sea f :[
1e , 4
] → R la funcion definida por
f(x) =
x− ln(x) + a si 1e ≤ x ≤ 2
bx + 1− ln(2) si 2 < x ≤ 4
donde ln denota la funcion logaritmo neperiano.
(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo(
1e , 4
).
(b) [1’25 puntos] Para a = 0 y b =12
halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y
valores que se alcanzan).
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) → R la funcion definida por f(x) = x(1− ln(x)), dondeln denota la funcion logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya grafica pasa por el puntoP (1, 1).
Ejercicio 3.- Dadas las matrices
A =
1 1 02 t + 1 t− 1
−2t− 1 0 t + 3
y X =
xyz
(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de A segun los diferentes valores de t.
(b) [0’75 puntos] Razona para que valores de t el sistema homogeneo AX = 0 tiene mas de unasolucion.
Ejercicio 4.- Dados el punto P (1, 1,−1) y la recta r de ecuaciones{
x + z = 1y + z = 0
(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a r y pasa por P .
(b) [1’5 puntos] Halla la ecuacion de la recta contenida en el plano de ecuacion y + z = 0, que esperpendicular a r y pasa por P .
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b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula la base y la altura del triangulo isosceles de perımetro 8 y de areamaxima.
Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g : R→ R definidas por f(x) = 6x− x2 y g(x) = x2 − 2x
(a) [0’75 puntos] Esboza sus graficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto limitado por las graficas de f y g.
Ejercicio 3.- Dadas las matrices
A =
α 1 −11 α −1−1 −1 α
y B =
011
(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α.
(b) [0’75 puntos] Para α = 2, resuelve la ecuacion matricial AX = B.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(−1, k, 3), B(k + 1, 0, 2), C(1, 2, 0) y D(2, 0, 1).
(a) [1’25 puntos] ¿Existe algun valor de k para el que los vectores ~AB, ~BC y ~CD sean linealmentedependientes?
(b) [1’25 puntos] Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro devolumen 1.
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a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Sea f la funcion definida por f(x) =3x4 + 1
x3para x 6= 0.
(a) [1’25 puntos] Estudia las asıntotas de la grafica de la funcion.
(b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (absci-sas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Ejercicio 2.- Sean f, g : R→ R las funciones definidas por f(x) = −14x2 + 4 y g(x) = x2 − 1
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = −2.
(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por las graficas de ambas funciones y la recta y = x+5.Calcula el area de este recinto.
Ejercicio 3.- Sean las matrices A =(
α 1−α 3
)y B =
(1 3 1−1 4 2
)
(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es112
A.
(b) [1’25 puntos] Para α = −3, determina la matriz X que verifica la ecuacion AtX = B, siendoAt la matriz traspuesta de A.
Ejercicio 4.- Dados el plano π de ecuacion x+2y−z = 0 y la recta r de ecuaciones{
3x− y = 5x + y − 4z = −13
(a) [0’75 puntos] Halla el punto de interseccion del plano π y la recta r.
(b) [1’75 puntos] Halla el punto simetrico del punto Q(1,−2, 3) respecto del plano π.
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d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funcion f : R→ R definida por f(x) = ax3 +bx2 +cx, determinaa, b y c sabiendo que su grafica tiene un punto de inflexion en (1,0), y que la recta tangente en ese puntotiene por ecuacion y = −3x + 3.
Ejercicio 2.- Sean f : R→ R y g : R→ R las funciones definidas por:
f(x) = 4− 3|x| y g(x) = x2
(a) [1 punto] Esboza las graficas de f y g. Determina sus puntos de corte.
(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por las graficas de f y g.
Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices que verifican:
A + B =(
4 23 2
)y A−B =
(2 4−1 2
)
(a) [1 punto] Halla las matrices (A + B)(A−B) y A2 −B2.
(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuacion matricial XA − XB − (A + B)t = 2I, siendo I la matrizidentidad de orden 2 y (A + B)t la matriz traspuesta de A + B.
Ejercicio 4.- Sea el punto P (2, 3,−1) y la recta r dada por las ecuaciones
x = 1y = −2λz = λ
(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano perpendicular a r que pasa por P .
(b) [1’5 puntos] Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simetrico de Prespecto de r.
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c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
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Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] En el primer cuadrante representamos un rectangulo de tal manera que tieneun vertice en el origen de coordenadas y el vertice opuesto en la parabola y = −x2 + 3. Determinalas dimensiones del rectangulo para que su area sea maxima.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula: ∫ π2
0x cos(x)dx
Ejercicio 3.- Sea la matriz
A =
3 0 λ−5 λ −5λ 0 3
(a) [1 punto] Determina los valores de λ para los que la matriz A − 2I tiene inversa, siendo I lamatriz identidad de orden 3.
(b) [1’5 puntos] Para λ = −2, resuelve la ecuacion matricial AX = 2X + I.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones
(x, y, z) = (−2, 0, 7) + λ(1,−2, 0) + µ(0, 1,−1) y 2x + y − z + 5 = 0
Determina los puntos de la recta r definida por x = y + 1 =z − 1−3
que equidistan de π1 y π2.
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c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unoscaballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que esta junto a la carretera nos cuesta 100euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuales son las dimensionesdel prado de area maxima que podemos cercar con 3000 euros?
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula un numero positivo a, menor que 2, para que el recinto limitado por
la parabola de ecuacion y =12x2 y las dos rectas horizontales de ecuaciones y = a e y = 2,
tenga un area de143
unidades cuadradas.
Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones
2x − 2y + 4z = 42x + z = a
−3x − 3y + 3z = −3
(a) [1’75 puntos] Discutelo segun los valores del parametro a.
(b) [0’75 puntos] Resuelvelo cuando sea posible.
Ejercicio 4.- Dada la recta r definida porx− 1
3=
y + 12
= −z + 3 y la recta s definida por{
x = 12y − z = −2
(a) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que pasa por el origen y contiene a r.
(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que contiene a s y es paralelo a r.
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Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x,es de 18 a 50 anos, los ingresos vienen dados por la formula −x2 + 70x, mientras que para edadesiguales o superiores a 50 anos los ingresos estan determinados por la expresion,
400x
x− 30
Calcula cual es el maximo de los ingresos y a que edad se alcanza.
Ejercicio 2.- Dada la funcion f : R→ R definida por f(x) = −2x2 + 3x− 1
(a) [0’5 puntos] Prueba que las rectas y = −x + 1 e y = 3x− 1 son tangentes a su grafica.
(b) [2 puntos] Halla el area del recinto limitado por la grafica de f y las rectas mencionadas en elapartado anterior.
Ejercicio 3.- Dada la matriz A =( −1 1
2 −1
)
(a) [1 punto] Demuestra que A2 + 2A = I y que A−1 = A + 2I, siendo I la matriz identidadde orden 2.
(b) [1’5 puntos] Calcula la matriz X que verifica la ecuacion A2 + XA + 5A = 4I.
Ejercicio 4.- Dada la recta r definida porx + 7
2=
y − 7−1
= z y la recta s definida por
x = 2y = −5z = λ
(a) [1’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta que corta perpendicularmente a ambas.
(b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre r y s.
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c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de lostrozos se construye un cuadrado y con el otro un rectangulo cuya base es doble que su altura. Calculalas longitudes de cada uno de los trozos con la condicion de que la suma de las areas de estas dos figurassea mınima.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la funcion f : (0, +∞) → R tal que f ′′(x) =1x
y su grafica
tiene tangente horizontal en el punto P (1, 1).
Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = 12
y |B| = −2.Halla:
(a) [0’5 puntos] |A3|.(b) [0’5 puntos] |A−1|.(c) [0’5 puntos] | − 2A|.(d) [0’5 puntos] |ABt|, siendo Bt la matriz traspuesta de B.
(e) [0’5 puntos] El rango de B.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, 2) y B(1, 2,−1).
(a) [1’25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuacionx− 1
3=
y
2= z que verifica que el
triangulo de vertices A, B y C tiene un angulo recto en B.
(b) [1’25 puntos] Calcula el area del triangulo de vertices A, B y D, donde D es el punto de corte delplano de ecuacion 2x− y + 3z = 6 con el eje OX.
UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2010-2011
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- Sea f : R→ R la funcion definida por f(x) = 4− x2
(a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta normal a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2.
(b) [1’5 puntos] Determina el punto de la grafica en el que la recta tangente es perpendicular a la rectax + 2y − 2 = 0.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula: ∫x3 + x2
x2 + x− 2dx
Ejercicio 3.- Dada la matriz
A =
0 3 41 −4 −5−1 3 4
(a) [0’5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A3 = −I, siendo I la matriz identidad deorden 3.
(b) [1’25 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa.
(c) [0’75 puntos] Calcula razonadamente A100.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones
3x− y + z − 4 = 0, x− 2y + z − 1 = 0 y x + z − 4 = 0
Halla la ecuacion de la recta que pasa por el punto P (3, 1,−1), es paralela al plano π1 y corta a la rectainterseccion de los planos π2 y π3.
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2010-2011
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion A
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se desea construir un deposito cilındrico cerrado de area total igual a 54 m2.Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen maximo.
Ejercicio 2.- Sea f : (−1,+∞) → R la funcion definida por f(x) = ln(x + 1), donde ln denota lafuncion logaritmo neperiano.
(a) [0’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la grafica de f , el eje OY y la recta y = 1. Calculalos puntos de corte de las graficas.
(b) [1’75 puntos] Halla el area del recinto anterior.
Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
−λx + y + z = 1x + λy + z = 2
λx + y + z = 1
(a) [1’75 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro λ.
(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = 0.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Determina el punto simetrico del punto A(−3, 1, 6) respecto de la recta r de
ecuaciones x− 1 =y + 3
2=
z + 12
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2010-2011
MATEMATICAS II
Instrucciones:
a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.
c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.
Opcion B
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : [1, +∞) → R la funcion definida por f(x) =√
x− 1. Determina elpunto P de la grafica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2, 0). ¿Cual es esa distancia?
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Halla: ∫ex
(e2x − 1)(ex + 1)dx
Sugerencia: efectua el cambio de variable t = ex.
Ejercicio 3.- Dada la matriz A =(
λ + 1 01 −1
)
(a) [1’25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz A2 + 3A no tiene inversa.
(b) [1’25 puntos] Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuacion AX + A = 2I, siendo I lamatriz identidad de orden 2.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0,−1) y B(2, 1, 0), y la recta r dada por{
x + y = 1x + z = 2
(a) [1’75 puntos] Determina la ecuacion del plano que es paralelo a r y pasa por A y B.
(b) [0’75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos P (1, 2, 1) y Q(3, 4, 1) esta contenidaen dicho plano.