Matematicas Grado 10-11-2012
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10°y 11°
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LO PARA EL FORTALECIMIENTO DE COMPETENCIAS EN
MATEMÁTICAS
GRADO
Módulo para el fortalecimiento de competencias en Matemáticas grado 10° y 11°ALCALDÍA DE MEDELLÍN2012
© ALCALDÍA DE MEDELLÍN
Aníbal Gaviria CorreaAlcalde de Medellín
Luz Elena Gaviria López Secretaria de Educación
Ana Lucia HincapiéSubsecretaria de Educación
Juan Diego Barajas LópezSubsecretario Administrativo
Luis Fernando CortésSubsecretario de Planeación
Elkin Ramiro Osorio VelásquezDirector Técnico Prestación del Servicio Educativo
Yolanda Ester Ariza RíosDirector Técnico de Recursos Humanos
Clara Cristina Ramírez TrujilloDirector Técnico de Educación Superior
Fabián Zuluaga GarcíaDirector Técnico de Buen Comienzo
Oslber Mauricio Ortiz HernándezCoordinador Olimpiadas del Conocimiento
Fredy de Jesús Pérez CarmonaCoordinador Red de MatemáticasEscuela del Maestro
Equipo Académico Aula Taller de MatemáticasUniversidad de Medellín - Departamento de Ciencias Básicas
José Alberto RúaDirector Proyecto Polya U. de M.
Carlos Octavio Gómez TabaresFredy de Jesús Pérez CarmonaRevisado y mejorado
Divegráficas Ltda.Diseño, diagramación e impresión
Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, por ningún medio inventado o por inventarse, sin el permiso previo y por escrito de la Alcaldía de Medellín. Hecho el depósito legal.
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Presentación
Medellín educada y educadora para la vida y la equidad, comprende la educación como herramienta privilegiada para la transformación social, en este sentido nuestro lema “Medellín un hogar para la vida” comprende la misma, como uno de los pilares de la
Administración Municipal. La Ciudad se ha venido transformando en un gran espacio pedagógico donde la educación, la cultura, la tecnología y el emprendimiento son los grandes protagonistas.
Es así, como la Secretaría de Educación consciente de la importancia de una formación de calidad, ha generado importantes espacios que buscan cualificar tanto los docentes, como los es-tudiantes de nuestra ciudad. Este módulo se expone como el resultado de uno de estos espacios: la estrategia Formación de Formadores, liderada por la Escuela del Maestro a través de la cual se busca articular todo el trabajo de formación docente con los diferentes proyectos que se tienen, entre ellos las Olimpiadas del Conocimiento.
Por esta vía, esperamos aportar a la formación de los estudiantes de nuestra ciudad, mejorar sus desempeños dentro del proyecto y sus posibilidades de buenas representaciones y de manera especial, dejar capacidad instalada al interior de las instituciones educativas a través de los docen-tes capacitados.
La selección del grupo de docentes que hace parte de esta estrategia se hizo con base en el criterio de reconocer a aquel tipo de docente que se destaca por su proactividad, prácticas pedagó-gicas y participación en espacios de formación consolidados por la Secretaría de Educación, como: Aulas Taller, Redes Pedagógicas de Formación e investigación, Diplomados, seminarios, cursos, entre otros.
Este módulo de formación elaborado por el Aula Taller de Lenguaje de la Escuela del Maestro es el resultado entonces del proceso vivido en la estrategia “Formación de Formadores”. Su cons-trucción se realizó pensando en promover en nuestros estudiantes el amor por el conocimiento, reconociendo que el proceso de aprendizaje es algo que se puede llevar a cabo de una manera di-dáctica y amena.
La construcción colectiva del módulo, permite la retroalimentación de los docentes que parti-ciparon en la formación, exalta lo valioso de esta construcción que servirá no sólo para capacitar a los estudiantes clasificados a la segunda fase de las Olimpiadas, sino que también será una impor-
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tante herramienta de trabajo para nuestros docentes y las Instituciones, quienes podrán utilizar su contenido para aplicarlo en el trabajo regular del aula de clase.
Esperamos que este material sea de gran utilidad para toda la comunidad educativa y que su contenido motive la discusión y reflexión frente a las competencias y temáticas abordadas, todo lo anterior como otro peldaño más en nuestro reto de hacer de Medellín un hogar para la vida.
LUZ ELENA GAVIRIA LÓPEZ ANA LUCÍA HINCAPIÉSecretaria de Educación Subsecretaria de Educación
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Introducción
Generalmente cuando preguntamos a las personas: ¿para qué sirven las matemáticas?, responden: “son importantes porque son una herramienta que nos permite resolver muchos de los problemas con los cuales nos enfrentamos en la vida cotidiana”. En parte
esa respuesta tiene sentido porque comúnmente usamos matemáticas para hacer cuentas en las tiendas y supermercados, al pagar los servicios; también para entender muchas de las formas y figuras que se encuentran en nuestro entorno, las formas de las casas, edificios y la manera de calcular algunas de las medidas de ellos. Muchas veces estos son los argumentos que se usan para justificar por qué son importantes las matemáticas en la escuela.
Pero las matemáticas sirven para muchas más cosas; ellas se encuentran de variadas formas en la vida cotidiana y requieren de la observación e identificación de una regularidad, a través de las matemáticas, podemos pensar de manera más ordenada y analizar muchos de los acontecimientos, y razonar sobre las cosas que en ellos intervienen. Las matemáticas nos ayudan a ir más allá del sentido común, posibilitando el conversar con otras personas sabiendo que lo que decimos tiene sentido; asimismo, nos sirven para ver otras posibilidades al resolver un problema y, de todas ellas, escoger la mejor.
Todas las ventajas que tienen las matemáticas las han llevado a convertirse en una ciencia que está presente en todos los grados de la escuela y el bachillerato; incluso, en muchas empresas y universidades buscan a las personas que hayan desarrollado ciertas habilidades para pensar matemáticamente.
Hasta acá solo hemos comentado algunas de las muchas razones por las cuales es importante aprender matemáticas; por todo ello, se organizó este módulo con algunas temáticas específicas de las matemáticas de grado décimo y undécimo con las que esperamos que usted pueda recordar algunas de las ideas que se han trabajado en clase y reforzar otras para que pueda seguir desarrollando pensamiento matemático.
En la primera unidad se hace un repaso sobre la importancia de los números naturales, algunas de las reglas que las componen y de tipos de problemas en los cuales se aplican. Posteriormente se trabajan algunas de las primeras ideas del concepto de función y se analiza, a través de este, el concepto de ecuación, en especial se refuerza una manera de aplicarlos en la resolución de algunos problemas.
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En la segunda unidad se estudian algunos elementos geométricos de figuras planas y de sólidos a través de situaciones problema, que permiten el desarrollo formal y la implementación de estos conceptos en una gran variedad de ejercicios.
La última unidad pretende mostrar cómo a través de las matemáticas también se puede hacer un estudio de situaciones azarosas, es decir, situaciones en las cuales no se tiene una certeza anticipada de que acontezca un hecho. Se muestra, en primer lugar, la importancia de interpretar información a través de gráficos y diagramas, y en segundo lugar, las técnicas de conteo y su implementación en problemas de probabilidad.
Cada unidad contiene una situación problema con el objetivo de motivar y dar sentido y significado a los conceptos matemáticos desarrollados; posteriormente se hace un acercamiento de las ideas matemáticas que correspondan. Hay variadas actividades para que usted trabaje en la clase, tanto de manera individual como colaborativa. Así mismo, la idea es que con su profesor pueda ir revisando los conceptos que va construyendo. Al final de cada unidad hay un conjunto de preguntas que se espera usted asuma como una oportunidad para continuar aprendiendo. Esas actividades pueden resolverse en casa con el apoyo de amigos y familiares, y serán revisadas posteriormente por su profesor.
Deseamos que este documento sea una experiencia que le ayude a adentrarse un poco más en el estudio de las matemáticas y pensar el mundo a través de ellas.
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Contenido
UNIDAD 1Componente numérico y Variacional1.1 Ecuaciones ......................................................................................................................141.2 Ecuaciones equivalentes ..................................................................................................141.3 Clasificación de las ecuaciones ........................................................................................141.4 Ecuaciones lineales (o de primer grado) con una incógnita ...............................................151.5 Función ...........................................................................................................................161.6 Notación de función ........................................................................................................171.7 Formas de representar una función ..................................................................................171.8 Evaluación de funciones ..................................................................................................181.9 Función lineal ..................................................................................................................181.10 Función constante ...........................................................................................................211.11 Ecuación lineal con dos incógnitas ..................................................................................221.12 La función identidad: y = x .............................................................................................221.13 Pendiente de una recta ....................................................................................................231.14 Sistemas de ecuaciones lineales .......................................................................................241.15 Función y ecuación cuadrática .........................................................................................271.16 Gráficas de la función cuadrática .....................................................................................271.17 Ecuación cuadrática asociada ax2 = 0 ..............................................................................281.18 Ecuación cuadrática asociada ax2 + c = 0 ......................................................................281.19 Ecuación cuadrática asociada ax2 + bx = 0 ....................................................................291.20 Ecuación cuadrática general ax2 + bx + c = 0 ...............................................................291.21 Función cuadrática .........................................................................................................321.22 Trigonometría plana.........................................................................................................331.23 Razones trigonométricas .................................................................................................331.24 Solución de triángulos rectángulos ..................................................................................341.25 Ángulo de elevación ........................................................................................................361.26 Ángulo de depresión .......................................................................................................361.27 Ley del seno ....................................................................................................................371.28 Ley del coseno .................................................................................................................371.29 Preguntas selección múltiple con única respuesta ............................................................41
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UNIDAD 2Componente espacial y métrico2.1 Situación problema (la fiesta de Tomás) ...........................................................................492.2 Unidad de superficie ........................................................................................................502.3 Áreas de figuras planas....................................................................................................512.4 Unidades de conversión ..................................................................................................522.5 Volumen del cilindro ......................................................................................................532.6 Poliedros y prismas .........................................................................................................552.7 Volumen del prisma .......................................................................................................572.8 Volumen de la pirámide ...................................................................................................572.9 Fórmulas básicas para figuras planas ...............................................................................612.10 Mapa conceptual sobre poliedros ....................................................................................622.11 Preguntas selección múltiple con única respuesta ............................................................63
UNIDAD 3Componente aleatorio3.1 Análisis de tablas y gráficas .............................................................................................773.2 Mapa conceptual .............................................................................................................813.3 Técnicas de conteo (análisis combinatorio) ......................................................................823.4 Reglas multiplicativas ......................................................................................................823.5 Permutaciones ................................................................................................................853.6 Combinaciones ...............................................................................................................873.7 Probabilidades .................................................................................................................903.8 Preguntas selección múltiple con única respuesta ............................................................93
Componente Númericoy Variacional
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El número y su uso Operaciones básicas con los números Relaciones Funciones y modelos matemáticos Línea recta y su modelo matemático Interceptos Simetrías Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Función y ecuación cuadrática
EL COMERCIANTE
El dueño de un supermercado de barrio, compra en la central mayorista, para vender en su negocio, treinta centenas de mangos por $185.453,45. Para llevarlos hasta el supermercado, paga de transporte $4.500,25; en el camino se le perdieron 85 unidades. En el supermercado, vende la unidad a $500,75.
Desarrolla las siguientes preguntas:
a. ¿Cuánto gana o pierde el dueño del supermercado, si vende todos los mangos que le quedaron?
b. Si los dueños del supermercado fueran cinco, ¿cuánto gana o pierde cada uno?c. Si vendiera los mangos a $450,25 c/u, ¿Cuánto gana o pierde el dueño del supermercado?d. Si los dueños del supermercado fueran ocho, ¿cuánto gana o pierde cada uno, vendiendo los
mangos a $450,25 c/u?e. Si el supermercado fuera de accionistas, con 13,82 acciones, ¿Qué valor de ganancia o
pérdida tiene la acción, en esta transacción, a venta de $500,75 cada mango?
Números decimales
Un número decimal es aquel número que es separado por una coma, por lo tanto tiene dos partes, ejemplo:
Red Conceptual
10,3205Parte entera Parte decimal
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Como se observa en el ejemplo, la parte entera se encuentra de la coma hacia la izquierda, e indica que esta parte es igual a la unidad o superior a ella, la parte decimal se encuentra de la coma hacia la derecha, e indica que esta parte ni siquiera es igual a la unidad, no interesando el número de cifras que posea.
Otra definición de número decimal es la siguiente: Número decimal es cualquier número fraccionario expresado en el sistema de numeración decimal.
El concepto de valores posicionales, en los decimales, funciona igual en la parte entera, como si fueran enteros, en la parte decimal funcionan como la división de un entero por una potencia de 10, es decir así:
Ubique en la tabla de posición el número 104,356
1 0 4, 3 5 6
Uni
dade
s de
mil
Cen
tena
s
Dec
enas
Uni
dade
s
Déc
imas
Cen
tési
mas
Milé
sim
as
Die
zmilé
sim
asLa tabla de posición sirve para leer los números decimales, leamos el anterior número 104,356 ciento cuatro enteros, trescientos cincuenta y seis milésimas.
Ejercicio
Ubique los siguientes números decimales en la tabla de posición:10,45 – 132,34 – 2045,103 – 2705,3 – 20,5039 – 15,008 – 22,243 – 0,3
Uni
dade
s de
mil
Cen
tena
s
Dec
enas
Uni
dade
s
Déc
imas
Cen
tési
mas
Milé
sim
as
Die
zmilé
sim
as
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OPERACIONES EN LOS DECIMALES
Los números decimales tiene las mismas operaciones que los naturales, las más básicas son la suma, resta, multiplicación y división, veamos:
Suma de decimales
Para sumar números decimales se procede de igual forma que en los naturales, solo que antes de sumarlos se coloca coma debajo de coma, ejemplo:
123,54 + 45,08 =
Ejercicio
Sume los siguientes decimales:
12,34 + 613,76 =; 923,45 + 0,12 =; 0,28 + 49,502 =; 5,03 + 7,3 =; 04,04 + 5,7 = ; 6,09 + 9,12 = ; 0,05 + 6,15 = ; 1,3 + 3,9 =
Resta o Sustracción de decimales
Se realiza igual que en la suma de decimales, es decir, comas debajo de comas y se procede a realizar la resta, no olvidando que el minuendo es el primer número de la operación, ejemplo:
Reste 45,08 de 123,54
Ejercicio
Reste los siguientes decimales:28,34 – 13,7 =; 230,456 – 110,123 =; 108,23 – 95,402 =; 45,03 – 7,39 =; 107,04 – 55,07 =; 716,5609 – 94,125 = ; 190,405 – 64,15 = ; 49,32 – 37,05 =
Multiplicación con números decimales
Para multiplicar números decimales se procede de igual forma que con los naturales, es decir, se multiplica normal, y al final se coloca o entrega en el producto el mismo número de cifras decimales igual a las cifras que tienen los factores, ejemplo:
123,5445,08
+
168,62
123,5445,08
-
78,46
13
123,54 45,08 =
Ejercicio
Multiplique los siguientes decimales:25,34 13,7 =; 23,456 0,123 =; 100,24 89,5402 =; 156,03 75,3 =; 10,004 5,07 =; 76,5609 9,12 =; 90,05 64,15 =; 41,3 3,09 =
123,5445,08
9883200000
6177049416556918325569,1832
Actividad
1. Sume los siguientes decimales:A. 543,042 + 15,45 = B. 202,0235 + 423,567 =C. 42,532 + 74,65 =D. 604,104 + 834,89 = E. 190,523 + 389,24 =F. 344,523 + 93,24 =
2. Reste los siguientes decimales:A. 183,042 - 82,45 = B. 220,0235 - 110,00167 =C. 1120,532 - 440,65 =D. 248,108 - 204,1049 = E. 323,523 - 308,24 =F. 242,45 - 60,02 =
3. Multiplique los siguientes decimales: A. 63,02 25,5 = B. 20,025 30,0067 = C. 112,52 49,6 = D. 47,18 78,109 = E. 0,52 9,2 = F. 45,42 5,45 = G. 56 9,12 = H. 90,5 6,15 = I. 4,3 3,9 =
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1.1 Ecuaciones
Importante
Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde, al menos una de ellas, contiene cantidades desconocidas, llamadas incógnitas.
1.2 Ecuaciones equivalentesCuando todos los términos de una ecuación se multiplican por un mismo número real k, obtenemos una ecuación equivalente. En general, los modelos a1x + b1y = c1 y a2x + b2y = c2 son equivalentes, si los coeficientes están en relación de proporcionalidad directa: a2=ka1 b2=kb1 c2=kc1
Luego:
Este concepto es útil para transformar ecuaciones durante los procesos de solución de sistemas de ecuaciones, como veremos a continuación.
Existen muchos tipos de ecuaciones, por ejemplo, para ecuaciones con una sola incógnita la clasificación puede ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, esto, según el mayor exponente de la incógnita.
Ejemplo 1: si se tiene la ecuación 8x + 7 = 1x – 25, ésta es de primer grado porque 1 es el mayor exponente que tiene la incógnita.
Ejemplo 2: si se tiene la ecuación y2 + 12y = 6y + 5, ésta es de segundo grado porque 2 es el mayor exponente que tiene la incógnita.
Ecuación de tercer grado: z3 – 8z2 + z = 7
Ecuación de cuarto grado o bicuadrática: x4 – 17x2 + 16 = 0
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1.4 Ecuaciones lineales (o de primer grado) con una incógnitaSe llaman lineales o de primer grado porque el exponente máximo de la variable es uno, es decir, el grado de la ecuación es uno. Con base en esta consideración, una ecuación de una variable es del tipo ax+ b = 0, siendo a,b , a 0. Su única solución, si la hay, es x =-b/a.
Observe que, para resolver una ecuación lineal de una variable, se ubican, si es necesario, aplicando la propiedad uniforme, todos los términos que contiene la incógnita o variable a un miembro de la ecuación y todos los demás términos al otro miembro de la ecuación.
Son ejemplos de ecuaciones lineales los siguientes:
1. 3x 2 = 8x2. 7 x 2 2=7 x +2 2
En apariencia, esta ecuación no es lineal; pero, si efectúa las operaciones planteadas, se reduce la ecuación a esta condición. ¿Cómo?
Solución de una ecuación lineal
A continuación, con los siguientes ejemplos, aprenderás a solucionar correctamente una ecuación lineal.
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación 2x +3 4x 1 = 2 x
Solución.2x +3 4x 1 = 2 x, se multiplica el (–1) por los términos dentro del paréntesis y se suma 3
con – (–1)=+1.2x 4x + 4 = 2 x, se resta 4 y se suma x a ambos lados. 2x 4x + x = 2 4, se suma 2x con x y 2 con -43x – 4x = –2, se suma 3x con – 4x.–x = –2, se multiplica ambos lados por – 1.x = 2
Ejemplo 2:Resolver la ecuación
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Solución.3 (x — 5) + 180 + (2x + 1)2 = 4(x + 5)2 es una ecuación que puede transformarse, si usted hace las operaciones indicadas, de la siguiente manera:
3x 15+180+ 4x2+ 4x +1 = 4x2+ 40x +100Los términos elevados al cuadrado se anulan y la ecuación se vuelve lineal. Así:3x + 4x 40x = 100 +15 180 1
33x = 66, finalmente, x = 2
1.5 FunciónPara definir una función es importante partir de dos conjuntos A y B que no sean vacíos a fin de establecer, entre los elementos de ambos conjuntos, una relación especial llamada función.
Si x representa cualquier elemento del conjunto A y si y los elementos del conjunto B, es fácil lograr definir una función de la siguiente manera:
Recuerde
Una función de A en B es una regla o condición que le asigna a todo x A, una y solo una y B.
En términos más simples, una función es una relación de entrada-salida, así:
Regla o condiciónEntrada
xSalida
y
Según la definición de función, a toda entrada x le corresponde sólo una salida y. La regla o condición simplemente lo que hace es procesar la entrada para obtener una y sólo una salida.
Al conjunto A, se le llama conjunto de partida, conjunto de pre-imágenes o dominio de la función; al conjunto B se le conoce como conjunto de llegada, conjunto de posibles imágenes o contra-dominio de la función y, al conjunto de imágenes, que es subconjunto de B, se le llama rango.
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1.6 Notación de funciónUna función de A en B se denota como: f: A B; pero, para nuestro interés, sin embargo, es de particular importancia la notación:
f x = y
que se lee: y es igual a una función de x. Gráficamente, la situación, en un diagrama de flechas, se describe como:
x y = f(x)
fA B
En donde A y B son subconjuntos de números reales y. Es por eso que si y = f x , se estará haciendo referencia a funciones de variables reales.
Si y = f x , “x” y “y” se llaman variables. A x se le denomina variable independiente, ya que toma cualquier valor del dominio; pero como y depende del valor de x, se le llama variable dependiente. Se tiene, así, funciones de una sola variable independiente.
1.7 Formas de representar una funciónExisten varias formas de representar una función; sin embargo, aquí vamos a privilegiar dos de ellas.
Representación algebraica. La función se representa mediante una ecuación, por ejemplo,y = f x = x +3
Como su nombre lo indica, la función se representa mediante una gráfica en un plano cartesiano. La gráfica de una función se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x, y), de tal manera que la pre-imagen x pertenezca al dominio y la imagen y pertenezca al rango o contra-dominio, manteniendo presente la definición de función. Matemáticamente, la situación se expresa como:{(x, y x A y B}
Una manera de saber si la gráfica corresponde o no a una función, consiste en trazar rectas paralelas
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al eje y. Si, al menos una de ellas, corta la gráfica en más de un punto, la gráfica no corresponde a una función.
Gráfica de y = f (x) = x +3 es entonces: y = x+3
y
x3
1.8 Evaluación de funcionesEvaluar una función y = f (x consiste en encontrar el valor de y, si se conoce el valor de x; es fácil, entonces, pensar que, si se tiene el valor de “y” y el de “x”, lo que en realidad se ha definido es un punto (x, y), que pertenece a la gráfica de la función.
Los siguientes ejemplos te permiten conocer la forma como se hace la evaluación de funciones.
1. Si y = f (x = x +3, evaluar la función en x = -3
Solución.
En esencia, lo que va a calcularse es y = f(-3 , es decir el valor de y cuando x=-3, y = f (-3 =-3+3 = 0
Lo cual quiere decir que, si x = -3, entonces, y = 0, lo que define un punto de coordenadas (-3,0) que pertenece a la gráfica de y = f (x = x +3
El proceso puede continuarse y usted puede intentar evaluar esta misma función para otros valores de x.
1.9 Función lineal
Recuerde
El modelo que representa la línea recta es y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b el intercepto con el eje y.
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Ejemplo 3.
En una empresa de confecciones la producción de 1.500 camisas cuesta $45.000.000 y la producción de 5.000 unidades cuesta $125.000.000. Determinar una ecuación para la producción suponiendo que es lineal, con base en la ecuación lineal de costos.
A. Si se producen 800 camisas, ¿cuál será su costo? B. Para un costo de producción de $80.000.000, ¿cuántas camisas se producirán? C. ¿Qué interpretación tienen la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas de la
función hallada? D. Trazar la gráfica
Solución
Si la función tiene un comportamiento lineal, entonces, es suficiente con identificar las variables e introducir los datos. Sea “c” la variable dependiente que identifica los costos de producción y sea “x” la variable independiente que representa el número de camisas producidas. En estas condiciones, se plantea el siguiente par de puntos:
P1(1.500,45.000.000) y P2(5.000,125.000.000). Para hallar la función lineal de costos se aplica la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
C – 45.000.000 =
80.000.000x – 3.500C + 37.500.000.000 = 0800.000x – 35C + 375.000.000 = 0
Esta es la ecuación de costos.
A. Si x=800 camisas, entonces, , esto quiere decir que el costo C para producir 800 camisas es C=$29.000.000
B. Si C = $800.000 camisas, entonces, reemplazamos en
y se obtiene x 3.031 como el número de camisas que se puede producir para el costo
dado.
C. Llevando la ecuación a la forma pendiente intercepto eje y
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donde la pendiente es, , lo
cual indica que por cada $800.000 se producen 35 camisas.
El intercepto con el eje “y”, es =10.714.285,71
que son los costos fijos, sin que se produzca ninguna camisa.
Ejemplo 4:
Una carretera recta e inclinada, que tiene una pendiente ascendente del 20%, pasa por un punto de referencia cuya posición es de 20 metros en dirección horizontal y de 100 metros en dirección vertical. Hallar la altura de un estadero que está localizado al borde de la carretera, cuya abscisa mide 60 metros.
Solución.
Como la pendiente es inclinada y ascendente del 20%, se cumple que, Además, las coordenadas del punto de referencia son P1(20,100).Con los datos anteriores se plantea la ecuación lineal, , o sea,x 5y + 480 = 0.
Ahora, la altura del estadero se halla haciendo x = 60 en la ecuación anterior; entonces, se tiene:
60 5y + 480 = 0, de donde y =180. Por lo tanto, la altura del estadero es 108 m.
P2(5.000,125.000.000)
P1(1.500,45.000.000)
(0,10.714.285,71)
y
x
Actividad
La siguiente actividad está referida a la función lineal. Trate de recordar las formas de la ecuación de una recta, el cálculo de su pendiente y trate, en lo posible, de graficar la ecuación.
1. Los vértices de un triángulo son los puntos de coordenadas: A(3,4), B(–2,0) y C(4,6). Hallar las ecuaciones de las rectas que cumplen las condiciones dadas. A. Pasa por B y es paralela al lado AC B. Pasa por C y es perpendicular al lado AB
2. Un cuadrilátero tiene los vértices en los puntos: A( 6, 6), B( 1, 7), C(4, 2) y D(3, 3) : A. Comprobar que es un trapecio isósceles. B. Comprobar que los ángulos interiores suman 360° B. Hallar su perímetro
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3. La velocidad de un bote varía linealmente con la distancia recorrida, de tal forma que para una velocidad de 40 mi/h, la distancia recorrida es 160 millas y para una velocidad de 90 mi/h, la distancia cubierta es de 290 millas.
A. Hallar la función que relacione la velocidad del bote y, en términos de la distancia recorrida x. B. Interpretar la pendiente de la función hallada en a). C. Para una velocidad de 80 mi/h, ¿cuál será la distancia recorrida?
4. La resistencia a la compresión de una viga, de sección cuadrada, varía linealmente con el área de dicha sección; si para un área de 25 cm2la resistencia es de 150 dinas/cm2y para un área de 40 cm2 la resistencia es de 180 dinas/cm2:
A. Construir la función que describa esta situación. B. Para una resistencia de 120 dinas/cm2, ¿cuál será el área de la región recomendada? C. Para un área de 40cm2, ¿cuál será la resistencia a la compresión seguida? D. Interpretar la pendiente de esta función en el contexto del problema.
5. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P1 = (–3 –1) y cuyo punto de intersección con el eje horizontal es 4.
6. Dadas las ecuaciones de dos rectas, x 2y + 3 = 0 y y= 6 - x, ¿serán paralelas?
7. Los vértices de un cuadrilátero están en los puntos A( 6,-1), B(-1,4), C(9,3) y D(-1 7). A. Probar que el cuadrilátero es un trapecio y rectangulo. B. Hallar el área. Utilizar la fórmula para calcular el área del trapecio: , donde B es la base mayor, b la base menor y h la altura.
1.10 Función constanteSe llama así porque y toma siempre el mismo valor para cualquier valor de x. Esta función se caracteriza porque el rango tiene un solo elemento; su gráfica es una recta paralela al eje X. Se define a partir de la polinomial general con n = 0, es decir, y = P(x = a.
El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
k > 0
k > 0
yy
x x
22
1.11 Ecuación lineal con dos incógnitasSe llama ecuación lineal con dos incógnitas, a cualquier expresión de la forma: ax + by = c donde x y son las incógnitas y las letras a, b c son parámetros o constantes.
Podemos expresar y en función de x, aplicando las reglas básicas de las cuatro operaciones y obtenemos (con b 0):
Luego, asociada a toda ecuación lineal, existe función lineal y = f(x .
La gráfica de la ecuación es la recta asociada a su función (de aquí el nombre de la ecuación). Por ejemplo, la ecuación: 2x y = 3 y = 2x 3 m= 2 k = 3
Puede graficarse asignando varios valores a x y calculando los valores respectivos de y; pero, como para determinar una recta sólo se requieren dos puntos, se acostumbra encontrar los puntos donde la recta cortará a los ejes “x” y “y”, mediante el siguiente procedimiento:
A. Con x = 0 obtenemos el intercepto o corte de la curva con el eje Y, es decir, el punto P1(0, c/b . En el ejemplo, P1(0,–3).
B. Con y = 0 obtenemos el intercepto o corte de la curva con el eje X; es decir, el punto P2(c/a, 0 . En el ejemplo, P2(3/2,0 .
Ejercicios (en un mismo plano cartesiano) grafique las rectas: y = x, y = 2x, y = -2x, y = x/2, y = –x/2, y=3x/2 ¿cómo se modifica la gráfica de y = x cuando cambia el coeficiente de x?
Observe que las funciones lineales anteriores corresponden a las ecuaciones paramétricas:y – x = 0, y – 2x = 0, y + 2x = 0, 2y – x = 0, 2y + x = 0, 2y - 3x = 0.
1.12 La función identidad: y = xSe denomina función identidad, ya que a cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas (1,1), (2,2), (3, 5, 3,5),...1
1 Cuando se está usando decimales con la notación de pareja ordenada, hay que diferenciar la coma del decimal con la coma que separa los dos valores del par ordenado. En este caso esta como se traza mayor y con negrita.
23
Observe la gráfica de la función identidad y las de funciones múltiplos de x, es decir, y = mx
Indique qué observa.
Ejercicio:
1. Al analizar las gráficas del modelo y = mx + k cuando no cambia la m; pero cambia k.
2. (Haga k = 1, -1, 0, 1,5, –1,5, – ), entonces, de las siguientes proposiciones la que podemos inferir es
A. La gráfica no se modifica. B. Cada que asignamos un valor a k, entonces cambia el valor de m C. Las gráficas interceptan al eje Y en el punto de coordenadas (0,K) D. Las gráficas interceptan al eje X en el punto de coordenadas (K,0)
1.13 Pendiente de una rectaComo ya se ha mencionado, el parámetro m es la pendiente de la recta y determina la inclinación de la recta con respecto al eje X.
Tenga en cuenta
Para determinar la pendiente de recta debe determinar el cociente entre la diferencia de ordenadas y las abscisas. De dos puntos de la recta
m(pendiente)= , donde p1(x1,y1) y p2(x2, y2)
Ejercicio :
¿Cómo es la pendiente de una recta (función lineal) que pasa por el origen y el punto (3,5)? ¿Es positiva o negativa? Lo mismo si pasa por el origen y: (5,4); (–2, –4); (–3,5); (4, –6); (3, –100.000); (1’000.000,10); (–45, –45); (0,300); (0, –500)...
Indique cuándo es positiva la pendiente, cuándo es negativa y cuándo es cero.
Compare las funciones lineales y=mx que tienen pendientes opuestas 1 y –1; 3 y –3; 2,5 y –2,5, etc. ¿Qué simetrías presentan?
24
Represente las funciones: y = 2, y = 6, y = ½, y = –3, y responda las siguientes preguntas: ¿Qué recta representa la función y = 0? ¿Qué características tienen todas las rectas que representan funciones constantes? ¿Cómo son, entre sí, esas rectas? ¿En qué punto cortan al eje de ordenadas?
Representación de la pendiente de una recta
Dada la función: y = mx + b. Si se aumenta en una unidad el valor de x, la función se incrementa en el valor de la pendiente.
Ejercicio:
Verifique la afirmación anterior para la función y = 3x +1
La pendiente es el valor que aumenta o disminuye la función cuando la x aumenta una unidad.
Ejercicio:
Compruebe que todas las rectas que son paralelas entre sí tienen la misma pendiente.
Grafique la recta x – y = 3 y la recta 2x – y = 6 ¿Qué ocurrió?Grafique la recta 2x + y = 4 y la recta 4x – 2y = 1 ¿En qué punto se cortan?Si se grafican: 2x – y = 4 y la recta 4x – y = 4 ¿Qué ocurrió?Si m = 0, el modelo y = mx + k se transforma en y = K, para todo x. ¿Cómo serán la gráficas de las rectas del modelo y = K?¿Cuál será el modelo de ecuación para las rectas paralelas al eje Y?
1.14 Sistemas de ecuaciones lineales
No olvide
Se llama sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a un conjunto de dos o más ecuaciones lineales.
Solución a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Sea el modelo: a1 x + b1 y = c1 y a2 x + b2 y = c2.
25
Resolver el sistema consiste en encontrar los pares de números (x, y) que satisfacen ambas ecuaciones, si existen. Se resuelven entre otros métodos por: igualación, reducción, sustitución, graficación.
El siguiente ejemplo ilustra el método de reducción:
Método de reducción
En el sistema: 2x y = 3 (a 3x 2y = 1 (b). Observemos que si multiplicamos la primera ecuación por (–2) obtenemos la ecuación equivalente: 4x + 2y = 6 que al sumarla, miembro a miembro, con la segunda ecuación, nos permite eliminar los términos en y:
Para eliminar los términos en x, podemos multiplicar la ecuación a) por 3 y la ecuación b) por (–2):
3(2x y) = 3(3) 6x 3y = 9
2(3x 2y) = 2(1) 6x + 4 y = 2
y al sumar miembro a miembro, se obtiene:
6x 3y = 9
6x + 4 y = 2
se obtiene: y =7
AUTOEVALUACIÓN
En muchas de las ramas de la ciencia se utilizan las funciones lineales, por ejemplo:
- La distancia recorrida por un móvil sobre un camino rectilíneo a una velocidad constante, en función del tiempo.
- El espacio recorrido por María en función del tiempo.- La longitud de la circunferencia en función del radio.- La unidad de riego en función de la superficie.
26
1. El gráfico muestra el cambio de temperatura de un terreno agrícola entre los años 1980 y 1987.
A. ¿En cuáles períodos se registró aumento de la temperatura de dicho terreno?
B. ¿En cuáles períodos se registró disminución de la temperatura de dicho terreno?
C. ¿En cuáles períodos se mantuvo constante la temperatura del terreno? ¿Por qué?
D. ¿En cuáles períodos se registró mayor aumento de la temperatura, y en cuál menor aumento?
Determine cómo es la pendiente en cada uno de los años en que se registró la temperatura e interprétala.
¿Cuáles son las variables que se relacionan?
En el eje Y la escala es 1 en 0,5°C, es decir, cada división vale medio grado centígrado. ¿Cuál es la escala en el eje horizontal?
2. Graficar las funciones correspondientes a las siguientes reglas de asignación:
¿Qué relación encuentra entre las gráficas a) y b) y entre las gráficas c) y d) del ejercicio anterior?
3. Dado el modelo y = mx. A. ¿Podemos afirmar que las rectas correspondientes pasan siempre por el origen de
coordenadas (0,0)? ¿Por qué? B. ¿Hacia dónde se acercan las rectas cuando m toma valores en el conjuntoL = {1, 2, 3, 4,...}? C. ¿Hacia dónde se acercan las rectas, cuando m toma valores en el conjunto M = {1, 1/2,
1/3, 1/4, 1/5,...}? D. ¿Cuál será la gráfica de y =mx si m = 0? E. Las mismas preguntas anteriores cuando m toma valores: en B = {–1,–2,–3,......} y en C
= {–1, –1/2,–1/3,....} F. ¿Qué información sobre la gráfica de una recta podemos conocer cuando analizamos m? G. Encontrar un valor para m tal que la recta f (x)=mx coincida con el eje de las Y.
3. Realizar las siguientes gráficas sobre un mismo plano cartesiano.
f(x =3x, f(x =3x+2, f(x =3x-2, f(x =3x+3, f(x =3x-3
T (ºc)
Año
22
21
20
19
80 81 82 83 84 85 86 87
27
¿Qué propiedad tiene el conjunto de rectas graficadas? ¿Cuál es la distancia en cada recta, del origen a la intersección con el eje Y? Dada una recta de la forma y =mx, ¿cómo haría para encontrar rectas paralelas a la recta
inicial? ¿Qué es lo que tienen en común las rectas paralelas? ¿Qué las diferencia?
5. Sin recurrir a las gráficas anteriores, ¿podría encontrar un procedimiento matemático para hallar la intersección de la función lineal con el eje real X?
6. Si sabemos que los puntos P(2/3,-3/2) y Q(0,5) pertenecen a una recta, ¿cuál es la función de dicha recta?
1.15 Función y ecuación cuadráticaVeamos cómo a cada función cuadrática está asociada una ecuación cuadrática, cuando f (x = y = 0.
Función cuadrática: f (x = y = ax2+ bx+ c
Ecuación cuadrática asociada: 0 = ax2+ bx+ c
Recuerde
función cuadrática y = ax2+ bx+ c, donde a, b, c son constantes; x, y son variables.
ecuación cuadrática 0 = a x2+ bx+ c, donde a, b, c son constantes, x e y son incógnitas.
Cuando b y c valen 0, el modelo toma la forma f(x = ax2 ó y = ax2
Observe que el punto (0,0) siempre cumple la ecuación, lo que quiere decir que su gráfica (una parábola) pasa por el origen de coordenadas. Para ver las características de la familia de parábolas que se originan con este modelo, haga algunos ejercicios. Por ejemplo:
Gráfica, sobre un mismo plano cartesiano, las parábolas del modelo f(x)= ax2 para los casos a=1, a=2, a=3, a=-1, a=-2, a=1/2, a=-1/2.
28
¿Qué tienen de diferente, qué de común? ¿Qué significado tiene el coeficiente a de x2 en el modelo y = ax2?
1.17 Ecuación cuadrática asociada ax2= 0Si y = 0, queda la ecuación cuadrática más simple: ax2= 0, en donde, como a 0, entonces x2= 0
x = 0, lo que quiere decir que la parábola tiene su vértice en el origen, el punto (0,0). Cuando en el modelo general a 0 c 0 pero b = 0 se obtiene el modelo y = ax2+ c.
Observe cómo, en este modelo, el punto (0,c) es el vértice de las parábolas y ellas se distribuyen, con las “ramas” abiertas, sobre el eje Y.
Compare la gráfica de:
y = x2 con las gráficas de y = x2+1, y = x2 1, y = x2+2, y = x2 2
¿Qué significado tiene variar el término independiente (c) en el modelo y = ax2+c?
1.18 Ecuación cuadrática asociada ax2+ c = 0Sea y=0, entonces la ecuación cuadrática tiene la forma ax2+ c = 0
Resolviendo para x2, x2= c/a que es positiva cuando este cociente es positivo. Supongamos que r = –c/a, entonces x2= r, luego x = ± r, es decir, origina dos raíces reales: ; o dos raíces complejas: .
El modelo y = ax2+ bx, con a 0, b 0
Ejercicio :
Grafique las funciones y = 3 x2 + 2x e y = 3x2 + 2x
Observe dónde se encuentran los vértices.
29
1.19 Ecuación cuadrática asociada ax2+ bx = 0Factorizando obtenemos la forma x(ax+ b)= 0 Producto que origina dos soluciones posibles: x= 0
ó ax+b = 0 x=-b/a, es decir, las dos soluciones son: y
Ejercicio:
Construya y resuelva varias ecuaciones cuadráticas de este modelo, incluyendo casos para valores de a y de b que sean números fraccionarios.
El modelo y = ax2+ bx+ c, con a 0 b 0 c 0
Grafique
a y= (x – 3 2; b y = (x + 2 2; c y = (x + 1 2; d y = (x + 1 2; e y = (2x – 1 2
Compare las gráficas anteriores con el modelo y = x2
1.20 Ecuación cuadrática general ax2+ bx+ c = 0Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 2x2– 3x = 2x –1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación, todos los términos, de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:2x2– 5x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de segundo grado para resolverlas.
En muchos casos es necesario simplificar para obtener el modelo básico. Por ejemplo, expresar en la forma más simple y simplificada posible, la ecuación:
3x2– 3x/2 = x/2 – x + 2 + x2
Multiplicando por 2, la transformamos en la ecuación equivalente:
6x2– 3x = x – 2x + 4 + 2x2
Expresando todos los términos en el primer miembro:
4x2– 2x – 4 = 0
30
y simplificando (dividiendo todo entre 2):
2x2– x – 2 = 0.
Solución de una ecuación de segundo grado
Recuerde
Se puede demostrar que las soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 se encuentran aplicando la fórmula:
Así la ecuación 3x2– 4x + 1 = 0, del ejemplo inicial, tendrá por soluciones:
AUTOEVALUACIÓN
1. Teniendo en cuenta las siguientes tres ecuaciones, resuelva la primera ecuación, simplificando primero y luego aplicando la fórmula. En la segunda, simplifique y resuelva mentalmente. En la tercera, factorice y resuelva sin fórmula.
x2/3 = x/3 + 3 -2x2= -18 x2+ 4x + 4 = 0
2. Si A = {–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4}, encontrar f(x) = 3x2, x A.
Graficar la función anterior en el plano cartesiano. ¿Cuál será la gráfica del ejercicio anterior, si reemplazamos el conjunto A por el conjunto B = {x R/ –5 < x < 5}?
31
3. Si B es el conjunto anterior, grafique en un mismo plano cartesiano
a) f(x) = x2; b) f(x) = 2x2; c) f(x) = x2/2
4. En el modelo f(x = ax2, ¿qué valores debe tomar A para que las parábolas se cierren alrededor del eje Y? ¿Qué valores debe tomar A para que las parábolas se extiendan hacia el eje de las X?
5. Si B es el mismo conjunto anterior, grafique en un mismo plano:
a f(x = x2
b f(x = – x2
6. En el modelo f(x = ax2 ¿Qué interpretación geométrica tiene el signo de la a? ¿Cuál será la gráfica de cada una de las siguientes funciones?:
f(x = x2+ 3, f(x = 2x2- 2 f(x = x2/3 + 2 f(x = –x2- 2
7. En el modelo f(x) = ax2 comparado con el modelo f(x = x2 ¿qué interpretación geométrica tienen las siguientes afirmaciones?:
-A varía en forma creciente a partir de uno (a 1) -A varía en forma decreciente a partir de uno, pero mayor que cero (0 <a < 1) -A varía en forma decreciente a partir de cero (a < 0).
8. Determine las características cada una de las siguientes funciones cuadráticas, obtenga las raíces de cada una y determine lo que significa esto en relación con la función correspondiente
a y= x2– x – 12 b y = –2x2+ 12x +16 c y = x2– 25 d y = (x + 3 2
e y = (x + 4 2– 16
9. Las raíces de una ecuación tienen las siguientes soluciones: 1/4 y 3/2. Encuentre la ecuación correspondiente. Resolver los siguientes sistemas:
a x2+ y2= –9x – 14, y2– 16 – 4x = 0 b 1/x – 1/y + = 0, x – 3y = –3
10. Si se lanza hacia arriba una pelota con velocidad de 30 m/s, la fórmula que relaciona su posterior altura sobre el nivel del suelo y el tiempo recorrido es d = 30t – 4,9t2 y la velocidad de la pelota la da la fórmula v = 30 – 9,8t ¿A qué altura se encuentra la pelota a los 4 segundos? ¿Cuál es la velocidad al final del cuarto segundo? ¿A qué altura se elevará la pelota?
32
1.21 Función cuadráticaDada la función polinómica, , si
, se tiene que
Esta función se conoce con el nombre de cuadrática, de segundo grado o polinómica de grado dos, y su gráfica es una parábola vertical. La función cuadrática es de mucha importancia para abordar con propiedad algunos temas y elementos del cálculo.
Recuerde que la ecuación en forma ordinaria de una parábola vertical con centro en (h,k y distancia focal p es, (x h 2 = 4p( y k , que corresponde a la gráfica.
Si p >0, la parábola abre hacia arriba.Si p <0, la parábola abre hacia abajo.
Recuerde, además, que la parábola cumple la definición del lugar geométrico ya que el lugar geométrico o conjunto de todos los puntos que equidistan (están a igual distancia) de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz), es decir,
.
Las ecuaciones del eje focal y de la directriz se obtienen por lectura del plano cartesiano y teniendo en cuenta que h <0, k <0 y p >0.
Si en la ecuación ordinaria h = k = 0, ésta se reduce a x2= 4py, que es la forma canónica de la parábola vertical.
33
1.22 Trigonometría planaLa trigonometría, básicamente, se ocupa de estudiar las relaciones que existen entre las medidas de los elementos de un triángulo; esos elementos son sus tres lados y sus ángulos interiores.
Para efectos de su estudio, la trigonometría se divide en trigonometría plana y trigonometría esférica. La primera tiene como tema central el triángulo como figura en un solo plano, mientras que la segunda se centra en el estudio del triángulo sobre la superficie de una esfera. En esta unidad sólo se tratarán los temas de la trigonometría plana.
1.23 Razones trigonométricas
Importante
,
34
De las razones trigonométricas anteriores, se definen las siguientes relaciones:
Estas relaciones entre las razones trigonométricas se verifican fácilmente a partir de las definiciones de las mismas.
Las expresiones obtenidas son de bastante aplicación en la solución de triángulos rectángulos, como se verá posteriormente.
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
1.24 Solución de triángulos rectángulosSolución de triángulos. La solución de triángulos se refiere al proceso de encontrar las medidas de sus elementos desconocidos; entre los dados debe figurar, al menos, un lado del triángulo.
En general, existen dos métodos para resolver cualquier tipo de triángulo: el gráfico, que consiste en emplear conceptos de geometría plana e instrumentos para trazar los triángulos y medir los ángulos; el otro método que se estudiará es emplear los conceptos y elementos proporcionados desde la trigonometría.
Solución de triángulos rectángulos. Para resolver triángulos rectángulos, se emplean las razones trigonométricas ya definidas y/o el teorema de Pitágoras.
Con los ejemplos dados a continuación, se ilustra la solución de triángulos rectángulos.
35
1. Resolver el siguiente triángulo rectángulo, dados, b = 4 u.l. (Unidades de longitud) y = 50º
B
A
bc
a
α
β
C
Actividad
Usted debe resolver los siguientes triángulos rectángulos empleando las relaciones dadas para funciones trigonométricas, teorema de Pitágoras y teorema de ángulos interiores de un triángulo. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
1. a =340 u.l. y = 30°28
2. c = 458 u.l. y =65°35’3. a =202,56 u.l. y b = 337,98 u.l.4. a = 2.867 u.l. y c = 8.234 u.l.5. c = 305,02 u.l. y = 58°10.6’6. b = 4,310 u.l. y c = 6,320 u.l.7. La sombra que proyecta el asta de una bandera de 85 pies de alto es de 108 pies. Calcular
el ángulo de elevación del sol en ese instante (ver definición de ángulo de elevación a continuación).
8. La altura de un triángulo isósceles es de 6,76 pulgadas y el ángulo del vértice es de 18,8°. Hallar sus lados y los ángulos restantes.
9. Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia, y uno de sus lados mide 10,6 pulgadas. Encontrar el radio de la circunferencia.
10. Un octógono regular circunscribe a una circunferencia de 7 pulgadas de radio. Hallar sus lados y los ángulos restantes.
Solución.
= 900 500= 400
Sabemos que , por lo tanto,
Luego del triángulo, a = c(sen ) , entonces a 6,2(sen50°) 4,7
36
1.25 Ángulo de elevaciónÁngulo de elevación, es el ángulo agudo y positivo, formado entre la visual a un punto y la línea horizontal a través del ojo del observador, cuando dicho punto está situado por encima del plano horizontal.
1.26 Ángulo de depresión
Ángulo de depresión
Ángulo de depresión, es el ángulo agudo y positivo, formado entre la visual a un punto y la línea horizontal a través del ojo del observador, cuando el punto está situado por debajo del plano horizontal.
El ejemplo que sigue indica la forma como pueden utilizarse los conceptos anteriores.
Un árbol se encuentra en el mismo plano de una casa cuya altura es de 65 pies. Los ángulos de elevación y depresión de la altura y base del árbol, medidos desde el techo de la casa, son de 45º y 62º, respectivamente. Encontrar la altura del árbol.
Solución. La gráfica correspondiente a esta situación es la siguiente.
37
1.27 Ley del SenoEnunciado: En cualquier triángulo, la longitud de los lados es proporcional a los senos de los ángulos opuestos.
= = 65 pies, CAD = 45°, DAB = 62° , es la altura requerida, es decir, la del árbol
tan 45°= , por lo tanto, (1)
tan 62°= , entonces, (2)
(1) = (2), esto es: , entonces,
Luego, = + = 65 pies +34,6 pies = 99,6pies
1.28 Ley del CosenoEnunciado: En cualquier triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble producto de éstos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
B
A b
c
a
C
38
a2= b2+c2 2bccos
Ésta es una de las relaciones para la ley del coseno. Las otras son:
b2= a2+c2 2ac cos
c2= a2+b2 2abcos
Se deja como ejercicio adicional la obtención de estas dos últimas relaciones.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Planteada la solución de un triángulo oblicuángulo, se pueden presentar los siguientes casos:1. Se conoce la longitud de un lado y la medida de dos ángulos.2. Se sabe la medida de dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.3. Se tiene la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.4. Se dan las medidas de los tres lados.
Notar, que en cada caso se debe conocer al menos la medida de tres elementos del triángulo y, como mínimo, uno de ellos debe ser un lado.
El siguiente ejemplo ilustra el caso 3.
Ejemplo: Las dos diagonales de un paralelogramo miden, respectivamente, 62,38 y 51,94 pulgadas. Uno de los ángulos entre ellas es igual a 72º 35’. Encontrar la medida de los lados del paralelogramo.
Solución. La siguiente figura corresponde al enunciado del problema.
B
A
C
D
E
= 62,38 pulgadas= 51,94 pulgadas
AEC = BED = 72° 35'= , lado a determinar = , lado a encontrar
39
Como las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, entonces,
= pulgadas
Notar que se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Empleando la ley del coseno para hallar uno de los lados.
Entonces, AC = BD = 34,09 pulgadas
Ahora se procede de la misma forma, para hallar el otro lado del paralelogramo.
AED = 180° AEC = 180° 72°35’
AED = BEC = 107° 72°25’
40
Para ejercitar la solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, usted debe resolver los ejercicios planteados a continuación.
1. Resolver un triángulo tal que, a = 5,5 cm, B=30º y C= 88º.2. Resolver un triángulo sabiendo que, a=4,5 cm, B=25º y b= 9 cm.3. Resolver el triángulo con, a=1,3 m, b=120 cm y c= 3 m.4. Resolver el triángulo, a=2 m, b=4 m y C= 70º.5. Las diagonales de un paralelogramo miden 6 y 7 cm, respectivamente, y se cortan con un
ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.6. Desde un punto se observa un edificio con un ángulo de 26º; si avanzamos 10 m hacia él, en
línea recta, y si lo volvemos a observar, el ángulo es de 40º. ¿Qué altura tiene el edificio?7. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 5 km, la
BC es 8 km y el ángulo que forman AB y BC es de 110º. ¿Cuánto distan A y C?8. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m, otro 1,5 m,
y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 30º. ¿Lo conseguirá?9. Dos personas caminan juntas por un sendero. Llegan a un punto del sendero donde se bifurca,
formando un ángulo de 28º. Allí se separan, cada uno por un ramal. Si una de estas persona camina a 2 km por hora y la otra a 3,5 km por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?
10. Desde los puntos A y B, que se ubican en una misma orilla de un río y están separados entre sí 10 m, se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=32º, PBA=27º y PAC=40º.
Importante
Actividad
41
1.29 Preguntas de selección múltiple con única respuestaEste tipo de preguntas consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta dadas como: A, B, C, D. Sólo una de estas opciones responde correctamente la pregunta. Usted debe seleccionarla.
1. La expresión que corresponde a: “los cuadrados de tres números enteros consecutivos” es
A. )2(),1(, 222 xxxB. 22222 2,1, xxxC. 222 2,1, xxxD. 22 3,2, xxx
A. xy32
B. xy23
C.yx
23
D.xy
23
A. 2xB. 3xC. 4xD. 6x
2. Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de x, será
3. Para obtener “y”, la expresión por la que se debe multiplicar los dos tercios de “x” es
4. El número de niños de preescolar en una institución educativa es mayor de 30 pero menor de 60. Si los niños se filan de a 2, de a 3, de a 4 ó de a 6 siempre sobra un niño. Si se filan de a 7 no sobran ni faltan niños. Entonces, el número exacto de niños de preescolar es
A. 35 B. 42 C. 49 D. 56
42
5. Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a más el triple de b es: A. 12 B. 16 C. 14 D. 20
6. Si Rafael es 10 años mayor que Jessica y si hace x años Jéssica tenía 10 años, la edad que tiene Rafael es
A. x años B. 10 años C. ( x + 20) años D. (20 - x) años
7. Carlos se ha ganado una rifa. El premio será darle durante 8 días cierta cantidad de dinero, así: cada día se le dará el triple del día anterior. Si el primer día recibe 9 pesos, la cantidad total que recibirá es
A. 9x3x3x3x3x3x3x3 B. 3 + 32+ 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38
C. 38
D. 32+ 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 +39
8. Al escribir un cero a la derecha de un número entero, éste queda aumentado en 567. El número es A. 33 B. 63 C. 433 D. 5.670
9. La cantidad de números enteros positivos, que son múltiplos de 4 pero no de 3 y son menores que 1.000, es
A. 165 B. 166 C. 167 D. 168
10. De la siguiente sucesión: 4, 9, 14, 19, 24,…, el número que ocupará el lugar 100 de la sucesión es
A. 494 B. 499 C. 500 D. 505
11. Pedrito midió el largo del terreno de su tío con pasos de 54 cm. Después lo midió el tío con pasos de 72 cm. Quedaron marcadas en total 63 pisadas, pero a veces la misma marca correspondía a dos pisadas, una de Pedrito y otra del tío. El largo del terreno mide
43
A. 4.320 cm B. 2.160 cm C. 882 cm D. 648 cm 12. Un jugador ha fallado 8 de 22 lanzamientos de balón al aro. Si encesta los siguientes 6
lanzamientos, el porcentaje final de aciertos es A. 36,4% B. 50,0% C. 63,4% D. 28,6%
Responda las preguntas 13 al 15, de acuerdo con la siguiente información
De los 55 estudiantes de un curso, 23 pierden matemáticas, 19 pierden física y 13 pierden química. De estos, 13 pierden matemáticas y física, 7 física y química, 9 matemáticas y química; y de éstos, 4 pierden las tres materias.
13. La cantidad de estudiantes que no pierden ninguna de las materias es A. 9 B. 25 C. 27 D. 53
14. El número de estudiantes que perdieron sólo química es A. 1 B. 3 C. 4 D. 10
15. El número de los estudiantes que perdieron matemáticas y física pero no química es A. 9 B. 10 C. 12 D. 14
16. Al aplicar esta fórmula para (i, n = (7,3 , el resultado
A. es igual al aplicar (i,n =(3,7 B. es menor que al aplicar (i,n =(5,4 C. es mayor que al aplicar (i,n =(6,6 D. es menor que al aplicar (i,n =(0,7
.
44
17. El término general de la sucesión -3,-1,1, 3, 5, 7,... es A. 2n + 1 B. 2n - 5 C. 4n - 1 D. n - 1
18. Se tiene P(X) = X3 + 6X + 8, si se divide por Q(X) se obtiene como cociente X2 – 6X y resto 42X + 8. El polinomio Q(X) es
A. x – 2 B. x – 6 C. x + 6 D. X2 +38x +8
19. Los valores de a y b, para que el polinomio sea divisible por son
A. a =4 y b = 6 B. a =4 y b = 4 C. a =6 y b = 4 D. a =8 y b = 4
20. Sabiendo que ac = b Loga b = c y Log El valor de x corresponde a A. x=-2 B. x= -1/2 C. x= 1/2 D. x= 2 21. En la siguiente cuadrícula se registraron los números con las siguientes reglas: 1) cada número de la tercera columna es la suma de los dos números a su izquierda y 2) cada número de la tercera fila es el producto de los dos números de arriba.
El número que va en la casilla m es
6 3
2
m A. -1 B. 9 C. 16 D. 18
22. Al desplazar el centro de la circunferencia x2 + y2 = 81 al punto de coordenadas (-2, 3), su ecuación se transforma en
abxxxP 22)()1()3( xyx
x4
33 3 .
45
A. (x – 2)2 + ( y + 3)2 = 81 B. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 81 C. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 81 D. (x – 2)2 + (y – 3)2 = 81
23. Para que la parábola y = ax2 + bx + c se abra en la dirección del eje X y descienda hacia el lado negativo de las ordenadas (en la dirección del eje Y) es necesario que
A. a (0, 1) y c < 0 B. a >1 y c < 0 C. a <1 y c < 0 D. a 1 y c < 0
24. En un equipo conformado por 6 ciclistas, que nombraremos A, B, C, D, E y F se sabe que: 1) A es más veloz que B. 2) C es más veloz que D, pero más lento que B 3) A es más lento que E 4) D es más veloz que F
Los dos ciclistas más lentos son A. C y D B. C y F C. D y F D. A y F
25. Se define la operación en el conjunto de los números reales diferentes de cero así:
El valor resultante de (3 2) 1 es A. -1/6 B. -11/30 C. 0 D. 2
26. La solución al sistema de ecuaciones , es A. (0,2) B. (3,4) C. (1,8/3) D. (0,5/3)
27. Las letras representan enteros consecutivos en la recta numérica
ab
bab a
46
Si 2b+f=13, el valor de b es A. 8 B. 6 C. 3 D. 1
28. La gráfica representa una función lineal y=f(x , por tanto, se cumple que
A. m<0 en el primer cuadrante y m>0 en el tercer cuadrante B. m>0 en el primer cuadrante y m<0 en el tercer cuadrante C. m<0 en el primer cuadrante y en el tercer cuadrante D. m>0 en el primer cuadrante y en el tercer cuadrante
De acuerdo con la siguiente información, responda las preguntas 29 y 30
Dada la siguiente función periódica, trazada en un intervalo que corresponde a la longitud del periodo principal de la función
Se define que una función es par, si la imagen (y) de x es igual a la de –x, es decir, f(x = f(-x , para todo x del dominio. Y se dice que una función es impar, si la imagen (y) de x cambia el signo cuando cambia el de x, es decir, f(-x = -f(x , para todo x del dominio.
47
29. Según la gráfica anterior, se puede afirmar que la función que representa es A. par B. par e impar C. impar D. ni par ni impar
30. Según la gráfica, el periodo de la función que representa es A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
Pensamiento espacialy métrico
49
LA FIESTA DE TOMÁS
Red Conceptual
La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano y es un soporte para
aplicaciones en diferentes situaciones y contextos, porque permite desarrollar
estéticos y culturales.
Unidades de longitud Concepto de área y de perímetro Áreas del cuadrado, del triángulo y del rectángulo Áreas de otras figuras geométricas Diferencias entre áreas y perímetro Unidades de superficie (metro cuadrado y unidades agrarias) Conversión de unidades de superficie Unidades de volumen (metro cúbico) Volumen de sólidos
2.1 Situación problema (LA NUEVA OFICINA)
Natalia y José están organizando su oficina nueva, que tiene la siguiente forma:
Oficina
1 m
50
Ellos mandaron a hacer unos muebles, que desde una vista superior se observan así:
Actividades
1. Proponga y dibuje, al menos, dos posiciones de todos los muebles.
Oficina
Propuesta 1 Propuesta 2
1 m
Oficina
1 m
2. Determinar en metros cuadrados el área de la oficina.
3. Determinar en metros cuadrados el área del puf.
4. Determinar en centímetros cuadrados el área del puf.
5. Determinar en metros cuadrados el área total ocupada por todos los muebles.
51
6. Determinar el área libre después de ubicar los muebles para la propuesta 1.
7. Determinar el área libre después de ubicar los muebles para la propuesta 2.
8. Juan Pablo encontró, en una de las habitaciones de la casa, una mesa de forma circular (radio = 1,5 m) y sugiere quitar las dos mesas triangulares y poner la mesa circular en la sala para liberar espacio, pero Jorge dice que la mesa circular mide lo mismo y Tomás dice que la mesa circular tiene un área mucho mayor. ¿Quién tiene la razón?
9. ¿Cuál es el área de la mesa circular?
10. ¿Cuál será la diagonal de un cuadrado inscrito en la mesa?
11. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene mayor área?
12. Determinar el área de las figuras anteriores
e e ione
¿Cuántos centímetros cuadrados tiene un metro cuadrado?
Si el radio de la circunferencia es de 5 cm, determinar el área sombreada de las siguientes figuras.
52
Observación: los polígonos de la figura anterior son figuras inscritas (y circunscritas) y son polígonos regulares.
¿Cuál sería la mesa circular de mayor área, que puede ubicarse en la oficina, sin los demás muebles?
Haga el dibujo
¿Cuál sería la mesa triangular de mayor área, que se puede ubicar en la oficina, sin los demás muebles? Haga el dibujo
Ahora Natalia y José van a preparar una pequeña fiesta para inaugurar su oficina. Los alimentos tienen que ser lo más económicos posible, pues están cortos de dinero. Compran, entonces, lo siguiente: 4 botellas de gaseosa de 2,5 litros, cada una.
2.4 Unidades de conversión
Natalia no ha pensado a cuántas personas invitar; Jorge le recuerda que una botella de gaseosa alcanza para aproximadamente 10 personas.
Si se invitan 10 personas (incluyendo a los anfitriones) ¿Cuántos mililitros podrán consumir cada uno, como máximo?
José encuentra vasos desechables de forma cilíndrica cuya capacidad es de 200 centímetros cúbicos, o sea, 200 ml (mililitros). ¿Cuántos vasos podrán llenarse completamente?
La siguiente figura muestra un cubo de azúcar cuyas aristas miden 1 cm a lo ancho, 1 cm a largo y 1cm de altura, por lo que la medida de su volumen es un centímetro cúbico (1cm3).
53
La siguiente figura muestra un bloque que mide 1 m de ancho, 1 m de alto y 1m de largo; por tanto, la medida de su volumen es un metro cúbico (1m3) ¿Cuántos cubos de azúcar o centímetros cúbicos tiene un metro cúbico?
2.5 Volumen de un cilindro y de un conoAhora vamos a preparar los refrescos. Para ello se dispone de dos jarras (ver figura)
La opción A tiene capacidad para una botella de gaseosa (2,5 litros).
La opción B tiene la misma altura de la opción A, pero el diámetro de la base es el doble.
Natalia asegura que la opción B es ideal pues en ella cabrían las 4 botellas de gaseosa. José niega y sustenta que no porque su capacidad es del doble de la opción A. ¿Quién de los dos tiene razón? Justifica tu respuesta.
1. ¿Qué altura alcanza el líquido en la opción B, si depositamos en ésta todo el líquido de la opción A?
54
2. Si la altura de la opción B se reduce a la mitad de la altura de la opción A, ¿cuál debe ser la medida del radio para que la capacidad de ambos recipientes sea igual?
e e ione
3. Si se duplica el radio de un recipiente cilíndrico y se conserva la altura, ¿qué pasará con el volumen? (se duplica, se triplica,…).
4. Si se duplica la altura de un recipiente cilíndrico y se conserva el radio, ¿qué pasará con el volumen? (se duplica, se triplica,…).
José, para sorpresa de todos, encontró copas de plástico, de forma cónica (el área de su base circular y la medida de su altura son iguales, respectivamente, a las del vaso cilíndrico de 200 ml). Esto les da una gran idea: servir en estas copas y así poder invitar a muchas más personas. ¿Cuántas copas podrán servirse por cada vaso de refresco? ¿Cuántas copas pueden servirse, al preparar los dos sobres de refresco? ¿Cuántos amigos podrán asistir a la fiesta, si pueden tomar cada uno dos copas de refresco? ¿Cuántos mililitros contiene una copa de refresco?
Natalia y José harán sombreros en papel cartulina para cada uno de los invitados. En esta actividad hay que prestar mucha atención, pues deben comprar los pliegos de cartulina exactos para diseñar sobreros en forma cónica, pero en estilo chino para los hombres y estilo bruja para las mujeres;
Los pliegos que compraron miden 1 metro de largo por 80 cm de ancho. ¿Cuántos círculos de radio de 16 cm pueden cortarse de un pliego?
Los cortes para el diseño de los sombreros sugeridos tienen la siguiente forma:
55
Si el ángulo del sector circular grande es 250°, ¿el ángulo del sector circular pequeño es?
Así, los conos huecos formados con los dos cortes son:
Si los invitados son 25 personas, ¿cuántos pliegos de cartulina, de dimensiones 1m por 80 cm, deben comprarse si son 12 hombres y 13 mujeres?
Para pintar los sombreros (color azul para hombres y color rojo para mujeres) se compran frascos de vinilo de 120 ml c/u. ¿Cuántos frascos de vinilo se requieren, de cada color, si se sabe que para pintar un pliego se requieren 80 cm3 de vinilo?
2.6 Poliedros y prismas
Ejemplos de prismas (ver mapa conceptual de poliedros, sección 2.10)
Como ilustración, hallar el volumen del paralelepípedo recto (ortoedro), si sus dimensiones son 8 m de largo, 3 m de ancho y 4 m de altura:
56
Solución
Como cada m3 tiene1m de arista, se puede inferir que en el ortoedro caben 8 cubos de m3, o sea, 8m3 a lo largo, 3 cubos de m3, 3m3, a lo ancho y 4 cubos de m3, 4 m3, de alto.
Lo anterior implica que sobre la base del ortoedro se pueden colocar una capa de 8 x 3 cubos, o sea, 24 m3:
Como el ortoedro tiene 4 m de altura, se completa su volumen con cuatro capas de 8 x 3 cubos de 1 m3. Así, el volumen total del ortoedro es 24 m3× 4 = 96 m3
Se puede decir entonces que el volumen total de un paralelepípedo recto se calcula multiplicando el área de la base por la altura, es decir,
(volumen del paralelepípedo recto) = (largo) X (ancho) X (altura)
57
2.7 Volumen del prismaLa última ecuación se puede generalizar para el volumen de todos los demás paralelepípedos y aún más, para los prismas, pero debe tenerse en cuenta la base (triángulo, cuadrilátero, pentágono,…).
En conclusión, el volumen de cualquier prisma equivale a
V = B × h
Donde B es el área de la base y h es la altura del prisma.
2.8 Volumen de la pirámide
Ejercicio
Los problemas y ejercicios propuestos tienen como fin identificar relaciones inter e intra - figurales de las figuras, sus relaciones y el manejo de algoritmos.
1. Tenga en cuenta la siguiente figura, para responder las preguntas que siguen:
58
A) ¿Cuál es la longitud de la diagonal de la base del prisma? B) ¿Cuál es la longitud de la diagonal de la cara ABFE? C) ¿Cuál es la longitud de la diagonal de la cara AEHD? D) ¿Cuál es la longitud de la diagonal del paralelogramo ACGE? E) ¿Cuál es el área de la base del prisma? F) ¿Cuál es el área de la cara ABFE? G) ¿Cuál es el área de la cara AEHD? H) ¿Cuál es el área del paralelogramo ACGE?
2. En el cubo siguiente, 6 (medida del segmento AB); encuentre la longitud de la diagonal
3. En la siguiente figura muestre que la diagonal tiene una longitud de
4. Hallar el área de un cubo, cuya diagonal de una de las caras miden cada una 3 cm.
5. Hallar el área de un cubo, cuyas diagonales miden cada una 4 cm.
AG 182
m( AB )= (.
59
1. Si las longitudes de todos los lados de una caja se triplican, ¿en cuánto aumenta el volumen?
2. Si un recipiente rectangular, con base cuadrada, tiene 4 pies de altura y un volumen de 60 pies3, encuentre la longitud y el ancho de la base.
3. ¿Cómo afecta al volumen de un cubo la duplicación de la medida de su arista?
4. ¿Cómo afecta al área de un cubo la triplicación de la medida de suarista?
5. Calcular el área lateral y el área total de un prisma triangular regular, si la apotema de la base mide 8 cm y la arista lateral mide 27 cm.
6. La altura de la base de un prisma triangular regular mide 15 cm. Calcular su área lateral, sabiendo que su arista es tres veces el lado de la base.
7. El radio de una circunferencia circunscrita a la base de un prisma triangular regular mide 4cm y la arista lateral mide 18 cm. Calcular su área total.
8. El radio de una circunferencia inscrita en la base de un prisma triangular mide 16 cm y la arista lateral mide 36 cm. Calcular su área lateral.
9. Calcular la arista de un prisma triangular regular, si su altura, es igual al lado de la base y su área total es de 12 dm2.
10. El área total de un paralelepípedo rectangular es de 752 cm2. ¿Cuáles son sus dimensiones, si están en la relación de 3, 4 y 5?
11. El lado de la base de un prisma triangular regular mide 36 cm y la altura mide 46 cm. Calcular su volumen.
12. La altura de un prisma triangular regular mide 25 dm y la apotema de la base mide 5 dm. Calcular su volumen.
13. Calcular el volumen de un prisma triangular regular si la altura de la base es de 8 cm y la altura del prisma es tres veces el lado de la base.
14. El volumen de un prisma triangular regular es de 1.875 cm3. Calcular su altura si la apotema de la base mide 8 cm.
15. ¿Qué capacidad en litros tiene un tanque que tiene forma de prisma cuadrangular regular, si la apotema de la base mide 1,8 m y la arista lateral mide 3,6 m?
16. Calcular las medidas del volumen, del área lateral, del área total y de la diagonal de un cubo cuya arista mide 18cm.
Actividades
60
17. Encuentre el volumen de estas pirámides
q18. En los siguientes ejercicios, encuentre el volumen de las pirámides regulares que se muestran:
19. ¿Cómo afecta al área de una pirámide la duplicación de su altura? ¿Cómo afecta al área de una pirámide la duplicación de su área de la base?
20. Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cubo de 8 cm de arista.
21. Calcular el área total de un cilindro inscrito en un cubo de 16 cm de arista.
22. Calcular el área lateral de un cilindro inscrito en un prisma triangular regular, si el lado de la base y la altura del prisma miden 7cm y 21 cm, respectivamente.
23. La apotema de un hexágono regular inscrito en la base de un cilindro mide 8 cm y la altura del cilindro mide 28 cm. Calcular:
A. El área lateral B. El área total C. El volumen
61
62
2.10 Mapa conceptual sobre poliedros
63
2.11 Preguntas de selección múltiple con única respuestaEste tipo de preguntas consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta dadas como: A, B, C, D. Sólo una de estas opciones responde correctamente la pregunta. Usted debe seleccionar la correcta.
1. Los cilindros que se muestran a continuación deben tener el mismo volumen, si el radio del cilindro A es la mitad del B, la medida de la altura del cilindro B con respecto a la de A es
A. el doble B. la mitad C. la cuarta parte D. cuatro veces
2. En la figura se tiene que la longitud de es:
A. 5cm B. 10cm C. 48/5 cm D. 72/5 cm
3. En el rectángulo ABCD de la figura, AB II PR. Si FC = 5cm, RF = 4cm y AF = 10cm. ¿Cuánto vale el perímetro del rectángulo ABCD?
y que . Si = 30cm,
64
A. 24 cm B. 42 cm C. 36 cm D. 54 cm
RESPONDA LAS PREGUNTAS 4 A 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Se construyó un cubo formado por cubitos, cada uno de ellos con aristas de longitud una unidad, como se presenta en el dibujo.
4. Para fijar el cubo construido se coloca una cinta por todos sus bordes. La longitud de la cinta para lograr este fin debe ser
A. 12 unidades que corresponden al número de aristas del cubo B. el producto entre 12 unidades y el número de cubitos que conforman el cubo C. 36 unidades, que corresponden a la longitud de las aristas del cubo D. 18 unidades de cinta con las cuales se cubren los bordes de 3 cubito
5. Al quitar el cubito que aparece sombreado en el dibujo, el volumen de la figura obtenida disminuye una unidad de volumen, pero su superficie total no cambia. ¿Cómo obtener una figura cuyo volumen sea dos unidades menos que el del cubo, pero con la misma superficie total de éste?
A. quitando un cubito interior y uno lateral que esté junto a él B. quitando un cubito de la esquina y otro lateral. C. quitando un cubito de la esquina y uno lateral que esté junto a él D. quitando 2 cubitos interiores.
65
6. Al quitar los 6 cubitos interiores del cubo, los cambios que se presentan en la figura obtenida en comparación al cubo inicial son
A. el área de la superficie se mantienen igual B. el área la superficie aumenta en 24 unidades cuadradas C. la superficie aumenta en 6 unidades D. la superficie disminuye en 6 unidades
RESPONDA LAS PREGUNTAS 7 Y 8 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Las siguientes piezas son utilizadas en la industria de la ornamentación como piezas de seguridad. Se ha colocado x en las dimensiones de cada pieza, ya que pueden variar de acuerdo con las necesidades de los compradores
7. Para que el fabricante de estas piezas logre construir la pieza 2, debe A. a una pieza de dimensiones (2x+5)(2x)(3x) quitarle un pedazo de dimensiones x x(2x+5) B. ensamblar 5 piezas iguales, de dimensiones 2x (2x+5) C. ensamblar tres piezas, dos de dimensiones iguales de 2x(2x+5) y otra de dimensiones
x x(2x+5) D. ensamblar tres piezas, dos de éstas iguales cuyas dimensiones corresponden a 2x x, y la
otra de (3x)(2x)(2x+5)
8. Si la pieza 1 fuese hueca y se quisiera colocar piezas en su interior de la forma y dimensiones que se indican en la figura, la máxima cantidad de piezas que debe contener la pieza 1 es:
p
66
A. 9, porque en la base contiene 5, luego 3 y finalmente 1 B. 4, porque en la base contiene 3, luego 1 C. 9, porque en cada lado hay de a tres D. 4, porque en cada vértice hay 1 y en el centro 1
9. En una fábrica de jabones en barra, miden la calidad de sus productos atendiendo a la cantidad promedio de jabón que se disuelve en una hora (1 h). Se considera de mayor calidad el jabón que muestre más resistencia al agua. La fábrica ofrece tres calidades, que se distinguen por los colores: blanco, rosado y verde. La información correspondiente a cada uno se muestra en el cuadro:
Color Cantidad de jabón que en agua se disuelve en 1 h.
Blanco (b)Rosado (r)Verde (v)
1/2 cm3
3/4 cm3
2/3 cm3
Se ha elaborado un jabón blanco que tarda 18 horas en diluirse en agua. El diseñador de empaques ha presentado los siguientes modelos como propuesta.
Respecto a estos modelos es válido hacer la observación
A. El modelo I se ajusta a los requerimientos de volumen del jabón elaborado mientras que el modelo II es muy pequeño
B. los modelos I y II son muy grandes para el volumen del jabón elaborado C. el modelo I es muy grande mientras que el jabón II se ajusta a los requerimientos de
volumen del jabón elaborado D. cualquiera de los dos modelos se ajustan convenientemente a los requerimientos de
volumen del jabón elaborado
RESPONDA LAS PREGUNTAS 10 A 12 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
El siguiente plano representa la avenida central y sus dos zonas verdes, las cuales ocupan igual área, además muestra el tráfico a cierta hora del día
67
10. Un taxi que parte del centro hacia la iglesia San Mateo, a velocidad constante, no puede continuar por la avenida central y debe desviar por una de las vías alternas. Para gastar menos gasolina, el taxista debe
A. desviar por la avenida L, porque el ángulo es mayor que el ángulo B. elegir cualquiera de los desvíos, porque las zonas verdes son de igual área C. desviar por la avenida S, porque recorrerá una distancia menor D. desviar por la avenida L, porque la zona verde L es de menor área que la zona verde
11. La alcaldía decide tomar una parte de la zona L para hacer un parqueadero sin que se altere la forma triangular inicial, éste quedará ubicado en la esquina de intersección de la avenida L y la avenida M y el lado que da a la zona verde debe medir 10 metros. De la zona, el ingeniero afirma que:
A. la nueva zona tiene que tener medidas iguales para conservar la forma triangular B. las medidas de la zona de parqueo no se pueden saber, pues los datos suministrados en
el plano no son suficientes C. la zona de parqueo ocupará la cuarta parte de la zona verde L D. el costado de la zona de parqueo que da a la avenida L debe medir 30 metros
12. Se tienen 450 metros de malla para encerrar las dos zonas verdes y evitar que las motos dañen los jardines. El ingeniero encargado afirma de la cantidad de malla disponible, que
A. no se puede calcular cuanta malla se necesita para las dos zonas B. sobran más de 40 metros de malla para encerrar los dos parques C. dado que el área de las dos zonas es el doble de su perímetro, la cantidad de malla no es
suficiente D. sólo alcanza para la zona más grande y la mitad de la otra
68
13. La siguiente figura muestra una esfera inscrita en un cilindro.
Puede afirmarse que A. el volumen de la esfera es exactamente la mitad del volumen del cilindro B. el volumen de la esfera está entre el 50 y el 75% del volumen del cilindro C. el volumen de la esfera es el 75% del volumen del cilindro D. el volumen de la esfera es mayor que el 75% del volumen del cilindro
14. Se quiere enchapar un patio rectangular. Para ello una empresa dispone de baldosas cuadradas y de forma de triángulos equiláteros. Si los lados de una baldosa cuadrada miden lo mismo que los lados de una triangular y se requieren 100 baldosas cuadradas para el enchape, podría afirmarse que si se reemplazan las baldosas cuadradas por triangulares, se necesitan
A. 200 baldosas triangulares B. 50 baldosas triangulares C. entre 150 y 200 baldosas triangulares D. entre 50 y 100 baldosas triangulares
15. Si se tiene un cono de radio en la base r y altura h. Si se duplica el radio de la base, el volumen del cono queda aumentado en un
A. 100% B. 200% C. 300% D. 400%
RESPONDE LAS PREGUNTAS 16 Y 17, DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En la siguiente figura, el lado del cuadrado, cuyos vértices son los centros de los círculos de las esquinas, mide 12cm
69
16. Según la información dada, el perímetro de la región sombreada es A. 12 cm B. 16 cm C. 18 cm D. 24 cm
17. El área de la región sombreada es A. 36(4- ) cm2
B. 12(4- ) cm2
C. 108 cm2
D. 36(2- ) cm2
18. En la figura, si A1, A2 y A3 son las áreas de las respectivas regiones semicirculares,
el valor de es
A. 3/2 B. 1 C. /2 D. 2
Preguntas 19 y 20
Se planea construir una escalera eléctrica de 6 escalones para un centro comercial, tal como lo muestra la figura.
19. Si el ángulo de elevación de la escalera eléctrica es de 30o (como se indica en la figura), entonces el ángulo “w” que forma un escalón con a banda es:
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
3A
2A1A
Escalón
Banda
A
BC
70
20. Si la longitud de la banda es de 6m y la altura de la escalera es de 3m, entonces la longitud “£” que forma el escalón con la banda es:
A. 1 B. 1/2
C.
D.
RESPONDE LAS PREGUNTAS 21 Y 22 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Para servir los tintos en una oficina se tienen tres cafeteras, de igual material, como se muestran a continuación.
21. De acuerdo a la cantidad de tinto que se puede cargar en cada cafetera, se puede afirmar que A. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera 2 B. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera 3 C. la cafetera 3 tiene mayor capacidad que la cafetera 2 D. la cafetera 2 tiene mayor capacidad que la cafetera 1
22. En la oficina se necesita comprar una mesa que ocupe el menor espacio y en la que se puedan colocar las tres cafeteras al tiempo; ¿cuál de los siguientes tamaños de mesa compraría?
AC AB
23
22
71
RESPONDE LAS PREGUNTAS 23 Y 24 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Un cartel tiene impresa un área rectangular de 100 por 140 centímetros, enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es veces el perímetro del área impresa.
23. El ancho de la banda es A. 60 B. 30 C. 45 D. 20
24. Las dimensiones del cartel son A. 160 y 200 B. 180 y 240 C. 140 y 200 D. 120 y 180
RESPONDE LAS PREGUNTAS 25 Y 26 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
25. De los siguientes planos, el que representa la vista frontal de la torre cuya vista superior numerada se muestra en la figura 4 es:
72
26. La torre compuesta de cubos que corresponde a la figura 4 es:
RESPONDE LAS PREGUNTAS 27 Y 28 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
(oeste) E
N(norte)
S (sur)
o
La flecha inicialmente está ubicada en el centro (o) del plano y apunta hacia el norte (N). El juego consiste en que cuando el usuario oprime el botón “enter”, la flecha gira 45° (en el sentido de las manecillas del reloj), luego se desplaza en esa dirección quedando la “cola” de la flecha ubicada en el vértice inmediato. La rutina se repite de manera idéntica al pulsarse de nuevo el botón.
27. Si se oprime el botón cuatro veces, permitiendo que cada vez se repita la rutina completa, entonces la flecha quedará orientada respecto de su cola en dirección:
A. Nor-este B. Este C. Sur-este D. Sur
28. Partiendo de la posicion inicial de la flecha, la gráfica que representa la posición final de la “cola” de la flecha después de seis rutinas completas es: (P representa al punto final del movimiento).
73
29. La siguiente figura consta de ocho cubos iguales pegados:
Usando esta figura como base, la menor cantidad de estos mismos cubos que haría falta para construir un cubo sólido es:
A. 19 B. 27 C. 56 D. 66
30. Dados los siguientes triángulos
Puede afirmarse que
A. sólo el I es triángulo rectángulo B. sólo el II es triángulo rectángulo C. ambos son triángulos rectángulos D. ninguno de los dos es triángulo rectángulo
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BIBLIOGRAFÍA
WWW.ICFES.GOV.CO
MOISE, Edwin E. Elementos de geometría superior. Centro Regional de Ayuda Técnica. Agencia para el Desarrollo Internacional (AID), 1948.
BRUÑO, G. M. Geometría (Antiguo Curso Superior) 4aed. Félix de Bedout e Hijos, 1957. ÁLVAREZ, Emiliano. Elementos de Geometría: con numerosos ejercicios y geometría del compás. Editorial Universidad de Medellín, 2003.
NAVARRO, Roberto .Curso de Geometría, Centro de Publicaciones Universidad Nacional (sede Medellín – Facultad de Minas). Febrero 24 de 1969.
BEDOYA., Jorge y RÚA, V. Geometría del Espacio. Editorial Universidad de Medellín. 2007.
75
Componente aleatorio
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PresentaciónPoder leer tablas y gráficas y entender el análisis de la información numérica presentada en periódicos, revistas de noticias, revistas de negocios, revistas de interés general, revistas del hogar, revistas deportivas, revistas de coches, noticias de televisión, radio,… nos permite ser consumidores reflexivos y tomar decisiones adecuadas que afectan nuestra vida diaria y nuestro bienestar personal.
En cualquier línea, donde se desenvuelva el hombre, habrá que tomar decisiones en las que el análisis de datos será muy útil. Con el desarrollo del pensamiento aleatorio, los individuos adquieren herramienta auxiliar para todas las ramas del saber. Su uso y aplicabilidad se entiende mejor, teniendo en cuenta que los quehaceres y decisiones diarias entrañan un cierto grado de incertidumbre y que la estadística es una herramienta que ayuda a tomar decisiones más adecuadas, en cada situación, reduciendo ese grado de incertidumbre.
Las actividades propuestas presentan información pertinente y actualizada, tomada de fuentes confiables que permiten no sólo implementar conceptos básicos de estadística, sino también conocer datos estadísticos sobre accidentes, hurto y demás aspectos relacionados con el sistema automotor y, en particular, en las ciudades más representativas del país.
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Conceptos básicos de estadística: población, muestra y variables Organización y representación de datos: tablas, diagramas y frecuencias Medidas de tendencia central: media, moda y mediana Reglas multiplicativa Permutaciones Combinaciones Probabilidades
A continuación se presentan, de forma general, estadísticas del sistema automotor en Ciudades del país.
La siguiente gráfica representa la distribución de los resultados de Pruebas SABER los estudiantes de una institución educativa, según rangos de puntaje y niveles de desempeño en lenguaje, quinto grado.
Red Conceptual
Actividad
Tomada de: www.icfes.gov.co/saber5
De acuerdo con la gráfica, responda las siguientes preguntas
1. ¿Cuál es la moda de los datos?2. ¿Podría decirse que el resultado general de este grupo de estudiantes es malo, bueno, muy
bueno? ¿Por qué?
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3. ¿En cuál nivel de desempeño se halla la mediana?4. ¿Se puede hallar la media aritmética de estos resultados partiendo de los datos mostrados? Si
es posible, ¿cómo? 5. ¿Se puede calcular la varianza y la desviación de estos resultados partiendo de los datos
mostrados? Si es posible, ¿cómo? 6. Si la institución tenía 120 estudiantes matriculados que presentaron la prueba, ¿cuántos
“aprobaron” la prueba?, ¿cuántos la “perdieron? (se aprueba con el nivel mínimo). ¿Cuántos llegaron al nivel avanzado?
Recuerde
La moda es el dato que más se repite.La mediana es el dato que está en la mitad de los datos, cuando estos están organizados en forma ascendente o descendente. Es decir, agrupa el 50% de los datos.La media aritmética o promedio es igual a la suma de todos los datos sobre el número total de datos.
Actividad
El siguiente gráfico, “Carte figurative des pertes successives en hommes de l’Armée Française dans la campagne de Russie 1812-1813” (Mapa figurativo de las sucesivas pérdidas de hombres de la Armada Francesa en la campaña de Rusia 1812-1813), construido por Charles Joseph Minard (Dijón, 27 de marzo de 1781 – Burdeos, 24 de octubre de 1870) en 1869, a sus 88 años, es considerado el mejor gráfico estadístico en la historia y representa la desastrosa campaña de Napoleón, desde su salida de París hasta el asedio a Moscú, en 1812, y el posterior retiro de sus tropas de regreso a París. El gráfico muestra diferentes variables en una única imagen bidimensional:
la situación y dirección de las tropas, mostrando cómo las unidades se dividen y reagrupan. la merma de las tropas (nótese por ejemplo el paso del río Bereziná en la retirada). el descenso de temperaturas y cómo éste influye en las bajas.
Étienne-Jules Marey fue el primero en destacar este dramático retrato de Minard, manifestando que «desafía la pluma de los historiadores en su brutal elocuencia». Edward Tufte lo denominó «el mejor gráfico estadístico jamás dibujado». Howard Wainer lo calificaría también como una joya de los gráficos informativos.
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De acuerdo con la gráfica, trata de reconstruir de manera descriptiva cómo fue el avance de las tropas de Napoleón y que pasó después de su retiro.
Actividad
Tomada de: http://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Joseph_Minard
El propietario de dos distribuidoras de café ha obtenido la mayor utilidad por las ventas de las marcas El Cafetal y Buen Aroma, por lo cual decidió realizar entre sus clientes el sorteo de dos camionetas el 31 de diciembre, una en cada distribuidora. Por la compra de 20 kilos de cualquiera de las dos marcas de café, cada cliente recibirá una boleta para participar en el sorteo.
Las siguientes gráficas representan las ventas de las dos marcas de café en las dos distribuidoras
1.
Tomada de: Prueba para ingreso a la educación superior, ICFES, septiembre de 2003.
80
1. ¿Cuál es el promedio de ventas por mes para Buen aroma? ¿Cuál para el cafetal?
2. ¿Cuál es el promedio por mes de ventas para la distribuidora 1? ¿Cuál para la 2’
3. ¿En cuál mes ambas distribuidoras lograron sus mejores resultados?
4. En el último trimestre del año, ¿cuál marca se vende más? ¿Cuál en el tercer trimestre del año?
5. ¿Cuál distribuidora vendió, en el periodo de estudio, más la marca Buen aroma? ¿Cuál la marca El cafetal?
6. Representa los datos en tablas de frecuencias.
7. Un cliente se ha enterado que en cada distribuidora los números de las boletas entregadas serán registrados en el computador, para seleccionar aleatoriamente el número ganador. El cliente, que ha recibido la misma cantidad de boletas en las dos distribuidoras, desea saber en cual distribuidora tiene la mejor opción de ganar la camioneta. ¿Cuál será respuesta?
Lectura:
LA RULETA FRANCESA Y EL CLAN “LOS PELAYOS”
Todos los jugadores arriesgan, pero la mayoría de ellos no son plenamente conscientes del nivel de riesgo que asumen. Para algunos juegos, es posible minimizar los riesgos y maximizar el beneficio potencial. Si se pregunta a un matemático sobre cuál es la probabilidad de ganar en el juego de la Ruleta Francesa, responderá que es casi imposible, porque el hecho de que existan casillas marcadas desde el número 0 (cero) hasta el número 36 (treinta y seis) implica, en el caso de que apueste a un solo número, que el casino tendrá 36 opciones a favor y usted solo una.
Esta pregunta también podría ser planteada a un físico y, explicará que se presentan demasiadas variables (velocidad, peso, fricciones, rebotes, viento...) que impedirán pronosticar con suerte la casilla donde finalmente quedará la bola, aún en condiciones ideales.
En conclusión, la ruleta es el juego de puro azar por excelencia: todos los números, tienen la misma probabilidad de salir y el casino obtiene grandes beneficios mientras los jugadores son constantemente despojados de su dinero.
Las explicaciones anteriores podrán estar bien fundamentadas teóricamente, pero al conocer a “LOS PELAYOS”, un grupo de personas conformado por amigos y familiares, que desde principios de los 90 ganó varios cientos de millones de pesetas en ruletas de todo el mundo, se nos generan algunos interrogantes: ¿Cuál fue su secreto? ¿Son cosas de azar? ¿Implementaron algún algoritmo matemático? Todo nos lleva a concluir que implementaron un tipo de pensamiento y de mecanismos, no considerados en las teorías anteriores. Ellos
81
confiesan que parte del secreto radicó en tomar apuntes sobre los números que se obtienen con mayor frecuencia en la ruleta, al examinar, al menos, 5.000 lanzamientos y probar si la desviación se genera por un defecto de la máquina o por simple azar; aplican este sencillo sistema de forma metódica, con miembros del equipo (casi todos familiares) que durante semanas tomaban números, mientras otros apostaban; posteriormente, el grupo de los Pelayos ganó mucho dinero en casinos de toda Europa y América. Las ganancias se elevaron a más de 250 millones de pesetas.
Finalmente, según un estudio reciente, las personas con formación en conceptos matemáticos y estadísticos tienen mayor probabilidad de éxito en algunos juegos de azar. El módulo contiene situaciones y actividades donde se implementan y aplican conceptos básicos de la estadística, útiles en distintos contextos.
3.2 Mapa conceptual
82
3.3 Técnicas de conteo (análisis combinatorio)La teoría combinatoria estudia los métodos que permiten contar el número de diversos arreglos o selecciones que puede formarse con los elementos de conjuntos finitos. Entre sus aplicaciones prácticas está el cálculo de probabilidades, al permitir enumerar los casos favorables y los casos posibles. Tiene también utilidad en otras ramas, como por ejemplo, el cálculo de la complejidad o tiempo de ejecución de un algoritmo o programa informático, al estimar el número de operaciones que se realizan en un procedimiento algorítmico.
3.4 Reglas multiplicativas
Recuerde
Principio fundamental: si un primer evento se puede presentar de X formas distintas y un segundo evento lo puede hacer de Y formas distintas, la cantidad total de maneras diferentes como pueden presentarse los dos eventos simultáneamente es X multiplicado por Y, es decir X Y
EJERCICIO PROTOTIPO
¿De cuántas formas diferentes, se puede vestir una persona que posee tres camisas de diferentes colores (azul, roja y verde) y 2 pantalones de diferentes estilos (jean y sudadera)?
SOLUCIÓN:
MÉTODO ANALÍTICO
La persona podría colocarse la camisa azul con el jean o con la sudadera y estas serían dos formas diferentes de vestir. Con la camisa de color verde también tendría dos opciones diferentes (camisa verde con jean y camisa verde con sudadera) y con la roja otras dos (camisa roja con jean y camisa roja con sudadera). Así, en total serán 6 formas diferentes de vestir.
MÉTODO GRÁFICO
Podemos obtener un análisis gráfico así:
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En la gráfica, las flechas nos indican dos formas diferentes de vestir. Así, para el elemento del conjunto de camisas, en este caso la camisa verde, se le asignan dos elementos del conjunto de pantalones. Ahora, si seguimos desarrollando este método nos tocaría trazar dos flechas desde el elemento camisa azul, hacia los elementos del conjunto pantalones, y dos flechas desde camisa verde, hacia los elementos del conjunto pantalones. En total serían 6 formas diferentes de vestir.
MÉTODO OPERATIVO
En realidad este es para nuestro concepto el método más práctico, y consiste simplemente en multiplicar, el número de elementos del conjunto de camisas, por el número de elementos del conjunto de pantalones.
F = número de Formas diferentes de vestirC = número de elementos del conjunto camisas = 3P = número de elementos de conjunto de pantalones.= 2
Por lo tanto,F = C x P = 3 x 2 = 6
OBSERVACIÓN
Si, además de los dos conjuntos antes mencionados, camisas y pantalones, tuviéramos un tercer conjunto de pares de zapatos con dos elementos (zapatos negros y zapatos cafés), sería claro que la persona tendría 12 formas diferentes de vestirse, que son: las seis formas diferentes de vestirse con las camisas y los pantalones, pero con zapatos negros y las mismas 6 formas pero con zapatos cafés.
F = # formas diferentes de vestirC = # de elementos del conjunto camisas = 3P = número de elementos de conjunto de pantalones = 2Z = número de elementos de conjunto de zapatos = 2
CAMISAS Camisa verde Camisa azul
Camisa roja
PANTALONES Jean Sudadera
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Por lo tanto,F = C x P x Z = 3 x 2 x 2 = 12.
Ejercicios de aplicación
1. Entre Medellín y Cali hay ocho buses haciendo los recorridos. ¿De cuántos modos puede hacer el viaje de ida y vuelta una persona, si el viaje de vuelta debe hacerlo en un bus diferente al de ida?
2. Un estudiante que ingresó a la universidad, debe tomar un curso de Ciencias, uno de Humanidades, uno de Matemáticas y uno de Comunicación. Si es posible elegir entre 5 cursos de Ciencias, 3 de Humanidades, 6 de Matemáticas y 2 de Comunicación, ¿de cuántas formas diferentes puede elaborarse su horario?
3. El constructor de una nueva subdivisión, ofrece a sus posibles compradores de casas una selección de 3 diseños, 5 diferentes sistemas de calefacción, una cochera cerrada o abierta y un patio o porche cubierto. ¿Cuántos planes diferentes están disponibles para un comprador?
4. ¿Cuántos menús que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco existen se pueden ofrecer, si se tienen 6 tipos de sopa, 2 de emparedados, 4 de postres y 7 de refrescos?
5. A los participantes de una convención, se les ofrecen 5 recorridos para visitar diariamente un lugar de interés, durante los 3 días de duración del evento. El total de recorridos diferentes, que una persona puede hacer durante los 3 días es…
6. Un determinado zapato se fabrica en 9 estilos diferentes y en 3 colores distintos para cada estilo; si la zapatería desea mostrar a su clientela, pares de zapatos en todos los estilos y colores, ¿cuántos pares diferentes deberán colocar en el aparador?
7. Puede comprarse un medicamento para la cura del asma, ya sea líquido, en tabletas o en cápsulas, a 4 diferentes fabricantes y todas las presentaciones en concentración regular o alta. ¿De cuántas formas diferentes, puede un médico recetar la medicina a un paciente que sufre de este padecimiento?
8. En un estudio de economía de combustibles, se prueban 4 carros de carreras con 3 diferentes marcas de gasolina, en 6 sitios de prueba en distintas regiones del país; si se utilizan 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajo cada conjunto de condiciones, ¿cuántas pruebas se necesitarán?
9. ¿Cuántos números pares, de tres dígitos, pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 5 y 9, si cada uno de ellos puede utilizarse sólo una vez?
10. Un experimento, consiste en lanzar un dado y después elegir al azar una consonante. ¿Cuántas posibles parejas pueden darse? (El alfabeto tiene 26 letras en total)
85
3.5 Permutaciones
Importante
permutación, a toda ordenación de un conjunto de n elementos distintos, en r elementos y se simboliza n elementos en r elementos.
Ejercicio
¿De cuántos modos pueden sentarse 4 personas (Jorge, Carlos, Beatriz y Sergio) en 3 puestos diferentes (silla A, silla B y silla C)?
SOLUCIÓN:
MÉTODO ANALÍTICO
Se puede observar en este ejercicio, que el número de estudiantes es mayor que el número de sillas; esto obliga a la persona que los va a ubicar en las sillas, primero, a escoger 3 de los 4 estudiantes (combinación), y luego ubicarlos como se hizo en el ejercicio prototipo anterior; esto debido a que no tiene sino tres sillas para ubicar los estudiantes; pero en el capítulo de las combinaciones mostramos, cómo encontrar el número de selecciones posibles que se pueden hacer de un conjunto de n elementos en grupos de r elementos, y nos dimos cuenta de que la manera más práctica, era aplicando simplemente la fórmula
Donde n: es el número de elementos del conjunto. r: es el número de elementos que se desea seleccionar. C: es el número total de selecciones diferentes que se pueden tomar.
Por lo tanto, el número total de selecciones de 3 estudiantes, que se puede hacer con los cuatro estudiantes es:
86
Estas 4 selecciones de tres estudiantes son:
Selección 1 Jorge, Carlos , BeatrizSelección 2 Jorge, Carlos, SergioSelección 3 Jorge, Beatriz, SergioSelección 4 Beatriz, Carlos, Sergio
Pero por cada una de estas selecciones se puede obtener seis diferentes maneras de ubicar los 3 estudiantes seleccionados en las 3 sillas. Es decir, con la selección 1 (Jorge, Carlos y Beatriz) se tiene las siguientes ubicaciones:
Silla A Silla B Silla CPrimera opción Beatriz Jorge CarlosSegunda opción Beatriz Carlos JorgeTercera opción Jorge Beatriz CarlosCuarta opción Carlos Beatriz JorgeQuinta opción Jorge Carlos BeatrizSexta opción Carlos Jorge Beatriz
Y así, podríamos encontrar 6 formas diferentes de ubicara las personas de la selección 2, otras 6 opciones para las personas de la selección 3, y otras 6 opciones para las personas de la selección 4; en total serían 24 formas diferentes de ubicar los 4 estudiantes en las 3 sillas.
MÉTODO OPERATIVO
Cuando de un conjunto de n elementos se desee ordenar grupos de r elementos, la cantidad de veces que esto se puede hacer está determinada por la fórmula
Aplicando esta fórmula a nuestro ejercicio prototipo donde n = 4 y r = 3. Se obtiene
Que de nuevo confirma nuestro resultado obtenido por el método analítico.
87
1. ¿Cuántas señales distintas, pueden hacerse con 7 banderas izando 4 cada vez?
2. Se sacan dos boletos de la lotería entre 18 posibles, para el primero y segundo premios, respectivamente. ¿Cuál es el número total de las formas distintas que pueden sacarse?
3. ¿En cuántas formas diferentes pueden llenarse las 5 posiciones de un equipo de baloncesto con 10 jugadores, donde cada jugador maneja su posición?
4. ¿En cuántas formas, puede la Sociedad Colombiana de Estadística programar 5 diferentes congresos en tres fechas distintas, si dispone de 6 fechas posibles?
5. ¿Cuántas palabras de dos letras distintas, pueden formarse con las letras de la palabra Santander?
6. ¿Cuántos números de 3 dígitos mayores que 280, se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si cada dígito puede utilizarse solo una vez?
7. El testigo de un accidente, en el que el causante se dio a la fuga le dijo a la policía que el número de placa tenía las letras MMG seguidas de tres dígitos, el segundo de los cuales era 2. Si el testigo no puede recordar los otros dos dígitos, pero está seguro de que eran iguales pero diferentes al que recuerda, encuentre el número máximo de registros de automóviles que la policía tendrá que revisar.
8. ¿De cuántas maneras diferentes es posible contestar una prueba de verdadero-falso que consta de 12 preguntas?
9. ¿Cuántas boletas de tres cifras, se pueden hacer con los números 1, 2, 3, 4, 5?
10. Para hacer una rifa de 4 cifras distintas con los números del 0 al 20, ¿cuántas boletas habrá que timbrar?
3.6 Combinaciones
Ejercicios de aplicación
Importante
Combinación(n,r) n elementos tomados de r.
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EJERCICIO PROTOTIPO (COMBINACIÓN: selecciones sin repetir elementos)
¿De 4 estudiantes (Eliana, Víctor, Paola y Andrés) cuántas selecciones diferentes de 2 estudiantes se pueden hacer?
SOLUCIÓN:
MÉTODO ANALÍTICO
La persona que seleccionará los dos estudiantes del grupo, lo podrá hacer de la siguiente manera: (Víctor-Paola, Víctor-Andrés y Víctor-Eliana). Pero si escogiera primero a Andrés, tendría las opciones (Andrés-Eliana, Andrés-Víctor y Andrés-Paola); lo mismo ocurriría si la primera elegida es Eliana o si es Paola, Podríamos entonces pensar, que en total hay12 parejas diferentes, tres por cada estudiante. Pero se está cometiendo un error, ya que dentro de este grupo de 12 parejas hay algunas que son iguales, por ejemplo, la pareja Víctor–Andrés (cuando se escoja primero a Víctor) y la pareja Andrés-Víctor (cuando se escoja primero Andrés). Esto debido a que al seleccionar o al escoger dos elementos, como lo propone el ejercicio, no nos importe el orden en que lo hagamos, o sea, es indiferente si escogemos primero a Andrés y luego a Víctor, que si escogemos primero a Víctor y luego a Andrés; entonces, en total habría 6 parejas diferentes que serían: Con Víctor como primer escogido las parejas: Víctor-Paola, Víctor-Andrés y Víctor-Eliana. A hora, en un segundo paso escogemos a Andrés y se obtienen las parejas: Andrés-Eliana y Andrés- Paola. No colocamos la pareja Andrés-Víctor por las razones que ya se explicaron anteriormente y la pareja faltante es Eliana y Paola; vemos, entonces, que no falta ninguna otra pareja.
MÉTODO GRÁFICO
Gráficamente miraremos las parejas que realmente son diferentes.
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Es claro, entonces, que cualquiera otra flecha que se trace entre los dos conjuntos, lo único que haría, sería repetir una de estas parejas.
MÉTODO OPERATIVO
Cuando de un conjunto de n elementos se desee escoger (seleccionar) un subgrupo de r elementos, como es el caso del ejercicio propuesto, entonces, el número de veces que esto se puede hacer, lo podemos encontrar fácilmente, aplicando la fórmula siguiente.
Donde
n: es el número de elementos del conjuntor: es el número de elementos que se desea seleccionarC(n,r): es el número total de selecciones diferentes que se pueden tomar
A manera de ejemplo resolveremos el ejercicio propuesto.
¿De 4 estudiantes (Eliana, Víctor, Paola y Andrés) cuántas selecciones diferentes de 2 estudiantes se pueden hacer?
Como se desea conocer, el número de selecciones diferentes de 2 elementos (estudiantes) que se pueden extraer de un conjunto de 4 elementos (estudiantes) aplicamos la fórmula; pero con los valores n = 4 y r = 2. Así.
Por lo tanto, hay 6 selecciones diferentes posibles.
Ejercicios tipo rutina
1. ¿Cuántas selecciones de 4 pasteles pueden hacerse con un pastel de vainilla, chocolate, uno de frambuesa, uno de fresa, uno de piña, uno de limón?
2. Si debo jugar 10 partidas de ajedrez en un torneo, ¿de cuántas maneras puedo terminar el torneo ganando 5 partidas?
3. Si debo jugar 11 partidas de ajedrez en un torneo, ¿de cuántas maneras puedo terminar el torneo con 2 empates?
90
4. ¿Cuántas selecciones de cuatro letras, pueden hacerse con las letras de la palabra MURCIÉLAGO?
5. ¿Cuántos titulares de 5 futbolistas pueden hacerse con 12 jugadores, si cada uno puede jugar en cualquier posición?
6. Encontrar el número de comités, que se pueden formar con 6 hombres y 4 mujeres y que comprendan 2 hombres y 2 mujeres.
7. Encontrar el número de comités, que se pueden formar con 3 colombianos, 3 peruanos y 6 bolivianos, que comprenden 3 peruanos, 3 bolivianos y 1 colombiano.
8. ¿De cuántas formas se pueden sacar 4 libros de matemáticas, de una caja que contiene 7 libros de matemáticas y 6 de español?
9. Una fábrica de autos ofrece a sus posibles compradores una selección de 5 colores, 4 diferentes sistemas hidráulicos, un parabrisas polarizado o normal, y compuertas dobles o sencillas. ¿Cuántos diseños diferentes están disponibles para un comprador?
10. En una caja hay 5 bolas amarillas y 6 azules. ¿De cuántas formas diferentes se pueden extraer tres bolas y que éstas sean del mismo color?
11. ¿Cuántas selecciones de 6 profesionales se pueden hacer de un grupo de 4 matemáticos, 3 físicos, y un biólogo, si siempre debe estar el biólogo?
3.7 Probabilidades
No olvide
La probabilidad clásica o de LaPlace se da cuando en un experimento aleatorio, la probabilidad de que un evento E ocurra es:
Probabilidad de que ocurra un evento P(E)=
La probabilidad frecuencialista, se da cuando se ha observado que un suceso ocurre a veces en n pruebas y se determina:
Probabilidad de que ocurra un evento P(E)=
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Ejemplo 1
Si de un naipe se extrae una carta al azar: (hay cuatro cartas de una misma especificación; el naipe tiene 52 cartas):
A. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un trébol? B. ¿Cuál es la probabilidad de que sea AS negro? C. ¿Cuál es la probabilidad de que sea letra y diamante?
Solución:
Como el naipe contiene 52 cartas, hay 52 casos posibles C(P), de los cuales 13 cartas marcadas con trébol, o sea, 13 casos favorables. Así. La probabilidad es: (una de cada cuatro).
De las 52 cartas 2 son AS negro, por tanto,
Hay 4 letras (A, J, Q, K) por cada una de las cuatro pintas (trébol, diamante, pica y corazón), así:
Ejemplo 2:
Al lanzar un dado cuál es la probabilidad de:
A. Obtener un 1 ó un 6 B. Sacar un número divisor de 6
Solución:
Hay 6 casos posibles y uno solo por cada cara del dado; dado que sacar 1 ó 6 son independientes entre sí, o sea, que ocurra uno u otro no depende entre sí, la probabilidad es igual a la suma de ambas probabilidades:
Los divisores de 6 son: 1, 2, 3 y 6, o sea, 4 eventos favorables, por tanto,
92
Ejemplo 3:
Si se lanzan dos dados cual es la probabilidad de obtener: A. Impar B. Cuatro en la suma de sus caras C. Seis en la suma de sus caras
Solución:
Al lanzar dos dados los casos posibles son, según el principio multiplicativo, 6 6=36 casos de los cuales hay 18 resultados impares posibles. Así,
Al lanzar dos dados los casos posibles son 36, de los cuales 3 son favorables: {(1,3);(3,1);(2,2)}, entonces
Los casos en que la suma es 6 son: [(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)], o sea, 5 eventos favorables. Luego:
Ejemplo 4.
De un grupo de 40 estudiantes 25 estudian Matemáticas y 30 estudian Física. Teniendo en cuenta que todo integrante del grupo estudia, al menos, una de esas dos materias, calcular la probabilidad de que al seleccionar A. un estudiante, estudie sólo Matemáticas. B. un estudiante, estudie ambas materias C. dos estudiantes, sólo estudien una de las dos materias D. dos estudiantes, estudien Matemática y Física.
Solución: la gráfica que representa la situación es
Matemáticas Física
10 15
15
93
A. Como hay 40 casos posibles y 10 son favorables, entonces,
B. Como hay 40 casos posibles y 15 son favorables, entonces,
C. Para resolver este punto se procede como si se fuera a escoger un estudiante y luego el otro, así, para seleccionar el primero tenemos 25 estudiantes que estudian sólo una materia de las dos y 40 estudiantes en total, luego, la probabilidad de seleccionar un estudiante que estudie sólo una materia de ambas es de 25/40; pero al seleccionar el segundo estudiante ya son 24 los que estudian una sola materia de los que quedan, después de seleccionar al primero, y ya quedan 39 estudiantes. Así, la probabilidad de seleccionar un segundo estudiante que estudie una sola materia es de 24/39. Por tanto,
Otra forma de hacerlo, considerando que se toman de a dos personas, lo que
implica una combinación, como hay 40 estudiantes y tomo de a dos, entonces hay
Los casos posibles, de los cuales los favorables están determinados por la expresión:
Por lo tanto,
Observe que en ambos casos da los mismo, lógicamente así debe ser.
D. Resuelva este literal, aplicando el mismo principio del ejercicio anterior.
3.8 PREGUNTAS SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA
La siguiente tabla presenta como se distribuyen la edades de un grupo de décimo grado en determinado colegio:
.
.
94
EdadFrecuencia
absoluta
14 8
15 22
16 16
17 3
18 1
1. De acuerdo con esta información, se puede afirmar que A. la mitad de los estudiantes tiene 15 años B. el valor correspondiente al primer cuartil es 14 años C. las dos quintas partes de los estudiantes tienen al menos 16 años D. la octava parte de los estudiantes tiene más de 16 años
2. Por las características que tiene el fútbol, dependiendo de la tasa media de goles que marca un equipo ya sea de visitante o de local, se puede predecir con cierta probabilidad cual es el marcador en un determinado partido. La siguiente tabla relaciona la probabilidad, en porcentaje, de anotar un número determinado de goles, en función del promedio anotado.
GolesPromedio 0 1 2 3 4
0,8 45% 36% 14% 4% 1%1,2 30% 36% 22% 9% 3%1,6 20% 32% 26% 14% 8%2,0 14% 27% 27% 18% 14%
Suponiendo que los números de goles marcados por cada equipo son independientes entre sí y que dos equipo se enfrentarán, el local con un promedio de 1,6 goles y el visitante con una media de 0,8 goles, la probabilidad de que el partido quede empatado es igual a:
A.B.C.D.
3. La siguiente gráfica representa la distribución de frecuencias por edad de los conductores de automóvil con licencia en el año de 1962 en los Estados Unidos.
95
Puede afirmarse que A. el promedio y la mediana son similares B. el promedio es mucho mayor que la mediana C. la mediana es mucho mayor que el promedio D. no puede asimilarse cual valor es mayor entre el promedio y la mediana
4. La siguiente gráfica representa la distribución de frecuencias acumuladas por edad de los conductores de automóvil con licencia en el año de 1962 en los Estados Unidos.
96
Puede afirmarse que los valores del primer cuartil y de la mediana son, respectivamente
A. 25 y 50 B. 250 y 500 C. 205 y 410 D. 25 y 34
Observa atentamente la figura. Está constituida por caminos con ramales. En el punto I se coloca un robot, el cual toma un camino de manera aleatoria (al azar). La probabilidad de que el robot salga por Y es igual a
A. 1/4 B. 1/3 C. 1/6 D. 1/5
5. María le propone a su amigo Juan que adivine cuántas bolas de cada color hay en su bolsa oscura, si en total hay 10. Ella le propone un juego, que consiste en sacar una bola al azar, luego introducirla de nuevo en la bolsa, sacar otra, mostrarla, introducirla en la bolsa. El procedimiento se repetirá hasta que Juan pueda concluir acertadamente el resultado. Las tablas mostradas indican los resultados obtenidos en cada sacada.
Azul x x x x x x x x x x x x x x xAmarillo x x x x x x x x x x x x
Rojo x x x x
Azul x x x x x x x x x x x x x x x x x x xAmarillo x x x x x x xRojo x x x x
Azul x x x x x x x x x x x x x x x x x xAmarillo x x x x x x x x xRojo x x x
Al terminar el saque número treinta, María le propone a Juan hacer una apuesta: ella ganaría si la próxima bola fuese azul y él si no lo fuera. La apuesta es
A. justa, puesto que la probabilidad de salir azul es 0,5 B. injusta, porque tiene más probabilidad de ganar María C. injusta, porque Juan tiene opción de dos colores frente a uno de María D. injusta, porque tiene más probabilidad de ganar Juan
97
RESPONDE LAS PREGUNTAS 7 Y 8, E ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACÓN
El gráfico muestra el porcentaje de personas, por rangos de edad, que asistieron a cine durante el 200 en la ciudad de Cali.
Porcentaje ; 5 a 11; 22,10
Porcentaje ; 12 a 25 ;
33,63 Porcentaje ; 26 a 40;
25,00 Porcentaje ;
41 a 64; 14,00
Porcentaje ; 65 y más;
4,77
6. Analizando el gráfico anterior, podemos afirmar que A. el comportamiento regular del gráfico es alterado por la cantidad de personas mayores de
65 años B. la mayor afluencia de personas se presenta entre los 26 y los 40 años C. hay un aumento inicial con la edad pero se presenta menor asistencia en la medida en que
las personas superan los 25 años D. asiste a cine más personas mayores de 40 años que menores de 40 años
7. Para conocer, aproximadamente el número de personas que asistieron a cine, por cada rango de edad, es suficiente con saber
A. la población encuestada en Colombia B. la población encuestada en cada rango de edad C. la población encuestada mayor de 5 años D. la población encuestada en cada departamento y ciudad
RESPONDE LAS PREGUNTAS 9 Y 10, DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En las zonas rurales de nuestro país las personas deben desplazarse largas distancias para acudir al centro médico. Un estudio tomó una muestra de 20 personas y anotó la distancia que recorrieron para llegar al centro médico.
Habitante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Kilómetrosrecorridos 2,5 2 3,6 2,8 4 3,6 2,4 4,5 5 4,8 3,2 2,2 4,2 2,5 3,7 4,6 3,4 3,9 3,3 2,8
98
8. La amplitud de la variación de datos es A. 3 B. 5 C. 19 D. 20
9. La media aritmética es un valor entre A. 2,5 y 3,0 B. 3,0 y 3,5 C. 3,5 y 4,0 D. 4,0 y 4,5
10. Puede afirmarse que cuando la dispersión de los datos aumenta A. la desviación típica disminuye B. la media aritmética disminuye C. la desviación típica aumenta D. la media aritmética aumenta
11. Al concurso nacional de la belleza se presentaron doce candidatas. El número total de maneras en que se pueden seleccionar las tres finalistas es
A. 36 B. 1.320 C. 144 D. 1.728
12. En un grupo de 35 personas hay 25 futbolistas y 23 beisbolistas. ¿Cuál es la probabilidad de que, al seleccionar 2 personas, una sea futbolista solamente y la otra beisbolista, solamente?
A. 13/35 B. 22/595 C. 24/119 D. 13/595
13. Dora y Paola diseñaron un juego con dos dados. Cada una lanza un dado. Si sale el mismo número en ambos lados, gana Dora; pero si la suma de los dos dados es cinco, gana Paola. ¿Cuál es la probabilidad de que gane Dora?
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/5 D. 1/6
14. De acuerdo con la situación del ítem anterior, la probabilidad de que ninguna de las dos gane es A. 0 B. 1/2
99
C. 7/18 D. 11/18
15. Se responde una prueba de falso o verdadero con 5 preguntas. La probabilidad de sacar la máxima nota en la prueba, si se responde al azar, es
A. 1/2 B. 5/10 C. 1/6 D. 1/132
16. La figura representa un dodecaedro regular (poliedro de 12 caras de forma pentagonal regular). Seis de sus caras tienen dibujado de a un círculo, dos de sus caras tienen dibujado de a un triángulo y cuatro de sus caras de a un cuadrado. Si se lanza, a la vez, el dodecaedro y una moneda, la probabilidad de que la cara superior sea un cuadrado y de que la moneda sea sello es
A. 2/3 A. 1/3 A. 1/4 A. 1/6
17. De acuerdo con la situación anterior, la probabilidad de que la cara superior sea círculo o triángulo y la moneda cara es
A. 5/6 B. 2/3 C. 5/12 D. 1/6
18. El peso promedio de los 10 integrantes de un equipo deportivo es 75 kg y se sabe que el peso promedio de 8 de ellos es 74 kg.
De los siguiente pares de números, los que pueden considerarse que corresponden a los pesos de los otros dos integrantes es(i) 72 kg y 86 kg (ii) 80 kg y 70 kg (iii) 82 kg y 68 kg
A. (ii) y (iii) solamente B. (i) y (ii) solamente C. (iii) solamente D. (i) solamente
100
19. A un grupo de personas entrevistadas se les preguntó por su deporte favorito. La mitad de las personas respondió que el fútbol, la cuarta parte de ellas que el baloncesto, la quinta que el atletismo y las tres personas restantes no contestaron. La probabilidad de que al seleccionar una de esas personas entrevistadas, ésta no haya contestado es
A. 0,33 B. 0,14 C. 0,05 D. 0,02
20. En una urna hay balotas amarillas, blancas y rojas. La probabilidad de sacar al azar una balota amarilla es 0,25, la de sacar una blanca es 0,5 y hay 4 balotas rojas. Es correcto afirmar que en la urna hay
A. 3 balotas amarillas y 6 blancas B. 4 balotas amarillas y 8 blancas C. 8 balotas amarillas y 16 blancas D. 25 balotas amarillas y 50 blancas
21. Una urna contiene balotas azules y balotas rojas. La probabilidad de sacar una balota azul es 11/31. Se extrae una primera balota de la urna y es azul. Si no se introduce esta balota en la urna y si se extrae otra balota, la probabilidad de que la nueva balota sea azul es
A. la cuarta parte de la probabilidad de que sea roja B. la mitad de la probabilidad de que sea roja C. igual a la probabilidad de que sea roja D. la tercera parte de la probabilidad de que sea roja
22. la siguiente gráfica muestra el comportamiento de las ventas (por toneladas) de yuca y arroz en los últimos meses del año, en cierta población.
Arroz ; Septiembre;
8
Arroz ; Octubre; 10
Arroz ; Noviembre;
12
Arroz ; Diciembre;
14
Yuca; Septiembre;
5
Yuca; Octubre; 6
Yuca; Noviembre;
4
Yuca; Diciembre; 7
Arroz Yuca
101
Puede afirmarse que el promedio de venta de arroz en estos cuatro meses fue A. 25% más que el promedio de venta de yuca B. 75% más que el promedio de venta de yuca C. 50% más que el promedio de venta de yuca D. 100% más que el promedio de venta de yuca
23. La siguiente gráfica muestra los resultados de los últimos cinco censos realizados en Colombia respecto a los porcentajes de alfabetismo de mujeres y hombres mayores de 15 años.
Si se mantiene la tendencia de crecimiento que se observa en la gráfica, de las siguientes situaciones, las que se puede presentar en el año 2015 son
I. El porcentaje de alfabetismo en Colombia será del 100%II. El porcentaje de alfabetismo en los hombres estará por encima del 88%III. El porcentaje de alfabetismo en las mujeres será superior al de los hombres
A. I y II solamente B. I y III solamente C. II y III solamente D. III solamente
24. Se le preguntó a 240 personas sobre la frecuencia con la que acostumbran comprar lotería. El resultado de la encuesta se presenta a continuación:
102
El número de personas que compran la lotería cada seis meses es
A. 60 B. 80 C. 120 D. 140
RESPONDE LAS PREGUNTAS 26 Y 27, DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
25. De la gráfica, puede afirmarse que A. para el 2008 se espera que hayan 3.650 millones de suscriptores B. el mayor incremento de usuarios se dio en el periodo 2004-2006 C. la mitad de la población mundial actual ya es suscriptora de la telefonía móvil D. el menor incremento en el número de usuarios se dio en el periodo 2006-2007
26. si una oficina de mercadeo esperaba para el año 2008 un incremento del 20% en el número de suscriptores de telefonía móvil a nivel mundial, entonces, la cantidad de suscriptores que esperaba era de
A. 3.673 millones B. 3.650 millones C. 3.950 millones D. 4.000 millones
RESPONDE LAS PREGUNTAS 28 Y 29, DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
La siguiente gráfica muestra el rango de edades de los usuarios de telefonía móvil en Colombia
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27. De la gráfica puede afirmarse que A. las personas encuestadas son 50.000 en total B. la media, la moda y la mediana coinciden en el mismo rango de edad C. la mayoría de los usuarios de telefonía móvil son personas mayores que 37 años D. el 58% de las personas corresponden a usuarios menores de 36 años
28. Si se encuesta a 36 nuevos usuarios, es posible afirmar que la media puede cambiar debido a A. un aumento en la frecuencia de ocurrencia de los datos B. el cambio de posición de todos los datos C. el crecimiento de la cantidad de usuarios encuestados D. la variación de las frecuencias acumuladas
29. En un sorteo, para prestar el servicio militar, se deposita en una bolsa 30 balotas distribuidas así: 8 balotas blancas, 12 balotas verdes y 10 balotas amarillas. Quien saque una balota blanca no presta el servicio militar, quien saque una verde lo hace en el ejército y quien saque una amarilla lo hace en la policía. La probabilidad que tiene el primer estudiante que saque una balota de prestar su servicio militar en el ejército o en la policía es
A. 2/3 B. 1/15 C. 11/15 D. 1/3
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BibliografíaBaldor, A. (1983). Algebra. Cuba.
Martínez, C. (1997). Estadística Comercial. Santa Fe de Bogotá: Ecoe Ediciones. Miller,C.,Heeren,V.,&Hornsby,J.(1999).Matemática Razonamiento y Aplicaciones. México: Pearson.
Morales,M.,Rodríguez,V.,Gómez,W.,Joya,A.,&Gómez,M.(2010).HipertextoSantillana. 2011. Bogotá: Santillana.
Rodríguez,B.,Dimaté,M.,&Beltrán,L.(1996).MatemáticaconTecnologíaAplicada. Santa Fé de Bogotá: Prentice Hall.
