Matemáticas Funciones y cálculo infinitesimal: Cálculo de derivadas...

Funciones y cálculo infinitesimal: Cálculo de derivadas.

Aplicaciones

MatemáticasFunciones y cálculo infinitesimal: Cálculo de derivadas. Aplicaciones

Imagen en Flickr de dullhunk bajo CC

1. Concepto de derivada

Fotografía en Flick de nickicolleen bajo CC

En el siglo XVII junto a la geometría analíticasurge el cálculo infinitesimal, este consta dedos partes principales:

El cálculo diferencial.

El cálculo integral.

El primero aparece en relación a problemasque se venían planteando desde hacía siglos,similares a los siguientes:

Determinación de la velocidad instantáneade un móvil en un punto de su trayectoria.

Obtención de la recta tangente a una curvaen uno de sus puntos.

Ambos problemas, si bien muy distintos, tienenun mismo planteamiento matemático a la hora de su resolución. Para entenderlo vamos a utilizar la siguienteanimación de GeoGebra. La misma la puedes poner en marcha o parar pulsando sobre el botón que figura en laparte inferior izquierda.

Fuente propia bajo Dominio público

Si no puedes ver la anterior escena pulsa sobre el siguiente enlace.

En la animación de arriba podemos observar la gráfica espacio-tiempo que recoge la distancia que recorre un móvilen función del tiempo. Si hallamos las posiciones que ocupa el móvil en los puntos A y B, podemos determinar lavelocidad media que ha llevado entre esos dos puntos a partir de la fórmula de la tasa de variación media (TVM),esta a su vez es la pendiente de la recta secante que figura en azul. Cuando activamos el botón de ejecución de laanimación podemos observar que si el punto B se va acercando al punto A, los valores de la tasa de variaciónmedia van variando y se van aproximando a la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto A la cualfigura en color rojo. A este valor se le conoce como tasa de variación instantánea (TVI), y constituye la velocidadinstantánea del móvil en dicho punto.

Si hacemos abstracción en la animación de arriba del significado de las variables. El mismo planteamiento nospermite también hallar la recta tangente a una curva en cualquiera de sus puntos. Si activamos la animaciónpodemos observar que a medida que el punto B se va aproximando al A, la secante (en azul), se va acercandocada vez más a la tangente (en rojo), analíticamente esto lo indica el hecho de que el valor de la tasa de variaciónmedia se va aproximando cada vez más a la pendiente de la recta tangente, la cual constituye la tasa de variacióninstantánea.

Tanto en el caso del móvil como en el de la recta tangente en el punto A, encontramos como denominador comúnque existe una magnitud h, que se va haciendo "tan pequeña como se quiera" o "infinitamente pequeña" la cual asu vez ocasiona que otra magnitud (el cociente c/h en la animación) tienda hacia un valor concreto. Ladeterminación de este valor matemáticamente se realiza mediante una operación de obtención de un límite o dar el"paso al límite". Las expresiones: "tan pequeña como se quiera" o "infinitamente pequeña" se utilizaron durantesiglos hasta que en el siglo XIX se procedió a una definición más formal y rigurosa por parte de Cauchy de ese"hacerse infinitamente pequeño".

La tasa de variación instantánea en un punto se conoce como derivada de la función en un punto. A partir de laderivada de la función en un punto podemos dar un paso más y hallar la derivada de la función para un puntogenérico x cualesquiera, la expresión obtenida se le conoce como función derivada.

Por último, al alumno/a le debe quedar claro que la derivada de la función en un punto es igual al valor de lafunción derivada en dicho punto.

1.1. Tasa de variación media y variación instantánea

Si tenemos una función f, la tasa de variación media de la función entre dos puntos a y b vienedada por:

Geométricamente, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a,b] es la pendiente dela recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).

Observemos la siguiente escena de GeoGebra. En ella, podemos calcular distintas TVM para la función f(x)=x2+2xen cualquier intervalo y ver qué relación guarda con la recta secante.

Calcula la tasa de variación media de la función f(x)=x2+3x+1 en el intervalo [-2,1]

Importante

Caso de estudio

Si ahora volvemos a las funciones y, teniendo en cuenta que b es mayor que a, se puede expresar b como a+h,donde h sería un número real y positivo, y de esta forma la tasa de variación media se podría expresar con lasiguiente fórmula:

Si h se aproxima a cero, el punto b=a+h se aproximará al punto a y la tasa de variación media tenderá entonces aun valor que denominamos tasa de variación instantánea de la función f en el punto a. Que si hablamos entérminos de velocidad, sería justo la que marca el velocímetro de nuestro coche en un determinado momento.

La tasa de variación instantánea de una función f en un punto viene dada por:

Importante

Calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x)=x2 en x=2

La tasa de variación instantánea es 4.

1.- La tasa de variación media entre los valores 1 y 3 es .

2.- La tasa de variación media entre los valores 4 y 8 es .

3.- La tasa de variación instantánea en el valor 3 es .

4.- La tasa de variación instantánea en el valor 5 es .

Ayúdales completando los valores.

Enviar

Unos diseñadores informáticos han estado trabajando durante varios meses para poder acercar, através de Internet, una visita a la Capilla Sixtina. El movimiento que se puede realizar en cada unade las direcciones dentro de la recreación virtual de la Capilla, lo han conseguido a través de unafunción plana que se aplica en la dirección en la que se mueve el ratón del ordenador, de formaque pueda seguir ofreciendo una perspectiva próxima a la realidad. La función utilizada es:

De esta función han realizado las siguientes anotaciones en su estudio:

La empresa de motores MOTORESA ha diseñado un nuevo motor de gasolina que pretendeintroducir en el mercado. Los ingenieros de la empresa saben que el consumo de gasolina

Caso de estudio

Actividad de rellenar huecos

Caso de estudio

Fotografía en Flick de williamcho bajo CC

la velocidad es

Para contrastar lo bueno que es el motor frente asus competidores, han decidido basarse en latasa de variación instantánea del consumo delmotor a velocidad 1.

Calcula esa tasa de variación instantánea.

La tasa de variación instantánea es la derivada

de la función en el punto (estose verá en el siguiente apartado). En elsiguiente vídeo podemos comprobar cómo secalcula:

1.2. Derivada de una función y función derivada

Fotografía en Flick de Wonderlane bajo CC

Si tenemos una función llamamos derivada de la función enun punto a la tasa devariación instantánea de la función en

el punto y se denota . Así,según la definición tenemos que:

Recuerda que para que exista estelímite, deben existir los límiteslaterales y coincidir. Así, de la mismaforma, podemos definir las derivadaslaterales como:

Derivada por la derecha:

Derivada por la izquierda:

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a lagráfica de la función en dicho punto.

Podemos comprobar en la escena de GeoGebra del apartado anterior, cómo efectivamente si hacemos coincidir ay b, la recta secante se convertirá en la recta tangente.

x -2 -1 0 1 2 3 4

f'(x)

Completa en la siguiente tabla las derivadas en los puntos de abscisas -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4 de la

función f(x)=x2-2x.

Importante


Debes aplicar la definición de derivada en un punto.

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

En el punto de abscisa x=-2.

Para ello tenemos que recurrir a la definición de derivada y calcular f'(1):

Luego la pendiente de la recta tangente en x=-2 es

Caso de estudio

Actividad

nueva función que para cada valor x nos proporciona la derivada de la función en el punto x. A lafunción derivada de f(x) la denotaremos f'(x), aunque también la puedes ver representada como

. De esta forma tenemos que:

Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto x, lapendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

La derivada de la función en un punto es un número el cual es igual al valor que adopta lafunción derivada en dicho punto.

Los valores de la tabla que rellenamos en el primer ejercicio de este apartado corresponden a la recta y=2x-2.¿Será entonces f'(x)=2x-2?

Para probarlo, vamos a obtener la derivada de f(x)=x2-2x en un punto cualquiera, x.

En la siguiente escena de Geogebra, distinguimos cómo va surgiendo la derivada de la función f(x)=x3 de lamanipulación de su pendiente.


Actividad de Espacios en Blanco

f'(x) le asocia a cada valor x la en el punto x, que es la

de la recta tangente en x.

2. Completa la siguiente tabla de valores de la función derivada

x -1 0 1 2

f'(x)

3. La derivada de f(x)=x3 es f'(x)= (las potencias las insertaremos utilizando ^,

por ejemplo x5 lo expresamos x^5)

Enviar

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo,no son derivables.

Observa, la siguiente animación de GeoGebra. En ella puedes hacerte una idea intuitiva y gráfica de lo que es unafunción continua pero no derivable. Está relacionado con la "suavidad" de sus curvas.


Por cierto, efectivamente f(x)=|x| es continua en x=0 pero no derivable.

Importante

1.

2.

3.

Enviar

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones en el punto que se indica:


2. Cálculo de derivadas

Conociendo la función derivada de otra resulta sencillo conocer la derivada de una función en un punto, lo únicoque hay que hacer es darle a la x de la función derivada el valor de la abscisa de dicho punto. Dado que enocasiones la obtención de la función derivada mediante límites resulta engorroso, se crearon una serie de reglasque permiten de forma, en ocasiones muy rápida, obtener la función derivada de otra. En este apartado se va aexplicar cuáles son esas reglas y como aplicarlas para hallar funciones derivadas. El primer paso consiste enconocer las derivadas de las funciones elementales más sencilla. Como son:

y= k (función constante)

y=x

A partir de ahí se estudian las reglas de la suma, producto y cociente de funciones y el resto de derivadas defunciones elementales. El paso siguiente será hallar la derivada de las funciones compuestas mediante laaplicación de la regla de la cadena. Aquí el alumno/a que necesite repasar el concepto de función compuestapuede leer el contenido del siguiente enlace.

2.1. Reglas de derivación. Aplicaciones al cálculo de

derivadas

A continuación en el siguiente documento te ofrecemos un listado en el que aparece una función yal lado aparece su función derivada. Todos los resultados que aparecen en esta tabla son fruto deaplicar la definición de derivada de una función. Esta otra tabla que te presentamos a continuaciónmás abajo hace referencia a como se obtiene la derivada de la suma, resta, producto, productopor un número y cociente de funciones.

SumaLa derivada de la suma de funciones es lasumade las derivadas de estas funciones.

RestaLa derivada de la diferencia de funciones es ladiferencia de las derivadas de estasfunciones.

Producto

La derivada del producto de dos funciones esiguala la derivada de la primera por la segunda sinderivarmás la segunda derivada por la primera sinderivar.

Cociente

La derivada del cociente de dos funciones esigual a laderivada del numerador por el denominadorsin derivarmenos la derivada del denominador por elnumerador sinderivar, y todo ello dividido por el denominadoral cuadrado.

Producto por unnúmero

La derivada del producto de un número realpor la funciónes igual al número real por la derivada de lafunción.

Para no tener que recurrir una y otra vez a la definición, es conveniente aprenderse las reglascontenidas en esta tabla y el documento que te enlazamos más arriba, la mejor manera no esaprendérselas de memoria, sino familiarizarse con la mismas a base de practicar el cálculo dederivadas, para ello en este apartado te vamos a ofrecer unos cuantos ejemplos.

Veamos unos ejemplos en la siguiente presentación de Patricia_Perez.

Actividad

1 of 9

La mejor forma de aprender a derivar es derivando, así que aquí tienes unos videos del Profesor de la EscuelaTécnica Superior de Ingeniería Juan Medina Molina en su canal de YouTube. Quizás sea una buena idea quepinches para verlos en pantalla completa o pinchando sobre ellos para verlos en la página de youtube:

Derivada de un monomio Derivada de una exponencial

Derivada de un polinomio Derivada de un producto

Derivada de un cociente Derivada de una composición

Derivada de una composición (II) Derivada de una composición (III)

Aquí te ofrecemos información sobre la derivada de algunas funciones. Pulsando sobre el nombre de cada una deellas te mostraremos la derivada resultante y la gráfica en la que puedes comprobar que la función derivada esaquella que de cada punto nos proporciona la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

Derivada de una constanteDerivada del logaritmo

neperiano

Derivada de la identidadDerivada de la

exponencial natural

Derivada de laproporcionalidad inversa

Derivada del seno

Derivada de la raízcuadrada

Derivada del coseno

Derivada de la potenciaDerivada de la

tangente

Otras derivadas

En la ventana interactiva, a la que accedes desde el siguiente enlace, vas a poder practicarrealizando distintas derivadas.

Reflexión

Derivadas de funciones

Aplica las reglas de derivación que te proporcionamos en el apartado anterior. En esta partees importante la práctica. Cuantos más ejercicios realices mejor dominarás las técnicas dederivación.

A la derivada de una función también se la denomina derivada primera. Si volvemos a derivar laderivada primera de una función, obtenemos la llamada derivada segunda; la derivada de laderivada segunda se denomina derivada tercera; y así sucesivamente. Estas son las llamadasderivadas sucesivas de una función:

¿Existen otras funciones que a partir de alguna de sus derivadas sucesivas siempre se repitan?

Todas las funciones potenciales de exponente entero positivo, por ejemplo x2, x3,... Observaque en la tabla de las derivadas la derivada siempre eleva su exponente a una unidad menos,llegará un momento que este exponente sea 0, es decir, se convierta la derivada en unaconstante, por la tanto la sucesiva será 0.

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a.

b.

c.

Actividad

Caso de estudio

Reflexión

Solamente tienes que aplicar los contenidos de la tabla de derivadas y obtendrás los valores:

a.

b.

c.

d. Quizá sea la más complicada, pero es fácil si la pones primero como una potencia.Veamos:

Dadas las funciones Calcula la derivada de la suma yel producto de ambas.

Todos sabemos que la caída de pelo es mayor en unas épocas que en otras, pero... ¿y suvelocidad de crecimiento? ¿nos crece más el pelo en unos meses que en otros? Supongamos quela longitud de nuestro pelo viene determinada por la función:

donde t, indica el tiempo en meses.

¿Cuál será la velocidad de crecimiento en febrero (mes 2)? ¿Y en julio? ¿Cuál es la función quenos da la velocidad de crecimiento en función del tiempo?

Para calcular la velocidad dada la longitud tenemos que calcular la derivada de esta función

Reflexión

Ejemplo o ejercicio resuelto

que sería la velocidad de crecimiento

Ahora necesitamos saber v(2) y v(7)

v(2)=1,06v(7)=0,56

Si te fijas la velocidad va disminuyendo, por lo que este estudio no es muy de fiar...

2.2. Derivación de funciones compuestas. Regla de la

cadena

Normalmente, lasfunciones que solemosencontrarnos no sonfunciones simples comolas que vemos en latabla de derivadas, sinoque son funciones quese obtienen comocomposición defunciones simples.

Por ejemplo

, en este caso vamos a aplicar lo que se conoce con el nombre de reglade la cadena.

Si llamamos tenemos que

La regla de la cadena nos dice quela derivada de una función compuesta es

En nuestro caso

Ponemos a tu disposición dos tablas de derivadas tabla 1, tabla 2. Ambas recogen tanto laderivación de las funciones elementales como las compuestas. Utiliza la que te resulte máscómoda.

Importante

Reflexión

a.

b.

c.

a. En este caso aplicamos la regla del cociente de funciones:

Si calculamos las derivadas del numerador h(x) y el denominador g(x), tenemos

Por tanto:

b. Para hallar esta derivada, aplicamos la regla de la cadena.

Si calculamos las derivadas de la función h(x) y u(x), tenemos

Por tanto:

c. Nuevamente, usamos la regla de la cadena

Por tanto:

Aplica la regla de la cadena para obtener la función derivada de

La solución la puedes ver en el siguiente vídeo:

Una aplicación de la regla de la cadena para las funciones trigonométricas la observamos en el siguiente vídeo:

Caso de estudio

En los siguientes enlaces puedes encontrar una relación de ejercicios de derivadas resueltos con los cualespuedes practicar.

Ejercicios de derivadas resueltos de vitutor

Ejercicios de derivadas resueltos por niveles

Por último en el siguiente cuadro puedes observar un resumen de casi todo lo tratado a lo largo del tema. Pulsasobre los botones que aparecen que te guiarán por el mismo:

Animación en wikispaces de Salvador Hurtado bajo CC

3. Interpretación geométrica de la derivada

La derivada de una función en un punto tiene una interpretación geométrica. Observa la siguiente ventana einteractúa con ella moviendo los puntos A y B. Si dejas fijo el B y vas acercando el A a este punto, podráscomprobar que la pendiente de la recta tangente (en color verde) a la gráfica de la función se va aproximando a lade la secante (en azul). Por tanto, las ecuaciones de ambas rectas se van haciendo cada vez más semejantes yaque geométricamente ambas se van acercando.

Cuando coinciden prácticamente los puntos A y B, ambas rectas son la misma, de ahí que la derivada de la funciónen el punto B coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto.

Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo Dominio público.

Si tenemos una función f(x), la derivada de la función en x=a,

es la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x=a.

De esta forma, si tenemos una función f(x), su función derivada f'(x) es la función que en cadapunto toma el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en ese punto.

Importante

Por tanto, la recta tangente a la función en el punto es:

A la recta perpendicular a esta recta tangente en el punto se le llama recta normal. Así, laecuación de la recta normal es:

Hemos aplicado que la pendiente de una recta, m, y la de una recta perpendicular a ella, m',verifican que m·m'=-1.

En la siguiente ventana interactiva (recursos didácticos de Descartes) puedes observar para distintas funciones enun punto concreto la recta tangente (en verde) y la recta normal (en violeta).

En la siguiente escena de GeoGebra está representada en rojo la gráfica de la función y=sen(x) y en verde, la rectatangente a la gráfica de y=sen(x) en el punto A.Vemos también que la longitud del cateto opuesto del triángulo fijoen el punto A, nos da la pendiente de la recta tangente.

Si mueves con el cursor del ratón el punto A podrás apreciar cómo va desplazándose la tangente por la gráfica dey=sen(x). Su ecuación, que figura en la parte superior izquierda, va cambiando de forma continua cuando muevesel punto A.

Puedes observar cómo cambia la pendiente de la recta tangente y a su vez va surgiendo una gráfica en azul, lacual se trata de la representación de la función derivada de y=sen(x), en la parte superior derecha se va indicandoen todo momento el valor de esta función para cada punto del dominio de y=sen(x), y se puede comprobar que elvalor de la función derivada en todo momento coincide con el valor de la pendiente de la recta tangente cuando sedesplaza esta.

Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo Dominio público.

El valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la función de la gráfica anterior es

en los puntos máximos.

El valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la función de la gráfica anterior es

en los puntos mínimos.

La función que resulta como función derivada es la función .

La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x = 0 es .

La pendiente de la recta normal a la función en el punto x = 0 es .

Enviar

Responde ahora a las siguientes preguntas:

Calcula el valor de para que la recta sea tangente a la función

.

Sabemos que la pendiente de la tangente, en nuestro caso m=6, es igual que la derivada de lafunción en ese punto.

Hallamos la derivada de la función y la igualamos a la pendiente, de aquí obtenemos el valorde la abscisa para la cual la función derivada vale 6.

Por tanto, el punto de tangencia tiene de ordenada

Como la tangente también debe pasar por el punto (1,8), se tiene que verificar que

Dada la función

Caso de estudio

Caso de estudio

a. Calcula la ecuación de la recta tangente en un punto .

b. Calcula el valor de para que dicha recta pase por el punto

a. Nos están pidiendo que calculemos la recta tangente en x=a:

Si lo hacemos paso a paso, obtenemos:

Luego si sustituimos en la primera fórmula, se nos queda de la siguiente manera:

Si despejamos y sacamos factor común, encontramos la expresión de la recta tangente queestabamos buscando.

b. Sabemos que la recta pasa por el punto P(1,0), luego lo que tenemos que hacer essustituir en la ecuación de la recta tangente que hemos calculado en el apartado anteriorla x por 1 y la y por 0:

Si pasamos dividiendo el término y resolvenos la ecuación:

El valor que buscamos es a = 4/3.

En la construcción de una carretera, uno de lospuntos con los que hay que tener especialcuidado es en las curvas. Dependiendo de locerrada que sea la curva, debe tener más peralteo menos para evitar que los coches se salgan dela misma. En la construcción de una carretera,una de las curvas se adapta perfectamente a la

función . Los técnicos desean teneruna función que les proporcione en cada uno delos puntos de la curva la pendiente que tendrá larecta tangente a la misma. ¿Puedes ayudarles?

Para obtener lo que desean los técnicosúnicamente debemos calcular la derivada de la

Caso de estudio

Por tanto la función buscada es

4. Aplicaciones de la derivada

Fotografía en Flick de Mike Licht bajo CC

El cálculo diferencial y el integral es elesqueleto fundamental de todos losmodelos matemáticos que se utilizanen todas las disciplinas científicas.

En el campo de las matemáticasvamos a ver tres de las aplicacionesprincipales, todas ellas relacionadascon el estudio de funciones. Estos son:

La monotonía.

El cálculo de extremosrelativos.

El estudio de puntos singularespuntos de inflexiónla concavidad y

convexidad de la gráfica deuna función en distintosintervalos de su dominio.

4.1. Monotonía

Imagen de elaboración propia

Decimos que una función escreciente si al dibujar su gráfica deizquierda a derecha el trazo cada vez esmás alto. Por tanto, es creciente si al tomardos valores y cualesquiera, si

entonces .

Decimos que una función esdecreciente si al dibujar su gráfica deizquierda a derecha el trazo cada vez esmás bajo. Por tanto, es decreciente si altomar dos valores y cualesquiera, si

entonces .

Lo normal es que la función no sea siemprecreciente o decreciente sino que se alternen los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ahora nos interesa que observes la siguiente ventana en la que hay representada una función y la tangente en unpunto cualquiera. Como recuerdas del tema anterior la pendiente de la tangente en un punto coincide con laderivada de la función en ese punto. Queremos que recorras la función y observes el signo que tiene la pendientede la tangente cuando la función crece y cuando decrece.

Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo dominio público.

Importante

A partir de lo anterior podemos deducir lo siguiente:

Si la función f(x) verifica en un punto x=a que su derivada es positiva, f'(a)>0, la función escreciente en dicho punto.

Analogamente, si la derivada es negativa, f'(a)<0, la función es decreciente en x=a.

Por lo tanto, para saber cuándo una función es creciente o decreciente basta estudiar losintervalos en los que la función derivada es positiva o negativa.

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función .

Importante

Caso de estudio

Hallamos su derivada.

.

Tenemos que hallar su signo. Para ello tenemos en cuenta que el denominador es unaexpresión al cuadrado, luego será positivo siempre que la función exista. Por tanto vamos aestudiar el signo del numerador. Para ello estudiamos los valores en los que se hace cero elpolinomio.

Basta ahora estudiar el signo de la derivada en los intervalos que nos indican esos valores. Laforma más rápida es darle valores a la derivada y estudiar su signo.

Debemos recordar que en el punto -1 la función no existe.

Por lo tanto la función es creciente en el intervalo .

Es decreciente en el intervalo .

Imagen en INTEF bajo CC

A veces, contactan con la empresa deÁngela y Andrés para que seencarguen del estudio de una parte deun proyecto más grande. Eso lesocurrió cuando se construyó la nuevaterminal del aeropuerto de Barajas enMadrid: la T4.

Le pidieron que hicieran un estudiosobre el recorrido de las brisas creadaspor los aires acondicionados en lo queiban a ser los techos de la terminal.Para ello tenían que estudiar losintervalos de crecimiento ydecrecimiento de la función que,inicialmente, iban a seguir las volutasdel techo.

Si la función se acercaba a la de expresión , halla los intervalos en losque crece y decrece.

Caso de estudio


En el tema anterior has aprendido a derivar una función, pero¿para qué sirve derivar? Como has visto a lo largo de todo elcurso, hemos intentado enseñarte las aplicaciones prácticasde todo lo que estás estudiando, y esta vez no iba a sermenos.

Ya conoces alguna de las aplicaciones, como puede seraveriguar la ecuación de la velocidad de un móvil derivandola del espacio que recorre, o la ecuación de la aceleración apartir de la velocidad. En este tema veremos otrasaplicaciones.

Si ves la gráfica de la derecha, podrás decirmeaproximadamente cuándo crece, cuándo decrece, o en quépuntos alcanza los valores más altos o más bajos. Es algorelativamente sencillo si tenemos la gráfica delante.

Pero, ¿y si no tuviéramos la gráfica?, ¿y si solo te dijera queesa gráfica corresponde a la función

y te pidiera exactamente el momento en el que se alcanzaráel máximo valor?

Para ello utilizaremos las derivadas.

El crecimiento y el decrecimiento de una función es algo que ya hemos estudiado antes ¿lo recuerdas?Básicamente una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, x, también aumenta el valor de lafunción, f(x). Es decreciente, si al aumentar el valor de x, disminuye el de f(x). No olvides que las gráficas se "leen"de izquierda a derecha.


Veamos un ejemplo real: las siguientes gráficas representan la velocidad y la aceleración de un coche. Si te fijas enla primera gráfica, la velocidad aumenta hasta el minuto 10 y comienza a disminuir desde entonces.


Mira ahora la gráfica de la aceleración ¿qué ocurría hasta el minuto 10? Que la aceleración era positiva (pues sugráfica queda por encima del eje de abscisas), y si la aceleración es positiva quiere decir que el coche acelera ypor tanto su velocidad aumenta.

A partir del minuto 10, la aceleración es negativa (su gráfica queda por debajo del eje de abscisas), por tanto estádecelerando y la velocidad disminuye.

Seguro que en física has estudiado que la aceleración es la derivada de la velocidad. Acabamos de ver unarelación entre el signo de la aceleración, y el crecimiento y el decrecimiento de la velocidad. Esta misma relación seda entre cualquier función derivable, y su derivada.

Cuando hablamos de monotonía, nos estamos refiriendo al comportamiento de una funciónrespecto a su crecimiento o decrecimiento.

Sea f una función derivable en un intervalo (a, b), entonces es:

Creciente en el intervalo (a,b) si f'(x) ≥ 0 en todo el intervalo (a,b)

Decreciente en el intervalo (a,b) si f'(x) ≤ 0 en todo el intervalo (a,b)

En la siguiente escena de GeoGebra de Saúl Valverde Pérez tienes dos ejemplos, una función polinómica y unaracional, en las que puedes comprobar que se cumple lo que acabamos de ver.

f(x)función

(continua)

f ' (x)función derivada

(discontinua)

Creciente (azul) Positiva (azul celeste)

Decreciente (rojo) Negativa (rojo)

Importante

Monotonía

Saúl Valverde, Creación realizada con GeoGebra

Como ya hemos comentado, lo relevante del importante anterior, es que ya no es necesario dibujar la gráfica paraestudiar la monotonía. A continuación tienes un ejercicio resuelto por Saúl Valverde Pérez para que veas cómohacerlo. Después hay uno que tendrás que resolver tú.

1 of 7Monotonia from saulvalper

Función derivada.

Para comenzar, calcula la derivada de la función f(x) y completa los espacios en blanco (incluyelos signos correspondientes):

f ' (x) = x x x

Obtener las raíces de la derivada.

Resuelve la ecuación f ' (x) = 0 para obtener las raíces. Como es un polinomio de grado mayorque dos, tendrás que resolver con la Regla de Ruffini.

Las soluciones son (de menor a mayor) x= , x= , x= .

En una empresa están teniendo pérdidas económicas, por lo que deciden poner en marcha unaserie de medidas a lo largo de los próximos 6 meses con las que pretenden remontar y obtenerbeneficios al finalizar dicho periodo.

Según sus cuentas, los beneficios obtenidos por la empresa al poner en marcha el plan vienendados por la función

donde x es el número de meses.

Vamos a comprobar si con este plan de medidas la empresa mejorará los beneficios. Para ellotendrás que estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios de laempresa.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Hemos obtenido cuatro intervalos. Estudia el signo de la función derivada en cada intervalo:

En el intervalo (-∞, ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( , ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( , ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( ,+∞) la derivada es (positiva/negativa) .

Estudiar la monotonía.

Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, podemos decir que en (-∞, )U( ,

) la función es (creciente/decreciente) , y que en ( ,

)U( ,+∞) la función es .

Solución del problema.

Como estamos en una situación real, donde el estudio se ha hecho para ver los resultados en 6meses, podemos decir que la empresa comienza (disminuyendo/aumentando)

beneficios. A la vista de cómo evolucionan los beneficios al

finalizar los 6 meses ¿Crees que las medidas tomadas han sido efectivas? (sí/no) .

Enviar

Puedes comprobar tus resultados con la gráfica de la función


4.2. Extremos relativos


Máximos

Una función tiene un máximorelativo en el punto si en todos losvalores próximos a este punto, el valor de la

función es más pequeño que o lo que eslo mismo, hasta el valor la función escreciente y después de este valor la función esdecreciente.

Si para todos los valores se cumple

que , entonces se dice quetiene un máximo absoluto en .

Mínimos

Una función tiene un mínimo relativoen el punto si en todos los valorespróximos a este punto, el valor de la función es

más grande que o lo que es lo mismo, hasta el valor la función es decreciente ydespués de este valor la función es creciente.

Si para todos los valores se cumple que , entonces se dice quetiene un mínimo absoluto en .

Ahora regresa a la escena que manejaste en el apartado anterior y observa qué ocurre con la pendiente de latangente en los extremos relativos que ves dibujados, es decir en x=1 y en x=-1.

Si una función tiene un extremo relativo en el punto x=a y, en él,existe la derivada, entonces se cumple que f'(x)=0.

Los puntos que anulan la primera derivada reciben el nombre depuntos críticos y, entre ellos, pueden estar los extremos relativosde una función.

Importante

Importante

Imagen de elaboración propiaEl problema se plantea en que no siempre se cumple lo contrario de lo que aparece anteriormente. Una funciónpuede anular su derivada en un punto y sin embargo no tener en él un extremo relativo. Por ejemplo, la función

f(x)=x3 siempre es creciente, mientras mayor es x mayor es la función, por tanto, no tiene extremos. Sin embargo,su derivada en el punto x=0 vale cero. Por ello vamos a ampliar las condiciones anteriores con nuevos datos.

Si la función f(x) tiene derivada nula en el punto x=a, f'(a)=0, y existe la segunda derivada en dichopunto se cumple:

Si f''(a)<0, la función tiene (o alcanza) un máximo relativo en x=a.

Si f''(a)>0, la función tiene (o alcanza) un mínimo relativo en x=a.


Como puedes observar seguimos dejándonos casos atrás,porque en lo anterior no se dice nada sobre qué ocurre sif''(a)=0. Además puede haber funciones que tengan extremosrelativos y su derivada primera no se anule porque no exista laderivada de la función en ese punto. Por ejemplo, eso le ocurre

a la función f(x)=|x2-3x| en los puntos en los que tiene mínimosrelativos, como puedes apreciar en la imagen.

Por ello, en general, lo más cómodo es estudiar el signo de laprimera derivada (en aquellos puntos en los que exista) y tenerpresente las siguientes definiciones:

Una función alcanza un máximo relativo en un punto si enél pasa de ser creciente a decreciente.

Una función alcanza un mínimo relativo en un punto si enél pasa de ser decreciente a creciente.

Halla los extremos relativos de la función que estudiamos en el ejemplo del apartado anterior

Vamos a estudiarlo de las dos formas posibles. En primer lugar utilizando la segunda derivada.

Habíamos hallado la primera derivada

y habíamos estudiado que se anula en x=0 y en x=-2.

Hallamos la segunda derivada.

Importante

Caso de estudio

Debemos observar que solo nos interesa el signo de la segunda derivada, no su valor.

f''(0)>0, por tanto tenemos un mínimo relativo en el punto (0,f(0))=(0,0). Recuerda quepara obtener la segunda componente siempre se sustituye el valor de x en la función, noen las derivadas.

f''(-2)<0, por tanto tenemos un máximo relativo en el punto (-2,f(-2))=(-2,-4).

Sin embargo creemos que es más fácil estudiando la variación del signo de la primeraderivada. Recuerda lo que hicimos en el apartado anterior.

Podemos observar claramente que en el puntos x=-2 pasa de ser creciente (f'(x)>0) a serdecreciente (f'(x)<0), luego hay un máximo relativo. Y en el punto x=0 pasa de ser decrecientea convertirse en creciente, por lo que existe un mínimo relativo.

El máximo absoluto se consigue en el punto ( , ).

El mínimo absoluto corresponde al punto ( , ).

Enviar

En la función que estudiaron Ángela y Andrés en el apartado anterior, ,interesa saber dónde están los extremos relativos pues suelen coincidir con lugares en los que seinstalan luces ambientales.

La potencia f(x) en vatios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia (x)en ohmios viene dada por la expresión:



Hallar la potencia máxima y el correspondiente valor de x.

Calculamos la derivada de la función f(x)

Igualando a 0 para calcular el punto crítico, obtenemos:

Habría que calular la segunda derivada y comprobar el signo de f''(12). Si es positivotendremos un mínimo relativo y si es negativo un máximo relativo.

Como f''(12) es negativo, tenemos en (12,f(12)) existe un máximo relativo. Por tanto lapotencia máxima que es el dato que nos solicita el problema es f(12). Esto es:

Estamos acostumbrados a oír hablar de temperaturas máximas y mínimas todos los días en las noticias. De hecho,es una frase muy habitual la de "se ha alcanzado una máxima de 40 grados de temperatura". En la siguientegráfica, de la AEMET, en la que podemos ver la temperatura que ha hecho en Málaga desde las 19 h del 13 deabril a las 18 h del día siguiente. Puedes comprobar que:

La temperatura máxima se alcanza a las 14 h del 14 de abril (25,6 ºC)La temperatura mínima se alcanza a las 6 h y a las 8 h del 14 de abril (13 ºC)

A las 7 h del 14 de abril hay un máximo relativo, pues es la temperatura más alta en un pequeño periodode tiempo (de las 6 a las 8 h).

Para poder averiguar la temperatura máxima o mínima necesitamos una tabla de datos observados o una gráficacomo la anterior, pues la temperatura local no la podemos expresar con una función derivable.

Veamos por tanto qué ocurre en la siguiente función, y comparemos con su derivada:

Imágenes de elaboración propia

A la izquierda tenemos una función f(x) y a la derecha su derivada f'(x).

Mínimo. Si te fijas en los dos mínimos, a su izquierda la función es decreciente y a la derecha escreciente.Pero, ¿qué quiere decir eso para la derivada? Como vimos en el apartado anterior, equivale a que ala izquierda la derivada es negativa y a la derecha positiva (como puedes ver en la gráfica de la derivada).Pues si en ese punto la derivada pasa de negativa a positiva, quiere decir que debe ser nula.

Máximo: en el máximo pasa algo parecido, pero en este caso pasamos de función creciente a decreciente,es decir, de derivada positiva a negativa. Al igual que antes, en ese punto la derivada debe ser nula.

Una función f, continua y derivable en un intervalo (a,b), alcanza sus máximos y mínimos relativosen los puntos del intervalo (a,b) en los que f'(x)=0. Además, si estudiamos la segunda derivada:

Máximo relativo: f'(x)=0 y f''(x)<0.Mínimo relativo: f'(x)=0 y f''(x)>0.

Para que veas cómo podemos hallar máximos y mínimos con la derivada, mira el siguiente ejercicio resuelto porSaúl Valverde Pérez.

Importante

1 of 9Extremos from saulvalper

Solución

1. Correcto2. Incorrecto3. Correcto4. Incorrecto

Una conocida compañía de telefonía va a poner a la venta un nuevo modelo de teléfono móvilpara el que prevé unas ventas para los primeros años que vienen dadas por la función

, donde x es el número de meses transcurridos desde que se saca a la venta yf(x) se mide en millones de unidades vendidas.

a. Determina los posibles máximos o mínimos de la función.

x = -1

x = 0

x = 1

x = 2

AV - Pregunta de Selección Múltiple

Solución

1. Incorrecto2. Correcto3. Incorrecto

Solución


Solución


Al ponerlo en venta.

El primer mes.

El segundo mes.

c. La función tiene un mínimo, pero no aporta información relevante a nuestroproblema, porque:

No es un dato necesario para la empresa.

El punto en el que se alcanza no pertenece al dominio del problema.

El punto en el que se alcanza no pertenece al dominio de la función.

d. ¿Qué número de unidades se prevé vender en el momento de máximas ventas?

10 millones de unidades.



JUNIO 2010 ANDALUCÍA

Actividad tomada de http://www.iesayala.com/selectividadmatematicas/

4.3. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

Cóncavo Cóncavo (abajo) y convexo (arriba) Convexo

Fotografía en Flick de Tutty bajo CC Fotografía en Flick de senroy bajo CC Fotografía en Flick de jackace bajo CC

Mira las curvas de las fotos. Otra de las características de las funciones es su curvatura, y los objetos queaparecen en las imágenes de arriba tienen diferente curvatura.

Si coges dos puntos de la parte superior del puente y los unes con una cuerda, esta quedará por debajo de lacurva (es cóncavo). En el caso de la rampa, si unimos dos puntos la cuerda queda por encima (es convexa).

La curvatura de una función también se puede estudiar a partir de las derivadas. En la siguiente escena degeogebra, mueve el punto P a lo largo de la función para ver cómo varía la monotonía y la curvatura de la función.

Observa el cambio en la primera y segunda derivada en los puntos de abscisa x=-1, x=0, x=1, x=2 y x=3, e intentaaveriguar la relación. Pulsando las casillas de monotonía y curvatura verás los intervalos en los que cambian estasdos características.

Curvatura

La curvatura de una función estudia la forma en que esa función se curva y se mide por surelación con la tangente. Hay dos tipos de curvatura.

Una función se dice que es cóncava en un punto si al trazar la tangente a la función en dichopunto, la función queda por debajo de la tangente en los alrededores de ese punto.

Una función se dice que es convexa en un punto si al trazar la tangente a la función en dichopunto, la función queda por encima de la tangente en los alrededores de ese punto.

Imágenes de elaboración propia

En el apartado 1 del tema hemos visto como el signo de la primera derivada nos indica la monotonía de unafunción. Ahora veremos como la curvatura viene determinada por el signo de la segunda derivada. Recorre lafunción de la siguiente ventana y observa el signo de la segunda derivada.

Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo CC.

Importante

Si tenemos una función que admite, al menos, hasta la segunda derivada en un punto x=atenemos el siguiente resultado.

Si , la función es convexa (U) en el punto a.

Si , la función es cóncava (∩) en x=a.

Luego para estudiar los intervalos de concavidad y convexidad de una función, basta estudiardonde es positiva y negativa la segunda derivada.

Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la función

Hallamos la segunda derivada de la función

Igualamos a cero, simplificamos y resolvemos la ecuación de segundo grado

Estudiamos el signo de la segunda derivada en los intervalos que nos indican esos valores.

Por tanto la función es cóncava en el intervalo y convexa en

Importante

Caso de estudio

Reflexión


tipo de planta. Es interesante estudiarcuando crece más y cuando menos, porello, los científicos quieren estudiar lacurvatura de la función que hanaproximado al crecimiento de la plantaen las primeras semanas. Esa funciónviene dada por la expresión

Ayúdales hallando los intervalos deconcavidad y convexidad de esafunción.

Como suponemos que partimos desde cero en el estudio, la función será cóncava en el

intervalo y convexa en el intervalo .


Un punto de inflexión es aquel en el que la función cambiade curvatura, es decir, en el que pasa de cóncava a convexao viceversa.

Si trazamos una tangente a la función en ese punto se puedeapreciar que a un lado del punto la función queda por encimade la recta tangente y al otro lado por debajo.

Como en el punto de inflexión la función pasa de cóncava a convexa , lo normal esque en ese punto la función se anule. Compruébalo en la siguiente ventana observando que pasa en los puntosx=-3, x=0 y x=2, que son puntos de inflexión de la función.

Importante

Aquí puedes ver tambien la escena de mduran bajo CC.

Si una función f cumple en un punto x=a que entonces la funcióntiene en x=a un punto de inflexión.

Si es complicado el cálculo de la derivada tercera, lo usual es estudiar el signo de la segundaderivada antes y después del punto x=a. Si cambia su signo entonces es punto de inflexión.

Determina los puntos de inflexión de la función

Ya estudiamos en el apartado anterior los intervalos de concavidad y convexidad de estafunción.

Su derivada segunda es , que se anulaba en los puntos

y los intervalos de signo son:

Importante

Caso de estudio

Por tanto tenemos dos puntos de inflexión, en concreto en los valores

y

Los puntos de inflexión de esa función se obtienen en:

(1 , )

( , 7/2 )

( , )

Enviar


En una compañía petrolífera estánestudiando el número de miles debidones de combustible que hanservido en las cuatro primeras semanasdel mes. Les interesa conocer si elaumento o disminución ha sido muyrápido o no y para ello quieren localizarlos puntos de inflexión en ese reparto.

Después del estudio realizado hanaproximado la entrega de combustible ala función siguiente:

Observa el siguiente ejercicio resuelto por Saúl Valverde Pérez en donde se hace el estudio de la curvatura de unafunción.


1 of 7Curvatura from saulvalper

Necesitamos estudiar la curvatura de la función para un proyecto queestamos realizando. Completa los campos en blanco con los resultados que obtengas:

La primera derivada de la función es f '(x) = (x4+ x3) /

La segunda derivada es f ''(x) = x3+ x2

La función f(x) es cóncava en (-∞, )

La función f(x) es convexa en ( ,+∞)

Tiene un punto de inflexión en P=( , )

¿Existe punto de inflexión en x=-3? (sí/no)

Enviar

Observa que en x=-3 se cumple que f ''(-3)=0, pero como no cambia la curvatura, no hay puntode inflexión en dicho punto.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Sea la función definida por .

a. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los extremosrelativos o locales de f.

b. Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f.

Hallamos la primera derivada fr f

Calculamos los puntos donde se anula

La derivada cumple que para por lo tanto la función es decreciente

en . Para los restantes valores, si y, por eso, en el

intervalo la función es creciente.

En el valor x=0 la función pasa de decreciente a creciente, luego hay un mínimo relativo en(0,1).

La segunda derivada vale y como la función exponencial siempre espositiva, la segunda derivada siempre es positiva y por tanto la función siempre es convexa.

Sea la función definida por , siendo Ln la función logaritmoneperiano.

a. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de lafunción f.

b. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión deabscisa negativa.

a. Hallamos la derivada de la función

El signo de f' solo depende del signo de x, pues el denominador es siempre positivo. Por

tanto, la función es decreciente en y creciente en . Luego en elpunto (0,f(0))=(0,0) la función pasa de decreciente a creciente y hay por lo tanto un

Caso de estudio

Caso de estudio

b. La derivada segunda es

y se anula en x=-1 y en x=1 (compruebalo tú).

Comprobamos que x=-1 (que es el punto al que se refiere el apartado b.) es un punto deinflexión verificando que f'''(-1) es distinto de 0 (hazlo tú).

Para calcular la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa -1utilizamos la ecuación:

Sea la función definida por .

a. Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.

a. La función tiene un mínimo local en el punto .

b. El punto de inflexión es y la tangente en ese punto es .

Reflexión

5. Ejercicios resueltos de pruebas de acceso anteriores

Para finalizar este primer tema, vamos a resolver los ejercicios que se han preguntado sobre este tema enexámenes de la PAU en cursos anteriores.

Es recomendable que antes de mirar la solución, los intentes previamente, por si no hubieran salido del todocorrectos, aprender del error y coger práctica.

Prueba de Acceso a Grados para Mayores de 25 años - Año 2007

Calcule f '(1) sabiendo que

Nota: En este ejercicio se utilizarán conocimientos básicos relacionados con las derivadas.





Halle los máximos y mínimos relativos de la función f(x)=x3-9x. Determine también en quéintervalos es creciente y decreciente la función.


Dada la función f definida para los números reales, x≠-1, por:

Caso práctico

pruebe que su función derivada es constante

Nota: En este ejercicio se utilizarán conocimientos básicos relacionados con las derivadas.

6. Apéndice

Fotografía en Flickr de S@Z bajo CC

aaa

6.1. Curiosidades

Como la derivada de una función en un punto también representa la pendiente de la rectatangente a la función en ese punto, la monotonía y los extremos de una función se puedenexplicar a partir de la pendiente de la recta tangente. Si quieres saber más, visita la web deManuel Sada.

Es necesario aprender a derivar manualmente, pero en la actualidad hay multitud de programasque nos simplifican y nos ayudan a realizar comprobaciones. A continuación, tenemos dos enlacesa una página del intef, donde podemos encontrar un pequeño manual de cómo derivar con ambosprogramas y algunos ejercicios:

Derivar con:

¿Nos animamos a comprobar los resultados de los videos anteriores en ambos programas?

Aquí tienes otros enlaces a recursos online para cálculo de derivadas.

Calculadora de derivadas

Diferenciación paso a paso

Calculador de derivadas

Cálculo de derivadas con Wolfram Alpha

Curiosidad

Curiosidad

Curiosidad

6.2. Para saber más

En este enlace a la página vitutor, puedes encontrar algunos ejercicios resueltos sobre la relaciónexistente entre continuidad y derivabilidad.

Imagen en Wikimedia Commons

de Bemoeial2 bajo Dominio Público

Regla de L´Hopital

El cálculo diferencial nos aporta una nuevaherramienta para calcular los límites defunciones. Esta regla la puedes utilzarsiempre que se cumplan las condiciones queindica el teorema, teniendo en cuenta que elvalor para el cual se va a calcular el límitepuede ser cualquier número real, o

.

Por otra parte, indicarte que también puedesutilizar la regla de L'Hopital para las

indeterminaciones del tipo y , esdecir, se cumple en los siguientes casos:

Para saber más

Para saber más

Matemáticas Funciones y cálculo infinitesimal: Cálculo de derivadas...

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