Matemáticas Fractal 2

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n Desarrollar competencias

para la sociedad del conocimiento

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MATEMÁTICAS SECUNDARIA SEGUNDO GRADO

Fractal 2. MatemáticasSerie ConStruir

Primera edición, 2007Segunda edición, 2008Tercera edición, 2011D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V.

Prohibida su reproducción total o parcial.

Impreso en México/Printed in Mexico

Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius

Gerencia de publicaciones escolaresFelipe Ricardo Valdez González

Coordinación editorialErnesto Manuel Espinosa Asuar

EdiciónCésar Jiménez EspinosaAlberto Lara CastilloArmando Solares Rojas

Revisión técnicaLaura Reséndiz Margarita Ramírez B.Ernesto Manuel Espinosa Asuar

AutoresSilvia García Peña, David Francisco Block Sevilla

ColaboraciónMónica de Lourdes Valencia (páginas 80, 81, 128, 129, 210, 211, 240 y 241)

Coordinación de correcciónAbdel López Cruz

CorrecciónEquipo SM, Daniel García

Dirección de arte y diseñoQuetzatl León Calixto

Diseño de la serieJesús García, Pedro Castellanos

Diseño de portadaRenato Aranda

Coordinación de iconografía e imagenRicardo Tapia García

ImagenEquipo SM

Coordinación de diagramaciónJesús Arana

DiagramaciónCynthia CastañedaPedro CastellanosAldo BotelloVíctor Hugo Romero Vargas

IlustracionesMaribel Vidals, Bertha Ramírez, Rubén NavaJudith Meléndrez, Guillermo López WirthJavier De Aquino.

FotografíaArchivo SM, Photos.comM.C. Escher’s © 2008 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. Págs. 156, 213.

Digitalización y retoqueCarlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni

ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya

Guía de uso

Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, contar las sillas para saber si alcanzarán para los invitados, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica que

más conviene, decidir si un juego con dados es equitativo, son algunas de muchas acciones en las que hacemos matemáticas.

También hacemos matemáticas cuando intentamos contestar preguntas de las matemáticas mismas, por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5?, las medidas de los lados de un triángulo, ¿pueden ser tres números cualesquiera?, ¿es posible prever cuál será el centésimo término de una sucesión que empieza así: 1, 3, 5, 7…?

Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina que ya se tienen, para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen no son suficientes.

Hacer matemáticas es una buena manera de aprender matemáticas. Por ello, en este libro procuramos proponerte numerosas cuestiones que pueden resolverse con ayuda de las matemáticas.

Cuando enfrentas problemas nuevos, debes sentirte con la libertad de hacer todo lo que se te ocurra para resolverlos, por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer lo que hacen tus compañeros y con la ayuda de tu profesor, la manera en que resuelves esos problemas se irá haciendo más sistemática y segura.

Cuando desarrollas o conoces una técnica nueva para resolver cierto tipo de problemas, debes practicarla para dominarla.

Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos o en grupo: l al enfrentar una nueva tarea, es bueno que pienses un rato tú solo. Después, compartir

las ideas y las dudas con los otros, trabajando en parejas o en equipos, te puede ser muy útil para avanzar.

l al terminar de resolver los problemas, explicar al grupo lo que hiciste o lo que hicieron en tu equipo, conocer lo que hicieron tus otros compañeros, decidir juntos si los resultados son correctos o no, y conocer los aportes del profesor, te ayudará mucho a aprender.A lo largo del libro se indican únicamente los momentos de trabajo en grupo, en equipo

o en pareja que son muy necesarios, con estos símbolos:

Sin embargo, en muchos otros momentos que no se indican, esas formas de organización pueden ser convenientes. Tu profesor o profesora les propondrá en qué momentos usarlas.

Esperamos, como todos los autores que escriben libros para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te haga decir, algunas veces, ¡esto sí me gusta!

Los autores

Presentación

1.4.

Uso

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nat

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a ex

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pos

ible

ope

rar.

213

En la imagen se puede ver una lámina de M. Escher ti-tulada Reptiles en la que se tesela un plano con figuras que entran y salen de él. En muchas de sus obras, Escher realiza teselaciones similares, aplicando traslaciones, ro-taciones y simetrías.

En este bloqueestudiarás:• sistemas de dos ecuaciones

lineales con dos incógnitas;• propiedades de la rotación,

y traslación de figuras; • diseños con simetría axial

y central;• representación gráfica

de un sistema de ecuaciones;• probabilidad de eventos

mutuamente excluyentes.

BLOQUE V

54

1 Consideren esta malla formada por romboides iguales. Recuerden que los lados opuestos de un romboide son paralelos.

Sabemos que:r1 II r2

t1 II t2

a) Elaboren algunas conjeturas acerca de las relaciones entre los cuatro ángulos interiores del rom-boide: a, b, c y d.

l ¿Cómo creen que son entre sí los ángulos a y d?

l ¿Cómo creen que son entre sí los ángulos c y b?

l ¿Qué relación creen que hay entre los ángulos a y b?

l ¿Qué relación creen que tienen los ángulos c y d?

l ¿Cuánto creen que suman los cuatro ángulos?

b) Completen los siguientes razonamientos. Vean si llegaron a las mismas conclusiones.

l Relación entre el ángulo a y el ángulo d

i) Como r1 es paralela a r2 el / e es igual a / a por ser

ii) Como t1 es paralela a t2 el /e es igual a / d por ser

iii) Como /a y /d son iguales a /e, entonces /a y /d son

Lección 20

r1

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a

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b

La malla de romboidesLo que has estudiado sobre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una transversal te será útil para descubrir algunas propiedades de los ángulos interiores de paralelogramos.

55

l Relación entre los ángulos a y b

i) / a + / f = por ser

ii) / b = / f por ser

iii) Entonces / a + / b =

c) Justifiquen las siguientes afirmaciones. Cuando sea necesario, identifiquen más ángulos de la malla con otras letras.

l El ángulo c es igual al ángulo b.

l Las medidas del ángulo c y del ángulo d suman 180°

d) Averigüen a cuánto es igual la suma de los cuatro ángulos interiores de un romboide; justifiquen su respuesta.

2 Comparen sus conjeturas iniciales con los razonamientos posteriores y compar-tan sus respuestas con sus compañeros y compañeras. Comenten la siguiente in-formación.

En un romboide, los ángulos opuestos son iguales, los ángulos consecutivos suman 180º y los cuatro ángulos interiores suman 360º.

3 Al igual que los romboides, los cuadrados, los rectángulos y los rombos también son paralelogramos por tener sus lados opuestos paralelos. Analiza si la informa-ción del recuadro anterior se cumple para estas figuras. Escribe sí o no.

4 Resuelve los anexos 1 y 2 de las páginas 236 a 239.

1.6.

Just

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.

TECNOLOGÍA

Comentario sobre algún aspecto histórico de un conocimientode matemáticas.

Fractal 2 está dividido en cinco bloques. Cada bloque inicia con una página introduc-toria que consta de los siguientes elementos:

Actividades de construcción del conocimiento.Actividades diseñadas para que el alumno se enfrente a situaciones problemáticas con los conocimientos de matemáticas que ya posee y desarrolle nuevas técnicas y conceptos que le permitan resolver problemas similares.

Formas de organizaciónEn algunas actividades se sugieren formas de organizar el trabajo, individual, en equipos, en parejas o grupal.

tecnologíaEstas actividades se refieren a la sección Anexos, al final del libro.

Contenidos programáticos que se estudian en el bloque.

Imagen que ilustra algunos conceptos matemáticos del bloque.

Los contenidos se desarrollan con lecciones de dos páginas que presentan estos componentes:

ConceptosCuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.

introducciónTexto breve donde se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que se va a estudiar.

ContenidoEn cada lección se indica el contenido del programa oficial que se trabaja en la lección. Cuando en una lección intervienen de manera importante varios contenidos del programa, se señalan todos.

Guía de uso

Presentación para el maestro

El enfoque didáctico de Fractal

A continuación se exponen las principales características del enfoque didáctico que subyace en el desarrollo de los temas en los libros Fractal.

Empezar con un problema. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que éste aparezca como respuesta a una pregunta o como so-lución a una problemática que los alumnos ya hayan enfrentado. Se considera también que, en muchos casos, al enfrentar una problemática adecuada, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al que se les quiere enseñar.

Por esta razón, numerosas lecciones de Fractal comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas; sólo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado.

¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información sobre el cono-cimiento involucrado, han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan abordarlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución de dichos problemas con herramientas más elementales o bien que, aun cuando no pudieran resolverlos, identifiquen una limitación en sus conoci-mientos previos y la necesidad de uno nuevo.

Después de abordar estos problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejerci-cios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, el profesor complementará los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que él diseñe o tome de otros materiales.

Varios procedimientos y no uno solo. “¿Por qué tanto brinco estando el suelo tan parejo?” es la pregunta que se hacen algunos maestros ante la diversidad de proce-dimientos que se propone para resolver ciertos tipos de problemas. Hay varias razones: ocurre con frecuencia que los procedimientos más rápidos, o más elaborados, para re-solver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres), tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pa-sos; otros procedimientos, en cambio, aunque más precarios, por ser más largos o menos sistemáticos, son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso en ciertos casos los pueden establecer por sí mismos. Estos procedimientos cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunos son más económicos que el procedimiento más avanzado e, incluso, constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que olvidan la técnica más avanzada.

Cabe señalar, además, que está demostrado, al menos para algunos temas, que los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la re-solución de problemas. A final de cuentas, ¿cuál de varios procedimientos es el mejor? Esto depende muchas veces del tipo de problema y de los conocimientos de quien resuelve.

Articulación de contenidos. Uno de los “males” de los programas escolares es que atomizan los conocimientos en aras de organizar la enseñanza: los conocimientos en los

Guía de usoPresentación para el maestro

programas han tendido, a lo largo del tiempo, a segmentarse en pequeños conocimientos parciales, aislados unos de los otros, con lo cual su sentido se ha mermado y dificultado, contrariamente a lo que se buscaba.

Una tendencia actual en la enseñanza de las matemáticas es buscar mayor integración de los conocimientos. Si bien en este aspecto todavía hay mucho camino por andar, los programas actuales ofrecen ciertas mejoras, y en la serie Fractal hemos intentando apro-vechar esas posibilidades. Así, por ejemplo, los temas de números racionales, proporciona-lidad y escala se articulan en la secuencia propuesta para el estudio de la multiplicación por números no enteros; la noción de función lineal se articula con la de relación proporcional; las áreas y los volúmenes se exploran para determinar si varían proporcionalmente. Estas integraciones pueden identificarse en la indicación de los contenidos del programa que se tratan en cada lección, señalados en el margen derecho de las lecciones.

Secuencias de lecciones. Las lecciones se presentan casi siempre en grupos de dos a cuatro y, en pocos casos, cinco. Cada grupo constituye una pequeña secuencia en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra; esto no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún aspecto de ese mismo tema.

En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los apren-dizajes esperados con dos innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.

• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones, en ésta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases;

• para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento.

Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enri-quezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos.

Los autores

Dosificación

Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o lección depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que usted podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,

S E M A N A S

1 2 3 4

BLO

QU

ES

1

1.1. Multiplicación y división de números con signo(lecciones 1 a 4)

1.2. Adición y sustracción de expresiones algebraicas (lecciones 5 a 7)

1.3. Expresiones algebraicas equivalentes (lección 8)

1.3. Expresiones algebraicas equivalentes (lección 9 )

1.4. Estimar y medir ángulos(lecciones 10 a 12)

1.5. Posiciones relativas de rectas. Ángulos entre dos rectas que se cortan(lecciones 13 a 16)

2

2.1. Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis(lecciones 32 a 34)

2.2. Multiplicación de expresiones algebraicas (lecciones 35 a 37)

2.3. Características y desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides (lecciones 38 a 41)

2.4. Fórmulas del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos(lecciones 42 y 43)

3

3.1. Sucesiones de números con signo(lecciones 53 a 55)

3.2. Ecuaciones del tipo ax + bx + c = dx + ex + f(lecciones 56 a 58)

3.3. Funciones de la forma y = ax + b asociadas a diversos fenómenos (lecciones 59 a 61)

3.4. Fórmula para la suma de ángulos interiores de cualquier polígono(lecciones 62 y 63)

4

4.1. Potencias. Notación científica(lecciones 70 a 72)

4.2. Criterios de congruencia de triángulos(lecciones 73 a 76)

4.3. Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo(lecciones 77 y 78)

4.3. Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo(lecciones 79 y 80)

5

5.1. Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros (lección 88)

5.3. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones(lecciones 89 y 90)

5.1. Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros (sustitución)(lecciones 95 a 97)

5.2. Transformacionesen el plano(lecciones 91 a 94)

Guía de usoDosificación

podrá trabajar las actividades de Las matemáticas en… así como Y para terminar o adelantar el trabajo de otros apartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan al eje que corresponde a cada apartado: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en amarillo Forma espacio y medida; y en verde Manejo de la información. Cabe señalar que la redacción de los apartados ha sido simplificada.

S E M A N A S

5 6 7 8 9

1.6. Ángulos entre paralelas. Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros(lecciones 17 a 20)

1.7. Relación proporcional: factor inverso y factor de proporcionalidad fraccionario(lecciones 21 a 24)

1.8. Proporcionalidad múltiple(lecciones 25 y 26)

1.9. Problemas de conteo(lecciones 27 y 28)

1.10. Polígonos de frecuencia(lecciones 29 a 31)

Repasemos lo aprendido(páginas 78 y 79)

Evaluación del bloque 1

2.5. Cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides. Conversiones de medidas de volumen-capacidad(lecciones 44 y 45)

2.6. Comparación de razones(lecciones 46 a 48)

2.7. Medidas de tendencia central (lecciones 49 a 52)



3.5. Recubrimientos del plano (lecciones 64 y 65)

3.6. Gráficas de relaciones lineales de diversos fenómenos(lección 66)

3.7. Análisis de la gráfica de y = mx + b cuando m permanece constante y b varía(lecciones 67 y 68)

3.8. Análisis de la gráfica de y = mx + b cuando b permanece constante y m varía(lección 69)



4.4. Probabilidad de ocurrencia de eventos independientes(lecciones 81 a 83)

4.5. Gráficas de línea(lecciones 84 y 85)

4.6. Gráficas formadas por segmentos de recta(lecciones 86 y 87)



5.4. Probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes(lecciones 98 y 99)



Índice

Bloque 1 Conocimientosyhabilidades

Lección 1. ¿Menos cuatro veces cinco? 16 1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.Lección 2. ¿Menos cuatro veces menos cinco? 18

Lección 3. Varios factores y distintos tipos de números

20

Lección 4. El factor faltante 22

Lección 5. Un juego para empezar 24 1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.Lección 6. Cuadrados mágicos 26

Lección 7. Adivina la suma 28

Lección 8. Expresiones que valen lo mismo I 30 1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

Lección 9. Expresiones que valen lo mismo II 32

Lección 10. Ángulos en el reloj 34 1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

Lección 11. Con o sin transportador 36Lección 12. Papirolas 38

Lección 13. La posición relativa de dos rectas 40 1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Lección 14. ¿Qué parejas de rectas se forman? 42Lección 15. El geoplano circular I 44Lección 16. El geoplano circular II 46

Lección 17. Ángulos que se corresponden 48 1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

Lección 18. Otras parejas de ángulos importantes 50Lección 19. La malla de triángulos 52Lección 20. La malla de romboides 54

Lección 21. Factores de escala I 56 1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

Lección 22. Factores de escala II 58Lección 23. Del maíz a las tortillas 60Lección 24. El IVA y otros factores

de proporcionalidad62

Lección 25. Depende de… ¡varias magnitudes! I 64 1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.Lección 26. Depende de… ¡varias magnitudes! II 66

Lección 27. Helados de sabores 68 1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

Lección 28. Distintos números con las mismas cifras

70

Presentación 3Guía de uso 4Presentación para el maestro 6Dosificación 8

Guía de usoÍndice

Lección 29. Agrupando datos 72 1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.Lección 30. Un nuevo tipo de gráfica 74

Lección 31. Saber interpretar gráficas 76

Repasemos lo aprendido 78

Las matemáticas en los mapas 80

Y para terminar… 82


Lección 32. Signos de agrupación 84 2.1. Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.Lección 33. Los signos mandan 86

Lección 34. Paréntesis dentro de paréntesis 88

Lección 35. Distintas formas de multiplicar 90 2.2. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.Lección 36. La medida de un lado 92

Lección 37. Propiedades curiosas 94

Lección 38. Los encantos del cubo 96 2.3. Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

Lección 39. Prismas 98Lección 40. Las pirámides 100Lección 41. Un mismo objeto, muchas vistas 102

Lección 42. ¿Cuál es el volumen? 104 2.4. Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.Lección 43. Una relación interesante y útil 106

Lección 44. Cajas y recipientes 108 2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.

Lección 45. Variaciones 110

Lección 46. ¿Qué trato conviene más? 112 2.6. Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia.Lección 47. ¿Qué tono de gris es más claro? 114

Lección 48. Razones famosas 116

Lección 49. La media y la distribución equitativa 118 2.7. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.

Lección 50. ¿La media es 2.73 niños en edad escolar?

120

Lección 51. La media en datos agrupados 122Lección 52. Otros valores representativos 124


Las matemáticas en el balón de futbol 128


Índice


Lección 53. ¿Cuántos cuadritos hay en el borde? I 132 3.1. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.

Lección 54. ¿Cuántos cuadritos hay en el borde? II 134Lección 55. Con figuras o con números 136

Lección 56. Adivinanzas fáciles y no tan fáciles 138 3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.

Lección 57. Amplificar y simplificar 140Lección 58. Problemas diversos 142

Lección 59. Figuras en el plano cartesiano 144 3.3. Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

Lección 60 Pesos y resortes 146Lección 61. Unas cantidades dependen de otras 148

Lección 62. Desde un vértice 150 3.4. Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.Lección 63. Calcular sin medir 152

Lección 64. Mosaicos 154 3.5. Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.Lección 65. Adornando el plano 156

Lección 66. El lenguaje de las gráficas 158 3.6. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

Lección 67. El tinaco de agua 160 3.7. Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.3.8. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.

Lección 68. La ecuación de la recta I 162 3.7. Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.

Lección 69. La ecuación de la recta II 164 3.8. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.


Las matemáticas en las coordenadas geográficas 168



Lección 70. El número más grande posible 172 4.1. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Lección 71. ¿Qué significa tres a la menos dos? 174Lección 72. Cantidades astronómicas

o microscópicas176

Guía de usoÍndice

Lección 73. Iguales o diferentes 178 4.2. Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.Lección 74. ¿Qué figura resulta? 180

Lección 75. Mensajes breves pero efectivos 182Lección 76. Tipos de triángulos 184

Lección 77. Un triángulo al interior de un círculo 186 4.3. Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.Lección 78. Un círculo al interior de un triángulo 188

Lección 79. Centro de gravedad 190Lección 80. Las alturas de un triángulo 192

Lección 81. ¿Lloverá o no lloverá? 194 4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

Lección 82. La ruleta 196

Lección 83. Otra vez el dado 198 4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

Lección 84. Día Mundial de la Población 200 4.5. Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones.

Lección 85. El mundo en gráficas 202

Lección 86. Llenado de botellas 204 4.6. Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Lección 87. El movimiento en gráficas 206


Las matemáticas en el infinito 210



Lección 88. Adivinanzas con… ¡dos números desconocidos!

214 5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.5.3. Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

Lección 89. Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones

216

Lección 90. Una solución, muchas soluciones o ninguna

218

Lección 91. Trasladando figuras 220 5.2. Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

Lección 92. Rotando figuras 222Lección 93. El reflejo del reflejo 224Lección 94. Figuras en movimiento 226

Lección 95. Otras técnicas para resolver sistemas de ecuaciones I

228 5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

Índice

Lección 96. Otras técnicas para resolver sistemas de ecuaciones II

230 5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

Lección 97. Problemas diversos 232

Lección 98. Independientes o no independientes

234 5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

Lección 99. Problemas con urnas 236


Las matemáticas en una tira de papel 240


Anexos 243Bibliografía 254

15

El pueblo babilónico fue el que comenzó a utilizar el sis-tema sexagesimal (de base 60); dividieron la esfera ce-leste en 360 grados y cada grado en 60 minutos. Así, la medición del tiempo quedó estrechamente ligada con la medición de los ángulos. El día fue dividido en 12 horas dobles: 12 horas de día-luz y 12 horas de noche. Cada hora a su vez se fraccionó en 60 minutos.

Aunque este sistema es un poco más difícil que el deci-mal, es el que usamos actualmente para medir el tiempo y los ángulos.

En este bloque aprenderás a:• Resolver problemas

que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo.

• Justificar la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

• Resolver problemas de conteo mediante cálculos numéricos.

• Resolver problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades.

• Interpretar y construir polígonos de frecuencia.

BLOQUE 1

Torr

e de

l Rel

oj d

el P

alac

io d

e W

estm

inst

er (

Big

Ben)

, en

Lond

res,

Ingl

ater

ra.

16

1 Realizaloqueacontinuaciónseindica.

a) Expresa mediante una suma y una multiplicación las operaciones representadas en las siguientes rectas.

Suma:

¿Cuál es el sumando que se repite en esta recta?

Multiplicación:

Suma:

¿Cuál es el sumando que se repite en esta recta?

Multiplicación:

b) Anota los resultados de estas multiplicaciones.

4 4 = 2 6 = 5 6 = 4 3 = 2 4 = 5 3 =

4 2 = 2 2 = 5 0 =

4 1 = 2 0 = 5 (3) =

4 0 = 2 (2) = 5 (6) =

4 (1) = 2 (4) =

4 (2) =

4 (3) =

Lección 1

16

�16 �14 �12 �10 �8 �6 �4 �2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

�24 �21 �18 �15 �12 �3�6�9 0 3 6 9 12

¿Menoscuatrovecescinco?Una manera de entender la multiplicación 4 x 5 es 4 veces 5; pero, ¿qué significanmultiplicaciones como 4 5 y 4 (5)?

17

2 Leelasiguienteinformación.

Una forma de entender la multiplicación es considerarla como una suma de sumandos iguales. Dichos sumandos pueden ser números positivos o negativos. Por ejemplo:

4 5 5 5 5 5 = 20 3 (–8) = (–8) + (–8) + (–8) = 24

5 (–a) (–a) (–a) (–a) + (–a) (–a) = 5a

3 Resuelvanlassiguientesoperacionesenequipoycomparensusresultados;encasodequehayadiferencias,averigüenquiéntienerazón.

a) 4 (10) b) (10) 4

c) (15) 3 d) 3 (15)

e) 6 (1) f) (1) 6

g) (8) 0 h) 0 (8)

i) 3 (2.5) j) (2.5) 3

4 Conayudadesuprofesoroprofesoraanalicenlasiguienteinformación.

En la multiplicación de números positivos el orden de los factores no altera el producto; por ejemplo, 4 5 5 5 4. Esta propiedad se llama conmutatividad y también es válida para los números negativos. Gracias a esta propiedad, es posible resolver una multiplicación como 4 5, y, aun cuando para nosotros no tenga sentido decir “menos cuatro veces cinco”, podemos estar seguros de que 4 5 5 5 (4) 5 20.

5 Completenlassiguientesfrases.

a) Siempre que se multiplican dos números de distinto signo, el resultado es un número

b) Siempre que un número positivo o negativo se multiplica por cero, el resultado es

c) Siempre que un número positivo se multiplica por 1, el resultado es

6 Realicenlosiguienteensuscuadernos.

a) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo resultado sea 24.b) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo resultado sea 875.c) Encuentren al menos una multiplicación cuyo resultado sea 38.d) Encuentren dos números que sumados den cero y multiplicados den 169.e) Encuentren dos números que sumados den 1 y multiplicados den 306.

7 Conayudadesuprofesoroprofesoracomparenlosresultadosdelproblemaan‑terior.

17

1.1.

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sig

no.

18

Lección 2

1 Realizalosiguienteconuncompañeroocompañera.

a) Resuelvan las multiplicaciones de la sección azul de la tabla.

b) Observen que el segundo factor disminuye de 1 en 1 mientras que los productos aumentan de 3 en 3. ¿A qué se debe?

c) Las multiplicaciones de la sección naranja son de un número negativo por otro negativo. Vean qué sucede si mantienen la regularidad anterior y continúan suman‑do 3 a los productos. ¿Estos productos son negativos o positivos?

2 Conayudadelprofesorrealicenlosiguiente.

a) Comparen sus resultados con los de otras parejas.b) Observen que, si se mantiene la regularidad “por cada unidad que disminuye el segundo factor,

el producto aumenta tres unidades”, los productos de dos números negativos son positivos.

3 Construyanunatablacomolaanteriorapartirdelamultiplicación25.Escri‑banlosproductosqueseobtienenaldisminuirelsegundofactorde1en1.Veansilleganalamismaconclusiónqueconlatablaanterior.Comentensuconclusiónconotrasparejas.

4 LaregladecorrespondenciaentredosconjuntosdecantidadesAyB,esy=3x.Conbaseenestainfor‑maciónrealicenlosiguiente.

a) Anoten los datos que hacen falta en la parte azul de la si‑guiente tabla.

b) Ubiquen en el plano cartesiano de la página siguiente los pun‑tos que corresponden a esas coordenadas; observen que los puntos están alineados y tracen una recta que pase por ellos.

3 4 12 33 3

33 2

33 1

33 0

33 (1)

33 (2)

33 (3)

33 (4)

Conjunto A(x)

Conjunto B(y)

3 –9

2

1

0

– 1

–2

–3

y = 3x

¿Menoscuatrovecesmenoscinco?l El producto de dos números positivos es un número positivo; por ejemplo, 4 5 5 20. l El producto de un número positivo por uno negativo, o bien, de uno negativo por uno positivo,

es negativo; por ejemplo, 4 (5) 5 20 y 4 5 5 20.l ¿Y el producto de dos números negativos; por ejemplo, 4 (5)?

19

c) Para encontrar los valores que faltan en la sección naranja prolonguen la recta y ubiquen en el eje de las abscisas el 1; finalmente observen qué ordenada le corresponde. Sigan el mismo procedimiento con 2 y 3. Anoten en la tabla los valores que encuentren.

d) Ahora ya saben que a 2 le corresponde 16. La regla de co‑rrespondencia de la gráfica es:

y 3(x)

Esto quiere decir que: 3 (2) 6

También quiere decir que: 3 (1)

3 (3)

5 Conayudadesuprofesoroprofesoraanalicenlainformación.

El producto de dos números negativos es un número positivo; por ejemplo, 3 (2) =6

6 Anotalosnúmerosquefaltanenlassiguientesmultiplicaciones.

a) (5) (1) c) (a) (1) e) (8) ( ) 8

b) (1) (5) d) (1) (a) f) (8) ( ) 8

7 Escribelossignosquefaltanenlasiguientetablaycompletalosenunciados.

Enunciado1:Siempre que se multiplicandos números del mismo signo, el resultado es

Enunciado2: Siempre que se multiplicandos números de distinto signo el resultado es

8 Anotalosnúmerosquefaltanenlassiguientesmultiplicaciones.

a) (3) (5) = c) (7) ( ) = 56 e) (a) (b) =

b) (3) (5) = d) ( ) (8) = 56 f) (a) (b) =

�1�2�3�4�5�6�7�8�9

1

(3,�9)

�1�2�3�4 2 3 4

987654321

0

y

x

Recuerda: hay varias maneras de expresar una multiplicación sin utilizar el signo “”; por ejemplo, la multiplicación “5 por a”, puede expresarse así: (5)(a); 5(a); (5)a; o bien, 5a.

1.1.

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20

Lección 3

1 Encuentralosresultadosdelassiguientesoperacionesydespuéscompáralosconlosdetuscompañerosycompañerasdeequipo.

a) (2)(3)(1) b) (4)(3)(2)(1)

c) (5)(4)(3)(2)(1) d) (5)(4)(3)(2)(1)

e) (875)(576)(0) f) (2.5)(3.2)(1)

2 Inventadosmultiplicacionesdeseisfactores:unaenlaqueelresultadoseaposi‑tivoyotraenlaqueelresultadoseanegativo.Anótalasenseguida.

a)

b)

3 Comentacontuscompañeros,compañerasycontuprofesoroprofesoraenquécasoselresultadodeunamultiplicacióndemásdedosfactoresespositivo,cuán‑doesnegativoyenquécasosescero.Anotaenseguidalasconclusiones.

Primeraconclusión: El resultado es positivo cuando

Segundaconclusión:El resultado es negativo cuando

Terceraconclusión:El resultado es cero cuando

4 Aplicalasconclusionesalasquellegaron,pararesolverlassiguientesmultiplica‑ciones.Despuésverificalosresultadosconunacalculadora.

a) (4)(7)(2)(5) b) (10)(3)(4)

c) (1)(8)(10)(3)(20) d) (5)(10)(50)

e) (3)( )(7) 21 f) (3)(2) ( ) 24

Variosfactoresydistintostiposdenúmeros

En la lección anterior se establecieron reglas para multiplicar dos números con signo. ¿Qué pasa cuando la multiplicación incluye más de dos factores?

21

5 Completalatablaycontesta.

¿Cuál es la regla de correspondencia que permite obtener los números de la columna B, a partir de los números de la columna A?

Con palabras

Expresión algebraica: y =

6 Resuelvelossiguientesproblemasycomparatusresultadosconlosdelgrupo.

a) El producto de tres números enteros es 30. ¿Cuáles son esos números? Encuentra al menos

tres soluciones.

b) El producto de dos números simétricos es 81. ¿Cuáles son esos números?

c) El producto de tres números enteros consecutivos es 120. ¿Cuáles son esos números?

7 Escribelosresultadosylasoperacionesquefaltan.

Columna A(x)

Columna B(y)

3 15

2

1

0

1

2 2 10

Recuerda: sonnúmerossimétricos los que en la recta numérica están a la misma dis-tancia del cero; por ejemplo, 5 y 5. Son númerosenterosconsecutivos los que en la serie numérica están uno a continuación del otro; por ejemplo, 5 y 6; 5 y 4; 9, 10 y 11.

(5)40

8

128

20

1.1.

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10

(1)

22

Lección 4

1 Calculamentalmenteelfactorquefaltaenlassiguientesmultiplicaciones.

a) (7)( ) 14 b) (7)( ) 14

c) ( )(15) 345 d) ( ) (15) 345

e) (1)( ) 13 f) (1) ( ) 13

g) (1)( ) 13 h) (5)( ) 5a

2 Anotalasmultiplicacionesanterioresenlacolumnaizquierdadelasiguientetabla.Enlacolumnaderechaescribeladivisióncorrespondiente,comoenelejemplo.

Multiplicación en la que falta un factor División que corresponde

a) (7)( ) 14 (14) (7)

b)

c)

d)

e) (1 )( ) 13 (13) 1

f )

g)

h)

3 Reúnanseconalgunoscompañerosycompañerasparacompletarestosenunciados.

a) El cociente de dos números con el mismo signo es un número

b) El cociente de dos números de distinto signo es un número

c) El cociente de dividir un número, positivo o negativo, entre 1 es

d) El cociente de dividir un número, positivo o negativo, entre 1 es

4 Comparenlasrespuestasdelaactividadanteriorconlasdeotrosequipos.Entretodosyconayudadesumaestro,completenelsiguienteenunciado.

El cociente de dividir cero entre cualquier número positivo o negativo es

Elfactorfaltante¿Recuerdas que la división es una operación que, entre otras cosas, ayuda a encontrar un factor faltante en una multiplicación?

23

5 Resuelvanlosiguiente.

a) Encuentren al menos tres adiciones diferentes cuyo resultado sea 15.

b) Encuentren al menos tres sustracciones cuyo resultado sea 10.

c) Encuentren al menos tres multiplicaciones cuyo producto sea 20.

d) Encuentren al menos tres divisiones cuyo cociente sea 8.

6 Conayudadesuprofesoroprofesoraanalicenlosresultadosanterioresycorrijanloserrores.

7 Resuelvelassiguientesoperaciones.

a) 5 6 23

d) 5 22

b) (4) (6) (2)8

e) 2 6 4

30

c) 45 1545 15

f) (4) (2) (3)6

8 Reúneteenequipoycomparenlosresultados.Sihaydiferencias,entretodosen‑cuentrenloserroresycorríjanlos.

9 Resuelvanlosiguiente.

a) Encuentren dos números que sumados den 1 y multiplicados den 156.

b) Encuentren dos números cuyo cociente sea 4 y cuyo producto sea 36.

c) Encuentren dos números que al restarlos den 10 y multiplicados den 24.

10 Conayudadesuprofesoroprofesorarevisenlosresultadosqueobtuvieronenelproblemaanterior.

1.1.

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24

Lección 5

1 Reúneteconuncompañeroocompañerayrealicenelsiguientejuego;usenlahojadecalendarioquesemuestra.

Reglasdeljuego:

Primera: El jugador A debe elegir cuatro números que formen un rectángulo, como indica el ejemplo. El jugador B no debe saber qué números se eligieron.

Segunda:El jugador A calcula la suma de los cuatro números y la dice al jugador B.

Tercera:El reto para el jugador B consiste en averiguar qué números eligió el jugador A. Si acierta, gana un punto; en caso contrario, el punto es para el jugador A.

Cuarta: En la siguiente ronda se invierten los papeles. Después de seis rondas, gana quien obtiene más puntos.

2 ImaginaqueereseljugadorB;lasumaquediceeljugadorAes32ydebesadivinarloscuatronúmeros.¿Quéhaces?

a) Los números que eligió tu compañero están dispuestos como muestra el siguiente esquema.

Anota x donde creas que va el menorde los cuatro números, suponiendoque tienes frente a ti la hoja del calendario.

D L

1

8

15

22

29

7

14

21

28

6

13

20

27

2

9

16

23

30

3

10

17

24

31

4

11

18

25

5

12

19

26

M M J V S

UnjuegoparaempezarEl lenguaje algebraico es una herramienta muy útil, pues permite, entre otras cosas, nombrar números que se desconocen.

25

b) Si el menor de los cuatro números se denota con x, ¿cómo expresarías el que está a su derecha?

c) ¿Cómo expresarías el número que está debajo de x?

d) ¿Cómo expresarías el mayor de los cuatro números?

e) Utiliza la expresión algebraica de cada uno de los cuatro números para completar la siguiente ecuación. Resuélvela para obtener el valor de x.

x + + + = 32

f) ¿Cuáles son los cuatro números que se buscan? Anótalos en el esquema de la página anterior y verifica que suman 32.

3 Conayudadesuprofesoraoprofesorrealicenlosiguiente:

a) Llamen x al mayor de los cuatro números.

b) A partir del número mayor, expresen algebraicamente los tres números restantes y anótenlos en el cuadro.

c) Completen la siguiente ecuación y resuélvanla.

x + + + = 32

d) ¿Qué valor tiene ahora x?

4 ¿Esciertoquelasumadeunnúmeromássudoble,mássutriple,siempreesdivisi‑bleentre6?Busquenargumentosparaexplicarporquésíoporquéno.Recuerdenqueunnúmeroesdivisibleentreotrocuandoelresiduodeladivisióndelprimeroentreelsegundoescero.Escribansusconclusionesenseguida.

5 Conayudadesuprofesoraoprofesoranalicenlasiguienteinformación.

x

Una expresión algebraica puede tener uno o más términos; por ejemplo, la expresión 5x tiene sólo un término; la expresión x 3x tiene dos términos, y la expresión 2x x 5 tiene tres términos.

En cada término hay un coeficiente y una parte literal. Así, en el término 5a, el co-eficiente es 5 y la parte literal es a. En el término 3a2b, el coeficiente es 3 y la parte literal es a2b.

Los términos que presentan la misma parte literal se llaman semejantes y se pueden simplificar, por ejemplo:

2a a = 3a 2a 3a = a

1.2.

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26

Lección 6

1 Resuelvelosiguiente.

El número de cada celda es la suma de las dos de abajo.

a) Anota la expresión para el número de la celda de arriba.

b) Anota la expresión en la forma más simple.

2 Compartanideaspararesolveresteproblema.

a) Anoten las expresiones que faltan en las celdas de este esquema. En la celda de arriba procuren escribir la expresión más simple posible. Re‑cuerden que en cada celda se anota la suma de las dos de abajo.

b) Con las mismas reglas completen este otro esquema. No olviden es‑cribir la expresión más simple posible en la celda de arriba.

c) De la misma manera encuentren los números que faltan en este esquema.

3 Conayudadesuprofesoroprofesorarevisenlosresultadosqueobtuvieronenlosproblemasanteriores.

m n n p

m n p

3t 6u 2u 3t

2u 3t

2m p p 2n p

182

31 45

CuadradosmágicosRecuerda que las expresiones algebraicas se pueden simplificar cuando contienen términos semejantes; por ejemplo, 3a – a = 2a.

27

4 Recuerdenqueenuncuadradomágicolasumadelasexpresionesdecadafila,co‑lumnaodiagonaldebeserlamisma.

a) Verifiquen que el cuadrado que se muestra es mágico.

b) ¿Cuál es la suma de las expresiones de cada fila, columna

o diagonal?

5 Suponganqueenelcuadradomágicoanteriora=1,b=2,c=3.

a) Anoten el valor que le corresponde a cada celda

b) Verifiquen que se trata de un cuadrado mágico.

c) ¿Cuál es la suma de cada fila, columna o diagonal?

6 Conayudadesuprofesoraoprofesorrevisenlosresultadosdelosproblemas4y5.Sihaydiferencias,tratendedescubrirloserrores.

7 Anotenlaslongitudesquefaltanenelsiguienterectángulo.

ab abc ac

abc a abc

ac abc ab

1.2.

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28

Lección 7 Adivinalasuma¿Sabías que muchos de los juegos que consisten en adivinar números o resultados de operaciones se pueden explicar mediante expresiones algebraicas?

1 Leelasiguienteinformación.

2 Obtenganlossiguientescálculos.

a) La suma de 10 números consecutivos a partir del 3

b) La suma de 10 números consecutivos a partir del 5

c) La suma de 10 números consecutivos a partir del 5

3 Realicenelsiguientejuego.

Reglas:

1ª Un miembro del equipo dice en voz alta un número entero (positivo o negativo).2ª Cada miembro del equipo trata de encontrar, lo más rápido posible, la suma de 10 números

consecutivos a partir del número que se dijo en voz alta.3ª Quien primero encuentra la suma gana un punto y en el siguiente turno le toca decir el número

del cual se parte.

4 Busquenunprocedimientoparacalcular,lomásrápidoposible,lasumade10nú‑merosenterosconsecutivosapartirdeunnúmerodado.Anotaelprocedimientoqueencontraron.

5 Encuentrenunafórmulaquepermitacalcular lasumade10númerosenterosconsecutivosapartirdeunnúmerodado.

Anótala:

Se dice que dos números enteros son consecutivos cuando, en la serie numérica, están uno seguido del otro; por ejemplo, son consecutivos 5 y 6; 100 y 101; 10 y 9; 0 y 1.De manera general, son consecutivos: n y n 1; n 5 y n 6; n 2 y n 1.

29

6 Conayudadelprofesoranalicenlasfórmulasqueobtuvieronlosequiposyconclu‑yansisoncorrectasoincorrectas.

Anota la fórmula que prefieras.

7 Anotenenelrectánguloelnúmeroquefaltaencadarecta.

8 Conayudadelaprofesoraoprofesorcomparenlosresultadosdelproblemaan‑terior.

9 Contestenlassiguientespreguntas.

a) ¿Es posible que la suma de 10 números consecutivos resulte 145 845?

¿Por qué?

b) Es posible que con la suma de 10 números consecutivos se obtenga 24 350?

¿Por qué?

n�1 n�1 n�2 n�3 n�4 n�5 n�6 n�7 n�8 n�9 n�10 n�11n

20

n�1 n�1 n�2 n�3 n�4 n�5 n�6 n�7 n�8 n�9 n�10 n�11n

75

n�1 n�1 n�2 n�3 n�4 n�5 n�6 n�7 n�8 n�9 n�10 n�11n

635

n�1 n�1 n�2 n�3 n�4 n�5 n�6 n�7 n�8 n�9 n�10 n�11n

1 775

1.2.

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30

Lección 8

1 Enlacolumnaizquierdalosenunciadosestánescritosenlenguajecomúnyenlacolumnaderechaesosenunciadosseexpresanenlenguajealgebraico.Indicaconelincisoacuálcorrespondecadauno.

a) Sumar 7 a un número. n7

o n 7

b) Multiplicar un número por sí mismo. n + 7

c) 7 menos un número. 7n – 2

d) Dividir un número entre 7. n(n) o n2

e) Multiplicar un número por 7 y luego restar 2. n7 + 2

f) Dividir un número entre 7 y luego sumar 2. 7 – n

2 Realicenlasiguienteactividad.

a) Comparen sus respuestas del problema anterior.

b) Escriban en lenguaje común el significado de cada una de las expresiones algebraicas.

2n

n + 2

n2

3 Conayudadesuprofesoraoprofesoranalicenlainformación.

Como habrás notado, en la multiplicación algebraica no se utiliza el signo por () para no confundirlo con la letra x; por ejemplo, la multiplicación de un número por 5 se expresa en cualesquiera de estas formas:

5n 5(n) (5)(n)

La división de un número entre 5 suele expresarse así:

n5

ExpresionesquevalenlomismoIUna misma expresión algebraica puede escribirse de distintas maneras.

31

4 Cadaexpresióndelaizquierdaesequivalenteaunadelasexpresionessimplifica‑dasdeladerecha;anotenlaletraquecorrespondeencadacaso.

a) x + x + x = 4x + 5

b) x – 2x + x = 3x

c) x + 5 + 3x = x + 5

d) 3x + 2x = 0

e) 3x – 2x + 5 = 3x + 6

f) 3(x + 2) = 5x

5 Elsiguientedibujomuestraelpisodeunahabitaciónsobreelquesehacolocadountapetequesólocubrelacuartapartedelmismo.a)Encuentren al menos tres expre‑

siones distintas que denoten el área que no cubre el tapete.

Primera expresión:

Segunda expresión:

Tercera expresión:

b) Simplifiquen las expresiones y muestren que son equivalentes.

Primera expresión:

Segunda expresión:

Tercera expresión:

6 Simplificalassiguientesexpresiones.

a) 3a 2b – 2a b =

b) 4x 7 3x 3 x =

c) 3(x 5) =

d) 4(a 2b)2(2a b) =

1.3.

Rec

onoc

er y

obt

ener

exp

resi

ones

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icas

equ

ival

ente

s a

part

ir de

l em

pleo

de

mod

elos

geo

mét

ricos

.

32

Lección 9

1 Conbaseen lasexpresionesalgebraicasquemuestran lassiguientestarjetas,contestenlaspreguntas.Enalgunoscasoshaymásdeunasolución.

a) ¿Cuál tarjeta dice lo mismo que n2

?

b) ¿Qué tarjeta expresa lo mismo que n n?

c) ¿Cuáles son las dos tarjetas que dicen lo mismo que 2 n?

d) Si se suman las expresiones de tres tarjetas y la suma se simplifica se obtiene 5n.¿Cuáles son esas tres tarjetas?

e) Escribe en esta tarjeta otra expresión que también diga 2n + n.

f) ¿Qué tarjeta dice lo mismo que n + 2?

g) Escribe una tarjeta que también exprese n3.

2 Dibujenalmenosdosfigurascuyoperímetrosea6x+12yanotenlamedidadecadalado.

3 Conayudadesuprofesoroprofesorarevisenlosresultadosdelosproblemas1y2.

n 2 2 n n2

n n 2n

n n3 n 2

n 2 2n n

ExpresionesquevalenlomismoIISaber escribir, tanto en lenguaje común como en lenguaje algebraico, nos permite decir lo mismo de varias maneras.

33

4 Elsiguienteesquemaseñaladoscaminosparairderad.¿Cuáldebeserelvalorderparaquealllegaradseobtengaelmismoresultadoporlosdoscaminos?

Completa la expresión algebraica que denota la equivalencia de los dos caminos.

7(r 2)

5 Laexpresiónalgebraica3(p+2)=2p+5denotalaequivalenciaentredoscaminosparairdepak.Dibujenelesquemadelosdoscaminosyencuentrenelvalordep.

6 Elsiguientedibujomuestraelpisodeunahabitaciónsobreelquesehacolocadountapete.

a) Encuentren al menos tres expresiones distintas que denoten el área de la parte que no cubre el tapete.

Primera expresión:

Segunda expresión:

Tercera expresión:

b) Simplifiquen las expresiones y muestren que son equivalentes.

7 Conayudadesuprofesoraoprofesorrevisenlosresultadosdelosproblemas5y6.

2

5 4

7r2

d

5r

r

yy

c c

1.3.

Rec

onoc

er y

obt

ener

exp

resi

ones

alg

ebra

icas

equ

ival

ente

s a

part

ir de

l em

pleo

de

mod

elos

geo

mét

ricos

.

34

Lección 10

1 Anotaencadacasolamedidadelángulomarcadoconunarcorojo.

2 Dibujalasmanecillasparaformarángulosde30º,160º,240ºy300º;márcalosconunarcorojo.

3 Dibujalasmanecillasparaformarángulosde90º,180º,270ºy360º.

4 Comparensusresultadosyleanlasiguienteinformación.

Recuerda que un ángulo es la abertura entre dos semirrectas con un origen común.

Las semirrectas reciben el nombre deladosdelángulo y el origen común se llama vérticedelángulo. Observa que el ángulo que se considera se marca con un arco.

30º 160º 240º 300º

90º 180º 270º 360º

vérticelado

lado

Ángulosenelreloj¿Cuánto mide el ángulo que forman las manecillas de reloj cuando son las 4 en punto?, ¿y cuando son las 6 en punto?, ¿y las 12 en punto?

lado

ladovértice

35

5 Contestalaspreguntasyhazloquesepide.

a) ¿Cuál de los cuatro ángulos siguientes es el mayor? ¿Cuál es el menor?

b) Anota la medida de cada ángulo.

A B C D

c) ¿Qué le sucede a la medida de un ángulo cuando sus lados se alargan?

d)Traza en tu cuaderno un triángulo equilátero que mida 5 cm de lado y otro de 10 cm. Mide los tres ángulos de cada uno. ¿Los ángulos del triángulo mayor son más grandes que los del triángulo menor?

La medida de un ángulo no depende del tamaño de sus lados sino de la abertura entre ellos. Los ángulos se miden en grados.

Para medir ángulos se puede utilizar el transportador; observa cómo se hace.

El giro de una vuelta completa equivale a 360º, media vuelta a 180º y un cuarto de vuelta a 90º. Los ángulos se pueden nom‑brar de varias maneras; una de ellas es con la letra de su vértice, por ejemplo, éste es el ángulo A.

6 Completa la tabla: primero estima el valor del ángulo marcado con un arco y luego usa el transpor‑tador para comprobar las medidas.

Ángulo A Ángulo B Ángulo C Ángulo D Ángulo E

Estimación

Medida

A B C

DE

1.4.

Res

olve

r pro

blem

as q

ue im

pliq

uen

reco

noce

r, es

timar

y m

edir

ángu

los.

36

Lección 11

1 Enestalecciónnecesitarásunjuegodeescuadras.Midecadaunodelosángulosdetusescuadrasyanotalosresultados.

2 Comparensusresultados;enparticularcomentensilasescuadrasdetodossondelmismotamañoysilosángulossondelasmismasmedidas.

3 Usandosólolasescuadras,tracenensucuadernoángulosde30º,45º,75º,105º,135º,150º,15º,210º,225º,315º.

4 Completalatabla:primeroestimalamedidadecadaánguloyluego,sóloconlasescuadras,verificasumedida.

Ángulo A Ángulo B Ángulo C Ángulo D

Estimación

Medida

BA

D

C

Conosintransportador¡Las escuadras también son útiles para trazar y medir ángulos!

37

5 Trazaaladerechaunánguloigualalsiguiente.

Explica tu procedimiento.

6 Comentenlosprocedimientosqueusaronenlasactividades3,4y5,yleanelsi‑guienteprocedimiento.

7 Trazaentucuadernotresángulos,despuéspracticaelprocedimientoanteriortrazandounánguloigualacadauno.

Procedimiento para trazar un ángulo igual a otro usando sólo regla y compás

A

C C

B A B

A B A B

Paso1Se traza el segmento AB.

Paso2En el ángulo dado, apoyando el compás en el vértice, se tra‑za un arco que corte ambos lados.

Paso3Con la misma aber tura y el compás apoyado en A, se traza también un arco.

Paso4Se mide con el compás la aber‑tura del ángulo original.

Paso5Esa abertura se traslada al arco trazado en el paso 3 para hallar el punto C.

Paso6Se une A con C y se tiene un ángulo igual al original.

1.4.

Res

olve

r pro

blem

as q

ue im

pliq

uen

reco

noce

r, es

timar

y m

edir

ángu

los.

38

Lección 12

Para cada una de las actividades 1 y 3 necesitas un cuadrado de papel.

1 Tomauncuadradoydóblalocomosemuestra.

a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del cuadrado? b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo que se obtuvo al doblar el cuadrado?

, y .c) ¿Cuánto mide el ángulo marcado en la cuarta figura?

Para expresar medidas de ángulos que no son un número entero de grados, el grado se sub‑divide en 60 partes llamadas minutos. La mitad de un grado equivale a 30 minutos. Los minutos se simbolizan con un apóstrofo (’); por ejemplo, 40 grados con 30 minutos se representa así: 40°30’.

40.5º = 40º30’

2 Ungradoequivalea60minutos.Anotaacuántosminutosequivalenlassiguientesmedidas:

0.25º = 0.75º = 0.1º = 0.4º =

l Completa la tabla.

Medida en grados 55.5º 178.35º 245.05º

Medida en grados y minutos 35º 12’ 35º 6’

3 Siguelasinstruccionesparaformarelbarquito.

Dobla para formarun triángulo

Dobla y desdobla por la línea punteada

Dobla por la líneapunteada

Dobla hacia atrás por la línea punteada

PapirolasLa mitad de un ángulo de 15 grados mide 7.5 grados. ¿Sabías que eso equivale a 7 grados con… 30 minutos?

39

l Sinmedir,determinayanotalasmedidasdelosán‑gulosmarcados.

l Pegaentucuadernoelbarquito;noolvidesanotarlamedidadelosángulosin‑dicados.

4 Resuelve.

a) Carlos tiene un triángulo equilátero de papel; si dobla tres veces a la mitad uno de sus ángulos, ¿cuánto mide el ángulo que obtiene al final?

b) Anota la medida del ángulo marcado. Si no recuerdas cómo se calcula el ángulo interior y el án‑

gulo central de un polígono regular, consulta tu libro de primer grado.

c) Dos triángulos equiláteros se unen por uno de sus la‑dos para formar un rombo. Anota las medidas de los ángulos interiores del rombo.

¿Cuánto suman las medidas de los cuatro ángulos del rombo?

d) Si un hexágono regular se divide a la mitad por una de sus diagonales, forma dos trapecios. Elige un trapecio y anota la medida de sus ángulos interiores.

¿Cuánto suman las medidas de los cuatro ángulos del trapecio?

5 Comentaengrupolasrespuestasalosejerciciosdeestalección.

1.4.

Res

olve

r pro

blem

as q

ue im

pliq

uen

reco

noce

r, es

timar

y m

edir

ángu

los.

40

Lección 13

1 Consideraelsiguienteplanoparacompletarlosenunciadosposteriores.

a) Oriente 3 es paralela a , y perpendicular a y a

b) Norte 2 es paralela a , y perpendicular a y a

c) Norte 6 es perpendicular a .

d) Anota dos parejas de calles oblicuas. .

2 Analizacadaparejaderectasdelmismocoloryluegoescribesusdefiniciones.

Paralelas Perpendiculares Oblicuas

Definelo que son:

a) Rectas paralelas

b) Rectas perpendiculares

c) Rectas oblicuas

Observa que Norte 6 no es paralela ni perpendicular a Oriente 3; se dice, entonces, que Norte 6 es oblicua a Oriente 3.

Oriente 1

Oriente 3

Nort

e 2

Nort

e 4

Nor

te 6

Oriente 5

LaposiciónrelativadedosrectasAlgunas rectas son paralelas, otras perpendiculares, y hay otras que no son ni paralelas ni perpendiculares. ¿Cómo se llaman estas rectas?

41

3 Comparacontuscompañerosycompañerastusrespuestasdelaactividad1ylasdefinicionesdelaactividad2.

4 Lassiguientesdefinicionessonincorrectas;proporcionaenelespaciodeabajoalmenosunejemploparamostrarlo.

Dos rectas son paralelas solamente si

Dos rectas son perpendiculares solamente si

Dos rectas son oblicuas solamente si

ambas son horizontaleso ambas son verticales.

una está en posición vertical y la otra en posición horizontal.

se cortan formando un ángulo de 60º.

5 Lassiguientesdefinicionescontienendatosquesepuedeneliminar.Escribeunanuevadefinicióndelamaneramásbreveposible.

a)Las rectas perpendiculares son aquellas que se cortan formando cuatro ángulos iguales, todos de 90 grados, es decir, forman cuatro ángulos rectos.

b) Las rectas paralelas son aquellas que no se cortan y que siempre están a la misma distancia en‑tre sí.

c) Las rectas oblicuas son aquellas que se cortan en un punto formando cuatro ángulos diferen‑tes; dos de los ángulos son menores que 90 grados (agudos) y dos son mayores que 90 grados (obtusos).

6 Explicaporquéesincorrectalasiguienteafirmación.

Estas rectas son paralelas porque no se cortan. Esta afirmación es falsa porque...

7 Comentensusrespuestasalosejercicios4,5y6.

1.5.

Det

erm

inar

pos

icio

nes

rela

tivas

de

dos

rect

as e

n el

pla

no.

42

Lección 14

1 Leelosdosprocedimientos.Sinllevaracabolasinstrucciones,tratadeimaginarquéresulta.Anótalodebajodecadaprocedimiento.

2 Trazaentucuadernoloqueindicanlosprocedimientosyverificasituhipótesisinicialescorrecta.

3 Lassiguientesilustracionesmuestranelprocedimientoparatrazarunaperpen‑dicularalarectapquepaseporelpuntoQ,externoaella.a) Anota sobre las líneas lo que se hizo en cada paso.

ProcedimientoA1.Traza una recta.2. Con el compás traza dos circunferencias que

tengan su centro en diferentes puntos de la recta y se corten entre sí.

3. Encuentra los dos puntos de corte de ambas circunferencias.

4.Traza una recta que pase por estos dos puntos.

Procedimiento para trazar :

ProcedimientoB1.Traza una recta.2. Con el compás traza tres circunferencias

del mismo tamaño, con centro en distin‑tos puntos de la recta y se corten entre sí.

3. Ubica dos puntos de corte de las circunfe‑rencias que estén del mismo lado de la recta.

4.Traza una recta que pase por estos dos puntos.

Procedimiento para trazar :

Dada la recta p y el punto Q.1.

2. 3.

Q

p

Q

pM N

Q

pM N

Q

M N p

¿Quéparejasderectasseforman?Las rectas paralelas y perpendiculares se pueden trazar con las escuadras, pero ¿sabías que también es posible trazarlas con regla y compás?

43

4. 5.

b) Practica este procedimiento en tu cuaderno; traza una recta cualquiera y un punto fuera de ella, después traza la perpendicular a la recta que pase por el punto.

4 Utilizatusinstrumentosgeométricosparatrazarloqueseindica.

a) Un rectángulo cuya base sea AB y uno de sus vértices el punto C.

b) Un rombo, uno de cuyos lados sea el segmento PQ y que tenga dos ángulos de 60º.

5 Planeenunamaneradetrazar,conreglaycompás,unaperpen‑dicularaunarectaquepaseporunpuntosobreella.Porejemplo,trazarlaperpendicularalarectaaquepaseporelpuntoM.Escri‑banelprocedimientoensucua‑derno.

6 Comparenlasrespuestasalasactividades4y5.

Q

pM N

R

Q

pM N

R

a

M

Q

P

AB

C

1.5.

Det

erm

inar

pos

icio

nes

rela

tivas

de

dos

rect

as e

n el

pla

no.

44

Lección 15

1 Colocados ligasentugeoplanocircular1,comomuestralafigura.

a) ¿Cuántos ángulos se forman?

b) ¿Cuánto mide cada uno de esos ángulos?

2 Observalasiguientetablaenlaqueencadarenglónseindicanlasmedidasdecuatroángulos.

a) Intenta en tu geoplano formar los cuatro ángulos con dos ligas que pasen por el centro, como en la actividad anterior. Cuando no sea posible hacerlo, explica el motivo.

Medidas de ángulos ¿Se puede? Si no se puede, ¿por qué no es posible?

45º, 135º, 45º,135º

60º, 90º, 60º, 90º

30º, 120º, 90º, 120º

75º, 105º, 75º, 105º

b) Con las medidas de dos renglones de la tabla sí es posible formar los ángulos según se indica. Representa en estos geoplanos los ángulos que se forman y anota la medida de cada uno.

1 En el anexo 0 de la página 243 encontrarás la manera de elaborar un geoplano circular.

ElgeoplanocircularI¿Sabías que en el simple “tache” que se forma al cortarse dos rectas hay cuatro ángulos con numerosas relaciones entre sí?

45

3 Comparenlosresultadosdelasactividades1y2.

4 Consideralosángulosdelossiguientesgeoplanos.Recuerdaquelasligasrepre‑sentanrectas.

a) Los ángulos 1 y 3 son opuestosporelvértice, así como los ángulos 10 y 12. Anota otras cuatro parejas de ángulos opuestosporelvértice.

, , y b) ¿Cuál es la relación entre las medidas de los ángulos opuestos por el vértice?

c) Escribe una definición de ángulo opuesto por el vértice.

d) Señala en cada caso por qué es incorrecta la definición. Proporciona al menos un ejemplo que pruebe que la definición es incorrecta.

Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos ángulos que miden lo mismo.

Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado

común.

5 Comparenlasrespuestasdelaactividad4.

2

4

13

6

8

5

7

5

1012

9

11

1.5.

Rec

onoc

er á

ngul

os o

pues

tos

por e

l vér

tice

y ad

yace

ntes

.

46

Lección 16

1 Formaentugeoplanovariasparejasdeángulosconelmismovérticeyquecom‑partanunlado.Registraaquítresdelasparejas.

2 Anota3enlosgeoplanosenlosquelosángulos1y2cumplenconloqueindicalaactividad1.

3 Comparatusresultadosconlosdeotroscompañerosycompañeras.

Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común reciben el nombre de ángulos adyacentes.

2

1

21

12

1

2

2

1

21

ElgeoplanocircularII¿Dos ángulos pueden tener el mismo vértice y, además, compartir uno de sus lados?

47

4 Enlalecciónanteriorvistequecuandodosrectassecortan,seformanángulosopuestosporelvértice.Observaquetambiénseformanángulosadyacentes.

a) Anota las parejas de ángulosadyacentes que resultan y sus medidas; observa el ejemplo.

Ángulos 1 y 2Él ángulo 1 mide 75º

y el 2 mide 105º

b) Los ángulos adyacentes que se forman al cortarse dos rectas tienen una relación especial entre sus medidas; descúbrela y anótala a continuación.

c) De las siguientes afirmaciones, sólo una es correcta; subráyala. l Los ángulos adyacentes siempre miden lo mismo. l Los ángulos adyacentes siempre suman 180º. l Los ángulos adyacentes que se forman al cortarse dos rectas suman 180º. l Los ángulos adyacentes que resultan al cortarse dos rectas no suman 180º.

5 Realizaloqueseindicaacontinuación.

a) Calcula y anota, en cada caso, el valor de los tres ángulos que faltan.

b) Dos rectas se cortan. Uno de los ángulos que se forman mide el doble de su adyacente. ¿Cuánto mide cada uno de los cuatro ángulos?

6 Comparenlasrespuestasdelasactividades4y5.

24

1

3

65º30º

1.5.

Rec

onoc

er á

ngul

os o

pues

tos

por e

l vér

tice

y ad

yace

ntes

.

48

a r1

r2

c

eg h

f

db

ab c

d ef h

g

ij

k nm po

l

Lección 17

1 Enelsiguientedibujoaparecendossistemasdedosrectasquesecortanporunatransversal.

Sistema 1 Sistema 2

a)En cada sistema marca con arcos del mismo color los ángulos iguales.b)Compara los dos sistemas; ¿en qué se parecen y en qué son distintos?

c) Observa que en el sistema 1 hay dos rectas paralelas. ¿Qué ángulos de este sistema son iguales

gracias a que las rectas son paralelas?

2 Imaginaquecortaslasiguientefiguraporlalíneapunteadaysobreponeslarectar1enlarectar2demaneraquecoincidanlosvérticesdelosángulos.

r1esparalelaar2

a) ¿Qué ángulo queda debajo del ángulo a? , ¿y del b?

Se dice que el ángulo a es el correspondiente del ángulo e y que el ángulo b es el co‑rrespondiente del ángulo f.

b) ¿Cuál ángulo es el correspondiente del ángulo c? ¿y del d?

c) Verifica que, si las rectas que se cortan por la transversal son paralelas, entonces los ángulos co‑rrespondientes son iguales.

Ángulosquesecorresponden¿Sabes cuántos ángulos se forman cuando una recta corta otras dos? ¿Sabes qué pasa cuando las rectas que se cortan son paralelas?

49

3 Comparensusrespuestasdelasactividades1y2.

4 Enelsiguientesistemahaydosrectasparalelasquesecortanporunatransversal.Completaelrazonamientoparadeducirlamedidadelángulox.

l Hay otras maneras de hallar el valor del ángulo x; escribe al menos una. Si es necesario, anota letras a otros ángulos.

5 Escribeencadafiguralamedidadelosángulosquefaltan.

6 Planteaunaecuaciónparaencontrarelvalordex.Unavezqueencuentreselva‑lordex,escribelamedidadecadaángulo.

Ecuación:

7 Comparensusrespuestasconlasdesuscompañerosycompañeras.

i) El ángulo de 60º y el ángulo z suman , entonces, el ángulo zmide .

ii) El ángulo z y el ángulo x son , por lo tanto, miden lo mismo, así que el ángulo x mide .

xz

60º

150º

95º

3xx

1.6.

Est

able

cer r

elac

ione

s en

tre

los

ángu

los

que

se fo

rman

en

un s

iste

ma

de p

aral

elas

cor

tada

s po

r una

tran

sver

sal.

50

Lección 18

1 Encadaunodelossiguientessistemasdedosrectascortadasporunatransversalseseñalanconarcosverdeslasparejasdeángulosdenominadosalternosinternos.

a) ¿Los ángulos alternos internos están del mismo lado de la transversal o de diferente lado?

. ¿Están entre las dos rectas que cortan la transversal o fuera de ellas? .

b) Escribe, a partir de las respuestas anteriores, una definición de ángulos alternos internos.

c) En cada sistema hay otra pareja de ángulos alternos internos; identifícala y señala los ángulos con las letras a y b.

2 Observaquelassiguientesparejasdeángulosestánendiferenteladodelatrans‑versalyfueradelasrectasqueéstacorta.

a) ¿Cómo crees que se llaman estas parejas de ángulos? b) En cada sistema hay otra pareja de ángulos que cumple estas características; identifícala y señala

los ángulos con un arco de color rojo.

3 Intentadibujarentucuadernodosrectasquenoseanparalelas,cortadaspor unatransversal,demaneraquelosángulosalternosinternosseaniguales.

¿Lolograste? ¿Quéobservas?

OtrasparejasdeángulosimportantesCuando dos paralelas son cortadas por una transversal, se forman… ¡doce parejas de ángulos iguales!

51

4 Enlasiguientefiguralosángulosbycsonángulosalternosinternos.

a) Completa los argumentos para encontrar la relación entre las medidas de estos dos ángulos en un sistema de paralelas.

b) En los argumentos anteriores se usó la siguiente propiedad: “si dos ángulos son iguales a un ter‑cer ángulo, entonces son iguales entre sí”. Escribe en el recuadro argumentos para encontrar la relación entre los ángulos alternos externos en un sistema de rectas paralelas.

5 Comentensusrespuestasalasactividadesanteriores.Cuandosepongandeacuer‑doenunadefiniciónparalosángulosalternosinternosyalternosexternos,escrí‑banlaeilústrenlaensucuaderno.

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal: ‑ Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.‑ Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

6 Lasiguientefiguraesunsistemadeparalelas(r1yr2)cortadaspordostransver‑sales(t1yt2).Completalasafirmacionesescribiendot1ot2,segúncorresponde.

a) El ángulo c y el ángulo d sonalternos internos con respecto a la transversal

b) El ángulo i y el ánguloj sonalternos externos con respecto a la transversal

c) El ángulo e y el ángulo j soncorrespondientes con respecto a la transversal

d) El ángulo c y el ángulo h soncorrespondientes con respecto a la transversal

1. Los ángulos a y b son iguales porque son

2. Los ángulos a y c son iguales porque son en un sistema de rectas paralelas.

3. Como los ángulos b y c son igualesal ángulo a, entonces también son

a

bc

r2

r1

mr1

r2n

t2t1

r1

r2

c ei

d fj h

1.6.

Est

able

cer r

elac

ione

s en

tre

los

ángu

los

que

se fo

rman

en

un s

iste

ma

de p

aral

elas

cor

tada

s po

r una

tran

sver

sal.

52

Lección 19

1 Considerenestamallaformadaportriángulosiguales.

a) Marquen con color azul un par de ángulos alternos internos; con verde, un par de ángulos co‑rrespondientes y con café, un par de ángulos alternos externos.

b) ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos a,byc?

c) Completen el siguiente razonamiento, que permite conocer la suma de la medida de los ángulos internos a, b y c.

i) Como r1 es paralela a r2,

El / a es igual al / d por ser

El / c es igual al / e por ser

ii) / d + / b + / e = por formar un ángulo de media vuelta.

iii) En la suma anterior sustituimos / d por / a (porque son iguales) y / e por / c (porque son también iguales); la suma queda, entonces, así:

+ + =

r1

r2

ed

a cb

cb

a

Sabemosque:r1IIr2

Lamalladetriángulos¿Sabías que en todos los triángulos, sin importar su forma ni tamaño, al sumar las medidas de los tres ángulos internos siempre se obtiene el mismo resultado?

53

2 Conayudadesuprofesoraoprofesorverifiquensillegaronalasiguienteconclusión.

La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es igual a 180º.

3 Acontinuaciónsedescribenotrasdosmanerasdemostrarquelosángulosinte‑rioresdeuntriángulosuman180º.

a) Recorta un triángulo cualquiera de papel; corta sus tres ángulos y coloca uno al lado del otro.

b) Recorta otro triángulo cualquiera y haz los dobleces que marcan las líneas punteadas.

c) Pega en tu cuaderno las figuras que obtuviste. Como título te sugerimos: Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180°.

4 Resuelvelossiguientesproblemas.

a) Intenta formar un triángulo cuyos ángulos internos midan 50º, 60º y 30º. Anota tus observa‑ciones.

b) Los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; ¿cuánto mide cada ángulo?

c) En un triángulo, el segundo ángulo mide el doble del primero y el tercer ángulo mide el triple

del primero. ¿Cuánto mide cada ángulo?

d) Dibuja un cuadrilátero cualquiera y traza una de sus diagonales.

¿En cuántos triángulos quedó dividido? ;

¿cuánto suman los ángulos de cada triángulo? ;

¿cuánto suman los ángulos del cuadrilátero? .

5 Comparensusresultados.

x

zy yx

z

a

b c a ab c

1.6.

Just

ifica

r las

rela

cion

es e

ntre

las

med

idas

de

los

ángu

los

inte

riore

s de

triá

ngul

os.

54

1 Considerenestamallaformadaporromboidesiguales.Recuerdenquelosladosopuestosdeunromboidesonparalelos.

Sabemosque:r1IIr2

t1IIt2

a) Elaboren algunas conjeturas acerca de las relaciones entre los cuatro ángulos interiores del rom‑boide: a, b, c y d.

l ¿Cómo creen que son entre sí los ángulos a y d?

l ¿Cómo creen que son entre sí los ángulos c y b?

l ¿Qué relación creen que hay entre los ángulos a y b?

l ¿Qué relación creen que tienen los ángulos c y d?

l ¿Cuánto creen que suman los cuatro ángulos?

b) Completen los siguientes razonamientos. Vean si llegaron a las mismas conclusiones.

l Relación entre el ángulo a y el ángulo d

i) Como r1 es paralela a r2 el / e es igual a / a por ser

ii) Como t1 es paralela a t2 el /e es igual a / d por ser

iii) Como /a y /d son iguales a /e, entonces /a y /d son

Lección 20

r1

r2

t2t1

e

fd

a

c

b

LamalladeromboidesLo que has estudiado sobre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una transversal te será útil para descubrir algunas propiedades de los ángulos interiores de paralelogramos.

55

l Relación entre los ángulos a y b

i) / a + / f= por ser

ii) / b = / fpor ser

iii) Entonces / a + / b =

c) Justifiquen las siguientes afirmaciones. Cuando sea necesario, identifiquen más ángulos de la malla con otras letras.

l El ángulo c es igual al ángulo b.

l Las medidas del ángulo c y del ángulo d suman 180°

d) Averigüen a cuánto es igual la suma de los cuatro ángulos interiores de un romboide; justifiquen su respuesta.

2 Comparensusconjeturasinicialesconlosrazonamientosposterioresycompar‑tansusrespuestasconsuscompañerosycompañeras.Comentenlasiguientein‑formación.

En un romboide, los ángulos opuestos son iguales, los ángulos consecutivos suman 180º y los cuatro ángulos interiores suman 360º.

3 Aligualquelosromboides,loscuadrados,losrectángulosylosrombostambiénsonparalelogramosportenersusladosopuestosparalelos.Analizasilainforma‑cióndelrecuadroanteriorsecumpleparaestasfiguras.Escribesíono.

4 Resuelvelosanexos1y2delaspáginas244a247.

1.6.

Just

ifica

r las

rela

cion

es e

ntre

las

med

idas

de

los

ángu

los

inte

riore

s de

par

alel

ogra

mos

.

TECNOLOGÍA

56

FactoresdeescalaISi a una figura se le aplica el factor de escala 2, y, después, a la figura que resulta se le aplica el factor de escala 1

3, ¿la última figura es más grande o más pequeña que la primera?

1 Observalaimagen,leeeltextoyrealizaloquesepide.

Al aplicar el factor de escala1.5 al dibujoA1 se obtiene el dibujo A2. Al aplicar el factor de escala 2 al dibujo A2 se obtiene el dibujo A3. Haz los dibujos A2 y A3 que corresponderían al tren en una hoja cuadriculada.

Dibujo A1

2 IdentifiquenunamaneradecalcularlasmedidasdeldibujoA3enlaquenoseanecesariocalcularlasmedidasdeA2.

a b

e

d

c

Recuerda:Cuando dos figuras están a escala existe un número, siempre el mismo, que, al multiplicarse por cualquier medida de una de ellas, proporciona la medida correspon-diente de la otra. Puede decirse por ello que las medidas de una figura son proporcio‑nales a las medidas de la otra. Ese número se llama factordeescala, o constante de proporcionalidad.

Aplicar los factores n y m, uno después del otro, equivale a aplicar el factor n m.

Lección 21

57

a) Al aplicar el factor de escala 13 al dibujo A1 se obtiene

el dibujo A4. Después, al aplicar el factor 2 al dibujo A4 se obtiene el dibujo A5. ¿Qué dibujo será mayor, A1 o A5? ¿Por qué?

b) Calculen y anoten en la tabla las medidas de los dibujos A4 y A5.

c) Hagan el dibujo A5 en papel cuadriculado.

d) ¿Cuál es el factor de escala que, aplicado al dibujo A1, permite obtener el dibujo A5? Anótenlo en el óvalo ubicado en la parte superior de la tabla.

4 Realicenlosiguiente.

a) Comparen su dibujo A5 con el de otras parejas. Si no son iguales, busquen la causa. Vean si A5 es mayor o menor que A1.

b) Comparen su respuesta a la pregunta 3, d), y verifiquen si corresponde a la siguiente información.

5 Escribeloquefalta.

Dibujo A1 Dibujo A4 Dibujo A5

Lado a 3

Lado b 6

Lado c 9

Lado d 18

Lado e 2

3 Reúneteconuncompañero.Lean losiguienteycontestenlaspreguntas.

Aplicar los factores 1m y n, uno después del otro, equivale a aplicar el factor

1m n es

decir, nm

2 3

13

2

1.7.

Det

erm

inar

el f

acto

r de

prop

orci

onal

idad

inve

rso;

com

pone

r y d

esco

mpo

ner f

acto

res.

12

13

54 2

5

3 12

35

53

1 1

14

58

1 Seaplicóelfactordeescala4aunafiguraB1yseobtuvolafiguraB2.

a) Se conocen las medidas de la figura B2, pero no las de la figura B1; calcúlalas y anótalas en la tabla.

b) ¿Qué factor debe aplicarse a las medidas de la figura B2 para obtener las de la figura B1? Anótalo en el redondel de abajo.

2 Alaplicarelfactordeescala25

aunafiguraC1seobtuvolafiguraC2.

a) ¿Qué figura creen que es mayor, C1 o C2? ¿Por qué?

b) Se tiene la figura C2, pero no la figura C1. Intenten calcular las medidas de C1 y anótenlas en la tabla. Dibujen en una hoja cuadriculada las figuras C1 y C2.

FactoresdeescalaII¿Cómo “deshacer” lo que hace un factor de escala como 34 ?

Lección 22

Figura B1 Figura B2

Lado a 4

Lado b 1

Lado c 8

Lado d 3

4

El factor que “deshace” lo que hace un factor n se llama factor recíproco de nEl factorrecíproco de 4 es 14 .

Recuerda:multiplicar por 14 es lo mismo que dividir entre 4.

Figura C1 Figura C2

Lado a 2

Lado b 6

Lado c 8

Lado d 4

Lado e 10

25

a

b

c

de

Figura C2

59

Figura C1 Figura C2

Lado a 2

Lado b 6

Lado c 8

Lado d 4

Lado e 10

215

El recíproco del factor 15 es 5; el recíproco del factor 2 es

12 . Por lo tanto, el recí‑

proco del factor 25 es el factor 52 .

74

Figura1

Figura2

Figura3

58

Figura1

Figura2

Figura3

1.7.

Det

erm

inar

el f

acto

r de

prop

orci

onal

idad

inve

rso;

com

pone

r y d

esco

mpo

ner f

acto

res.

25

3 Conayudadelprofesorrealicenlosiguiente.

a) Comparen con sus compañeros las medidas que encontraron, así como la manera en que lo hicieron.

b) Una forma de encontrar las medidas de la figura C1 consiste en aplicar el recíproco de

25 a las medidas de C2.

El factor 25 equivale a aplicar los factores15 y

2. Por lo tanto, para “desandar el camino” basta aplicar losrecíprocos de esos factores.

Anótenlos en los óvalos ubicados en la parte inferior de la tabla y calculen las medidas de C1.

c) Lean la información del recuadro.

4 Anotalosfactoresquefaltanenlosóvalos.

5 Completa.En general, el factor recíproco de

nm es

6 Investiguenlosiguiente.

a) ¿Cuál es el factor equivalente a aplicar 34 y después

23 ?

b) En general, ¿cuál es el factor equivalente a aplicar ab y luego

cd ?

c) Si a una figura se aplica el factor 25 y, a la figura que resulte, se aplica el factor recíproco de

25 , es

decir,

52 , ¿la figura final será mayor, menor o igual que la original?

Concluyan qué ocurre cuando se aplica un factor y después su recíproco.

60

DelmaízalastortillasLos factores de proporcionalidad permiten escribir la expresión algebraica de una relación de proporcionalidad.

¿Recuerdas la lección “Del maíz a las tortillas” del libro de texto gratuito de sexto grado? Ahí se plantea la siguiente información:

Con 5 kg de maíz se hacen 3 kg de harina. Con 2 kg de harina se hacen 5 kg de masa. Finalmente, con 10 kg de masa se hacen 7 kg de tortillas.

A continuación resolverás algunos problemas relacionados con esa información, usando herramientas que aún no tenías en la primaria.

1 Reúneteconuncompañeroyhaganloquesepide.

a) Con base en la información anterior calculen la cantidad de tortillas que se produce con 20 kg

de maíz.

b) Determinen la cantidad de maíz necesaria para 35 kg de tortillas

c) Calculen la cantidad de harina que se produce con 1 kg de maíz

d) Verifiquen que cualquier cantidad de harina es igual a 35

de la cantidad de maíz.

e) Lean la siguiente información.

f) Encuentren el factor que, aplicado a una cantidad de harina, da la cantidad correspondiente de

masa y escriban la respectiva expresión algebraica: M = h

2 Realicenlosiguiente.a) Comparen las respuestas a las preguntas 1a) y 1b), así como los procedimientos que usaron. b) Observen que la cantidad de harina que corresponde a 1 kg de maíz se puede calcular de dos

maneras.

Maíz Harina Maíz Harina 5 kg 3 kg 5 kg 3 kg 1 kg 3 kg 5 = 0.6 kg 1 kg 3 kg 5 = 3

5 de kg

¿Recuerdas la lección “Del maíz a las tortillas” del libro de texto gratuito de sexto

En lo que sigue, las cantidades se representarán con las siguientes letras: maíz, m; harina, h; masa, M y tortillas, t.

La fórmula h = 35

m es la expresión algebraica de la relación proporcional entre las

cantidades de maíz y las de harina.

35

es un factor constante de proporcionalidad.

Lección 23

61

c) Lean el siguiente procedimiento para encontrar el factor que, aplicado a una cantidad de harina, da la correspondiente cantidad de masa (pregunta 1 f)).

3 Enequipodetresocuatrointegrantesencuentrenlosfactoresdeproporcionalidadquevanenlosóvalosdelsiguienteesquema.Recuerdenqueelfactorrecíprocode ab

es ba

.

Maíz(m)

Harina(h)

Masa(M)

Tortillas(t)

5 kg 3 kg

2 kg 5 kg

10 kg 7 kg

4 Completenlasexpresiones.

h m M h t M

m h h M M t

t m m t

5 Utilicenlasexpresionesanterioresparacalcular:

a) La cantidad de tortillas que se producen con 50 kg de maíz.

b) La cantidad de maíz que se requiere para 42 kg de tortillas.

6 Conayudadelprofesoroprofesorarevisenlosresultadosdelasactividades3,4y5.

A 2 kg de harina le corresponden 5 kg de masa.

Por lo tanto, a 1 kg de harina corresponden kg de masa.

En consecuencia, el factor es 52

o 2.5.

La expresión algebraica de la relación es: M = 2.5 h.

35 52

53

¿Qué fracción aplicada a 2 kg da 5 kg, 25 o

52 ?

Es fácil saberlo si se observa que al pasar de 2 a 5 la cantidad aumenta.

1.7.

Det

erm

inar

el f

acto

r de

prop

orci

onal

idad

inve

rso;

com

pone

r y d

esco

mpo

ner f

acto

res.

62

Elivayotrosfactoresdeproporcionalidad

Saber cómo determinar un factor de proporcionalidad, combinarlo con otro y obtener su recíproco tiene muchas aplicaciones prácticas.

1 Enlatablaaparecenlospreciosdevariosproductossiniva,lacantidadquecorres‑pondeal15%deivayelpreciototalconiva.

Escribe los datos que faltan; pue‑des usar calculadora.

2 Conayudadesuprofesoroprofesoracomparensusresultadoseidentifiquenycorrijanloserrores.Revi‑sensialguienresolviódemaneradistinta.

3 Encuentrenlosfactoresdeproporcionalidadquevanenlosóvalos.Enelcuadrosedainformaciónútilpararesolverlaactividad.

Usa los factores obtenidos para volver a calcular los datos que faltan en la tabla.

¿Cómo encontrar el factor que al precio con iva le hace corresponder el precio sin IVA? ¡Con el factor recíproco del anterior! Recuerda: el recíproco de n

m es mn .

Precio sin iva iva (15%) Precio con iva

Suéter $325.00

Pantalón $299.00

Camisa $30.00

Saco $1035.00

¿Cómo encontrar el factor que al precio sin iva le hace corresponder el precio con iva?

Camino 1: El iva es igual al 15% del precio original. Enton-ces, el precio con iva es igual a: 100% del precio original + 15% del precio original, esto es, 115% del precio o 1.15 por el precio original.

Camino 2: Si un producto cuesta un peso sin iva, con iva cuesta $1.15. Por lo tanto, el factor que se busca es…

Precio sin iva iva (15%) Precio con iva

Suéter $325.00

Pantalón $299.00

Camisa $30.00

Saco $1035.00

Lección 24

100115

63

4 Conayudadesuprofesoraoprofesorrealicenlosiguiente.a) Comparen sus resultados y procedimientos.

b) Completen las siguientes fórmulas.

Pago por concepto de iva = precio sin iva.

Precio con iva = precio sin iva.

Precio sin iva = precio con iva

5 Utilizalasfórmulasanterioresparacalcular:

a) El costo con iva de una falda que cuesta $180.00 sin iva.

b) El costo sin iva de una chamarra para niño que con iva costó $370.00.

6 Encuentranuevamenteloscuatrofactoresdeproporcionalidaddelatablaanterior,suponiendoqueelivaseade12%.

7 Resuelvelossiguientesproblemas;puedesusarcalculadora.a) Sonia solicitó un préstamo bancario por $25 000.00 con un interés anual de 35%.

l ¿Cuánto pagó en total después de un año?

l María pidió un préstamo en las mismas condiciones que Sonia. Después de un año pagó en

total $16 200.00. ¿Cuánto pidió prestado?

b) Don Julián dedica 0.8 de su sueldo a los gastos de la casa (es decir, 80%); el resto lo gasta en educación, salud y entretenimiento. De lo que gasta en la casa, 0.5 es para pagar la renta.

l ¿Qué parte del sueldo de Julián es para la renta?

l Si paga $3 500 de renta, ¿de cuánto es su sueldo?

l Completa el esquema.

Sueldo Gastos de la casa Renta $3 500

c) Aproximadamente 11% del peso de caña que se recolecta se convierte en azúcar. En 2004 se produjeron aproximadamente 5.6 millones de toneladas de azúcar.

¿Cuántas toneladas de caña se cosecharon ese año aproximadamente?

8 Comparensusresultadosyprocedimientos.

1.7.

Det

erm

inar

el f

acto

r de

prop

orci

onal

idad

inve

rso;

com

pone

r y d

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mpo

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acto

res.

0.8

64

Dependede…¡variasmagnitudes!IYa conoces situaciones en las que una magnitud depende de otra. Aquí estudiarás casos en los que una magnitud depende, al mismo tiempo, de dos o más magnitudes; por ejemplo, el consumo total de agua de un grupo de personas durante cierto tiempo, depende de lo que cada una consume, del número de personas y de la cantidad de tiempo.

1 Resuelveconuncompañeroocompañeraelsiguienteproblema.

Durante el verano la señora Martínez alquila su rancho a grupos de estudiantes. Debido a que le surten el agua en “pipa” solamente cuando la solicita, debe prever cuánta agua necesitará.

El año pasado ocuparon la casa ocho estudiantes y los 4 000 litros de agua de la cis-terna alcanzaron para 10 días. Si este año recibe a 24 estu-diantes durante 20 días y el consumo diario de cada uno es, en promedio, igual al del año pasado, ¿cuánta agua en total puede prever que necesitará?

2 Comparensurespuestayrevisensientretodosencontrarondistintosprocedi‑mientos.

3 Averigüencuántaaguasenecesitaríaenlossiguientescasos:

a) 8 estudiantes durante 10 días:

b) 16 estudiantes durante 10 días:

c) 24 estudiantes durante 10 días:

d) 32 estudiantes durante 10 días:

e) 8 estudiantes durante 20 días:

f) 8 estudiantes durante 30 días:

g) 8 estudiantes durante 1 día:

h) Un estudiante en un día:

i) 10 estudiantes durante 18 días:

4 Conayudadesuprofesoraoprofesorcomparensusresultadosyrevisensiencon‑traronformasdistintasdecalcularcadacaso.

Lección 25

65

5 Anotalosresultadosycompletalatabladedobleentrada;dejaenblancoelúlti‑morenglónylaúltimacolumna.

1estudiante

8estudiantes

10estudiantes

16estudiantes

24estudiantes

32estudiantes

mestudiantes

1 día

8 días

10 días 4 000 l

18 días

20 días

30 días

n días

6 Resuelvanlossiguientesproblemasconuncompañeroocompañera.

a) Si 15 estudiantes consumieron 4 500 litros de agua, ¿cuántos días es probable que hayan per‑

manecido en el rancho?

b) ¿Qué cantidad de agua consumiría un estudiante en n días?

c) ¿Qué cantidad de agua consumirían 8 estudiantes en n días?

d) Llenen el renglón correspondiente a n días. Por ejemplo, en la casilla del consumo de 10 estudiantes anotarán 500n, puesto que 10 estudiantes consumirían, en n días, 500n litros de agua.

e) Llenen la columna m estudiantes. Por ejemplo, en la casilla de 18 días escribirán 900m.

f) De las siguientes expresiones encierra la que denota el consumo de agua de m estudiantes en n días. Esa es la expresión que debe anotarse en la casilla del extremo inferior derecho de la tabla.

m + n + 50 litros 50 mn litros mn + 50 litros mn litros

7 Comparensusresultadosycomentenlasiguienteinformación.

Núm. deestudiantes

Núm. días

En el problema anterior, el consumo del agua es proporcional a dos magnitudes: al núme-ro de estudiantes, cuando el número de días es constante, y al número de días, cuando el número de estudiantes es constante

1.8.

Ela

bora

r y u

tiliz

ar p

roce

dim

ient

os p

ara

reso

lver

pro

blem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad m

últip

le.

66

Dependede…¡variasmagnitudes!IISi se duplica la longitud de los lados de un rectángulo, ¿qué sucede con el área?

1 Resuelvelosproblemas.

a) En un taller, tres costureras, trabajando en equipo, hacen 30 uniformes en una semana. Si una escuela solicita 1 200 uniformes, ¿cuántas semanas tardará el equipo de las tres costureras en hacer el pedido?

b) La escuela requiere los uniformes en máximo 10 semanas. En el taller deciden contratar otras costureras para formar más equipos de tres. Suponiendo que todos los equipos trabajan a la misma velocidad, ¿cuántos equipos de tres costureras se necesitarían en total para hacer el pedido en ese tiempo? ¿Cuántas costureras en total se necesitarían?

c) Calcula y anota los datos que faltan en la tabla.

1 equipo 1 equipo 4 equipos 8 equipos m equipos

Una semana 30 uniformes

5 semanas 150m uniformes

10 semanas

semanas 1 800 uniformes

n semanas 120n uniformes

2 Comparensusresultadosyobservenqueeldatoquepusieronenlaúltimacasilladelacolumnadeladerechaeslafórmulaquepermiteobtenerrápidamenteelnúmerodeuniformesapartirdelnúmerodeequiposydesemanas.

3 Comparensusresultadosconlosdesuscompañerosycompañeras,eintentenidentificardistintasmanerasdeobtenerlos.Despuéscomentenlasiguienteinformación.

En el problema que acaban de resolver, el número de uniformes es proporcional al número de equipos, cuando el número de semanas es fijo, y también es proporcional al número de semanas, cuando el número de equipos es fijo.

Las situaciones en las que esto ocurre se llaman “situacionesdeproporcionalidadmúltiple” o “deproporcionalidadcompuesta”.

Lección 26

67

4 Laprimerafilaylaprimeracolumnadelasiguientetablacontienenlamedidadelasdosdimensiones,largoyancho,dedistintosrectángulos.Enlasotrascasillasseindicaeláreadelosrectángulos.Calculayanotalosdatosquefaltan.

2 cm 5cm cm m cm

3 cm 3m cm2

cm 50 cm2 100 cm2

15 cm 150 cm2

n cm 5n5n cm2 cm2

5 Conayudadesuprofesoroprofesorarealicenlosiguiente.

a) Comparen sus respuestas y verifiquen que el dato de la casilla inferior derecha corresponde a la fórmula del área del rectángulo.

b) Comenten la siguiente información.

6 Resuelvelossiguientesproblemasyejemplificaconrectánguloslarespuestadecadauno.

a) Si se duplican tanto la longitud como el ancho de un rectángulo, ¿cuántas veces aumenta el área?

b) La longitud de un rectángulo se duplicó y el ancho se triplicó. ¿Cuántas veces creció el área?

c) La longitud de un rectángulo se duplicó, pero el ancho se dejó igual. ¿Cuántas veces creció el área?

d) Si se quiere triplicar el área de un rectángulo, ¿qué debe hacerse con los lados?

7 Comparensusrespuestas.

Lado bLado a

El área del rectángulo es proporcional a uno de sus lados, cuando el otro lado se mantiene constante.

1.8.

Ela

bora

r y u

tiliz

ar p

roce

dim

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ara

reso

lver

pro

blem

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opor

cion

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últip

le.

68

Lección 27

1 Resuelveelsiguienteproblema.

En la paletería “La guerrerense” venden helados de cinco sabo‑res diferentes. Si Irene quiere comprar un helado de dos sabo‑res, ¿cuántas combinaciones distintas puede hacer para elegir su helado?

Pueden hacer combinaciones.

2 Comentaenequipolosresultadosylosprocedimientosqueutilizaron.Elijanelre‑sultadoyelprocedimientoquelesparezcamejorparacomentarloconelgrupo.

3 Conayudadesuprofesoroprofesoraanalicenlosdiferentesresultadosyproce‑dimientosdelosequipos.Anotaelprocedimientoqueteparezcamásclaro.

4 Contestenlassiguientespreguntas.

a) Si Irene comprara un helado de tres sabores diferentes, ¿tendría más, menos o igual cantidad de

opciones para elegir?

b) ¿Cuántas combinaciones podría elegir si comprara un helado de tres sabores diferentes?

c) ¿Cuántas combinaciones podría elegir si en la paletería vendieran helados de seis sabores dife‑

rentes y comprara un helado de dos sabores distintos? d) ¿Y si hubiera 10 sabores diferentes y comprara un helado de dos sabores distintos?

5 Enequipo,yconayudadesuprofesoroprofesoracomentenestainformación.

Los problemas como el de los helados se llaman de combinaciones y se distinguen porque en cada combinación no importa el orden. Por ejemplo, un helado de fresa y vainilla es el mismo que un helado de vainilla y fresa.

HeladosdesaboresHay situaciones en las que resulta muy fácil contar, pero en otras no lo es tanto; por ejemplo, ¿sabes cuántas combinaciones de dos sabores es posible hacer teniendo cinco sabores para elegir?

69

6 Conelpropósitodequeconozcasunprocedimientomáspararesolverproblemascomoeldeloshelados,hazlosiguiente.

a) Completa en tu cuaderno el siguiente diagrama de árbol.

b) Completa el siguiente razonamiento.

El diagrama de árbol muestra, en total, combinaciones.

Sin embargo, hay combinaciones repetidas. Como cada combinación tiene dos sabores,

cada combinación se repite veces. Por ejemplo, fresa y vainilla es la

misma combinación que y . Para obtener

el número de combinaciones diferentes se divide entre el número que se obtuvo en el diagrama de árbol.

c) ¿Cuántas combinaciones diferentes hay?

7 Leanelsiguienteproblemaycontestenlaspreguntas.

Supongamos que en tu grupo hay cinco compañeros o compañeras que juegan bien voleibol. De ese grupo de cinco se elegirán tres para integrar la selección de la escuela. ¿Cuántas combinaciones diferentes hay?

a) ¿En qué se parece este problema al de los helados?

b) ¿Qué se necesita para que una combinación sea distinta de otra?

c) ¿Cuál es el resultado de este problema?

8 Inventenunproblemadelmismotipoquelosdelosheladosydelosjugadoresdevoleibol.Analícenloconayudadesuprofesoraoprofesoryresuélvanloconelgrupo.

Sabor 2Sabor 3Sabor 4Sabor 5Sabor 1Sabor 3

Sabor 1

Sabor 2

Sabor 3

1.9.

Ant

icip

ar re

sulta

dos

en p

robl

emas

de

cont

eo.

70

Lección 28

1 Conlascifras2,3,4y5formentodoslosnúmerosdiferentesdecuatrocifraspo‑sibles,sinqueenlosnúmerosserepitancifras.

a) ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras se pudieron formar?

b) ¿Cuál de esos números es el mayor?

c) ¿Cuántos de esos números terminan en cinco?

d) ¿Cuántos números diferentes es posible formar si se agrega una cifra más distinta de cero?

e) Y si se agregan dos cifras más distintas de cero, ¿cuántos números diferentes se pueden formar?

2 Realicenestaactividadengrupoyconayudadesuprofesoroprofesora.

a) Comparen los resultados y analicen los procedimientos que utilizaron.b) Prueben el procedimiento que les parezca el mejor para resolver el siguiente problema.

En el grupo hay cuatro equipos y cada uno deberá hacer la limpieza del salón durante una se‑mana. ¡Ningún equipo quiere empezar! ¿De cuántas formas se pueden ordenar los equipos?

Se pueden ordenar de formas.

3 Conayudadesuprofesoraoprofesorrespondanestapregunta:

¿En qué son diferentes los dos problemas anteriores al de los helados que resolviste en una lección

anterior?

4 Leanlasiguienteinformacióny,sitienendudas,compártanlasconsuprofesoroprofesorayconelrestodelgrupo.

Los dos primeros problemas de esta lección se parecen en que en ambos se requiere encon‑trar el total de permutaciones o cambios de posición entre los elementos de un conjunto. En el primer caso es un conjunto de cifras y en el segundo, un conjunto de equipos. A estos problemas se les llama problemasdepermutaciones. En cambio, en problemas como el de los helados que resolviste antes, dos conjuntos for‑mados con los mismos elementos, pero en distinto orden, por ejemplo, (fresa, limón) y (limón, fresa), se consideran equivalentes y se cuentan como una sola combinación.

Distintosnúmerosconlasmismascifras

Con un grupo de cifras se pueden formar varios números, basta mover una cifra para que el número sea diferente.

Matemáticas Fractal 2

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