Matematicas Financieras - Zbigniew Kozikowski Zarska

Matemticasfi nancierasEl valor del dineroen el tiempo

Zbigniew Kozikowski ZarskaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey

Campus Toluca

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Matemticasfi nancierasEl valor del dineroen el tiempo

Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor: Jess Mares ChacnEditora de desarrollo: Marcela I. Rocha MartnezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

MATEMTICAS FINANCIERASEl valor del dinero en el tiempo Primera edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2007, respecto a la primera edicin porMcGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN-13: 978-970-10-6061-2ISBN-10: 970-10-6061-X

1234567890 09865432107

Impreso en Mxico Printed in Mexico

1. Introduccin 1

2. Bases matemticas 11

3. Inters simple 41

4. Inters compuesto 61

5. Inters compuesto: valor presente y ecuaciones de valores equivalentes 93

6. Anualidades 105

7. Anualidades: pagos crecientes, rentas perpetuas, pagos desiguales, 139

8. Valuacin 171

9. Anualidades generales y continuas 205

10. Amortizacin y fondos de amortizacin 237

11. Matemticas burstiles: acciones y bonos cupn cero 261

12. Bonos con cupones 295

13. Estructura a plazos de las tasas de inters 319

14. Mtodos de evaluacin de proyectos de inversin 335

Bibliografa 393

Glosario 395

Respuestas a los problemas del fi nal de captulo 407

ndice analtico 417

v

Contenido breve

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

CAPTULO 1

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 El valor del dinero en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Diferentes perspectivas sobre la tasa de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Crecimiento y descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Preguntas y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

CAPTULO 2

Bases matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ecuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Promedio geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Contenido

vii

viii CONTENIDO

Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Progresin aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Progresin geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


CAPTULO 3

Inters simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Conceptos bsicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Valor presente y descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


CAPTULO 4

Inters compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Conceptos bsicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Frecuencia de conversin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Introduccin a la calculadora fi nanciera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Multiplicacin del capital .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Mtodo de puntos fi nales y promedio geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Composicin continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


CAPTULO 5

Inters compuesto: valor presente y ecuacionesde valores equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Ecuaciones de valores equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


CAPTULO 6

Anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Tipos de anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Valor futuro de una anualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Clculos de anualidades en trminos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Valor presente de una anualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Pago peridico (fl ujo anual equivalente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Tasa de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Anualidades irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Anualidades con pagos irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

CAPTULO 7

Anualidades: pagos crecientes, rentas perpetuas,pagos desiguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Anualidades con pagos crecientes: gradiente aritmtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Anualidades con pagos crecientes: gradiente geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Renta perpetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Costo capitalizado y fl ujo anual equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Renta perpetua con pagos crecientes a un ritmo constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Pagos desiguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168


CAPTULO 8

Valuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Valuacin basada en el concepto de renta perpetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Rendimiento requerido y tasa de capitalizacin de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . 176

CONTENIDO ix

x CONTENIDO

Modelo de valuacin de acciones basado en dividendos descontados .. . . . . . . . . 179

Modelos de valuacin basados en razones fi nancieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Modelos de valuacin basados en oportunidades de inversin . . . . . . . . . . . . . . . 192

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202


CAPTULO 9

Anualidades generales y continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Introduccin a las anualidades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Conversin de una anualidad general en una anualidad simple . . . . . . . . . . . . . . 206

Anualidades equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Temas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Anualidades continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233


CAPTULO 10

Amortizacin y fondos de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Importe de los pagos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor . . . . . . . . . . . . . . 246

Fondos de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259


CAPTULO 11

Matemticas burstiles: acciones y bonos cupn cero . . . . . . . . . . . . . . . 261 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Rendimiento de las inversiones en acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Contribucin de los dividendos al rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Bonos de cupn cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Relacin del precio del bono con la tasa de rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292


CAPTULO 12

Bonos con cupones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Tasas de rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Precio del bono entre fechas de pago de cupones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Bonos redimibles (callable bonds) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Rendimiento del periodo de tenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Bonos en la calculadora fi nanciera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316


CAPTULO 13

Estructura a plazos de las tasas de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Curva de rendimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Teora de las expectativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

Teora de la preferencia por liquidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333


CAPTULO 14

Mtodos de evaluacin de proyectos de inversin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Clasifi cacin de los proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

El costo de capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Mtodos de evaluacin de proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Efectos de la infl acin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Proyectos con vidas diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

Racionamiento del capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Trminos clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

CONTENIDO xi

xii CONTENIDO

Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

Respuestas a los problemas del fi nal de captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

ndice analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

El doctor Zbigniew Kozikowski naci en Polonia. Curs sus estudios de licenciatura en econo-ma (1967) y maestra en comercio internacional (1969) en la Escuela Superior de Planifi ca-cin y Estadstica (actualmente: Escuela Superior de Comercio) en Varsovia. Obtuvo el grado de doctor en Ciencias Econmicas en 1974, en la misma escuela.

En el periodo de 1970-1977, se desempe como profesor adjunto en el Departamento de Economa Poltica de la Facultad de Comercio Exterior, Escuela Superior de Planifi cacin y Estadstica, Varsovia, Polonia.

Entre 1977 y 1994 trabaj como profesor-investigador en el Centro de Graduados e Inves-tigacin del Instituto Tecnolgico de Durango.

Desde enero de 1994 es profesor titular del Departamento de Contabilidad y Finanzas del ITESM, Campus Toluca.

En las universidades donde trabaj imparti 20 materias diferentes en reas de economa y fi nanzas. Sus especialidades incluyen (en el orden cronolgico): desarrollo econmico, cre-cimiento econmico, planifi cacin econmica, teora econmica, fi nanzas internacionales, mtodos cuantitativos en fi nanzas.

Sus publicaciones incluyen 55 artculos sobre economa y poltica econmica en varias revistas, ms 6 libros. Su ms reciente libro es Finanzas internacionales, 2a. edicin, publicado por McGraw-Hill Interamericana Editores, en 2006.

Particip en varios congresos e imparti ms de 60 conferencias.

Sobre el autor

xiii

El presente libro es una extensin de los apuntes elaborados por el autor para impartir el m-dulo de Matemticas fi nancieras en varios diplomados de fi nanzas. El libro fue extensamente probado en los diplomados dirigidos a los ejecutivos de la FIRA, as como a otros ejecutivos bancarios y de fi nanzas. Durante tres semestres el libro fue utilizado como el texto bsico en la materia Matemticas fi nancieras, impartida en la licenciatura en Contadura pblica y fi nanzas.

El nivel de difi cultad del material es intermedio. Se supone que el lector domina las bases matemticas necesarias para el estudio de los mtodos cuantitativos en las fi nanzas. Para los lectores que puedan tener algunas difi cultades en este aspecto el captulo 2 incluye una breve revisin de las tcnicas matemticas utilizadas en este libro.

A QUIN VA DIRIGIDO ESTE LIBROEl libro puede ser utilizado en varios contextos. Adems de un apoyo bsico en la materia Matemticas fi nancieras, puede ser un apoyo muy valioso en materias tales como: Adminis-tracin fi nanciera, Finanzas corporativas, Evaluacin de proyectos, Inversiones, Mercados de dinero y capitales, Mtodos cuantitativos en fi nanzas. Ms que un libro tpico de matemticas fi nancieras, el presente texto pretende ser una introduccin al estudio de las fi nanzas.

La disciplina de las fi nanzas ensea cmo asignar los recursos escasos a travs del tiempo en condiciones de incertidumbre. Tiene tres sustentos metodolgicos: el valor del dinero en el tiempo, la valuacin y la administracin del riesgo. El libro cubre totalmente el valor del dinero en el tiempo y la parte cuantitativa de la valuacin.

Adems de ser una base metodolgica para los que se inician en el estudio de las fi nanzas, el libro es especialmente til para los que ya desempean diferentes funciones fi nancieras dentro de las empresas y desean actualizar y profundizar sus conocimientos.

xv

Prefacio

PRINCIPIOS QUE GUAN EL LIBRO Cobertura amplia.

Presentacin entendible.

Aplicabilidad a situaciones prcticas.

Flexibilidad.

LA IMPORTANCIA DE LOS MTODOS CUANTITATIVOS EN FINANZASDesde principios de la dcada de 1980, el anlisis fi nanciero se desarroll de manera impresio-nante. Al mismo tiempo, la competencia estrech los mrgenes de utilidad de las empresas. El xito de las empresas depende ms que nunca de un manejo hbil de sus fi nanzas. La dis-tancia entre el xito y el fracaso es ms estrecha que nunca. Los centavos tambin cuentan. Al mismo tiempo, la disponibilidad de equipo electrnico de clculo (calculadoras cientfi cas y fi nancieras, computadoras con paquetes especializados) vuelve prctico el uso de mtodos conocidos desde hace tiempo pero poco utilizados por su difi cultad tcnica.

La necesidad de un anlisis fi nanciero ms fi no, aunada a la disponibilidad general de equipo de clculo, hace imprescindible la actualizacin profesional de los ejecutivos de fi nan-zas y eleva los requisitos para los aspirantes a esta profesin. Al mismo tiempo, la extrema volatilidad de los mercados hace que los clculos deban ser actualizados con frecuencia. Todo esto sugiere que el presente texto ser de gran utilidad prctica para las personas que logren dominarlo.

La presencia de una infl acin alta y variable vuelve necesario hacer clculos en trminos de los valores reales (a precios constantes). Esto requiere eliminar el efecto de la infl acin, defl actar las variables nominales. El clculo del rendimiento real tiene que ser muy cuidadoso para no caer en una impresin de que estamos ganando dinero, cuando en realidad lo estamos perdiendo.

La siguiente grfi ca rene los factores que deben motivar al alumno a tomar en serio el estudio de los mtodos cuantitativos en fi nanzas.

Figura 1

La importancia de los mtodos cuanti-tativos en fi nanzas.

Volatilidad de los mercados (Entorno

infl acionario)

Reduccin de los mrgenes de utilidad

Utilidad demtodos cuantitativos

en fi nanzas

Mayor competenciaa todos los niveles

Disponibilidad de equipode cmputo

Volatilidadde los mercados

(Entorno infl acionario)

Nuevos mtodos y creciente

complejidad del anlisis fi nanciero

xvi PREFACIO

EL USO DE LA CALCULADORA FINANCIERAEl texto no pretende ser una publicidad ni un instructivo de ninguna calculadora fi nanciera en particular; sin embargo, la experiencia demuestra que la mayora de los ejecutivos de fi nanzas en las empresas mexicanas usan una de las dos calculadoras, de Hewlett Packard: HP-17BII y HP-19BII. En el mbito internacional la situacin es semejante. Adems, la experiencia docente indica que la exposicin simultnea de los mtodos de las matemticas fi nancieras junto con las tcnicas de usar la calculadora fi nanciera da muy buenos resultados. Motiva al alumno y le permite resolver ms problemas en menos tiempo. Por estas razones se tom la decisin de introducir la explicacin de los pasos necesarios para resolver los problemas de las matemticas fi nancieras en la calculadora HP-17BII. Es una calculadora fi nanciera completa, muy popular y su uso es semejante al de otras calculadoras.

INTERPRETACIN ECONMICAUn rasgo distintivo del libro es enfoque en la interpretacin econmica de las diferentes tcnicas de las matemticas fi nancieras. En este sentido, constituye una excelente introduccin a la economa fi nanciera y al mercado de dinero y de capitales. No solamente es necesario saber cmo calcular, tambin es imprescindible interpretar los resultados. El dominio de los temas contenidos en este libro es indispensable para la toma racional de las decisiones fi nancieras.

El ltimo captulo est dedicado al anlisis de mtodos de evaluacin de proyectos de inversin. Esta parte fortalece los conceptos del valor del dinero en el tiempo, destaca las ventajas y los puntos dbiles de diferentes mtodos, compara los mtodos del valor presente neto y la tasa interna de retorno y enfatiza el uso metodolgicamente correcto de diferentes mtodos. Esta parte puede ser tratada como una continuacin de matemticas fi nancieras, o como una introduccin a la materia Evaluacin de Proyectos. Su cabal comprensin permite evitar errores metodolgicos ms arraigados.

RASGOS DISTINTIVOS DEL LIBRO Alto nivel de anlisis matemtico, econmico y fi nanciero. El contenido no es un

conjunto de recetas de cocina, sino una explicacin desde origen de varios mtodos de anlisis.

Enfoque unifi cado. Se enfatiza el concepto de equivalencia entre diferentes mtodos y enfoques.

Introduccin a fi nanzas. Explicacin clara de los fundamentos de la economa fi nan-ciera.

Ayuda para la toma de decisiones. El libro enfatiza la comparacin de alternativas y la toma de decisiones correctas.

Un captulo dedicado especfi camente a los aspectos matemticos y fi nancieros de la valuacin de activos.

Un captulo dedicado a la estructura de las tasas de inters.

PREFACIO xvii

RECONOCIMIENTOSAprovecho la oportunidad para agradecer a la direccin del Departamento de Contabilidad y Finanzas, a la direccin de la Divisin de Administracin y Humanidades y a la Direccin General del ITESM Campus Toluca por todo el apoyo que me brindaron para la realizacin de esta obra.

xviii PREFACIO

1Objetivos del aprendizaje

Despus de estudiar este captulo, el alumno ser capaz de:

Defi nir el campo de estudio de las matemticas fi nancieras.

Apreciar la importancia de las matemticas fi nancieras en fi nanzas y economa.

Entender por qu el valor del dinero cambia con el tiempo.

Interpretar la tasa de inters como el precio del dinero.

Explicar los componentes de la tasa de inters nominal.

Entender en trminos generales los diferentes adjetivos que acompaan la tasa de inters.

Distinguir entre un rendimiento nominal y un rendimiento real.

Calcular el rendimiento real.

Entender los dos mtodos del descuento.

Transformar la tasa de descuento en la tasa de rendimiento y viceversa.

Visualizar la importancia del anlisis de los fl ujos de efectivo descontados en el proceso de valuacin de activos.

Introduccin

CAPTULO 1

2 CAPTULO 1 INTRODUCCIN

Las fi nanzas son una disciplina cientfi ca que estudia cmo asignar recursos escasos a travs del tiempo en condiciones de incertidumbre. Los tres pilares analticos de las fi nanzas son:

El valor del dinero en el tiempo

La valuacin de activos

La administracin del riesgo

Las matemticas fi nancieras son un conjunto de mtodos matemticos que permiten determi-nar el valor del dinero en el tiempo. Las tcnicas de matemticas fi nancieras facilitan las compa-raciones econmicas. Es indispensable conocer estos mtodos para comprender la mayora de los temas que abarcan las fi nanzas. Entre estos temas se incluye el costo del capital, las decisio-nes sobre la estructura fi nanciera, la evaluacin de proyectos de inversin, el rendimiento de los bonos y otros instrumentos fi nancieros, la valuacin de ttulos, las decisiones de arrendar o solicitar prstamo, etctera.

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOEl supuesto bsico es que el dinero aumenta su valor en el tiempo. Esto signifi ca que una canti-dad determinada que se recibir en el futuro vale menos que la misma cantidad en el presente. Muchos creen que las diferencias en el valor del dinero en diferentes momentos del tiempo se deben a la infl acin y la subsecuente prdida del poder adquisitivo. En realidad, incluso si no hubiera infl acin, el dinero futuro valdra menos que el presente. Esto se debe a la preferencia de los consumidores por el consumo corriente contra el consumo futuro y la posibilidad de invertir los recursos en proyectos que tienen un rendimiento real (vase fi gura 1.1).

La inversin en activos fsicos y en capital humano aumenta la capacidad productiva y contribuye a una mayor generacin de riqueza en el futuro. Para invertir es necesario ahorrar, es decir, abstenerse del consumo presente. Dado que la inversin produce riqueza y aumenta el consumo futuro, quien invierte tiene que pagar a quien ahorra un precio por el uso del ingreso presente. Este precio se llama tasa de inters.

Como cualquier precio, la tasa de inters depende de la oferta y la demanda. La oferta de dinero (de fondos prestables) depende de las preferencias por el consumo presente contrael consumo futuro. La demanda de fondos prestables depende de las oportunidades de inver-sin. En una economa con poca disponibilidad de ahorros y muchas oportunidades de inversin productiva el dinero es caro (las tasas de inters son altas). En cambio, en una economa con abundancia de ahorros y escasez de oportunidades de inversin el dinero es barato.

Figura 1.1

Fuentes del valor del dinero en el tiempo.

Preferencia por elconsumo presente

Oportunidades deinversin productiva

Valor del dineroen el tiempo

El inters es el pago por el uso del dinero.

DIFERENTES PERSPECTIVAS SOBRE LA TASA DE INTERS 3

DIFERENTES PERSPECTIVAS SOBRE LA TASA DE INTERSEl precio del dinero, o la tasa de inters, tiene dos nombres, dependiendo del punto de vista. De acuerdo con la percepcin de un ahorrador, el precio que l recibe por el dinero es el rendimiento. El ahorrador es una persona con exceso de fondos que pretende transformar su consumo presente en oportunidades de un consumo futuro mayor. Para lograrlo, invierte en activos fi nancieros. El rendimiento que ofrecen estos instrumentos es el precio que el ahorra-dor obtiene por poner su dinero a disposicin de las personas que lo necesitan. El ahorrador tambin puede ser llamado acreedor, prestamista o inversionista. Si invierte en un depsito bancario, el rendimiento que obtiene se llama tasa de inters pasiva.

Desde el punto de vista del deudor, la tasa de inters que l paga por el uso de los fondos es el costo de capital. El deudor emite los instrumentos fi nancieros. Tambin puede ser llamado emisor o prestatario. Si solicita un prstamo bancario, la tasa que paga se llama tasa de inters activa.

La tasa de inters pasiva es la tasa que el banco paga a sus depositantes.

La tasa de inters activa es la tasa que el banco cobra a sus deudores.

El precio del dinero

Acreedor (inversionista) Deudor (emisor)

Tasa de inters (pasiva) Rendimiento

Tasa de inters (activa)Costo de capital

Cuando hablamos del precio del dinero, lo hacemos en trminos de su poder adquisitivo, en trminos reales. En la mayora de los pases, los precios se incrementan constantemente como consecuencia de un proceso llamado infl acin. Este aspecto complica la situacin por-que el rendimiento nominal que obtiene el ahorrador (inversionista) tiene que compensarlo por la prdida del poder adquisitivo provocada por la infl acin y, adems, proporcionarle un rendimiento real. La tasa de infl acin es uno de los componentes de la tasa de inters nominal. Otros componentes de la tasa nominal son las primas de riesgo y de liquidez.

En la fi gura 1.2 presentamos los componentes ms importantes de la tasa de inters no-minal. El punto de vista es el del inversionista, por lo que la tasa nominal se llama rendimiento requerido, el cual es el rendimiento que tiene que ofrecer un instrumento fi nanciero para que el inversionista lo adquiera. Este rendimiento compensa al inversionista por la prdida del poder adquisitivo provocado por la infl acin, le paga el precio del dinero en trminos reales (la tasa real) determinado por la oferta y la demanda de fondos prestables y compensa el riesgo que corre el inversionista al adquirir un instrumento fi nanciero.

Matemticamente, la fi gura 1.2 puede expresarse como:

1R 1 r( ) 1E i( )( )1 RF

1 244 344 1PR( )

donde la prima de riesgo (PR) contiene tambin la prima de liquidez.As, el componente principal de cualquier tasa de inters es la tasa libre de riesgo, que

incluye el rendimiento real y una prima que compensa al ahorrador por la prdida del poder adquisitivo provocado por la infl acin esperada. El rendimiento libre de riesgo lo ofrecen los instrumentos de deuda del Gobierno federal. En el caso de Mxico, es el rendimiento de los


Cetes a 28 das. En Estados Unidos es el rendimiento de los certifi cados del Tesoro (Treasury bills o T-bills).

Las primas de riesgo1 se cobran en el caso de los instrumentos fi nancieros que represen-tan riesgo de incumplimiento (el riesgo de crdito) o que tienen problemas de liquidez. El clculo de la prima de riesgo es un punto central de esta parte de la teora fi nanciera, que se llama valuacin de activos. En realidad, hay dos grupos de teoras que ayudan en la valuacinde activos: la teora de portafolios y la teora de los mercados de capital (teora de valuacin de activos de capital) (vase fi gura 1.3).

En trminos generales, el valor de un activo es el valor presente de los fl ujos de efectivo que se espera que genere el activo durante su vida. As, el proceso de valuacin consiste en tres etapas bien defi nidas:

1. Determinacin de los fl ujos de efectivo esperados producidos por el activo.

2. Determinacin de la tasa de descuento adecuada para llevar estos fl ujos al valor presente. Esta tasa es el rendimiento requerido por los inversionistas que desean comprar el activo en cuestin y consiste en la tasa libre de riesgo y la prima de riesgo.

3. Clculo del valor presente de los fl ujos de efectivo esperados. Si los datos obtenidos en las dos primeras etapas son fi dedignos, es un proceso meramente aritmtico (vase fi gura 1.4).

Figura 1.2

Factores que determinan el rendimiento requerido (la tasa de inters nominal).

1 La prima de riesgo tambin puede llamarse sobretasa o spread.

Tasa deinters real (r)

Infl acinesperada E(i)

Prima deriesgo

Tasa libre deriesgo RF

Prima deliquidez

El rendimientorequerido R

Figura 1.3

Teoras que ayudan a deter-minar la prima de riesgo adecuada para un activo fi nanciero par-ticular.

Teora de portafolios(Modelo de Marcowitz)

Teora de mercadosde capital (CAPM)

Prima de riesgo

DIFERENTES PERSPECTIVAS SOBRE LA TASA DE INTERS 5

Dado que el concepto tasa de inters con frecuencia est acompaado de algn adjeti-vo, defi nimos a continuacin las diversas tasas de inters:

La tasa de inters nominal (R), tambin conocida como tasa contractual, es la tasa de inte-rs en trminos de pesos corrientes. R representa el costo de oportunidad del dinero ms una compensacin por la prdida de poder adquisitivo provocada por la infl acin.

La tasa de inters real (r) es la tasa de inters en trminos de pesos constantes. Es la tasa de crecimiento del poder adquisitivo del dinero. La tasa real representa el costo de oportunidad del dinero.

La tasa de inters efectiva representa la tasa anual de crecimiento del dinero tomando en cuenta la frecuencia de capitalizacin.

La tasa de inters equivalente es la tasa nominal con una frecuencia de capitalizacin que produce el mismo rendimiento efectivo que otra tasa nominal con diferente frecuencia de capitalizacin.

Cuando un acreedor concede un prstamo P0 por un ao, al vencimiento espera recupe-rar el poder adquisitivo de su dinero y, adems, obtener algn rendimiento real. Si el monto del prstamo es de $100 y la infl acin esperada es de 20%, para mantener su poder adquisitivo debe recibir 100(1 0.2) 120. Esta cantidad a precios corrientes tiene el mismo poder ad-quisitivo que $100 a precios constantes.

En trminos simblicos: P1 P0(1 i)

Adems, si el acreedor espera un rendimiento real de 5%, debe recibir:

100(1 0.2)(1 0.05) 126

En un ao, 126 pesos tendrn un poder adquisitivo 5% mayor que $100 ahora.

En trminos simblicos: P1 P0(1 i)(1 r)

En realidad, el prestamista cobra una sola tasa de inters nominal, R:

P1 P0(1 R)

Figura 1.4

Proceso de determi-nacin del valorde un activo fi nan-ciero.

(1)Determinacn de los fl ujos de efectivo

esperados, que producir el activo E(FE)

(3)El valor del activo es el valor presente

de los fl ujos de efectivo esperadosValor VP [E(FE)](2)

Determinacin de la tasa de descuento adecuada (rendimiento requerido)

R RF prima de riesgo


La tasa nominal incluye tanto la compensacin por la prdida del poder adquisitivo del dinero prestado, i, como el rendimiento real, r.

La relacin entre la tasa nominal, la tasa real y la infl acin esperada suele llamarse ecua-cin de Fisher.

1 R (1 r)(1 i)

donde, R es la tasa de inters nominal (o tasa contractual)

r es la tasa de inters real

i E(i) es la tasa de infl acin esperada

Despejando la tasa nominal, tenemos:

R (1 r)(1 i) 1 r i ri

R r i ri

1E J E M P L O

Si r 8% e i 50%, la tasa nominal R 62% (y no 58%).

El producto ri puede pasarse por alto slo si la infl acin es muy baja. Por ejemplo, si la infl acin es de 4% anual y la tasa real, r 3%, el producto ri 0.0012, una cantidad insignifi cante.

Despejando de la ecuacin de Fisher la tasa real, tenemos:

1 r 1 R1 i

, de donde,

r R i1 i

La divisin entre (1 i ) elimina el efecto de la infl acin y calcula el valor real, o el valor a precios constantes. Si despus de un ao tenemos 126 pesos, dividiendo esta cantidad entre 1.2 obtene-mos el valor en pesos constantes de hace un ao, esto es, 105. El proceso de llevar los valores a precios corrientes a valores a precios constantes se llama defl actacin. Defl actar signifi ca eliminar el efecto de la infl acin, dividiendo entre uno ms la infl acin acumulada entre el periodo base y el periodo actual. Por ejemplo, si la infl acin acumulada en los primeros siete meses de 1998 es de 9.5%, al dividir el valor a precios corrientes del 1 de agosto entre 1.095 obtenemos este valor a precios constantes de 1 de enero. El 1 de agosto 1 000 pesos tienen el mismo poder adquisitivo que 1 000/1.095 $913.24 el 1 de enero.

Es muy importante saber distinguir entre los valores nominales y los reales. En planifi -cacin fi nanciera a largo plazo (por ejemplo, evaluacin de proyectos de inversin) slo tiene sentido efectuar clculos en trminos reales.

La convencin usada en este libro, generalmente aceptada en fi nanzas, es que, si la tasa de inters no tiene adjetivos, quiere decir que se trata de una tasa nominal anual.

CRECIMIENTO Y DESCUENTOLas matemticas fi nancieras estudian bsicamente dos fenmenos: el crecimiento2 y el descuento.

El problema del crecimiento es calcular el valor futuro de una variable dado su valor pre-sente y la tasa de crecimiento. El crecimiento es una de las principales fuentes del valor. Los clculos del valor futuro permiten contestar la siguiente pregunta: cul ser el valor futuro de una inversin cuyo rendimiento es R?(R tambin se denomina como la tasa de crecimiento o la tasa de inters).

El anlisis de los fl ujos de efectivo esperados en el futuro es la base para calcular el valor. La pregunta que pretendemos responder es: cul es el valor presente de un fl ujo de ingresos futuros, si el costo de oportunidad de capital es R? Para resolver este problema se usa el proceso de descuento y, en este contexto, la tasa R se llama la tasa de descuento.

2 El crecimiento tambin se conoce con el nombre de capitalizacin. Sin embargo, el trmino capitalizacin tiene muchos otros signifi cados, por lo que su uso es un tanto ambiguo.

Valor presente

Valor presente

Valor futuro

Valor futuro

Crecimiento

Descuento

Cuando se usa el inters compuesto, la tasa de inters (tasa de rendimiento) y la tasa de des-cuento son las mismas. Con el inters simple, las dos tasas son diferentes. Dado que el inters simple se utiliza en las subastas de los bonos (Cetes) es til establecer una equivalencia entre la tasa de rendimiento (R) y la tasa de descuento (RD).

Supongamos que tenemos un pagar (una promesa de pago) a un ao con el valor nomi-nal de $100. Cul es el valor presente de este pagar si se aplica una tasa de descuento bancario de 20%?

Con el mtodo del descuento bancario, el descuento se calcula sobre el valor nominal:

Descuento = valor nominal tasa de descuento

D BN RD

En nuestro ejemplo, el descuento es igual a 100 0.2 20.

El valor descontado (valor presente) del pagar es el valor nominal menos el descuento:

Valor presente valor nominal descuento

B0 BN D

BN BN RD BN (1 RD)

En nuestro ejemplo, B0 100 20 80

CRECIMIENTO Y DESCUENTO 7


Dividiendo la ecuacin del valor presente del pagar entre su valor nominal, obtenemos el valor presente por cada peso del valor nominal:

B0BN1 RD

Si compramos un pagar con el valor nominal de $100 a $80, cul es el rendimiento de nuestra inversin?

El rendimiento es la ganancia dividida entre la inversin inicial:

Rendimiento GananciaInversin inicial

En nuestro caso, la ganancia es igual al descuento, y el desembolso inicial es el valor presente (el precio) del pagar. As, el rendimiento es igual a 20/80 = 0.25, o sea 25%. Un descuento de 20% implica un rendimiento de 25%.

El rendimiento, o la tasa de inters, es la tasa de crecimiento del dinero que convierte el valor presente en el valor futuro.

B0 (1 R) BN

En nuestro caso: 80(1.25) 100

Dividiendo ambos lados de esta ecuacin entre el valor nominal, obtenemos el valor pre-sente del pagar por cada peso del valor nominal:

B0BN 1

1 R

Comparando las dos frmulas del valor presente por cada peso del valor nominal obtene-mos una equivalencia entre las tasas de rendimiento y de descuento:

Tasa de rendimiento (de inters), R Tasa de descuento bancario, RD

B0BN

11 R

B0BN1 RD

Dado que la parte izquierda de estas dos ecuaciones son iguales, la derecha tambin debera ser igual:

11 R

1 RD

Esta ecuacin representa la equivalencia entre la tasa de rendimiento y la tasa de des-cuento bancario.

Resolviendo respecto a la tasa de descuento (RD), tenemos:

RDR

1 R

En cambio, la relacin entre la tasa de rendimiento y la de descuento es como sigue:

RRD

1 RD

1E J E M P L O

Supongamos que un bono libre de riesgo que promete pagar $100 en un ao se vende en la actualidad en $90. Entonces, la tasa de descuento es RD 10%, porque 100(1 0.1) 90. Sin embargo, la tasa de rendimiento R 11.11%, ya que 100/(1 0.1111) 90.

Este ejemplo comprueba nuestra regla: 1

1 0.1111 1 0.1

As, el verbo descontar podemos utilizarlo en dos contextos:

1. Descontar signifi ca restar del valor nominal el descuento, que es el valor nominal multiplicado por la tasa de descuento:

B0 BN 1 RD( )

Cuando se usa el inters simple, la tasa de descuento es menor que la tasa de rendimiento.

2. Descontar signifi ca, tambin, dividir el valor nominal entre uno ms la tasa de rendimiento:

B0BN

1 R( )Con este mtodo de descuento, la tasa de descuento podemos interpretarla como rendimiento al vencimiento o la tasa interna de retorno.

CRECIMIENTO Y DESCUENTO 9

El anlisis de fl ujos de efectivo descontados es una tcnica fundamental para medir el valor del dinero en el tiempo. Casi todas las decisiones implican una comparacin del presente con el futuro: una inversin presente contra un fl ujo de efectivo en diferentes momentos en el futuro; consumo presente contra consumo futuro, etctera.

Antes de empezar el estudio del valor del dinero en el tiempo es necesario que repasemos brevemente las tcnicas matemticas ms utilizadas en el anlisis fi nanciero. El lector que se sienta cmodo con las matemticas puede dar slo un repaso rpido al siguiente captulo.


FRMULAS DEL CAPTULO

Efecto Fisher1 R (1 r)(1 i)

Valor presente con el descuento bancarioB0 BN (1 RD)

Valor presente con el descuento racional

B0BN

1 R( )

Tasas de descuento y de rendimiento

RDR

1 R, R

RD1 RD

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. Por qu, incluso en un pas sin infl acin, no es lo mismo recibir una cantidad hoy que la misma cantidad dentro de un ao?

2. Es preferible recibir $1 000 hoy o $1 150 dentro de un ao? Qu factores se han de tomar en cuenta para contestar esta pregunta?

3. Por qu el rendimiento de un inversionista es el costo de capital del emisor?

4. Explique el signifi cado de la siguiente afi rmacin: Comparndolo con el del ao pasado, mi salario au-ment 5% en trminos reales.

5. Qu signifi ca que un activo es libre de riesgo? Proporcione algunos ejemplos de tales activos.

6. Por qu el rendimiento de los activos de riesgos contiene una prima de riesgo?

7. Quin y cmo asigna el monto de la prima de riesgo para un activo concreto?

8. Por qu al comprar un activo fi nanciero slo se puede calcular su rendimiento real esperado?

9. Qu factores econmicos determinan la tasa de inters real?

10. La infl acin en julio fue de 0.95%. El rendimiento de un instrumento fi nanciero a un mes comprado el primero de julio fue de 22.5% (nominal, anual). Calcule la tasa de inters real en julio y la tasa real anua-lizada.

11. Explique la diferencia entre el descuento bancario y el descuento con la tasa de inters.

12. Si la tasa de descuento bancario sobre un instrumento es de 25%, cul es la tasa de rendimiento?

Trminos clave AcreedorinversionistaActivo fi nancieroCrecimiento Descuento bancarioDeudoremisorEn trminos realesFlujos de efectivo descontados

Matemticas fi nancierasPrima de liquidezPrima de riesgoRelacin de FisherTasa de intersTasa de inters efectivaTasa de inters nominal

Tasa de inters realTasa de rendimientoTasa libre de riesgoTasas equivalentesValor del dinero en el tiempoValor futuroValor presente

11

Objetivos del aprendizaje

Despus de estudiar este captulo, el alumno ser capaz de:

Despejar una variable de una ecuacin lineal.

Calcular el cambio porcentual y el porcentaje del total.

Utilizar las leyes de los exponentes.

Saber diferenciar entre el promedio aritmtico y el promedio geomtrico.

Utilizar las funciones exponenciales, sobre todo la funcin exponencial natural.

Comprender las diferentes defi niciones y la importancia del nmero e.

Utilizar las leyes de los logaritmos.

Calcular los antilogaritmos.

Identifi car los componentes de una progresin aritmtica.

Calcular el ltimo trmino de una progresin aritmtica.

Calcular la suma de una progresin aritmtica.

Identifi car los componentes de una progresin geomtrica.

Calcular el ltimo trmino de una progresin geomtrica.

Calcular la suma de una progresin geomtrica.

Basesmatemticas

CAPTULO 2

12 CAPTULO 2 BASES MATEMTICAS

El nivel de las matemticas que se utiliza en fi nanzas es bastante elemental. Slo en fi nanzas avanzadas se usan mtodos matemticos sofi sticados. En este captulo, repasaremos breve-mente las tcnicas matemticas empleadas con mayor frecuencia en la derivacin y la trans-formacin de las frmulas fi nancieras.

ECUACINLa ecuacin es la herramienta ms importante en lgebra. Es la afi rmacin de que dos expre-siones algebraicas conectadas por el signo = son iguales. En fi nanzas, una tarea muy importan-te es la habilidad para formular una ecuacin en forma correcta; sin embargo, sta no es una labor estrictamente matemtica, pues requiere la comprensin del problema fi nanciero y el conocimiento de los principios de lgebra.

Resolver una ecuacin es una tarea puramente algebraica; signifi ca despejar la variable que nos interesa en trminos de otras variables y parmetros.

Para resolver una ecuacin es necesario tener presentes las siguientes reglas:

1. A ambos lados de una ecuacin se puede sumar el mismo nmero (o variable).

2. De ambos lados de una ecuacin se puede restar el mismo nmero.

3. Ambos lados de una ecuacin se pueden multiplicar por el mismo nmero.

4. Ambos lados de una ecuacin se pueden dividir entre el mismo nmero (esto excluye obviamente la divisin entre cero, que es inadmisible).

5. Ambos lados de una ecuacin se pueden elevar a la misma potencia.

6. Si la potencia es fraccionaria, esto equivale a sacar la raz del mismo grado de ambos lados de una ecuacin.

En realidad hay slo tres reglas, puesto que restar un nmero es equivalente a sumar el mismo nmero con el signo negativo (las reglas 1 y 2 son equivalentes). Dividir entre un nmero es lo mismo que multiplicar por el recproco de este nmero (las reglas 3 y 4 son equivalentes). Sacar una raz de grado n es lo mismo que elevar a la potencia de 1/n (las reglas 5 y 6 son equivalentes).

En los siguientes ejemplos utilizaremos las reglas 1 a 4. La aplicacin de las reglas 5 y 6 requiere que d primero un repaso a los exponentes.

1E J E M P L O

Resuelva la siguiente ecuacin: x 15 60

Solucin:

x 15 15 60 15 De ambos lados restamos 15 (regla 2)

Respuesta: x = 45.

PORCENTAJES 13

2E J E M P L O

Resuelva la siguiente ecuacin: 5x 25 100

Solucin:

5x 100 25 75 Restamos 25 de ambos lados

5x

5 75

515 Dividimos ambos lados entre 5

Respuesta: x 15.

3E J E M P L O

Resuelva la siguiente ecuacin: 20 4x 60

Solucin:

4x 60 20 80 Restamos 20 de ambos lados

4x4804 20 Dividimos ambos lados entre (4)

Respuesta: x 20.

4E J E M P L O

Resuelva la siguiente ecuacin: x

45 13

Solucin:x

413518 Sumamos 5 a ambos lados

x 18 4 72 Multiplicamos ambos lados por 4

Respuesta: x 72.

PORCENTAJESEl por ciento de un nmero es una centsima parte de l.

Calcular x por ciento de un nmero signifi ca multiplicar dicho nmero por x y por 0.01.

EJERCICIO DE COMPROBACIN

Despeje x de la siguiente ecuacin: y2x1

13

Respuesta: x 3y 5.

1%1

100 0.01


Para aumentar una cantidad en x por ciento, multiplicamos dicha cantidad por 1 x(0.01).

1E J E M P L O

Cunto es 29% de 870?

Solucin:

870 29 0.01 252.3

Respuesta: 29% de 870 es 252.3.

2E J E M P L O

Sabemos que un descuento de 5% de un precio es igual a $70. Cul es el precio? (Cul es su 100%?)

Solucin: Si 5% 70, esto indica que 1% es igual a 70/5 14 y el 100% es igual a 1 400.

Respuesta: Si 5% es $70, 100% es $1 400.

3E J E M P L O

Hace un ao la poblacin de Mxico era de 100 millones de personas. En un ao la poblacin aument en 1.2%. Cul es la poblacin actual?

Solucin:

100[1 1.2(0.01)] 100(1.012) 101.2

Respuesta: La poblacin actual de Mxico es de 101.2 millones.

4E J E M P L O

En cuatro aos las ventas de una empresa se incrementaron 360%. Si al inicio las ventas eran de $100 000, qu nivel alcanzan las ventas actuales?

Solucin:

100[1 360(0.01)] 100(4.6) 460

Respuesta: Las ventas de la empresa son de $460 000.

Observacin: Al leer el problema, muchas personas contestan, sin refl exionar, que la respuesta es 360. Esto es un error muy frecuente.

Para reducir una cantidad en x por ciento, multiplicamos dicha cantidad por 1 x(0.01).

PORCENTAJES 15

La reduccin porcentual de una variable no es igual al incremento porcentual de su recproco. Unos ejemplos ilustran este punto.

5E J E M P L O

El tipo de cambio del peso frente al dlar empez la jornada a un nivel de 11.2 pesos por dlar. Durante el da, el dlar perdi 2.5% de su valor. Cul es el nuevo tipo de cambio al fi nalizar la jornada?

Solucin:11.2[1 2.5(0.01)] 11.2(0.975) 10.92

Respuesta: El dlar vale 10.92 pesos.

6E J E M P L O

El tipo de cambio del peso frente al dlar subi de 3.4 a 7.6 pesos/dlar.

a) Cunto se apreci el dlar?

b) Cunto se depreci el peso?

Solucin:

a) Nuevo valor Valor original

Valor original 7.63.4

3.41.2353123.53%

b) Para calcular la depreciacin del peso primero debemos encontrar el valor del peso antes y despus de su depreciacin.

El valor del peso es la cantidad de dlares que ste puede comprar, esto es el recproco del tipo de cambio: 1/3.4 0.2941 y 1/7.6 0.1316

Ahora ya podemos aplicar nuestra frmula:

Nuevo valor Valor originalValor original

0.1316 0.29410.2941

0.5526 55.26%

Respuesta: El dlar se apreci 123.53%.

El peso se depreci 55.26%.

7E J E M P L O

Hace cuatro aos un inversionista compr una accin de una empresa por $100. Durante estos 4 aos, el valor de la accin permaneci constante. Mientras tanto, la infl acin promedio en ese periodo fue de 6% anual. Qu porcentaje de su poder adquisitivo perdi el inversionista?

Solucin: La infl acin en el periodo fue de: (1.06)4 1 0.2625 26.25%. Los precios subieron 26.25%, mientras la riqueza del inversionista, en trminos nominales, permaneci constante. La tendencia natural es contestar que el inversionista perdi el 26.25% de su poder adquisitivo. sta no es la respuesta correcta.


Puntos porcentuales

La diferencia entre dos variables expresadas como porcentajes se mide en trminos de puntos porcentuales. Por ejemplo, si una tienda ofrece un descuento de 5% sobre una mercanca y otra 7% sobre la misma mercanca, la diferencia entre los dos descuentos es igual a 2 puntos porcentuales.

Si el banco A ofrece un rendimiento de 27% sobre un pagar a un mes y el banco B ofrece 30% sobre un instrumento semejante, la diferencia entre el rendimiento es de 3 puntos porcentuales. Decir que el banco B ofrece 3% ms que el banco A es un error, porque 3% ms que el 27% es 27 1.03 27.81%.

Un punto base es una centsima de 1%. En nuestro ejemplo, la diferencia en el rendimien-to de los dos bancos es de 300 puntos base (o puntos bsicos).

Un punto porcentual es igual a 100 puntos base. Un punto base es igual a 0.0001.

Supongamos que hace 4 aos el inversionista era capaz de comprar una canasta de bienes por $100. Ahora esta canasta cuesta $126.25. Qu porcentaje de la canasta puede comprar ahora el inversionista?

100

126.25 0.7921 79.21%

El inversionista puede comprar 79.21% de la canasta, esto es 20.79% menos que hace 4 aos.

Respuesta: El inversionista perdi el 20.79% de su poder adquisitivo.

8E J E M P L O

La tasa de inters de 10.5% puede expresarse como 10% ms 50 puntos base, o 1 050 puntos base. Si la tasa sube de 5.25% a 5.3%, decimos que el incremento fue de 5 puntos base.


El ao pasado las ventas de una empresa fueron de $1 200 000. Este ao, las ventas bajaron en 8.5%. Cul es el nivel actual de ventas?

Respuesta: $1 098 000.


En 1995 la infl acin anual fue de 52%. Cul fue la prdida del poder adquisitivo de una persona que no recibi ningn aumento salarial en este ao?

Respuesta: 34.2%.

EXPONENTESSi un nmero se multiplica por s mismo repetidas veces, esta operacin puede simplifi carse elevando el nmero en cuestin a la potencia igual a la cantidad de veces que el nmero se multiplica por s mismo. El nmero se llama base y la cantidad de veces que tiene que multi-plicarse por s mismo se llama exponente.

2 2 22 4 2 a la potencia de 2 es 4

a a a a3 a elevado a la potencia de 3

En general: an aaaLa

n veces1 244 344 se lee como: a elevado a la potencia de n, donde a es la

base y n es el exponente o potencia.Es indispensable dominar las leyes de los exponentes para estudiar matemticas fi nan-

cieras.

EXPONENTES 17

1E J E M P L O

4 42 45 41+2+5 48 65 536

(41 4)

2E J E M P L O

a5

a3 a53 a2

22

23 223 21

Cociente de dos potencias de la misma base

am

an amn

Potencia de una potencia

am

n amn

Producto de dos potencias de la misma base

am an am+n


3E J E M P L O

(23)4 234 212 4 096

4E J E M P L O

(3x)4 34x4 81x4

5E J E M P L O

3x

y

3

33x3

y3 27x

3

y3

6E J E M P L O

(5x)0 = 1

Potencia del producto de dos factores

(ab)n anbn

Potencia del cociente de dos factores

a

b

n

an

b n

Exponente cero

Si a es un nmero real diferente de cero, a0 = 1Esta regla se obtiene utilizando la regla del cociente de dos potencias:

an

an 1

an

an ann a0

a0 1

7E J E M P L O

23 123 1

8 0.125

8E J E M P L O

a1 2 a a a2

642 3 643

2

42 16

811 4 1

81 1

814

131 4

EXPONENTES 19

Exponente negativo

Si n es un nmero entero positivo y a 0

an 1a n

Esta regla se obtiene utilizando la regla del cociente de dos potencias:

a 3

a 5 a 35 a2

a 3

a 5 a

3

a 3a 2 1

a 2

a2 1a 2

Exponentes fraccionarios

am

n an

m

amn

En la prctica se utiliza una calculadora electrnica que tiene la tecla yx , que acepta los exponentes tanto negativos como fraccionarios.

Como ejercicio, despejaremos la tasa de rendimiento de la siguiente ecuacin:

1 R4

4 1.5


1E J E M P L O

Hace 5 aos compramos una accin a $100. El valor de la accin creca cada ao en los siguientes porcentajes: 1, 24, 3, 10 y 2. Cul es el valor actual de la accin?

Solucin: Una manera incorrecta de resolver este problema es calcular la tasa promedio de crecimiento (media aritmtica) y despus aplicar la frmula para el crecimiento.

Tasa promedio de crecimiento 1%24%3%10%2%5

8% 0.08

Nuevo valor de la accin 100(1.08)5 146.93

Esta respuesta es incorrecta. En realidad, el valor de nuestra accin creci en el primer ao 1%, convirtindose en 101, en el segundo ao creci 24%, convirtindose en 101(1.24) 125.24,etctera.

El nuevo valor de la accin es 100(1.01)(1.24)(1.03)(1.1)(1.02) 144.73.

Esto quiere decir que el uso de la media aritmtica para calcular la tasa de crecimiento promedio exagera el crecimiento. El mtodo correcto es calcular la media geomtrica, que es la raz n-sima del producto de n elementos, cada uno de los cuales es 1 ms la tasa de crecimiento.

1 R4

4

1.5

14 1 4

Elevamos ambos lados a la potencia de

1 R4 1.5

14 La regla de potencia de una potencia

R

4 11.5

14 Restamos 1 de ambos lados

R 4 1

0.4267 42.67%1.5

14

Multiplicamos ambos lados por 4.


Despejar R de la siguiente ecuacin: 85 100

1 R 5Respuesta: 0.0330.

PROMEDIO GEOMTRICOTodos saben qu es la media aritmtica. Sin embargo, no todos saben que en algunas circuns-tancias esta media no es aplicable.

En nuestro ejemplo, si R es la tasa promedio de crecimiento, calculamos su valor de la siguiente ecuacin:

(1 + R)5 (1.01)(1.24)(1.03)(1.1)(1.02), de donde,

R (1.01)(1.24)(1.03)(1.1)(1.02) 1 5 11.44730.2 1 0.0767 7.67%

Respuesta: Durante los ltimos 5 aos el valor de la accin estaba creciendo a un ritmo anual de 7.67% (y no 8%, como errneamente indica el clculo de la media aritmtica).

Comprobacin: (1+ 0.0767)5 1.4473

En general, si una cantidad crece a un ritmo anual ri (i 1, 2,..., n), la tasa de crecimiento promedio r, calculada como un promedio geomtrico, es:

1 r n 1 r1 1 r2 1 rn

1 r 1 r1 1 r2 1 rn

1n


Las tasas de infl acin mensual en los primeros 4 meses del ao son: 3.8%, 2.4%, 1.5%, 0.9%. Calcule: a) la infl acin acumulada en los 4 meses, b) la infl acin promedio mensual como media aritmtica, c) la infl acin mensual promedio como media geomtrica.

Respuesta: a) 8.86%, b) 2.15%, c) 2.14%.

PROMEDIO GEOMTRICO 21

Refl exin sobre matemticas fi nancieras

En algunos casos, la media aritmtica produce resultados contrarios a la intuicin. Compramos una accin a $100. Despus de un ao su valor crece a $200, un crecimiento anual de 100%. Un ao despus el valor de la accin baja a $100, un crecimiento de 50%. Cul fue el rendimiento promedio de la inversin en la accin?

a) Media aritmtica: RA100 50

225%

b) Media geomtrica: RG 1 1 1 0.5 1

2 1 0

La media aritmtica es un mal indicador del rendimiento histrico. En nuestro ejemplo est claro que no ganamos nada (tasa de crecimiento de la inversin igual a cero), sin embargo, la media aritmtica es de 25%.


FUNCIONES EXPONENCIALESUna funcin es exponencial si la variable independiente aparece en el exponente de alguna base. El caso ms sencillo es: y(t) bt, donde b es una base. Normalmente se restringe la base a valores mayores de 1 (b 1). Esto se debe a las siguientes consideraciones:

La base no puede ser negativa, porque si el exponente tomara valores fraccionarios tendramos races de nmeros negativos. Para trabajar con tales races es necesario introducir el concepto de nmeros imaginarios.

Si 0 b 1, entonces la funcin exponencial es simplemente un refl ejo de la funcin con base mayor que uno, siendo 0y el eje de refl exin. Por ejemplo, si b 1

2

y bt 12

t

12t 2t

El valor de esta funcin en t 2 es igual al valor de y 2t en t 2.

Por otro lado, si b 1, la funcin exponencial se degenera en una funcin constante: y (1)t 1 constante.

El rango de la funcin exponencial abarca todos los nmeros positivos. Cualquier nmero positivo puede ser potencia de una base mayor que 1. El mismo nmero puede presentarse como potencia de diferentes bases.

Por ejemplo: 16 161 42 24

Cuando la base de la funcin exponencial es mayor que 1, dicha funcin representa el pro-ceso de crecimiento exponencial. La tasa de crecimiento es la base menos uno. La expresin V 100(1.15)t representa el proceso de crecimiento, empezando en el nivel 100 y con la tasa de 15% por periodo. Como se puede apreciar en la grfi ca, el nivel inicial est en la intersec-cin vertical: el nivel de V, cuando t 0. La tasa de crecimiento se refl eja en la pendiente que se muestra en la fi gura 2.1.

El crecimiento exponencial discreto est plasmado en la siguiente frmula:

Vt V0 1R t

Donde:

V0 es el valor inicial (interseccin vertical en la grfi ca),

Vt es el valor para cada nivel de t (altura de la grfi ca),

R es la tasa de crecimiento por periodo,

(1 R) es la base de la funcin exponencial,

t es el nmero de periodos

El crecimiento ocurre al fi nal de cada periodo. Si las unidades en las que se mide el tiempo son grandes, la funcin adquiere forma de una escalera cuyos escalones son cada vez ms altos.

Figura 2.1

Funcin V = 100(1.15)t

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

100

200

300

400

500

600

700

100 1.15t

t

1E J E M P L O

Las ventas de una empresa son de $120 millones anuales. El plan de expansin prev que las ventas aumentarn a un ritmo de 20% anual durante los prximos 5 aos. Si se cumpliera el plan de expansin, cules seran las ventas de la empresa en 5 aos?

V0 120, R 20%, t 5

Solucin: Sustituimos los datos del problema en la frmula del crecimiento exponencial.

V5 120(1.2)5 298.6

Respuesta: En 5 aos las ventas anuales de la empresa sern de $298.6 millones.


La infl acin en mayo de 1999 fue de 0.6%. Cul sera la infl acin anual si el ritmo de infl acin de mayo se mantuviera todo el ao?

Respuesta: 7.44%.

Funcin exponencial natural

No da lo mismo elegir cualquier nmero ( 1) como base de la funcin exponencial, pues al-gunas bases son ms cmodas que otras. La ms cmoda es el nmero irracional e 2.7282...1 La funcin exponencial con base e suele llamarse funcin exponencial natural:

y(t) et exp(t)

1 Se usa la letra e en honor del gran matemtico suizo Leonhard Euler (1707-1783).

FUNCIONES EXPONENCIALES 23


La forma generalizada de la funcin exponencial natural, desde el nivel inicial A, con la tasa de crecimiento R, es:

y = Aert A exp (rt)En la grfi ca podemos observar dos caractersticas principales de la funcin exponencial:

1. En la medida en que crece la variable independiente, el valor de la funcin exponencial natural crece muy rpidamente.

2. Cuando el valor de la variable independiente es cero, la pendiente de la funcin expo-nencial natural es igual a 1 (45).

Para ilustrar la primera propiedad invitamos al lector a que calcule para qu valor de t la funcin et llega a un milln (la respuesta es 13.8155).

La principal ventaja de la funcin exponencial natural es que sta es su propia derivada:

ddt

et et ,d2

dt2et et , etc.

Si evaluamos el valor de la derivada de la funcin exponencial natural en el punto cero, tenemos:

de t

dtet

t0 e01

Esto ilustra la segunda propiedad de la grfi ca de la funcin exponencial natural.Matemticamente, e se defi ne como un lmite, o mediante un rea por debajo de la hipr-

bola equiltera. Como lmite:

e y lmnmd

1 1n

n

Esta defi nicin de e tiene una interpretacin econmica interesante. Supongamos que de-positamos en el banco un peso y el banco nos paga la tasa de inters de 100% anual. Si el

Figura 2.2

Funcin exponencial natural, y et

t

et et

1

0

inters compuesto se calcula una vez al ao, al cabo de este periodo nuestro capital se habr convertido en 2 pesos.

V(1) 1(1 100%) 1 1 1

1

1

2 (100% equivale a 1)

donde:

V(1) es el valor de capital si la tasa de inters de 100% se capitaliza una vez al ao.

Si el inters se calcula 2 veces al ao, despus de 6 meses nuestro capital es multiplicado por 1 50% 1 1

2 y al fi n del ao otra vez por el mismo factor.

V(2)1(150%)(150%)1 1 12( ) 1 12( )1 1 12( )

2 2.25

Si el nmero de capitalizaciones en el ao aumenta a n, al cabo de un ao nuestro capital se habr convertido en:

V(n) 1 1n

n

Por ejemplo, si n 12 (capitalizacin mensual): V(12) 1 112( )

122.61

Con una capitalizacin diaria (n 365): V(365) 1 1365( )

3652.7146

Finalmente, cuando la capitalizacin se vuelve continua, es decir, cuando el nmero de ve-ces que se calcula el inters compuesto se aproxima al infi nito, nuestro capital se convierte en:

lmn

V(n) lmn

1 1n

n

e2.71828...

En resumen: e puede interpretarse como el valor que al cabo de un ao adquiere 1 peso, si la tasa anual de inters de 100% se capitaliza continuamente.

En este caso, la tasa nominal de 100% se convierte en una tasa efectiva de:

e 1 171.82%En la prctica, podemos evaluar el valor de e con cualquier grado de exactitud, con una ex-pansin de Taylor de la funcin exponencial natural:

e 1n!

n0

d

1 11!12! 1

3!

FUNCIONES EXPONENCIALES 25


Es muy fcil generalizar la capitalizacin continua al caso en que el capital inicial es igual a V0 y la tasa de inters nominal igual a R. La frmula generalizada de la capitalizacin continua es:

VtV0eRt

Esta frmula tambin representa el crecimiento exponencial continuo con el nivel inicial V0 y la tasa de crecimiento R.

Para evitar confusin, es necesario tener presente la diferencia que hay entre las funciones exponenciales y las funciones potenciales.

La diferencia radica en el lugar en que est la variable:

y = x10 es una funcin potencial (la variable est en la base)

y = 10x es una funcin exponencial (la variable est en el exponente)

LOGARITMOSEl logaritmo de un nmero x con base b es el nmero al que hay que elevar la base para obte-ner el nmero x.

logb xy byx


Cul ser el saldo de una cuenta bancaria de $120 mil despus de 3 aos y medio, si el rendimiento de la cuenta es de 18%, capitalizado continuamente?

Respuesta: $225 313.27.

1E J E M P L O

log10

1000 3 ya que 103 1000

log3

9 2 ya que 32 9

log10

0.001 3 ya que 103 0.001

loge

10 ya que e0 1

En realidad, slo dos nmeros se utilizan como base de logaritmos. Los logaritmos comunes (log) tienen como base el 10 y los logaritmos naturales (ln) tienen

como base el nmero e = 2.7183

log x ylog10x ln x yloge xy

Con la generalizacin de las calculadoras electrnicas los logaritmos comunes cayeron en desuso y los nicos logaritmos que se utilizan actualmente son los logaritmos naturales. As, en la mayora de los libros de matemticas el smbolo log signifi ca en realidad el logaritmo natural.

De la defi nicin de logaritmo es fcil derivar su propiedad ms importante, conocida como ecuacin funcional:

log(xy) log x log y

Una variante de la ecuacin funcional es la regla para el logaritmo del cociente.

log xy

log x log y

La ecuacin funcional tiene las siguientes consecuencias:

log1x log1 log x 0 log x log x, y

log xn log x xx674 84

log x log x log xn vecesn veces 6 74444 844444

n log x

log 1x log x log xn n log x

2E J E M P L O

loga 1R 5

4

log a 5 log1 Rlog 4

LOGARITMOS 27


Figura 2.3

Funcin logartmica.

t

ln t, et

ln t

et

1

10

Cuando x crece, log x crece tambin, pero a un ritmo decreciente:

lmxmd

log x d

Cuando x se acerca a 0, log x adquiere valores negativos muy grandes:

lmxm0

log x d

La grfi ca de la funcin y log x es un refl ejo de la funcin exponencial respecto a la lnea de 45 (y x) (vase fi gura 2.3).

Como se puede apreciar en la fi gura 2.3, la funcin logartmica tiene tres propiedades:

1. Crece muy lentamente: ln(1 000 000) 13.81.

2. Es positiva para t 1, y negativa para t 1.

3. Cuando t 1, el valor de la funcin logartmica es 0 y la pendiente de la grfi ca de la funcin es igual a 1.

y 0( ) ln t t10 dado que e01

d ln tdt 1

t t1 1

El nmero cuyo logaritmo natural es igual a 1 se defi ne como e: log e 1.

log x

log x

x

x

x

y

y

e

e

1

1

1

1=

A(e) = 1

El rea por debajo de la hiprbola equiltera de 1 a e es igual a 1

log e 1

Esta defi nicin nos proporciona una interpretacin alternativa de e:

e es el nmero para el cual el rea por debajo de la hiprbola equiltera y 1/x es igual a 1.

A(e)y dxx1

e

1

Recordemos que otra defi nicin de e es un lmite:

e y lmnmd

1 1n

n

Segn la defi nicin del logaritmo:

y log x y loge x x ey elog x

Como regla mnemotcnica podemos recordar que los operadores de las funciones logartmica (log) y exponencial (e) se anulan mutuamente.

Si y ex entonces log y log ex x log ex

elog xx y log exx

LOGARITMOS 29


El hecho de que y ex x log y implica que las funciones exponencial y logartmica son inversas.

Los logaritmos permiten convertir cualquier funcin exponencial con b 1 en una fun-cin exponencial natural.

Sea y b t donde b 1

log y log bt t log b y et log b

bt et log b

El uso de logaritmos es indispensable si queremos despejar el exponente de una expresin.

3E J E M P L O

Si la tasa de inters es de 7% anual, en cuntos aos se duplicar el capital?

1.07 t 2

t log 1.07 log 2 el logaritmo de una potencia

t log 2log 1.07

0.69310.0677

10.24 despejamos t y calculamos su valor

Respuesta: El capital se duplicar en 10.24 aos.

4E J E M P L O

Qu tasa de inters hace que el capital se duplique en 5 aos?

Solucin: La ecuacin correspondiente es:

(1 R)5 2

5 log(1 R) log 2 sacamos logaritmos de ambos lados

log (1 R) (log 2)/5 0.1386 dividimos entre 5

1 R e0.1386 1.1487 sacamos el antilogaritmo

R 0.1487 14.87% restamos 1 de ambos lados

Respuesta: El capital se duplica en 5 aos si la tasa de inters es de 14.87%.

Tambin pueden utilizarse los logaritmos para despejar la tasa de inters de una expre-sin, pero este procedimiento no es efi ciente. Es preferible usar los exponentes fraccionarios.

Sin duda el lector se dio cuenta de la inefi ciencia del procedimiento anterior. El mtodo efi ciente consiste en sacar la raz del grado quinto de la ecuacin y restar 1 de ambos lados de la misma.

(1 R)5 2

1R 5 1 5 1 52 25

1 R 2 1.14871 5

R 0.1487 14.87%

Como podemos observar, la respuesta es la misma, pero el nmero de pasos necesarios para obtenerla es mucho menor.

En la solucin del ejemplo 4 usamos la palabra antilogaritmo.

Si y log x, x es el antilogaritmo de y

En el caso de logaritmos naturales, para calcular el antilogaritmo se utiliza la tecla ex de la

calculadora o la tecla EXP . En el caso de los logaritmos comunes se utiliza la tecla 10x .

y ln x loge x x ey

y log10 x x10y

Dado que las funciones logartmicas y las exponenciales son inversas, el antilogaritmo no es otra cosa que una funcin exponencial, es decir, una funcin en la cual la variable viene en el exponente.

PROGRESIN ARITMTICAUna sucesin es una lista ordenada de nmeros. Por ejemplo,

10, 12, 14, 16, 18,...

es una sucesin. El primer trmino es 10, y cada siguiente trmino se obtiene sumando 2 al trmino anterior. Si el nmero de trminos es fi nito, la sucesin se llama fi nita. Si no hay un ltimo trmino, la sucesin se llama infi nita.

Una sucesin en la cual cada trmino difi ere del anterior en una cantidad fi ja se denomi-na progresin aritmtica. La diferencia comn entre los dos nmeros sucesivos se denota por d. El primer trmino se denota como a.

PROGRESIN ARITMTICA 31


As, los primeros trminos de una progresin aritmtica son

a, a d, a 2d, a 3d,

Observando esta progresin, podemos escribir la frmula para su n-simo trmino:

an a (n 1)d

Si la progresin es fi nita y el nmero de trminos es n, la frmula para el ltimo trmino, que denotamos por u, es:

u a (n 1)d

1E J E M P L O

Dada la sucesin 2, 5, 8, 11,, calcule su dcimo trmino.

Solucin: El primer trmino es 2, y la diferencia comn es 3: a 2, d 3. Sustituyendo estos datos en la frmula del n-simo trmino de una sucesin, tenemos:

a10 2 (10 1)3 29

Respuesta: El dcimo trmino de la sucesin es 29.

2E J E M P L O

El capital inicial es de $80 000 y crece $2 000 cada mes. Calcule el monto del capital despus de 12 meses.

Solucin:

a 80 000, d 2 000, n 12.

Sustituyendo estos datos en la frmula para el ltimo trmino, tenemos:

u 80 000 (12 1)2 000 102 000

Respuesta: Despus de 12 meses el saldo es de $102 000.

3E J E M P L O

Una mquina cuesta $110 000. Cada ao, la empresa deprecia la mquina en $15 000 y su valor de rescate es de $35 000. Cul es la vida til de la mquina?

Solucin:

d 15 000, u 35 000, n ?


Calcule el octavo trmino de la progresin aritmtica que empieza en 15 con la diferencia comn de 4.

Respuesta: 43.

4E J E M P L O

Sumar los nmeros de 1 a 10. Aqu a 1, d 1, n 10

Solucin: Denotamos la suma como S

S 1 2 3 8 9 10

S 10 9 8 3 2 1

Sumando ambas expresiones, tenemos:

2S 111111L111111n veces

1 244444 344444

2S 10(11) 110

S 55

Respuesta: La suma de los nmeros de 1 a 10 es 55.

Suma de n trminos de la progresin aritmtica

Para sumar los n trminos de una progresin aritmtica, primero escribimos la suma en el orden normal y despus la escribimos en el orden inverso. Al sumar las dos expresiones obte-nemos el resultado.

El primer trmino de la sucesin es el valor de la mquina despus del primer ao, esto es, el valor original menos la primera depreciacin:

a 110 000 15 000 95 000

Ahora ya podemos despejar n de la frmula para el ltimo trmino de la sucesin:

35 000 95 000 (n 1)(15 000)

n 5

Respuesta: La vida til de la mquina es de 5 aos.

PROGRESIN ARITMTICA 33


Para obtener una frmula general para los n trminos de una progresin aritmtica, utilizamos el mismo procedimiento pero con los trminos generales:

S a (a d) [a (n 2)d] [a (n 1)d]

S [a (n 1)d] [a (n 2)d] (a d) a

Sumando estas expresiones, tenemos:

2S 2a n1 d 2a n1 d 2a n1 d 2a n1 d n veces

1 24444444444444 34444444444444

2S n[2a (n 1)d]

Despejando S, obtenemos la frmula para la suma de los n trminos de una progresin aritmtica, con el primer trmino a, y con la diferencia d.

S n2

2a n1( )d

El fcil observar que la expresin entre corchetes es la suma del primero y del ltimo trminos. As, la frmula tambin puede ser escrita como:

S n2

au

5E J E M P L O

Calcule el ltimo trmino y la suma de una progresin aritmtica de 20 trminos que empieza en 100 y cada trmino es mayor que el anterior en 7.

Solucin: El ltimo trmino: u 100 19(7) 233

La suma: S20

20

2100 233 3 330

Respuesta: La suma de la progresin es de 3 330.


Calcule a) la suma de todos los nmeros impares entre 1 y 50, b) la suma de todos los nmeros pares entre 1 y 50 (tanto 1 como 50 entran en estas sumas).

Respuesta: a) 625, b) 650.

PROGRESIN GEOMTRICAUna sucesin en la cual la razn entre un trmino y el anterior es constante se llama progresin geomtrica. Si a es el primer trmino y r es la razn comn, la progresin geomtrica tiene la siguiente forma:

a, ar, ar2, ar3,

Es fcil comprobar que la razn entre dos trminos sucesivos es igual a r.

a1a0 a r

a r

ata a r

t1

t1 a rt2 r,

El ltimo trmino de la progresin geomtrica fi nita con n trminos, es:

u a rn1

1E J E M P L O

Un depsito de $1 000 produce 10% anual, que se calcula sobre el saldo del periodo inmediata-mente anterior. Calcule el saldo despus de 5 aos.

Solucin: Si el depsito crece a un ritmo de 10% anual, al fi nal del primer ao es 1 000 10% 1 100, al fi nal del segundo es 1 100 10% 1 210, etc. Se trata claramente de una progresin geomtrica en la cual el primer trmino, a 1 100, la razn comn, r 1.1, y el nmero de pe-riodos, n 5. Sustituyendo estos datos en la frmula para el ltimo trmino de la progresin, tenemos:

u 1 100(1.1)4 1 610.51

Respuesta: El saldo en el quinto ao es de $1 610.51.

2E J E M P L O

Una mquina que vale $100 000 se deprecia cada ao 20% de su valor. Cul es el valor de res-cate, si la vida til de la mquina es de 6 aos?

Solucin: Al fi nal del primer ao, el valor de la mquina es 100 000 20% 80 000, al fi nal del segundo ao es 80 000 20% 64 000, etc. Se trata de una progresin geomtrica en la cual el primer trmino, a 80 000, la razn comn, r 0.8, y el nmero de periodos, n 6. Sustituyendo estos datos en la frmula para el ltimo trmino de la progresin, tenemos:

u 80 000(0.8)5 26 214.40

Respuesta: El valor de rescate de la mquina es de $26 214.40.

Si la razn comn de una progresin geomtrica es mayor que 1, la progresin es creciente. El ejemplo 1 es una ilustracin de una progresin creciente. Si r 1, la progresin es decre-ciente.

PROGRESIN GEOMTRICA 35



Cada dosis de una medicina mata 50% de los microbios en el cuerpo. Cuntas dosis deben tomar-se para eliminar 99% de los microbios?

Respuesta: 7 (respuesta exacta 6.64).

3E J E M P L O

El primer trmino de una progresin geomtrica es 10, la razn comn es 3 y el ltimo trmino es 7 290. Cuntos trminos tiene la progresin?

a 10, r 3, u 7 290, n ?

Solucin: Despejamos n de la frmula del ltimo trmino:

7 290 10 (3 ) n1

(n 1) ln 3 ln (729 )

n1 ln 729ln 3

6

n 7

Respuesta: La progresin tiene 7 trminos.

Suma de n trminos de una progresin geomtrica

Para sumar los n trminos de una progresin geomtrica escribimos la suma y despus la mul-tiplicamos por la razn comn, r. Al restar la segunda suma de la primera obtenemos el resul-tado buscado. Sea Sn la suma de n trminos.

Sn aarar2Larn2arn1

rSn arar2ar3L arn1arn

Restando la segunda ecuacin de la primera, observamos que en el lado derecho se cancelan todos los trminos, menos el primero y el ltimo. Esta propiedad de las series geomtricas se llama propiedad telescpica.

Sn rSn a arn

Factorizando y despejando Sn, obtenemos la frmula para la suma de n trminos de una progre-sin geomtrica.

Sn a 1 rn

1 r

Esta frmula es til cuando la progresin es decreciente: r 1.En el caso de una progresin creciente, r 1, es mejor utilizar la frmula alternativa, que

se obtiene multiplicando el numerador y el denominador de la frmula anterior por 1.

Sn a rn1( )

r1

4E J E M P L O

Si al fi nal de cada mes se depositan $1 000 en una cuenta que rinde 2% mensual, cul ser el saldo de la cuenta al fi nal del doceavo mes?

a 1 000, r 1.02, n 12

Solucin: Se trata de sumar la serie fi nita 1 000 1 000(1.02) 1 000(1.02)11. Sustituyendo los datos del problema en la frmula para la suma, tenemos:

S12

1000 1.0212 1

1.02 113 412.09

Respuesta: Despus de 12 meses el saldo de la cuenta ser de $13 412.09.

De esta cantidad, $12 000 son los depsitos y $14 512.09 los intereses ganados sobre los saldos.

Por razones obvias, resulta imposible sumar los trminos de una progresin geomtrica infi nita creciente. Sin embargo, cuando la progresin geomtrica infi nita es decreciente, sus trminos se pueden sumar buscando el lmite de la suma de la progresin fi nita.

Si 1 r 1, lmnmd

r n0, entonces,

lmnmd

a 1 r n

1 r a

1 r

La frmula para la suma de la progresin geomtrica infi nita decreciente es:

S a1 r

5E J E M P L O

Calcule la suma de la sucesin infi nita: 1 0.8 0.64 0.512

a 1, r 0.8, n

PROGRESIN GEOMTRICA 37


Solucin: Sustituyendo los datos en la frmula, tenemos:

S 11 0.8

10.2 5

Respuesta: La progresin infi nita que empieza en 1 y tiene la razn de 0.8 se suma a 5.


Si gastamos 1 peso, la persona que lo recibe ahorra en promedio 20% y gasta el restante 80%. Cul es el gasto total generado por nuestro desembolso inicial de 1 peso?

Respuesta: $5.

FRMULAS DEL CAPTULO

Promedio geomtrico

r 1 r1 1 r2 1 rn ; =1 n 1

ltimo trmino de la progresin aritmtica

ua n 1d

Crecimiento exponencial discreto

Vt V0 1R tSuma de la progresin aritmtica

Sn2

a u; =

Crecimiento exponencial continuo

Vt V0eR t

ltimo trmino de la progresin geomtrica

u ar n1

Nmero e

e y lmnmd

11n

r

Suma de la progresin geomtrica

Sn a 1 r n

1 r; r 1

Suma de la progresin geomtricainfi nita decreciente

Sa

1 r

Suma de la progresin geomtrica

Sn a r n 1

r 1; r 1

AntilogaritmosCrecimiento exponencial continuoCrecimiento exponencial discretoEcuacinFunciones exponencialesFuncin exponencial naturalLeyes de exponentesLogaritmos comunes

Logaritmos naturalesProgresin aritmticaProgresin geomtricaProgresin geomtrica decreciente infi nitaPromedio geomtricoPuntos basePuntos porcentualesSucesin

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. Resuelva las siguientes ecuaciones respecto a x:

a) 2x 5 3y 12, b) x 2

4y 83, c) 1x( )4 1 y3( )

2

2. Evale las siguientes expresiones:

a) x3 12 9

23 42, b)

x28 3 2( )

3 , c) x

14

23 15

3342

78

3. El ndice de precios y cotizaciones (IPC) de la Bolsa Mexicana de Valores subi de 3 850 a 4 292. En qu porcentaje subi el ndice?

4. Sabemos que ayer el IPC era de 4 248 y nos enteramos de que durante la jornada el ndice subi en 1.24%. Cul es el nuevo nivel del IPC?

5. El IPC termina la jornada al nivel de 4 423. Durante la jornada el ndice baj 0.57%. Cul fue el nivel de IPC al inicio de la jornada?

6. Durante los ltimos 5 aos, el PIB de Mxico tuvo las siguientes tasas de crecimiento: 3.5%, 6.4%, 5.2%, 7%, 4.8%.

a) Calcule la tasa de crecimiento como un promedio aritmtico.

b) Calcule la tasa de crecimiento anual como un promedio geomtrico.

c) Qu mtodo refl eja mejor la realidad?

7. Durante el ao el valor del dlar subi de $9 a $9.7.

a) Calcule el porcentaje en que subi el valor del dlar.

b) Calcule el porcentaje en que baj el valor del peso.

8. Hace 4 aos ganaba $4 500 al mes. Durante estos cuatro aos los precios subieron en 150%. Calcule el valor de su sueldo de hace 4 aos en pesos de hoy.

9. Calcule el valor de x en las siguientes ecuaciones:

a) ex 4, b) ln x 3, c) eex 40, d) log10x 2, e) 3x 50

Trminos clave

PREGUNTAS Y PROBLEMAS 39


10. Evale las expresiones:

a) e3 ln 2, b) log1020 log105, c) log10500 log105, d) ln e5

11. En cunto tiempo se duplica una cuenta que rinde 24% compuesto mensualmente?

12. En cunto tiempo se triplica una cantidad, si la tasa de 18.31% se compone continuamente?

13. La poblacin se duplica cada 25 aos. Calcule:

a) la tasa de crecimiento discreta, b) la tasa de crecimiento continua.

14. Si la poblacin inicial de 10 millones se duplica cada 25 aos, cul ser la poblacin despus de 200 aos?

15. Qu signifi ca que x es un antilogaritmo de y?

16. Calcule el vigsimo trmino de la serie que empieza as:

20, 27, 34,

17. Cuntos trminos tiene una progresin aritmtica que empieza en 30, termina en 156 y avanza de a 7?

18. Calcule la diferencia comn de una progresin aritmtica de 10 trminos, cuyo primer trmino es 100 y el ltimo 235.

19. Calcule la siguiente suma: 25 30 35 250

20. Calcule el dcimo trmino de la progresin: 100, 120, 144,

21. Calcule el octavo trmino de la progresin: 10, 20, 40,

22. Cuntos trminos tiene una progresin geomtrica que empieza en 500, tiene la razn de 1.3 y termina en 73 096 145?

23. Cul es la razn de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es 80 y el vigsimo quinto trmino es 2 062.63?

24. Al fi nal de cada mes usted deposita $1 000 en una cuenta de ahorro que produce un rendimiento mensual de 3%. Cul ser el saldo de su cuenta despus de 40 meses?

25. Cunto tendra que depositar en la cuenta del problema anterior para reunir despus de 40 m

Matematicas Financieras - Zbigniew Kozikowski Zarska

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