Matemáticas DiscretasMatemáticas Discretas

Agosto-Diciembre 2007Agosto-Diciembre 2007

Rodrigo Montúfar ChaveznavaRodrigo Montúfar Chaveznava

rmontufar@itesm.mxrmontufar@itesm.mx

Objetivos generalesObjetivos generales• Aplicar algunas de las herramientas que proveen Aplicar algunas de las herramientas que proveen

las matemáticas discretas en la solución de las matemáticas discretas en la solución de problemas de electrónica, computación e problemas de electrónica, computación e información.información.

• Aplicar algunas de las herramientas que proveen Aplicar algunas de las herramientas que proveen las matemáticas discretas en la modelación formal las matemáticas discretas en la modelación formal de situaciones reales relacionadas con el manejo de de situaciones reales relacionadas con el manejo de información información

• Reconocer la importancia que tiene fundamentar las Reconocer la importancia que tiene fundamentar las soluciones a problemas reales a través de teorías y soluciones a problemas reales a través de teorías y modelos formales. modelos formales.

TemarioTemario

I.I. ConjuntosConjuntos

II.II. Relaciones y GrafosRelaciones y Grafos

III.III. Arboles y LenguajesArboles y Lenguajes

IV.IV. Semigrupos, grupos y máquinas de Semigrupos, grupos y máquinas de estado finito.estado finito.

BibliografíaBibliografíaLibro de textoLibro de texto• Grimaldi, R. P, Discrete and Combinational Mathematics: An Applied Grimaldi, R. P, Discrete and Combinational Mathematics: An Applied

Introduction, 5a Edición, Pearson Addison Wesley, 2003. QA39.2 G75 Introduction, 5a Edición, Pearson Addison Wesley, 2003. QA39.2 G75 1999  y QA39.2 G7518 19981999  y QA39.2 G7518 1998

• Rosen, K. H. Matemáticas discretas y sus aplicaciones, 5a Edición, Rosen, K. H. Matemáticas discretas y sus aplicaciones, 5a Edición, McGrawHill, 2004.McGrawHill, 2004.

Libros de consultaLibros de consulta• Johnsonbaugh, R, Matemáticas Discretas, 4a Edición, Prentice Hall, Johnsonbaugh, R, Matemáticas Discretas, 4a Edición, Prentice Hall,

1999. 1999. QA39.2 J5418 1999 QA39.2 J5418 1999 • Grossman, Peter. Discrete mathematics for computingGrossman, Peter. Discrete mathematics for computing. . 2a edición. New 2a edición. New

York : Palgrave Macmillan, 2002.  QA76.5 G78 2002York : Palgrave Macmillan, 2002.  QA76.5 G78 2002• Haggarty, Rod. Discrete mathematics for computing. Harlow, England ; Haggarty, Rod. Discrete mathematics for computing. Harlow, England ;

New York : Addison-Wesley, 2002 . QA76.9.M35 H34 2002New York : Addison-Wesley, 2002 . QA76.9.M35 H34 2002• Anderson, James Andrew. Discrete mathematics with combinatoricsAnderson, James Andrew. Discrete mathematics with combinatorics. .

Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 2001. QA39.2 A53 2001Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 2001. QA39.2 A53 2001• Scheinerman, Edward R. Matemáticas discretas. México : Thomson Scheinerman, Edward R. Matemáticas discretas. México : Thomson

Learning, 2001. QA39.2 S3418 2001Learning, 2001. QA39.2 S3418 2001• Kolman, B., Busby, R. C. y Ross, S. C. Kolman, B., Busby, R. C. y Ross, S. C. Estructuras de matemáticas Estructuras de matemáticas

discretas para la computación. 2ª Edición. México : Prentice-Hall discretas para la computación. 2ª Edición. México : Prentice-Hall Hispanoamericana , 1997.  QA76.9.M35 K6518 1997   Hispanoamericana , 1997.  QA76.9.M35 K6518 1997   

I.I. Análisis combinatorioAnálisis combinatorio

1.1. Principios fundamentales del conteoPrincipios fundamentales del conteo

2.2. PermutacionesPermutaciones

3.3. CombinacionesCombinaciones

4.4. Teorema binomialTeorema binomial

5.5. Sucesiones y sumasSucesiones y sumas

1. Principios fundamentales del conteo1. Principios fundamentales del conteo

Regla de la suma.Regla de la suma.

Si una primer tarea puede realizarse de Si una primer tarea puede realizarse de mm formas, formas, mientras una segunda tarea puede realizarse de mientras una segunda tarea puede realizarse de nn formas, y las dos tareas no pueden realizarse formas, y las dos tareas no pueden realizarse simultaneamente, entonces la realización de simultaneamente, entonces la realización de cualquiera de las tarea se puede llevar a cabo en cualquiera de las tarea se puede llevar a cabo en alguna de las alguna de las m+nm+n formas. formas.

Módulo 1

La Biblioteca de un colegio tiene 40 libros de texto de sociología y 50 deantropología. ¿Con cuántas opciones cuenta un estudiante para realizar unaconsulta sobre alguno de los dos temas en su Biblioteca?

Un profesor de ciencias de la computación posee 7 libros introductorios de C++,7 de Java y 7 de Perl. ¿Cuántas recomendaciones bibliográficas puede hacera un estudiante interesado en aprender un lenguaje de programación?

Un instructor tiene dos colegas. Uno tiene tres libros sobre Análisis de algoritmos,y el otro cinco sobre el mismo tema. ¿Cuál es el número de libros diferentes quepuede pedir prestados a sus colegas?

Módulo 1

Regla del producto.Regla del producto.

Si un procedimiento se puede dividir en dos Si un procedimiento se puede dividir en dos etapas y existen etapas y existen mm posibles resultados para la posibles resultados para la primera etapa, y si para cada uno de estos primera etapa, y si para cada uno de estos resultados existen resultados existen nn posibles resultados para la posibles resultados para la segunda etapa, entonces el procedimiento total segunda etapa, entonces el procedimiento total puede llevarse a cabo en el orden diseñado en puede llevarse a cabo en el orden diseñado en mm××nn formas. formas.

El club de drama de la Universidad Central realiza audiciones para la obra de primavera. Se presentan 6 hombres y 8 mujeres a la audición para los papelesprincipales. ¿Cuántas parejas principales diferentes es posible tener?

Las placas de automovil constan de dos letras y cuatro dígitos. A) ¿Cuántas placas diferentes es posible tener si ninguna letra o dígito se repite ?B) ¿Y si se permite la repetición de letras y dígitos?C) Si se permiten las repeticiones ¿Cuántas placas tienen solo vocales y dígitos par?

En la corporación AWL, la Sra. Foster está a cargo de la cafetería. El menú estálimitado a seis tipos de panqué, ocho tipos de sandwich y cinco bebidas diferentes(agua, refresco, café, té y jugo).La Sra. Dodd, editora de AWL, envía a su asistente a la cafetería a recoger sualmuerzo: un panqué con una bebida caliente, o un sandwich con una bebida fria.¿Cuántas formas tiene la sra. Dodd de armar la primera opción de menú, y cuantas para la segunda opción?

Módulo 1

2. Permutaciones.2. Permutaciones.

Dada una colección de Dada una colección de nn objetos distintos, cualquier arreglo lineal de objetos distintos, cualquier arreglo lineal de estos objetos es llamado estos objetos es llamado permutaciónpermutación de la colección. de la colección.

Para un entero Para un entero n n ≥ ≥ 00, , nn factorial factorial (denotado (denotado n!n!) está definido por ) está definido por 0! = 1, 0! = 1, n! = (n)(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)n! = (n)(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) para para n n ≥ ≥ 11..

Si tenemos Si tenemos nn objetos distintos y objetos distintos y rr es un número entero, con es un número entero, con n n ≥ r ≥ 1≥ r ≥ 1, , entonces, por la regla del producto, el número de permutaciones de entonces, por la regla del producto, el número de permutaciones de tamaño tamaño rr para los para los nn objetos es: objetos es:

P(n,r) = n! / (n-r)!

Donde no se permiten las repeticiones.Donde no se permiten las repeticiones.

En una clase con 10 estudiantes, se han elegido a 5 para tomarles una foto. ¿Cuántos arreglos diferentes es posible realizar?

¿Cuántas permutaciones es posible realizar con la palabra COMPUTER?Y si solo empleamos 5 letras de la palabra ¿Cuántas tenemos?

Módulo 1

Si se permiten las Si se permiten las repeticionesrepeticiones, por la regla del , por la regla del producto tendremos producto tendremos nr posibles arreglos con posibles arreglos con r ≥ 1r ≥ 1..

Nuevamente, de la palabra COMPUTER, si se permite la repetición de letrasy queremos formar palabras con 12 letras ¿Cuántos arreglos podemos tener?

¿Cuántos arreglos de 9 letras se pueden formar con la palabra DATABASESsi las Aes y las eSes no se distinguen?

Si existen Si existen nn objetos con objetos con nn11 objetos indistinguibles de un objetos indistinguibles de un

primer tipo, primer tipo, nn22 objetos indistinguibles de un segundo tipo, objetos indistinguibles de un segundo tipo,

…, …, nnrr objetos indistinguibles de un objetos indistinguibles de un rr-ésimo tipo donde -ésimo tipo donde

nn11 + n + n22 + … + n + … + nrr = n = n entonces existen entonces existen n!/(n1! n2! … nr!)

arreglos lineales de los arreglos lineales de los nn objetos dados. objetos dados.

¿Cuántos arreglos se pueden formar con la palabra MASSASAUGA si las letrasrepetidas no se distinguen? ¿Cuántas de estas palabras tienen las 4 Aes juntas?

Determina el número de caminos en el plano x-y para ir del punto (1, 2) a (7, 4)si solo se permiten movimientos hacia arriba y a la derecha.

Si seis personas se sientan alrededor de una mesa redonda ¿Cuántos arreglos circulares diferentes es posible realizar? Consideremos que un arreglo esel mismo que otro si el primero se obtiene a partir de una rotación del segundo.

Si ahora tenemos tres parejas de casados y queremos arreglar a la gente alrededorde la mesa de modo que queden alternados los géneros. ¿Cuántos arreglos podemos formar? De nuevo consideramos que las rotaciones son iguales.

Módulo 1

3. Combinaciones.3. Combinaciones.

Dada una colección de Dada una colección de nn objetos distintos, cada objetos distintos, cada combinacióncombinación de de rr de estos objetos, de estos objetos, sin importar el ordensin importar el orden, corresponden a , corresponden a r!r! permutaciones de tamaño permutaciones de tamaño r r de los de los nn objetos. De modo que el objetos. De modo que el número de combinaciones de tamaño número de combinaciones de tamaño rr de una colección de de una colección de tamaño tamaño nn es: es:

C(n,r) = P(n,r)/r! = n! / [r!(n-r)!]

Donde Donde 0 ≤ r ≤ n0 ≤ r ≤ n..

Notemos que:Notemos que:

¿De cuántas maneras se pueden dar tres cartas de una baraja de 52 que consta de cuatro grupos (figuras) de 13 cartas diferentes? El orden no hace diferencia.

Un anfitrión realiza una fiesta para los miembros del comité de caridad al quepertenece. Debido a que su casa es muy pequeña solo puede invitar a 11 de los20 miembros del comité. ¿De cuantas maneras puede elegir a los 11 invitados?

Lina y Paty han comprado un billete de “melate”. Para ganar el premio mayor deben acertar a cinco números del 1 al 49, y además a un número del 1 al 42.¿De cuántas formas pueden seleccionar los seis números de su billete?

a) Un estudiante debe presentar su examen de historia donde debe responder asiete de 10 preguntas. ¿De cuántas maneras puede seleccionar sus preguntas?

b) Si el estudiante debe responder a tres preguntas de las cinco primeras y a cuatro de las otras cinco. ¿De cuántas maneras puede hacer su selección?

c) Finalmente, si se le indica que debe responder a siete preguntas, y al menos a tres de las cinco primeras ¿Cuántas composiciones porsibles tiene?

En la preparatoria, el maestro de deportes debe seleccionar a nueve niñas de primer y segundo año para formar el equipo representativo de volleyball. Si hay28 niñas en primer año y 25 en segundo ¿Cuántos equipos diferente puede armar?Ahora, si dos niñas de primero y una de segundo son muy buens jugadoras y debenestar en el equipo. ¿De cuántas maneras puede elegir al resto del equipo?Finalmente, para cierto torneo las reglas dictan que el equipo debe consistir de cuatroniñas de primer año y cinco de segundo ¿Cuántas combinaciones son posibles?

Ahora el maestro de deportes debe formar cuatro equipos con nueve niñas cada unode 36 estudiantes. ¿De cuantas maneras puede seleccionar y armar los equipos?

Módulo 1

Combinaciones con repetición.Combinaciones con repetición.

Recordemos: Cuando se permiten repeticiones, para Recordemos: Cuando se permiten repeticiones, para nn objetos distintos, un arreglo de tamaño objetos distintos, un arreglo de tamaño rr se puede obtener de se puede obtener de nnrr formas si formas si r r ≥ 0≥ 0. .

En el caso de combinaciones, donde el orden no importa, si En el caso de combinaciones, donde el orden no importa, si deseamos seleccionar con repetición deseamos seleccionar con repetición rr de de nn objetos distintos objetos distintos el número es:el número es:

)!1(!

)!1(1),1(

nr

rn

r

rnrrnC

Una tienda de donas ofrece 20 diferentes tipos de éstas. Asumiendo que existenal menos una docena de cada tipo cuando llegamos a la tienda, ¿De cuántas maneras podemos seleccionar una docena de donas para llevar a casa?

De camino a casa del campo de prácticas, siete chicos paran en la cafetería donde cada uno puede elegir entre una hamburguesa, un hotdog, un taco o un emparedado para comer. ¿Cuántas ordenes diferentes se pueden formar?

La presidente Elena tiene cuatro vicepresidentes: Betty, Goldie, Mary y Mona. Elladesea distribuir $10000, en billetes de $1000, como bono navideño entre ellas. Considerando que uno o más vicepresidentes pueden no recibir nada, ¿de cuántasformas puede dar los billetes?Ahora, si cada vicepresidente recibe al menos $1000, ¿de cuántas maneras puededar los bonos?Y si cada vicepresidente recibe al menos $1000, y Mona al menos $5000, ¿decuántas maneras puede distribuir el dinero restante?

Módulo 1

Nota:Nota:

Si el Si el ordenorden es relevante pensamos en términos de es relevante pensamos en términos de permutación, arreglos y regla del productopermutación, arreglos y regla del producto..

Si el orden Si el orden nono es relevante, las es relevante, las combinacionescombinaciones juegan un papel importante en la solución de juegan un papel importante en la solución de problemas.problemas.

Módulo 1

4. Teorema binomial.4. Teorema binomial.

Sean las variables Sean las variables x, yx, y y y nn un entero positivo, un entero positivo, entoncesentonces::

Para cada entero Para cada entero n > 0n > 0,,

En la expansión (x + y)7. ¿Cuál es el coeficiente de x5y2?

En la expansión (2u – 3v)7. ¿Cuál es el coeficiente de u5v2?

Módulo 1

Teorema multinomial.Teorema multinomial.

Para los enteros positivos Para los enteros positivos n,t,n,t, los coeficientes los coeficientes

en la expansión de en la expansión de

cada coeficiente escada coeficiente es

Donde cada Donde cada nnii es un entero con es un entero con 0 ≤ n0 ≤ nii ≤ n ≤ n, para toda , para toda

1 ≤ i ≤ t1 ≤ i ≤ t y y nn11+ n+ n22+ n+ n33+…+ n+…+ ntt= n.= n.

En la expansión (a + 2b – 3c + 2d + 5)16. ¿Cuál es el coeficiente de a2b3c2d5?

En la expansión (x + y + z)7. ¿Cuál es el coeficiente de x2y2z3? ¿de xyz5? ¿y de x3z4?

5. Sucesiones y sumas.5. Sucesiones y sumas.

Una Una sucesiónsucesión es una estructura discreta empleada para representar listas es una estructura discreta empleada para representar listas ordenadas. Se suele emplear la notación ordenadas. Se suele emplear la notación {{aann } } para describir a una sucesión, donde para describir a una sucesión, donde nn es un número entero en {1, 2, 3, …} o es un número entero en {1, 2, 3, …} o

{0, 1, 2, 3, …}.{0, 1, 2, 3, …}.

La sucesión La sucesión {{aann}} donde donde aann = 1/n = 1/n es es {{1, ½, 1/3, …1, ½, 1/3, …}}

Una Una progresión geométricaprogresión geométrica es una sucesión de la forma es una sucesión de la forma a, ar, ara, ar, ar22, …, ar, …, arnn, donde , donde aa y y rr son números reales. son números reales.

La sucesión La sucesión {{bbnn}} donde donde bbnn = (-1) = (-1)nn para para bb11, b, b22, …,, …, eses -1, 1, -1, … -1, 1, -1, …

La sucesión La sucesión {{ccnn}} donde donde ccnn = 2 = 2×5×5nn para para cc11, c, c22, …,, …, eses 10, 50, 250, … 10, 50, 250, …

Módulo 1

Módulo 1

Una Una progresión aritméticaprogresión aritmética es una sucesión de la forma es una sucesión de la forma a, a +d, a, a +d, a + 2d, a + 3d, …, a + nda + 2d, a + 3d, …, a + nd, donde , donde aa y y rr son números reales. son números reales.

La sucesión La sucesión {{ssnn}} donde donde ssnn = -1 + 4n = -1 + 4n para para ss00, s, s11, …,, …, eses -1, 3, 7, … -1, 3, 7, …

La sucesión La sucesión {{ttnn}} donde donde ttnn = 7 – 3n = 7 – 3n para para tt00, t, t11, …,, …, eses 7, 4, 1, -2, … 7, 4, 1, -2, …

Determina las sucesiones siguientes:n2 n3 2n 3n n!

Determina la fórmula de las sucesiones siguientes: a)1, ½, ¼, 1/8, … b) 1, 3, 5, 7, 9, …

Módulo 1

Sumatoria.Sumatoria.

Una manera concisa de escribir la suma de una Una manera concisa de escribir la suma de una sucesión de sucesión de n+1n+1 términos es empleando la notación términos es empleando la notación de sumatoria:de sumatoria:

Donde Donde ii es el índice de la suma y contabiliza a todos es el índice de la suma y contabiliza a todos los enteros a partir del límite inferior los enteros a partir del límite inferior mm hasta el límite hasta el límite superior superior m+nm+n..

Ejemplos de sumatorias: