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Matemticas Discretas(Mini) Cursos Propeduticos 2012Ciencias ComputacionalesINAOE

Dr. Hugo Jair Escalantehugojair@inaoep.mxhttp://ccc.inaoep.mx/~hugojair Oficina 8319

Este material se basa en versiones previas del mismo por: Dr. Enrique Muoz de CoteDr. Enrique SucarDr. Luis VillaseorCoordinacin de Ciencias Computacionales - INAOE1SPTIMA PARTESeriesNotacinSeries y recurrenciasManipulacin de seriesSeries mltiples2SeriesUna serie o secuencia o sucesin es una lista donde se toma en cuenta el orden.Cada elemento en la serie tiene un nmero ndice asociadoPuede ser infinita

Una sumatoria es una notacin compacta para la suma de todos los trminos en una serie posiblemente infinita3SeriesSe denota por s {sn}, y por sn identificamos al n-simo elemento de la serie

Una secuencia o serie {an} se identifica con una funcin generatriz f :S A de algn subconjunto SN y para algn conjunto A.

Si f es una funcin generatriz de una serie {an}, entonces para n S, el smbolo an denota f(n), tambin llamado trmino n de la serie.El ndice de an es n (comnmente se intercambia por i)4SeriesUna serie se denota comnmente por una lista de sus primeros y/o ltimos elementos.Ejemplo{an} = 0, 1, 4, 9, 16, 25, es equivalente a nN, an = n2.

5Ejemplos de secuencias o seriesUn ejemplo de una serie infinita:Considere la serie {an} = a1, a2, donde (n1) an= f(n) = 1/nEquivalentemente: {an} = 1, 1/2, 1/3,

Una serie puede contener instancias repetidas de un elementoConsidere la secuencia {bn} = b0, b1, (notar que 0 es un ndice) donde bn = (1)n.{bn} denota una secuencia infinita de 1s y 1s, no el conjunto con 2 elementos {1, 1}.6Inferencia de secuenciasAlgunas veces slo se proporcionan los primeros trminos de una secuenciaEncontrar cul es la funcin generatriz, Procedimiento para enumerar la secuencia

Cul es el siguiente elemento de la secuencia?1, 2, 3, 4, ...1, 3, 5, 7, 9, 2, 3, 5, 7, 11, 7CadenasSea un conjunto finito de smbolos, i.e. un alfabetoUna cadena sobre el alfabeto es cualquier secuencia {si} de smbolos, si, normalmente indexados por N.

Si a, b, c, son smbolos, la cadena s = a, b, c, puede escribirse como abc

Si s es una cadena finita y t es cualquier otra cadena, entonces la concatenacin de s con t, se denota como st8CadenasLa longitud |s| de una cadena finita s es el nmero de posiciones (i.e., el nmero de valores del ndice i).

Si s es una cadena finita y nN,Entonces sn denota la concatenacin de n copias de s.Ejemploss = abc| s | = 3t = de| t | = 2st = abcdets = deabcs2t3 = abcabcdedede

9Notacin sumatoriasDada una serie {an}, una cota inferior entera (o lmite) j0, y una cota superior entera kj, entonces la sumatoria de {an} de j a k se define y denota por:

i se denomina ndice de la sumatoria

10Sumatorias generalizadasPara una serie infinita, se puede denotar:

Para sumar una funcin sobre todos los miembros de un conjunto X={x1, x2, }:

Si X={x|P(x)}, se puede escribir

11Ejemplo: sumatoria

Sumatoria finita12Ejemplos: sumatoriaUna serie infinita con un resultado finito

Uso de predicados para definir un conjunto de elementos sobre una sumatoria

13Operaciones de sumatoriasAlgunas identidades tiles:

14Operaciones de sumatoriasOtras identidades tiles:

15Sumatorias mltiplesEjemplo:

Note la independencia de los lmites de sumatoria

16EjemploEvalu la sumatoria:

1+2+ +(n/2)+((n/2)+1)+ +(n-1) +n

Hay n/2 pares de elementos que suman n+1 n+1n+1n+1

17EjemploEvalu la sumatoria:

1+2+ +(n/2)+((n/2)+1)+ +(n-1) +n

Hay n/2 pares de elementos que suman n+1 n+1n+1n+1

18Progresin geomtricaUna progresin geomtrica es una serie de la forma a, ar, ar2, ar3, , ark, donde a, r R

Por ejemplo, 5,15,45,135es una progresin geomtrica con razn r=3, ya que:5 3 = 155 32 = 455 33 = 135 y as sucesivamente.

19Progresin geomtricaSea: s= a+ar+ar2+...+arn-1

Al multiplicar por rsr =ar+ar2+ar3+...+arn

Entoncess sr = s(1-r) = a arn

Por lo tanto:

20Progresin geomtricaDe esta manera se obtiene la suma de losntrminos de una progresin geomtrica cuando se conoce el primer y el ltimo trmino de la misma.

21Progresin geometrica: cuando n tiende a infinitoCuando n tiende a infinto, el valor absoluto de r tiene que ser < 1 para que la serie no divergaPara r < 1, la suma queda:

Convergencia para r < 1DemostracinSea: s= 1 + r + r2 +

Al multiplicar por rsr =r+r2+r3+...

Entoncess sr = s(1-r) = 1

Por lo tanto:

Y

Expresiones tiles

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