Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Transformada...

MatematicasAvanzadas

paraIngenierıa:

TransformadaZ

Departamentode

Matematicas

X (z)

Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Transformada Z

Departamento de Matematicas

MA3002


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X (z)

Z {an u(n)}

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Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Transformada zEn lo siguiente, para representar sucesiones utilizaremos lanotacion x(n) en lugar de {xn}; x(i) representara el valor deltermino i-esimo de la sucesion. Para nostros, las sucesionesrepresentaran senales ideales cuyo valor exacto en el tiempot = n es conocido. Una senal o sucesion se dice causal si todoslos valores anteriores al instante 0 son cero; es decir, six(n) = 0 para n < 0. Para una sucesion x(n) definiremos latransformada Z unilateral de x(n) como la serie

Z {x(n)} =∞∑n=0

x(n)z−n = x(0)+x(1) z−1+x(2) z−2+x(3) z−3+· · ·

Para simplificar la notacion, representaremos a las sucesionespor letras minusculas, como x(n), y a su transformada Z larepresentaremos simplemente como la letra mayusculacorrespondiente aplicada a la variable compleja z . Ası

Z {x(n)} = X (z), Z {y(n)} = Y (z), Z {h(n)} = H(z), etc


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Z {an u(n)}

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Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:

δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0, . . .

determine su transformada z .

1

−1 0 1 2 3 4 5

δ(n)

δ(n − 3)

SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1). Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, δ(n −m), es:

δ(n −m)⇐⇒ z−m, |z | > 0


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Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias


δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0, . . .


1

−1 0 1 2 3 4 5

δ(n)

δ(n − 3)

SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1).

Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, δ(n −m), es:

δ(n −m)⇐⇒ z−m, |z | > 0


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Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias


δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0, . . .


1

−1 0 1 2 3 4 5

δ(n)

δ(n − 3)

SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1). Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, δ(n −m), es:

δ(n −m)⇐⇒ z−m, |z | > 0


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Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

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Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 2Determine la transformada Z de una sucesion cuyos unicosvalores diferentes de cero son:

x(0) = 1.1, x(2) = −1.0, x(4) = 0.5

1

−1

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

x(n)

SolucionLos instantes donde no es cero da las potencias negativas queaparecen en X (z) mientras que los valores son los coeficientes:

X (z) = 1.1− 1.0 z−2 + 0.5 z−4 =1.1 z4 − 1.0 z2 + 0.5

z4


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Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 3Determine la transformada Z de una sucesion geometrica de laforma an u(n)

0 < a < 11

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

a > 1

SolucionDirectamente de la definicion:

X (z) =∞∑n=0

an z−n =∞∑n=0

(az

)n=

z

z − a, para |z | > |a|


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Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 3 (resumen)

an u(n)⇐⇒ z

z − a, |z | > |a|

Region de convergencia

Region de divergencia

a, polo

0, cero


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Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

LinealidadLa transformada Z cumple la propiedad de linealidad: Si x(n) yy(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n enellas):

Z {a · x(n) + b · y(n)} = a · Z {x(n)}+ b · Z {y(n)}

Ejemplo 4Tomando la transformada de la sucesion geometrica paraa = eω i tenemos:

Z{enω i u(n)

}= Z

{(eω i)n

u(n)}

=z

z − eω i, |z | > 1

Como sen(ω n) = 12 i e−iω n − 1

2 i e iω n ası:

Z {sen(ω n) u(n)} =12 i z

z − e−iω−

12 i z

z − e+iω=

z sen(ω)

z2 − 2 z cos(ω) + 1


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Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 5Determine la transformada Z de la senal geometrica truncada:

x(n) =

{an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞

En este caso

Z {x(n)} = 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · ·+ ano z−no

= 1 +(az

)+(az

)2+ · · ·+

(az

)no=

1−(az

)no+1

1− az{

an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞ ⇐⇒ zno+1 − ano+1

zno (z − a), |z | > |a|


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Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias


x(n) =


En este caso

Z {x(n)} = 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · ·+ ano z−no

= 1 +(az

)+(az

)2+ · · ·+

(az

)no=

1−(az

)no+1

1− az

{an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞ ⇐⇒ zno+1 − ano+1

zno (z − a), |z | > |a|


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Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias


x(n) =


En este caso

Z {x(n)} = 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · ·+ ano z−no

= 1 +(az

)+(az

)2+ · · ·+

(az

)no=

1−(az

)no+1

1− az{

an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞ ⇐⇒ zno+1 − ano+1

zno (z − a), |z | > |a|


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Z {n x(n)}

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Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 6Determine la transformada Z de la senal:

x(n) =

(0.1)n para 0 ≤ n ≤ 5(0.1)n + (0.2)n para 6 ≤ n ≤ 8(0.2)n para 9 ≤ n <∞

Para resolver el problema, basta observar que six1(n) = 0.2nU(n) y

x2(n) =

{(0.1)n para 0 ≤ n ≤ 80 para 9 ≤ n <∞

x3(n) =

{(0.2)n para 0 ≤ n ≤ 50 para 6 ≤ n <∞

entoncesx(n) = x2(n) + x1(n)− x3(n)

Por linealidad y las formulas para la sucesion geometrica ygeometrica truncada se obtiene el resultado.


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Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Transformada de una senal atrasadaConsidere una senal completa x(n) tal que su senal truncadax(n) u(n) tiene como transformada X (z) y m es un enteropositivo entonces

x(n + m) u(n)⇐⇒ zm X (z)− zmm−1∑n=0

x(n) z−n

Ası

x(n + 1) u(n) ⇐⇒ z X (z)− z x(0)x(n + 2) u(n) ⇐⇒ z2 X (z)− z2 x(0)− z x(1)x(n + 3) u(n) ⇐⇒ z3 X (z)− z3 x(0)− z2 x(1)− z x(2)


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Adelanto

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Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Transformada de una senal adelantadaConsidere una senal completa x(n) tal que su senal truncadax(n) u(n) tiene como transformada Z a X (z) y m es un enteropositivo entonces

x(n −m) u(n)⇐⇒ z−m X (z) + z−mm∑

n=1

x(−n) zn

Ası

x(n − 1) u(n) ⇐⇒ z−1 X (z) + x(−1)x(n − 2) u(n) ⇐⇒ z−2 X (z) + z−1 x(−1) + x(−2)

u(n − 1) ⇐⇒ 1z−1

u(n − 2) ⇐⇒ 1z (z−1)

u(n − 3) ⇐⇒ 1z2 (z−1)

u(n −m) ⇐⇒ zzm (z−1)


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m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

1

x(n)

n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

x(n) u(n)→ X (z)

n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

x(n − 3)

n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

x(n − 3) u(n)→ z−3 X (z) + z−2 x(−1) + z−1 x(−2) + x(−3)

n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


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Z {n x(n)}

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Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Convolucion de dos senalesSean x(n) y h(n) dos senales se define la convolucion de x(n)con h(n) como la senal y(n) tal que

y(n) =+∞∑m=0

h(m) · x(n −m)

Si la senal x(n) es causal, entoces x(n −m) sera cero param > n y hara que la suma quede:

y(n) =n∑

m=0

h(m)·x(n−m) = h(0)·x(n)+h(1)·x(n−1)+·h(n)·x(0)


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Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Convolucion y(n) = x(n) ∗ h(n)

h(0) h(1) h(2) h(3) h(4) h(5) h(6)

x(0)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

y(0) y(1) y(2) y(3) y(4) y(5) y(6)

Malla de multiplicaciones

Diagonales de sumas


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Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 7Sean x(n) y h(n) sucesiones causales cuyos unicos elementosno cero son: x(0) = 2, x(2) = 1, x(3) = −1, h(0) = 2,h(1) = −1 y h(3) = 4. Determine y(n) = x(n) ∗ h(n).

Losunicos elementos no cero aparence en la grafica de productos.

h(0)h(1) h(3)

x(0)

x(2)

x(3)

y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)

Malla de multiplicaciones no cero

Diagonales de sumas

Ası, los unicos elementos no cero de y(n) son:

y(0) = 4, y(1) = −2, y(2) = 2, y(3) = (8) + (−1) + (−2) = 5,y(4) = +1, y(5) = 4, y(6) = −4


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Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 7Sean x(n) y h(n) sucesiones causales cuyos unicos elementosno cero son: x(0) = 2, x(2) = 1, x(3) = −1, h(0) = 2,h(1) = −1 y h(3) = 4. Determine y(n) = x(n) ∗ h(n). Losunicos elementos no cero aparence en la grafica de productos.

h(0)h(1) h(3)

x(0)

x(2)

x(3)

y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)

Malla de multiplicaciones no cero

Diagonales de sumas

Ası, los unicos elementos no cero de y(n) son:

y(0) = 4, y(1) = −2, y(2) = 2, y(3) = (8) + (−1) + (−2) = 5,y(4) = +1, y(5) = 4, y(6) = −4


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Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Transformada Z de una convolucion de dossenalesSean x(n) u(n) y h(n) u(n) dos senales, entonces

Z {x(n) u(n) ∗ h(n) u(n)} = Z {x(n) u(n)} · Z {h(n) u(n)}


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Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 8Considere las sucesiones dos sucesiones geometricasx(n) = an u(n) y h(n) = bn u(n) (con a 6= b) determine suconvolucion.

SolucionSabemos que

Z {x(n)} =z

z − ay Z {h(n)} =

z

z − b

Por tanto

Z {x(n) ∗ h(n)} =z

z − a· z

z − b=

aa−b z

z − a+

bb−a z

z − b

Asıx(n) ∗ h(n) = Z−1 {Z {x(n) ∗ h(n)}}

= aa−b a

n u(n) + bb−a b

n u(n)


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Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 8Considere las sucesiones dos sucesiones geometricasx(n) = an u(n) y h(n) = bn u(n) (con a 6= b) determine suconvolucion.SolucionSabemos que

Z {x(n)} =z

z − ay Z {h(n)} =

z

z − b

Por tanto

Z {x(n) ∗ h(n)} =z

z − a· z

z − b=

aa−b z

z − a+

bb−a z

z − b

Asıx(n) ∗ h(n) = Z−1 {Z {x(n) ∗ h(n)}}

= aa−b a

n u(n) + bb−a b

n u(n)


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Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Multiplicacion por el tiempo (n)

Sea x(n) u(n) una senal entonces

Z {n·x(n) u(n)} = −z d

dz(Z {x(n) u(n)})

Ejemplo 9Ası

Z {δ(n)} = 1 : Z {n · δ(n)} = 0

Z {u(n)} =z

z − 1: Z {n · u(n)} =

z

(z − 1)2

Z {an u(n)} =z

z − a: Z {n · an u(n)} =

a z

(z − a)2

Z {u(n − k)} =z

zk (z − 1): Z {n · u(n − k)} =

k z + 1− k

zk−1(z − 1)2


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Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Multiplicacion por an

Sea x(n) u(n) una senal, entonces

Z {an·x(n) u(n)} = Z {x(n) u(n)}z= za

Ejemplo 10De

Z {u(n)} =z

z − 1

tenemos que

Z {an u(n)} =za

za − 1

=z

z − a


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Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Suma parcial de terminos de la senalSea x(n) u(n) una senal, si se construye la senal y(n) de lassumas parciales de la serie cuyos terminos son los x(n) entonces

Z {y(n) u(n)} = Z

{(n∑

m=0

x(m)

)u(n)

}=

z

z − 1·Z {x(n) u(n)}

Ejemplo 11Si x(n) = (−1)n u(n), y si y(n) =

∑nm=0 x(m), entonces

Z {y(n)} =z

z − 1· z

z + 1=

1

2· z

z − 1+

1

2· z

z + 1

Por tanto

y(n) =1

2u(n) +

1

2(−1)n u(n) =

1

2(1 + (−1)n) u(n)


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Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Valores de la senal a partir de latransformada ZSea x(n) u(n) una senal cuya transformada Z es X (z), entonces

x(0) = limz→∞

X (z) y x(1) = limz→∞

(z (X (z)− x(0)))

Y si la ROC de (z − 1)X (z) contiene al cırculo unitario|z | = 1, entonces

limn→∞

x(n) = limz→1

((z − 1)X (z))


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Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 12Si x(n) u(n) es la senal que tiene como transformada Z a

X (z) =z2 − 2 z + 5

z2 + 3 z − 2

Entonces

x(0) = limz→∞z2−2 z+5z2+3 z−2 = 1

x(1) = limz→∞ z(z2−2 z+5z2+3 z−2 − 1

)= limz→∞ z

(−5 z+7

z2+3 z−2

)= limz→∞

−5 z2+7 zz2+3 z−2

= −5

Como los polos de X (z) (raıces de z2 + 3 z − 2 = 0) sonz1 ≈ 0.562 y z2 ≈ −3.562 vemos que el valor z1 esta en elcırculo |z | = 1. Por tanto, la ROC de (z − 1)X (z) no contieneal cırculo |z | = 1. Por tanto, no podemos aplicar el resultadopara calcular el valor lımite de x(n).


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Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 13Si x(n) u(n) es la senal que tiene como transformada Z a

X (z) =z2 − 2 z + 5

z2 − 2 z + 2

Entonces

x(0) = limz→∞z2−2 z+5z2−2 z+2

= 1

x(1) = limz→∞ z(z2−2 z+5z2−2 z+2

− 1)

= limz→∞3 z

z2−2 z+2

= 0

Como los polos de X (z) (raıces de z2 − 2 z − 2 = 0) sonz1 = 1 + i y z2 = 1− i vemos que ninguna esta en el cırculo|z | = 1. Por tanto, la ROC de (z − 1)X (z) sı contiene alcırculo |z | = 1:

limn→∞

x(n) = limz→1

(z − 1)z2 − 2 z + 5

z2 − 2 z + 2= 0


paraIngenierıa:

TransformadaZ

Departamentode

Matematicas

X (z)

Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Transformada Z de una senal semiperiodicaSea x(n) u(n) una senal que es periodica con periodo N(N > 0); es decir que cumple para toda n ≥ 0 quex(n + N) u(n + N) = x(n) u(n). Si x1(n) u(n) es la senal quees igual a x(n) u(n) sobre su primer perıodo y es cero despues;entonces

Z {x(n) u(n)} = Z {x1(n)} ·(

zN

zN − 1

)

x(0)

N 2N


paraIngenierıa:

TransformadaZ

Departamentode

Matematicas

X (z)

Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Ejemplo 14Si x(n) = (−1)n u(n), entonces x(n) es semiperiodica conperıodo N = 2 y x1(n) es la senal cuyos unicos valores no ceroson x(0) = 1 y x(1) = −1. Por tanto,

Z {x1(n)} = 1− z−1 = (z − 1)/z

Por la propiedad anterior:

Z {x(n)} =(z − 1)

z· z2

(z2 − 1)=

z

z + 1


paraIngenierıa:

TransformadaZ

Departamentode

Matematicas

X (z)

Z {an u(n)}

Linealidad

Atraso

Adelanto

Convolucion

Z {n x(n)}

Z {an x(n)}

Z{∑n

m=0 x(n)}

Valores dex(n)

Semiperiodica

Referencias

Referencias

• Capıtulo 10 de: D. Sundararajan: A practical approachto Signals and Systems. 2008. John Wiley and Sons.www.wiley.com/go/sundararajanEsta puesto en reserva de Biblioteca del CampusMonterrey.

http://www.wiley.com/go/sundararajan

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Transformada...

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