Matematicas Avanzadas - Actividad 2

8/19/2019 Matematicas Avanzadas - Actividad 2

1/31

MATEMÁTICAS AVANZADAS

ACTIVIDADES CLASE No. 2

Luis Miguel Pérez Pertuz

Hernando Jose De Avila Pereira

Nelson Forero Salcedo

February 22, 2016


2/31

Parte A : Ordinary Differential Equations (ODEs)Chapter 1: First-Order ODEs

SET 1.3. Separable ODEs.SET 1.4. Exact ODEs. Integrating FactorsActividades :A. Resolver los siguientes problemas de las sesiones indicadas:1. SET 1.3: Problema 34.2. SET 1.4: Problemas 16, 18.B. Caso real: En una habitación, oficina o cualquier otro lugar con aire acondi-cionado, realice un estudio para conocer la temperatura T (en ◦C) despuésde haber transcurrido un determinado tiempo t (en horas) despúes de haberapagado el aire acondicionado. El aire acondicionado debe mantener una tem-peratura constante en toda la habitación y menor que la temperatura exteriorantes de ser apagado. Procedimiento sugerido:1. Encienda el aire acondicionado instalado en una habitación, oficina o cualquierotro lugar y configúrelo para que mantenga una temperatura constante dentro dela habitación mucho menor que la temperatura en el exterior de la habitación.2. Tome un termómetro y registre la temperatura T0 en grados cent́ıgradosdentro de la habitación y la temperatura TA1 fuera de la habitación. Anotetambién la hora en que realizó tales mediciones.3. Cuando haya transcurrido un tiempo t1 (en horas) despúes de haber sidoapagado el aire acondicionado (este tiempo queda a su voluntad, puede ser 1hora, 2 horas, etc ) registre de nuevo la temperatura T1 dentro de la habitación.4. Cuando haya transcurrido un tiempo t2=2t1 después de haber sido apagadoel aire acondicionado, registre otra vez la temperatura T2 dentro de la habitacióny la temperatura TA2 fuera de la habitación.5. Estime el volumen de la habitación en estudio y el ancho de sus paredes.

6. Averigüe de que material están hechas sus paredes y el techo.7. Informe si la habitación se encontraba herméticamente cerrada o si teniaalguna fuga de aire a través de sus puertas o ventanas. Estime una medida delárea por donde se fugaba el aire.8. No olvide registrar todos sus datos en una tabla.9. Elabore un modelo matemático a través de una ecuación diferencial. Jus-tif́ıquelo.10. Encuentre una solución general. Es decir una función que relacione la tem-peratura T y el tiempo t transcurrido después de apagado el aire acondicionado.11. Encuentre una solución particular que corresponda a la habitación en estu-dio.12. Estime a través de la solución particular la temperatura en el interior de lahabitación en el tiempo t2.

13. Realice una gráfica de la solución particular y marque también en ella elpunto (t2, T2).14. Calcule el error porcentual de la temperatura T2 obtenida con el modelorespecto a la medida directamente con el termómetro.

1


3/31

Desarrollo del ejercicio 34 seccion 1.3

34. Proyecto en equipo: Familia de curvas . Una familia de curvas puede sercaracterizadas como una solución general de y = f (x, y).

a). Demostrar que para los ćırculos con centro en el origen nosotros tenemosy = −x/y.

solución:

Para demostrar esto, debemos hacer uso de la derivada impĺıcita. Tenemosque y = dy/dx, y para esta demostrando se utilizara la ecuación de un circulocon su centro en el origen:

y2 + x2 = r2

Considerando r2 constante por lo cual r2 = C , de esta manera la ecuación es:

y2 + x2 = C

Se procede a realizar la derivación de la ecuación:

2y.y + 2x = 0

Se despeja el termino y :

2y.y = −2x

y = −2x2y

y = −xy

Remplazando y = dy/dx:

dydx

= −xy

Graficamos la familia de curvas con C desde 1 hasta 5:

2


4/31

Figure 1: Familia de curvas, ecuación dydx

= −xy

b). Grafique algunas hipérbolas xy = c. Encuentre una EDO para ellas.solución:

Para la familia de hipérbolas con c = 1 a 5, tenemos que c va a ser siem-

pre constante en cada caso particular, por lo tal aplicamos derivada impĺıcita ala ecuación xy = c

Aplicando derivada implı́cita, derivada de un producto:

xy + y = 0

Desarrollando y despejando y :

xy = −y

y = −y/x

Teniendo que y = dy/dx, remplazamos:

dydx

= −yx

3


5/31


= −yx

Esta EDO cumple para la familia de hipérbolas.

4


6/31

c). Encontrar la EDO para un grupo de lineas que pasan por el origen.

solución:

Tenemos que la ecuación de la recta que pasa por el origen es y = mx, aplicamosderivada impĺıcita para encontrar la EDO:

y = mx

y = (0) ∗ x + (1) ∗ m

y = m

Sabemos que y’ = dy/dx, de esta forma:

dydx

= m

Graficando la familia de lineas:


= m

5


7/31

d). Se puede observar que el producto de los segundos términos de lasEDO´s en (a) y (c) es igual a -1. ¿Se puede reconocer esta condición para que

dos familias de curvas sean ortogonales (es decir, que se cortan en ángulo recto)?¿las gráficas realizadas anteriormente confirman esto?:

solución:

Graficando las soluciones juntas:

Figure 4: Familia de curvas, ecuaciones dydx

= m y dydx

= −xy

Estas ecuaciones están compuestas de una circunferencia y de una recta con unapendiente determinada. Para entender graficamente ¿por qué son ortogonales?debemos analizar el circulo de la siguiente manera:

Figure 5: representación de un cı́rculo con un cuadrado y un octágono

6


8/31

Figure 6: representación geométrica del circulo

Como se puede observar en la figura 6, entre mas lados regulares tenga una

figura geométrica más luce como un ćırculo, por lo tanto, un circulo es unafigura geométrica de infinitos lados. De esta manera para un ćırculo con centroen x,y = 0,0, una recta y=mx+b con b=0, es decir, la recta en todo momentova desde el punto (0,0) (centro del cı́rculo) al tocar uno de los puntos del ćırculo, este será ortogonal en los 2 puntos de corte, tal como se ve en la figura 5.

Cuando se realiza un producto de dos pendientes ortogonales, el resultadoobtenido es igual -1 y en algunos casos 1, esto se debe a la relaci ón entre laspendientes la cuales al ser identicas genera una identidad.

7


9/31

e). Grafica una familia de curvas de tu propia eleccion y encuentra susEDO’s. ¿Puede cada familia de curvas ser dada por una EDO?. solución:

Figure 7: Representación del campo de direccion dado por dy/dx = ex y sussoluciones particulares y = ex + C para C=-2,-1,0,1,2.

Si puede, de hecho esa es la naturaleza principal de la ecuaci ón difer-encial, por ejemplo tomemos la ecuacíon dy/dx = ex y su soluciónparticular y(x) = ex + C al graficar familias de curvas para distintosvalores de C dentro del campo de dirección generado por su ecuacióndiferencial, se detalla que el comportamiento de las soluciones partic-ulares obedece al campo de direcciones de la EDO.

8


10/31


Proyecto en equipos. Solucion por metodos varios.muestra lo siguiente como indicado. compara la cantidad de trabajo

a).

ey (sinh x dx + cosh x dy) = 0

solución:

Hacemos M = ey sinh x dx y N = ey cosh x dy

Derivamos M parcialmente con respecto a y y N parcialmente con respecto a

x:

M = ∂M ∂y

= ey = sinh x

N = ∂N ∂x

= ey = sinh x

Nos damos cuenta que sus derivadas son iguales, por lo cual es una Ecuaciondiferencial exacta, de esta manera se resuelve por variables separables:

ey sinh x dx = ey cosh x dy

sinhxcoshx

dx = eyey

dy

tanh x dx =

dy

y = ln (cosh x)

b).

(1 + 2x) cos y dx + 1/cos y dy = 0

Resolviendo la EDO por variables separables:

-(1 + 2x) dx = secycosy

dy

-(1 + 2x) dx = sec2 y dy

9


11/31

Integramos en ambos lados de la ecuación:

(−1 − 2x) dx = sec2 y dy

Hacemos u = -1 - 2x; du = -2dx; dx = du/2:

- 12

(u) du = tan y

- 12u2

2 + C = tan y

-u2

4 + C = tan y

Sustituyendo u = -1 - 2x:

tan y = - (−1−2x)2

4 + C

tan y = - (2x+1)2

4 + C

y = -tan−1 (2x+1)2

4 + C

Ahora resolveremos la misma EDO por el metodo de ecuaciones exactas:

(1 + 2x) cos y dx + 1/cos y dy = 0

Hacemos M = (1+2x) cos y y N = sec y, derivamos parcialmente M con re-specto a y y N con respecto a x

∂M ∂y

= -(2x + 1) sin y

∂N ∂x

= 0

Como podemos ver las derivadas no son iguales, por lo cual debemos hallar un

factor integrante y reducir la ecuación a variables separables:

10


12/31

∂M ∂y

- ∂N ∂x

= -(2x+1) sen y

1u∂u∂y

=∂M ∂y − ∂N

∂x

−M (x,y)

1u∂u∂y

= −(2x+1)seny−(2x+1)cosy = tan y

1u∂u∂y

= tan y

∂uu

=

tan y dy

elnu = e−lncosy

µ = sec y

Ya teniendo el factor integrante µ = sec y, multiplicamos este en la ecuaciondiferencial para volverla exacta:

cos y + 2x cos y dx + sec y dy = 0

sec y * cos y + 2x cos y * sec y dx + sec2 y dy = 0

sec y * cos y = 1, de esta forma operamos:

(1+2x) dx + sec2 y dy = 0

Se hace M = 1 + 2x y N = sec2 y, para derivar parcialmente y comprobar susderivadas

∂M ∂y

= 0

∂N ∂x

= 0

Vemos que sus derivadas son iguales, ya de esta forma podemos realizar variablesseparables:

sec2 y dy = (-1-2x) dx

sec2 y dy =

(-1-2x) dx

11


13/31

Si nos damos cuenta, llegamos a las mismas integrales las cuales resolvimoscuando la ecuacion se resolvio solo por variavles separables, hacemos el mismo

procedimiento:

Hacemos u = -1 - 2x; du = -2dx; dx = du/2:

- 12

(u) du = tan y

- 12u2

2 + C = tan y

-u2

4 + C = tan y

Sustituyendo u = -1 - 2x:

tan y = - (−1−2x)2

4 + C

tan y = - (2x+1)2

4 + C

y = -tan−1 (2x+1)2

4 + C

c).

Solucion por variables separables:

(x2 + y2)dx - 2 xy dy = 0

(x2 + v2x2)dx - 2x2v(vdx + xdv) = 0

(x2 + v2x2)dx - 2x2vdx − 2x3vdv = 0

(x2 + v2x2 − 2x2v2)dx = 2x3vdv

(x2 − v2x2)dx = 2x3vdvdvdx

= x2−x2v22x3 =

12x -

v2

2x

dvdx

= 1−v2

2x

dv1−v2 =

dx2x

12 ln

v+11−v =

lnx2

tanh−1 v = lnx2

12


14/31

v = 12 tanh (ln x)

y = x tanh ( logx2 )

Solucion por exactas:

(x2 + y2) dx - 2xy dy = 0

∂M ∂y

= 2y

∂N ∂x

= -2y

∂N ∂x

- ∂M ∂y

= -2y - 2y = -4y

1µ∂µ∂x

=∂N ∂x −∂M ∂yN (x,y) =

4y−2xy = − 2x

1µ∂µ∂x

= - 2x

∂µµ

= -2 1x

dx

ln µ = log x

µ = e−2lnx

µ = 1x2

1x2 (x

2

+ y2

)dx - 2xy 1x2 dy = 0

1 + y2

x2dx - 2y

x dy = 0

∂M ∂y

= 2yx2

∂N ∂x

= 2yx2

u = y/x; y = ux; dy = udx + xdu

1 + (ux)2

x2 dx − 2u(udx + xdu) = 0

1 + u2dx−

2u2dx + 2xudu = 0

(1 + u2 − 2u2)dx + 2xudu = 0

(1 − u2)dx + 2xudu = 0

(1 − u2)dx = −2xudu

13


15/31

udu(1−u2) =

dx−2x

− 12 ln(1 − u2) = lnx

e−ln(1−u2)

2 = ex

1√ 1−u2 = x

u = ±√ x2 − 1 + C

y = ±√ x2 − 1 + C

14


16/31


a). Graficar la ecuación diferencial de:

dy − y2 ∗ (sin(x) ∗ dx) = 0solución:

Esta ecuación diferencial no es exacta puesto que se tiene que cumplir la condición:

∂M ∂y − ∂N

∂x = 0

Pero:

N (x, y)dy + M (x, y)dx = 0

N (x, y) = 1; ∂N (x,y)∂x

= 0

M (x, y) = −y2 ∗ sin(x); ∂M ∂y

= −2y ∗ sin(x)

Se demuestra que : ∂M ∂y = ∂N

∂x

El factor integral para la ecuación diferencial anterior se obtiene aplicandola siguiente ecuación:

1u∂u∂y

=∂M ∂y − ∂N

∂x

−M (x,y)

entonces: 1u∂u∂y

= −2y∗sin(x)y2∗sin(x)

El factor integrante:

1

u

∂u

∂y

= −

2/y

Resolviendo dicha ecuación diferencial tenemos que:

1/udu = − 2/ydy

15


17/31

u = 1y2

Aplicando el Factor integrante en ambos lados de la ecuación diferencial que sequiere resolver, se tiene que:

u ∗ (dy − y2 ∗ (sin(x) ∗ dx) = 0)

dyy2 − sin(x)dx = 0

Nota:Se puede llegar al mismo resultado si solo se despeja y2 ∗ sin(x)dx enla ecuación diferencial inicial, de modo que se ahorraŕıa todo los pasos anterioresy se aplicarı́a el método de variables separables inmediatamente

dyy2

= sin(x)dx

Se puede resolver fácilmente por variables separables.

La solución es:

dyy2

=

sin(x)dx

−1y

= 1cos(x)+C

y = 1cos(x)+C

Luego graficando la función primitiva para los valores:

y(0) = 1; y(π/2) = ±1/2; y(π/2) = ±2/3; y(π/2) = ±1

Tenemos el siguiente conjunto de soluciones particulares

16


18/31

Figure 8: Representación de las soluciones particulares

Utilizando los dos métodos se llega a y = 1cos(x)+C

por ende ambos son la solución general de la ecuación diferencial.

17


19/31

Desarrollo del inciso B: Caso real, Experimento

en una habitación.

Solución:

Para el desarrollo de este experimento, se diseño y construyó un robot simplecon un microcontrolador Arduino UNO. Como sensor de temperatura se utilizóun integrado LM 35.

La apareciencia fisica del sensor LM 35 se muestra en la figura 9. y la car-acterización del sensor Lm35 se mientra en la tabla obtenida del datasheet delfabricante del sensor, el cual puede se pude apreciar en la figura 11.

Figure 9: Funciones de los pines del integrado (datasheet)

Por último, debemos tener en cuenta la curva al momento de realizar la pro-gración, esto debido a que con la caracterización del sensor, ajustamos unafórmula matematica que dependa de la medida de voltaje dada por el sensor ala entrada del microcontrolador. Podemos apreciar las graficas carácteristicasen la figura 10

18


20/31

Figure 10: Caracteristicas del sensor LM 35 (datasheet)

Figure 11: Caracteristicas del sensor LM 35 (datasheet)

19


21/31

Se utilizó el siguiente código como programación del microcontrolador:

//tem peraturai n t t em po ut 1 = A0 ;i n t t em po ut 2 = A2 ;i n t t em pi n1 = A4 ;i n t t em pi n2 = A5 ;i n t i = 0;i n t s = 0;

//num ero de datosi n t n =4 0;/ / ti em po en m in ut os d e r e c o l e c c i o n d e m ue st rain t m inu=2;

/ / d a t o sf l o a t d at ot em po 1 [ 5 0 ] ;f l o a t d at ot em po 2 [ 5 0 ] ;f l o a t d at ot em pi 1 [ 5 0 ] ;f l o a t d at ot em pi 2 [ 5 0 ] ;l on g d a to i n [ 5 0 ] ;l o ng d at oo u t [ 5 0 ] ;

/ / r e l o j c r on o me t roi n t h or as = 0 ;i n t m in ut os = 0 ;i n t s eg un d os = 0 ;i n t d ec im as = 0 ;

l on g m i li s e gu n do s = 0 ;i n t m i nu te = 0 ;v o i d s e t u p ( ){S e r i a l . b e g i n ( 9 6 0 0 ) ;}v o i d l o o p ( ){

m i li s e gu n do s = m i l l i s ( ) ;i f ( m i l i s e g u n d o s % 1 00 0 == 0 ){ / / s ol a me n te p as a c uan do s e r e a l i z a una d e

decimas++;i f ( decim as == 10){ / / c ua nd o p a s en 1 0 d e ci m as , c u e n t e un s e gu n d o

segundos++;}i f ( segund os == 60){ / / c ua nd o p a sa n 6 0 s e g un d o s , c u e n t a un m in ut o

s e g u n d o s = 0 ;minutos++;

}

20


22/31

i f ( minutos == 60){ / / cu an do p as an 6 0 m in ut os c u e nt a 1 h o ram i n u t o s = 0 ;

horas++;}/ / m os t r ar e l t i em po c ad a ” minu ” m i nu to si f ( minute==60−minu){

minute=−minu; }i f ( minu te+minu==min uto s ){i f ( s==0){S e r i a l . p r i n t ( ” h o r a s = ” ) ;S e r i a l . p r i n t ( h o r a s ) ;S e r i a l . p r i n t ( ” m in ut os = ” ) ;S e r i a l . p r i n t ( m i n ut o s ) ;S e r i a l . p r i n t ( ” s e gu nd os = ” ) ;S e r i a l . p r i n t ( s e g u n d os ) ;S e r i a l . p r i n t l n ( ) ;S e r i a l . p r i n t (”−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−”);S e r i a l . p r i n t l n ( ) ;minute=minut os ;}

i f ( i


23/31


24/31

A continuación se muestran las fotograf́ıas tomadas de la experiencia real-izada.

Figure 12: Sensor de temperatura interno conectada al microcontrolador Ar-duino UNO

Figure 13: Sensor de temperatura Externa

23


25/31

Figure 14: Montaje del experimento

Figure 15: Log del Puerto Serial del computador

24


26/31

El montaje se realizó en el laboratorio de resistencia de materiales, tal comose puede apreciar en la figura 14. En este laboratorio existe una divisíon de

vidrio y drywall, el cual al contener aire dentro lo vuelve un buen aislante. Laparte que contiene las baldosas blancas se encuentra con una temperatura másalta que la otra habitación, puesto que ademas tiene una entrada de extracciónhacia la atmósfera.

Se apagó el aire acondicionado y se dejo el extractor de aire ambiental en-cendido en la habitación de baldosa blanca. En las baldosas rojas se dejo el aireencendido alcanzando una temperatura de 23◦c aproximadamente.

Se procedió a comenzar la prueba y se dejó el aire encendido por 5 min,después se apagó el aire y el microcontrolador registró los datos de las temper-aturas en los sensores. En total se usó cuatro (4) sensores, dos (2) en el interior(figura 12), dos (2) en el exterior (figura 13). Los pares de sensores se colocarona una distancia de 1 cm de separación. Lo anterior se realizó para tener unaredundancia de datos y realizar comparaciones.

Cuando el programa terminó de tomar la muestra según lo programado.El microcontrolador realizó un log donde se encuentran los datos guardos. Seanalizó los datos arrojados por el log.

En total se realizó dos pruebas, la primera en la noche a las 21:28 zona ho-

raria -05:00, la segunda en la mañana a las 7:49 de la misma zona horaria. Losresultados de la segunda prueba se puede ver en la tabla 1.

El volumen estimado de la habitación donde se realizó el experimento conmedidas de 7 metros x 7 metros x 3.8 metros (largo x Ancho x Altura) es de 186.2metros3. Las paredes están hechas de concreto, el techo es plafón de concretocon revestidura de Poliestireno expandido (icopor) y el suelo de baldosas decerámica. La habitación no se encuentra sellada herméticamente, esta teniafugas en la puerta principal.

25


27/31

Table 1: Tabla de datos experimento 2hora in out in1 in2 out1 out2 prom in prom out07:49 20 25 21.02 22.97 25.9 25.42 21.995 25.6607:51 20 24 20.53 22.97 25.9 25.9 21.75 25.907:53 20 25 20.53 22.48 24.93 21.51 21.505 23.2207:55 21 25 21.02 22.97 25.42 25.9 21.995 25.6607:57 21 25 21.02 23.46 24.93 26.39 22.24 25.6607:59 21 25 21.51 23.46 25.9 24.93 22.485 25.41508:01 21 25 21.99 23.95 26.39 25.42 22.97 25.90508:03 21 25 21.51 23.95 23.95 24.93 22.73 24.4408:05 21 25 21.99 23.95 25.42 25.9 22.97 25.6608:07 22 25 21.99 23.95 27.37 25.9 22.97 26.63508:09 22 25 22.48 24.44 25.9 25.9 23.46 25.9

08:11 22 25 22.48 24.44 24.44 27.37 23.46 25.90508:13 22 25 22.48 24.44 24.93 26.88 23.46 25.90508:15 22 25 22.97 24.44 22.97 24.44 23.705 23.70508:17 22 25 22.97 24.44 26.88 28.35 23.705 27.61508:19 22 25 22.97 24.93 25.42 25.42 23.95 25.4208:21 22 25 22.97 24.93 25.42 25.9 23.95 25.6608:23 22 25 22.97 25.42 23.95 22.97 24.195 23.4608:25 23 25 22.97 24.93 24.93 23.46 23.95 24.19508:27 23 25 23.46 25.42 23.95 23.95 24.44 23.9508:29 23 25 23.46 25.42 22.97 22.48 24.44 22.72508:31 23 25 23.46 25.42 26.39 27.37 24.44 26.8808:33 23 24 23.46 25.42 21.51 25.42 24.44 23.46508:35 23 25 23.46 25.42 27.37 25.42 24.44 26.395

08:37 23 25 23.46 25.9 23.95 26.88 24.68 25.41508:39 23 25 23.46 25.9 24.93 24.93 24.68 24.9308:41 23 25 23.95 25.9 27.37 25.42 24.925 26.39508:43 23 25 23.95 25.9 25.42 26.88 24.925 26.1508:45 23 24 23.95 25.9 22.97 25.42 24.925 24.19508:47 23 24 23.95 26.39 25.42 24.93 25.17 25.17508:49 23 25 23.95 26.39 23.46 23.46 25.17 23.4608:51 23 25 23.95 25.9 23.95 25.42 24.925 24.68508:53 24 26 23.95 25.9 26.88 24.93 24.925 25.90508:55 24 25 23.95 25.9 25.42 25.9 24.925 25.6608:57 24 25 24.44 26.39 26.88 25.9 25.415 26.3908:59 24 25 24.44 26.39 26.88 27.37 25.415 27.12509:01 24 25 24.44 26.39 25.42 25.9 25.415 25.6609:03 24 25 23.95 25.9 23.95 22.48 24.925 23.21509:05 24 25 24.44 26.39 27.37 27.86 25.415 27.61509:07 24 25 24.44 26.39 23.46 26.39 25.415 24.925Promedio = 24.925 25.172 25.44

26


28/31

Figure 16: Datos del sensor 1 dentro de la habitación vs el tiempo con aproxi-mada logaritmica

Figure 17: Datos del sensor 1 dentro de la habitación vs el tiempo con aproxi-mada polinomica

ecuación: Para hallar la ODE partimos de la ecuación de la ley Newtonpara enfriamiento .

dT dt

= K (T − T A)

27


29/31

Figure 18: Datos promedios de los sensores dentro de la habitación vs el tiempocon aproximada polinomica

Figure 19: Datos promedios de los sensores dentro de la habitación vs el tiempocon aproximada polinomica

Debido a que estamos evaluando el caso contrario (calentamiento) realizamos

una modificación en la fórmula colocando un negativo.

dT dt

= K (T A − T )

28


30/31

Despejamos:

dT dt

(TA−T ) = K

Integramos:

1(TA−T )dT =

Kdt

T = Ce(kt) − T AEvaluamos en el tiempo T 0

T 0 = 20

T A = 25

20 = Ce(k(0)) − 2545 = Ce(k(0))

fboxC = 45

Evaluamos la ecuación en el punto medio.

Tm = 22tm = 40

22 = 45 ∗ e(k(40)) − 254745 = e

(k(40))

ln( 4745

) = ln(e(k(40)))

k = ln( 4745 )

40

k = 1.08e−3

La ecuación finalmente queda:

T = 45 ∗ e(1.08e−3(t)) − 25Finalmente procedemos a cálcular el error:

Experimentalmente se halló que al final de para un tiempo en minutos de 80 elvalor de la temperatura promedio es de 24. Usando la fórmula hallada procede-

mos a cálcular el error.

T = 45 ∗ e(1.08e−3(t)) − 25T = 45 ∗ e(1.08e−3(80))− 25

29


31/31

T = 24.06e = 100

− 24∗10024.6

e = 2.5 %

Figure 20: grafica de error

30

Matematicas Avanzadas - Actividad 2

Documents

Transcript of Matematicas Avanzadas - Actividad 2