MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ...

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MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES.- SELECTIVIDAD A1, B1

EJERCICIOS RESUELTOS: Ejercicio 1.- Considérense las siguientes desigualdades en el plano XY cuando 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.

𝑥 + 2𝑦 ≤ 7; 𝑥 + 𝑦 ≥ 3; 2𝑦 − 𝑥 ≥ −4 • Dibuja el recinto restringido por las desigualdades anteriores en el plano XY. • Encuentra el máximo de la función 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 en el recinto del apartado anterior.

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Ejercicio 2.- Un vehículo utiliza como combustible una mezcla de gasolina y queroseno. Se deben cumplir las restricciones: (I) La capacidad del deposito es de 10 litros; (II) la cantidad G (en litros) de gasolina debe ser, como mínimo, !

" de la de queroseno K, donde 𝑘 ≥ 0; (III) un litro de gasolina cuesta

1 € y uno de queroseno 0,5 €, siendo 8 € el limite de gasto total. Responder las siguientes cuestiones: • Dibuja la región del plano en la que las cantidades de litros de gasolina y queroseno son

compatibles con las restricciones. • La función 𝐹(𝐺, 𝐾) = 8𝐺 + 5𝐾 representa la distancia, en kilómetros, recorrida por el vehiculo

en función de los consumos de gasolina y queroseno. Calcular los valores óptimos compatibles con las restricciones y que le permiten recorrer mayor distancia.

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Ejercicio 3.- Para optimizar las ganancias un agricultor debe repartir sus 10 áreas de terreno cultivando una cierta superficie de pimientos P y tomates T. Descontando gastos, el beneficio por área de pimiento es de 200 € y de tomates 250€. Diariamente hay 180 litros de agua para regar todo el terreno; un área de pimiento consume 10 litros mientras que una de tomate consume 20 litros. La siembra de un área de pimiento cuesta 20 € y de una de tomate 10 €, siendo el presupuesto disponible 160€.

• Dibuja el recinto de posibles repartos de la superficie respetando las restricciones del problema.

• Escribe la función que calcula el beneficio y encuentra el valor en el que se alcanza el máximo. Calcula dicho máximo.

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Ejercicio 4.- Sean las cuatro inecuaciones lineales: 4𝑦 − 𝑥 ≥ 4; 2𝑦 − 𝑥 ≤ 6; 𝑦 − 𝑥 ≤ 1; 2𝑦 + 𝑥 ≤ 8

Dibuja el recinto limitado por las inecuaciones. ¿Qué inecuación no sirve? ¿Cuál es el máximo de la función 𝐹(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 2𝑦 en el recinto definido en el apartado anterior?

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Ejercicio 5.- A la compañía de transportes que lleva a la escuela municipal los 160 jóvenes de su alumnado, un servicio de un autobús de 40 plazas le supone un gasto de 120€ y uno de un microbús de 20 plazas sólo 80€. Se debe decidir el número de autobuses X y microbuses Y que transporten a todo el alumnado, minimizando el gasto y cumpliendo ciertas limitaciones: la compañía solo cuenta con 5 conductores de autobús (aptos para conducir microbuses) y otros 7 conductores de microbús (no aptos para conducir autobuses). Además las autoridades de tráfico obligan a que circulen al menos el doble de microbuses que de autobuses. Se pide: a) Representar en el plano XY la región de soluciones factibles del problema. b) Encontrar el número óptimo de autobuses X y microbuses Y que minimizan el gasto de la empresa y cumplen con las restricciones. Calcular dicho gasto.

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Ejercicio 6.- Un ayuntamiento concede licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B. Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de €, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A 100000 € y la de tipo B 300000€. Si el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20000€ y por una de tipo B a 40000€ ¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener un beneficio máximo?

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Ejercicio 7.- Una empresa fabrica lunas para coches. Cada luna delantera requiere de 2,5 𝑚! de cristal, mientras que cada luna trasera requiere 2 𝑚!. La producción de una luna delantera precisa 0,3 horas de maquina de corte y cada kuna trasera 0,2 horas. La empresa dispone de 1750 𝑚! de cristal por semana y 260 horas semanales de maquina de corte. Para adaptarse a la demanda habitual, la empresa fabrica siempre, como mínimo, el doble de lunas delanteras que de lunas traseras. Determine cuantas lunas de cada tipo debe fabricar semanalmente la empresa para que el numero total de lunas sea máximo.

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Ejercicio 8.- Consideramos la función lineal 𝐹(𝑥, 𝑦) = 15𝑥 + 6𝑦 definida en el plano XY y las siguientes restricciones:

6 ≤ 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 29,0 ≤ 𝑦 ≤ −1 + 2𝑥,5𝑥 + 2𝑦 ≤ 45 a) Dibujar en el plano XY la región de soluciones factibles que cumplen las restricciones. b) Halla los máximos y mínimos de la función 𝐹(𝑥, 𝑦)en la región descrita en el apartado anterior.

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Ejercicio 9.- (JUNIO 2019) Una pastelera fabrica dos tipos de tartas. La tarta de tipo A se elabora con 1 kg. de masa y 1,5 kg. de chocolate, y se vende a 24 euros. La de tipo B se vende a 30 euros y se elabora con 1,5 kg. de masa y 1 kg. de chocolate, tal como aparece en la siguiente tabla: Si la pastelera solo dispone de 300 kg. de cada ingrediente, ¿cuántas tartas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo ingreso? Calcula el valor de dicho ingreso.

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GALICIA 2015 Sea R la región del plano determinada por el sistema de inecuaciones 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12,

−2 ≤ 2𝑥 − 𝑦 ≤ 4, 𝑦 ≥ 0 a) Representa la región R y calcula sus vértices. Justifica si el punto 𝑃 =− #

!, #!> pertenece o no a la

región R. b) Calcula el punto o puntos de R donde la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥 + 5𝑦 alcanza sus valores

máximo y mínimo.

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ANDALUCIA (2015) Con motivo de su inaguracion, una heladeria quiere repartir dos tipos de tarrinas de helados. El primer tipo de tarrina esta compuesto por 100 gramos de helado de chocolate, 200 garmos de helado de stracciatella y 1 barquillo. El segundo tipo llevaria 150 gramos de helado de chocolate, 150 gramos de stracciatella y 2 barquillos. Se dispone de 8 kg de helado de chocolate, 10 kg de helado de stracciatella y 100 barquillos. ¿Cuántas tarrinas de cada tipo se deben preparar para repartir el maximo numero posible de tarrinas?

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ARAGON 2015 Una empresa agroalimentaria produce dos tipos de bebidas: A y B. Cada litro de bebida A lleva 0,2 litros de zumo de naranja y 0,4 litros de zumo de mandaria, ademas de otros componentes. Cada litro de bebida B lleva 0,6 litros de zumo de naranja y 0,2 litros de zumo de mandarina, ademas de otros componentes. La empresa puede utilizar como maximo 1200 litros de zumo de naranja y 1500 litros de zumo de mandarina. Se quiere que la cantidad producida de tipo A sea mayor o igual que la de tipo B. Sabiendo que el beneficio por litro de bebida de tipo A es de 0,8 euros y por litro de bebida de tipo B es de 1 euro, determinar la cantidad de bebida de cada tipo que tiene que producir para que el beneficio sea maximo. ¿cuál sera el máximo beneficio?

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ASTURIAS 2015 Unos grandes almacenes lanzan una campaña publicitaria con una oferta especial en dos de sus productos, ofreciendo el producto A a un precio de 100 euros y el producto B a 200 euros. La oferta esta limitada por las existencias, que son 20 unidades del producto A y 10 unidades del producto B, queriendo vender al menos tantas unidades del producto A como del B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella para estos dos productos deben ser, al menos, de 600 euros.

a) ¿Cuántas unidades de cada producto se podrian vender?plantea el problema y representa graficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrian vender 15 unidades de cada producto?.

b) ¿Cuántas unidades de cada producto deben vender para maximizar sus ingresos?

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CANTABRIA 2015 Una empresa discografica quiere sacar al mercado los discos de dos nuevos grupos. Estima que por cada disco producido del primer grupo obtendra unos beneficios de 2 euros, mientras que cada disco del segundo grupo le reportara unos beneficios de 3,5 euros. El proceso de produccion de los discos requiere de su paso por un departamento de edicion y otro de estmapacion. Cada disco del primer grupo necesita 2 horas de edicion y 1 hora de estampacion; mientras que cada disco del segundo grupo necesita 3 horas de edicion y 3 horas de estampacion. La empresa, con los recursos disponibles, puede utilizar un maximo de 6000 horas de edicion y 4500 horas de estampacion. Con todos estos datos, determina las unidades a producir de cada disco para maximizar los beneficios de la empresa. ¿A cuanto ascienden dichos beneficios?

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CASTILLA-LA MANCHA 2015 Una empresa tiene 1100 latas de perdiz en escabeche y 1000 latas de lomo de orza. Desea elaborar dos tipos de lotes regalo con dichas latas: lotes de tipo A formados por una lata de perdiz en escabeche y dos de lomo de orza, que vendera a 70 euros; lotes de tipo B formados por dos latas de perdiz en escabeche y una lata de orza, que vendera a 60 euros.

a) Expresa la funcion objetivo. b) Describe mediante inecuaciones las restriccion del problema y representa gráficamente el

recinto definido. c) Halla el numero de lotes de cada tipo que debe preparar para obtener la mayor cantidad de

dinero.

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CASTILLA Y LEÓN 2015 Un comercio dispone de 60 unidades de un producto A por el que obtiene un beneficio por cada unidad que vende de 250 €. Tambien dispone de 70 unidades de otro producto B por el que obtiene un beneficio por unidad vendida de 300€. El comercio puede vender como maximo 100 unidades de sus productos. Utilizando tecnicas de programacion lineal, determina las unidades de los productos A y B que el comercio debe vender para que su beneficio sea maximo y calcula dicho beneficio.

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