Bloq

ue V Aprendizajes esperados

5Usa el divisor común o el múltiplo común para resolver problemas.

5Utiliza las propiedades de la proporcionalidad para resolver problemas con diferentes unidades de medida.

5Selecciona el modo adecuado de presentar información mediante diagramas y tablas.

5Compara las probabilidades: teórica y frecuencial de un evento simple.

mate 6 mar 31 7v.indd 140 05/04/10 18:58

1 Enequipos,resuelvanelproblemasiguiente.

La señora Clara visitó al médico por una infección en la garganta; el tratamiento que le recetaron consta de varios medicamentos, según se explica en la tabla.

Si la primera toma de los tres medicamentos la hace al mismo tiempo, completen la tabla marcando con una 8 las horas en que toma cada uno de ellos.

5Después de la primera toma, ¿cuántas horas deben transcurrir para que coincida la toma simultánea de al menos dos medicamentos? ______________________________________

5Al cumplir tres días el tratamiento, ¿cuántas veces ha coincidido la toma simultánea de los tres medicamentos? ___________________________________________________________

5Si el viernes a las 6:00 de la mañana la señora Clara comenzó a ingerir los tres medicamentos, ¿qué medicamentos deberá tomar a las 12:00 horas del domingo? _____

Medicamento DosisA Tomar una tableta cada 6 horas.B Tomar una tableta cada 8 horas.C Tomar una cápsula cada 12 horas.

MedicamentoHoras que han pasado (después de la primera toma)6 8 12 16 18 24 30 32 36 40 42 48 54 56 60 64 72A X

B XC X

Divisores y múltiplos

Resuelve problemas utilizando divisores o múltiplos comunes de varios números.

39

141

mate 6 mar 31 7v.indd 141 05/04/10 18:58

2 Resuelvecadaunodelosproblemas.

5Para hacer una reparación al drenaje profundo de la ciudad 2 equipos de trabajadores hicieron, cada uno, un hoyo con una profundidad menor a 120 m. Si el primer equipo excava 14 m diarios, el segundo excava 16 m diarios, y ambos terminan a la misma profundidad, ¿cuál es la profundidad de los hoyos? ____________ ¿cuántos días le toma a cada equipo realizar el hoyo? ______________________________

5Adrián quiere una bicicleta para su cumpleaños, su papá le dice que si adivina la edad de su abuelo se la regalará. Adrián le pide una pista y su papá le comenta que la edad de su abuelo se puede dividir exactamente entre 15 y también entre 18. ¿Qué edad tiene su abuelo? _____________

5Daniela tiene 60 paletas, 75 caramelos y 45 chicles y quiere llenar el mayor número de bolsas posible, ¿cuántos dulces debe poner en cada bolsa si quiere que tengan la misma cantidad de cada tipo de dulce?______ ¿Cuántas bolsas podrá hacer? ____________

142

mate 6 mar 31 7v.indd 142 05/04/10 18:58

3 Conbaseenlosproblemasdelapreguntaanteriorcontestalaspreguntassiguientes.

5¿Cuántos fueron los divisores comunes que encontraste para los primeros dos problemas y qué procedimiento seguiste para hallarlos?

5¿Cómo obtuviste el mayor divisor del grupo de números del tercer problema?

5Con apoyo del profesor revisen sus respuestas y escriban sus conclusiones.

143

mate 6 mar 31 7v.indd 143 05/04/10 18:58

4 Completalatablallenándolaconlosdivisoresdelosnúmerosenlaprimeracolumnaenordenascendente,demenoramayor.

Al mayor divisor común, le llamamos Máximo Común Divisor (MCD). Si se desea obtener el MCD de varios números, primero se encuentran los divisores de cada uno de ellos, se observa cuáles son comunes y el MCD es el mayor de éstos. Por ejemplo: se desea saber cuál es el MCD de los números 8, 12 y 20. Los divisores son:

8: 1, 2, 4, 8

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Se observa que los divisores comunes son: 1, 2 y 4, por lo tanto el MCD de 8, 12 y 20 es 4.

5¿Cuáles son los divisores comunes de 8 y 12? _______________________________________

5¿Cuál de estos divisores es el mayor? _____________________________________________

5¿Cuál es el máximo común divisor que tienen 18 y 24? _______________________________

5¿Qué números tienen como divisor a 2? __________________________________________

5Escribe el mayor divisor común de 15 y 25. _________________________________________

5Escribe el mayor divisor común de 12, 18 y 24. ______________________________________

NúmerosDivisores

8 1 8

12 3 6

1518 1 9

20 1 5

24 1 2 8

2528

144

mate 6 mar 31 7v.indd 144 05/04/10 18:58

5 Enparejas,resuelvanensuscuadernoslosproblemassiguientes.

5Lupita compró 48 rosas, 32 claveles y 80 margaritas. Quiere hacer ramos iguales utilizando todas las flores. ¿De cuántas maneras puede Lupita lograr esto? ____________ ¿Cuál es el máximo número de ramos que Lupita puede hacer? _____________________________

5Se quiere dividir una cartulina de 50 x 90 cm en cuadrados trazando el menor número posible de rectas. ¿Cuál es el área de los cuadrados? __________________ ¿Cuántas rectas tienen que trazar?__________ ¿Cuántos cruces de rectas hay? _____________________________

145

mate 6 mar 31 7v.indd 145 05/04/10 18:58

5Un bloque de hielo tiene 36 x 54 x 63 cm, si se quiere dividir en cubos del mayor tamaño posible, ¿cuánto deben medir por lado los cubos de hielo? ______________

5Montserrat vive en Villahermosa; cuando espera su camión, en el centro, observa que los camiones que van a la Universidad pasan cada 8 minutos y los que van a su casa cada 15 minutos. A las 3:00 de la tarde pasó un camión de cada ruta, ¿a qué hora volverá a suceder esto? __________________________________________

5En la colonia San José, el camión del gas pasa cada 10 días; el cartero, cada 5 días, y el camión que recoge la basura, cada 4 días. Si el lunes 5 de septiembre pasaron los tres, ¿cuál será el próximo día en que los tres coincidan? _______________________________________

Respondan en grupo la pregunta y escriban una conclusión.

¿Cómo encontraron las respuestas?

146

mate 6 mar 31 7v.indd 146 05/04/10 18:58

Reto

6 Completalatabla.

5¿Cuáles son los múltiplos comunes de 8 y 12? ______________________________________

5¿Cuáles son los múltiplos comunes de 5, 8 y 10? ____________________________________

5Escribe en el renglón todos los múltiplos comunes que puedas de 6 y 4. _______________

5¿Se pueden escribir más múltiplos comunes de 6 y 4? _______________________________

5¿Cuáles son los primeros múltiplos comunes de 10 y 12? _____________________________

5¿Cuál es el menor múltiplo común de 10 y 12? ______________________________________

5¿Cuál es menor múltiplo común de 15 y 20? _______________________________________

Los grupos de sexto grado de la escuela Benito Juárez decidieron recolectar alimentos básicos para hacer despensas y regalarlas. Se reunieron 78 L de leche, 54 kg de frijoles y 36 bolsas de pasta.

¿Cuál es el mayor número de paquetes que se pueden hacer con la menor cantidad de cada alimento?______________________________________

¿Cuál es el menor número de paquetes, diferente a uno, que se pueden hacer con la mayor cantidad de cada alimento? ________________________________________

El menor múltiplo común de varios números se llama mínimo común múltiplo (mcm).

NúmeroMúltiplos2 2

5 107

288 24 40105012

72

147

mate 6 mar 31 7v.indd 147 05/04/10 18:58

1 Enparejas,completenlatabla.

El equipo de caminata de la escuela da vueltas en un circuito de 2 kilómetros. El maestro registra en kilómetros el recorrido de cada uno de los integrantes.

2 Enequipos,resuelvanlossiguientesproblemas:

a) Don Luis tiene un terreno que mide 12 km de ancho y 1 12 km de largo, donde sembrará hortalizas. Para saber cuánto comprar de semillas y fertilizantes debe conocer el área de su terreno, ¿cuál es el área del terreno? _______________________________________________

b) Guadalupe fue a la mercería a comprar 5.5 m de encaje blanco que necesitaba para la clase de costura; si cada metro costaba $5.60, ¿cuánto pagó por todo el encaje? ______________________________________________

También pidió 4.75 metros de cinta azul que le encargó su mamá; si el metro costaba $8.80 y su mamá le dio $40.00, ¿pudo comprar toda la cinta? ______________________________ , ¿por qué? _____________________________________________________________________

Nombre Rosa Juan Pedro Víctor Silvio Érick Irma Adriana Luis María

Vueltas 1 212

34

45

237 0.75 1.25 1.3 2.6

Km

Resuelve problemas multiplicativos con valores fraccionarios o decimales mediante diversos procedimientos.

40

El producto es más pequeño

148148

mate 6 mar 31 7v.indd 148 05/04/10 18:59

3 Completalastablasyverificatusrespuestasconotrocompañero.

Las siguientes tablas muestran el costo de un kilogramo de jamón y uno de queso.

4 Resuelvanlosproblemassiguientes.

El papá de Raúl es albañil y necesita saber cuál es la longitud en centímetros de una varilla de 12 pulgadas (recuerda que una pulgada es igual a 2.54 cm)

________________________________________________

La mamá de Celia trabaja en una cafetería; para hacer un guisado necesita comprar 1 34 kg de jamón. Si el 12 kg cuesta $45, ¿cuánto tendrá que pagar? _____________

Rosa compró 0.75 kg de frijol negro que cuesta $35 el kg. ¿Cuánto pagó? ___________________

_______________________________

Nombre Rosa Juan Pedro Víctor Silvio Érick Irma Adriana Luis María

Vueltas 1 20.75 1.25 1.3 2.6

Km

Kilogramos de jamón1 0.75 0.5 0.25 0.2 0.1$85

Kilogramos de queso1 0.1 0.2 0.25 0.5 0.75 2 3 3.2 4.8$80

149

mate 6 mar 31 7v.indd 149 05/04/10 18:59

5 Leeelsiguientetextoextraídodellibro¿Y el medio ambiente? Problemas en México y el mundo,publicadoporlaSecretaríadeMedioAmbienteyRecursosNaturales.Conbaseenlatabla,resuelvelaspreguntasqueseplantean.

“El agua virtual se refiere a la cantidad total de agua que se requiere para la obtención de un producto, incluyendo la utilizada durante el cultivo de la planta, el crecimiento de los animales, su procesamiento y la fabricación de productos industriales”.

Fuente: Semarnat, ¿Y el medio ambiente? Problemas en México y el mundo, México, 2007, página 113.

En otras palabras, por ejemplo para producir 1 vaso de jugo de naranja se requieren en total 170 L de agua, para la siembra, etc., que llamaremos el agua virtual.

¿Cuánta agua virtual se necesita para obtener 12 vasos de jugo de naranja? ______________________

Para producir 2 000 g de papaya, ¿cuánta agua virtual se requirió? ______________________________

Se utilizaron 1 040 L de agua virtual para obtener huevos, ¿cuántos kilogramos de huevo se produjeron? ______________________________

Contesta cuántos litros de agua virtual se utilizaron para producir los siguientes kilogramos de tortillas:

12 ___________________________________________________________________

34 ___________________________________________________________________

1.5 ___________________________________________________________________

2.25 __________________________________________________________________

5.3 __________________________________________________________________

¿Cuánta agua virtual se utilizó para hacer posible tu desayuno?

Litros de agua virtual

1 vaso de jugo de naranja (200 ml) 170

1 plato de papaya (200 g) 62

2 huevos revueltos (80 g) 270

Jamón (30 g) 260

3 tortillas de maíz (75 g) 150

1 vaso de leche (200 m) 200

1 vaso de leche con chocolate (15 g) 256

Total 1 368

CantidadesFracción

60 g

300 m

450 in

$3 000

5 400 oz

150

mate 6 mar 31 7v.indd 150 05/04/10 18:59

Reto

6 Enparejas,respondanlaspreguntas.

5Elizabeth dice que 10 km caben 8 veces en 80 km. Por lo tanto, 10 km son 18 de 80 km.

¿Qué fracción de 80 km son 20 km? __________________

¿Qué fracción de 80 km son 40 km? __________________

¿Qué fracción de 80 km son 16 km? __________________

5Lourdes asegura que 15 kg es 18 de 120 kg. ¿Es correcto lo que afirma? ______________________________________

¿Cuántas veces caben 15 kg en 120 kg? ________________

¿Qué fracción de 120 kg es 30 kg? _____________________

¿Qué fracción de 120 kg es 40 kg? _____________________

¿Qué fracción de 120 kg es 90 g? _____________________

¿Cuántos kilogramos son 715 de 120 kg? _______________

Completa la tabla y contesta las preguntas.

¿Cuánto es la mitad de 18 ? __________

¿Cuánto es 23 de $3 000? ____________

¿Cuánto es 34 de 60 g? _______________

¿Cuánto serán 58 de 300 m? _________

¿Cuánto es 58 de 5 400 oz? ___________

¿Cuánto será 712 de 450 in? ___________

CantidadesFracción

12

13

14

15

18

60 g

300 m

450 in

$3 000

5 400 oz

151

mate 6 mar 31 7v.indd 151 05/04/10 18:59

AB

C

D

1 Enparejas,contestenloquesepide.

5De los cuatro prismas, ¿cuáles tienen el mismo volumen? __________

5¿Cuántos cubos más se necesitan para que el prisma C tenga el mismo volumen que el prisma B? ______________________________________

5Comparando los prismas de mayor y menor volumen, ¿cuál es la diferencia en el número de cubos? ______________________________

Calcula el volumen de prismas mediante el conteo de los cubos en que están divididos.

41

¿Cuántos cubos forman el prisma?

152

mate 6 mar 31 7v.indd 152 05/04/10 18:59

RetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoRetoReto

Volumen: ___________

Volumen: ___________

Volumen: ___________A

B

C

2 En equipos, obtengan el volumen de los siguientes prismas; consideren cada cubo pequeño como unidad de medida. Posteriormente, contesten lo que se pide.

RetoRetoRetoRetoRetoCompleta la tabla siguiente.

¿Cuál será la manera más rápida de obtener el volumen de un prisma rectangular? _________________________________________ ___________________________________________________________

RetoRetoRetoRetoRetoCompleta la tabla siguiente.RetoCompleta la tabla siguiente.RetoRetoCompleta la tabla siguiente.RetoRetoCompleta la tabla siguiente.RetoRetoCompleta la tabla siguiente.RetoAncho Largo Altura Volumen

46

947

10710

35088

192

153

mate 6 mar 31 7v.indd 153 05/04/10 19:10

25 cm 25 cm

25 cm

30 cm20 cm

26 cmA

B3 Resuelve el problema siguiente.

Juan quiere colocar una pecera en la sala de su casa. El vendedor le propone los siguientes modelos:

5 ¿Cuál de las dos peceras se llena con la menor cantidad de agua? ______

5 ¿Por qué? ___________________________________________________

El volumen de un cuerpo está relacionado con el espacio que ocupa. El volumen se calcula en unidades cúbicas, se llaman así porque en el cálculo intervienen tres dimensiones (largo, ancho y altura); así, se pueden tener metros cúbicos (m3), decímetros cúbicos (dm3), centímetros cúbicos (cm3) o milímetros cúbicos (mm3), entre otros.

4 En parejas, resuelvan el problema siguiente:

A una juguetería llegaron 70 cajas con juguetes de forma cúbica para bebés. Las cajas miden 124 cm x 64 cm x 94 cm y cada juguete tiene 30 cm de arista.

¿Cuántos juguetes llegaron a la juguetería? ______________________

El espacio donde almacenaron las cajas mide 2.5 m x 2 m. ¿cuántas cajas faltarían para que todas las cajas apiladas formen un prisma rectangular?_________________

154

mate 6 mar 31 7v.indd 154 05/04/10 19:10

AnchoLargo

Alto

1 En equipos, indaguen qué cantidad de agua le cabe a un decímetro cúbico (consigan un envase hueco de plástico, madera, acrílico u otro material donde puedan vaciar agua).

5 1 dm3 tiene una capacidad de:________________ L

A partir del resultado obtenido, completen las siguientes equivalencias.

5 1 cm3 de agua equivale a:_______________ m

5 1 m3 de agua equivale a:_________________ L

2 En parejas realicen lo que se indica.

5 Lleven al salón de clases empaques de cartón vacíos de 1 y 2 litros (pueden ser de leche, jugo, etcétera). Pidan a sus papás que con tijeras retiren la cara superior del empaque. También necesitan un recipiente graduado en litros (por ejemplo, un vaso de plástico de licuadora).

5 Llenen con agua el recipiente graduado hasta la marca de un litro; vacíen el contenido del recipiente en el envase de un litro y marquen la altura hasta donde llegó el agua en el envase. Hagan la misma operación con el envase de dos litros. Cuando terminen el ejercicio, uno de ustedes vacíe el agua en alguna planta o cubeta para que no se desperdicie.

5 Midan el largo y el ancho de los empaques de cartón de 1 y 2 litros, y regístrenlas en la tabla siguiente. Cerciórense de que las medidas que obtuvieron de los empaque hayan sido tomadas como lo muestra la ilustración.

Deduce equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos.

42

DecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetroDecímetrocúbicocúbicocúbico

Decímetrocúbico

DecímetroDecímetroDecímetrocúbico

Decímetrocúbico

Decímetrocúbico

DecímetroDecímetroDecímetrocúbico

Decímetro

155

mate 6 mar 31 7v.indd 155 05/04/10 19:11

Reto

5Contesten las preguntas siguientes:

¿Cuál es el volumen en centímetros cúbicos de un empaque de 2 litros? _______________, ¿de 3 litros? ____________ y ¿de 4? ________________________________________________

¿Cuántos centímetros cúbicos tiene un litro? _________________________ y ¿un decímetro cúbico? _______________________________________________________________________

¿Cuántos mililitros (ml) tiene un litro?_________ ¿Por qué 1 cm3 es equivalente a un mililitro? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

2 Completalatabladeequivalencias.

Llena con agua hasta la marca del empaque de cartón de 1 litro que se utilizó en la actividad y calcula su peso; haz lo mismo con diferentes materiales como arena, jugo, refresco o atole.

Elabora en tu cuaderno una tabla y registra el peso de los diferentes materiales empleados. ¿Existe alguna diferencia entre el peso del agua y los otros materiales? ______________ ¿tiene el mismo peso 1 dm3 de agua que la misma cantidad de cualquier otro líquido?______________________________________

Un litro de agua, alcohol, arena y agua de mar, por ejemplo, tienen pesos distintos, pues la relación que existe entre la masa del cuerpo con su volumen es diferente. A esta relación se le llama densidad.

EmpaqueDimensiones en centímetros Dimensiones en decímetros

Largo Ancho Altura Volumen Largo Ancho Altura Volumen

1 L

2 L

L ml dm3 cm3

1 L

3 L

4 950 ml

897 cm3

1.75 L

1.3 dm3

156

mate 6 mar 31 7v.indd 156 05/04/10 19:00

1 Enequipos,realicenlasactividadessiguientes.

5Hagan las mediciones correspondientes para saber las dimensiones de las superficies que ocupan:

Equipo 1: una cancha de basquetbol o voleibol.

Equipo 2: el patio principal o de formación.

Equipo 3: un salón de clases.

Equipo 4: la dirección de la escuela.

Equipo 5: un jardín de la escuela.

Equipo 6: la cooperativa escolar.

5Cada equipo dibuje en una cartulina un croquis de la superficie que le tocó, considerando que 2 cm representan 1 m.

5 Intercambien la información entre equipos y completen la siguiente tabla:

5¿Cómo podemos saber que las medidas de los dibujos son proporcionales a las medidas originales? ____________________

5¿Qué relación hay en las constantes de proporcionalidad que se utilizaron en los dibujos? __________________________________________

Espacio escolar

Largo real (cm)

Largo dibujo

(cm)Ancho

real (cm)Ancho dibujo

(cm)Constante de proporcionalidad1

23456

Resuelve problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares y unidades de medida diferentes.

43

Másproporciones

157

mate 6 mar 31 7v.indd 157 05/04/10 19:00

Reto2 Localizalospuntos:A(1,1),B(3,1),C(3,4),D(6,1),E(8,1),F(4,5),G(7,10),H(5,10),I(3,6),J(3,10)yK(1,10)enelplanocartesiano.UneAconB,BconC,yasísucesivamentehastacerrarlafigura.

5¿Cuántos lados tiene la figura que se formó? ________________

5¿Cuántas unidades mide el segmento IJ? __________________

5Mide el perímetro de la figura que se formó _____________

5En tu cuaderno, reproduce la figura de la actividad anterior, de modo que el segmento IJ mida 15 cm y completa la tabla.

5Por cada cm que mide un lado de la figura 1, ¿cuántos centímetros mide su lado correspondiente en la figura 2? ___________________________

5¿Cuál fue la constante de proporcionalidad empleada para que IJ midiera 15 cm en la figura 2? ___________

Las escalas se emplean para representar en un mapa o plano un objeto en las dimensiones convenientes para que sea fácil visualizarlo.

Lado Figura 1 Figura 2 Lado Figura 1 Figura 2AB

FG

BCGH

CDHI

DEIJ 15 cm

EFJA

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0

158

mate 6 mar 31 7v.indd 158 05/04/10 19:00

Reto  

5 cm

9 cm

A

B

Duplica las dimensiones de la siguiente fotografía y llama a esa imagen A; luego reduce las dimensiones de la fotografía original a la mitad y esa será la imagen B.

¿Qué relación hay entre la imagen A y la imagen B?

Cuando la relación que existe entre dos magnitudes siempre es la misma se le llama constante de proporcionalidad, por ejemplo: un automóvil consume 1 L de gasolina cada 12 km que recorre; si consumió 2 L, entonces recorrió 24 km; se dice entonces que la constante de proporcionalidad es 1

12. Otros ejemplos son:

La escala es la constante de proporcionalidad entre las dimensiones de dos objetos semejantes.

La velocidad es la distancia que recorre un móvil entre el tiempo que emplea en recorrerla.

159

mate 6 mar 31 7v.indd 159 05/04/10 19:00

3 Enparejas,resuelvanelproblema.

Pedro y Juan juegan carreras en bicicleta. En las siguientes tablas registraron el tiempo y la distancia recorrida. Respondan lo que se pide.

5¿Cuántos metros en cada segundo se desplazó cada uno de ellos? _____________

5Si la constante de proporcionalidad entre el número de metros recorridos en un segundo (s) es la velocidad, ¿a qué velocidad iba cada uno de ellos? __________________________

5Si cada quien mantuviera su misma velocidad, ¿qué distancias recorrerían Pedro y Juan en 5 s? __________, ¿en 32 s? ____________ y ¿en 170 s? _______________

5Si el recorrido completo fuera de 600 m, ¿cuánto tiempo ocuparía cada uno? Pedro ______________ Juan _____________

4 Enparejas,resuelvanlossiguientesproblemas.

a) Diego desea saber si son proporcionales el peso y el volumen del aceite. Después de hacer algunas mediciones obtuvo lo siguiente:

Pedro

Distancia (m) Tiempo (s)

2 0.5

16 4

22 5.5

Juan

Distancia (m) Tiempo (s)

6 0.5

18 1.5

24 2

Aceite

Peso (g) 23 46 92 920Volumen de aceite (cm3) 25 50 100 1 000

160

mate 6 mar 31 7v.indd 160 05/04/10 19:00

5De acuerdo con la información contenida en la tabla:

5¿Existe una relación de proporcionalidad entre el peso y la cantidad de aceite?_________________ ¿Por qué?______________________________________________

5En caso de que hayas contestado de manera afirmativa la pregunta anterior, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?__________________________________________________

5Si la densidad de una sustancia representa el peso en gramos de 1 cm3 de esa sustancia, ¿cuál es la densidad del aceite?_____________________

5¿Cuál es el peso de 75 dm3 de aceite?____________________________

5¿Cuál es el peso de 10 L de aceite?___________________________

b) Salvador tiene que construir la maqueta de su casa, de modo que 1 m corresponda a 2 cm en la maqueta. Con esto sabe que la escala es 1 cm: 50 cm.

5¿Cómo obtuvo esta escala? _________________________________

5Si la altura de su casa es de 6 m, ¿cuál debe ser la medida en la maqueta? _______________________________________________

5En la maqueta, el ancho de su casa es 4.6 cm, ¿cuál es el ancho real de su casa? _______________________________________________

5Un camión escolar debe correr a 80 km/h en carretera recta; ¿cuántos kilómetros recorrerá en 14 de hora? ________________, ¿en 12 hora? _________ y ¿en 20 minutos? ___________

5Un automóvil de carreras va a una velocidad de 250 km/h ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 50 km? ___________, ¿5 000 m? __________, ¿125 km? ____________, ¿500 km? __________________ y ¿1 250 000 m? _____________________________________________

5Cuando lo indique el profesor comparen sus resultados y determinen los procedimientos aplicados para obtenerlos. Escríbanlos en el siguiente espacio: _______________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

161

mate 6 mar 31 7v.indd 161 05/04/10 19:00

1 Enequipos,utilicenlainformacióndelatablasiguienteparacontestarlaspreguntas.

En la tabla se incluyen los puntos que reciben los alumnos de acuerdo con el número de tareas realizadas.

5Localicen en la primera columna las parejas de valores en las que uno sea el doble del otro, el triple, etcétera, y compárenlas con los correspondientes de la segunda columna, ¿qué observan?_____________________________ ___________________________________________________________

5Sumen dos valores cualesquiera de una columna y anoten el resultado; ahora hagan lo mismo con los valores correspondientes de la otra columna, ¿los resultados están en la misma proporción que los valores de la tabla? __________________. Verifiquen lo anterior con otros valores y lleguen a una conclusión. _______________________________________

Tareas Puntos

3 6

5 10

8 16

9 18

12 24

15 30

20 40

25 50

50 100

Identifica las situaciones de proporcionalidad.44

¿Cómo saber si dos cantidades variables son proporcionales?

162162

mate 6 mar 31 7v.indd 162 05/04/10 19:00

5Dividan dos valores de la segunda columna entre sus correspondientes de la primera, ¿cómo son los resultados obtenidos? ______________________________ ¿Sucederá lo mismo con todas las demás parejas de la tabla? _________ Verifíquenlo. ¿Cuál es su conclusión? _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________

5¿Existe un factor constante de proporcionalidad? ____________ De ser así, ¿cuál es? ____________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________

5Tomen dos parejas de valores correspondientes y multipliquen en cruz. Por ejemplo:

5¿Cómo son los valores que obtuvieron? ________________ ¿Sucederá lo mismo con cualquier par de valores correspondientes? ______________ ¿Qué conclusión obtienen? _______________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________

12 24 = 36015 30 = 360

163

mate 6 mar 31 7v.indd 163 05/04/10 19:00

¿Qué tablas corresponden a una relación de proporcionalidad?_______________

2 Enequiposanalicenlassiguientessituacionesyregistrenenlatablaconuna(4)ouna(8)elcumplimientoonodelaspropiedadesqueseenuncian.

Propiedades Tabla A Tabla B Tabla C Tabla D

Conservación de los factores internos. Al doble le

corresponde el doble, al triple le corresponde el triple,

etcétera.

Aditividad. A la suma de dos cantidades cualesquiera en

una columna le corresponde la suma de sus equivalentes

en la otra columna.

Valor unitario. Es el valor de la unidad que se obtiene de

un par de valores. Y sin importar qué par de valores se

tomen siempre es el mismo .

Factor constante de proporcionalidad. Existe un número

entero o fraccionario que al multiplicarse por cualquier

valor de la primera magnitud se obtiene el valor

correspondiente de la segunda magnitud.

Productos cruzados. Al multiplicar en cruz dos pares

de cantidades correspondientes se obtiene el mismo

resultado.

Tabla ANúmero de brochas

compradas Costo en pesos

1 11.502 23.003 34.504 46.005 57.50

Tabla B

Edad de un hijo en años Edad de su mamá en años

1 255 298 32

15 3920 44

Tabla CMedida del lado de un

cuadrado (cm)Área del cuadrado

(cm2)3 96 369 81

12 14415 225

Tabla DMedida del lado de un

cuadrado (cm)Valor de su perímetro

(cm)3 126 249 36

12 4815 60

164

mate 6 mar 31 7v.indd 164 05/04/10 19:00

3 Conbaseenlapropiedaddeproporcionalidadqueseindicaencadaincisoanalizaydeterminasilainformacióncontenidaenlassiguientestablasesproporcional.Siesproporcionalencierralatablaencolorazul;sinoloes,enciérrelaencolorrojo.

a) Propiedad aditiva

b) Valor unitario

c) Constante de proporción

d) Productos cruzados

Distancia en yardas Distancia en pies Distancia en

metrosDistancia en centímetros

2 24 3 300

3 36 5 500

5 60 7 700

2.375 m 2.5 L 7.2 kg $40.32

5.75 m 5 L 9.5 $53.00

9.41 m 9.4 L 10.7 $59.92

$23.00 2.5 L $23.00 5 kg

$57.50 5 L $57.50 10 kg

$108.10 9.4 L $108.10 29 kg

5 in 127 mm 3 limones 72 g

9 in 228.6 mm 8 12

limones 204 g

12.5 in 317.5 mm 13 14

limones 318 g

165

mate 6 mar 31 7v.indd 165 05/04/10 19:00

4 En parejas, comprueben si hay proporcionalidad en cada uno de los siguientes problemas y escriban la constante de proporcionalidad.

5 Óscar pagó por 4.2 m de listón $63.00 e Isaac pagó $123.75 por 8.25 m. Ambos compraron el mismo tipo de listón en la misma mercería. ______________

5 Juan recorre a pie 12 m, mientras que Raúl recorre en su bicicleta 40.2 m; cuando Juan recorre 24 m; Raúl recorre 80.4 m. ____

5 Las medidas de dos circunferencias son: 10.9956 cm y 28.2744 cm; los correspondientes diámetros son: 3.5 cm y 9 cm. ________________________

5 Alberto es empacador y por 4.5 horas de trabajo le pagaron $270; Roberto, que trabaja en la misma empresa con el mismo puesto, por 7 horas recibió $420. ______

5 Rogelio afirma que en 5 m hay 5 000 mm, Rubén asevera que en 5.6 m hay 560 cm y Patricia dice que en 5.55 m hay 55.5 dm. _________________ ____________________________

166

mate 6 mar 31 7v.indd 166 17/05/10 01:37 p.m.

1 Enparejas,realicenlassiguientesactividades.

5El juego de los volados consiste en lanzar una moneda al aire y predecir el resultado (águila o sol).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila? ________

b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol? __________

5Lancen 20 veces una moneda y registren sus resultados en la siguiente tabla:

¿Cuántas águilas cayeron? ______________________________________________________

Escriban el cociente del número de águilas entre el total de volados. __________________

¿Qué relación hay entre el cociente anterior y la probabilidad del inciso a? _____________

5En el pizarrón, con ayuda de su maestro, hagan una tabla para registrar los resultados de todas las parejas del grupo. Escriban los resultados en la siguiente tabla:

¿Cuántas águilas cayeron en total? ________________________________

Tiradas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total

Sol

Águila

Tiradas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total

Sol

Águila

Compara la probabilidad teórica con la frecuencial.45

Otra vez, ¿sol         o águila?

167

mate 6 mar 31 7v.indd 167 05/04/10 19:01

Escriban el cociente del número de águilas entre el total de volados. ___________________

¿Qué relación observan entre el cociente que obtuvieron en pareja y en el grupo, respecto a la probabilidad del inciso a? _______________________________________________________

Todos lancen una moneda y anoten cuántas águilas y cuántos soles salieron. Dividan eso entre el número de alumnos que lanzaron las monedas. Repitan esto 3 veces y sumen los resultados de las 4 divisiones.

¿Qué número obtienen? ____________, ¿se aproxima a 12 ? ___________________________

2 Formenequiposyrealicenelsiguienteexperimentoaleatorioqueconsisteencolocardentrodeunabolsaoscuracanicasde2coloresdistintos.

a) En la bolsa A se colocan 3 canicas azules y 1 roja, y en la bolsa B, 2 azules y 2 rojas. Cada uno de ustedes, sin ver dentro de la bolsa, saque dos canicas, vean de qué colores son y registren el resultado en la siguiente tabla, luego pongan las canicas dentro de la bolsa correspondiente.

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos canicas del mismo color en la bolsa A? ____________

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos canicas del mismo color en la bolsa B? ____________

Miembros del equipo Colores de las canicas sacadas de la bolsa:A

B1

2

3

168

mate 6 mar 31 7v.indd 168 05/04/10 19:01

b) En la bolsa A se colocan 6 canicas azules y 10 rojas, y en la bolsa B, 8 azules y 8 rojas. Cada uno de ustedes, sin ver dentro de la bolsa, saque dos canicas, observen de qué colores son y registren el resultado en su cuaderno en una tabla similar a la anterior, luego pongan las canicas dentro de la bolsa correspondiente.

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos canicas del mismo color en la bolsa A? ___________

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos canicas del mismo color en la bolsa B? ____________

¿Por qué si en ambas bolsas hay el mismo número de canicas la probabilidad no es la misma? ______________________________________________________________________

c) En la bolsa A se colocan 15 canicas azules y 21 rojas, y en una bolsa B, 18 azules y 18 rojas. Cada uno de ustedes, sin ver dentro de la bolsa, saque dos canicas, observen de qué colores son y registren el resultado en su cuaderno en una tabla similar a la anterior, luego pongan las canicas dentro de la bolsa correspondiente.

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos canicas del mismo color en la bolsa A? ___________

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos canicas del mismo color en la bolsa B? ____________

3 Contestendeformagrupallasiguientepregunta.

5¿Por qué si en cada inciso se colocó en las bolsas la misma cantidad de canicas, la probabilidad de las bolsas A no es igual a la de las bolsas B? _____________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________

169

mate 6 mar 31 7v.indd 169 05/04/10 19:01

1 Setieneregistroquedesdeelaño1500handesaparecido85especiesdeplantasdesuambienteentodoelmundo,mientrasqueenMéxicosehanextinguidocuatroespeciesdeplantas.

El número de especies de animales extintos son: 80 peces en el mundo y 11 en México; aves 135 y 19; mamíferos 70 y 7; 34 anfibios y no hay datos disponibles en México (ND); reptiles 22 y ND. Esta información aparece en el libro: ¿Y el medio ambiente? Problemas en México y el mundo, editado por la Semarnat.

Fuente: Semarnat, ¿Y el medio ambiente? Problemas en México y el Mundo, México, 2007, página 52.

Dibuja una tabla donde organices la información.

5¿En qué caso, respecto a la extinción de especies en el mundo, la proporción en México es mayor? __________________ _________________________________ _________________________________

5¿A qué crees que se deba esto? _______ _________________________________ _________________________________ _________________________________

Organiza información seleccionando un modo de representación adecuado.

46

¿Cómo lo puedo organizar ?

170

mate 6 mar 31 7v.indd 170 05/04/10 19:01

Alumno Unidad de medida

Nutrientes

TotalProteínas Grasas CarbohidratosLuis Gramos 40

150Kilogramos 450Antonio

Gramos 45Kilogramos 200 280

2 Organizadosenequipos,resuelvanlosproblemassiguientes.

a) El profesor de Educación Física realizó un estudio en su grupo para conocer la energía de algunos de sus alumnos (medida en kilocalorías). Completen la información de la tabla donde se registra la cantidad de nutrientes obtenidos en una comida (medidos en gramos) y las kilocalorías producidas en dos de sus alumnos. Consideren que 1 g de proteínas produce 4 kilocalorías, 1 g de grasa produce 9 kilocalorías y 1 g de carbohidratos produce 4 kilocalorías.

b) Esteban es otro alumno del grupo, ese día consumió en sus alimentos 55 g de proteínas, 60 g de grasas y algunos carbohidratos. Con estos nutrientes obtuvo en total 940 kilocalorías. Amplíen la tabla anterior agregando los renglones o columnas que se necesiten; incorporen esta información y busquen la que falta para saber la cantidad total de nutrientes y kilocalorías obtenidas por Esteban.

5¿Cuál de los tres alumnos consumió la mayor cantidad de nutrientes en gramos? ________

5¿Cuál de los tres alumnos obtuvo la mayor cantidad de kilocalorías con los nutrientes consumidos?

5¿El alumno que obtuvo la mayor cantidad de kilocalorías fue el que consumió la mayor cantidad de nutrientes en gramos? _______________________ ¿Por qué? _____________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________

3 Enequipos,cadaunodelosintegrantesproporcionelainformaciónquesesolicita,organícenlaenunatablayrespondanlapreguntaunavezquetenganlainformacióndetodoelgrupo.

a) Nombre

b) Edad

c) Estatura

d) Diestros o zurdos

Si en tu escuela quisieran comprar bancas que tengan la paleta unida a la silla. ¿Cuántas bancas con la paleta del lado izquierdo debe haber?______________

171

mate 6 mar 31 7v.indd 171 05/04/10 19:01

4 Enequipos,realicenloqueseindica.

En un torneo de futbol infantil, el Grupo II estuvo formado por los equipos de Alemania, Túnez, España y Brasil; estos equipos jugaron 3 partidos entre sí para definir al ganador del grupo. Alemania ganó un juego, empató otro y perdió el tercero, anotó 4 goles en total y le anotaron 3. Túnez empató un juego y perdió 2, anotó 4 goles y le anotaron 7. España empató los tres encuentros que sostuvo, anotó 4 goles y recibió la misma cantidad. Brasil ganó dos partidos y empató uno, anotando 6 goles y recibiendo 4 en total.

Representen en una tabla los datos del texto y contesten las preguntas.

Por cada juego ganado se asignan 3 puntos al equipo triunfador y 0 puntos al perdedor; a los equipos que empatan se les asigna un punto.

5¿Qué equipo obtuvo más puntos? _______________________________________________

5¿Qué equipo metió más goles? __________________________________________________

5¿Qué equipo fue el más goleado? ________________________________________________

5Si a la siguiente fase pasaron los dos equipos con más puntos, ¿qué equipos calificaron? _____________________________________________________________________________

5 Enequipos,analicenlainformacióndelsiguientetextoyrepreséntelaenunatablaodiagrama,segúncreanconveniente,ensucuaderno.

En la escuela “Narciso Mendoza” el maestro de sexto grado organizó un torneo de ajedrez. Se inscribieron 8 alumnos y las parejas participantes en la primera ronda quedaron así: Roberto contra Alejandro, David contra Gabi, Martha contra Arturo y Lupita contra José Luis. Los ganadores fueron Alejandro, Gabi, Arturo y José Luis, quienes se enfrentaron en la segunda ronda de la siguiente manera: Alejandro contra Gabi y Arturo contra José Luis. En la ronda final se enfrentaron Gabi y José Luis por ser los ganadores de la segunda ronda. La ronda final estuvo muy disputada pero al final Gabi le ganó a José Luis.

172

mate 6 mar 31 7v.indd 172 05/04/10 19:01

AutoevaluaciónA continuaciónresolverásejerciciosen

losqueaplicaráslosconocimientosconstruidosdurantetodoelbloque.

INSTRUCCIONES. Encierra la letra que corresponda a la respuesta correcta.

1. Tres comerciantes se encontraron el 1 de agosto en la ciudad en donde compran su mercancía, si el primero va a la ciudad cada 15 días, el segundo la visita cada 8 días y el tercero acude cada 3 días, ¿cuándo volverán a coincidir en el mismo año?

a) 30 de noviembre

b) 29 de noviembre

c) 31 de noviembre

d) 1 de diciembre

2. Una motocicleta recorre 54 millas por cada galón, ¿cuántos litros necesita para recorrer 345 kilómetros?

a) 15

b) 6.38

c) 30

d) 12.72

3. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea par?

a) 18

b) 12

c) 14

d) 16

4. De la pregunta anterior ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor a 6?

a) 2136

b) 2736

c) 1236

d) 2036

5. A Karina sus papás le dan $70 para los gastos de la semana y ella lo distribuye para sus gastos diarios (pasajes, almuerzo y golosinas). Utiliza 40% en pasajes, 35% en almuerzo y 17% en golosinas; el resto lo ahorra.

Elabora una tabla en la que organices la información de lo que gasta Karina cada día durante la semana.

173

mate 6 mar 31 7v.indd 173 05/04/10 19:01

Bibliografía

Ávila Storer, Alicia, Antonio Acosta Esquivel et al., Guía del estudiante. Construcción del conocimiento matemático en la escuela. Antología básica, México, upn, 1994.

Brousseau, Guy, “Educación y didáctica de las matemáticas”, en Educación matemática, México, Grupo Editorial Iberoamérica, 2000, vol. 12 (1), pp. 5-37.

Cantoral, Ricardo, Rosa María Farfán et al., Desarrollo del pensamiento matemático, México, Trillas, 2005.

Casanova, María Antonia, La evaluación educativa. Escuela básica, México, sep (Biblioteca del Normalista), 1998.

Chamorro, María del Carmen et al., Didáctica de las matemáticas, Madrid, Pearson Educación, 2003.

López Frías, Blanca Silvia y Elsa María Hinojosa Kleen, Evaluación del aprendizaje, México, Trillas, 2001.

García Juárez, Marco Antonio, Gonzalo López Ruedas et al., Matemáticas. Quinto grado. Guía de orientaciones didácticas, México, Esfinge, 1994.

Secretaría de Educación Pública, Matemáticas. Quinto grado, México, sep, 1994.

Secretaría de Educación Pública, Matemáticas. Primer grado, México, sep, 2006.

Secretaría de Medio Ambiente y Recursos Naturales, ¿Y el medio ambiente? Problemas en México y el mundo, México, Semarnat, 2007.

Páginas de Internet

Matemáticas sin número: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar2008/educontinua/mate/mate.htm

174174

mate 6 mar 31 7v.indd 174 08/04/10 02:21 p.m.