ECUACIONES

En esta unidad se trabajará con los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones lineales, como su formación y solución, debido a que son la base para la formación de ordenamientos matriciales. Para ello se utilizaran ejercicios de aplicación empresarial y administrativo que permitan un mejoramiento en el manejo de los recursos.En un primer plano se analizaran los procedimientos que permiten dar solución a sistemas lineales de dos incógnitas con dos ecuaciones, al igual que para sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.En cada caso se agregaran ejercicios de aplicación que permitan dar una clarificación sobre los métodos de solución y los cuales serán resueltos por los estudiantes.

SISTEMA DE 2 X 2

DEFINICIÓN

Es un modelo matemático formado por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, para el cual se utilizan varios métodos de solución, tales como: Igualación; Sustitución, Eliminación, Determinante y Gráfico. Nosotros analizaremos algunos de ellos.EjemploUna compañía fabrica dos productos a partir de dos materias primas básicas. Para el primer producto se requieren 20 y 30 gramos de cada una de las materias primas y para el segundo se requieren 40 y 15 gramos. Si la compañía cuenta con 400 gramos de la materia prima uno y 375 gramos de la segunda. Determine la cantidad de productos que la compañía pudo fabricar.

Pto1 Pto2 Existencia

MP1 20 40 400MP2 30 15 375

(X, Y): Cantidades fabricadas20x + 40y = 40030x + 15y = 375

1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓNA. Se despeja una variable en cualquiera de las ecuaciones

Ec1 20 x + 40 y = 400Ec2 30 x + 15 y = 375Despejando la variable “X” en Ec1 se procede así:

20x + 40y = 400 -> 20x = 400 – 40y -> x=400−40 y

20

B. Se reemplaza el valor encontrado del primer despeje en la otra ecuación, para nuestro ejercicio en la Ec2.

30 x + 15 y = 375

1

30(400−40 y20 )+15 y=375→→30(400

20−40 y

20 )+15 y=375

30 (20 – 2y) + 15y = 375 600 – 60y + 15y = 375

-45y = 375 – 600 -45y = -225 y=−225

−45 y = 5 C. Se reemplaza el valor de “y” encontrado, en la ecuación que inicialmente habíamos

despejado.

x=400−40 y20

x=400−40(5)20

x=400−20020

x=20020 x =10

2. MÉTODO DE IGUALACIÓN

DEFINICIÓN

Consiste en elegir una de las variables que hacen parte del sistema, para despejarla en ambas ecuaciones y luego se igualarían sus resultados para poder así eliminar una de las variables.

A. Se despeja la misma variable en las dos ecuacionesDespejemos Y

Ec1 20 x + 40 y = 400Ec2 30 x + 15 y = 375

Ec1 20x + 40y = 400 40y = 400 – 20x y=400−20 x

40

Ec2 30x + 15y = 375 15y = 375 – 30x y=375−30 x

15

B. Igualamos los resultados obtenidos de los dos despejes.

400−20 x40 =

375−30 x15 15 (400 – 20x) = 40 (375 – 30x)

6000 – 300x = 15000 – 1200 x 

1200x – 300x = 15000 – 6000 900 x = 9000 x=9000

900 x = 10

C. Se reemplaza el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones halladas en el numeral A.

y=400−20 x

40 y=

400−20(10)40

2

y=400−200

40 y=200

40 y= 5

4. MÉTODO DE ELIMINACIÓN

DEFINICIÓN

Este método busca eliminar una de las variables del sistema utilizando, mediante el proceso de operaciones entre filas con inversos aditivos.

A. Se intercambian los coeficientes de la variable que voy a anular, procurando que al hacer las operaciones queden con signos contrarios (sí las variables que se van a eliminar tienen signos contrarios no es necesario agregar el signo).

Ec1 20 x + 40 y = 400Ec2 30 x + 15 y = 375

Para anular la variable "X" intercambiamos los coeficientes multiplicando la ecuación uno (-30) y la ecuación dos por (20).

-30 (20x + 40y = 400)=

-600x – 1200y = -1200020 (30x + 15y = 375) 600x + 300y = 7500

-900y = -4500

y=−4500−900

y = 5

Ec1 20 x + 40 y = 400Ec2 30 x + 15 y = 375

Para anular la variable "Y" multiplicamos la ecuación uno (-15) y la ecuación dos por (40).

-15 (20x + 40y = 400)=

-300x – 600y = - 600040 (30x + 15y = 375) 1200x + 600y = 15000

900x = 9000

x=9000900x = 10

EJERCICIOS RESUELTOS

3

Una compañía fabrica pasteles y panes para los cuales se requiere harina y huevos. Sí para la fabricación de pasteles se requieren 20 gramos de harina y 2 gramos de huevo para cada unidad producida mientras que para la fabricación de panes los requerimientos son 30 gramos de harina y 4 gramos de huevo. Sabiendo que la compañía cuenta con una existencia de éstas materias primas de 3500 gramos de harina y 400 gramos de huevo, cuantas unidades se podrán fabricar de cada producto.

Pasteles Panes Existencia

Huevo 2 4 400Harina 20 30 3500

Solución:

Sea “ X “ las unidades de pasteles a fabricar.Sea “ Y “ las unidades de panes a fabricar.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Ec1 2 x + 4 y = 400Ec2 20 x + 30 y = 3500

Ec1 2x + 4y = 400 2 x = 400 – 4 y x=400−4 y

2

Ec2 20x + 30y = 3500 20 x = 3500 – 30 y x=3500−30 y

20

Igualamos los resultados obtenidos de los dos despejes.

400−4 y2 =

3500−30 y20 20 (400 – 4 y) = 2 (3500 – 30 y)

8000 – 80 y = 7000 – 60 y -80 y + 60 y = 7000 – 8000

-20 y = -1000 y=−1000

−20 y = 50

Se reemplaza el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones halladas.

x=400−4 y

2 x=

400−4(50 )2

4

x=400−200

2 x=200

2 x = 100

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Ec1 2 x + 4 y = 400Ec2 20 x + 30 y = 3500

Despejando la variable “X” en Ec1 se procede así:

2x + 4y = 400 -> 2x = 400 – 4y -> x=400−4 y

2

Se reemplaza el valor encontrado del primer despeje en la otra ecuación.

20 x + 30 y = 3500

20(400−4 y2 )+30 y=3500→→→20(400

2−4 y

2 )+30 y=3500

20 (200 – 2y) + 30y = 3500 4000 – 40y + 30y = 3500

-10y = 3500 – 4000 -10y = -500 y=−500

−10 y = 50

Se reemplaza el valor de “y” encontrado, en la ecuación que inicialmente habíamos despejado.

x=400−4 y2

x=400−4(50 )

2 x=400−200

2 x=200

2 x =100

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

Ec1 2 x + 4 y = 400Ec2 20 x + 30 y = 3500

Para anular la variable "X" intercambiamos los coeficientes multiplicando la ecuación uno (-20) y la ecuación dos por (2).

-20 (2x + 4y = 400)=

-40x – 80y = -8000 2 (20x + 30y = 3500) 40x + 60y = 7000

-20y = -1000

5

y=−1000−20y = 50

Ec1 2 x + 4 y = 400Ec2 20 x + 30 y = 3500

Para anular la variable "Y" multiplicamos la ecuación uno (-15) y la ecuación dos por (2).

-15 (2x + 4y = 400)=

-30x – 60y = - 60002 (20x + 30y = 3500) 40x + 60y = 7000

10x = 1000

x=100010

x = 100

Una persona invierte su dinero en dos fondos. Sí el primero de ellos le paga el 20% anual y el segundo le ofrece el 30% anual ¿cuánto dinero invirtió en cada fondo, para que la rentabilidad obtenida fuera de $3500 sabiendo que la inversión realizada es de $15000?. Solución:Sea “X” la cantidad de dinero invertida en el fondo unoSea “Y” la cantidad de dinero invertida en el fondo dos

Fondo uno Fondo dos

inversión 1 1 15000Interés 0.2 0.3 3500

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

Ec1 x + y = 15000Ec2 0.2x + 0.3y = 3500

6

Para anular la variable "X" intercambiamos los coeficientes multiplicando la ecuación uno (-0.2) y la ecuación dos por (1).

-0.2 (x + y =15000)=

-0.2x – 0.2y =-3000 1 (0.2x + 0.3y = 3500) 0.2x + 0.3y = 3500

0.1y = 500

y=5000. 1

y = 5000

Ec1 x + y = 15000Ec2 0.2x + 0.3y = 3500

Para anular la variable "Y" multiplicamos la ecuación uno (-0.3)

-0.3 (x + y = 15000)=

-0.3x – 0.3y = - 45001 (0.2x + 0.3y = 3500) 0.2x + 0.3y = 3500

-0.3x = 1000

x=−1000−0 . 1

x =10000

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando diferentes métodos:1. 5X + 7Y = - 1 3X + 4Y = - 24

2. 10X + 18Y = - 11 16X + 9Y = - 5

3. – 13Y + 11X = - 163 - 8X + 7Y = 94

4. 7X + 8Y = 29 5X +11Y = 26

5. 13X – 31Y = - 326 25X + 37Y = 146 6. 32Y – 27X = - 1 8X = - 9

7. Una compañía fabrica software para sus clientes con dos parámetros, con asesoría y sin asesoría.

Para el anterior periodo se encontró que en la primera semana se vendieron 20 software

7

sin asesoría y 10 con asesoría, obteniendo un ingreso de 70 millones y para la segunda semana se vendieron 15 paquetes sin asesoría y 5 con asesoría generando un ingreso de 42.5 millones. Hallar el precio al que se vendió cada paquete.

8. En el zoológico de la ciudad se les proporcionan cantidades básicas de alimento a los tigres y a los leones. Sí los leones consumen 20k de carne cada uno y los tigres 15k y únicamente se cuenta con 250k de carne. A los leones se les proporciona 2 litros de agua y a los tigres 3 litros, si sólo se dispone con 40 litros de agua ¿Cuántos tigres y leones se pueden alimentar en el zoológico con dichas disposiciones de alimento.

Problemas lineales

1.   Hay un número que multiplicado por 3, sumándole luego 10, multiplicando lo obtenido por 5, agregándole 10 y multiplicando finalmente el resultado por 10 da 750. ¿Qué número es? 2  Encontrar dos números que sumados den por resultado 204 y tales que uno de ellos es 16 unidades mayor que el otro. 3. La mitad de la suma de tres números enteros consecutivos es 21. ¿Cuáles son?  4.   La suma de un número entero y su siguiente es 53. ¿Cuál es el número? 

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