Matematicas 4o

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS 4º BACHILLERATO LIBRO DE APOYO: Ciclo 2009-2010

Compilador: Fis. Nicolás Mondragón Vega

COLEGIO ESTEFANIA FIS. Nicolás Mondragón Vega

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PRESENTACIÓN: El material de este libro está diseñado para facilitar el trabajo en el aula, donde se sugiere: a) La enseñanza sea constructiva, es decir significativa y basada en los conocimientos previos del alumno. b) Se fundamenta en el manejo de competencias, Particularmente: Fundamentar sus juicios y resolver problemas c) Distribución de tiempo: a. Inducción 5 minutos b. Introducción 5 minutos c. Desarrollo de concepto 10 min. d. Desarrollo 30 minutos Ejemplos y analogías 5 min. e. Ejercicios supervisados 15 min. f. Cierre y conclusión 5 min. g. Tarea 5 minutos TIPO DE EJERCICIOS MARCA CARACTERISTICAS 1.- EJERCICIOS BÁSICOS *1.- DIFICULTAD MEDIA **1.- AVANZADOS


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INDICE UNIDAD SUBTEMA PÁGINA 1. conjuntos 1.1 Notación de conjuntos

1.2 Unión de conjuntos 1.3 Interseccion de conjuntos 1.4 Conmplemento de un conjunto 1.5 Diagrama de Venn 1.6 Producto Cartesiano

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2. numeración 2.1 Sistema Decimal 2.2 Sistema Binario 2.3 Sistema Octal 2.4 Sistema Hexadecimal 2.5 Conversiones 2.6 Sistemas Aditivos 2.7 Sistemas Posicionales

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3. Campo de los números reales 3.1 axiomas de campo de los números reales 3.2 Propiedades de los números reales

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4. Operaciones con monomio y polinomios

4.1 Reducción de términos semejantes 4.2 Suma y resta de Polinomios 4.3 Producto de Polinomios 4.4 División de polinomios

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5. Productos notables y factorización

5.1. Binomio al cuadrado 5.2 Binomios conjugados 5.3 Binomios con término común 5.4 factor común monomio 5.5 factor común polinomio 5.6 factor común agrupación 5.7 Trinomio cuadrado perfecto 5.8 Diferencia de cuadrados 5.9 Diferencia y suma de cubos 5.10 Trinomio forma x2 + bx +c 5.11 Trinomio forma ax2 + bx +c

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6. Operaciones con fracciones algebraicas

6.1 Simplificación de fracciones 6.2 Producto de fracciones 6.3 División de fracciones 6.4 Suma y resta de fracciones 6.5 Combinación de operaciones 6.6 Fracciones complejas

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7. ecuaciones y desigualdades 7.1 Ecuaciones lineales 7.2 Ecuación de 2º grado con 1 incógnita 7.3 Ecuaciones con radicales 7.4 Problemas con palabras

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8. Sistemas de ecuaciones y desigualdades

8.1 Sistemas de 2 ecs. Con 2 incógnitas 8.2 sistemas de 3 ecs. Con 3 incógnitas 8.3 Sistemas cuadrático lineal 8.4 Desigualdades simples 8.5. sistemas de desigualdades 8.6 Desigualdades cuadráticas

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BIBLIOGRAFIA


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1.- CONJUNTOS

1.1 Notación de conjuntos


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Ejercicio 1.1 Escriba por comprensión o extensión

a) A = (a,e,i,o,u) b) B = ( 2,4,6,8,10 ….) c) C = ( 1,4,9,16,…) d) D= ( …2,4,6,8,10) e) E = ( …-3,-1,1,3,5,7…) f) A = ( x/x es par) g) B = ( x/x ε Naturales x< 8) h) C = (x/x ε Naturales x > 8) i) D = ( x/x ε Naturales 4< x < 12) j) [ ]135/ ≤≤−= xenterosxxE ε )


6

6


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1.2. Problemas sobre conjuntos Ejercicio 1.2

a) Encuentra la cardinalidad del conjunto que consta de los números enteros mayores que -2 y menores que 11.

b) Si A= {3, 4.5, 15, 7/8} y B = {-3, 15, 4.5}. Probar que B c A.

c) Si A= {1,2/1, 1/3, 3/2} y B= {2/3, 3/2, 1, ¼, ½, 5/2, -1}. Encontrar B/A. d) Juan, José, Luis, Mario, Alfredo, Rubén, Roberto, Bruno, Adrián, Fernando, Daniel y Andrés estudian en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubén y Roberto practican natación. José, Mario, Alfredo Roberto, Bruno y Andrés juegan fútbol. ¿Cuáles niños hacen deporte? e) Los miembros del consejo de seguridad de la ONU durante 1997 son Japón, Kenia, Polonia, Portugal, República de Corea, Federación Rusa, Suecia, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, Chile, China, Costa Rica, Egipto, Francia y Guinea-Bissau. De ellos Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, China y Francia son miembros permanentes. Por otra parte, Portugal, Chile, Coste Rica, Francia y Guinea-Bissau tienen por idioma oficial una lengua romance. ¿Qué países son miembros permanentes y tienen una lengua romance por idioma?

1.2 Unión de conjuntos EJERCICIOS 1.3.

1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B


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2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia. 2A

3.- ¿A quien se le considera el padre de la Teoría de Conjuntos ?

4.- ¿Cuál es la diferencia entre teorema y axioma?

5.- ¿Qué es un conjunto?

6.- Define la intersección entre conjuntos.

7.- ¿Cuál es la diferencia entre una intersección y una unión?

8.- ¿Cuál es la diferencia entre complemento y diferencia de conjuntos?


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9.- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?

10.- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

11.- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:

A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}

12.- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}

1.4 Conmplemento de un conjunto Diagrama de Venn

EJERCICIOS 1.4 Nivel II

*1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?

(1) (2) (3)

2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) A = { x I x es día de la semana}

b) B = { vocales de la palabra conjunto}


10

10

c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}

d) D = {x I x es un número par}

e) E = {x I x < 15}

f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }

*3.- Demuestre que

**4.-Demuestre las leyes de De Morgan:

a)

b)


11

11

**5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:

**6.- En el diagrama de Venn que sigue rayar,

(1) ; (2)

EJERCICIOS 1.5 NIVEL III

1.-. ¿Qué es un conjunto numerable?


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2.- ¿Cuál es la diferencia entre conjunto numerable y conjunto contable?

3.- Demuestra que el conjunto Z, números enteros es numerable

4.- Demuestra que el conjunto de los números irracionales forman un conjunto contable.

5.- Demuestra que cualquier subconjunto de un conjunto finito es finito.

* 6.- En la ciudad de Santiago se realizó una encuesta, sobre la preferencia de consumo de carnes y los resultados fueron los siguientes: 90% consumen carne de vacuno, el 85% comen carne de cerdo, el 78% comen pescado y el 75% comen pollo. ¿Qué porcentaje mínimo de personas consumen los 4 clases de carnes?

*7.- En una encuestas que se realizo en santiago se observo que el 70 % de las personas consumen pollo , el 70 % consumen carne de res y 70% consumen pavo ¿Cual es el mínimo de personas que consumen los tres productos?

*8.- En una reunión, 30 personas toman agua mineral y 48 toman gaseosas, 5 personas prefieren no tomar ninguna de estas bebidas. ¿Cuántas personas asisten a la reunión si 16 bebieron ambas bebidas? ¿Cuántas personas estuvieron en la reunión? ¿Cuántas personas bebieron sólo agua mineral? ¿Cuántas personas bebieron sólo gaseosa? ¿Cuántas personas bebieron una sola bebida?


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*9.- En una sala hay 30 varones. 8 mujeres de Valparaíso, 40 son de Santiago y el número de mujeres de Santiago exceden en 12 al número de mujeres de Valparaíso. ¿Cuánto estudiantes hay en esta sala?

*10.- Un grupo de jóvenes fue entrevistado sobre sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, moto y auto). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

Moto solamente: 5 Moto: 38 No gustan de auto: 9 Moto y bicicleta, pero no auto: 3 Moto y auto pero no bicicleta: 20 No gustan de bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No gustan de la moto: 61 (a) ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? (b) ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente? (c) ¿A cuántos le gustaba el auto solamente? (d) ¿A cuántos les gustaba las tres cosas? (e) ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el auto pero no la moto?

*11.- En un avión hay 100 personas de las cuales 50 no fuman y 30 no beben. ¿Cuántas personas hay que fuman y beben, sabiendo que hay 20 personas que solamente fuman? *12.- Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:


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126 personas consumían C. 124 personas no consumían A. 36 personas no consumían A ni B. 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consumían A y C. 40 personas consumían los tres productos. 56 personas no consumían B. ¿Cuántas personas consumían solamente B? ¿Cuántas personas consumían A y B? ¿Cuántas personas consumían solamente Ejercicios 1.6 Propuestos de Conjuntos

3. En un Instituto universitario hay 14 estudiantes que siguen al mismo tiempo los cursos de francés e

inglés, hay 16 que estudian francés, 27 que estudian inglés y 7 no estudian idiomas. Halle el número de estudiantes que estudian en el instituto. Sugerencia: Represente los conjuntos en un diagrama de Venn.

4. Un conjunto formado por 250 personas presentó una prueba formada por tres preguntas. Luego de

la corrección, se obtuvieron los siguientes resultados: 27 respondieron correctamente las tres preguntas, 31 respondieron correctamente sólo la primera y la segunda pregunta, 32 respondieron correctamente sólo la primera y la tercera pregunta, 15 respondieron correctamente sólo la segunda y la tercera pregunta, 134 respondieron correctamente la pregunta 1, 87 respondieron correctamente la segunda pregunta y 129 respondieron correctamente la pregunta tres. Con la ayuda del diagrama de Venn calcule el número de personas que no respondió correctamente ninguna pregunta.

5. El departamento de estadística de una empresa realiza una encuesta entre 250 empleados con el

fin de adoptar un plan de pensiones diseñado por el departamento. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:

Utilizando las siguientes notaciones: S: Conjunto de empleados que contestaron a favor


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N: Conjunto de empleados que contestaron en contra C: Conjunto de capataces D: Conjunto de trabajadores eventuales T: Conjunto de trabajadores supernumerarios F: Conjunto de trabajadores fijos Determinar el número de empleados de:

8. Escriba en notación por comprensión los siguientes conjuntos:

a. El conjunto de los días de la semana b. El conjunto de los números reales mayores que cuatro c. El conjunto consistente de pares ordenados de números reales, donde el primer componente

es dos veces el segundo componente d. Diga si los conjuntos anteriores son o no contables. Justifique su respuesta

9. ¿El conjunto de los enteros impares divisibles por 4 puede ser representado en general por que

conjunto? 10. Identifique los conjuntos representados en los siguientes diagramas de Venn


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2. SISTEMAS DE NUMERACION

2.1 SISTEMA DECIMAL

Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Su base es 10. Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que pertenece. Veámoslo con un ejemplo:

01210 106103101136 ⋅+⋅+⋅=

2101210 10210410610310142,136 −− ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

2.2 SISTEMA BINARIO

Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2 Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:

1001234

2 1910110110010010110011 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

2.3 SISTEMA OCTAL

Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8. Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23 . Así, para convertir un número de base 8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en el apartado 1.5. Conversiones se estudiará esta conversión.

2.4. SISTEMA HEXADECIMAL.

Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24. La conversión de un número hexadecimal a uno binario es muy sencilla al igual que en el sistema octal, profundizaremos en ello en el apartado 1.5.

2.5. CONVERSIONES

CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMAL

Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:

1011112 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 4510

101012= 1.24+0.23+1.22+0.21+1.20 = 2110


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Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada división (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto. Se presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad que supone utilizar el sistema tradicional de división con el editor:

Ejemplo: 55,358

Resultado: 101 101, 011 1012

Si la conversión es de binario a octal se realiza de modo contrario a la anterior conversión, agrupando los bits enteros y los fraccionarios en grupos de 3 a partir de la coma decimal. Si no se consiguen todos los grupos de tres se añadirán, los ceros que sean necesarios al último grupo, veámoslo con un ejemplo:

Ejercicios 2. 1.- realice las siguientes transformaciones a) (234)8 = ( )10 b) (220)2 = ( ) 10 c) (1010)2 = ( ) 10

d) (1010)2 = ( ) 16 e) (101AE)16 = ( ) 10 f ) (100)10 = ( ) 2

2.6 Sistemas Aditivos Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes. El Sistema de Numeración Egipcio Desde el tercer milenio AC. Los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.


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Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

2.7. Sistemas de Numeración Posicionales

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, o centenas o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la Hindú lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los Hindúes antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el s. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

El Sistema de Numeración Maya

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.


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Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor. Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad


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del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.

Sistema de numeración Romano El sistema de números romanos carece del 0 por lo que se convierte en un sistema muy complicado al querer realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema de numeración, ha caído en desuso y sólo se lo usa con fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (para numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.).

Los signos que utiliza son:

I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000

Las reglas para escribir los números son: 1- Un símbolo no se puede repetir más de tres veces seguidas 2- Si un símbolo de valor inferior, antecede a otro de valor superior, el primer símbolo resta su valor, al valor del símbolo de la derecha. 3- Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo. Ejercicios: 2.2 1 Convertir a la numeración señalada a) 123 maya b) 456 romana c) 23456 romana d) 2345 egipcia


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3. DE LOS NUMEROS REALES


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EJERCICIOS 3.1

*2.- Demostrar a) Si a + b = a + d entonces b = d b) si ab = bc entonces a = c c) si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0 3.- Determine que propiedad se está usando en cada afirmación a) 5 + 0 = 5 ______________________________ b) 8(1) = 8 _______________________________ c) 3 + 5 = 5 + 3 _______________________________


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4. OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

A L G E B R A CONCEPTOS BÁSICOS: 1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una

constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal.

2. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal.

Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:

Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado

– 5,9a2b3c menos 5,9 a2b3c 2+3+1=6

3. Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la

operación de adición, uno o más términos algebraicos. Ejemplo: 3x2 +5y

4. Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica

se denomina: Monomio : Un término algebraico : a2bc4 ; –35z Binomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5b Trinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19 Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2

5. Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el

mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero. Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas: Expresión algebraica Grado de la

expresión Número de términos

2x – 5y3 a – b + c – 2d m2 + mn + n2 x + y2 + z3 – xy2z3


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VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Veamos un ejemplo: Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1 No olvidar:

Veamos el ejemplo propuesto: 5x2y – 8xy2 – 9y3 = = Ejercicios: 4.1 Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Expresión algebraica

Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0

Resultado

4 ab – 3 bc – 15d

Términos semejantes: Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal. Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común. Ejemplos: a) –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab

b) 6a2–1ab –9ab +21b2 =6a2 –23ab +21b2

c) x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= x3 –8

1º Reemplazar cada variable por el valor asignado. 2º Calcular las potencias indicadas 3º Efectuar las multiplicaciones y divisiones 4º Realizar las adiciones y sustracciones

Es el valor numérico


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Uso de paréntesis: En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. Ejemplos: 1) 2) 3x – (6x + 1) + (x –3 ) 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4 Observación:

Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el más interior.

Ejemplo:

{ } 2}42{)}4(2{)51(2 −=−=−+=−+ Ejercicios: 4,2

}5]5)2/32(43[43{)

}6]6)4/53(4[3{)

+−+−+

−−−+−

b

a

Multiplicación en álgebra

Para multiplicar expresiones algebraicas , debes observar los siguientes pasos: 1º Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación ) 2º Multiplicar los coeficientes numéricos. 3º Multiplicar las letras ( multiplicación de potencias de igual base ).

Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios.

Ejemplos:

MONOMIOS POR MONOMIOS ( -4a5b4)•( 12ab2)= –48 a6b6

monomios por polinomios 7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4

( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)= 30 m6n–4p–2


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polinomios por polinomios ( a x + b y – c z ) • (- x y )= – ax2y – bxy2 + cxyz

4.3 PRODUCTOS ALGEBRAICOS EJERCICIOS 4.3 I,. Resuelve los siguientes ejercicios, reduce términos semejantes cuando sea posible:

1) 5x · 4x · -2x =

2) 15x3y2z · 4xy2z · 3x2yz2 =

3) -4x2y2 · -2x4y2 · 3x5y3 =

4) –18pq3· -3p2q =

5) z3n+2 · 3zn-2 =

6) y2p-1 · y6 =

7) 6y2 · 12y =

8) –19m3n · -6m2n3 =

9) 3x3a+2 · -4x4a-2 =

10) 7(a + b) =

11) 8(2x + 3y – 4z) =

12) 2a(4a + 2a2b + 3a2c) =

13) 5(2x – 3y + 2z) + 3(5y – 3x – 2z) =

14) 8a(3a - 5y – 2z) – 6y(4a - 6y + 3z) =

15) (a + b)(a – 2b) + (a + b)(a + b) =

16) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) =

17) 23) 2(x + 2)(x + 1) =


28

28

18) 4(a + 4)(a – 2) =

19) 26xy – (9x – 8y)(5x + 2y) – (4y – 3x)(15x + 4y) =

20) (2x + 3y + 4z)(5x + 2y + z) =

21) (2x – y + 3z)(4x + 2y – z) =

22) (x + 4)(x + 3)(x + 2) =

23) 8 – a2(10a + 3b) – [9 – 2(14a - 7b) - 4(3a - 9b)] =

24) (7a – 2b) – [2(3a - c) – 3(2b - 3c)] =

25) 2 – x[7x – {9x – 3(3 + 6x)}] =

4.4. Divisón de polinomios 1. Ley de los signos: a) + entre + da + b) - entre + da - c) + entre - da - d) - entre - da + 2. Ley de los exponentes: a) Al dividir potencias con la misma base, las potencias se restan:

Haremos uso también de la siguiente notación: 1. Un monomio es un término como ax, donde a representa una constante y se llama coeficiente y x representa una variable y se llama indeterminada. 2. Un binomio tiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemplo ax + bx2. 3. Polinomio se usa para denotar a la suma de más de dos monomios, por ejemplo ax + bx2 + cx3. División de monomio entre monomio


29

29

Dividir -a2b entre -ab

ejemplo 2

ejercicios: 4.4

1.-

2.-

3.-


30

30

**4.- Polinomio entre monomio Ejemplo:

ejercicios: 4.5

1.- 24

4323

2862

zxyzyzxyxy +−

*2.-

**3.-


31

31

polinomio entre polinomio ejemplos;


32

32

ejercicios: 4.6

1.- 1075 2 +−− xxx

2.- 653 2 +++ xxx

3.- 65 2 −−− xxx


33

33

4.- 729 2 −−− xxx

5.- 34232 2 −−− xxx

*6.- 43223422 376 7 1535 yxyyxyxxyxyx −+−−−+

*7.- am4 - am- 2a entre am + a

**8.-


34

34

**9.- **10.- (6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3) : (3x3 – 5x2 + 3) =

**11- (4x3 – 2x2 + 8x – 4) : (2x2 – 4x + 1) =

**12.- (x3 – x2 – x – 2) : (x2 + x + 1) = **13.- (6x3 – 5x2 + x) : (2x – 1) =


35

35

II. PROBLEMAS DE POLINOMIOS 1.- Una ventana con un perímetro de 8 m tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo Sobrepuesto. (a) ¿Cuál es el área total de la ventana? (b) Escribe un polinomio para representar el perímetro de la figura en términos solamente de la variable r o de la variable x. (c) Escribe un polinomio para representar el área de la figura en términos solamente de la variable r o de la variable x. *2.- Encuentra una expresión para la cantidad de concreto que se necesita para hacer una tubería de concreto que tiene L metros de largo, un radio interior B y un radio exterior A. Si L=1,000 m, B=65 cm y A=70 cm, ¿qué volumen de concreto se requiere? *3.- Un avión pequeño puede cargar 950 kg de equipaje distribuidos en dos compartimentos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 kg más en un compartimento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimento? 4.- En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 15º más que dos veces el otro ángulo agudo. Calcula el valor de cada ángulo.


36

36

5.-Un automóvil recorre 50 km en el mismo tiempo en que un avión recorre 180 km. La velocidad del avión es de 143 km/h mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil.

5. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION 5.1 CUADRADO DE UN BINOMIO EJERCICIO 5.1 1. Completa la siguiente tabla:

a B a+b (a + b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² + 2ab + b²

2 3 6 4 2 5 4 2

2. Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a (a + b)² es ____________________ 3. Construye ahora la siguiente tabla:

a B a-b (a - b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² - 2ab + b²5 2 4 1 2 4 1 3

4. Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica

equivalente a (a - b)² es___________________ 5. Resuelve los siguientes cuadrados de binomios:

1. (x + 5)² 2. (x - 7)² 3. (a + 1)² 4. (m + 21)²


37

37

5. (x - 2)² 6.(x - 18)² 7. (p + 5q)² 8. (x - 3y)² 9. (2x + 6)² 10. (3x - 5)² 11. (6x - 8y)² 12. (0,2x - 3)² 13. (5a - 0,3)²

14. ( x43 - 5)²

15. 2

43

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − ba

6. Determina el área del cuadrado cuyo lado mide:

a) x + 12 b) 2x - 1 c) 0,3x + 2

d) yx +52

5.2 BINOMIOS CONJUGADOS EJERCICIO 5.2 Desarrolla los siguientes productos de binomios conjugados

a) (x +4)(x-4) b) (2x-6)(2x+6)

c) (4x-2y)(4x+2y) d) (5a2b-2)(5a2b+2)

e) (7/5-4y)(7/5+4y)


38

38

f) (3xa-2y)(3xa+2y) 5.3 MULTIPLICACION DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN EJERCICIO 5.3 Resuelve los siguientes productos:

1) (x + 1)(x + 2) =

2) (x + 2)(x + 4) =

3) (x + 5)(x – 2) =

4) (m – 6)(m – 5) =

5) (x + 7)(x – 3) =

6) (x + 2)(x – 1) =

7) (x – 3)(x – 1) =

8) (x – 5)(x + 4) =

9) (a – 11)(a + 10) =

10) (n – 19)(n + 10) =

11) (a2 + 5)(a2 – 9) =

12) (x2 – 1)(x2 – 7) =

13) (n2 – 1)(n2 + 20) =

14) (n3 + 3)(n3 – 6) =

15) (x3 + 7)(x3 – 6) =

16) (a4 + 8)(a4 – 1) =

17) (a5 – 2)(a5 + 7) =

18) (a6 + 7)(a6 – 9) =

19) (xy2 – 9)(xy2 + 12) =

20) (a2b2 – 1)(a2b2 + 7) =

21) (x3y3 – 6)(x3y3 + 8) =


39

39

22) (ax – 3)(ax + 8) =

23) (ax+1 – 6)(ax+1 – 5) =


40

40

Productos Notables. Miscelánea.

EJERCICIOS 5.4

1. ( ) =+2431 x

2. ( )2432 57 xba + = 3. ( )( ) =+− 2323 baba 4. ( ) ( ) =+⋅− xyxy 8181

5. ( )( )1111 22 +−−+ +− xxxx abba =

6. ( )( ) =−+++ zyxzyx

7. ( ) =−32 2ba

8. ( )( )=−+ 86 33 xx

9. ( )( )=+− 66 3333 yxyx

10. ( )( )=−− ++ 4575 11 xx aa

11. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 2346 11

32 abcba

12. ( ) =−32 35x

13. ( )( )=++− 11 2 xxx

14. ( )( )=+−+ 2242 yyy

15. ( )( )=+− amnamn yxbayxba 3232 22

16. ( )( )=+− ++ 98 11 aa xx

17. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − −−+−−+ 271271

5173

5173 cbbacbba mxmx

18. ( )( )=+− 71 2222 baba

19. ( )( )=++− 225255 baabab

20. ( ) =+ −− 2312 32 nmmn

21. ( )( )=−− ++ 5323 yxyx aa

22. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2432

51

32 yxba


41

41

23. ( )( )=+++− 22 mmnnmm

24. ( ) =+− 232 cba

25. ( )( )=+− −−−− cbazyxcbazyx 7363273632 55 FACTORIZACION 5.4 FACTOR COMÚN

Procedimiento:

1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)

2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

Ejemplos:

1)

4 2

2 2

2 2a b ab

ab a b

+

↓+

Factor comun( )

2)

3 9

3 3

xby xa

x by a

−

↓−

Factor comun( )

E J E R C I C I O S 5 . 5 . F A C T O R I Z A R 1 . - - 6 Y + 1 2 2 . - 1 0 X 2 - 2 5 X 3 = 3 . - 6 X 3 + 1 2 X 2 + 1 8 X = 4.- 12ab + 3abc + 6bcd 5.- 15ab2 - 25a3b + 30a3b2c 6.- 45a5b3x6y2 +15a2b3x3yd.

5.5. FACTOR COMUN POLINOMIOS

+ n) Paso 1 Buscamos el factor común de x(m + n) y y(m + n), como el factor común de x(m + n) y y(m + n) es (m + n), podemos factorizarlo. x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y):

Paso 1 Buscamos el factor común de a(x - y) y b(x - y), como el factor común de a(x - y) y b(x - y) es (x - y),podemos factorizarlo. a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b):


42

42

ejercícios: 5.6 a. r(m + n) ¡ s(m + n) = b. x(a + b) + a + b =

c. x(a + b) –( a- b) =

d. (c - d) +( xc – xd) = e. a(m + 2n) + bm + 2bn =

f. x(3a + 1) + 6a + 2 =

g. m(4x - 1) + 12x – 3 =

h. y(5x- 2)- 15x + 6 =

5.6. FACTOR COMÚN AGRUPACION

Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.

Procedimiento

1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.

2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.

3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.

Ejemplos:

1) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

xy a mb xy b ma

xy a ma mb xy b

a xy m b m xy

xy m a b

+ + +

↓

+ + +

↓

+ + +

↓

+ + →

Agrupo

Factor Comú n

Factor Comú n Factor Comú n por Grupos

( ) ( )

( )( )

2)

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

x ax bx ab

x x a b x a

x a x b

2 + + +

↓ ↓+ + +

↓+ + →

Factor comun

Factor comun Factor Comun por Grupo


43

43

EJERCICIOS 5.7

Factorizar

1. ax + bx – ay- by = 2. 2xy + y - 6x- 3 = 3. 3mn + 15n - 4m – 20 = 4. 2a2 + 6a - 3ab - 9b = 5. x + y2 - 3mx - 3my2 = 6 6ab + 15a + 4b + 10= 7. 12mn + 8m + 3n + 2 = 8. 4 + 15xy + 5x + 12y = 9. -6y - 9 + 15x + 10xy = 10. 3ab - 9a - b + 3 = 5.7 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”

(x + y)2 = + +x xy y2 22

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.

Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.

2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,

3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.

Ejemplos:

1)

4 12 9

4 2

9 32 2 3 12

4 12 9 2 3 2 3

2 2

2

2

2 2 2 2

x xz z

x x

z zx z xz

x xz z x z o x z

+ +

=

==

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒

+ + − −

. .Es un Trinomio Cuadrado Perfecto

Entonces: = ( + ) ( )


44

44

2)

4 116

4 2

116

14

2 2 14

4 116

2 2 14

6 3

6 3

3 3

6 3 3 2 3 2

x x

x x

x x

x x x o x

+ +

=

=

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⇒

+ + − −

. .

Es un Trinomio Cuadrado Perfecto

Entonces: = ( + 14

) ( )

EJERCICIOS 5.8

1) 4x2-20xy+25y2

2) 25x2+30x+9

3) 3a3+24a2b+48ab2

4) 100x10-60c4x5y6+9c8y12

5) 100x6-160x3y3+64y6

6) 9x4-36x2y3+36y6

7) 36y2-48y+16

8) 4a2-32a+64


45

45

9) 64x4-64x2+16

10) 81x4y4-72x2y2+16

5.8 DIFERENCIA DE CUADRADOS

Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados

Procedimiento:

1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.

2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.

Ejemplos:

1)

9 25

9 3

25 59 25 3 5 3 5

2 2

2

2

2 2

x y

x x

y yx y x y x y

−

=

=

⎫⎬⎪

⎭⎪− = + −Entonces: ( )( )

2)

49

49

23 4

923

23

6 4 2

6 3

4 2 2

6 4 2 3 2 3 2

x z y

x x

z y z yEntonces x z y x z y x z y

−

=

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

− = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:

EJERCICIOS 5.9

a) 4a2-9b2

22))(( yxyxyx −=+−


46

46

b) 25c4-b2

c) 64x6-y4

d)

e)

f) 4ax2-16ay2

g) x2-16y

h) x8y8-z8

i) x4y4-64

j) 121c2-9

5.9 Diferencia y suma de cubos E J E M P L O :

Factorizar 273 −y , observemos primero que se puede escribir en otra forma: 33 3−y

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

( )( )933327 2333 ++−=−=− yyyyy Ejercicios 5.10 01) 1 + x3 02) x3 + 1000 03) 27a3 + 125b3 04) 64x3y6 + 216z9 05) 512x6a + 729y3b 06) 1/8 + 125x3 07) 1/27 + x6/216 08) a6/343 + 8b12/1000 09) 1000 - m3 10) 8a3 - 64b3 11) 125x9y18 - 512z27 12) 216x12 - 729y21a


47

47

13) 343x3a - 512y6b 14) (x + 4)3 – 8 **15) (3a + 2b)3 - (2a + 2b)3 16) 125 - (3a2 + 1)3 17) 27(x - y)3 - 8(x + y)3 18) 0.027x3 – 0.008y6 *19) 8/125x6 - 1000z9/64y12

**20) 64(a - b)3 + 27(a + b)3

5.10 Trinomio forma x2 + bx +c ejercicios 5.11 01)

x2 + 8x + 15

02) n2 + n – 20 03) m2 - 12m + 27 04) x2 - 2x – 24 05) x2 + 20x + 75 06) y2 + 16y – 80 07) x2 - 25x + 100 08) y2 - 6y – 72 09) x2 + 0.6x - 2.16 10) y2- 0.2y - 1.95 11) x2 + 35x + 300 12) y2 + 10y - 600 13) z2 + 12z - 693 14) w2 - 69w + 1080 15) x2y2 + 34xy + 120 16) z2 - 2.3z + 1.26 17) w2 + 0.8w + 0.15


48

48

18) 403 - 44x + x2 =

19) x2+5x+6 =

20 ) x2+2x-15 =

5.11 Trinomio forma ax2 + bx +c

ejercicio 5.12

01) 2x2 + 7x + 3

02) 2y2 + 9y + 4

03) 3z2 - 14z - 5

04) 4x2 - 29x + 7

05) 5x2 + 12x - 9

06) 6y2 + 21y + 12

07) 7x2 - 46x - 21

08) 8y2 + 24y - 32

09) 9x2 - 66x + 40


49

49

10) 10x2 - 32x - 90

11) 20x2 + 84x - 80

12) 24b2 + 58b - 35

13) 10x2 + 110x + 300

14) 6y2 + 50y - 600

15) 15z2 + 186z - 693

16) 1.5w2 + 4w + 2

17) 2x2y2 + 5xy + 2

18) 0.2z2 - 1.3z + 2

19) 0.1w2 + 13w - 3

20) 200 - 130x + 11x2


50

50

PRODUCTOS NOTABLES y factorización (Repaso) Ejerciccios 5.13 1. Resuelve: a) 2( 2 )x y+ b) 2(2 3)a −

c) 2

22yx⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

d) ( )22 2a b−

e) 233x

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 2

2 33y y

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

2. Expresa como un cuadrado de binomio: a) 2 6 9x x+ + b) 24 12 9a a+ + c) 24 4 1x x− + d) 4 22 1x x− + e) 2 10 25x x− + f) 4 26 9b b+ + 3. Calcula los productos siguientes: a) (2 1) (2 1)x x+ ⋅ − b) 2 2( 4) ( 4)x x− ⋅ + c) (3 ) (3 )a b a b− ⋅ +


51

51

d) 2 2(2 5) (2 5)a a+ ⋅ − 4. Expresa como una suma por su diferencia: a) 24 25x − b) 4 29 16a b− c) 216 25x− 5. Expresa como un producto: a) 2 29 25x y− b) 216 40 25x x− + c) 2100 144 240a a+ + 6. Resuelve: a) (3 2) (3 2)x x+ ⋅ − b) 2 2(5 3)x − c) 2 2(3 )a b+ d) (2 1) (2 1)x x− ⋅ +

6. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS

6.1 Simplificación de fracciones Ejercicios 6.1 1.-Evalúa en X=2 y en X=3 la expresión x2 – 5X + 3 ¿Qué sucede cuando X = 5

X – 5 2.- Encuentra el valor máximo y mínimo que pueden tomar las fracciones, siendo n un número natural. a) n b) 2n c) n+ 1 . n – 1 n + 1 2n


52

52

3.- Indica las restricciones que se deben tener para las siguientes fracciones algebraicas. a) 4 – 3c b) x – 2y – 1 c) a + b c2 – 2c x2 – 4 a – b d) 3b – c e) 1 f) x + y bc a2 + 4ab + 4b2 ( x -1) ( y + 2) 4.- Simplifica cada una de las siguientes fracciones y restringe el denominador a) 15a3b2 b) 7mn4p5 c) 121a4c5d7

2a2b4 21m3np 11ac5d8 d) 8a – 16b e) 42 f) 14x + 21y 24 18a + 24b 50x + 75y g) 27m – 36n h) x2 – x i) a2 + 2ab + b2 36 m – 48n xy – y 3a + 3b j) m2 – n2 k) x2 – 5x + 6 l) 3x2 – 27x + 42 m2 + 2mn + n2 x2 – 2x 5x2 -15x-140 m) 4p + 2q h) ac –ad + bc – bd ñ) 16xy – 25 y 8p2 + 8pq + 2q 2c + 3bc – 2d – 3bd 4x2y – 3xy -10y o) a2 – ab p) r – s q) 4a – 4b r) 6 – 3x . a4 – a2b2 s – r 2b – 2a x2 – x – 2

u) 4

23

515

abba

v) 85

754

11121

dacdca

w) 73

54

217

npmpmn

x) 24

168 ba −

y) ba 2418

42+

z) yxyx

75502114

++

1) nmnm

48363627

−−

2) yxyxx

−−2

3) ba

baba33

2 22

+++

4) 22

22

2 nmnmnm++

− 5)

xxxx2

652

2

−+−

6) 22

33

baba

−−

7) 223

324

nmnmnmnm

+−

8) xxxxxx

44103

23

23

+−−+

9) ( )( )322

423

16

8

qp

qp 10)

( )( )42

33

18

12

nm

mn

11) 331

2

4

−−

xx

12) nmnm

nm555 2

33

++−

13) byaybxax

6342

−−

6.2 Producto de fracciones


53

53

Ejercicios 6.2

1) a

bba

46

32 22

•

2) 32

32 9310

5 xm

mayx

••

3) 43

2

3

2

514

74

75

xm

my

yx

••

4) 10325

2

bb

aa

••

5) 2

22

3

3

753

152

xyx

ya

ax

••

6) ax

nnm

ma

145

103

67 4

22 ••

7) 24

86

2 2

+•

+x

xx

8) 501077

14255

++

•+

xxx

9) 22

2

2 nmn

nmnnm

−•

−+

*10) xyx

yxyxxyxyxy

222

2

22

2

2

−++

•+−

*11) 22

2

2

22

4244

yxx

xyxyxyx

−•

++−

*12) 32

32

222

2

2

2

−−−

•+

xxxx

xxx


54

54

*13) abaaa

baaba66

312 22

2

−•

++−+−

*14) ( )

( )2

2

3

3 11 yx

xxx

yx−

++•

−−

*15) 33

5450222 2

2 +−−

•−−

aaa

aa

*16) 463

36232

2

2

−+

•+

−−xx

xxx

*17) 155255

51892

+−

•−++

yy

yyy

*18) xxxx

xxxxx

−+

•++−+

2

2

2

23 3238432

*19) 931

127

2

2

3

3

++++

•−−

xxaa

ax

*20) ( )3

22

242

344

babababa

++

•++

*21) ax

xxaa

ax 2

2

2

11

•−+

•+−

*22) 44

482162

2

2

23

2

2

2

+++

•+

−−•

−+

xxxx

xxxx

xxx

*23) ( )( )

( )mxmnmxnm

nxmxnm

−+−−

•−+−+

2

22

22

22

*24) 122

2222

3

2

23

+•

+−

•−+

xx

xbxaxx

axaxaba

*25) 4225

306

15365 2

2

2

−−

•−−

•−

+−a

aaaa

aaa


55

55

Ejercicios 6.3

Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas:

1) 3

2

3

3

b9ab14:

b18a35

2) 523

986

1064

785

cbacba:

cbacba

3) yx21x14

a:a

xy9x6233

2

+

+

4) 1a2a

aa:aaaa

2

23

2

3

+−

−

−

+

5) 2m3m3m2m:

8m2m16m8m

2

2

2

2

+−

−−

−+

++

6) 6p54p4p83p

:3p74p

2p3p2

2

2

2

−−

+−

++

−+

7) 22

22

22

44

yxy2xyx

:yxy2x

yx++

+

++

−


56

56

8) 22

22

22

33

yxy2xyx

:yxy2x

yx++

−

+−

−

9) 1x1x:

1xxx 3

+−

+−

10) 20mm16m6m:

4m5m2m3m

2

2

2

2

−+

−+

+−

+−

6.4 Suma y resta de fracciones ejercicios 6.4 1.-

2.-

3.

4.-

5.-

6.-

7.-


57

57

ejercicios 6.5 III. Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifique cuando proceda:

1) xxx759

−+

2) 222

954aaa

−+

3) 23

423

6−

−− xxx

*4) 15287

15232

++

++−

xx

xx

*5) 5287

5265

524

++

−++

++ m

mmm

mm

*6) 43

5243

722 −−

−+

−− aaa

aa

*7) 12

923

+−

+−+

aaa

*8) mnnm

mnnm

nmnm

32155

3297

2385

−−

−−+

+−−

*9) 6720

956720

106720

1232

2

2

2

2

2

−++

−−+

++

−+−

pppp

pppp

pppp

*10) 5

7155

+−−

+−

aaa

*11) 32

2732

332

42

2

2

2

2 −++

+−+

−−

−+−

mmm

mmmm

mmm

ejercicios 6.6 III. Calcula las siguientes sumas o restas y simplifica cuando proceda:

1) x3

2x5

5x9

+−


58

58

2) 3x5

2x7

x62

−+

3) 5m

1-3m8m

2-m+

4) 12x

52x8x

6x +−

+

5) 1m

52m+

−−

6) 1a3-2a

7++

7) 2-a-a

3a1-a

222

+

8) xy

2xy-x2xy

2y-xx

2+−

*9) 9d)1d(6

3dd

3-d1d

2 −

+−

++

+

*10) 12xx

5x4x-3x-18

92410xx

2222 −+

−++

++

*11) 8p2p

66p5p

1p21pp

17p222 −−

−++

++

−−

+

*12) 2d5d3

12d6d

71d2d

3d222 ++

+−+

+−+


59

59

6.5 Combinación de operaciones EJEMPLO:

Ejercicios 6.7 1. . Haz las operaciones indicadas y simplifica:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

xy -

yx .

y+xy-x -

y-xy+x

b)y+x

2xy . xy

y+x + y1 -

x1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x1 - x .

1+xx -

1-x1+x

2. - Opera y simplifica:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 +

x1 : x -

x4

b)x

4-x . )2+(x

2+x 2

2


60

60

c) x . 1+x

1 - x : 1+x

1 + x2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2+x1 :

x2 .

2x2

e) x2 . 2-x1+x -

x2+x +

x3 2

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3.- Si a y b son números naturales, completar el siguiente cuadriculado con las expresiones 1 y (a + b) a ab de tal modo que en cada fila y en cada columna aparezca sólo una vez la expresión

¿Que condiciones debe satisfacer a y b para que el cuadriculado sea un cuadrado mágico?

4.- Demuestra que: a) 123123123123 = 123 457457457457 457 b) a + b __ a – b = 2 b b 5.- Considerar las fracciones a y a ¿Qué condiciones cumplen b y c para que a < a de

b c b c ejemplos numéricos 6.- Si a y c son dos fracciones en que a < c , determine a lo menos dos fracciones b d b d que se ubiquen entre ambas, resolver la situación con algunos ejemplos numéricos

7.- ¿Para qué valores enteros positivos de n la fracción 39

−+

nn

representa

un numero entero positivo? . 8- Si a, b, c, d son dígitos distintos de 0 y distintos entre sí,

a) ¿ Qué valores toman a y b para que ba

tome el menor valor posible?

b) ¿Qué valores toman a, b, c, d para que el valor a + c sea el máximo b d posible? c) ¿Qué valores toma a, b, c, d para que a + b sea igual a 1? c d 9- Si a y b son enteros y a < b ordena de menor a mayor las fracciones:

1/b

1/b

1/b


61

61

a ; b ; - a ; - b b a b a Considerar 0 < a < b .a < 0 < b .a < b < 0

10.- Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es 180º. Encuentra las medidas de dos ángulos suplementarios si están en una razón de 5 a 7.

11.- Dos ángulos complementarios son aquellos cuya suma es 90º. Encuentra las medidas de dos ángulos suplementarios si están en una razón de 3 a 2.

12.- Santiago recorrió 425 kilómetros en el mismo tiempo que Jerónimo recorrió 325 kilómetros. La velocidad de Santiago era de 20 kilómetros por hora más que Jerónimo. ¿A qué velocidad iba cada uno?

13.-Un río tiene una corriente de 5 kilómetros por hora. Si una lancha de motor tarda el mismo tiempo en recorrer 15 kilómetros a favor de la corriente que 9 kilómetros en contra de la corriente, ¿cuál es la velocidad de la lancha en aguas tranquilas?

6.6 Fracciones complejas ejercicios 6.8 Simplifica las fracciones complejas:

1) =−

−

xxy

yxy

2

2

2) =−

−

2

254

52

x

x

3) =+

+

y12

11


62

62

*4) =

−−−

−

−+

−+−

22

22

1yx

yxyxyxyx

yxyx

**5) =

+−

−+

+

111

11

11

11

x

x

*6) =

−+

−

+

421

11

11

x

x

*7) =

−+

−−

+

111

11 2

2

x

xx

xx

7. ECUACIONES Y DESIGUALDADES 7.1 Ecuaciones lineales FUNCIONES LINEALES Son aquellas funciones cuya representación gráfica es una recta. Todas estas funciones admiten una expresión analítica de la forma y = ax + b, siendo a y b números reales cualesquiera. Las funciones lineales se pueden clasificar en: � F unciones afines: son de la forma y = ax + b con a ≠ 0 y b ≠ 0 � F unciones de proporcionalidad directa: son de la forma y = ax con a ≠ 0 y b = 0 � F unción constante: son de la forma y = b con a = 0 y b un número real cualquiera.


63

63

En una recta de ecuación y = ax + b se llama pendiente al número a, a es la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal (0º < θ < 180º). Al número b se le llama ordenada en el origen, representa el punto de corte de la recta con el eje Y, en concreto (0, b). Para las siguientes rectas se pide: a) Nombre de la función lineal que representa. b) Tabla de valores y representación gráfica. c) Dominio, puntos de corte con los ejes, monotonía. d) Pendiente y ángulo que forma la recta con la horizontal. 1. y = 2x + 3, y = -x + 5, y = -2x + 1, y = 2x – 5 2. y = x, y = -2x, y = -x, y = 5x 3. y = 3, y = -2, y = 0 4. Comenta las características comunes a cada grupo de funciones lineales. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejercicios 7.1 1.- Determina el valor de x de las siguientes ecuaciones enteras a) 2x – 4 = 9 b) 3x – 5 = 5x + 3 c) 4x – 6 = 7x + 5 d) 2(x-4) = 3( 2x +5) e) 3 ( 2x -4) + 3x = 5( 4x – 1)

2. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias:

a) 8

435

42 +=

− xx

b) 6

423

63 +=

− xx

c) 8

)4(36

)7(2 +=

− xx

d) 5

)23(43

)43(2 +=

− xx


64

64

e) 53x

2x

=+

f) 36x5

21

3x

=+−

g) x6

x73131

x49

x38

x27 −

=−+−

h) 9

1x24

1x21

94x

43x +

++

−=−

−+

i) 301

)3x(34

107

)3x(512

−+

=−+

**j) 67

)1x2(343

)1x2(33

)1x2(25

+−

=+−

+−

k) 21x3x

3x1x

=+−

+−−

l) baxx =−

m) 2a

bxb

ax=

−+

−


65

65

Ejercicios 7.2 Resolver los siguientes problemas con palabras 1. La tarifa de los taxis de una ciudad es de 1 euro por bajada de bandera y por cada kilómetro recorrido 0,8 euros. a) Haz una tabla que exprese el precio del viaje según los kilómetros que hagamos. b) Encuentra la función que relaciona los kilómetros recorridos (x) y el precio del viaje (y). c) Representa dicha función. e) ¿Es una función lineal? ¿De qué tipo? ¿Cuál es el dominio?

3. A nivel del mar el punto de ebullición del agua es de 100 ºC. Cuando se asciende a una montaña el punto de ebullición disminuye, en función de la altura, con arreglo a la siguiente fórmula: t = 100 – 0,001h donde t es la temperatura del punto de ebullición en grados centígrados y h la altura alcanzada en metros. a) ¿Cuál es el punto de ebullición a 1500 m de altitud? b) ¿Cuál es el punto de ebullición en la cima del Everest (8848 m)? ¿Y en la cima del Aneto (3404 m)? c) Representa la gráfica de esta recta. 4. Una empresa petrolífera paga a sus obreros según los metros excavados. El primer metro lo paga a 60 euros y los restantes a 30 euros cada uno. a) Construye una tabla de valores.


66

66

b) Representa la gráfica asociada a la tabla anterior. c) Halla la expresión matemática que nos da el coste (y) en función de los metros excavados (x).

7.2 Ecuación de 2º grado con 1 incógnita ejercicios 7.3 ecuaciones Puras ax2 + c = 0 1) 2x2-32 = 0

2) 3x2-12 = 0

3) x2+4 = 0

4) 2x2+32 = 0

5) (x-5)(x-4)=x(x-9)

6) (2x-5)(3x+4) = (6x - 1 ) ( x-1)

7) x2 = 81

8) 14x2 - 28 = 0

9) (x + 6)(x - 6) = 13

10) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0


67

67

11) (x + 11)(x - 11) = 23

12) 21x2 + 100 = - 5 ecuaciones impuras o mixtas ax2+bx = 0 Ejercicios 7.4

1) x2 = 7x 2) 3)

3x2-6x = 0 2x2 - 6x = 6x2 - 8x

4) (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16

5) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

ecuaciones completas por factorización. Ejercicios 7.5

1) 2 5 6 0x x+ + =

2) 2 6 0x x+ − =

3) 2 4 21 0x x+ − =

4) 2 2 8 0x x− + + =

5) 2 20 64 0x x− + − =

6) 23 8 4 0x x+ + =


68

68

7) 2 4 4 0x x− + =

8) 2 10 25 0x x− + − =

9) 24 4 1 0x x− + =

10) 2 2 3 0x x− + =

Ecuaciones completas por fórmula general Ejercicios 7.6

1) 2 5 6 0x x+ + =

2) 26 1 0x x− − + =

3) 212 17 6 0x x− + =

4) 2 4 4 0x x− + =

5) 2 10 25 0x x− + − =

6) 24 4 1 0x x− + =

7) 22 1 1 09 3

x x− − =

8) 24 5 9 03

x x+ + =


69

69

Ecuaciones completas por completar el trinomio cuadrado perfecto Ejercicios 7.7

1) 2 5 6 0x x+ + =

2) 212 17 6 0x x− + =

3) 24 4 1 0x x− + =

4) 22 6 0x x+ + =

5) 26 13 5 0x x+ − =

7.3 Ecuaciones con radicales Usaremos la siguiente propiedad para resolver estas ecuaciones: Cualquier raíz de una ecuación dada, puede ser también raíz de otra ecuación que se obtenga al igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuación propuesta. Empero, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtienen valores para la incógnita que pueden resultar incorrectos para la ecuación original, tales valores se llaman raíces extrañas de la ecuación . Esto debido a que los radicales de índice par presentan problemas de indefinición con subradicales negativos.


70

70


71

71


72

72

Ejercicios 7.8 Parte I. Resuélvanse las ecuaciones con radicales. Recuerde que hay que verificar las respuestas en la ecuación original.

Ejercicios 7.9

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (Miscelánea) ejercicio 7.10I. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones: 1. 100x 2 = 2. 0225x 2 =− 3. 1225x 2 = 4. 50x 2 = 5. 0c3x 22 =−

6. 7110x 2 =− 7. 16723x 2 =+ 8. 73x527x6 22 +=− 9. 252x7 2 = 10. 22 x3131535x2 −=+ 11. ab10b25ax 222 −+=


73

73

12. 222 n169mnm

94x ++=

13. 83)x5(3)3x2(x =−−− 14. 11)5x2)(5x2( =−+

15. 130)x7()x7( 22 =−++ 16. 20x80)9z2)(3x5()3x4)(5x3( ++−−=++ 17. 40)4x)(13x()4x3)(3x2( =−−−−− 18. 214)2x3)(7x2()3x4)(4x3( =−−−−−

19. 22 )x8(2)x2(8 −=−

20. 23

8x2 2=

−

21. 54

4x2

6x 22=

+−

−

22. 2xx7

x3x5

+−

=−

23. 12x

x2x

x=

−+

+

24. 4x

402x2x

2x2x

2 −=

+−

+−+

25. 75

83x7x11x5x

2

2=

+−

+−

26. 3

4x4x

1 −=

+

27. 2199x53 2 =−+

28. 4x

1x4x4x+

+=−−+

29. 3x

825x53x+

=−−+

30. 2x10x10 =−−+

31. x341x39x52 −=−++

32. x52x325x5 −=−−+ 33. 0x3x 2 =− 34. 0x42x6 2 =+ 35. 0axx 2 =+ 36. 6)3x)(2x( =−− 37. 10x9)5x)(2x( −=+− 38. )4x3)(9x2()6x2)(6x2( −+=−+ 39. 10x22)5x3)(5x3()5x2)(3x8( +=−+−−+

40. 09x8)3x( 2 =−−+

41. 222 )5x()3x()4x( +=−++

42. 222 )5x()12x()13x( −++=+

43. 183x2

54x3 =+

+

44. 37

3x3

3x4

=−

−+

45. 4x19x =−−+

46. x4x41x41 =−−+ 47. 080x18x 2 =+− 48. 096x4x 2 =−− 49. 052x17x 2 =+− 50. 012x7x 2 =−− 51. 06x5x4 2 =−+ 52. 01x5x6 2 =−+ 53. 025x10x3 2 =−− 54. 09x16x7 2 =+− 55. 0a12ax4x 22 =−+ 56. 0a6ax5x 22 =+− 57. 0ab2x)ba(abx 222 =−−+

58. 22 )bx(b)ax(a +=+

59. 8x

15x =+

60. 05x

183x

=++

61. 10x21x

2x8x

+−

=+−

62. 6

13x

1x1x

x=

++

+

63. 22

x31x

4=

−−

−

64. 1x7x +=+

65. 13xx4 =−+−

66. 8x3

x2x5x37

=−

−−−

67. 1x8x31x5 +=++

68. 2axbx

bxax

=−−

+−−

69. 1x

31x

21x

x2 −

=+

−−

70. 2x

1318x6x

5x6x5x

1x22 −

=+−

++

+−

+

Ejercicio 7.11 II. Resuelve: 1. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – kx + 4 = 0, para que las dos raíces sean iguales. 2. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k+2)x + 3k = 0, para que el producto de las raíces sea 24? 3. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 4x2 – 5x + 4k – (6+k) = 0, para que una de las raíces sea cero?


74

74

4. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 7x2 – 9x + k = 0, para que las raíces sean recíprocas una de la otra? 5. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 2x2 + kx + 5 = 0, para que una de las raíces sea 1? 6. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k-2)x – (k+6) = 0, para que la suma de las raíces sea 2? 7. ¿Para qué valor de m, la ecuación mx2 - 6x + 5 = 0, tiene sus raíces reales? 8. Determinar k en la ecuación x2 + kx + 12 = 0, de modo que una de las soluciones sea el triple de la otra? Ejercicio 7.12 III. Grafica, basándote en las propiedades de los coeficientes y el discriminante, las siguientes funciones: 1. y = 2x2 – 3x 2 y = 6x2 3. y = -2x2 + 3x + 6 4. y = 4x2 – 4x – 1 5 y = 5x2 + 2


75

75

8.-SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES 8.1 Sistemas de 2 ecs. Con 2 incógnitas

SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicios 8.1 Resuelve utilizando los métodos de Igualación, Sustitución, Reducción y Determinantes:

1) 3x + 2y = 21 5x – y = 22

2) x + 2y = 0 5x – y = 11

3) x + y = 11 2x – y = 1

4) x – 2y = 3 4x + 3y = 45

5) 4x + 5y = 3 6x – 10y = 1

6) 4(x + 2) = -6y 3(y + 2x) = 0


76

76

7) y(x – 3) – x(y – 2) = 14 x(y + 9) – y(x – 6) = -54

8) 0

32

1223

=−

=+

yx

yx

9)

121

35

=+

=+−++

yxyxyx

10)

41

53

621

=+−

=−+

yxyx

11) x – by = -1 ax + y = -a


77

77

12) ax – by = a bx + ay = b 13) 3x + y = 7 6x + 2y = 3 14) 2x – 3y = -7 x : y = 4 : 5

15) 4

43

162

43

=+

=−

−

yx

yx

16)

132

43

1753

32

−=−

=+

yx

yx


78

78

17) (x+3)(y+5)-(x+1)(y+8) = 0 (x-10)(y-1)+(x-9)(3-y) = 0

18)

23

23bbxy

aayx

−+

=

−+

=

19) 2,4x + 1,8y = 30 3,6x + 5,4y = 61,2

20)

yyxyx

xyx

=−−

−+−

−=+

−+

9223

62145

13

652

35

8.2 sistemas de 3 ecs. Con 3 incógnitas Resuelva por suma y resta y por determinantes ejercicio 8.2

a) x + 3y + 5 z = 9 2x – 4y + z = -1 3x + 4y – z = 6


79

79

b) 4x + 5y – 2z = 5 3x + y – 2z = 0 x - 2y - z = -3 c) x + 5y - 4 z = 7 2x + 4y - 3z = 6 4x + 5y + 4z = 8

8.3 Sistemas cuadráticos lineales

ejercicio 8.3

I) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticos:

1) x + y = 7 x·y = 12

2) x + y = 10

xy = 16 3) x + y = 9 x2 + y2 = 41 4) x2 + y2 = 52

xy = 24 5) x2 + y2 = 34

x - y = -2


80

80

6) x2 + 3xy + y2 = 31

xy = 6 7) x + y + xy = 14

x + y = 6 8) x2 + y2 = 29

x2 - y2 = 21 9) x2 - y2 =640

x : y = 7 : 3 10) x2 - y2 = 44

xy - y2 = 20

II) Resuelve los siguientes problemas verbales, a través de sistemas de ecuaciones:

1. La suma de dos números es 3 y su producto es -4. Hallar los números.

2. Determina dos números cuya suma es 9 y su producto 18.

3. La diferencia de dos números es 5 y su producto 14. Hallar los números


81

81

4. Hallar dos números cuya suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 53.

5. Determina dos números cuya suma de sus cuadrados es 13 y la diferencia de sus cuadrados es 5.

6. Hallar un número que es 3/5 del otro y el producto de ellos resulta 2160.

7. La diferencia entre un número y el doble de otro número es 5. Si el producto de ellos es 18, ¿cuáles son los números?

8. La diferencia entre dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 34. ¿Cuáles son los números?

9. La diferencia de dos números es 7 y el producto de su suma por el número menor es 104. Hallar los números.

10. La diferencia entre el quíntuplo del cuadrado de un número y el cuadrado de otro número es 11. Si la suma del primero con el cuadrado del segundo resulta también 11. ¿Cuáles son los números?


82

82

11. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo cuya área mide 24 cm2 si sus lados están en la razón de 2 : 3?

12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm. Si la diferencia entre sus catetos es 2 cm. ¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo?

13. La suma de los cuadrados de dos números es 18. Si al cuadrado del primero se le suma el producto entre ambos números resulta 0. ¿Cuáles son los números?

14. La diferencia entre dos números es 4. Al sumar sus cuadrados a la diferencia de su

producto resulta 112. ¿Cuáles son los números?

15. El área de un rectángulo es 60 m2. Si su diagonal mide 13 m. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

16. La suma de los cuadrados de dos números es 5/36. ¿Cuáles son los números si su diferencia es 1/12?

17. ¿Cuánto mide el área de un rectángulo si su diagonal es a2 + b2 y la diferencia entre sus lados es a - b? 8.4 Desigualdades simples

INECUACIONES


83

83

1) Inecuaciones de primer grado Ejercicio 8.4 Resuelve las siguientes desigualdades: a) 2x < 7 b) 4x > 5 c) 5x -6 < 8x +5 d) 7x < 6 12x + 4 e) 7-4x < 4 + 3x f) a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8

g) ( x – 1 )2 < x ( x - 4) + 8 g) 3 - ( x - 6) ≤ 4x – 5

h) 3x – 5 - x - 6 < 1 4 12

i) 1 - x - 5 < 9 + x 9

j) x + 6 - x + 6 ≤ x . 3 15

II.- Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada

expresión represente un número real.

i) 5+x

ii) 6

2+x

iii) 112

−−

xx

III.- Inecuaciones fraccionarias

a) 01>

−xx


84

84

b) 03

6<

−+

xx

c) 025

≥−−xx

d) 2512>

+−

xx

8.5. sistemas de desigualdades ejercicio 8.5 Encuentra la región solución de cada sistema.

1. - x – y > - 3 2. - 2x – y > 4 2x +y > 1 y + 3x >-6

3. - 2x – y > 4 4. - 3x + 1 > 5 y > x( x -3) 5x - 2 >-4

5. - 3x + 1 > 1 6. - 3(x – 1) – ( x – 2) > y 5x – 2 < 8 x – 1 > y

8.6 Desigualdades cuadráticas ejercicio 8.6 Inecuaciones de segundo grado


85

85

a) x2 ≥ 16 R. IR - ] -4 , 4[ b) 9x2 < 25

R. ] - 5/3 , 5/3 [

c) 36 > ( x - 1) 2

R. ] - 5 , 7 [

d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2

R. IR - ] 0 , 8 [

e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)

R. ] - 2 , 6 [

f) x2 - 3x > 3x - 9

R. IR - ⎨3⎬

g) 4 ( x - 1) > x2 + 9

R. ∅

h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 )

R. ⎨5⎬

i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1)

R. IR

j) 3 > x ( 2x + 1)

R. ] -3/2 , 1 [

k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 )

R. IR - ] -1 , 15/16 [

l) ( x - 2 ) 2 > 0

R. IR - ⎨2⎬

m) ( x - 2)2 ≥ 0

R. IR


86

86

n) ( x - 2)2 < 0 R. ∅ o) ( x - 2)2 ≤ 0

R. ⎨2⎬


87

87


88

88


89

89


90

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Bibliografía

http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm

http://www.mediafire.com/?qggynvmjhgb

http://www.epler.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/index.htm

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm

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www.google.es

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91

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www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm

www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc

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