Matemáticas, 4º de ESO, opción B Ejercicios de repaso para las recuperaciones.

(junto con los explicados en clase) Unidad 1: Trigonometría

Ejercicio 1.1 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan Ejercicio 1.2 Un triángulo rectángulo tiene por lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. Halla las tres razones trigonométricas principales del ángulo pequeño y los ángulos Ejercicio 1.3 Calcula la altura de una montaña sabiendo que la sombra que proyecta es de 90 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 60º sobre el horizonte Ejercicio 1.4 Completa con la calculadora. Si procede, redondea hasta 2 decimales

30º

sen

cos a 0’4

tg 1’12

15 m

27º

Ejercicio 1.5 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º Ejercicio 1.6 Una escalera de 2 metros se apoya contra una pared formando con el suelo un ángulo de 45 grados, ¿a qué altura de la pared llegará el extremo superior?

Ejercicio 1.7 Teniendo en cuenta que 2

3sen , halla el valor de cos y tg

mediante las relaciones fundamentales Ejercicio 1.8 Demuestra que se verifica la siguiente igualdad

2

2

11 cos

1 cotg

Unidad 2: Resolución de triángulos

Ejercicio 2.1 Halla el radio (r) y la apotema (a) de un pentágono regular de lado 10 cm Ejercicio 2.2 Calcula x:

Ejercicio 2.3 Halla el área del siguiente triángulo: (ángulo C = 59º; b = 2’3 m; a = 1’8 m). Si eliges la altura adecuada, el problema es muy simple

b a

C

Ejercicio 2.4 Se ha colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra el dibujo; ¿cuánto miden el mástil y el cable?

Ejercicio 2.5 Tres antenas A, B y C deben dar cobertura a los pueblos de la zona. La distancia de A a B es de 9 Km. y la de B a C 6 Km. El ángulo que forman las carreteras de B a C y de C a A es de 120º. ¿Cuánto distan las antenas A y C?

Ejercicio 2.6 En el siguiente triángulo, rectángulo en A, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados por letras

A

C

B

Ejercicio 2.7 Resuelve el triángulo del que conocemos C = 30º , 25b cm , 18c cm .

Unidad 3: Vectores

Ejercicio 3.1 Realiza el producto escalar de los vectores u y v

u = (-2 ,1) , v = (0 ,-1)

Ejercicio 3.2 Calcula el ángulo que forman estos dos vectores

u = (2 , 3), v = (4 ,1)

Ejercicio 3.3 Calcula a para que sean ortogonales 5,u a y v = -3, 4( )

Ejercicio 3.4

Sean u = (1,1); v = (2 , 0) ; w= (2 , 1)

a) Realiza u-v+w de forma analítica,:

b) Realiza u-v+w de forma gráfica,:

Ejercicio 3.5 Calcula el módulo y el ángulo que forma cada uno de estos vectores con el eje de abscisas

)2,0(u

; )2,3( v

Ejercicio 3.6. Calcula un vector w opuesto a )2,0(u

. ¿Qué relación tienen el módulo

de u y el de w

Unidad 4: Raíces y logaritmos

Ejercicio 4.1 Simplifica

log 1000a

log 0'0001b

1

log10

c

1

10

log 1000d

2log 2e

3

3log 9f

Ejercicio 4.2 Calcula aplicando propiedades

2 5log 2 3log5 log5

Ejercicio 4.3 Calcula los siguientes logaritmos decimales (con base 10), sin calculadora , usando la definición (pasando a ecuación exponencial)

1000

log0'001

a

5log 10b

3log 0'001c

1

log100

d

7 3log 10e

log10f

Ejercicio 4.4 Calcula los siguientes logaritmos, sin calculadora, usando la definición (pasando a ecuación exponencial)

1

7

log 49a

1

100

log 10b

3

2log 16c

3

1

3

log 9d

5log 125e

1

logf

Ejercicio 4.5 Simplifica, aplicando propiedades

3 6log125 log 2 log 100

Ejercicio 4.6 Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla

2

3

1a bA

c

2 310B x y

Ejercicio 4.7 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones indicando todos los pasos

1 3

log log log2 2

a G x y

log 2 3log 3logb J x z

4.8 Opera y simplifica:

a) 32 2x y x

b) 73 42 73 3 3

c) 3 282

4.9. Simplifica:

a) 8 2 18 3 32

b) 27 1 12 3 2 18

32 2 50 2 3 32

1 12

) 272 25

c

4.10. Racionaliza y simplifica al máximo:

a) 3

1

x b)

3 2

3

ba

aab

c) 54

5

Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Ejercicio 5.1 Resuelve y comprueba los resultados

xx 22log1log

Ejercicio 5.2 Resuelve la siguiente ecuación exponencial

25 6 5 5 0x x

Ejercicio 5.3 Resuelve el siguiente sistema

3loglog

70

yx

yx

Ejercicio 5.4 Resuelve

2log31log2log xx

Ejercicio 5.5 Resuelve y comprueba resultados

3× log x+ log y = 2

2 × log x-3× log y = 5

ü

ýï

þï

Ejercicio 5.6 Resuelve

76844 212 xx

Ejercicio 5.7 Resuelve

7222 11 xxx

Ejercicio 5.8 Resuelve y comprueba los resultados

4152

95212 yx

yx

Unidad 6: Inecuaciones

6.1. Resuelve algebraicamente la siguiente inecuación de 1er grado

12

2 7

x xx

3 1 4 42

15 5 3

x x x

6.2. Resuelve la siguiente inecuación algebraicamente (con la recta).

2 5 6 0x x

2 2 15 0x x 6.3. Resuelve la siguiente inecuación de 2º grado gráficamente (dibujando la parábola).

2 5 6 0x x

2 2 15 0x x

6.4. Resuelve el siguiente sistema. Expresa la solución con intervalos

221332

5392

xxx

xx

6.5. Resuelve de forma gráfica la siguiente inecuación, indicando todos los pasos:

a) 2 3x y

b) 1x y

Ejercicio 6.6 Resuelve algebraicamente. Cuida que tu solución no permita una división por cero

50

3

x

x

2

20

1

x

x

Unidad 7: Límites de sucesiones

Ejercicio 7.1 Calcula los siguientes límites resolviendo, si cabe, la indeterminación que puedan presentar

2

2

1 1limn

na

n

3 10

3limn

nb

n

2

5lim

4

n

n

nc

n

d)

e) 1

12

x

xlimx

f)I

g)

h) Usando la definición del número e, resuelve:

41

lim 1

n

n n

Ejercicio 7.2 Resuelve

2

23

6lim

3x

x xa

x x

b) 12

22

2

1

xx

xxlimx

c) 3

2lim

3 1x

x

x

d)

2 2lim 2n

n n n n

Unidad 8: Estudio de funciones

Ejercicio 8.1 Completa la siguiente tabla.

Dom f(x)

3y x

52 xy

xy

3

1

5y

3 xy

Ejercicio 8.2 Averigua la posible simetría de las funciones siguientes:

4 1x

a f xx

3 2b f x x x

2 2 1c f x x x

2 1d f x x

Ejercicio 8.3 Realiza las siguientes composiciones de funciones

Siendo 12 xxf y 3xxg

a f g x

b g f x

c f f x

8.4 Siendo 23 xxf y 1 xxg , calcula:

d f g x

e g f x

f g g x

Ejercicio 8.5 Obtén la función inversa de:

2 1

2

xa f x

3 4b f x x

1

2 3

xc f x

x

Unidad 9. Tipos de funciones

Ejercicio 9.1 Calcula las asíntotas oblicuas y verticales de estas funciones. Justifica la respuesta.

a) 2 2 4x x

f xx

b) 3

2 1

xy

x

Ejercicio 9.2 Calcula las asíntotas horizontales y verticales de estas funciones. Justifica la respuesta

a) 2

2

2

4

x xg x

x

b) 2

1

xy

x

Ejercicio 9.3. Representa con precisión la siguiente función a trozos. Usa regla si procede

2

5 2

1 2 1

3 1

x si x

y x si x

si x

2

, 2

( ) , 2 2

4 , 2

x x

f x x x

x

9.4. Realiza un estudio detallado de la siguiente función

Dominio: Recorrido:

Corte con eje X: Corte con eje Y: Crecimiento: Decrecimiento: Máximo/s(relativos y/o absoluto): Mínimo/s (relativos y/o absoluto): ¿Algún periodo constante?

Continuidad:

9.5. Realiza un estudio completo de la siguiente función (los mismos apartados que el ejercicio anterior)

9.6 Representa con precisión las siguientes funciones

a) ( ) 3xf x

b) 1

( )2

x

f x

c) ( ) 1f x x

d) ( ) 2f x x

e) 1

( )f xx

f) 2

( )f xx

Unidad 10: Cálculo de derivadas

Ejercicio 10.1 Obtén la derivada de primer orden de las siguientes funciones

;ln

xa f x

x

f x

2 1b f x x x

2 3 1

1

x xc f x

x

sen 2d f x x

5e f x x

cosxf f x e x

3lng f x x ,

2cosh f x x

10.2. Calcula los puntos máximos y mínimos de las siguientes funciones:

g) 3( ) 3 2f x x x

h) 4 2( ) 8 3f x x x