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MATEMÁTICAS

2º ESO

2º TRIMESTRE ÁLGEBRA Y FUNCIONES

LAURA VALLÉS SANT JOSEP DE CALASSANÇ

MATEMÁTICAS 2º ESO

1

TEMA 8

EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Criterios De Evaluación de la Unidad

1 Reconocer expresiones algebraicas y utilizarlas para expresar relaciones entre

diferentes magnitudes, calculando el valor numérico de dichas expresiones en caso

de que sea necesario.

2 Desarrollar igualdades notables y potencias de polinomios de exponente 2.

3 Calcular sumas, restas, productos y cocientes de monomios.

4 Calcular sumas, restas, productos de polinomios y cocientes de un polinomio por un

monomio.

5 Identificar en un polinomio el grado, el número de términos y el coeficiente y parte

literal de cada término.

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/10/01.htm

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/10/01.htm

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1118

http://www.vitutor.com/ab/p/i_e.html

http://www.vitutor.com/ab/p/m_e.html

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?a=&ejercicio=suma

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?a=&ejercicio=resta

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?a=&ejercicio=producto

http://www.ematematicas.net/monomios.php?ejercicio=cociente&a=1

http://www.ematematicas.net/monomios.php?ejercicio=cociente&a=1

http://wikimate.wikispaces.com/Polinomios

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2

INDICE

1. Expresiones algebraicas

2. Monomios y polinomios

3. Operaciones con monomios

3.1 Suma y resta de monomios

3.2 Producto de monomios

3.3 Cociente de monomios

4. Productos notables

4.1 Cuadrado de una suma

4.2 Cuadrado de una resta

4.3 Diferencia de cuadrados

4.4 Trinomio cuadrado perfecto


3

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El lenguaje numérico expresa la información matemática a través de los números, pero

en algunas ocasiones, es necesario utilizar letras para expresar números desconocidos.

El lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante letras y números.

Por ejemplo:

Un número cualquiera: x (también puede ser otra letra)

La mitad de un número: 2

x

El triple de un número más la quinta parte de otro número: 35

yx

La edad de mi primo Luís hace 9 años: 9x

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos mediante

operaciones aritméticas.

Ejemplo:

Laura tiene tres hermanos y sus edades son las siguientes:

Pablo tiene dos años menos que ella, Lucas es dos años mayor que ella y Óscar le dobla

la edad.

a) ¿Cuántos años tiene cada uno si Laura tiene 10 años?

Pablo Lucas Óscar

Edad de Laura = 10 años 10 – 2 = 8 10 + 2 = 12 10 · 2 = 20

b) ¿Podríamos resolver este problema si conocer la edad de Laura?

Pablo Lucas Óscar

Edad de Laura = X años X – 2 X + 2 2X


4

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las

letras por números y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo 1:

Calcular el área del siguiente triángulo:

La expresión algebraica que define el área del triángulo es: ·

2

b hA

Para obtener el valor numérico del área del triángulo, simplemente debemos sustituir las letras por los números correspondientes:

2· 2 · 55

2 2

b hA cm

Ejemplo 2:

Calcular el valor numérico de 2x + 5y – z para:

a) X = 2, Y = 5, Z = 0

2 · 2 + 5 · 5 – 0 = 4 + 25 – 0 = 29

b) X = 1

2, Y = 5, Z =

7

4

2 · 1

2 +5 · 5 -

7

4 = 1 + 25 -

7

4 = 26 -

7

4 =

97

4

2. MONOMIOS Y POLINOMIOS

La expresión algebraica que sólo tiene un término se denomina monomio, si tiene dos

términos binomio, si tiene tres trinomio, y en general, si está formada por varios

términos, se denomina polinomio.

Monomios a2, axy, b2z, -5xy2

Binomios a + b, x – 5y, -2x2 + 5ab3

Polinomios 2x2 + 3y –z,

5 cm

2 cm


5

Los elementos de los monomios son:

2 32x y z

Coeficiente Lo forman el signo y la parte numérica del monomio.

Parte literal Las letras que forman el monomio incluidos sus exponentes.

Grado La suma de los exponentes de la parte literal 2+3+1=6

En el caso de los polinomios, el grado coincide con el del término que mayor exponente

o grado tiene.

2 6 3 212 9

2x y y x y

El término cuyo grado es mayor, tiene grado 8. Por lo que este polinomio tiene grado 8.

2.1 Monomios semejantes

Observa los siguientes monomios:

2 2 212 4

3x y yx x y

Todos ellos tiene algo en común: la misma parte literal, es decir, las mismas letras con

el mismo exponente.

Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

3. OPERACIONES CON MONOMIOS

3.1 Suma y resta de monomios

Sólo se pueden sumar y restar monomios que tienen la misma parte literal, es decir,

entre monomios semejantes.

- Se suman o restan los

coeficientes

2 5 7a aa aa aa a a a

- Se deja la misma parte literal 4 ( ) 3a a a a aa a a

2+5=7

4-1=3

Recordar: Cuando la parte numérica

de un monomio es 1, no se escribe.

Coeficiente

Parte literal


6

3.2 Producto de monomios

La multiplicación de un número por un monomio o entre monomios, se puede realizar

siempre ya que NO es necesario que tengan la misma parte literal.

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO

- Se multiplican los coeficientes 2 22·(4 ) 8x y x y

- Se deja la misma parte literal

1· 25 5

5

2 2 21 1·(25 ) ·25 5

5 5ab ab ab

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

- Se multiplican los coeficientes

3 1 3 44 · 5 (4 · 5) 20a a a a

- Se multiplican las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.

2 2 1 37 · 3 (7 · 3) 21x xy x y x y

3.3 Cociente de monomios

- Se dividen los coeficientes

3 2 3 210 : 5 (10 : 5) 2x x x x

- Se dividen las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.

2 2 19 : 3 (9 : 3) 3x xy x y xy

2 · 4 = 8

4 · 5 = 20

7 · 3 = 21

9 : 3 = 3

10 : 5 = 2


7

4. FACTOR COMÚN

Descomponer un polinomio en factores consiste en expresarlo como una multiplicación

de dos o más factores.

Cuando en todos los términos de un polinomio aparece un factor común, el polinomio

se puede descomponer de la siguiente forma:

i. Un factor común.

ii. Un polinomio que es el cociente entre el factor común y el polinomio inicial.

Ejemplo 1:

3 46 4 12x x x tiene como factor común 2x por lo tanto, lo escribiremos de la siguiente

forma:

3 4 2 36 4 12 2 (3 2 6 )x x x x x x

5. PRODUCTOS NOTABLES

Al trabajar con expresiones algebraicas, es frecuente encontrarse con los siguientes

productos de binomios, denominados productos notables.

(a+b)2 (a-b)2 (a+b)·(a-b)

Por ello, es conveniente conocer su resultado. Este puede obtenerse aplicando la

propiedad distributiva, como vemos:

5.1 Cuadrado de una suma

EL cuadrado de una suma es igual al cuadrado de primero más el doble del primero por

el segundo más el cuadrado del segundo.

(a+b)2 = (a+b) · (a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

2x·3x2=6x3

2x·(-6x3)=-12x4

2x·2=4x


8

5.2 Cuadrado de una resta

El cuadrado de una resta es igual al cuadrado de primero menos el doble del primero

por el segundo más el cuadrado del segundo.

5.3 Diferencia de cuadrados

El producto de una suma por una diferencia es igual cuadrado del primero menos el

cuadrado del segundo.

Ejemplos

Calcula los siguientes productos notables:

A. (x+2)2 = (x+2)·(x+2) = x2 + 2·x·2 + 22 = x2 + 4x + 4

B. (3x-5)2 = (3x-5)·( 3x-5) = (3x)2 – 2·3x·5 + 52 = 9x2 – 30x + 25

C. (1

5x + 7)· (1

5x - 7) = (

1

5x)2 – 72 =

1

25x2-49

5.4 Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio es un cuadrado perfecto cuando coincide con el desarrollo del cuadrado de

un binomio, es decir:

- Dos de sus términos son cuadrados perfectos.

- El otro término, con signo más o menos, es el doble del producto de las bases de

los dos cuadrados anteriores: a2 - 2ab + b2 ó a2 + 2ab + b2

Ejemplo:

a) 25x2+30x+9

25x2 es (5x)2

b) 21 2 4x - x+

4 3 9

21x

4 es

2

1x

2

9 es 32 4

9 es

22

3

30x es 2·5x·3 2

x3

es 1 2

2· x·2 3

(a-b)2 = (a-b) · (a-b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2

(a+b) · (a-b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2


9

A veces, para conseguir en un trinomio un cuadrado perfecto, hay que sacar

previamente un factor común.

Ejemplo:

3x2 – 6x + 3 = 3·(x2 – 2x + 1) = 3·(x – 1)2


10

TEMA 8

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1. Expresa en lenguaje algebraico estos enunciados.

a) El doble de un número más 5.

b) El triple de un número menos 6.

c) El doble de la suma de un número menos 4.

d) La mitad de la diferencia de un número menos 8.

e) el cuadrado de la suma de un número más 7.

f) El cubo de la mitad de un número.

g) La mitad del cuadrado de un número.

h) Un número más su cuadrado.

i) El cuádruple del cuadrado de un número.

j) La mitad de un número menos tres.

2. Un recipiente contiene 4 litros de agua, y a cada hora se vierten en él 0,5 litros de

agua. Expresa con lenguaje matemático esta información.

3. La tienda de confección de cortinas cobra 4,50 € por metro de cortina confeccionada.

a) ¿Cuánto cuesta confeccionar una cortina de 5 metros?

b) Escribe la fórmula que relaciona el número de metros de cortina con el coste de la

misma.

4. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para x = - 3.

a) c) e)

b) d) f)

5. Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son monomios señalando el

coeficiente, la parte literal y el grado.

a) c)

b) d)

6. Realiza las siguientes operaciones.

a) c) e)

211 x 21 x 53 xx

8x 25,04 xx 239 x

222 53 pqpqpq axax 23 6:12

a

bx22 33

3

1cab

bx 25 2xy


11

b) d) f)

7. Opera y reduce.

a)

b)

c)

d)

8. Con estos polinomios, calcula.

9. Efectúa las siguientes operaciones.

10. Efectúa las siguientes divisiones.

11. Completa.

12. Extrae factor común en cada caso

13. Desarrolla las igualdades notables.

732 23 xxxxA xxxxB 47 23 52 2 xxxC

xCxBxAa ) xBxAc )

xCxBb ) xCxBxAd )

243) xa 524) 2 xxc 22 363) xxxe

xxb 42) 23) xxd 5362) xxf

233 :3) xxxa xyxyyxyxc 3:1539) 2233

xxxxb :547) 23 xyyxxyd :12) 2

xyzxyzyxya 2534:) 232

yxxyyxb 223 469:)

6345:126810) 24235 xxxxxxxc

864:241812) 22224334 xzzxzxzxzxd

25) xa 232) yxd 222) yxg

232 53) yxb 24) ae 263) bah

232 7:14:312 xxxxxx

xyxyxyxy 23:94 22

3453 3:94:16 xxxxx

333222 64725 xxxxxx

32 732 xxx 32 214 zzxy axxbaax 2342 :34


12

14. Expresa como diferencia de cuadrados

15. Expresa estos polinomios como cuadrado de una suma o una diferencia.

16. Expresa los polinomios como producto de una suma por diferencia.

17. El precio del kilo de naranjas es “x”y el de uvas es “y”. Expresa en lenguaje

algebraico.

a) El precio de 1,5 kilo de naranjas y medio kilo de uvas.

b) Las naranjas cuestan el doble que las uvas.

18. Un contenedor pesa 200 kilos, y cada una de las cajas que se introducen en él, 35 kg.

Expresa con una fórmula el peso del contenedor en función del número de cajas que

se introduzcan.

19. Un viajero hace un trayecto a una velocidad de 85 km por hora. Expresa con una

fórmula la distancia que recorre en función del tiempo. ¿Qué distancia habrá

recorrido al cabo de 72 minutos?

20. Un litro de agua de mar contiene 26 gramos de sal.

a) Indica con “x” la cantidad de litros de agua de mar y expresa la cantidad de sal que

contiene .

b) Aplica la expresión obtenida para calcular los gramos de sal que hay en 100 litros de

agua de mar.

223 34) yxc

2

4

5

1

3

2)

yxf

2

32)

yxi

11) xxa ababc 55) babae 2323)

yxyxb 22 7272) 55 22) aad nmnmf 22 44)

25204) 2 xxa yxyxd 96) 2 424

1) 2 aag

22 257049) babab 44) 2 xxe 9124) 2 xxh

14

1) 2 xxc

234 69) xxxf 224 69) yyxxi

22 2516) bxa 264100) xc 24) yze

24 3649) xxb 869) xxd 4) 4 xf


13

EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES

1. Desarrolla las siguientes expresiones.

2 2 2

2

) 2 ) 1 ) 2 3

) 3 ) 2 3 2 3

a x b x c x

d x y e x y x y


2 2 2 2

2 2 2 2

) 3 ) 5 ) 1 ) 3 3 ) 7

) 7 ) 2 ) 3 ) 5 5 ) 6

a x b x c x d x x e x

f x g x h x d x x e x


22 2 2 2

2 2 22 2 2 3 4

) 7 11 ) 2 3 )

) 3 8 ) 7 5 ) 9

a x b x y c a x by

d a b e a b x f x


2 2 2 2) 3 3 ) ) 1 3 1 3 )

3 3) 1 8 8 1 ) 2 2 ) ) 2 5 5

2 2

a x x b x y x y c a a d x a x a

f xy xy g ab ab h x x i x x

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

22 2

222 2 2

3) ) 2 ) 4 5

4 3

) 3 ) 2 3 )2

x ya b a b c ax by

xd y e ab xy f m p nq

2. Halla el valor de las siguientes expresiones:

222 2 2

22 22 2

2) ) 2 3 )

3 4

1 2) ) 2 ) 3 2

2 3

a ba b a x c am b n

d ax by e a b xy f x ab


14

3. Efectúa las multiplicaciones siguientes:

) 2 3 2 3 ) 2 2

2 4 2 4) ) 2 3 2 3

3 5 3 5

a x y x y b a b a b

c x y x y d ab xy ab xy

4. Aplica la fórmula para hallar el valor de las siguientes expresiones:

2 22

2 22

2

22 22

1 2 9) 3 ) )

2 3 5

3 3 7) ) )

2 2 9

1) ) 2 ) 0,2 2

4

a a b b x y c x

d a b e x y f m

g x y h x y i x y

5. Aplica la fórmula para hallar el valor de las siguientes expresiones.

2 2 2 2

3 2 3 2 2 2

) 3 3 ) ) 3 3

3 3 3 3) ) ) 1 1

2 2 2 2

a a a b a b a b c a b a b

d b b e a b a b f a a

EJERCICIOS DE FACTOR COMÚN + PN

6. Descompón en factores los siguientes polinomios, sacando factor común.

2 3 2 2 2) ) 3 2 ) 2 3a a x x ax b a b ab ab c ab ax a

7. Reduce los términos semejantes.

2 3 3 2 3 2

2 2 2

3 4 4 3 3 4 3 4 4 3

) 3 2 5

) 1 3 2 3 3

) 4 3 2

a a b c a b c b a c

b xy x y y x

c a b a b a b b a b a

8. Simplifica.

22

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

3 3) ) )

12

15 12 4 4) ) )

12 6

7 14) ) )

21

a bax a mx mya b c

ax ax ay a b

mn m n mx my xy xd e f

m n x y xy

a b m mn ab a bg b c

m n a ba b


15

EJERCICIOS DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

9. Descompón en factores (primero saca factor común y después aplica la fórmula

correspondiente para factorizar)

2 2 2 4

2 2

) 3 6 3 ) 2 2 ) 32 2

) 20 20 5 ) 18 2

a x x b a b c a

d x x e b

10. Descompón en factores.

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

16) 16 9 ) ) 9

49 36

4 4) 81 ) ) 9

25 9

a ba x y b c x

d m n e x f z b

11. Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia o bien como producto de

una suma por una diferencia.

2

2

2

2 2

2

) 10 25

) 16 1

) 4 12 9

) 9 12 4

) 1 2

a x x

b x

c x x

d x xy y

e x x

12. Factoriza las siguientes expresiones.

4 2 2 2 2 2

2 2 2 2

) 3 2 ) 1 ) 6 9 ) 4

) 9 6 ) 2 4 ) 2 4 )

a x x b x c x x d x y

e x x f x x y g x x y h x xy xz xy


16

TEMA 9

ECUACIONES


1 Diferenciar e identificar los miembros y los términos de una ecuación.

2 Reconocer si un valor dado es solución de una determinada ecuación.

3 Conocer y aplicar las técnicas básicas para la transposición de términos.

4 Resolver ecuaciones del tipo ax + b = cx + d o similares.

5 Resolver ecuaciones con paréntesis y corchetes.

6 Resolver problemas sencillos de números y figuras geométricas.

7 Entender cómo se generan y reconocer un par de ecuaciones equivalentes.

8 Utilizar las ecuaciones para resolver problemas.

9 Resolver ecuaciones con denominadores

10 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas

11 Utilizar ecuaciones de segundo grado para resolver problemas

12 Discusión de las soluciones de las ecuaciones de segundo grado


17

INDICE

1. Igualdad, identidad y ecuación

2. Ecuaciones 1er grado

2.1. Resolución de ecuaciones de 1er grado

2.2. Solución de ecuaciones

2.3. Problemas

3. Ecuaciones de 2º grado

3.1. Clasificación

3.2. Resolución de ecuaciones de 2º grado

3.3. Expresión en forma general: ax2 + bx + c

3.4. Problemas


18

1. IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN

1.1 Igualdad

La siguiente expresión es una igualdad puesto que si realizamos las operaciones del

primer miembro, obtenemos como resultado el segundo miembro.

(5+9) – 3 = 11

Una igualdad se compone de dos expresiones numéricas del mismo valor que están

unidas por el signo igual (=)

1.2 Identidad

Una Identidad es una igualdad algebraica, esto es, una igualdad en la que aparecen

números y letras que siempre se cumple, sean cuales sean los valores de las incógnitas.

(x+y)2 = x2+2xy+y

1.3 Ecuación

Una ecuación es una igualdad algebraica que es cierta para algunos valores de las

incógnitas y falsa para otros.

Por tanto, la diferencia entre identidad y ecuación es que la identidad siempre es cierta,

mientras que la ecuación no.

El valor o valores de la incógnita que hacen que la igualdad se cumpla se llaman solución

de la ecuación


19

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

PARTES DE UNA ECUACIÓN

Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo de la igualdad.

Términos: son cada uno de los sumandos que forman los miembros. El primer

término de izquierda a derecha no lleva signo si es positivo

𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝒙 + 𝟖

El primer miembro es todo lo que hay a la izquierda del signo igual(=)

El segundo miembro es todo lo que hay a la derecha del signo igual(=)

Incógnitas: son las letras que aparecen en la ecuación, se suele emplear la x y

representa un valor desconocido. Normalmente se emplea la x pero puede

emplearse cualquier letra.

𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝒙 + 𝟖

Coeficientes: son los números que acompañan a la incógnita incluyendo su signo.

(Como sabemos si no hay se considera que es el “1”).

p.e. en la expresión 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝒙 + 𝟖 son el 3 y el 1;

p.e. en la expresión −𝟕𝒙 − 𝟐𝟓 = 𝟏𝟎 es el -7;

Términos independientes: son los números o fracciones que no acompañan a la

incógnita (incluyendo su signo)

𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝒙 + 𝟖

SEGUNDO MIEMBRO PRIMER MIEMBRO

TÉRMINOS


20

GRADO DE UNA ECUACIÓN

Se llama grado de una ecuación al mayor exponente al que está elevada la incógnita

que aparece en una ecuación.

Cuando no aparece exponente el exponente es 1, por eso estas dos expresiones tienen

el mismo valor aunque se utilice 2𝑥 = 2𝑥1.

2.1 Resolución de ecuaciones de primer grado

Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir la dejamos sola en uno de

los miembros y en el otro miembro dejamos los números.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS

1. Reducir términos semejantes, para ello, agrupamos todos los términos con x y

todos los términos independientes.

2. Transponer términos. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en UNO

de los miembros y todos los términos independientes en el OTRO miembro,

teniendo en cuenta que cuando un término cambia de miembro también cambia

de signo.

3. Si es necesario, se agrupan de nuevo los términos semejantes (reducir términos

semejantes).

4. Despejar la incógnita. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al OTRO miembro

dividiendo, si la división no sale exacta se puede dejar el resultado en forma de

fracción.

Ejemplo:

5 6 4 4 3 8x x x

1º 6 12 3x x

2º 3 12 6x x

3º 2 18x

4º 18

92

x


21

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS

1. Quitar paréntesis. Para ello aplicamos la propiedad distributiva.

2. Reducir términos semejantes, para ello, agrupamos todos los términos con x

y todos los términos independientes.

3. Transponer términos. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en

UNO de los miembros y todos los términos independientes en el OTRO

miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia de miembro

también cambia de signo.

4. Si es necesario, se agrupan de nuevo los términos semejantes (reducir

términos semejantes).

5. Despejar la incógnita. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al OTRO

miembro dividiendo, si la división no sale exacta se puede dejar el resultado

en forma de fracción.

Ejemplo:

3 8 6 2 24x x

1º 3 24 6 12 24x x

2º 3 24 6 12x x

3º 3 6 24 12x x

4º 3 36x

5º 36

123

x

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES

1. Quitar denominadores. Para ello calculamos el m.c.m de los denominadores

y multiplicamos cada uno de los términos por el m.c.m.

2. Quitar paréntesis. Para ello aplicamos la propiedad distributiva.



4. Transponer términos. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en

UNO de los miembros y todos los términos independientes en el OTRO

miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia de miembro

también cambia de signo.


22



6. Despejar la incógnita. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al OTRO

miembro dividiendo, si la división no sale exacta se puede dejar el resultado

en forma de fracción.

Ejemplo: 1º

2 1 7 3 1610 10 10

2 10 5

x x

2º 2 1 7 3 16

10 10 102 10 5

x x

5 2 1 7 2 3 16x x

10 5 7 6 32x x

3º 10 12 6 32x x

4º 10 6 32 12x x

5º 4 44x

6º 44

114

x

2.3 Resolución de PROBLEMAS con ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para la resolución de problemas de ecuaciones de PRIMER GRADO es conveniente

seguir los pasos descritos en este punto.

No hay ninguna duda de que es conveniente empezar leyendo atentamente el texto de

problema y distinguir dos cosas:

1. Lo que nos pregunta el problema, es decir el dato que debemos averiguar.

2. La información que nos da el problema, que aparece en forma de frases en el

texto del problema y nos debe ayudar a crear o componer una ecuación.


23

Una vez resueltas estas dos cuestiones es conveniente seguir estos pasos y llegar a una

solución del problema:

1. Se ELIGE la incógnita y se nombra con una letra, habitualmente la X.

La X es NORMALMENTE el dato desconocido al que se refiere la pregunta del

problema y que se considera la incógnita. Si hay más datos conocidos se

representan según su relación con ella.

2. Se plantea una ecuación que relacione los datos y la incógnita X.

3. Se resuelve la ecuación planteada (siguiendo los pasos que ya hemos explicado) y se

obtiene la solución.

4. Se comprueba si la solución encontrada satisface (hace que se cumpla) el enunciado.

Ejemplo

La suma de las edades de Carlos y Juan es de 75 años, y Carlos tiene 5 años menos que

Juan. ¿Qué edad tiene cada uno?

Las preguntas son ¿Cuál es la edad de Carlos? Y ¿Cuál es la edad de Juan?

1. Elegimos la incógnita

Determinamos que 𝒙 será la edad de Carlos. La edad de Juan será por

tanto 𝒙 + 𝟓

2. Se plantea la ecuación

Suma edades Carlos y Juan= 75

𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠 + 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 = 75

𝒙 + 𝒙 + 𝟓 = 𝟕𝟓

3. Se resuelve la ecuación planteada y se obtiene la solución.

𝒙 + 𝒙 + 𝟓 = 𝟕𝟓 → 2𝑥 = 75 − 5

2𝑥 = 70 → 𝑥 =70

2= 35 → 𝑬𝒅𝒂𝒅 𝑪𝒂𝒓𝒍𝒐𝒔 = 𝑥 = 𝟑𝟓,

𝑬𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑱𝒖𝒂𝒏 = 𝑥 + 5 = 𝟒𝟎

4. Se comprueba la solución

𝒙 + 𝒙 + 𝟓 = 𝟕𝟓 → 𝑠𝑖 𝒙 = 𝟑𝟓 → 35 + 35 + 5 = 75 →75=75 se cumple


24

3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las “Ecuaciones de segundo grado” son aquellas ecuaciones en las que el mayor

exponente que tienen sus incógnitas es el 2.

En general hablamos de que una ecuación de segundo grado tiene la forma:

ECUACIÓN DE 2º GRADO GENERAL

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Siempre 𝒂 ≠ 𝟎

𝒂, 𝒃, 𝒚 𝒄 Son números, en algebra reciben el nombre de “coeficientes numéricos”,

𝒙 como sabemos será la incógnita. (Como veremos más adelante existen

ecuaciones de segundo grado donde b o c, o incluso ambos pueden ser igual a cero,

las llamadas ecuaciones “incompletas”)

p.e.

𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 por lo que a=2, b=1, c=1

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟎, por lo que a=1, b=2 y c= -2

−𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 = 𝟎, por lo que a=-3, b=-1 y c=-1

TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Las ecuaciones de segundo grado que tienen los tres términos se llaman ecuaciones de

segundo grado completas.

Término CUADRÁTICO

Término LINEAL

Término INDEPENDIENTE


25

3.1 Clasificación de ecuaciones de segundo grado

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES COMPLETAS

FORMA

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Los tres coeficientes 𝒂, 𝑏 y c ≠0 - Tiene término cuadrático 𝒂𝒙𝟐 - Tiene término lineal 𝒃𝒙 - Tienen término independiente 𝒄

Ejemplos: ax2+ bx +c =0

3𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0

x2 -3x +2=0 −2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

ECUACIONES INCOMPLETAS

FORMA

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

El coeficiente c =0, los coeficientes 𝒂 y 𝑏 ≠0 - Tiene término cuadrático 𝒂𝒙𝟐 - Tiene término lineal 𝒃𝒙 - No tiene término independiente c.

Ejemplos: ax2+ bx =0

3𝑥2 + 2𝑥 = 0

−x2 +3x =0 −2𝑥2 − 𝑥 = 0

FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

El coeficiente b =0, los coeficientes 𝒂 y 𝒄 ≠0

- Tiene término cuadrático 𝒂𝒙𝟐 - No tiene término lineal 𝒃𝒙 - Tiene término independiente c.

Ejemplos: ax2+ bx =0

3𝑥2 + 2𝑥 = 0

−x2 +3x =0 −2𝑥2 + 𝑥 = 0

FORMA 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

Los coeficientes b y c =0, los coeficientes 𝒂 ≠0 - Tiene término cuadrático 𝒂𝒙𝟐 - No tiene término lineal 𝒃𝒙 - No tiene término independiente 𝒄.

Ejemplos: ax2=0

3𝑥2 = 0

x2=0 −2𝑥2 = 0

3.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado

ECUACIÓN DE 2º GRADO COMPLETAS TIPO; 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Las ecuaciones de segundo grado completas son aquellas que tienen término cuadrático, término

lineal y término independiente.

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Estas ecuaciones (normalmente) tienen dos soluciones y estas se obtienen aplicando la

conocida como “Fórmula de Cardano” en la que a, b y c son los coeficientes numéricos de la

ecuación 𝒂, 𝒃 y el término independiente 𝒄.


26

𝒙 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Las dos soluciones (también llamadas “raíces”) en función del signo + o - que se toma de

delante de la raíz serán:

𝒙𝟏 =−𝒃+√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 𝒙𝟐 =

−𝒃−√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

p.e. Resolver la ecuación 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎;

Como ya sabemos a=1, b=-5,c=6, por tanto aplicamos la fórmula de cardano y respetando las reglas

de los signos y tenemos

𝒙 =−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 → 𝒙 =

−(−𝟓)±√(−𝟓)𝟐−𝟒∙(𝟏)(𝟔)

𝟐∙(𝟏)=

𝟓±√𝟐𝟓−𝟐𝟒

𝟐=

𝟓±√𝟏

𝟐 se obtienen 2

soluciones;

5±√1

2{

𝑥1 =5+1

2

𝑥2 =5−1

2

→ 𝑥1 =

5 + 1

2=

6

2= 3 → 𝒙𝟏 = 𝟑

𝒙2 =5 − 2

2=

4

2= 2 → 𝒙𝟐 = 𝟐

p.e. Resolver la ecuación 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟎; vemos que a=1, b=-5,c=6, aplicamos Cardano

𝒙 =−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 → 𝒙 =

−(𝟓)±√(𝟓)𝟐−𝟒∙(𝟏)(−𝟔)

𝟐∙(𝟒)=

−𝟓±√𝟐𝟓−𝟗𝟔

𝟖=

−𝟓±√𝟏𝟐𝟏

𝟖=

−𝟓±𝟏𝟏

𝟖

Obtenemos también dos soluciones: 𝒙𝟏 =−𝟓+𝟏𝟏

𝟖=

𝟔

𝟖=

𝟑

𝟒 y 𝒙𝟐 =

−𝟓−𝟏𝟏

𝟖=

−𝟏𝟔

𝟖= −𝟐


27

POSIBLES SOLUCIONES EN LA ECUACIÓN DE 2º GRADO COMPLETAS TIPO;

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Como ya hemos mencionado en estas ecuaciones normalmente tienen dos soluciones

aplicando la conocida como “Fórmula de Cardano”.

𝒙 =−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

La cantidad 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 contenida dentro del radicando (raíz), recibe en matemáticas el

nombre de Discriminante. La realidad es que en función del valor de este discriminante

vamos a tener dos soluciones, una solución (doble) o ninguna solución.

Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Obtenemos 2 SOLUCIONES: 𝒙𝟏 𝑦 𝒙𝟐

𝑥1 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥2 =−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

p.e. Resolver 𝒙𝟐 − 2𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎

x =−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 1(−15)

2 ∙ (1)

x =2 ± √4 + 60

2=

2 ± √64

2=

2 ± 8

2

obtenemos las dos soluciones

𝒙𝟏 =2+8

2= 𝟓 y 𝒙𝟐 =

2−8

2=

−6

2= −𝟑

Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √0

2𝑎

Obtenemos 1 única solución repetida

dos veces: 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐

𝑥1 =−𝑏 + √0

2𝑎

𝒙2 =−𝒃 − √0

𝟐𝒂

Lo llamamos SOLUCIÓN DOBLE:

𝑥1,2 =−𝑏

2𝑎

p.e. Resolver 𝒙𝟐 + 2𝒙 + 𝟏 = 𝟎

x =−2 ± √22 − 4 ∙ 1 ∙ 1

2 ∙ 1=

−1 ± √4 − 𝟒

𝟐

x =−1 ± √0

𝟐

El resultado es una solución repetida, se le llama

solución doble;

𝒙𝟏 =−1+0

𝟐 𝒙𝟐 =

−1−0

𝟐

𝒙𝟏,𝟐 = −1

2


28

Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 0

𝑥 =−𝑏 ± √(−)

2𝑎= ∄

Si el discriminante es negativo, la

ecuación de segundo grado NO TIENE

SOLUCIÓN REAL ya que la raíz

cuadrada de números negativos.

p.e. Resolver 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎

x =−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ 1

2 ∙ 1=

−1 ± √1 − 𝟒

𝟐

x =−1±√−𝟑

𝟐= 𝒏𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 REAL

ECUACIÓN DE 2º GRADO INCOMPLETAS TIPO: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

En este tipo de ecuaciones de segundo grado, a las que les falta el término independiente (𝒄 = 𝟎) se

resuelve sacando “FACTOR COMÚN” e igualando a cero los dos factores obtenidos.

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 → 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 x → 𝒙 ∙ (𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝟎

𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒂𝒓 𝒂 𝟎 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 {

𝒙 = 𝟎 ; 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 → 𝒙𝟏 = 𝟎

𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒙 =−𝒃

𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 → 𝒙𝟐 =

−𝒃

𝒂

Se entiende que al menos uno los dos factores; 𝒙 𝒚 𝒂𝒙 + 𝒃 pueden valer 0 si el producto

de ambos es igual a 0*.

*(si A•B=0 puede ser bien porque A= 0 o porque B=0, no?)

Al igualar a 0 los factores 𝒙 𝒚 𝒂𝒙 + 𝒃 , obtenemos dos ecuaciones que dan dos soluciones

𝒙𝟏 𝒚 𝒙𝟐 , una de ellas siempre será 0.

p.e. resolver la ecuación 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝟎 (aquí 𝒂 = 𝟐 𝒚 𝒃 = 𝟏)

Extraemos 𝒙 como factor común 𝑥 ∙ (2𝑥 + 1) = 0


29

ECUACIÓN DE 2º GRADO INCOMPLETAS TIPOS: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 𝒚 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

Este tipo de ecuaciones de segundo grado, a las que les falta el término de primer grado (es decir que

no tienen "𝒃𝒙"), se resuelven despejando la 𝒙𝟐 y averiguando la raíz cuadrada de su valor.

𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙𝟐 =𝟎

𝒂= 𝟎 → 𝒙𝟐 = ±√𝟎 → 𝒙 = 𝟎

Estas ecuaciones tendrán una única solución 𝐱 = 𝟎

p.e. resuelve 𝟑𝒙𝟐 = 𝟎; 𝟑𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙𝟐 =𝟎

𝟑= 𝟎 → 𝒙 = ±√𝟎 → 𝒙 = 𝟎

p.e. resuelve −𝟓𝒙𝟐 = 𝟎; −𝟓𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙𝟐 =𝟎

−𝟓= 𝟎 → 𝒙 = ±√𝟎 → 𝒙 = 𝟎

p.e. resuelve 𝟐

𝟑𝒙𝟐 = 𝟎;

𝟐

𝟑𝒙𝟐 = 𝟎 → 𝒙𝟐 =

𝟑∙𝟎

𝟐=

𝟎

𝟐= 𝟎 → 𝒙 = ±√𝟎 → 𝒙 = 𝟎

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 → 𝒂𝒙𝟐 = −𝒄 → 𝒙𝟐 =−𝒄

𝒂→ 𝒙 = ±√−

𝒄

𝒂

En este caso para despejar la 𝒙𝟐 transponemos primero la 𝒄 que es un número y luego

despejamos la 𝒙𝟐 pasando la 𝒂 (también otro número) dividiendo al otro término. Obtenemos

𝒙 averiguando la raíz cuadrada de lo pasado al otro término.

Estas ecuaciones tendrán dos soluciones (si −𝒄

𝒂> 𝟎)y las llamaremos 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 o ninguna (si −

𝒄

𝒂<

𝟎)

𝒙𝟏 = +√−𝒄

𝒂 y 𝒙𝟐 = −√−

𝒄

𝒂


30

Igualamos los dos factores a 0 𝑥 = 0 , 2𝑥 + 1 = 0

Despejamos y obtenemos 2 soluciones 𝒙𝟏 = 0 𝒙𝟐 = −1

2

p.e. resolver la ecuación 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎

Extraemos 𝟒𝒙 como factor común 4𝑥 ∙ (𝑥 + 3)=0

Igualamos los dos factores a 0 4𝑥 = 0 , 𝑥 + 3 = 0

Despejamos y obtenemos 2 soluciones 𝒙𝟏 = 0 𝒙𝟐 = −3

3.3 Expresar las ecuaciones de segundo grado en la forma general ax2+bx2+c=0

p.e. Expresar la ecuación 3x2 - 2x + 1 = 5 en la forma ax2 + bx + c = 0, indicando los

valores de los coeficientes a, b y c.

Resolución:

1. Se pasan todos los términos al mismo lado del signo =, y se reducen los términos

semejantes:

3x2 - 2x + 1 - 5 = 0 3x2 - 2x - 4 = 0

a = 3 es el coeficiente del término en x2.

b = -2 es el coeficiente del término en x.

c = -4; es el término independiente.

La ecuación es completa. Ninguno de sus coeficientes es cero.

p.e. Expresar la ecuación 𝟑∙(𝒙+𝟏)

𝟐−

𝟐∙(𝒙+𝟏)

𝟑=

(𝒙+𝟏)∙(𝒙+𝟐)

𝟓 en la forma ax2 + bx + c = 0,

indicando los valores de los coeficientes a, b y c.

Resolución:

Se quitan paréntesis:

𝟑𝒙 + 𝟑

𝟐−

𝟐𝒙 − 𝟐

𝟑=

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒙 + 𝟐

𝟓

Se multiplica toda la ecuación por m.c.m. (2, 3, 5) = 30

p.e. resuelve 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝟎;

𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝟎 → 𝟐𝒙𝟐 = 𝟖 → 𝒙𝟐 =𝟖

𝟐→ 𝒙𝟐 = 𝟒 → 𝒙 = ±√𝟒 → 𝒙 = ±𝟐 esta ecuación tendrá

dos soluciones 𝒙𝟏 = +𝟐 𝒚 𝒙𝟐 = −𝟐


31

30∙∙𝟑𝒙+𝟑

𝟐− 𝟑𝟎 ∙

𝟐𝒙−𝟐

𝟑= 𝟑𝟎 ∙

𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝒙+𝟐

𝟓 → 𝟏𝟓 ∙ (𝟑𝒙 + 𝟑) − 𝟏𝟎 ∙ (𝟐𝒙 − 𝟐) = 𝟔 ∙ (𝒙𝟐 +

𝟐𝒙 + 𝒙 + 𝟐) operamos 45𝑥 + 45 − 20𝑥 + 20 = 6𝑥2 + 12𝑥 + 6𝑥 + 12

Trasponemos a un lado e igualamos a 0: 45𝑥 + 45 − 20𝑥 + 20 − 6𝑥2 − 12𝑥 − 6𝑥 −

12 = 0

Reducimos términos y ordenamos: −6𝑥2 + 7𝑥 + 53 = 0

Concluimos en que a=-6, b=7 y c=53, es una ecuación completa

3.4 Resolución de PROBLEMAS con ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Para la resolución de problemas de ecuaciones de segundo grado se siguen los mismos

pasos que en el caso de los problemas de ecuaciones de primer grado.

No hay ninguna duda de que es conveniente empezar leyendo atentamente el texto de

problema y distinguir dos cosas:

a) Lo que nos pregunta el problema, es decir el dato que debemos averiguar.

b) La información que nos da el problema, que aparece en forma de frases en el

texto del problema y nos debe ayudar a crear o componer una ecuación.

Una vez resueltas estas dos cuestiones es conveniente seguir estos pasos para llegar a

un adecuado tratamiento de la información y llegar a una solución del problema:

1. Se nombra con una letra, habitualmente la X, al dato desconocido al que se

refiere la pregunta del problema y que se considera la incógnita. Si hay más

datos conocidos se representan según su relación con ella.

2. Se plantea una ecuación que relacione los datos y la incógnita.

3. Se resuelve la ecuación planteada y se obtiene la solución o soluciones. En

este caso y especialmente en los problemas de ecuaciones de segundo grado

previamente a su resolución habrá que transformar la ecuación obtenida en el

punto 2 a su forma general (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 o 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 𝑜 𝒂𝒙𝟐 +

𝒄 = 𝟎).


32

4. Se comprueba si la solución encontrada satisface el enunciado. En el caso de

varias soluciones puede que alguna de ellas lo satisfaga y otra no, o que las dos

soluciones sean buenas.

p.e. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

1. Se nombra con una letra 𝟐𝒙 a cualquier número par y 𝟐𝒙 + 𝟐 al siguiente

número par consecutivo al primero.

2. Se plantea una ecuación;

El producto de dos números pares consecutivos=168

𝟐𝒙 ∙ (𝟐𝒙 + 𝟐) = 𝟏𝟔𝟖

3. Se resuelve la ecuación planteada

4𝑥2 + 4𝑥 = 168 → 4𝑥2 + 4𝑥 − 168 = 0

la simplificamos (:4) y obtenemos 𝑥2 + 𝑥 − 42 = 0

x =−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−42)

2 ∙ 1=

−1 ± √1 − 168

2=

−1 ± √169

2=

−1 ± 13

2

= {𝒙𝟏 = 𝟔

𝒙𝟐 = −𝟕

4. Se comprueba la solución,

Si 𝒙 = 𝟔, 𝟐𝒙 = 12 y 𝟐𝒙 + 𝟐 = 14 , 12 ∙ 14 = 168, este resultado cumple enunciado

Si 𝒙 = −𝟕, 𝟐𝒙 = −14 y 𝟐𝒙 + 𝟐 = −16 , (−12)(−14) = 168, este resultado también

cumple enunciado

Los números pares consecutivos son 12 y 14, o bien -12 y -14.


33

TEMA 9

ECUACIONES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de 1er grado.

1) 4x = 2x - 12

2) 8x - 24 = 5x

3) 7x + 12 = 4x - 17

4) 3x - 25 = x - 5

5) 5x + 13 = 10x + 12

6) 12x - 10 = -11 + 9x

7) 36 - 6x = 34 - 4x

8) 10x -25 = 6x - 25

9) 11x - 1 + 5x = 65 x - 36

10) 4x - 13 - 5x = -12x + 9 + 8x

11) -5 + 7x +16 + x = 11x - 3 - x

12) 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5

2. Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:

1) 5(x + 2) = 40

2) 3(x - 4) + 6 = 9

3) 2x(4x - 3) = 8x2 - 18

4) -2(x + 3) + 5(x - 2) = x + 1

5) 4(x + 3) - 2(-x + 3) = 6 - x

6) 8(x + 2) = 3(x - 5) - 7(x + 3)

9) (x + 2)(x - 5) = (x - 1)(x - 6)

10) (x - 8)(x + 1) = (x + 5)(x - 3)

11) (x + 1)(6x - 2) = (2x + 4)(3x + 2)

12) 2(x - 2)(x + 3) - (2x + 4)(x - 2) = 0

13) (6x + 10)(6x - 10) = 15 + (3x - 5)(12x + 5)

14) (2x + 3)(2x - 3) + 7 = 4(x + 2)(x - 2) + 2x


34

3. Halla la Obtén la solución de estas ecuaciones.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones.


6. Halla la solución de las ecuaciones.



30225314) xxxa 3164342) xxd

242683) xxb 244286) xxe

12483) xxc 248326) xxf

52

6)

x

xa

4

1243

2

5) xxd

4

1245)

xxb 5

6

1

4

3

323)

x

xe

22421

3

4)

xxc 2

2

84)

xf

5

163

10

7

2

12)

xxa

8

3

20

733

12

9)

xxxd

4

3

9

1

6

5)

xxxb

5

4

4

31

2

1)

xxxe

3

9

3

32

4

43)

xxxc

3

1021

4

123)

xxf

2

75

4

93

3

425)

xxxa x

xxxxd

6

15

2

31

2

193

3

25)

23

4

5

4

15

13)

xxxb

8

4

416

1

2

32)

xxxxe

04

5

10

31

8

3)

xxxc

12

1

20

35

4

2

15

64)

xxxf

7211)2

xxxxa 22853) xxxxd

6235) 22 xxxxb 2312224)

2 xxxxe

715)2 xxxxc 2

13952138) xxxf

0164) 2 xa 644) 2 xd

455) 2 xb 644) 2 xd

0753) 2 xc 088) 2 xe


35


10. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado completas, aplicando la fórmula

general.

11. Obtén la solución de las ecuaciones.

FIJATE COMO SE HACE

¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A UN NÚMERO?

Ejemplo:

a) Cuando el número es 0.

PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores.

SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones de de primer grado. Estas serán las soluciones de la

ecuación de segundo grado

b)Cuando el producto es igual a un número distinto de cero.

PRIMERO. Se realiza el producto y se agrupan los términos en el mismo miembro.

SEGUNDO. Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante.

0) 2 xxa xxd 162) 2

0105) 2 xxb2189) xxe

0217) 2 xxc 0106) 2 xxf

028217) 2 xxa 034) 2 xxc

0532) 2 xxb 020) 2 xxd

101212)22 xxa

2

1

3

5

2

52)

2

xx

c

13

1) 2

x

xb xxd 213) 2

02413) xxa 221) xxb

024

01302413

x

xxx

3

1013 xx

2

1

4

2024 xx

0222221 22 xxxxxxx

101

0010

2

12

xx

xxxxx


36


f)

FIJATE COMO SE HACE

¿CÓMO SE RESUELVEN ECUACIONES DEL TIPO ?

Ejemplo.

a) Cuando el término de la derecha es negativo, la ecuación no tiene solución. No existe ningún número

que elevado al cuadrado sea un número negativo.

b) Cuando el término de la derecha es mayor o igual que cero se procede de esta manera:

PRIMERO. Se calcula la raíz cuadrada en los dos miembros, teniendo en cuenta el signo positivo y negativo

de su resultado.

SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones de primer grado que resultan.


14. Determina un número, de forma que la suma de su triple y cuatro veces el número

sea 21.

15. La suma de dos números es 55 y uno de ellos es la cuarta parte del otro. Halla los

números.

16. La suma de tres números es 330. El primero es el doble del segundo y el segundo es

el triple del tercero. Calcula dichos números.

03) xxa 1454) xxd

0935) xxb 325

135)

xxe

333417) xxc 033 xx

nbax 2

92)2

xa 92)2xb

32929222

xxx

132

53232

2

1

xx

xxx

043)2xa 643)

2xc 085)

2xe

07

39)

2

xb 424)

2xd 823)

2xf


37

17. Encuentra dos números sabiendo que suman 20 y se diferencian en 6 unidades.

18. La edad de Pablo es doble de la de su hermana María más dos años. La suma de las

edades de los dos es de 17 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

19. La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los

números.

20. La abuela de Víctor tiene 61 años. Esta edad es el triple de la edad de su nieto más

25 años. ¿Cuál es la edad de Víctor?

21. El doble de un número y el triple del siguiente suman 33. ¿Cuál es el número?

22. Un trayecto en taxi cuesta 2,50 € de bajada de bandera y 1,50 € por cada kilómetro.

Si pagamos 13 €, ¿qué distancia hemos recorrido?

23. Un poste esta pintado de negro, rojo y amarillo. La parte pintada de negro es 2/5 del

poste, la parte pintada de rojo es ½ de la pintada de negro, y los 48 cm restantes

están pintados de amarillo. ¿Cuánto mide cada parte?

24. Para vallar un terreno rectangular se han necesitado 240 metros de valla. Si el ancho

del campo es la tercera parte del largo, ¿cuánto miden el ancho y el largo?

25. En la primera quincena del mes, una tienda de cómics vende la mitad de los que

tenía a la venta. En la segunda quincena vende la mitad de los que vendió en la

primera. Le quedan sin vender 150 cómics. ¿Cuántos cómics tenía a la venta?

26. Si al doble de un número le sumamos su tercera parte, obtenemos el triple de ese

número menos 12 unidades. ¿Cuál es ese número?

27. El producto de dos números consecutivos es 132. ¿Cuáles son esos números?

28. Olga tiene cinco años menos que su hermano. Dentro de dos años, la edad de Olga

será la mitad de la de su hermano. ¿Cuántos años tiene cada uno?

29. La revista del colegio propone a Nuria escribir un artículo sobre ecología. Le dicen

que dispone de 3 páginas con 3 columnas cada una. Nuria decide dedicar a reciclaje

el doble de columnas que a la introducción, y a las energías renovables, una columna

más que a la introducción. ¿Cuántas columnas dedica a cada apartado?

30. Halla tres números impares consecutivos cuya suma valga 69.

31. Al dividir un número aumentado en 16 por dicho número se obtiene 9 como cociente

exacto. ¿Cuál es dicho número?


38

32. Un viajero hace un trayecto en tres etapas. En la primera recorre un cuarto del

trayecto ; en la segunda, la mitad del trayecto que queda, y en la tercera, 60 km.

¿Cuántos km tiene el trayecto?

33. Una pastelería quiere preparar pasteles mezclando caramelos de naranja de 2 € el

kilo con 8 kilos de caramelos de limón de 5 € el kilo. ¿Cuántos caramelos de naranja

tiene que utilizar para que el kilo de la mezcla salga a 3 €?

34. Un acuario tiene doble capacidad que otro. Están llenos de agua y, si se sacan 30

litros de agua de cada uno, en uno queda triple cantidad de agua que en otro.

a) ¿Cuál es la capacidad de los acuarios?

b) ¿Cuál es la cantidad de agua que queda en cada recipiente?

35. Mezclamos 50 litros de aceite de 3,60 € el litro con 70 litros de otro aceite de 4,20 €

el litro. ¿Qué precio debe tener el litro de la mezcla?

36. En una clase de 2º de ESO, la cuarta parte de los alumnos cursa recuperación de

matemáticas,; la tercera parte, recuperación de lengua, y los 10 restantes cursan

francés. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

37. El perímetro de la base de un depósito rectangular es de 10 metros. El ancho de la

base es la cuarta parte del largo. ¿Cuánto tiene que medir la altura del depósito para

que su capacidad sea de 8 metros cúbicos.

38. Un autobús sale de una ciudad con una velocidad constante de 80 km/h. Al cabo de

una hora sale desde la misma ciudad y en la misma dirección un coche con una

velocidad de 100 km/h. ¿Cuándo se juntarán?

39. El suelo de un habitación es rectangular. Un lado del suelo es 2 metros mayor que el

otro. La altura de la habitación mide 2,5 metros, y el volumen es de 37,5 m3. Calcula

los lados del suelo.

40. Si a un número se le suma 1 y el resultado se multiplica por 3, da 57. ¿Cuál es dicho

número?

41. El perímetro de un triángulo isósceles mide 81 cm. Si cada uno de los lados iguales

mide el cuádrupleque el lado desigual, ¿cuánto miden los lados del triángulo?

42. Dos números decimales se diferencian en 3 unidades. Si su producto es 238, ¿Cuáles

son esos números?


39

MÁS ECUACIONES DE 1ER GRADO

1. Resuelve las siguientes ecuaciones quitando para ello el paréntesis antes:

a) 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4

b) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x)

c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2(x + 6) – 7x

d) 10(x – 2) = 1

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2 42

xx

b) 2(x – 5) –10 = x – 5

c) 3(x – 6) – 10 = 2(x – 5) – 4

d) 5(x – 2) – 6 (x – 1) = 3(2x – 4)


a) 623 xx b) xxx 815782

c) 7521 xxx d) 0132473 xxx

e) 4326104 xx f) 446249 xxx

g) xxx 31325 h) xxxxx 92562273

i) xxxx 57294 j) 3276258 xxxx

k) xxx

13

42

2

5 l)

2

1

4

43

2

3

x

xx

m) xx

xx

5

733

2

5 n)

2

5

48

42

2

3 xxxx

ñ) 5

321

3

42

4

5

xxx o)

9

33

3

42

2

xx

xx

p)

6

453

3

42

2

5

xx

x q)

4

3

2

5

xx


a) x + 16 = 41

b) 9x – 45 + 4x – 16 = 4

c) 2x – 3 + x – 35 = 2 – 9x – 4

d) 3 · (x – 2) + 9 = 0

e) 8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30)

f) x + (x + 2) = 36


40

g) 2 · (3x – 2) – (x + 3) = 8

h) 2 · (13 + x) = 41 + x

i) 2 · (x – 3) – 3 · (4x – 5) = 17 – 8x

j) 4x – 3 · (1 – 3x) = –3

k) 4 · (2x) – 3 · (3x – 5) = 12x – 180

l) 6 – x = 4 · (x – 3) – 7 · (x – 4)

m) 3 · (2x – 6) – [(x – (3x – 8) + 2) – 1] = 2 – (3 – 2x)

n) (x – 2)2 = x2

ñ) x · (x + 4) = x2 + 8

5. Resuelve las siguientes ecuaciones (con solución):

Nº ECUACIÓN SOLUCIÓN

1 3·x + 5 = 3 - 2·x

2

x = - ———

5

2 3·x - 2·(x + 1) = 2·(3·x - 1) + 4

4

x = - ———

5

3 3·(1 - 2·x) - 4·(1 - x) = x - 2·(1 + x) x = 1

4 x - 1 2 - x

——————— = ———————

2 3

7

x = ———

5

5 2·(x - 2) 3·(1 - x)

——————————— + ——————————— = 1

3 2

x = -1

6 2·(2 - x) 3·(2·x - 3) 4·(1 - x)

——————————— - ————————————— = ——————————— + 2

5 2 3

59

x = ————

62

7 2·x 3·x

————— + ————— - x = 2·(1 - 2·x) - x

3 2

12

x = ————

37

8 x x 3·(x + 2)

2·(2 - x) + ——— - ——— = ———————————

3 2 2

3

x = ————

11

9 2 1 - x 1 2·x + 3 x

———·——————— - ———·————————— = ———

3 5 4 2 2

29

x = - —————

106

10 x x 2·x 4·x 2·(x + 1)

——— + ——— - ————— = x - ————— - ———————————

2 3 5 3 3

20

x = - ————

43

11 x

2·((1 - x) + 2·(2·x - 4)) = ——— - 4

2

20

x = ————

11

12 1 x - 3 x

———·——————— = 1 - ———

2 3 4

18

x = ————

5


41

13 1

- (2·x + 4) - (3·x - 1) = 3·(x + ———)

4

15

x = - ————

32

MÁS ECUACIONES DE 2º GRADO


a) x x2 8 15 0 b) 2 9 1 02x x c) 4 12 9 02x x

d) x x2 8 25 0 e) 4 12 9 02x x f) 3 2 1 02x x

g) x x2 7 3 0 h) 3 6 12 02x x i) 3 10 3 02x x

j) 2 5 2 02x x k) 6 5 1 02x x l) 6 7 2 02x x

(Sol: a) 3,5 b)9 90

4

c)

3

2 d)no tiene e)

3

2 f) 1

1

3, g)

7 37

2 h)

6 180

6

i) 3

1

3, j) 2

1

2, k)

1

2

1

3,

l)2

3

1

2,


a) 11 21 2 2x x b) 3 1 2 3 6x x x c) 21 100 212x x x

d) 2 1 12 2x x x e) x 2 32

f) 5 3 11 4 1 12

x x

g) 4 1 2 2 12x x h) xx x2

2

1

3

2

3 i) x

x2 3 1

2

2

3

(Sol: a) 73

2, b) 0 c)11 d) 1

2

3, e)

4 12

2

f) 3

1

25, g) 1

7

4, h)

2

3

1

2, i) no tiene)


42

8. Resuelve las siguientes ecuaciones (con solución y proceso):


43

ECUACIONES DE 2º GRADO INCOMPLETAS


a) x x2 0 b) 2 02x c) x2 9 0 d) 4 9 02x

e) x x2 2 0 f) 8 16 02x x g) 3 4 282 2x x h) x x2 9 0

i) x2 1 0 j) x2 6 10 k) 1 4 82 x l) x x2 11 0

m) x x 5 1 5 0 n) 3 2 3 2 77x x

(Sol: a) x x 0 1, b) x 0 c) x 3 d) x 3 2/ e) x x 0 2, f) x x 0 2, g) x 4 h) x x 0 9,


44

i) x 1 j) x 4 k) x 3 2/ l) x x 0 11, m) x x 0 4, n) x 3


a) x2 - 16 = 0 b) 3x2 - 147 = 0 c) x2 - 144 = 0 d) 7x2 = 343

e) 3x2 = 243 f) x2 - 24 = 120 g) 3x2 + 12 = 0 h) 7x2 - 28 = 0


a) 2x2 + 7x = 0 b) x2 - 64x = 0 c) 5x2 - 40x = 0 d) 4x2 – 9x = 0

e) 5

2x

= x f) 3x2 + 27x = 0 g) 7x2 = 3x h) 6x2 + 2x = 0

MIX

1) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83

2) (2x + 5)(2x – 5) = 11

3) (7 + x)2 + (7 – x)2 = 130

4) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40

5) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214

6) 8(2 – x)2 = 2(8 – x)2

7) 54

4x

2

6x 22

8) 2x

x7

x

3x5

9) x2 – 3x = 0

10) 6x2 + 42x = 0

11) x2 + ax = 0


45

12) (x – 2)(x – 3) = 6

13) (x – 2)(x + 5) = 9x + 10

14) (2x + 6)(2x – 6) = (2x + 9)(3x – 4)

15) (x + 3)2 – 8x – 9 = 0

16) (x + 4)2 + (x – 3)2 = (x + 5)2

17) (x + 13)2 = (x + 12)2 + (x – 5)2

18) 183x2

54x3

19) 3

7

3x

3

3x

4

20) x2 – 18x + 80 = 0

21) x2 – 4x – 96 = 0

22) x2 – 17x + 52 = 0

23) x2 – 7x – 120 = 0

24) 4x2 + 5x – 6 = 0

25) 6x2 + 5x – 1 = 0

26) 3x2 – 10x – 25 = 0

27) 7x2 – 16x + 9 = 0

28) 8x

15x

29) 05x

18

3

x

30) 10x2

1x

2x

8x

31) 6

13

x

1x

1x

x

32) 22

x3

1x

4

33) x2 + 4ax – 12a2 = 0

34) x2 – 5ax + 6a2 = 0

35) 8x3

x2

x5

x37


46

Respuestas:

1) 7 y -7 2) 3 y -3 3) 4 y -4 4) 4 y -4 5) 6 y -6 6) 4 y -4 7) 6 y -6

8) 1 y -1 9) 0 y 3 10) 0 y -7 11) 0 y –a 12) 0 y 5 13) 0 y 6 14) 0 y 2

19

15) 0 y 2 16) 0 y 8 17) 0 y 12 18) 0 y 2

9 19) 0 y

7

3 20) 10 y 8

21) 12 y -8 22) 4 y 13 23) -8 y 15 24) -2 y 4

3 25) -1 y

6

1 26) 5 y

3

5

27) 1 y 7

9 28) 5 y 3 29) -6 y -9 30) 13 y -6 31) -3 y 2 32) 3 y 5

33) 2a y -6a 34) 9 y 3

11

MÁS PROBLEMAS

1. ¿Qué número hay que sumar a 15 para obtener 27?

2. Averigua un número, sabiendo que si a su triple se le restan 10 unidades se

obtiene el número aumentado en 4 unidades.

3. Se multiplica por 2 al resultado de disminuir un número en 3 unidades, de modo

que da 14. ¿De qué número se trata?

4. Halla dos números sabiendo que uno de ellos es el doble del otro, y que entre

los dos suman 24.

5. Un lápiz y un bolígrafo valen juntos 17 €. ¿Cuánto vale cada uno si el bolígrafo

vale 7€ más que el lápiz?

6. En una clase los aprobados son 15 más que los suspensos. Si son un total de 31

alumnos en la clase, ¿cuántos aprobados y cuántos suspensos hay?

7. Halla el lado de un triángulo equilátero si su perímetro es 27 m.

8. Calcula lo que miden los lados de un triángulo cuyo perímetro es de 18 cm, si

sabemos que el segundo lado es el doble que el primero, y el tercer lado 2 cm

menos que el segundo.


47

9. Halla las dimensiones (cuánto mide cada lado) de un rectángulo, si su perímetro

es de 30 m y la base mide 7 m más que la altura.

10. Nerea se sube a una báscula junto con sus dos hijos (Ricardo y Juan) y marca 87

kg. Averigua el peso de cada uno si sabemos que Ricardo pesa 5 kg más que Juan

y Nerea el doble que Juan y Ricardo juntos.

11. Dos números enteros consecutivos suman 31. ¿Cuáles son?

12. Di tres números consecutivos tales que el mayor es el doble del pequeño

13. La suma de tres números pares consecutivos es 72. Calcula dichos números.

14. Al sumar tres números impares consecutivos obtenemos 99. Hállalos.

15. En una reunión se sabe que hay el triple de mujeres que de hombres, y cuatro

veces más niños que hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay?

16. En un cesto hay 300 piezas de fruta. Se sabe que hay 4 veces más naranjas que

manzanas y el doble de peras que de manzanas y naranjas juntas. ¿Cuántas

frutas hay de cada clase?

17. Un padre tiene 36 años y su hijo 7. ¿Dentro de cuánto tiempo será la edad del

padre el doble de la de su hijo?

18. Halla el área de un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa vale 15 cm

y que la suma de los catetos es 21 cm.

19. Un campo rectangular tiene 2.400 m2 de superficie y 20 m más de longitud que

de anchura. Halla sus dimensiones.

20. El perímetro de un rectángulo es 40 cm y su área es 96 cm2. ¿Cuáles son sus

dimensiones?

21. Halla tres números ENTEROS consecutivos cuyo producto sea igual a su suma.

22. ¿Cuál sería la solución del problema anterior si se pidieran números NATURALES?

23. Si disminuimos 3m cada lado de un cuadrado se obtiene otro cuadrado cuya área

es 63 m2 más pequeña que la del cuadrado primitivo. ¿Cuáles eran las

dimensiones primitivas de este cuadrado?

24. Al añadir a un número 3 unidades y multiplicar por sí mismo el valor resultante,

se obtiene 100. Calcula dicho número.


48

25. La diferencia de dos números es 3 y la suma de sus cuadrados es 117. ¿Cuáles

son esos números?

26. La suma de dos números es 15 y su producto es 26. ¿Cuáles son dichos números?

27. La edad de un niño será dentro de 3 años el cuadrado de la que tenía hace 3

años. Halla los años que tiene ahora.

28. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de los catetos mide 3

cm. Calcula el otro cateto y la hipotenusa.

29. Un campo rectangular mide 2.800 m2 y su perímetro tiene una longitud de 220

m. Halla las dimensiones de la finca.

30. Aumentando un lado de una plaza cuadrada en 8 m y el lado contiguo en 12 m,

se obtendría una plaza de doble área que la dad. Halla el lado de la plaza.

31. Las medidas de los lados y la diagonal de un rectángulo son tres números pares

consecutivos. Halla las dimensiones del rectángulo.

32. Calcula dos números cuya suma es 10, y la de sus cuadrados es 52.

SOLUCIONES (problemas 18 al 32)

El área es 54 cm2

El campo mide 40 m de ancho y 60 m de largo

Los lados miden 8 cm y 12 cm

Podrían ser –3, –2 y –1, ó bien 3, 2 y 1

Sólo los números 3, 2 y 1 serían válidos

El lado del cuadrado era 12 m

El número podría ser el 7 ó el –13

Los números podrían ser el 9 y el 6, ó bien, el –6 y el –9

Los números son 2 y 13

Ahora tiene 6 años

El otro cateto mide 4 cm y la hipotenusa 5 cm

El campo mide 40 m de ancho y 70 m de largo

El lado de la plaza cuadrada mide 24 m

Los lados del rectángulo miden 6cm y 8 cm

Los números son el 4 y el 6


49

TEMA 10

SISTEMAS DE ECUACIONES

Objetivos

1. Conocer, entender y emplear con habilidad los métodos de sustitución, igualación y

reducción en sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2. Planteamiento y resolución de problemas empleando como herramientas los

sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

3. Iniciarse de forma intuitiva en las posibles soluciones matemáticas de un sistema de

ecuaciones lineales con dos incógnitas (sistema compatible determinado, sistema

compatible indeterminado o sistema incompatible).


1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 incógnitas empleando indistintamente

los métodos de sustitución, reducción e igualación.

2. Resolución de problemas de geometría, números, cálculos con costes y mercancías,

repartos etc empleando los sistemas de ecuaciones como herramientas.

3. Entender las soluciones de los sistemas de ecuaciones y interpretarlas para dar

solución a un problema planteado.


50

INDICE

1. Sistemas de ecuaciones

1.1 La ecuación lineal con dos incógnitas

1.2 El sistema de ecuaciones

2. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

2.1 Resolución por SUSTITUCIÓN

2.2 Resolución por IGUALACIÓN

2.3 Resolución por REDUCCIÓN

3. Resolución de problemas por sistemas de ecuaciones


51

1 SISTEMA DE ECUACIONES

1.1 La ecuación lineal con dos incógnitas

Una ecuación de 1º grado con dos incógnitas, “X” y “Y” se llama Ecuación Lineal

con dos incógnitas y tienen la siguiente forma;

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄

Se le llama ecuación lineal porque una ecuación de primer grado con dos

incógnitas es la ecuación general de una recta.

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄

𝒂 𝒚 𝒃 𝒔𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔, 𝒄 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

- Coeficientes: son los números o fracciones que acompañan a la incógnita

incluyendo su signo. (como sabemos si no hay se considera que es el “1”).

p.e. en la expresión 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟖 son el 3 y el 4

p.e. en la expresión −𝟕𝒙 − 𝟐𝟓𝒚 = 𝟏𝟎 son el -7 y el -25

- Términos independientes: son los números o fracciones que no acompañan

a ninguna de las dos incógnitas (incluyendo su signo)

p.e. en la expresión 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟖 es el 8.

p.e. en la expresión −𝟕𝒙 − 𝟐𝟓𝒚 = 𝟏𝟎 es el 10.

Una solución para una ecuación con dos incógnitas son dos valores, uno de X y uno

de Y , para los cuales se cumple la ecuación.

p.e. en la expresión 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟐 podemos ver fácilmente que si

𝒙 = 𝟏 𝒚 𝒚 = 𝟐 la ecuación se cumple;

ya que 𝟑 ∙ (𝟏) + 𝟒 ∙ (𝟐) = 𝟏𝟐 → 𝟑 + 𝟖 = 𝟏𝟐.

Coeficientes de las incógnitas Término independiente


52

Aun así cabe destacar que una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas

soluciones. Es decir para un valor cuales quiera dé 𝒙 existe otro valor de 𝒚 que

cumple la ecuación.

1.2 Sistemas de Ecuaciones.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos

ecuaciones lineales donde las dos incógnitas representan los mismos valores.

Se suele expresar así;

{𝑎𝒙 + 𝑏𝒚 = 𝑐

𝑎´𝒙 + 𝑏´𝒚 = 𝑐´

Estas dos ecuaciones tienen las mismas incógnitas "𝒙" 𝑦 "𝒚", y cada una tiene diferentes

coeficientes y términos independientes (por ello los distinguimos como

𝒂 𝑦 𝒂´, 𝒃 𝑦 𝒃´, 𝑦 𝒄 𝑦 𝒄´).

p.e. {𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟔

p.e. {𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟎

2 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE

ECUACIONES

Hasta ahora hemos visto que es una ecuación lineal, que es un sistema (2 ecuaciones)

y que es un par de soluciones de un sistema.

Ahora abordaremos la forma de resolver los sistemas y obtener los valores 𝒙 𝑦 𝒚.

Básicamente y dentro del programa de este curso diremos que existen tres métodos

de resolución de sistemas de ecuaciones;


53

- Sustitución

- Igualación

- Reducción

2.1 Método de resolución por SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar o calcular el valor de una incógnita, en una de las ecuaciones y

sustituirla en la otra. Se realiza de la siguiente forma:

1º: Elegimos una de las ecuaciones y una de las incógnitas y la despejamos.

2º: En la otra ecuación, sustituimos la incógnita elegida, por lo que nos salió en el

paso 1º, y nos sale una ecuación con una sola incógnita.

3º: Resolvemos la ecuación que nos ha salido en el 2º paso.

4º: Se sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones iniciales, también

podemos sustituir en el resultado del paso 1º, y nos sale una ecuación con una

incógnita, que se resuelve y ya tenemos la solución de la otra incógnita.

p.e.. Resolver por sustitución {𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟒

𝟗𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐

1º: Elegimos la 1º ecuación y escogemos la incógnita y , que la despejamos en la 1ª

ecuación

[𝟏] 𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟒 → 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 y → [𝟏] 𝒚 = 𝟒 − 𝟑𝒙

2º: Sustituimos en la 2ª ecuación, la incógnita y, por el valor obtenido en el paso

[𝟏] 𝒚 = 𝟒 − 𝟑𝒙

[𝟐] 𝟗𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐 ; 9𝑥 − 2 ∙ (𝟒 − 𝟑𝒙) = 2 ahora ya no hay 2 incógnitas

3º: Resolvemos la ecuación que nos ha salido en el paso anterior,


54

[𝟐] 9𝑥 − 2 ∙ (𝟒 − 𝟑𝒙) = 2

[𝟐] 9𝑥 − 2 ∙ (𝟒 − 𝟑𝒙) = 2 → 9𝑥 − 8 + 6𝑥 = 2 → 9𝑥 + 6𝑥 = 2 + 8

15𝑥 = 10 → 𝑥 =10

15=

2

3 → 𝒙 =

𝟐

𝟑 ya tenemos una solución

4º: Sustituimos el valor de x , en una de las dos primeras ecuaciones y la resolvemos

(elegimos la 2ª)

[𝟐] 𝟗𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐 ; 9 (𝟐

𝟑) − 2𝑦 = 2 →

18

3− 2𝑦 = 2 → 6 − 2𝑦 = 2

6 − 2𝑦 = 2 → −2𝑦 = 2 − 6 → −2𝑦 = −4

𝑦 =−4

−2= 2 ; 𝒚 = 𝟐 la otra solución

La solución del sistema es: 𝒙 =𝟐

𝟑 𝑦 𝒚 = 𝟐, se puede expresar como (

𝟐

𝟑 , 𝟐).

2.2 Método de resolución por IGUALACIÓN

Este método consiste en despejar el valor de una misma incógnita en las dos

ecuaciones e igualar los resultados obtenidos. Se realiza de la siguiente forma:

1º: Se elige una incógnita y se despeja en las dos ecuaciones.

2º: Si cogemos x, como x = x, o si escogemos y, como y = y; las dos expresiones que

hemos obtenido, son también iguales, por lo tanto, las igualamos y nos sale una

ecuación con una sola incógnita, que resolvemos y ya tenemos la solución de la otra

incógnita.

3º: Sustituimos el valor de la incógnita que hemos resuelto en el paso 2º, en

cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, o en el resultado obtenido en el paso 1º,


55

y nos sale una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos y ya tenemos la

solución de la otra incógnita.

p.e. Resolver por Igualación {𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒

𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟔

1º: Elegimos una incógnita y la despejamos en las dos ecuaciones. Elegimos la x

Despejamos la x en la primera:

[𝟏] 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒 ; → [𝟏] 𝑥 = 𝟒 − 𝟐𝒚

Ahora despejamos la x en la 2º:

[2] 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟔; → [2] 𝑥 =𝟔 − 𝟓𝒚

𝟑

2º: Igualamos las dos expresiones y tenemos una ecuación con una sola incógnita, que

resolvemos: [1] = [2]

𝟒 − 𝟐𝒚 = 𝟔−𝟓𝒚

𝟑

(por que así decimos que 𝒙 vale lo mismo en ambas ecuaciones)

Despejamos la Y 𝟒 − 𝟐𝒚 = 𝟔−𝟓𝒚

𝟑 → 3 ∙ (4 − 2𝑦) = 6 − 5𝑦

Operamos 12 − 6𝑦 = 6 − 5𝑦; → trasponemos 5𝑦 − 6𝑦 = 6 − 12

Reducimos y resolvemos −𝑦 = −6 → 𝒚 = 𝟔 tenemos una solución

3º: sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones iniciales o en alguno de los

resultados del paso 1º.

Elegimos el primer resultado del paso 1º: [𝟏] 𝑥 = 𝟒 − 𝟐𝒚

[𝟏] 𝑥 = 𝟒 − 𝟐𝒚 → 𝑥 = 4 − 2 ∙ (𝟔) → 𝒙 = −𝟖


56

La solución del sistema es: 𝒙 = −𝟖 𝒚 = 𝟔 ó ( –8 , 6 )

2.3 Método de resolución por REDUCCIÓN

El método de Reducción consiste en eliminar una de las dos incógnitas sumando las

dos ecuaciones. Se realiza de la siguiente forma:

1º: Se elige una incógnita y se multiplican los dos miembros de la 1ª ecuación por el

coeficiente que tenga la incógnita escogida en la 2ª ecuación. Nos sale una ecuación.

2º: Multiplicamos los dos miembros de la 2ª ecuación por el coeficiente que tenga la

incógnita escogida, en la 1º ecuación, pero cambiando de signo. Nos sale otra

ecuación.

3º: Sumamos las dos nuevas ecuaciones, término a término y nos sale una ecuación

que sólo tiene una incógnita

4º: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso anterior y tenemos el valor de la

incógnita.

5º: Se sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones iniciales y volvemos a

obtener una ecuación con una sola incógnita. Se resuelve y ya tenemos la solución de

la otra incógnita

p.e.. Resolver por reducción: {−𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟏𝟒𝟔𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟏𝟒

1º: Elegimos una incógnita para eliminarla: elegimos la x . El coeficiente de x en la 2ª

ecuación es 6; ahora multiplicamos la 1ª ecuación por 6:

𝟔 ∙ [1] → 𝟔(−4𝑥 + 9𝑦 = 14) → [1] − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟓𝟒𝒚 = 𝟖𝟒 (es equiv)

Ahora necesitaríamos que el término de la 𝒙 en la ecuación [𝟐] fuera 24𝑥 de forma

que se anularan.

2º: El coeficiente de x en la 1ª ecuación es – 4, y lo empleamos para multiplicar a la 2ª

ecuación. Pero cambiándole el signo:

4 .[𝟐] → 𝟒 ∙ (6𝑥 + 9𝑦 = 14) → [𝟐] 𝟐𝟒𝒙 + 𝟐𝟖𝒚 = 𝟏𝟒 (es equiv)


57

3º: Sumamos las dos nuevas ecuaciones, término a término.

−𝟐𝟒𝒙 + 𝟓𝟒𝒚 = 𝟖𝟒

𝟐𝟒𝒙 + 𝟐𝟖𝒚 = 𝟏𝟒 +

/ 𝟖𝟐𝒚 = 𝟏𝟔𝟒

Ahora solo hay una incógnita

4º: Se resuelve; 82𝑦 = 164; → 𝑦 =164

82= 2 𝒚 = 𝟐 ya tenemos una solución

5º: Sustituimos en una de las dos primeras ecuaciones el valor de y, para resolver la

ecuación que sale:

[𝟏] − 𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟏𝟒; 𝑠𝑖 𝒚 = 𝟐 → −4𝑥 + 9 ∙ (𝟐) = 14 → −4𝑥 + 18 = 14

−4𝑥 + 18 = 14 → −4𝑥 = 14 − 18 → −4𝑥 = −4 → 𝑥 =−4

−4= 1

La solución del sistema es: 𝒙 = 𝟏 𝒚 = 𝟐 ó (1, 2)

3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SISTEMAS DE

ECUACIONES

Para resolver problemas con sistemas, debemos tener en cuenta las siguientes normas:

1ª: Lectura atenta y comprensiva del enunciado

2ª: Determinar las incógnitas, que llamaremos x e y. (Si hay más datos conocidos

se representan según su relación con ellas).

3ª: Planteamiento del sistema, obteniendo dos ecuaciones de primer grado con

dos incógnitas, que forman el sistema.


58

4ª: Resolver el sistema por cualquier método.

5ª: Comprobar que las soluciones obtenidas, cumplen con todas las condiciones del

problema.

Es muy importante pensar bien las ecuaciones y relacionarlas con el enunciado.

Habitualmente, aunque no es así siempre, una frase con datos en el problema se

corresponde con una ecuación, por lo que es habitual que haya dos frases con datos

para generar dos ecuaciones. De todas formas hay que leer con atención pues no hay

una regla fija y la información puede aparecer salteada, lo primero es comprender luego

ya buscaremos las ecuaciones.

Lo que si es decisivo es que debemos generar ecuaciones lo más sencillas posibles que

cumplan o encajen con el enunciado, una ecuación complicada aunque sea válida puede

llevarnos a cometer más fallos que otra más sencilla en su resolución.

Puede ocurrir que determinados problemas puedan resolverse con un sistema de

ecuaciones pero también con una ecuación de primer grado, en ese caso hay que valorar

si las ecuaciones planteadas representan las afirmaciones del enunciado y en ese caso

es conveniente escoger la más sencilla.

p.e “El doble de un número más la mitad de otro suman 7; y, si sumamos 7 al

primero de ellos, obtenemos el quíntuplo del otro. Plantea un sistema de

ecuaciones y resuélvelo para hallar dichos números.”

1. Datos: Toda la primera frase del problema

2. Incógnitas: Escogemos x = primer número ; y = segundo números

3. Planteamiento del sistema:

El doble del primero + la mitad del segundo = 7 ; 𝟐𝒙 +𝒚

𝟐= 𝟕

El primero +7= 5• El segundo ; 𝒙 + 𝟕 = 𝟓𝒚

4. Resolver el sistema


59

[1] la podemos simplificar si la mult por 2 ; 𝟐𝒙 +𝒚

𝟐= 𝟕 → 𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟒

Decidimos resolver por sustitución, despejamos y → [1] 𝒚 = 𝟏𝟒 − 𝟒𝒙

Tendremos por tanto el siguiente sistema {𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟒𝒙 + 𝟕 = 𝟓𝒚

Sustituimos la “y” de [1] → [2]; 𝒙 + 𝟕 = 𝟓𝒚 → 𝑥 + 7 = 5 ∙ (𝟏𝟒 − 𝟒𝒙)

𝑥 + 7 = 5 ∙ (𝟏𝟒 − 𝟒𝒙) → 𝑥 + 7 = 70 − 20𝑥 → 21𝑥 = 63 → 𝑥 =63

21=

3

𝒙 = 𝟑, ahora sustituimos “x” por ejemplo en [1] y sacamos “y”;

[𝟏] 𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟒 → 4 ∙ 3 + 𝑦 = 14 → 𝑦 = 14 − 12 = 2 → 𝒚 = 𝟐

El primer número será el 3 y el segundo el 2

5. Comprobar soluciones

[𝟏] 𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟒 → 4 ∙ 𝟑 + 2 = 𝟏𝟒 → 14 = 𝟏𝟒 cumple ¡!

[𝟐] 𝒙 + 𝟕 = 𝟓𝒚 → 𝟑 + 7 = 5 ∙ 𝟐 → 10 = 𝟏𝟎 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆‼

A continuación vemos algunos ejemplos de resolución de problemas:

p.e. “En un corral hay 55 animales entre conejos y gallinas. Sumando en total 170

patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay?”

6. Datos: Hay 55 animales de 2 (gallinas) y de 4 patas (conejos). Suman en total

170 patas

7. Incógnitas: Escogemos x = nº de gallinas ; y = nº de conejos

8. Planteamiento del sistema:

nº de gallinas + nº de conejos = 55 ; 𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟓

Nº de patas de gallinas + nº de patas de conejos = 170. Si x son las gallinas,

sus patas, serán 2x. si y son los conejos, sus patas serán 4y, luego: 2𝒙 +

𝟒𝒚 = 𝟏𝟕𝟎


60

El sistema es: {𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟓

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟕𝟎

Resolvemos el sistema (p.e. por sustitución)

𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟓 → 𝑥 = 55 − 𝑦 sustituimos en [2]

[2] → [1] 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟕𝟎 → 2(𝟓𝟓 − 𝒚) + 4𝑦 = 170

110 − 2𝑦 + 4𝑦 = 170 → 2𝑦 = 60 → 𝑦 =60

2= 30

𝒚 = 𝟑𝟎

Si 𝒚 = 𝟑𝟎 sustituimos en [1]; 𝑥 = 55 − 𝑦 → 𝑥 = 55 − 𝟑𝟎 → 𝒙 = 𝟐𝟓

Respuesta: hay 25 gallinas y 30 conejos.

Comprobar resultado

{𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟓 → 25 + 30 = 𝟓𝟓 → 55 = 𝟓𝟓 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆𝒏‼

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟕𝟎 → 2 ∙ (25) + 4 ∙ (30) = 𝟏𝟕𝟎 → 170 = 𝟏𝟕𝟎


61

TEMA 10

SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Son los valores x=-2, y = -1 solución de estos sistemas de ecuaciones?

a) c)

b) d)

2. Resuelve por el método de sustitución los sistemas de ecuaciones siguientes.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

3. Resuelve por el método de sustitución.

4. Resuelve por el método de igualación.

5. Resuelve estos sistemas por igualación.

3

2 1

x y

x y

3

2 4

x y

x y

3 5

2 0

x y

x y

3

2 4

x y

x y

3 4

2 3 1

x y

x y

5 3 16

3 3 0

x y

x y

5 3 1

4 11

x y

x y

2 1

2 2 8

x y

x y

5

2 1

x y

x y

3 2 5

4 14

x y

x y

2 7

3 0

x y

x y

4 9

3 6 9

x y

x y

5

2 6

x y

x y

552

23)

yx

yxa

0

64)

yx

yxd

1

53)

yx

yxg

123

1)

yx

yxb

25

732)

yx

yxe

228

2643)

yx

yxh

1935

1152)

yx

yxc

1132

1824)

yx

yxf

3476

10)

yx

yxi

132

43)

yx

yxa

03

72)

yx

yxc

12

5)

yx

yxe

822

12)

yx

yxb

033

1635)

yx

yxd

963

94)

yx

yxf


62

6. Resuelve por el método de reducción.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

7. Resuelve por reducción.

8. Haz las operaciones con las ecuaciones de cada sistema y elige el método para

resolverlas.

9. Resuelve por el método que prefieras.

e)

b) d) f)

10. Ana tiene 5 cromos más que Juan y entre los dos suman 59 cromos. ¿Cuántos cromos

tiene cada uno?

1534

723)

yx

yxa

573

642)

yx

yxc

4373

32)

yx

xye

1263

1332)

yx

yxb

2352

13)

yx

yxd

2952

113)

yx

yxf

3 4

2 3 1

x y

x y

5 3 16

3 3 0

x y

x y

5 3 1

4 11

x y

x y

2 1

2 2 8

x y

x y

5

2 1

x y

x y

3 2 5

4 14

x y

x y

2 7

3 0

x y

x y

4 9

3 6 9

x y

x y

5

2 6

x y

x y

10

0)

yx

yxa

032

243)

yx

yxc

3892

4473)

yx

yxe

44

152)

yx

yxb

635

224)

yx

yxd

154

65)

yx

yxf

1232

0103)

yx

yxa

2222

324)

yx

yxc

yx

yxb

632

33)

yyx

xyxd

542133

9435)

2

1

3

1

32

5

6

5

)yx

yx

a

2

79034

3935

) yyx

xyx

c

22

54

5

11

52

yx

yx

6

22

3

2

yxy

yxx

yxxy

yx

xyyx

23

423

13

2

2

2

135

3

2

53

4

yx

yxyx


63

11. En la clase de Alba hay 31 alumnos, siendo 7 chicos más que chicas. ¿Cuántos

alumnos y alumnas hay en la clase?

12. María lleva en el monedero varias monedas de 20 y 5 céntimos. Di cuántas monedas

tiene de cada tipo si son doce monedas y suman un total 1,50 €

13. En un taller, el número de coches es igual al doble del número de motos más 2.

Calcula el número de coches y motos si en total hay 48 ruedas.

14. Por un desierto avanza una caravana formada por camellos y dromedarios, con un

total de 440 patas y 160 jorobas. ¿Cuántos camellos y dromedarios hay en la

caravana?

15. Berta recibe el doble de dinero que su hermana como paga semanal, y entre las dos

suman 30 €. ¿Cuál es la paga de cada una?

16. Una empresa de refrescos ha envasado 5.000 litros en 3.000 botellas de 1,5 l y 2 l.

¿Cuántas botellas ha empleado de cada clase?

FIJATE EN EL EJEMPLO

¿CÓMO SE PLANTEAN LOS PROBLEMAS DE EDADES MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES?

Ejemplo.

Calcula las edades de una madre y su hija, sabiendo que hace 4 años la edad de la madre era

triple que la de la hija, y que dentro de 8 años será el doble.

PRIMERO. Se identifican las incógnitas.

Edad de la hija

Edad de la madre

SEGUNDO. Se indican los datos del problema.

Hace 4 años Actual Dentro de 8 años

Hija

Madre

TERCERO. Se escriben las ecuaciones.

-Hace 4 años la edad de la madre era el triple que la de la hija

-Dentro de 8 años será el doble

x

y

4x x 8x

4y y 8y

434 xy

828 xy


64

17. Halla las edades de dos personas si hace 10 años la primera tenía cuatro veces la

edad de la segunda, y dentro de 20 años la edad de la primera será el doble que la

de la segunda

18. Pablo tiene 8 años y su hermana, 2 años. ¿Al cabo de cuántos años la edad de Pablo

será el doble que la de su hermana?

19. Tomás es 5 años mayor que Elena y, dentro de 10 años, La edad de Tomás será 4/3

de la de Elena. ¿Qué edad tiene Tomás?

20. En un estante hay 20 CDs de música Rock y de música clásica. De los primeros hay 6

discos más que de los otros. Calcula su número utilizando un sistema de ecuaciones.

21. Ana y Marta han creado una sociedad de servicios informáticos. En una semana

ingresan 1.800 € entre las dos. Ana ha ingresado 120 € más que Marta. ¿Cuánto ha

ingresado cada una?

22. Dos recipientes contienen 24 litros de agua entre los dos. Si de uno de ellos se

trasvasan 6 litros al otro, ambos llegan a contenerla misma cantidad de agua. Calcula

cuántos litros contiene cada recipiente.

23. La suma de dos números es 45, y su diferencia 19. ¿Cuáles son estos números?

24. Un examen consta de varios problemas de álgebra y de geometría. Marta resuelve

bien 4 problemas de álgebra y 2 de geometría, obteniendo una puntuación de 8

puntos. Abel resuelve bien2 problemas de álgebra y 4 de geometría, obteniendo una

calificación de 7 puntos. Si los problemas de un mismo tipo tienen la misma

puntuación, ¿Cuántos puntos vale cada problema?

25. En un cajón de una papelería guardan dos tipos de bolígrafos: hay cajas con 12

bolígrafos azules y cajas con 16 bolígrafos rojos. En total hay 10 cajas y 144

bolígrafos. ¿Cuántas cajas hay de cada clase?

26. En una frutería Fernando ha comprado 2 kilogramos de manzanas y 3 de naranjas

por 8 €, mientras que Teresa ha comprado 6 kilogramos de manzanas y 5 de naranjas

por 18 €. ¿Cuánto cuesta el kilogramo de manzanas y el de naranjas?

27. Un fabricante construye armarios de dos categorías diferentes: de 400 y de 600 € en

una semana construye 16 armarios cuyo coste total es de 7.200 €. ¿Cuántos armarios

construyó de cada clase?


65

28. La suma de dos números es 14. Añadiendo 1 al mayor se obtiene el doble del menor.

¿Cuáles son los dos números?

29. La edad de una madre es el cuádruplo de la de su hijo. Dentro de 20 años, la edad

de la madre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?

30. Hoy la edad de un padre es el triple de la de su hija, pero hace 6 años era 5 veces

más. ¿Cuántos años tiene hoy el padre y su hija?

31. Una empresa distribuidora de café mezcla dos variedades: una de 11 €/kg y otra de

10,20 €/kg. Se desea obtener 500 kg de mezcla a 10,50 €/kg. ¿Cuántos kilogramos

de cada variedad hay que emplear?

32. Encuentra dos números que cumplan las siguientes condiciones: si se añade 3 al

primero, se obtiene el segundo, y añadiendo 2 al segundo, se obtiene el doble del

primero.

33. El perímetro de un rectángulo mide 28 cm, y el largo es 4/3 del ancho. Calcula las

dimensiones del rectángulo.

34. En un garaje hay 37 vehículos entre coches y motos, que suman un total de 104

ruedas. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay en el garaje?

35. Un grupo de amigos plantea una excursión a la montaña. Llaman a un albergue para

preguntar cuántas habitaciones hay. La persona que les atiende dice que hay 70

camas disponibles repartidas en 29 habitaciones, y que las habitaciones son dobles

y triples. ¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo?

36. El largo de un cartel publicitario es de 1,5 metros mayor que su ancho. Si el largo

aumentara en 0,5 metros y el ancho en 0,75 el área aumentaría en 4 metros

cuadrados. Calcula las dimensiones del cartel.

37. La suma de las tres cifras de un número capicúa es 8. La suma de la cifra de las

unidades y la de las centenas es igual a la de las decenas. Calcula el número.

38. Las edades de Pablo, Elena y Gema suman 42 años. Elena tien 14 años más que

Pablo, y Gema tiene la tercera parte de los años de Elena. ¿Cuántos años tiene cada

uno?

39. Halla dos números tales que la suma del doble del primero aumenttado en el

quíntuplo del segundo sea 101, y la suma del cuádruplo del primero y del triple del

segundo sea111.


66

TEMA 11

FUNCIONES

Objetivos

1. Interpretar relaciones funcionales sencillas dadas en forma de tabla, gráfica, a

través de una expresión algebraica o mediante un enunciado.

2. Comprender el concepto de dominio y recorrido, continuidad y discontinuidad

de una función.

3. Comprender los conceptos de crecimiento y decrecimiento, así como de máximo

y mínimo local.

4. Reconocer situaciones reales en las que aparezcan funciones de

proporcionalidad directa

5. Identificar funciones lineales, distinguiendo la pendiente y la ordenada en el

origen.

6. Reconocer las características y la gráfica de una función de proporcionalidad

inversa


1. Construir e interpretar gráficas dadas por tablas o fórmulas.

2. Reconocer e interpretar enunciados que correspondan a funciones sencillas de

la vida cotidiana.

3. Identificar las variables dependiente e independiente.

4. Describir el dominio y el recorrido de una función a través de su gráfica.

5. Estudiar la continuidad de una función, indicando los puntos de discontinuidad

6. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función a través de su gráfica.

7. Reconocer los máximos y mínimos locales de una función a través de su gráfica.

8. Hallar la expresión de una función de proporcionalidad directa identificando la

pendiente

9. Calcular los parámetros de una función lineal


67

10. Representar funciones lineales

11. Determinar rectas paralelas a una dada

12. Indicar si una función lineal es creciente o decreciente

13. Hallar la expresión de una función de proporcionalidad inversa

14. Representar una función de proporcionalidad inversa


68

INDICE

1. Coordenadas cartesianas

2. Fórmulas, tablas y gráficas

3. Funciones, dominio y recorrido

1.1 Concepto de función

1.2 Dominio y recorrido

4. Representación gráfica

3.1 De la tabla a la gráfica

3.2 De la fórmula a la gráfica

3.3 Puntos de corte con los ejes

4 Continuidad y discontinuidad

5 Crecimiento y decrecimiento

6 Máximos y mínimos

7 Funciones de proporcionalidad directa

8 Función afín

8.1 Pendiente y ordenada en el origen

9 Recta paralelas

9.1 Paralelas a los ejes de coordenadas

10 Funciones de proporcionalidad inversa


69

1 COORDENADAS CARTESIANAS

Un sistema de coordenadas cartesianas está

formado por dos rectas perpendiculares y

numeradas, un horizontal y otra vertical, que se

llaman ejes de coordenadas y dividen al plano en

cuatro cuadrantes.

El punto de corte de los ejes se llama origen de

coordenadas y se representa por O.

El eje horizontal se llama eje de abscisas o Eje X.

El eje vertical se llama eje de ordenadas o Eje Y.

Los puntos del plano se indican dando sus dos coordenadas P(x,y).

La coordenada X, es la abscisa y la coordenada Y es la ordenada.

2 FÓRMULAS, TABLAS Y GRÁFICAS

Si dos magnitudes son dependientes, las podemos expresar mediante una fórmula, una

tabla, y/o una gráfica.

La magnitud que se fija previamente es la variable independiente.

La magnitud que se deduce de la otra es la variable dependiente.

Ejemplo:

Si consideramos que la tarifa correspondiente al consumo de agua de uso doméstico es

de 1,56€ por cada m3 de agua, podemos construir la tabla de valores y la gráfica

siguientes.


70

La línea obtenida (en verde) al unir todos los puntos representados es la gráfica de esta

dependencia.

Como el precio de cada m3 es de 1,56€/ m3, si representamos por P el importe y por n los

m3, obtendremos la fórmula de la dependencia estudiada:

P = 1,56 ·n

3 FUNCIONES. DOMINIO Y RECORRIDO

3.1 Concepto de función

Una función es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la

variable independiente le corresponde, como máximo, un único valor de la variable

dependiente, que llamamos imagen.

La variable independiente se suele denotar con la letra X, y la variable dependiente con

la letra Y o también f(x).

Por ejemplo:

Un médico dispone de 3 horas al día para atender a sus pacientes y el número máximo

de pacientes que puede atender en un día es de 25. Por tanto, el tiempo que puede

dedicar a cada paciente depende del número de visitas. Existe una relación de

dependencia entre el número de pacientes y el tiempo empleado en atenderlos.

Lo vamos a expresar en la tabla de valores:

Observa que las magnitudes número de pacientes y tiempo de visita varían si valor en

cada casilla. Por ello, estas magnitudes se llaman variables.

Si llamamos x a la variable número de pacientes e y a la variable tiempo de visita,

tenemos que:

La variable x puede tomar valores que son los números naturales hasta el 25.

Los valores de la variable y dependen de los valores de la variable x.


71

A cada valor de la variable x le corresponde un único valor de la variable y.

Por ello, x se denomina variable independiente e y es la variable dependiente.

Decimos que el tiempo de visita (y) en minutos está en función del número de pacientes

(x) y se puede simbolizar por: y = f(x)

3.2 Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de los valores que toma la variable

independiente. Se representa como D(f).

El recorrido o imagen es el conjunto de valores que toma la variable dependiente. Se

representa como R(f).

En este ejemplo, podéis ver que a cada elemento del grupo naranja le corresponde un

elemento el grupo azul. Pero sin embargo hay un elemento en el grupo azul, que no está

en el recorrido porque no es imagen de ningún elemento del grupo naranja.

1 2 3 4 5 6 7

a b c d e f 7

DOMINIO: Todos los

elementos del grupo naranja.

D(f)=(1, 2, 3, 4, 5, 6)

RECORRIDO: Todos los

elementos azules a los que les

corresponden un elemento del

grupo naranja.

R(f)=(a, b, d, e, f)


72

4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA

4.1 De la tabla a la gráfica

Si la relación entre dos magnitudes viene dada por una tabla, se representa cada par de

valores sobre los ejes de coordenadas y se obtienen unos puntos con los que se formará

la gráfica.

Por ejemplo:

Lucas tiene en su casa un tortuguita. Todos los meses anota lo que mide en una tabla y

luego ha dibujado una gráfica.

4.2 De la fórmula a la gráfica

Para dibujar la gráfica, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Construimos una tabla.

2. Representamos los puntos obtenidos colocando los valores de la variable

independiente sobre el eje de abscisas, y los valores de la variable dependiente,

sobre el eje de ordenadas.

3. Estudiamos si tenemos que unir los puntos.


73

Por ejemplo:

Una función f asigna a cada número entero el doble más 1, es decir, y=2x+1. Forma una

tabla de valores y dibújalos en un eje de coordenadas.

No podemos unir los puntos, ya que sólo representamos los números enteros.

4.3 Puntos de corte con los ejes

Para representar la gráfica correctamente es necesario conocer los puntos de corte con

los ejes de coordenadas.

Los puntos de corte con el eje X tienen la segunda coordenada igual a cero. Son

de la forma (a, 0).

Los puntos de corte con el eje Y tienen la primera coordenada igual a cero. Son

de la forma (0, b).

Por ejemplo:

Determina los puntos de corte con los ejes de la función y=2x+2

1. Calculamos el punto de corte con el eje de ordenadas.

0

2 2

2 0 2 2

Si x

y x

Entonces y

Por lo tanto la gráfica corta el eje de ordenadas en el punto (0,2)


74

2. Calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

0

0 2 2

0 2 2

2 2

21

2

Si y

x

Entonces x

x

x x

Por lo tanto la gráfica corta el eje de abscisas en el punto (-1,0)

6. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD

Las tarifas del suministro de gas tienen en cuenta la presión proporcionada y constan de

un importe fijo mensual más un importe variable que depende de los kW·h consumidos.

La tabla de la derecha muestra las tarifas variables correspondientes a una presión

inferior o igual a 4 bares.

Consideremos la función que relaciona el importe

variable en euros con el consumo anual en kW·h

para que los usuarios con un consumo anual menor

de 5.000 kW·h

La expresión algebraica de la función es:

f(x)=0,054·x


75

Observa la gráfica de esta función:

Observa que la gráfica de la función es continua porque puede dibujarse de un solo trazo

sin levantar el lápiz del papel.

Veamos ahora la función que relaciona el importe variable en euros con el consumo

anual en kW·h para todos los usuarios.

La expresión algebraica de la función es:

, · .

, · . .( )

, · . .

, · .

0 054 x si x 5 000

0 048 x si 5 000 x 50 000f x

0 043 x si 50 000 x 100 000

0 040 x si x 100 000

Observa que la gráfica de esta función es discontinua porque no se puede dibujar de un

solo trazo.


76

7. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Observa esta gráfica y veamos como estudiar una gráfica:

Si os fijáis en esta gráfica, que representa cómo evoluciona la temperatura ambiente en

función del tiempo.

Mirando de izquierda a derecha, vemos que a partir de las 4 horas, la gráfica va

ascendiendo hasta llegar a las 13h donde empieza a descender.

En este periodo, de 4h a 13h, la gráfica es creciente.

Una función es creciente en un intervalo si, al aumentar el valor de la variable x dentro

de este intervalo, aumenta el valor de la variable y.

Sin embargo, desde las 20h a las 24h, la temperatura desciende. Por lo tanto en ese

periodo la gráfica es decreciente.

Una función es decreciente en un intervalo si, al aumentar la variable x dentro de este

intervalo, disminuye el valor de la variable y.

Además, si os fijáis en el intervalo desde las 16h a las 20h, la temperatura ni sube ni baja,

se mantiene constante.

Una función es constante en un intervalo si, para todo valor de la variable x dentro de

este intervalo, la variable y no varía.


77

8. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Un punto relativo de una función es un punto en donde dicha función ni crece ni

decrece, puede ser de dos tipos;

- Máximo relativo

- Mínimo relativo

Máximo relativo: Una función continua presenta un máximo relativo en un punto si a

la izquierda del punto la función crece y a la derecha decrece.

Mínimo relativo: Una función continua presenta un mínimo relativo en un punto si a la

izquierda del punto la función decrece y a la derecha crece.

Una función puede presentar varios máximos y mínimos relativos.

Los máximos relativos están en este ejemplo en el minuto 2 y minuto 15, el mínimo

relativo en el minuto 13. (En los minutos 5 y 10 no hay ni máximos ni mínimos, porque

ninguno tiene decrecimiento a un lado y crecimiento al otro).

Máximo Relativo

Mínimo Relativo


78

9. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, la función que las relaciona

recibe el nombre de Función Lineal o de Proporcionalidad Directa.

Las funciones Lineales o de Proporcionalidad directa cumplen las siguientes

características;

- “x” y “y” son magnitudes directamente proporcionales (“ a más x, más y” y “ a

menos x, menos y”).

- Su fórmula o expresión algebraica es 𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒙 o lo que es lo mismo 𝑓(𝑥) =

𝑚 ∙ 𝑥 , donde m será un número.

- m recibe el nombre de constante de proporcionalidad y también el de

pendiente de la recta.

Si m > 0 la función 𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 será creciente ↗

Si m < 0 la función 𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 será decreciente ↘

↗ ↘

- Su representación gráfica es siempre una recta que pasa por el origen de

coordenadas (0, 0). Siempre habrá un punto x=0 y=0 en sus tablas y se obtendrá

al dar el valor 0 a la x.

Por ello para hacer la representación gráfica nos basta con un punto, porque el otro

punto para obtener la recta es el (0, 0).


79

Ejemplo 1.

Ismael ha ido a comprar huevos para hacer una tortilla de patatas. Se ha encontrado con

que se van apuntando cada vez más parejas a la cena. Para una tortilla para una pareja,

necesita 5 huevos. Construye la gráfica de este problema.

X(Tortillas) 1 2 4 6

Y((huevos) 5 10 20 30

Representación gráfica de la función de proporcionalidad directa

Otros ejemplos son las funciones 𝑦 = −𝟑𝑥 , 𝑦 = −1,6𝑥, 𝑦 = −75𝑥 en estos

casos las pendientes son -3, -1,6 y -75 respectivamente.

𝑦 = −𝟑𝑥 𝑦 = −1,6𝑥 𝑦 = −75𝑥

Como vemos cuando el valor de la m es mayor la función crece más deprisa. Al aumentar

el valor de X el valor de Y aumenta. La gráfica de 𝑦 = −75𝑥 tiene una pendiente

negativa tan bajita (decreciente) que la gradación del eje de la y la hemos dispuesto en

otra escala para poder ofrecer el dibujo en un tamaño visible y comparable con las otras.


80

¿Cómo obtener la constante de proporcionalidad y la ecuación (fórmula) a

partir de una tabla o gráfica?

1. Comprobar que la función representada por la tabla es una función de

proporcionalidad directa (vale comprobar cualquiera de las dos opciones

siguientes):

Pasa por el punto (0,0) y es una recta (esto lo sabemos si representamos los

puntos de la tabla).

Pasa por el punto (0, 0) y al dividir la coordenada y entre su correspondiente x,

siempre da el mismo número, la constante de proporcionalidad.

2. Obtener la constante de proporcionalidad m: Una vez está claro que se trata de

una función de proporcionalidad directa dividiríamos una valor de Y entre el valor

de X pareja o correspondiente. Es conveniente hacerlo de 2 valores para comprobar

que coincide.

3. Con el valor de la cte m, se monta una ecuación o fórmula del tipo; 𝑦 = 𝑚𝑥 y se

pone en lugar de la “m” el valor obtenido.

4. Como comprobación final se puede dar valores a la x de la fórmula y representar los

puntos obtenidos para ves que cuadra con una recta que pasa por (0,0).

Ejemplo 1:

X (Litros)

1

3

5

9

10

Y (Euros)

0´65

1´95

3´25

5´85

6´50

Sin ponerlo en la tabla se deduce que para 0 litros el coste será 0 euros, en todo caso al

representar estos puntos y unirlos veremos qué pasa por el (0, 0) y es una recta, por lo

que hay que representar ES UNA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA.


81

Pasa por el punto (0, 0) y al dividir una coordenada y entre su correspondiente x, siempre da el mismo número, la cte de proporcionalidad.

X (Litros) 0 1 3 5 9 10

Y(Euros) 0 0´65 1´95 3´25 5´85 6´50

𝒚 = 𝒎𝒙 → 𝒚

𝒙= 𝒎 = 𝒄𝒕𝒆

-- 0,65

1

1,95

3

3,25

5

5,85

9

6,50

10 m=cte=0,65

Hay un punto (0,0) y se cumple una constante de proporcionalidad para todas las

parejas de valores (el punto x=0 y=0 se excluye siempre al calcular la cte).

2º Obtener la constante de proporcionalidad m: Una vez está claro que se trata de

una función de proporcionalidad directa dividiríamos una valor de Y entre el valor

de X pareja o correspondiente. Vale la pena hacerlo de 2 valores para comprobar

que coincide.

3º Con el valor de la constante m, se monta una ecuación o fórmula del tipo; 𝒚 =𝒎𝒙 y se pone en lugar de la “m” el valor obtenido. si m=0,65 entonces para una fórmula del tipo general 𝒚 = 𝒎𝒙 tendríamos el caso concreto 𝒚 = 𝟎, 𝟔𝟓 ∙ 𝒙

Ejemplo 2:

Tabla lado de un cuadrado y su área. Sabemos que A=L2

X Lado (cm)

0 1 1,5 2 2,5

Y Area (cm2)

0 1 2,25 4 6,25

.

En este caso si bien existe el punto (0, 0) al representar vemos que no obtenemos una

recta por lo que NO ES UNA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA


82

10. FUNCIÓN AFÍN

La Función Afín (también llamada Lineal) relaciona a dos magnitudes que tienen una

relación de proporcionalidad (“a más x más y” o “a menos x, menos y”), aunque dicha

proporcionalidad no es directa.

Su fórmula o expresión algebraica es de la forma 𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒙 + 𝒏, una recta.

Las rectas del tipo 𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒙 + 𝒏 no pasan por el punto (0, 0) u origen de

coordenadas. Por esta razón cortan al eje de las Y y de la X en otros puntos.

Para representar una función afín hay que obtener al menos 2 puntos

El valor m indica la pendiente de la recta;

Si m > 0 la función 𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑛 será creciente ↗

Si m < 0 la función 𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑛 será decreciente ↘

El valor n indica el punto de corte de la recta con el eje Y o eje de ordenadas;

Esto quiere decir que en el punto de corte con el eje Y, el valor de la coordenada x es 0

y la y es n; punto de corte con eje y → (0, n).

p.e. función 𝑦 = 2𝑥 + 3, función tipo 𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑛 donde

m=2 y n=3

- La recta no pasa por el punto (0, 0).

- El valor de 𝒏 en 𝑦 = 2𝑥 + 3 es 3, por lo que el punto

de corte con el eje de la Y será (0, 3)

- El valor de m es >0, por lo que la función es creciente.


83

9.1 Pendiente y ordenada en el origen

Tal y como ya hemos avanzado en el punto anterior en las funciones del tipo 𝒚 = 𝒎 ∙

𝒙 + 𝒏 las letras m y n tienen un papel importante a la hora de realizar el estudio de una

función.

Pendiente

La letra m, o lo que es lo mismo el coeficiente numérico que acompaña a la x, recibe el

nombre de pendiente.

Si m > 0 la función 𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑛 será creciente ↗

Si m < 0 la función 𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑛 será decreciente ↘

Si m=0 se trata de una recta horizontal, 𝑦 = 𝑛 función constante →

En la Fig 1 m > 0, vemos que si la x↑(hacia izq) la y↑(hacia arriba), función creciente.

En la Fig 2 tenemos m < 0, vemos que si la x↑(hacia izq) la y↓(hacia arriba), función decreciente.

p.e. p.e.

Figura 3


84

Calculo de la pendiente de una recta 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏

Dados dos puntos de coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2) de una recta r, podemos hallar

la pendiente m de la recta r así;

Calculando la variación de la variable y (aumento o disminución) cuando la

variable x aumenta al pasar del punto A al punto B.

Es decir realizando el cociente de la variación de Y entre la de X en dos puntos de la

recta. Este cociente se plantea restando a las coordenadas del punto que tiene la x

mayor las coordenadas del que tiene la x menor, e decir restanto las coordenadas de A

a las de B, de esta forma;

𝒎 = 𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

Esta fórmula se emplea cuando nos dan los datos de la función en una gráfica o en una

tabla como en este ejemplo:

Ejemplo:

La siguiente tabla (año edad/ altura de un caballo) representa una función afín, obtén

su pendiente.

Año X 0 1 2 3

Altura(cm) Y 50 100 150 200

Tomamos dos puntos al azar de la tabla.

Por ejemplo (3, 200) y (1, 100).

El punto que tienen mayor valor de x el (3, 200) se considera (x2, y2), el punto (1, 100)

se considera (x2, y2). Con estos datos obtenemos m;

𝒎 =200 − 100

3 − 1=

100

2= 50

En función del valor de la pendiente, la gráfica puede ser:

Recta creciente

En este caso la variación de la variable

y es un aumento en vertical y la

pendiente de la recta es positiva:

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 > 0


85

Recta decreciente

En este caso la variación de la variable

y es una disminución en vertical y la

pendiente de la recta es negativa:

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 < 0

Ejemplo:

Tenemos una tabla que expresa el gasto de agua de una vivienda en función de los

metros cúbicos consumidos. Comprueba si la función de estas variables es una función

afín y en caso afirmativo calcula la pendiente de la recta. Obten la Ordenada en el origen.

M3de agua consumidos (X) 0 5 10 15 20 30

Gasto (euros) (Y) 8 14 20 26 32 44

No tiene punto (0, 0), si es una recta será función afín. Representamos los puntos para

comprobar si se trata o no de una recta.

Los puntos escogidos pueden ser dos cualesquiera. Vamos a realizar el cálculo con dos

puntos para obtener la pendiente y luego escogeremos dos más para demostrar que no

importa los puntos escogidos puesto que el resultado es el mismo:

Para hallar la pendiente escogemos dos puntos conocidos y aplicamos la fórmula:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2−𝑥1

Vemos que es una función afín, es una recta y no pasa por (0,0), tendrá una fórmula del

tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 .


86

Tomamos el punto (30, 44) y el punto (10, 20):

- El punto con la x de mayor valor es (30, 40) por lo que será (x2, y2)

- El otro punto (10, 20) será por tanto (x1, y1)

𝑚 =44 − 20

30 − 10=

24

20= 1,2

Queda claro que la pendiente de la recta obtenida será 1,2, una pendiente positiva y por

tanto una función creciente↗ como vemos en la representación gráfica obtenida. Lo que

sabemos por tanto de la recta afín que como sabemos tendrá una fórmula del tipo 𝑦 =

𝑚𝑥 + 𝑛 y una vez conocida su pendiente será:

𝑦 = 1,2 𝑥 + 𝑛

Si hacemos el mismo cálculo con otros dos puntos (5, 14) y (20, 32), da lo mismo:

𝑚 =32 − 14

20 − 5=

18

15= 1,2

La ordenada en el origen.

Como ya vimos al principio del tema exactamente un punto situado exactamente sobre

el eje de la Y tiene un valor de coordenada x de 0, de la misma forma un punto situado

sobre el eje de la X tiene un valor de la coordenada y de 0, recordemos:

En la función afín 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, n se denomina ordenada en el origen e indica el punto

de corte de la recta con el eje de ordenadas o eje Y: será por tanto el punto (0, n).

La función afín tiene como fórmula 𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒙 + 𝒏

Cuando la función pasa sobre el eje de la Y ocurre que x=0, entonces en ese

punto 𝒚 = 𝒎 ∙ 𝟎 + 𝒏 es decir 𝒚 = 𝒏.

A (0, 1)

B (3, 0)


87

La ordenada en el origen n de la función es el valor de y cuando x=0. Esos dos valores

(0,n) son el punto de corte de la función con el eje Y.

p.e. 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟕

→ 𝑦 = 4(0) + 7

→ 𝒚 = 𝟕 es la ordenada en el origen

p.e. 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟓 → 𝑦 = 2(0) − 5 → 𝒚 = −𝟓 es la ordenada en el origen

¿Cómo obtener la ordenada del origen a partir de la fórmula de la función afín?

Dada la función afín 𝑦 = 2𝑥 + 3. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿Cuál es el punto

de corte de la función con el eje Y? Representa la función.

1. Una función afín tiene una fórmula tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, por lo que si la función es 𝑦 =

2𝑥 + 3 sabemos que la ordenada en el origen es el 3.

Eso es así porque la ordenada del origen es el valor de la y cuando la x=0:

𝑦 = 2𝑥 + 3 → 𝑦 = 2 ∙ 0 + 3 → 𝑦 = 3

2. Por tanto el punto de corte de la función con el eje de la Y es:

(0, n) →(0, 3)

3. Para representar una función que es una recta bastan dos puntos;

Uno ya lo tenemos, el (0, 3). Para el otro le damos un valor al azar a la x; p.e. x=2,5

𝑓(2,5) = 2 ∙ (𝟐, 𝟓) + 3 = 5 + 3 = 8 → el otro punto (2,5 , 8).

Ordenada en el origen


88

¿Cómo obtener la ecuación de la recta afín a partir de un punto de la recta y su

pendiente?

A partir de un punto A (4, -1) de una recta r y de la pendiente de esta misma recta que

es-5, obtén la ecuación de dicha recta.

Como sabemos una función afín tiene una fórmula tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛.

Si la pendiente o sea m es -5 tenemos que → 𝑦 = −5𝑥 + 𝑛 por lo que para tener la

ecuación completa solo nos falta conocer n.

Para obtener el valor de n dada la pendiente y un punto conocido se procede así:

13. Sustituir el valor de m en la ecuación general; Si la pendiente o sea m es -5

tenemos que → 𝑦 = −5𝑥 + 𝑛 por lo que para tener la ecuación completa ahora

solo nos falta conocer n.

14. Sustituir en la expresión también el valor de x e y, con las coordenadas del punto

conocido A (4, -1):

𝑦 = −5𝑥 + 𝑛 → −𝟏 = −5 ∙ (𝟒) + 𝑛 → −1 = −20 + 𝑛

15. Despejar la n de la expresión obtenida:

−1 = −20 + 𝑛 →𝑛 = 20 − 1 → 𝒏 = 19

16. Sustituir en la ecuación general el valor de m conocido y el de la n que hemos

obtenido: 𝒚 = −𝒙 + 𝟏𝟗

Esta es la ecuación de la recta que tiene por pendiente -5 y pasa por el punto

A(4, -1).

(2,5, 8)


89

Si quisiéramos representar la función como tenemos un punto bastaría con obtener

uno más dando un valor a la x. Si nos damos cuenta, realmente (0, n) puede ser ese otro

punto (0, 19).

¿Cómo obtener la ecuación de una recta afín a partir de dos puntos de esa recta?

Obtén la ecuación de una recta que pasa por los puntos A(-6, 1) y B(4, -3).

Como sabemos una función afín tiene una fórmula tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. Por tanto

necesitamos conocer los valores de m y n. Para ello hay que obtener primero m y después

n de la siguiente forma;

1. Obtenemos la pendiente m aplicando la fórmula 𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

donde B(4, -3) es (x2, y2) al ser su valor de x mayor, y A(-6, 1) será (x1, y1)…

𝒎 =(−𝟑) − 𝟏

𝟒 − (−𝟔)=

−𝟒

𝟏𝟎= −

𝟐

𝟓

2. Ahora con la pendiente m y uno de los dos puntos, sustituyendo en la expresión

general podemos obtener la n. (como en el ejemplo anterior)

- De momento sustituyendo la m tenemos la expresión 𝑦 = −2

5𝑥 + 𝑛

- Ahora sustituyendo las coordenadas de unos de los dos puntos del

enunciado podríamos obtener la n;

Escogemos el punto A(-6, 1)

𝑦 = −2

5𝑥 + 𝑛 → 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑨

𝟏 = −2

5(−𝟔) + 𝑛 →operamos y despejamos n:

1 = −2 ∙ (−6)

5+ 𝑛 → 1 =

12

5+ 𝑛 → 1 −

12

5= 𝑛 → 𝒏 =

𝟕

𝟓

3. Ahora conociendo que 𝑚 = −2

5 y 𝑛 =

7

5 sustituimos en la ecuación general y

obtenemos la fórmula buscada:

𝒚 = −𝟐

𝟓𝒙 +

𝟕

𝟓

Esta es la ecuación de la recta que pasa por A(-6, 1) y B(4, -3).


90

11. RECTAS PARALELAS

Las rectas paralelas son aquellas que tienen la misma pendiente m pero una ordenada

en el origen diferente. De hecho podemos obtener una recta paralela a otra cambiando

solo la n de la recta original.

p.e. Recordemos la recta 𝑦 = 𝟐𝑥 + 𝟑 con la que hemos trabajado en apartados

anteriores. Con una pendiente positiva de valor 2 obtenemos una recta creciente que

en este caso corta al eje de la Y en el punto (0, 3).

Si de la recta 𝑦 = 𝟐𝑥 + 𝟑, mantenemos la pendiente m (el 2) y le damos distintos

valores de n (reemplazamos el 3 por otros valores), surgen una serie de rectas

paralelas a la inicial.

Si le damos a la n los valores 10, -3 o -10 surgen estas rectas paralelas, que como es

evidente no se cortarán nunca entre ellas y que cortan al eje de las Y en esos mismos

valores elegidos.


91

Como hallar una recta paralela a otra y que pase por un punto concreto

Hemos visto que es relativamente sencillo obtener una recta paralela a otra,

simplemente manteniendo su valor de m o pendiente y variando el valor de la n. De esa

forma al tener la misma pendiente (inclinación) discurren una al lado de otra pero no se

cortan nunca, pueden obtenerse tantas paralelas como valores puede tener n, si……en

efecto.. ….infinitas.

Ahora bien, ¿Cómo hallaríamos la paralela a una recta r de forma que esa nueva paralela

pasara por un punto concreto? Es decir, ¿cómo obtendríamos la ecuación o fórmula de

la única paralela que pasa por un punto concreto? Veamos unos ejemplos:

Ejemplo:

Escribe una recta paralela a 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟒 que pase por el punto P (1, 6).

Sabemos que m=-3 será la pendiente de la recta que buscamos. Lo que nos falta conocer

es el valor de n para tener toda la fórmula.

1. Sustituimos m en la expresión general:

𝑦 = −3𝑥 + 𝒏

2. Luego sustituimos en la expresión anterior las coordenadas x,y del punto P (1, 6)

por el que tiene que pasar la recta que buscamos

𝑦 = −3𝑥 + 𝒏 → 𝟔 = −3 ∙ (𝟏) + 𝒏 → 𝒏 = 6 + 3 → 𝒏 = 𝟗

3. Una vez obtenidos m y n si los sustituimos en la expresión general obtendremos

la fórmula buscada → 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟗

Podemos comprobar que pasa por P (1, 6) representando con otros valores

Obtenemos 2 puntos por ejemplo con

los valores 𝒙 = 𝟐 𝑦 𝒙 = 𝟓

𝒇(𝟐) = −3 ∙ 𝟐 + 9 = 3

Punto (2, 3)

f(𝟓) = −3 ∙ 𝟓 + 9 = −6

Punto (5, -6)


92

12. FUNCIÓN INVERSA

Las funciones que relacionan dos magnitudes inversamente proporcionales se llaman

funciones de proporcionalidad inversa. Su fórmula es de la forma:

· x y k , o bien k

yx

El valor de k corresponde a la constante de proporcionalidad inversa.

La gráfica de una función de proporcionalidad inversa se denomina hipérbola.

Ejemplo: Un cliente ha encargado a Lucía una alfombra de forma rectangular de 25

metros cuadrados.

Lucía se ha dado cuento de que puede cortar la pieza de varias maneras distintas,

siempre que consiga un rectángulo de 16 m2. Si representamos por x la base y por y la

altura de los distintos rectángulos, se verifica que:

· 2x y 16 m , o bien 16

yx

Observa que se trata de dos magnitudes inversamente proporcionales.

Si un lado mide 10 metros, el otro medirá , 16

y 1 6 m10

Si representamos la función, podemos estudiar sus propiedades:

1. Formamos la tabla de valores:

2. Dibujamos la gráfica:

Podemos unir los puntos, pues la longitud de los lados varía de forma continua


93

o La gráfica de la función es decreciente.

o La función no corta a ninguno de los ejes.

o Si le damos valores a x cada vez mayores, la gráfica se va acercando al eje

x, sin llegar a cortarlo.

o Si le damos valores a x cada vez más cercanos a 0, la gráfica se va

acercando al eje y, sin cortarlo.


94

TEMA 11

FUNCIONES

1. Representa los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.

¿Cuántos hay en cada cuadrante?

A(-6,0) B(-3,-3) C(0,-2) D(-5,3) E(1,7) F(3,-5)

2. Dado el punto A(-3,6) escribe las coordenadas de un punto B que tenga como abscisa

el doble que A y esté sobre el eje de abscisas.

3. Estudia si estos valores son de una función.

4. Escribe la formula asociada a la tabla.

x -2 -1 0 1 2 6

y -6 -3 0 3 6 18

5. Cada kilo de fruta cuesta 2,5 €. En la función que asocia cada peso con su precio, halla

las imágenes para 2, 4, 6, 8 y 10 kilos.

6. Calcula las imágenes de las siguientes funciones en los puntos que se indican.

para para

para para

7. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones con la ayuda de una tabla de valores.

a) b) c) d)

45)() xxfa 2x 53)() xxxfc 5x

2

3)()

x

xxfb

3x 2)() xxfd 1x

xy 6 14 xy xy 5 xy 32

Horas (h) 12 13 14 15 16 17

Altura (m) 3 6 6 9 8 7


95

8. El producto de dos números naturales es 36.

a) Escribe la función correspondiente.

b) Forma la tabla de valores.

c) Representa gráficamente la función.

d) ¿Qué números forman parte del dominio?

e) ¿Qué números forman parte del recorrido?

9. Representa la función , y halla sus puntos de corte con los ejes.

10. Representa la función . Halla los puntos de corte con los ejes.

11. Un grupo de alumnos va a alquilar un autobús para ir de excursión por 400 €. El

precio que debe pagar cada alumno depende de cuántos vayan a la excursión, según

la siguiente tabla.

Nº de alumnos 5 10 20 40 50

Euros/alumno 80 40 20 10 8

a) Representa la función correspondiente.

b) Dibuja la gráfica y determina si es continua o discontinua.

12. Explica si son crecientes o decrecientes las funciones asociadas a las siguieres

situaciones.

a) El precio de una llamada telefónica según su duración.

b) La gasolina que contiene el depósito de un coche según los kilómetros recorridos.

13. Dibuja una función para cada una de las condiciones.

a) Crece de x = 2 hasta x = 7, y decrece de x = 7 hasta x = 10

b) Decrece de x = 0 hasta x = 5, y crece de x = 5 hasta x = 12

14. Una función transforma cada número entero, , en otro mediante la fórmula

a) Elabora una tabla con todos los valores de comprendidos entre -8 y 8.

b) Representa la función con los datos de la tabla. Es continua?

c) ¿En qué puntos corta los ejes?

d) Describe el crecimiento y decrecimiento de la función.

Indica cuáles son los valores máximos y mínimos que forma la función.

22 xy

xy

n

.124)( 2 nnnf

n


96

15. En una frutería se venden las frutas por piezas en lugar de por kilogramos. Cada

naranja cuesta 0,25 €.

a) Haz una tabla de valores que exprese el precio de la compra si se llevan 1, 2, 3, 4

o 5 naranjas.

b) Representa gráficamente la función.

c) ¿Es continua?

d) ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido?

16. Un ciclista recorre 280 kilómetros a velocidad constante de 40 kilómetros por hora.

a) Haz una tabla que exprese la duración del viaje.

b) Escribe la función asociada a la tabla.


17. Clasifica en funciones de proporcionalidad directa y lineales las siguientes funciones

y represéntalas gráficamente.

a) b) c) d)

18. Halla la ecuación de proporcionalidad directa que pasa por el punto (3,6)

19. Indica cuál de los siguientes puntos pertenece a la gráfica de la función lineal

a) A (0, -9) b) B (-1, 10) c) C (9, 0) d) D (-3, 6)

20. Halla la función lineal que pasa por los puntos A (2, 3) y B (7, 4)

21. Dadas las funciones siguientes:

a) indica la pendiente y la ordenada en el origen de cada una.

b) preséntalas gráficamente.

22. Indica cuáles de las siguientes funciones pasan por el origen de coordenadas.

a) y = - 4,5 x b) y = 7x + 6 c) y = 9 – x d) y = 3

23. Indica cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles decrecientes.

a) y = 8 x b) y = - 3 x + 9 c) y = 2 x – 8 d) y = 3 – 7 x

24. Representa en los mismos ejes cartesianos las funciones siguientes.

a) y = 3 x + 2 b) y = 3 x – 1 c) y = 3 x + 3 d) y = 3 x

25. Escribe la ecuación de la recta paralela al eje “ ” que pasa por el punto ( - 3, 0)

26. Escribe la función de una recta paralela a y = - 7 x + 4 que tenga la misma ordenada

en el origen que y = 3 x.

xy 3 xy xy 21 2 xy

.9 xy

xxf 74 xxg 12 xxh

y


97

27. Escribe la ecuación de una recta paralela a y = 9 x + 5 y que pase por el origen de

coordenadas. ¿Qué tipo de función es?

28. Dada la ecuación de la recta y = - 3 x + 4:

a) Escribe la ecuación de la recta paralela que corte al eje “y” en el punto (0, -1)

b) Represéntalas en los mismos ejes.

29. Indica cuáles de las siguientes funciones son de proporcionalidad inversa.

a) b) c) d)

30. Dada la función :

a) Construye una tabla para valores positivos de x

b) Representa la gráficamente la parte de la función correspondiente al semieje

positivo de la x

31. Representa gráficamente la función , para ello elabora dos tablas de valores

de “x” positivos y negativos, luego representa los puntos de ambas en los mismos

ejes de coordenadas.

32. Representa gráficamente la función

33. La siguiente tabla muestra la velocidad de un coche en un momento de decoración.

Tiempo (min) 0 1 2 3

Velocidad (Km/h) 90 70 50 30

a) Representa los datos gráficamente.

b) ¿De qué tipo de función se trata?

c) Escribe la expresión de la función.

d) Si el coche continúa disminuyendo la velocidad a ese ritmo, ¿en qué minuto

se detendrá?

34. Una ONG envía alimentos a un país en vías de desarrollo. Con cada 6 € aportados

alimenta a 6 niños al día.

xy2

3

xy

6 3 xy

xy

10

xy

5

xy

5

xy

12


98

a) Da la fórmula que relaciona la cantidad de dinero aportada con los niños a los

que da de comer la ONG al día.

b) ¿Es una función de proporcionalidad directa?


35. Nuria, Alejandro, Pilar y Vicente han comprado, respectivamente, 1, 3, 5 y 6

cuadernos, todos ellos iguales. En total han pagado 56, 25 €.

a) ¿Cuánto cuesta cada cuaderno?

b) Escribe la función que relaciona el dinero que hay que pagar con el número de

cuadernos comprados.

c) ¿Es una función de proporcionalidad directa?

d) ¿Cuánto hay que pagar por 10 cuadernos como los anteriores?

e) Con 15 €, ¿cuántos cuadernos podemos comprar?

36. La función f asocia a cada radio, r, de la circunferencia el área del círculo que le

corresponde.

a) Escribe la ecuación.

b) ¿Es una función de proporcionalidad directa?

c) ¿Cuál es el área de un círculo de 2 cm de radio?

d) ¿Cuál es el radio de un círculo de 314 cm2 de superficie?

37. El consumo de electricidad se mide en kilovatios. El gasto mensual es una cantidad

fija de 6,24 € a la que se añade el precio de los kilovatios consumidos.

a) Si el precio de un kilovatio es de 0,13 E, ¿cuánto pagará una familia un mes

que haya consumido 160 kilovatios?

b) ¿Cuántos kilovatios habrá consumido una familia que un mes ha pagado 46,90

€?

c) Escribe la fórmula que permite calcular el gasto mensual de electricidad en

función de los kilovatios consumidos.

d) ¿Qué tipo de función es? Señala su pendiente y su ordenada en el origen.

38. El producto de dos números es 18.

a) Forma una tabla de posibles valores.

B )Escribe la función que da un, conocido otro.

c) Representa gráficamente la función. De qué tipo es?

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