Matemática...¿estas ahí? La vuelta al mundo.

8/9/2019 Matemtica...estas ah? La vuelta al mundo.

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Siglo Veintiuno Editores

coleccinciencia que ladra...

Dirigida por Diego Golombek


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adrin paenza

matemticaests ah? la vuelta al mundoen 34 problemas y 8 historias


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Paenza, AdrinMatemtica... ests ah? : la vuelta al mundo en34 problemas y8

historias . -1a ed. - Buenos Aires : Siglo Veintiuno Editores,2010 .224 p. : il. ;19x14 cm. - (Ciencia que ladra... / dirigida por DiegoGolombek)

ISBN978-987-629-122-4

1. Matemtica. I. Ttulo

CDD 510

2010, Siglo Veintiuno Editores Argentina S.A.Diseo de portada: Mariana Nemitz

Ilustraciones de interior: Natalia de Titto Deleis

isbn 978-987-629-122-4

Impreso en Artes Grficas Delsur // Almirante Solier2450 , Avellaneda,en el mes de abril de2010

Hecho el depsito que marca la ley11.723Impreso en Argentina // Made in Argentina


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ndice

Este libro (y esta coleccin) 7 Agradecimientos 9 Acerca del autor 12

Prlogo 15

Los problemas 19Carrera de 100 metros y orden de llegada, 19. Medias

blancas y medias negras, 20. Uvas y cerezas, 20. Grilla denmeros con incgnita, 20. Problema para pensar con dosdgitos, 21. Quin dice la verdad?, 24. Cierto o falso?, 25.Los eslabones de una cadena de oro, 26. Probabilidad condados, 28. Problemas que atentan contra la intuicin, 29.Un seor camina a 3 kilmetros por hora a la ida y a 4 a lavuelta, 29. Cortar la torta entre tres comensales, 30. Velocidadpromedio, 31. Hasta dnde usamos los datos?, 32. Doshermanos y una carrera de 100 metros, 34. Dos millonesde puntos, 35. Encuestas y secretarias, 37. Podr adivinarel animal que usted est pensando?, 38. Un problema dearitmtica, 39. Cunto vale cada camisa y cada pantaln?,40. Yo tengo el doble de la edad que t tenas cuando,40. Siempre hay un martes 13, 41. Qu ancho tiene el ro?,46. Nmero mximo de porciones al cortar una pizza, 47.

Temperaturas, 55. 10 preguntas, 1024 nmeros, 56. Una joyitade la lgica, 57. Puede ser ( n + 1) = n?, 58. Cuatro parejas


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6 Matemtica ests ah? La vuelta al mundo...


invitadas a una fiesta y la duea de casa, 60. La historia delos cuatro azulejadores, 62. Estrategia para ganar siempre,63. Los soldados de Conway, 64. Cuadrados de Bachet, 69.Camaleones, 72

Las historias 75El ltimo teorema de Fermat, 75. Cun grandes son losnmeros grandes? Historia de la vida en un da, 81. El nmerop (pi), 82. Reloj, 90. Das que duraban 23 horas, 103.(25/5) y un tributo a la creatividad, 105. Cara o ceca, 109. Aldea global, 112.

Soluciones 115


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Este libro (y esta coleccin)

Ya lo extrabamos. Y aqu Adrin Paenza nos invita nuevamente a un viaje maravilloso a travs de los problemas e historiasde ese universo llamado matemtica que, de su mano, aprendimosa disfrutar.

En estas pginas haremos otra visita al pas de las maravillas,que, aun sin tortas mgicas que nos empequeecen o gatos quedesaparecen dejando slo su sonrisa, ha sabido regalarnos som-brereros locos, cartas marcadas y nmeros escondidos dignos de la

mejor de las Alicias. Dicho sea de paso, es interesante recordar quela primera versin de la queridaAlicia en el pas de las maravillas notena varios de los juegos algebraicos y personajes absurdos que lahicieron famosa. Se dice que Lewis Carroll (el matemtico Char-les Dodgson, bastante conservador, segn se cuenta) los incluyen versiones posteriores con la secreta intencin de burlarse dealgunos de los desarrollos bastante radicales de la matemtica deentonces. Quin dira: una de las historias ms conocidas y disfru-tadas de todos los tiempos podra deber buena parte de su fama auna interna entre matemticos

Nuestro querido Adrin no deja historia con cabeza (como lareina de corazones) ni recoveco sin husmear para demostrarnos,una vez ms, que la matemtica est a la vuelta de la esquina (y enla esquina misma), esperando que la descubramos, razonemos yapliquemos. Nos muestra tambin cmo los matemticos no siem-pre estn inmersos en una maraa de ecuaciones y pensamientosininteligibles y, en cambio, se afanan por descubrir los secretos


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mundanos detrs de las compras en la verdulera, de las propor-ciones y los tamaos, de la intuicin nuestra de cada da. Por ejem-plo, conviene recordar que hay que tener cuidado si invitamos a

Adrin o a otros matemticos a comer pizza, ya que podramosquedar enfrascados en una fascinante y sustanciosa discusin so-bre cmo cortarla de manera que las porciones resulten realmenteequitativas. El problema viene, sobre todo, si al mozo se le ocurrerealizar un primer corte descentrado, por lo que las porciones ne-cesariamente sern desiguales. As, entre clculos, papers y opinio-nes seguramente se nos enfriar el queso pero quin nos quita loaprendido.

En fin, que la matemtica sigue estando ah, para quedarse. Locual a esta altura ya se ha vuelto una sana costumbre.

Esta coleccin de divulgacin cientfica est escrita por cientficosque creen que ya es hora de asomar la cabeza fuera del laboratorio y contar las maravillas, grandezas y miserias de la profesin. Por-que de eso se trata: de contar, de compartir un saber que, si sigue

encerrado, puede volverse intil.Ciencia que ladra no muerde, slo da seales de que cabalga.

diego golombek


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Agradecimientos

A los tres lujos que me puedo dar en la vida: Diego Golom-bek, director de la coleccin Ciencia que ladra, CarlosDaz, director editorial de Siglo Veintiuno, y Claudio Martnez,el productor detodos los programas de televisin en los quetrabajo. Como sucedi en las cuatro ediciones anteriores, ellosson quienes me estimulan a pensar, producir, escribir y grabar.Podra decir que sin ellos todo esto no existira, pero no lo s.Lo que s s es que con ellos mi vida es ms fcil. Y ninguna

frase que elija para expresar mi gratitud servira para hacerles justicia. A Carlos DAndrea, Gerardo Garbulsky, Juan Sabia, AliciaDickenstein y Emanuel Ginbili. Ellos son los beta-testers,los que leen los textos antes de que aparezcan, los que losdiscuten, los critican y los ponen a prueba. Es curioso, perohasta que cada uno de ellos no me da su opinin sobre cadaproblema, siento que todava hay algo inconcluso. No s de-cirlo de otra manera porque la palabra ya est muy gastada, yyo mismo la us en el libro anterior, pero necesito recurrir a ellaporque no se me ocurre nada mejor: gracias.El contenido de un libro de estas caractersticas es el resultadode un esfuerzo colectivo. No me gustara dejar la impresin deque yo me siento todas las maanas frente a mi computadora,me quedo pensando un rato y se me ocurren problemas: noes as. Este libro es el fruto de ideas, sugerencias y escritos demuchsimas personas. No sabra cmo darles el crdito a todas


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porque no est claro que conozca siquiera a la mayora deellas. Sin embargo, hay un grupo al que S conozco y que meapresuro a acariciar con mi gratitud: Carlos DAndrea (otra vez),Juan Sabia, Pablo Coll, Pablo Milrud, Alicia Dickenstein, MatasGraa, Teresita Krick, Eduardo Dubuc, Gabriela Jernimo,Pablo Amster, Ariel Arbiser, Cristian Czbara.

A Woody Gonzlez, Ariel Hassan y Mara Marta Scarano, por-que, con su aporte en Alterados por Pi , me ensean a entenderla matemtica desde otro lugar. Ellos me preguntan sin sermatemticos hasta que, o bien entienden lo que digo, o meconvencen de que el que no entiende soy yo. Sus contribucio-nes son impagables.

A quienes, difundiendo su pasin por la matemtica, lograronseducirme: Enzo Gentile, Eduardo Dubuc, Miguel Herrera, LuisSantal, ngel Larotonda, Oscar Bruno, Nestor Bcari, JuanSabia, Jorge Fiora, Ricardo Durn, Ricardo Noriega, CarmenSessa, Alicia Dickenstein, Baldomero Rubio Segovia, LeandroCaniglia y Pablo Caldern.

Y, por supuesto, a toda la comunidad matemtica, a la que ledebo una gratitud particular porque quienes forman parte deella no dejan de enviarme sugerencias e ideas, modos de pen-sar o abordar un problema, y son una fuente inagotable paraestos libros. Mi reconocimiento a todos ellos.

A Ernesto Tenembaum, Marcelo Zlotogwiazda y Guillermo Alfieri, porque me acompaaron con su amistad en todos losproyectos que encar hasta ac. Y por el respeto con el queme tratan siempre.

Aunque s que me repito, el crdito por la difusin que tienenestos textos les corresponde tambin a los mltiples comu-nicadores que en distintos programas de radio, televisin,revistas y/o diarios promueven esta forma de difundir lamatemtica y consiguen un efecto imposible de lograr sin suaporte.

A Ernesto Tiffenberg, por el estmulo que me da al seguir publi-cando mis artculos en mi queridoPgina/12 . Y lo mismo para


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Agradecimientos11

Vernica Fiorito e Ignacio Hernaiz del Canal Encuentro, y paraMartn Bonavetti del Canal 7. Mi gratitud tambin para TristnBauer, alguien que ha sido esencial a la hora de transformary traducir esta serie de libros de matemtica al mundo de latelevisin.

A Laura Campagna, Caty Galdeano, Juliana Cedro y HctorBenedetti: desde sus distintas funciones en la editorial Siglo

Veintiuno, todos ellos me protegen desde lugares difciles deimaginar. Merecen un reconocimiento muy particular. Y migratitud.

A mis compaeros de El Oso Producciones, La Brjula, Canal7, Canal Encuentro yPgina/12, por el cario que me expresanen cada momento. A todos, sin excepciones. Y ellos sabenque no lo escribo porque as lo indique el protocolo.

Y por ltimo, para las cinco personas que son mis guas ticos,por su posicin en la vida en defensa de sus principios y elrespeto a la sociedad que nos/los cobija: Marcelo Bielsa, Nel-son Castro, Alberto Kornblihtt, Vctor Hugo Morales y Horacio

Verbitsky.


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Acerca del autor

Adrin Paenza [email protected]

Naci en Buenos Aires en 1949. Es doctor en Matemticas porla Universidad de Buenos Aires, donde se desempea actual-mente como profesor asociado del Departamento de Matem-tica de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Es, ade-

ms, periodista. En la actualidad conduce los ciclosCientficosIndustria Argentina que ya est en su octava temporada y harecibido el Martn Fierro al mejor programa periodstico en diver-sas ocasiones, Alterados por Pi, Explora y Laboratorio de ideas ,adems de la serie infantilMatemtica..., ests ah? , que saldral aire durante 2010. Trabaj en las radios ms importantes y enlos cinco canales de aire de la Argentina. Fue redactor especialde varias revistas y colaborador en tres diarios nacionales:Clarn,Pgina/12 y La Nacin . Actualmente es columnista especial de Pgina/12 . Public en esta misma coleccin los cuatro tomosiniciales de la serieMatemtica ests ah? , que han sido unxito de ventas en la Argentina, en otros pases de Latinoamricay tambin en Alemania y Espaa, donde se han editado los dosprimeros episodios. Asimismo, sus libros han sido publicados (olo sern prximamente) en Rusia, Italia, Repblica Checa, Brasily Portugal. En 2007 recibi el premio Konex de platino en elrubro Divulgacin cientfica.


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A Fruma y Ernesto, mis padres. Como siempre, mi gratitud eterna.A mi hermana Laura y mi cuado Daniel.A todos mis sobrinos: Paula, Santiago, Lorena, Mximo, Alejandro,Ignacio, Brenda, Miguelito, Viviana, Diego, Sabina, Mara Soledad,Mara Jos, Gabriel, Ma, Valentn, Lucas, Max, Amanda, Whitney, Jason y Landon.A Carlos Griguol, mi amigo del alma.A mis amigos Miguel Davidson, Leonardo Peskin, Miguel ngel Fern

dez, Hctor Maguregui, Cristian Czbara, Lawrence Kreiter, Gary Crott Dennis Fugh, Kevin Bryson, Alejandro Fabbri, Vctor Marchesini, LuisBonini, Fernando Pacini, Gerardo Garbulsky, Marcos Salt, Santiago Segurola, Julio Bruetman, Ariel Hassan, Woody Gonzlez, Antonio Largina, Carlos Aimar, Marcelo Araujo y Claudio Pustelnik.A mis amigas Ana Mara DAlessio, Nilda Rozenfeld, Teresa Reins, Btriz de Nava, Beatriz Surez, Nora Bernrdez, Carina Marchesini, LauraBracalenti, Etel Novacovsky, Marisa Gimnez, Norma Galletti, Alicia Dickenstein, Carmen Sessa, Carina Maguregui, Marcela Smetanka,Mnica Muller, Erica Kreiter, Marisa Pombo y Vivian Crotts.A la memoria de mis seres queridos, aquellos que perd en el camino: Gdo Peskin, mis tas Delia, Elena, Miriam y Elenita; mi primo Ricardo, mamiga Lola Bryson, y a la de mis entraables compaeros de vida: NoemCuo, Len Najnudel y Manny Kreiter. Y para Jorge Guinzburg tambi


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Prlogo

Empieza una nueva aventura. Un nuevo libro. El quintode la serie.

Es curioso cmo cambiaron las cosas para m en estos ltimoscinco aos, desde que apareci el primer volumen deMatemti- ca ests ah?

Antes, y debe de haber sido un problema mo (obviamente),senta la necesidad de defenderme porque me gustaba la mate-mtica. Ya no hablemos de hacer matemtica, sino de tratar decomunicarla, divulgarla, volverla popular.

La matemtica tena muy mala prensa. Hoy ya no creo que seatan as. La sociedad (me parece) est modificando su percepcin.Es como si hubiera habido unclick en algn lugar, una lamparitaque se fue encendiendo y que motiv a muchas personas que his-tricamente declaraban yo no sirvo para la matemtica, yo soypsimo en matemtica, a m nunca me interes, etc., a generaruna transformacin en algn lugar.

Sin embargo, no me engao: no creo que la gente haya cam-biado de idea. No. Siguen pensando lo mismo sobre lo que sufrie-ron cuando eran jvenes (o nios), pero lo que est afirmndose,creo, es la conviccin de que lo que crean que era la matemticano era tan as. Como si lentamente se abriera paso la sospecha deque lo que les ensearon en el colegio o en la escuela no ERA la verdadera matemtica.

En todo caso, es como si una buena parte de la sociedad advir-tiera ahora que quizs fue un sntoma de salud que a uno no legustara, que la rechazara, que le resultara aburrida.


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Para decirlo de otra forma: creo que la reaccin adversa queprodujo en usted o en la mayora de las personas es absolutamen-te comprensible. Cmo no habra de pasar? Por qu no habra

de pasar?Pinselo de la siguiente manera: si ya adulto usted estuvierasentado en una sala donde una persona le diera respuestas a pre-guntas que usted no se hizo, posiblemente se quedara un ratopor respeto al que habla, pero despus de un tiempo razonable selevantara y se ira. Al menos, es lo que hara yo.

Ahora traslademos esta situacin al caso de los jvenes/niosque van al colegio y en forma compulsiva tienen que sentarse yenfrentar la misma escena da tras da, con la nica diferenciade que ellos no pueden ausentarse voluntariamente. Tienen quequedarse y escuchar. Quedarse y tomar apuntes. Quedarse y repe-tir. Quedarse y prestar atencin como si les interesara. Tienen quequedarse y aburrirse.

No es esperable entonces que la mayora de la gente diga des-pus, al cabo de varios aos, que la matemtica le result inex-

pugnable, aburrida, incomprensible e intil? Por qu habra deser diferente?Suponer, por ejemplo, que las marchas militares son LA msica

dara lugar a una situacin parecida. O que formar parte de unabarrera en un partido es EL ftbol. No. Si uno quiere seducir aalguien con algo, no puede empezar por ah. La msica pasa porBeethoven o la Negra Sosa, por Charly Garca o por Marta Arge-rich, por Piazzolla o los Beatles, pero no por Aurora o la Marchade San Lorenzo.

El ftbol es Maradona y Messi, Pel y Ronaldo, gambetas im-posibles o goles memorables en partidos trascendentes, y no tiroslibres desviados en una barrera bien formada por jugadores quesaltan al unsono. Es decir,eso que nos contaron y nos presentarondurante muchsimos aos como la matemtica produjo lo inevi-table: un fuerte rechazo.

Lo que ni usted ni yo sabamos en ese momento es que lo quenos decan que era LA matemtica, en realidad, no lo era. No es


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Prlogo17


que no tenga NADA que ver con la matemtica. S, tiene que ver,pero no es ni por asomo LA matemtica. Estoy convencido de quela matemtica que hay que ensear en los primeros estadios es

la matemtica recreativa, la matemtica del juego. Es cuestin deencontrar los desafos adecuados, como si fueran tesoros, de salira buscarlos. Con la matemtica HAY QUE JUGAR.

En todo caso, la idea no debera ser acumular conocimientos oconceptos, sino estimular la creatividad. Cualquiera de nosotrospuede almacenar informacin en su base de datos. Es slo cues-tin de entrenar la memoria. Pero la memoria tiene patas cortas.Uno se olvida de lo que no usa, y uno usa slo lo que le sirve, loque necesita.

Por otro lado, si uno quiere tararear una cancin, no necesitasaber escribir msica, ni saber leer lo que est escrito en un pen-tagrama. Uno disfruta de poder cantar o escuchar una cancin sinnecesidad de saber msica. Se imagina lo que sentiramos comosociedad si se privara de la msica a todos los que no pueden com-ponerla o leerla? Bueno, eso es lo que pasa con la matemtica. En

los momentos iniciales de nuestras vidas nos pasamos muchsimotiempo tratando de aprender tcnicas que poco tienen que vercon la belleza que encierra. Y casi nunca llegamos a apreciarla.

O si quiere, exagerando, pinselo as: uno aprende primero ahablar y despus a escribir. Un nio empieza a hablar al ao, mso menos, pero recin escribe y se comunica de esa forma a partirde los cuatro o cinco (o incluso ms). Se imagina a un nio sinpoder hablar hasta no saber escribir?

Por qu no hacer lo mismo con la matemtica? Ms all de lasoperaciones aritmticas elementales, el desafo no es bajar lnea,sino tratar de liberar la creatividad y la imaginacin que cada nioposee. Lo que no tiene perdn es matar la creatividad. Los nios van al colegio o a la escuela con una pelcula virgen sobre la cual vamos a ayudarlos a que escriban su vida. No cumplimos con latarea de adultos responsables si no los dejamos disfrutar de en-contrar su propio camino. El placer del recorrido, no el supuestoplacer de la llegada.


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El objetivo es jugar y divertirse con la matemtica en los prime-ros aos. Disfrutar de hacer preguntas. Mejor dicho: lo que meparece ms valioso es ayudar a generar preguntas.

Pero este libro no est pensado slo para nios, sino para todo elmundo, para personas de cualquier edad. Se trata de poder aunahora jugar con la matemtica, disfrutar de pensar, de conside-rar problemas, de suponer que faltan datos y luego descubrir queno era as, de aprender a frustrarnos porque algo no nos sale tanrpido como querramos, y sobre todo, a disfrutar del trayecto. Y siempre habr una pgina de respuestas que lleguen en auxilio dela desesperacin cuando haga falta.

Quiero reproducir ac lo que le alguna vez, aunque no sepaexactamente a quin corresponde el crdito. En cualquier caso,no soy yo el autor. Deca as:

Uno no deja de jugar porque envejece,sino que envejece porque deja de jugar.

La matemtica no est hecha para ser observada, ni para ver loque hicieron otros (y eventualmente frustrarse con eso). No. A lamatemtica hay que hacerla, transformarla, mejorarla, cambiarla. Y eso slo se consigue estimulando la creatividad.

La idea entonces es tratar de recuperar (si es posible) algo de loque nos han privado (o que nos han robado) en nuestra niez/ juventud: el placer de disfrutar de la otra cara de la matemtica,la que deberamos haber conocido antes. El objetivo de todos estoslibros es que no nos perdamos la oportunidad de jugar con la ma-temtica, aunque uno crea que ya pas la oportunidad.

Lo que sigue, entonces, apunta en esa direccin. Ojal que us-ted disfrute al leerlo tanto como yo al escribirlo.

Continuar.


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Los problemas

Carrera de 100 metros y orden de llegada

Adems de ser entretenido, este problema sirve para en-trenar la capacidad de pensar. Por eso no vale la pena que lea elresultado antes de intentar una respuesta. Perdera toda la gracia (y creo que la tiene).

Ac va: se corrieron los 100 metros llanos en los juegos olmpicos.

Participaron en la final slo cinco competidores: Bernardo, Diego,Ernesto, Antonio y Carlos. Fjese si, partiendo de los siguientes da-tos, puede encontrar el orden en el que llegaron a la meta:

A) Antonio no fue ni el primero ni el ltimo.B) Antonio, sin embargo, qued por delante de Bernardo.C) Carlos corri ms rpido que Diego.D) Ernesto fue ms rpido que Antonio pero ms lento que

Diego.

Antes de avanzar, permtame sugerirle algo. En general, para re-solver este tipo de problemas hace falta tener el tiempo suficientecomo para sentarse un rato, escribir y conjeturar. Llegar a la so-lucin suele ser irrelevante. El atractivo, en todo caso, surge delrecorrido, de la capacidad para imaginar y pensar. Es, ni ms nimenos, que un problema de lgica pura. Que lo disfrute.

(Solucin: 115-121)


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Los problemas21


A uno le dan una grilla de letras y nmeros como sta:

A A B B 14C D C D 6A D C B 10A D B B 11

14 7 10 x

El objetivo es reemplazar todas las letras por nmeros enteros po-sitivos de manera tal que, si uno suma todos los nmeros de laprimera fila, el resultado sea 14. Al sumar los de la segunda fila, elresultado debe ser 6. En el caso de la tercera, 10, y en el de la cuar-ta, 11. Y lo mismo con las columnas. La suma de la primera debedar 14, la segunda 7, la tercera 10 y la cuarta tiene un valorx , porahora desconocido. El problema consiste en encontrar los valoresde A, B, C, D y tambin de x.1

(Solucin: 124-127)

Problema para pensar con dos dgitos

Elija un nmero de dos dgitos cualesquiera (que no sean iguales).Para fijar las ideas, yo voy a elegir uno: 73 (pero, obviamente, elproblema funciona con cualquier nmero).

Escrbalo en alguna parte. Ahora,conmute las cifras del nmero

1 Si el problema consistiera solamente en encontrar el valor de x, seramucho ms sencillo, ya que la suma de los nmeros de la ltima co-lumna (14, 6, 10 y 11) y la suma de los nmeros de la ltima fila (14, 7,10, x ) tienen que ser iguales. Es decir:

14 + 6 + 10 + 11 = 41 = 14 + 7 + 10 + x

41 = 31 + x

Y de ac se deduce (despejando lax ) que el valor de x es (41 31) = 10.O sea, uno puede calcular el valor de la x sin necesidad de conocer A, B, C y D.


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que eligi (conmutar significa cambiarlas de lugar). En el casoque yo eleg (el 73), alconmutar los dgitos obtengo:

37

Una vez hecho esto, preprese para restar los dos nmeros (ponien-do elmayor encima del menor). En este caso la cuenta sera as:

7337

Y el resultado es 36. Ahora, fjese en la siguiente tabla:

1 ! 11 @ 21 # 31 = 41 % 51 % 61 ^ 71 * 81 & 91 *2 @ 12 # 22 $ 32 # 42 $ 52 % 62 $ 72 & 82 $ 92 @3 # 13 @ 23 + 33 ^ 43 # 53 + 63 & 73 @ 83 * 93 $4 $ 14 & 24 * 34 ! 44 ^ 54 & 64 + 74 @ 84 % 94 !

5 % 15 + 25 & 35 % 45 & 55 = 65 # 75 % 85 + 95 @6 ^ 16 % 26 $ 36 & 46 # 56 % 66 + 76 # 86 ! 96 %7 + 17 = 27 & 37 ^ 47 @ 57 = 67 ^ 77 % 87 # 97 !8 * 18 & 28 = 38 + 48 @ 58 % 68 % 78 @ 88 ^ 98 #9 & 19 ^ 29 & 39 = 49 & 59 $ 69 # 79 ^ 89 % 99 &

10 = 20 + 30 = 40 % 50 ^ 60 # 70 * 80 $ 90 + 00 &

Tabla 1

Fjese en elsmbolo que se encuentra a la derecha del nmero queobtuvo. (En el ejemplo que he elegido, al lado del 36 est el sm-bolo &.)

Usted tambin encontr &, no es as?

Hagamos juntos otro ejemplo (elija otro nmero). Yo voy a usar el82. Como vimos en el caso anterior,conmuto los dgitos (o sea, loscambio de lugar ). Ahora tengo el nmero 28. Los resto (es decir, almayor le resto el menor):


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Los problemas23


82 28 = 54

Igual que antes, pero ahora con el nmero 54 (y usted con el n-

mero al que lleg), fjese en la siguiente tabla:

1 ! 11 ~ 21 ] 31 = 41 % 51 % 61 ^ 71 * 81 > 91 *2 ~ 12 ] 22 $ 32 ] 42 $ 52 % 62 $ 72 > 82 $ 92 ~3 ] 13 ~ 23 + 33 ^ 43 ] 53 + 63 > 73 ~ 83 * 93 $4 $ 14 > 24 * 34 ! 44 ^ 54 > 64 + 74 ~ 84 % 94 !5 % 15 + 25 > 35 % 45 > 55 = 65 ] 75 % 85 + 95 ~

6 ^ 16 % 26 $ 36 > 46 ] 56 % 66 + 76 ] 86 ! 96 %7 + 17 = 27 > 37 ^ 47 @ 57 = 67 ^ 77 % 87 ] 97 !8 * 18 > 28 = 38 + 48 ~ 58 % 68 % 78 ~ 88 ^ 98 ]9 > 19 ^ 29 > 39 = 49 > 59 $ 69 ] 79 ^ 89 % 99 >

10 = 20 + 30 = 40 % 50 ^ 60 ] 70 * 80 $ 90 > 00 >

Tabla 2

Observe elsmbolo que figura a la derecha del nmero que en-contr. En mi ejemplo (82 28 = 54), al lado del 54 est el sm-bolo >. No me diga que usted tambin encontr el mismo! Porqu habr pasado esto?

Ahora, no le dan ganas de descubrir cmo hice para que nues-tros resultados coincidieran? Ms an: no le interesara revisar todo el proceso para entender cmo yo puedo saber qu smboloencontr?

Repita todo lo que hicimos juntos empezando con otro nmero.Fjese nuevamente en lo que pasa. Creo que conviene que se tomeun tiempo para pensarlo

(Solucin: 127-129)


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Quin dice la verdad?

No s cmo lo vive usted, pero cuando yo escucho un problema que

me interesa, lo pienso durante un tiempo y, si puedo, lo resuelvosolo. Si no puedo, consulto, leo, hasta sentir que hice todo lo posiblepor encontrar la respuesta. Pero aun cuando la encuentre (solo ocon ayuda), me sucede que despus de un tiempo la olvido.

Por eso, cuando me tropiezo con el problema otra vez, en lugarde recordar la solucin que encontr en algn momento anterior,aprovecho para pensarlo nuevamente. Claro, hay veces que meacuerdo de lo que haba hecho para resolverlo porque lo vi hacepoco o porque me dej marcado por alguna razn. Pero otras ve-ces decididamente no me acuerdo. Y esto es bueno no slo porqueme permite pensarlo de nuevo, sino porque me hace creer queestoy frente a un problema nuevo.

Lo que motiv esta digresin es un problema que escuch hacemucho tiempo, pero que tengo que volver a pensar cada vez que veo. Y lo bueno es que siempre me lleva un poco de tiempo (o

mucho, dependiendo de las circunstancias). Lo planteo ac y la/lo dejo con l. Es una verdadera joyita.

En el pasVermentira (por ponerle un nombre), la gente est dividida de la siguiente forma: estn aquellos que dicen siempre la verdad (losverdotones ) y aquellos que mienten siempre (losmen- tirones ). Lo curioso es que, al margen de que cada uno tenga esacaracterstica tan particular, no hay forma de distinguirlos por suapariencia.

Ahora supongamos que una persona viaja desde Madrid y, nobien llega a este pas tan especial, se encuentra con tres mujeres,que voy a llamar Alicia, Beatriz y Carmen. Esta persona est infor-mada de las caractersticas en que est dividida la poblacin de Vermentira y, cuando enfrenta a estas mujeres, ansa ver de qumanera puede descubrir a qu categora pertenece cada una, yentonces decide hacerles las siguientes preguntas:


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Los problemas25


1) A Alicia le pregunta: A qu categora pertenece Bea-triz?. Y Alicia le contesta:A mentirones .

2) A Beatriz le pregunta: Es verdad que Alicia y Carmen

pertenecen a diferentes categoras?. Y Beatriz le respon-de: No.3) Por ltimo, le pregunta a Carmen lo mismo que le haba

preguntado a Alicia: A qu categora pertenece Bea-triz?. Y Carmen le dice: Ella es una verdotona .

El problema consiste en poder contestar:

a) Con esas tres preguntas que hizo la persona, se puededeterminar a qu categora pertenece cada una de lasmujeres?

b) Si se pudiera, indique a qu grupo pertenecera cadauna (Alicia, Beatriz y Carmen).

c) Si no se pudiera, explique las razones.(Solucin: 129-131)

Cierto o falso?

El que sigue es un problema interesante, porque no requiere sa-ber nada, ni haber aprendido nada. Es un problema puro.Qu quiero decir con esto? Que no hace falta ningn conoci-miento previo ni haber estudiado nada de lo que nos enseanen ninguno de los escalones naturales de la educacin: escuelaprimaria, colegio secundario, etc.

Para abordarlo, slo hace falta tener ganas de pensar. Nada ms.Nada menos, tambin. La/lo invito a que se entretenga en el ca-mino.

Se trata de poder decidir cul (o cules) de las siguientes fraseses (o son) ciertas o falsas. Y, por supuesto, de dar una razn queexplique su conclusin. Ac van:


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1) Exactamente una frase de esta lista es falsa.2) Exactamente dos frases de esta lista son falsas.3) Exactamente tres frases de esta lista son falsas.

4) Exactamente cuatro frases de esta lista son falsas.5) Exactamente cinco frases de esta lista son falsas.6) Exactamente seis frases de esta lista son falsas.7) Exactamente siete frases de esta lista son falsas.8) Exactamente ocho frases de esta lista son falsas.9) Exactamente nueve frases de esta lista son falsas.

10) Exactamente diez frases de esta lista son falsas.(Solucin: 131-133)

Los eslabones de una cadena de oro

El que sigue es un problema interesante porque obliga a pensarlo cual no tiene nada de malo. Sin embargo, cuando me enfrentcon l cre que lo haba resuelto casi inmediatamente, aunque ha-

ba algo que me segua intrigando. No estaba convencido de queestuviera bien.Saba que la solucin estaba escrita en un libro (es un problema

que plante Martin Gardner hace muchos aos), pero me resistaa mirarla. Por eso es que la/lo invito a que no se deje tentar porlas ganas de cotejar si la solucin que encontr es la ideal o no.Es decir, tmese un tiempo para buscar otras alternativas. Creoque lo mejor es contarle el problema y dejar que lo piense contranquilidad.

Un joven est estudiando en una provincia alejado de su familia.Todos los meses, sus padres le envan una cantidad de dinero sufi-ciente como para que pueda afrontar sus gastos.

Cierta vez, por una dificultad financiera, el dinero no llega atiempo y, para peor, le avisan que demorar algunas semanas. Ne-cesita encontrar la manera de pagar el alquiler de la habitacinen la que duerme, y recuerda que tiene una cadena de oro con 23eslabones.


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Los problemas27


Se le ocurre una idea y decide ponerla en prctica. Habla conla duea del hotel y, entre ambos, concluyen que si l le da un es-labn de la cadena por da, cubre exactamente el valor diario que

paga por la habitacin. Y de esa forma puede solventar su estadadurante los veintitrs das. Sus padres le aseguran que el dinerollegar en algn momento durante ese lapso.

Entonces, como l sabe que recibir el dinero, tiene la inten-cin de arruinar su cadena lo menos posible. Es decir, prefierehacer la menor cantidad de cortes posibles, de manera tal quecada da la seora tenga en su poder tantos eslabones como dasl le adeuda.

En realidad, perfecciona un poco su idea porque advierte que,si la mujer le permite entregar un eslabn un da y al da siguientecuando debera entregarle otro ella le devuelve el del da ante-rior y acepta canjerselo por una combinacin de dos eslabones, y as siguiendo, quiz pueda evitarse tener que cortar la cadenatodos los das.

Despus de explicarle su idea (para daar la cadena lo menos

posible), el acuerdo al que llega con la duea es el siguiente: lpuede darle un eslabn por da, o puede darle un eslabn el da1, el da 2 puede pedirle ese eslabn y entregarle a cambio una pe-quea cadena compuesta por dos eslabones. El da 3 puede darleun eslabn solo (que junto con los dos que ella tiene le serviranpara pagar el tercer da) o puede pedirle que le devuelva los dosque ella ya tiene y entregarle un pequeo segmento (una mini-cadena) con tres eslabones, y as siguiendo, da por da. Lo nicoque debera importarle a la duea es tener en su poder cada dala cantidad de eslabones equivalente a la cantidad de das que elestudiante estuvo en su hotel.

Ahora viene la pregunta: cul es el mnimo nmero de cortesque tiene que hacer el joven estudiante para arruinar su cadena lomenos posible y honrar su acuerdo los veintitrs das?

(Solucin: 133-137)


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Probabilidad con dados

Con el siguiente problema le propongo un desafo. No slo la/lo

invito a que encuentre la solucin, sino a que encuentredos formas distintas de llegar a ella.O, si quiere, a que busque an ms.En principio, cuando uno se enfrenta con una dificultad, la an-

siedad lo lleva a tratar de sacrsela de encima. Y por eso trata deresolver el problema cuanto antes. Sin embargo, esa misma ansie-dad lo/nos lleva a intentar por la fuerza bruta, que no es necesaria-mente algo malo, slo que suele ocupar mucho tiempo (y a vecesresulta un camino tortuoso).

Por otro lado, slo cuando uno ha logrado saltar la valla y ya estms tranquilo, puede mirar las cosas desde otra perspectiva, y esentonces cuando, inesperadamente (a veces), aparece otra solu-cin, u otra forma de plantearla en la que el resultado se presentams claro y natural.

Ac va (el problema):

Laura y Daniel van a tirar un dado2

una vez cada uno. Laura tiraprimero. Cuntos resultados posibles favorecen a Daniel? Es de-cir, en cuntos casos Daniel saca un nmero mayor que el de Lau-ra? Ms an, cuando uno obtiene este dato, cul es la probabilidad de que Daniel saque un nmero mayor que el de Laura?

Lo interesante ahora es que primero piense si entendi qu hayque resolver y, luego, se tome el tiempo necesario para hacerlo.No hay apuro. No hay presiones.

(Solucin: 137-145)

2 Estoy suponiendo que al tirar el dado todos los nmeros tienen lamisma probabilidad de salir.


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Los problemas29


Problemas que atentan contra la intuicin

Reconozco que tengo ciertadebilidad por los problemas que aten-

tan contra la intuicin. Es que son los quedesafan la imaginacin y nos llevan a poner a prueba lo quecreemos que pasa con lo querealmente pasa.

Quiero entonces plantear dos situaciones que parecen iguales,pero que no lo son. Ms an: la/lo invito a que se prepare pararesolver los problemas dndose un poco de tiempo. No se apure.No salte inmediatamente a ninguna conclusin.

Por supuesto, si se le ocurre una respuestano la descarte Alcontrario: aprovchela para analizarla y ver si efectivamente es lams adecuada. Aqu van:

a) La seora Lidia Rodrguez tiene dos hijos. Al menos unode ellos es un varn. Cul es la probabilidad de que elotro nio sea tambin varn?

b) La seora Rosa Gentile tiene tambin dos hijos. La ma-

yor es una nena. Cul es la probabilidad de que el otrohijo sea tambin una nena?

Como ve, los problemas parecen similares pero no lo son. Aho-ra, le toca a usted.

(Solucin: 145-146)

Un seor camina a 3 kilmetros por hora a la ida y a 4 a la vuelta

Un seor camina hacia la casa de un amigo a 3 kilmetros porhora, toca el timbre y advierte que su amigo no est. Da la vuelta yretorna al lugar de partida caminando ms rpido, a 4 kilmetrospor hora. El viaje, en total, le insume 21 horas. Cuntos kilme-tros camin?

(Solucin: 147-148)


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Cortar la torta entre tres comensales

Le propongo pensar el siguiente problema. Hay una torta y tres per-

sonas dispuestas a comerla. Ninguno quiere comer menos que losotros. Y no hay forma de medir para saber con exactitud cmogenerar tres porciones iguales, por lo que hay que elaborar una es-trategia que permita que los tres queden satisfechos. Cmo hacer?

Este problema, que parece totalmenteirrelevante,puede adqui-rir impensada actualidad. Por ejemplo, si tres pases se disputanuna porcin de tierra, cmo hacen para dividirla de manera talque no se genere un conflicto entre ellos? Tambin puede sucederque haya que distribuir una herencia entre tres personas y lograrque la operacin deje contentos a todos.

Estoy seguro de que usted puede aportar ms y mejores ejemplos.Pero lo que surge de estos casos es que lo que parece totalmenteinocuo e irrelevante en realidad slo lo es en el contexto de tener quecortar una torta, ya que, en otro escenario y en otras condiciones,tener una estrategia que satisfaga a todos los involucrados ya no es

algo tan trivial. Y aunque mucha gente no lo perciba, elaborar esaestrategia tambin es hacer matemtica.

El problema de la torta es unclsico dentro de la matemtica.Haymucha literatura escrita y soluciones de diferente tipo. Yo voy apresentar slo una de ellas, que no es necesariamente la mejor.Es slouna de las tantas que se conocen. Y, por supuesto, no esuna idea ma, sino una respuesta que circula desde hace muchotiempo.

Antes de dejarla/o que reflexione, quiero proponerle para em-pezar que piense un problema un poco ms sencillo. Algo muyparecido al planteo original, slo que en lugar de suponer que haytres personas para comer, se trata, en principio, slo dedos.Es decir,hay que dividir la torta en dos porciones que dejen contentos a loscomensales.

La idea es tratar de cortarla de manera que la divisin sea jus-ta, en el sentido de que ninguno de los dos tenga nada para obje-


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Los problemas31


tar. Cmo hacer? La solucin es relativamente sencilla. (Quierepensarla por su lado?)

La idea es que uno de los dos comensales se ocupe decortarla en dos partes y elotro decida con cul de las dos porciones se queda. staparece una solucin justa, equitativa: Uno corta, el otro elige.

Ahora vuelvo al problema original: si en lugar de dos comensa-les hay que distribuirla entretres,sin que ninguno pueda reclamarnada, cmo conviene hacer?

Ac la/lo dejo pensar a usted. Se trata entonces de elaborar unaestrategia quedeje contentos a todos.No es fcil. Pero tampoco im-posible.

(Solucin: 148-150)

Velocidad promedio

El problema que sigue tiene, una vez ms, el condimento de lo an-

tiintuitivo. Por supuesto, como usted est leyendo esta introduccin,no bien se detenga en lo que se pide resolver tratar de ignorarsu primera reaccin. Le pido que no lo haga. Djese llevar por loque le parece que pasa y verifique o ponga a prueba su respuesta.Disctala con usted misma/o hasta convencerse de que o bien elresultado que encontr es correcto o bien contiene algn error.

Una persona sale de su casa y hace un determinado recorrido auna velocidad de 6 kilmetros por hora. Cuando llega al final, dala vuelta y disminuye la velocidad a 4 kilmetros por hora, hastaque regresa a su casa. Cul es la velocidad promedio que utilizen ir y venir?3

3 La velocidad (promedio) que lleva un vehculo o una persona o cual-quier mvil se calcula dividiendo el espacio recorrido por el tiempoutilizado en recorrerlo. Por ejemplo, si un auto recorre 200 kilmetrosen 4 horas, entonces la velocidad promedio es de 50 kilmetros porhora (50 = 200/4).


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Ac lo dejo. No avance con lo que sigue hasta no haberse dadola oportunidad de pensar la respuesta.

Quiero hacerle un par de preguntas (y no sabe cunto me gustaraestar cerca de usted para que podamos discutir las respuestas):

a) La solucin que encontr, fue que la velocidad prome-dio era de 5 km/h? (Si es as, contiene un error. Revse-la y luego pensemos juntos por qu.)

b) Se pregunt si el resultado depende del trecho que estapersona tiene que recorrer? En todo caso, la respuestaes queno depende de la longitud del camino.

(Solucin: 150-153)

Hasta dnde usamos los datos?

El problema que sigue es verdaderamente fascinante. Y lo es por-

que cuando unocree que no puede responder la incgnita, queno alcanzan los datos, que tiene que haber algn truco cuandouno, en definitiva, est a punto de rendirse, aparecealgo que nopens, no consider.

se es el valor de este problema: ponernos en una situacin enla que creemos que no hay salida y, sin embargo, descubrimos ques la hay. Y eso significa que abrimos un camino, exploramos algoque no habamos visto antes y que quizs, alguna vez, nos resultetil. Quiero aclarar que este problema me fue sugerido por CarlosSarraute, uno de los mejores (y ms entusiastas) alumnos que tuveen la Universidad de Buenos Aires. Ac va.

Suponga que estoy con dos amigos,A yB . Me acerco al odo deA yle digo un nmero (que obviamenteB no escucha). Y hago lo mis-mo conB : le digo al odo un nmero (que ahoraA no escucha). Ambos son nmeros enteros y positivos.

Una vez hecho esto, digo (en voz alta) dos nmeros: el primero


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es la suma de lo que les dije a los dos y el segundo es un nmerocualquiera, elegido al azar.

El problema consiste en lo siguiente:A y B tienen que poder

deducir qu nmero tiene el otro. Cmo?El procedimiento es el siguiente: primero le pregunto aA si, enfuncin de los datos que tiene, sabe cul es el nmero deB . Si losabe, lo dir, y tiene que poderexplicar cmo lo dedujo. Y ah ter-mina el problema (ya que siA pudo descifrar qu nmero tieneB , ya no tiene sentido avanzar). En cambio, si no lo sabe, dir, lgica-mente: No s. Y en ese caso el proceso contina conB .

La secuencia se repite: le pregunto aB si l puede deducir (conlos datos que tiene) cul es el nmero deA . Podra suceder queB tampoco pudiera contestar. En ese caso, le vuelvo a preguntar aA . Y as siguiendo.

Por supuesto, el problema termina cuando uno de los dosdeduce el nmero del otro, o cuando el nmero de idas y vueltas terminapor cansarnos a todos.

Algo ms: est claro que no se trata de adivinar el nmero delotro, sino de poderdeducirlo,sosteniendo la respuesta con algnrazonamiento capaz de explicarla.

En resumen,A y B tienen como dato un nmero que el otrono conoce. Los dos escuchan (porque yo los digo en voz alta) dosnmeros, de los cuales uno corresponde a la suma y el otro es unnmero cualquiera. El problema consiste en que cada uno de ellosdeduzca el nmero del otro.

Voy a proponer un ejemplo sencillo, y lo invito a que me siga enla argumentacin, que vale la pena crame porque lo llevar apensar algo muy interesante que desafiar su intuicin.

Supongamos que le digo en el odo aA el nmero 15, y aB otronmero (que por ahora no escribo ac, de manera tal que poda-mos pensar juntos cmo hacer). Eso s, en voz alta digo: 17 y 25.

Empiezo preguntndole aA . A piensa un rato, pero dice Nos, porque podra ser queB tuviera 2 o 10. (Entienden por qu?Es queA tiene 15, y si los dos nmeros que yo dije en voz alta son


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17 y 25,B podra tener o bien 2, o bien 10.) ComoA dijo que nosaba, le pregunto aB , yB tambin dice No s. Entonces vuelvo apreguntarle aA , yA dice esta vez: el nmero que tieneB es 10.

Cmo hizo? Cmo supoA que el nmero deB tena que ser el10? Ahora lo dejo a usted. Crame que no hay trampa.(Solucin: 154)

Dos hermanos y una carrera de 100 metros

Supongamos que dos hermanos,A yB , corren una carrera de 100metros.A es el mayor y, si bienB se esforz tanto como pudo, alfinalA le gan por 5 metros. Es decir, cuandoA lleg a la meta,B qued exactamente 5 metros detrs de l.

1 0 0 m

e t r o

s 9 5 m

e t r o

s5 metros

B A

ComoB , el menor de los dos, se queda preocupado,A le proponelo siguiente para tratar de compensar la diferencia: Hagamos unacosa: corramos de nuevo, pero esta vez te voy a dar 5 metros de ventaja. O sea, empezs en el mismo lugar que la otra vez, pero yo voy a salir 5 metros detrs tuyo.

En definitiva, la idea deA es que, en lugar de correr 100 metroslos dos, l va a correr 105, mientras que el hermano menor,B , co-rrer la misma distancia que antes.A le est dando aB 5 metros de ventaja.De esa forma, piensaA , estarn parejos4

4 Aunque no lo explicit, se supone (idealmente) que los dos hermanoscorren ambas carreras a la misma velocidad, con el mismo empuje, lamisma fuerza, etc.


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Los problemas35


Las preguntas que surgen ahora son las siguientes: la situacines efectivamente como suponeA ? Quin ganar la carrera esta vez? Van a empatar? GanarB ? O volver a ganarA ?

(Solucin: 154-158)

Dos millones de puntos

Son muchos los problemas que ponen a prueba a una persona. Y por poner a prueba no me refiero a los problemas que permitensaber cun buena es la persona, sino a los que sirven para estimu-larla, para desafiarla, para mejorarla (si es que puedo usar estapalabra).

Suele pasar que, cuando uno se enfrenta con este tipo de situa-ciones, se siente tentado de pensar que faltan datos, o que esmuy difcil, o que esto no me va a salir, o peor an: esto no espara m!.

Lo interesante es que la mayora de las veces todos esos argu-

mentos suelen esconder elmiedo al fracaso,tan instaurado en lasociedad. Es decir, se considera un fracaso que alguienno pueda resolver algo cuando, en realidad, la palabra fracaso no cabe enestas circunstancias (y me gustara encontrar alguna en la ques fuera la adecuada). Pero en principio es preferibleescudarse de-trs de alguno de los argumentos mencionados antes que apren-der a disfrutar el trayecto que involucra pensar en algo,discutirlo internamente,buscar alternativas, caminos que parecen incondu-centes, relaciones que uno no sospechaba Hasta que, o bienuno decide que ha invertido suficiente tiempo y ya no da params, o bien encuentra algunos resultados parciales, o bien dacon la solucin.

Con estas reflexiones quisiera introducir un problema muy bo-nito que le en un libro del matemtico norteamericano Charles W. Trigg,5 a quien corresponde todo el mrito de lo que sigue. Lo

5 El libro en cuestin se llamaMathematical Quickies (Dover, 2000).


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nico que voy a hacer es transcribirlo para ampliar el nmero depersonas que puedan acceder a disfrutarlo.

En s mismo es un problema sencillo y fcilmente comprensible.

Lo que sucede es que, al leerlo, aunque uno entienda lo que debe-ra hacer, hay dos cuestiones que no parecen posibles:

Que lo que se afirma sea cierto. Es decir, unoduda de que el problema tenga solucin.

Aun suponiendo que fuera cierto, qu hay que hacerpara convencerse, y convencer a los otros, de quees verdad aunque no lo parezca?

Dicho todo esto, primero voy a enunciar el problema y lue-go har algunas reflexiones antes de dejarlo para que lo piensetranquila/o.

Dice as: Supongamos que tenemos un crculo de 10 centme-tros de dimetro. Dentro de l, marcamos2 millones de puntos.Con- vnzase (y convnzame) de que, no importacmo estn distribui-

dos esos puntos,siempre se puede trazar una recta que deje 1 milln de puntos de un lado y 1 milln de puntos del otro.

Antes de avanzar: est claro quenunca en la vida uno se enfrenta-r con un problema de estas caractersticas. O sea, la situacin espuramente terica, de nula aplicacin prctica . Sin embargo, esposible resolverlo. El asunto es: cmo hacer?, qu hacer?, pordnde abordarlo?

Ahora le toca a usted. Mientras tanto, me retiro al lugar de las res-puestas. All lo espero.

(Solucin: 159-164)


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Los problemas37


Encuestas y secretarias

Quiero proponerle dos problemas que tienen una relacin difcil

de advertir al principio. Pero si usted acepta analizarlos uno trasotro, entender de qu le hablo. No hace falta que los resuelva,slo que los piense. En las soluciones explicar por qu creo queestn relacionados. Mientras tanto, la/lo invito a que los disfrute.

a) 300 encuestados, 3 candidatosPablo Milrud fue quien me cont este problema de lgica (dehecho, lo plante en el programa radial de Vctor Hugo Moralesdurante 2009). Le ped el permiso que corresponde para poderpublicarlo, y ac va.

Una empresa que produce encuestas para luego venderlas a dis-tintos partidos polticos quiere evaluar qu conocimiento tiene lapoblacin de una ciudad sobre tres potenciales candidatos a dipu-tados. La idea es mostrarle al encuestado la foto de los tres candi-

datos y los nombres de cada uno (son tres hombres), a fin de quecada persona asocie el nombre con la cara correspondiente.Luego de hacer el relevamiento con 300 encuestados, los resul-

tados fueron los siguientes:

a) 70 encuestados no pudieron asociar correctamente nin-guna de las caras con los nombres.

b) Otros 30 acertaron exactamente slo uno de los tres casos.

De los 200 que quedan, cuntos acertaron los tres?

b) La secretaria, las diez cartas y el ayudanteLa secretaria de un ejecutivo escribi y prepar diez cartas. Ya sedispona a ensobrarlas cuando el jefe la reclam para otra tarea.Dej todo sobre su escritorio con la idea de terminar cuando volviera.


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Un compaero de trabajo quiso ayudarla para que no tuvieraque quedarse despus de hora y ensobr las cartas pensando quetodos los textos eran iguales, sin reparar en que cada sobre deba

contener un texto diferente, especialmente preparado para el des-tinatario. Es decir, al hacerlo de esa forma termin ubicando lostextos al azar.

La pregunta que quiero hacer es la siguiente: cul es la proba-bilidad de que haya incluidoexactamente nueve de los diez textosen el sobre correcto?

(Solucin: 164-165)

Podr adivinar el animal que usted est pensando?

Quiero comprobar algo con usted. S que no podr contestarme,pero le propongo que hagamos algo mentalmente para ver qusucede. Antes de avanzar, voy anumerar las letras del abecedario. Osea, manteniendo el orden alfabtico, asociar un nmero a cada

letra. En todo caso, vea la tabla 1(p. 40).Dicho esto, le propongo lo siguiente:

1) Piense un nmero cualquiera entre 1 y 9 (obviamente,aunque quiera, no va a poder decrmelo).

2) Multiplquelo por 9.3) Sume los dgitos del resultado.4) A ese resultado rstele 4.5) Ahora obtuvo un nmero deun solo dgito.6) Fjese en la tabla la letra que tiene asociada.7) Piense en un animal que empiece con esa letra.8) Vaya a la pgina de las respuestas y va a ver que yo s en

qu animal pens usted.


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Los problemas39


A 1B 2C 3D 4E 5F 6G 7H 8I 9J 10K 11L 12M 13N 14 15O 16P 17Q 18

R 19S 20T 21U 22 V 23W 24 X 25 Y 26Z 27 Tabla 1

(Solucin: 166-167)

Un problema de aritmtica

El que sigue es un problema de aritmtica. Usted decide si le pare-ce sencillo o no. En todo caso, mi objetivo no slo es encontrar larespuesta, sino aprender a hilvanar ideas y a sortear restricciones


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durante la bsqueda. Slo as uno puede adquirir casi inadverti-damente un entrenamiento que le sirve tanto para resolvereste problema como para abrir caminos que le sern tiles en otras si-

tuaciones. En algn sentido, es como si estuviramos aprendiendoa razonar con una buena lgica. Ac va.

Cul es el nmero de 5 dgitos que cumple con los siguientesrequisitos?

a) El primer dgito esuno ms que el segundo.b) El ltimo escuatro menos que el primero.c) El cuarto esuno ms que el ltimo.d) La suma de todos los dgitos es35.

(Solucin: 167-170)

Cunto vale cada camisa y cada pantaln?

Analice el siguiente problema y piense la solucin. Slo cuandohaya dado con ella lea la solucin. Pero no lo haga antes: esperehasta resolverlo. Ac va.

Se sabe que 3 camisas y 5 pantalones cuestan $ 200. Por otro lado,se sabe que 2 camisas y 3 pantalones cuestan $ 130. Est en condi-ciones de determinarcunto cuesta cada camisa y cada pantaln ?

(Solucin: 171-172)

Yo tengo el doble de la edad que t tenas cuando

Corra el ao 1964. Yo cursaba por la maana el quinto ao delsecundario en la Escuela Manuel Belgrano y por las noches asistaal curso de ingreso (equivalente al CBC de hoy) que se dictaba en


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Los problemas41


la famosa sede6 de la calle Per. El curso estaba dividido en dossemestres: en el primero se dictaban Matemtica, Biologa y Geo-loga; en el segundo, Fsica y Qumica.

Del primer examen parcial recuerdo un problema particular. Y crame que lo que est a punto de leer fue exactamente lo quenos pidieron que resolviramos. Por alguna razn que ignoro ese problema qued en mi memoria para siempre. Deca as:

Yo tengo el doble de la edad que t tenas cuando yo tena laedad que t tienes hoy. Si la suma de nuestras edades es 35aos, qu edad tiene cada uno?

No se apure a mirar la solucin Qu gracia tendra? Sintesecon un poco de tiempo y pinselo. Es divertido, entretenido, eincluso ms: ya es interesante tratar deentender el enunciado, queparece un verdadero trabalenguas.

De todas formas, como siempre, incluyo la solucin.(Solucin: 172-179)

Siempre hay un martes 13 7

Es curioso que, si bien hay gente que diceno ser creyente en cues-tiones que involucren la suerte o las supersticiones,todos inexora-blemente estn atentos a un martes 13. Es difcil buscar el origende esta creencia pero, mientras los latinos de todos los pases de Amrica (y los griegos) tienen una particular aversin por el mar-tes 13, las culturas anglosajonas desplazan esa supersticin al da viernes. Para ilustrar esta diferencia nada mejor que recordar que

6 Me refiero al edificio de la Facultad de Ciencias Exactas, situado enla esquina de Per y Alsina, donde ingres la polica en la tristementefamosa noche de los bastones largos, durante el gobierno de JuanCarlos Ongana.

7 Pablo Milrud y Pablo Coll, productores cientficos del programa Altera-dos por Pi (que se emite por el Canal Encuentro de la Argentina), mesugirieron escribir esta curiosidad de los calendarios.


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las famosas pelculas Friday the 13 th , de la ltima parte del siglo XX,fueron traducidas al espaol comoMartes 13 .

La pregunta que uno puede hacer es la siguiente: habr habido

algn ao en el que ninguno de los 52 martes haya cado el da 13?Ms an: habr algn ao en el futurosin un martes 13 ? En lugarde escribir la respuesta, me gustara proponerle que la descubra-mos juntos.

Hagamos el siguiente clculo. Tome un calendario cualquiera,que corresponda a cualquier ao. Voy a elegir el de 2009, pero nohabr diferencia con el que haya elegido usted. Voy a anotar losdas de la semana que corresponden a estas fechas:

13 de marzo13 de abril13 de mayo13 de junio13 de julio13 de agosto

13 de septiembre13 de octubre13 de noviembre13 de diciembre

En el caso de 2009, correspondieron, respectivamente, a los das:

13 de marzo viernes13 de abril lunes13 de mayo mircoles13 de junio sbado13 de julio lunes13 de agosto jueves13 de septiembre domingo13 de octubre martes13 de noviembre viernes13 de diciembre domingo Tabla 1


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Los problemas43


Ahora bien, si usted mira los das de la semana que cayeron eseao (2009) va a ver que aparecen todos. Es decir: a cada da de lasemana (de domingo a sbado) le corresponde el 13 en algn mo-

mento del ao. En particular, advierta que justo el 13 de octubrees martes... martes 13.Uno podra sospechar que esto es una casualidad. Por qu ten-

dra que sucedertodos los aos? Aqu es donde lo invito a dar un paso ms. Cuntos das hay

desde el 13 de marzo al 13 de abril? (Haga la cuenta.)

Sigo yo: el resultado es 31. Y cuntos das hay entre el 13 deabril y el 13 de mayo? Resultado: 30.

Ac abajo escribo la cantidad de das que hay entre:

13 de marzo y 13 de abril 3113 de abril y 13 de mayo 3013 de mayo y 13 de junio 3113 de junio y 13 de julio 30

13 de julio y 13 de agosto 3113 de agosto y 13 de septiembre 3113 de septiembre y 13 de octubre 3013 de octubre y 13 de noviembre 3113 de noviembre y 13 de diciembre 30 Tabla 2

Por ltimo, slo para simplificar la forma de escribir, le voy a po-ner un nmero a cada da de la semana. Voy a llamar

Domingo 0Lunes 1Martes 2Mircoles 3Jueves 4 Viernes 5Sbado 6 Tabla 3


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Luego, como el 13 de marzo es un da viernes, como vimos en latabla 1, uno de los das 13 del ao correspondi a un martes. Eneste caso, fue el 13 de octubre.

Voy a construir una tabla que se independice de qu da de la se-mana cae 13 de marzo. Es decir, cualquiera sea el ao, 13 de marzoser uno de los siete das de la semana. Respetando que entre elda 13 de cada mes hay una distancia8 que evaluamos en la tabla 2,tenemos la siguiente distribucin:

Marzo 0 1 2 3 4 5 6

Abril 3 4 5 6 0 1 2

Mayo 5 6 0 1 2 3 4

Junio 1 2 3 4 5 6 0

Julio 3 4 5 6 0 1 2

Agosto 6 0 1 2 3 4 5

Septiembre 2 3 4 5 6 0 1

Octubre 4 5 6 0 1 2 3

Noviembre 0 1 2 3 4 5 6Diciembre 2 3 4 5 6 0 1 Tabla 4

Ahora, analicemos juntos la tabla 4. Qu dice? Recuerde que cadanmero entre 0 y 6 corresponde a un da de la semana (como in-dicamos en la tabla 3).

Ahora bien: cmo interpretar el nmero 0 que figura en la filade marzo? Esto significa que el 13 de marzo (de algn ao) corres-ponde al nmero 0, o sea, un domingo. Si uno sigue la columnahacia abajo, tomando en cuenta la distancia que hay entre los das13 de cada mes sucesivo, encuentra que otra vez, independiente-mente del ao el 13 de abril corresponde al nmero 3, o sea, unmircoles. Y si seguimos hacia abajo, veremos que el 13 de mayocae en el nmero 5, es decir, un viernes. El 13 de junio, en el n-

8 En este caso, utilizo la palabra distancia como forma de indicar ladistancia en das que hay entre una fecha y otra.


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Los problemas45


mero 1, o sea, un lunes. El 13 de julio, en el nmero 3, o sea, otra vez un mircoles; el 13 de agosto en el nmero 6, un sbado; el 13de septiembre en el nmero 2, un martes; el 13 de octubre en el

nmero 4, un jueves; el 13 de noviembre en el nmero 0, un do-mingo, y por ltimo el 13 de diciembre en el nmero 2, o sea, unmartes (otra vez). En este caso, sin considerar ni enero ni febrero, ya se ve que los das 13 de septiembre y de diciembre correspon-dieron a das martes (como uno quera ver).

Cmo terminar el argumento? Basta con ver que, sin importar elao elegido, el 13 de marzo tiene que corresponder a alguno de losdas de la semana (numerados del 0 al 6). En cuanto uno tiene esedato, ya sabe qu columna mirar. Luego, en alguna parte de esa colum-na tiene que haber un nmero 2 (verifquelo en la tabla 4) y esenmero corresponder al mes en el cual el da 13 es un martes!

Nota : Si quiere convencerse de otra forma, consiga los calen-darios de los ltimos diez aos y fjese, por un lado, en el 1 demarzo y, por otro, revise todos los martes del ao. Esto es lo

que va a descubrir:

a) el 1 de marzo de 2009 fue domingo y el 13 de octubrefue martes

b) el 1 de marzo de 2008 fue sbado y el 13 de mayo fuemartes

c) el 1 de marzo de 2007 fue jueves y el 13 de noviembrefue martes

d) el 1 de marzo de 2006 fue mircoles y el 13 de juniofue martes

e) el 1 de marzo de 2005 fue martes y el 13 de diciembrefue martes

f) el 1 de marzo de 2004 fue lunes y el 13 de julio fuemartes, y, finalmente,

g) el 1 de marzo de 2002 fue viernes y el 13 de agosto fuemartes.


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Conclusin: cualquiera sea el calendario, el 1 de marzo ser al-gn da de la semana (obviamente). Luego, fjese en la lista que va desde (a) hasta (g) y all descubrir qu da de ese ao fue

martes 13.

Qu ancho tiene el ro? 9

El problema que sigue fue el que ms tiempo me acompa lti-mamente. En general, disfruto ms de aquellos planteos que notienen una solucin inmediata y que llevo puestos en mi cabezadurante varios das. Como siempre digo, de eso se trata: de discutir internamente cmo abordar una situacin, cules son las vas deacceso que conviene tomar.

Ms an, lo que ms me atrap de este problema es que mepareca que no lo iba a poder resolver por falta de datos. Es muyposible que a usted, luego de leerlo y pensarlo un rato, se le ocurrauna solucin rpida y sencilla, yno pueda entender cmo me llev

tanto tiempo. Si es as, brbaro. De todas formas, creo que valela pena que lo piense porque es muy fcil entenderlo y elaborarestrategias para resolverlo. Ac va.

Un ro separa dos ciudades. Cada una tiene un puerto y en cadacosta hay un barco. Los dos barcos salen al mismo tiempo cruzan-do el ro en direccin opuesta, de manera tal de unir un puertocon el otro. Cada uno hace el trayecto avelocidad constante , es decir,mantienen la velocidad, que no necesariamente es la misma encada caso. Ahora bien: cuando cada barco llega al otro lado, da vuelta inmediatamente, sin detenerse, y regresa al lugar de origen. Y repiten el proceso una y otra vez.

9 Este problema fue publicado en el libroMathematical Quickies , deCharles W. Trigg (decano emrito del Los Angeles City College). Perola formulacin original apareci en la revista American Mathematical Monthly, en febrero de 1940, hace setenta aos! El autor que debellevarse el crdito es, entonces, W. C. Rufus.


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Los problemas47


Los dos barcos salen al mismo tiempo. Se encuentran por pri-mera vez en el camino a 7 kilmetros de una de las costas y conti-nan su trayecto. Cuando cada uno llega del otro lado, da la vuelta

al instante.Los barcos vuelven a encontrarse una segunda vez, en este casoa 4 kilmetros de la costa opuesta.

Pregunta: cul es el ancho del ro?(Solucin: 179-184)

Nmero mximo de porcionesal cortar una pizza

Le propongo algo muy sencillo: sintese con un papel y una la-picera y dibuje una pizza (o un crculo, es lo mismo). La idea esempezar a cortarla en forma longitudinal (o transversal), pero conel objetivo de lograr con cada cortela mayor cantidad de porcionesposibles. No hace falta que las porciones sean iguales, slo se trata

de que haya la mayor cantidad posible.Por ejemplo, si uno ya la tuviera cortada en 4 (como se ve en lafigura 1):

Figura 1

y ahora va a realizar otro corte tratando de conseguir el mayornmero de porciones, lo queno hara sera cortarla con una rectaque pase por el centro. (Fjese en la figura 2.)


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Figura 2

Cmo trazar la tercera recta de manera tal de tener ms de6 por-ciones, como en la figura 2?

Figura 3

Para eso, hay que trazar una recta que corte a las otras dos, pero nodonde se cortan entre ellas.

Como se ve en la figura 3, ahora, en lugar de 6 porciones (comoen la figura 2), hemos logrado7. Es decir, uno aprende que cada vez que realice un nuevo corte debe tener en cuenta dos cosas:

a) no pasar por el punto donde se cortan dos rectas yadibujadas, y

b) tratar de cortartodas las rectas que haba antes.

Ahora bien: yo podra seguir haciendo cada vez ms cortes y contarcul es el mximo nmero de porciones que soy capaz de lograrcada vez. En principio, tendramos estas dos columnas:


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Los problemas49


Nmero de cortes Nmero mximo deo rectas porciones

0 11 22 43 74 115 166 227 298 37... Tabla 1

Sin embargo, lo que le propongo es que trate de encontrar unafrmula que le permita predecir cul es el mximo nmero de por-ciones que se pueden conseguir conx cantidad de rectas.

Por ejemplo, si le preguntara (a esta altura del problema) cules el mximo nmero de porciones que se pueden obtener con 50cortes, qu me contestara? Y con 1000?

En todo caso, antes de dejarla/o con usted misma/o, quisiera ha-cerle algunas sugerencias (que puede obviar si tiene ganas de pen-sar el problema por su cuenta y sin necesidad de que alguien le digacmo). La/lo invito a que observe la tabla 1 y compruebe lo siguien-te: a medida que uno realiza los cortes, la pizza queda dividida enms porciones. Cuntas ms? La tercera columna de la tabla 2 sirvepara contar en cunto se incrementa el nmero de porciones concada nuevo corte. Por ejemplo, si con 2 cortes tenemos 4 porciones,con 3 tenemos 7. Por eso, al lado del 7 (en la tercera columna) apa-rece el nmero 3, que obtuve restando las 7 porciones que se for-man con 3 cortes, menos las 4 que haba antes (con slo 2 cortes).

De la misma forma, al lado del nmero 22 figura un 6. Por qu?Porque cuando hicimos 5 cortes, la pizza qued dividida en 16 por-ciones, mientras que con 6 cortes se obtienen 22. La resta entre22 y 16 es justamente 6, e indica la cantidad de porciones nuevasen las que qued dividida la pizza (vase la tabla 2).


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Cortes Porciones Diferencia0 11 2 12 4 23 7 34 11 45 16 56 22 67 29 78 37 8 Tabla 2

Es decir que el nmero de porciones nuevas que aparecen con cadacorte eslineal , en el sentido de que aumenta de a uno por vez.10Msan, si uno hiciera ahora las diferencias de las diferencias, o sea,una nueva columna donde restramos los elementos de la terceracolumna en la tabla 2, entonces tendramos lo siguiente:

Cortes Porciones Diferencia Doble diferencia

0 11 2 12 4 2 13 7 3 14 11 4 15 16 5 16 22 6 17 29 7 18 37 8 1 Tabla 3

Lo que se advierte es que, al hacer las primeras restas, hay unadiferencia de una porcin por cada corte. En cambio, al hacer elsegundo anlisis (las diferencias de las diferencias), se obtiene unaconstante: 1.

10 En realidad, de a uno ms que las que se haban agregado con el corte anterior.


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Los problemas51


Ahora bien, observe lo que sucede cuando uno hace la siguientetabla:

x x2 1 12 43 94 165 256 367 498 649 8110 100 Tabla 4

Y si ahoraresta cada miembro de la segunda columna, tendr:

x x2 Diferencia

0 01 1 12 4 33 9 54 16 75 25 96 36 117 49 138 64 159 81 1710 100 19 Tabla 5

Ms an,incorporemos las diferencias de las diferencias,como haba-mos hecho en el caso de las porciones de pizza:


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x x2 Diferencia Doble diferencia1 12 4 33 9 5 24 16 7 25 25 9 26 36 11 27 49 13 28 64 15 29 81 17 210 100 19 2 Tabla 6

En este caso, si uno mira la tercera columna, se ve otra vez que lasprimeras diferencias saltan de 2 en 2. Y si uno verifica la cuarta co-lumna, ve que las segundas diferencias dan constantemente 2.

Qu sugiere esto? Que si uno buscara una frmula que per-mitiera calcular el nmero mximo de porciones que se puedenconseguir con cada corte de la pizza, convendra recurrir a alguna

frmula11

parecida a la que vimos recin (en la tabla 6). Se llaman polinomios cuadrticos o polinomios de segundo grado (por favor, nose asuste con el nombre: es sloeso,un nombre), y el caso msgeneral posible se obtiene as:

a x2 + b x + c (*)

11 En realidad, estoy conjeturando que la frmula que resuelve el pro-blema es un polinomio cuadrtico. Y, de hecho, encontramos el queda la respuesta. Pero se bas en una conjetura ma. Si uno quisierademostrar que a la solucin no le queda ms remedio que sercuadrtica, teniendo en cuenta que ya vimos que las diferencias son

lineales, entonces se comprueba que el corte n (o elensimo corte)no puede agregar ms que n nuevas porciones, y eso ocurre esen-cialmente porque el mejor corte atravesar las (n-1) rectas que haba,lo cual equivale a decir que cruzar exactamente por n regiones,dividiendo cada una en 2. De modo que podemos concluir que lafrmula ser: P(n) = P(n-1) + n, donde P(n) indica el nmero mximode regiones que se pueden conseguir con n cortes.


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Los problemas53


Todo lo que debemos hacer ahora es realizar ciertos reemplazos en la frmula con algunos valores que conocemos y descubrir losque no conocemos. Lax representa el nmero de cortes que uno

hace, y el resultado ser el nmero de porciones que se obtienen.Por ejemplo, si uno reemplaza lax con el valor 0 (que sera equivalente a no hacer ningn corte) (vase la tabla 1), se obtieneel resultado 1. Si uno reemplaza lax con el valor1 (equivalentea hacer 1 corte), se obtiene el resultado2. Si uno reemplaza lax con el valor2 (equivalente a hacer 2 cortes), se obtiene el re-sultado 4. Reemplazando estos valores en (*) se obtienen estosresultados:

a 02 + b0 + c = c = 1a 12 + b1 + c = 2 = a + b + ca 22 + b2 + c = 4 = 4a + 2b + c

Por lo tanto, se tienen estas tres igualdades:

c = 1a + b + c = 2 (**)4a + 2b + c = 4

Juntando la primera y la segunda igualdad en (**), como el valorde c es1, la segunda fila se puede escribir as:

a + b + 1 = 2

Es decir que, si pasamos el 1 restando del otro lado de la igualdad,tenemos:

a + b = 2 1 = 1O sea,

a + b = 1 (1)


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Si uno mira las tres igualdades de (**) se advierte que c = 1. Por lotanto, vinculando este dato con la tercera ecuacin, se deduce que:

4a + 2b + 1 = 4

O, lo que es lo mismo:

4a + 2b = 3 (2) Si ahora multiplico por 4 la igualdad (1), obtengo:

4a + 4b = 4 (3)

Luego,restando (3) y (2),resulta esta igualdad:

2b = 1 (4)

O, lo que es lo mismo:

b =

Pero entonces, sib = ,uso la igualdad de (1) y concluyo quea tie-ne que ser tambin (ya quea + b tiene que ser 1).Luego, juntandotodo lo que aprendimos, resulta que:

a = , b = , y c = 1

Si ahora se fija en la frmula (*), descubrir que la que estbamosbuscando es:

(1/2) x2 + (1/2) x + 1

O lo que es lo mismo:

(1/2) (x2 + x + 2)


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Los problemas55


Cmo verificar ahora que sta es la frmula que estbamos bus-cando? Reemplacemos los valores en los casos donde ya los cono-cemos (haga usted la cuenta).

Si x = 0, se obtiene el valor 1.Si x = 1, se obtiene (1/2) (1 + 1 + 2) = 2Si x = 2, se obtiene (1/2) (4 + 2 + 2) = 4Si x = 3, se obtiene (1/2) (9 + 3 + 2) = 7Si x = 4, se obtiene (1/2) (16 + 4 + 2) = 11

y as siguiendo.Por lo tanto, si quisiera calcular cul es el nmero mximo de

porciones que puede conseguir con 50 cortes, lo que tiene que ha-cer es reemplazar en la frmula obtenida la letrax por el nmero50. Y hacer las cuentas!

(1/2) (502 + 50 + 2) = (1/2) (2500 + 50 + 2) = (1/2) (2552) = 1276

El nmero mximo de porciones que se puede obtener con 50cortes es 1276. Y con 100 cortes:

(1/2) (10 000 + 100 + 2) = (1/2) (10 102) = 5051

Temperaturas

En este apartado tengo dos problemas para plantearle. En ambos,lo primero que hay que hacer es decidir si tienen solucin o no.Si la tienen, la/lo invito a que la encuentre, pero si cree que conalguno de ellos no es posible hallar una respuesta, ser interesanteque pueda explicar(se) por qu.

Ac van. En una ciudad pequea, durante un invierno muycrudo, se registr la temperatura durante cinco das seguidos a lamisma hora, las 3 de la maana, y se descubri que fue diferentecada da (se consideraron nada ms que nmerosenteros,o sea


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que se hicieron las aproximaciones o redondeos necesarios parano tener que medir con decimales). Las preguntas que tengopara usted son:

1) Si sabemos que al multiplicar las temperaturas de esoscinco das se obtiene el nmero 12, es posible determi-nar cules fueron esos cinco nmeros?

2) Si sabemos que al multiplicar las temperaturas de esoscinco das se obtiene el nmero 30, es posible deducircules fueron esos cinco nmeros?

Ahora le toca a usted.(Solucin: 184-187)

10 preguntas, 1024 nmeros

ste es un desafo precioso. Lamentablemente, ni yo estoy all

mientras usted lo est leyendo, ni usted est ahora conmigo mien-tras yo lo escribo. No importa. Hagmonos concesiones mutuas yfabriqumonos nuestro mundo ideal.

Mire la tabla que figura en la pgina siguiente. Consiste en losprimeros 1024 nmeros naturales. No los escribo todos, peroima- gnese que figuran all.

Ahora, haga de cuenta que le muestra esta lista a un amigo, ypdale que elija un nmero cualquiera (mentalmente, sin que selo diga a usted).

El desafo consiste en lo siguiente: usted debe averiguar qu n-mero eligi l. Para conseguirlo puede hacerle slo 10 (diez) pre-guntas, que l debe contestar con un s o con un no. Se animaa disear una estrategia para conseguirlo?


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Los problemas57


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34

998 999 1000

1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010

1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020

1021 1022 1023 1024

Le aseguro que con10 preguntas bien elegidas es posible descu-brir el nmero que pens su amigo. Cmo hacer?

Una sugerencia: empiece proponindose problemas ms senci-llos. Es decir, con menos nmeros y tambin menos preguntas,claro.

(Solucin: 187-192)

Una joyita de la lgica

Este libro contiene muchos problemas que desafan la mente. Laentrenan para pensar distinto, para recorrer caminos inexplo-rados que tienen como objetivo fascinarnos, de una u otra forma.Con ese propsito quiero ahora hacer una pregunta que quiz parezca ingenua,pero que conlleva un muy bonito ejercicio de lgica.Sgame por ac.

A la salida de un cine, una compaa encuest a 100 personas yobtuvo los siguientes resultados:

60 usaban jeans azules.75 tenan computadora propia.85 usaban zapatos negros.90 usaban un anillo.


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La pregunta que tengo para hacerle es: de los 100 encuestados,cul es el nmeromnimo de personas que tenan los cuatro obje-tos? O sea, el nmero mnimo de personas que vestan jeans azules,

tenan computadora, llevaban zapatos negros y usaban un anillo.(Solucin: 192-195)

Puede ser ( n + 1) = n ?

Sgame con el siguiente argumento, a ver si descubre dnde est elerror. Comotiene que haber un error, le propongo que lo busquehasta encontrarlo, y que no se d por vencida/o rpidamente.

Tome cualquier nmero naturaln . Le recuerdo que los nmerosnaturales son: 1, 2, 3, 4, Ahora bien: verifique la siguiente frmu-la, que slo consiste en elevar el nmero (n + 1) al cuadrado:

(n + 1)2 = n2 + 2n + 1

Basta hacer la cuenta para convencerse del rengln anterior. Ahora bien, pasando de miembro (2n + 1) se obtiene:

(n + 1)2 (2n + 1) = n2

Restando de ambos ladosn (2n + 1),

(n + 1)2 (2n + 1) n (2n + 1) = n2 n (2n + 1)

O sea, sacando (2n + 1) como factor comn en el miembro de laizquierda,

(n + 1)2 (n + 1) (2n + 1) = n2 n (2n + 1)

y sumando

(1/4) (2n + 1)2


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Los problemas59


en ambos lados, se obtiene ahora

(n + 1)2 (n + 1) (2n + 1) + (1/4) (2n + 1)2 == n2 n (2n + 1) + (1/4) (2n + 1)2 (*)

Usted puede verificar ahora que el trmino de la izquierda de (*)

(n + 1)2 (n + 1) (2n + 1) + (1/4) (2n + 1)2

es igual a

[(n + 1) (1/2) (2n + 1)]2

mientras que el trmino de la derecha de (*) es igual a

[n (1/2) (2n + 1)]2

Por lo tanto, la frmula (*) se puedereescribir as:

[(n + 1) (1/2) (2n + 1)]2 = [n (1/2) (2n + 1)]2 (**)

Sacando races cuadradas de ambos lados, tenemos

[(n + 1) (1/2) (2n + 1)] = [n (1/2) (2n + 1)] (***)

O sea, observando que el trmino

(1/2) (2n + 1)

aparece restando en ambos lados, se lo puede simplificar y, por lotanto, se obtiene la siguiente extraa igualdad:

(n + 1) = n

Esta ltima afirmacin no puede ser cierta. No puede ser verdad


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que (n + 1) =n . Entonces, de dnde surge esta contradiccin?Se lo dejo para que lo piense por su cuenta. Dnde est el error?Porque, como escrib ms arriba,tiene que haber un error. Pero

en qu paso? (Solucin: 195-196)

Cuatro parejas invitadas a una fiesta y la duea de casa

El siguiente problema es de verdad extraordinario. Le cuento bre- vemente cmo tropec con l. En febrero de 2009, en el marcode las conferencias TED (Technology, Entertainment, Design),en California, uno de los expositores era Dan Ariely, profesor enel MIT (Instituto de Tecnologa de Massachusetts, en Cambridge,muy cerca de Boston). Yo haba ledo su ltimo libro,Predictably Irrational (o sea,Predeciblemente irracional ), y me despertaba muchacuriosidad escucharlo hablar. No slo no me defraud durantelos dieciocho minutos que dur su charla, sino que fue uno de los

ms aplaudidos.Poco tiempo despus, revisando su pgina web y su historia, en-contr el problema que voy a contar ac y que me pareci extraordi-nario. Ahora bien: por quextraordinario ? Bueno, creo que cuandouno da con un problema cuya solucin le pareceimposible con losdatos ofrecidos, termina ponindolo en una categora distinta de lade la mayora de las cosas que uno piensa habitualmente.

Es decir, puede ocurrir que un problema cualquiera sea muydifcil, con una solucin esquiva o potencialmente imposible deencontrar. Pero eso slo habla de que algunas veces no tenemosel entrenamiento suficiente para abordarlo. Diferente es el casocuando uno est convencido de que los datos que le dieron nosern suficientes para dar con la respuesta. Eso lo ubica en unacategora distinta. Y justamente este problema pertenece a un de-partamento diferente.

No s si el autor original es Ariely. Ms an: no lo creo. Pero esirrelevante. Yo lo vi por primera vez en un material suyo y luego


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Los problemas61


no encontr otra fuente en la que se hiciera referencia a quien lohaba planteado por primera vez. Ac va. Eso s: lalo con aten-cin (es verdaderamente sencillo al menos de comprender, y

despus se transforma en algo entretenidsimo para pensar).Una pareja se mud a una ciudad donde no conoca a nadie. Conla idea de relacionarse y hacer amigos, ambos decidieron ponerun aviso en el diario local, en el que invitaban a parejas de edadesparecidas a las de ellos (entre 20 y 40 aos) para que asistieran auna fiesta en su casa el viernes siguiente a las 8 de la noche.

Lleg el da viernes y a las 8 se presentaroncuatro matrimonios.De esta forma, entre los dueos de casa y los visitantes haba 10personas. Nadie conoca a nadie (salvo los miembros de cada pa-reja entre s). El dueo de casa pidi a todos los participantes (9,porque l se excluy) que se acercaran a las personasque no co- nocan,se presentaran y se dieran la mano (por supuesto, con laexcepcin del marido y/o mujer de su propia pareja).

Despus de unos pocos minutos, el dueo de casa intervino otra

vez y les pidi que se detuvieran. Que no se saludaran ms, ya quel quera preguntarle a cada uno a cuntas personas haba saluda-do hasta ese momento (estrechndole la mano, se entiende).

Obtuvo 9 (nueve) respuestas diferentes entre s: 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 y 8, entendiendo que la persona que contestcero lo hizoporque todava no haba alcanzado a saludar a nadie. Otra le dijo:Saludexactamente a una persona; otra: Saludexactamente a dos personas, y as hasta que la ltima le contest que haba saludadoexactamente a ocho personas (que corresponderan a los integrantesde las otras cuatro parejas).

La pregunta es: cuntas manos estrech la mujer del anfitrin?O mejor dicho, a cuntas personas salud la duea de casa? Ya s,parece imposible que uno pueda deducir la respuesta, pero cra-me ques se puede. Ahora es su turno.

(Solucin: 197-199)


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La historia de los cuatro azulejadores

Muchas veces en la vida cotidiana uno tiene que optar entre dos,

tres o ms personas que se proponen para realizar un trabajo. Cadauna de ellas ofrece ventajas y desventajas. Por ejemplo, algunospueden completar el trabajo ms rpidamente y por eso cobranms. Otros, en cambio, necesitan ms tiempo, tardan ms y quizpor eso cobran menos. Cul elegir? Qu criterio usar?

Ms an, y si uno pudiera contratar a dos (o ms) para quetrabajaran simultneamente? En cunto se abrevia el tiempo quenecesitan para llevar a cabo la tarea?

El siguiente problema sirve para abordar este tipo de casos. Esficticio, claro est, pero muy til para aprender a pensar (y resolver) esas situaciones. Ac va.

Las autoridades de un colegio estaban orgullosas del patio quetenan. Ms de mil alumnos pasaban horas disfrutndolo en susdistintas actividades. Pero el uso tan masivo pona a esas mismas

autoridades en la necesidad de azulejarlo cada tres aos. Un ne-gocio de la zona les ofreca los servicios de cuatro diferentes azu-lejadores. Cada uno trabajaba a su propio ritmo y, naturalmente,cobraba de acuerdo con esa variante. Es decir, como azulejabana distintas velocidades, el que trabajaba ms rpido para cumplircon el mismo trabajo cobraba ms.

Llamemos A, B, C y D a los cuatro trabajadores. El detalle de las velocidades es:

A poda azulejar el patio en 2 horas, B necesitaba 3 horas, C, en cambio, tardaba 4 horas, y por ltimo D, que era el ms lento (y quien cobraba menos), utili-

zaba 6 horas.

Tengo un par de preguntas para hacer. La primera es: cuntotardaran en azulejar el patio si trabajaran todos juntos? Como la


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otra pregunta se relaciona con la respuesta a la primera, la dejopara despus, en el apartado de las soluciones.

(Solucin: 200-203)

Estrategia para ganar siempre

Hace muchos aos (alrededor de 1985) comparta un espaciocon mis queridas amigas Alicia Dickenstein y Carmen Sessa, queadems son magnficas matemticas. Todos los das usbamos eseespacio para pensar nuestras clases, discutir problemas comunesde nuestras investigaciones, corregir exmenes, revisar potencia-les soluciones, cursar algunas materias que nos interesaban algoas como vivir la vida de tres profesores universitarios en un lugarextraordinario como es la Facultad de Ciencias Exactas y Naturalesde la UBA.

Un medioda, Carmen lleg con un problema que le haba plan-teado un alumno. Ms que un problema era el diseo de una es-

trategia para ganar siempre en un juego que l le haba contado.Lo que nos planteamos los tres era si tal estrategia exista o podaexistir. Lo que sigue, entonces, es el relato de lo que sucedi esemedioda de hace ms de veinte aos.

El juego consista en lo siguiente: hay dos personas sentadas frentea una mesa rectangular.12 Cada una tiene una cantidad de mone-das, todas del mismo tamao, que le permitiran cubrir la totali-dad de la mesa si quisiera. Cuando le toca el turno, cada jugadorapoya una moneda arriba de la mesa, sin superponerse con lasotras. No importa que esttotalmente apoyada,lo que s hace falta

12 Eleg una mesa rectangular para proponer una manera de jugar, perouno podra preguntarse qu pasara con otro tipo de mesas. Para quela estrategia tenga sentido, hace falta que la mesa sea simtrica. Nonecesariamente tiene que ser un rectngulo. Podra ser cualquier pol-gono regular, o un crculo, o una elipse incluso, pero simtricos.


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es que la moneda no se caiga de la

Matemática...¿estas ahí? La vuelta al mundo.

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