Matematicaaplicada um-2013
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UM-FCEQyN-Lic. en Óptica Oftálmica-Matemática Aplicada-2013
Matemática Aplicada
Curso 2013
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Como buenos Ópticos que
seremos, hemos desarrollado una correcta
visión matemática
Les contamos…….
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Empezamos por:
Aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto
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cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y
sus opuestos
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En fin…., redondeando…………estudiamos tooooodos los números que existen…..
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Luego recordamos los polinomios….
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Y sus operaciones……
Hasta Ruffini y el Teorema de resto
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Pero antes de “lanzarnos” al
mundo de las FUNCIONES,
decidimos repasar……
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Los casos de factoreo
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Para luego…..ingresar al tema central de la asignatura
Las FUNCIONES
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y su clasificación
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Empezamos por las más sencillas…
Las ALGEBRAICAS
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Función Lineal: Ecuación de la recta y=mx+b
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Función cuadrática# Definición
Es una función polinómica definida como F(x) = ax² + bx + c ,
cuyo gráfico es una parábola.
# Representación analíticaLa función cuadrática puede ser representada en tres diferentes maneras.
Forma desarrollada (convencional): F(x) = ax² + bx + c
Forma factorizada (en función a sus raíces): F(x) = a.(x – x1) . (x – x2)
Forma canónica (teniendo el par h;k, vértices): F(x) = a.(x – h)² + k
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• # Representación gráficaCuando corta en el eje X
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:# Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0# Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0# Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
Cuando corta en el eje Y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0), por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Extremos
Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo. La coordenada x del vértice será:
x = -b/(2.a), mientras que la coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.
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Y ya que estábamos con cuadráticas, no nos podíamos olvidar de las cuadráticas multiformes y sus gráficas….
Las CÓNICAS
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Y sus aplicaciones………
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Su uso no sólo tiene sentido en condiciones de falta de energía o en situaciones de emergencia extremas,
puede ser una excelente aplicación para la optimización de energía y ahorro de las no
renovables.
Y entre las aplicaciones que más nos sorprendieron:
El horno parabólico
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Ah…estudiamos también las funciones geométricas
Homotecia y semejanza
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Y después de las algebraicas….. siguieron…
Las funciones TRASCENDENTES
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Función logarítmica
Función exponencial
Y SUS APLICACIONES
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Aplicaciones de funciones logarítmicas
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Aplicaciones de funciones exponenciales
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Los vectores también fueron de nuestro interés, previo al estudio de la trigonometría
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Vectores en la realidad
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Un ejemplo para entender su aplicación
en un espacio tridimensional “3D”.
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Un auto a 100km/h alcanza y choca por la parte de atrás con otro a 80km/h, como las magnitudes se restan, entonces la colisión ocurrió como si hubiera sido a 20km/h.
Si chocan de frente resultará una colisión que ocurrió a 180 km/h e imaginen los resultados.
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Y finalmente llegamos a las…..
FUNCIONES TRIGOMÉTRICAS
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Sus relaciones:
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Sus gráficos:
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Sus aplicaciones:
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Teorema del seno
Teorema del coseno
Y hasta cuando los triángulos no son rectángulos…..:
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Para luego, “tímidamente”, nos adentramos en el mundo del
“Cálculo”, para conocer los conceptos y alcances de:
• Límites funcionales• Derivadas de función• Integrales definidas e
indefinidas
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Y nos asustamos un poco cuando nos mostraron la definición de límite funcional,
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Pero luego comprendimos que el concepto es realmente sencillo….sólo es cuestión de aproximarnos
al punto, pero ¡OJO!.....NUNCA TOCARLO
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Entendido el concepto, se comenzó con los Cálculos de Límites según las indeterminaciones
Por Ej.: 0/0• En expresiones algebraicas racionales se
resuelven por factorización de sus raíces.• En expresiones algebraicas irracionales se
multiplica y divide por el conjugado• En funciones trigonométricas recordamos que:
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Infinito / infinito
• En expresiones algebraicas se divide todo por el término con mayor exponente.
1 elevado a la infinito• Se resuelve mediante el método del número
e.
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Por supuesto.., del límite pasamos al concepto de Derivada de una función en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. Derivada en un puntoLa derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
![Page 42: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/42.jpg)
Su interpretación geométrica:
Como la pendiente de la recta tangente
en el punto
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Su expresión matemática:
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Y sus múltiples aplicaciones:
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Y así llegamos al último tema del Programa de la asignatura:
Integrales definidas e indefinidas
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La integral definida
Dada y = f(x), se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva, el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Dividimos el intervalo [a; b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:
![Page 47: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/47.jpg)
Cálculo del área debajo de la curva
![Page 48: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/48.jpg)
Denotamos con x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con x2 y así sucesivamente hasta la ultima xn. En cada parte elegimos puntos r1; r2; …rn, de tal forma que f(rn). xn nos da el área de cada rectángulo.Sumando todas las áreas
A = f(r1) . x1 + f(r2) . x2 + … + f(rn) . xn
𝐴= lim∆𝑥→ 0
∑𝑛=1
∞
𝐹 𝑛 .∆ 𝑥𝑛=∫𝑎
𝑏
𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥
![Page 49: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/49.jpg)
Pero no sólo desarrollamos todos estos temas en forma tradicional, sino que
también utilizamos algunas Herramientas de la Web, para mejorar la comunicación y trabajar y aprender en forma colaborativa.
![Page 50: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/50.jpg)
• Somos los autores de un BLOG “Optimáticos” http://optimaticosum.blogspot.com.ar/, con casi 2000 visitas a la página.
• Entre todos confeccionamos apuntes sobre Límites y Derivadas en dos Wikis.
• Pertenecemos a un Grupo de Google MATEMATICAOPTICA, donde fuimos compartiendo desde links de interés hasta las notas de parciales.
• Hicimos uso intensivo del correo electrónico entre todos.• Y armamos entre todos esta Presentación (PPT), que recorre
lo aprendido, mediada por el correo electrónico.
Actividades como:
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Creemos que hemos hecho un buen trabajo y, lo más
importante, que lo hicimos en todos,
colaborativamente.
![Page 52: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/52.jpg)
Una de las mejores “aplicaciones” de este año fue poder ver “la Matemática con
otros ojos”, desde un simple Blog hasta llegar a profundizar lo que
“no vemos” diariamente, pero existe.
![Page 53: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/53.jpg)
Esperamos que, así como a cada uno de los alumnos de este curso 2013, todo lo vivido nos llevó a integrarnos, a unirnos
desde lo virtual y desde cada mañana compartida, esta experiencia les pueda servir a los alumnos de años siguientes,
logrando ver tanto la asignatura Matemática Aplicada como la carrera en
sí, mas allá de lo que está a
nuestra simple vista ……..
![Page 54: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/54.jpg)
Los autores
Bruno DelfosseCristian MajoranaDarío FerreroFabián IbáñezFederico SpinaIgnacio Guelissian Jorgelina AgüeroJuan Francisco López
Laura GómezLucrecia ParavanoMarcos AlarcónMaría Emilia Díaz Molina Nicolás LeónRaúl Ezequiel DonosoYislen FerreiraGraciela Rodera
![Page 55: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/55.jpg)
¿Quieren conocerlos?
![Page 56: Matematicaaplicada um-2013](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062220/55cb3a22bb61ebd3718b475d/html5/thumbnails/56.jpg)
Los autores trabajando en su clase de Matemática Aplicada
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Los autores posando para la foto en su último día de clase
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Matemática Aplicada – 2013 - TM
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¡Hasta pronto!
Nos estamos viendo…….