Matematica Para Principiantes

DIRECCIÓNNACIONAL

GERENCIAACADÉMICA

Estudios

Generales

Matemática P.T.

Parte 01

CÓDIGO: 89001295

SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 2

MATEMÁTICAP.T.PARTE 01

AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN

MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO

CICLO: ESTUDIOS ENERALES

CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE-I

Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo

de Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento

continuo, se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito

referido a MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 01.

Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los

responsables de su difusión y aplicación oportuna.

DOCUMENTO APROBADO POR EL

GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI

N°dePáginas:….............252.…...........…..

Firma:…………………………………….…..

Lic. Jorge Chávez Escobar

Fecha:…………………………...……….

MATEMÁTICA

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 5

INDICE

UNIDAD01. Números Naturales ............................................................................4

UNIDAD02. MCM y MCD....................................................................................45

UNIDAD03. NÚMEROS RACIONALES:FRACCIONES...............................73

UNIDAD04. FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN,

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN .....................................................................88

UNIDAD05.

NÚMEROS DECIMALES..................................................................................111

UNIDAD06.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN................................................................146

UNIDAD 07.

TRIGONOMETRÍA BÁSICA ......................................................................... 172

UNIDAD 08.

MEDIDAS DE LONGITUD …........................................................................ 190

UNIDAD 09.

MEDIDAS DE TIEMPO……........................................................................... 220

UNIDAD 10.

RAZONES Y PROPORCIONES ..................................................................... 240

MATEMÁTICA


UNIDAD 01

NÚMEROS NATURALES

MATEMÁTICA


1.1. NÚMERO NATURAL.

Definición.Un número natural es

cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3...

que se pueden usar para contar los

elementos de un conjunto. Reciben ese

nombre porque fueron los primeros que

utilizó el ser humano para contar

objetos de la naturaleza.

Numeral.Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentes de

los numerales romanos "I, II, III, IV, V,..." pero ambos representan los mismos

números.

Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11

es el tres binario pero el once decimal.

1.2. LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES.

En la escritura de un número natural se debe tener en cuenta que la cifra

forma un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases,

forman un período.

http://es.wikipedia.org/wiki/Numerable

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal

MATEMÁTICA


ENTE

RO

S 4

° P

erío

do

8° Clase

24° Orden Centenas de millar de trillón.

23° Orden Decenas de millar de trillón.

22° Orden Unidades de millar de trillón.

7° Clase

21° Orden Centenas de trillón.

20° Orden Decenas de trillón.

19° Orden Unidades de trillón. 3

° P

erío

do

6° Clase

18° Orden Centenas de millar de billón.

17° Orden Decenas de millar de billón.

16° Orden Unidades de millar de billón.

5° Clase

15° Orden Centenas de billón.

14° Orden Decenas de billón.

13° Orden Unidades de billón.

2°

Per

íod

o 4° Clase

12° Orden Centenas de millar de millón.

11° Orden Decenas de millar de millón.

10° Orden Unidades de millar de millón.

3° Clase

9° Orden Centenas de millón.

8° Orden Decenas de millón.

7° Orden Unidades de millón.

1°

Per

íod

o 2° Clase

6° Orden Centenas de millar.

5° Orden Decenas de millar.

4° Orden Unidades de millar.

1° Clase

3° Orden Centenas simples.

2° Orden Decenas simples.

1° Orden Unidades simples.

Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a

partir de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin

usar ningún otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:

79 142 031 789 358.

TRILLONES BILLONES MILLONES UNIDADES

MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD

C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U

24º 23º 22º 21º 20º 19º 18º 17º 16º 15º 14º 13º 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8

MATEMÁTICA


Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un

millones, setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho

unidades.”

Aplicaciones:

1:Aún recordando, se realizarán los ejercicios siguientes:

Escribir cómo se lee cada número:

a) 4 121..................................................................................................................

b) 20 305................................................................................................................

c) 2 000……...........................................................................................................

d) d) 5 001 008......................................................................................................

2:Leer y escribir con cifras cada número:

a) Tres mil cinco...................................................................................................

b) Cien mil cuarenta y

dos..................................................................................

c) Un millón trescientos mil................................................................................

d) Dieciocho millones tres mil uno........................................................................

e) Seis millones quince

mil....................................................................................

f) Doscientos tres millones cuatro mil

uno……....................................................

3: ¿Qué número está formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM?

a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014

4:Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es:

a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763

5: ¿Cuántas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM?

a) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560

6: ¿Cuántas Decenas forman Dos Millares?

a)20 b)200 c)2000 d)2 e)0,2

MATEMÁTICA


7. ¿Cómo se puede escribir el producto de: 345x11?

a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA

1.3. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES.

1.3.1. ADICIÓN.

Definición.Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a yb la cual

se denota (a+ b) al número natural S, tal que a+b =S.

Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares

de números naturales (a; b) su suma a+b.

Ejemplo 1:

15 + 17 = 32 Ejemplo 2:

7 + 8 + 13 = 28 Aplicación 1:

Si: a + b + c = 15, hallar: abc + bca + cab

Rpta: 1665

Aplicación 2:

Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal.

Rpta: 494550

Suma notables:

I) Suma de los “n” primeros números naturales.

S = 1+2+3+4+ ....+n 2

)1n(nS

Ejemplo:

1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25

3252

12525S

Sumandos Suma

n = 25

MATEMÁTICA


Suma de los “n“ primeros impares.

S = 1 + 3 + 5 + …….... + n

2

2

1nS

Ejemplo:

1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39 4002

139S

2

II) Suma de los “n” primeros pares.

S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n 1nnS

Ejemplo:

2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20 11011010S

1.3.2. SUSTRACCIÓN.

Definición.Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la

cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D.

Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos

pares de números naturales (a; b) su diferencia a -b.

Ejemplo 1: 235 - 140 = 95 Aplicación 1: Si, a4b - 3c5 = 418; Hallar: a + b – c

Rpta: 8

MINUENDO( M )

SUSTRAENDO ( S )

DIFERENCIA ( D )

n = 39

n = 10

MATEMÁTICA


Propiedades de la sustracción:

1. Si se suma o resta un mismo número natural al MINUENDO y al

SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.

2. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO, la

DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.

3. Sise suma o resta un mismo número natural SÓLO AL SUSTRAENDO, la

DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad.

4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.

S + D = M

5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL

MINUENDO.

M + S + D = 2M

Aplicación 1:

La diferencia de dos números es 305, si al menor se le quita 20 y al mayor se le

aumenta 85 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 410

Aplicación 2:

La diferencia de dos números es 157, si al menor se le aumenta 48 y al mayor

se le quita 31 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 78

Aplicación 3:

La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?

Rpta. : 239

1.3.3. MULTIPLICACIÓN.

Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la

cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.

MATEMÁTICA


Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos

pares de números naturales (a; b) su producto a.b.

Ejemplo 1:

18 x 15 = 270 Ejemplo 2:

Aplicación 1:

El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al

multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de

cifras del multiplicador? Rpta. 7.

Aplicación 2:

El producto de dos factores es 74495, si se aumenta en 23 unidades al

multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del

multiplicador? Rpta. 11.

POTENCIACIÓN. Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.

an = a x a x a x .………a = P

Multiplicando Multiplicador Producto

“n” veces a

Elementos de la potenciación, donde: a: es la base n: es el exponente P: es la potencia perfecta de

grado n.

7 3 4 x

4 6

4 4 0 4

2 9 3 6

3 3 7 6 4

Multiplicando

Multiplicador

Productos parciales

Producto final

7 3 4 x 6

7 3 4 x 4

MATEMÁTICA


Potencia de exponente cero: a0 = 1 siempre que a ≠ 0 Nota: 00 = no está definido. Ejercicio mental: Resolver las siguientes operaciones mentalmente.

23 = ….. 34 = ….. 112 = ….. 162 = …..

33 = ….. 54 = ….. 122 = ….. 172 = …..

43 = ….. 25 = ….. 132 = ….. 182 = …..

53 = ….. (14+17)0= ….. 142 = ….. 192 = …..

24 = ….. (2X3 – 6)0= …. 152 = ….. 202 = …..

1.3.4. DIVISIÓN. Definición. Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,

se denota b

a , al número natural c, si existe, tal que a = b.c.

Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares

de números naturales (a; b) su cociente b

a.

Elementos de una división: Dividir 104 entre 11 Además: 104 = 11. (9) + 5 Clases de división:

Exacta(residuo = 0).

104 11

99 9

5

Dividendo (D) Divisor (d)

Residuo (r)

Cociente (q)

Algoritmo de la división

28 7

0 4

D d

0 q

28 = 7. (4) D = d.q

MATEMÁTICA


Inexacta(residuo ≠ 0).

En donde : 9 + 2 = 11

r(defecto) + r(exceso) = divisor En general: Propiedades de la división:

Si: r = 0, la división es exacta.

Algoritmo de la división: D = d. (q) + r

Residuo máximo : r(máx) = ( d - 1 )

Residuo mínimo : r(min) = 1

r(defecto) + r(exceso) = divisor

residuo < divisor

Si se multiplica o divide el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un mismo

número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA, pero el

RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número natural.

Aplicación 1:

El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo

y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el

residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

Rpta.: 16

Defecto: Exceso:

D d

r q

D d

r* q + 1

D = d.(q) + r D = d.(q + 1) - r*

D d

r q

D.k d.k

r.k q

75 = 11.(6) + 9

75 11

9 6

75 11

2 7

75 = 11.(7) - 2

Defecto: Exceso:

Residuo por defecto Residuo por exceso

MATEMÁTICA


Aplicación 2:

El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo

y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo

disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?

Rpta: 6

1.3.5. RADICACIÓN.

Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que

dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número

llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así

se tiene:

Resolver los siguientes ejercicios:

64 3 8 4 16 1600

81 3 64 4 81 3 27000

144 3 125 4 625 4 810000

169 3 1000 4 1210 3 278

TÉRMINOS DE LA

RADICACIÓN

KRRK nn

MATEMÁTICA


1.3.6. OPERACIONES COMBINADAS.

Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los

signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.)

Ejemplo:

63338

= 6335

= 6315

= 618

= 3

Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en

el siguiente orden :

o Primero: La potenciación o radicación.

o Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que aparecen)

“de izquierda a derecha”.

o Tercero: Adición o Sustracción.

Ejemplo:

32 : 8 + 6 x 5 = Observar, con atención, las operaciones indicadas.

4 + 30 = Fueron efectuados: la división (32:8) y la multiplicación (6 x 5).

34 = Finalmente, fue efectuada la suma (4 + 30).

Resolver la expresión:

45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =

La respuesta debe haber sido 231; sino, corregir lo que hizo. No olvidar que

cero veces cualquier numeral es cero.

MATEMÁTICA


7 + 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 = Observar paréntesis.

= 7 + 3 x ( 40 – 36 ) – 23 = Fue efectuada la multiplicación contenida en los paréntesis (9 x4).

= 7 + 3 x 4 – 23 = También fue hecha la resta: (40 – 36)

= 7 + 3 x 4 – 8 = Fue efectuada la potencia 23.

= 7 + 12 – 8 = Fue realizada la multiplicación: (3 x 4)

= 19 – 8 = Se realizó la suma ( 7 + 12 )

= 11 Finalmente, fue hecha la resta: (19 – 8)

EJERCICOS Resolver las siguientes operaciones combinadas:

OPERACIÓN COMBINADA RESPUESTA

( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =

6 x 8 + 13 - 9 =

250x 2 + 32+ 4 x 5 – 6 + 73 =

12 x 22 + 32 x 42 + 52 =

PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS.

Ejemplo:

Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de

5 m se podrán obtener?

20m 5

m 100pedazos de Nº pedazos de 5 m c/u

unitaria Longitud

Total Longitudpartes

MATEMÁTICA


Número de cortes Número de estacas

LÍNEA ABIERTA

Nº cortes = 1unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = 1

unitaria Longitud

total Longitud

LÍNEA CERRADA

Nº cortes = unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = unitaria Longitud

total Longitud

Ejemplo (LINEA ABIERTA):

1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si

cada árbol están separados 50 m?

2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios

realizar para obtener trozos de 50 m?

Ejemplo (LINEA CERRADA): 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro

es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m?

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº árboles = 150

200

= 4 + 1

= 5 árboles

(estacas)

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº cortes = 150

200

= 4 - 1

= 3 cortes

1º 2º 3º

CORTES

50 m

50 m 50 m

50 m Perímetro = 200 m

(Longitud total)

Nº de árboles = 50

200 = 4 árboles

(estacas)

MATEMÁTICA


2. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán

necesariosrealizar, para obtener trozos de 5 m?

Nº de cortes = 5

20 = 4 cortes

5 m 5 m

5 m 5 m

1º 3º

2º

4º cortes

Número de = Número - 1

Cortes de partes

Número de = Número - 1

espacios de puntos

LÍNEA ABIERTA

MATEMÁTICA


PROBLEMAS:

1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde

cada corte pierde 64

1 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?

a) 193 b) 235 c) 195 d) 425 e) 194

2. Dividir una barra de Hierro8

"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada

corte 32

1 “¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 3” b) 5” c) 2” d) 4” e) 1” 3. Dividir una barra de bronce de 137cm en trozos iguales de 35 cm.,

perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto

material sobra?

a) 342; 30cmb) 142; 30cm c) 342; 20cm d)352; 30cm e)12; 30cm

4. Dividir una barra de cobre8

"110 en trozos iguales de 2”, se pierde en cada

corte 32

1 ”. ¿Cuántos cortes se obtiene?

a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1 1.4. PLANTEO DE ECUACIONES. Planteo de una ecuación es TRADUCIRel lenguaje común a lenguaje

matemático, por ello es que debedetenerse a reflexionar sobre algunos

aspectos de este lenguaje.

El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje

conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones.

El lenguaje matemático está conformado por diversos símbolos. A travésde la

combinación de estos se puede representar diversidad de situaciones

SUSCEPTIBLESde ser representados matemáticamente; esto quiere decir que

no todo aquello que pasa diariamente puede ser representado en forma

matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda está alegre, no puede

representarse de la manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de

MATEMÁTICA


Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de

ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es

para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y

CUANTIFICABLE.

Ejemplo:

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18,

y dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado?

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre? X

si al multiplicarlo por cuatro 4x

añadirle 18 4x + 18

y dividir dicha suma entre 19 19

184 x

se obtiene

19

184x

2 como resultado? 219

184

x

Resolviendo la ecuación:

219

184

x

)19.(2184 x

18384 x

204 x

5x

TEORÍA ADICIONAL:

Operaciones fundamentales con fracciones:

a. Conversión de un número mixto a Fracción: D

NDE

D

NE

MATEMÁTICA


b. Suma de Fracciones:

usqMCMM

tuMrsMpqM

u

t

s

r

q

p

,,

c. Número natural.

d. Ejemplos: 2 y 5 son números naturales.

Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o

partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las

operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

NOTA. Si se da cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas

estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que

representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo,

a la derecha de la coma redondear con CEROS y al último parte variable

elevado a la potencia CERO que equivale a uno.

En esta época, siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar

sumas, restas, multiplicar y/o dividir.

e. Reducción de fracción de fracciones :

Es importante esta teoría base para hacer

las 4 operaciones de fracciones.

( ,,, )

÷

x

=

+ 5+1,000 xb0

=5

+1

Exponente +1

Se completa con ceros la parte decimal

Parte variable

El denominador es +1

Signo +

+2+1

,000 x a0

=2

+1

La coma divide la parte entera de la parte decimal.

cb

da

d

cb

a

MATEMÁTICA


Ejemplos:

a. 8

1

24

1

64

13

1

64

3

6

4

3

b. 5,4

2

14

2

9

41

63

6

41

3

6

4

3

c. 5,72

17

2

15

42

203

20

42

3

Problemas que tengan relación Parte – Todo: Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras?

*¿Qué parte de 27 es 9? 9/27 <> 1/3

*¿Qué fracción de b es c? c / b

*¿M representa que fracción de N? M / N

*¿Q que fracción representa respecto de P? Q / P

*¿Qué fracción es 24 respecto de 60? 24/60 <>2/5

*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”? a/b

*¿Qué fracción es “b” respecto de “a”? b/a

*¿Qué parte representa 11 de 33? 11/33<> 1/3

Cantidad de partes iguales

que se han tomado.

Cantidad de partes iguales

enque se han dividido a la unidad

f = Qué Fracción

o

Qué Parte

MATEMÁTICA


ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA:

Enunciados Expresión Matemática

Forma verbal Forma Simbólica

1) La suma de 2 números consecutivos más 3. 31 xx

2) Yo tengo 20 más que tú Yo: 20 + x

Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes Tu: x

3) A es el doble de B A = 2B

A es 2 veces B A = 2K

B es la mitad de A B = K

A tiene una vez más de lo que posee B B = K ; A = 2K

4) A es 2 veces más que B ó A = 3B A = 3X

A es 2 veces mayor que B B = X

5) A es a B como 3 es a 5 ó 5

3

B

A

La relación entre A y B es 3/5 ó A = 3k

A y B están en la razón de 3 a 5 ó B = 5k

A es a 3 como B es a 5

6) El cuadrado de la suma de 2 números 2yx

7) La suma de los cuadrados de 2 números 22 yx

8) El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20 204 y

Tengo : y

9) El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20 204 y

Tengo : y

10) A excede a B en 4 ó 4 BA

A es mayor que B en 4 ó 4 xA

MATEMÁTICA


El exceso de A sobre B es 4 xB

11) Tres menos 2 veces un número X x23

12) Tres menos de 2 veces un número X 32 x

13) El producto de 5 números consecutivos es m. mxxxx 421 ó

maaaaa 2112

14)

Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules. 4

3

A

R

kR 3 ; kA 4

1.4.1. ECUACIONES DE 1ER GRADO.

Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se

verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas.

Propiedades de las ecuaciones:

1. Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación una cantidad

constante, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera.

2. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por una

cantidad constante diferente de cero, la ecuación que se obtiene es

EQUIVALENTE a la primera.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X

Solución: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X

2X + 3X + 1X = 140 – 20 6X = 120

X = 120 / 6 X = 20

MATEMÁTICA


Ejemplos de aplicación: Resolver las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:

1. 414 xx

2. 631209740 xx

3. )3(2)5(5)12(4)1(3 xxxx

4. xx

2

1

21

5. 24

3

5

2

4

1 xx

6. 65

22

3

2

xx

7. 2)12(3

12)1(

2

1 xx

8.

303

1

7

554

3

2

xxxx

9. 463

25

2

3

2

1

xxx

10. 12261142313 xx

PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de

primer grado. Es importante leer el problema 2 o 3 veces hasta

comprenderlo, hacer el planteamiento y resolver.

1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para

seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno

MATEMÁTICA


habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/.

13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?

2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Hallar esos números.

3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro

en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en

alcanzarle?

Comprobando respuestas:

1. El autobús tenía 39 asientos.

2. Los números son 18, 20 y 22.

3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos.

SISTEMAS DE ECUACIONES.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más

ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe

proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las

ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el

valor que se reemplaza en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del

sistema.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.

Método de Sustitución:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones

cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a

continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser

sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la

se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y

una incógnita menos que el inicial, en la que se podrá seguir aplicando este

método reiteradamente.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Contradicci%C3%B3n

MATEMÁTICA


Por ejemplo, suponiendo que se quiere resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, se selecciona la incógnita por ser la de menor

coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja,

obteniendo la siguiente ecuación:

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra

ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación se obtiene el resultado , y si ahora se substituye

esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se obtendrá

, con lo que el sistema queda ya resuelto.

MÉTODO DE IGUALACIÓN.

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método

de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y

a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de

sustitución, si se despeja la incógnita en ambas ecuaciones queda de la

siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte

izquierda, por lo que se puede afirmar que las partes derechas también son

iguales entre sí.

MATEMÁTICA


Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y se puede obtener

el valor de la incógnitax, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de

las ecuaciones originales, obtener el valor de lay, que además ya se encuentra

despejada.

MÉTODO DE REDUCCIÓN. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,

siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El

procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas,

consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante

productos), de manera que se obtengan dos ecuaciones en la que una

misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A

continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o

cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola

incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema

nose tiene más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar

la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación queda así:

Si se suma esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una

nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, da

directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en

cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así

que el valor de es igual a 3

17.

-4x - 6y = -10

5x + 6y = 4

x = - 6

+

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

MATEMÁTICA


Ejercicios de Aplicación:

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos.

1)52

152

yx

yx 2)

6843

4

yx

yx

3)1132

514

ba

ba 4)

01135

03427

nm

nm

5)yx

yx

9397

35

6) 121

8)2()2(

xyx

yxyx

7) 32172

25127

yxy

xxy 8)

4314

5,102743

yx

yxyx

1.4.2. ECUACIONES DE 2DO GRADO.

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma.

02 cbxax . Donde no se anula a

Si se observan los coeficientes b y c, se pueden clasificar en incompletas si

se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Número de soluciones:

Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o

valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una

identidad.

Se denomina discriminante acb 42 , en función del signo del

discriminante se conocerá el número de soluciones de la ecuación, así:

Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.

Si el discriminante es 0 hay una solución.

MATEMÁTICA


Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

Ejemplo de Aplicación 1:

¿Cuántas raíces tiene la ecuación 0898 2 xx ?

a) Ninguna solución b) Una solución: x =

c) Dos soluciones: x1 = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0. Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0, despejando se llega:

Ejemplos:


La ecuación 092 x

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0.

Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.

Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que

x=0; ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.

Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las

soluciones es x=0

MATEMÁTICA


Ejemplo:


Resolver la ecuación

Soluciones x1= x2= Ecuación de segundo grado completa.

Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no

nulos.

Para resolver estas ecuaciones se aplica la fórmula:

Ejemplo:


La ecuación 0962 xx

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 =

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO. 1. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y

su área es 286m2.

El lado mayor mide m y el menor m

2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la

edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y

el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años 3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese

caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la

misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

El deportista ha caminado horas 4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la

edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y

el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años 5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber

comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos.

¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?

Compró objetos a un precio de euros 6. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y

su área es 144m2.

El lado mayor mide m y el menor m

Comprobando respuestas:

1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m

2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años

3) Ha estado caminando 8 horas

MATEMÁTICA


4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años

5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros

6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m

Resolver:

1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un

par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía S/ 1 000?.

Rpta. S/. 232

2. Se gastó S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún

se tiene el doble de la cantidad que se gastó?

Rpta. S/. 579

3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos

decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás?

Rpta. 5 cajas

4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial de

S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de

cada letra?

Rpta. S/. 540

5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació?

Rpta. 1922

6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el

triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo?

Rpta. 416

7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 117. ¿Cuántos cuadernos se

podrán comprar con S/ 78?

Rpta. 8 cuadernos

8. Se dio un cheque de S/. 200, para pagar 9 metros de alambre, se

recibió de vuelto S/ 20. ¿Cuánto se pagó por el metro de alambre?

Rpta. S/. 20

MATEMÁTICA


9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los

75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones

recibió cada uno si aún sobran 15 bombones?

Rpta. 3 bombones

10. Con S/. 2 340 se podrán comprar 4 casacas ó 9 camisas. ¿Cuál es la

diferencia de precio entre una casaca y una camisa ?

Rpta. S/. 325

11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los

pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia

la pérdida de corte).

Rpta. 172 mm

12. Un aprendiz hizo 58 tornillos en una semana y 49 tornillos en otra, en total,

29 estaban con defecto ¿Cuántos tornillos perfectos entregados al final?

Rpta. 78 tornillos

13. En cierta fábrica hay 10 máquinas .Cada Máquina produce 30 piezas

por hora. ¿Cuál es la producción de esa fábrica en 8 horas?

Rpta. 2 400 piezas

14. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 48 y 36.

Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división,

el cociente queda multiplicado por 26 y el resido no se altera. ¿Cuál

fue el dividendo inicial?

Rpta. 900

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si reparto mis S/. 250 entre mis hijos, sólo me queda S/. 2; pero si

accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/. 126;

¿Cuántos hijos tengo?

A) 10 B)1 C)6 D)4 E)8

2) Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144

contiene a dicho número. Calcular el doble del número.

A) 96 B) 48 C) 24 D) 12 E) 192

MATEMÁTICA


3) Andrés sube hasta el 5° piso de un edificio, luego baja al 2° y vuelve

a subir al 4° piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12

peldaños

¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés?

A)60 B)90 C)72 D)84 E)108

4) Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar

frente a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la

longitud del túnel.

A)5 000 m B)6 000 m C)5 800 m D)3 800 m E)4 500m

5) En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo

que debía, costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal.

¿Cuántos artículos compró?

A)10 B)8 C)12 D)16 E)20

6) Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar

un túnel de 500 m?

A)35 s B)14 s C)10 s D)16 s E)12 s

7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132

cabezas y 420 patas.¿Cuántos animales hay de cada clase?

A)10y 25 B)54 y 78 C)98 y 34 D)13 y 22 E)200 y 32

8) Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar

cada uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el

segundo S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado?

A)S/.11 B)S/13 C)S/.5 D)S/.12 E)S/.8

9) Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54

monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe

intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones

adquieran el mismo peso.

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene

como residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar

como respuesta la suma de cifras de dicho número.

A)9 B)10 C)8 D)7 E)6

MATEMÁTICA


SOLUCIÓN

1) C/U : S/ .x Sobrarían: S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126

8 31

2250 º

31 x 126 2 4x

hijosdeN Clave: E

2) Sea “ x” el numero , entonces :

96 2(48) : es número del doble El

48 x

304 2 x144

28

2

x

x

Clave: A

3) * Cuando asciende al 5° piso sube: 12 x 4 = 48 peldaños

* Cuando desciende hasta el 2° piso baja: 12 x 3 = 36 peldaños

* Cuando asciende hasta el 4° piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños

* Finalmente, lo que ha subido en total será:

48 + 24 = 72 peldaños Clave: C

4)

Clave: C

5) pagar debía que lo : n x a Sea

Costo por Nº de artículos cada artículo

Luego a x n + 24, lo que pagó.

12 n 2 a n

24

n

an

artículo cada costó que lo 24

n

na

artículos 12 Compro Clave: C

MATEMÁTICA


6) túnel + tren = para que pase por el túnel 500 + 200 =700

s 14

sm 50

m 700t Clave: B

7) Nº de cabezas = 132

Suponiendo que los 132 son conejos patas 528 x4132

Se observa un exceso de patas de 108

veces 54 2 108 ,para convertir ese exceso en gallinas

Finalmente:

Número de gallinas: 54

Número de conejos: 132 – 54 = 78 Clave: B

8) 1er obrero = S/.143 recibe S/.55 más que el 2do

2do obrero = S/. 88

Nº de días trabajados será: S/.55 S/.5 = 11 1er obrero = S/.143 11 = S/.13

2do obrero = S/. 88 11 = S/.8 Clave: E

9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g

Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g

Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g

Al intercambiar el mismo número de monedas, cada montón debe pesar: 2190 2 = 1095g

Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en:

25 – 10 = 15g

Luego, para que aumente: 1095- 840 = 255g

Se debe intercambiar: 255 15 = 17 monedas Clave: D

10) Sea N el número, entonces:

N 83 3q q

MATEMÁTICA


2786 27 " q"

para obtiene se N número mayor El

27,6 q q 86 N

83 3q 383

xN

qqN

N = 2322

Clave: A

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES I. Ejercicios: 1. Resolver x:

a) 6 + x = 18 b) 18 - x = 14 c) x - 6 = 24

d) b + x = 18 e) d - x = 14 f) x - 3 = 24

g) b + x = a h) d - x = c i) x - e = a

2. a) 14 = 7 + x b) 10 = x + 14 c) 1 = 6 - x

d) m = 7 + x e) r = x + 4 f) z = 6 - x

g) m = k + x h) r = x + v i) z = 1 - x

3. Resolver cada una de las letras:

a) a + b = c b) k - d = v c) 1 + m = - d

d) l1 + l 2 = L e) g1 + g2 = G f) F1 + F 2 =

F3

g) R1 = R – R2 h) C2 = C – C2 i) t = t1 + t2

4. a) a + b = 86 b) c - t = - 65 c) F - G = 80

d) 684 - G = 65 + K e) 456 + H = Z - 65 f) W - 45 = 32 + 14

g) -24 + F = 36 + x h) V – 18 = - 42 + L i) -16 + W = Z + 36

5. Un cuarto tiene una longitud de 4,25 m. Otro cuarto es 1,12 m. más

corto. ¿Qué longitud tiene éste?

92232 cifrasdeSuma

MATEMÁTICA


6. Los tres lados de un triangulo tiene una longitud total de 318 mm.

Calcular la base cuando los otros dos lados tienen una longitud de 114

mm y 62 mm respectivamente.

7. Antes de comenzar un viaje, el cuentakilómetros de un automóvil marca

312,4 km. Terminado el viaje indica 618,7 km. ¿Cuántos kilómetros se

ha viajado?

.TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES II.

1. Resolver x:

a) 3x = 24 b) 9x = 36 c) 56 = 7x d) 3x = A

e) 9x = F f) 56 = F . x g) b . x = A h) p . x = F

2.

a) 0,3 x = 3 4

b) 9x = 36 4 c) 51 = 17x

3 d) 0,2 x = A

e) 9x = R 4 f) 51 = G . x

L g) B . x = A h) Q . x = R

4

3. Hay que cortar un hierro plano de 1,85m de longitud en una relación de

2:3. Calcular las longitudes parciales.

4. La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10

del diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro?

5. Un trecho es 12 m. más largo que otro; la suma de ambos es de 48m

¿Cuál es la longitud de los trechos?

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE REFUERZO NIVEL II

1. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces

el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto.¿Cuál

es el cociente de dicha división?

A)26 B)15 C)5 D)10 E)20

2. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al

dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 más que el

anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32

3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a

cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría

S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?

A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280 E)S/.310

4. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta

S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de

personas .¿Cuántos participaron en la compra?

A)18 B)36 C)6 D) 12 E)20

5. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14

soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza

para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?

A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9

6. Calcular : 842510051032116 xx A)2 B)3 C)4 D)8 E)10

MATEMÁTICA


7. El producto de 2 factores es 29 016;si se aumenta 112 unidades al

multiplicando, el producto total aumenta en 13 888 unidades Hallar la suma

de cifras del multiplicador.

A)5 B)6 C)7 D)10 E)11

8. Hallar la suma de las cifras del producto 27xabc .Si los productos

parciales suman 4 851.

A)18 B)20 C) 22 D) 23 E)24

9. El cociente de dos números es 45,su resta es 3 435 y el residuo de su

división es 3 ,Calcular la suma de los dígitos de los dos números .

A) 20 B)23 C)25 D)27 E)29

10. Si la diferencia entre el dividendo y el residuo de una división es 3

510.Calcular el divisor si el cociente es 45.

A)45 B)65 C)68 D)47 E)78

11. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces

el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto.¿Cuál

es el cociente de dicha división?

A)26 B)15 C)5 D)10 E)20

12. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al

dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 mas que el

anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32

MATEMÁTICA


13. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a

cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría

S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?

A) S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280 E)S/.310

14. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta

S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de

personas .¿Cuántas personas participaron en la compra?

A)18 B)36 C)6 D) 12 E)20

15. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14

soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza

para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?

A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9

16. Esmeralda gasta cada día la mitad de lo que tiene , más 2 soles .Si

luego de cuatro días se quedó sin dinero. ¿Cuánto tenia al inicio?

A) S/. 30 B) S/. 28 C) S/. 60 D)S/. 40 E)S/. 50

17. Un recipiente lleno de vino cuesta S/ 700, si se saca 80 litros, vale solamente S/140. ¿Cuál es la capacidad del recipiente? A) 140 litros B)108 litros C)100 litros E)200 litros

18. Un espectáculo público cubre sus gastos con las entradas de 30 adultos

más 70 niños o de 42 adultos más 18 niños. Si entraron solo niños

.¿Con cuántas entradas cubrirá sus gastos?

A)216 B) 200 C)160 D)178 E)232

19. En SENATI existe un santo que hace el milagro de duplicar el dinero; pero

con la condición que deje 8 soles de limosna .Si al cabo de 3 milagros

Rossmery salió sin dinero. ¿Cuánto dinero tuvo al ingresar?

A)S/.8 B)S/.9 C)S/.7 D)S/.14 E)S/.10

MATEMÁTICA


UNIDAD 02

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Y

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

MATEMÁTICA


2. NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros se pueden clasificar en:

Números enteros negativos Z - = 1;2;3......

El cero y Números enteros positivos Z+ = ;.........4;3;2;1

2.1. DIVISIBILIDAD.

Un número entero A es divisible por otro numero enteropositivo B si al

dividirlos, el cociente resulta exacto.

Si A B 0 k

entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además,

por ser unadivisión exacta se cumple que : A = B .k donde k es un número

entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “

Ej.

1) ¿20 es divisible por 4?

Sí, porque: 20 4 0 5 Luego, se cumple que: * 20 es divisible por 4. * 4 es un divisor de 20. * 4 es un factor de 20. * 20 es un múltiplo de 4. 2) ¿0 es divisible por 3? Sí es, porque: 0 3 0 0

Luego, se cumple que: * 0 es divisible por 3. * 3 es un divisor de 0. * 3 es un factor de 0. * 0 es un múltiplo de 3. 3) ¿- 42 es divisible por 7? Sí es, porque: - 42 7 0 - 6 Luego, se cumple que: * - 42 es divisible por 7. * 7 es un divisor de – 42. * 7 es un factor de - 42. * - 42 es un múltiplo de 7.

MATEMÁTICA


4) 15 no es divisible por 0. (V) (F) Verdadero, porque por definición el divisor debe ser diferente de cero.

5) 36 no es divisible por - 9 (V) (F) Verdadero, porque el divisor debe ser positivo.

Ej. Hallar todos los divisores de: 8 y 18 D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8 D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18

2.2. MULTIPLICIDAD.

Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si se

cumple que A = B . K donde K es un número entero.

Ej. Responder las siguientes preguntas.

1) ¿15 es múltiplo de 3? Sí, porque 15 = 3 5 y 5 es un número entero. 2) ¿- 12 es múltiplo de 4? Sí, porque - 12 = 4 - 3 y - 3 es un número entero. 3) ¿Cero es múltiplo de 5? Sí, porque 0 = 5 0 y 0 es un entero. 4) ¿5 es múltiplo de cero? No, porque 5 = 0 K, no hay ningún número entero que multiplicado por

cero nos de 5. 5) ¿8 es múltiplo de - 2? No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un

entero negativo. Si un número A es múltiplo de B, su notación será:

A = B.K donde K es un número entero ó A = 0B y se leerá “A es

múltiplo de B “.

Ej. 1) 20 = 0

5 ó 20 = 5.K

2) 18 = 0

3 ó 18 = 3.K

3) 0 = 0

2 ó 0 = 2.K

MATEMÁTICA


Donde, para todos los casos K = 0;1;2;3;4;……….. Ej. Hallar los múltiplos de 3 y de 5. Eso se escribirá 3K y 5K, entonces: M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 …….. M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………

Relación entre un múltiplo y un divisor:

Ej. Entre 24 y 6

Múltiplo

24 6

Divisor

Ej. Entre 9 y 27.

Divisor

9 27

Múltiplo

MATEMÁTICA


Cuando un número no es divisible por otro.

Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivoB ,

entonces , eso se puede expresar de dos maneras :

A = 0

B + rd ó A = 0

B - re

Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de la

división de A entre B, además, recordar que:

rd + re = divisor

Ejemplo:

1) 15 no es divisible por 2 porque

15 2 1 7

Entonces:

15 = + 1

ó 1 + 1 = 2

15 = - 1

3)26 no es divisible por 7 porque

26 7 5 3

Entonces:

26 = 0

7 + 5

ó 5 + 2 = 7

15 = 0

7 - 2

2) 23 no es divisible por 5 porque

23 5 3 4

Entonces:

23 = 0

5 + 3

ó 3 + 2 = 5

15 = 0

5 - 2

4)526 no es divisible por 12 porque

520 12

4 43 Entonces:

520 = 0

12 + 4 ó 4 + 8 = 12

520 = 0

12 - 8

0

2

0

2

MATEMÁTICA


PROPIEDADES: 1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.

2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.

3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número.

4) El cero es divisible por todo número entero positivo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Divisibilidad por 2n.

Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número debe

ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.

Divisibilidad por 21 = 2: Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser

divisible por 2, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es divisible

por 2.

b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.

c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.

Divisibilidad por 22 = 4: Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe

ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y 24

es divisible por 4.

b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es

divisible por 4.

c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible por

4.

MATEMÁTICA


Divisibilidad por 23 = 8.

Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número debe

ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.

Ejemplos.

a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y

136 es divisible por 8.

b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero es

divisible por 8.

c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es divisible

por 8.

Divisibilidad por 5n.

Para que un número sea divisible por 5n, las “n” últimas cifras del número debe

de ser múltiplo de 5n, o terminar en “n” ceros.


Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser

múltiplo de 5, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es divisible

por 5.

b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.

c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5, además

7 = 05 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como residuo 2.


Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número debe

ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son ceros.

b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es divisible

por 25.

MATEMÁTICA


c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es divisible

por 25, además 88 = 0

25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre 25, se

obtendrá como residuo 13.

Divisibilidad por 3.

Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un

número que es divisible por 3.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.

1) 2 358, 2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 03 por lo tanto, si es divisible por 3.

2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3.

Además, 13 = 03 + 1 lo que significa que al dividir 283 entre 3 el residuo debe ser

1.

3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 = 03 + 2 lo que

significa que al dividir 57 014 entre 3, se obtiene como residuo 2.


Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos dé un

número que es divisible por 9.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.

1) 9 558, 9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 =

0

9 por lo tanto, sÍ es divisible por 9.

2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 = 0

9 + 4 lo que significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.

3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 = 0

9 + 8 lo que significa que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8.

MATEMÁTICA



Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la

derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego

realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)

Ejemplos.

Verificar si los siguientes números son divisibles por 7, en caso contrario hallar su

residuo1).

1) 3 738 8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y

28 = 07 , si es.

3) 99 148 8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14

y -14 = 07 , sí es.

2) 35 266 6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y

14 = 07 , si es.

4) 264

4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 07 + 5

no es , y su residuo es igual a 5.


Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de las

cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un número

que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…)

Para el número:

a b c d e f g = 0

7 g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a = 0

7

1 2 3 1 2 3 1

+ +

ab c d e f g

Lugares impares

Lugares pares

(g + e + c + a) – (f + d + b) = 0

11

MATEMÁTICA


Ejemplos: Verificar si los siguientes números son divisibles por 11. 1) 539

9 + 5 – 3 = 11 = 0

11 ; entonces, 539 es divisible por 11.

4) 8 074

4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 0

11 ; entonces, 8 074 es divisible por 11.

2) 5379

9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 0

11 ; entonces, 5 379 es divisible por 11

5) 7 364

4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 0

11 ; entonces,

7 364 no es divisible por 11 ya que al dividir 7 364 entre 11 dejará como residuo por exceso 6 y por defecto será 5

7 364 = 0

11 - 6 = 0

11 + 5

3) 381 909

9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 0

11 ;

entonces 381 909 es 0

11

6) 579

9 + 5 – 7 = 7 ≠ 0

11 entonces 579 no es divisible por 11. El residuo por defecto es 7 y por exceso es 4.


Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez.

Ejemplos. a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por

6.


Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez

Ejemplos. a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 12.


Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.

MATEMÁTICA


Ejemplos.

a) 11 720 es divisible por 10 porque 11 720 termina en cero.

b) 3102 no es divisible por 10, porque su última cifra no termina en cero.

PRÁCTICA

Marcar con un aspa (X), si el número N de la columna izquierda es divisible por

alguno de los números de la fila horizontal superior.

Número N

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

324 X X X X X X

570

1 120

3 240

1 540

20 310

1 120

8 690

9 372

189

2.3. OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros, también se pueden clasificar según la cantidad de

divisores que tenga el número como:

a) NÚMEROS SIMPLES.

Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.

Ej. Son números simples:

1) 1, D ( 1 ) : 1

2) 5, D ( 5 ) : 1 y 5

MATEMÁTICA


3) 11, D ( 11 ) : 1 y 11

b) NÚMEROS PRIMOS.

Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad y

el mismo número.

Ej.

1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo.

2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo.

NOTA: “El menor número primo es 2” c) NÚMEROS COMPUESTOS.

Son aquellos que tienen más de dos divisores.

Ej.

1) D (6): 1, 2, 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.

2) D (9): 1, 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.

NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . . 1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50? Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5. 2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen?

Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8. 3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77. (V) (F)

La suma de los números primos menores a 19 es: 2+3+5+7+11+13+17 = 58

MATEMÁTICA


2.4. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O

NO.

1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número.

2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la raíz

hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el número

será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto entonces el

número no será primo .

Ej. Verificar si 97 es primo.

Paso 1 : 97 9,…. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera y se

trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer la raíz cuadrada en forma aproximada “.

Paso 2 : dividir a 97 entre los números primos menores a la raíz hallada

: 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisiones son inexactas por lo que se concluye que 97 es primo .

Ej. Verificar si 163 es primo.

Paso 1 : 163 12,… es 12 y algo más, se trabaja sólo con 12.

Paso 2 : divide a 163 entre todos los números primos menores a 12 , que son :

2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es inexacto por lo que concluye que 163 es primo .

Ej. 91 no es primo. (V) (F) Solución:

Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9.

Paso 2 : Números primos menores a 9: 2; 3; 5 y 7. 91 es divisible por 7 por lo tanto, no es primo. Ej. 247 es primo. (V) (F) Solución:

MATEMÁTICA


Paso 1: 247 en forma aproximada es 15. Paso 2: Números primos menores a 15: 2; 3; 5; 11 y 13. 247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero sí es divisible por 13,

entonces 247 no es primo.

2.5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI).

Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común la

unidad.

Ej. Verificar si 4 y 9 son PESI.

Solución. D (4): 1 ; 2 y 4

D (9): 1 ; 3 y 9

Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad, por

lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI.

Ej. Verificar si 6; 14 y 25 son PESI.

Solución.

D (6) : 1 ; 2; 3 y 6.

D (14):1 ; 2; 7 y 14.

D (25) : 1 ; 5 y 25

Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números es

la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI.

Ej. 15; 12 y 18 son PESI. (V) (F)

Solución.

D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15.

D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12.

D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18.

Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI.

MATEMÁTICA


2.6. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES

PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.

Todo número se puede descomponer como producto de sus factores primos,

elevados a exponentes que son números enteros positivos.

Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene:

N = Aax Bb x Cc x Dd

Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c y d

, son los exponentes de los factores primos .

Ej. Descomponer en sus factores primos los números:

1) 90 2) 120

90 2 120 2

45 3 60 2 15 3 30 2

5 5 15 3 1 5 5

1

90 = 232

5 120 = 23

35

2.7. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N (CD(N)).

Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la descomposición

del número en sus factores primos.

Para la descomposición del número N = Adcba

DCB se cumple, que la

cantidad de divisores de N será :

CD ( N ) = 1111 dcba

MATEMÁTICA


donde: a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número.

También la cantidad de divisores se puede con las siguientes fórmulas:

CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos

ó

CD =CDsimples + CDcompuestos

Ej. ¿Cuántos divisores tiene 60? Solución.

Como 60 = 2 532

entonces CD (60) = 111112 = 12.

Ej. Hallar la cantidad de divisores de 1 008. Solución.

Como 1 008 = 24

32

7 entonces CD (1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30. SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N(SD (N)). Dada la descomposición de un número N en sus factores primos: N = Aa

BbCc

Dd , entonces :

SD (N) =

Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 60. Solución.

Como 60 = 22

35 entonces

SD (60) = 15

15

13

13

12

12223

x = 746 = 168.

Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 504.

1

11

1

11

1

11

1

11

D

dD

C

cC

B

bB

A

aA

MATEMÁTICA


Solución.

Como 504 = 23

32

7 entonces,

SD (504) = 17

17

13

13

12

12234

= 15137 = 1 365.

PROBLEMAS RESUELTOS. Problema 1. ¿Cuántos divisores primos tiene 700? Solución.

Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 22

52

7 y

sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá 3.

Problema 2. Hallar la suma de todos los divisores primos de 644. Solución.

Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =22

7 23

entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32.

Problema 3. ¿Cuántos divisores pares tiene 252? Solución.

Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto de la

descomposición del número en sus factores primos, se extrae el factor 2. .252 = 2

7322 = 2 732

2 , entonces,

CD pares = 111211 = 12

Problema 4. ¿Cuántos divisores impares tiene 360? Solución.

Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces de la

descomposición de 360 en sus factores primos, se va a eliminar el factor 2

elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que resulten

serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .

360 = 2 5323 = 2

3

( 32

5) entonces la cantidad de divisores impares

será igual a la cantidad de divisores del número que está entre paréntesis .

MATEMÁTICA


CD( 360 )impares

= (2+1)(1+1) = 6 .

Problema 5. ¿Cuántos divisores impares tiene 1404?

Solución. 1404 = 22

33

13 = 22

(33

13), entonces CDimpares

= (3+1)(1+1)= 8.

PROBLEMAS PROPUESTOS.

1. De las siguientes afirmaciones :

I 3 es divisor de - 18

II - 4 es un divisor de 12

III 20 es un divisor de 5

IV 72 es un múltiplo de 9

V 4 es un múltiplo de 12

VI 8 no es múltiplo de cero

¿Cuáles son falsas?

A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI

2. Del siguiente grupo de números :

53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71

¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número primo?

A) 118 B) 134 C) 72 D)110

3. Calcular la suma de los números primos comprendidos entre 40 y 50.

A)84 B)90 C)93 D)131 E)120

4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120.

A) 3 B) 16 C)10 D) 8 E)12

5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24?

A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4

MATEMÁTICA


2.8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD).

De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de los divisores

comunes.

Ej. Hallar el MCD de 12 y 18.

D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6.

Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son los

divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de un grupo

de números son los divisores del MCD.

Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD

de dichos números.

Propiedades:

1) El MCD está contenido en los números.

2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD.

2.9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes.

MATEMÁTICA


Ej. Hallar el MCM de 4 y 6. M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;….. M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,…………. Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 , por lo

tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .

Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , …

que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos comunes

de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos números .

Métodos para calcular el MCD y MCM. 1) Por descomposición simultanea.

Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24.

18 - 24 2 18 - 24 2 9 12 3 9 12 3 3 4 3 4 3 1 4 4 1 1 mcd = 23= 6 mcm = 2334= 72 2) Por descomposición de los números en sus factores primos.

El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a

su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores

primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente.

Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60.

Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene:

18 = 2x32

y 60 = 2 532

. Luego se aplica la propiedad.

MCD = 2x3 = 6 y MCM = 2 52

32

= 180.

3) Por divisiones sucesivas.

Este método sólo se aplicará para calcular el MCD de dos números.

MATEMÁTICA


Ej. Calcular el MCD de 144 y 56.

MCD=8

Ej. Calcular el MCD de 480 y 572.

MCD = 4.

Entonces tendrán 4 divisores comunes.

Problema 2.

¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se desea

obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ?

Solución.

La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos para

obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos

comunes queremos el menor.

Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.

Problema 3.

¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para

construir un cuadrado?

Solución. Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado.

X

X

Cocientes 2 1 1 3

144 56 32 24 8

residuos 32 24 8 0

cocientes

1

5

4

1

1

2

572

480

92

20

12

8

4

residuos

92

20

12

8

4

0

34cm

18 cm

MATEMÁTICA


De la figura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común de 34

y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor porque se

quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que :

X = mcm (34; 18) = 306

La cantidad de losetas es igual a:

34

306 x

18

306 = 153

Problema 4.

De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea obtener el

menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre material. ¿Cuántos

pedazos se obtendrán?

Solución. Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada.

96 cm

72 cm

Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe de

ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad de

pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por esto que :

X = MCD (96; 72) = 24 cm El número de pedazos que se obtendrán será:

# pedazos = 24

96 x

24

72 = 4 x 3 = 12

X

X

MATEMÁTICA


Problema 5 Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista circular

con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y medio , y C

en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas vueltas habrá dado

el ciclista A ?

Solución.

Transformando las medidas a segundos A : 3 min = 180 s B : 3 min y medio = 210 s C : 4 min = 240 s El tiempo que debe transcurrir para que un ciclista vuelva a pasar nuevamente por el punto de partida será un múltiplo de los tiempos empleado en dar una vuelta . Para que los tres ciclistas vuelvan a pasar por el punto de partida , el tiempo a transcurrir será un múltiplo común de los 3 tiempos dados .

# vueltas que habrá dado el ciclista A = 180

5040 = 28.

PARTIDA

MATEMÁTICA



1. A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y mujeres. De las

mujeres, se conoce que la sexta parte tiene cabello largo, los 3/8 usan

aretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión?

a) 118 b) 132 c) 136 d) 164 e) 220

2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 180 y 300?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M. sea

5148

a) 143 b) 396 c) 468 d) 684 e) 639

4. Si x2x.53N , tiene 15 divisores, hallar N.

a) 2000 b) 2075 c) 3196 d) 2025 e) 2184

5. Si 5.412By12.45A nn , hallar “n” para que su MCM presente 90

divisores.

a) 5 b) 2 c) 8 d) 6 e) 3

6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero más

de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12,

siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno.

¿Cuántos alumnos eran?

a) 600 b) 605 c) 660 d) 671 e) 796

7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y de

noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en 12 o

de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18 no

sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche?

a) 20 b) 24 c) 32 d) 126 e) 36

MATEMÁTICA


8. El número de páginas de un libro está comprendido entre 400 y 500. Si se

cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en

7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?

a) 417 b) 419 c) 420 d) 463 e) 472

9. ¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar con tres

caños que vierten 24; 42 y 15 litros por minuto?

a) 420 l b) 480 l c) 640 l d) 840 l e) 960 l

10. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener dividiendo 3

varillas de medidas: 540 cm; 480 cm y 360 cm, sin desperdiciar material.

a) 60 b) 23 c) 24 d) 12 e) 30

11. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados de igual medida en que podemos

dividir un terreno de forma rectangular cuyo largo mide 1680 m y su ancho

700 m?

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90

12. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencia de 42 s y 54 s. Si a

las 20 h 15 min se encienden simultáneamente, ¿A qué hora volverán a

encenderse nuevamente juntos?

a) 21 h b) 20 h 21 s c) 21h 18 s d) 22 h e) 20 h 21 min 18s

13. Si se tiene que llenar 4 cilindros de 72; 24; 56 y 120 litros de capacidad,

¿Cuál es la máxima capacidad de un balde que permite llenarlos

exactamente?

a) 8 l b) 15 l c) 17 l d) 4,5 l e) 9 l

14. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 24 cm de largo, 12 cm de

ancho y 10 cm de altura. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formar el

menor cubo compacto?

a) 600 b) 400 c) 550 d) 580 e) 500

MATEMÁTICA


15. Una caja mide 82 cm de largo, 46 cm de ancho y 32 cm de alto; esta caja se

quiere llenar de cajitas cúbicas y de la mayor arista posible, ¿Cuántas cajitas

cúbicas entrarían?

a) 30 176 b) 15 088 c) 16 745 d) 13 272 e) 15 176

16. ¿Cuál es la menor cantidad de losetas cuadradas, sin partir ninguna, se

necesita para cubrir un patio cuyo largo mide 744 cm y el ancho 528 cm?

a) 745 b) 826 c) 682 d) 724 e) 842

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

1. Hallar la suma de las cifras del menor número que tenga como

divisores: 4; 9 y 12.

A) 6 B) 8 C) 10 D) 9 E) 5

2. El MCM de dos números es 48. Si el producto de los mismos es 864.

¿Cuál es su MCD?

A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 9

3. Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27. Hallar la

suma de A más B.

A) 27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40

4. El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los

números.

A) 900 B) 720 C)3 600 D)3 240 E) 2 400

MATEMÁTICA


5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3780 cm; 3360 cm y

2520 cm. Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor

longitud posible, ¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla

de menor longitud.

A) 6 B) 5 C) 4 D) 420 E) 8

6. Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede

dividir una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por

210 cm.

A) 30 B)19 C) 84 D) 48 E) 30

7. Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades: 50; 75; 100 y 80 litros

respectivamente. ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un

balde de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad

exacta de veces?

A)10 lt B)5 lt C)8 lt D)25lt E) 12 lt

8. Un terreno rectangular de medidas 255m por 225 m se quiere dividir en

el menor número de parcelas cuadradas e iguales. Si se va a colocar

una estaca en cada vértice de las parcelas, ¿Cuántas estacas se

necesitarán?

A) 255 B) 288 C) 300 D) 260 E) 280

9. Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. Se desea

envasarlas en la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma

cantidad de cada artículo. ¿Cuántas bolsas más habrá de bombones

que de chocolates?

A) 16 B) 6 C) 9 D) 25 E) 34

10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/

810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuántos

trabajadores hay en cada taller si el salario es el mayor posible?

A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35 D) 54 y 35 E) 30 y 40

MATEMÁTICA


UNIDAD 03

NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES

MATEMÁTICA


3. FRACCIÓN.

3.1. FRACCIÓN: ELEMENTOS.

Se llama fracción a un número racional a/b donde: a Z, b Z, b 0, å b

- Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de dos

números enteros con denominador diferente de cero.

- Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o

fracción.

- Toda fracción tiene 3 signos.

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES:

El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad.

El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad.

S = ¼ S =

11

3

b

aFracción =

Numerador Denominador

MATEMÁTICA


Ejemplo Aplicativo: Del gráfico que se muestra: a) ¿Qué fracción es la parte sombreada?

Fsombrada= Total

sombrada.Parte Fsombrada=

k8

k3 =

8

3

b) ¿Qué fracción es la parte no sombreada?

Fno sombrada= Total

sombrada.no.Parte Fno sombrada=

k8

k5 =

8

5

c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?

Fsombrada de la no sombrada = sombrada.no.Parte

sombrada.Parte Fsombrada=

k5

k3 =

5

3

d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?

Fno sombrada de la sombrada = sombrada.Parte

sombrada.no.Parte Fsombrada=

k3

k5 =

3

5

S = 4

5 S = 1/12

k

k

k

k k

k

k

k Parte sombreada = 3k

Parte no sombrada = 5k

Total = 8k

denominador

denominador

MATEMÁTICA


3.2. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES.

1) POR COMPARACION DE SUS TÉRMINOS. .

Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor de

una fracción propia es menor que la unidad.

ba1b

a Ejemplos: ,...

3

2,

23

17,

7

5,

3

1

Fracción Impropia:.El numerador es mayor de que el denominador. El valor

de una fracción propia es mayor que la unidad.

ba1b

a Ejemplos: ,...

3

11,

9

14,

3

4,

2

7

2) POR SUS DENOMINADORES.

Fracción Ordinaria ó común: Es aquella cuyo denominador es diferente a

una potencia de 10.

b

a= es ordinaria, si: b 10

n ,...

23

52,

25

17,

7

5,

5

1

Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

b

a= es decimal, si: b = 10

n ,...

10000

57,

1000

12,

100

5,

10

1

3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE VARIAS FRACCIONES.

Fracciones Homogéneas: Igual denominador.

,...3

2,

3

17,

3

5,

3

1

Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.

,...3

1,

9

4,

5

4,

2

7

4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.

MATEMÁTICA


Fracción irreductible. b

a= es irreducible, si a y b son PESI.

Fracción reductible. b

a= es reductible, si a y b tiene divisores

comunes a parte de la unidad. 5) FRACCIÓN EQUIVALENTE. Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor

pero sus términos son diferentes.Su representación gráfica es por ejemplo:

3.3. CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y

DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA.

De Fracción a número mixto: b

a =

b

pn ; donde ; p < b

Ejemplo:convertir 5

17 a número mixto

Primero dividir 17 entre 5.

De un número mixto a fracción:

nb

pbn

b

p

. =

b

a (Fracción Impropia) ; p < b

2

1

4

2

6

3

8

4

17 5

2 3 Parte Entera

denominador

numerador 5

23

MATEMÁTICA


Ejemplo: convertir 5

23

a fracción.

3.4. MCM Y MCD DE FRACCIONES.

MCD);;(

);;(;;

fdbMCM

ecaMCD

f

e

d

c

b

a

MCM);;(

);;(;;

fdbMCD

ecaMCM

f

e

d

c

b

a

Nota: donde las fracciones

f

e;

d

c;

b

a, deben ser fracciones irreductible “si no lo

son, se tienen que simplificar”. Ejemplo:Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20. 1º. Simplificar 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, se obtiene

2/7 y 3/4.

2º. Hallar el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:

MCD28

1

)4;7(MCM

)3;2(MCD

4

3;

7

2

MCM 61

6

)4;7(MCD

)3;2(MCM

4

3;

7

2

x

= +

5

23

5

17

MATEMÁTICA


3.5. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.

Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez,

IRREDUCTIBLE.

Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos

(numerador y denominador) se dividen entre su MCD.

Ejemplo:¿Simplificar la fracción 24/180? Solución:

1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores

comunes hasta lograr una fracción irreducible.

Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.

2º Forma: Dividir al numerador y denominador entre su MCD:

15

2

12180

1224

)180;24(MCD180

)180;24(MCD24

180

24

3.5.1. PROPIEDADES:

1.

Ejemplo:

Simplificar: 777

333

777

333 =

7

3

Porque: 777

333=

1117

1113

=

7

3

180

2412

90

6

45

2

2

15

= 15

b

a

bbb

aaa

MATEMÁTICA


2.

Ejemplo:

Simplificar: 3737

1212

3737

1212 =

37

12

Porque: 3737

1212 =

10137

10112

; se elimina 101 y queda

37

12

3.6. FRACCIONES EQUIVALENTES.

Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.

....20

8

30

12

10

4

5

2

....3,2,1k,bk

ak

b

a donde

3.7. HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DEFRACCIONES.

Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:

1. Reducir a su más simple expresión.

2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.

3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se

multiplica con cada numerador correspondiente.

Ejemplo: Homogenizar los denominadores de las fracciones: 6

4 ;

10

5 ;

8

6

Solución: Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión:

6

4;

10

5 ;

8

6 ; <>

3

2 ;

2

1 ;

4

3

cd

ab

cdcd

abab

MATEMÁTICA


Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12.

Luego, se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de

cada uno se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo:

12

8 ;

12

6 ;

12

9

Esquemáticamente: 3.8. COMPARACIÓN DE FRACCIONES.

Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción

positiva y menor la fracción negativa.

Ejemplo: 7

2>

2

3

Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será

mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor

numerador.

Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:

3

1 ;

3

8 ;

3

7 ;

3

2

Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 3

8 ;

3

7 ;

3

2 ;

3

1

Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será mayor

el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor

denominador.


13

7 ;

9

7 ;

2

7 ;

3

7

12

9 ;

12

6 ;

12

8

4

3 ;

2

1 ;

3

2

MCM (3, 2, 4 ) = 12

MATEMÁTICA


Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 2

7 ;

3

7 ;

9

7 ;

13

7

Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se

procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como

en el caso anterior.


6

5 ;

9

1 ;

2

3 ;

3

7

Solución:Primero se homogenizan denominadores (MCM).

Ordenando de menor a mayor se obtiene:

18

81 ;

18

42 ;

18

27 ;

18

15que son las fracciones equivalentes a

9

1 ;

3

7 ;

2

3 ;

6

5 respectivamente.

Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá

realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.

Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:9

7 y

8

5

Solución:

MCM (3, 2, 9, 6) = 18 6

5 ;

9

1 ;

2

3 ;

3

7

18

15 ;

18

81 ;

18

27 ;

18

42

Fracciones

Equivalentes

Fracciones

Homogéneas

8

5

9

7

56 45 > Entonces

8

5

9

7>

MATEMÁTICA


Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:8

5 y

5

4

Solución:

EJERCICIOS NIVEL I

1. Completar:

24

8

3 h.

32

4

1 g.

12

16

3 f.

128

8

5

16

3 d.

8

1 c.

32

8

5 b.

.e

64

8

16

12

4

3.a

2. Reducir a un mismo denominador (homogenizar denominadores):

Respuesta 4

1 ;

16

5 ;

Respuesta 4

3 ;

Respuesta 8

5 ;

8

3.c

2

1.b

8

5;

8

2

4

1.a

3. Completar los espacios vacíos adecuadamente:

a) Dadas varias fracciones de igual denominador es mayor la que

tiene…......................…......... numerador

b) Dadas varias fracciones de igual numerador, es mayor la que

tiene…........................…......denominador

4. Colocar los signos> ó < como en los ejemplos: a. 5/8 < 7/8 b. 3/8 1/ 8 c. 3/4 5/4 d. 1/4 5/4

e. 3/7 < 3/5 f. 1/2 1/3 g. 2/5> 2/7 h. 4/5 4/6

25 32 < Entonces

< 8

5

5

4

8

5

5

4

MATEMÁTICA


5. Reducir a un mismo denominador las siguientes fracciones; y colocarlas en el

orden solicitado:

a. 3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8 --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente)

b. 4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4 --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)

6. Completar los espacios en blanco:

a. Simplificar una fracción es encontrar otra cuyos términos

sean…................................. que los de la primera.

b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo

número diferente de cero y diferente de

….................................................................

c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción

…...................... ser simplificada.

d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador

posible …...........................................

e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número,

son llamadas fracciones …............................................

A continuación se puede comparar las respuestas.

4. b. > c < d. < f. > h. >

5. a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16 R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4

b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60 R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12

6. a. más simples b. uno. c. no puede d. 63 e. equivalentes

MATEMÁTICA


7. Reducir a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):

4

2=

128

96=

64

48=

16

8=

15

12=

128

120=

32

24=

20

15=

9

6=

128

100=

32

4 =

18

15=

8

40=

64

60=

100

25=

8. Colocar falso (F) o verdadero (V) a. 4/5 > 3/5 ( ) b. 3 > 15/3 ( ) c. 2/5 < 3/7 ( ) d 1/3 < 34/72 ( ) e. 2/5 > 2/7 ( ) d. 7/8 > 6/7 ( )

9. Completar las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos

(cinco fracciones equivalentes):

a. 1/2 =2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12 b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----

Tratar de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes: 7. = 1/2 = 3/4 = 3/4 =1/2 = 4/5 = 15/16 = 3/4 = 3/4 = 2/3 =25/32 = 1/8 =5/6 =5 = 15/16 = 1/4 8. a. (V) b. (F) c. (V) d. (V) e . (V) 9. a) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12

b) 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 12/18

c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32 = 15/40 = 18/48

MATEMÁTICA


d) 3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20 = 18/24

10. Marcar con (X) las fracciones irreductibles:

2/3 ( X ) 3/5 ( ) 4/8 ( ) 4/6 ( ) 7/8 ( )

5/6 ( X ) 1/3 ( ) 6/2 ( ) 4/12 ( ) 9/10(

)

1 EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL II

1. Distribuir en el cuadro las fracciones en orden creciente: a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64 b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16 c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128

A

B

C

2. Al simplificar una fracción se obtuvo 1/7. Sabiendo que la suma de los

términos es 40, Calcular la diferencia de los mismos.

A.30B.15 C.8 D.1 E.13

3. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles, tienen denominador 32 y son

mayores que 1/6?

A.3 B.15 C 12 D. 14 E.13

4. ¿Cuántas son las fracciones irreductibles con denominador 10

comprendidos entre 1/2 y 4/3?

A.30 B.5 C 8 D. 4 E.13

MATEMÁTICA


5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 720 existen? A.192 B.13 C.24 D.15 E.2

6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada?

A. 5/7 B.3/4 C.4/7 D.3 E.1/4

7. Simplificar las fracciones:

9240 / 6930 y 4158 / 43 68

Rpta: 4/3; 99/104 8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco;

2/9 del resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le

dieron para repartir?

A. 10 B.108 C.23 D.25 E.19

9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará

llena hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla?

A. 2400 B.2700 C.234 D.1235 E. 1300

10. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros

de mezcla ¿Cuántos litros de leche salen?

A.13 B. 15 C. 10 D.14 E.5

11. Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado?

A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3

MATEMÁTICA


UNIDAD 04

FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

MATEMÁTICA


4.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES: a) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA. Observar el siguiente gráfico:

Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los

numeradores y se escribe el mismo denominador:

Ejemplo:

Efectuar: 13

9

13

37258

13

3

13

7

13

2

13

5

13

8

Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria.

Ejemplo:

Efectuar: 13

17

13

5271483

13

54

13

2

13

78

13

13

b) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS. Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca

transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo

denominador y se procede de la forma anteriormente vista.

Considerando los siguientes casos:

La parte sombreada es:

6

4

6

3

6

1

6

3

6

1

b

dca

b

d

b

c

b

a

c

gebfda

c

gf

c

ed

c

ba

MATEMÁTICA


1. DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS. Ejemplo 1. Efectuar: Ejemplo 2. Efectuar:

12

28

12

14115

12

14

12

1

12

15

26

27

12

1

34

35

6

7

12

1

4

5

2. MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).

Se seguirá el siguiente procedimiento:

Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como

DENOMINADOR del resultado.

Segundo:Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por

cada numerador; luego efectuar la suma de estos resultados.

Ejemplo 1. Efectuar:

3. REGLA DE PRODUCTO CRUZADO. Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños. Ejemplo 1. Efectuar: Ejemplo 2: Efectuar

Multiplicar por un factor a ambos términos de la

fracción, tal que los denominadoressean iguales.

8

1

8

643

8

6

8

4

8

3

24

23

42

41

8

3

4

3

2

1

8

3

¡Fracciones Equivalentes!

24

13

240

130

240

569096

30

7

8

3

5

2

MCM(5;8;30) = 240

=

40

2524

85

5583

8

5

5

3

17

3

7

2

7

2

17

334 21

119

13

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

I. Resolver con el método de “Denominadores múltiplos de otros”.

a) 12

5

6

7 b)

10

3

60

7

c) 3

1

5

2

45

41 d)

16

7

8

5

4

3

2

1

II. Resolver con el método de “Mínimo Común Múltiplo”.

a) 5

4

4

1

2

1

10

3

b) 5

1

4

1

3

1

2

1

c) 8

7

6

5

4

3

III. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”.

a) 3

2

9

5 b)

5

3

3

5 c)

2

9

7

5

d) 3

1

2

1 e)

2

1

8

3 f)

12

1

13

1

MATEMÁTICA


4.2. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE

FRACCIONES:

Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se

encuentran al interior de los signos de agrupación.

Ejemplo: resolver la siguiente operación:

También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.

60

87

60

2012153040

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

EJERCICIO

Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.

1.

5

1

2

1

5

1

7

2

6

1 =

2.

2

3

5

21

3

2

6

12

5

13 =

3.

7

11

2

5

3

1

2

12

7

11 =

4.

6

5

2

1

4

3

8

3

6

5

3

1 =

5.

2

4

3

7

52

7

5

2

1 =

60

87

60

47

3

2

3

1

20

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

MATEMÁTICA


4.3. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE FRACCIONES:

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los

denominadores entre sí.

db

ca

d

c

b

a

Ejemplos:

a) 63

10

79

25

7

2

9

5

b)

Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los

términos de la fracción, al exponente indicado.

n

nn

b

a

b

a

Ejemplos:

a) 49

4

7

2

7

22

22

b)

81

1

3

1

3

14

44

EJERCICIO

1. Escribir en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican:

X 5

3 4

1 7

5 3

2 9

4

21

57

76 7

4

21

35

2

7109

362

7

3

10

6

9

2

3

3 5

MATEMÁTICA


2. Multiplicar:

a) 53

12 =

3

355

3

7 b)

3

254 c)

5

11

4

13

d) 4

15

3

2 e)

2

12

5

3 f)

3

11

2

11

3. Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

b

a

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

2

1

8

1

2

3

5

2

5

3

4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que indica que se debe multiplicar.

Teniendo en cuenta este criterio, resolver los siguientes problemas:

a) Hallar los 3/5 de 20 b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?

c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 de 400 soles?

d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45 kg?.

e) ¿Los 3/5 de que número es 120?

f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3 de que número?

MATEMÁTICA


4.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES.

Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción

divisor invertida.

Ejemplo:

a) 9

8

33

42

3

4

3

2

4

3

5

2

b)

2

1

143

37

14

3

3

7

3

14

3

12

Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de

fracción:

cb

da

d

cb

a

Ejemplo:

a) 16

7

224

37

3

224

7

b)

5

7

120

47

4120

7

EJERCICIOS 1. Escribir en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican:

53

41

75

32

94

21

57

76 7

9

2. Escribir la expresión más simple equivalente a:

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

Fracción inversa

Producto de extremos

Producto de medios

MATEMÁTICA


a)

4

13

1

2

1

= b)

23

14

5

2

4

34

1

5

1

c)

24

1

3

1

2

1

4

1

d)

30

72

1

3

1

5

2

=

e)

28

3

1

35

65

19

7

3

7

10

5

2

= f) 3

2

1

2

3

1

1

114

12

1

7

1

=

4.5. RADICACIÓN DE FRACCIONES:

Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de

la fracción.

n

n

n

b

a

b

a

Ejemplo:

a) 5

1

125

1

125

13

3

3 b) 11

8

121

64

121

64

MATEMÁTICA


EJERCICIO 1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas

fracciones dadas.

a) 25

162

b)

9

12

c)

25

362

d) 64

492

e)

81

42

f)

49

1002

g) 100

12

h)

81

162

i)

121

252

2. Hallar la raíz en cada caso:

a) 3

8

27 b) 3

8

1 c) 3

1000

8

d) 25

16 e) 5

243

32 f) 4

625

16

g) 49

36 h) 3

125

27 i) 4

10000

81

4.6. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES.

1.

2

41

61

10

3

3

76

1

5

6

=

2.

3

31

1

51

1

31

1

21

1

91

1

=

MATEMÁTICA


3. 7

146

135

21

121

81

81

612

31

21

=

4.

6

1

4

13

1

2

1

8

1

1

=

5.

1

56

93

2

1

6

14

1

3

7

4

32

1

4

3

=

6.

5

7

3

1

5

3

13

2

1

5

2

1

=

7.

211

9

1

36

25

781

716

Comprobar respuestas:

Pregunta Nº 1 2 3 4 5 6 7

Respuesta 1 -4 1 4 4 1 85

PROBLEMAS APLICATIVOS

MATEMÁTICA


La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que

equivalía a la longitud de un pulgar.

Equivalencia:

1 pulgada = 2,54 cm.

1 pulgada = 25,4 mm

1 pie = 12 pulgadas

1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas Ejemplo:

8

"73 Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.

Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie.

32 Representa dos pies y 3 pulgadas. La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro

país principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso

industrial.

GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS.

Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8; 16;

… 2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128

divisiones (27= 128).

1” representa una PULGADA

1´ representa un PIE

Si se divide una pulgada en dos

partes iguales, cada parte es

1/2 pulgada.

Si se divide una pulgada en

cuatro partes iguales, cada

parte es 1/4 pulgada.

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_ingl%C3%A9s

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_de_medida

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_dimensional

http://es.wikipedia.org/wiki/Pulgar_%28dedo%29

MATEMÁTICA


A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la

pulgada, pie, yarda.

Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla

esta graduada en pulgadas.


ocho partes iguales, cada parte

es 1/8 pulgada.


dieciséis partes iguales, cada

parte es 1/16 pulgada.


treinta y dos partes iguales,

cada parte es 1/32 pulgada.

MATEMÁTICA


Escribir en el siguiente cuadro las lecturas realizadas:

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

8

71

Realizar las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:

a) + - =

b) x =

10 07

03 02 01

01 02 03 04 05 06 07

08 09 10 11 12 13 14

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A

1. Determinar la cota “Y” en la pieza representada.

2. Calcular “X” en la pieza. 3. Determinar la longitud C del tornillo, dibujado.

a) 616

11 ”

b) 532

1 ”

c) 16

3 ”

d) 6”

a)17

49 ”

b) 16

17 ”

c)316

1 “

d)46

14”

e)

a) 432

31 ”

b) 332

31 ”

c) 64

12 ”

d) 332

13 ”

c)

d)

e)

MATEMÁTICA


4. ¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela? 5. Completar el cuadro conforme las indicaciones del dibujo.

D c D

1” 8

"5

4

"3

32

"15

64

"35

32

311

16

"1

64

9

6. Un agujero de diámetro 8

"7 debe ser agrandado en

32

"5 más. ¿Cuál será el

nuevo diámetro?

a) 132

4 ” b) 132

1 ” c) 2” d) 2 641 ” e)3/4”

a) 18

5 ”

b) 17

3 ”

c) 25

3 ”

d)1”

e)

MATEMÁTICA


7. Una barra de bronce tiene 2

"132 de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden,

respectivamente 2

"16 ,

16

"138 ,

16

"910 y

4

"15 . Despreciando por pérdida de corte,

¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado?

a) 318

1 ” b) 315

2 ” c) 3116

1 ” d) 38

1 ” e) 8

1 ”

8. Una barra de hierro mide 2632

"25, si se divide en partes iguales de 2

32

"1 y se

pierde en cada corte 32

"1 ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

9. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener

18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la

medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)

a) 1¾” b) 1½” c) 22½” d) 2” e) 1¼” 10. Calcular la medida del diámetro interno de la arandela, representada.

11. Determinar las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C – D.

a)4

1 ”

b)3

1 ”

c)7

2 ”

d) 1/2”

21

21

21

e)

a)3”

b)2”

c)1”

d)4”

e)5”

MATEMÁTICA


12. Una barra de cobre mide 2632

"25, si se divide en partes iguales de 2

32

"1 y se

pierde en cada corte 32

"1 ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18 13. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener

18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la

medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra).

a) 1¾” b) 1½” c) 2½” d) 2” e) 1¼”

14. Dividir una barra de aluminio8

"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada

corte 32

1¿Qué longitud tendrá cada parte?

a)1 32

7 ” b) 1” c) 2 32

5 ” d) 16

7 ” e) 2”

15. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha:

Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas,

etc., los agujeros son equidistantes y simétricos.

a) 124

1 ”

b) 134

1 ”

c) 122

1 ”

d) 128

1 ”

MATEMÁTICA


16. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes: 17. Calcular “a” en la siguiente placa

18. La longitud de la circunferencia puede ser calculada, aproximadamente,

multiplicando su diámetro por ( = 3.14 = 7

13 ). Siendo así, completar el

cuadro siguiente, conforme el ejemplo.

DIÁMETRO CÁLCULOS LONGITUD

DE CIRCUNFERENCIA

2

13

"

117

22

2

7

7

13

2

13

"

11”

8

11

"

7

67

1pie 2pulg

Lc = D Donde:

r : radio de la circunferencia

D : Diámetro de la circunferencia

7

22 3,14 Lc = r2 .

a) 19 ½”

b)13”

c)14”

d) 13 ¼”

e) 7 1/8”

a)2 1/64”

b)2 1/32”

c)2 3/64”

d)3 ½”

e)3 1/64”

MATEMÁTICA


19. Completar el cuadro, usando:

Lc = D D = 2.r

LC = Longitud de

circunferencia Cálculos D = diámetro r = radio

4

35

"

88

731

88

161

22

7

4

23

7

13:

4

35

"

x 88

731

"

176

161"

2

12

"

6

515

"

4

3"

4

1"

20. ¿Cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el

radio de la rueda es de 21 cm?

Fórmula:

Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 5

“Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14

veces la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.”

D

LC

La circunferencia ha girado una vuelta completa

MATEMÁTICA


21. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12

ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcular la resistencia total.

a) 347

29b) 3

47

39c) 1d)

47

39e) 4

47

39

Fórmula: n321t R

1

R

1

R

1

R

1

R

1 . . .

22. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le

iba quedando, ¿Con cuánto se queda?

Solución:

30234

12023120

2

1

3

2

4

3

Se tiene al inicio Se pierde 1/2 queda 1/2 Se pierde 1/3 queda 2/3 R. Se quedó con S/. 30.

Se pierde 1/4 queda 3/4

Donde: Rt: Resistencia Total

R1 = 15

R1 = 12

R1 = 9

A B

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-B

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los

instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son

casados. ¿Cuál es el número de docentes?

a) 70 b) 120 c) 60 d) 56 e) 90

2. Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le

confió. ¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido.

a)1/8 b) 1/3 c)1/6 d)1/7 e)1/9

3. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco

más dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18

hojas en blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona?

a) 56 b)57 c) 55 d) 54 e) 75

4. Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que

posee y 8 hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se queda

con 61 hojas, ¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al primer

salón?

a) 800 b)500 c)600 d)400 e)700

5. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6

horas, y el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a la

vez, estando el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque?

a) 3 1/7 h b)3 2/7 h c)3 3/7 h d) 2 ½ e) 3 1/4

6. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12

horas y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6 horas,

¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren las tres

llaves a la vez?

a) 8h b) 7h c) 6h d) 5h e) 4h

7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja

caer desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer

rebote?

a) 50cm b)64 cm c)24cm d)62cm e)72 cm

MATEMÁTICA


8. Si se deja caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura, sabiendo

que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada rebote se eleva

2/3 de la altura anterior?

a) 81cm b)162cm c)324cm d)62cm e)72cm

9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3?

a) 5 1/5 b)5 7/9 c)5 2/5 d)5 1/9 e)5 1/3

10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me

deben?

a) S/.80 b)S/.100 c)S/.120 d)S/.140 e)S/.125

11. Se llena un recipiente de 3 litros con 2 litros de alcohol y el resto con agua.

Se utiliza una tercera parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se

utiliza la cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuánto de

alcohol queda en el recipiente?

a) 7/12 litro b)1 c)2/3 d)nada e)1/2

12. En una mezcla alcohólica de 20 litros de alcohol con 10 litros de agua, se

extrae 15 litros de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae 6

litros de la nueva mezcla y se vuelve a reemplazar por agua. ¿Cuántos litros

de alcohol queda al final?

a) 8 b)10 c)9 d)5 e)6

13. Un comerciante compró un cierto número de computadoras y el precio que

pagó por c/u era la cuarta parte del número de computadoras que compró. Si

gastó S/ 30976.00 ¿Cuántos computadoras compró?

a) 176 b) 88 c) 253 d) 352 e) 264

14. Un barril con cal pesa 3720 kg, cuando contiene 5/8 de su capacidad pesa

95/124 del peso anterior. Hallar el peso del barril vacía?

a) 2100 b) 1400 c) 1000 d) 7000 e)2400

MATEMÁTICA


UNIDAD 05

NÚMEROS DECIMALES

MATEMÁTICA


5.1. NÚMERO DECIMAL.

Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se obtiene al

dividir el numerador por el denominador.

Ejemplos:

(1) 37508

3, Resulta de dividir 3 entre 8.

(2) .....,44409

4 Resulta de dividir 4 entre 9.

(3) ....,233030

7 Resulta de dividir 7 entre 30.

5.2. TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO DECIMAL.

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

Cen

ten

as d

e M

illa

r

Dece

na

s d

e M

illa

r

Unid

ad

es d

e M

illa

r

Cen

ten

as

Dece

na

s

Unid

ad

es

dé

cim

os

ce

nté

sim

os

milé

sim

os

Décim

os d

e

milé

sim

os

o d

iezm

ilésim

os

Cen

tésim

os d

e

milé

sim

os

o c

ien

milé

sim

os

Mill

on

ésim

o

7 1 , 0 7 3 9

La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a derecha a

partir del coma decimal:

1° Orden decimal décimos.

2° Orden decimal centésimos.

3° Orden decimal milésimos.

etc.

MATEMÁTICA


5.3. LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES.

La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Se lee la parte

entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte

decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.

Los ejemplos siguientes esclarecerán cómo hacer la lectura de un número

decimal. Completar:

a) 12,7 doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos.

b) 3,125 tres ......................... y ciento veinticinco .......................................

c) 0,000 4 ........................ diez milésimos.

d) 3,1416 ..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos.

e) 8,30 ocho ......................... y....................................................................

f) 12,005 ...........................................................................................................

5.3.1. ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL.

Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte

decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde.

Observemos los ejemplos:

(1) Quince enteros y veintiséis centésimos : 15,26

(2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos : 6,002 3

Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0).

(1) 12 milésimos : 0,012

(2) 50 millonésimo : 0,000 050

Completar:

(1) Quince enteros y seis centésimos : .............................................

(2) Cuatro centésimos : .............................................

(3) Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................

MATEMÁTICA


(4) Veinticinco milésimos : ..............................................

Escribir como se lee, observando el ejemplo, y asociar las UNIDADES.

(1) 3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas)

(2) 0,50 soles ........................................................................

(3) 5,4 metros ........................................................................

(4) 2,5 pulgadas ....................................................................

(5) 3,175 centímetros ............................................................

(6) 8,0025 segundos .............................................................

Observar cómo se pueden resolver los siguientes problemas:

(1) ¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos? Representación

Literaria

1000

x =

100

54Representación

Matemática

Despejando “x”: x = 540 “Rpta: hay 540 milésimos en 54 centésimos”

(2) ¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de

centésimos?

100

x .

10

1 =

10000

20000 .

100

1

x = 20

Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de

centésimos.

(3) ¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos?

(4) ¿Cuántos cienmillonésimos de centésimos hay en 4,52

diezmilésimos?

(5) ¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000

diezmillonésimos de milésimo?

MATEMÁTICA


5.4. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES.

1º. Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS

A SU DERECHA.

Ejemplos:4,8 = 4,80

(1) 4,8 = 4,800 000 0

(2) 312,240 000 00 = 312,24

(3) 7,500 0 = 7,50

2º. Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o más

lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida

de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal.

Ejemplos:

(1) 0,253 100

3252530

,,

210

3252530

,,

2103252530 ,,

(2) 0,000002 10000

0200000020

,,

410

0200000020

,,

4100200000020 ,,

(3) 0,0075 = 41075

2 lugares

Potencia de 10

con exponente

negativo

2 lugares

4 lugares

Potencia de 10

4 lugares

4 lugares Potencia de 10

4 lugares

MATEMÁTICA


EJERCICIOS:

(1) 0,007 = 7 x 10.....

(2) 0,00016 = 16 x 10.....

(3) 0,000064 = 64 x 10.....

(4) 0,0025 = 250 x 10.....

(5) 0,06 = 6000 x 10.....

3º. Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o

más lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la unidad

seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.

Ejemplos:

(1) 70002,5 = 10000000257 ,

= 410000257 ,

(2) 2000 = 10002

= 3102

(3) 50000000 = 61050

EJERCICIOS:

(1) 8302,5 = 83,025 x 10.....

(2) 160,5 = 0,1605 x 10.....

(3) 6400000000= 6,4 x 10.....

(4) 25000000000 = 25 x 10.....

(5) 3200000000000 = 32 x 10.....

4 lugares

Potencia de 10 con exponente positivo

4 lugares

3 lugares

Potencia de 10 con exponente positivo

3 lugares

6 lugares

MATEMÁTICA


5.5. COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo

negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica.

Ejemplo: Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser

negativo.

2º. Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente

modo: se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma

decimal y comparar como si fueran números enteros.

Ejemplos:

(1) Comparar 3,2 con 3,574

Como el primer número tiene sólo un decimal, se le agrega DOS CEROS

para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno:

3,200 3,574

Ahora, se elimina la coma decimal en ambos números:

3 200 3 574

Como 3200 es menor que 3574, entonces:

3,2 3,574

(2) Comparar -2,31 con - 2,310 000

Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la derecha

del segundo número dado:

Entonces ambos números quedarán así:

-2,31 = -2,31

MATEMÁTICA


5.6. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad

limitada de cifras decimales.

Ejemplos: 0,25 ; 2,75 ; 1,2

- Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el

denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2 ó de 5 ó de

ambos (la fracción tiene que ser irreductible).

Ejemplos:

(1) La fracción 32

17 ¿Equivale a un número decimal exacto?

La fracción debe ser irreductible32

17

Descomponiendo el denominador: 52

17

32

17

Entonces 32

17 da origen a un número decimal exacto:

32

17 = 0,53125

Potencia de 2

NÚMERO DECIMAL

NÚMERO DECIMAL RACIONAL

PERIÓDICO PURO

PERIÓDICO MIXTO

NÚMERO DECIMAL IRRACIONAL.-

NÚMERO DECIMAL EXACTO

NÚMERO DECIMAL INEXACTO

(Se pueden escribir como Fracción; tienen Generatriz)

(tienen Período)

Números decimales inexactos que no tienen período; resultan de las raíces inexactas.

Ejemplo: 2 = 1,414213562373095 . . . .

= 3,1415926535897932 . . .

MATEMÁTICA


(2) La fracción 375



8

375

24

Se descompone el denominador: 35

8

125

8

Entonces 375


375

24 = 0,064

(3) La fracción 80



13


13

80

134

Entonces 80


80

13 = 0,1625

¿Se puede saber cuántas cifras decimales tendrá el número

decimal resultante antes de efectuar la división?

Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5 en el

denominador de la fracción irreductible.

Ejemplo:


13

80

134

Entonces 80

13 al convertirlo en número decimal, tendrá solamente 4

cifras decimales. Comprobar con 500

2071.

NÚMERO DECIMAL INEXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad

ilimitada de cifras decimales.

Potencia de 5

Potencia de 2 y 5

Potencia de 2 y 5. El mayor exponente es 4

MATEMÁTICA


A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO: Es aquel en cuya parte decimal aparece una

o un grupo de cifras llamado período que se repite indefinidamente a partir

de la coma decimal.

Ejemplo: 0,27272...... = 0,27

¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un

DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Se simplifica la fracción hasta que sea irreductible.

2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.

3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los factores

del denominador son distintos a 2 y 5.

Por ejemplo: 1/7; 2/3; 5/63

B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO: Es aquel cuyo período empieza luego de una

cifra o grupo de cifras después del coma decimal. A esta cifra o grupo de

cifras se denomina parte no periódica.

Ejemplo: 0,7312512512........ = 0,73125

¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un

DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Simplificar la fracción hasta que sea irreductible.

2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.

3º. El número decimal correspondiente será periódico mixto si los factores

del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros factores primos

distintos de 2 y 5.

Por Ejemplo: 2/15 ; 6/35 ; 5/24

PERÍODO (2 cifras)

Parte No Periódica

Parte Periódica

MATEMÁTICA


5.7. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL.

Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La

fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.

A. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO:

1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal.

2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros como

cifras tenga la parte decimal

Ejemplos:

a) 0,75 = 100

75

b) 2,058 = 1000

2058

B. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO :

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA

PARTE ENTERA NULA :

1º. En el numerador escribimos el período.

2º. En el denominador se escribe tantos nueves como cifras tenga el

período.

Ejemplo:

a) 0,54 = 99

54 =

11

6

b) 0,1 = 9

1

2 cifras decimales

2 ceros

3 cifras decimales

3 ceros

2 CIFRAS 2 NUEVES

MATEMÁTICA


CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA

PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO:

1º. Se desdobla la parte entera de la decimal, así:

3,54 = 3 + 0,54

2º. Escribir la fracción generatriz de la parte decimal :

3,54 = 3 + 99

54

3º. Finalmente, volver a sumar, pero ahora como una suma de

fracciones:

3,54 = 3 + 99

54

= 3 + 11

6

= 11

39

C. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NULA:

1º. En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el número

decimal sin el coma y se resta la PARTE NO PERIÓDICA.

2º. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras tenga el

PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga la PARTE

NO PERIÓDICA.

Ejemplos:

(1) 0,235 = 990

2235

0,235 = 990

233

(2) 0,372 = 900

37372

0,372 = . . . Completar.

2 cifras 2 nueves

1 cifra 1 cero

MATEMÁTICA


CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO

NULA :

Se procede a desdoblar la parte entera de la decimal.

Ejemplo:

3,254 = 3 + 0,254

3,254 = 3 + 900

25254

3,254 = 3 + 900

229

3,254 = 900

2999

5.8. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

Si se trata de decimales exactos, se busca que tenga la misma cantidad de cifras

en la parte decimal completando con ceros.

Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma

decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de

números enteros.

En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical

que las demás.

Ejemplos:

(1) Efectuar: 0,3 12,78 3,2057

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

0,3000

12,7800

3,2057

16,2857

Se efectúa como si fueran enteros :

La coma conserva el lugar de los demás

MATEMÁTICA


(2) Efectuar: 78,13 9,087

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

78,130

9,087

69,043

Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices:

Ejemplos:

(1) Efectuar: 0,3 2,5 1,6

Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus fracciones

generatrices:

=9

61

9

52

9

3

=9

143

= ....,55549

41

Respuesta: 0,3 2,5 1,6 = 4,5

(2) Efectuar: 31,62 - 7,36

Solución: Reemplazar los decimales periódicos mixtos por sus fracciones

generatrices:

=

90

3367

90

66231

Suprimiendo los paréntesis =90

337

90

5631

=90

2324

90

2183=24,25=24,2555…

Efectuando como si fueran enteros :

La coma conserva el lugar de los demás

MATEMÁTICA


5.8.1. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

DE DECIMALES.

Viendo un ejemplo:

Efectuar:

2202501011350251 ,,,,,,

Eliminando paréntesis = 2202501011350251 ,,,,,,

Suprimiendo corchetes = 2202501011350251 ,,,,,,

Suprimiendo llaves = 2202501011350251 ,,,,,,

Se suman los positivos y negativos por separado

= 0250502210113251 ,,,,,,

= 16,65 – 0,525

= 16,125

Ahora, resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento:

(1) 1525407625518 ,,,,,

A) 41,75 B) 31,75 C) 41,57 D) 75,41 E) 75,31

(2) 12750400320080 ,,,,,

A) 2,75 B) 3,50 C) 1,578 D) 2,498 E) 5,310

(3) 1020850238502010 ,,,,,,,

A) 4,6 B) 3,50 C) - 1,5 D) 2,4 E) - 3,2

(4) ...,...,...,..., 330221110220

A) 2/9 B) –11/9 C) –5/9 D) 1 E) 2

(5) ...,,...,,...,, 44075022050330250

A) 11/18 B) –11/18 C) 7/9 D) 12/7 E) 1

MATEMÁTICA


(6) 3 décimos 85 milésimos + 458 centésimos

A) 4,965 centésimos B) 496,5 milésimos C) 49,65 centésimos

D) 496,5 centésimos E) 49,65 milésimos

(7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos

A) 7363 centésimos B) 7363 milésimos C) 736,3 décimos

D) 73,63 centésimos E) 736,3 milésimos

(8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos

A) 0,24 B) 2,4 C) 1,5 D) 4,24 E) 3,2

(9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene Oswaldo?

A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50

Comprobar respuestas: 1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C

5.9. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS

DECIMALES.

5.9.1. Multiplicación y División por potencias de 10.

Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la

derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr

la coma decimal para la izquierda.

Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó

aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el

valor:

MATEMÁTICA


Ejemplo 1:

Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102. Basta correr la coma decimal

dos órdenes hacia la derecha.

Entonces: 47,235 x 100 = 4723,5 El valor relativo de 7 pasó ser 700

Corre 2 espacios a la derecha

Además: 38,31152 x 1000 = 38311,52 8 pasa a ser 8000

Corre 3 espacios a la derecha

Completar a simple vista:

a) 0,2356 x 1000 = _______

b) 0,7568565 x 100000 = ______

c) 0,012021 x 100000 = ______

d) 1,2 x 1000 = ________

e) 0,26 x 102 = ________

f) 0,000005 x 105 = ________

g) 2,58 x 104 = ________

h) 10,3 x 103 = ________

i) 0,5 x 105 = ___________

Verificar los resultados y corregir, si es necesario:

a) 235,6

b) 75685,65

c) 1202,1

d) 1200

e) 26

f) 0,5

g) 25800

h) 10300

i) 50000

MATEMÁTICA


Ejemplo 2:

Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres

órdenes hacia la izquierda.

Así: 13,235 1000 = 0,013235 El valor relativo de 13 enteros pasa a ser

0,013 (trece milésimos).

“Corre 3 espacios a la izquierda”

O también: 352,7 100 = 3,527 El valor relativo de 300 pasa a ser 3. “Corre 2 espacios a la izquierda”

Completar a simple vista, según el ejemplo:

a) 385,2 100 = 3,852

b) 2500 10000 =

c) 2335,8 100000 =

d) 25000000 105 =

e) 3,20 104 =

f) 3002,4 107 =

g) 30000000 109 =

Verificar la respuesta:

b) 0,25

c) 0,023358

d) 250

e) 0,00032

f) 0,00030024

g) 0,03

5.9.2. MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10.

MATEMÁTICA


Recordar que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales,

entonces 6,33 puede efectuarse como sigue:

3,6 + Complete el ejercicio: 0,175 + x

3,63,6 x 0,175 3,6 3

10,8 10,8

Por tanto, para multiplicar números decimales:

Ejemplos:

a) 5 x 1,41 = 7,05

b) 1,732 x 5 = 8,660 8,66

c) 0,012 x 1,2 = 0,0144

d) 1,25 x 1,4 = 1,750 1,75

Observar cómo se forman los resultados en los dos últimos ejemplos:

0,0123 órdenes decimales 1,25 2 órdenes decimales

1,2 1 orden decimal 1,41 ..........................

24 500 12 125

0,01444 ordenes decimales 1,750 ...............................

Resolver los siguientes ejercicios: 23,12 x 24,786 x 0,0048 x 0,14 2,5 3,9 Rpta.: 3,2368 Rpta.: 61,965 Rpta.: 0,01872

Se multiplican los números como si fuesen enteros, y en el producto se separan tantos decimales, como tengan los

factores.

MATEMÁTICA


Observar el primer ejemplo y escribir la respuesta (a simple vista) de los ejercicios

de reforzamiento que continúan.

0,35 x 0,2 x 0,0006 = 420 Se multiplica como si fuesen números enteros 2 cd + 1 cd + 4 cd = 7 cd Se completa con ceros, las cifras decimales que faltan.

= 0,0000420

= 0,000042

a) 0,005 x 0,06 =

b) 0,15 x 0,05 =

c) 5 x 0,0054 =

d) 2,48 x 0,005 =

e) 0,5 x 0,624 =

f) 3,20 x 0,5 =

g) 3,4 x 0, 11 =

h) 2,5 x 1,1 =

i) 0,071 x 0,011=

j) 1,2 x 1,1 x 0,01 =

k) 0,03 x 0,002 x 0,1 =

l) 4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 =

Comprobar las respuestas:

a) 0,00030

b) 0,0075

c) 0,0270

d) 0,01240

e) 0,3120

MATEMÁTICA


f) 1,60

g) 0,374

h) 2,75

i) 0,000781

j) 0,0132

k) 0,000006

l) 0,00040

5.9.3. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Por definición de potenciación, se sabe que:

(0.2)3 = (0.2) (0.2) (0.2) = 0.008

Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una

forma práctica, por ejemplo:

(0,03)4 = 0.00000081

Resolver mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro siguiente:

1. (0.003)2 = 2. (0.07)2 = 3. (0.2)5 =

4. (0.05)3 = 5. (0.012)2 = 6. (0.13)2 =

5.10. DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10.

Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo será:

13 5

2 caramelos para cada niño 3 sobrando 3 caramelos

2 cifras decimales

(0,03)4 = 0.00000081 Multiplicar la cantidad de cifras

decimales por el exponente.

8 cifras decimales =

Hallar la potencia de la cifra

significativa: 34 = 81

MATEMÁTICA


Propiedad:

Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K”, y se

repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el verdadero

residuo varía quedando multiplicado por el número “K”.

Comprobando, multiplicar al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por 4 y

volver a dividir:

52 20

2 El cociente no varía 12 el residuo quedó multiplicado por 4

Comprobando otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por 100,

y volviendo a dividir:

1300 500

2 El cociente no varía 300 el residuo quedó multiplicado por 100

Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones con

números decimales.

Tomando por ejemplo, la división 39,276 0,5. Observar que el divisor se

convierte en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo y al

divisor (recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número decimal,

se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:

3 9 2 , 7 6 5

4 2 7 8 , 5 5 Cociente

0 2 7 0 0 2 5

0 0 0 , 0 1 0,01 es el Residuo falso (quedó multiplicado

por 10)

El verdadero residuo es 0,01 10 = 0,001.

Respuesta: Al dividir 39,276 0,5 se obtiene Cociente: 78,55 Residuo: 0,001

MATEMÁTICA


Comprobando, utilizando el Algoritmo de la división: Dividendo = divisor x cociente + residuo

39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001

Desarrollar los siguientes cálculos como comprobación: 78,55 x + 0,5

Luego, se llega a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en el

divisor, se sigue la siguiente regla:

Realizar la división de 38,49 entre 0,6 y confirmar el resultado como se hizo con el

ejemplo anterior.

EJERCICIOS:

1. Convertir en enteros los divisores, como el ejemplo:

a) 4,6 0,02 460 2

b) 1,45 0,5

c) 8 0,001

d) 4 1,25

e) 1,2 4,325

f) 4,82 1,4

g) 6,247 21,34

Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10. Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número (Potencia de 10). El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el

mismo número (Potencia de 10).

MATEMÁTICA


2. Dividir siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en milésimos y

además indicar cuál es el verdadero residuo.

Verdadero Residuo = 0,007 100 = 0,00007

a) 0,17 15 =

b) 0,1 0,03 =

c) 0,325 0,19 =

d) 25,0087 3,02 =

Corregir los ejercicios 1 y 2: 1. b) 14,55

c) 80001

d) 40025

e) 12004325

f) 48,214

g) 624,721,34

2. a) Cociente = 0,011 Residuo = 0,005

b)Cociente = 3,333

Residuo = 0,00001

c) Cociente = 1,710

Residuo = 0,0001

d)Cociente = 8,281 Residuo = 0,00008

MATEMÁTICA


EJERCICIOS: 3. Calcular la distancia “x” de la pieza.

4. Halla la medida de la distancia de “x”.

5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente. Calcular

el valor de “x”.

Comprobando respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5:

3. 1,9

4. 0,865

5. 1,95

x 5,7 m

x

x

x

2,15 m

3,015 m

A

1 B

C D

O

P

x

6,24 7,02

15,6

MATEMÁTICA


5.11. RADICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Definición de una radicación: Reconociendo qué números decimales tienen raíz exacta a simple vista.

Por ejemplo, hallar la raíz cúbica de 0,000064: 3 000064,0

Primero, analizar si la cifra significativa del

número decimal tiene raíz exacta.

Bien, ahora se tiene que contar la cantidad de

cifras decimales. Esta debe ser múltiplo o

divisible por el índice radical.

Si cumple estas dos condiciones, entonces se puede afirmar con seguridad que el

número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta.

Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera:

Hallar la raíz de la parte significativa.

Dividir la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este cociente

indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la raíz.

Ejemplo, hallar: 4 06250,00000000

3 000064,0

4643

3 000064,0

6 cifras decimales y es divisible

por el índice radical que es 3

6 cifras decimales

0,04 0,0000643

2 cifras decimales

4643

12 cifras decimales 56254

0,005 06250,000000004

3 cifras decimales

nnn a b b a

n : índice radical a : radicando b : raíz

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

I. Completar el siguiente cuadro a simple vista, no usar calculadora.

¿Tiene raíz

exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es?

¿Tiene raíz exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es?

1,44 sí 1,2 3 0,000008

0,0625 3 0,125

0,000049 3 0,027

1,21 3 0,0001

0,00000036 4 0,00000081

0,00009 5 0,00001

II. Resolver las siguientes operaciones combinadas con números decimales

1. 8

3 0,360,0270,09

Rpta: 0

2.

0,5

0,000010,1250,008 533

Rpta: 1,2

3. 4000,95 0,00000001 - 0,0270,000064 436

Rpta: 2

4. 0,0001- 0,000000250,000004

Rpta: 0,2

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una rueda de 0,12 m de longitud

¿Cuántas vueltas dará al recorrer 1,80

m?

Solución: Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia)

Distancia recorrida = # vueltas x Lc. 1,80 m = # vueltas.(0,12 m)

15 = # de vueltas

2. Para comprar 20 tornillos faltarían 8

céntimos de sol, si se compran 15

tornillos, sobraría S/. 0,12. ¿Cuánto vale

cada tornillo en soles?

Solución: Se tiene : T Precio de cada tornillo : P

20P = T + 0,08 15P = T - 0,12

5P = 0,20 P = 0,04

3. ¿En cuántos ochentavos es mayor 0,32

que 0,1325?

Solución:

15 x

)80.(0,1875 x

0,1325 - 0,3280

x

4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y el

aceite vale S/. 3,75 más que el frasco;

entonces el precio del frasco es:

Solución: Frasco : F Perfume : P

F + P = 4,75 P - F = 3,75 2F = 1 F = 0,50

5. Efectuar:

333266697

3555243555924E

,...,

...,...,

Solución:

100

900E

= 3

6. En el dibujo hallar a - b + c

Solución:

3R = 19,50 R = 6,50 a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 =

8,75 b = 2R = 13 c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 = 16,25

Restar miembro a

miembro.

Restando miembro

a miembro.

3,25 mm

21,75 mm

19,50 mm

a

c

b

R

R

MATEMÁTICA


a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25

a - b + c = 12 mm

7. Guido da a un mendigo tantas veces 15

centavos como soles llevaba en la

billetera. Si aún le queda S/.

170.00 ¿Cuánto llevaba en la billetera?

Solución: Soles que llevaba en la billetera : x

x - 0,15 x = 170 0,85x = 170 x = 200

8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el

ciento; se echan a perder 20 y los

restantes los vendo a S/. 0,84 la

docena. ¿Cuánto se gana?

Solución: Quedan por vender 180 alfileres que es igual a : 180/12 = 15 docenas Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/. 12,60 Se Invirtió: S/. 10 por los dos cientos. Ganancia: S/.12,60 - S/. 10,00 = S/. 2,60

9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas

por S/.160,72 sabiendo que en los 40

primeros kg ha ganado S/. 0,60 por kg y

en los restantes ha perdido S/.0,35 por

kg ¿Cuál fue el precio de compra?

Solución: En los 40 kg., ganó= 40.(0,60) = S/. 24 En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg perdió = 20,80.(0,35) = 7,28 Ganancia liquida: 24 – 7,28 = S/. 16,72

P. de Compra = P. de Venta - Ganancia P. de Compra = 160,72 - 16,72 = S/.144

10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205?

Solución:

Fracción = 025,6

205,1 = 1/5


1. Tres cajas contienen diferentes artículos. La primera con segunda pesan 76,58

Kg., la segunda con la tercera 90,751 Kg. y la primera con tercera pesan 86,175

Kg. ¿Cuánto pesa la segunda caja?

a) 40,84 Kg. b) 50,17 Kg. c) 40,578 Kg .d) 42,57 Kg e) 48,25 Kg.

2. Un depósito de 425,43 litros de capacidad, se puede llenar con dos caños .La

primera vierte 25,23 litros en 3min. y la segunda 31,3 litros en 5min. Si trabajan

los dos juntos,¿en cuánto tiempo podrán llenar el depósito?

a) 27min b) 28min c) 29min d) 30min e) 8min

MATEMÁTICA


3. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de un

terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?

a) 60,254 m b) 162,558 m c) 54,058 m d) 156,915 m e) 52,128 m

4. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro

cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 e) S/. 70

5. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la

recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió,

subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

6. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?

a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000

7. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para

comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada uno

le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos?

a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162

8. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/.

0,6. ¿Cuántos lápices tengo?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

9. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de

pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto

sobrará de la barra en cm?

a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28

MATEMÁTICA


2

52

0000040

00200060

,

,,

18,3m

r R

8,4 m

L

10. En el recorrido de un micro se observo que en total Viajaron 63 personas entre

adultos y universitarios. Si el pasaje de un adulto es S/. 1,25 y el de un

Universitarios S/.0,75. ¿Cuántos adultos viajaron, si en total se recaudó S/.

64,75?

a) 28 b) 53 c) 35 d) 45 e) 42

11. Si tiene 5 cajas y en cada caja hay 2,5 docenas de paquetes de medio ciento

de lápices cada uno. Si en total se pagó s/.9 975. ¿A cómo tiene que vender

cada ciento de lápices para ganar S/. 0,65 en cada lápiz?

a) 140 b) 192 c) 190 d) 198 e) 178

12. Calcular la suma de cifras de M.

Si:

611

22521025040M

,

,,,

a) 14 b) 11 c) 10 d) 19 e) 9

13. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su

capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos

litros de vino se extrajo?

a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 e) 60

14. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m

a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m

15. Efectuar la siguiente operación.

a) 91072 b) 1 c) 41036 d) 41063 , e) 21018

MATEMÁTICA


35218T ,

2636910

,,

16. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, hallar la raíz cuadrada de “M” a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4 17. Hallar el valor de “E”

31380375032E

,,,,

a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333… 18. Hallar el decimal equivalente a: a) 6,4 b) 12 c) 8 d) 8,25 e) 5,444…

19. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de un

terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?

a) 60,254 m b) 62,558 m c) 54,058 m d) 56,915 m e) 52,128 m

20. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro

cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 e) S/. 70

21. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la

recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió,

subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

22. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?

a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000

23. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para

comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada

uno le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos?

a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162

MATEMÁTICA


2

52

0000040

00200060

,

,,

24. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/.

0,6. ¿Cuántos lápices tengo?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

25. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de

pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto

sobrará de la barra en cm?

a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28

26. Calcular la suma de cifras de M.

Si:

611

22521025040M

,

,,,

a) 14 b) 11 c) 10 d) 19 e) 9

27. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su

capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos

litros de vino se extrajo?

a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 e) 60

28. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m

a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m

29. Efectuar la siguiente operación.

a) 21072 b) 1 c) 41036 d) 41063 , e) 21018

L

r R

13,6m

8,4 m

MATEMÁTICA


35218T ,

2636910

,,

30. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, halle la raíz cuadrada de “M”

a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4 31. Hallar el valor de “E”

31380375032E

,,,,

a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333…

32. Hallar el decimal equivalente a:

a) 6,4 b) 12 c) 8 d) 8,25 e) 5,444…

33. Pierdo s/.19 al vender 95 pelotas a s/.9,65 cada una.¿Cuál es el precio de

compra de una gruesa de pelotas?

a) S/.1418,40 b) S/.1400 c) S/. 985 d) S/.1280 e) S/. 1346

MATEMÁTICA



1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se venden 4 pernos por S/0,50 ¿Cuántas

docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40? A) 12 B) 10 C) 8 D) 18 E) 24

2. Efectuar : 1

...555,0...444,1

...31414,0...31414,8

B

A) 1/2 B) 2/3 C) 4 D) 1/4 E) 2

3. Se vio una muestra de bronce que pesaba 4,55 kg, contenía 3,18 kg de cobre y 1,37 kg de zinc. ¿En 500 kg de bronce cuánto cobre habrá? (Nota: la razón de cobre a bronce será constante en cualquier cantidad de bronce) A) 300 kg B) 250 kg C) 324 kg D) 349 kg E) 180 kg

4. En una tienda hay arroz de dos calidades cuyos precios son S/. 2,00 y S/. 1,50 el kg. ¿Cuántos kg de arroz de mayor precio se deben poner para obtener una mezcla de 50 kg de arroz de S/ 1,80 el Kg? A) 30 kg B) 25 kg C) 32 kg

1.1.1.1.1.1.1 D) 49 kg E) 18 kg

5. Se quiere formar un cubo sólido con ladrillos cuyas dimensiones sean 0,12m; 0,10m; y 0,18m. ¿Calcule el menor número de ladrillos? A) 3000 B) 2500 C) 3240 D) 2700 E) 2800

6. ¿Cuántas de las siguientes fracciones generan números decimales inexactos periódicos mixtos?

47

43

16

5

30

301

41

17

900

9

60

23;;;;;

A) 1/2 B) 2 C) 4 D) 3 E) 1

7. Hallar 3

R, si:

),)(,)(,(

),)(,)(,(

00701500020

2520000500280R

A) 1,20 B) 2,50 C) 1,50 D) 0,80 E) 0,50

MATEMÁTICA


UNIDAD 06

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

MATEMÁTICA


6.1. POTENCIACIÓN. Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como

factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta

operación potencia.

Ejemplos:

a. 625555554 b. 2733333

c. 7771 d. 322222225

e. 27

8

3

2

3

2

3

2

3

23

f. 125,05,05,05,05,0

3

6.2. SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN. El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.

a. PositivoPositivo impar o Par

b. PositivoNegativo Par

c. NegativoNegativo Impar

Ejemplos:

a. (+2)4 = +16 b. (+2)5 = +32

c. (-2)4 = +16 d. (-3)2 = +9

e. (-2)5 = -32 f. (-3)3 = -27

g. 81

16

3

24

h.

64

1

4

13

NOTA: Observar el siguiente ejemplo:

81 - 3333 - 3- 4 “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que:

81 3333 - 3-4

“El exponente afecta al signo y al número 3”

P bn

b : base

n : exponente

P : potencia

P b....bbb bn

“n” veces

MATEMÁTICA


Por lo tanto: -34 ≠ (-3)4 6.2.1. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLO

Exponente cero

a0 = 1; (a ≠ 0)

00 = Indeterminado

a) 177 00

b) 0

2173 Indeterminado

Producto de potencias de igual base

an x am = an+m 83535

222x2

Cociente de potencias de igual base

m-n

m

n

aa

a

538

3

8

222

2

Exponente negativo

n

n

n

a

1

a

1a

n

nnn

a

b

a

b

b

a

22

3

4

4

3

Potencia de un producto nnn

baba 44 444 x25x25

Potencia de un cociente n

nn

b

a

b

a

2

22

4

3

4

3

Potencia de una potencia bccb aa 15x5353

222

Exponente de exponente

cc bb aa 9x333 222

2

Potencia de la unidad 1n = 1 a) 18 = 1 b) 115 = 1

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

Completar el número que falta en el casillero correspondiente:

1) (-5)3 = 2) (+7)2 = 3) (-1)715 =

4) (-10)3 = 5) (-9)2 = 6) (-4)3 =

7) (+5)3 = 8) (+1)17 = 9) (-7)3 =

10) (-4)4 = 11) (-1)13 = 12) -113 =

13) (-1)80 = 14) -180 = 15) (-5+5)3 ─ 3 =

16)

3

5

2

= 17)

3

5

2

= 18)

3

3

2 =

19)

4

5

2

= 20)

4

5

2

= 21)

4

3

2 =

Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades

1) 77777327

2)

17

17

1717373

125250

3) 33279278583

4)

882137

5)

19

13

19

1369

6) 1313..5.3.2.

7) 5..2..35233.564

8) 3.0.58.

57.77.20.19253

9) 15153155615915

MATEMÁTICA


10) 9987..........9.

9517

11) 15535312.27.3.9.4.

12)

2

7

7

28

3.

13)

2

5

3

14) 2

13

15)

11111111

3

11

11

7

7

5

5

3

=

Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

b

a

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

2

1

3

2

2

1

2

3

5

2

6.3. RADICACIÓN.

La RADICACION es una operación inversa de la potenciación.

En la potenciación se vio que:

23= 2 x 2 x 2 = 8.

Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente se

tiene:

MATEMÁTICA


3 8 = 3 32 =2

Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Se dice que 2 es la raíz ………………de 16.

La notación será:

....................164

O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2.

Al trabajo de sacar raíz se denomina RADICACIÓN, que es una operación

inversa de la POTENCIACIÓN.

OBSERVACIONES:

A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CÚBICA.

A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA.

Así mismo:

23 = 8 3 8 = 2 (se lee RAÍZ CÚBICA DE OCHO)

15 = 1 5 = 1 (se lee RAÍZ……………………………………………… )

32 = 9 2 = 3 ( se lee……………………………………………………)

51 = 5 …...= 5 (se lee RAÍZ PRIMERA DE CINCO RAIZ……………

Ver los nombres de los términos de la radicación

Luego:

La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b |R y n |N,

un número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota n b

Radicación: |R x |N* |R

MATEMÁTICA


(b, n) n b = a an = b

Donde:

Si b> 0, entonces a > 0

Si b >0 entonces a< 0 (si existe)

Ejemplos:

a) 3,0027,03

b) 36 = no existe en el conjunto de números reales (R)

ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA.

Se va a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar cómo se hace. Suponiendo que se quiere hallar la raíz cuadrada de 59074

En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a

izquierda así:

5.90.74 Buscando un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2. Se escribimos el 2 en la caja de la derecha:

Se eleva 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1:

Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la

derecha, o sea el cero.

MATEMÁTICA


Se pone el doble de 2 debajo, o sea un 4:

Y se divide 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se

multiplica por 4 el 44:

Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la derecha

del 2:

Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la

derecha:

Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48:

MATEMÁTICA


Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483

por 3:

Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto:

De tal forma que: 59074252432 “Donde 25 es el residuo de la radicación.” Si el número del que se quiere hallar la raíz es decimal la separación de las cifras

de dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda.

Si en la raíz cuadrada anterior se quiere sacar decimales, se bajan dos ceros a la

derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo

procedimiento.

MATEMÁTICA


EJERCICIOS.

Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números e indicar su raíz cuadrada, el

residuo y realizar su comprobación.

Número Raíz cuadrada Residuo Comprobación

58708 242 144 14424258708 2

99500

734449

1522756

RAÍZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES PRIMOS.

Se va a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método descomposición

en sus factores primos.

Primero. Descomponer en sus factores primos el número 435600.

2224 11532435600

Segundo. Extraer la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de radicales

(Raíz de una multiplicación indicada).

660115321153211532435600 222242224

Entonces 660435600

Otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000.

60532532216000 23 3363

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

Calcular la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilizar le método de

descomposición de factores primos.

Número Procedimiento Respuesta

3 2744 1472722744 3 333 14

7744

4 50625

18225

6.3.1. SIGNOS DE LA RADICACIÓN.

SIGNOS DE LA RADICACIÓN EJEMPLOS

a) Impar o Par

1) 381 4

2) 232 5

3) 11 724

4) 11 725

b) - Impar

1) 464 3

2) 11 547

c) Par No existe en el conjunto

de números reales (R)

1) 4 16 No existe en R.

2) 540 1 No existe en R.

MATEMÁTICA


6.3.2. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLOS

Raíz de un Producto

nnn b.aab

1) 1243 333 642764x27

2) 30103 4444 1000811000081810000

Raíz de un Cociente .

n

n

n

b

a

b

a

1) 10

4

10000

256

10000

2564

4

4

2) 77

30

117

65

12149

3625

12149

3625

Raíz de una Potencia n

bb

a aa nn b

1) 4 ) (2 2 2

33 2 88

2) 27333 335105

35 105 ¡Se simplifica el exponente

fraccionario!

3) 255125125125 2233 215 10

¡ Se simplifica el

índice radical con el exponente!

4)5

56

5

78

5

492

5

492

5

72 23

6 6

6 36 18

66

318

Raíz de una raíz

n.mn a.a m

1) 204 5 77

2) 7777 132 328 4 32

3)

169

6

169

23

13

83

13

83

13

832

31

120 240

120 40120 120

3 8240

40120

5

MATEMÁTICA


Consecuencia de las propiedades anteriormente mencionadas

n m baba mnn

1)63 233 525858

2)

623

168116811681 44

n nn baba

1) 753535 2

2) 33 33 80102102

p.m.nn m p cba xx.x

c ).p b m . a (

x

Ejemplo:

6

13

12

26

232

22)333(

3 233 2222248.8

32

6.3.3. RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES

SEMEJANTES.

Radicales Homogéneos.Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical.

Ejemplos:

a) 7 ; 8 ; 65 ; 5

23 “Todos son raíces cuadradas”

b) 3 25 ; 5

33

; 3 7 ; 3 5 “Todos son raíces cúbicas”

Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical y

la misma cantidad subradical.

Ejemplos:

a) 7 ; 5

73; 72 “Todos son raíces cuadradas de siete”

x + x +

MATEMÁTICA


b) 3 25 ; 5

23

; 3 2 ; 3 24 “Todos son raíces cúbicas de dos”

6.3.4. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.

Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener

factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz.

Ejemplos:

1) Simplificar 720

Se descompone 720 en sus factores primos: 532720 24

Algunos factores tienen exponentes divisibles por el índice radical; se procede a extraer esos factores:

512532532720 224

2) Simplificar 3 17280

Se descompone 8640 en sus factores primos: 53217280 37

Algunos factores tienen exponentes mayores que el índice radical, se descomponen de tal forma que tengan exponentes divisibles por el índice radical.

3

32

33 33 6

3 363

1012

5232

5232

532217280

3) Simplificar 50

Se puede simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de la habilidad del ejecutor, observar con cuidado:

252 25 2 25 50

Se buscan 2 números cuyo producto sea 50 y uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta.

MATEMÁTICA


3) Simplificar 327

2282472167327 2167

EJERCICIOS

Simplificar los siguientes radicales:

a) 3 7 27 332333 63 6 1449277277277

b) 3 875

c) 3 54

d) 5 12500

e) 3 1080

f) 7 1920

6.3.5. OPERACIONES CON RADICALES.

ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES.

Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes. Algunos ejemplos:

1) Efectuar: 2428223

2624813

2428223

Sumar y restar sólo los coeficientes.

2) Efectuar: 6356852 33

MATEMÁTICA


6115

6368552

6356852

3

33

33

Se suman y restan solo los radicales semejantes.

3) Efectuar: 3250223

Se tiene que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales

semejantes):

2924210233250223

MULTIPLICACION DE RADICALES.

Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos.

n dbcadcba nn

Ejemplos:

1) Multiplicar: 333 742352

33333 7024725432742352

2) Multiplicar: 55 37

34

5

3

5555 1235

934

7

3

5

33

7

34

5

3

DIVISIÓN DE RADICALES.

Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos.

n. dbcadcba nn

MATEMÁTICA


Ejemplos:

1) Dividir: 33612 24312 3633612

2) Dividir: 3

3

3672

7224 33

3

3

23

1

36

72

72

24

3672

7224

6.3.6. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES.

Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener

fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este

proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador,

el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

CASO I:

Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En

este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si se quiere racionalizar el denominador de la fracción 2

5, se

multiplicará numerador y denominador por 2

2

25

2

25

22

25

2

52

Otro ejemplo. Racionalizar18

32

Si antes de racionalizar se extraen los factores que se puedan en el radical del

denominador, se tiene:

2

2 3 2 3 2 3

18 3 22.3

MATEMÁTICA


Ahora basta multiplicar numerador y denominador por 2 para eliminar la raíz del

denominador:

3

6

23

62

223

232

23

32

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por

Y ahora se extraen factores de la raíz del numerador y se simplifica.

3

6

9

323

9

32

9

54 3

, como se ve da el mismo resultado.

CASO II:

Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en

los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el

conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y

viceversa.

Por ejemplo35

7

, multiplicar numerador y denominador por 35

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una

diferencia, o sea una expresión del tipo 22 bababa

Otro ejemplo:73

2

, ahora multiplicar numerador y denominador por 73

18

2 3 2 3. 18 2 54 54

18 918 18. 18

7 5 37

5 3 5 3 5 3

2 2

7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 37

5 3 25 3 5 3 5 3 5 3

MATEMÁTICA


CASO III:

Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se

multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” quecomplete una

potencia de exponente “n”.

Por ejemplo: 3 25

1

Se factoriza el radicando del denominador:3 23

5

1

25

1 y como 553 3 , se va a

multiplicar numerador y denominador por 3 5 para completar la potencia de 5:

Otro ejemplo: 4 2

2,

Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego

basta multiplicar por

2 3 7 2 3 7 2 3 723 7

9 7 23 7 3 7 3 7

3 3 3

3 3 3 32 2 33

1 1 5 5 5

525 5 5 5 5

4 32

4 4 43 3 34 3

4 4 43 44

2 2 2 2 2 2 22

22 2 2 2

MATEMÁTICA


EJERCICIOS NIVEL I

1. Extraer la raíz de: a) 2916 b) 45796 c) 2401 d) 63,845 e) 0,8436 2. Valor de potencias:

a) (-3)2 = b) (-2)2 + 24 = c) (-4)2 - (-3)2 = d) (-4)3 -2(-4)3 = 3. Suma y resta de potencias:

a) 2. 32 + 4.32 = b) 4.33 – 2.33 = c) 2. (-4)2 - 52 = d) (-4)3 +33 -2(-4)3 = 4. Multiplicación de potencias con bases iguales:

a) 2. 22 .22.2 2 = b) 3.33 . 3.33 = c) 4. 42 . 42 = d) 2b.23 .2 3 .2b3 = 5. Multiplicación de potencias con exponentes iguales:

a) 42 .32.5 2 = b) 23. (0,3)3 = c) 2. 33. 43 = d) 2b3.3b3 .5b 3 = 6. Potencias con exponentes negativos:

a) 5 -2 = b) 2-3. 3-2= c) 2-3. 3-2. 4-3 = d) -2-3+( -3)-3 = 7. División de potencias con bases iguales:

a) 25 :22 = b) 33 : 31 = c) 46 : 42 = d) 6n4x5 : 2n4 x3 8. División de potencias con exponentes iguales:

a) 45 :25 = b) 63 : 33 = c) 166 : 46 = d) 6n5x3 : 2n5 x3 9. Multiplicación y división de potencias:

a)5.3.2

5.4.2 2

b) 5.3.2

5.6.42

c)b6.b4.b3

b5.b3.b23

5

d) d9.b5.16

d6.b7.b802

10. Potencia de potencias:

a) 23.5 b) (3-4)-2 c) (-2-3)-2 d) (2-2.2-4.32.5-3)-2 11. Potencia de sumas:

a) (2+3).(2+3) b) (1+6).(1+6) c) (3a-1)2 = d) (3-2b).(3+2b) = 12. Conversión en factores de potencias:

a) 4-4a+a2 b) 25 + 30b +9b2 c) x2 +8x + 15 d) (25-c2)/ (5+c)

MATEMÁTICA


EXTRACCIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A

1. Extraer la raíz de:

a) 2916 b) 45796 c) 8,2944 d) 4,53 e) 2401

f) 88,36 g) 6,3504 h) 7,569 i) 63,845 j) 0,8436

2. Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de

15,9 cm2 ¿Qué longitud tienen los lados?

3. La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9 cm2.

Calcular el diámetro de la cadena.

4. La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un

12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de

émbolo?

5. La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6

cm2. ¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo?

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA NIVEL I-A

Problema 1.- VER FIGURA

Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2 de

superficie. Calcular la longitud de los lados

a) 45 mm b) 17 mm c) 15 mm d) 24 mm e) 35 mm Problema 2.- VER FIGURA

La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2

Calcular el diámetro de la cadena.

a) 5 mm b) 7 mm c) 15 mm d) 12 mm e) 13 mm Problema 3.-VER FIGURA

La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o

es de 16 mm2. Calcular la longitud de los catetos.

a) 5,65 mm b) 7,1 mm c) 1,5 mm d) 1,25 mm e) 1,36 mm

MATEMÁTICA



1. Determinar la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres

cuartas partes se obtenga un cubo perfecto.

a) 1 b) 16 c) 8 c) 27 d) 9 e) 25

2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878?

a) 10 b) 87 c) 98 c) 27 d) 39 e) 55

3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si

se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261

árboles más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m.

¿Hallar el lado del terreno?

a) 36 b) 17 c) 48 c) 27 d) 39 e) 35

4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha construido

un almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m2 con las esquinas

de los límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de 361 m2.

¿Cuál es el área de toda la propiedad?

a) 1089 m2 b) 1024 m2 c) 2420 m2d) 1280 m2 e) 1325 m2

5. Un terreno está sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en el

interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en

total?

a) 625 b) 676 c) 576 d) 729 e) 616

6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742

a) 318 b) 0,1 c) 0,318 d) 0,0318 e) 4,5742

7. Reducir: 231898

3283502

a) 12 b) 6/7 c) 12/7 d) 5/7 e) 6

MATEMÁTICA


8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones:

I. 0x ; 1x.xn22n

II. 282- 51

52

.

III. 9

1273

n2 nn .

IV. xx

nn 2

2

a) VVFV b) FVVF c) VVVV d) VFVV e) FFFV

9. Efectuar: 5 45 4 133133 E .

a) 5 3 b) 10 3 c) 5 9 d) 1 e) -1

10. Efectuar: 7

2

2

2

7

3

2

1

7

3

a) 9/7 b) 7 c) 1 d) 2/7 e) 8

11. Efectuar: 6

3232

a) 16 b) 64 c) 8 d) 128 e) 256

12. : a equiv ale 273

2108

a) 3

1319 b) 333 c) –2 d) 2726 e) 1084

13. El Factor racionalizante de : 5 64813

7, es a b hallar a + b :

a) 17 b) 37 c) 12 d) 784 e) 1

14. Simplificar : 3510

7512

1085416

61224

..

..

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Efectuar: 3333 2505416

a) 256 b) 216 c) 212 d) 144 e) 128

16. Efectuar: 5,2.4,06,08,0 32323232 E

a) 4 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III 1. El cuadrado de la raíz cúbica de:0,296296... es:

5,0)4,0)3,0)2,0)1,0)

edcba

2. ¿A que es igual la diferencia de 2 números consecutivos elevados al cubo?

a) 3n+1 b) 3n² + 1 c) 3n² + 3n d)3n(n+1 )+ 1 e) 3 3. Al multiplicar un número por 3, 5 y 7 se obtienen tres números cuyo producto es

230 685.Calcular dicho número.

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 4. ¿Cuál de las expresiones es Mayor?

),(edcba 10 3)10

3)

3

1)16,0

5

4)027,0)

5. Resolver la siguiente expresión: )²05,02,0(

)²05,02,0(

6. Resolver: 13

1815

7118

5.3

225.75.45

225)250)125)25)15) edcba

7. Resolver:

3

2

2

3

3

2

2

3

2)1)2)3)5) edcba

2

122

23.8

1)7)6)5)2) edcba

MATEMÁTICA


)5

15)(

2

12)(

10

110(.9

5,4)4)6,3)7,2)5,1) edcba

)2,192

963(2458020.10

63)32

7)5

2

15)38)510) edcba

223 006,0008,0006.0.11 QP

Pe)QQd)PPc)QQb)PQa)P 5 2

22..2529.12 BAHallarBA

450)2700)8100)270)810) edcba

)2

12()

2

11(.13

2e) 2d)3 23 c) 3b)2 2a)1

32

32.

32

32.14

10)8)6)4)1) edcba

)

3

11

2()

13

22

3(.15

1)16)6)3)2) edcba

16. Hallar x : xx 22 43 2781

3)2/1)2)1)8/1) edcba

MATEMÁTICA


UNIDAD 07

TRIGONOMETRÍA BÁSICA

MATEMÁTICA


7.1. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES.

Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida

alguna fracción del ángulo de una vuelta.

Principales sistema de medidas angulares:

* Sistema Sexagesimal (inglés) : Sº

* Sistema Centesimal(francés) : Cg

* Sistema Radial o Circular : R rad

7.1.1. SISTEMA SEXAGESIMAL ( S ). La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte del

ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 360º

Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1) y el

Segundo Sexagesimal (1), donde:

1º equivale a 60

1 equivale a 60

1º equivale a (60x60) ó 3600

7.1.2. SISTEMA CENTESIMAL ( C ).

La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del

ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 400g

90

180

MATEMÁTICA


Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el

Segundo Centesimal (1s), donde:

1g equivale a 100m

1m equivale a 100s

1g equivale a (100x100)s ó 10000s

7.1.3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR( R ).

La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de un

ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud del

arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.

El ángulo de una vuelta mide 2rad.

100g

200g

R

L

rad2

rad

“Si L R entonces la medida del , es igual

a un radián o simplemente 1 rad.”

MATEMÁTICA


7.1.4. RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS.

Sea un angulo donde:

S representa la medida de en grados Sexagesimales.

C representa la medida de en grados Centesimales.

R representa la medida de en Radianes.

Donde la fórmula de Conversión es:

R

200

C

180

S

Observaciones:

S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos).

Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se emplea

sólo: 200

C

180

S ; simplificando se obtiene:

10

C

9

S

Donde: Otras equivalencias importantes:

Ejemplos:

1) Convertir 45 a grados centesimales.

Como S = 45, remplazar en la siguiente fórmula:

9

S.10C

g509

º45.10C

10

9.CS

9

10.SC

9 = 10g

27 = 50m

81 = 250s

180 = rad

200g = rad

MATEMÁTICA


2) Convertir 125g a radianes.

Como C = 125g, remplazar en la siguiente fórmula:

200

CR

200

125R

rad

8

5R

3) Convertir 5

3 radianes a grados sexagesimales.

Como R = 5

3rad, remplazar en la siguiente fórmula:

R

180

S

5

3

180

S

5

3180S º108S

OTRA FORMA:

Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está

conformado por una fracción equivalente a la unidad.

En el denominador de tal fracción se escribe la unidad a eliminar y en el

numerador la unidad que se busca.

Por ejemplo para convertir 5

3rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente

manera:

rad.

º180

5

rad.31

5

rad.3

Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION)

sabiendo que: 180 = rad.

Luego : º1085

º1803

rad.

º180

5

rad.3rad

5

3

4) Convertir 0,621 a segundos centesimales.

Solución:

Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN.

MATEMÁTICA


No olvidar que:

s

m

s

g

mg

69001

100

1

100

º9

10º621,0º621,0

5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales.

5́,4060

1́

250

8175007500

"s

"ss

EJERCICIOS 1. Completar el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido:

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg) RADIAL ( R rad )

1 30º

2 60º

3 90º

4 45º

5 27º

6 53º

7 16º

8 74º

9 8º

10 91 1/9g

11 16 2/3g

12 83 1/3g

13 25g

9=10g 1g=100m 1m=100s

Recordar que:

81” = 250s 1´ = 60”

MATEMÁTICA


14 75g

15 20 5/9g

16 79 4/9g

17 29 4/9g

18 127

360

19 2

3

20 5

4

21 27

36

1. SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES:

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg) RADIAL ( R rad )

1 30º 33 1/3g 1 rad 6

2 60º 66 2/3g 1 rad 3

3 90º 100g 1 rad 2

4 45º 50g 1 rad 4

5 27º 30g 3 rad 20

6 53º 58 8/9g 53 rad 180

7 16º 17 7/9g 4 rad 45

8 74º 82 2/9g 37 rad 90

9 8º 8 8/9g 2 rad 45

10 82º 91 1/9g 41 rad 90

11 15º 16 2/3g 1 rad 12

12 75º 83 1/3g 5 rad 12

13 22,5º 25g 1 rad 8

14 67,5º 75g 3 rad 8

MATEMÁTICA


15 18,5º 20 5/9g 37 rad 360

16 71,5º 79 4/9g 143 rad 360

17 26,5º 29 4/9g 53 rad 360

18 63,5º 70 5/9g 127 rad 360

19 120º 133 1/3g 2 rad 3

20 225º 250g 5 rad 4

21 135º 150g 3 rad 4

7.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.

Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo

rectángulo respecto a un ángulo agudo.

En el triángulo rectángulo que se muestra, los

catetos son los lados a y b; la hipotenusa es c,

además:

Cateto opuesto de es “a”

Cateto adyacente de es “b”

Cateto opuesto de es “b”

Cateto adyacente de es “a”

Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “”serian:

Hipotenusa

opuesto Cateto

c

a Seno

opuesto Cateto

adyacente Cateto

a

b Cotangente

Hipotenusa

adyacente Cateto

c

b Coseno

adyacente Cateto

Hipotenusa

b

c Secante

b

a

c

MATEMÁTICA


adyacente Cateto

opuesto Cateto

b

a Tangente

opuesto Cateto

Hipotenusa

a

c Cosecante

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES.

TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

F.T. 8º 15º 16º 37/2º 53/2º 30º 37º 45º 53º 60º

Sen 10

2

4

26

25

7

10

1

5

1 1

2 3 5 2

1

4 5 2

3

Cos 10

27

4

26

25

24

10

3

5

2

2

3

4 5 2

1

3 5

1 2

Tng 7

1

26

26

24

7

3

1

1 2 3

1 3

4 1 1

4 3 1

3

Ctg 1

7

26

26

7

24

1

3

2 1 1

3

4 3

1 1

3 4 3

1

Sec 27

10

26

4

24

25

3

10

2

5

3

2 5

4 1

2

5 3

2 1

Csc 2

10

26

4

7

25

1

10

1

5

2 1

5 3 1

2

5 4 3

2

30º

60º 2k k

k 3

37º

53º 5k 3k

4k

45º k 2 k

k

45º

16º

74º 25k 7k

24k

8º

82º 10k k 2

27 k

15º

75º 4k

( 26 )k

( 26 )k

10 k k

3k

37º 2

k

2k

5 k

53º 2

75

4k

15

k

MATEMÁTICA


7.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES.

Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los

semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL.

Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º;360º. Las razones

trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente tabla:

ND: “No definido” Ejemplos de aplicación: Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:

1. º53cos

º16cos6º45cos2 2 =

5

3

25

246

2

12

2

=

5

3

25

144

2

12

=

5

35

121

=

5

35

17

= 3

17

2. 322

3sec3

6ctg5

= 3 22 º60sec3º30ctg5 = 3 22

2335

= 3 4335 = 3 27

= 3 7.4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a partir

de dos datos, uno de los cuales debe ser lado.

sen cos tg cotg sec cosec

0º ó 360º 0 1 0 ND 1 ND

90º 1 0 ND 0 ND 1

180º 0 -1 0 ND -1 ND

270º -1 0 ND 0 ND -1

0

90

180

360

MATEMÁTICA


Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos:

I. Los datos conocidos son: dos lados.

II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.

Ejemplos:

1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución: Como datos se tienen la medida de dos lados, “este problema corresponde al casoI.”

Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el Teorema de Pitágoras.

21a

441a

441a

2835a

3528a

2

222

222

El ángulo se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione

lados conocidos.

º37β

""

;

53º - 90º

:tanto lo por ,"" de ocomplement el es

53ºα :Entonces 5

4Cos53 el Pero ;

5

4

35

28Cosα o

2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución: Como datos se tienen la medida de un ángulo agudo y un lado, “este problema corresponde al casoII.”

Hallando β, que es el complemento de 16

β= 90 - 16

β = 74

28 m

35 m

a

β

b

50cm

a

16

β

MATEMÁTICA


Razón Trigonométrica de

Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16, que relacione el dato con la incógnita.

)( RT conocido Lado

odesconocid Lado

cm 14 a

25

7

cm 50

a

16º sen cm 50

a

Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene

trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16.

cm 48 a

25

24

cm 50

a

16º Cos cm 50

b

7.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS. “En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos”

b

50cm

a

16

β

b

50cm

a

16

β

β

a b

c

Sen

c

Sen

b

Sen

a

MATEMÁTICA


Ejemplo: 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación: Solución: Resolver el triángulo consiste en hallar la medida de sus lados y sus ángulos internos. Se tiene que hallar las

medidas de “L”, “β” y “”.

Primero hallar el valor de “” aplicando la ley de senos:

30º : Entonces ; 2

1

70

37º Sen70

θ Sen

70m

37º Sen

84m

Sen

84

5

3

Sen

84Sen

Ahora hallar el valor de “β”:

37º + 30º + β = 180º β = 113º Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”:

m 128,87 L : Entonces

Tablas) (Por 0,9205 67º Sen ;

2

1

0,9205m 70

30º Sen

67º Senm 70 L

Cuadrante) I (Reducción Sen67º113º Sen :Pero

30º Sen

113º Senm 70 L

30º Sen

70m

113º Sen

L

37º

β

70m

84 m

L

37º

30

113

70m

84 m

L

MATEMÁTICA


7.6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS.

“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual

a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble

producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.

2ab.Cosθbac 222 Ejemplo: 1. Hallar la medida del lado “x” Solución:

cos37º201222012x 222

5

4480400144x2

384544x2

m. 104 160x


1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 20 N hacia arriba, una fuerza

hacia la izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal?

a) 53°

b) 37°

c) 25°

d) 27,5°

e) 45°

2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar la

normal en N? (g = 9,814 m/s2)

a) 298

b) 537

c) 706

d) 593

e) 785

a

b

c

37º

20 m

12 m

x

MATEMÁTICA


3. Convertir 5° a radiantes.

a) 8

b) 7

c) 6

d) 3

e) 36

4. Convertir 0.5 radiantes a grados sexagesimales:

a) 35°

b) 44,1°

c) 50°

d) 28,64°

e) 39°

5. Hallar el valor de 2 radiantes en grados:

a) 77° 47´ 45´´

b) 57° 37´ 45´´

c) 27° 17´ 25´´

d) 114° 35´ 29´´

e) 58° 17´ 45´´

6. Encontrar el valor del cos , si el 5.0sen a) 0.78

b) 0.86

c) 0.5

d) 0.63

e) 0.83

7. Hallar el valor de la θ tag , si la 4θ ctg .

a) 0.31

b) 0.20

c) 0,25

d) 0.34

e) 0.60

8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de

53° ¿Cuál es la altura del árbol?

a) 85m

b) 33m

c) 125m

d) 37m

e) 29m

MATEMÁTICA


9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo

de depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de 15m/seg

¿A qué distancia del edificio se encontrará el auto en 2 segundos?

a) 75m

b) 57m

c) 115m

d) 50m

e) 250m

10. ¿A qué es equivalente 5

4 rad?

a) 130°

b) 124°

c) 136°

d) 144°

e) 164°

11. Expresar 150° en radianes.

a) rad 54

b) rad 45

c) rad 34

d) rad 65

e) rad 6

12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es 90 cm y el coseno de uno de los

ángulos agudos es 12/13.Hallar la longitud de su hipotenusa.

a) 13

b) 26

c) 39

d) 52

e) 65

13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor.

Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo

a) 2

b) 22

c) 23

d) 2

e) 4

MATEMÁTICA


14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:

SenCsenA CalcularMA .12

5cot

a) 3/13

b) 5/13

c) 7/13

d) 9/13

e) 11/13

15. Si Tg = Sen245° + Cos60°. Hallar. Sen ( Es un ángulo agudo)

a) 2

2 b)

2

23 c)

4

2 d)

8

2 e) 2

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Hallar “ x”

a) 4

b) 4 2

c) 4 3

d) 4 6

e) 6

2. Hallar AF si AM= 2 5

a) 3.873

b) 7.746

c) 5

d) 3

5

e) 10

3. Hallar (X + Y):

a) 35

b) 30

c) 40

d) 20

e) 25

52

MATEMÁTICA


4. Hallar R:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

5. Hallar R:

a) 70,0

b) 43,6

c) 28,2

d) 35,0

e) 90,0

MATEMÁTICA


UNIDAD 08

MEDIDAS DE LONGITUD

MATEMÁTICA


8.1. MEDIDAS DE LONGITUD.

Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como

unidad de medida

Cientos de años atrás, la gente media el largo de objetos usando partes del cuerpo.

Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el ancho de un

pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la punta de un dedo

hasta la punta del otro), eran 6 pies.

Cuando los Británicos comenzaron a establecerse en Norteamérica las colonias

usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. Aún había confusión

entre medidas que llegaron hacerse hasta más confusas después de la Revolución

Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar una norma

uniforme de pesas y medidas.

También los Franceses, Españoles y Holandeses tenían sus propias normas y

nadie estaba de acuerdo. Es así que en el año 1832, el Departamento de Tesorería

dispuso que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de medida y masas,

y en el año 1836, el Congreso oficialmente creó la Oficina de Pesos y Medidas.

Hassler escogió el Sistema Imperial de Inglaterra sobre el sistema métrico. Sin

embargo, el Sistema Internacional (SI) de Unidades (Sistema Métrico), es

aceptado como la norma de medidas.

8.1.1. UNIDAD FUNDAMENTAL (EL METRO).

Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad

fundamental de la magnitud longitud es el METRO.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DEFINICIÓN DE LA UNIDAD

Longitud metro m

Longitud del trayecto recorrido en el vacío, por un

rayo de luz en el tiempo de

s 458 792 299

1

MATEMÁTICA


8.1.2. PREFIJOS EN EL S.I.

Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y

submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades

básicas o derivadas.

1.2 PREFIJO SÍMBOLO FACTOR NOMBRE DEL VALOR

NUMÉRICO

Para formar múltiplos

decimales

exa

peta

tera

giga

mega

kilo

hecto

deca

E

P

T

G

M

k

h

da

10 18

10 15

10 12

10 9

10 6

10 3

10 2

10

trillón

mil billones

billón

mil millones

millón

mil

cien

diez

Para formar submúltiplos decimales

deci

centi

mili

micro

nano

pico

femto

atto

d

c

m

n

p

f

a

10 -1

10 -2

10 -3

10 -6

10 -9

10 -12

10 -15

10 -18

Décima

centécima

milésima

millonésima

mil millonésima

billonésima

mil billonésima

trillonésima

En el caso de la medida de longitud:

Múltiplos Submúltiplos

kilómetro 1.3 HECTÓMETRO decámetro metro decímetro centímetro milímetro

X 1000 1.4 X 100 X10 : 10 : 100 : 1000

1000 m 1.5 100 M 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

1 km 1.6 1 HM 1 dam 1 m 1 dm 1cm 1 mm

Aplicar este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo.

Anotar estos datos, usando como unidades de medida el centímetro y el milímetro.

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_b%C3%A1sicas_del_SI

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_b%C3%A1sicas_del_SI

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_derivada_del_SI

MATEMÁTICA


1Largo = …………unidades

Largo ....................... cm ... ........................ mm

Ancho ...................... cm ........................... mm

Alto ........................... cm ........................... mm

Sin embargo, el centímetro y el milímetro, no son las únicas unidades de medida, si

se toman 10cm, se tiene 1 decímetro.

1 decímetro = 10 centímetros

Y si se toman 10 decímetros, se tiene1 metro (1 m) que es la unidad principal de

medida de longitud.

Como ejercicio, tomar las medidas de longitud y anotar sus resultados.

a) Un libro

b) Un salón de clase

c) Un lápiz

Continuar multiplicando cada unidad por 10 y se tiene:

10 m forman 1 decámetro dam

10 dam forman 1 hectómetro hm

Observar, con atención, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los

cuerpos recibe, en geometría, el nombre de segmento de recta. Medir algunos de

ellos, recordando que medir un segmento de recta es verificar cuantas veces una

unidad está contenida en él.

2Ancho = ……. Unidades 3 Altura = ……. Unidades

MATEMÁTICA


Muy Importante:

El número es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA.

Subrayar, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida.

Ejemplo:

La longitud de la regla es de seis pulgadas.

La broca de tres cuartos está sobre la bancada.

Compré mil milímetros de alambre de cobre.

Esta caja contiene doce docenas de pernos.

La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos.

En los dibujos de la página anterior, los segmentos medidos representan: Largo,

ancho y altura.La unidad (u), tomada como medida, fue el centímetro (cm).

Notar que cada centímetro está dividido en partes iguales, cada una de las cuales

se llama milímetro (mm).

En la medición de la longitud: se tiene: 6 u = 6 cm = 60 mm.

Se puede comprobar que: 10 veces 1 milímetro es igual a 1 centímetro

10 x 1 mm= ........ mm = 1 .......

Completar: Ancho = 2,5 u = 2,5 cm= .......... mm

alto = 1 u = 1 cm= .......... mm

Por consiguiente, se acaba de formar un conjunto (Sistema Internacional) de

unidades de medidas de longitud. Observar el cuadro:

MATEMÁTICA


8.1.3. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO.

MÚLTIPLOS UNIDAD SUBMÚLTIPLOS

km 1.7 HM dam m dm cm mm

kilómetro 1.8 HECTÓMETRO decámetro metro decímetro centímetro milímetro

1000 m 1.9 100 M 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Observación:

Es preciso aclarar que:

Existen múltiplos mayores que el kilómetro.

Existe submúltiplos menores que el milímetro.

Por ejemplo:

En mecánica de precisión y en trabajos científicos, se usan otros submúltiplos

del metro, como por ejemplo la millonésima parte ( micra) del metro que se

denomina micra ( m).

Resumiendo se tiene:

Medidas mayores que el metro, o sea, múltiplos del metro:

decámetro dam 1 dam = 10 m

hectómetro hm 1 ....... = 100 ........

kilómetro km 1 .........= ……........

1 KM = 10 HM = 100 DAM = 1 000 M

Medidas menores que el metro, o sea submúltiplos del metro:

MATEMÁTICA


decímetro dm 1 dm = 0,1 m

centímetro cm 1 ....... = ......... m

milímetro mm 1....... = .............

1 MM = 0,1 CM = 0,01 DM = 0,001 M

EJERCICIOS

Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente:

1. Completar:

a) 5 dam = cinco decámetros

b) 18 mm= ...................................................

c) ........................... = doce kilómetros

d) ........................... = nueve hectómetros

e) 35 cm= .....................................................

f) . .....................dm = siete ..........................

2. Completar:

a) 9,082 km = 9 km, 8 dam y 2 m

b) 13,052 km = ......... km, ........ hm, ...... dam y ...…. m

c) ............dam = 19 dam, 5m y 3dm

d) 9,5 ..............= 9 m y 5 dm

e) 8,25 dm = ............. y .............

3. Se sabe que:

1 dam = 10 m

Entonces, completar:

MATEMÁTICA


a) 8 dam = 8 x 10 = 80 m

b) 28 dam = ............................ = .......................... m

c) 3,4 dam = ........................... = …………………. m

d) 53 m = 53 10 = 5,3 dam

e) 156 m = ……………………. = …………………. dam

f) 90 m = ……….……………. = ……………….… dam

4 También se sabe que:

1 hm = 10 dam

Completar:

a) 5 hm = 5 x 10 = 50 dam

b) 0,8 hm = ......................... = ........................ dam

c) 58 hm = ......................... = ….……………. dam

d) 30 dam = 30 10 = ………. hm

e) 48 dam = …………..…… = ……..………….. hm

f) 0,08 dam = …………… .. = …….………...… hm

5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades,

completar:

a) 2 km = 2 x 10 = 20 hm

b) 72 km = ........................... = …………………. hm

c) 0,8 km = ……………….… = …………………. hm

d) 5 m = 5 x 10 = 50 dm

e) 3,8 m = ..………………….. = …………………. dm

f) 4 dm = 4 x 10 = 40 cm

g) 52 dm = …………………... = ….………..……. cm

MATEMÁTICA


8.1.4. CONVERSIÓN DE UNIDADES.

La unidad escrita se refiere a la cifra que está a la izquierda de la coma decimal,

que usted debe haber observado.

Ejemplo: En 45,87dm, se tiene 5 que corresponde al casillero de dm.

Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeración decimal. Por

consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, se tiene:

M dm cm Mm 4,587 m

4 5 8 7 que se lee, 4 metros y 587 milímetros

Observar con atención, la escalinata con sus “carteles”.

Pues bien:

Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha.

Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda.

Realizar ahora los ejercicios que siguen:

6. De las equivalencias:

1 dam = ...........m 1dm = ….............. m

1 hm = ………….m 1cm = ..…………..m

1 km = .…………m 1mm = ….……….. m

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

MATEMÁTICA


7. Siguiendo el Ejemplo, no olvidar que la unidad indicada se refiere al orden

colocado inmediatamente antes de la coma decimal.

Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm 2,5 mm= .....................................

802,7cm = ................................... 1,520 km= ....................................

7,28 dm = .................................... 0,85 m = ....................................

8. Completar, observando el ejemplo:

a) Nueve metros y treinta centímetros = 9,30 m

b) Doce decímetros y doce milímetros = .............................................

c) Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = ...........................

d) Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = ..........................

9. Completar el cuadro, observando los ejemplos:

Ejemplo:

m dm cm mm

a) 7 mm a 7

b) 14,5 dm b 1 4 5

c) 4,5 m c

d) 20,1 cm d

e) 0,2 m e

f) 12,5 cm f

g) 3 m g

h) 0,8 dm h

10. Responder:

a) ¿Cuál es mayor? ¿5cm ó 25 mm? .............................................

b) ¿Cuál es menor? ¿2dm ó 12 cm? ...............................................

c) ¿Cuántos dm hay en 1 metro? ....................................................

d) ¿Cuántos cm hay en 1 metro? ....................................................

e) ¿Cuántos mm hay en 1 metro? ...................................................

MATEMÁTICA


11. Completar:

a) En 1 km hay ........................................ metros

b) En 1 hm hay ........................................ metros

c) En 1 dam hay ...................................... metros

d) En 3 m hay ...........................................decímetros

e) En 5 m hay ...........................................centímetros

f) En 10 m hay ........................................ milímetros

12. Completar:

6m = .................................. dm 23 dm = ......................... m

9,7m = …………………….. dm 80 dm = ………………… m

88,53 m = ……………….… dm 8,2 dm = ……...………… m

0,44 m = ………………….. dm 33,4 dm = ..……..…..….. m

13. Colocar convenientemente los símbolos en las siguientes conversiones:

a) 45,67 m = 456,7 ................ g) 289,05 km=28 905 .............……

b) 45,67 m = 4567 ……….…. h) 300,7 mm = 3,007 …..………….

c) 45,67 m = 45 670…………. i) 0,7 dam = 0,007 ………………….

d) 45,67 m = 4,567 …………. j) 10 hm = 100 000 …………………

e) 45,67 m = 0,4567 ………... l) 9,47 cm = 94,7 ............................

f) 45,67 m = 0,04567 ............ m) 4000 dm = 4 …………………….

14. Escribir en los puntos, los valores correspondientes:

a) 8 m = ........................ cm g) 4 cm = ......…...........…..... dam

b) 17 m = ………………. mm h) 38 cm = .….………….….. m

c) 9,5 m = ……………… cm i) 680 cm = …………….…. m

d) 0,16 m= ………….… dm j) 77,5 cm = ………………… hm

e) 0,007 m= ………….. km l) 6,91 cm = ......................... dm

f) 2800 m= .................... cm m) 0,25 cm = ……………….. mm

MATEMÁTICA


15. Efectuar, haciendo la conversión de unidades conveniente:

80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m

4,8 dam – 1 000 mm + 85 cm = …………………………………… cm

27,6 m – 1,360 dam = …………………...………………………… m

Solucionario:

1. b) Dieciocho milímetros

c) 12 km

d) 9 hm

e) Treinta y cinco milímetros

f) 7 dm = siete decímetros

2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m

c) 19,53 dam

d) 9,5 m

e) 8 dm, 2 cm y 5 mm

3. b) 28 x 10 = 280 m

c) 3,4 x 10 = 34 m

e) 156 : 10 = 15,6 dam

f) 90 : 10 = 9 dam

4. b) 0,8 x 10 = 8 dam

c) 58 x 10 = 580 dam

d) 30 : 10 = 3 hm

e) 48 : 10 = 4,8 hm

f) 0,08 : 10 = 0,008 hm

MATEMÁTICA


5 b) 72 x 10 = 720 hm

c) 0,8 x 10 = 8 hm

d) 3,8 x 10 = 38 dm

c) 52 x 10 = 520 cm

6. 1 dam = 10m 1 dm = 0,1 m

1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m

1 km = 1000 m 1 mm = 0,001 m

7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm

7,28 dm = 7dm y 28 mm

2,5 mm = 2 mm y 5 décimos de mm

1,520Km = 1 Km y 520 m

0,85 m = 85 cm

8. Doce decímetros y doce milímetros = 12,12 dm

Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = 48,7cm

Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = 32,8 mm

.

M dm Cm mm

.......... ........ .......... ............ ..........

c 4 5

d 2 0 1

e 0 2

f 1 2 5

g 3

h 0 8

10. a)5 cm b) 12 cm c)10 dm d) 100 cm e)1000 mm

11. a) 1000 m d) 30 dm

b) 100 m e) 500 cm

c) 10 m f) 10 000 mm

MATEMÁTICA


12. 6m = 60 dm 23 dm = 2,3 m

9,7 m = 97 dm 80 dm = 8 m

88,53 m = 885,3 dm 8,2 dm = 0,82 m

0,44 m = 4,4 dm 33,4 dm = 3,34 m

13. a) ………………. = 456,7 dm g) ……………. = 29 905 dam

b) ………………. = 4567 cm h) ……………. = 3,007 dm

c) ………………. = 45 670 mm i) ………….…. = 0,007 km

d) ………………. = 4,567 dam j) …………….. = 100 000 cm

e) ………………. = 0,4567 hm l) …………….. = 94,7 mm

f) ........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm

14. a) ……………….. = 800 cm g) …………….. = 0,004 dam

b) ……………….. = 17 000 mm h) …………….. = 0,38 m

c) ……………….. = 950 cm i) ……………… = 6,80 m

d) ……………….. = 1,6 dm j) ……………… = 0,00775 hm

e) ……………….. = 0,000 007 km l) ……………… = 0,691 dm

f) ………………… = 280 000 cm m) ……………. = 2,5 mm

15. 0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m

4800 cm – 100 cm + 85 cm = 4785 cm

27,6 m – 13,6 m = 14 m

Observación:

Unidades que permiten medir a seres microscópicos o distancias

inapreciables por los seres humanos:

1 micra 0,001 milímetros.

1 nanómetro 0,000 001 milímetros.

1 angstron (A°) 0,000 000 1 milímetros.

MATEMÁTICA


Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia de

los planetas:

1 año luz 9,461 mil millones de kilómetros.

(distancia que recorre la luz en un año)

1 unidad astronómica 149 600 000 km de longitud.

8.2. SISTEMA INGLÉS.

Ahora se va a pasar de una a otra unidad (pulgada) que además se emplea en las

especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la pulgada.

En la industria, las medidas de máquinas, herramientas, instrumentos e

instalaciones, se utiliza también otra unidad de medida, denominada PULGADA.

8.2.1. PULGADA.

La pulgada se representa simbólicamente por dos comillas (“) colocadas a la

derecha y un poco encima de un número.

La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe

con atención:

La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en inglés significa

“pulgadas”.

Dos pulgadas se abrevia

Tres pulgadas se abrevia

2 ”

3 ”

1”

25,4 mm

MATEMÁTICA


1 3”

4

8.2.2. EQUIVALENCIAS DE PULGADAS.

Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milímetros y cuatro

décimos, aproximadamente.

Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas:

EnNÚMEROS ENTEROS

Ej.: 1”; 2”; 17”

En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.

Ej.: 8

"5

4

"3

'2

"1;;

En NÚMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendrá, también, como

denominador 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.

Ej: 64

"137

4

"31

'2

"12 ;;

1pulgada =1” = 25,4 mm

Además: 1pie = 1 = 12 pulgadas

1yarda = 3 pies = 3 = 36

1 pie=0,3048 m

1 yarda=0,9144 m

1 m=3,28 pies

1 pie = 1

1

3” 4

MATEMÁTICA


OBSERVACIÓN.

Se encuentran algunas veces pulgadas escritas en forma decimal.

Ej.: "25,0"4

"1"5,0

2

"1 "75,0

"4

"3"125,0

8

"1

Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que se observen las

divisiones de la regla:

1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto

cada división es 1/8” (un octavo de pulgada).

2. Cada pulgada fue además dividida en 16 partes iguales (la menor división es

16

1); excepto una parte de 1” cuya menor división es

32

1 (de 1” a 32”)

Ver la medida de la longitud AB

La regla indica:

3. La pulgada está dividida en 8 partes iguales.

De A hasta B se tienen .......... partes iguales. .

Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y se están tomando 5

partes, luego: La medida de A hasta B es……

Observar finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que

siguen, comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla.

MATEMÁTICA


Medida A = 2” Medida B = 8

"51 Medida C =

2

"12

Medida D = 4

"33 Medida E =

16

"1 Medida F =

16

"13

Ejercicio:

Medida G = 2

"12 Medida H =

8

"7 Medida I =

4

"13

Medida J = 32

"17 Medida L =

16

"15 Medida M =

32

"71

Efectuar las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo:

8.2.3. TRANSFORMACIÓN DE PULGADAS EN MILÍMETROS.

Para transformar pulgadas en milímetros, usted debe multiplicar el número

presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fácil llegar a esta conclusión:

1. Si 1” es igual a 25,4 mm

5” será igual a 5 veces 25,4 mm ¿Cierto?

5” = 5 x 25,4 mm= ........................................... mm

2. 4

34,25

4

3

4

"3 xx ………………………….. mm

3. 0,8” = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm

MATEMÁTICA


4. ...................................8

11

8

"31 x

Observar los ejemplos del cuadro y complételo convenientemente.

Pulgada Número x 25,4 mm mm

1” 1 x 25,4 mm 25,4 mm

3” 3 x 25,4 mm 76,2 mm

5” 5 x 25,4 mm .............

10” 10 x ................................. .............

2

"1

2

mm 25,4

1

4,25

2

1

mmx 12,7mm

4

"3 mmxx

4

4,253

1

mm 25,4

4

3 19,05

8

"72

8

4,2523

1

mm 25,4

8

23 mmxx ..............

16

"11 ....................

16

"11x ..............

Se verá ahora cómo se hace el problema inverso, esto es.

8.2.4. TRANSFORMACIÓN DE MILÍMETROS A PULGADAS.

Para transformar milímetros en pulgadas, usted debe dividir el número presentado

en milímetros entre 25,4 y después multiplicar el resultado por 1” o fracción

equivalente, es decir:

128

"128

64

"64;

32

"32;

16

"16;

8

"8;

4

"4;

2

"2ó

Hacer esta multiplicación para obtener la fracción de pulgada.

Observar con atención los ejemplos y completar:

1. Transformar 50,8 mm a pulgadas:

MATEMÁTICA


24,25

8,50

8,50

4,25"1

mm

mm

mmx

mm

2.1” = 2” Rpta. = 50,8 mm= .......................

2. Transformar 12,7 mm a pulgadas:

5,04,25

7,12

mm

mm

0,5 .1” = 0,5” = 2

"1

2

"1

64

64:

128

64

128

"128.5,0 Rpta. = 12,7 mm= ...........................

3. Transformar 10 mm a pulgadas:

mm

mm

4,25

10....................

....................... x1” = .......................

ó ................................ x _________......

"50

128

"128x

Rpta. = 10 mm = 64

"25

Resolver los ejercicios siguientes:

Transformar:

a) 21,2 mm a fracción irreductible de pulgada.

mm

mm

4,25

2,21 ................ x 1”= ............................

ó ............... x 128

"128................... Rpta. = 21,2 mm= .............

b) 2 mm a fracción irreductible de pulgada:

Rpta. = 2mm = ....................

MATEMÁTICA


Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRACTICAS ver:

8.2.5. TRANSFORMAR MILÍMETROS A PULGADAS (NÚMERO DECIMAL).

En este caso, se tendrá que dividir el número de milímetros entre.........

Pues bien, dividir entre 25,4 mm es lo mismo que multiplicar por 4,25

1 , ¿De

acuerdo?

Como: 03937,04,25

1 , se puede escribir la primera regla práctica:

Para transformar milímetros a pulgadas representadas por

números decimales, se multiplica los milímetros por

......................... obteniéndose el resultado en pulgadas

(decimales).

Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en número decimales.

10 x 0,03937 = 0,3937”

Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fracción decimal de pulgada.

Rpta. .......................

8.2.6. TRANSFORMAR MILÍMETROS A FRACCIÓN ORDINARIA DE PULGADA.

Ahora multiplicar por 04,54,25

128,

128

128

4,25

1comoperox se tiene la segunda regla

práctica. Luego:

MATEMÁTICA


Para transformar milímetros a fracción ordinaria de pulgada,

se multiplica los milímetros por 5,04 (numerador), y se coloca

el resultado sobre el denominador 128.

Observar el ejemplo con atención, que se entenderá mejor la segunda regla

práctica.

Ejemplo: Transformar 10 mm a fracción de pulgada:

64

"25

128

"50

128

04,510

x

Rpta. .....................

Resolver ahora aplicando la regla práctica.

1. Transformar 21,2 mm a fracción ordinaria de pulgada

128

"107

128

04,52,21

x

2. Transformar 2 mm a fracción de pulgada:

Rpta. ...................

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una

carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. ¿Cuántos

hectómetros de carretera se han asfaltado en los tres meses?

km Hm dam m dm

3 0

3 0 8

1 4

3 4

Es decir 34,82 hm

2. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de

madera de 5 m 6dm?

hm Dam M dm cm

0, 0 5 0 0

6 0

Es decir 560 cm, luego el número de varillas = 2028

560

cm

cm

3. Una lámina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales.

¿Cuál es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del

material?

Para obtener 12 partes se deberá hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde

0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se perderá:

0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm. Entonces quedará: 29,343 cm – 1,023 cm = 28,32 cm

Por lo tanto, la longitud de cada parte será: cmcm

36,212

32,28

4. ¿Cuántos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas medidas

son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho?

Largo 20 cm = 200 mm Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm

MATEMÁTICA


Área de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2

Área del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2

Por lo tanto, el número de cuadraditos será = 800

25

000202

2

mm

mm

5. El perímetro de un rectángulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, ¿Cuánto

mide el largo del rectángulo, expresar la respuesta en dm?

Perímetro del rectángulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm

Como el ancho mide 250 mm, el largo medirá:

750 mm – 250 mm = 500 mm.

6. Convertir a fracción de pulgada 92,075 mm.

Aplicando la regla de conversión: 8

53

8

29

128

464

128

04,5075,92 pulgadas.

7. Una cinta metálica esta graduada en pies, pero en forma errónea, de tal manera

que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies. ¿Cuál

es la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies?

Si 6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg

15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg

18 pies = 18 x 12 pulg = 216 pulg

Aplicando regla de tres simple directa, se tendrá:

180 pulg _________ 216 pulg 75 pulg _________ x

Luego: x = 90 pulg

8. A qué es equivalente 4

37 pulgadas en metros.

lg75,775,074

37

4

37 pu , que convertidos a mm dará:

7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m

MATEMÁTICA



CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD 1. Convertir en cm:

0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm; 0,68 dm

2. Convertir en dm:

3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm; 32, 08 m; 7,85 cm

3. Convertir en mm:

2,84 dm; 6,82 m ; 5,8 dm; 0,3 m; 6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm

4. Convertir en m:

2,84 dm ; 7621 cm ; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm 5. Sumar en mm:

3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm 6. Sumar en cm:

3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm

7. Restar en m:

86, 4m – 8,2 cm – 3,45 cm – 0,87 dm – 0,0034m – 0,082 dm

8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. ¿Qué

longitud tiene la pieza restante (en m)?

9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a tope

entre sí. Calcule la longitud del tubo soldado en cm.

10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de diámetros

respectivos es de 318,5 mm. ¿Cuánto material queda entre las perforaciones?

MATEMÁTICA


11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres

distancias iguales ¿Qué longitud tienen los espacios?

12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a igual

distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia.

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.

1. Efectuar y expresar en metros la respuesta:

1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm

A) 52,554 m B) 16,554 m C) 46,56 mD) 26,45 mE) 12,954 m

2. Efectuar y expresar en milímetros la respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057 m – 240 mm

A) 367 mm B) 20,5 mm C) 2040 mmD) 205 mmE) 248 mm

3. ¿Cuántas varillas de 2,8 dm de longitud, se podrán obtener de una varilla de 5m 6 dm?

A) 36B) 18C) 20D) 40E) 48

4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y se corta los 3/8 de ella, ¿Qué longitud queda?

A) 7,8 m B) 0,078 8 m C) 780 dm D) 780 mm E) 78,8 dm

5. Cierta persona compró 123,45 dam de cable eléctrico, de los cuales vende 0,004 km, utiliza 1246 cm y dona 340 dm. ¿Cuánto le queda?

A) 116,5 damB) 1184,04 mC) 11,84 dmD) 1184 cmE) 116,52 m

MATEMÁTICA


6. La medida de la arista de un cubo es 0,52 m, ¿Cuál será la suma de las medidas de todas sus aristas?

A) 31,2 dm B) 20,8 dm C) 41,6 dm D) 42,7 dm E) 62,4 dm

7. El perímetro de un hexágono regular mide 450 cm, ¿Cuánto mide cada lado?

A) 0,75 cm B) 0,007 5 m C) 0,075 mD) 75 dmE) 0,75 m

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-A

1. Calcular en centésimas de hectómetro:200” + 205,25m + 0,45km

a) 660,33m b) 660,33cm c) 660,033mm d) 606,30m e) 660,33hm

2. De una pieza de madera de 10yd 7,62cm se ha obtenido trozos de 33cm cada

una. ¿Qué longitud falta para completar un trozo más, si en cada corte se pierde

1cm?

a) 5,02cm b) 2,6cm c) 28,98cm d) 29,98cm e) 310,2cm

3. Del gráfico hallar: a+b+c+d.

a) 123cm b) 20,23cm c) 19,8mm d) 10,2cm e) 310,2mm

4. Reducir a milésimas de dam:12dam 6cm 20dm 11,5cm

a) 12,620m b) 122,175cm c) 12217,5cm d) 12217,5mm e) 122,75cm

MATEMÁTICA


5. Si: A= 45,8cm – 0,0428m;

B= 0,82dm + 14,3cm.

C= 2(A – B)/3.

Hallar el exceso de A sobre C.

a) 28,84cm b) 10,2cm c) 2,16cm d) 24,12cm e) 48,24c

6. Hallar el perímetro de la figura:

a) 158,342mm b) 159,524mm c) 162,412mm d) 222,25mm e) 222,5mm

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-B

1. ¿A cuántos centímetros equivale "

4

13 ?

a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm d) 6,72cm e) 9,28Cm

2. El equivalente de 127mm a pulgadas es:

a) 4” b) 5” c) 6” d) 8” e) 3”

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones.

I. 13,56dm <> 1m 35cm 6mm

II. 31,67m <> 3Dm 16dm 7cm

III. 5,608Hm <> 56Dm 8m

IV. 2,24dm <> 0,2m 24cm

a) VVFF b) VVFV c) VVVF d) VVVV e) FVVF

MATEMÁTICA


4. ¿Cuántas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de

14,696dm de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que

sobre material?

a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87

5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm – 0,025m – 4,269dm

a) 2,048dm b) 10,2dm c) 0,25dm d) 0,553dm e) 1,248dm

6. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de ésta ha

disminuido en 124cm. ¿Cuál era la longitud de la varilla en centímetros?

a) 140 b) 120 c) 160 d) 144 e) 158

7. ¿Cuántos centésimos de milímetro están contenidos en dos décimos de metro?

a) 200 b) 2 000 c) 20 000 d) 200 000 e) 20

8. Al dividir un listón de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el trozo

menor mida los ¾ de la longitud del mayor. Dar la medida, en centímetros, del

trozo mayor.

a) 36,57 b) 36,576 c) 36, 574 d) 36, 5 e) 43

9. Hallar el perímetro de la figura en fracción de pulgadas. 14,3

a) "

128

53

b)

"

32

53

c)

"

8

1

d)

"

128

25 e)

"

32

21

0,24 mm 0,24 mm

2,34 mm

2,34 mm

MATEMÁTICA


10. Convertir 2,04mm a fracción ordinaria de pulgada.

a) "

8

1 b)

"

16

1 c)

"

64

7 d)

"

64

5 e)

"

8

3

11. Hallar el perímetro de la región sombreada. Si R = 2,4 mm 14,3

a) 31/64” b) 25/64” c) 29/32” d) 43/64” e) 19/32” 12. Hallar la longitud del contorno de la figura. a) 370,44mm. b) 342,32mm. c) 387,35mm. d) 328,52mm. e) 387,24mm. 13. Hallar el radio de la circunferencia:

a) 1/32” b) 19/128” c) 7/16” d) 11/64” e) 7/32” 14. 98 006 dm se puede expresar como:

a) 9 Km 7 Hm 6dm b) 8 Km 8 Hm 8dm c) 8 Km 7 Hm 8dm d) 9 Km 8 Hm 6dm e) 9 Km 6 Hm 6dm

r

r R

8

13

2

14

MATEMÁTICA


UNIDAD 09

MEDIDAS DE TIEMPO

MATEMÁTICA


9.1. MEDIDA DE TIEMPO.

En la antigüedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de

agua o de arena, carecían de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta

principios del siglo XVIII los relojes no tenían minutero, pero a comienzos del siglo

XIX aparece ya hasta el segundo.

¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Es verdad que,

en este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el

sonido recorre ya 33 centímetros; un avión cerca de medio metro, la Tierra, en este

intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300

kilómetros.

En la actividad laboral y académica, por lo general, establecemos un registro del

tiempo empleado en la confección de un artículo, en los trabajos de taller, para la

investigación, la elaboración de un informe, la atención al cliente, etc. En

Informática hablamos de tiempo de acceso; en fotografía, tiempo de exposición; en

el deporte, tiempo muerto; en astronomía, tiempo sideral; en religión, tiempo

litúrgico; en lingüística, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal

como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse.

Unidad Fundamental.

Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad

fundamental de la magnitud tiempo es el SEGUNDO.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DEFINICIÓN DE LA UNIDAD

Tiempo Segundo s

Es la duración de 9 192 631 770 períodos

de la radiación correspondiente a la

transición entre los dos niveles hiperfinos

del estado fundamental del átomo de

cesio 133

MATEMÁTICA


9.2. MULTIPLOS DEL SEGUNDO.

Se tiene al MINUTO y a la HORA.

El instrumento para medir el tiempo se llama .......................................

El tiempo es la única magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora

local utilizando el segundo y sus múltiplos (minuto y hora) se recomienda lo

siguiente:

1. En la representación numérica del tiempo se emplearán las cifras arábigas

(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearán únicamente los siguientes

símbolos:

h hora

min minuto

s segundo

2. El tiempo se expresará utilizando dos cifras para indicar los valores

numéricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los

símbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al

siguiente orden:

Primero: HORA Segundo: MINUTO y Tercero: SEGUNDO

Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 18 h 54 min 27 s

3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas y

minutos, puede omitirse el último símbolo respectivo.

Ejemplo: 05 h 11 min 20 s 05 h 11 min 20

00 h 39 min 08 s 00 h 39 min 08

23 h 42 min 18 h 42

15 h 15 h

4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del día siguiente.

Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del día martes.

MATEMÁTICA


5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el

modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua.

Ejemplo:

Denominación recomendada Denominación antigua

08 horas 8 a.m.

15 h 30 min ó 15:30 h 15:30 p.m. ó 3 p.m.

12 h 12 m

23 h 42 ó 23:42 h 11:30 p.m.

24 h 12 p.m.

6. Cuando se escriba una cantidad acompañada de una unidad del SI, se

recomienda escribir la cantidad seguida del símbolo de la unidad y no del

nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos técnicos.

Ejemplo: Correcto Incorrecto

47 s cuarenta y siete s

27 min veintisiete min

RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA

NUMÉRICA

a) En la representación numérica de fechas se utilizarán las cifras arábigas, es

decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

b) Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en

bloque. Cuando no exista riesgo de confusión podrá utilizarse sólo dos

cifras.

Ejemplo: 2007 ó 07

1998 ó 98

Para expresar el mes se utilizarán dos cifras, desde 01 hasta 12. Para

expresar el día se empleará dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la

fecha completa, se respetará el orden siguiente:

MATEMÁTICA


Primero: AÑO Segundo: MES y Tercero: DÍA

Además se usará preferentemente un guión para separarlos, también se

puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusión.

Ejemplo: 2005-03-17 ó 2005 03 17

98-09-23 ó 98 09 23

c) Ejemplos de escritura de fechas numéricas

Correcto Incorrecto

20 de marzo del 2007 2007-03-20 20-3-2007

25 de diciembre de 1998 1998-12-25 25 / 12 / 98

28 de julio de 1821 1821-07-28 28 / VII / 1821

30 de abril de 2007 2007-04-30 2,007-04-30

15 octubre de 2003 2003-10-15 15 de octubre de 2003

9.3. EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO.

El tiempo se mide de la unidad más grande a la más pequeña en:

Milenio 1000 años.

Siglo 100 años.

Década 10 años.

Lustro 5 años.

Año 12 meses, 365 días o 366 en los años bisiestos.

(una vez cada 4 años el mes de febrero tiene 29 días)

Semestre 6 meses.

Trimestre 3 meses.

Bimestre 2 meses.

Mes 30 días (abril, junio, septiembre y noviembre).

31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre).

Quincena 15 días.

MATEMÁTICA


Día 24 h 1440 min 86 400 s

Hora 60 min 3600 s

Minuto 60 segundos

9.4. OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO.

ADICIÓN.

Operar: 07 h 45 min + 07 h 15 min +

02 h 14 min 04 h 50 min

09 h 59 min 11 h 65 min 12 h 05 min

Ahora sumar: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min

Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min

Ahora sumar: 23d 18 h 20 min + 36 h 48 min

El resultado será: ……………………..

SUSTRACCIÓN.

Operar: 16 h 50 min - 18 h 30 min - 17 h 90 min -

12 h 30 min 17 h 45 min17 h 45 min

04 h 20 min 00 h 45 min

Observar que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usar el artificio de

“pedir prestado” una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1 h.

Observación:

05 h 30 min es diferente de 5,30 h

Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min

MATEMÁTICA


MULTIPLICACIÓN.

Operar: 06 h 14 min 29 s 5 = 30 h 70 min 145 s 31 h 12 min 25 s

03 h 12 min 25 s 18 = 54 h 216 min 450 s 57 h 43 min 30 s

Ahora multiplicar: 5d 08h 20min 24s 12

el resultado es: ........................................................

DIVISIÓN.

Operar: 57 h 43 min 30 s 18 54 h 180 min 420 s 03h 12min 25 s

03 h 223 min 450 s 60 18 36

180 43 90 36 00

7 60 420

Dividir: 28d 09h 35min 7 Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s

Dividir: 4d 13h 30min 20s 5

El resultado es: .................................................

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min

2. De 17 h restar 12 h 30 min

3. Utilizar los símbolos de acuerdo al ejemplo:

Ejemplo: Diez horas y cincuenta y cinco minutos 10 h 55 min

a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos

b) Dieciocho horas y cinco minutos

c) Trece horas y media

d) Doce horas y media

4. Escribir conforme al ejemplo:

Ejemplo: 07 h 15 min siete horas y quince minutos.

a) 05 h 45 min

b) 18 h 30 min

5. Indicar los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo:

Ejemplo: 08 h 480 min 28 800 s

a) 05 h 30 min 330 min

b) 04 h 10 min

c) 02 h 50 min

d) 09 h 15 min

6. Desarrollar:

a) 05 h 40 min + 03 h 35 min

b) 03h 35 min + 02 h 40 min

c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min

MATEMÁTICA


d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min

e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min

f) 55 h 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s

7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h 30

min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza.

8. Realizar las siguientes sustracciones:

a) 18 h 30 min – 13 h 15 min

b) 12 h 45 min – 07 h 30 min

c) 04 h 15 min – 30 min

d) 03 h 20 min – 50 min

e) 12 h – 07 h 30 min

9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 17 h 15 min. Un trabajador pudo

hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y desde las 12 h

45 min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el tiempo empleado y

el tiempo previsto.

10. Completar el cuadro:

01 min ……………… s

01h ……………… s

01h ……………… min

1d ..................... h

1 semana ..................... d

1 año ..................... d

1 década ..................... años

11. Colocar el signo igual (=) o diferente ()

a) 07 h 45 min .................. 07,45 h

b) 07, 45 h ………..…. 07 h 27 min

c) 12,30 h ……………. 12 h 18 min

d) 12 h 30 min ……………. 12,30 h

MATEMÁTICA


e) 17,15 h ……………. 17 h 15 min

f) 17 h 15 min ……………. 17,25 h

12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h. Calcular el

total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en días y horas (1 día laborable

es 8 horas)

13. Una pieza fue fabricada en 4 períodos iguales. Si cada período fue de 06 h 50

min, ¿Cuál es el tiempo empleado en la pieza?

14. Un instalador hidráulico trabaja desde las 07 h hasta las 11 h 30 min, y desde

las 13 h hasta las 15 h. Después de 6 días de trabajo. ¿Cuánto debe recibir, si

por hora cobra S/. 6?

15. Calcular los 3/5 de 2 d 05 h 20 min.

16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha

trabajado la tercera parte de este período, ¿Qué tiempo ha trabajado el segundo

obrero? (Trabajan 8 horas diarias).

17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demoró 15 d 6 h 30 min. ¿Qué

tiempo emplearán en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias?

Muy Importante:

Sería necesario memorizar las equivalencias de los múltiplos del tiempo, según

esto, numerar la segunda columna de acuerdo a la primera:

(1) 1 año ( ) 30 minutos

(2) media hora ( ) 100 años

(3) 3 minutos ( ) 3 meses

(4) 1 siglo ( ) 180 segundos

(5) 1 bimestre ( ) 365 días

(6) 1 trimestre

MATEMÁTICA


Escribir los meses que tienen 31 días:

Escribir (V) ó (F), si es verdadero o falso:

Febrero tiene 31 días ( )

Un trimestre tiene 3 años ( )

Un día tiene 24 horas ( )

Una hora tiene 3600 segundos ( )

Un día tiene 1440 segundos ()

Una semana tiene156 horas ()

Un año tiene 4 trimestres ()

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual

al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?

Día = 24 h

x24rtranscurrifaltanquehoras

xdastranscurrihoras

Luego: 85372)24(5

3 xxxxx

Es las 9 de la mañana

2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte de

este periodo. ¿Qué tiempo trabaja Palmira?

min9060

min30551

3min301615

mi

hdh

hd

Palmira trabaja 5d 5 h 30 min

3. Un ómnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40

min. ¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo?

2h 40 min = 160 min

120 km = 120 000 m

MATEMÁTICA


Recorre por minuto min/750min160

000120m

m

4. ¿A qué es igual 121 207 segundos?

121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto

2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto

33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto

9 h 40 min 7 s

5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son:

Pedro: 15 años 5 meses 6 días, Marisol: 7 años 4 meses 8 días

Roberto: 4 años 18 días, ¿Cuánto suman las tres edades?

15 años 5 meses 6 días

7años 4 meses 8 días

4 años 18 días

26 años 9 meses 32 días = 26 años 10 meses 2 días

6. Un mecanógrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. ¿Cuánto

necesitará para hacer 7 veces más el mismo trabajo?

3 h 16 min 18 s x

8

24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 )

1 d 2 h 10 min 24 s

MATEMÁTICA


7. En una fábrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos laboró 25 d 4 h 35 min.

¿Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h?

25 d 4 h 35 min x

14

350 d 56 h 490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)

358 d 10 min

8.Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, después de 6 d de trabajo se

retiran 2 de ellos. ¿Con qué atraso se entregará la obra?

xobr

hhdobr

hdobr

4

78696

6156

(como trascurren 6 d)

hdhobr

hobrx 514117

4

786

14 d 5 h – 9 d 6 h = 4 d 7 h

9. Una persona nació el 15 de setiembre de 1986. ¿En qué fecha cumplirá 36 años

8 meses y 20 días de edad?

1986 años 9 meses 15 d +

36 años 8 meses 20 d

2022 años 17 meses 35 d =

2023 años 6 meses 5 d

10. Una obra está programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador. Este

empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para refrigerar. Si

prosigue su labor a las 15 h 17 min, ¿A qué hora deberá acabar su trabajo?

15 h 17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio

Hora de inicio 8 h 20 min +

Duración del trabajo12h 18 min

Refrigerio 37 min

20 h 75 min = 21 h 15 min

MATEMÁTICA



1) Convertir en: a) horas: 312min; 6374 s; 3,2min; 6800min; 22850 s; 415min. b) minutos:32h; 4350h; 6,8h; 8400 s;18215 s; 12h. c) segundos:21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h. d) decimals: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s. e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h. f) restar: 143h 36min 18 s -45h 39min 26 s. 2) Convertir en: a) grados: 240' ;35' ; 4200”; 31,2' ; 0,68' ; 0,42” ; 425'

b) minutos: 360” ;38 ;4600” ; 38,6 ; 0,64 ; 172” ; 86”

c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2” ; 0,45 ; 0,012; 15

d) decimales: 64' ; 28”; 12627'42” ; 3638'18” ; 42 12' 48”

f) sumar: 1446'+18134”+378' + 9 12' 32” 3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Reducir el tiempo a decimales. 4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo para una pieza de trabajo. 5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. ¿Cuánto tiempo fue necesario para dar una vuelta?

6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12' 56”. Para el ajuste se requiere el ángulo en decimales.

7) La suma de los dos ángulos de un triangulo es de 139 37' 4”. Calcular el tercer ángulo.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS – NIVEL II.

1. Me desperté a las 7 h 32 min 14 s e ingresé a Estudios Generales12 432 segundos después. ¿A qué hora ingresé a estudiar?

A) 9 h 59 min 27s

B) 7 h 32 min 43 s

C) 3 h 29 min 50 s

D) 10 h 59 min 26s

E) 13 h 2 min 59 s

2. Cada día de lunes a viernes, gané S/. 6 más de lo que gané el día anterior. Si el viernes gané el quíntuple de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el jueves?

A) 30 B) 25 C) 28D) 27 E) 24

3. La bajada de una montaña se hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo empleado en la subida. Si una persona bajó desde la cúspide en 1 h 56 min y subió a razón de 50 m cada 5 min, ¿Calcular la altura de la montaña?

A) 860 m B) 1160 m C) 1450 mD) 950 m E) 1830 m

4. Un elástico al ser estirado 3 cm vuelve a su estado primitivo al cabo de 30 s. Si se estira 3 mm, ¿Cuánto tiempo después volverá a su estado primitivo?

A) 30 s B) 3 s C) 0,3 s D) 5 s E) 4 s

5. Desde las 24 horas hasta este momento han transcurrido 84 352 s, ¿Qué hora es?

A) 23 h 25m 51 s

B) 23 h 25min 52 s

C) 24h 25 min 52 s

D) 22 h 32 min 25 s

E) 21 h 23 min 35 s

6. Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4 de enero. Si asfaltan una cuadra en 4 días, ¿En qué fecha se acaba la obra, si la avenida tiene 43 cuadras?

A) 05-26B) 06-26C) 07-26D) 04-26 E) 07-25

MATEMÁTICA


7. Expresar en días, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s

A) 114 d 22 h 07 min

B) 360 d 22 h 07 min

C) 360 d 22 h 07 min 05 s

D) 866 d 20 h 07 min 05 s

E) 368 d 22 h 07 min

8. Si a la mitad de los días transcurridos en el año, se le agrega 1/3 de los que falta para acabarse, se obtiene el número de días transcurridos. ¿En qué fecha estamos?. Considerar año no bisiesto.

A) 05-25

B) 05-26

C) 05-27

D) 04-26

E) 04-27

9. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno de ellos laboró 25 d 04 h 35 min. Calcular el tiempo total de trabajo de dichos empleados. Considerar 1 d: 08 horas de trabajo.

A) 357 d 05 h

B) 358 d 40 min

C) 358 d 10 min

D) 357 d 49 min

E) 358 d 06 h

10. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace en 20 h 45 min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10 matrices en el taller, ¿Cuánto tiempo de ventaja le lleva el tornero al aprendiz?

A) 3 d 02 h 15 min

B) 5 d 01h 40 min

C) 3 d 04 h 40 min

D) 4 d 02 h 50 min

E) 5 d 01 h 50 min

MATEMÁTICA


11. Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2 m2 en

05 h 30 min. Si el barco tiene una superficie total de 347 760 m2, ¿En cuánto tiempo estará listo el barco?

A) 11 meses 2 d 01 h 30 min

B) 11 meses 15 d 03 h 25 min

C) 11 meses 04 d 15 min

D) 10 meses 3 d 02 h 10 min

E) 11 meses 28 d 10 h 15 min

12. Un caño llena un depósito en dos horas, y estando lleno el desagüe lo vacía en tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abre el desagüe dos horas después de abrir el caño?

A) 02 h

B) 03 h

C) 04 h

D) 05 h

E) 06 h

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PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III

Medida de tiempo

1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500 Km. ;

lo que efectúa en 16 horas y 40 minutos. ¿Qué velocidad debe llevar un

segundo tren, que parte 2 horas y 58 minutos después que el primero, para que

alcance a éste en una estación situada a 156Km. Del punto de partida?

a) 69,85 Km/h b) 30Km/h c) 40Km/h d) 50Km/h e) 60Km/h

2. Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero cada

noche baja 600 mm. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto de la pared que mide

10m de altura?

a) 22 días b) 23 días c) 24 días d) 25 días e) 26 días

3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar las 12,

en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la última campanada.

¿Cuánto dura la aparición del fantasma, si además el reloj tarda 6 segundos en

dar las 6?

a) 10 seg b) 12 seg c) 13 seg d) 13,2 seg e) 15 seg

4. ¿A que hora entre las 2 y las 3, el horario y el minutero estarán en direcciones

opuestas?

a) 2h 43min 38s b) 2h 23min 38s c) 2h 33min 38s

d) 2h 43min 28s e) 2h 43min 18s

5. ¿Qué tiempo tardará un auto en recorrer 1626 Hm con una velocidad de

60 Km/h?

a)2,69h b)2h 42min 30s c)2,72h d)2h 44min 36s e)2h 42min 36s

6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio

¿Cuánto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio?

a)18min b)36min c)15min d)27min e)24min

MATEMÁTICA


7. Rosa ,Chabela, Margarita demora 15 minutos en limpiar ½,1/3y 1/4 de su

casa respectivamente.Si juntas se ponen a limpiar todo su casa ¿En que

tiempo lo harían?

a)12/13 min b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min e)13 11/13 min

8. Un ladrón arrebata una cartera a una señora escapándose con una

velocidad de 8 m/s y la señora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrón

ha sacado 120 m de ventaja, lo atrapa un policía ¿Qué tiempo demoró la

fuga del ladrón?

a) 32s b)15s c)24s d)18s e)30s

9. En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un pantalón y

3 camisas, o dos pantalones y una camisa ¿En cuánto tiempo

puede confeccionar un pantalón y una camisa?

a)3h b) 3h 30min c) 4h d) 4h 30min e) 5h

10. A cuánto equivale 3,5 trimestres:

a) 3m b) 2m 1d c) 40d d) 1m 15d e) 6m 2d

11. Un padre tiene 30 años y su hija 3 ¿Dentro de cuántos años la edad de

padre será el cuádruple de la edad de su hija?

a) 15años b)3añosc)5años d)6años e)10años

12. ¿En qué tiempo cruzará un tren de 40 m de longitud a un puente de

200m de largo, si el tren tiene una velocidad de 30m/s?

a)7s b)6s c)8s d)9s e)10s

13. Tres aviones A,B y C parten de una base a las 8 horas .Si A regresa cada

hora y cuarto, B cada ¾ hora y C cada 50 minutos, se reencontrarán

por primera vez en la base a las :

a)17h 20min b)18h 20min c)15h 30min d)17h 30min e)16h 30 min

MATEMÁTICA


14. Un reloj se retrasa 8 minutos cada 24 horas .Si éste marca la hora correcta

7am el 2 de Marzo ¿Qué hora marcara a la 1pm del 7 de Mayo?

a)11h 28 min b)12h 8min c)11h 18min d)12h 42min e)12h 18min

15. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos.si ahora marca las 5h 2min

y hace 4 horas que se adelanta,la hora correcta sería:

a) 4h 48min b)4h 28min c)4h 30min d)4h 32min e)4h 52min

16. Un trabajador ha laborado 18d 21h 20s si su compañera ha laborado 3/4

de ese tiempo .¿ Cuál es el tiempo de labor efectuado por esta

persona?(1d=8h de trabajo)

a)15d 4h 35min 20s b)16d 2h 10min 12s c)15d 3h 45min15s

d)14d 5h 25min 40se)15d 4h 15min 10s

17. Si fuera 3 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día los 5/7

de lo que faltaría si es que fuera 3 horas mas temprano .¿Qué hora es?

a) 6:00 am b)7:00am c)7:20am d)8:45am e)7:45am

18. A cuánto equivale 25,13 meses:

a) 4a5m7h b) 2a1m3d21h36min c) 5a2m7h d) 3a6m15h e) 7a34m

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UNIDAD 10

RAZONES Y PROPORCIONES

MATEMÁTICA


10.1. RAZÓN.

Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud

mediante las operaciones de sustracción o división.

10.2. TIPOS DE RAZONES. RAZÓN ARITMÉTICA.

Es la comparación de dos cantidades que se obtiene mediante la sustracción, y

consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra.

a menos b

a – b = r el exceso de a sobre b

a excede a b Ejemplo:

Las velocidades de dos autos son Va = 30 m/s y Vb = 24 m/s.

Valor de Razón aritmética la razón

Va – Vb = 30 m/s – 24 m/s= 6 m/s

Antecedente Consecuente

La velocidad del auto “a” excede en 6 m/s a la velocidad del auto “b”.

El exceso de Va sobre Vb es 6 m/s.

La velocidad de Va excede a Vb en 6 m/s.

APLICACIONES:

1. Hallar la razón aritmética de:

a) Las edades de Adán y Eva que son de 20 años y 11 años.

Rpta. 9 años.

b) Los precios de dos artículos son S/. 1,40 y S/. 3,60.

Rpta. S/. 2,20

MATEMÁTICA


2. La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es 20º C, si la

menor temperatura marca 50º C, ¿cuál es la mayor temperatura?

Rpta. 70ºC

3. La edad del padre excede en 24 años a la edad del hijo, y éste tiene 40 años.

Hallar la edad del hijo.

Rpta. 16 años.

4. La razón aritmética de dos números es 15, si el menor es 30. Hallar el

número mayor.

Rpta. 45.

RAZÓN GEOMÉTRICA. Es la comparación de dos cantidades mediante el cociente.

a= k Razón de a sobreb

a es a b

a entre b

Ejemplo:Las edades de dos personas son 48 años y 36 años respectivamente

Razón geométrica

Antecedente a 48 años 4

Consecuente b 36 años 3 Valor de la razón

APLICACIONES:

1. La diferencia de dos números es 280 y están en la relación de 7 a 3. Hallar

el mayor número.

Rpta. 490.

2. Las edades de dos personas son: 20 años y 12 años, ¿En qué relación están

sus edades?

Rpta. 5 / 3.

MATEMÁTICA


3. De dos números, cuya razón aritmética es 19, y su suma es 35. Hallar la

razón geométrica.

Rpta. 27/ 8.

4. La razón aritmética de dos números es 26, y la razón geométrica

es 3. Hallar el menor número.

Rpta. 13.

10.3. PROPORCIÓN. Es el resultado de comparar dos razones.

DIFERENCIA:a – b= c – d =r PROPORCIÓN ARITMÉTICA

COCIENTE:a = c = k PROPORCIÓN GEOMÉTRICA b d También se expresa como:“a” es a “b” como “c” es a “d”, a : b :: c : d

Para ambos casos, a y d se llaman EXTREMOS; b y c MEDIOS.

10.4. CLASES DE PROPORCIONES. PROPORCIÓN ARITMÉTICA(P.A.) (Equidiferencia). A) PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA .

Los cuatro términos de la proporción son diferentes:a b c d.

El 4º término (d) de la proporción se llama:CUARTA DIFERENCIAL.

Términos 1º 2º 3º 4º

a– b = c – d = r

medios extremos

MATEMÁTICA


a , c :antecedentes b , d : consecuentes

PROPIEDAD BÁSICA:

suma de extremos = suma de medios a + d = b + c

B) PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA.

Los términos medios son iguales.

El 3º término (c) de la proporción se llama: TERCERA DIFERENCIAL.

MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMÉTICA b = a + c

2

Términos 1º 2º 2º 3º a – b = b – c = r PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (P.G.) (Equicociente). A) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA.

Los cuatro términos son diferentes: a b c d

El 4º término (d) de la proporción se llama:

CUARTA PROPORCIONAL

Términos 1º 3º

Antecedentesa = c = medios

Consecuentes b d extremos

Términos 2º 4º

PROPIEDAD BÁSICA:

Producto de extremos=Producto de medios

a. d =b.c

MATEMÁTICA


B) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA.

Los términos medios de la proporción son iguales.

El 3º término (c) de la proporción se llama:

TERCERA PROPORCIONAL.

1º 2º

antecedentes a = b = k consecuentes b c 2º 3º

MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMÉTRICA b = a. c 10.5. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.

a = k c = k a = c = k b d b d 1º a + b = c + d = k + 1; a – b = c – d = k – 1 b d b d 2º a + b = c + d = k + 1 a – b c – dk – 1 3º a + c = k; c – d = k a + b b – d 4º a = c = k

a b c d k 1 5º a2 + b2 = c2 + d2 = k2 a2 – b2c2 – d2 6º a x c = (a + c)2 = k2

b x d (b + d)2 a1= a2 = a3 = a4=….. = a(n – 1) = an = k b1 b2 b3b4….. b(n – 1) bn

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7º a1 + a2 + a3 + a4 + ….. + a(n – 1) + an = k b1 + b2 + b3+ b4 + ….. + b(n – 1) + bn

8º a1x a2x a3x a4x ….. x a(n – 1)x an = k n b1x b2x b3x b4 x …..x b(n – 1)x bn

10.6. ESCALAS GRÁFICAS.

La ESCALA es la razón entre la longitud representada en un plano y la longitud en

tamaño real.

La ESCALA es una fracción con numerador unitario. El denominador indica las

veces que se repite el numerador para obtener la medida o dimensión real.

ESCALA = Longitud en el plano

Longitud del tamaño real

Tamaño real= 4,50 m Tamaño en el plano = 0,09 m

Tamaño en el plano = 0,09 m Tamaño real 4,50 m

Escala: 1 : 50 REPRESENTACIÓN.

1:100 “indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real”

1/100 “indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real”

1 “indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real” 100

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

1. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si

el dibujo se hace a una escala de 1 : 750?

1 = X X = 45 m = 0,06 m= 6 cm 750 45 m 750

Rpta.6 cm

2. En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones del dormitorio

son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones

reales del dormitorio?

Rpta. 1,5 m.; 2,0 m.

3. La distancia gráfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500

es 20 cm. Hallar la distancia gráfica en otro plano a Escala 1 : 10

000.

Rpta. 5 cm

4. Completar el siguiente cuadro y hallar X, Y, Z, W, P, Q y R, en las unidades

medidas:

Nº ESCALAS DISTANCIA GRÁFICA

DISTANCIA REAL

1 1 : 20 X mm 2,40 m

2 1 : 25 5 ½ cm Y m

3 1 : 50 5 ¼ cm Z cm

4 1 : 75 W mm 0,02 km

5 1 : 100 6,5 m P cm

6 1 : 150 4 cm Q km

7 1 : 200 R mm 0,54 m

Solución de la aplicación, completando el cuadro:

Nº ESCALAS DISTANCIA GRÁFICA

DISTANCIA REAL

1 1 : 20 120 mm 2,40 m

2 1 : 25 5 ½ cm 1 3/8 m

3 1 : 50 5 ¼ cm 262,5 cm

4 1 : 75 3 750 mm 0,020 km

5 1 : 100 6,5 m 65 000 cm

6 1 : 150 4 cm 0,006 km

7 1 : 200 27 mm 0,54 m

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PROBLEMAS RESUELTOS.

1. La razón de dos números es 6/5, y la suma de dichos números es igual a

33. ¿Cuáles son estos números?

A) 20; 13 B) 18; 15 C) 16; 17 D) 30; 3 E) 16; 13

2. En un concurso de tiro, Antonio acertó 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre

90 tiros ; y Ricardo 48 sobre 60 tiros. ¿Quién logró mayor razón de tiros

acertados?

A) Pepe B) Ricardo C) Antonio D) Igual Antonio y Pepe E)Faltan datos.

3. Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes, cuya

diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por

metro es de S/. 8.

A) 352 B) 216 C) 208 D) 360 E) 192

4. Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino

respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se debe de pasar del primer al

segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estén en la

relación de 2 a 3?

A) 68 B) 30 C) 80 D) 40 E) 100

5. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,20 m de

largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ?

A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 100 cm

6. Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se

desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, ¿Cuál será su altura?

A) 80 cm B) 40 cm C) 200 cm D) 60 cm E) 100 cm

7. Sí:A = B =C y (A + B) = 30. ¿Cuánto vale “C”? 2 8 7 A) 12 B) 18 C) 21 D) 30 E) 42

8. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma

relación que los números 11 ; 5 y 144. Hallar el mayor dichos números.

A) 15 B) 48 C) 60 D) 52 E) 24

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9. El producto de los antecedentes de una serie de 3 razones iguales es 288, y

el producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. ¿Cuál es la suma

de los consecuentes, si la suma de los antecedentes es 21?

A) 42 B) 90 C) 91 D) 32 E) 62

10. Un empelado ahorra S/. 5 940 por día; si lo que cobra y lo que gasta

diariamente está en la relación de 13 a 7. Determinar en cuántos soles debe

disminuir sus gastos diarios para que la relación entre lo que cobra y lo que

gasta sea de 9 a 2.

A) S/. 2 035 B) S/. 4 070 C) S/. 5 040D) S/. 4 505E) S/. 6 015

SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS 1. Sean A y B los números

A = 6 k A = 6 k B5k B= 5 k

A+ B =33

K = 3 A= 18 6k + 5k =33 B=15 Rpta. B

2. A : Antonio; P : Pepe; R : Ricardo A = 50 = 2;P = 70 = 7; R = 48 = 4 753 909 605

MCM (3 ; 9 ; 5)=45 homogenizando los denominadores:

A =30; P = 35; R = 36 Rpta. B 45 45 45 3. Sean A y B las dos partes de la tela A+B =72 m Sumando ambas ecuaciones: A=45 m

A–B =18 m Precio=45 m x S/. 8 / m Precio = S/. 360

Rpta. D

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4. 400 – X = 2 X=40 Rpta. D 500 + X 3 5. Escala = Longitud en el plano Longitud de tamaño real

1 cm = X X=6 cm Rpta. E 720 cm 4 320 cm 6. H= altura real del objeto; X= tamaño del objeto en el dibujo 1 = 40 cm 30 H Dividiendo ambas proporciones: 1 = X X=60 cm Rpta. D 20 H 7. A = B = C = k 2 8 7

Propiedad: A + B + C = C (A + B)=30 dato 2 + 8 + 7 7

30 + C = C C= 21 Rpta. C 17 7 8. A+B = A – B = A xB = k 11 5 144 A+B=11 k A=8 k A –B= 5 k B=3k AxB=144 k k= 6

(8 k) x (3 k)=144 k A= 6 x 8 A=48 Rpta. B 9. A = C = E = k BD F Producto de antecedentes:A x C x E = 288 Producto de consecuentes:B x D x F =2 304

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Propiedad: AxCxE = k3 BxDxF

288 = k3 k =1/2 2 304

Propiedad: A + C + E = k B + D + F

21 = 1 B + D + F = 42 Rpta. A B + D + F 2 10. Sea: C = cobra; G= gasta; A=ahorra C= G+ A C– G= S/. 5 940………….(1)

C = 13 k C=13 k ^ G=7 k G 7 k Reemplazando en (1): 13 k – 7 k= 5 940 C=13x990 =12 870 4 k= 5 940 K= 990 G= 7 x990 =6 930 Sea X soles la cantidad en que debe de disminuir sus gastos diarios C = 9 G – X 2

X=S/. 4 070 Rpta. B 12 879 = 9 6 930 – X 2

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1. En un corral hay N aves (patos y gallinas). Si el número de patos es a N

como 3 es a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será la

relación entre patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas?

A) 4 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 4 D) 3 : 20 E) 2 : 3

2. En una reunión hay 60 adultos, y por cada 5 jóvenes hay 7 niños. Luego

llegan a la reunión 50 jóvenes, 40 niños y cierto número de adultos.

¿Cuántos adultos llegaron al final, si los jóvenes niños y adultos son ahora

proporcionales a 5; 6 y 8 respectivamente?

A) 150 B) 160 C) 170 D) 180 E) 190

3. La cantidad de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A le

da a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta parte

de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. ¿Cuánto de dinero tenía A

al principio?

A) S/. 2 800 B) S/. 3 000 C) S/. 3 200 D) S/. 3 500 E) S/. 4 000

4. En una carrera a dos vueltas sobre un circuito cerrado, A le ganó a B por

1/2 vuelta; y B le ganó a C por 1/4 de vuelta. Cuando A llega a la meta,

hallar la fracción de vuelta con que B aventaja a C.

A) 1 / 4 B) 3 / 16 C) 1 / 5 D) 3 / 8 E) 1 / 8

5. La suma de los cuadrado de los 4 términos de una proporción geométrica

continua es 7 225. Hallar la media proporcional, si la diferencia de extremos

es 75.

A) 85 B) 55 C) 80 D) 10 E) 20

6. En un tonel hay una mezcla de 63 litros de agua y 36 litros de vino,

se extraen 22 litros del contenido y se añade al recipiente N litros de vino

para tener finalmente una mezcla cuya relación es de 1 a 3 respectivamente.

Hallar el valor de N.

A) 80 B) 60 C) 110 D) 119 E) 120

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7. A es la tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de 56, 7

y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta proporcional de

B, A y C.

A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25

8. Cierto número de canicas se divide en tres grupos, cuyos números son

proporcionales a los números 5, 7 y 11 respectivamente. Si del tercer grupo

pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo queda el doble de lo

que hay en el primer grupo, ¿Cuántas canicas hay finalmente en el segundo

grupo?

A) 50 B) 54 C) 58 D) 62 E) 64

9. Sean A y B dos cantidades: A es la cuarta proporcional de 12; 5 y 16, B es

la media proporcional de 1 y 81. La correcta relación de orden entre A y B es:

A) A < B B) A = B C) A > B D) A +1= R E) A2< B

10. Se desea preparar una solución utilizando los componentes líquidos A, B y C

en la proporción de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solución le faltan 2 litros

del componente B y 2 litros del componente C; los cuales son remplazados

por el componente A, siendo la proporción final obtenida de 2; 3; X. Hallar

X.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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1. Se quiere cortar un tubo de acero de 2,75 m de longitud en razón directa de

2:3. Calcular las longitudes parciales.

2. El diámetro y la longitud de un eje están en razón directa de 2:7. El diámetro

del eje es de 40 mm. Calcular la longitud del eje.

3. Los brazos de una palanca de 1,75 m de longitud están en relación directa

de 3:7. ¿Cuál es la longitud menor cuando para la otra se miden 1,48 m.?

4. Una chapa de acero de 800 x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo

en la proporción de 1:20 ¿Qué longitud tendrán los lados en el dibujo?

5. La escala de un mapa automovilístico es de 1:500 000. ¿Qué longitud natural

corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa?

6. Un trayecto de 2,875 Km de longitud está representado en un mapa con 11,5

cm. Determinar la escala del mapa.

7. Un letrero advierte »Pendiente de 5% en 1200 m «. Calcular la altitud a

superar.

8. El diámetro y la longitud de un cono están en razón directa de 1:10. Calcular

el diámetro correspondiente a la longitud de 150 mm.

9. Una chaveta tiene una razón de inclinación de 1:20. ¿Qué altura corresponde

a una longitud de chaveta de 140 mm?

10. En un plano inclinado alcanza una bola después de 6 segundos una velocidad

de rodaje de 7,6 m/s. ¿Qué velocidad tiene la bola después de 8 segundos?

11. Calcular las proporciones de Cu y Sn para 42 kg de latón, cuando la relación

es de 2:3.

12. Longitud y anchura de un paralelogramo rectángulo de 54 cm2 de superficie

están en razón directa de 2,3. Calcular la longitud de los datos.

13. Dos ruedas dentadas engranan entre sí. Una rueda tiene 24 dientes y la otra

85. Calcular el número de revoluciones de la rueda grande cuando la pequeña

efectúa 640 revoluciones.

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