Matematica Para Ingenieros Ucv Cajamarca

download Matematica Para Ingenieros Ucv Cajamarca

of 62

  • date post

    26-Oct-2014
  • Category

    Documents

  • view

    120
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Matematica Para Ingenieros Ucv Cajamarca

Ingeniera Civil

PROGRAMA DE DESARROLLO PROFESIONAL FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Universidad Csar VallejoLey 25350

FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA DE INGENIERA CIVIL

MDULO DE CIENCIAS BSICASSEGUNDA TITULACIN Presentado por: Escuela de Ingeniera Civil Facultad de Ingeniera UCV

Decano de la Facultad de Ingeniera MG. Jorge salas Ruiz Director de Escuela de Ingeniera Civil Ing. Ricardo Delgado Arana Docente del Curso Mg. Halyn lvarez Vsquez

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 1

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Localizacin de un punto en el plano cartesiano La Geometra Analtica tiene por objeto la resolucin de problemas geomtricos utilizando mtodos algebraicos. El sistema que se emplea para representar grficas fue ideado por el filsofo y matemtico francs Descartes (1.596 -1.650), quien us su nombre latinizado, Renatus Cartesius, y por esta razn se conoce con el nombre de ejes cartesianos. En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre s (ejes) que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano queda unvocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se d tambin un criterio para determinar sobre qu semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de nmeros, las coordenadas, quedar representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio ser la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal). En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (tambin se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomndose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto. Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, as que sern de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrn abscisa igual a 0, por lo que sern de la forma (0,y). El punto donde ambos ejes se cruzan tendr por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa ser 0 y su ordenada tambin ser 0. A este punto el (0,0) se le denomina origen de coordenadas.

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 2

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

LA RECTA

FORMAS DE LA ECUACIN DE LA RECTA a) b) c) d) Dos puntos: La ecuacin de la recta que pasa por los puntos P(x 1,y1) y Q(x2,y2) es: y2 y1 y y1 x x1 . x2 x1 Punto-pendiente: La ecuacin de la recta que pasa por el punto P(x1,y1) y cuya pendiente es m es: y-y1 = m(x-x1) General: Una ecuacin lineal, con variables x, y, es de la forma constantes arbitrarias. De esta manera la pendiente es m=-A/B , B 0. Ax + By + C=0, donde A, B, C son

Nota Si las rectas L1 y L2 tienen pendientes m1 y m2 respectivamente, entonces: 2. L1//L2 m1 = m2 3. L1 L2 m1.m2 = -1

Ejemplo 3. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1,4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-3,2) y (2,6). Solucin. Ejemplo 4. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 4y+1=0. (-1,2) y es perpendicular a la recta 3x-

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 3

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 4

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

LA CIRCUNFERENCIADefinicin 1 La Circunferencia La circunferencia es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

.3 LA CIRCUNFERENCIAC(h,k) r

Teorema 1 1. FORMAS ORDINARIAS DE LA CIRCUNFERNCIA a) b) FORMA ORDINARIA. Sea el centro C(h,k) y radio r, entonces la ecuacin de la circunferencia es: (x-h)2+(y-k)2 = r2 FORMA GENERAL. Toda circunferencia se puede expresar por medio de la ecuacin: x2+y2+Dx+Ey+F = 0, que completando a un trinomio cuadrado perfecto da:

xD E

D 2

2 y

E 2

2

2 D

2 E 4

4F

as el centro es C

,

2 2 Si D2+E2-4F>0, la circunferencia es real.

y el radio r=

1 2

2 D

2 E

4F .

Si D2+E2-4F 0, la elipse es real.

4A D 2

4C E 2

Si

4A D 2

4C E 2

F < 0, la elipse es imaginaria.

Si

4A

4C

F = 0, la ecuacin representa al punto

D 2A

,

E 2C

Teorema 2 ( TANGENTE A UNA ELIPSE )2 2 x y 2 2 1 , en cualquier punto P(xo,yo) de la elipse, es: a b b2xox + a2yoy = a2b2

La ecuacin de la recta tangente a la elipse

Teorema 3 ( TANGENTE A UNA ELIPSE )2 x 2 a2 b

La ecuacin de las recta tangentes a la elipse y = mx2 2 a m

2 y 2 b

1 , de pendiente m, es:

Ejemplo 1. Determine la ecuacin de la elipse si se sabe que LR = 3, b = 3, C(0,0). Y el eje mayor es paralelo al eje y. Solucin. Ejemplo 2. Determine la ecuacin de la elipse que pasa por los puntos (0,1), (1,-1), (2,2) y (4,0), cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados. Solucin. Ejemplo 3. Determine las ecuaciones de las rectas que pasan por (3,4) y son tangentes a x 2+4y2=16.

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 8

Ingeniera CivilINFORME LA PARABOLA

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 9

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 10

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Definicin 2 Forma general de una parbola: a) b) Parbola con eje de simetra horizontal: y2 +Ax +By +C = 0 Parbola con eje de simetra vertical: x2 +Ax +By +C = 0

Teorema 2 La ecuacin general de segundo grado con dos variables es de la forma:

Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx +Ey + F =0 En este trinomio se le llama discriminante a la expresin =B24AC y sirve para identificar la clase de cnica a la que corresponde dicha ecuacin de acuerdo con las siguientes reglas: a) b) c) d) si Si Si Si 0. Solucin Ejemplo 4. Halle una ecuacin que relacione todos los puntos que equidistan del punto (3,4) y la recta y = 8. Solucin. Ejemplo 5. Halle la ecuacin de la parbola de eje paralelo al eje X y que pase por los puntos P(-2,1); Q(1,2) y R(1,3).

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 11

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

LA HIPERBOLA 5 LA

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 12

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 13

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Teorema 1 ( FORMAS DE LA ECUACIN DE LA HIPRBOLA ) a) Forma General. Toda hiprbola se puede expresar por medio de la ecuacin Ax 2 +Cy2 +Dx + Ey + F = 0, siempre y cuando A y C sean de distinto signo. Completando cuadrados , el resultado es:

A x

D 2A

2 C y

E 2C

2

D

2

2 E 4C

F , siendo el centro

D 2A

,

E 2C

4A

Si

D

2

E

2 F 2 F =0, la ecuacin representa dos rectas que se interceptan.

4A D 2

4C E

0, representa una hiprbola.

Si

4A

4C

Ejemplo 1. Determine la ecuacin de la hiprbola si se sabe que su centro es C(2,5), a=6, c=8 y eje focal paralelo al eje Y. Solucin. Para definir la ecuacin es necesario tener el centro y los valores a y b. Como c2 = a2+b2 64=36 +b2 b2=28

Reemplazando en la ecuacin ordinaria de la hiprbola vertical

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 14

Ingeniera Civil

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.y 52

1 ( Forma ordinaria) 36 28 Ejemplo 2. Estudiar la grfica de la ecuacin: 9x2-4y2=1

x

2

2

Solucin.

Ejemplo 3. Estudiar la grfica de la ecuacin: 9x2-4y2-54x-16y+29=0 Solucin.

Teorema 2 ( TANGENTE A UNA HIPRBOLA )2 x 2 a y 2 1 en cualquier punto P(x1,y1) de la hiprbola es:

La ecuacin de la recta tangente a la hiprbola: b2x1x-a2y1y=a2b2

2 b

LS

LT

Q

P

Ejemplo 7. Hallar la ecuacin de la recta tangente a la hiprbola 2x2-5y2=3, en el punto P(-2,1). Solucin. Escribiendo en la forma estndar:2 x 3/2 2 y 3/5

1

Entonces la ecuacin de la recta tangente a la hiprbola en el punto dado es: - 2x y 1 simplificando: 3/2 3/5

4x+5y+3=0

Mg. Halyn lvarez Vsquez

Pgina 15

Ingeniera Civil ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACION 1LA RECTA1. Trace la recta que pase por los puntos P y Q y determine su pendiente: a) P(1,1) y Q(4,6) b) P(2,3) y Q(-3,-2) Trace la ecuacin de la recta que pasa por el punto P, y tiene pendiente m. a) P(-1,3) y m=1/3 b) P(7,-3) y m=4 Trace la grfica de las ecuaciones siguientes: a) 3x-5y+1=0 b) 3x+2y=4 c) 5x+7y+12=0

Matemtica IngenierafP

Prof: Halyn Alvarez Vsquez.

Escriba en forma estndar, la ecuacin de elipse que tiene las propiedades citadas: 2. 3. 4. Centro (0,0); eje mayor horizontal de longitud 10, eje menor de longitud 6. Centro (2,3); focos (-2,3) y (6,3); eje men