Matemática II - Mónica Bocco

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Universidad Empresarial Siglo 21 Whitney International University System

Rector: Juan Carlos Rabbat Director de Operaciones de Whitney International University System: Nestor Ferraresi Decano de Educacin Distribuida: Fernando Sastre Director de Tecnologa: Jose Garello Directora Acadmica: Maria Beln Mend Directora de Comunicacin: Cristina Schwander Director de Marketing: Martin Vsquez Directora de Operaciones: Valeria Domnguez Secretaria de alumno: Maria Eugenia Scocco Coordinadora general: Elida Gimenez Procesamiento metodolgico y didctico: Olga Singeser Corrector de estilo gramatical: Rodolfo Bellomo Revisin Editorial: Diego Yorbandi y Mariana Vigo

Derechos Reservados Editorial: ISBN: Universidad Empresarial Siglo 21 Mons. Pablo Cabrera Km 8 12. Camino a Pajas Blancas Crdoba, Argentina Impreso en Argentina

MATEMTICA IILic. Mnica Bocco

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ndicePresentacin del tutor Carta al Alumno Orientacin del aprendizaje Fundamentacin Objetivos Generales Programa de contenidos Esquema conceptual de la asignatura Bibliografa Evaluacin y acreditacin de la asignatura Mdulo 1: Funciones. Funciones lineales y cuadrticas Objetivos especficos Esquema conceptual Desarrollo de contenidos Funciones Funciones lineales Funciones cuadrticas Autoevaluacin Respuestas a la autoevaluacin Mdulo 2: Funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones Objetivos especficos Esquema conceptual Desarrollo de contenidos Funciones exponenciales Funciones logartmicas Funciones trigonomtricas Autoevaluacin Respuestas a la autoevaluacin Mdulo 3: Continuidad de Funciones. Derivada de funciones y aplicaciones de la derivada Objetivos especficos Esquema conceptual Desarrollo de contenidos Funciones continuas Derivada de funciones Aplicaciones de la derivada de funciones Autoevaluacin Respuesta a la autoevaluacin Mdulo 4: Aplicaciones de la derivada. Integral de funciones y aplicaciones de la integral Objetivos especficos Esquema conceptual Desarrollo de contenidos Aplicaciones de la derivada de funciones Integral de funciones Aplicaciones de la integral de funciones 79 81 82 83 83 87 90 57 59 60 60 60 62 69 72 75 33 35 36 37 37 39 41 50 54 5 6 7 8 9 9 11 11 13 15 17 18 19 19 22 25 28 31

Autoevaluacin Respuesta a la autoevaluacin

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MATEMTICA

Presentacin del tutorProfesoraMnica Bocco

Datos del Tutor Profesora en Matemtica. Universidad Nacional de Ro Cuarto. Licenciada en Matemtica. Universidad Nacional de Ro Cuarto Magster en Demografa. Universidad Nacional de Crdoba Profesora Asociada (por concurso) Universidad Nacional de Crdoba (19862008) Prof. Titular. Universidad Empresarial Siglo 21. (1999-2003) Investigadora en temas de matemtica aplicada y educacin de la matemtica. Publicaciones cientficas,en ambas reas, en Revistas Internacionales, Nacionales y presentaciones en Congresos y Reuniones.

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Carta al Alumno

Estimado alumno/a, En primer lugar, bienvenido a una nueva materia, Herramientas Matemticas II Anlisis matemtico , que te enfrentar a nuevos desafos. A pesar de su aparente complejidad, el Anlisis Matemtico sirve para simplificar ciertos problemas de la realidad. La belleza de la matemtica y sus aplicaciones a las diversas reas de conocimiento comienza en materias como esta, donde aprenders cmo modelizar a travs de funciones algunas relaciones importantes entre variables. Existen innumerables problemas en la vida cotidiana donde el uso de la matemtica juega un papel fundamental para su comprensin y resolucin, pero nos llevara mucho tiempo plantearlos por lo que lo dejaremos a un lado y comenzaremos con el estudio de nuestra materia. El manual que comenzs a utilizar se complementa con la bibliografa obligatoria, que tiene otros ejemplos y sistematizaciones, es muy importante aprovecharlos al mximo en conjunto. No olvides que en el estudio de las materias matemticas, los ejercicios y problemas son un complemento fundamental del aprendizaje terico, pero insisto, un complemento. No es posible aprender la teora sin el desarrollo de la prctica ni la prctica sin la comprensin de la teora. Por ltimo, espero que alcances los objetivos planteados y, en mi caso, acompaarte en esta etapa del camino de estudio iniciado, en este caso, de Herramientas Matemticas II Anlisis matemtico. Bienvenidos y a comenzar! Su tutora

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Orientacin del aprendizajeBienvenido! Comenzamos aqu el estudio de la asignatura Matemtica. Lo haremos por medio de este manual de estudio, en el cual usted encontrar todos los temas del programa. A su vez, usted podr utilizar cualquiera de los libros mencionados en la Bibliografa Bsica para la consulta de dichos temas. El mtodo de estudio que le proponemos es el siguiente: Inicie la lectura de cada mdulo por la Introduccin y los Objetivos del mismo. Esto le proporcionar una visin global de lo que est a punto de estudiar. Luego observe y analice el Esquema Conceptual del mdulo, le mostrar los conceptos fundamentales involucrados y sus relaciones. Lleve a cabo la lectura completa de los temas da cada Mdulo. Para que el estudio sea eficiente siga estos pasos:

1) Prelectura: realice una primera lectura exploratoria para captar las ideas fundamentales. 2) Preguntas: piense interrogantes frente a cada ttulo de los temas del mdulo. Si es necesario escrbalos. 3) Lectura: lea las secciones o temas del mdulo detenidamente, con un propsito bien definido: buscar respuestas a las preguntas antes realizadas. 4) Registro de notas: tome nota por escrito y con sus propias palabras de los aspectos relevantes de cada tema. Esta actividad es la ms importante ya que le permite fijar los conocimientos. 5) Repaso: luego de todos los pasos anteriores, es conveniente que realice una revisin completa de los temas del mdulo. Tras la revisin, tome nota de los interrogantes que an no ha podido esclarecer y envelas por correo electrnico a su Tutor Virtual, quien las responder. Al final de cada mdulo hay actividades de Auto-evaluacin que le permitirn verificar su evolucin en el proceso de aprendizaje. Todas las actividades de auto-evaluacin tienen su clave de respuesta. Con el estudio de todos los temas del presente Manual, la elaboracin y envo de los Trabajos Prcticos y la comprobacin de su conocimiento con la actividad de auto-evaluacin, usted podr asistir a la Clase Satelital. All profundizar y asegurar el conocimiento del mdulo. Al finalizar la Clase tendr un Examen Escrito individual. All usted demostrar los conocimientos aprendidos, y si ha seguido el plan de trabajo presentado antes, el resultado ser ptimo. Adelante!

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FundamentacinLa Matemtica, que es un instrumento de importancia para el desarrollo del futuro profesional en el campo de la ciencia, las relaciones empresariales, la tecnologa, y el mundo cotidiano, en general. Tiene como propsito fundamental contribuir a formar y capacitar a los futuros profesionales que debern asumir la responsabilidad de generar y/o llevar a la prctica el desarrollo de nuevos conocimientos cientficos y tecnolgicos.Estas notas tienen por objetivo contribuir al desafo de generar entusiasmo y desarrollar inquietudes para abordar los temas de matemtica en quienes no se sienten especialmente atrados por esta disciplina, pero para los cuales este curso constituye una base para muchos conocimientos necesarios en su carrera universitaria. Su contenido incluye una introduccin al estudio de las funciones que aparecen con ms frecuencia en las aplicaciones de la matemtica y constituyen la base para un tratamiento de los principales temas del Anlisis Matemtico: lmite, derivada e integral. Estos tres grandes temas se desarrollan con las aplicaciones al estudio de grficos de funciones, problemas de optimizacin y clculo de superficies, que permiten resolver situaciones-problemas propias de las distintas reas disciplinares. As, en este espacio curricular se presentan los temas centrales del Anlisis Matemtico, y afin de consolidar una estructura cognitiva til para el desarrollo, manejo e interpretacin de su futura realidad como profesional, es necesario completar y complementar los mismos con la bibliografa citada en cada mdulo, as como con la bibliografa adicional propuesta.

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Objetivos GeneralesAl finalizar la materia, usted estar en condiciones de alcanzar los siguientes objetivos: Profundizar los conocimientos matemticos bsicos y adquirir los conceptos matemticos necesarios para resolver cuantitativamente problemas inherentes a las reas de cada carrera. Desarrollar las capacidades para organizar procesar e interpretar informacin comprendiendo y utilizando los aportes del pensamiento matemtico. Generar criterios apropiados para analizar situaciones propias de las distintas reas especificas del conocimiento. Perfeccionar habilidades que le permitan plantear modelos matemticos para la solucin de un problema.

Programa de contenidosUNIDAD 1: Relaciones y Funciones. Relaciones entre conjuntos. Conjuntos de partida y de llegada de una relacin. Funciones. Dominio e Imagen. Diferentes formas de determinar y representar una funcin: tabla, graficas y frmulas. Funciones: su clasificacin. Operaciones con funciones. Aplicaciones concretas de los conceptos en situaciones problemticas.

UNIDAD 2: Funciones lineales y cuadrticas. Funciones lineales. Grficos. Distintos tipos. Ecuacin de una recta. Pendiente y ordenada al origen. Modelos lineales explicativos y predictivos. Funciones cuadrticas. Representacin grfica. Distintos casos. Vrtice de una parbola. Races o ceros. Ecuacin de segundo grado. Aplicaciones concretas en situaciones problemticas del entorno del futuro quehacer profesional.

UNIDAD 3: Funciones exponenciales, logartmica y trigonomtricas. Funciones exponenciales. Definicin. Dominio e imagen. Representacin grafica. Monotona del crecimiento. Aplicaciones a crecimientos y clculo de inters. Funcin logartmica. Inversa de la funcin exponencial. Definicin. Graficas. Monotona del crecimiento. Propiedades de los logaritmos. Aplicaciones la modelizacin de situaciones concretas. ngulos. Sistema de medicin. Funciones trigonmetricas: seno, coseno, tangente. Propiedades: ceros, extremos, periodicidad, crecimiento y decrecimiento. Graficas. Funciones reciprocas y funciones inversas.

Unidad 4: Lmite y continuidad de funciones reales. Limite. Concepto grfico, definicin y ejemplos. Unicidad del lmite. Lmites laterales. Lmites de funciones especiales. Operaciones con lmites. Lmites de la suma, diferencia, producto y cociente. Clculo de lmites usando propiedades fundamentales. Limites notables. El nmero e. Limites infinito y en el infinito. Limites indeterminados.

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Continuidad de una funcin en un punto. Continuidad en un intervalo. Funciones discontinuas.

UNIDAD 5: Derivacin de funciones reales. Cociente incremental. Definicin de derivada en un punto. Interpretacin geomtrica y econmica. Funcin derivada. Derivada de las funciones elementales: constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. Notaciones para la derivada. lgebra de derivadas. Derivada de la suma, de la resta, del producto y del cociente. Rectas secantes y tangentes a una curva en u punto. Regla de la cadena. Derivada del orden superior. Costo, ingreso y beneficio marginal en economa.

UNIDAD 6: Aplicaciones de la derivada. Grficos de funciones. Mximo y mnimo de funciones, Puntos crticos y puntos extremos. Condiciones suficientes y necesarias para su existencia. Funciones crecientes, decrecientes y constantes en un intervalo: relacin con la derivada primera. Puntos de inflexin. Condiciones suficientes y necesarias para su existencia. Intervalos de concavidad y convexidad: relacin con la derivada segunda. Aplicaciones en grficos de distintas funciones. La campana de gauss en estadstica y funciones de comportamiento marginal en economa. Optimizacin. Planteo y resolucin de problemas de ptimos: mxima ganancia, menor costo, mxima superficie, mayor produccin, etc.

UNIDAD 7: Integracin de funciones reales. Integral indefinida. Definicin de primitiva de una funcin. Clculos de primitivas. Integral indefinida de las funciones elementales: constantes, lineales, potencias, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas. Propiedades de la integral indefinida. Calculo de integrales indefinidas: tcnica de integracin.

UNIDAD 8: Aplicaciones de la integral. Integral definida de una funcin continua en un intervalo: definicin. Sumas superiores e inferiores de Riemann. Propiedades de la integral definida. Regla de Barrow: un mtodo de clculo. Calculo de reas en el plano limitadas por una funcin continua y el eje de las abscisas en un intervalo. reas encerradas por curvas arbitrarias. Propiedades de las reas de las figuras planas. Aplicaciones a problemas concretos. Costos e ingresos a partir de los marginales respectivos.

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Esquema conceptual de la asignatura

Funciones

Lineales

Cuadrticas

Exponenciales

Logartmicas

Trigonomtricas

Aplicaciones - Problemas

Lmite

Continuidad

Clculo diferencial

Clculo integral

Derivada

Integral

Grficos

Optimizacin

Areas

Aplicaciones - Problemas

BibliografaBsicaHaeussler, E. and Paul, R. Matemticas para administracin, economa, ciencias sociales y de la vida. Ed. Prentice Hall. 2003. Mxico. ISBN 968-7270-97-7 Este texto de Matemticas para Administracin y Economa proporciona los fundamentos matemticos necesarios para estudiantes de administracin de empresas, economa y ciencias sociales. Inicia con temas de anlisis matemtico: funciones, lgebra de matrices, y matemticas financieras. Avanza a travs del clculo de una variables con demostraciones y los desarrollos descritos de manera suficiente, pero cuidando el nivel de un estudiante de primer curso.

De Consulta y ampliacinAyres, F y Mendelson E. Clculo. Ed. McGraw-Hill. 2001 . Bocco, M. Elementos de Matemtica para las ciencias de la vida. Ed. Sima 2008

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Courant, R. y John, F Introduccin al Clculo y al Anlisis Matemtico, Vol. . I y II. Ed. Limusa, 1999. Guzmn, M. de y Colera, J. Matemtica II C.O.U. Ed. Anaya, 1989. Guzmn, M. de y Colera, J. Matemticas I C.O.U. Ed. Anaya, 1989. Hoffmann, L. Clculo Aplicado para administracin,economa y ciencias sociales. Ed. McGraw-Hill. - 2006. Larson, R.; Hostetler R. y Edwards, B. Clculo. Ed. McGraw-Hill. 2000 Purcell, E. y Varberg, D. Clculo con Geometra Analtica. Prentice-Hall. 2001 Stewart, J. Clculo Diferencial e Integral. Ed. Thompson. Internacional. Mxico. 2006. Stewart, J.; Hernndez, R. y Sanmiguel, C. Introduccin al Clculo. Ed. Thompson. Internacional. Mxico. 2007 . Thomas, G. Clculo de una variable. Ed. Pearson George. 2006

Evaluacin y acreditacin de la asignaturaPara la evaluacin del aprendizaje y acreditacin de la asignatura se consideran los siguientes tems: a) Nota de preclase: esta nota resulta de las calificaciones que realiza el Tutor Virtual sobre los Trabajos Prcticos individuales realizados por los alumnos. b) Nota de parciales: que se administran en oportunidad de las clases satelitales. La sumatoria de las calificaciones de las notas de parciales dar el puntaje sobre el cual se valorar la nota obtenida por Exmenes parciales individuales. c) Examen Final: en funcin de la asistencia al Centro de Apoyo Distante y de las calificaciones resultantes de la nota de preciase y las notas de parciales, se establece que los alumnos de condicin Regular Preferente y Regular debern realizar exmenes finales de materia (de 30 y 50 preguntas respectivamente), quedando promovido y eximido de examen final aquel alumno en cuyo desempeo se haya comprobado tanto la asistencia a clases como un rendimiento superior a nota seis en las instancias de evaluacin. De lo precedente tenemos tres condiciones de alumnos:Asistencia a Clases Alumno promovido Alumno Regular Preferente Alumno Regular 75% 75% Nota de preclase 6+ 4y5 4+ Nota de parciales 6+ 4y5 Examen final No rinde examen final Rinde examen final de 30 preguntas Rinde examen final de 50 preguntas

Alumno promocional: debido a su alto nivel de rendimiento no deber rendir el examen final de materia. Alumno Regular Preferencial: es el alumno que habiendo cumplido con el requisito de asistencia no tuvo una calificacin superior al 6 (seis) ya sea en las actividades preclases como en las evaluaciones individuales en los Centros Distantes y, por lo tanto, debe rendir un examen final de 30

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preguntas. Alumno Regular: para obtener su condicin de regularidad, se le exige al alumno la aprobacin con nota superior a 4 (cuatro) de las cuatro Trabajos Prcticos de los mdulos. Este alumno, que no ha realizado los Exmenes de los mdulos, deber por tanto someterse a una evaluacin ms exhaustiva, realizando un examen final de 50 preguntas. La regularidad se mantiene durante 18 MESES (5 turnos).

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

MDULO 1

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

MDULO I: FUNCIONES. FUNCIONES LINEALES Y CUADRTICAS Ampliar y profundizar estos conceptos bsicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemticas para administracin, economa, ciencias sociales y de la vida. CAPTULO 3: Funciones y grficas 3.1 Funciones. 3.2 Funciones especiales. 3.3 Combinacin de funciones. 3.4 Grficas en coordenadas rectangulares. 3.5 Repaso. Aplicacin prctica: Una experiencia con los impuestos CAPTULO 4: Rectas, parbolas y sistemas de ecuaciones 4.1 Rectas. 4.2 Aplicaciones y funciones lineales. 4.3 Funciones cuadrticas. 4.4 Repaso. Aplicacin prctica: Planes de cobro en telefona celular

Objetivos especficos Reconocer relaciones y/o funciones que vinculan distintos conjuntos de variables. Representar funciones en distintas formas y analizar sus propiedades. Enumerar y describir propiedades en grficos de funciones. Definir la ecuacin de una recta a partir del grfico o de valores conocidos de la misma. Describir analtica y grficamente la funcin lineal, analizando el significado de los coeficientes que determinan la misma. Determinar, a partir de los coeficientes de la funcin cuadrtica las principales caractersticas y el grfico de la misma. Realizar el grfico de una funcin cuadrtica conociendo los puntos significativos del mismo. Generar funciones que permitan modelar problemas y situaciones caractersticos de la actividad disciplinar.

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

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Esquema Conceptual

Funciones

Definicin Representacin Funciones numricas

Diagramas Tablas Grficos Frmulas

Tipo de Funciones

Operaciones

Aplicaciones

F. Lineales

Grfico de la recta Pendiente (inclinacin) Ordenada al origen (corte eje y) Paralelismo Perpendicularidad

F. CuadrticasGrfico de Parbola

Parmetro a: Ramas

Parmetro b: Vrtice

Parmetro c: corte eje y

Races de la Ecuacin Cuadrtica Discrimante

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

Desarrollo de contenidos FuncionesSi consideramos los conjuntos: A = {a,b,c,d} y B ={10, 20, 30, 40, 50} Podemos establecer una asociacin o relacin entre sus elementos indicada por las flechas, en el siguiente Diagrama Sagital:R A a 10 20 b c d 50 30 40 B

Decimos que: R: A B x R y si y slo si la empresa x tiene y empleados Definicin: Una relacin es una correspondencia que asocia elementos de un conjunto A, llamado conjunto de partida de la relacin, con elementos del conjunto B, llamado conjunto de llegada. Definicin: El Dominio de la relacin R es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que estn relacionados con, al menos, un elemento del conjunto de llegada. Dom R A La Imagen de la relacin R es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que estn relacionados con algn elemento del dominio de la relacin. Imf R B Las relaciones que verifican: 1. Dom R = A 2. Cada elemento del dominio est relacionado con un nico elemento del conjunto de llegada, llamado su imagen. se llaman: FUNCIONES Definicin: Una FUNCION de A en B es una relacin que asocia a cada elemento x del conjunto A uno y slo uno y del conjunto B, llamado su imagen. En smbolos: f: AB

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

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f : x y o f (x) = y x = variable independiente y = variable dependiente Diagrama Sagital

f M 1 2 3 4 b d a c N

TablasDique Ro Tercero La Via Cruz del Eje San Roque Los Molinos Piedras Moras Nivel del Embalse 46,56 97 ,49 37 ,22 32,56 52,55 29,20

Grficos

y= ( x )

x

Frmulasf (x ) = 3 x + 1 x 2x - 2 g (x ) = x 5

h (x ) =

F (x ) =

x

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

Funciones NumricasSon las funciones que relacionan variables independientes con variables dependientes que pertenecen, ambas, a conjuntos de nmeros. Ejemplo:f (x ) = 3 h (x ) = x +1 2 x - 1 3 g (x ) = x +3 x F (x ) = x

IMPORTANTE: El dominio de definicin de una funcin numrica, es el mayor subconjunto de nmeros reales (R) para los cuales se puede calcular la imagen por la funcin. Ejemplo: a) Dominio de f (x) = 3 x +1 es Dom f = R b) Dominio de g (x) = x 3 +3 x es Dom g = R c) Dominio de h (x) = d) Dominio de F ( x ) =2 x - 1

es Dom h = R -

{1 }

x es Dom F =

Funciones Constantes, Crecientes y DecrecientesUna funcin f se dice constante en un intervalo I Dom f , si f (x) = c para todo x en el intervalo I. Una funcin f se dice creciente en un intervalo I Dom f , si x1 < x2 f (x1) < f (x2) con x1, x2 en el intervalo I. Una funcin f se dice decreciente en un intervalo I Dom f ,si x1 < x2 f (x1) > f (x2) con x1, x2 en el intervalo I. Ejemplo: La funcin y = g ( x ) cuyo grfico se presenta a continuacin es creciente en el intervalo , 3 y es decreciente en el intervalo 3 , +

(

)

(

)

g (x ) 4 3 2 1 x 4 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4 5

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

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Operaciones con FuncionesSi f y g son dos funciones, definimos: 1) (f + g) (x) = f (x) + g(x) 2) (f - g) (x) = f (x) - g(x) 3) (f . g) (x) = f (x) . g(x) 4) si g(x) 0 Ejemplo: Consideremos dos funciones f y g definidas por las frmulas:f (x ) = x - 3 2 y g (x ) = x

a) Imagen de x = 5 por la funcin f + g e (f + g)(5) =f (5)+g (5)=1+5 = 6 b) Imagen de la variable a por la funcin f + g es (f + g)(a) = f ( a ) + g ( a )=a - 3 2 + a 1- 3 2 .1= 1

c) Imagen de x = 1 por la funcin f . g es (f . g)(1) = f (1) . g(1) =

Funciones linealesSituacin - Problema:Un productor coloca en el mercado 5000 productos cuando el precio es de 35$ y 3500 productos cuando cuestan 60$. Cul es la ecuacin de oferta de dicho producto que relaciona el precio x con la cantidad demandada y?

y

5000

3500

x 35 60

En este caso vemos que los valores se ubican sobre una lnea recta, las funciones cuyos grficos son lneas rectas se denominan: Definicin: Llamamos funcin lineal a una funcin f : R R , que verifica: f (x) = a x + b o y = a x + b con a y b nmeros reales, llamados parmetros de la funcin.

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

Grfico de la Funcin Lineal1) f (x) = b o y=b El grfico de la funcin lineal y=b es una recta horizontal (paralela al eje x) que pasa por el punto (0,b). 2) f (x) = a x o y=ax El grfico de la funcin lineal f (x)=ax es la recta r determinada por el origen (0,0) y el punto A=(1,a). 3) f (x) = a x + b o y=ax+b El grfico de la funcin lineal y=ax + b , es la recta determinada por los puntos y (1,a+b). IMPORTANTE: El grfico de una funcin lineal es una lnea recta. La recta que representa a una funcin lineal queda determinada unvocamente con 2 puntos. Recordar: No toda recta es el grfico de una funcin lineal

Nombre y significado de los ParmetrosDefinicin: El parmetro a de la funcin lineal f (x) = a x + b se llama pendiente de la recta e indica la inclinacin de la misma.

y

y

y= ax + b

y= ax + b

x

x

a > 0 Recta Creciente

a < 0 Recta Decreciente

Significado Geomtrico de la pendiente

y

a y=ax+ b

x a = tangente trigonomtrica del ngulo que forman la recta con el sentido positivo del eje x (medido en sentido antihorario)

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

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Definicin: El parmetro b de la funcin lineal f (x) = a x + b se llama ordenada al origen de la recta e indica el punto donde la recta corta al eje y.

Pendiente de la Recta que pasa por dos puntos conocidosSi conocemos (x1 , y1) y (x2 , y2) que pertenecen a la recta de ecuacin f (x) = a x + b entonces se verifica que:

y y2 y1 x x1 x2 a = y 2 - y1 x 2 - x1

Paralelismo y Perpendicularidad de RectasPropiedad 1: Las rectas r 1 de ecuacin y = a x1 + b1 y r 2 de ecuacin y = a x2 + b2 son paralelas si y slo si sus pendientes son iguales, es decir: r 1 // r 2 si y slo si a 1 = a 2 Propiedad 2: Las rectas r 1 de ecuacin y = a x1 + b1 y r 2 de ecuacin y = a x2 + b2 son perpendiculares si y slo si sus pendientes son r inversas y de signo contrario, es decir r 1 2 si y slo si a 1 = - 1 a 2 Ejemplo: Un productor coloca en el mercado 5000 productos cuando el precio es de 35$ y 3500 productos cuando cuestan 60$. Cul es la ecuacin de oferta de dicho producto que relaciona el precio x con la cantidad demandada y si la misma sigue un modelo lineal? Para esta funcin conocemos dos puntos de la misma: (35, 5000) y (60, 3500) entonces podemos encontrar el valor de la pendiente:a = y 2 - y1 x 2 - x1f ( x ) = - 60 x + b

=

3500 60

-5000 - 35

=

-1500 25

= - 60

Con lo cual la ecuacin de la funcin lineal de oferta verifica: Para encontrar la ordenada al origen, como conocemos que el par (35, 5000) es un punto de dicha funcin planteamos: f ( 35 ) = - 60 . 35 + b = 5000 y despejando b = 7100 Entonces la funcin de oferta f que indica para cada precio x el nmero de unidades y es: f ( x ) = - 60 x + 7100 Para pensar: La funcin es decreciente o creciente?por qu? Si se regalaran los productos, qu demanda tendramos? Cul es el Dom f para este problema?

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

Funciones cuadrticasSituacin- Problema:La funcin que relaciona el precio con las unidades demandadas es: p = 9000 2x p = precio por unidad x = N de unidades demandadas Qu nivel de demanda maximizar el ingreso total? a cunto ascender dicho ingreso? Ingreso Total = Precio . Cantidad I (x) = p . x I (x) = (9000 2 x) . x I (x) = -2 x2 + 9000 x En esta situacin la variable independiente x aparece afectada por una potencia (x2) este tipo de funciones se denominan: Definicin: Llamamos funcin cuadrtica a una funcin f : R R que verifica: f (x) = a x2 + b x + c con a , b y c son nmeros reales, llamados parmetros de la funcin y a 0 a: trmino cuadrtico (a 0) b: trmino lineal c: trmino independiente

Grfico de la Funcin Cuadrtica: La Parbola

y = f ( x) ramas

x

Eje de simetra vrtice

Significado de los parmetros de la Funcin CuadrticaI) El trmino cuadrtico: a a > 0 La parbola tiene ramas hacia arriba La funcin tiene un mnimo en el vrtice. a < 0 La parbola tiene ramas hacia abajo La funcin tiene un mximo en el vrtice.

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

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II) El trmino lineal: b

y 2 f ( x) = a x + b x + c

y

P

y v

xv

x x

b

desplazamiento horizontal Vrtice (x v , y v)

En los ejes x , y En los ejes x , y Un puntoP

y = a x 2

2

y = a x

+ b x + c

= ( x , y)

= ( x , y)

x = x - xv y = y - yv y = a x 2 2 2 2 + yv

y - y v = a(x - x v) y - yv = a x y = a x 2 2

- 2 x xv

xv

- 2 a xv x + a xv

Y por otro lado debe sery = a x - 2 x xv = b 2 + b x + c xv = - b 2a

As obtenemos el valor que tiene el vrtice.

Vrtice de la Funcin Cuadrtica

III) El trmino independiente: c f (x) = a x2 + b x + c f (0) = c El valor de c indica el punto donde la parbola corta al eje y

Interseccin de la Parbola con los Ejes Coordenados Eje y : Par ordenado (0, c)

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

Eje x :

a x2 + b x + c = 0

Ecuacin Cuadrtica a x2 + b x + c = 0 estn

Las soluciones o races de la ecuacin cuadrtica dada por :x 1, 2 = - b b 2 - 4 a c

2a

Discriminante: D = b 2 4 a c D>0 D=0 (2 races) (1 raz)

D 0 b) a > 0 c) a < 0b < 0 b = 0 b > 0 c < 0 c < 0 c = 0

Ejercicio 11: Graficar las siguientes funciones. Indicar para cada funcin: a) Punto de corte de la parbola con el eje y. b) Las coordenadas del vrtice de la parbola. c) Puntos de corte de la parbola con el eje x (si existen).a) y = 3 x d) y = x 2 2 b) y = - 2 x 2 + 2 2 c) y = 1 2 x 2 + 2x

- 2x + 1

e) y = - x

+ 2x - 4

Situaciones Problemas: Modelizacin.Ejercicio 12: La empresa Remi-tax cobra para sus viajes en la ciudad 1$ la bajada de bandera y $4 por 1000 metros recorridos. a) Indicar la funcin que permite modelar el costo de un viaje para x kilmetros recorridos. b) Calcular el precio de un viaje del centro al aeropuerto de 15 km de distancia. Ejercicio 13: Si el costo de producir 30 refrigeradores es de 25.000$ y el de 40 unidades del mismo refrigerador es de 30.000$. Sabiendo que el costo de produccin C de la empresa est relacionado linealmente con la cantidad x de refrigeradores producidos. a) Cul es la funcin que permite describir los costos de produccin? b) Estimar el costo de producir 35 unidades del mismo producto. c) La empresa vende los refrigeradores a 1.500$ cada uno, cul es la funcin de ingreso I si se supone tambin un comportamiento lineal de la misma?.

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

Respuesta a la Autevalucina) b) c) d) Ejercicio 1: No es funcin, existen elementos con ms de una imagen Si es funcin No es funcin, existen elementos con ms de una imagen Si es funcin Ejercicio 2:a) 17 d) 0 b) 2 e) 3 a + 2 c) -1 f) 3 x + 3 x + 2

Ejercicio 3:a) Dom f = R - { 2 } c) 3 e) 2,5 g) 0 i) No existe, -1 Img f k) (-4,0) , (2,5) y (6,7) 0 = [0 , d) No existe, 2 Dom f b) IMG f = R f) 3 h) 2,5 j) (7, l) () ,-4), (0,2) y (5,6) )

Ejercicio 4:a) Dom f = R c) Dom H = R - { 0 } e) Dom F = R 3 = ( b) Dom g = R d) Dom M = R

, 3 ]

2 = [ 2 , + f) Dom G = R - { - 5 }

)

Ejercicio 5: a) 1 c) 0 e) 23

b) 114

d) No existe f) No existe

a) b) c) d)

Ejercicio 6: Pendiente: 0 Pendiente: 2 Pendiente: 2 Pendiente: 2

Ordenada al origen: 2 Ordenada al origen: 0 Ordenada al origen: 3 Ordenada al origen: -1

Ejercicio 7: a) Pendiente: - 2 b) Pendiente: 1 Ejercicio 8: a) y=-2x+4 c) y=-x+3 e) y=-2x+4 g) y = - 1 x + 23

Ordenada al origen: 2 Ordenada al origen: 3

b) y=-2x+9 d) y = f)2 3 x + 7 3

y=-2x

Ejercicio 9: a) a > 0 b) a < 0

b0

D>0 D>0

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Funciones. Funciones lineales y cuadrticas

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c) a 0

D>0

1) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,0) 2) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (0,0) 3) Races de la Parbola o corte eje x : x1 = x2 = 0 b) 1) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,2) 2) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (0,2) 3) Races de la Parbola o corte eje x : x1 = 1 y x2 = -1 c) 1) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,0) 2) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (-2,-2) 3) Races de la Parbola o corte eje x : x1 = 0 y x2 = -4 d) 1) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,1) 2) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (1,0) 3) Races de la Parbola o corte eje x : x1 = x2 = 1 e) 1) Punto de corte de la parbola con el eje y: (0,-4) 2) Las coordenadas del vrtice de la parbola: (1,-3) 3) Races de la Parbola o corte eje x : No hay races reales. Ejercicio 12: a) C(x) = 4 x +1 b) 61$ Ejercicio 13: a) Costo de produccin de la empresa C(x)= 500x+10.000 con x nmero de refrigeradores. b) Costo de producir 35 unidades del mismo tipo de refrigerador 27 .500$. c) Ingreso de la empresa 1(x)=1500 con x nmero de refrigeradores vendidos.

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas Lmite de funciones

MDULO 2

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

MDULO II: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS Y TRIGONOMTRICA. LIMITE DE FUNCIONES Ampliar y profundizar estos conceptos bsicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemticas para administracin, economa, ciencias sociales y de la vida. CAPTULO 5: Funciones exponencial y logartmica 5.1 Funciones exponenciales. 5.2 Funciones logartmicas. 5.3 Propiedades de los logaritmos. 5.4 Ecuaciones logartmicas y exponenciales. 5.5 Repaso. Aplicacin prctica: Dosis de medicamento. CAPTULO 9: Lmites y continuidad 9.1 Lmites. 9.2 Lmites (continuacin). 9.3 Inters compuesto continuamente. 9.4 Repaso. Aplicacin prctica: Deuda nacional.

Objetivos especficos Describir analtica y grficamente las funciones exponenciales y logartmicas y reconocerlas como funciones inversas. Aplicar las propiedades que definen el comportamiento grfico de las funciones exponenciales y logartmicas. Describir las funciones trigonomtricas a partir de la circunferencia unitaria y las relaciones entre las mismas. Graficar las funciones trigonomtricas y deducir de ellas las funciones trigonomtricas inversas. Resolver problemas que involucran crecimientos o decrecimientos modelados por funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. Comprender el concepto de lmite de una funcin y su clculo grfico y analtico. Utilizar el concepto de lmite para representar situaciones y tendencias, as como comportamientos extremos.

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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Esquema Conceptual

F. ExponencialesDefinicin y= a x

F. Exponencial creciente (a>1)

F. Exponencial decreciente (a< 1)

Propiedades Base Decimal Base Natural Aplicaciones

F. LogartmicasF. Logartmica creciente (a>1)

F. Logartmica decreciente (a< 1)

Propiedades Logaritmo decimal. Logaritmo Natural

F. Trigonomtricasngulo Circunferencia

Funcin Seno

Funcin Coseno

Funcin Tangente

Propiedades

Grficos

Funciones recprocas

Funciones Inversas

Funciones trigonomtricas en tringulo

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

Lmite de Funciones

Definicin

Grficos

Tablas

Lmites Latearales

Propiedades

Lmites notables

Clculo

Desarrollo de contenidos Funciones ExponencialesSituacin- Problema ISi un capital de 100$ es invertido a una tasa del 5 % de inters compuesto anual. Cunto se obtiene como monto al finalizar el ao x de inversin? En general: La funcin que permite modelar el Capital Final CF (cantidad final) que se obtiene a partir de un capital inicial CI (principal) al finalizar una inversin de x x aos a una tasa r de inters compuesto es: CF ( x ) = CI ( 1 + r )

Situacin- Problema IISi una poblacin de 100.000 habitantes crece a razn del 0,8 % anual Cuntos individuos se podrn contabilizar en dicha poblacin si se censa despus de x aos ? En general: La funcin que permite modelar la cantidad de individuos P de una poblacin, a partir de una poblacin inicial P0 si el crecimiento anual se estima a una razn de r % es: P ( x ) = P 0 ( 1 + r ) x En esta situacin la variable independiente x aparece como el exponente de una potencia este tipo de funciones se denominan: Definicin: Llamamos funcin exponencial a una funcin que verifica: f (x) =ax donde la base a es un nmero real, que cumple a > 0 y a 1

La Funcin Exponencial de base mayor que 1:f (x) a x con a > 1

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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Dom f = R Img f = R > 0 = (0,+) Interseca al eje y en (0,1) No interseca al eje x Es una funcin creciente Si x + es f (x) + Si x es f (x) 0

Ejemplo: Operaciones con la funcin exponencial

Obtener: Dom f ? Img f ? Corte con el eje y?

Propiedades de la Funcin Exponencial de base positiva menor que 1f (x) 0 a x con 0 < a< 1

Dom f = R Img f = R> 0 = (0,+) Interseca al eje y en (0,1) No interseca al eje x Es una funcin decreciente Si x + es f (x) 0 Si x - es f (x) +

y

y = a

X

(0 < a 0 y a 1 a la funcin que verifica: f ( x ) = L OG a xOG y se define como: L a x = b a b = x

OG Importante: La funcin logartmica f ( x ) = L a x es la funcin inversa x y de la funcin exponencial f ( x ) = a por la cual L a x = y OG a = x

Propiedades de la Funcin Logartmicay = L OG a x

con

a > 1

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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Dom f = R > 0 = (0, + ) Img f = R Interseca al eje x en (1,0) No interseca al eje y Es una funcin creciente Si x >1 es f (x) = logax positivo Si 0 < x < 1 es f (x) = logax negativo

y

y = log a x (a >1)

1

x

Propiedades de la Funcin Logartmicay = log a x

con

0 < a < 1

Dom f = R > 0 = (0,+) Img f = R Interseca al eje x en (1,0) No interseca al eje y Es una funcin decreciente Si x > 1 es f (x) = log ax negativo Si 0 < x < 1 es f (x) = log ax positivo

y

y = log a x (0 < a < 1)

1

x

Dos funciones logartmicas particularesy = log 10 x = log x y = log e x = In x

Logaritmo Decimal Logaritmo Natural

Propiedades del Logaritmoa) log a ( m . n ) = log a m + log a n b) log am n = log a m - log a n r ) = r . log a m

c) log a ( m

Cambio de Base: Al utilizar la calculadora solo encontramos logaritmo decimal y logaritmo natural, entonces para el clculo con otras bases debemos realizar:log a x = log x log a = ln x ln a

Ejemplo: Cunto tiempo deberemos tener invertido un capital de 1000$ a una tasa de inters del 6% para alcanzar un monto de 1338$? Como conocemos que el capital final CF que se obtiene a partir de un capital inicial CI al finalizar la inversin despus de x aos a una tasa r de inters x compuesto es una funcin exponencial de la forma CF ( x ) = CI ( 1 + r ) entonces:1338 = 1000 ( 1 + 0 , 06 ) t = 1000 ( 1 , 06 ) t

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

1338 1000

= 1 , 06 t

t

1 , 338 = 1 , 06

Aplicando logaritmo en ambos miembros, tenemos:log 1, 06 1 , 338 = log 1, 06 1 , 06 t

y por la tercer propiedad de logaritmo:log 1, 06 1 , 338 = t . log 1, 06 1 , 06

Ahora aplicamos, en el primer miembro la frmula de cambio de base y en el segundo la definicin de logaritmo:log 1 , 338 log 1 , 06 = t .1

Por qu da 1 el log 1, 06 1 , 06 ? Utilizando la calculadora obtenemos: t = 4,997 este valor nos indica que , debemos invertir nuestro monto inicial durante 5 aos para obtener, siempre con el inters compuesto del 6%, el monto requerido de 1.338$ Para pensar: Cul es el capital final que obtendramos si el mismo monto inicial lo invertimos a esta tasa pero por un perodo de 10 aos? Y si quisiramos obtener 1500$ cuntos aos debemos dejar este capital invertido?

Funciones TrigonomtricasTrigonometra: Proviene del griego y significa medidas del tringulo (lados y ngulos). Todas las situaciones y/o fenmenos que se repiten cada cambio peridico de la variable independiente se modelizan con las funciones trigonomtricas. Angulo: rea del plano comprendida entre dos semirrectas que se intersecan en un punto.

lado final

0 lado inicial

En el plano cartesiano coordenado:y y

x ngulo positivo ngulo negativo

x

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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Sistemas de MedicinLos sistemas de medicin de ngulos ms utilizados son el sistema radial y el sistema sexagesimal. El sistema sexagesimal es el que conocemos desde la escuela primaria, la circunferencia de radio unidad (circunferencia trigonomtrica) se dividide en 360 partes y cada parte se denomina grado (). Un ngulo recto tiene 90 y un ngulo llano tiene 180. El sistema radial tiene la ventaja que permite indicar los valores de los ngulos sobre un sistema de ejes coordenados, es decir hacer la correspondencia entre la medida del ngulo y un nmero real). La circunferencia trigonomtrica (radio unidad) tiene una longitud de 2 (6,28). Este valor nos indica que cabe aproximadamente 6,28 veces el radio en el permetro de la circunferencia. Tomando como unidad el radio (radin) un ngulo recto mide /2 radianes y un ngulo llano mide radianes. Relacin entre los sistemas de medicin:Sistema Sexagesimal (Unidad: 1 grado) 90 180 360 Sistema Radial (Unidad: 1 radin) /2 2

Definicin: Llamamos funcin seno del ngulo t a la funcin f (t) = sen t que asigna a cada ngulo t el valor de la ordenada del punto P donde el lado final del ngulo que mide t radianes, interseca a la circunferencia de radio 1. Llamamos funcin coseno del ngulo t a la funcin f (t) = cos t que asigna a cada ngulo t el valor de la abscisa del punto P donde el lado final del ngulo que mide t radianes, interseca a la circunferencia de radio 1. En la circunferencia trigonomtrica:

y 1 y P = ( x, y ) senx senx t -1 cosx cosx x 1 x

-1

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

Dom (sen t) = R Dom (cos t) = R

Img (sen t) = [-1,1] Img (cos t) = [-1,1]

Signos de las funciones Seno y Coseno en los 4 CuadrantesCuadrante I II III IV Valores del ngulo t 0 - 90 90 - 180 / / 0 rad - /2 rad /2 rad - rad rad - 3/2 rad 3/2rad 2 rad Sen t + + Cos t + +

180 - 270 / 270 - 360 /

Periodicidad del Seno y Cosenosen t = sen(t+2P) cos = cos (t+2P) Las funciones sen t y cos t son peridicas, de perodo 2

Crecimiento y Decrecimiento de las funciones Seno y CosenoCuadrante sen t cos t I crece decrece II decrece decrece III decrece crece IV crece crece

Relacin Fundamentaly1 1 -1

sen t1

x

cos t

sen

2

t + cos

2

t = 1-1

Grfico de la funcin seno

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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Grfico de la funcin coseno:

Funcin TangenteDefinicin: Llamamos funcin tangente del ngulo t a la funcin que se define por: sen t f (t) =cos t

f (t) = tg t

y asigna a cada ngulo t el valor de la ordenada del punto que tiene abscisa 1 y se encuentra sobre el lado final del ngulo que mide t radianes. En la circunferencia trigonomtrica:

y 1 y senx senx -1 t cosx cosx x x 1 tgx

-1

Dom (tg t) = R - ( 2 n + 1 ) . 2 Img (tg t) = R

Signos de la funcin tangente en los 4 cuadrantesCuadrante I II III IV Valores del ngulo t 0 - 90 90 - 180 / / 0 rad - /2 rad /2 rad - rad rad - 3/2 rad 3/2rad 2 rad tg t + + -

180 - 270 / 270 - 360 /

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

Periodicidad de la Tangente:tg t =tg (t+P) La funcin tg t es peridica, de perodo Crecimiento de la funcin tangente:Cuadrante sen t I crece II crece III crece IV crece

Grfico de la funcin tangente

Funciones Trigonomtricas RecprocasSe definen a partir de las funciones trigonomtricas las siguientes tres funciones: Funcin Cotangente de t Funcin Secante de t cotg t = sec t = 1 tg t 1 cos t 1 sen t

Funcin Cosecante de t

cosec t =

Funciones Trigonomtricas RecprocasDefinicin: Las funciones definidas por: 1. arc sen: [ 0 ,1 ] 2. arc cos : [ 0 ,1 ] 3. arc tg : R,

2 [0 , ,

2 ]

2

2

son las funciones inversas de y = sen t , y= cos t e y = tg t, respectivamente, y asignan a cada valor de su dominio el ngulo cuyo arco se corresponde con el seno, coseno o tangente del mismo.

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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Funciones trigonomtricas para ngulos agudos de un tringulo rectngulo En un tringulo rectngulo, para el ngulo agudo se verifica:

sen

=

cateto opuesto a hipotenusa cateto adyacente a hipotenusa cateto opuesto a cateto adyacente a

A hipotenusa cat. opuesto

cos tg

= =

B

cat. adyacente

O

Lmite de FuncionesSituacin-Problema 1c (x) = costo promedio para una produccin de x unidades si la produccin de unidades aumenta indefinidamente, el costo promedio se aproxima a un nivel de estabilidad de 6$lm c ( x) = 6 x +

Situacin-Problema 2S (x) = superficie de un polgono de x lados la superficie de un crculo, de radio 1, es el valor al cual se aproximan las sucesivas reas de los polgonos contenidos en el crculolm S ( x ) = x + 3 ,16

Ejemplo:lm ( x+3 ) = x 2

Podemos realizar el grfico de la funcin lineal y ver en el mismo su tendencia para valores de la variable independiente x al acercarse al nmero 2. Tambin podemos evaluar la tendencia de la funcin mediante la siguiente tabla2 x 1,5 1,9 1,99 2,01 2,1 2,5

f ( x)

4,5

4,9

4,99 5

5,01

5,1

5,5

O bien realizando un razonamiento algebraicox 2 x + 3 2 + 3 x + 3 5

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

Cualquiera sea la forma, vemos que si con x nos aproximamos suficientemente al nmero 2, por valores mayores y menores que 2, pero, x 2 los valores de las imgenes de dichos x se aproximan al nmero 5. Entonceslm ( x + 3 ) = 5 x 2

Ejemplo:lm x 2 1+ x 2 - 1 =

x - 1

Grfico: No lo conocemos Como imagen.f ( x) = 1 + x 2 - 1

x - 1

no se define para x = 1 , es decir f (1) no existe, entonces no podemos calcular la

Realizamos una tabla de valores:x 1 x 0,8 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,2

f ( x ) 2,64

2,81

2,98

2,998 3

3,002

3,02

3,21

3,44

Observamos que si con x nos aproximamos suficientemente al nmero 1, por valores mayores y menores que 1, pero no iguales a 1, los valores de las imgenes de dichos x se aproximan al nmero 3. Entonces:lm x 1 1+ x 2 - 1 = 3

x - 1

Definicin: El lmite de f (x) cuando x se aproxima (tiende) al nmero a es un nmero L, y escribimos lm f ( x ) = Lx a

si cada vez que con x nos aproximamos suficientemente al nmero a (por valores mayores y menores que a , pero x a ) los valores de las imgenes f (x) se aproximan al nmero L.

Estimacin grfica del lmite

lm x -1

f ( x) = - 1

lm f ( x) = 1 x 2

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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Ejemplo:

g(2) = 1 lm g ( x ) = 2 x - 2 lm g ( x) = 3 x 2

Estimacin del lmite utilizando una tabla de valores:Ejemplo:lm x 0 1 x =

Mediante una tabla de valores obtenemos:x 0 x - 0,1 - 0,001 - 0,0001 0,0001 0,001 0,1

f ( x)

- 10 1 x

- 1000

- 10000 ?

10000

1000

10

lm x 0

no existe

Unicidad del Lmite Puede ser lm f ( x ) = L 1 Por qu?x a

y

lm f ( x ) = L 2 x a

?

El lmite, si existe, es nico

Lmites Laterales

y = f( x)lm f ( x ) = no existe x 1

2

11

x

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

Definicin: Lmite lateral derecho:x

lm a

+

f ( x) = L 1

Si cada vez que x se aproxima al nmero a por valores mayores que a (por la derecha de a, en la recta numrica), las imgenes f (x) se aproximan a L 1 Lmite lateral izquierdo: lm f ( x ) = L 2x a -

Si cada vez que x se aproxima al nmero a por valores menores que a (por la izquierda de a, en la recta numrica), las imgenes f (x) se aproximan a L 2 IMPORTANTE:lm x lm f ( x ) existe x a si y slo si x a lm a + f ( x) existen y son iguales

-

f ( x)

Dos lmites particulares Lmite notable:lm x 0 sen x x = 1

El nmero e:

1 (1 + x ) x = e lm x 0

Comprobar, construyendo una tabla de valores, los resultados de estos lmites notables.

Propiedades del LmiteSi lm f ( x ) x a y lm g ( x ) x a existen, entonces:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

lm c = c x a lm x n = a n x a ( f ( x ) + g ( x ) ) = lm lm x a x a ( f ( x ) - g ( x ) ) = lm lm x a x a ( k . f ( x ) ) = k . lm lm x a x a ( f ( x) . g ( x) ) = lm x a f ( x) g ( x) n f ( x) lm x a

c= funcin constante

f ( x ) + lm g ( x ) x a f ( x) f ( x) f ( x) . lm g ( x ) x a lm g ( x ) x a

lm x a f ( x)

7.

lm x a lm x a

=

lm g ( x ) x a = n lm x a f ( x)

siempre que

lm g ( x ) x a

0

8.

49

Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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9.

lm c = c x a

P (x) = polinomio en x.

Ejemplos: 1. lm ( 5 xx -1 3 ) = 5 .1 3 3 = 5 3 + 2 - 8 ) = 10 - 6 5 - 6 5 2 2

2. lmx

(2 x 2 2 1 2 1 x x x x x 3 x -1

+ x - 8) = (2 .2 2 1 1 = 2 1 1 =

3. lmx

+ x - 9 2 + 4

=

+1- 9 2 + 4

=

4. lmx

+ x - 9 2 2 2 + 4 + 7 - 1

+1- 9 2 + 4

=

5. lmx

(x lm x 3 lm

+ 7) =

3

+ 7

=

16

6.

x

lm

x +1

=

( x - 1 ).( x + 1 ) -1 x +1

x

=

x

lm

-1

( x - 1) = - 2

Lmite de Cociente de Polinomios:0 P ( x) Q ( x)

lm x +

P ( x) = Q ( x) ( x)

Si grado de P ( x ) < grado Q

lm x +

+

(

) Si grado de P

( x) >

grado Q

( x)

=Ejemplos: 1. 2. 3.lm x + lm x + lm x + x 5 + 2x 2 3 3 3 5 + 2 + 2x + 7x + 2x - 2x = 1 2 =

Coeficiente del trmino de mayor grado de P (x) Coeficiente del trmino de mayor grado de Q (x) Si grado de P (x) = Grado de Q (x)

3x 3x 6x 4x x

= 0

AutoevaluacinRealizar, para afianzar la ejercitacin y aplicacin de estos temas los ejercicios propuestos en el texto. Ejercicio 1: Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, las funciones:a) d) g) y = 3 y = y = e 1 3 x x x e) e 2 , 71 y = b) y = 3 x 1 3 + 1 x f) y = 2 . c) y = 3 x - 1 1 3 x

50

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

Indicar, para cada uno de los grficos Punto de corte con el eje x (si existe) Punto de corte con el eje y (si existe) Comportamiento de la funcin para valores muy grandes (x + ) Comportamiento de la funcin para valores muy pequeos (x ) Ejercicio 2: Graficar las funciones:

a)

y = log

3

x

b)

y = log

1/ 3

x

c)

y = ln x = log e x

Indicar, para cada uno de los grficos: Punto de corte con el eje x (si existe) Punto de corte con el eje y (si existe) Comportamiento de la funcin para valores muy grandes (x + ) Comportamiento de la funcin para valores positivos prximos a cero (x 0+)

Ejercicio 3: Los siguientes grficos corresponden a funciones exponenciales, de la x forma f (x) = a , o logartmicas, de la forma f (x) = log x. a Indicar para cada uno de ellos a que tipo corresponde y el valor de la base a para la misma.

a)

y

b) y 9/4 x 4 x

-2

1

c)

y

d) 2

y

1/8 3

x

x 3

Ejercicio 4: 1) Indicar, si existen, el valor de sen x , cos x y tg x para:

a) x = 2

b) x =

c)

x=

3 2

2) Indicar el signo de las funciones y=sen (x), y=cos (x) y y= tg (x) para los siguientes ngulos:

51

Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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y

y

y

x

x

x

Ejercicio 5: 1) Indicar que ngulos, en la circunferencia trigonomtrica, verifican:a) b) sen = 0 sen = 0 y y cos tg = 1 = 0 c) d) cos = 0 cos = -1 y y sen sen = -1 = 0

2) Indicar en que cuadrantes se encuentran los ngulos que cumplen:a) sen b) cos < 0 > 0 y y cos tg < 0 < 0 c) sen ( + d) cos ( + )> 0 2 ) < 0 y y tg ( + 2 sen ( + )< 0 ) < 0

Ejercicio 6: 1) A partir de los grficos de las funciones trigonomtricas y utilizando las operaciones entre funciones, construir los grficos de:a) y= 2 sen x b) y= (cos x) -2 c) y= sen x +1 d) y = 1 2 cos x

2) Para cada una de las funciones anteriores indicar su dominio e imagen. Ejercicio 7: Encontrar el resultado de los lmites solicitados, para la funcin f cuyo grfico es el siguiente:

y = f (x)6

4 2 6 -6 -4 -2-2 -4

x

2

4

52

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

a) d) g) j)

x

lim lim -

f ( x) f ( x)

b) e) h) k)

lim x - 6 lim x - 3 +

f ( x) f ( x)

c) f)

lim x lim x - 3 lim + - 2

f ( x) f ( x)

x

- 3

lim f ( x) x 0 lim x 4 f ( x)

lim f ( x) x 2 lim x 4 + f ( x)

i) l)

f ( x) f ( x)

x

lim x 4

Ejercicio 8: Dar el resultado, si existe, de los siguientes lmites. Tener en cuenta que para muchos casos slo se requiere el uso de las propiedades, para otros ser necesario recordar el grfico de la funcin:a) lim x x 1 lim x -1 2 - 3x 3 lim - 4 + 5x x 3 lim x 2 x 2 + 12 lim x 1 lim x + 2 x 3 + 1

b)

x

- 2x + 1 3 - x

x

c)

lim x 0

1 x 1

lim x +

2

x

lim x +

1 2 1 2

x

d) x e) f)

lim 0

+

x x + 3]

lim x -

2

x

x

lim x x ] x lim +

lim [ 4 x 0 lim x 0 +

[3 . ( 0 , 2 ) lim x 0 lim sen ( x ) x 0 lim p x tg ( x ) 2 x 3x 5 2

ln ( x )

L OG 2 ( x ) 1 x 5

[ cos ( x ) ( 1 + 2 x ) ] lim x 0 x - 2 lim x 2 x2 - 4 6x 3x 5 5 + 1 3 + 1

g)

lim x +

h)

lim x + lim x 1 x

3x

+ 2x - 2 x + 2

lim x + lim x 0

+ 1

+ 2x + 1

lim x + lim x 0

+ 2x

2

i)

- 1

sen x x

sen 4 x 4x

x - 1

Ejercicio 9: Los ingresos totales en taquilla, a nivel mundial, de una pelcula se pueden 2 representar por la funcin: 120 xI ( x) = x 2 + 4

donde I (x) se mide en millones de dlares y x son los meses posteriores al lanzamiento de la pelcula. a) Qu ingresos totales en taquilla pueden esperarse despus del primer y del segundo mes? b) Cul ser el ingreso bruto total de la pelcula a largo plazo? Expresar este enunciado utilizando el concepto de lmite. Ejercicio 10:

53

Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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Si el costo total, para producir x unidades de un producto es C (x) entonces el costo promedio por unidad para una produccin de x unidades del mismo C ( x) producto est dado porc ( x) = x

a) Si el costo total (en dlares) de una compaa grabadora el imprimir x cantidad de discos en el formato DVD est dado por C(x) = 2,2x+2500, cul es la funcin que define el costo promedio por DVD? b) Obtener el costo promedio de cada unidad cuando se aumenta continuamente la produccin, expresar este enunciado utilizando el concepto de lmite.

Respuestas a la AutoevaluacinEjercicio 1: a) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento de la funcin para: x + :3x + y para x :3x 0 b) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,2) Comportamiento de la funcin para: 3x+1 + y para : 3x+1 1 c) Punto de corte con el eje x : Si corta, aproximadamente en x = 0,63 Punto de corte con el eje y : (0,-1) Comportamiento para : 3x+2 + y para :3x+2 2 d) Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento para:x : 1 3 x 0 y para x 1 3

e) Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,-1) Comportamiento para:x : 1 3 x 0 y para x : 1 3 x

f)

Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,2) Comportamiento para:x , 2 1 3 x 0 y para x , 2 1 3 x

g) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento para:x : e x y para x : e x 0

Ejercicio 2: a) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe. Comportamiento para:x : log 3 x y para x 0 + : log 3 x

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

b) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe. Comportamiento para:x : log 1 / 3 x y para x 0 + : log 1 / 3 x

c) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe. Comportamiento para:x : ln x y para x 0 + : ln x

Ejercicio 3:a) f ( x ) = log 1 2 2/3 x d) x b) f ( x) = 4 x

c)

f ( x) =

f ( x ) = log

3

x

Ejercicio 4: a)ngulo x sen x 12

cos x 0 -1 0

tg x no existe 0 no existe

03 2

-1

b)a) b) c) Signo de sen ( Signo de sen ( Signo de sen ( ) : + ) :) :Signo de cos ( Signo de cos ( Signo de cos ( ) :) :) :+ y y y Sign o de tg ( Signo de tg ( Signo de tg ( ) :) :+ ) :-

Ejercicio 5: 1)a) c) = 0 = 270 b) d) = 0 o bien = 180 = 180

2) a) b)

pertenece al tercer cuadrante pertenece al cuarto cuadrante Ejercicio 6:

c) d)

pertenece al primer cuadrante pertenece al primer cuadrante

a) b) c) d)

f ( x ) = 2 sen x g ( x ) = sen x + 1 y = (COS x ) - 2 y = 1 2 COS x

Dom Dom Dom Dom

f = R g = R y = R y = R

Img f Img g

= [ - 2,2] = [0,2]

Img y = [ - 3, - 1] Img y = 1 2 , 1 2

Ejercicio 7:a) + b) 2 c) 0

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Funciones exponenciales. Logartmicas y trigonomtricas. Lmite de funciones

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d) g) 3 j) 4

e) + h) 0 k) 1

f) No existe i) l) No existe

Ejercicio 8:a) b) c) d) e) f) g) h) i) 4 0 + 2 -2 1 2 No existe + 11 4 + 0 3 0 No existe 0 1 3 + 0 + + 1 1 4 2 1

Ejercicio 9: a) Ingresos totales en taquilla despus del primer mes: 24 millones de dlares b) Ingresos totales en taquilla despus del segundo mes: 60 millones de dlares c) Ingreso bruto total de la pelcula a largo plazo: 120 millones de dlares, puesto que:lim x + I ( x) = lim x + 120 x 2 x 2 = 120

+ 4

Ejercicio 10: a) Costo Promedio:

c ( x) = 2 ,2 +

2500 x

b) El costo promedio mximo por unidad producida, al aumentar en forma continua la produccin ser de 2,2 dlares, puesto que:x lim + c ( x) = 2 ,2

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Continuidad de Funciones. Derivada de Funciones y Aplicaciones de la derivada.

MDULO 3

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

MDULO III: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. DERIVADA DE FUNCIONES Y APLICACIONES DE LA DERIVADA Ampliar y profundizar estos conceptos bsicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemticas para administracin, economa, ciencias sociales y de la vida. CAPTULO 9: Lmite y continuidad 9.4 Continuidad. 9.5 Continuidad aplicada a desigualdades. 9.6 Repaso. Aplicacin prctica: Deuda nacional. CAPTULO 10: Diferenciacin 10.1 La derivada. 10.2 Reglas de diferenciacin. 10.3 La derivada como una razn de cambio. 10.4 Diferenciabilidad y continuidad. 10.5 Reglas del producto y del cociente. 10.6 La regla de la cadena y la regla de la potencia. 10.7 Repaso. Aplicacin prctica: Propensin marginal al consumo. CAPTULO 11: Temas adicionales de diferenciacin 11.1 Derivadas de funciones logartmicas. 11.2 Derivadas de funciones exponenciales. 11.5 Derivadas de orden superior. 11.6 Repaso. Aplicacin prctica: Cambio de la poblacin con respecto al tiempo. CAPTULO 12: Trazado de curvas 12.1 Extremos relativos. 12.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado. 12.4 Prueba de la segunda derivada.

Objetivos especficos Interpretar el concepto de continuidad as como las propiedades de las funciones continuas. Definir derivada y funcin derivada e interpretarla. Definir recta tangente en un punto y comprender su aplicabilidad. Calcular, utilizando reglas y teoremas, derivadas de distintas funciones. Determinar de valores extremos (mximos, mnimos, ptos de inflexin) de funciones. Aplicar criterios que le permitan obtener los extremos de una funcin.

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

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Esquema conceptual

Lmite de funciones

Continuidad en un punto

Funciones continuas

Funcin continua

Propiedades

Derivada de FuncionesRecta tangente a una funcin en un punto

Definicin de f(x)Significado geomtrico

Derivada de las operaciones con funciones

Regla de la cadena

Derivada y cambios de la funcinAplicaciones

Derivada y continuidad

Desarrollo de contenidos Funciones continuasSituacin- Problema IPara cada uno de los grficos obtener:

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

g (2) :

no existe

h (2) = 2 lm h ( x ) : no existe x 2

j (2)=

2

lm g ( x ) no existe x 2

lm j ( x) = 1 x 2

Vemos que ninguna de las tres funciones son continuas en x = 2, todas presentan en dicho valor un corte Atendiendo a la existencia o no de la imagen . y el lmite definimos: Definicin: Una funcin y = f (x) es continua en x = a si se verifican simultneamente: 1. f (a) existe ( f se define en el punto a) f ( x ) existe 2. lmx a

3.

lm x a

f ( x) = f ( a )

Si alguna condicin no se verifica, se dice que f es discontinua en x = a Definicin: Una funcin y = f (x) es continua en todo su dominio si es continua en todo nmero a perteneciente al Dom f IMPORTANTE! Por definicin de funcin continua podemos afirmar que: Si y = f (x) es continua en en x = a entonces es muy fcil obtener el resultado del lmite de la funcin para x a ya que por la tercer condicin de f ( x) = f ( a ) continuidad es lmx a

Aplicando la definicin a las funciones estudiadas podemos concluir que son:

Funciones Continuas Funciones Lineales Funciones Cuadrticas Funciones Exponenciales Funciones Logartmicas Funciones Seno y Coseno Funcin Tangente Funciones Polinmicas Ejemplo:y = g (x)

en en en en en en en

R R R R> 0 = (0,+) R R -{ k. / k es impar } 2 R

3 1) -6

()2(

-2

-1 2

6

x

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

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a) g es continua en el punto x=0 , ya que g ( 0 ) = lmx 0

g ( x)

=2

b) g es continua en el intervalo (-2,2), pues la funcin g es continua en todo punto de este intervalo. c) Cules son todos los puntos de discontinuidad de g? 1) x=-6 , ya que g(-6) no existe (no se verifica la 1 condicin de continuidad) se verifica la 2 condicin? 2) x-2 , ya que g(2) no existe (no se verifican la 1 condicin de continuidad) y notar que en este caso tampoco existe el lm g ( x ) por qu?, (no se verifica tampoco la 2 condicin de continuidad). 3) x=4 , ya quelm g ( x) x 4 x 2

no existe (no se verifica la 2 condicin de

continuidad) se verifica la 1 condicin? Recordar: con una de las condiciones de continuidad que no se verifique en un punto a, ya la funcin es discontinua en dicho punto a.

Derivada de funcionesLas principales aplicaciones de la derivada las encontraremos al tratar con: Razn, tasa o ndice de cambio de poblacin (consumidores, vegetal, animal, etc) de una variable econmica (costo, ingreso y beneficio marginal).

Y en la representacin de funciones: recta tangente a una curva

Con el objetivo de definir derivada comenzamos con la aplicacin geomtrica:

Situacin-Problema 1Cul es la recta tangente a una curva en el punto P = ( x, y) ? es la recta l? es la recta r?

y r P r P

y

x

x

l y l r P

l

x

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

Consideremos la funcin y = f (x) y el punto P = (x , y) = (x , f(x))

y=f

( x) recta secante

f ( x+ D x ) f = f ( x) = y y

x

x x x+ x

Recta Secante que une P = (x , y) con Q = ( x +x , f (x +x)) Pediente= f (x + (x + x) f ( x) = f (x + x) x x) x f ( x) f ( x) = f x

x) - x f (x +

Cociente incremental

Definicin de la recta tangente a funcinCmo se define la recta tangente al grfico de una funcin y = f (x) en el punto P = (x , y) es decir P = (x , f(x)) ?

Recta Secante que une P = (x, y) con Qi = (x +i x , f (x +i x)) tiene como pendiente a: f (x + i x) - f ( x)ai = ix

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

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Y cuando x 0 Se obtiene la Recta tangente al grfico de y = f (x) en el punto P = (x , f(x)), por lo cual se define la Pendiente de la recta tangente como:a = lm x 0 f (x + x) x f ( x)

Definicin: La pendiente de la recta secante al grfico de una funcin y = f (x) por los puntos P = (x,y) y Q = (x +x , f (x +x)) se define como el cociente incremental: f Pendiente de la recta Secante = f ( x + x ) - f ( x ) =x x

La pendiente de la recta tangente al grfico de una funcin y = f (x) por los puntos P = (x , y) = (x , f(x)) se define como el lmite del cociente incremental: f (x + x) - f ( x) Pendiente de la recta tangente = lmx 0 x

Definicin: DERIVADA de una funcin. La derivada de una funcin y = f (x), es otra d f funcin que se denota por f ' ( x ) d x

y se define, para cada x , como: f ' ( x ) =

lm x 0

f (x +

x) x

f ( x)

si dicho lmite existe, de lo contrario decimos que la funcin f no es derivable en x. r y = f(x) Geomtricamente:f (x+ x)f = f (x+ x) f (x)

f (x)

x

x

xx0

x+

x

r es la recta tangente al grfico de f en el punto P = (x , f(x)) IMPORTANTE: La derivada de y = f (x) en cada punto x es f(x) e indica la velocidad, tasa, ndice o rapidez con que cambia la funcin en el punto x.

Significado Geomtrico de la Derivada:yrff '( x ) = lm 0 x f (x + x) x f ( x)

f ( x)

Pf ' ( x ) = tg

x

x

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

La derivada de la funcin y = f (x) en el punto x, f(x) es igual a: la pendiente de la recta tangente r al grfico de y = f (x), en el punto P = (x , f(x)). la tangente trigonomtrica del ngulo que forma la recta tangente r con el semieje positivo x. Ejemplo: f(x) =x2

y

x -2 1

a) f(0)= 0 pues la recta tangente a la parbola en el punto x = 0 es horizontal (su pendiente es nula) b) El signo de f(1) es positivo porque la recta tangente a la parbola en el punto x = 1 es creciente (su pendiente es positiva) c) El signo de f(-2) es negativo porque la recta tangente a la parbola en el punto x = -2 es decreciente (su pendiente es negativa)

Clculo de Derivada de Funciones1) f(x)=c (c = nmero real constante)

y

y =

c

x

f ( x) = c

f' ( x ) = 0

La derivada de una funcin constante es 0.

2) f(x)=x

y

y = x

x

f ( x) = x

f '( x) = 1

La derivada de x es 1.

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

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Funcin Derivada

Funcin:

f (x)

Derivada:

f '( x )

c x x n

0 1 n x 1 2 x x x ln a ( x > 0) 1 ln a n- 1

x x x

( x > 0)

e a

e a 1 x 1 x

ln x

log a x sen x cos x tg x

.

( x > 0)

cos x - sen x

Ejemplo: Recta tangente a la funcin f (x) =x2 en el punto (1,1) es y= 2x-1 pues Pendiente de la recta tangente en (1,1) es f(1) = 2 ya que:

Para la funcin f (x) -x2 su derivada es f(x) -2 x 2-1 = 2x Ordenada al origen de la recta tangente en (1,1) es -1 ya que la ecuacin de la recta tangente es y-2x-b y debe pasar por el punto (1,1).

Derivada y Operaciones Derivada de una suma de funciones: ( f + g ) ( x ) ] = [f ( x )] + [ g( x ) ]' ' ' ' ' '

Derivada de una diferencia de funciones: [ ( f - g ) ( x ) ] = [ f ( x )] - [ g ( x )]' '

Derivada de una funcin por un k constante: [ ( k f ) ( x )] = k [ f ( x )] (k = n real) Derivada de un producto de funciones: [ ( f .g ) ( x) ] = [f ( x ) ] . g( x ) + f ( x ) . [ g ( x ) ] Derivada de un cociente de funciones:f g ' (x) = ' ' [f( x )] . g ( x ) - f ( x ) . [g ( x )] (siempre que g(x ) 2 ( g ( x) ) 0) ' ' '

Ejemplo: a) Si f (x) = x +5 entonces f (x) = 1 b) Si f (x) =5x2 -2x-1 entonces f (x) =10x -2

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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

c) Si f(x)=x5 . cos x entonces f(x) =5x4 . cos x - x5 sen x d) Si f ( x ) = x(4 x 3 4 + x 3 + x 2 + x + 1 sen x + 3x 2

entonces:4 + x 3 + x 2 + x + 1 ) cos x

f'( x) =

+ 2 x + 1 ) sen x - ( x sen 2

x

Aplicaciones de la Derivada:I) La funcin de costo total de un fabricante y=C(x) da el costo total y de producir y comerciar x unidades de un producto. El costo medio o promedio de produccin por cada unidad est dado porc ( x) = C ( x) x

El costo marginal de produccin CM(x), es decir el cambio de los costos por cada unidad adicional producida est dado por C(x).

Costo Marginal:

C (x) =

lm Dx 0

C x

=

lm x 0

C (x +

x) - C ( x) x

II) La funcin de ingreso total de un fabricante y=I(x) da el valor total y recibido por un fabricante al vender x unidades de un producto. El ingreso medio o promedio por cada unidad vendida est dado pori( x) = I ( x) x

El ingreso marginal IM(x), es decir el cambio en el ingreso al vender una unidad adicional y est dado por I(x).

Ingreso Marginal:

I ( x ) =

lm x0

I (x +

x) - I ( x) x

III) De igual manera se definen beneficio marginal y beneficio promedio.

Tendencia de una funcin a travs de la derivada:La derivada permite decidir el comportamiento de la funcin. Si para todo x en un intervalo (a,b) se verifica que: a) f(x)>0 entonces f (x) es creciente. b) f(x)