Sesin 4

18

Clculo de lmites Indeterminados (0/0)

Caso1

Cuando las funciones que intervienen en los lmites son

algebraicas

Ejemplo 1. Calcular 7

492

7

x

xlimx

Solucin

7

492

7

x

x

xlim

=

14777

77

7

x

xlim

x

xx

xlim

Ejemplo 2. Calcular 12

1

1

x

x

xlim

Solucin

12

1

1

x

x

xlim

= 111

1

xx

x

xlim

= 2

1

1

1

1

xxlim

Ejemplo 3. Calcular 1

13

1

x

xlimx

Solucin

31

1

1

11

1

1

1

33 2133 23

3

1

3

1

xx

lim

xxx

xlim

x

xlim

xxx

Sesin 4

19

Ejemplo 4. Calcular 4

24

2

34

2

x

xxlimx

Solucin

114

1212128

22

12632

4

2423

22

34

2

xx

xxxxlim

x

xxlim

xx

Ejemplo 5. Calcular x

xxlim

x

4

12

16

Solucin

734

34

1616

xlim

x

xxlim

xx.

Teorema 1. (Lmite Notable)

nx-

xlim

n

x

1

1

1 (*)

Ejemplo 6. Calcular 1

210

1

x

xxlimx

Solucin

Adecuando el lmite al lmite notable (*), tenemos

1

210

1

x

xxlimx = 1

1

1

1

1

11

1

10

1

10

1

x

xlim

x

xlim

x

xxlim

xxx

Sesin 4

20

Por lo tanto 1

210

1

x

xxlimx =10+1=11

Ejemplo 7. Calcular 1

65lim

61

1

x

xx/

x

Solucin

Adecuando el lmite al lmite notable (*), tenemos

1

65lim

61

1

x

xx/

x=

1

15

1

1

1

551

1

61

1

61

1 x

xlim

x

xlim

x

xxlim

x

/

x

/

x

Por lo tanto 6

315

6

1

1

6561

1

x

xxlim

/

x .

2.2.2 Caso trigonomtrico

Cuando las funciones que intervienen en estos lmites son

funciones trigonomtricas

Lmite Notable: 1

0

x

xSenlimx

TABLA DE EQUIVALENCIAS: cuando x0

1

110

1

x

xlimx

=10

11

1

1

x

xlimx

6

1

1

161

1

x

xlim

/

x

=10

11

1

1

x

xlimx

Sesin 4

21

senx x

tanx x

arcsenx x

arctanx x

1-cosx 2

2x

Ejemplo 8. Calcular x

xtanlimx

3

0

Solucin

Como tan3x= xCos

xSen

3

3

, entonces x

xtanlimx

3

0 =xCos.x

xSenlimx 3

3

0

Multiplicando por 3, tanto al numerador como al denominador,

para obtener el lmite notable x

xSenlimx 3

3

0 , resulta: xCos.x

xSenlimx 3

3

0

=x Cos.x

x Senlimx 33

33

0=

xCoslimx 3

3

0 =3. Por lo tanto x

xtanlimx

3

0 = 3.

Ejemplo 9. Calcular x

Cosxlimx

1

0

Solucin

x

Cosxlimx

1

0 =

Cosxx

CosxCosx

xlim

1

11

0= = Cosxx

xCoslimx

1

12

0 = Cosxx

Senx.Senx lim

Cosxx

xSenlim

xx

11 0

2

0

= 0

2

0

10

Cosx

xSenlimx

Ejemplo 10. Calcular xSen

xlimx

2

0

Sesin 4

22

Solucin

xSen

xlimx

2

0 =

000

xxlim

x

xSen

xlimx

Ejemplo 11. Calcular xcot.xCscxlim

x222

0

Solucin

x cot.xCsc xlimx

222

0 = xx TanSen

xlimx 22

2

0=

4

1

2

2

24

2lim

0

x Tan

x.

x Sen

x

x

Por lo tanto

xcot.xCscxlimx

222

0 = 4

1

.

Ejemplo 12. Calcular xtan

xtanlimx 5

3

0

Solucin

xtan

xtanlimx 5

3

0 = x

xtan

x

xtan

limx 5

3

0

=

5

3

5

55

3

33

0

x

xtan

x

xtan

xlim

Ejemplo 13. Calcular 2

1

2

x-

x-Senlim

x

Solucin

Haciendo y = x- 2

x = y + 2

Sesin 4

23

2

1

2

- x

- xSenlim

x

= y

- )

(ySen

limy

12

0

= y

Cosy-

Sen

yCosSen

limy

122

0

= y

Cosy-limy

1

0 = y

-ylimy 2

2

0 =

020

-ylimy

2.2.3 Caso exponencial y logartmico

Cuando las funciones que intervienen en estos lmites son funciones exponenciales y logartmicas.

ax 1 + xlna ln(1+x) x si x 0.

Ejemplo 14. Calcular xx

xx

x 56

24lim

0

Solucin

Aplicando la equivalencia:

414 lnxx

212 lnxx

616 lnxx

515 lnxx

resulta

5

6

2

56

24

05161

2141

0ln

ln

)lnlnx(

)lnlnx(

xlim

)lnx(lnx

)lnx(lnxlimx

Ejemplo 15. Calcular x

xsen x -

limx

12

0

Solucin

Aplicando la equivalencia para x4 y senx,, resulta:

x

ln-x x-

xlim

x

xsen x -

limx

121

0

12

0

x

)ln-x(lim

x

21

0

2ln1

Lista de ejercicios Calcular los siguientes lmites:

1. 115

17

0

x

x

xlim

2.

x

xxlnlimx

1

0

4.

1

12

1

x

xlnlimx

5. 1

2121

1

x

xlim

x

x

Sesin 4

24

3. x

lim

xx

x

289

0

6.

x

44lim

xx

0x

2.3. Lmites laterales

Ejemplo 1. Analizar la aproximacin de

1

11

x , x

, x xf(x) cerca de x=1

Solucin Usando la siguiente tabla de valores.

x1 f(x)

0.8 -0.8 1.5 2.5

0.9 -0.9 1.1 2.1

0.99 -0.99 1.001 2.001

0.999 -0.999 1.0001 2.0001

Definicin 1. (Lmite por derecha) Interpretacin grfica

Lmite por la derecha a lmite por izquierda de a

Definicin 2. ( Lmite por Izquierda )

Ejemplo 2. Sea

03

0

x,

x,|x|f(x)

Hallar los lmites laterales de f(x) en x prximo a 0.

Solucin

En forma equivalente

03

0

0

, x

x, x

x, x

f(x)

Se tiene 11

f(x)limx

y 21

f(x)lim`x

3

x -x

Fig. 5

Fig. 7

L

L +

f(x)

x a a +

Fig. 6

a a-

L-

L

f(x)

x

f

Sesin 4

25

De donde sus lmites laterales son 0

0

f(x)limx

y 00

f(x)limx

Ejemplo 3. Sea

21

21

x,x

x,x

x

f(x)

Hallar los lmites laterales de f(x) en x prximo a 2.

Solucin

Sus lmites laterales son:

Para x2, 2

11

22

x

x-limf(x)lim

xx

Teorema. 1 (( Existencia del Lmite )

El f(x)ax

lim

existe y es igual a L Lf(x)ax

limf(x)ax

lim

La Fig. 9 que sigue da una comprensin complementaria de los lmites laterales y el lmite.

-4 1 4

Vemos que:

f(x)x

limf(x)x

lim

44

, entonces f(x)lim x 4

no existe

f(x)x

limf(x)x

lim

11

, entonces f(x)xlim

1 existe

f(x)x

limf(x)x

lim

44

, entonces f(x)xlim

4 no existe

1

2

1/2

-1

Fig. 8

Fig. 9