Matematica financiera simplificada

INGENIERÍA ECONÓMICA, es el arte de hacer con un dólar lo que cualquier ignorante puede hacerlo gastando dos. Obra escrita por: Arthur M. Wellington – Ing. Civil - (EE.UU. 1887)

Autor: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA – PERÚ TIENDA VIRTUAL MUNDIAL: www.safperu.com

MATEMÁTICA FINANCIERA

Simplificada

LAS 6 FÓRMULAS CLAVES Y EL CIRCUITO FINANCIERO

LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN i R = S 4 LA ACTUALIZACIÓN (1+i)n-1 LA CAPITALIZACIÓN

1 2 P = S S S = P (1+i)n 1 (1+i)n R R . . . R

(1+i)n-1 0 1 2 . . . n (1+i)n-1 5 P = R P i S = R 3 i (1+i)n i

i (1+i)n R = P 6 (1+i)n-1 LAS AMORTIZACIONES

¡ Si con esta METODOLOGÍA, no aprende MATEMÁTICA FINANCIERA, entonces . . . , este negocio . . . . , no es para usted !.

DERECHOS RESERVADOS: Registro Nro. 584 - D - 21-12-79 BIBLIOTECA NACIONAL DEL PERU

SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS

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LOS 6 FACTORES FINANCIEROS NUEVAS NOTACIONES desde el 2008

PROPUESTA del Prof.: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA (UNI) A las NUEVAS GENERACIONES de estudiantes,

les propongo estas NUEVAS NOTACIONES de las 6 Fórmulas Claves: * Respecto a los Factores 1 y 2, les he quitado la S de la palabra SIMPLE.

Ej.: Ya no digo, “Factor Simple de Capitalización: FSC”, sino “Factor de Capitalización: FC” Habían alumnos que creían que la S de Simple, significaba Interés Simple. Y nada que ver.

* Respecto a los Factores 3, 4, 5 y 6, y para recordar fácilmente “para qué sirven” solo piense en 2 palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN de un Flujo Constante R.

Las usa el profesor Frank Ayres de los EE. UU. en su libro: Matemáticas Financieras.

1) Factor de Capitalización (FC) 2) Factor de Actualización (FA) 1

(1 + i)n (1 + i)n

3) Factor de Agrupamiento 4) Factor de Distribución al Futuro (FAF) de un Valor Futuro (FDVF)

(1 + i)n - 1 i i (1 + i)n - 1

5) Factor de Agrupamiento 6) Factor de Distribución al Presente (FAP) de un Valor Presente (FDVP)

(1 + i)n - 1 i (1 + i)n

i (1 + i)n (1 + i)n - 1

CORRESPONDENCIA DE FACTORES

Desde 2008 Si, n ∞ Si, i = 0 Dr. Guadagni Tradicional Prof. TAYLOR Prof. TARQUIN PERÚ ARGENTINA EE.UU EE.UU. EE.UU.

FC ∞ 1 FSC s SPCAF F/P,i,n FA 0 1 FSA a SPPWF P/F,i,n

FAF ∞ n FCS s n i USCAF F/A,i,n

FDVF 0 1/n FDFA 1/s n i SFDF A/F,i,n

FAP 1/i n FAS a n i USPWF P/A,i,n

FDVP i 1/n FRC 1/a n i CRF A/P,i,n

Mi Propuesta. ESAN 1975: Aquí aprendí estas Notaciones y las publiqué en 1980.


1) El FACTOR de CAPITALIZACIÓN: 2) El FACTOR de ACTUALIZACIÓN: Transforma un Stock Inicial P, Transforma un Stock Final S, en un Stock Final S. en un Stock Inicial P. 1

FC = (1 + i)n FA = (1 + i)n

S = P . FCn i P = S . FAn i

S S 0 n 0 n P P

3) El FACTOR de AGRUPAMIENTO 4) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN al FUTURO: de un VALOR FUTURO Transforma un Flujo Constante R, Transforma un Stock Final S, en un Stock Final S. en un Flujo Constante R.

(1 + i)n - 1 i FAF = FDVF = . i (1 + i)n - 1

S = R . FAFn i R = S . FDVFn i

S S R R R R R R 0 n 0 n

5) El FACTOR de AGRUPAMIENTO 6) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN de al PRESENTE: Transforma un VALOR PRESENTE: Transforma un Flujo Constante R, en un Stock Inicial P. un Stock Inicial P, en un Flujo Constante R.

(1 + i)n - 1 i (1 + i)n FAP = FDVP = . i (1 + i)n (1 + i)n - 1

P = R . FAPn i R = P . FDVPn i

R R R R R R 0 n 0 n P P

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MATEMÁTICA FINANCIERA Es álgebra aplicada a los negocios y la economía.

¿A QUIÉNES INTERESA LA MATEMÁTICA FINANCIERA?

Miremos un Balance:

ACTIVO PASIVO Caja Pagarés BANQUEROS Facturas por Cobrar Facturas por Pagar COMERCIANTES Inventario Edificios CAPITAL Maquinarias Acciones INVERSIONISTAS Equipos Utilidades

EL BANQUERO, el COMERCIANTE y el INVERSIONISTA acuden al MATEMÁTICO, para que les elabore un HERRAMENTAL

y puedan manejar sus operaciones con exactitud.

El MATEMÁTICO, en base a un RAZONAMIENTO LÓGICO, desarrolla un CONJUNTO de FÓRMULAS

útiles en el campo financiero.

Por eso se habla de: El CALCULO RACIONAL o Matemático

Es el FUNDAMENTO de la INGENIERÍA ECONÓMICA.

Pero, el BANQUERO y el COMERCIANTE, no siempre trabajan como lo indica el Matemático y surgen: El Cálculo BANCARIO a interés “adelantado”.

El Cálculo COMERCIAL a interés “horizontal”.

En cambio, el INVERSIONISTA, sí trabaja como dice Matemático. Y por eso, usted JAMÁS escuchará a un inversionista decir:

¡Tengo un proyecto con una Tasa Interna de Retorno “adelantada”!. Eso de tasa “adelantada”, solo ocurre en la banca.

Por eso, para aprender y com-pren-der la MATEMÁTICA FINANCIERA, clasifico mi libro en 3 GRANDES LECCIONES:

1) El CÁLCULO RACIONAL o Matemático 2) El CÁLCULO BANCARIO. 3) El CÁLCULO COMERCIAL.

Los COSTOS y RENDIMIENTOS verdaderos del dinero se descubren, con el CÁLCULO RACIONAL. ¡Ya lo veremos!


EL DINERO Y SU TRATAMIENTO

Como STOCK: Como FLUJO: Es una cantidad de dinero Es una sucesión de cantidades en un momento dado del tiempo. de dinero, a través del tiempo.

STOCK Final FLUJO CONSTANTE ( R ) S R R R R

0 n días 0 1 2 . . . . . . . . n periodos P STOCK Inicial P STOCK Inicial

Ej.: Préstamo Ej.: Préstamo Pagadero con UNA Cuota ( S ). Pagadero con VARIAS Cuotas Valor Nominal del Pagaré Inmediatas (yá en el 1er. periodo) y Vencidas (pero a fin del 1er. periodo)

NOTACIONES:

P STOCK INICIAL

(Capital, Valor Presente, Valor Actual, Valor Líquido)

S STOCK FINAL

(Monto, Valor Futuro, Valor a Plazo, Valor Nominal)

R FLUJO CONSTANTE

(Serie Uniforme, Rentas, Anualidades)

n: HORIZONTE TEMPORAL (Periodos, Plazo, Vencimiento).

¡COLEGAS PROFESORES! Llamar ANUALIDAD a unas Cuotas MENSUALES, ¡Confunde!

Sugiero decir: Flujo MENSUAL, Flujo TRIMESTRAL. Flujo SEMESTRAL.

CORREO del AUTOR: [email protected] 7

LECCIÓN de CORTESÍA en PDF

EL CÁLCULO RACIONAL

O MATEMÁTICO

Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4

En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA


Con solo saber: SUMAR, RESTAR,

MULTIPLICAR y DIVIDIR,

Algo se puede aprender . . .


CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS FINANCIEROS: ANUALIDADES O RENTAS (expresiones antiguas)

I ) FLUJO INMEDIATO VENCIDO: Anualidades Vencidas o Rentas Pospagables. Las 4 últimas Fórmulas Claves están diseñadas para manejar solo este Tipo de Flujo.

R R R R R . . . . . . . . . . . . . . R R La BASE

0 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . (n-1) n

Los siguientes Flujos se manejan combinando FACTORES.

II ) FLUJO INMEDIATO ANTICIPADO: Anualidades Anticipadas o Rentas Prepagables.

R R R R R . . . . . . . . . . . . . . R

0 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . (n-1) n

III ) FLUJO DIFERIDO VENCIDO: Anualidades Diferidas Pospagables.

DIFERIMIENTO R R R . . . . R R

0 1 2 m m+1 . . . . . . . (n-1) n

IV ) FLUJO DIFERIDO ANTICIPADO: Anualidades Diferidas Prepagables.

DIFERIMIENTO R R R . . . . R

0 1 2 m m+1 . . . . . . . (n-1) n

V ) FLUJO CRECIENTE ARITMÉTICAMENTE: La Gradiente g. Es un Valor MONETARIO. Es la razón de la Progresión Aritmética.

g 2g 3g 4g 5g (n - 1)g + + + + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . + R R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n

VI ) FLUJO CRECIENTE GEOMÉTRICAMENTE: La Gradiente g %. Es una TASA. La razón de la Progresión Geométrica es: ( 1 + g )

R R(1+g)1 R(1+g)2 R(1+g)2 . . . . . . . . . R(1+g)(n - 1) 0 1 2 3 . . . . . . . . . . n


LA TASA DE INTERÉS

i

Es la GANANCIA de la UNIDAD MONETARIA

al vencimiento de un PERIODO de tiempo.

EJEMPLO:

TASA DE INTERÉS: i = 3% mensual. PERIODO: UN mes

1 + 0.03

0 1 Mes

1 dólar



[email protected] 11

Aquí, el PERIODO DE LA TASA es el MES. Es un PERIODO notable. Pero, ¿si queremos la tasa para un periodo NO-NOTABLE: 7 días?.

Los bancos usualmente anuncian la tasa de interés a PERIODO ANNUAL: Ej.: 18% ANUAL.

¿Cómo calculamos la tasa de interés

para 7 días? La primera IDEA

es DIVIDIR y MULTIPLICAR: 18% : 360 x 7 = 0.35%.

Pero, en FINANZAS, se usan los términos NOMINAL and EFECTIVA para anunciar las tasas anuales.

Esa primera IDEA está bien para una Tasa NOMINAL Anual, pero NO para una Tasa EFECTIVA Anual, porque las TASAS EFECTIVAS se manejan por RADICACIÓN y POTENCIACIÓN.

Esto lo estudiaremos más adelante.

Sigamos con el 3% mensual.


EL INTERÉS ( I ) Es el resultado de aplicar la TASA DE INTERÉS ( i )

a UN CAPITAL ( P )

i

I = P . i

EJEMPLO. PRÉSTAMO: P = US$ 600 Tasa de interés: i = 3% mensual Plazo: n = 1 mes

I = 18

0 1 Mes P = US$ 600

EL INTERÉS ( I ):

I = 600 x 0.03 I = 18 La fórmula: I = P x i, es tan sencilla como en la FÍSICA: e = v x t Pero, la Física se complica cuando conocemos sobre la aceleración y el rozamiento. Así también, la MATEMÁTICA FINANCIERA tiene su desarrollo con los conceptos: La Capitalización y la Actualización.


DEUDA A PAGAR CON UNA CUOTA:

EL INTERÉS VENCIDO O SUMADO al CAPITAL OBSERVE: El interés 18, ocurre al vencimiento del mes.

El MATEMÁTICO, le dice al PRESTAMISTA:

¿El Cliente a pedido US$ 600?. ¡Entregue . . . US$ 600!

¡Ahora . . . , SUME, a 600, el interés 18!. Por tanto:

El VALOR NOMINAL del PAGARÉ es: S = US$ 618

S = P + I

S = 618

0 i = 3% mensual 1 mes

P = 600

¿QUÉ HEMOS HECHO? Hemos transformado

Un STOCK Inicial (P = 600) en un STOCK Final (S = 618)

Para el MATEMÁTICO . . . , ESO ES TODO.

PERO, si el Prestamista, RESTA el INTERÉS, diciendo que es cobrado “por adelantado”, empiezan las complicaciones, que veremos en la Lección 2.

Sigamos con el INTERÉS VENCIDO, sumado o añadido.


DEUDA A PAGAR CON VARIAS

CUOTAS (FLUJO)

EL MÉTODO ALEMÁN: De las Amortizaciones FIJAS

DATOS: P = 600

i = 3% mensual n = 3 meses

Los 3 datos básicos:

Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a pagar n al inicio Saldo x FIJAS a fin de "n" de “n” 0.03 P/n

1 600 200

2 200

3 200


CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES:

(1) (2) (3) (4) (5)

Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a pagar n al inicio Saldo x FIJAS a fin de "n" de “n” 0.03 P/n (3) + (4)

1 600 18 200 218

2 400 12 200 212

3 200 6 200 206

ES UN MÉTODO ELEMENTAL

¿QUÉ HEMOS HECHO?

P = 600

218 212 206

0 1 2 3 meses Hemos transformado

un STOCK Inicial (P) en un FLUJO.

OTRA PRESENTACIÓN DEL CUADRO DE INTERESES

(1) (2) (3) (4) (5) Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a Pagar n (2) x 0.03 P/n (3) + (4)

0 600 Ver también la pág. 82 1 400 18 200 218 2 200 12 200 212 3 0 6 200 206


MÉTODO AMERICANO: Amortización TOTAL

al final de los n periodos de interés.

DATOS: P = 600 i = 3% mensual n = 3 meses

Los 3 datos básicos:

Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar n al inicio Saldo x a fin de "n" de “n” 0.03

1 600

2

3 600




CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES:

(1) (2) (3) (4) (5)

Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar n al inicio Saldo x a fin de "n" de “n” 0.03 (3) + (4)

1 600 18 18

2 600 18 18

3 600 18 600 618

¿QUÉ HEMOS HECHO?

P = 600

18 18 618

0 1 2 3 meses Hemos transformado un STOCK Inicial (P)

en un FLUJO.

Este método tan elemental y primarioso se usa en ese Gran Campo de las FINANZAS llamado:

EL MERCADO de CAPITALES cuando una empresa emite BONOS.


CASO ESPECIAL de CORTO PLAZO

Si el pago NO CUBRE el interés, el BANQUERO capitaliza la diferencia.

(1) (2) (3) (4) (5)

Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar n al inicio Saldo x a fin de "n" de “n” 0.03 (3) + (4) 1 600 18 10 2 608 18.24 15 3 611.24 18.34 611.24 629.58

OBSERVACIONES 1.- Cuando el PAGO no cubre, el INTERÉS del PERIODO, el SALDO de la DEUDA AUMENTA. (*) Se cobra interés sobre interés (se llamará Interés COMPUESTO)

2.- Cuando una CUOTA supera el INTERÉS del PERIODO, el SALDO de la DEUDA DISMINUYE.

3.- Cuando el PAGO solo IGUALA el INTERÉS del PERIODO, el SALDO de la DEUDA SE MANTIENE. ¡Así nomás es!

¿QUÉ HEMOS HECHO? P = 600

10 15 629.58

0 1 2 3 meses Hemos transformado

un STOCK Inicial (P) en un FLUJO.

(*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. Entonces el 2do. Interés, también sería 18. ¡NO ES ASÍ!. El banco cobrará 18.24. El Interés Simple NO SIRVE. Sugiero utilizar INTERÉS COMPUESTO a cualquier plazo en AHORROS y PRÉSTAMOS


EJERCICIO

LLENE LA TABLA (1) (2) (3) (4) (5)


1 900 12

2 9 3

RESPUESTA (1) (2) (3) (4) (5)


1 900 18 12

2 906 18.12 9 3 915.12 18.30 915.12 933.42

(*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. ESO NO ES CIERTO. El Interés Simple NO LE SIRVE al Banquero, al Comerciante, al Inversionista, ni al Ahorrista. Solo hay CONVENIENCIAS. Cuando se trata de PAGAR no nos gustaría que capitalicen los intereses. Cuando se trata de COBRAR si nos gusta capitalizar los intereses. No debe ser así. Hay que MEDIR CON LA MISMA VARA. En INTERNET: En Google escriba: MATEMATICA FINANCIERA en Buscar. CEF: Centro de Estudios Financieros: (www.cef.es). Vea el Libro del Prof. Tovar en el Tema: Capitalización (?) a Interés Simple. Solo debe aplicarse INTERÉS COMPUESTO a cualquier plazo.


Si además de sumar, restar, multiplcar y dividir, sabemos

RADICAR y sabemos

POTENCIAR, podemos aprender más . . .


1.1. LA CAPITALIZACIÓN

La capitalización es un proceso de reinversión de ganancias

LA PRIMERA FÓRMULA CLAVE

LA TASA DE INTERÉS i

EL INTERÉS I = P . i

LA CAPITALIZACIÓN 1ra. Fórmula Clave

S = P (1 + i)n

El Factor de Capitalización:

FCni = (1 + i)n

LEER: Factor de Capitalización “ sub n a la tasa i ”

El FC, transforma un STOCK Inicial P, en un STOCK Final S.

S

0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . n P i


DEMOSTRACIÓN DE LA 1ra. FÓRMULA CLAVE:

S = P . FCn i

S = P (1 + i)n

Se trata de una aplicación sucesiva de la Fórmula: I = P . i

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) PERIODO CAPITAL INTERES MONTO n al comienzo por periodo al final del periodo n del periodo n (2) x i CAPITALIZACIÓN FACTORIZANDO

1 P P . i P + P . i P ( 1 + i ) 1 2 P( 1 + i ) P( 1 + i ) i P( 1 + i ) + P( 1 + i ) i P ( 1 + i ) 2

3 P ( 1 + i ) 2 P ( 1 + i ) 2 i P ( 1 + i ) 2 + P ( 1 + i ) 2 i P ( 1 + i ) 3

4 P ( 1 + i ) 3 P ( 1 + i ) 3 i P ( 1 + i ) 3 + P ( 1 + i ) 3 i P ( 1 + i ) 4 . . Por inducción matemática: . Para " n " periodos, el exponente será " n "

n P ( 1 + i ) n LQQD

Así, como en la FÍSICA, la Fórmula Básica: e = v . t

se complica con los conceptos de: aceleración y rozamiento.

Así también, en FINANZAS, la Fórmula Básica: I = P . i

Se amplía con los conceptos: CAPITALIZACIÓN y ACTUALIZACIÓN.

MUY IMPORTANTE:

Si trabaja con la tasa “i” MENSUAL, el exponente “n” debe ser en MESES. Si trabaja con la tasa “i” DIARIA, el exponente “n” debe ser en DÍAS.

NO SALE NADA, si pone, la tasa en AÑOS

y el exponente en MESES.


INTERÉS SIMPLE vs.

INTERÉS COMPUESTO

P = US$ 1000 n = 4 trimestres i = 10% trimestral

INTERÉS SIMPLE: Interés NO capitalizable

I1=100 I2=100 I3=100 I4=100 Constante

0 1 2 3 n = 4 Trimestres

P=1000 P1=1000 P2=1000 P3=1000 P4=1000

Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100

el banco, para calcular el 2do. Interés, NUNCA aceptará aplicar 10% solo sobre 1000 y cobrar, otra vez: I2 = US$ 100.

INTERÉS COMPUESTO: Interés SÍ capitalizable EL PROCESO DETALLADO

I1=100 I2=110 I3=121 I4=133.1 Creciente


P=1000 P1=1100 P2=1210 P3=1331 P4=1464.10

Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100

el banco considera a I1 = US$ 100 como un NUEVO CAPITAL prestado y OBLIGARÁ aplicar la tasa 10% sobre (1000 + 100)

Entonces, el 2do. Interés será: I2 = 1100 x 0.10 = US$ 110 Así . . . , la deuda a fin del 2do. Trimestre será: P2 = US$ 1210

El INTERÉS SIMPLE, no le sirve al BANQUERO.


A INTERÉS COMPUESTO: Sí reinvierte los intereses

EL PROCESO ABREVIADO DE LA CAPITALIZACIÓN


P=1000 i = 0.10 P4=1464.10

S= P . FCni

S = P (1 + i)n

S = 1000(1+ 0.10)4

S = 1000 (1.4641)

S = 1464.10 dólares SIGNIFICADO: US $1000 HOY

< > US $1464.10

dentro de 4 trimestres a la tasa del 10% trimestral compuesto.


SUMA ECONÓMICA vs.

SUMA CONTABLE

EQUIVALENCIA FINANCIERA Y SUSTITUCIÓN DE DEUDAS

El FLUJO de DEUDAS: 40, 50, y 60 mensuales, se desea cancelar

con un STOCK FINAL: S, a fin del mes 4.

40 50 60 Dólares 0 1 2 meses

El Banco exige una tasa de interés del 4% mensual.

40 50 60 S = ?

SUMA SUMA 0 1 2 3 4 meses ECONÓMICA CONTABLE 60(1+ 0.04 )2 = 64.90 60 50(1+ 0.04 )3 = 56.24 50 40(1+ 0.04 )4 = 46.79 40 167.93 150

El Banco le hará firmar una NUEVA Letra por US$ 167.93. JAMÁS le aceptará US$ 150.


Toda SUMA ECONÓMICA o, SUMA GEOMÉTRICA,

se hace en un PUNTO en el TIEMPO.

Es la base de la: EQUIVALENCIA FINANCIERA

entre STOCK y FLUJO.

Una ECUACIÓN FINANCIERA se plantea

en cualquier PUNTO del TIEMPO


DEUDA A PAGAR CON VARIAS CUOTAS

MÉTODO FRANCÉS: Las Cuotas FIJAS

PROBLEMA: PRÉSTAMO: P = US$ 600 Tasa de interés: i = 3% mensual Cuotas mensuales: n = 3

Si solo sabemos la 1ra. FÓRMULA CLAVE

S = P . FCn i

S = P (1 + i)n

RAZONAMIENTO: "DOS CANTIDADES EQUIVALENTES

LO SON EN CUALQUIER PUNTO DEL TIEMPO"


COBRANZAS <> PRÉSTAMO

Solo es cuestión de plantear la ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO FINAL (Punto 3).

COBRANZAS R R R

0 1 2 3 meses PRÉSTAMO P = 600

R(1+0.03)2 + R(1+0.03)1 + R = 600(1+0.03)3

El 1er. Miembro de la ecuación

es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 3.

Despejando: R = 212.12

Los 3 Datos Básicos: (1) (2) (3) (4) (5)

Mes Saldo Interés Amortización Pago constante n al inicio Saldo x a fin de "n" de “n” 0.03 (5) – (3) R

1 600 212.12

2 212.12

3 212.12

La CUOTA FIJA: R, contiene INTERESES y AMORTIZACIONES


EL CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES

Llenando el cuadro: (1) (2) (3) (4) (5)

Mes Saldo Interés Amortización Pago constante n al inicio Saldo x a fin de "n" de “n” 0.03 (5) – (3) R

1 600 18 194.12 212.12

2 405.88 12.18 199.94 212.12

3 205.94 6.18 205.94 212.12

Σ = 600.00 RAZONE así: A fin del primer mes, el interés 18 es derecho del Prestamista. Pero, el deudor paga MÁS: 212.12 .

Entonces, la DIFERENCIA: 212.12 - 18 = 194.12 es la PRIMERA AMORTIZACIÓN, que rebaja el SALDO DEUDOR a US$ 405.88 a INICIO del SEGUNDO MES. Y así sucesivamente.

¿QUÉ HEMOS HECHO?

P = 600 212.12 212.12 212.12

0 1 2 3 meses

Hemos transformado un STOCK Inicial ( P ) en un FLUJO CONSTANTE ( R )


EL INTERÉS ASTRONÓMICO

S = P (1 + i)n Un banquero dijo: No sé cuál es la 7ma. Maravilla del Mundo, pero, sí sé cuál es la 8va. Se llama: INTERÉS COMPUESTO.

¿En cuánto se convierte US$ 100 después de 200 años a la tasa del 0.5% mensual? Rpta. US$ 15 796 039.67 ¡Que se pagaría a algún descendiente suyo!. Pero, si le cobran US$ 5 mensuales por “mantenimiento de cuenta”, ¿en cuánto tiempo “desaparece” su plata? Rpta. n = 21.12473931 meses. Plantée: 100(1.005)n = 5[{(1.005)n -1}/0.005]

UN PRÉSTAMO HIPOTÉTICO LA CAPITALIZACIÓN

EN EL LARGUÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍSIMO PLAZO: 477 años Si a fines de 1532,

el Sr. FRANCISCO PIZARRO, recibió ORO del INCA ATAHUALPA, equivalente a 1 MILLÓN de euros, para la Corona Española,

¿ cuánto debería pagar ESPAÑA al PERÚ, el 31 - 12 - 2010, suponiendo como valor del dinero,

una tasa de interés, bajita nomás, del 0.5% mensual ?. S = 1 000 000 ( 1 + 0.005 )5736 meses

S = 2’’’ 657, 848’’ 581, 000’ 000, 000 de euros

Si somos 30 millones de habitantes nos tocaría: 88,594’952,700 euros A CADA UNO.

¡Que dicen! . . . ¿COBRAMOS?. “SOÑAR NO CUESTA NADA”

AHORRO PARA LA VEJEZ: El Plazo Fijo Con US$ 1000 al mes puede VIVIR BIEN una PAREJA de ANCIANOS.

Si un joven de 25 años ahorra HOY, US$ 842.8311619 al 1% mensual, acumularía US$ 100 000 cuando cumpla 65 años.

S = 842.8311619( 1 + 0.01 )480 meses = 100 000 dólares Cobraría: I = P . i = 100 000 x 0.01 = US$ 1000 mensual.

El Capital US$ 100 000 lo dejaría a sus HEREDEROS. +

La CAJA TRUJILLO ya paga el 12 % anual a PLAZO FIJO en MN. (Ver: Diario “PERÚ 21” del 02.08.09 – Pág. 6)


1.2. LA ACTUALIZACIÓN Es el proceso de descontar los intereses a un valor futuro.

LA SEGUNDA FÓRMULA CLAVE i

I = P . i

LA CAPITALIZACIÓN 1ra. Fórmula Clave

S = P (1 + i)n

LA ACTUALIZACIÓN 2da. Fórmula Clave

1 P = S (1 + i)n

1

El Factor de Actualización: FAni =

(1 + i)n LEER: Factor de actualización “ sub n a la tasa i ”

El FA, transforma un STOCK Final: S, en un STOCK Inicial: P

S

0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . n P i


LA ACTUALIZACIÓN:

PROBLEMA: US$ 1000 se pagará con US$ 1464.10 dentro de 4 trimestres, a la tasa del 10% trimestral.

¿Cuánto se pagaría 2 trimestres antes del vencimiento?

S=1464.10

0 1 2 3 4 Trimestres

P=1000 P2 = ? P = S . FAn

i

P2 = 1464.10 FA2 0.10 1 P2 = 1464.10

(1 + 0.10)2

P2 = 1464.10 x 0.826446281 P2 = 1210 dólares

VERIFICACIÓN POR CAPITALIZACIÓN:

LA CAPITALIZACIÓN Y LA ACTUALIZACIÓN Son como DOS CARAS de una MISMA MONEDA

0 1 2 3 4 Trimestres

P=1000 P2 = 1000 FC20.10

P2 = 1000 (1 + 0.10)2 = 1210 dólares


ACTUALIZACIÓN Y COSTO DE UN CRÉDITO

EL MÉTODO ALEMÁN: P = 600 “efectivamente” recibido

¿Cuál es la tasa? 218 212 206

0 1 2 3 meses

1er. RAZONAMIENTO: El Flujo de Pagos ACTUALIZADO, debe estar en ecuación con el crédito, a cierta tasa de interés por calcular.

Pagos 218 212 206

0 1 2 3 meses Crédito P = 600 i = ? P1

P2

P3

Donde: P = P1 + P2 + P3

1 1 1 600 = 218 + 212 + 206 ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3

El 2do. Miembro es una SUMA ECONÓMICA en el Punto "0" 2do. RAZONAMIENTO: Mirando la ECUACIÓN FINANCIERA planteada, decimos: “Debe existir una tasa, cuyo valor numérico reemplazado en el 2do. miembro y, realizando las operaciones indicadas, dé 600”. No pretenda despejar i. Use EXCEL FINANCIERO.

Se VERIFICA la tasa con el Cuadro de Intereses yAmortizaciones.


Ejemplo con EXCEL A

1 -600

En A5, teclee: =TIR(A1:A4) 2 218

Aparecerá el resultado: 3 3 212

Si quiere más decimales, 4 206

haga CLICK aquí. + o 5 3 oo

RESULTARÁ LO MISMO 3% con: EL MÉTODO AMERICANO P = 600 18 18 618

0 1 2 3 meses EL MÉTODO FRANCÉS P = 600 212.12 212.12 212.12

0 1 2 3 meses Y CUOTAS VARIABLES P = 600 10 15 629.58

0 1 2 3 meses

Como resulta 3%, en los cuatro métodos, se dice que los 4 FLUJOS son: FINANCIERAMENTE EQUIVALENTES.

Lo que significa: 1º Que los 4 flujos contienen el mismo rendimiento: 3%, ó

2º Que los 4 flujos pagan el préstamo de US$ 600.


ACTUALIZACIÓN Y CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO

Una empresa tiene EXCEDENTES DE CAJA de US$ 30, 40 y 50 a través de 3 meses. Calcule el PRÉSTAMO MÁXIMO. i = 1% mensual.

Capacidad de pago: 30 40 50

0 1 2 3 meses Préstamo: P=? A cada pago parcial, se calcula su valor presente.

29.70 30(1+ 0.01)-1 = P1

39.21 40(1+ 0.01)-2 = P2

48.53 50(1+ 0.01)-3 = P3 117.44 Esta SUMA ECONÓMICA es el Préstamo MÁXIMO

VERIFICACIÓN:

CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES (1) (2) (3) (4) (5) Periodo Saldo Interés Amortiz. Pago n al inicio de “n” (2) x 0.01 (5) - (3) a fin de “n”

1 117.44 1.17 28.83 30

2 88.61 0.89 39.11 40

3 49.50 0.50 49.50 50

Σ = 117.44 Préstamo Máx. RELACIÓN entre INTERESES CAPITALIZADOS y AL REBATIR

DETALLANDO EL GRÁFICO: 30 40 50 0 1 2 3 INTERESES CAPITALIZADOS c/ mes: INTERESES INTERESES INTERESES

P1 = 29.703 0.297 P2 = 39.212 0.392 0.396 P3 = 48.530 0.485 0.490 0.495

LA SUMA son INTERESES al REBATIR 1.174 0.886 0.495 Col. 3


ACTUALIZACIÓN y SALDO DEUDOR

Al INICIO del mes 2:

El SALDO DEUDOR es US$ 88.61 ¡Véalo!

CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES

(1) (2) (3) (4) (5) Periodo Saldo Interés Amortiz. Pago n al inicio de “n” (2) x 0.01 (5) - (3) a fin de “n”

1 117.44 1.17 28.83 30

2 88.61 0.89 39.11 40

3 49.50 0.50 49.50 50

Si no dispone del cuadro, actualice el FLUJO pendiente de pago: 40 y 50

40 50

0 1 2 3 meses

SALDO: P1=? Se calcula el valor presente de cada cuota al Punto 1. 1 39.60 = 40 (1 + 0.01)1

1 49.01 = 50 (1 + 0.01)2 Σ = 88.61 Es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 1.

OBSERVACIÓN:

¿Y cómo se calcula el SALDO DEUDOR “un día cualquiera”?. Para eso, es necesario el CONOCIMIENTO de las TASAS EQUIVALENTES. Eso viene más adelante.


INTERÉS SIMPLE vs. INTERÉS COMPUESTO

i

I = P . i Para 1 periodo: día, mes, año

Para n periodos Para n periodos

S = P(1 + i . n) CAPITALIZACIÓN S = P (1 + i)n

1 1 P = S ACTUALIZACIÓN P = S 1 + i . n (1 + i)n

A interés SIMPLE A interés COMPUESTO n, es FACTOR. n, es EXPONENTE.

A la tasa: i = 10% trimestral A la tasa: i = 10% trimestral

I=100 I=100 I=100 I=100 I=100 I=110 I=121 I=133.1 0 1 2 3 4 Trim 0 1 2 3 4 Trim 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1100 1210 1331 1464.1

El Capital 1000 NO CRECE. No capitalizan El Capital 1000 SÍ CRECE. Sí capitalizan los los intereses. La tasa siempre se aplica al intereses. La tasa se aplica al STOCK al Inicio STOCK Inicial: P. Es como guardar cada del Periodo + el INTERÉS. Ej.: A fin del Tr. 1 ganancia 100 “bajo el colchón”. (Mt. 25-25) I = (1000 + 100) 0.10 = 110 (Mt. 25-27) El Interés Simple no reconoce el valor El Interés Compuesto “sí reconoce” del interés ganado en el periodo. el valor del interés ganado en el periodo

Lo qué dice el Prof. JUSTIN MOORE de los EE.UU. (*)

“La mezcla de interés compuesto con interés simple es tan ilógica como sería que un tendero insistiera que una mujer que quiere 10 3/4 yardas de paño, compre 10 yardas ¾ de “metro”.

La misma unidad de medida debe aplicarse para medir las unidades y las fracciones de unidad”. Por ello, el método científicamente correcto para calcular, por ej. el PRECIO EFECTIVO de un BONO (o un Papel Comercial) usa el INTERÉS COM-PUES-TO.

PREGUNTA En cuánto se convierte $ 1000 después de 15 semestres y 1 mes, al 7% semestral? Según el MATEMÁTICO: 1000 (1 + 0.07)15 1/6 = 1000 (1 + 0.07)15.1666666 = $ 2 790.32 Es lo JUSTO. Según el COMERCIANTE: 1000 (1+0.07)15 (1+0.07 x 1/6) = $ 2 791.22 Es PRÁCTICO, pero INJUSTO. I. Compuesto Int. Simple MEZCLA: (1+ 0.07)15 (1+0.07x1/6) (*) “Manual de Matemáticas Financieras” - Editorial UTHEA


PROBLEMA : A la tasa 10 % mensual. ALTA, por alta inflación. Datos:: P = $ 900 n = 3 meses. Calcular la Cuota Fija: R

INTERÉS SIMPLE vs. INTERÉS COMPUESTO

R R R R R R

0 1 2 3 0 1 2 3 P=900 i = 10 % P=900 i = 10% La ECUACIÓN FINANCIERA La ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO 3: en el PUNTO 3: R(1+0.10x2) + R(1+0.10x1) + R R(1 + 0.10)2 + R(1 + 0.10)1 + R

= 900 (1+0.10x3) = 900 (1 + 0.10)3

R = 354.55 R = 361.90 Es mayor, pero JUSTO.

La ECUACIÓN FINANCIERA La ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO 0: en el PUNTO 0: 1 1 1 1 1 1 900 = R + R + R 900 = R + R + R

1+0.10x1 1+0.10x 2 1+0.10x3 (1+0.10)1 (1+0.10)2 (1+0.10)3 R = 358.33 > 354.55 R = 361.90 Da valor al INTERÉS.

¿Cuál es la verdad? Sale IGUAL. Una sola VERDAD.

Con INTERÉS SIMPLE: Para plantear la ecuación financiera

Al Cliente le conviene el Punto 3. Pagaría 354.55

Al Banco le conviene el Punto 0. Cobraría 358.33 CREA DUDAS

¡LA VERDAD DEBE SER UNA SOLA!

Hay diferencia cuando se cambia el PUNTO para plantear la ecuación financiera. La diferencia es muy pequeña a tasas de interés muy bajas y en el corto plazo. La diferencia es mayor a tasas de interés altas y, sobre todo, en el largo plazo.

Se crea una discusión, entre el BANCO y el CLIENTE.

A INTERÉS COMPUESTO: Siempre sale IGUAL, 361.90 NO CREA DUDAS.

Hay exactitud aun cambiando el PUNTO para plantear la ecuación financiera.

Autores españoles dicen que el INTERÉS SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. (?). Yo digo: Si la aplican en el LARGO PLAZO, se “DERRUMBAN” las FINANZAS.

MI RECOMENDACIÓN: ¡Apliquen Interés COMPUESTO “a cualquier plazo”!

Es JUSTO, cobrar interés sobre el interés ganado (nuevo capital). Es REINVERSIÓN de UTILIDADES. Pero es INJUSTO, ABUSIVO, cobrar ALTAS TASAS a la gente pobre aduciendo MAYOR RIESGO.

La gente POBRE es más cumplidora. La gente RICA es más tramposa.

Lc. 16-19 a 31. Ex. 22 - 25. Pr. 28 – 8 y 20. Hag. 2 - 8. Sal. 24 - 1,2. 2 Co. 5-10.


AHORA: Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN

1.3. LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE

i La TERCERA Fórmula Clave

I = P . i 3ra. FÓRMULA CLAVE

1ra. Fórmula Clave (1 + i)n - 1

S = P (1 + i)n S = R i 2da. Fórmula Clave

1 P = S

(1 + i)n (1 + i)n - 1 El Factor de Agrupamiento al Futuro: FAFn

i = i

El FAF, transforma un FLUJO CONSTANTE: R, en un STOCK Final S. El FAF, agrupa, reune, un FLUJO CONSTANTE: R, en un STOCK Final S.

S

R R R R

0 1 2 . . . . . . . . . . . . n

MUY Importante: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO


DEMOSTRACIÓN DE LA 3ra. FÓRMULA CLAVE: LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R )

S = R . FAFn i (1 + i)n - 1 S = R i

Se trata de la AGRUPACIÓN de un FLUJO CONSTANTE . Se trata de una Suma Económica, al FINAL del horizonte temporal. DIAGRAMA: S

R( 1 + i ) n - 1 . . . . . R( 1 + i ) 2 R( 1 + i ) 1

R R R . . . . . . . . . . R R R 0 1 2 3 4 n-2 n-1 n

Hacemos la Suma Económica en el Punto ( n ), sacando ( R ) como factor común:

S = R [ 1 + ( 1 + i )1 + ( 1 + i )2 + ( 1 + i )3 + ............. + + ( 1 + i )n - 1 ] El corchete es una Progresión Geométrica cuya suma se calcula así :

"El 1er. término por la razón elevada al número de términos menos el 1er. término, sobre la razón menos uno "

1 ( 1 + i )n - 1 S = R [ ] ( 1 + i ) - 1 Simplificando:

( 1 + i )n - 1 Al Corchete, se llamará S = R Factor de Agrupamiento al Futuro (FAFn

i) i

RECUERDE: En este libro, TODO es INTERÉS COMPUESTO


Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN

UN EJEMPLO SENCILLO:

¿Cuánto se podrá acumular, en 3 meses, con 3 depósitos mensuales de US$ 212.12 a la tasa del 3% mensual?

DETALLADAMENTE: Solo con la 1ra. Fórmula

S = ? 212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04 212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48 212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12 212.12 212.12 212.12 Σ = 655.64

Es una SUMA ECONÓMICA

0 1 2 3 en el Punto 3. i = 0.03

ABREVIADAMENTE: CON LA 3ra. FÓRMULA CLAVE S = R . FAFn i

(1 + i)n - 1 S = R i

Reemplazando datos:

( 1 + 0.03 )3 - 1 S = 212.12 0.03

S = 212.12 [ 3.0909 ]

S = 655.64 Dólares Rpta.



ADMINISTRADORAS DE FONDOS DE PENSIONES:

Si usted tiene 25 años, y deposita 100 euros mensuales en una AFP que hace rendir a su dinero, 1% promedio mensual,

¿cuánto acumulará cuando cumpla 65 años?

DIAGRAMA: S = ? 100 100 100 . . . . . . 100 100

0 1 2 3 419 480 i = 0.01 meses ANÁLISIS: Se trata de transformar, agrupar, un FLUJO Constante, en un STOCK Final. Se aplicará el FAF.

OPERACIONES: S = R . FAFn i

(1 + i)n - 1 (1 + 0.01)480 - 1 S = R = 100 = 1 176 477.25 i 0.01 euros SOLUCIÓN: 1 176 477.25 euros. PARA PASAR SU VEJEZ. OBSERVACIÓN: El INTERÉS mensual que cobraría, en adelante, sería: I = 1 176 477.25 x 0.01 = 11 765 euros

hasta su MUERTE.

¿Y el capital 1 176 477.25 euros?. Lo deja a su mujer.

Y, si ella es joven, se casa de nuevo.

CONCLUSIÓN: “Nadie sabe para quién trabaja”



1.4. LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN

i La CUARTA Fórmula Clave

I = P . i

1ra. 3ra. 4ta. Fórmula Clave

(1 + i)n - 1 i S = P (1 + i)n S = R R = S i (1 + i)n - 1 2da.

1 P = S

(1 + i)n i El Factor de Distribución de un Valor Futuro: FDVFn

i = (1 + i)n - 1

El FDVF, transforma un STOCK Final: S, en un FLUJO constante: R. El FDVF, distribuye, reparte, un STOCK Final: S, en un FLUJO constante: R.

S

R R R R

0 1 2 . . . . . . . . . . . . . n

MUY IMPORTANTE: El FLUJO Constante es INMEDIATO y VENCIDO



LA DEPRECIACIÓN LOS CAMIONEROS: Un plazo MUY CORTO para entender.

Una FLOTA de camiones costó US$ 655.64 y hay que renovarla al término de su VIDA ÚTIL que es de “3 meses”

Si un banco paga una tasa del 3% mensual, ¿cuál sería la cantidad necesaria y suficiente depositar

a fin de cada mes, para acumular su costo, en EFECTIVO?.

R = S . FDVFn i

i 0.03 R = S = 655.64 (1 + i)n - 1 ( 1 + 0.03 )3 - 1

R = 655.64 [ 0.323530363 ] = 212.12 dólares

VERIFICACIÓN: S = 655.64 212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04 212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48 212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12 212.12 212.12 212.12 Σ = 655.64

Acumula el capital deseado

0 1 2 3 para reemplazar el activo. i = 0.03

Para recordar, para que sirve el FDVF, acuérdese de: LOS CAMIONEROS.

“Transforma un STOCK Final S, en un FLUJO Constante, R INMEDIATO y VENCIDO”

PROBLEMA PARA UD.: Calcule la cuota fija mensual inmediata y vencida: R, a depositar en un banco, a la tasa del 1% mensual para ACUMULAR US$ 20 millones y renovar una FLOTA de CAMIONES, al término de su VIDA ÚTIL de 10 años. Rpta. US$ 86 941.90



1.5. LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE

i La QUINTA Fórmula Clave

I = P . i 3ra. 4ta. 1ra.

(1 + i)n - 1 i S = P (1 + i)n S = R R = S i (1 + i)n - 1

2da. 5ta. Fórmula Clave

1 (1 + i)n - 1 P = S P = R (1 + i)n i (1 + i)n

(1 + i)n - 1 El Factor de Agrupamiento al Presente: FAPn

i =

i (1 + i)n

El FAP, transforma un FLUJO constante: R, en un STOCK Inicial: P. El FAP, agrupa, reune, un FLUJO constante: R, en un STOCK Inicial: P.

R R R R

0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . n

P MUY IMPORTANTE: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO


DEMOSTRACIÓN DE LA 5ta. FÓRMULA CLAVE: LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R )

P = R . FAPn i

(1 + i)n - 1 P = R i (1 + i)n

DIAGRAMA: R R R . . . . . . . . R R R 0 1 2 3 4 n-2 n-1 n 1 R ( 1 + i )1 1 R ( 1 + i )2 . . . . . R 1 ( 1 + i )n

P

Se trata de la AGRUPACIÓN de un FLUJO Constante . Se trata de una Suma Económica, al INICIO del horizonte temporal.

1 1 1 P = R [ + + ............................ + ] Corchete es una P.G. (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n

1 1 1 x (1 + i) (1 + i)n (1 + i) P = R [ ] 1 1 (1 + i)

Simplificando (1 + i)n - 1 Al Corchete, se llamará: P = R Factor de Agrupamiento al Presente (FAPn

i) i (1 + i)n



CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO

¿Cuánto se podrá prestar a una persona que tiene excedentes de efectivo de 212.12 dólares mensuales durante 3 meses?.

Tasa de interés: i = 3% mensual

DETALLADAMENTE: Solo con la 2da. Fórmula

212.12 212.12 212.12

0 1 2 3 Es una SUMA ECONÓMICA 205.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-1 i = 0.03 199.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-2 194.12 = 212.12 (1+ 0.03 )-3 P = 600 P = ? ABREVIADAMENTE: Con la 5ta. FÓRMULA CLAVE P = R . FAPn i

(1 + i)n - 1 P = R i (1 + i)n

( 1 + 0.03 )3 - 1 P = 212.12 0.03 ( 1 + 0.03 )3

P = 212.12 [ 2.828611355 ]

P = 600 dólares



EL PRECIO TEÓRICO DE UN BONO

Un bono de minera “La Plata”, paga intereses I = US$ 30 trimestrales, y aún falta cobrar 20 cupones de interés.

El Valor de Redención es V = US$ 1000 al final del plazo. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista

que espera ganar un 4% trimestral?

DIAGRAMA: V = 1000 30 30 30 . . . . . . 30 30

0 1 2 3 19 20 P = ? i = 0.04 meses ANÁLISIS: Se trata de transformar un FLUJO Constante de 30 de intereses, en un STOCK Inicial. Se aplicará el FAP. Pero, además, se SUMARÁ el valor presente de 1000 Se aplicará el FA. OPERACIONES: PRECIO = 30.FAP20

0.04 + 1000.FA200.04

( 1 + 0.04 )20 - 1 1 P = 30 + 1000 0.04 ( 1 + 0.04 )20 (1 + 0.04)20

P = 30 [13.59032635 ] + 1000 (0.456386946)

P = 407.71 + 456.39 = 864.10

SOLUCIÓN: P = US$ 864.10 Es el Precio MÁXIMO a pagar.

OBSERVACIÓN: El Precio Teórico se calcula para negociar. Es el SECRETO del inversionista. En la negociación funciona la Ley de la Oferta y la Demanda. El inversionista “debe aprovecharse de la ANGUSTIA por LIQUIDEZ del vendedor y ofrecer pagar menos de 864.10”. Si el precio se negocia en US$ 800, aumenta la tasa de ganancia del inversionista. ¡USE EXCEL!. Rpta. 4.543% Trimestral



1.6. LAS AMORTIZACIONES

i La SEXTA Fórmula Clave

I = P . i

1ra. 3ra. 4ta.

(1 + i)n - 1 i S = P (1 + i)n S = R R = S i (1 + i)n - 1 2da. 5ta. 6ta. Fórmula Clave

1 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n P = S P = R R = P (1 + i)n i (1 + i)n (1 + i)n - 1

i (1 + i)n El Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVPn

i =

(1 + i)n - 1

El FDVP, transforma un STOCK Inicial: P, en un FLUJO constante: R. El FDVP, distribuye, reparte, un STOCK Inicial: P, en un FLUJO constante: R.

R R R R

0 1 2 . . . . . . . . . . . . . n

P

MUY IMPORTANTE: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO



EL MÉTODO FRANCÉS: RECUPERO DE PRÉSTAMOS EN CUOTAS FIJAS

Calcular la CUOTA FIJA (R) trimestral a pagar en 3 meses por un Préstamo de 600 dólares, al 3% mensual.

INGRESOS R R R

0 1 2 3 meses EGRESO P = 600 i = 3%

ABREVIADAMENTE: CON LA 6ta. FÓRMULA CLAVE

R = P . FDVPn i

i (1 + i)n R = P (1 + i)n - 1

0.03(1 + 0.03)3 R = 600 (1 + 0.03)3 - 1

R = 212.12 dólares

CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES (1) (2) (3) (4) (5)

Mes SALDO al INTERÉS Amortización CUOTA FIJA n inicio a fin de “n” (2) x 0.03 (5) - (3) de "n"

1 600.00 18.00 194.12 212.12

2 405.88 12.18 199.94 212.12

3 205.94 6.18 205.94 212.12 Σ 600.00 RECUERDE: Con la 1ra. Fórmula Clave se hace “muy larga”



EL CIRCUITO FINANCIERO

LAS 6 TRANSFORMACIONES FINANCIERAS EQUIVALENTES

FONDOS DE AMORTIZACIÓN

R = S . FDVFni = 212.12

ACTUALIZACIÓN CAPITALIZACIÓN

P = S . FAni = 600 S S = P . FCni = 655.64 R R R

P = R . FAPni=600 0 1 2 3 S = R . FAFni =655.64 P=600 i =3%

R = P . FDVPni = 212.12

AMORTIZACIONES

INTER-RELACIÓN EN UN SOLO ARMAZÓN de los 4 TEMAS de la Matemática Financiera:

1) LA CAPITALIZACIÓN 3) LAS AMORTIZACIONES 2) LA ACTUALIZACIÓN 4) LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN



RESUMEN LAS 6 FÓRMULAS CLAVES

i TODO ES UNA CADENA

I = P . i AGRUPAMIENTO DISTRIBUCIÓN

PRIMERA TERCERA CUARTA

(1 + i)n - 1 i S = P (1 + i)n S = R R = S i (1 + i)n - 1

SEGUNDA QUINTA SEXTA

1 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n P = S P = R R = P (1 + i)n i (1 + i)n (1 + i)n - 1

Las 6 Transformaciones de un CAPITAL 600: i = 3%

AGRUPAMIENTO DISTRIBUCIÓN

S=? S=655.64

S=655.64 212.12 212.12 212.12 R=? R R

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

P=600 P=? P=600

Con las FÓRMULAS 1 y 2, se resuelve CUALQUIER problema. LAS FÓRMULAS: 3, 4, 5 y 6 solo ABREVIAN el TRABAJO.

Y están diseñadas para CAPITALIZAR o ACTUALIZAR. FLUJOS INMEDIATOS y VENCIDOS. ¡NADA MÁS!



OBSERVE:

AL FUTURO: Hay 2 CAMINOS para obtener US$ 655.64

PUNTO de PARTIDA: P = 600 Y calculando en el orden de los círculos: 1º, 2º, 3º. LA CAPITALIZACIÓN

S = P . FCni = 655.64 1º R R R

0 1 2 3 S = R . FAFni = 655.64 3º

P= 600 i =3%

R = P . FDVPni = 212.12 2º

LAS AMORTIZACIONES

IDENTIDADES MUY ÚTILES:

LA CAPITALIZACIÓN

S = P . FCni S = P . FDVPni . FAFni



AL PRESENTE: Hay 2 CAMINOS para obtener US$ 600

PUNTO de PARTIDA: S = 655.64 Y calculando en el orden de los círculos: 4º, 5º, 6º.

LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN

R = S . FDVFni = 212.12 5º

LA ACTUALIZACIÓN

4º P = S . FAni = 600 S = 655.64 R R R

6º P = R . FAPni = 600 0 1 2 3

IDENTIDADES MUY ÚTILES:

LA ACTUALIZACIÓN

P = S . FAni P = S . FDVFni . FAPni


EL FLUJO CONSTANTE: R = 212.12

por 2 CAMINOS

Piense en: DISTRIBUCIÓN LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN

5º R = S . FDVFni = 212.12 S = 655.64

212.12 212.12 212.12

0 1 2 3 P = 600 2º R = P . FDVPni = 212.12

LAS AMORTIZACIONES

IDENTIDADES MUY ÚTILES: R = P . FDVPni R contiene INTERESES. PAGA un Préstamo R = S . FDVFni R no contiene INTERESES. GANA intereses para acumular un Capital Futuro.


¡ MEMORICE !

1.- ¿Para qué sirve el Factor de Capitalización: FC?.

Sirve para transformar un STOCK Inicial: P en un STOCK Final: S 2

2.- ¿Para qué sirve el Factor de Actualización: FA?.

Sirve para transformar un STOCK Final: S en un STOCK Inicial: P

3.- ¿Para qué sirve el Factor de Agrupamiento al Futuro: FAF?.

Sirve para transformar un FLUJO Constante: R en un STOCK Final: S

4.- ¿Para qué sirve el Factor de Distribución de un Valor Futuro: FDVF?.

Sirve para transformar un STOCK Final: S en un FLUJO Constante: R

5.- ¿Para qué sirve el Factor de Agrupamiento al Presente: FAP?.

Sirve para transformar un FLUJO Constante: R en un STOCK Inicial: P

6.- ¿Para qué sirve el Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVP?.

Sirve para transformar un STOCK Inicial: P en un FLUJO Constante: R


¡ Esto sí . . . , es GRANDIOSO ! En solo 2 páginas . . . , le enseñaré a manejar las ANUALIDADES ANTICIPADAS y las DIFERIDAS.

En otros libros, utilizan CAPÍTULOS, y no hay necesidad.

ANUALIDADES ANTICIPADAS

Un PRÉSTAMO de US$ 1000 se paga en 7 meses al 3% mensual. Calcule las Cuotas Fijas Mensuales INMEDIATAS y ANTICIPADAS.

1er. PASO: Aplique el FDVP: RVENCIDA = 1000 . FDVP7 0.03 = 160.506

El FDVP, está diseñado solo para calcular Pagos Fijos al FINAL de CADA PERIODO

160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 0 1 2 3 4 5 6 7 P = 1000 i = 0.03

TRANSFORMACIÓN: De Pagos Fijos al FINAL de CADA PERIODO en Pagos Fijos al INICIO de CADA PERIODO.

2do. PASO: Actualice 1 Periodo la R = 160.506 con el FA

1 RANTICIPADA = 160.506 ¡HAGA ESTO! ( 1 + 0.03 )1 RANTICIPADA = 160.506 (0.970873786)

RANTICIPADA = $ 155.83

155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 0 1 2 3 4 5 6 7

P = 1000 i = 0.03 ¡ESO ES TODO!


ANUALIDADES DIFERIDAS VENCIDAS Un Préstamo de US$ 1000 se devuelve en 7 meses al 3% mensual. Calcule las Cuotas Fijas Mensuales R’ vencidas y diferidas 3 meses.

EL SECRETO: Resalte un Flujo INMEDIATO Y VENCIDO:

UN CAMINO: Combinando el FC con el FDVP.

R R R R

0 1 2 3 4 5 6 7 P = 1000 P3 (vea la línea gruesa)

R = [ 1000 ( FC30.03 ) ] ( FDVP40.03 )

R = [ 1092.727 ] ( 0.269027045 ) = 293.973 Respuesta

293.973 293.973 293.973 293.973 0 1 2 3 4 5 6 7 P = 1000 i = 0.03

OTRO CAMINO: Combinando el FC con el FDFV

S

R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 P = 1000 i = 0.03 R = [ 1000 ( FC70.03 ) ] ( FDVF40.03 ) R = [ 1229.873865 ] ( 0.239027045 ) = 293.973 Sale igual.

ANUALIDADES DIFERIDAS ANTICIPADAS Solo actualizamos UN PERIODO el resultado anterior: R’ = R . FA10.03 R’ = 293.973 ( 0.970873786 ) = 285.41 285.41 285.41 285.41 285.41 0 1 2 3 4 5 6 7

P = 1000 i = 0.03 ¡ESO ES TODO!


PROBLEMA PARA USTED ¡ATÁQUELO POR 7 FRENTES COMBINANDO FÓRMULAS!

PRÉSTAMO: P = 1000. Plazo total n = 7 meses. Tasa i = 4% mensual Cuotas Fijas: R = 309.89 (verificar) diferidas 3 meses y vencidas.

“Dos cantidades EQUIVALENTES, lo son en cualquier punto del tiempo”

1er. CAMINO: Con el FC, Ecuación Financiera en el Punto 7 R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 meses P = 1000

1000 . FC70.04= R. FC3

0.04+ R . FC20.04+ R . FC1

0.04+ R Despeje R

2do. CAMINO: Con el FA, Ecuación Financiera en el Punto 0

R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 meses P = 1000

1000 = R.FA40.04+ R . FA5

0.04+ R . FA60.04+ R . FA7

0.04 Despeje R

3er. CAMINO: Con el FC y FA. Ecuación en el Punto Ej.: 5

R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 meses P = 1000

1000 . FC50.04 = R.FC1

0.04+ R + R . FA10.04+ R . FA2

0.04 Despeje R


4to. CAMINO: Combinando el FC y el FAF en el Punto 7 R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 meses P = 1000

EL SECRETO: (vea la línea gruesa) BUSQUE un Flujo INMEDIATO y VENCIDO

1000 . FC70.04 = R . FAF4

0.04 R = 309.89

5to. CAMINO: Combinando el FC con el FDVP.

R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 meses P = 1000 Use el CIRCUITO R = [ 1000 (FC3

0.04 ) ]( FDVP40.04) Donde: R = 309.89

El corchete es Stock, al INICIO del mes 4.

6to. CAMINO: Combinando el FC con el FDVF R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 meses P = 1000 Use el CIRCUITO

R = [1000 ( FC70.04)]( FDVF4

0.04) Donde: R = 309.89 El corchete es Stock, al FINAL del mes 7

IDENTIDADES R = P . FDVPni

A RECORDAR: R = S . FDVFni


7mo. CAMINO: Con R Artificiales

El Diagrama ORIGINAL: R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 meses P = 1000 i = 4% mensual

Complételo así:

R R R R R R R 0 1 2 3 4 5 6 7 meses P = 1000

En el Punto 0, planteamos la ECUACIÓN FINANCIERA:

1000 = R . FAP70.04 - R . FAP3

0.04

Restamos el Valor Actualizado de las R artificiales,

por cuanto NO EXISTEN. Las RESTAS, también se hacen en un Punto en el tiempo.

1000 = R ( 6.00205467 – 2.775091033 )

Despejando: R = 309.89 Igual resultado

¡ JUEGUE con las 6 FÓRMULAS CLAVES y el CIRCUITO FINANCIERO,

para DOMINAR Matemática Financiera! AHORA, solo falta manejar BIEN

la tasa de interés.

PROF.: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA (PERÚ) [email protected]


FLUJOS PERPÉTUOS Cuando n, tiende al infinito: n ∞ (Ver Pág. 2)

PROBLEMA 1: Un hospital recibe una renta perpétua mensual de US$ 200000. Hallar el valor por el cual puede ceder sus derechos a la renta perpetua. Tasa de interés: 2% mensual,

R = 200 000 mensual ANÁLISIS: Se trata de transformar DIAGRAMA: un Flujo Constante R, 0 ∞ meses en un Stock Inicial P. Se aplicará el P =? i = 0.02 mensual FAP cuando n tiende al INFINITO. 1 1

OPERAC.: P = R.FAP∞i = R. = 200 000 SOLUC.: P=US$10 millones

i 0.02

PROBLEMA 2: Sean bonos a perpetuidad con VN = US$ 1000 al 10% anual. Calcule la renta.

R = ? ANÁLISIS: Se trata de transformar un Stock DIAGRAMA: Inicial P, en un Flujo Constante R. 0 ∞ Se aplicará el FDVP P =1000 i = 0.10 cuando n tiende al INFINITO.

OPERAC.: R = P. FDVP∞i = P. i = 1000 (0.10) SOLUC.: R = US$ 100

FLUJO ANTICIPADO

1º FLUJO VENCIDO R: Ver págs. 30, 31, 50 Cuadro de Intereses y Amortizaciones

212.12 212.12 212.12 (1) (2) (3) (4) (5)

0 1 2 3 meses P = 600 n Saldo al Interés Amortiz Cuota Inicio de n (2) x 0.03 (5) – (3) Fin de n 2º FLUJO ANTICIPADO R’: Pág. 57 R’ = 212.12 (1 + 0.03)-1 = 205.94 0 600.00 0 205.94 205.94 205.94 205.94 205.94 1 394.06 11.82 194.12 205.94

0 1 2 3 meses 2 199.94 6.00 199.94 205.94 P = 600 3

Dentro de un Flujo anticipado existe un Flujo vencido: ¡Vea! NOTA: En el punto 0 (inicio del mes 1) el préstamo

205.94 205.94 neto es (600- 205.94) = 394.06 El 1er. Interés es 0, pues no ha pasado ningún tiempo. 0 1 2 3 meses La 1ra. Cuota (Punto 0) es TODO capital. P = 394.06 Los 394.06 se paga con 2 cuotas VENCIDAS de 205.94 Los 205.94 a INICIO del mes 3, ANALOGÍA: Las 12 de la noche de HOY, es como si estuviera a FIN del mes 2. es las 0 horas, del DIA SIGUIENTE.


1.7.

LAS TASAS NOMINAL

Y EFECTIVA

CASO TERCER MUNDO: Perú TASA TASAS TASAS TASAS ANUAL ANUALES “MENSUALES” ANUALES NOMINAL EFECTIVAS EFECTIVAS EFECTIVAS CONTROLADA CONTROLADAS CONTROLADAS LIBRES

TNA = 93% Inflación 158% Inflación 63%: 1986 Inflación 7640% Inflación 3.73% BELAÚNDE ALAN GARCÍA ALAN GARCÍA FUJIMORI

TEA = 289.6% 30% TEA = 125% 255% 25% 110% 55% 20% 32% Julio 5 Ag. Julio Marz Set Dic Marz Marz Agosto 1985 1985 1987 1988 88 88 89 90 1990-2000 30% MENSUAL < > 2 230% ANUAL

¿Cómo surgen las tasas NOMINAL y EFECTIVA para UN periodo

y para VARIOS periodos. Ej.: El AÑO?.


LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA PARA UN PERIODO

¿Por qué, el solo decir: Ej.: 10% trimestral, es tasa VENCIDA y también es tasa E-FEC-TI-VA?

Lo que dice el MATEMÁTICO: Lo que hace el BANQUERO: Dé al cliente el Préstamo “Cobra el interés por adelantado”. completo solicitado: US$ 1000. Y le da: $ 1000 - 100 = $ 900 (*) Es INTERÉS VENCIDO Es INTERÉS ADELANTADO O, AÑADIDO. O, DESCONTADO.

I = 100 I = 100

0 1 Trim 0 1 Trim P = 1000 P = 900

VERIFICACIÓN DE LA TASA VERIFICACIÓN DE LA TASA I 100 100 i = = = 0.10 = 10% trim i = = 0.1111 = 11.11% trim. P 1000 900 SE CUMPLE la tasa anunciada NO SE CUMPLE la tasa anunciada.

10% trimestral. Al 11.11% se llamará tasa EFECTIVA Es la tasa VERDADERA Al 10% se llamará tasa NOMINAL Es una tasa MENTIROSA

El Prof. Justin Moore, de los EE.UU., en su Libro: Manual de Matemáticas Financieras dice: “El Interés es VENCIDO porque hay que darle tiempo al cliente para que use el dinero”.

(*) El Banquero, resta 2 cantidades en 2 distintos puntos del tiempo: 1000 al inicio – 100 al final = 900. ¿Eso no va contra las Finanzas?.


En la VERIFICACIÓN a interés VENCIDO, I 100 i = i = P 1000 i = 10% TRIMESTRAL es también tasa de interés EFECTIVA. Por DEFINICIÓN, la tasa de interés es VENCIDA.

Por tanto: "Toda tasa VENCIDA, es tasa EFECTIVA"

Se lo digo en verso:

"La tasa de interés que es EFECTIVA, por DEFINICIÓN, deja de serlo, por IMPOSICIÓN".

Abdías Espinoza


LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA

PARA VARIOS PERIODOS

La Tasa EFECTIVA Anual: TEA

Con la 1ra. Fórmula Clave

S = P (1 + i)n al 10% trimestral

y capitalizando (rotando el capital) m = 4 trimestres en el año.

Tenemos:

1464.10 = 1000 ( 1 + 0.10TRIM )4 TRIM

Se puede escribir: ES UNA SUMA CONTABLE 0.10 + 0.10 + 0.10 + 0.10 1.4641 = ( 1 + ) 4 4 Separamos Sumamos

0.40 1 + 0.4641 = ( 1 + ) 4 4

Surgen 2 Tasas ANUALES, que debemos diferenciar:

40% es una SUMA ARITMÉTICA. Será Tasa NOMINAL

46.41% es una SUMA GEOMÉTRICA. Será Tasa EFECTIVA


LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA

PARA VARIOS PERIODOS

Relación entre la Tasa de Interés Nominal Anual

(TNA) y la Tasa Efectiva Anual

(TEA):

TNA 1 + TEA = (1 + )m

m

Donde: m = Rotación del Capital en el AÑO.




Con una MISMA Tasa NOMINAL Anual

A mayor ROTACIÓN (m) del capital, mayor es la Tasa EFECTIVA Anual

Tasa Periodo Rotación Tasa TEA TEA Nominal de Periódica

TNA = j capitalización m j / m 1+ i = (1 + j/m )m i %

40 % trimestre 4 0.10 1 + i = (1 + 0.10 )4 46.41%

40 % mes 12 0.033333 1 + i = (1 + 0.033333)12 48.21%

40 % dia 360 0.001111 1 + i =(1+0.001111)360 49.15%

Pero . . . , hay un LÍMITE:

Se demuestra que la expresión de Capitalización DISCRETA:

1+ i = (1 + j/m )m

Se convierte en la fórmula de Capitalización CONTÍNUA:

1+ i = e j Donde: e = 2.7182818285

EJEMPLO:

A la TNA = j = 40% con Capitalización SEGUNDO a SEGUNDO, o INSTANTÁNEA:

1 + i = (2.7182818285 )

0.40

La TEA límite: i = 49.182 %


AHORA . . . , AL REVÉS: Sabemos que: A la TEA = 46.41%, la Tasa Trimestral es 0.10

Se regresa a la tasa trimestral 0.10, radicando, no dividiendo: 46.41% : 4. VEAMOS:

LA TASA PERIÓDICA:

Tasa Periodo Rotación Tasa TEA TEA Nominal de Periódica

TNA = j capitalización m j / m = i’ 1+ i = (1 + j / m )m i (%)

40 % trimestre 4 0.10 1 + 0.4641 = (1 + i’ )4 46.41%

UN CAMINO: Detallado OTRO CAMINO: Abreviado 360 1 + i = ( 1 + j/m )m i n días = ( 1 + TEA )n días - 1 Denotemos: j/m = i’ 360 como Tasa PERIÓDICA i 90 días = ( 1 + 0.4641 )90 días - 1

1 + 0.4641 = ( 1 + i’ )4

4 1 + 0.4641 - 1 = i’

0.10 = i’TRIM i90 días = 0.10 = 10% TRIMESTRAL

La Tasa PROPORCIONAL: j/m = TNA/m Ej.: 40%/4 = 10% TRIMESTRAL

es también EFECTIVA TRIMESTRAL Este conocimiento, es MUY IMPORTANTE

No es correcto, considerar: j/m, como NOMINAL, o tasa adelantada, o tasa de descuento, en Operaciones de PRÉSTAMOS BANCARIOS

y DESCUENTOS BANCARIOS DE LETRAS. Lo veremos en la Lección 2


Con DISTINTAS Tasas NOMINALES Anuales

LA TASA EFECTIVA ANUAL: TEA MIDE LA RENTABILIDAD DE UNA INVERSIÓN

¿Cuál banco paga más?.

El Banco (A) ofrece: 48% nominal anual “con capitalización semestral”.

El Banco (B) ofrece: 42% nominal anual “con capitalización diaria”.

El Banco (C) ofrece: 46% nominal anual “con capitalización trimestral”.

Tasa Periodo Rotación Tasa TEA TEA Nominal de Valor de Periódica TNA = j capitalización m j / m 1+ i = (1 + j/m )m i (%)

A:48 % semestre 2 0.24 1 + i = (1 + 0.24 )2 53.76%

B:42 % día 360 0.0011666 1+i = (1 + 0.0011666)360 52.16% C:46 % trimestre 4 0.115 1 + i = (1 + 0.115 )4 54.56%

El Banco C, es el que paga más: TEA = 54.56%

Aparentemente, el Banco A, paga más: 48%. Pero, su tasa es NOMINAL.

Significaría que sus INTERESES, que cobra cada semestre,

los guarda “debajo de su colchón”.

Eso JAMÁS haría un INVERSIONISTA.


MANEJO DE LAS TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

Una Tasa NOMINAL se maneja por división y multiplicación. Una Tasa NOMINAL provoca tasas “PROPORCIONALES”, que son EFECTIVAS.

TNA i n días = x n días 360

I = P . i

360 i n días = ( 1 + TEA )n días - 1 Una Tasa EFECTIVA se maneja por radicación y potenciación. Una Tasa EFECTIVA provoca tasas “EQUIVALENTES”, que también son EFECTIVAS.

Si usted lee solamente: Ej.: 24% anual, es EFECTIVA anual.

Pero, muchos la consideran NOMINAL para calcular su tasa PERIÓDICA:

Ejemplo MENSUAL: Dividen 24% : 12 = 2 %. Que origina una TEA = 26.82417946%

Ejemplo BIMESTRAL: Dividen 24% : 6 = 4 %. Que origina una TEA = 26.53190185%


LA TASA NOMINAL ANUAL

PROBLEMA.- Cuánto es el interés de US$ 1000 por 90 días a la TNA = j = 28%.

1º Calcule la tasa para 90 días (1 trimestre):

0.28 1 i 90 días = x 90 = 0.28 x = 0.07 360 4

2º Calcule el INTERÉS: I = P . i

I = 1000 x 0.07 = US$ 70 ES TODO

LA TASA EFECTIVA ANUAL

PROBLEMA.- Cuánto es el interés de US$ 1000 por 90 días a la TEA = i = 28%.

1º Calcule la tasa para 90 días (1 trimestre):

360 i90 días = ( 1 + 0.28 )90

-1 = (1.28)90/360 - 1

i90 días = (1.28)1/4 - 1 = (1.28)0.25

- 1 = 0.063659179 2º Calcule el INTERÉS: I = P . i

I = 1000 x 0.063659179 = US$ 63.66. ES TODO


CÁLCULO DE LA TASA PERIÓDICA A la TNA = 28%, con capitalización trimestral, calcule la tasa para un PERÍODO de 14 días:

EL CAMINO LARGO: Que muchos utilizan

1er. PASO.- Calculan la Tasa Efectiva Anual: TEA

1 + TEA = ( 1 + 0.28 / 4 )4 TEA = ( 1 + 0.07)4 - 1 = 31.079601%

2do. PASO.- Sabiendo la TEA, bajan a 14 días.

360 i’14 días = ( 1 + 0.31079601 )14

- 1

i’14 días = (1.31079601)14/360 - 1

i’14 días = (1.31079601)0.0388888888 - 1

i’14 días = 1.010580258 - 1 = 0.010580258 = 1.0580258%

EL CAMINO CORTO: EN UN SOLO PASO Lo vengo recomendando desde 1978: j RECONOCIENDO, que la TASA PROPORCIONAL: m es EFECTIVA se obtiene lo MISMO. j/m = 0.28 / 4 = 0.07 efectiva a 90 días

90 i’14 días = ( 1 + 0.07 )14 - 1 = 0.010580258


LA TASA A PERIODO NO NOTABLE

A la Tasa Nominal MENSUAL: 2% con capitalización semestral

calcular la Tasa para 17 días:

EL CAMINO LARGO: Que muchos utilizan

1er. PASO.- Calculan la Tasa Efectiva Anual: TEA

1 + TEA = ( 1 + 0.02 x 6)2

TEA = 25.44%%

2do. PASO.- Sabiendo la TEA, bajan a 17 días

360

i’17 días = ( 1 + 0.2544 )17 - 1 = 0.010760749

EL CAMINO CORTO: EN UN SOLO PASO Reconociendo, que la tasa PROPORCIONAL:

0.02 x 6 = 0.12 semestral (a 180 días) es EFECTIVA, se obtiene LO MISMO.

180 i 17 días = ( 1 + 0.12 )17 - 1

i 17 días = 0.010760749 Sale igual.

¿Para qué se calcula esta tasa a periodo NO NOTABLE 17 días? Para calcular el INTERÉS I = P . i , compensatorio, o moratorio, de una DEUDA no pagada hace 17 días. PARA ESO ES.


LAS TASAS EQUIVALENTES

Dos o más tasas Son EQUIVALENTES entre sí,

cuando dan el MISMO INTERÉS en un plazo dado.

EXAMEN DE SELECCIÓN PARA TRABAJAR EN UN BANCO.

Diga, cuáles tasas son equivalentes: 13.13709% semestral, 6.36592% trimestral,

4.75012% bimestral, 2.07847% mensual.

PROCEDIMIENTO

Elija un PLAZO: El que le dé la gana (yo voy a elegir UN AÑO)

Elija un CAPITAL: Cuanto le dé la gana (yo voy a utilizar $ 100).

0 1 year P=100 i = 13.13709 % semestral 2 semestres i = 6.36592 % trimestral 4 trimestres i = 4.75012 % bimestral 6 bimestres i = 2.07847 % mensual 12 meses


LAS TASAS EQUIVALENTES

Dos o más tasas son EQUIVALENTES entre sí, cuando dan el MISMO INTERÉS en un plazo dado

El concepto dice: “el mismo INTERÉS”. El Interés es esta diferencia: I = S - P

Entonces, calcule el Stock Final: S, y luego . . . haga la diferencia: I

S = P ( 1 + i ) n I = S - P

S = 100 ( 1 + 0.1313709 )2 = 128 I = 128 – 100 = 28 S = 100 ( 1 + 0.0636592 )4 = 128 I = 128 – 100 = 28 S = 100 ( 1 + 0.0475012 )6 = 132.1 I = 132.1 – 100 = 32.1 S = 100 ( 1 + 0.0207847 )12 = 128 I = 128 – 100 = 28

Mirando los “mismos Intereses” ( I = 28),

CONCLUÍMOS: 13.13709 % semestral < > 6.36592 % trimestral < > 2.07847 % mensual

La tasa 4.75012 % bimestral, NO ES equivalente al resto, porque no da 28.

PERO . . . , ¿ DE DÓNDE PROVIENEN LAS TASAS: SEMESTRAL, TRIMESTRAL Y MENSUAL?

Provienen de la Tasa EFECTIVA Anual: TEA = 28%.

¡CALCÚLELAS! Por eso: 28% anual < > 13.13709 % semestral < > 6.36592 % trimestral < > 2.07847 % mensual

Las tasas EFECTIVAS, producen Tasas EQUIVALENTES.


1.8. UN PROBLEMA PARA RECORDAR

Un préstamo de US$ 1000 se devuelve en 1 año a la TNA = j = 12 % con capitalización TRIMESTRAL.

Calcule: A) La Cuota Fija Semestral Inmediata y Vencida B) La Cuota Fija Mensual Inmediata y Vencida.

El PERIODO de la Tasa es el TRIMESTRE. Su magnitud es: 12% / 4 = 3 %

Y esta tasa PROPORCIONAL es EFECTIVA Trimestral

Si las Cuotas fueran TRIMESTRALES, aplicaríamos

el Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVP

R = 1000 . FDVP 4 0.03 = 269.027 TRIMESTRAL PERO, se quieren cuotas SEMESTRALES y MENSUALES.

Entonces . . . , a partir del 3% EFECTIVA Trimestral calculamos las TASAS EQUIVALENTES necesarias:

SEMESTRAL y MENSUAL. Ud. ya sabe cómo es: 3% trimestral <> 6.09% semestral <> 0.9901634% mensual


A) La Cuota SEMESTRAL: R

POR UN CAMINO POR OTRO CAMINO

Aplicando el FDVP Aplicando el FAF Tomar P = 1000 y Tomar 2 cuotas trimestrales y DISTRIBUIRLO en 2 cuotas AGRUPARLAS en 1 cuota semestrales. Semestral a la tasa i = 6.09% semestral, a la tasa i = 3% trimestral, equivalente. dato del problema. S = ? R R 269.027 269.027

0 1 2 sem. 0 1 2 trim P = 1000

i ( 1 + i )n (1 + i)n - 1 R = P. FDVPn i = P. S = R. FAFn i = P ( 1 + i )n - 1 i

0.0609 ( 1 + 0.0609)2 (1 + 0.03)2 - 1 R = 1000 S = 269.027 ( 1 + 0.0609)2 - 1 0.03 R = 1000 x 0.5461249 S = 269.0270452 x 2.03

R = 546.1249 US$ semestral S = 546.1249 US$ semestral

DOS CAMINOS Y UN MISMO RESULTADO Las Ecuaciónes Financieras a Interés COMPUESTO no fallan.

¡OLVÍDESE del Interés SIMPLE!. ¡No sirve!.


B) La Cuota MENSUAL: R

POR UN CAMINO POR OTRO CAMINO

Aplicando el FDVP Aplicando el FDVF Tomar P = 1000 y Tomar 1 cuota trimestral y DISTRIBUIRLO en 12 cuotas DISTRIBUIRLA en 3 cuotas mensuales. mensuales a la tasa i = 0.9901634% a la tasa i = 0.9901634% mensual equivalente. mensual equivalente. S = 269.027 R R R . . . R R R R R

0 1 2 3 . . . 11 12 meses 0 1 2 3 meses P = 1000

i ( 1 + i )n i R = P. FDVPn i = P. R = S. FDVFn i = S ( 1 + i )n - 1 (1 + i)n - 1

0.00990163 (1.00990163)12 0.00990163 R = 1000 R = 269.027 (1.00990163)12 - 1 (1.00990163)3 - 1 R = 1000 x 0.088793576 R = 269.0270452 x 0.33005447

R = 88.7936 US$ mensual R = 88.7936 US$ mensual

DOS CAMINOS Y UN MISMO RESULTADO Las Ecuaciónes Financieras a Interés COMPUESTO no fallan.

¡OLVÍDESE del Interés SIMPLE!. ¡No sirve!.


¿CÓMO USTED DESCUBRE SI UNA TASA ANUNCIADA, ES NOMINAL, O ES EFECTIVA?

Recomiendo leer este Tema en: INGENIERÍA ECONÓMICA, por Tarquin.

En la VIDA REAL: Pregunte en un banco de su país. Nada más.

En la VIDA ACADÉMICA: En los LIBROS suele haber confusión.

TASA ANUNCIADA INTERPRETACIÓN

5% mensual Es EFECTIVA mensual. Y es VENCIDA. Siempre que se reciba 100 al inicio del mes.

12% anual Es NOMINAL por la frase: con capitalización trimestral. “con capitalización trimestral”. Y la tasa PROPORCIONAL trimestral: 12% : 4 = 3% es EFECTIVA.

1% nominal mensual con El PERIODO de la tasa es el semestre. capitalización semestral. Su valor se obtiene por multiplicación: 1% x 6 = 6%, y es EFECTIVA semestral. De aquí: La tasa mensual “ i ” , para calcular un interés mensual será: i = (1 + 0.06) 1/6 – 1 = 0.975879418%

3% nominal mensual Es EFECTIVA mensual, por la coincidencia con capitalización mensual. del periodo de la tasa y la capitalización.

2% efectiva mensual La expresión “compuesto mensualmente” compuesto mensualmente. está demás. Solo es 2% efectiva mensual.

¿Qué significa,: “con capitalización semestral”?

CASO: AHORRISTAS en el PERÚ

Hasta agosto de 1983, Ud. podía depositar y retirar dinero cualquier día. Pero, los intereses eran abonados en su cuenta recién el dia siguiente, después del 30-06, o el día siguiente después del 31-12, de cada año. Dentro de cada semestre, los intereses eran SIMPLES y NO EXIGIBLES. Sí el ahorrista, por ejemplo, después del 30 de Junio, no retiraba sus INTERESES, entonces RECIÉN, le pagaban interés SOBRE su interés.

AHÍ está la “CAPITALIZACIÓN SEMESTRAL”.


RESUMEN

Préstamo: P = US$ 600 Plazo: n = 3 meses. 3 Cuotas Mensuales. Tasa: i = 3% mensual

MÉTODO ALEMÁN MÉTODO AMERICANO (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5)

Mes Saldo Interés Amort. Cuota Mes Saldo Interés Amort. Cuota

1 600 18 200 218 1 600 18 18

2 400 12 200 212 2 600 18 18

3 200 6 200 206 3 600 18 600 618

MÉTODO INFORMAL ESPECIAL MÉTODO FRANCÉS (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5)

Mes Saldo Interés Amort. Pago Mes Saldo Interés Amort. Cuota

1 600 18 10 1 600 18 194.12 212.12

2 608 18.24 15 2 405.88 12.18 199.94 212.12

3 611.24 18.34 611.24 629.58 3 205.94 6.18 205.94 212.12

GRADIENTE ARITMÉTICA GRADIENTE GEOMÉTRICA (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5)

Mes Saldo Interés Amort. Pago Mes Saldo Interés Amort. Cuota

1 600 18 132 150 1 600 18 132 150

2 468 14.04 199.33 213.37 2 468 14.04 192.33 206.37

3 268.67 8.06 268.67 276.73 3 275.67 8.27 275.67 283.94

Gradiente: g = 63.37 Gradiente: g = 37.583%

¿POR QUÉ SON EQUIVALENTES LOS 6 PLANES DE REPAGO?

DOS RESPUESTAS: 1) Tienen la misma tasa del rendimiento: 3% mensual 2) Los 6 FLUJOS, pagan el STOCK Inicial: P = 600


CASO ESPECIAL: CUOTAS FIJAS EN FECHA FIJA

PRÉSTAMO: P = US$ 600 recibido el 10 de Julio del 2007. 3 Cuotas Fijas a pagar el 10 de cada mes. Tasa = 3% mensual

En este caso ya no funciona el FDVP, el cual está diseñado para calcular cuotas fijas, solo a intervalos TODOS Iguales.

Hay que aplicar el FA y actualizar “UNO POR UNO”.

DIAGRAMA: R R R

31 días 31 días 30 días Fechas: 10/07 10/08 10/09 10/10 P = 600 i = 0.03 (< > 0.000985779 diaria)

ANÁLISIS: Plantear la ecuación financiera en el punto 0, con el FA a la tasa DIARIA 0.000985779, equivalente al 0.03 mensual.

OPERACIONES: R R R 600 = + + (1.000985779)31 (1.000985779)62 (1.000985779)92

SOLUCION: R = $ 212.4647 = 212.46 por defecto

CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES

(1) (2) (3) (4) (5)

FECHA n SALDO INTERES AMORT. CUOTA 10 / 07 0 600.00 10 / 08 1 406.15 18.61 193.85 212.46 10 / 09 2 206.29 12.60 199.86 212.46 10 / 10 3 0.00 6.19 206.29 212.48(*)

1er. Interés = 600 [(1 + 0.03)31/30 - 1] = 600 x 0.031015352 = 18.61 2do.Interés = 406.15 [(1 + 0.03)31/30 - 1] = 406.15 x 0.031015352 = 12.60 3er. Interés = 206.27 [(1 + 0.03)30/30 - 1] = 206.27 x 0.03 = 6.19 OBSERVE: Con tasa mensual 0.03, el exponente en fracción mensual: 31/30 (*) Incluye defectos.


Metodología NORTEAMERICANA (EE.UU.) vs.

Metodología INCAICA (PERÚ) ( CUZCO - PERÚ: Tierra de los INCAS )

APLICACIÓN A UN PROBLEMA

ESPAÑOL

ENUNCIADO: Similar al del Prof. Eloy Pozo de ESIC. Sea una renta de cuantía 60.000 u.m., de 8 años de duración valorada al 6% si se fracciona mensualmente. Calcular el valor final.

Muchas veces los enunciados no son completos:

RESPECTO A LA TASA ANUNCIADA

En el problema, no se especifica si la tasa 6% es anual. Pero . . . , es USUAL que sea ANUAL.

Además, en ESPAÑA, desde el 5 de diciembre de 1988, según la Circular No. 15 del Banco de España, la tasa de interés se anuncia en términos vencidos o “efectivos”, lo que conduce al manejo de las llamadas tasas “equivalentes”. (Tomado de Análisis y Formulación de las Operaciones Financieras, por Eloy Pozo y Javier Zúñiga)

RESPECTO AL FLUJO

En ESPAÑA, el dato, 60.000 u.m. es la tradicional “ANUALIDAD”, o RENTA, y la expresión . . . , “si se fracciona mensualmente”, no se refiere a la tasa de interés. Indica, que los depósitos (R) son MENSUALES, resultante de dividir 60 000 / 12 meses = 5 000 u.m.

OBSERVACIÓN: En AMÉRICA Puede confundir la frase: “al 6%, que se fracciona mensualmente”. Parecería que la tasa de interés se “capitaliza mensualmente”.

Pero, no es así. Ya descubrimos que se refiere a la renta.


Con Metodología Tradicional NORTEAMERICANA

Fórmula complicada utilizada en ESPAÑA:

(m) i S = . S n i J (m) n i

Usan TABLAS FINANCIERAS (eso ya pasó a la historia)

(12) 0.06 S = 60 000 . S 8 0.06 0.058410606 8 0.06

(12) S = 610.007,09 u.m. 8 0.06

La fórmula puede encontrarse en el Libro del Prof. JUSTIN MOORE:

Manual de Matemáticas Financieras Editorial UTHEA.

TODA UNA BIBLIA, EN LA DÉCADA DEL 70, EN EL PERÚ. Justin Moore, fue un grande.

Fue Asesor de la Irving Trust Company de los EE.UU. Hizo un tremendo esfuerzo al recopilar artículos franceses y alemanes

del siglo XIX para darnos su libro (ver la bibliografía que estudió).




Con Metodología INCAICA Propuesta:

S=? DIAGRAMA: 5000 5000 5000 . . . . . . . 5000 5000

0 1 2 3 . . . . 95 96 meses Tasa = 0.06 anual efectiva

ANÁLISIS: Se trata de transformar un Flujo (R) en un Stock Final (S). Se aplicará el Factor de Agrupamiento al Futuro: FAF la 3ra. Fórmula Clave: S = R . FAF ni

Previamente, y por cuanto el FLUJO es mensual, debemos calcular la tasa mensual equivalente al 6% efectiva anual.

i = ( 1 + 0.06) 1/12 – 1 = 0.00486755

OPERACIONES: S = 5000 . FAF 96 0.00486755

( 1 + 0.00486755)96 - 1 S = 5000 0.00486755 S = 5000 ( 122.0014152 ) SOLUCIÓN: S = 610 007.08 u.m. ¿Vió? SALE IGUALITO.

RECOMENDACIÓN: ¡SIEMPRE! . . . , haga COINCIDIR, el INTERVALO del FLUJO, con el PERIODO de la TASA. Utilice el concepto de las TASAS EQUIVALENTES.

El PERIODO de la TASA, se adapta al INTERVALO del FLUJO. El INTERVALO ¡manda!. ¡ES EL CAMINO MÁS FÁCIL!.

Es el Interés COMPUESTO, o interés CAPITALIZABLE. Ya le dije: El Interés SIMPLE, no le sirve al Banquero, al Inversionista, ni al Ahorrista. Ni al Jubilado.


OTRO CAMINO: MÁS COMPLICADO Y POCO USUAL

ANÁLISIS:

¿Quiere trabajar con la Tasa 6% EFECTIVA ANUAL?. (NUNCA, nominal anual)

Entonces, el intervalo tiene que ser ANUAL.

Por ARTIFICIO FINANCIERO, hay que transformar, el FLUJO: R = 5 000 mensual,

en STOCK: S anual equivalente. (Similar al Costo Equivalente Anual, en Evaluación de Proyectos)

DIAGRAMA S=? de 1 AÑO: 5000 5000 5000 . . . . . . . 5000 5000

0 1 2 3 . . . . 11 12 meses

S = 5 000 x FAF 12 0.00486755 = 61 632.64178

Aquí tenemos un Flujo ANUAL en 8 AÑOS :

DIAGRAMA S=? en 8 años: 61 632.64 61 632.64 61 632.64

0 1 2 . . . . 8 años

Ahora, aplicamos el Factor de Agrupamiento al Futuro: FAF, para 8 años y con la tasa 6% Efectiva ANUAL:

S = 61 632.64178 x FAF 8 0.06

S = 610 007.09 u.m.

¿Vió? . . . . ¡TAMBIÉN SALE IGUALITO!

Pero, no se complique la vida. Es más fácil adaptar el PERIODO de la tasa, al INTERVALO del Flujo.

¡ASÍ NOMÁS ES, LA MATEMÁTICA FINANCIERA !.


EX - ALUMNO APRECIA MI METODOLOGÍA E MAIL DEL ING. CARLOS HUERTA, DESDE EL ECUADOR:

Se refiere, a los problemas de Matemática Financiera de la Universidad de Barcelona (España), que están solucionados de una manera: “QUE DA MIEDO SIQUIERA LEERLOS”. (lo dice él)

Y ME MANIFIESTA que: “Con MI METODOLOGÍA se le hace MUY FÁCIL”.

Saludos desde Ecuador Carlos Huerta [email protected] Mon, 23 Jan 2006 16:29:30 -0500 Estimado Ing. Abdias Espinoza : Me complace sobremanera poder saludarlo desde mucho tiempo atrás. Como le comenté telefónicamente tuve el honor de ser su alumno hace más de 20 años y poder aprender matemática financiera de la manera más fácil que sólo quienes lo dominan como Ud. pueden hacerlo. Hace unos meses me matriculé en un MBA on line de la Universidad de Barcelona ( España ) y estoy llevando un curso de Matemática Financiera. Están solucionados de una manera que da miedo siquiera leerlos. Con su metodología se me hace muy fácil y me gustaría compartirlas con mis compañeros ( de todas partes del mundo) y con el tutor del curso. Les he manifestado que tengo un material que les puede ayudar , y pensé hacerles llegar en CD o DVD , pero cómo todavía no está disponible espero enviarle a través del tutor una colección suya con su dedicatoria y referencias para que tomen contacto con Usted. Con mi esposa que se encuentra en Lima ( sólo esta semana) en un taller intensivo o de no poder con un familiar le estoy enviando S/. 100 para la adquisición de esta colección , y en mi próxima visita a fines de Febrero compraré una actualización para mI a la vez de apersonarme para saludarlo y llevarle los materiales del curso que pueden servir para comparar y también incorporar algunos casos tales como Gradientes o rentas de variación lineal, rentas de variación geométrica pues por ejemplo ésta última viene a ser un caso más general del FAS. Estas fórmulas las desarrollé yo pues en los materiales lo hacen de otra manera ( con factores de corrección, renta auxiliar, renta fraccionaria y demás) , que para mi son sus fórmulas y el concepto de interes equivalente ( metodo 1 sugerido por Ud. ) para series generales. De cualquier manera ahí le envío por este medio los materiales que he recibido , me gustaría compartir comentarios. Un abrazo , suerte y estemos en contacto . Mis telefonos son : cel ( 005939) -9757802 Casa en Cuenca Ecuador : ( 005937)-2376629 y oficinas en Machala Ecuador( dificil de encontrar pues viajo mucho ): ( 005937)-2921675 y 2931550. Mi e-mail : [email protected] y [email protected]

Ing. Carlos Huerta

EL ING. CARLOS HUERTA, después de más de 20 años, envió a una persona a mi local, en Lima, a comprar mi Colección 2006. Hoy, con DVD’s mi Producción desde el 2007

¡NO SE VENDE EN LIBRERÍAS!. Por mala experiencia. Cuando reciben los libros AL FIADO . . . , sonrien.

Cuando uno va A COBRARLES . . . , se ponen serios. Te hacen esperar. Te dicen que no hay plata.

Por eso, yo vendo directamente: TRANQUILO . . . no me afano. “del autor . . . , al lector”. “de la chacra . . . , a la olla”


ÍNDICE TEMA PÁGINAS LAS 6 FÓRMULAS CLAVES Y EL CIRCUITO FINANCIERO 1 - 6 EL CÁLCULO RACIONAL O MATEMÁTICO 7 - 20 El DINERO y su tratamiento: Stock y Flujo. La tasa de interés. El Interés Deuda a pagar con una Cuota: El Interés Vencido o sumado al Capital Deuda a pagar con varias Cuotas: El MÉTODO ALEMÁN. El MÉTODO AMERICANO CASO ESPECIAL: Si el pago NO CUBRE el interés LA CAPITALIZACIÓN: La 1ra. Fórmula Clave 21 - 30 Interés Simple vs. Interés Compuesto Suma Económica vs. Suma Contable: Equivalencia Financiera Deuda a pagar con varias Cuotas: El MÉTODO FRANCÉS LA ACTUALIZACIÓN: La 2da. Fórmula Clave 31 - 38 El Costo de un Crédito. Actualización y Capacidad de Endeudamiento Actualización y Saldo Deudor LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE: La 3ra. Fórmula Clave 39 - 42 Administradoras de Fondos de Pensiones Los Fondos de Amortización: La 4ta. Fórmula Clave 43 - 44 La Depreciación LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE: La 5ta. Fórmula Clave 45 - 48 Capacidad de Endeudamiento El Precio Teórico de un BONO Las Amortizaciones: La 6ta. Fórmula Clave 49 - 51 Deuda a pagar con varias Cuotas: El MÉTODO FRANCÉS RESUMEN: EL CIRCUITO FINANCIERO. 52 - 62 LAS 6 FÓRMULAS CLAVES: Todo es una cadena ¡Esto sí . . . , es GRANDIOSO!. En solo 2 páginas, le enseñaré a manejar: ANUALIDADES ANTICIPADAS y ANUALIDADES DIFERIDAS. Ataque el PROBLEMA por distintos caminos combinando Fórmulas La Tasa NOMINAL y la Tasa EFECTIVA: 63 - 82 Para UN Periodo y para VARIOS Periodos. Las Tasas Equivalentes UN PROBLEMA PARA RECORDAR Metodología AMERICANA (EE.UU.) vs. Metodología INCAICA 83 - 86 (PERÚ). APLICACIÓN A UN PROBLEMA ESPAÑOL. Hay mucho más. EX - ALUMNO APRECIA MI METODOLOGÍA 87 INDICE. CURRÍCULUM. PROGRAMA de FINANZAS 88 - 90


CURRICULUM

Abdías, ESPINOZA HUERTAS Primer Ingeniero Economista del Perú

Universidad Nacional de Ingeniería (U.N.I.) - LIMA - PERÚ

FORMACIÓN PROFESIONAL: PRIMERA PROMOCIÓN

* INGENIERIA ECONÓMICA Universidad Nacional de Ingeniería 1964 - 1968 * Obtuvo el Primer Diploma de BACHILLER en CIENCIAS con Mención en Economía. 1970 * Obtuvo el Primer TITULO Profesional de INGENIERO ECONOMISTA en el Perú. 1971 * Egresado de la MAESTRÍA en FINANZAS en la Universidad Federico Villareal 2002 - 2003

EXPERIENCIA PROFESIONAL: 1969 - 1985

* ASISTENTE FINANCIERO en la ex-Corporación del Mantaro Financiamiento de ITALIA * Administración de Contratos Financieros: ELECTROPERÚ B.I.D., BANCO MUNDIAL * Proyecto " Linea de Transmisión Lima - Chimbote: Financiamiento del JAPON * Proyecto de Electrificación de Trujillo: Financiamiento COFIDE * Proyecto de Electrificación de Iquitos y Pucallpa: Financiamiento CHECO

EXPERIENCIA DOCENTE: 1973 - 2000

* Escritor en FINANZAS: 1.- MATEMÁTICA FINANCIERA Simplificada – Creó Moderna Metodología 1980 2.- CONTABILIDAD GERENCIAL: Para las Inversiones. 3.- EVALUACIÓN DE PROYECTOS: Económica y Financiera. 4.- BOLSA DE VALORES: Valuación de Bonos y Acciones.

* Ex-profesor universitario de Estadística, Econometría e Investigación Operativa, Matemática Financiera Universidades: San Martín de Porres 1973 - 1977 Universidad Católica, Garcilaso De la Vega y Universidad Nacional de Ingeniería 1978 - 1988 Ex-profesor de MATEMÁTICA FINANCIERA en Bancos: * Continental, Wiese, Bco. Crédito, Banco de la Nación, FINSUR, Desde 1980

* Banco Popular de la Paz (87) y. Centro de Capacitación Empresarial (Nov. 98) BOLIVIA * Banco Consolidado en Caracas - (1990 y 1992) - Banvenez (1992) VENEZUELA

* Cámaras de Comercio e Instituto de Administración de Empresas - IPAE 1981 - 1985 * Expositor en Finanzas: Arequipa - Trujillo -Chiclayo - Piura - Cuzco - Tacna 1985 - 1989 * Centro de Estudios Comerciales y Financieros - CECOFIN - (1990 a 1992) VENEZUELA * O.N.G.: Asociación RASUHUILLCA - Ayacucho (1997). CREAR - PRISMA - Lima (2005) * CENTROMIN (Cerro de Pasco-Perú en Mayo 1998) - Huánuco (1988) * UNIVERSIDAD DANIEL ALCIDES CARRION Cerro de Pasco - Junio 1998 * COLEGIO DE ECONOMISTAS DE AREQUIPA Arequipa - Setiembre 1998 * UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO Puno - Enero 2000 * CAJA MUNICIPAL DE SULLANA (Barranca) 2002 y 2007 * COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU: Finanzas para Ingenieros 1999 - 2004 * UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA: Formación de Analistas Financieros 2003 - 04 * Profesor en el Post Grado de la Facultad de Ingeniería Económica: U.N.I.- Lima 2004 - 05 * Profesor en el Post Grado de la Facultad de Ingeniería: Universidad San Agustín – Arequipa 2007

CARGOS PROFESIONALES

* Fundador de la SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS En 1981 Para difundir la NUEVA PROFESIÓN de la U.N.I. : 1ra. PROMOCIÓN 1968

* Primer Past Presidente Capítulo de INGENIEROS ECONOMISTAS 1988 - 1989 del COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU

* Fundador de la SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS En 2009

SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS

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Matematica financiera simplificada

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