Matemática Estás Ahí 3,14

8/14/2019 Matemtica Ests Ah 3,14

1/118

Siglo XXI Editores Argentina S.A.

MATEMTICA ESTS AH?Episodio 3,14

por

ADRIN PAENZAFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Coleccin Ciencia que ladra

Dirigida por DIEGO GOLOMBEK


2/118

ESTE LIBRO(y esta coleccin)

Y se va la tercera Entrar nuevamente en el universo Paenza esun viaje de ida y, adems, adictivo. Por eso, y porque sobraban ideas,enigmas, problemas e invitaciones a pensar, sale este nuevo libro deAdrin, tan fascinante como los primeros Matemtica Ests ah?y Matemtica Ests ah? Episodio 2. Nuevamente, el autor nosabre la puerta para ir a pensar (y, por qu no, a jugar), una nueva puer-ta de entrada a la matemtica, esa musa que tantas veces se nos pre-senta esquiva y dscola.

Quiero contarles aqu algo de mi experiencia como primer lec-tor de algunos de estos textos, de la tarea de ir sondolos juntos enforma de libro. Leer a Adrin es ms bien escucharlo, sentir las pau-sas, las comas, las inflexiones. Efectivamente: les aseguro que el textoinicial es an ms oral, con multitudes de negritas, bastardillas,maysculas, signos admirables y preguntones. Es como tener al autoren un caf leyndonos o, mejor todava, contndonos, frente a unpizarrn cada una de las frases, cada uno de los misterios.

En algn lado de esa comunicacin se produce un milagro, y tan-

tos lectores-oyentes convierten dos libros de matemtica en un xitoincreble. Ser que el autor es cara conocida en estas costas? Si esas, difcil explicar el suceso del libro en Espaa y Mxico, o su pr-xima publicacin en Brasil, Portugal, Repblica Checa, Alemania eItalia. Ser que queda bien mostrar en la oficina o el colectivo queuno lee matemtica? Mmmm tampoco: la gente se guarda el textocomo un tesoro y, por si fuera poco, lo puede bajar gratis de Inter-net. En definitiva: es un misterio maravilloso, que despierta las ganas

Siglo XXI Editores Argentina S.A. Siglo XXI Editores Argentina S.A.

Portada de Mariana Nemitz

2007, Siglo XXI Editores Argentina S. A.

ISBN 978-987-629-017-3

Impreso en Artes Grficas DelsurAlmirante Solier 2450, Buenos Aires,en el mes de octubre de 2007

Hecho el depsito que marca la ley 11.723Impreso en Argentina Made in Argentina

Paenza, AdrinMatemtica... ests ah? episodio 3,14 - 1a ed. - Buenos Aires : Siglo XXI

Editores Argentina, 2007.240 p. ; 19x14 cm. (Ciencia que ladra... dirigida por Diego Golombek)

ISBN 978-987-629-017-3

1. Matemtica. I. TtuloCDD 510a

Siglo XXI editores Argentina s.a.

Tucumn 1621 7 (c1050aag), Buenos Aires, ArgentinaSiglo XXI editores, s.a. de c.v.Cerro del agua 248, Delegacin Coyoacn, 04310, Mxico, D.F.

Siglo XXI de Espaa editores, s.aPrncipe de Vergara 78, 2 (28006) Madrid, Espaa.


3/118

6 A D R I N P A E N Z A


Este libro es para mis padres, Fruma y Ernesto.Una vez ms, mi gratitud eterna. Todo lo que haga en la vida

estar siempre dedicado a ellos primero.A mi hermana Laura y su compaero Daniel.

A todos mis sobrinos.

A mis amigos Miguel Davidson, Leonardo Peskin,

Miguel ngel Fernndez, Hctor Maguregui, Cristian Czubara,Eric Perle, Lawrence Kreiter, Kevin Bryson, Alejandro Fabbri,

Vctor Marchesini, Luis Bonini, Fernando Pacini, Santiago Segurola,Carlos Aimar, Marcelo Araujo, Marcos Salt, Diego Goldberg,

Julio Bruetman, Gabriel Cavallo, Eduardo Bertoni, Antonio Laregina,Woody Gonzlez, Gary Crotts y Claudio Pustelnik.

A mis amigas Ana Mara Dalessio, Nilda Rozenfeld,Teresa Reins, Alicia Dickenstein, Beatriz de Nava, Beatriz Surez,

Nora Bernrdez, Carina Marchesini, Laura Bracalenti,Etel Novacovsky, Marisa Gimenez, Mnica Muller, rica Kreiter,

Susy Goldberg, Holly Perle, Marisa Pombo y Carmen Sessa.

A la memoria de mis seres queridos que perd en el camino: GuidoPeskin; mis tas Delia, Elena, Miriam y Elenita;

mi primo Ricardo, y a la de mis entraables compaeros de vida,Noem Cuo, Len Najnudel y Manny Kreiter.

de saber, de preguntar, de ser un poco ms racionales en la vida detodos los das, que buena falta nos hace.

Tal vez sin saberlo, con sus historias Paenza nos trae otro rega-lo. Existe una tribu en el Amazonas, los pirah, que es la favorita delos lingistas: entre otras curiosidades, no tienen palabras ni con-ceptos para los nmeros. El asunto es que su lenguaje es tambin limi-tado en el sentido de que no tiene referencias temporales: entre lospirah no slo faltan los nmeros, sino que tampoco hay ayer nimaana. Quiz sea, entonces, que Adrin nos brinda, junto con suspreguntas, sus problemas y sus nmeros la posibilidad de una histo-ria, y de un futuro. Casi nada.

Esta coleccin de divulgacin cientfica est escrita por cientfi-cos que creen que ya es hora de asomar la cabeza por fuera del labo-ratorio y contar las maravillas, grandezas y miserias de la profesin.Porque de eso se trata: de contar, de compartir un saber que, si sigueencerrado, puede volverse intil.

Ciencia que ladra... no muerde, slo da seales de que cabalga.

DIEGO GOLOMBEK


4/118

Agradecimientos

A Diego Golombek y Carlos Daz. Ellos dos son los grandes impul-

sores de que esta serie de libros de matemtica nada menos haya sido

publicada. Diego tuvo la idea y Carlos se dej seducir. Los dos merecenel mayor crdito.

A mis alumnos. Muchos de ellos reconocern los problemas, los girosy los dichos que us para contarlos. Varios ya me lo hicieron notar en

los volmenes anteriores. Ellos fueron parte interactiva en distintosmomentos de mi carrera docente y me ensearon a entender mejor cadaenunciado y solucin. Y porque me ensearon a ensear.

A quienes leyeron apasionadamente el manuscrito, y me ayudarona mejorarlo, muy especialmente Carlos DAndrea y Gerardo Garbulsky,

quienes invirtieron infinito tiempo y paciencia. El rigor con el que ambosanalizaron y criticaron cada uno de los problemas de cada uno de los

tres tomos fue invalorable para m.

A Alicia Dickenstein, Eduardo Cattani, Teresita Krick, Pablo Milrud,

Pablo Coll, Cristian Czubara, Gabriela Jernimo, Matas Graa, PabloAmster, Pablo Mislej, Juan Sabia, Gustavo Stolovitzky, Lucas Monzn,Ariel Arbiser, Juan Carlos Pedraza, Rodrigo Laje y Gerardo Garbulsky, por

las ideas con las que colaboraron en toda este serie, varias de ellas publi-cadas ac.

A Claudio Martnez, porque adems de amigo personal es un gusto

encarar con l cualquier proyecto profesional.A Alicia Dickenstein, Eduardo Dubuc, Carmen Sessa, Nstor Bca-

Acerca del autor

Adrin Paenza [email protected]

Naci en Buenos Aires en 1949. Es doctor en Matemticas por la Uni-

versidad de Buenos Aires, en la que se desempea actualmente como pro-fesor asociado del Departamento de Matemtica de la Facultad de Cien-cias Exactas y Naturales. Es, adems, periodista. En la actualidad conduceel ciclo Cientficos Industria Argentina. Trabaj en las radios ms impor-tantes del pas y en los cinco canales de aire de la Argentina. Fue redac-tor especial de varias revistas y colaborador en tres diarios nacionales:Clarn,Pgina/12 y La Nacin. Public en esta misma coleccin Mate-mtica Ests ah? y Matemtica Ests ah? Episodio 2.



5/118

ri, Miguel Herrera, Oscar Bruno, Jorge Fiora, Ricardo Durn, Ricardo

Noriega, Pablo Caldern, Leandro Caniglia, Luis Santal, ngel Laro-tonda, Baldomero Rubio Segovia y Enzo Gentile, porque con ellos apren-d matemtica.

A Guillermo Alfieri, Jorge Guinzburg, Lalo Mir, Tristn Bauer, Ernes-to Tenembaum y Marcelo Zlotogwiazda, por la generosidad y el afecto conque me tratan.

A Ernesto Tiffenberg por atreverse a publicar semanalmente en unasuerte de salto al vaco estas columnas de matemtica en la contrata-pa dePgina/12.

Una vez ms, mi gratitud para todos los comunicadores de los dis-tintos medios que promovieron los libros anteriores y formaron parte(sin saberlo ni proponrselo) en una suerte de cruzada en pro de la mate-mtica.

A toda la comunidad matemtica, que desde los lugares ms impen-sados piensa por m (y lo bien que hace). Muchos encontrarn en estetomo las ideas que me dieron.

A Violeta Collado y Hctor Benedetti por la proteccin que me ofre-cen con cada uno de los libros.

A mis compaeros de la Editorial Siglo XXI, de El Oso Producciones,del Canal Encuentro y de Canal 7, dePgina/12 y de la empresa de gra-bacin Non-Stop, por el calor que me brindan.

A Oriol Castanys y Joaqun Palau, ambos directores de RBA Librosen Espaa, por el afecto con que me abrigaron en mi visita a Madrid y porlo que hicieron por m y por los libros en Europa.

Y (como siempre) a Marcelo Bielsa, Nelson Castro, Alberto Korn-blihtt, Vctor Hugo Morales y Horacio Verbitsky, por su postura tica enla vida. Concerlos y tratarlos me hace mejor persona.


Me llev diez aos tener xito

de la noche a la maana.

WOODY ALLEN

La inspiracin existe, pero cuando pasa

te tiene que encontrar trabajando

(o habr pasado justamenteporque te vio trabajando?).



6/118

ndice

Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ya se sabe todo en matemtica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

La matemtica tiene sus problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Dos pintores y una pieza, 25. Da lo mismo subir que bajar un 40%?, 25. Pro-

blema de los seis fsforos, 26. Cmo hacer para pesar diez kilos con unabalanza desbalanceada?, 26. Los tres recipientes con dos tipos de monedas quetienen las etiquetas cambiadas, 27. Las cuatro mujeres y el puente, 27. Proble-ma de las 10 monedas, 28. Cuatro interruptores, 29. Problema de las ochomonedas, 30. Problema de la barra de chocolate, 30. Un cambio en la ruti-na, 31. Dos tas y dos colectivos, 33. Ocho nmeros conectados, 35. Proble-mas de Fermi, 36. Otro problema de Fermi, 37. Problema de la montaa, 38.Ocho reinas, 39. El cronmetro y las infinitas monedas, 40. Las hormigas y Ali-cia, 42. Dos preguntas (en una), 43. El acolchado cuadrado, 44. Siempre haypuntos antipodales en la Tierra que tienen la misma temperatura?, 45. Ramode rosas de distintos colores, 49.

Nmeros y matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Menos por menos es ms Seguro?, 51. Es verdad que 0,99999 = 1?, 55.Patrones y bellezas matemticos, 55. Velocidad del crecimiento del pelo, 57.Combinatoria y reproductor de CD, 57. Una curiosidad ms sobre los infini-tos (y el cuidado que hay que tener con ellos), 60. Don Quijote de la Man-cha, 62. Ms sobre el infinito. La Paradoja de Tristram Shandy, 66. Suma de



7/118


8/118


9/118


10/118

Por qu cuento esta historia? Porque la nota pas inadvertida

en el diario ms importante del pas. Y si alguien la advirti, yo no meenter. Contena varios de los ejemplos que figuran en los dos pri-meros tomos de esta coleccin. Pero no me llam Carlos al dasiguiente para decirme que quienes dirigan el diario queran queempezara a escribir con regularidad sobre esos temas, ni me dijo queninguna persona hubiera llamado al diario para pedir ms. No meofreci un contrato como columnista.

Es decir que, si hubiera sabido que los libros iban a tener unarespuesta como la que ustedes dieron a los dos primeros tomos, los

habra escrito hace veinte aos. Y no lo hice. Porque no saba. Msan: todava hoy, no lo creo.

Eso s: gracias.


Ya se sabe todo

en matemtica?

Es curioso, pero es tal la desconexin entre la sociedad y la mate-mtica que la mayora de la gente piensa (con razn, porque sos sonlos elementos con los que cuenta) que la matemtica est toda inven-tada o que es algo cuadrado que uno va, estudia, y no aplica, salvoen contadsimas ocasiones (suma, resta, divisin y multiplicacinincluidas).

Sin embargo, no slo no es as, sino que la matemtica anda porla vida como la mayora de las ciencias: sabiendo algunas cosas(pocas), e ignorando otras (muchas). El siguiente recorrido no pre-tende ser exhaustivo ni mucho menos original. Ms an: aparece encasi todos los prlogos de libros dedicados a la difusin de la mate-mtica. Pero, si lo que usted lleg a cursar hasta completar (con suer-te) fue el colegio secundario, lo invito a que reflexione sobre lo queva a leer (si es que no se aburri ya).

Se trata de una historia que quiero empezar as: Los chicos quese gradan hoy del colegio secundario, aun aquellos que tienen una

slida formacin en lgebra, geometra y trigonometra, estn casi 400(cuatrocientos) aos atrasados con respecto a lo que es la matemti-ca de punta hoy. Es decir: aprenden lo que se saba ya hace cuatro-cientos aos. Por eso, la mayora de las cosas resultan aburridas einexplicables. Peor an: de difcil aplicacin.

Sin embargo, estoy convencido de que uno puede aspirar a ms.Sgame en este recorrido apresurado sobre lo que pas en los lti-mos siglos.



11/118


12/118

Quin dijo que se saba todo? El solo hecho de que acepte-

mos esto como posible demuestra qu lejos estamos del contacto conla matemtica real, la que investiga porque no sabe, la que es curio-sa y atractiva, la que es seductora y til. La que hay que mostrar, laque hay que sugerir. Y creo que ya es hora de empezar.


La matemtica tiene

sus problemas

Dos pintores y una pieza2

En una casa hay una habitacin grande que hay que pintar. Unpintor, llammoslo A, tarda 4 horas en pintarla solo. El otro, a quienllamaremos B, tarda 2 horas.

Cunto tardaran si los dos se pusieran a pintarla juntos?(Antes de avanzar: la respuesta no es 3 horas.)

Da lo mismo subir que bajar un 40%?

Algunas preguntas sobre porcentajes.

1. Si uno empieza con un nmero cualquiera, digamos 100, y lequita el 40%, y al resultado lo incrementa un 40%, se llegaotra vez a 100?

2. Al revs ahora: si uno empieza con el nmero 100, le agrega

un 40%, y al resultado le descuenta ahora un 40%, se llegaotra vez a 100?

3. Las respuestas que dio para las dos preguntas anteriores, depen-dieron de que empezara con el nmero 100, o habra dado lomismo si hubiera empezado con cualquier otro nmero?


2 Las respuestas a los problemas las encontrar en el captulo Soluciones(pp. 181-237).


13/118


14/118


15/118


16/118


17/118


18/118


19/118


20/118


21/118


22/118


23/118


24/118


25/118

Es posible con estos datos decidir cuntas flores haba de cadacolor?

La respuesta la va a encontrar en el apartado de las soluciones,pero quiero hacer antes una observacin. Obviamente, ste no es unejemplo de la vida cotidiana. No se me escapa que, si un florista pier-de un papel en donde tena anotado las particularidades del ramo,es muy poco probable que recuerde datos, como pasa en este casoPero vale la pena pensarlo porque uno, al final, se acostumbra a reco-rrer ciertos caminos, y cuando los necesita porque aparecen en algu-

na otra situacin de la vida, sabe que tiene el recurso de usar estaherramienta tan potente, como es la de poderpensar. Y de eso se trata.


Nmeros y matemtica

Menos por menos es ms Seguro?

Una de las verdades que nos ensean en la escuela o en el cole-gio es que

Menos por menos es ms.

Uno anota. Piensa. No entiende. Vuelve a pensar. Sigue sin enten-der. Mira al compaero de al lado. l tampoco entiende. Y de pron-to se oye a la maestra o el profesor, que otra vez nos taladran con:

Menos por menos es ms.

Uno tiene varias alternativas frente a esto. La ms probable es quebloquee la mente, deje el cuerpo en el lugar, escriba como un aut-mata, pero en realidad ya nada ms de lo que se oiga o se lea en esahabitacin va a convocar su atencin, al menos por un rato.

Qu dijo? dice uno preocupado.Dijo algo as como que menos por menos, es ms contesta

el compaero del banco de al lado.No entiendo contesta el primero.Yo tampoco dice el otro, pero al menos ste pudo repetir lo que

haba odo.Entonces uno levanta la vista y ve en el pizarrn escrito:



26/118

testar: Voy a estar a 120 kilmetros de ac. ste sera un ejemplo

de que ms por ms, es ms. O sea, aunque uno no escriba los sm-bolos (+) adelante, es como si estuviera diciendo:

(+40) (+3) = (+120)

Uno representa los 40 kilmetros por hora, con (+40) y lo que vaa pasar dentro de 3 horas, con (+3). Multiplica y tiene (+120), o sea,uno estar 120 kilmetros ms adelante de donde est ahora.

En una figura se ve as:

Si ahora, en lugar de ir a 40 kilmetros por hora hacia adelante,empezara a manejar su auto marcha atrs a la misma velocidad (o sea,a 40 kilmetros por hora pero hacia atrs), podra preguntarle: dndeva a estar dentro de 3 horas?

(40) (+3) = (120)

Otra vez, si uno quiere representar en smbolos que est yendomarcha atrs, lo que hace es escribir

(40)

Por otro lado, como uno quiere saber, otra vez, qu va a pasardentro de 3 horas, usa el nmero (+3) para representarlo.

En una figura se ve as:

M A T E M T I C A E S T S A H ? E P I S O D I O 3 , 1 4 53

Ejemplos:

(3) (2) = 6(7) (3) = 21

(15) (1) = 15

Y un poco ms abajo, uno advierte con horror que incluso se apli-ca a fracciones!

(1/2) (6) = 3

(9) (2/3) = 6(2/5) (3/4) = 3/10

El pizarrn escupe nmeros, smbolos, igualdades, letras que invi-tan a abandonar todo y escapar. De qu habla esta persona? Perouno no tiene ms remedio que aceptar. En la escuela o el colegio,acepta porque en general no se ensea con espritu crtico (con lasexcepciones correspondientes), sin embargo aqu cabe preguntarseinmediatamente: por qu?

De todas formas, el tiempo pasa, y uno termina aceptando el axio-ma (o lo queparece como un axioma o verdad absoluta) de que menospor menos es ms, porque:

a) no le queda ms remedio,b) no se contrapone con nada de lo que uno ya sabe,c) uno nunca necesit usarlo en la vida cotidiana,d) cierto o falso, no me afecta, y, por ltimo,e) no me interesa

Mi idea es tratar de encontrar alguna explicacin de por qu escierto que menos por menos tiene que ser ms.

CASO 1Supongamos que est manejando su auto a 40 kilmetros por

hora. Si le preguntara dnde va a estar dentro de 3 horas, usted con-



0 40 80 120

120 80 40 0


27/118


28/118

1 1 = 1

11 11 = 121111 111 = 12.3211.111 1.111 = 1.234.321

11.111 11.111 = 123.454.321111.111 111.111 = 12.345.654.321

1.111.111 1.111.111 = 1.234.567.654.32111.111.111 11.111.111 = 123.456.787.654.321

111.111.111 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321

Velocidad del crecimiento del pelo

Piense en la ltima vez que se cort el pelo. Hace cunto fue?Cunto ms largo tiene el pelo ahora? En mi caso personal, me locort hace un mes y ahora (despus de haberlo medido, aunque ustedno lo crea) el pelo est 1,5 centmetros ms largo. Con esta informa-cin, usted puede estimar la velocidad de crecimiento diario (apro-ximada, claro est). Quiere hacer la cuenta sola/solo?

En todo caso, ac va la solucin: como en treinta das creci1,5 centmetros, o sea 15 milmetros, cada da, en promedio, el pelocreci medio milmetro. Es decir, el pelo de una persona normal creceen forma aproximada, claro 1 centmetro cada tres semanas.

Combinatoria y reproductor de CD

Supongamos que tiene un reproductor de CD que viene con unbotn que permite programar el orden en el que va a escuchar lascanciones. Es decir, en lugar de reproducirlas tal como vienen gra-badas, las reproduce en el orden que usted elige, hasta agotarlas todas.Por ejemplo, supongamos que inserta un CD con 10 canciones. Ustedpodra seleccionar:

3-7-10-1-9-5-8-6-4-2 o 10-9-8-7-6-5-4-3-2-1,

por poner slo dos casos.


Est todo ordenado y slo lo descubrimos? O lo inventamos

nosotros?Aqu van algunos ejemplos.14

1 8 + 1 = 912 8 + 2 = 98

123 8 + 3 = 9871.234 8 + 4 = 9.876

12.345 8 + 5 = 98.765123.456 8 + 6 = 987.654

1.234.567 8 + 7 = 9.876.54312.345.678 8 + 8 = 98.765.432

123.456.789 8 + 9 = 987.654.321

1 9 + 2 = 1112 9 + 3 = 111

123 9 + 4 = 1.1111234 9 + 5 = 11.111

12.345 9 + 6 = 111.111123.456 9 + 7 = 1.111.111

1.234.567 9 + 8 = 11.111.11112.345.678 9 + 9 = 111.111.111

123.456.789 9 +10 = 1.111.111.111

9 9 + 7 = 8898 9 + 6 = 888

987 9 + 5 = 8.888

9.876 9 + 4 = 88.88898.765 9 + 3 = 888.888987.654 9 + 2 = 8.888.888

9.876.543 9 + 1 = 88.888.88898.765.432 9 + 0 = 888.888.888



14 Todos los ejemplos fueron enviados por Cristian Czubara, en el afn queponen todos por compartir lo que saben y les gusta.


29/118


30/118

b) Por otro lado, agrupemos los nmeros de la derecha en (*) de

otra forma (y sgame en el razonamiento):

A = 1 + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + (**)

Lo que hice fue agrupar los trminos de manera diferente y us:

1 + 1 = + (1 + 1)

Ahora, cada parntesis en (**) suma 0 otra vez, y por lo tanto,

se tiene el siguiente resultado:

A = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1

Luego, A = 1

Por ltimo, vuelvo a la ecuacin (*) y agrupo los trminos de otraforma.

A = 1 (1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ) (***)

(Es decir, agrupo todos los trminos a partir del segundo, y elsigno menos que figura adelante del parntesis garantiza que todos lostrminos que quedan adentro aparezcan con el mismo signo quetenan al comienzo.)

Luego, si uno mira lo que queda dentro del parntesis en (***),advierte que queda exactamente A otra vez. Es decir, en (***) setiene:

A = 1 A

O sea, pasando A del segundo miembro al primero, se tiene:

2A = 1


Uno puede inferir que con 10 nmeros habr:

10 9 8 7 6 5 4 3 2 = 3.628.800 formas

Visto de esta manera, le ayuda a resolver el problema original?Es decir, el problema del reproductor de CD?

Una curiosidad ms sobre los infinitos(y el cuidado que hay que tener con ellos)

Supongamos que uno tiene una suma infinita de nmeros, expre-sada de la siguiente forma:

A = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 (*)

Es decir: se suma 1, y luego se resta 1, sin detenerse nunca. Porsupuesto, si usted se est cuestionando en este momento qu quieredecir el nmero A, crame que la/lo entiendo. Yo tampoco slo que

quiere decir. Pero, en todo caso, si existiera, fjese qu cosas curio-sas que pasaran.

a) Agrupemos los nmeros de la derecha en (*) de la siguienteforma:

A = (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) +

En este caso, el nmero A debera ser 0, ya que todos los parn-tesis suman 0. Luego se tendra:

A = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +

Y por lo tanto A = 0 sera la conclusin.




31/118


32/118


33/118

Figura 1

Cmo hacer si uno quiere saber el nmero total de cruces? Porsupuesto que la invitacin est hecha para que piense solo/a, de mane-ra tal que, si prefiere no leer lo que sigue, mucho mejor. De todas for-mas, voy a proponerle una solucin de las muchsimas que es posibleencontrar. Pero sta me gusta porque incluye un argumentogrfico.

La figura que aparece con las cruces es un tringulo. Uno podradibujar otro tringulo igual, esta vez con circulitos, y quedara as:

Figura 2

Ahora, damos vuelta ese tringulo

Figura 3

Si colocamos juntos los tringulos que aparecen en las figuras 1

y 3, se tiene el siguiente dibujo:

Figura 4


Ms sobre el infinito.

La paradoja de Tristram Shandy

John Barrow presenta una paradoja que le adjudica al escritorTristram Shandy. La historia es interesante y plantea una nueva mane-ra de mirar al infinito.

Tristram Shandy decidi escribir su diario de vida. Ms an:Shandy era tan detallista que le llevaba un ao relatar cada da quehaba vivido. Por ejemplo, dedic todo el ao 1760 a escribir slo loque le haba pasado el 1 de enero de ese ao. Es decir, slo el 31 de

diciembre termin la historia del 1 de enero. Contar lo que le suce-di el 2 de enero de 1760, le llev todo el ao 1761, y recin termi-n de escribir lo que le pas ese da el 31 de diciembre de 1761. Aese paso, como se advierte, Shandy estaba cada vez ms lejos (en apa-riencia) de escribir su vida completa.

Por supuesto, si Shandy hubiera vivido como cualquiera de losmortales un nmero finito de aos, slo le hubiera alcanzado el tiem-po para relatar un segmento muy reducido de su vida. Sin embargo(y ac lo invito a pensar), si en un salto imaginativo uno pudiera ima-

ginar a Shandy viviendo infinitos das, qu pasara? Si as fuera, siShandy viviera eternamente, no habra da de su vida que no hubie-ra quedado descripto en su diario.

En todo caso, una paradoja ms sobre el infinito.

Suma de los primeros n nmeros naturales

Se tienen distribuidas cruces en distintos renglones, con la carac-

terstica de que a medida que uno va recorriendo las filas, el nme-ro de cruces aumenta en uno. Es decir, en la primera fila hay una cruz.En la segunda, hay dos. En la tercera, tres y as sucesivamente.



X

X X

X X X

X X X X

X X X X X

X

X X

X X X

X X X X

X X X X X


34/118


35/118


36/118


37/118


38/118


39/118


40/118

permite obtener primos para todos los nmeros n menores que 40.

Revisemos la siguiente tabla:

n n2 + n + 411 432 473 534 615 716 83

7 978 1139 131

10 15111 17312 19713 22314 25115 281

16 31317 34718 38319 42120 46121 50322 54723 59324 641

25 69126 74327 79728 85329 91130 97131 1033


Si uno quiere encontrar una frmula que permita calcular todos

los nmeros impares, hace lo siguiente:

(2 n) + 1 (2)

Usted elija cualquier nmero n, reemplcelo en la frmula (2), yobtendr un nmero impar. Y como antes con los pares, todos losnmeros impares se obtienen de esa forma.

Por ltimo, si uno quiere calcular todos los cuadrados, o sea, todoslos nmeros que resultan ser el producto de un nmero natural por

s mismo, basta con hacer:

n2 (3)

y otra vez, todos los cuadrados se obtienen de esa forma.Por qu me interesa decir que tanto todos los pares, como todos

los impares, como todos los cuadrados se pueden obtener de acuer-do con las frmulas (1), (2) y (3) respectivamente? Porque los mate-mticos andan a la bsqueda de una frmula que provea todos los

nmeros primos. Ya se sabe que una frmula de ese tipo no puedetener la forma de unpolinomio; es decir, no puede ser como las ecua-ciones (1), (2) y (3). Incluso se sabe tambin que ni siquiera aligerandoun poco las hiptesis y sin pedir que la frmula diera primos paratodos los naturales n, sino slo para algunos (pero infinitos) valoresde n, an as se sabe que no puede existir ningn polinomio que losprovea. Por otro lado, uno se contentara, ya no con obtener todos losnmeros primos, sino al menos con obtener algunos de ellos. En unmomento determinado, apareci una expresin que gener alguna

esperanza:

n2 + n + 41

pero dur poco. Es que el polinomio

P(n) = n2 + n + 41




41/118

n n2 + n + 41 restando de a dos

1 43 47 43 = 142 47 53 47 = 163 53 61 53 = 184 61 71 61 = 105 71 83 71 = 126 83 97 83 = 147 97 113 97 = 168 113 131 113 = 189 131 151 131 = 20

10 151 173 151 = 2211 173 197 173 = 2412 197 223 197 = 2613 223 251 223 = 2814 251 281 251 = 3015 281 313 281 = 3216 313 347 313 = 3417 347 383 347 = 36

18 383 421 383 = 3819 421 461 421 = 4020 461 503 461 = 4221 503 547 503 = 4422 547 593 547 = 4623 593 641 593 = 4824 641 691 641 = 5025 691 743 691 = 5226 743 797 743 = 5427 797 853 797 = 5628 853 911 853 = 5829 911 971 911 = 6030 971 1033 971 = 6231 1033 1097 1033 = 6432 1097 1163 1097 = 66


n n2 + n + 41

32 109733 116334 123135 130136 137337 144738 152339 1601

En la primera columna figuran los primeros treinta y nueve nme-ros naturales.20 En la segunda, el resultado de aplicar la frmula:

P(n) = n2 + n + 41

para cada nmero n que figura a la izquierda. Todos los nmeros dela segunda columna son nmeros primos, lo cual permiti alentar algu-na esperanza de que se pudiera seguir. Sin embargo, como escrib msarriba, dur poco, porque, si uno calcula la frmula en el caso en que

n = 40

entonces se obtiene el nmero 1.681, que ya no es primo. En realidad,no slo no es primo, sino que es un cuadrado:

1.681 = 41 41 = 412

Otro hecho curioso (y precioso a la vez) es que, si uno resta de

a dos los trminos de la segunda columna, se tiene la siguiente tabla:



20 Si agregramos el nmero 0 y le permitimos a n tomar este valor, entoncesse obtiene tambin un nmero primo, ya que para n = 0, P(n) = 02 + 0 + 41 = 41,que es un nmero primo.


42/118

Sigo:

2 3 5 7 11 13 17 + 1 = 510.511 = 19 97 2772 3 5 7 11 13 17 19 + 1 = 9.699.691 = 347 27.953

Los siguientes primos de la forma

2 3 5 7 11 13 17 19 p + 1

(conp primo), aparecen cuandop = 31, 379, 1.019, 2.657 y 10.211

Es decir, se obtienen nmeros primos para algunos valores dep, perono para todos.

Por ltimo, un pequeo prrafo para la distribucin de los primos.Si bien se sabe que hay infinitos primos, es interesante notar que,

a medida que uno va recorriendo los nmeros, son cada vez menosdensos o, lo que es lo mismo, aparecen cada vez ms espaciados.

Fjese en esta lista:

Entre los primeros 100 nmeros naturales, hay 25 primos. Osea, 1 de cada 4.

Entre los primeros 1.000 nmeros naturales, hay 168 primos.O sea, 1 de cada 6.

Entre los primeros 10.000 nmeros naturales, hay 1.229 pri-mos, o sea 1 primo cada 8,1 nmeros.

Entre los primeros 100.000 nmeros naturales, hay 9.592 pri-mos, o sea, 1 cada 10,4 nmeros.

En el primer 1.000.000 de nmeros naturales, hay 78.498 pri-

mos, o sea 1 en 12,7. Entre los primeros 10.000.000 de nmeros naturales, hay

664.579 primos, o sea 1 en 15.

Y para terminar, dos datos ms:Entre los primeros 100.000.000 de nmeros naturales hay

5.761.455 primos, o sea 1 en 17,3; y entre los primeros 1.000.000.000


n n2 + n + 41 restando de a dos

33 1163 1231 1163 = 6834 1231 1301 1231 = 70

35 1301 1373 1301 = 72

36 1373 1447 1373 = 74

37 1447 1523 1447 = 76

38 1523 1601 1523 = 78

39 1601 1681 1523 = 80

O sea, que si uno considera la frmula como:

P(n) = n2 + n + 41

las diferencias que figuran en la tercera columna resultan de hacer:

P(n + 1) P(n) = 2 (n + 1)

para cada uno de los valores de n que figuran en la primera columna.

Otra frmula interesante que involucra a los primos es:

1 + 1 = 2 es primo2 + 1 = 3 es primo

2 3 + 1 = 7 es primo2 3 5 + 1 = 31 es primo

2 3 5 7 + 1 = 211 es primo2 3 5 7 11 + 1 = 2.311 es primo

pero:

2 3 5 7 11 13 + 1 = 30.031 = 59 509

(y ya no es primo sino compuesto).




43/118

infinitos, pero no existe ninguna frmula que permita generarlos atodos. Ms an: ni siquiera se conoce una frmula que permita obte-ner infinitos nmeros primos, aunque no sean todos. Se conocen losprimos gemelos, pero no se sabe sin son infinitos. Se cree que todonmero par (salvo el 2) es la suma de dos primos, conjetura que se debea Goldbach, pero se desconoce la demostracin. Son los genes o to-mos que producen los nmeros naturales. Son los que dan origen alfamoso Teorema fundamental de la aritmtica (vase MatemticaEsts ah? Episodio 1, p. 49). Son los que permiten hoy encriptarlosmensajes de Internet, hacer transacciones bancarias garantizando la

identidad, retirar dinero en los cajeros automticos, es decir, se sabenmuchsimas cosas sobre ellos pero, aun as, todava resultan resba-ladizos y difciles de domar.

Ternas pitagricas

El teorema de Pitgoras dice: En un tringulo rectngulo, se veri-fica siempre que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos. Un tringulo rectngulo es un tringulo cual-quiera en el que uno de los ngulos mide 90 grados. O lo que es lomismo, uno de sus ngulos es un ngulo recto (como en una escua-dra). El lado mayor, el que aparece por lo general dibujado como la dia-gonal, se llama hipotenusa. Los otros dos lados se llaman catetos.

En un dibujo, entonces, se tiene

Llamemos a y b a las longitudes de los catetos, y c a la longitudde la hipotenusa.


de nmeros naturales, hay 50.847.534 nmeros primos, lo que repre-senta una proporcin de 1 cada 19,6.

Es decir:

nmero n primos hasta n10 4

100 251.000 168

10.000 1.229100.000 9.592

1.000.000 78.49810.000.000 664.579

100.000.000 5.761.4551.000.000.000 50.847.534

10.000.000.000 455.052.511100.000.000.000 4.118.054.813

1.000.000.000.000 37.607.912.01810.000.000.000.000 346.065.536.839

La funcin P(n) o (n) es la que cuenta el nmero de primos quehay entre el nmero 1 y el nmero n. Por ejemplo, mirando la tablaque figura ac arriba se deduce que:

(10) = 4(100) = 25(1.000) = 168(10.000) = 1.229, etctera.

Adems, hay un teorema que permite estimar el nmero de pri-mos que hay entre 1 y n, o sea, el valor aproximado de (n).

(n) n/log(n)

Como se ve en estos pocos ejemplos, los nmeros primos son unausina generadora de intrigas dentro de la matemtica. Se sabe que son



a

b

c


44/118

entonces, c = 13. Y este nmero, no es un nmero entero.Por supuesto

(2, 3, 13)

es una terna pitagrica, pero nosotros buscamos aquellas en las quelos tres nmeros sean enteros (y no nulos). Ya sabemos lo que bus-camos. Cmo se hace para obtener esas ternas?

Por otro lado, aparte de la que ya encontramos (3, 4, 5), exis-ten otras? Lo interesante del planteo es que usted est en condicionesde encontrar la respuesta por sus propios medios. Y vale la pena quelo intente. Tambin puede seguir leyendo lo que sigue, pero la graciaest puesta en pensar uno mismo.

Quiero mostrar dos igualdades interesantes, que se conocen comoel cuadrado de una suma de nmeros y el cuadrado de una dife-rencia de nmeros. Puesto de otra forma, esto dice:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (1)(x y)2 = x2 2xy + y2 (2)

Para convencerse de que esto es cierto, basta con hacer la cuen-ta. Es decir, en el caso (1), multiplicar (x +y) por s mismo, y agru-par, y en el caso (2), multiplicar (x y) por s mismo, y luego agru-par tambin. Geomtricamente, o grficamente, esto puede verse as:


Lo que dice el teorema, entonces, es que

c2 = a2 + b2 (1)

En realidad, el teorema dice que, si uno tiene un tringulo rec-tngulo y conoce la longitud de los dos catetos, entonces, inexora-blemente conoce el valor de la hipotenusa. sta queda determinadapor la longitud de los catetos, y en este caso, se verifica la igualdad (1).

Por ejemplo, si uno dibujara un tringulo rectngulo, en el que loscatetos miden a = 3 y b = 4, entonces la hipotenusa tiene que medir

5, porque, usando la frmula (1), tenemos

32 + 42 = 9 + 16 = 25

Y este nmero, 25, tiene que ser el cuadrado de algn nmero.Y justamente, 25 es el cuadrado de 5.

Luego, podemos decir que la terna (3, 4, 5) es una terna pitag-rica. A partir de ahora, entonces, a una terna

(a, b, c)

que cumpla con la condicin (1), la llamaremos terna pitagrica.Pregunta: cmo se hace para conseguir ternas pitagricas en las

que los tres nmeros sean enteros? Uno se hace esta pregunta porque,si pone por ejemplo:

a = 2, b = 3,

Entonces, sabemos que

c2 = a2 + b2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13

Todo esto est bien, pero si

c2 = 13



x y

x

y


45/118

Es que cuando uno quiere calcular el rea del cuadrado de lado(x y), calcula el rea del cuadrado mayor (medida porx2), luego restalas superficies de los dos rectngulos iguales de ladosx ey, pero tieneque notar que est quitando dos veces el cuadrado cuya superficie es

y2. Por eso, hay que agregarla una vez, y de ah la frmula final:

(x y)2 = x2 2xy + y2

De manera tal que ya tenemos geomtricamente demostradas lasdos frmulas.

Aqu se ve que

(x + y)2 = (x y)2 + 4xy

Con estas dos frmulas, ahora puede construir las ternas pitag-ricas con nmeros enteros que estbamos buscando. Elija dos nme-ros naturales (enteros positivos) cualesquiera, digamos m y n. Con

ellos fabriquemos otros tres nmeros: a, b y c. Lo hacemos as:

a = m2 n2

b = 2mn (4)c = m2 + n2

Por ejemplo, si tomamos m = 3 y n = 2, se obtienen:


En el primer caso, se tiene un cuadrado de lado (x + y). Cuan-do uno quiere calcular el rea de ese cuadrado o sea, (x +y)2, miran-do las distintas reas dibujadas, queda:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

en donde el primer sumandox2 resulta de calcular el rea del cua-drado que tiene ax de lado; el segundo sumando,2xy, resulta dela suma de las reas de los dos rectngulos iguales, con un lado igualax y otro igual ay, y por ltimo, el tercer y ltimo sumando esy2, yresulta de calcular el rea del cuadrado ms chico, de lado igual ay.

De la misma forma, si uno quiere ahora convencersegeomtri-camente de la igualdad (2), mira (fijo, eso s) este dibujo:

Y lo que descubre, es que

si llama x = lado del cuadrado mayor,

y =lado del cuadrado menor,

y quiere calcular la superficie del cuadrado de lado (x y), se tiene:

(x y)2 = x2 2xy + y2

Cmo apareci esta frmula?



x y

x

y

x - y

x

-yx - y y

x - y

y

x

x

}

}


46/118

Y justamente, este ltimo trmino es igual a

(m2 + n2)2

que es lo que queramos probar en la ecuacin (5). Es decir, ahorasabemos cmo construir ternas pitagricas. Basta entonces con ele-gir cualquier par de nmeros naturales n y m, y con ellos construir

(a, b, c) = (m2 n2, 2mn, m2 + n2)

Incluyo aqu una tabla con algunos pares m y n.

m n a b c2 1 3 4 53 2 5 12 137 2 45 28 534 3 7 24 255 2 21 20 295 3 16 30 34

5 4 9 40 415 1 24 10 266 5 11 60 61

Lo que hay que hacer ahora, si uno quiere tener la satisfaccin deque hizo todo bien, es comprobar que los resultados sean los espe-rados. Es decir, verificar que si uno calcula

a2 + b2 = c2

pasa lo que tena que pasar.Por supuesto, hay muchas maneras de construir ternas pitagri-

cas. De hecho, si unoya tiene una terna pitagrica (a, b, c), puedeconstruir infinitas, multiplicando cada trmino de la terna por cual-quier nmero. Por ejemplo, si (a, b, c) es pitagrica, entonces (2a,


a = 32 22 = 5

b = 2 3 2 = 12c = 32 + 22 = 13

Observe ahora que la terna (a, b, c) = (5, 12, 13) es pitagrica.Para comprobarlo, hay que hacer:

a2 + b2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169

y justamente: 169 = 132.

Por qu pas esto? Habr sido casualidad? No, no fue casua-lidad. Fjese cmo estn construidos a, b y c (confronte las frmulasque aparecen en 4). Con esa definicin, cualquier terna (a, b, c) queuno obtenga, siempre ser pitagrica. Es decir, la terna

(a, b, c) = (m2 n2, 2mn, m2 + n2)

es siempre pitagrica. Hagamos la cuenta.

Para que esto sea cierto, hay que elevar la primera coordena-da al cuadrado, sumarle el cuadrado de la segunda coordenada, yfijarse que d el cuadrado de la tercera coordenada. O sea, hay quever que:

(m2 n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)2 (5)

Ser verdad esto?Calculemos usando las frmulas que dedujimos hace un rato para

el cuadrado de la suma de dos nmeros y el cuadrado de una dife-rencia (*) y (**). Entonces, hacemos el clculo del primer miembro enla ecuacin (5):

(m2 n2)2 + (2mn)2 = m4 2m2n2 + n4 + 4m2n2

= m4 + 2m2n2 + n4



M E ? E 3 1 4 95


47/118

tro de una bolsa 100 tarjetas numeradas del 1 al 100. Es decir, dentrode la bolsa estn:

{1, 2, 3, 4, , 27, 28, 29, , 97, 98, 99, 100}

Hay muchas maneras de meter la mano en esa bolsa, y sacar 10de esos nmeros. Elija una cualquiera.

El problema consiste en demostrar que, entre ese grupo de 10nmeros que usted eligi, se pueden separar dos grupos que no con-tengan ningn nmero en comn, pero cuya suma sea la misma.

No hace falta usar los 10 nmeros, pero lo que s es seguro es quehay dos subgrupos disjuntos (sin nmeros en comn) que tienen lamisma suma.

Es decir: uno tiene los 10 nmeros; lo que hay que demostrar esque hay por lo menos dos formas de separar algunos de esos nme-ros en dos grupos disjuntos, de manera tal que la suma de los dos sub-

grupos d lo mismo.Por ejemplo, si al meter la mano en la bolsa sacarajusto los 10

primeros nmeros

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

tendra que ser capaz de encontrar al menos dos subgrupos distin-tos cuya suma diera igual.

Hay muchas formas de conseguir dos subgrupos que provean unasolucin al problema. Veamos algunos:

a) Elijamos

{1, 2} y {3}.

Ambos conjuntos suman 3.


2b, 2c) es pitagrica, y (3a, 3b, 3c) tambin y as siguiendo. Dehecho, si (a, b, c) es pitagrica, entonces

(ka, kb, kc) es pitagrica

cualquiera que sea el nmero natural k que uno elija. Esto se demues-tra muy fcilmente porque, como uno sabe que

a2 + b2 = c2 (***)

Entonces

(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2)

Usando (***):

= k2 c2

Luego, la terna (ka, kb, kc) es pitagrica tambin, para cualquier

nmero natural k. Pero, si uno se fija en la tabla de ms arriba, todaslas que aparecen all son originales, en el sentido de que ninguna seobtiene de las anteriores multiplicndolas por algn nmero. Otraforma de escribir esto es decir que el mximo comn divisor entrelos nmeros a y b, es 1. O sea, no tienen divisores comunes y, por lotanto, tampoco tendrn un divisor comn con c. As, uno puede garan-tizar que, o bien a es un nmero par y b es impar, o bien a es un nme-ro impar y b un nmero par. De hecho, entonces, hemos consegui-do infinitas ternas pitagricas, nuestro objetivo inicial.

Un desafo

El que sigue es un problema precioso y sirve para utilizar muchay muy linda matemtica. Supongamos que tiene en una bolsa los pri-meros cien nmeros naturales. O si prefiere, suponga que tiene den-




48/118

M A T E M T I C A E S T S A H ? E P I S O D I O 3 1 4 9998 A D R I N P A E N Z A


49/118

Problema de Brocard(un problema abierto)

Quiero plantear ahora un problema abierto (sin solucin) hastahoy, fines de 2007. Necesito que nos pongamos de acuerdo con lanotacin, para que se entienda el enunciado. Por un lado, ya defin enotras oportunidades lo que se llama el factorial de un nmero natu-ral n, y se escribe n!

n! = n (n 1) (n 2) (n 3) 3 2 1

Por ejemplo,

3! = 3 2 1 = 65! = 5 4 3 2 1 = 1207! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5.040

10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 3.628.800

O sea, el factorial de un nmero n consiste en multiplicar todoslos nmeros para atrs, hasta llegar al 1, incluyendo al mismo n.

Por otro lado, elevar un m nmero al cuadrado, o sea m2, es mul-tiplicarlo por s mismo. Por ejemplo,

52 = 5 5 = 2572 = 7 7 = 49

1232 = 123 123 = 15.129

Ahora estoy en condiciones de plantear el problema. Lea lassiguientes tres igualdades:

a) 52 = 4! + 1b) 112 = 5! + 1c) 712 = 7! + 1

Haga las cuentas conmigo:


que no sea copias dep. Esto pasa porque la descomposicin es nica(vase la pgina 49 del Episodio 1 de Matemtica Ests ah? Seentiende que la descomposicin es nica en factores primos, como allse indica).

Luego, para que la ecuacin (*) sea vlida, la nica manera posi-ble es que los tres nmeros, r, m y n, sean iguales ap o a 1. Esto suce-de porque el nmerop es primo, y no se puede descomponer msque como

p = 1 p

o bien p = p 1

Por lo tanto, lo que tiene que pasar es que los ladrillos sean delas siguientes dimensiones:

a) (1 1) En este caso, hacen faltap2 ladrillos.b) (1 p) Aqu harn faltap ladrillos.c) (p 1) Lo mismo que recin: harn faltap ladrillos.

d) (p p) En este caso, har falta un solo ladrillo

Todo este razonamiento lo conocen bien los azulejistas o quie-nes colocan baldosas en edificios.

Para terminar, otro ejemplo: supongamos que uno tiene que ponerbaldosas en un patio cuadrado de 11 metros de lado. Esto significaque la superficie a cubrir es de 121 metros cuadrados. Se pueden usarbaldosas de cualquier tipo, pero cuyos lados midan un nmero ente-ro de metros. Es decir, baldosas de (m x n), donde m y n son nme-

ros naturales. Por lo que vimos recin, las nicas que se pueden usarson baldosas de:

a) 1 1b) 1 11c) 11 1d) 11 11




50/118


51/118


52/118


53/118


54/118


55/118


56/118

M A T E M T I C A E S T S A H ? E P I S O D I O 3 , 1 4 115114 A D R I N P A E N Z A


57/118

estn vacos (o tambin se puede interpretar como que hay una clu-la muerta). Usted empieza con el nmero de fichas que quiera. Como

el tablero es tan grande, si quiere distribuirlas todas, no habr pro-blemas de lugar.

Una vez que las fichas estn distribuidas, se pone en marcha elproceso. Como se ve, cada casillero tiene alrededor ocho vecinos(como si fuera al norte, sur, este, oeste, nordeste, noroeste, sudeste ysudoeste).

El juego contina as:

a) Si una clula tiene exactamente dos o tres clulas alrededor,sobrevive para el prximo paso.b) Si una clula tiene una o ninguna clula a su alrededor, se

muere (por aislamiento).c) Si una clula tiene cuatro o ms clulas alrededor, tambin se

muere, pero por una superpoblacin de clulas: no alcanza-ra la comida.

d) Si hay una casilla vaca, que tiene exactamente tres clulas alre-dedor, entonces se produce un nacimiento en el prximo paso.

e) Por ltimo, las clulas nacen, permanecen o desaparecen todasal unsono al cambiar de un estado a otro.

Como se ve, las reglas son realmente muy sencillas. Todo lo queuno tiene que hacer es establecer con cuntas fichas va a jugar y cmolas va a distribuir. Una vez hecho esto, uno ha establecido una con-figuracin inicial. A partir de ah, el juego se juega solo. Por ejem-

quisiera tomar en la forma ms racional y educada posible. La mate-mtica suele ayudar.

Juego de la vida

Lo que sigue es un juego espectacular. Se llama Juego de la vida.En realidad, lo interesante de este juego es que uno participa una solavez, y eso sucede al principio. Luego, el juego sejuega solo. Me expli-co: suponga que tiene un tablero de ajedrez, pero no de 8 casillas delado, sino tan grande como para que no se termine nunca, vaya paradonde vaya.

Cada casilla puede estar vaca o contener una clula viva o acti-va (el equivalente de una ficha en el juego de damas, por ejemplo).

Como se ve, los casilleros que aparecen en color negro son los queestn ocupados por una clula o una ficha. Los blancos son los que


Vecina

Vecina

Vecina

Vecina

Vecina

Vecina

Vecina

Vecina


58/118


59/118


60/118


61/118


62/118


63/118


64/118


65/118

Q d d l i l i d d f l



66/118

Qu cuadrado le conviene elegir, de manera de forzar al segun-do jugador a que tenga que ocupar o bien el 3 o bien el 8? En este

caso, la situacin es la siguiente:

Y le toca jugar al primero. Dnde poner la cruz, para obligar al

segundo jugador a tener que usar el 3 o el 8?En este caso, usa el primero de la tercera columna, o sea, el nme-

ro 6, y se tiene la siguiente situacin:

Y a partir de aqu, el segundo jugador perdi, porque est obli-gado a jugar en el cuadradito del medio, pero, de esa forma, ya tieneusados dos de sus crculos en cuadrados que no estn relacionados.

Ahora, el primer jugador usa su cruz para ponerla en la lti-ma columna, en la tercera fila, y sa resulta ser la jugada final, por-que el segundo jugador ya no puede tapar los dos agujeros al mismotiempo.

Porque ahora, el primer jugador usar la cruz para ponerla en elcuadradito que falta en la tercera columna, y ya no importa lo quehaga el segundo jugador, el primero ganar siempre. (Haga usted losdibujos que faltan, para convencerse.)

De la misma forma, utilice todas las alternativas que tenga elsegundo jugador para seguir, y ver que, haga lo que haga, el primerjugador gana siempre.

Ahora, analicemos la posibilidad b).Es decir, en el caso a), el segundo jugador haba optado por jugar

ofensivamente, utilizando su propia estrategia, y por eso eligi el cua-dradito nmero 4. Pero no funcion. Qu pasa si ahora elige otrocuadradito que sest relacionado con el nmero 1? En este caso(y le sugiero que lo verifique), el primer jugador en su segundomovimiento siempre tiene la opcin de elegir un cuadradito queobligue al segundo jugador a elegir uno que est en la terna de losno relacionados. Por ejemplo, supongamos que el primer jugadorocup el cuadradito 1 y que el segundo eligi el nmero 5. En estecaso, el primer jugador buscar los nmeros que no estn relaciona-dos con el 5, y descubre la siguiente terna:

(3, 5, 8)


8

3


67/118


68/118

Creo que con estos tres ejemplos se entiende lo que uno hace


Ahora escribimos cada uno de estos nmeros como suma de



69/118

Creo que con estos tres ejemplos se entiende lo que uno hacecon las monedas de cada fila. Ahora, voy a explorar cada uno de ellos.

Voy a contar cuntos nmeros aparecen en cada columna (una vezagrupados en potencias de 2).

En el ejemplo 1, en la primera columna hay un nmero 16, enla segunda columna aparecen tres nmeros 8. En la tercera hay tresnmeros 4. En la cuarta, cuatro nmeros 2, y por ltimo, en la colum-na final, hay siete nmeros 1. O sea, si escribo lo que acabo de encon-trar (y agrego una fila al final), se tiene:

25 16 8 1

15 8 4 2 19 8 17 4 2 15 4 13 2 12 21 1

1 3 3 4 7 (***)

Para confirmar las ideas que expuse recin, hago lo mismo con losdos ejemplos que faltan: 2 y 3.

EJEMPLO 2:

51 32 16 2 146 32 8 4 225 16 8 119 16 2 115 8 4 2 1

7 4 2 11 1

2 3 3 3 5 6 (***)

Ahora escribimos cada uno de estos nmeros como suma depotencias de 2, y resulta lo siguiente:

25 16 8 115 8 4 2 1

9 8 17 4 2 15 4 13 2 12 21 1

Es decir, lo que hice fue agrupar en cada fila todas las monedasque haba, pero las separ de acuerdo con las potencias de 2. Un datocomplementario (pero muy importante) es que esta manera de agru-parlas es nica. Es decir, cada nmero puede escribirse de una nicamanera como suma de potencias de 2 (y esto da lugar a lo que se llamala escritura binaria, que es la que usan las computadoras).

EJEMPLO 2:

51 32 16 2 146 32 8 4 225 16 8 119 16 2 115 8 4 2 1

7 4 2 11 1

EJEMPLO 3:

24 16 816 1614 8 4 2

7 4 2 11 1


las columnas estn todas balanceadas, porque la ltima fila consiste


EJEMPLO 3:



70/118

, p qde todos nmeros pares.

Ahora viene la parte interesante (y lo invito a que reflexione sobrelo que va a leer): si una posicin est desbalanceada, entonces siem-pre se puede balancearreduciendo las monedas de una sola fila. Estoes muy importante, porque dice que si cualquiera de los dos jugado-res tropieza con una posicin desbalanceada, la puede balancear conun movimiento lcito.

Inicialmente, lo voy a hacer con un ejemplo de manera tal depoder aclarar las ideas. Espero que est de acuerdo conmigo.

Supongamos que uno tiene esta distribucin de monedas:

121, 83, 57, 46, 29, 17, 12, 6 y 3

Las agrupo de acuerdo con las potencias de 2 y me fijo al finalsi est balanceada o no.

121 64 32 16 8 183 64 16 2 157 32 16 8 1

46 32 8 4 229 16 8 4 117 16 112 8 4

6 4 23 2 1

2 3 5 5 4 4 6 (***)

Uno descubre que est desbalanceada (entiende por qu?). Esque en la ltima fila (***) aparecen varios nmeros impares. Parabalancearla, debe fijarse en la fila (***) cul es la potencia de 2 msgrande que aparece con un nmero impar. O sea, qu nmero de lafila (***) es impar y el que est ms a la izquierda de todo el resto.En el ejemplo, resulta ser el 32, ya que figura tres veces.

24 16 816 1614 8 4 2

7 4 2 11 1

2 2 2 2 2 (***)

Ahora voy a usar un par de nombres. Se dice que una posicin deljuego cualquiera est balanceada si todos los nmeros que figuran

en la ltima fila (la que agregu en (***)) son pares. De lo contrario,se llama desbalanceada. Como se ve, el ejemplo 1 provee una posi-cin desbalanceada (ya que aparecen varios nmeros impares en laltima fila).

El ejemplo 2, provee tambin

51 32 16 2 146 32 8 4 225 16 8 1

19 16 2 115 8 4 2 1

7 4 2 11 1

2 3 3 3 5 6 (***)

una posicin desbalanceada.En cambio, en el ejemplo 3,

24 16 816 1614 8 4 2

7 4 2 11 1

2 2 2 2 2 (***)



71/118

51 32 16 2 1


51 32 16 2 1



72/118

46 32 8 4 2

27 16 8 113 8 4 115 8 4 2 1

7 4 2 11 1

2 2 4 4 4 6 (***)

Luego, la fila (***) qued con todos nmeros pares y, por lo tanto,hemos balanceado la posicin. Esto significa que uno, haciendo movi-

mientos lcitos, balancea cualquier posicin desbalanceada.

Ahora, al revs. Qu sucede si una posicin ya est balancea-da? Entonces, lo que quiero hacer es convencerla/o de que cualquiercosa que haga la va a desbalancear.

Esto hay que interpretarlo as: si la posicin es balanceada, sig-nifica que todas las potencias de 2 que aparecen en todas las filasson necesarias, para que al final en la fila (***) queden todos nme-ros pares. Al quitar cualquier moneda, uno desbalancea la posicin.

Justamente, si uno empieza con una fila cualquiera, al tocar cual-quier moneda, hace desaparecer una (o ms) potencias de 2, que erannecesarias para mantener la posicin balanceada. Podran incluso apa-recer otras potencias de 2, pero tambin desbalancearan la posicin,porque todo lo que hay en el resto no se modifica.

Es decir, al alterar cualquier fila, inexorablemente se desbalan-cea la posicin. Antes de seguir avanzando, convnzase que enten-di esta ltima idea. La repito: si una posicin est balanceada, cual-quier moneda que uno quite de cualquier fila, la desbalancea.

Ahora s, la estrategia ganadora. Lo importante de lo que apren-dimos recin es que, si uno encuentra una posicin desbalanceada,la puede balancear con movimientos legales. A su vez, si a uno le tocajugar con una posicin que ya est balanceada, no puede evitar des-balancearla.

46 32 8 4 2

25 16 8 119 16 2 115 8 4 2 1

7 4 2 11 1

2 3 3 3 5 6 (***)

Me fijo en la mayor potencia de 2 de la fila (***) que es impar.En este caso, resulta ser la columna del 16, ya que hay tres nmeros

16. Elijo una fila cualquiera que contenga al 16. Por ejemplo, la del19. Me fijo en lo que queda, excluyendo la fila del 19.

51 32 16 2 146 32 8 4 227 16 8 119 16 2 115 8 4 2 1

7 4 2 1

1 12 2 3 3 4 5 (***)

Ahora, las potencias de 2 que resultan impares son la del 8, ladel 4 y la del 1.

Los sumo y queda:

8 + 4 + 1 = 13

Lo que tengo que hacer ahora es reemplazar la fila del 19 (queestaba ignorando hasta ahora) y poner 13. Es decir, en la prctica,si estuviera jugando al Nim con alguna otra persona, tengo que reti-rar cuatro monedas de la fila del 19. En ese caso, se tiene la siguien-te situacin:



73/118


74/118

las que habamos trazado antes, como se ve en la figura 1. Primero tra-zamos tres luego dos y al final una



75/118

zamos tres, luego dos, y al final una.

Figura 1

Ahora, contamos las intersecciones que quedan alineadas verti-calmente, como se ve en la figura 2. Todo lo que resta hacer es sumarlas intersecciones, y contar en forma encolumnada.

Figura 2

Figura 3

Y anotamos as: a la izquierda de todo, ponemos un nmero 2.Luego, sumamos los dos nmeros que quedan verticales, el 3 y el 6.Se tiene un nmero 9 (que tambin anotamos, y ser el nmero delmedio). Y por ltimo, tenemos al nmero 9, slo que queda sobre laderecha (y ste tambin lo anotamos. Ser el nmero de la derecha).

En consecuencia, queda anotado el nmero 299. Haga la cuen-ta: multiplique 13 x 23 y ver que se obtiene 299.

Otro ejemplo. Supongamos que uno quiere multiplicar 213 x 321.Voy a hacer la misma construccin de hace un momento, pero enlugar de usar nmeros de dos dgitos, lo voy a hacer con nmeros detres. El procedimiento es el mismo, slo que ahora, como cuando unosuma normalmente y el resultado excede a diez y me llevo 1 o mellevo 2, o lo que sea, habr que aplicarlo en este caso tambin. Comoantes, como el primer nmero para multiplicar es el 213, hay que cons-truir tres conjuntos de lneas paralelas: primero dos lneas (ya que elprimer dgito es un 2), luego una lnea separada, paralela a la ante-rior (ya que el segundo dgito de 213 es un 1) y luego tres lneas sepa-radas de las anteriores, pero paralelas a ellas.

Una vez hecho esto, tomamos el otro nmero que aparece en elproducto, el nmero 321, y hacemos lo mismo. Construimos lneasparalelas entre s, de acuerdo con los dgitos, pero perpendiculares a


3

2

6

9

6

4

3

9

2

21

6 3

6

4

3

9

2

2

1

6 3

6 7 13 7 3

(7 + 8) (11 + 5) = (7 11) + (7 5) + (8 11) + (8 5)= 77 + 35 + 88 + 40


Y en este caso se tienen (vase la figura 3):



76/118

= 77 + 35 + 88 + 40

= 240

Esta propiedad vale para cualquiera de ellos, ya sean a, b, c y dreales o no.

Con todo, quiero mostrar cmo se usa la propiedad distributivapara explicar por qu funciona el mtodo para multiplicar en los dosejemplos que figuran ms arriba.

PRIMER CASO: 13 23

Escribimos el desarrollo decimal de ambos nmeros.O sea:

13 = (1 10) + 323 = (2 10) + 3

Luego,

(13 23) = (10 + 3) (20 + 3)

= (200 + [(3 20) + (10 3)] + (3 3)= 200 + (60 + 30) + 9= 200 + 90 + 9= 299

y eso es lo que queramos comprobar.

SEGUNDO CASO: 213 321Si uno hace la multiplicacin convencional, obtiene:

213x 321

213426

639

6, (3 + 4), (9 + 2 + 2), (6 + 1) y 3

O lo que es lo mismo:

6, 7, 13, 7 y 3

Pero el 13 le aporta una unidad ms al nmero que est a laizquierda y, por lo tanto, se obtiene:

6, 8, 3, 7, 3

Lo invito a que haga la multiplicacin correspondiente (213 x321) = 68.373, como queramos verificar.

Una vez visto el mtodo, la pregunta que hay que contestar es:por qufunciona? En realidad, este sistema (que usted puede apli-car a cualquier multiplicacin) funciona porque uno usa sutilmen-te la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la

suma.La propiedad distributiva dice que, si uno tiene por ejemplo

cuatro nmeros a, b, c y d, entonces:

(a + b) (c + d) = (a c) + (a d) + (b c) + (b d)

Rpido, un ejemplo:Supongamos que uno quiere multiplicar

(7 + 8) (11 + 5), o sea, 15 16

El resultado de hacer esto es: 240.Ahora bien: en lugar de proceder as, uno puede distribuirlos fac-

tores y, por lo tanto, se tiene:



77/118


78/118


79/118


80/118


81/118


82/118


83/118


84/118


85/118

SEGUNDO PASO:Divido el resultado por 33 (que es el segundo nmero de mi clave)


Entonces, si el mensaje fuera



86/118

y me fijo cunto sobra o cul es el resto.

16.384 = 496 33 + 16

Ac hago una pausa. Este nmero, 16, es el mensaje codificado.Esto es lo que voy a mandar y no me interesa que nadie lo intercep-te. O sea, hasta ac, us cuatro nmeros:

a) El mensaje: 4

b) El primer nmero de la clave: 7c) El segundo nmero de la clave: 33d) Y con ellos fabriqu el cuarto nmero: 16.

Ahora, usted recibe el mensaje encriptado, que es el nmero 16.Qu hace entonces?

Bueno, usa su clave, que consiste no slo en el 33, sino tambinen el nmero 3 (y este nmero sque es privado! Slo usted lo cono-ce). Y hace lo siguiente:

TERCER PASO:Multiplica el mensaje por s mismo 3 veces. Es decir, eleva el men-

saje que recibi al cubo, o sea,

163 = 4.096

CUARTO PASO (Y FINAL):Divide el resultado, o sea 4.096, otra vez por 33 y calcula cun-

to sobra:

4.096 = 124 33 + 4

Qu pas? Lo notable es que ahora, al hacer este proceso, usteddescubre el mensaje que yo le mand y que era el nmero 4!

AMOR

corresponde poner el siguiente nmero:

01131619

De esa forma, a cada mensaje escrito en palabras le correspon-de un nmero. Por supuesto, cuanto ms largo es el mensaje ms gran-de es el nmero. Pero no interesa: lo importante es que el mensaje

ahora se transform en un nmero, que llamaremos M.Ahora empieza el proceso de encriptacin y desencriptacin. Enrealidad, salvo que uno tenga mucho tiempo y nada que hacer conl, conviene usar una calculadora o una computadora, pero de todasformas lo que me interesa con este texto es contar sin entrar en tec-nicismos cmo se hace. Empiezo con un plan de lo que voy a hacer:

1) Busco el mensaje que quiero mandar. Digamos, para fijar lasideas, que quiero enviar el nmero 4.

2) Busco la clave pblica que voy a usar para encriptar el men-saje. En este ejemplo, consiste de dos nmeros: 33 y 7.

3) Usted (el receptor) conoce ya su clave privada, que tambinconsiste en dos nmeros: 33 y 3 (note que al 33 lo usamos losdos: usted y yo).

Con estos datos,yo hago lo siguiente:

PRIMER PASO:

Multiplico el mensaje, el nmero 4, siete veces por s mismo (esdecir, el mensaje lo elevo a uno de los nmeros de mi clave):

47 = 16.384


Datos:Mensaje = M


De hecho, lo invito a que elija el nmero que quiera como men-saje, y repita el procedimiento hasta convencerse de que no importa



87/118

Clave pblica = N y eClave privada = N y d(se usan las letras e por potencia que sirva para encriptary d paradesencriptar).

Uno hace lo siguiente, entonces:

Primer paso: calcula Md

Segundo paso: divide el resultado por N y calcula el resto, que

llamo R.

Md = q N + R

En consecuencia, el mensaje encriptado ahora es R. El receptorrecibe el nmero R y comienza a desencriptarlo.

Tercer paso: calcula Rd

Cuarto paso: divide el resultado por N y calcula el resto, que tiene

que ser M.

Rd = q N + M

El nmero N se elige de manera tal que sea muy grande. Ququiere decir grande? Que tenga ms de 400 (cuatrocientos) dgitos.Para tener en claro cun enorme es un nmero as, basta pensar quetodo el universo est compuesto por 2300 tomos, o sea. aproxima-damente un 1 seguido por 90 ceros.

Ahora bien: se elige este nmero N de modo que sea el produc-to de slo dos nmeros primos, cada uno de aproximadamente dos-cientos dgitos. Digamos que N se escribe como el producto, enton-ces, de dos nmeros primos:p y q.

N = p q

cul sea el nmero original, luego de los cuatro pasos que figuran msarriba, usted lo va a redescubrir.Un ltimo ejemplo con claves diferentes, de manera tal que poda-

mos verificar que todo lo que hice hasta ac est claro:

Mensaje M = 2Clave pblica: 85 y 13Clave privada: 85 y 5

Primer paso:

213 = 8.192

Segundo paso:

8.192 = 85 96 + 32

Luego, el mensaje encriptado es 32.

Tercer paso:

325 = 33.554.432

Cuarto paso:

33.554.432 = 394.758 85 + 2

Como se ve, entonces, uno vuelve a recuperar el nmero 2, elmensaje original. Una vez que entendi estos ejemplos, avanzo unpoco ms.

En general, el mtodo consiste en lo siguiente (ahora voy a usarletras para indicar tanto los mensajes como las distintas claves):



88/118

poda, sino el que no poda. Hoy es al revs. Los padres aspiran aque sus chicos tengan al menos una mnima educacin. Y con la ten-dencia actual, falta poco para que tambin le pidamos rentabilidad

l d d l l


Es ms: yo propondra redefinir la palabra alfabeto, ya quehemos entrado en el nuevo siglo. Alcanza la versin anterior? El sigloXXI exige el compromiso de tener educacin gratuita, obligatoriamentebili t i l d t d i t l d t d l



89/118

a la cooperadora de la escuela.bilinge, con terminales de computadora instaladas en todas las escue-las del pas, con conexiones va Internet. Eso les permitir a los chi-cos acortar distancias, chatear con jvenes de otras partes, difun-dir sus gustos, cultura y conocer la de los otros.

Tambin servir para familiarizarse con los procesadores detexto, o con programas de diseo grfico, de video, de fotografa ode msica. En todo caso, la escuela primaria es el lugarpara queenfrenten sus primeros desafos, para estimularlos a que planifiquen

estrategias, programen sus propios juegos o sus propios problemas.Ya no alcanza hoy un taller de lectura y una biblioteca o la sala demsica convencionales. No alcanza con cantar el himno, izar la ban-dera, sentarse en el aula a escuchar pasivamente y esperar ansiosa-mente el recreo.

S que nuestros docentes no estn hoy preparados para eso, nilo estuvieron en la ltima parte del siglo pasado. S tambin que laescuela cumple una funcin social. Pero,

quin dijo que hemos preparado a ese plantel de docentesen el pas para que cumplan con ese papel?

Les enseamos acaso a ser contenedores de los chicos, mol-deadores de sus futuros?

Quin les ense a ensear? Quin los adapta a las necesidades de hoy? Quin les provee los elementos? Quin les explica que la tarea del docente es generar pre-

guntas, y no slo dar respuestas a preguntas que los jvenes no

se han hecho? No es acaso un abuso de autoridad el quecometemos hoy, decidiendo los futuros de nuestros hijos deesta forma tan desprotegida?

En dnde qued el orgullo de otra poca de mandar a los chicosa la escuela estatal? Antes, a la escuela privada no slo iba el que


Soluciones


90/118

Solucin al problema de los dos pintores

La tentacin es decir que si trabajan los dos juntos van a tardar3 horas en pintar la pieza. Sin embargo, uno contesta eso porque, enprincipio, no est pensando. Basta advertir que, si uno de los dospintores trabajando solo tardara 2 horas, no es posible que con ayudade otro tarden ms!

Estoy seguro de que hay muchsimas maneras de llegar a la solu-cin. Ms an: ni siquiera creo que las dos que voy a proponer sean

las mejores. Es decir: lo invito a a que imagine una respuesta que seaatractiva por lo breve y contundente. Por eso es que creo que no valela pena leer lo que figura ms abajo Pero, si aun as usted insiste,aqu va.

Le propongo pensar lo siguiente. En una hora, el pintor que pintams rpido, B, pinta la mitad de la pieza. El otro, A, mientras tanto,pinta una cuarta parte (ya que, como tarda 4 horas en pintar todo,en una hora pinta justo la cuarta parte de la pieza).



91/118


92/118


93/118


94/118


95/118


96/118


97/118


98/118

En definitiva, es una manera de educar el razonamiento, y deaprender a pensar.

Solucin al problema de Fermi


7 A

B CD13 4


99/118

Solucin al problema de Fermi

Voy a tratar de estimar el nmero de pelotas que entran en elcampo de una cancha de ftbol. Sin hacer un clculo perfecto (nimucho menos), creo que puedo estar tranquilo si estimo que una pelo-ta apoyada no mide ms de 25 centmetros. Es decir, uno puede afir-mar que en un metro uno puede poner 4 pelotas, y por lo tanto, en un1 metro cuadrado entran 16 pelotas.

Ahora bien, cuntos metros cuadrados tiene un campo de ft-bol? Para eso, hay que tener idea de las dimensiones del lugar endonde se juega al ftbol. Otra vez, sin pretender ser exactos, puedoconsiderar que mide 100 (cien) metros de largo y 70 metros de ancho.Es decir, son unos 7.000 metros cuadrados.

Aqu podemos hacer dos cosas:

a) Si usamos el dato de que entran 16 pelotas en un metro cua-drado, hay que multiplicar 16 por 7.000 para saber cuntasentran en una cancha. Resultado (aproximado, por cierto):

112.000 pelotas

Aqu van algunas puntualizaciones.

a) El problema es simtrico, en el sentido de que se puede darvuelta el dibujo, ponerlo cabeza abajo, y se obtiene lomismo. Hay vrtices que son intercambiables por esta sime-tra y, por lo tanto, haber usado el nmero 1 en el vrtice D,y el nmero 8 en E es una de las elecciones posibles. Peropude haber elegido al revs. Nada habra cambiado. Y sa es

una moraleja importante, porque muchas veces, cuando unose enfrenta con un problema, hay ciertos factores de sime-tra que permiten grados de libertad en la eleccin.

b) El razonamiento que llev a la solucin es casi inductivo,en el sentido de que fuimos construyendo la solucin. Perono sabamos si la haba o no. Podra no haber habido solu-cin, pero si exista, la tenamos que encontrar con el tipode argumentos que utilizamos. Esto tambin es hacer mate-mtica.

c) Ms all de que usted se enfrente o no con problemas de estetipo, las argumentaciones descriptas ms arriba son caracte-rsticas de determinado tipo de situaciones que se plantean enla matemtica as como en la vida. Aprender a contar, a com-binar, a estimar. En todo caso, es como aprender a pensarhacia adelante.


2 H

F GE85 6


100/118


101/118


102/118


103/118


104/118


De 2 x 2 hay 4 (o sea, 22).Solucin al problema de las dos preguntas(en una)

Empecemos con un tablero de 1 x 1. En este caso, hay un solocuadrado posible. Si tuviramos un tablero de 2 x 2, entonces debe-

id d ti d d dit ibl l d 2 2 l


105/118


De 3 x 3 hay 1 (o sea, 12).

Lo invito a que siga solo, hasta poder conjeturaruna ley un pocoms general. Hago yo un par de pasos ms.

Si fuera un tablero de 4 x 4, entonces hay:

De 1 x 1 hay 16 (o sea, 42).

mos considerar dos tipos de cuadraditos posibles: los de 2 x 2 y losde 1 x 1.

Como todo el tablero es de 2 x 2, hay un nico cuadrado deese tamao. Pero de 1 x 1 hay cuatro (numerados como se ve enla figura).

1 2

3 4

Ahora, si uno tiene un tablero de 3 x 3 hay ms cuadraditos a con-siderar. Estn los de 1 x 1, los de 2 x 2, y el de 3 x 3.

De 1 x 1 hay 9 (o sea, 32).

1 2 3

4 5 6

7 8 9


1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16


106/118

De 4 x 4 hay 1 (o sea, 12).

El ltimo (que sirve para contestar la primera pregunta): en untablero de 8 x 8, hay:

De 1 x 1 hay 64 (o sea, 82)De 2 x 2 hay 49 (o sea, 72)De 3 x 3 hay 36 (o sea, 62)De 4 x 4 hay 25 (o sea, 52)De 5 x 5 hay 16 (o sea, 42)De 6 x 6 hay 9 (o sea, 32)De 7 x 7 hay 4 (o sea, 22)De 8 x 8 hay 1 (o sea, 12)

En este caso, entonces, hay en total 204 cuadrados (basta consumar 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64).

El objetivo de este problema es mostrar cmo, con casos parti-culares, se puede conjeturar una ley general. Es decir, si uno tuvieraun tablero de n x n cuadraditos, y le preguntaran cuntos cuadradosse pueden formar, la respuesta es:

De 1 x 1 hay (n2)

De 2 x 2 hay (n 1)2

De 3 x 3 hay (n 2)2

De 4 x 4 hay (n 3)2

De (n 2) x (n 2) hay 32

De (n 1) x (n 1) hay 22, y


13 14 15 16

De 2 x 2 hay 9 (o sea, 32).

Etctera.De 3 x 3 hay 4 (o sea, 22).

Los casos ms conocidos son:

n

1 12 43 6


De nx n hay 12 = 1

En todo caso, lo que queda pendiente es saberhacer la siguien-

te cuenta:

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . + (n 2)2 + (n 1)2 + n2 =


107/118

4 75 86 97 98 109 10

10 1111 1112 1113 1114 12

en donde la columna de la izquierda indica el nmero de cuadradospor lado, y la de la derecha, el nmero de cuadraditos en los que sepuede descomponer el cuadrado grande.

Solucin al problema del ramo de rosas

A los efectos de facilitar la lectura, voy a abreviar los nombresde las rosas. A las rosas rojas las voy a llamar con la letra R. A las rosasblancas, con la letraB, y a las rosas azules, con la letraA.33

Con todo, quiero pedirle un favor al lector o lectora: no aban-done ahora! Acompeme en el razonamiento. Crame que se va a

entretener pensando. No deje que lo intimide la forma como se pre-sentan los datos ms abajo. Es slo una manera abreviada de poder


{n (n + 1) (2n + 1)} / 6

No es fcil conjeturarla sin ayuda, por eso incluyo el resultado ysugiero que quienes lean esta frmula me ayuden a pensar cmo sepuede deducir o inferir geomtricamente.

Solucin al problema del acolchado cuadrado

En el libroAmusements in Mathematics, Dudeney escribi que lcrea que sta es la nica solucin al problema, o sea, que la menor can-tidad de cuadraditos posibles es de 11. Los cuadrados ms grandes tie-nen que tener esas medidas, y ubicados de esa forma. Por supuesto, sepodran encontrar otras ubicaciones, pero slo reflejaran lo que se veen esta figura. El problema de Dudeney se puede generalizar de varias

maneras. Una de ellas (la ms interesante, creo) es la de considerar cua-drados de distintas dimensiones (nx n, para cualquier n) y tratar dehacer lo mismo que en el caso anterior (13 x 13).

7 8

6

11

5

2

1

10

9

3

4

33 En realidad, estoy usando la letra R para hacer referencia al nmero de rosasRojas que hay, la letraB para remitir al nmero de rosas Blancas que hay y lo mismocon el nmero de rosas Azules, para el que uso la letra A.

cha tambin tiene que ser un nmero par. Como 153 no es un nme-ro par, la nica alternativa que queda es que x sea impar tambin!Es que, como 153 es impar, la nica manera de que al sumarle otro

nmero la suma resulte par, es que ese nmero (en este casox) seaimpar tambin.

Luego, acabamos de llegar a una nueva conclusin:


escribirlos, como si usted se anotara algo en una libreta de apuntes,y pusiera slo las iniciales porque le ahorra energa y no le hace faltaescribir todas las veces lo mismo.

Ahora s, podemos reescribir los datos que tenemos y que apa-recen en pgina 49.



108/118

Luego, acabamos de llegar a una nueva conclusin:

h) x es impar.

Ahora, sumemos los datos que aparecen en b) y e).Se tiene:

(A + B) + (A + R) = 53 + x2A + B + R = 53 + x

2A + (B +R) = 53 + x

y usando el dato a), sabemos que (B+R) = 100.Luego,

2A + 100 = 53 + x

Despejando (o sea, pasando el nmero 53 del lado izquierdo),se tiene:

2A + (100 53) = x

i) 2A + 47 = x

Y este ltimo es un dato muy interesante. Quiero recordar ac

lo que decan los datos f) y h):

j) x < 53

k) x es impar.

a) R + B = 100b) B + A = 53c) A + R < 53 (donde < significa menor que)

Se sabe adems que,

d) haypor lo menos dos rosas de cada color

Llamemosx a la suma de las azules ms las rojas. O sea,

e) A + R = x

Por lo tanto, fjese que, de lo que dicen c) y e) se deduce que

f) x < 53

Tome ahora los datos que aparecen en a), b) y e).

R + B = 100B + A = 53A + R = x

Si sumamos lo que est a la izquierda, tiene que resultar igual a

lo que est a la derecha. O sea:

g) 2R + 2B + 2A = 153 + x

Luego, como el trmino de la izquierda es mltiplo de dos (fje-se que es la suma de tres nmeros pares), entonces el de la dere-



109/118


110/118


111/118

Luego de seis jugadas.


Jugador 1 Jugador 21,2 8,95 12

7 143,4 10,116 13


13 3

4

11


112/118

Y gana el segundo jugador!

ste es slo un ejemplo. Lo invito a que se plantee los suyos ydecida qu hacer en cada caso.

Solucin al problema del partido de tenis

Se jugaron 9games. Pueden suceder dos cosas: o bien sac pri-mero Miranda (a quien voy a llamar M a partir de ahora), en cuyo casosta sera la distribucin:

M R M R M R M R M

o bien sac primero Rosemary (a quien llamar R), producindoseel siguiente esquema:

R M R M R M R M R

En el primer caso, Miranda sac 5 veces y Rosemary, 4. En elsegundo, al revs: Rosemary sac 5 y Miranda, 4.

Consideremos el primer caso (o sea, Miranda sac primero, lo queobliga a que haya sacado 5 veces, y Rosemary sac 4). Vamos a ana-lizar las posibles alternativas, de acuerdo con la cantidad de veces quegan M con su saque.

Luego de las dosprimeras jugadas.

Despus de las cuatroprimeras jugadas.


11

10 614

13 3

12 4

11 5

10 6

7

14

13 3

4

11

10 6

7


113/118


114/118

(donde hemos usado que la suma de los primeros 36 nmeros natu-rales es (36 x 37) / 2. Pero

3 (36 37) / 2 = 3 666 = 1998 (5)

Luego, de las frmulas (2), (3), (4) y (5), se llega a una contra-diccin porque aparecera que


Vamos a suponer entonces que la suma de tres de esos nmerosconsecutivos siempre resulta estrictamente menor que 55, es decir:

x1 + x2 + x3 < 55x

2+ x

3+ x

4< 55

x3

+ x4

+ x5

< 55x + x + x < 55 (1)



115/118

diccin, porque aparecera que

1998 < 1980

Entonces, suponer que es posible hacer una distribucin de losprimeros 36 nmeros en una ruleta y que ninguna terna sume 55 o

ms, lleva a una contradiccin.MORALEJA: no importa qu distribucin se haga de los nmeros,

siempre habr al menos una serie de tres nmeros consecutivos cuyasuma es 55 o ms.

Texto de Nias en la playa

CIERTO DIA DE VERANO ESTABA EN LA PLAYA

OBSERVANDO DOS CHICAS BRINCANDO EN LA ARENA,ESTABAN TRABAJANDO MUCHO, CONSTRUYENDO UNCASTILLO DE ARENA CON TORRES, PASADIZOS OCULTOS YPUENTES. CUANDO ESTABAN ACABANDO VINO UNA OLAQUE DESTRUYO TODO REDUCIENDO EL CASTILLO A UNMONTON DE ARENA Y ESPUMA. PENSE QUE DESPUES DETANTO ESFUERZO LAS CHICAS COMENZARIAN A LLORAR,PERO EN VEZ DE ESO, CORRIERON POR LA PLAYA RIENDO YJUGANDO Y COMENZARON

Matemática Estás Ahí 3,14

Documents

Transcript of Matemática Estás Ahí 3,14