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Ensino Superior: Cálculo: Derivadas de Funções (II) Regras de derivação Regra da cadeia Projeto para um trabalho

Derivadas de ordem superior

Derivadas de funções implícitas Regra de L'Hôpital Fórmula de Taylor

Derivadas (Primeira parte)

Regras de Derivação

Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.

Regras gerais para derivadas de funções

1. Multiplicação por escalar

(kf) '(x) = k f '(x)2. Soma de funções

(f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)3. Diferença de funções

(f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)4. Produto de funções

(f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)5. Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo,

então

Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.

Exercício: Determinar as regras de derivação para as funções:

a. w(x)=f(x)+g(x)+h(x)b. w(x)=f1(x) +...+ fn(x)c. w(x)=f(x) × g(x) × h(x)d. w(x)=f1(x) ×...× fn(x)e. w(x)=f(x) × g(x) ÷ h(x)

Regra da cadeia

As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.

Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:

h '(x) = f '(g(x)) g '(x)

Uma notação muito utilizada é:

[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)

Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:

Dxy = Duy Dxu,    yx = yu ux,    

Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia:

f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x)

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f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99

Derivada da função inversa: Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por:

g '(y) = 1/f '(x)

Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:

1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x)

Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por:

g '(y) = 1/(2x+3)

Derivada de potência de função: Se f(x)=[u(x)]p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então

f '(x) = p [u(x)]p-1 u '(x)

Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]7, definida para x real. Mostrar que a derivada, é dada por:

f '(x) = 14 [sen(2x)]6cos(2x)

Derivadas de função elevada a outra função: Se f(x)=[u(x)]v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, então:

f '(x) = u(x)v(x)[(v(x).u '(x)/u(x)) + v '(x).ln(u(x))]

ou sem a variável x, como:

f ' = uv [v u '/u + v ' ln(u)]

Exemplo: Seja f(x)=xx, definida para x>0. Mostrar que a derivada, é dada por:

f '(x) = xx [1 + ln(x)]

Projeto para um trabalho

1. Construir a circunferência x²+y²=1 e a hipérbole canônica x²–y²=1;

2. Na circunferência, identificar o seno, o cosseno e a tangente;3. Na hipérbole, identificar o seno hiperbólico e o cosseno

hiperbólico;4. Definir o seno hiperbólico, o cosseno hiperbólico e a tangente

hiperbólica em função das funções exponenciais f(x)=exp(x) e g(x)=exp(–x);

5. Apresentar uma série de identidades trigonométricas circulares clássicas;

6. Apresentar uma série de identidades trigonométricas hiperbólicas;

7. Obter as derivadas das funções seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica, comparando os resultados obtidos com as derivadas de seno, cosseno e tangente circulares.

Derivadas de Ordem Superior

Seja f uma função derivável. Se f ' também for derivável, então a derivada de f ' é denominada derivada segunda de f e é representada por f” (f duas linhas). Se f" é uma função derivável, a sua derivada dada por f ' ' ', é denominada derivada terceira de f. A derivada de ordem n dada por f(n) é obtida pela derivada da derivada de ordem n-1 de f. Algumas notações para algumas derivadas de ordem superior:

f(n) = Derivada de ordem n da função ff(o) = Derivada de ordem zero para f

Derivadas de funções Implícitas

As funções abordadas até agora, foram sempre apresentadas na forma explícita y=f(x) em que podemos determinar y em termos de x. Por exemplo, y=f(x)=esen(x) pode ser derivada pelas regras comuns. Muitas vezes, trabalhamos com equações em x e y, como por exemplo:

x² + y² = 1   ou   xy + sen(xy) = 3

onde nem sempre se pode explicitar para a variável y ser definida em função de x. As equações acima, definem relações entre y e x, mas nem sempre se pode definir y como uma única função de x. Assim, poderemos explicitar y na primeira, porém não explicitaremos y na segunda, por ser impossível.

Para x²+y²=1, duas soluções possíveis são:

e obtemos as derivadas pelos processos comuns.

No caso em que temos xy+sen(xy)=3, não é possível extrair o valor de y em função de x e isto nos força a pensar na possibilidade da existência da derivada f ', mesmo que não exista uma função y=f(x).

Construiremos outro processo que nos poupe trabalho. Não trabalharemos agora com a função xy+sen(xy)=3, por ser muito complicada, mas tomaremos a relação: x²+y²=1. Admitindo que existe y=f(x) definida implicitamente com x em algum intervalo real I, tal que f possua derivada neste intervalo, então para cada x em I, poderemos escrever:

x² + f²(x) = 1

Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x, obtemos:

2x + 2 f(x) f '(x) = 0

Temos então uma relação entre x, f e f ', dada por:

f '(x) = –x/f(x)

desde que f(x) seja diferente de zero no ponto sob consideração, assim:

Exercício: Derivar implicitamente a função y=f(x), definida pela relação:

x3y + x²y² + x + y + xy3 = 6

Regra de L'Hôpital

A regra de L'Hôpital apresenta um método geral para levantar indeterminações de limites dos tipos 0/0 ou infinito/infinito. Esse método é dado pelo:

Teorema (L'Hôpital): Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo I=(a,b), exceto possivelmente no ponto a de I. Se para todo x diferente de a em I, a derivada de g não se anula, Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x a, e, além disso

Lim f '(x) = L

x ag '(x)

então, também temos que

Limx a

f(x)

g(x)= L

Exemplo: Para obter o limite

L =Limx 0

sen(x)

x

usamos a Regra de L'Hôpital. Derivamos as funções do numerador e do denominador (não é a derivada do quociente!) e calculamos o novo limite. Dessa forma:

L =Limx 0

sen(x)

x=

Limx 0

cos(x)

1= 1

O teorema acima continua válido para limites laterais e limites no infinito, definindo f e g em intervalos adequados. É válido também se ao invés do número L, o limite for infinito. Quando temos formas indeterminadas, podemos reescrever as mesmas para poder aplicar a Regra de L'Hôpital.

Exemplo: Para obter o limite L=Lim[x.log(x)] quando x 0, podemos escrever este limite na forma de uma fração e usar a Regra de L'Hôpital. Realmente,

L =Limx 0

[x log(x)] =Limx 0

log(x)

1/x=

Limx 0

1/x

-1/x²=

Limx 0

-x = 0

Fórmula de Taylor

A fórmula de Taylor é um método de aproximar uma função por um polinômio algébrico, com um erro que pode ser estimado. Se f é uma função real definida sobre um intervalo (a,b), f admitindo derivadas até a ordem n+1 em x=c de (a,b). O polinômio de Taylor de ordem n associado à função f em x=c, denotado por Pnf, é definido como:

Aqui Pn(c)=f(c). Dado o polinômio de Taylor de grau n de uma função f, o resto Rn f(x) é a diferença entre f=f(x) e Pn f(x), isto é:

Rnf(x) = f(x) - Pnf(x)

Este resto é dado por

Rnf(x) = f(n+1)(z)

(n+1)! (x-c)n+1

sendo que z é um número que está entre x e c. Esta última expressão é a forma de Lagrange para o resto.

Exercício: Obter o polinômio de Taylor de grau 10 da função real definida por f(x)=cos(x), desenvolvido em torno do ponto c=0.

Construída por Sônia F.L.Toffoli e Ulysses SodréAtualizada em 14/out/2004.