MATEMÁTICA BÁSICA · La Lógica examina la validez de los argumentos en términos de su...

MATEMÁTICA BÁSICA -2da Parte-

2018

EQUIPO DOCENTE

Susana Marcipar Claudia Zanabria Marta Nardoni

Gabriela Roldán Cecilia Municoy Cristina Rogiano

Gustavo Cabaña Verónica Valetti Mariel Lovatto

Agustina Huespe Juan Ignacio Suppo (Ayudante alumno)

Lógica

Proposicional

Material Elaborado por:

Susana Marcipar Katz,

Cecilia Municoy

Marta Nardoni

Claudia Zanabria

¿Sabías que..?

Las ciencias se expresan en

lenguaje matemático para

comunicar sus teorías

UNL FCE

Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ciencias Económicas – Matemática Básica

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Lógica : proposiciones y razonamientos / Susana Marcipar Katz, Maria Cecilia Municoy, Marta Nardoni ….[et.al.]. - 1a ed. - Santa Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2015. E-Book. ISBN 978-987-692-055-1 1. Lógica. I. Marcipar Katz, Susana CDD 160

Fecha de catalogación: 10/03/2015


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INTRODUCCIÓN GENERAL

La cátedra de Matemática Básica de la Facultad de Ciencias Económicas de la

Universidad Nacional del Litoral, ha elaborado una colección de textos que abordan los

temas correspondientes a su programa de estudio y están contextualizados al primer año

de las tres carreras de grado: Contador Público Nacional, Licenciatura en

Administración y Licenciatura en Economía. Ellos son:

1- Lógica Proposicional

2- Álgebra Lineal y Aplicaciones

3- Funciones y Modelos Económicos

4- Programación Lineal

5- Argumentación y Problemas en Contextos: Actividades Resueltas

6- Material autorizado para utilizar en situación de examen

Los conceptos temáticos incluidos con sus correspondientes enfoques han sido

intencionalmente seleccionados con el objetivo de promover su comprensión y por lo

tanto su transferencia a la resolución de problemas inherentes a las carreras

mencionadas y a la toma de decisiones.

Considerando que la comunicación es un acto esencial en la sociedad pues a través de

ella es posible manifestar tanto sentimientos, como ideas o información y por lo tanto es

imprescindible en el proceso de enseñanza y aprendizaje, en este primer tomo se aborda

el tema “Lógica” para que a partir de él sea posible incorporar un lenguaje que posibilite

una comunicación clara, precisa y sin ambigüedades. De esta manera se aprenderá tanto

a identificar distintos tipos de enunciados para poder interpretarlos, identificar otros

equivalentes a él, negarlos o simplificarlos como así también a analizar la validez de

distintos tipos de razonamientos o extraer una conclusión de aquellos que no la poseen.

Las competencias logradas a partir del aprendizaje de los conceptos trabajados en este

material posibilitaran el análisis e interpretación de cualquier tipo de texto o discurso ya

sea de contextos científicos como de la vida cotidiana.

Estas páginas junto a los distintos encuentros presenciales y virtuales con docentes que

ofrece la cátedra constituyen el soporte fundamental de acompañamiento en el tránsito

por la primera matemática universitaria.


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Conceptos Centrales

Para favorece su estudio el material se organiza de la siguiente manera:

1- Actividades Introductorias que dan cuenta de la necesidad de aprender los temas

de Lógica.

2- Desarrollo conceptual con actividades resueltas a través de ejemplos y

actividades para que realices.

3- Actividades de Integración de todos los conceptos.

4- Autoevaluación a través de Actividades de Múltiple Opción y Complementarias.

5- Actividades para realizar en el TALLER


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Actividad Introductoria

Como ya se mencionó, un uso muy importante del lenguaje es aquel referido a la

comunicación de información, lo cual se realiza mediante la formulación y la

afirmación o la negación de proposiciones o mostrando razonamientos.

Para poder interpretar una información o analizar un discurso es fundamental la

objetividad, dicha objetividad se logra formalizando el lenguaje, es decir

otorgando al lenguaje una estructura de cálculo.

A continuación te proponemos distintas situaciones comunicativas que debes

interpretar y responder antes y después de conocer los conceptos aportados por la

lógica. Compara tus respuestas en cada uno de estos momentos.

Situación 1:

Después de siete años de relación, y visto que él no se decidía, Elena se armó de

valor y le preguntó a Evaristo si deseaba contraer matrimonio con ella.

Evaristo, profesor de literatura en el instituto y conocido entre sus alumnos por

sus explicaciones enrevesadas, le respondió muy serio: "No estaría mintiendo si te

dijera que no puedo no asegurarte que es imposible negarte que creo que es

verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos".

¿Qué le respondió realmente Evaristo a Elena?

Situación 2:

En un juicio el diálogo entre el fiscal y el abogado es:

fiscal: Si el acusado es culpable entonces tiene un cómplice

abogado: Ese enunciado es FALSO

Determina porque el dicho del abogado hizo que declaren culpable a su defendido

Situación 3:

a) Determinar si los enunciados E1 y E2 son equivalente

E1: Si el beneficio es positivo entonces el ingreso es mayor que el costo

E2: El beneficio no es positivo o el ingreso es mayor que el costo

b) Determinar si uno de los enunciados es la negación del otro

E1: Ningún candidato a presidente es confiable

E2: Todos los candidatos a presidente son confiables


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Situación 4: LÓGICA Y ECONOMÍA

1- Lee el siguiente texto extraído de “Métodos Fundamentales de economía

matemática” de A. Chiang. Equilibrio parcial de mercado.

“…Puesto que sólo se considera una única mercancía, sólo es necesario

incluir tres variables en el modelo: La cantidad demandada de la

mercancía, la cantidad ofrecida de la mercancía y su precio. La

cantidad se mide en kilos por semana y e l precio en dólares. Habiendo

elegido las variables, nuestro próximo paso es hacer ciertas hipótesis a

la vista de cómo se comporta el mercado. Primero, debemos especificar

una condición de equilibrio-algo indispensable en un modelo de

equilibrio-. La hipótesis normal es que se alcanza el equilibrio en el

mercado si y solamente si la demanda excedente es cero, esto es si y

solo si el mercado esta vacío. Pero esto inmediatamente da lugar a la

cuestión de cómo se determinan mercancía demandada y la mercancía

ofrecida. Para responder a esto supongamos que la mercancía

demandada es una función de p lineal decreciente (cuando el precio

aumenta, la cantidad demandada disminuye). Por otro lado, la cantidad

ofrecida se postula como una función de precio lineal creciente (cuando

el precio aumenta, la cantidad ofrecida también), con la condición

provisional de que no se oferta ninguna cantidad amenos de que el

precio exceda de un determinado nivel positivo. Entonces, en total el

modelo contendrá una condición de equilibrio mas dos ecuaciones de

comportamiento que rigen, respectivamente, los lados del mercado de la

demanda y de la oferta”.

2- Te invitamos a que trabajes las próximas páginas de este material para

que puedas realizar las siguientes actividades:

a-Destaca en el texto palabras que identifiquen conectivos lógicos o

cuantificadores.

b-Identifica proposiciones simples y compuestas y luego:

b1) Escribe dos ejemplos de proposiciones compuestas.

b2) Propone dos ejemplos de condicionamientos entre las proposiciones

identificadas.


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1. LÓGICA Y CONJUNTOS

Introducción

En la vida cotidiana pocas veces nos detenemos a reflexionar sobre el lenguaje que

utilizamos y la manera que argumentamos en las discusiones que entablamos.

A veces se producen malos entendidos, sencillamente por efecto de la ambigüedad del

lenguaje.

En cambio, el lenguaje que utiliza la ciencia (técnico o científico), está formalizado con

códigos ya establecidos; sería imposible pensar en el avance de los conocimientos sin

un lenguaje común, claro y sin ambigüedades.

Es necesario entonces, que acordemos con respecto a la precisión del lenguaje a utilizar

y a la simbología a emplear para simplificar enunciados y esquemas de razonamiento; a

esto apunta este primer módulo denominado “Lógica y Conjuntos”.

¿Qué es la Lógica?, ¿Cuál es su significado etimológico?

La Lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de

la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική

(logike), que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a

su vez viene de λόγος (logos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o

principio».

La Lógica examina la validez de los argumentos en términos de su estructura,

(estructura lógica), independientemente del contenido específico del discurso y de la

lengua utilizada en su expresión . Esto es exactamente lo que quiere decir que la lógica

es una ciencia «formal».

Tradicionalmente ha sido considerada como una parte de la filosofía pero en su

desarrollo histórico, a partir del final del siglo XIX, su formalización simbólica ha

mostrado su íntima relación con las matemáticas; de tal forma que algunos la consideran

como Lógica matemática.

La Lógica tiene un lenguaje exacto. Para poder utilizar correctamente este lenguaje

preciso, es necesario conocer un conjunto de reglas que son perfectamente claras,

definidas y están libres de las ambigüedades que pueden hallarse en nuestro lenguaje

corriente.

Al estudiar la lógica simbólica se puede agudizar la percepción personal de validez, la

aptitud de reconocer falacias y la facultad de evaluar argumentos o razonamientos.

1.1 Proposición

En el lenguaje coloquial nos expresamos con diferentes tipos de oraciones como las

siguientes:

a) ¡qué calor! ; ¡cómo llueve! ; ¡qué lindo día! ; ¡qué caro es este producto!

Estas frases son ejemplos de oraciones llamadas "exclamativas".

b) También utilizamos oraciones "interrogativas", por ejemplo cuando preguntamos:

¿qué hora es?; ¿cuántos años cumplís? ; ¿cómo aumenta la demanda de un producto si

el costo disminuye?; ¿Cuál es la variable considerada?; ¿qué resultado se obtuvo?; etc.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_formales

http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Inferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Validez_l%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Griego_antiguo

http://es.wikipedia.org/wiki/Logos

http://es.wikipedia.org/wiki/Palabra

http://es.wikipedia.org/wiki/Pensamiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Idea

http://es.wikipedia.org/wiki/Argumento

http://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio

http://es.wikipedia.org/wiki/Argumento

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura

http://es.wikipedia.org/wiki/Materia

http://es.wikipedia.org/wiki/Discurso

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_oral

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_formales

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_formalizado

http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica


8

c) Además nos expresamos con oraciones llamadas "imperativas" como por ejemplo:

Despiérteme a las ocho; Termina la tarea; Paga los impuestos; Declárate culpable; No

compres más este producto; Responde a la demanda; Llévame los libros; Conduzca más

despacio; No me llames más, etc.

d) También expresamos oraciones en las cuales damos una opinión personal sobre un

tema, un hecho, una persona, etc. Por ejemplo: Ese vestido es precioso, la casa que

construyó el arquitecto es muy bella, el clima no estuvo lindo, etc.

e) Otro tipo de oraciones que utilizamos son las llamadas "declarativas", como ejemplos

mencionamos:

La Luna es satélite de la Tierra.

En el hemisferio sur el verano comienza el 21 de septiembre.

San Martín murió en Francia.

Rosario es la capital de la provincia de Santa Fe.

Los números positivos son mayores que cero.

El voto en Argentina no es obligatorio para los ciudadanos mayores de 70 años.

Las proposiciones son oraciones "declarativas o enunciativas” a las que se le pueden

asignar un valor de verdad, en ellas se afirma o se niega algo y se puede establecer si

son verdaderas o falsas justificando dichos valores por medio de un argumento dado

desde una ciencia.

En los ejemplos anteriores del ítem e), la primera oración declarativa es verdadera, la

segunda es falsa, la tercera es verdadera, la cuarta es falsa y las dos últimas son

verdaderas.

En cambio no podemos decir si son verdaderas o falsas las oraciones exclamativas,

interrogativas, imperativas ni aquellas en las cuales manifestamos una opinión personal.

Por lo tanto, no siempre es posible establecer el valor de verdad de una oración. En

aquellos casos en que podemos establecer si una oración es verdadera o falsa, a estas

oraciones las denominaremos proposición.

Por ello entendemos que:

Una Proposición es una oración declarativa cuyo valor de verdad puede ser o

verdadero o falso.

Decir que una proposición es verdadera equivale a indicar que su valor de verdad es

VERDADERO, y esto se indica abreviadamente con V.

Análogamente, si la proposición es falsa equivale a que su valor de verdad es FALSO,

lo que se anota abreviadamente con F.

Trabajaremos con proposiciones que tengan como valor de verdad uno y sólo uno de

los valores: o V o F. O sea, ninguna proposición puede tener simultáneamente ambos

valores de verdad.

Ejemplos de proposiciones

a) 7 es mayor que 23 (F)


9

b) 8 es un número par (V)

c) Los gastos de la empresa EPE son iguales que sus ingresos en el ejercicio del año

2000. (Para indicar su valor de verdad miramos el balance y determinamos si la

proposición es V o F)

d) Estocolmo es capital de Suecia (V)

e) Jorge Luis Borges recibió el premio Nobel en Literatura (F)

f) El 25 de mayo de 1810, en Buenos Aires fue un día de pleno sol (F)

Ejemplos de oraciones que no son proposiciones

a) 3 + x = 7

No podemos determinar su valor de verdad porque no conocemos el valor de la

incógnita x, si “x” toma el valor 4 la igualdad es verdadera pero si “x” tiene otro valor la

igualdad es falsa, por ello dicha expresión no es una proposición.

b) y es un número par.

No podemos determinar su valor de verdad pues dependerá del valor que asuma “y”, es

decir que la expresión no es una proposición.

c) La melodía que ha interpretado la cantante es muy bella y reconforta el espíritu.

Esta oración declarativa no es una proposición pues en ella se formula una opinión

personal; para ciertas personas puede resultar una bella melodía y para otras puede que

no sea de su agrado y no sea bella.

Notación

Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas: p, q, r, s, t, etc. que llamaremos

variables proposicionales.

Una variable proposicional “p”, caracteriza a cualquier proposición pero en un

determinado párrafo, una vez que asignamos esa variable a una proposición

determinada, en ese párrafo esa proposición será siempre simbolizada por la misma

variable y viceversa.

Actividad N1

1. Identifica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones e indica cuál es su

valor de verdad.

a) 7 es número par b) Un rectángulo es un cuadrado

c) 6 = 5+3 d) Viernes 11 de febrero

e) Los caballos vuelan f) 7 < 9

g) Los números enteros h) El sol gira alrededor de la Tierra

i) El cero no es i) El cero es un número racional j) El cuadrado es una figura plana

k) El profesor está sentado l) El cuadrado es un rectángulo

m) Preste atención n) El número pi es un número irracional


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1.2 Funciones proposicionales

En matemática es muy común utilizar expresiones tales como:

3 + x = 7; y es un número par; 9 es mayor que z; etc.

Hemos dicho que tales expresiones no son proposiciones puesto que no se le puede

asignar un valor de verdad.

Observamos que en todas ellas aparece una variable “x”, “y”, “z”, es decir

símbolos que se pueden sustituir por cualquier elemento del conjunto al

cual pertenecen.

Por ejemplo, en el caso de la expresión 3 + x = 7, la variable “x” se puede

sustituir por cualquier número real, teniendo en cuenta que siempre se

considera como conjunto Universal al más amplio posible (si no se aclara

lo contrario).

Si sustituimos la variable “x” por el valor 3/4 resulta: 3+ 3/4 = 7 y puedes

observar que la expresión se transformó en una proposición FALSA.

Si se sustituye la variable “x” por el valor 4, la expresión se la trasforma 3

+ 4 = 7, que es una proposición VERDADERA

Definimos función proposicional de la siguiente manera:

Una función proposicional en una variable es una expresión que contiene una variable y

que se convierte en una proposición cuando se sustituye esta variable por un elemento

del conjunto al cual pertenece.

Observación: Si en la función proposicional la variable interviene más de una vez, se

debe sustituir por el mismo elemento del conjunto universal, tantas veces como

intervenga.

Ejemplos:

1. Sea la función proposicional: 3x + 2 + x2 = 0

Si sustituimos la variable x por el elemento “-1” resulta:

3(-1) + 2 + (-1)2 = 0 entonces -3 + 3 = 0 Proposición Verdadera

Si sustituimos x por “0” resulta:

3.0 + 2 + 02 = 0 entonces 2 = 0 Proposición Falsa

El conjunto Universal

depende de la

disciplina en estudio,

se fija de antemano, y

está formado por

todos los elementos

que intervienen en el

tema de interés.

En general se denota

con la letra U.


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2. Sea la función proposicional: x es científico.

Considerando como conjunto Universal a todos los habitantes de la

Tierra, podemos elegir a Diego Maradona y sustituir el sujeto

variable "x" por este elemento del Universal, resultando la

proposición: "Diego Maradona es científico", proposición Falsa.

En cambio si sustituimos al sujeto variable “x” por “Hugo

Maccioni”, “Hugo Luan”, “Miguel Basombrío” y “Ana Belén

Elgoyhen” (científicos argentinos), las proposiciones:

Hugo Maccioni es científico

Hugo Luan es científico

Miguel Basombrío es científico

Ana Belén Elgoyhen es científico

resultan verdaderas.

3. Si consideramos la función proposicional: z es cantante de rock nacional, y como

conjunto Universal a todos los cantantes de cualquier género, vemos que, si

reemplazamos z en la función proposicional por León Gieco, Soledad Pastorutti, Charly

García y Laura Pausini, obtenemos las siguientes proposiciones:

León Gieco es cantante de rock nacional

Soledad Pastorutti es cantante de rock nacional

Charly García es cantante de rock nacional

Laura Pausini es cantante de rock nacional

cuyos valores de verdad son respectivamente V, F, V y F.

Notación

Representaremos las funciones proposicionales por símbolos tales como Px, Ry, en los

que el subíndice indica la variable y las mayúsculas P; R; etc. señalan la propiedad o

condición que se le atribuye a la variable.

La expresión Px se lee: “la variable x satisface (o cumple) la propiedad (o condición) P”.

Ejemplos:

Px : x es número par

Ex : 3x + 5 = -2

Cz : z es cantante de rock nacional

Nota

Simplificaremos nuestro estudio considerando sólo funciones proposicionales de una

variable, aunque se presentan frecuentemente de varias variables. Por ejemplo:

x es mayor que y ; 2x + 4

1y = 7xy ; etc.

Si no se especifica el

conjunto Universal

cuando trabajamos

con números, se debe

considerar como

Universal al conjunto

de los números reales

R.


12

Actividad N2

1. Para las siguientes Funciones Proposicionales, considera como conjunto Universal al

conjunto de números Enteros.

Encuentra para cada una, el conjunto de elementos que las transforman en proposición

verdadera.

a) Px: x + 5 = -3 b) Qx: x > 2 c) Rx: 2x + 1 = x

d) Sx: 2x + 3 > 6 e) Tx: 01x2 f) Ux: x(x – 1)(x + 2) = 0

1.3 Funciones proposicionales y conjuntos

En los conjuntos definidos por comprensión se da la propiedad que caracteriza a sus

elementos, en este tipo de definición se utilizan funciones proposicionales.

Por ejemplo: B = {x / x es vocal}; A = {x / x es menor que 0}

Los conjuntos B y A están dados por comprensión y en ellos se utilizan,

respectivamente, las funciones proposicionales “x es vocal” y “x es menor que 0”; las

que podemos simbolizar:

Vx: x es vocal y Mx: x es menor que 0

Para el conjunto B se considera como conjunto Universal al formado por todas las letras

de nuestro alfabeto, es decir que la variable “x” puede ser cualquiera de dichas letras,

pero solamente serán elementos del conjunto B las que transformen a la función

proposicional en una proposición verdadera.

El conjunto Universal del conjunto A es el conjunto de los reales, los elementos del

conjunto A son los números reales que verifican Mx, por lo tanto los números reales

negativos son los elementos que pertenecen al conjunto A.

Para saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado por comprensión, se

sustituye la variable (en la función proposicional) por dicho elemento y se analiza el

valor de verdad de la proposición obtenida, si es verdadera entonces ese elemento

pertenece al conjunto y si es falsa no pertenece al conjunto.

Así en el conjunto: B = {x / x es vocal} para saber si “r” pertenece a B, lo cual se

indica: r B, se sustituye la variable “x” por la constante “r” en la función

proposicional Vx resultando:

“r es vocal”

una proposición falsa; luego, r no pertenece al conjunto B y se simboliza: r B

¿”i” es elemento de B? Para responder correctamente reemplazamos la variable “x” por

la vocal “i” en Vx resultando:

“i es vocal”

una proposición verdadera, por lo tanto i B.

De lo anterior podemos generalizar diciendo que:


13

Los conjuntos dados por comprensión quedan caracterizados mediante una función

proposicional. Por otra parte dada una función proporcional Px queda determinado un

conjunto A = {x / Px} formado por los elementos que satisfacen o cumplen con la

propiedad o condición enunciada en la función proposicional.

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {x / x es un número entero}

Los elementos que pertenecen al conjunto A son los que cumplen la condición de ser

números enteros, por otro lado si se parte de la función proposicional Px : x es número

entero, es posible formar un conjunto con todos los valores de x que la transforman en

proposición verdadera y dicho conjunto será igual al conjunto A de nuestro ejemplo.

Nota

Los siguientes conceptos referidos a conjuntos podrás aplicarlos para resolver la

actividad 3.

Un conjunto se expresa por extensión cuando se nombran todos y cada uno de

los elementos que pertenecen a él.

Diremos que el conjunto A está incluido en el conjunto B (A B) si y solo si

todo elemento que pertenece a A también pertenece a B. También decimos que

el conjunto A es subconjunto de B.

Todo conjunto está incluido en sí mismo.

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A B y B A si y sólo si todos

sus elementos son iguales.

Todo conjunto es igual a si mismo.

En símbolos: A = B se lee: A es igual a B.

Además: A B se lee: A es distinto de B.

Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

Actividad N3

1. Expresa por extensión los siguientes conjuntos, considerando como conjunto

Universal el conjunto de números Enteros.

A = {x / x + 5 = -3} B = {x / x >2} C = {x / 2x + 1 = x}

2. Expresa por extensión a los siguientes conjuntos, considerando como conjunto

Universal, el conjunto de números Naturales.

A = {x / x + 5 = -3} B = {x / x > 2} C = {x / 2x + 1 = x}

3. Observa los resultados obtenidos en los items 1 y 2 e identifica la causa que provoca

los distintos resultados y expresa una conclusión.

4. Utiliza funciones proposicionales para expresar por comprensión a los siguientes

conjuntos.


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A = {2, 3, 4....} B = {1, 2, 3, 4} C = {3, 6, 9}

En los ítems 5 y 6 elige la opción correcta:

5. El conjunto A = {x / x es vocal}, es igual a:

a) {a, e, i} b) {a, e, i, o, u, c, t} c) {x} d) Ninguna de las anteriores

6. El conjunto A = {x / x es vocal}, es un conjunto incluido en:

a) {a, e, i} b) {a, e, i, o, u, c, t} c) {x} d)Ninguno de las anteriores

7. Dado A = {1, 2, 3}, expresa todos los subconjuntos de A.

8. Completa con o según corresponda

a) (2, 5) ………… [2, 7] b) R+ ………… (-1 , +) c) R- …… (- , -1)

d) R+ – {3} ………R+ e) R – {-5} …… R – {1} f) [-1 , 3) … R – {2}

g) R–{3,-2}…R–{0, 1/2} h) (-, 3) …..(-, 2,9) i) [-1, 1] …..R–{–1, 1}

9. En los ítems de la actividad 8 donde completaste con “”, restringe el conjunto del

lado izquierdo para que se dé la inclusión.

Nota:

Cuando se restringe un conjunto se elige, dentro de la restricción, el más amplio posible.

Ejemplo: R – {4} R – {-2}

Para que el conjunto R – {4} esté incluido en el conjunto R – {-2} se debe cumplir que

todos los elementos de R – {4} pertenezcan al conjunto R – {-2}, lo cual no ocurre pues

–2 R – {4} y -2 R – {-2}. Entonces sacamos del conjunto R – {4} el elemento –2

y así se da la inclusión:

R – {-2 , 4} R – {-2}

Luego, del conjunto R – {4} la restricción más amplia es R – {-2 , 4} para que esté

incluido en el conjunto R – {-2}.

En los ítems 10 y 11 elige la opción correcta.

10. El conjunto (-4 , +) – {0} está incluido en:

a) R+ b) [-4 , +) c) (-4 , +) – {3} d) N. A.

11. Para que el conjunto A = R – {6} sea un subconjunto de B = R – {-3 , 7} ,

el conjunto A restringido debe ser:

a) R – {-3 , 7} b) R – {-3 , 6} c) R – {-3 , 6 , 7} d) N. A.

12. Expresa tres subconjuntos del conjunto A = (-2 , 7) – {0}

1.4 Proposiciones simples y compuestas

Las proposiciones simples no pueden descomponerse o subdividirse en partes más

simples, algunos de los ejemplos citados son proposiciones simples, por ejemplo:

p: 7 es número par q: Un rectángulo es un cuadrado

r: 6 = 5+3 s: Un ángulo es una región del plano

N. A. significa

ninguna de las

anteriores.


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Sin embargo, muchos de los enunciados que se utilizan normalmente son proposiciones

compuestas que están formados por proposiciones simples unidas por conectivos o

nexos.

Veamos algunos ejemplos que ilustran cómo se conforman las proposiciones

compuestas.

Consideremos las siguientes proposiciones simples:

p: 4 es par q: 7 es mayor que 10 (p es V y q es F)

Algunos de los Conectivos que vamos a considerar son: “y” ; “o” ; “si ... entonces”

Según el conectivo que se utilice resultan las Proposiciones compuestas:

4 es par y 7 es mayor que 10

4 es par o 7 es mayor que 10

Si 4 es par entonces 7 es mayor que 10

El valor de verdad de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de

las proposiciones simples y del conectivo que las vincula.

Según el conectivo que se utiliza, la proposición compuesta recibe un nombre

determinado y a continuación enumeramos los conectivos que estudiaremos en el

presente curso.

Conectivo Símbolo Nombre de la proposición compuesta

y conjunción

o disyunción

si ... entonces condicional

si y solo si doble condicional

El símbolo (o también ) escrito delante de una proposición niega el valor de verdad

de esta. La negación no es un conectivo, pues no es un nexo entre dos proposiciones

simples, pero se la considera como conectivo monádico, es decir, afecta a una

proposición y su análisis resulta importante ya que tiene su vinculación con una

operación de conjuntos (el complemento), como veremos oportunamente.

Cuando se combinan variables proposicionales y conectivos decimos que se obtiene una

forma proposicional.

Ejemplo:

4 es par y 7 es mayor que 10 es una forma proposicional obtenida por la conjunción de

dos proposiciones simples.


16

Actividad N4

1. Identifica el nombre de las siguientes proposiciones compuestas

a) Un triángulo es rectángulo si y sólo si tiene un ángulo recto.

b) Si un triángulo tiene un ángulo obtuso, se llama obtusángulo.

c) Tres no es un número par.

d) Rindo Matemática y Contabilidad.

e) Con $10 compro un cuaderno o una cartuchera.

f) No es cierto que, hoy estudie Matemática y Contabilidad.

g) Si 8 es un número par entonces es múltiplo de 2 y divisible por 2.

Observación

En las proposiciones compuestas pueden aparecer más de dos proposiciones simples

unidas por varios conectivos. El orden de precedencia de los conectivos está dado por

los símbolos de separación en la oración.

1.5 Conectivos lógicos y tablas de verdad

Hemos visto que al utilizar conectivos con proposiciones se obtienen proposiciones

compuestas, también se dice que estamos “operando” con proposiciones.

El valor de verdad de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de

las proposiciones simples y del conectivo que las vincula.

Una proposición simple puede ser V o F.

Si hay dos proposiciones “p” y “q”, puede ocurrir que ambas sean verdaderas; o bien la primera

verdadera y la segunda falsa; o la primera falsa y verdadera la segunda o ambas falsas, es decir:

p q

V V

V F

F V

F F

Esta tabla muestra todos los posibles valores de verdad que pueden tener dos

proposiciones cualesquiera.

Si son dos proposiciones las que se vinculan, hay 4 posibilidades y la tabla tiene 4

renglones o filas; si son tres las proposiciones, son 8 las posibilidades distintas que se

deben considerar y la tabla tiene 8 filas; en general si se vinculan “n” proposiciones

habrá 2n posibilidades distintas y por lo tanto la tabla tendrá 2n filas.

En cada una de estas posibilidades, en cada fila, se obtendrá un valor de verdad según el

conectivo que las vincule.


17

Actividad N5

1. Presenta las 8 posibilidades para vincular las proposiciones simples p, q, r.

A continuación se tratan algunas proposiciones compuestas y se analizan sus Tablas de

Valor o Tablas de Verdad.

En una Tabla de valor o Tabla de verdad se expresa, fila a fila todas las posibles

combinaciones de los valores de verdad de cada una de las proposiciones que

intervienen y en una última columna se observa (fila a fila) el correspondiente valor de

la proposición compuesta.

Nota: El comportamiento de una función proposicional Px es análogo al de las

proposiciones, por cuanto la forma en que se llega de una función proposicional a una

proposición es especificando “x” por un determinado valor.

En lo que sigue se utiliza con frecuencia esta idea de modo tal que, si bien las

operaciones se definen con proposiciones, muchas veces aparecen ejemplificadas con

funciones proposicionales.

1.5.1 Negación

Dada una proposición p, por ejemplo, p: La tierra gira alrededor del sol, es posible

formar su negación, la que simbolizamos con ~ p, o p o también p y se lee “no p”

Luego, ~ p: No es cierto que la tierra gira alrededor del sol.

También podemos expresar ~ p: La tierra no gira alrededor del sol

Evidentemente de la verdad de p se deduce que ~ p es falso; asimismo la falsedad de p

significa que ~ p es verdadero.

La tabla de valor de la negación es:

p ~p

V F

F V

Como veremos más adelante, el proceso de negación de proposiciones compuestas

requiere de mucho cuidado; por el momento consideramos sólo el caso en que “p” es

una proposición simple y que su negación requiere colocar la palabra “no” en el lugar

adecuado.

Ejemplos:

p: 3 es un número par (F) ~p: 3 no es un número par (V)

q: Un ángulo recto mide 90° (V) ~q: Un ángulo recto no mide 90° (F)


18

1.5.2 Vinculación entre la negación y el complemento de un conjunto

Consideremos como conjunto Universal el conjunto de los números Enteros, y

determinemos un conjunto A incluido en dicho Universal como ser A = {x / x es par},

o bien si consideramos la función proposicional que Px: “x es par”, resulta: A = {x / Px}

Gráficamente:

Observemos que los elementos que no pertenecen al conjunto A se encuentran en la

zona sombreada en el siguiente gráfico:

A

Dichos elementos forman otro conjunto, también incluido en el Universal, es el

denominado complemento de A.

Al complemento de A lo simbolizaremos: A

El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos que

NO pertenecen al conjunto A.

En nuestro ejemplo resulta: A = {x / x no es par} = {x / ~ Px}

Se puede observar la vinculación entre la operación “negación” y “complemento”, dicha

relación nos permite expresar a la definición del complemento de un conjunto A en

términos de una negación:

Sea A U

El complemento de A respecto de U es:

A = {x / x A} o bien A = {x / ~ Px} o bien A = {x / ~ (x A)}

Actividad N6

1. Construye la tabla de la doble negación ~ (~p)

2. Verifica con Diagramas de Venn la siguiente igualdad: A = A

3. a) ¿A qué es igual el complemento del conjunto Universal?

b) ¿A qué es igual el complemento del conjunto vacío?

U

A

A U


19

1.5.3 Conjunción

Dos proposiciones simples unidas por el conectivo “y” constituyen una proposición

compuesta llamada conjunción.

Ejemplo: Dadas las proposiciones:

p: “París es la capital de Francia”

q: “El francés es el idioma oficial de Francia”

La conjunción es:

“París es la capital de Francia y el francés es el idioma oficial de Francia”

Se utiliza como símbolo del conectivo “y” a:

La conjunción queda expresada simbólicamente: p q

Intuitivamente, la verdad de una conjunción ocurre cuando las dos proposiciones

simples son verdaderas, como en el ejemplo anterior. Del mismo modo, se supone

intuitivamente que una conjunción es falsa si lo es alguna de las proposiciones simples

que la componen.

En la siguiente tabla de verdad o tabla de valor, se expresa formalmente fila a fila todas

las posibles combinaciones de los valores de verdad de cada una de las proposiciones

que intervienen y el correspondiente valor de la proposición compuesta.

Tabla de valor de la conjunción

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Observa que una proposición tiene asignado un valor de verdad, pero una forma

proposicional tiene asociada una tabla de verdad.

Cuando se conoce el valor de verdad de cada una de las proposiciones que intervienen

en la forma proposicional entonces se identifica la fila correspondiente de su tabla y en

ese caso se puede decir si la forma proposicional es verdadera o falsa.

Ejemplos:

1. Sea la conjunción: 4 es impar y 2 es par.

Si llamamos p: 4 es impar y q: 2 es par, obtenemos la Forma proposicional: p q

Valor de verdad de cada proposición: p es F y q es V

Valor de la conjunción: F

2. Sea la conjunción: La Facultad de Ciencias Económicas depende de la UNL y se

encuentra ubicada en la ciudad de Santa Fe.

Si llamamos


20

p: La Facultad de Ciencias Económicas depende de la UNL y q: La Facultad de

Ciencias Económicas se encuentra ubicada en la ciudad de Santa Fe obtenemos la

forma proposicional: p q

Valor de verdad de cada proposición: p es V y q es V

Valor de la conjunción: V

Actividad N7

1. Para cada una de las siguientes proposiciones, expresa su forma proposicional en

forma simbólica e indica el valor de verdad correspondiente.

a) Buenos Aires es la capital de Argentina y Río de Janeiro la capital de Brasil.

b) San Martín murió en Francia y 4 es número par.

c) Tres es un número par y cuatro impar.

2. Expresa dos ejemplos de sustitución de las variables p y q, tales que verifiquen que la

forma proposicional p q sea verdadera.

3. Construye las tablas de valor de las siguientes formas proposicionales:

a) (p q) r b) p (q r) c) ¿Qué puedes concluir?

4. Analiza el valor de verdad de la proposición p p q

1.5.4 Vinculación entre la conjunción y la intersección de conjuntos

Sea el conjunto A = {x / x es argentino y abogado}, observamos que los elementos de

este conjunto están caracterizados por dos funciones proposicionales: “x es argentino”

y “x es abogado”.

Para que un elemento pertenezca al conjunto A deberá transformar a las dos funciones

proposicionales en proposiciones verdaderas, según observamos de la tabla de la

conjunción.

Es decir que, por ejemplo Juan Pérez pertenece al conjunto A si es una persona recibida

de abogado y de nacionalidad argentino.

Si cumple con una sola de las dos condiciones no pertenece a A, es el caso análogo a la

2da. y 3ra. fila de la tabla de la conjunción; por otra parte la 4ta. fila de la tabla,

corresponde al caso en que Juan Pérez no sea ni argentino ni abogado en cuyo caso

tampoco Juan Pérez es elemento de A.

Analicemos este ejemplo utilizando diagramas de Venn identificando dos conjuntos,

(los surgidos de cada función proposicional) a saber:

P = {x / x es argentino} ; B = {x / x es abogado}.

Ambos conjuntos incluidos en el Universal U = {x / x es ser humano}

También podemos expresar los conjuntos P y B utilizando la simbología de función

proposicional, de la siguiente manera: P = {x / Nx} siendo Nx: x es argentino

Es decir que al conjunto P pertenecen las personas que cumplan la condición de ser

argentinos.


21

B = {x / Cx} siendo Cx: x es abogado; es decir que el conjunto B está formado por los

seres humanos que sean abogados.

Así al conjunto A de nuestro ejemplo, A = {x / x es argentino y abogado}, lo ubicamos

gráficamente en la zona correspondiente a los elementos que satisfacen

simultáneamente las propiedades Nx y Cx.

Es decir, la zona rayada del siguiente gráfico:

Veamos que el conjunto A, caracterizado por una conjunción, es el conjunto que resulta

de la INTERSECCIÓN de los conjuntos P con B.

De acuerdo a lo anterior podemos observar la relación que guarda la intersección de

conjuntos con la conjunción, relación que nos permite expresar la definición de

intersección de dos conjuntos en términos de una conjunción, es decir:

P B = {x / x P x B} o bien P B = {x / Nx Cx}

Actividad N8

1. Halla la intersección entre los siguientes conjuntos:

a) {1, 2, 3, 4} {-2, -1, 0, 1,2} b) N Z

c){2/3, 0, -4, -5/7} Q d) (-2 , 5] R

e) R+ (-2 , 5] f) R- R+

g) (- , 3] (-1, 5) h) R – {2 , 7} R+

2. Completa según corresponda:

a) A = ...... b) U = ...... c) U A = ......

d) A A = ....... e) (A U) = ……… f) U (A ) = ………

3. Define dos conjuntos A y B tales que verifiquen:

a) A B = (-4 , 5] b) A B = R+ - {1}

En los ítems 4 a 7, elige la o las opciones correctas:

4. Si se resuelve la intersección entre los conjuntos A = R – {2/3} y B = R+ - {5}

su resultado es:

P

A B

U


22

a) R+ – {2/3, 5} b) R – {2/3, 5} c) (2/3, +) d) N. A.

5. Los valores de x que satisfacen simultáneamente las desigualdades

3x + 1 > 0 2x < 1 pertenecen al conjunto:

a) (1 , +) b) (-1/3 ,1/2) c) (0 , 1/2) d) N. A.

6.a) ¿Qué conjunto se obtiene al hallar el complemento de la intersección de un

conjunto A con el universal?

b) ¿Qué conjunto se obtiene al hallar la intersección del complemento de un conjunto A

con el universal?

1.5.5 Disyunción

Dos proposiciones simples unidas por el conectivo “o” constituye una proposición

compuesta llamada disyunción o disjunción.

Ejemplo:

Dadas las proposiciones p: “París es la capital de Francia” y q: “El Francés es el idioma

oficial de Francia”

La disyunción es:

“París es la capital de Francia o el Francés es el idioma oficial de Francia”

El símbolo del conectivo “o” es:

La forma proposicional de la disyunción es: p q

Intuitivamente, la verdad de una disyunción ocurre cuando alguna de las dos

proposiciones simples o ambas son verdaderas.

Del mismo modo se supone intuitivamente que, una disyunción es falsa si son falsas

todas las proposiciones simples que la componen.

La tabla de verdad o tabla de valor de la disyunción se expresa formalmente así:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

1.5.6 Vinculación entre la disyunción y la unión de conjuntos

Sea el conjunto: A = {x / x es argentino o abogado}, observamos que los elementos de

este conjunto están caracterizados por dos funciones proposicionales “x es argentino”,

“x es abogado”.

Para que un elemento pertenezca al conjunto A deberá satisfacer al menos una de las

siguientes condiciones:

* Ser argentino pero no abogado.

* No ser argentino y ser abogado.

* Ser argentino y abogado.


23

El único caso en que una persona no pertenece al conjunto A es si no es abogado y no

tiene nacionalidad argentina.

Analicemos este ejemplo utilizando diagramas de Venn identificando los dos conjuntos

ya dados en páginas anteriores, a saber:

P = {x / x es argentino} = {x / Nx}; B = {x / x es abogado} = {x / Cx}

Siendo: U = {x / x es ser humano}, es decir que P U y también B U.

Observemos al conjunto A = {x / x es argentino o abogado} representado gráficamente

en el siguiente diagrama por la zona rayada:

La zona rayada representa la UNIÓN de los conjuntos P y B.

De acuerdo a lo anterior podemos observar la relación que guarda la unión de conjuntos

con la disyunción, relación que nos permite expresar a la definición de unión de dos

conjuntos en términos de una disyunción, es decir:

P B = {x / x P x B} o bien P B = {x / Nx Cx}

Actividad N9

1. Halla la unión entre los siguientes conjuntos:

a) {-1, 2, 5} {-3, 7}= b) {-2, 5/3, 4, 9} {5/3, -2/5}=

c) Z Q = d) (-4 , 3) R =

e) R+ (-1 , 3] = f) R- R+ =

g) (- , 3] (-1 , 5) = h) R – {-3 , 5} R+ =

2. Completa según corresponda:

a) A = ...... b) U = ...... c) A ...... = A d) U A = .......

3. Construye la tabla de las siguientes formas proposicionales:

a) pqp b) ~ (p q)

c) p (q ~p) d) p (q ~p)

4. Analiza el valor de verdad de la proposición p p q

5. Si p es falsa, ¿cuál es el valor de verdad de p (q r)

U

P B


24

6. Siendo p una proposición falsa, q una proposición verdadera y r una proposición que

puede ser verdadera o falsa. Si es posible, encuentra el valor de verdad de las

proposiciones compuestas dadas a continuación:

a) ( p q) b) p q c) (r q) (r q)

d) ( p q) e) (p q) (r q) f) [(p q)r]

1.5.7 Condicional

De todos los conectivos que hemos visto, éste es el que requiere un tratamiento especial

ya que tanto en Matemática, en Economía como en otras ciencias es muy frecuente su

uso, por lo que resulta importante tener un buen manejo del mismo.

Observemos que en nuestra vida cotidiana es frecuente expresar frases construidas con

el condicional, por ejemplo,

1) Si bebes alcohol entonces no debes conducir.

2) Si el semáforo está en rojo entonces los autos deben detenerse.

3) Es necesario haber finalizado el ciclo secundario para poder ingresar a la

Universidad.

4) Usted podría donar sangre SI:

Acude con su documento de identidad.

Tiene más de 18 años y menos de 65.

Goza de buena salud

Pesa más de 55 Kg.

No ha tomado alcohol en las últimas 12 horas.

No está embarazada.

No ha tenido hepatitis después de los 12 años de edad.

Han transcurrido más de 3 meses desde su última donación.

Analicemos un ejemplo

Ejemplo:

Dadas las proposiciones p: El semáforo está en rojo y q: los autos deben detenerse

podemos construir el condicional: “Si el semáforo está en rojo entonces los autos

deben detenerse”

El símbolo del conectivo “si .... entonces” es

El condicional queda expresado simbólicamente así: p q y se lee:

“Si p entonces q” o “p implica q” o “ si p, q” donde la proposición p recibe el nombre

de antecedente o premisa y la proposición q recibe el nombre de consecuente o

conclusión de la implicación.

Intuitivamente, el condicional indica un compromiso tal que si ocurre que si el semáforo

está en rojo los autos deben detenerse. Es decir, si el antecedente es verdadero el

consecuente también lo debe ser para que el condicional resulte verdadero.

p q p q

V V V


25

Si ocurre que el antecedente es verdadero (en nuestro caso: el semáforo está en rojo) y

el consecuente es falso (los autos no se detienen), evidentemente los conductores de los

autos no cumplen con la ley; la acción resulta falsa y el condicional es falso.

La tabla de verdad es:

p q p q

V F F

Falta considerar los casos en los que el antecedente es falso.

Si no ocurre el antecedente es decir, el semáforo no está en rojo, no hay obligación de

que los autos se detengan, estos pueden detenerse o no por algún otro motivo. El

condicional me compromete solo si ocurre el antecedente, pero si éste es falso no se

dice cómo se va a actuar, por ello cuando el antecedente es falso no interesa el

consecuente pues en ningún caso se puede considerar como una mentira al compromiso

establecido y por ello el condicional será verdadero (no mentiroso).

Formalizando estas ideas, resulta la siguiente tabla:

Tabla de verdad del condicional

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Un condicional es falso únicamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es

falso, en todos los demás casos es verdadero.

Para pensar: Al utilizar condicionales en nuestros discursos, tenemos menos posibilidad

de ser mentirosos, ¿será por eso que los economistas lo utilizan tanto?, por ejemplo

dicen “Si el PBI aumenta entonces el gobierno hará.....”, “Si la recaudación impositiva

es de ......, entonces se podrá .....”, de esta manera no dicen lo que harán, no se

comprometen, en caso de que el antecedente no se cumpla pueden hacer lo que quieran

y nunca son mentirosos.

Actividad N10

1. Construye las tablas de verdad de las siguientes formas proposicionales:

a) r t y t r (compara los resultados) b) ~ (p q) c) ~ (p q) ~p

El siguiente ítem se puede resolver sin hacer la tabla de valor pues se conoce el valor de

cada proposición.


26

2. Sabiendo que p es V, q es F y r es V, halla el valor de verdad de cada una de las

siguientes formas proposicionales:

a) (r p) q c) [p (q ~p)] r

b) (~p r) (q ~p) d) [(q ~p) r] q

3. Clasifica como verdadero o falso a cada condicional. V representa una proposición

verdadera y F una proposición falsa.

a) F ( 4 = 3) b) V (4 < 2) c) (6 = 6) F

d) F ( 3= 3) e) (4 = 11 – 7) (3 > 0) f) (42 ≠ 16) (4 + 4 = 8)

4. Establece el valor de verdad de cada proposición.

a) Si el antecedente de una proposición condicional es falso la proposición condicional

es verdadera.

b) Si el consecuente de una proposición condicional es verdadero la proposición

condicional es verdadera.

c) Si q es verdadera entonces (p q) q es verdadera.

d) Si p es verdadera entonces p (q r) es falsa.

e) Si p es verdadera y q es falsa, el condicional p q es verdadera.

5. Justifica por qué si la proposición p es verdadera, la proposición [r (p s](p q)

es verdadera.

1.5.8 Doble condicional o Bicondicional

Sean “p” y “q” proposiciones simples. La equivalencia, bicondicional o doble

condicional de dos proposiciones p y q es una nueva proposición que denotamos pq y

leemos “p es equivalente a q” o “p si y solo si q”.

En Matemática, el bicondicional p q se lee de varias maneras, todas las cuales tienen

el mismo significado:

1) p si y solo si q 2) q si y solo si p

3) Si p entonces q y recíprocamente 4) Si q entonces p y recíprocamente

La equivalencia pq es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Así un bicondicional es verdadero cuando el antecedente y el consecuente tienen el

mismo valor de verdad.


27

1.6 Equivalencia lógica

Dos proposiciones simples son equivalentes si tienen igual valor de verdad.

En general, pensando en proposiciones que pueden ser compuestas enunciamos:

Dos formas proposicionales son equivalentes si tienen la misma tabla de valor.

Para indicar que dos proposiciones o formas proposicionales son equivalentes se utiliza

el símbolo

Ejemplo:

p p se lee: “p es equivalente a p”.

Una manera de verificar que dos formas proposicionales son equivalentes es realizar las

tablas de verdad y observar que sean idénticas.

Ejemplo:

Verifica que p q es equivalente lógicamente a ~p q

Construimos sus respectivas tablas:

p q p q ~p ~p q

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

Como vemos la columna 3 de la tabla es idéntica a la columna 5 y así verificamos la

equivalencia dada.

Luego, en forma simbólica escribimos

p q ~p q

Se lee: p q es equivalente lógicamente a ~p q

Si relacionamos por un bicondicional dos formas proposicionales equivalentes, ¿qué

ocurre en la tabla de valor de este bicondicional?

Para dar respuesta a la anterior pregunta, podemos observar con nuestro ejemplo que, al

formar el bicondicional:

(p q) (~p q)

su tabla de valor sólo asume valores verdaderos; de hecho esto es así porque al ser

equivalentes, fila a fila tienen los mismos valores lo que convierte al bicondicional

siempre en verdadero, independiente de los valores de verdad de las proposiciones

simples que intervienen. Esto se puede observar en la siguiente tabla:


28

p q p q ~p q (p q) (~p q)

V V V V V

V F F F V

F V V V V

F F V V V

Otra manera de confeccionar la tabla de valores es:

(p q) (~p q)

V V V V F V V

V F F V F F F

F V V V V V V

F V F V V V F

Ejemplo: Comprobemos que el bicondicional p q es equivalente lógicamente a la

proposición (p q q p)

Para probarlo debemos confeccionar la tabla de verdad de ambas proposiciones y

observar que son iguales o bien probar que el valor de verdad de

(p q) (p q q p)

es siempre verdadero, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones

simples que intervienen.

Es decir que la tabla de: (p q) (q p) es la misma tabla del bicondicional

p q pq qp pq qp pq (pq q p) (pq)

V V V V V V V

V F F V F F V

F V V F F F V

F F V V V V V

Como las columnas 5 y 6 de la tabla son iguales podemos concluir que las

proposiciones

p q y p q q p

son lógicamente equivalentes.

También podemos extraer la misma conclusión observando el resultado de la columna

6, porque el bicondicional (pq qp) (pq) es verdadero, independientemente

de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.

Luego, p q p q q p


29

1.7 Tautología, contradicción y contingencia

Las formas proposicionales se clasifican en:

1) Tautología

2) Contradicción

3) Contingencia

Definimos estos conceptos

a) Tautología: Si una forma proposicional es verdadera para todas los valores de verdad

de las proposiciones simples que la componen entonces es una tautología.

Una proposición que es una tautología se simboliza To

Ejemplos:

Son tautologías: p p , p ~p , (p q) p

Para probarlo construimos sus tablas de verdad

p p

p p

V V V

F V F

p ~p

p ~p

V V F

F V V

(p q) p

(p q) p

V V V V V

V F F V V

F F V V F

F F F V F

Si p q es una tautología se dice que p implica lógicamente a q y se escribe p q

Ejemplo:

Dadas las proposiciones p y q, la proposición p p q es una tautología y se escribe

p p q

b) Contradicción: Si una forma proposicional es falsa para todas los valores de verdad

de las proposiciones simples que la componen entonces es una contradicción.

Una proposición que es una contradicción se simboliza Fo


30

Ejemplos:

Son contradicciones: p p , p ~p , (p q) ~p

p p

P p

V F F

F F V

p ~p

P p

V F F

F F V

(p q) ~p

(p q) ~p

V V V F F

V F F F F

F F V F V

F F F F V

c) Contingencia es una forma proposicional en la cual el valor de verdad de la

proposición es verdadero en algunos renglones de la tabla de verdad y en otros falso.

Ejemplos:

Son contingencias: p ~p , (p q) ~q , ~(p q)

p p

P p

V F F

F V V

(p q) q

(p q) q

V V V V F

V F F V V

F F V F F

F F F V V


31

(p q)

(p q)

F V V V

V V F F

V F F V

F F V F

También podemos decir que:

Dos formas proposicionales son equivalentes si y solo si el bicondicional entre ambas

es una tautología.

1.8 Cálculo Proposicional

El Cálculo Proposicional, o derivación lógica, es el procedimiento a través del cual,

partiendo de premisas llegamos a una conclusión lógica y nos permite inferir o deducir

un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente

verdaderos, mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Nosotros, en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo;

partimos de enunciados empíricos, supuestamente verdaderos y válidos, para concluir

en otro enunciado que se deriva de aquellos.

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que

permiten obtener conclusiones a partir de las premisas y de convertir las operaciones

deductivas en un cálculo riguroso y eficaz, para esto es necesario estudiar las Leyes

Fundamentales del Cálculo Proposicional que nos permiten estudiar la validez de las

afirmaciones realizadas.

En el Cálculo Proposicional se utilizan las siguientes leyes lógicas o tautológicas, cuya

demostración se reduce a la confección de la correspondiente tabla de Valores.

En lo que sigue, p, q, r, son proposiciones genéricas, To significa tautología y Fo

significa contradicción.

a) Medio Excluido: p p To

b) Contradicción: p p Fo

c) Identidad: (p Fo) p , (p To) p

d) Dominación: (p To) To , (p Fo) Fo

e) Doble negación: (p) p

f) Idempotencia: (p p) p

(p p) p

g) Conmutativa:

de la disyunción: (p q) (q p)

de la conjunción: (p q) (q p)

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo



http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo


32

h) Asociativa:

de la disyunción: (p q) r p (q r)

de la conjunción: (p q) r p (q r)

i) Distributiva:

de la disyunción respecto de la conjunción:

(p q) r (p r) (q r)

r (p q) (r p) (r q)

de la conjunción respecto de la disyunción:

(p q) r (p r) (q r)

r (p q) (r p) ( r q)

j) Leyes de “De Morgan”:

La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones:

(p q) p q

La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones:

(p q) p q

k) Absorción: p (p q) p

p (p q) p

Ejemplos de aplicación de las Leyes Lógicas

1. Considerando que p q p q. Planteamos la negación

(p q) [p q] p q

donde hemos aplicado la Ley de De Morgan y la ley de doble

negación

Si p: aumentan los ingresos y q: aumentan las tarifas podemos

decir que “No es cierto que, si aumentan los ingresos entonces

aumentan las tarifas” es equivalente a decir “Aumentan los ingresos

y no aumentan las tarifas”

2. Se puede comprobar que si dos formas proposicionales son

equivalentes, sus negaciones también lo son. Veamos un ejemplo:

Dada la equivalencia: p q (p q) (q p), veamos a qué forma es

equivalente su negación

(p q) [(p q) (q p)] (p q) (q p)

(p q) (q p) (p q) (q p)

Ejercicio: Justifica cada paso de la demostración anterior.

3. Si dos formas proposicionales son equivalentes y en ellas reemplazamos las variables

proposicionales por formas proposicionales, se mantiene la equivalencia. Luego, las

leyes lógicas valen sean p, q y r variables proposicionales o formas proposicionales.

La negación de un

condicional es equi-

valente a la conjun-

ción del antecedente

y la negación del

consecuente.


33

Si en la expresión (p) p reemplazamos la variable p por otras formas

proposicionales, se obtienen las siguientes equivalencias:

a) [(p q)] p q

b) [(p q)] (p q)

c) {[t (q r)]} t (q r)

Actividad N11

1. Expresa las leyes lógicas vistas (doble negación, asociativa, etc.) como propiedades

de las operaciones con conjuntos.

2. Utilizando las leyes lógicas, encuentra una forma proposicional equivalente a :

a) p q b) q p

3. Encuentra una forma proposicional equivalente a cada una de las siguientes

proposiciones y justifica tu respuesta:

a) (p q) b) (p q)

c) (t s) t d) (s t) (p t)

4. Dadas las proposiciones:

p: La demanda de la carne aumenta.

q: El precio de la carne disminuye.

Expresa en lenguaje coloquial las siguientes formas proposicionales:

a) p q b) p q c) p q

En los ítems 5 a 7, elige la o las opciones correctas.

5. Sabiendo que (p q) (p r) es Falsa y siendo p Verdadera, se puede asegurar

que los valores de q y r son:

a) q es F y r es V b) q es F y r es F c) q es V y r es F d) N. A.

6. Sabiendo que (p q) (q r) es Falsa, se puede asegurar que los valores de p y

r son:

a) p es F y r es V b) p es F y r es F c) p es V y r es F d) N. A.

7. Sabiendo que: p es F; q es V; r es V podemos afirmar que una forma proposicional

verdadera es:

a) (p q) (q r) b) (p q) (p r)

c) (p q) [p (p r)] d) (q p) [p (q r)]

e) (q r) (p q) f) N. A.

8. Demuestra que:

a) (p q) [p (p q)] p q b) p q (p q) ( p q)

c) p q q p d) q p p q

9. a) Sabiendo que la proposición q p r es falsa, indica el valor de verdad de p, q, r

b) Justifica cuál de las siguientes proposiciones es equivalente a la dada en el item a)

I) (q p) r II) (q p) r III ) (q p) r

c) Dada la siguiente proposición:

Si se incrementan las precipitaciones aumenta la altura del río


34

i) Expresa la proposición en forma simbólica.

ii) Escribe en forma simbólica y coloquial la negación de la proposición dada.

10. Prueba que la proposición (p q) (p q) es equivalente a la proposición

p.

11. Justifica si la siguiente proposición [p (p q)] q es una tautología,

contingencia o contradicción.

1.9 Condicionales asociados

Dado el condicional p q, que llamamos directo, asociado a él se presentan otros tres

condicionales, obtenidos por permutaciones y/o negaciones del antecedente y

consecuente, estos son:

Recíproco: q p

Contrario: p q

Contrarrecíproco: q p

Ejemplo:

Sean las proposiciones p: el número nueve es entero y q: el número nueve es racional y

el condicional

p q

deseamos escribir los condicionales asociados.

Proposición directa: Si el número nueve es entero entonces el número nueve es

racional.

Recíproco: Si el número nueve es racional entonces el número nueve es

entero.

Contrario: Si el número nueve no es entero entonces el número nueve no es

racional.

Contrarrecíproco: Si el número nueve no es racional entonces el número nueve no es

entero.

No es necesario que el condicional original sea de la forma p q, el antecedente y el

consecuente pueden ser cualquier proposición compuesta. Cuando se escribe el

recíproco, el contrario y el contrarrecíproco, puede resultar una proposición extensa en

cuyo caso se simplifica aplicando las leyes lógicas.

Ejemplos:

1. Dado p t, los condicionales asociados son:

Recíproco: t p

Contrario: p (t) p t (por Ley de doble negación)

Contrarrecíproco: (t) p t p (por ley de doble negación)

2. Dado q (s q), los condicionales asociados son:

Recíproco: (s q) q


35

Contrario: (q) (s q) q (s q) (por Leyes de doble negación y De

Morgan).

Contrarrecíproco: (s q) (q) (s q) q (por Ley de De Morgan y Ley de

doble negación).

Actividad N12

1. Dada la proposición s m, escribe el contrario, el recíproco y el contrarrecíproco.

2. Escribe en símbolos y en lenguaje coloquial el contrario, el recíproco y el

contrarrecíproco de la proposición: Si Juan obedece la ley entonces no va a la cárcel.

3. Construye las tablas de valor de las proposiciones dadas a continuación y extrae una

conclusión: a) (p q) (q p) b) (q p) (p q)

Las cuatro implicaciones vistas anteriormente se llaman ASOCIADAS, cualquiera de

ellas puede tomarse como directa. EL siguiente esquema nos proporciona las relaciones

que las vinculan:

p q recíprocos q p

c c s c

o o

o n c o

t o

n r r n

a p

t r í t

r c

r e r

r c

a r í a

a p

r r r r

t o

i n c i

o o

o c s o

s s

p q recíprocos q p

Actividad N13

1. Dado el condicional (p q) r, el recíproco es:

a) (p q) r b) r (p q)


36

c) (p q) r d) N. A.

2. Expresa el contrarrecíproco de la siguiente proposición: r (p q)

3. Expresa condicionales equivalentes a: (p q) r

4.a) Expresa coloquialmente un ejemplo de sustitución verdadero del condicional

q r

b) Expresa coloquialmente un condicional equivalente al anterior.

c) Expresa coloquialmente la negación del condicional dado.

5. Probar que las implicaciones directa y contrarrecíprocas son equivalentes, es decir,

que los siguientes bicondicionales son tautologías:

(p q) (q p)

(q p) (p q)

1.10 Cuantificadores

Algunas funciones proposicionales tienen la particularidad de transformarse en

proposición verdadera al sustituir la variable por cualquier elemento del Conjunto

Universal, por ejemplo: si consideramos como Conjunto Universal al conjunto de los

números Naturales, la siguiente función proposicional: “x es mayor que -1”, se

transforma en proposición verdadera para todos los números Naturales, por ejemplo:

1 es mayor que -1 (V)

2 es mayor que -1 (V), etc.

Observamos que la propiedad se verifica para todos los elementos del conjunto

considerado como Universal.

En cambio, si consideramos el mismo conjunto Universal pero ahora tomamos la

función proposicional: “x + 1 < 5”, encontramos que:

1 + 1 < 5 es Verdadera



4 + 1 < 5 es Falsa, etc.

Todo número natural mayor que 3 hace que la propiedad sea Falsa; es decir que existen

algunos elementos del Universal que verifican la propiedad.

Cuando queremos afirmar que una función proposicional es válida para todos los

elementos del universo, como en el primer ejemplo, trabajaremos con el cuantificador

universal.

Si una función proposicional se verifica para algunos elementos del universo, como en

el segundo ejemplo, trabajaremos con el cuantificador existencial.

1.10.1 Cuantificador Universal

Simbólicamente expresamos: x A : Px


37

El símbolo “” lo llamamos cuantificador universal afirmativo y lo leemos “para

todo”.

El símbolo “ : “ lo leemos “se cumple, se verifica”.

Luego la expresión anterior se lee: “Para todo elemento que pertenece a A, se cumple la

propiedad P”.

x A : Px es verdadera si y sólo si son verdaderas todas las proposiciones que se

obtienen al reemplazar la variable x por cada uno de los elementos del conjunto al cual

pertenece la variable x.

Ejemplos:

Sea A = {2, 4, 6, 8} considerado como conjunto universal, resulta que la expresión:

x A: x es par es una proposición verdadera.

x A: x es menor que 9 , es una proposición verdadera.

x A: x es múltiplo de 3 , es una proposición falsa.

Actividad N14

1. Siendo N el conjunto de números naturales, determina si son verdaderas o falsas las

siguientes proposiciones y en caso de falsedad cita un ejemplo que muestre los contrario

(contraejemplo):

a) x N: x es positivo b) x N: x < x + 1

c) x N: x + 1 > 1 d) x N: x es par

e) x N: x > 0 f) x N: x2 > x

g) x N: x2 > x h) x N: x2 > 1

2. Expresa en lenguaje simbólico el siguiente enunciado y establece su valor de verdad.

a) Todos los sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas son

compatibles.

b) Todos los números enteros son irracionales.

c) Todas las personas que tienen 18 años son mayores de edad y pueden conducir

vehículos si han aprobado el examen de conducir.

1.10.2 Cuantificador Existencial

Simbólicamente expresamos: x A / Px

El símbolo “” se llama cuantificador existencial afirmativo y se lee: “existe”.

La expresión anterior se lee: “existe al menos una x perteneciente a A, tal que verifica la

propiedad P”.


38

x A / Px es verdadera si y sólo si es verdadera por lo menos una de las

proposiciones que se obtiene al sustituir x por los elementos del universo donde está

definida la función proposicional Px.

Ejemplo:

Sea el conjunto universal A = {1, 2, 3, 4}, la expresión:

x A / x es impar , resulta una proposición verdadera.

x A / x > 5 , resulta una proposición falsa.

x A / x + 1 = 4 , resulta una proposición verdadera.

Actividad N15

1. Siendo N el conjunto de números naturales, determina si son verdaderas o falsas las

siguientes proposiciones y en caso de falsedad justifica la respuesta:

a) x N / x + 1= 7 b) x N / x es par

c) x N / x < 0 d) x N / x2 = x

e) x N / 2x = 1 f) x N / xx3

g) x N / x +3 < 0 h) x N / x es divisor de 5

2. Dada la proposición: Existe un número entero tal que es menor o igual que 4 y es

negativo

i) Exprésala simbólicamente.

ii) Halla su valor de verdad. Justifica tu respuesta.

3. Dada la expresión : P(x): x (x –1), x D, siendo D = {x: x N x 10}, indica

y justifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) x / P(x) 0 b) x / P(x) = 0

1.10.3 Negación de funciones proposicionales cuantificadas

Negación del cuantificador universal

Ejemplo:

Dada la siguiente proposición “Todos los números enteros son impares”

cuya expresión simbólica es:

x Z : x es impar (proposición F)

Su negación se expresa coloquialmente:

“No todos los números enteros son impares”, o bien,

“Existen números enteros que no son impares”.

Y en símbolos:

[ x Z : x es impar] , que es equivalente a decir:

x Z / x no es impar, resultando esta última una proposición V.


39

En general:

Para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el

cuantificador por el existencial y se niega la función proposicional.

En símbolos: [ x A : Px ] x A / Px

Negación del cuantificador existencial

Ejemplo:

Dada la siguiente proposición “Existen números enteros que son impares”

cuya expresión simbólica es:

x Z / x es impar (proposición V)

su negación se expresa coloquialmente:

No existen números enteros que son impares, es decir

“Todo entero no es impar”

y en símbolos:

[ x Z / x es impar] , que es equivalente a decir:

x Z : x no es impar , cuyo valor de verdad es F.

En general:

Para negar una función proposicional cuantificada existencialmente se cambia el

cuantificador por el universal y se niega la función proposicional.

En símbolos: [ x A / Px] x A : Px

Actividad N16

1. Expresa simbólicamente y niega las siguientes proposiciones:

a) Algunos hombres son estudiosos b) Todo hombre es infalible

c) Todo planeta es opaco d) Todo hombre es valiente

2. Expresa coloquialmente la negación de:

a) Existen números naturales que son menores que cero

b) Todo número entero es menor que su cuadrado

c) Algunos números no son positivos ni negativos

En los items 3 y 4, elige la opción correcta.

3. La negación de la proposición x A / (Px Qx) , es:

a) x A / Px Qx b) x A : Px Qx

c) x A : Px Qx d) Ninguna de las anteriores.

4. La expresión x A : Px Qx , es la negación de:

a) x A / Px Qx b) x A / Px Qx

c) x A / Px Qx d) Ninguna de las anteriores.

5. Establece si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa.

a) Todo número natural es entero.

b) Existe un número entero que no es natural.


40

c) Todos los números racionales son números reales.

d) Algunos números racionales no son enteros.

e) Todo número entero puede expresarse en forma de fracción.

6. Explica la diferencia entre las proposiciones siguientes:

Todos los estudiantes no aprobaron el examen

No todos los estudiantes aprobaron el examen

7. i) Escribe en forma simbólica cada una de las siguientes proposiciones.

a) Para algún número real x, x no es menor que 0

b) Para todos los números reales x se cumple que x elevado al cubo es mayor que cero.

c) Todos los números reales menores que cero elevados al cubo también son menores

que cero.

d) Para algún número real se cumple que al elevarlo al cuadrado es menor que cero.

ii) ¿Cuál de las proposiciones del ítem anterior es verdadera?

8. Dada la proposición x A : P(x) Q(x), donde A es el conjunto de números

Enteros,

P(x): x 4 y Q(x) : x es un numero negativo.

a) Expresa coloquialmente la expresión dada.

b) Establece su valor de verdad. Justifica tu respuesta.

c) Niega la expresión dada en forma simbólica

9. Dada la siguiente proposición:

“No es cierto que todas las funciones tienen como dominio el conjunto de los

números reales”

a) Expresarla en lenguaje simbólico y luego negarla.

b) Establece el valor de verdad de la proposición. Justifica.

c) Expresa una proposición equivalente a la dada.

1.11 Condición necesaria y suficiente

Introducción

Hay conceptos que empleamos frecuentemente en nuestros razonamientos y que, en

tanto se manifiesten en el marco del lenguaje ordinario, no suelen crear ningún

problema de ambigüedad, pero la situación puede complicarse cuando necesitamos

hacer un uso científico de los mismos. Evidentemente habrá que ser rigurosos con el uso

del significado de los conceptos.

Aquí vamos a tratar fundamentalmente de aclarar y diferenciar el uso lógico de la

CONDICIÓN NECESARIA y SUFICIENTE, cuyo empleo en el lenguaje se lleva a

cabo a través de oraciones condicionales, así como también analizar la presencia de

tales estructuras relacionales en el lenguaje cotidiano y el modo en que pueden

descubrirse.

En lógica, las palabras necesario y suficiente describen la relación que mantienen dos

proposiciones, si una es condicionante de la otra. Por ejemplo, podemos expresar que:

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica


41

* El tomar agua regularmente es necesario para que una persona se mantenga con

vida.

* Tener no menos de 18 años es una condición necesaria para obtener el carnet de

conductor.

* El tener una credencial de identificación es una condición necesaria y suficiente para

ser admitido.

* Es suficiente haber realizado el Curso de Articulación, presentado toda la

documentación requerida y haber realizado el examen médico para ingresar a la UNL.

* En 2009 el número de vehículos en la ciudad de Santa Fe era de 128.839, en 2010 la

cifra trepó a 136.702 y este año llegó a 146.565. El dato implica un incremento del

parque automotor de 14% en dos años.

* De igual forma, aplicar correctamente una regla que castigue un ilícito tiene por

condición necesaria la verdad del caso específico. Por ejemplo, los que causan la

muerte de un ser humano, es la condición que debe existir, y que tiene como

consecuencia la condena. La regla se aplica, en este caso, si dicha condición es

verdadera.

Analicemos los siguientes ejemplos:

Consideremos las siguientes proposiciones:

p: el joven es santafesino.

q: el joven es argentino.

Queremos establecer qué relación hay entre estas proposiciones, para esto nos

preguntarnos

¿Es suficiente que el joven sea santafesino para afirmar que sea argentino?

La respuesta es SI, entonces decimos que la proposición p es condición suficiente para q

o bien que la proposición q es condición necesaria para p.

En forma simbólica escribimos: pq

En función de lo que simbolizan p y q decimos:

Es suficiente que el joven sea santafesino para que sea argentino.

o bien

Es necesario que el joven sea argentino para que sea santafesino.

Ahora nos preguntamos:

¿Es suficiente que el joven sea argentino para afirmar que sea santafesino?

La respuesta es NO entonces decimos que q no es condición suficiente para p o bien que

p no es condición necesaria para q.

Decir que la proposición p es condición suficiente para la proposición q es equivalente

a decir que q es condición necesaria para p.


42

Ejemplo:

Sean las proposiciones: r: Ana tiene más de 10 años.

s: Ana tiene más de 15 años.

Se desea conocer qué relación existe entre estas proposiciones.

Nos preguntamos

Saber que Ana tiene más de 10, ¿es suficiente para asegurar que tiene más de 15 años?

La respuesta es NO, lo que significa que r no es suficiente para s.

Ahora analizamos si s es condición suficiente para r y nos preguntamos:

Saber que Ana tiene más de 15 años, ¿es suficiente para asegurar que tiene más de 10

años?

La respuesta es SI con lo cual decimos que:

s es condición suficiente para r, que es lo mismo que decir que r es condición necesaria

para s.

Simbólicamente: s r

Ejemplo:

Dadas las proposiciones: p: el triángulo abc es rectángulo

q: el triángulo abc tiene un ángulo recto

Nos preguntamos ¿es suficiente que el el triángulo abc sea rectángulo para que tenga un

ángulo recto?

Si, entonces decimos que p es condición suficiente para q y se simboliza p q.

Por otra parte, ¿es suficiente que el triángulo abc tenga un ángulo recto para que sea

rectángulo?

Si, entonces q es condición suficiente para p que es lo mismo que decir p es condición

necesaria para q y se simboliza q p.

Concluimos que: p es condición suficiente y necesaria para q

Simbólicamente: p q

Ejemplo:

Dadas las proposiciones p: 4 < 7 y q: 4 es múltiplo de 2.

Vemos que p no es suficiente para afirmar q y afirmar q no es suficiente para asegurar p

¿Es suficiente que 4 sea menor que 7 para que 4 sea un múltiplo de 2?

La respuesta es No entonces p no es condición suficientes para q.

¿Es suficiente que 4 sea un múltiplo de 2 para que 4 sea menor que 7?

La respuesta es No entonces q no es condición suficiente para p.

Luego, p no es condición necesaria ni suficiente para q

1.11.1 Condición suficiente

Podemos decir que la proposición p es condición suficiente para la proposición q

cuando al darse la proposición p debe darse necesariamente q, pero sin que ello

signifique que de la existencia de q se pueda deducir p.


43

En la Lógica Proposicional, la proposición llamada condicional o implicación p q,

está definida precisamente desde el punto de vista de la condición suficiente,

recordando que sólo se considera falsa una proposición condicional cuando su

antecedente es verdadero y su consecuente es falso.

1.11.2 Condición necesaria

Una proposición q es condición necesaria para otra proposición p cuando, si bien es

cierto que debe darse q para que se de p, no basta con ello.

Cuando por ejemplo escuchamos en el contexto de una discusión sobre requisitos

legales para trabajar: "Si ingresó a la administración pública nacional entonces tiene

aprobado el ciclo secundario”, entendemos que para poder ingresar a la administración

pública nacional hay que tener necesariamente el nivel secundario aprobado, sin que

ello quiera decir que con sólo este requisito esté garantizado ingreso.

1.11.3 Condición necesaria y suficiente

Diremos que una proposición p es condición necesaria y suficiente para otra proposición

q si al darse la proposición p se da necesariamente q y viceversa.

Las definiciones son ejemplos de condición necesaria y suficiente siendo las

proposiciones que la componen equivalentes. Una definición en matemática tiene la

estructura pq, y estamos diciendo que p es equivalente a q

Ejemplo:

La proposición “Una relación entre dos conjuntos es función si y solo si cumple las

condiciones de existencia y unicidad” es un ejemplo de una relación de condición

necesaria y suficiente entre dos proposiciones.

Siendo p: una relación R entre dos conjuntos es función

q: la relación R cumple las condiciones de existencia y unicidad

De esta manera, decir p es equivalente a decir q

Resumiendo:

Si p → q es verdadera entonces p es condición suficiente para q y q es condición

necesaria para p. Estas condiciones suelen expresarse así:

q si p (condición suficiente)

p solo si q (condición necesaria)

OBSERVACIONES

Dadas dos proposiciones p y q pueden presentarse 4 situaciones:

1) p es condición suficiente para q, que es equivalente a decir, q es condición necesaria

para p. En símbolos: p q

2) p es condición necesaria para q, que es equivalente a decir, q es condición suficiente

para p. En símbolos: q p


44

3) p es condición suficiente y necesaria para q, que es equivalente a decir, q es

condición necesaria y suficiente para p. En símbolos: p q

4) p no es condición suficiente ni necesaria para q, que es equivalente a decir que: q no

es condición necesaria ni suficiente para p.

Recomendaciones para determinar la condición que cumple una proposición con otra;

podemos razonar de la siguiente manera:

Tomamos a una de las dos proposiciones como dato cierto y nos preguntamos si ese

sólo dato es suficiente para asegurar o concluir la otra proposición.

Si la respuesta es si la proposición tomada como dato es suficiente para la otra.

Si la respuesta es no la proposición de donde partimos no es suficiente para la otra.

Luego, se hace análogamente el mismo razonamiento pero intercambiando las

proposiciones.

Para leer:

“Tus manos son necesarias para tu vida. Tu corazón, además de necesario, es suficiente”

Lo que es necesario, literalmente es eso; una condición o un elemento que resulta de

importancia para la existencia de algo; en cambio, cuando algo es suficiente, quiere

decir que con eso basta como mínimo.

Como corolario podrías sacar que lo que es suficiente también es necesario, pero no a la

inversa.

Actividad 17

1. Analiza condición necesaria y/o suficiente

a) Px: x es un número múltiplo de 6

Qx: x es un número múltiplo de 2

b) Px: x es un impar

Qx: x es un número primo

c) p: Juan tiene 21 años de edad

q: Juan es mayor de edad

d) p: El gobierno aumenta los salarios

q: Habrá mayor consumo en la población

e) p: Pedro vive en Sudamérica

q: Pedro vive en Argentina

f) p: El rectángulo tiene los cuatro lados que

miden iguales

q: El rectángulo es un cuadrado

g) p: Llueve en el parque

q: Las plantas del parque están

mojadas

h) p: El alumno finalizó el ciclo secundario

q: El alumno está inscripto en la

universidad


45

i) p: Los ángulos interiores de un

polígono suman 180 grados

q: El polígono es un triángulo

j) p: El semáforo está rojo

q: El vehículo detiene su marcha

k) p: El sistema de ecuaciones lineales es

compatible

q: El sistema de ecuaciones lineales

tiene única solución

l) A y B conjuntos

PA, B: A B = A

QA,B : A B

m) Pf: f es una función creciente

Qf: f es una función lineal

n) a y b números reales

Pa, b: a b

Qa, b: a b o a ≤ -b

ñ) p: La figura es un triángulo

q: La figura tiene tres lados

o) A y B rectas en el plano

PA, B: A y B son paralelas

QA,B: A y B no tienen puntos en común

2. Escribe cada una de las proposiciones siguientes en la forma “Si p entonces q”

a) Hoy es miércoles implica que ayer fue martes.

b) Resolver crucigramas es suficiente para volverme loco.

c) El director contratará más profesores solo si la junta escolar lo aprueba.

d) Un triángulo con dos lados de la misma longitud se llama isósceles.

e) Defender la ecología es necesario para ser electo como diputado.

f) Un número es irracional si su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no

periódicas.

3. Considera el conjunto Universal (U) formado por cuadriláteros cerrados.

Los siguientes conjuntos A, B, C y D están contenidos en U.

Un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si el cuadrilátero tiene dos pares de lados

paralelos. A = {x/ x es un paralelogramo}

Todo cuadrilátero que tenga dos pares de lados paralelos será un paralelogramo.

Un cuadrilátero es un rombo si y solo si el cuadrilátero tiene sus lados congruentes. Una

propiedad del rombo es que tiene dos pares de lados paralelos. B = {x/ x es un rombo}

Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si el cuadrilátero tiene sus lados y sus ángulos

congruentes. C = {x/ x es un cuadrado}

Un cuadrilátero es un trapecio si y solo si el cuadrilátero tiene un par de lados paralelos

D = {x/ x es un trapecio}

Establece la condición de p respecto de q

a) p: La figura es un cuadrado

q: La figura es un rombo

b) p: La figura es un paralelogramo

q: La figura es un cuadrilátero cerrado

c) p: La figura es un rombo

q: La figura es un paralelogramo

d) p: La figura es un cuadrilátero cerrado

q: La figura es un trapecio

e) p: La figura es un cuadrado q: La figura es un trapecio


46

1.12 Funciones proposicionales y condición necesaria y suficiente

Consideremos las siguientes funciones proposicionales:

Px : x es natural, múltiplo de 4 y Qx : x es natural, múltiplo de 2

Donde x pertenece al conjunto de los números naturales.

Todo número que haga cierta Px, también hará cierta Qx pues todo múltiplo de 4

también es múltiplo de 2.

En general:

Se dice que una función proposicional cualquiera Px ES CONDICIÓN SUFICIENTE

PARA otra función proposicional Qx si:

x A se cumple que: cuando Px es verdadero se puede asegurar que Qx también lo es.

En símbolos: x A : Px es V Qx es V

En este caso también se dice que Qx ES CONDICIÓN NECESARIA PARA Px

En el ejemplo dado Px es condición suficiente para Qx, pero Qx no es condición

suficiente para Px , pues 6 es múltiplo de 2 pero no es múltiplo de 4.

Ejemplos:

a) Rx : abcd es paralelogramo Sx : abcd es cuadrado

Sx es condición suficiente para Rx

Rx no es condición suficiente para Sx

b) Tx : x es entero mayor que 8 Wx : x es entero positivo

Tx es condición suficiente para Wx

Wx no es condición suficiente para Tx

c) Px : x es divisible por 2 Qx : la última cifra de x es divisible por 2

Px es condición necesaria y suficiente para Qx

d) Ux : x es divisible por 10 Vx : x es divisible por 5

Ux es condición suficiente para Vx, pero no necesaria

e) Un : n es equilátero Vn : n es equiángulo

Un es condición necesaria y suficiente para Vn

f) Pz : z es entero impar Qz : z es múltiplo de 5

Pz no es condición necesaria ni suficiente para Qx

1.13 Formas proposicionales y condición necesaria y suficiente

Una forma proposicional es CONDICIÓN SUFICIENTE para otra si en todo renglón de

la tabla en que es verdadera la primera, también es verdadera la segunda.

Ejemplo:

La forma proposicional p q es suficiente para p q

Si hacemos las tablas vemos que en todo renglón donde p q es V, p q también lo es.


47

p q p q p q

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

Observa que (p q) es condición suficiente para (p q), pero (p q) no es condición

suficiente para (p q).

Si agregamos una columna para un condicional tomando la primera (pq) como

antecedente y la segunda (p q) como consecuente, resultará una tautología, como

veremos a continuación:

p q p q p q p q p q

V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

Luego:

Una forma proposicional p es condición suficiente para otra q cuando el condicional,

tomando a p como antecedente y a q como consecuente, resulte una tautología.

Ejemplos:

a) Dadas las formas proposicionales p y (p q), probemos que p es condición

suficiente para (p q)

Luego, p es condición suficiente para (p q) p porque p (p q) es una

tautología.

b) La forma proposicional p q es condición necesaria y suficiente para (p q)

c) p q es condición suficiente para p q

d) p q no es condición necesaria ni suficiente para p q

Nota

¿En qué tipo de ejercitación o expresiones aplicamos la condición necesaria y

suficiente?

p (p q)

F V V F V V V

F V V V V F F

V F V V F F V

V F V V F F F


48

Veamos el siguiente ejercicio de múltiple opción:

Si el número natural “x” es divisible por 6, podemos asegurar que:

a) x es divisible por 3 b) x es un número par

c) x es un número impar d) x es un número divisible por 4

Para resolver correctamente este ejercicio se debe analizar si la función proposicional

“x es divisible por 6” es condición suficiente para alguna de las alternativas propuestas.

Así, el hecho de que un número natural es divisible por 6 es condición suficiente para

afirmar que es divisible por 3 y que es un número par. Por lo tanto las respuestas

correctas son a) y b).

Conclusión:

En los ejercicios de múltiple opción la expresión “podemos asegurar”, está indicando

que el dato dado debe ser suficiente para alguna de las alternativas.

Actividad N18

1. Indica la condición de p respecto de q

a) p: t r q: r t

2. Indica la opción correcta y justifica porqué no son correctas las restantes opciones.

i) Si las raíces de un polinomio P (x) de grado tres son –1, 0 y 3, se puede asegurar que:

a) P(x) = x (x + 1) (x – 3) b) P(x) = 2 x (x + 1) (x – 3)

c) P(x) = (1/3) x (x + 1) (x – 3) d) Ninguna de las anteriores.

ii) Si en la ecuación y = ax2 + bx + c es a < 0, se puede asegurar que la gráfica de dicha

ecuación es:

a) Una parábola que no interseca al eje x.

b) Una parábola con vértice en el primer cuadrante.

c) Una parábola cóncava hacia abajo.

d) Ninguna de las anteriores.

iii) Si la fracción a/b es irreducible

a) a es divisible por b

b) a y b son primos entre si.

c) a y b son impares.



49

ACTIVIDADES INTEGRADORAS

1. Para cada una de las siguientes proposiciones:

a) Indica cuales son las proposiciones simples que intervienen.

b) Expresa la forma proposicional correspondiente.

c) Construye la tabla de verdad.

i) Si 4 es divisible por 2, entonces 2 es múltiplo de 4 o 4 es divisible por 2.

ii) Si sus gastos son menores que sus ingresos, entonces su ahorro neto no es negativo y

aumenta su activo.

2. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

a) Si 4 + 2 = 6, entonces – 4 + 3 > 6.

b) No es verdad que 3+3=5 si y solo si 4 + 4 = 9

c) Santa Fe está en Argentina o Chaco en Paraguay.

d) Si 2 + 2 = 4, entonces no es verdad que (2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 10).

3. Completa los siguientes enunciados de manera que resulten verdaderos.

a) En la implicación r s, r se denomina ....................... y s se denomina

........................

b) Si la negación de una proposición es verdadera, la proposición es ...........................

c) Una implicación es falsa sólo cuando ..........................................................................

d) Si (m t) r es falsa, r es ............., t es ..........m es …………………..

e) Si r q es V, el valor de la proposición r q es ...................................................

f) Si p (q r) es falsa entonces el valor de la proposición r p es

......................

4. Expresa simbólicamente los enunciados, niega su expresión simbólica y enuncia la

negación en palabras.

a) No fuimos de excursión y vimos la televisión.

b) Hoy voy al cine o voy a patinar.

c) Si el gobierno gasta más dinero en investigación entonces los salarios de los

investigadores aumentarán o habrá más investigadores.

d) Para mí es suficiente con que haya poca humedad y haya sol para jugar al tenis esta

tarde.

e) Es necesario que termine de estudiar lógica antes de almorzar para jugar tenis esta

tarde.

5. Sabiendo que p es V, q es F y r es V, determina el valor de verdad de las siguientes

formas proposicionales.

a) [(p q) (p r)] q b) (r q) (p r)

6. Expresa el contrarrecíproco de cada una de las siguientes implicaciones:

a) p (r s) b) (r t) (m s)

7. Escribe las formas proposicionales equivalentes a las dadas de modo que no aparezca

el condicional.

a) p q b) [p (q z)] c) (p q)


50

8. Simplifica las siguientes formas proposicionales.

a) (p q) b) [p ((r q) r)] [ r (t r) q]

c) (s t) F0 d) [p (p q) (p q r)] [(p r t) t]

9. Determina el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados.

a) x R: x + 1 > x b) x R / x2 = x c) x Z / x + 2 = x

d) x R: x R e) x R : x3 > x

10. Para cada función proposicional cuantificada:

i) Determina cuantificador, conjunto referencial y función proposicional.

ii) Exprésala simbólicamente.

iii) Determina su valor de verdad.

a) Todos los consumidores ahorran

b) Algunos enteros son iguales a su cuadrado

c) Todos los números reales son menores que su duplo

d) No hay números naturales menores que (-3)

e) Todos los triángulos son equiláteros o algunos teoremas son fáciles

11. Para cada par de enunciados, indica si uno es la negación del otro.

a) Todo hombre es analfabeto , Ningún hombre es analfabeto

b) Compro acciones y pierdo dinero , No compro acciones o no pierdo dinero

12. Para cada par de funciones proposicionales Rx y Qx, determina si:

i) R es condición suficiente para Q

ii) R es condición necesaria para Q

iii) R es condición suficiente y necesaria para Q

iv) R y Q no están relacionadas

a) Rx : x es un triángulo isósceles

Qx : x es un triángulo equilátero

b) Rx : x es un número natural par

Qx : x es un número natural múltiplo de 4

c) RA, B : A B

QA, B : A posee todos los elementos de B

d) RA : A

QA, B : A B

13. Indica la condición de “p” respecto a “q” en cada caso.

a) p: h es falsa q: r h es falsa

b) p: r h es verdadera q: h es falsa

c) p: r h es falsa q: r es falsa


51

14. LÓGICA Y LITERATURA

El siguiente texto extraído de: Arthur C. DOYLE Las aventuras de Sherlock Holmes, Anaya

(Adaptación), muestra el uso de condicionales. Te invitamos a leerlo

- Veo, Watson, que está ejerciendo de nuevo. No me dijo que se proponía volver a

ejercer de medico.

- Entonces, ¿cómo lo sabe?

- Lo veo, lo deduzco. ¿Cómo sé también que hace poco sufrió usted un remojón y

que tiene una empleada doméstica de lo más torpe y descuidada?

- Mi querido Holmes -dije-, esto es demasiado. No me cabe duda de que si

hubiera vivido usted hace unos siglos le habrían quemado en la hoguera. Es cierto

que el jueves di un paseo por el campo y volví a casa hecho una sopa; pero, dado

que me he cambiado de ropa, no logro imaginarme como ha podido adivinarlo. Y

respecto a mi empleada, es incorregible y mi mujer la ha despedido; pero tampoco

me explico cómo lo ha averiguado.

- Es lo más sencillo del mundo, mi querido Watson -dijo-. Mis ojos me dicen que

en la parte interior de su zapato izquierdo, donde da la luz de la chimenea, la

suela está rayada con seis marcas casi paralelas. Evidentemente, las ha producido

alguien que ha raspado sin ningún cuidado los bordes de la suela para desprender

el barro adherido.

Así que ya ve: de ahí mi doble deducción de que ha salido usted con mal tiempo y

de que posee un ejemplar particularmente maligno y rompebotas de fregona

londinense.

En cuanto a su actividad profesional, si un caballero penetra en mi habitación

apestando a yodoformo, con una mancha negra de nitrato de plata en el dedo

índice derecho, y con un bulto en el costado de su sombrero de copa, que indica

donde lleva escondido el estetoscopio, tendría que ser completamente idiota para

no identificarlo como un miembro activo de la profesión médica.

1- Sherlock Holmes ha averiguado varias cosas sobre su amigo Watson usando la

observación y la lógica. En su lenguaje emplea muchos condicionales. Escribe al menos

tres condicionales que usa Sherlock Holmes en su discurso.

2- Para cada condicional, expresa si el antecedente es condición necesaria y/o suficiente

para el consecuente.


52

Para autoevaluar tu aprendizaje te proponemos que realice las siguientes actividades de

Opción Múltiple y Actividades Complementarias

Actividades de OPCIÓN MÚLTIPLE

Elige la o las opciones correctas.

1. El conjunto 50 R es un subconjunto de:

a) [0 , 5] b) 4R c) (-2 , +) d) N. A.

2. Para que M = (-4 , 10] esté incluido en S = R – {0 , -1}, el conjunto M restringido

debe ser:

a) R – {0 , -1} b) (-1 , 12) c) (-4 , 10] – {0 , -1} d) N. A.

3. Si se resuelve la operación ,12R , su resultado es:

a) (-1 , +) b) (-1 , +) – {2} c) (2 , +) d) N. A.

4. El conjunto solución del sistema

73x2

1x25 , es:

a) b) (5, +) c) [2, 5) d) N. A.

5. La unión de los conjuntos (-2, 5] y R es:

a) (-2, +) b) R c) (- , 5] d) N.A.

6. La desigualdad 535 x resulta verdadera si y sólo si:

a) 70 xx b) 3/100 xx

c) 3/100 xx d) Ninguna de las anteriores.

7. Dado t (p q) , un condicional equivalente es:

a) (p q) t b) t (p q)

c) (p q) t d) Ninguna de las anteriores.

8. Sabiendo que (p t) r es falsa, se puede asegurar que:

a) p es V, t es V y r es F. b) p es F, t es V y r es F.

c) p es F, t es V y r es V. d) Ninguna de las anteriores.

9. Dada la proposición p: 3 es divisor de 6.

Se puede asegurar que p es condición suficiente para:

a) q: 3 es múltiplo de 6 b) q: 6 es múltiplo de 3

N. A. Significa ninguna de las anteriores.


53

c) q: 6 es divisor de 3 d) Ninguna de las anteriores.

10. Una expresión equivalente al condicional q (r t) , es:

a) q (r t) b) q r t

c) (r t) q d) Ninguna de las anteriores.

11. La negación del enunciado “Si aumenta el ingreso de la empresa, aumentarán los

sueldos” , es:

a) No aumenta el ingreso o aumentarán los sueldos.

b) Aumenta el ingreso de la empresa y no aumentarán los sueldos.

c) No aumenta el ingreso de la empresa y no aumentarán los sueldos.


12. La negación de la proposición x : (Px Qx) , es:

a) x / (Px Qx) b) x / (Px Qx)

c) x / (Px Qx) d) Ninguna de las anteriores (N. A.)

13. Considerando las proposiciones p: (r t) s es F y q: s es F y r es V ;

se puede asegurar que:

a) p es condición suficiente para q. b) p es condición necesaria para q.

c) p es condición suf. y nec. para q. d) Ninguna de las anteriores.

14. La negación del condicional t (p q) , es:

a) t (p q) b) t (p q) c) t ( p q) d) N. A.

15. Dado el condicional p (r t) , su contrario es:

a) (r t) p b) (r t) p c) p (r t) d) N. A.

16. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

a) 2: xxx R b) 2/ xxx R c) 2: xxx R d) N. A.

17. Dado el condicional q (p t) , su recíproco es:

a) (p t) q b) (p t) q c) q (p t) d) N. A.

18. La forma proposicional (p r) (p r) , es una:

a) Tautología b) Contingencia

c) Contradicción d) Función proposicional

19. Sabiendo que las variables proposicionales p y q son verdaderas, se puede asegurar

que:

a) (q r) p es F b) p (q r) es F c) p q es V d) N. A.


54

20. La negación de la proposición 0x:Ax , es:

a) 0A/xx b) 0A/xx c) 0A/xx d) N. A.

21. La forma proposicional (p q) (p q) , es equivalente a:

a) (p q) q b) (q q) p c) p (q q) d) N. A.

22. La negación de la proposición ( 0:5/ xAxxAx ) , es:

a) 0/5: xAxxAx

b) 5/0: xAxxAx

c) 0/5: xAxxAx

d) Ninguna de las anteriores

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1.- Identifica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y para ellos indica

su valor de verdad.

a) 1/3 es un número Real.

b) Posadas es la Capital de Misiones.

c) Sábado 24 de junio.

d) 5 3 + 4.

e) Las provincias Argentinas.

2.- Para todas las funciones proposicionales siguientes, considera como conjunto

Universal el conjunto de números Reales.

Encuentra para cada una, el conjunto de elementos que las transforman en proposición

verdadera.

a) Px: x + 7 = -2 b) Qx: x+ 1 3 c) Rx: 5x – 3 = 7

3.- En los siguientes enunciados, identifica el conjunto universal y las funciones

proposicionales.

a) Algunos números Reales son positivos.

b) En Argentina, la población se concentra en Buenos Aires.

c) Los docentes de las escuelas públicas tienen un salario mayor a $10.000

d) Todos los números naturales son mayores que cero.

4.- Identifica el nombre de las siguientes proposiciones compuestas.

a) Si llueve, entonces voy al cine.

b) Un número es divisible por dos si y solo si es número par.

c) Estudio matemática y administración.

d) 2 no es un número racional.

e) Voy a trabajar o voy de vacaciones.


55

5.- Para cada una de las siguientes proposiciones, expresa su forma proposicional e

indica el valor de verdad correspondiente.

a) 5 es número impar y 2 es número par.

b) Enero es mes de 31 días y Julio es mes de 30 días.

c) Si 18 es múltiplo de 6, entonces 18 es múltiplo de 3.

d) No es cierto que 1/2 es número racional.

e) Un triángulo es equilátero si y solo si tiene los tres lados iguales.

6.- Construye la tabla de verdad de las siguientes formas proposicionales.

a) ( p q ) T0 b) p q c) t r d) m n

7.- Sabiendo que m es V , n es F y s es V, halla el valor de verdad de c/u de las

siguientes formas proposicionales.

a) ( s m ) n b) m ( n m ) s

c) ( m s ) ( n m ) d) ( n m ) s n

8.- Si se sabe que la variable proposicional p es verdadera, se puede asegurar la opción:

a) p ( q p ) es verdadero. b) p r es verdadero.

c) ( q p ) es falsa d) Ninguna de las anteriores.

9.- Encuentra una forma proposicional equivalente a c/u de las siguientes proposiciones

y justifica tu respuesta:

a) ( r s) b) ( q r )

c) ( p s ) p d) ( m r ) ( n r )

10.- Escribe en forma simbólica y en forma coloquial la negación de los siguientes

enunciados.

a) Si la demanda de productos lácteos aumenta, entonces subirá el precio de la leche o

habrá escasez de los productos.

b) Si aumentan las retenciones a los productos exportados y bajan los precios, entonces

habrá menos oferta de los mismos.

11.- Escribe en símbolos y en lenguaje común el contrario, el recíproco y el

contrarrecíproco de la proposición:

“Si aumentan los haberes de los docentes, entonces no habrá paros y se completarán

los días de clase estipulados por el gobierno”.

12.- Expresa simbólicamente y niega las siguientes proposiciones:

a) Algunos estudiantes son altos.

b) Todos los números naturales son positivos.

c) Algunos números enteros son negativos.


56

13.- Expresa simbólicamente la negación de :

a) x A / ( P(x) Q(x) )

b) x A : P(x) ( Q(x) R(x) )

14.- Determina la condición de p respecto de q.

a) p: x es nº natural impar.

q: x es nº natural múltiplo de 6.

b) p: f es función decreciente.

q: f representa una función de demanda.

c) p: f es una función inyectiva.

q: f es una función biyectiva

15.- Para el siguiente enunciado: “Todas las fábricas incrementaron sus ganancias y su

producción”.

Expresa el enunciado en forma simbólica.

Expresa en forma simbólica y coloquial la negación del enunciado.

16.- Completa los siguientes enunciados de manera que resulten verdaderos:

a) Si ( s t ) es verdadero , el valor de verdad de s t es ..................................

b) m ( p q ) es falsa, entonces el valor de verdad de p m es ..................

17.- Expresa la negación de la siguiente proposición: x A / Px (Tx Sx)]

18.- Sabiendo que la proposición: ( p q ) ( p r ) es falsa, determina el valor de

verdad de p, q y r.

19.- Sabiendo que ( p q ) r es falso, completa la siguiente tabla con los valores

de verdad correspondientes:

p q r p ( q r ) r p ( r q )

20.-Justifica la verdad o falsedad de cada afirmación.

a) Si la proposición ( p q ) ( p r ) es falsa, entonces q es V, r es F y p es F.

b) La negación de la proposición x A / Fx Gx es x A : Fx Gx .

c) Una proposición equivalente a p ( q r ) es ( q p ) ( r p ).

d) Una proposición equivalente a ( p q ) t es ( p q ) t .


57

MATEMÁTICA BÁSICA

MATERIAL PARA LLEVAR AL EXAMEN

Leyes lógicas

a) Medio Excluido: p p To

b) Contradicción: p p Fo

c) Identidad: (p Fo) p , (p To) p

d) Dominación: (p To) To , (p Fo) Fo

e) Doble negación: (p) p

f) Idempotencia: (p p) p

(p p) p

g) Conmutativa:

- de la disyunción: (p q) (q p)

- de la conjunción: (p q) (q p)

h) Asociativa:

- de la disyunción: (p q) r p (q r)

- de la conjunción: (p q) r p (q r)

i) Distributiva:

- de la disyunción respecto de la conjunción:

(p q) r (p r) (q r)

r (p q) (r p) (r q)

- de la conjunción respecto de la disyunción:

(p q) r (p r) (q r)

r (p q) (r p) ( r q)

j) Leyes de “ De Morgan”:

(p q) p q

(p q) p q

k) Absorción:

p (p q) p

p (p q) p

l) Equivalencia del condicional

p -> q p q


58

RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES

Actividad N1

a) Proposición Falsa b) Proposición Falsa c) Proposición Falsa

e) Proposición Falsa f) Proposición Verdadera h) Proposición Falsa

i) Proposición Verdadera j) Proposición verdadera

k) Proposición (puede establecerse el valor de verdad)

l) Proposición Verdadera n) Verdadero

No son proposiciones: d), g), j), m)

Actividad N2

1. a) S ={-8} b) S = {3, 4, 5,… } c) S = {-1}

d) S = {2, 3, 4, … } e) S = { } f) S = {0, 1, -2}

Actividad N3

1. U = Z (Z: conjuntos de números enteros)

Nota: Para expresar un conjunto por extensión se enumeran todos y cada uno de

los elementos del conjunto.

A= {-8} B = {3, 4, 5, 6, ...} C = {-1}

2. U = N (N : conjunto de números naturales)

A = { } = B = {3, 4, 5, 6, ...} C = { } =

Recuerda que o { } es el conjunto vacío.

3. Los distintos resultados obtenidos en los ítems 1 y 2 se deben a que el conjunto

universal utilizado en cada una de ellos es distinto. Luego, aunque los conjuntos dados

por compresión estén definidos por la misma función proposicional, los conjuntos

pueden estar formados por distintos elementos si se cambia el conjunto universal.

4. A = {x N / x > 1}

Nota: Se lee:

El conjunto que A está formado por números naturales tales que son mayores que 1.

B = { x N / x < 4} o B = { x N / x < 5}

C = { x N / x es múltiplo de 3 menor que 10}

5. Es el ítem d)

6. b)

7. Nota: El número de subconjuntos de un conjunto A que tiene n elementos, se obtiene

mediante la expresión 2n.

El número de subconjuntos de A es 23 = 8.

Observación: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.


59

Los 8 subconjuntos de A son: ; {1} ; {2} ; {3} ; {1, 2} ; {1, 3} ; {2, 3} ; {1, 2, 3}

8. a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

9. c) El conjunto R- debe restringirse a (- , -1) para que se dé la inclusión.

e) R – {-5 , 1} f) [-1 , 3) – {2} g) R – {3 , -2 , 0 , 1/2}

h) (- , 2,8) i) (-1, 1)

10. b)

11. c)

12. Existen muchas respuestas distintas para esta actividad, algunas son:

(-1 , 5) – {0} ; (-2 , 0) ; (0 , 6)

Actividad N4

1. a) Doble condicional b) Condicional (*)

c) Negación d) Conjunción (**)

e) Disyunción (***) f) Negación de una conjunción

g) Condicional en donde después del entonces aparece una conjunción.

(*) En la proposición compuesta del ítem b) se ha omitido la palabra entonces. No

por ello deja de ser una proposición condicional.

(**) Observa que las proposiciones simples que intervienen en la proposición

compuesta del ítem d) son: p: Rindo Matemática y q: Rindo Contabilidad.

(***) La proposición compuesta del ítem e) está formada por las proposiciones

simples:

p: Con $ 10 compro un cuaderno y q: Con $ 10 compro una cartuchera.

Actividad N5

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F


60

Actividad N6

1.

p p (p)

V F V

F V F

2.

A )A(

3. a) U b) = U

Actividad N7

1.a) p: Buenos Aires es la capital de Argentina.

q: Río de Janeiro es la capital de Brasil

Forma proposicional: p q Valor de verdad: Falso

b) p: San Martín murió en Francia

q: 4 es número par

p q es V

c) r: tres es número par

s: cuatro es impar

r s es F

2. Ejemplo 1: p: 12 es múltiplo de 4

q: 2 es número primo

Ejemplo 2: p: 4 > 2

q: 5 + 3 = 8

En general, como las variables proposicionales tienen infinitos ejemplos de

sustitución, se deben proponer aquellos donde p y q resulten verdaderos.

3. a)

p q r (p q) (p q) r

V V V V V

V V F V F

V F V F F

V F F F F

F V V F F

F V F F F

F F V F F

F F F F F

A

U U A


61

Nota: otra forma de construir la tabla de verdad es con una columna para el valor de

verdad de cada proposición que intervenga y también una columna para cada conectivo

interviniente, llenándose las columnas en el orden de precedencia de los conectivos que

intervienen.

b) Para p (q r), se tiene la siguiente tabla de verdad donde el orden de construcción

de las columnas se indica con 1° y 2°.

p ( q r )

V V V V V

V F V F F

V F F F V

V F F F F

F F V V V

F F V F F

F F F F V

F F F F F

2° 1°

4. Es falso

Actividad N8

1. Para resolver operaciones con conjuntos, en este caso la intersección, puede resultarte

práctico representar los conjuntos en la recta numérica, con distinto rayado o color, y así

visualizar fácilmente el conjunto solución de la operación.

Ejemplo: (-4 , 5] [4 , 7]

La zona donde se cruzan las líneas indica el conjunto solución de la intersección.

Luego (-4 , 5] [4 , 7] = [4 , 5]

a) {1, 2} b) N c) {2/3, 0, -4, -5/7} d) (-2, 5]

e) (0, 5] f) g) (-1, 3] h) R+ - {2,7}

2. a) b) c) A d) A e) f)

3. Existen muchas respuestas distintas para esta actividad, una de ellas es:

a) A = [-5 , 5] ; B = (-4 , 12) b) A = R+ ; B = R – {1}

4. a)

5. b)

6.a) y b) El complemento de A

-4 5 4 7


62

Actividad N9

1. a) {-1, 2, 5, -3, 7} b) {-2, 5/3, 4, 9, -2/5} c) Q d) R

e) (-1, +) f) R – {0} g) (-, 5) h) R – {-3}

2. a) A b) U c) A A = A d) U

3.a)

p q q p p (q p)

V V V V

V F V V

F V V F

F F F F

b)

p q (p q)

V V F

V F F

F V F

F F V

c)

p q q p p (q p)

V V V V

V F F V

F V V V

F F V V

d)

p q q p p (q p)

V V F V

V F F V

F V V V

F F F F

4. Verdadero

5. Falso

6.a) Verdadero b) Verdadero c) No es posible d) Verdadero

e) No es posible f) falso


63

Actividad N10

1. a)

r t rt tr

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

Observamos que las columnas 3 y 4 de la tabla tienen distintos valores de verdad para

los correspondientes valores de r y t.

b)

( p q )

F V V V

V V F F

F F V V

F F V F

c)

( p q ) p

F V V V F F

V V F F V F

F F V V V V

F F V F V V

2° 1° 4° 3°

Nota: los números 1°, 2°, 3° y 4°, indican el orden de construcción de la tabla

2. a) Falsa b) Falsa c) Verdadera d) Verdadera

3.a) Verdadera b) Falsa c) Falsa d)Verdadera

e) Verdadera f) Verdadera

4.a) Verdadera b) Verdadera c)Verdadera d) Falsa

e) Verdadera

5. Como p es verdadera, la disyunción r (p s) es verdadero y p q es verdadera

entonces el condicional es verdadero.

Actividad N11

1. Medio Excluido: A A = U

Contradicción: A A =

Identidad: A = A A U = A

Dominación: A U = U A =

Doble negación )A( A


64

Idempotencia A A = A

A A = A

Conmutativa: A B = B A y A B = B A

Asociativa: (A B) C = A ( B C) y (A B) C = A (B C)

Distributiva: (A B) C = (A C) (B C)

C (A B) = (C A) (C B)

(A B) C = (A C) (B C)

C (A B) = (C A) (C B)

Leyes de De Morgan: BABA y BABA

Absorción: A (A B) = A

A (A B) = A

2. a) p q (p) q p q

b) q p (q) p q p

3. a) p q , por ley de De Morgan.

b) p q , por ley de De Morgan.

c) t , por ley de absorción.

d) (s p) t por ley distributiva de la conjunción respecto de la disyunción.

4. a) Si la demanda de la carne aumenta entonces el precio de la carne disminuye.

b) La demanda de la carne aumenta si y sólo si el precio de la carne disminuye.

c) La demanda de la carne no aumenta o su precio no disminuye.

5. Se puede asegurar a). Observa que si no se da el dato p es V, se podrá resolver el

ejercicio, es decir hay un dato excesivo.

6. Se puede asegurar c)

7. a) V b) V c) V d) V e) V

9. a) q es V, p es V y r es F

b) II)

c) i) Sean p: Se incrementan las precipitaciones q: Aumenta la altura del río

p q

ii) Negación: ( p q) (p q) p q

Se incrementan las precipitaciones y no aumenta la altura del río

11. Contingencia

Actividad N12

1. Contrario: s m Recíproco: m s Contrarrecíproco: m s

2. Sean p: Juan obedece la ley y q: Juan va a la cárcel

La proposición: Si Juan obedece la ley entonces no va a la cárcel en símbolos es: p

q. Luego, sus condicionales asociados son:

Contrario: p q


65

Si Juan no obedece la ley entonces va a la cárcel.

Recíproco: q p

Si Juan no va a la cárcel entonces obedece la ley.

Contrarrecíproco: q p

Si Juan va a la cárcel entonces no obedece la ley.

3. a)

(p q) y (q p) son implicaciones contrarrecíprocas y como el bicondicional

entre ambas es una tautología se puede concluir que son equivalentes.

En símbolos: p q q p

b)

(q p) y (p q) son implicaciones contrarrecíprocas y a partir del resultado de la

tabla de valor se puede concluir que son equivalentes.

En símbolos: q p p q

Actividad N13

1. El recíproco de (p q) r es: r (p q)

Como este condicional no figura en los ítems a), b) y c), la respuesta es d).

2. ( p q) ( r) aplicando leyes lógicas es: (p q) r

3. Un condicional equivalente al dado es su contrarrecíproco:

( r) [ (p q)] r (p q)

Otro condicional equivalente a (p q) r es: ( p q) r

4. a) Uno de los tantos ejemplos distintos que se pueden proponer es:

Si dos es múltiplo de cuatro entonces cuatro no es número par.

En símbolos: q r

Siendo q: dos es múltiplo de cuatro y r: cuatro es número par

b) Un condicional equivalente al del ítem a) es su contrarrecíproco

r q

(p q) (q p)

V V V V F V F

V F F V V F F

F V V V F V V

F V F V V V V

(q p) (p q)

V V V V F V F

V F F V V F F

F V V V F V V

F V F V V V V

Recuerda que la negación de un condicional es equivalente a la conjunción del antecedente y la negación del consecuente.


66

Coloquialmente:

Si cuatro es un número par entonces dos no es múltiplo de cuatro.

c) La negación de q r es:

(q r) su expresión equivalente es:

q ( r) aplicando ley de doble negación se obtiene: q r

Coloquialmente: Dos es múltiplo de cuatro y cuatro es número par.

Actividad N14

1. a) V b) V

c) V d) F, pues 7 N y no es par

e) V f) V

g) F, pues 1 N y 12 = 1 h) F

2. a) Sea x es un sistema de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Px: x es compatible A = {x / x es un sistema de ecuaciones lineales}

En símbolos: x A: Px. falsa

b) Todos los números enteros son irracionales.

x es un número A = {x / x es un número entero}

Px: x es irracional

En símbolos: x A: Px. Falsa

c) Todas las personas que tienen 18 años son mayores de edad y pueden conducir

vehículos si han aprobado el examen de conducir.

x es una persona A = {x / x tiene 18 años}

Px : x es mayor de edad Qx: x puede conducir vehículos

Ux: x ha aprobado el examen de conducir

En símbolos: x A : Px (Ux Qx)

Actividad N15

1. a) V b) V c) F d) V e) F f) V g) F h) V

2.i) Definimos x, Px , Rx , Qx

x: es un número entero, Px: x es menor que 4, Rx: x es igual a 4, Qx: x es negativo

x Z / (Px Rx ) Qx

ii) Verdadera

3.a) Verdadera b) Falsa

Actividad N16

1.a) Considerando x es una persona H = {x/x es hombre} y Ex : x es estudioso

En símbolos: x H / Ex


67

Su negación es: ( x H / Ex ) x H : Ex

No existen hombres que sean estudiosos o todos los hombres no son estudiosos

b) x es una persona, H = {x/x es hombre} ; Ix: x es infalible. En símbolos: x H: Ix

Su negación es: x H / Ix . Algunos hombres no son infalibles.

c) P = {x/x es planeta} ; Qx: x es opaco ; en símbolos: x P : Qx

Su negación es: x P/ Qx . Algunos planetas no son opacos

d) H = {x/x es hombre}; Vx: x es valiente ; en símbolos: x H: Vx

Su negación es: x H / Vx

Algunos hombres no son valientes

2. a) ( x N / x < 0 ) x N : x > 0

Todos los números naturales son positivos o cero

b) ( x Z : x < x2 ) x Z / (x < x2) x Z / x > x2

Algunos números enteros son mayores o iguales que su cuadrado

c) x R / ( (x > 0) (x < 0) , su negación es:

[ x R / ( (x > 0) (x < 0)] [ x R / (x > 0 x < 0)]

x R / x > 0 x < 0

Todos los números son mayores que cero o menores que cero.

3. c)

4. b)

5. a) V b) V c) V d) V e) V

6. La oración “Todos los estudiantes no aprobaron el examen” nos dice que ningún

estudiante aprobó el examen.

La oración “No todos los estudiantes aprobaron el examen” significa que al menos un

estudiante no aprobó el examen.

7. i) a) x R / x 0 b) x R : x3 > 0

c) x R : x3 < 0 d) x R / x2 < 0

ii) a) c)

8. a) Para todo número entero se cumple que si el número es menor o igual que cuatro

entonces es negativo.

b) Falsa: existe 3 ≤ 4 y no es negativa.

c) x A / P(x) Q(x)

9. a) ( f A: Pf)

donde A = { f / f es función} Pf : f tiene dominio el conjunto de los números reales

Negación: f A: Pf

b) Verdadero. La función f(x) = 1/x tiene como dominio el conjunto R – {0}

c) f A / Pf


68

Actividad N17

1. a) Px es condición suficiente para Qx

b) Px no es condición suficiente ni necesaria para Qx

c) p es condición suficiente para q

d) p es condición suficiente para q

e) q es condición suficiente para p

f) p es condición suficiente y necesaria para q

g) p es condición suficiente para q

h) p no es condición suficiente ni necesaria para q

i) p es condición suficiente y necesaria para q

j) p es condición suficiente para q

k) q es condición suficiente para p

l) p es condición suficiente y necesaria para q

m) Pf no es condición suficiente ni necesaria para Qf

n) Pa, b es condición suficiente y necesaria para Qa, b

ñ) p es condición suficiente para q

o) PA, B es condición necesaria para QA, B

2. a) Si hoy es miércoles entonces ayer fue martes.

b) Si resuelvo crucigramas entonces me volveré loco.

c) Si el director contrata más profesores, entonces la junta escolar lo aprueba.

d) Si un triángulo tiene dos lados de la misma longitud entonces se llama isósceles.

e) Si es electo diputado entonces debe defender la ecología.

f) Si un número es irracional, entonces su expresión decimal tiene infinitas cifras

decimales no periódicas.

3. a) p es suficiente para q

b) p es suficiente para q

c) p es suficiente para q

d) p es necesaria para q

e) p es suficiente para q

Actividad N18

1. p es condición suficiente para q

2. i) d) ii) c) iii) b)


69

RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INTEGRADORAS

1. i)

a) p: “4 es divisible por 2” ; q: “2 es múltiplo de 4”

b) p (q p)

c)

p (q p)

V V V V V

V V F V V

F V V V F

F V F F F

ii)

a) p: sus gastos son menores que sus ingresos b) p (q r)

q: su ahorro neto no es negativo

r: el aumenta el activo

c)

p ( q r )

V V V V V

V F V F F

V F F F V

V F F F F

F V V V V

F V V F F

F V F F V

F V F F F

2. a) V b) F c) V d) F

3.

a) Antecedente.....consecuente

b) Falsa

c) El antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

d) r es falso, t es verdadera, m es verdadera.

e) Falso

f) Falso

4. a) p: fuimos de excursión q: vimos la televisión

Forma proposicional: p q

Su negación es: p q es decir: Fuimos de excursión o no vimos la televisión.

b) p: voy al cine q: voy a patinar

Forma proposicional: p q


70

Su negación es: p q, es decir: Hoy no voy al cine y no voy a patinar.

c) p: El gobierno gasta más dinero en investigación

q: el gobierno aumentará los salarios de los investigadores

r: habrá más investigadores

p (q r)

Su negación es: p q r, es decir:

El gobierno gasta más dinero en investigación y no aumentarán los salarios de los

investigadores y no habrá más investigadores.

d) h: hay poca humedad s: hay sol t: jugaré al tenis esta tarde

(h s) t

Su negación es: h s t, es decir:

Hay poca humedad y hay sol y no jugaré al tenis esta tarde.

e) t: juego al tenis esta tarde e: terminé de estudiar lógica antes de almorzar

t e

Su negación es: t e, es decir:

Jugaré al tenis esta tarde y no terminé de estudiar lógica antes de almorzar.

5. a) V b) F

6. a) (r s) p ( r s) p

b) (m s) (r t) ( m s) ( r t)

7. a) (p q) b) p (q z) c) (p q) (q p)

8. a) p q b) r (p q) c) F0 d) p t

9. a) V b) V c) F d) F e) F

10.

a) i) Todos los consumidores ahorran

Cuantificador: Conjunto referencial: C={x es un consumidor}

x es una persona Función proposicional: Ax: x ahorra

ii) x C : A x

iii) Falso

b) i) Algunos números enteros son iguales a su cuadrado

Cuantificador: Conjunto referencial: C = {x es un número entero}

x es un número Función proposicional: Ax: x igual a su cuadrado

ii) x C / A x

iii) Verdadero

c) i) Todos los números reales son menores que su duplo

Cuantificador: Conjunto referencial: C={x es un número real}

x es un número Función proposicional: Ax: x es menor que su duplo

ii) x C : A x

iii) Falso

d) i) No hay números naturales menores que -3

Cuantificador: Conjunto referencial: C={x es un número natural}

x es un número Función proposicional: Ax: x es menor que -3


71

ii) x C / x < -3

iii) Verdadero

e) i) Todos los triángulos son equiláteros o algunos teoremas son fáciles

Donde, Tx: x es equilátero, y es un teorema, Fy: y es fácil

C = {x/ x es un triángulo} D = {y / y es un teorema}

ii) x C : Tx y D / Fy

iii) Verdadero

11. a) No, pues la negación del primero es: Algún hombre no es analfabeto.

b) Uno es la negación del otro.

12. a) Rx es condición necesaria pero no suficiente para Qx

b) Rx es condición necesaria pero no suficiente para Qx

c) R y Q no son condiciones necesarias ni suficientes

d) RA es condición suficiente pero no necesaria para QA; B

13. a) p es condición necesaria para q.

b) p no es ni necesaria ni suficiente para q.

c) p es condición suficiente para q.


72

RESPUESTAS A LOS ACTIVIDADES DE OPCIÓN MÚLTIPLE

EJERCICIO ÍTEM a) ÍTEM b) ÍTEM c) ÍTEM d)

Ejercicio N° 1 x

Ejercicio N° 2 x

Ejercicio N° 3 x

Ejercicio N° 4 x

Ejercicio N° 5 x

Ejercicio N° 6 x

Ejercicio N° 7 x

Ejercicio N° 8 x

Ejercicio N° 9 x

Ejercicio N° 10 x

Ejercicio N° 11 x

Ejercicio N° 12 x

Ejercicio N° 13 x

Ejercicio N° 14 x

Ejercicio N° 15 x

Ejercicio N° 16 x

Ejercicio N° 17 x

Ejercicio N° 18 x

Ejercicio N° 19 x

Ejercicio N° 20 x

Ejercicio N° 21 x

Ejercicio N° 22 x


73

RESPUESTAS DE ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1. a) , b) y d) son proposiciones verdaderas.

c) y e) no son proposiciones.

2. a) 9S b) ,2S c) 2S

3. a) RD ; 0: xPx

b) ArgentinadetehabiesxxU tan/ ; ..: AsBsenconcentrasexPx

c) públicaescueladedocenteesxxU / ; 000.10$: amayorsalariountienexPx

d) NU ; 0: xPx

4. a) Condicional b) Doble condicional c) Conjunción

d) Negación e) Disyunción

5. a) p: 5 es número par ; q: 2 es número par

qp es F

b) p: Enero es mes de 31 días ; q: Julio es mes de 30 días

qp es V

c) p: 18 es múltiplo de 6 ; q: 18 es múltiplo de tres

qp es V

d) p: 1/2 es número racional ; p~ es F

e) Px: el triángulo es equilátero ; Qx: el triángulo tiene los tres lados iguales

xx QP es V

6. Si tienes duda con la respuesta, consulta con tu profesor.

7. a) F b) V c) F d) V

8. a)

9. a) sr ; aplicando De Morgan y doble negación

b) ~ rq ; aplicando De Morgan y doble negación. También se puede escribir

rq

c) p ; aplicando distributiva, idempotencia y absorción.

d) rnm ; aplicando distributiva.

10. a) p: la demanda de producción de lácteos aumenta ; q: subirá el precio de la

leche ; r: habrá escasez de productos

Dada sqp , su negación es: ~ [ sqp ] sqp ~

La demanda de producción de lácteos aumenta y no es cierto que, subirá el precio de la

leche o habrá escasez de productos.

b) p: aumenten las retenciones a los productos exportados ; q: bajan los precios ; r:

habrá menos oferta de productos exportados

Dada rqp , su negación es: rqprqp ~~

Aumenten las retenciones a los productos exportados y bajan los precios y no habrá

menos oferta de los productos.


74

11. Siendo p: aumentan los haberes de los docentes ; q: habrá paros ; r: se

completarán los días de clase estipulados por el gobierno , el condicional directo es:

rqp ~

Contrario: ~rqprqp ~~~~

Si no aumentan los haberes de los docentes, entonces habrá paros o no se completarán

los días de clase estipulados por el gobierno.

Recíproco: prq ~

Si no hubiera paros y se completaran los días de clase estipulados por el gobierno,

entones aumentarían los haberes de los docentes.

Contrarrecíproco: ~prqprq ~~~~

Si hubiera paros o no se completaran los días de clase estipulados por el gobierno,

entones no aumentarían los haberes de los docentes.

12. a) estudianteesxxA / ; altoesxPx :

xPAx / su negación es: xPAx ~:

b) 0: xNx su negación es: 0/ xNx

c) 0/ xZx su negación es: 0: xZx

13. a) xx QPAx : b) xxx RQPAx /

14. a) Ni necesaria ni suficiente b) Necesaria c)

Necesaria

15. Definimos: fábricaunaesxxA / ; gananciassusincrementaxPx : ; Qx : x

incrementa su producción. La expresión simbólica es: xx QPAx :

La negación es: xx QPAx /

Algunas fábricas no incrementaron sus ganancias o no aumentaron su producción.

16. a) Falso b) Verdadero

17. xxxxxx STPAxSTPAx ::

18. p es V, q es V y r puede ser V o F

19.

p q r p ( q r ) r p ( r q )

V V V F F V

20. a) V b) F c) F d) V


75

TALLER : LÓGICA PROPOSICIONAL Actividad 1: En grupos trabajar colaborativamente con las actividades introductorias del libro de Lógica. Luego de escuchar las respuestas de los distintos grupos a estas actividades extrae una conclusión respecto a si fueron convincentes las argumentaciones dadas por cada grupo en respuesta a estas actividades. Si tus argumentos no fueron convincentes por carencia de sustento teórico o lenguaje apropiado, no te preocupes, las siguientes actividades tienen por objeto favorecer el aprendizaje de los contenidos del material de Lógica. Por tal motivo cada actividad se organizó de acuerdo al aprendizaje que se pretende promover: Adquirir el lenguaje de la Lógica, Formalizar el lenguaje, Identificar distintos tipos de enunciados, Negar correctamente enunciados, determinar el valor de verdad de las proposiciones, identificar enunciados equivalentes. Determinar si un enunciado es condición necesaria y o suficiente para otro. Actividad 2: Lenguaje de la Lógica

a) Propone ejemplos de: Proposiciones Simples, Proposiciones Compuestas,

Proposiciones Cuantificadas, Variable Proposicional y Forma Proposicional.

b) Indica las diferencias entre: Proposición y Función Proposicional

Actividad 3: Clasificación de enunciados Clasifica cada enunciado en proposición simple, compuesta o cuantificada.

a) Matemática Básica es una asignatura del Bachillerato en Ciencias Económicas de la UNL.

b) Matemática Básica y Economía Argentina son asignaturas del Bachillerato en Ciencias Económicas de la UNL.

c) Si Rosario es una ciudad de la provincia de Santa Fe y el monumento de la bandera argentina se encuentra en Rosario entonces el monumento de la bandera argentina se encuentra en la provincia de Santa Fe

d) El dólar aumentó su valor en Argentina durante el 2017 o el Banco Central no emitió moneda durante 2017.

e) Algunos alumnos no asisten a las clases de consulta o no cursan Matemática. f) Todos los países de América pertenecen al Mercosur.

Actividad 4: Formalización del lenguaje Expresar en lenguaje simbólico mediante variables o formas proposicionales, cada proposición de la actividad 3. Actividad 5: Determinación del valor de verdad de las proposiciones

a) Determina el valor de verdad de las proposiciones de la actividad 3.

b) Realiza la tabla de verdad de cada una de las siguientes formas proposicionales.

1) (p ∧ q) ∨ p 2) (p → q) ∧ q

3) ∼ [ (p ∧ q) → q] 4) (p → q) ↔ (∼ p ∨ q)

c) Indicar si las formas proposicionales dadas en b) representan tautologías, contradicción, o contingencias. Actividad 6: Negación de enunciados Niega cada una de las proposiciones de la actividad 3 Actividad 7: Enunciados equivalentes. Escribe un enunciado equivalente a cada una de las proposiciones de la actividad 3 empleando leyes lógicas. Actividad 8: Condición Necesaria y Suficiente

I) Lee el siguiente texto extraído del material del CAD de UNL de la asignatura Introducción a la contabilidad, referente al concepto de “Activo” e indica con qué


76

sentido se emplean los conceptos: “Condición Necesaria”, “Condición Necesaria y Suficiente”

II) Determina si r es condición necesaria y suficiente para s, siendo:

1. r: El sistema de ecuaciones lineales “E” es compatible; s: El sistema de ecuaciones

lineales “E” admite infinitas soluciones.

2. r: (p q) t es Verdadero ; s: (p q) es Falsa

3. r: (pvq)^ q ; s: q

Actividad 9: Argumentación

a) Vuelve a realizar la actividad introductoria produciendo argumentos convincentes.

Recuerda que un texto argumentativo debe tener la siguiente estructura:


77

b) Para cada enunciado fundamenta si resulta verdadero o falso:

1. El enunciado “La moneda del país x es más valiosa que el peso argentino” es una

proposición simple.

2. El enunciado “Si aumenta el número de empleados, aumentará la producción y el

ingreso será máximo” es equivalente a “No aumenta el número de empleados, o

aumentará la producción y el ingreso es máximo”.

3. La negación de “ p r” es “p r”

4. La forma proposicional (~ p q) q es una tautología.

5. La proposición : “No es cierto que, todos los alumnos no asisten a las clases de

consulta y cursan Matemática” es equivalente a “Algunos alumnos no asisten a las

clases de consulta o no cursan Matemática”

6. La forma proposicional p → q es condición necesaria pero no es suficiente para p ∨ q.

7. La forma proposicional (p ∨ (q ∧ r)) ∧ (q ∧ r) es condición necesaria y suficiente para

q ∧ r.

Autoevaluación: Con la finalidad de saber si lo que estás haciendo es correcto o necesitas hacer algo más para mejorar el aprendizaje de los contenidos de esta unidad, indica los conceptos que aun presentan dificultad en tu aprendizaje, luego consulta los materiales y a tu profesor.

MATEMÁTICA BÁSICA · La Lógica examina la validez de los argumentos en términos de su...

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