Matemática básica derivada e integral

Derivadas

Derivadas

(24-03-2009 e 31-03-2009)

Derivadas Matematica II 2008/2009

Derivadas

Recta Tangente

Seja C uma curva de equacao y = f(x). Para determinar a rectatangente a C no ponto P de coordenadas (a, f(a)), i.e,P (a, f(a)), comecamos por considerar um ponto Q(x, f(x)), comx 6= a e calculamos a inclinacao da recta secante PQ:

mPQ =f(x) − f(a)

x − a

Depois, ”aproximamos o ponto Q” do ponto P , fazendo x tenderpara a. Se mPQ tender para um numero m, entao definimos arecta tangente t como a recta que passa por P e tem inclinacaom.


Derivadas

A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P (a, f(a)) e arecta que passa por P e tem inclinacao

m = limx→a

f(x) − f(a)

x − a

( ou m = limh→0

f(a + h) − f(a)

h)

desde que esse limite exista.


Derivadas

Velocidade

Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordocom a equacao y = s(t), onde s e o deslocamento do objecto apartir da origem. A funcao s que descreve o movimento e chamadafuncao posicao do objecto. No intervalo de tempo entre t = a et = a + h, a variacao na posicao sera de s(a + h) − s(a)


Derivadas

A velocidade media nesse intervalo e

velocidade media =deslocamento

tempo=

s(a + h) − s(a)

h

que e igual a inclinacao da recta secante PQ.


Derivadas

Suponha que a velocidade media e calculada em intervalos cadavez menores [a, a + h], isto e, fazemos h tender para 0.

Definimos velocidade (ou velocidade instantanea), v(a), noinstante t = a como o limite dessas velocidades medias:

v(a) = limh→0

s(a + h) − s(a)

h

Assim, a velocidade no instante t = a e igual a inclinacao da rectatangente a y = s(t) em P (a, s(a)).


Derivadas

Taxa de variacao

(Recordemos...)Suponha que y e uma quantidade que depende de outraquantidade x. Assim, y e uma funcao de x e escrevemos y = f(x).Se x variar de a para a + h, entao a variacao de x e

∆x = (a + h) − a = h

e a variacao correspondente de y e

∆y = f(a + h) − f(a)

O quociente∆y

∆x=

f(a + h) − f(a)

h

designa-se por taxa media de variacao de y em relacao a x nointervalo [a, a + h].


Derivadas

Consideremos as taxas medias de variacao em intervalos cada vezmenores (fazendo h tender para 0, logo ∆x tende para 0). Olimite das taxas medias de variacao e designado por taxa(instantanea) de variacao de y em relacao a x em x = a.

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

h→0

f(a + h) − f(a)

h

se este limite existir.


Derivadas

Assim, a velocidade de uma partıcula e a taxa de variacao dodeslocamento em relacao ao tempo.

Seja R = R(x) a funcao de receita total para um produto.Definimos receita marginal para um produto como a taxa devariacao instantanea de R em relacao a x. Assim,

Se a funcao receita total para um produto for dada por y = R(x),onde x e o numero de unidades vendidas, entao, a receita marginalpara a unidades e dada por

limh→0

R(a + h) − R(a)

h

desde que esse limite exista.


Derivadas

Derivadas

O limite da forma

limh→0

f(a + h) − f(a)

h

surge sempre que calculamos uma taxa de variacao em varias areasde estudo. Uma vez que este tipo de limite surge amplamente, saodados a ele um nome e uma notacao especiais.

Definicao

A derivada de uma funcao f num ponto a, denotada por f ′(a), e

f ′(a) = limh→0

f(a + h) − f(a)

h

se o limite existir.


Derivadas

Algumas notacoes alternativas para a derivada da funcao y = f(x):

f ′(x), y′

,dy

dx,

df

dx

Por exemplo, sendoy = f(x) = sinx

entao a derivada pode ser designada por

f ′(x) = cos x, y′ = cos x,dy

dx= cos x,

df

dx= cos x

Iremos utilizar mais a notacao f ′(x).


Derivadas

Assim,

A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P (a, f(a)) e arecta que passa por P e tem inclinacao m = f ′(a).(E a recta de equacao: y − f(a) = f ′(a)(x − a) )

Se y = s(t) for a funcao posicao de um objecto, entao avelocidade do objecto no instante t = a, v(a), e s′(a).

A taxa de variacao (instantanea) de y = f(x) em relacao a x

quando x = a e f ′(a).

Se a funcao receita total para um produto for dada por y = R(x),onde x e o numero de unidades vendidas, entao, a receita marginalpara a unidades e R′(a).


Derivadas

Em aulas anteriores ja determinamos a derivada de algumasfuncoes. Por exemplo, vimos que a derivada da funcao f(x) = ex ef ′(x) = ex, a derivada de g(x) = lnx e g′(x) = 1

x, a derivada de

h(x) = sinx e h′(x) = cos x e a derivada de m(x) = cos x em′(x) = − sinx.


Derivadas

Fazendo uma analise ao grafico da funcao constante f(x) = c

observamos que o grafico e a recta horizontal y = c, cujainclinacao e 0, logo devemos ter f ′(x) = 0.

Por definicao podemos constatar que tal se verifica:

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h

= limh→0

c − c

h

= limh→0

0

h= 0


Derivadas

Derivada de uma funcao constante

Se f(x) = c, para c uma constante, entao f ′(x) = 0.

Exemplos

Se f(x) = 5 entao f ′(x) = 0.Se f(x) = 1

3 entao f ′(x) = 0.


Derivadas

Iremos apresentar a derivada de varias funcoes sem fazer arespectiva demonstracao.

Regra da potencia

Se n for um numero real qualquer, entao para f(x) = xn vemf ′(x) = nxn−1.

Exemplos

Se f(x) = x entao f ′(x) = 1x0 = 1Se f(x) = x2 entao f ′(x) = 2x1 = 2xSe f(x) = x3 entao f ′(x) = 3x2

Se f(x) = x13 entao f ′(x) = 1

3 × x( 13−1) = 1

3 × x−23

Se f(x) = 1x2 entao f(x) = x−2 logo f ′(x) = −2x(−2−1) = −2x−3


Derivadas

Funcao exponencial f(x) = ex

Se f(x) = ex entao f ′(x) = ex.

Funcao exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a 6= 1

Se f(x) = ax entao f ′(x) = ax ln a.

Exemplos

Se f(x) = 2x entao f ′(x) = 2x ln 2Se f(x) = (2

3)x entao f ′(x) = (23)x ln 2

3


Derivadas

Funcao logaritmo neperiano f(x) = lnx

Se f(x) = lnx entao f ′(x) = 1x.

Funcao logaritmo de base a f(x) = loga x, com a > 0 e a 6= 1

Se f(x) = loga x entao f ′(x) = 1x ln a

.

Exemplos

Se f(x) = log3 x entao f ′(x) = 1x ln 3

Se f(x) = log 14x entao f ′(x) = 1

x ln 14


Derivadas

Funcao seno

Se f(x) = sinx entao f ′(x) = cos x.

Funcao cosseno

Se f(x) = cos x entao f ′(x) = − sinx.

Quando uma funcao e formada a partir de outras funcoes (dasquais sabemos a sua derivada) por adicao, multiplicacao oudivisao, a sua derivada pode ser calculada em termos das derivadasdessas funcoes, pelas regras que se seguem.


Derivadas

Constante c a multiplicar por uma funcao g

Se f(x) = cg(x) entao f ′(x) = cg′(x).

Exemplos

Se f(x) = 3x entao f ′(x) = (3x)′ = 3(x)′ = 3 × 1 = 3

Se f(x) = 2 sinx entao f ′(x) = (2 sin x)′ = 2(sinx)′ = 2cos x

Se f(x) = 4x3 entao f ′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4(3x2) = 12x2


Derivadas

Soma de funcoes

Se f(x) = g(x) + h(x) entao f ′(x) = g′(x) + h′(x), i.e,

[g(x) + h(x)]′ = g′(x) + h′(x)

”a derivada da soma e igual a soma das derivadas”

Exemplos

Se f(x) = x2 + lnx e g(x) = 2x4 + cos x − ex entaof ′(x) = (x2 + lnx)′

= (x2)′ + (ln x)′

= 2x + 1x

g′(x) = (2x4 + cos x − ex)′

= (2x4)′ + (cos x)′ + (−ex)′

= 2(x4)′ − sinx + (−1)(ex)′

= 2(4x3) − sinx + (−1)ex

= 8x3 − sinx − ex


Derivadas

Multiplicacao de funcoes

Se f(x) = g(x)h(x) entao f ′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x), i.e,

[g(x)h(x)]′ = g′(x)h(x) + g(x)h′(x)

”a derivada do produto e igual a

derivada da primeira vezes a segunda

mais

a primeira vezes a derivada da segunda”

Exemplo

Se f(x) = x3 sinx entaof ′(x) = (x3 sinx)′

= (x3)′ sinx + x3(sinx)′

= 3x2 sinx + x3 cos x


Derivadas

Quociente de funcoes

Se f(x) =g(x)

h(x)entao f ′(x) =

g′(x)h(x) − g(x)h′(x)

[h2(x)], i.e,

[ g(x)

h(x)

]′

=g′(x)h(x) − g(x)h′(x)

[h2(x)]”a derivada do quociente e igual a

derivada do numerador vezes o denominador

menos

o numerador vezes a derivada do denominador,

tudo a dividir pelo

quadrado do denominador”


Derivadas

[ g(x)

h(x)

]′

=g′(x)h(x) − g(x)h′(x)

[h2(x)]

Exemplo

Se f(x) =cos x

2xentao

f ′(x) =[cos x

2x

]

′

=(cos x)′(2x) − (cos x)(2x)′

[2x]2

=(− sinx)(2x) − (cos x)(2)

4x2

=−2x sinx − 2 cos x

4x2

=−2(x sinx + cos x)

4x2

=−(x sinx + cos x)

2x2


Derivadas

Composicao de funcoes

Se f(x) = g(x) ◦ h(x) entao f ′(x) = g′(h(x)).h′(x), i.e,

[g(x) ◦ h(x)]′ = g′(h(x)).h′(x)

Exemplos

Se f(x) = sin(3x5) entao[

(sin(u))′ = ddu

sin(u) = cos u, fazendo

u = 3x5 vem cos(3x5)]

f ′(x) = [sin(3x5)]′

= [cos(3x5)].(3x5)′

= [cos(3x5)].[3(x5)′]= [cos(3x5)].[3(5x4)]= [cos(3x5)].(15x4)= 15x4 cos(3x5)


Derivadas

Tabela de Derivadas

f = f(x), g = g(x) funcoes, c =constante e α =uma constantenao nula

(c)′ = 0 (ef )′ = f ′ef

(x)′ = 1 (af )′ = f ′af ln a, a > 0, a 6= 1

(cf)′ = cf ′ (ln f)′ = f ′

f

(f + g)′ = f ′ + g′ (loga f)′ = f ′

f ln a, a > 0, a 6= 1

(fg)′ = f ′.g + f.g′ (sin f)′ = f ′ cos f

(fg)′ = f ′.g−f.g′

g2 (cos f)′ = −f ′ sin f

(fα)′ = αf ′fα−1


Derivadas

Exercıcios

1 Determine uma equacao da recta tangente a parabolay = x2 + 1 nos pontos indicados.(a) (0, 1)(b) (−1, 2)(c) Faca um esboco da parabola y = x2 + 1 e das rectasobtidas nas alıneas anteriores.

2 Um projectil e lancado verticalmente do solo com umavelocidade inicial de 112 metros por segundo. Apos t

segundos, a sua distancia ao solo e de 112t − 4, 9t2 metros.Determine:(a) a velocidade do projectil para t = 2.(b) o instante em que o projectil atinge o solo.(c) a velocidade em que o projectil atinge o solo.


Derivadas

Monotonia de uma funcao

Se uma funcao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e secada recta tangente a curva nesse intervalo tiver declive positivo,entao a curva esta a subir no intervalo e a funcao e crescente.Mas, o declive da recta tangente a f em x e dado pela derivada def em x, f ′(x), logo, se f ′(x) > 0 num intervalo, entao f(x) ecrescente nesse intervalo.

Se uma funcao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e secada recta tangente a curva nesse intervalo tiver declive negativo,entao a curva esta a descer no intervalo e a funcao e decrescente.Mas, o declive da recta tangente a f em x e dado pela derivada def em x, f ′(x), logo, se f ′(x) < 0 num intervalo, entao f(x) edecrescente nesse intervalo.


Derivadas

Extremos de uma funcao

Maximo

Uma funcao f ≡ f(x) tem um maximo local (ou maximo relativo)em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.

Exemplo

A funcao f(x) = −x2 tem um maximo local em 0 poisf(0) ≥ f(x) para valores de x proximos de c.

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


Derivadas

Mınimo

Uma funcao f ≡ f(x) tem um mınimo local (ou mınimo relativo)em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.

Exemplo

A funcao f(x) = x2 tem um mınimo local em 0 pois f(0) ≤ f(x)para valores de x proximos de c.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Derivadas

Os valores maximos e mınimos locais de uma funcao f saochamados extremos locais.

A derivada f ′(x) pode mudar de sinal somente nos valores de x

onde f ′(x) = 0 ou f ′(x) nao esta definida.

Ponto crıtico

Um valor crıtico de uma funcao f e um numero c no domınio de f

onde f ′(c) = 0 ou f ′(c) nao existe. O ponto correspondente aovalor crıtico c designa-se por ponto crıtico.

Se f tiver um maximo ou um mınimo local em c entao f ′(c) = 0ou f ′(c) nao esta definida, isto e, c e um valor crıtico.


Derivadas

Exemplo

Esta funcao tem dois maximos locais, um em x = a e outro emx = c. Em x = a a derivada e zero e em x = c a derivada naoexiste. Esta funcao tem um mınimo local em x = b e f ′(b) = 0.


Derivadas

Como determinar maximos e mınimos locais de uma funcao f

1 Calcular f ′(x).

2 Determinar os valores crıticos de f , isto e, determinar os x

tais que f ′(x) = 0 ou f ′(x) nao existe.

3 Calcular f ′(x) em alguns valores de x a esquerda e a direitade cada valor crıtico (fazendo um quadro de sinais).(a) se f ′(x) > 0 a esquerda e f ′(x) < 0 a direita do valorcrıtico, entao f tem um maximo local nesse valor crıtico.(b) se f ′(x) < 0 a esquerda e f ′(x) > 0 a direita do valorcrıtico, entao f tem um mınimo local nesse valor crıtico.


Derivadas

Exemplo

Determinar os maximos e mınimos locais def(x) = 1

3x3 − x2 − 3x + 2.

1 Calculemos f ′(x). f ′(x) = x2 − 2x − 3

2 Determinemos os valores crıticos de f . Como f ′(x) existepara todo o x em R, basta determinar os x tais que f ′(x) = 0.

f ′(x) = 0 x =2 ± 4

2

x2 − 2x − 3 = 0 x =−2

2∨ x =

6

2

x =2 ±

√4 + 12

2x = −1 ∨ x = 3

x =2 ±

√16

2

Os valores crıticos de f sao x = −1 e x = 3.


Derivadas

Exemplo (cont.)

3 Calculemos f ′(x) em alguns valores de x a esquerda e adireita de cada valor crıtico (fazendo um quadro de sinais).

f ′(−2) = 5 > 0 f ′(0) = −3 < 0 f ′(4) = 5 > 0

−1 3

f ′ + 0 − 0 +

f ր Max ց min ր

Como f ′(x) > 0 a esquerda e f ′(x) < 0 a direita do valorcrıtico x = −1, entao f tem um maximo local em x = −1.Como f ′(x) < 0 a esquerda e f ′(x) > 0 a direita do valorcrıtico x = 3, entao f tem um mınimo local em x = 3.


Derivadas

Exemplo (cont.)

Pela analise grafica podemos confirmar a localizacao do maximo edo mınimo.


Derivadas

Se a primeira derivada de f for zero no valor crıtico c mas naomudar de positiva para negativa ou de negativa para positivaconforme x passa por c, entao f nao tem nem maximo nemmınimo local em c.

Exemplo

Os valores crıticos da funcao f(x) = 14x4 − 2

3x3 − 2x2 + 8x + 4sao x = −2 e x = 2. A funcao f tem mınimo local em x = −2 enao tem nem maximo nem mınimo em x = 2.


Derivadas

Aplicacao: Rectangulo de area maxima

Suponhamos o seguinte problema.

Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectangulo, deperımetro igual a 100 metros, de modo ao rectangulo ter areamaxima.

Designemos os comprimentos dos lados do rectangulo por x e y


Derivadas

A area e dada por A = xy e o perımetro por P = 2x + 2y

Observemos que podemos ter rectangulos distintos com o mesmoperımetro e areas distintas. Por exemplo:para x = 10 e y = 40 vem P = 100 e A = 400para x = 20 e y = 30 vem P = 100 e A = 600

O que se pretende aqui, e determinar os valores de x e de y para seter P = 100 e obter o valor maximo para A.


Derivadas

Vamos escrever a funcao area como uma funcao de uma sovariavel.

Como o perımetro e 100 metros, temos

2x + 2y = 100

x + y = 50

y = 50 − x

Substituindo y por 50 − x em A = xy obtemos

A = x(50 − x)

que e uma funcao na (unica) variavel x.


Derivadas

Determinemos o(s) maximo(s) da funcao area

A(x) = x(50 − x) = −x2 + 50x

Comecemos por determinar a sua derivada.

A′(x) = −2x + 50

Determinemos os valores crıticos de A. Como A′(x) existe paratodo o x em R, basta determinar os x tais que A′(x) = 0.

A′(x) = 0 ⇔ −2x + 50 = 0 ⇔ x = 25

O (unico) valor crıtico de A e x = 25.


Derivadas

Calculemos A′(x) em valores de x a esquerda e a direita de x = 25(fazendo um quadro de sinais).

A′(24) = 2 > 0 A′(26) = −2 < 0

25

A′ + 0 −A ր Max ց

Como A′(x) > 0 a esquerda e A′(x) < 0 a direita do valor crıticox = 25, entao A tem um maximo local em x = 25.

Uma vez que y = 50 − x, vem y = 50 − 25 = 25.


Derivadas

Concluımos que os quatro lados tem o mesmo comprimento e aarea maxima e atingida se o rectangulo for um quadrado.

O valor maximo da area rectangular que e possıvel conter dentrodo perımetro 100 metros sera

A = 25 × 25 = 625m2


Derivadas

Aplicacao: Rectangulo de perımetro mınimo

Suponhamos agora o seguinte problema.

Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectangulo, dearea igual a 100 m2, de modo ao rectangulo ter perımetro mınimo.

Designemos os comprimentos dos lados do rectangulo por x e y


Derivadas

A area e dada por A = xy e o perımetro por P = 2x + 2y

Observemos que podemos ter rectangulos distintos com a mesmaarea e perımetros distintos. Por exemplo:para x = 2 e y = 50 vem A = 100 e P = 104para x = 5 e y = 20 vem A = 100 e P = 50

O que se pretende aqui, e determinar os valores de x e de y para seter A = 100 e obter o valor mınimo para P .


Derivadas

Vamos escrever a funcao perımetro como uma funcao de uma sovariavel.

Como a area e 100 metros, temos

xy = 100

y =100

x

(E claro que x 6= 0, caso contrario a area seria nula. E tambemobvio que 0 < x ≤ 100 e 0 < y ≤ 100)

Substituindo y por 100x

em P = 2x + 2y obtemos

P = 2x + 2.100

x= 2x +

200

x

que e uma funcao na (unica) variavel x.


Derivadas

Determinemos o(s) mınimo(s) da funcao perımetro

P (x) = 2x +200

x

Comecemos por determinar a sua derivada.

P ′(x) = (2x+200x−1)′ = 2+200(−1)x(−1−1) = 2−200x−2 = 2−200

x2

Determinemos os valores crıticos de P . Como P ′(x) existe paratodo o x em causa (0 < x ≤ 100), basta determinar os x tais queP ′(x) = 0.

P ′(x) = 0 ⇔ 2 − 200

x2= 0 ⇔ 2x2 − 200

x2= 0

Assim 2x2 − 200 = 0, logo x2 = 100, e portanto x = ∓10. Masx = −10 nao faz sentido (uma vez que x representa umcomprimento). Assim, o unico candidato a valor mınimo de P , quenos interessa, e x = 10.


Derivadas

Calculemos P ′(x) em valores de x a esquerda e a direita de x = 10(fazendo um quadro de sinais).

P ′(9) = −38

81< 0 P ′(11) =

42

121> 0

10

P ′ − 0 +

P ց mın ր

Como P ′(x) < 0 a esquerda e P ′(x) > 0 a direita do valor crıticox = 10, entao P tem um mınimo local em x = 10.

Uma vez que y = 100x

, vem y = 10010 = 10.


Derivadas

Concluımos que os quatro lados tem o mesmo comprimento e operımetro mınimo e atingido se o rectangulo for um quadrado.

O valor mınimo do perımetro rectangular que e possıvel delimitaruma area de 100 metros quadrados sera

P = 2 × 10 + 2 × 10 = 40m


Derivadas

Exercıcio

A receita semanal de um filme lancado recentemente e dada por

R(t) =50t

t2 + 36, t ≥ 0

onde R esta em milhoes de euros e t em semanas.

1 Determine os extremos locais.

2 Durante quantas semanas a receita semanal aumentara?


Matemática básica derivada e integral

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