Matemática Bachillerato Tema nuevo 2016 Parte 2 Probabilidad y Estadística

Material de Estadística y Probabilidad para Estudiantes de Bachillerato por Madurez Suficiente 2016

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TEMA PROGRAMAS 2016 BACHILLERATO POR

MADUREZ SUFICIENTE

Parte 2

2016

Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray


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Índice

Tabla de Contenidos Representaciones Tabulares y Gráficas ..............................................................................................1

Análisis de Datos ................................................................................................................................2

Medidas de Posición ..........................................................................................................................3

La Moda .........................................................................................................................................4

La Media Aritmética .......................................................................................................................4

La Mediana .....................................................................................................................................5

El Valor Máximo .............................................................................................................................5

El Valor Mínimo ..............................................................................................................................6

Cuartiles .........................................................................................................................................6

Medidas de Posición y Tipo de Asimetría .......................................................................................7

La Media Aritmética Ponderada .....................................................................................................8

Eventos Probabilísticos ....................................................................................................................12

Definición .....................................................................................................................................12

Unión de Eventos .........................................................................................................................12

Complemento de un Evento.........................................................................................................13

Intersección de Eventos ...............................................................................................................14

Eventos Mutuamente Excluyentes ...............................................................................................15

Probabilidades .................................................................................................................................16

Probabilidad de un Evento ...........................................................................................................16

Axiomas de las Probabilidades .....................................................................................................17

Propiedades Básicas de las Probabilidades ..................................................................................17


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TEMA PROGRAMAS 2016 BACHILLERATO POR

MADUREZ SUFICIENTE

Representaciones Tabulares y Gráficas

Para entender el uso de las formas en que se pueden presentar los datos agrupados

vamos a trabajar con un solo ejemplo, donde podremos aprender cómo se presentan

estos datos y las distintas formas de interpretar los resultados obtenidos.

Iniciamos con el siguiente cuadro, forma tabular clásica de presentar los datos.

Costa Rica: Población de 5 años o más por uso de Tecnologías de Información y la

Comunicación, según territorio indígena. Según censo de población del año 2011

Territorios Indígenas.

Población Uso del Celular

Uso de la Computadora

Uso del Internet

NO Uso

Totales

Bribrís 5958 3127 2681 3129 14895

Bruncas o Borucas

2197 981 862 - 3923

Cabécares 2126 1063 945 7674 11808

Chorotega 655 297 250 358 1560

Huetares 1270 624 534 - 2228

Maleku o Guatuso

763 297 284 - 1293

Ngúbes o Guaymíes

1607 535 487 2241 4870

Teribe o Térraba 1008 336 317 207 1868

15584 7260 6360 2448 42445 Fuente: Censo poblacional 2011:

http://www.uned.ac.cr/extension/images/ifcmdl/02._Censo_2011._Territorios_Indigenas.pdf



Veamos ahora las formas gráficas en que se pueden presentar los daos anteriores,

tomando como base los datos presentados en forma tabular.

Gráfico e barras horizontales del censo poblacional indígena del 2011

Fuente: Censo poblacional 2011:


Análisis de Datos

La población indígena de Cabécar es la que tiene el mayor porcentaje de población que

no utiliza el teléfono, el internet ni la computadora, esto puede deberse a situaciones de

acceso o a resistencia de parte de esta población hacia el uso de las nuevas tecnologías

de información y comunicación. Esto a pesar de ser la segunda población indígena que

habita el país, con 11 808 habitantes, esto según el censo poblacional del 2011.

Además podemos observar que la población indígena Bribrís, son los que tienen la mayor

cantidad de habitantes en el país, son los que más uso hacen del teléfono celular y

presentan prácticamente un empate entre el uso de la computadora y el no uso de estas

tecnologías.

0 2000 4000 6000 8000 10000

Bribrís

Bruncas o Borucas

Cabécares

Chorotega

Huetares

Maleku o Guatoso

Ngúbes o Guaymíes

Teribe o Térraba

NO Uso

Uso del Internet

Uso de la Computadora

Uso del Celular



Medidas de Posición

Las medidas de posición pueden ser definidas de diversas formas. Proponemos la

siguiente definición: “Las medidas de posición son datos estadísticos que intentan

representar un conjunto de datos individuales respecto de una variable”

1- Son medidas estadísticas, es decir, no son medidas individuales. Una medida de

posición representa a todo un conjunto de datos, y no son los datos individuales.

Por ejemplo, un promedio de edades representa a todas las edades del grupo, y

no es la edad individual de uno de sus miembros, aunque pueda coincidir

numéricamente con ella. Así, si el promedio de edades es 20 años y una de las

personas del grupo tiene 20 años, el primer dato es una medida estadística y el

segundo una medida individual. En otros términos, las medidas estadísticas no

describen individuos, sino poblaciones o muestras. Por ejemplo, no tiene sentido

explicar que una persona es anciana porque vive en una población cuyo promedio

de edad es 70 años.

2- Son medidas representativas, es decir, intentan representar y sintetizar a todas las

medidas individuales. El conjunto de todas las medidas individuales puede recibir

diversos nombres, tales como muestra y población, con lo cual tiene sentido

afirmar proposiciones tales como „una medida de posición representa una muestra

o una población‟. Por ejemplo, es posible representar las notas obtenidas por un

grupo de alumnos de diversas maneras:

a- El promedio de las notas es de 7.35 puntos (en este caso usamos una medida

de posición llamada media aritmética).

b- La mitad de los alumnos ha obtenido una nota superior a 6,5 puntos (en este

caso utilizamos otra medida de posición llamada mediana).

c- La nota que más se ha repetido fue 7 puntos (en este caso usamos la medida

de posición llamada moda).

La pregunta acerca de cuál de las tres medidas de posición representa “mejor‟ al

conjunto de datos individuales es el problema de la representatividad de la medida

de posición, y la estadística suministra, como se verá, diversos criterios para

evaluar la mejor forma de representar un cierto número de datos individuales.

3- Son medidas que miden una variable, es decir, algún atributo o propiedad de los

objetos. En el ejemplo anterior la variable medida es el rendimiento académico,

pero también pueden obtenerse medidas de posición representativas de un

conjunto de edades, de profesiones, de clases sociales, de puntuaciones de un

test, de cantidad de dientes, etc. De otra manera: no tiene sentido decir que una

medida de posición represente un conjunto de personas, pero sí tiene sentido

decir que representan las edades de un conjunto de personas



La Moda

Definiciones:

1- “Representa el valor que más se repite, o el valor más común del conjunto de

datos”

2- “Es el valor que con más frecuencia se presenta en un conjunto”

3- “Valor más común, más típico, que ocurre más frecuentemente en un conjunto de

datos”

En comparación con la media y la mediana la moda es el menos útil de los indicadores

para la mayoría de las situaciones estadísticas, ya que no se inclina por un análisis

matemático en el mismo sentido que lo hacen la media y la mediana. Sin embargo desde

un punto de vista meramente descriptivo, la moda es indicativa del valor típico. La moda

es útil cuando uno o dos valores, o un grupo de éstos, ocurren con mayor frecuencia que

otros. Por el contrario, cuando la mayoría o todos los valores se presentan casi con la

misma frecuencia, el modo no sirve para describir datos.

La Media Aritmética

Definiciones:

“Corresponde al promedio de los datos. Esa una de las medidas más utilizadas en

Estadística”

“Se le conoce como "promedio". Se obtiene al sumar los valores de un conjunto y al dividir

el producto de esta suma entre el número de valores del mismo”

“Es el resultado de la suma de los valores del conjunto de análisis entre el número de

datos. Es sensible a todos los valores de una distribución, en especial a los valores

extremos altos y bajos”



Cuando se tiene que resumir un conjunto de datos numéricos es muy frecuente utilizar la

media aritmética. La media aritmética o promedio destaca por representar el reparto

equitativo, el equilibrio, la equidad. Es el valor que tendrían los datos, si todos ellos fueran

iguales. O, también, el valor que correspondería a cada uno de los datos de la distribución

si su suma total se repartiera por igual.

La Mediana

Su característica principal es que divide un conjunto ordenado en dos grupos iguales; la

mitad de los números tendrá valores que son menores que la mediana, y la otra mitad

alcanzará valores mayores que esta. Para encontrar la mediana primeramente es

necesario ordenar los valores (generalmente de menor a mayor). Posteriormente se

deberá separar la mitad de los valores para obtener la mediana.

Definiciones:

“Valor que se ubica en el centro de la distribución de datos. Dados n datos ordenados, la

mediana M , se ubica en la posición

1

2

n ”

“El número de la mitad en un conjunto de números”

“La mediana estadística es el número central de un grupo de números ordenados por

tamaño. Si la cantidad de términos es par, la mediana es el promedio de los dos números

centrales”

El Valor Máximo

Corresponde al mayor valor que toman los datos dentro de un conjunto ordenado de ellos.



El Valor Mínimo

Corresponde al menor valor que toma el dato dentro de un conjunto de datos ordenados.

Cuartiles

Uno de los tres puntos que dividen un conjunto de datos numéricamente ordenados en

cuatro partes iguales. A estos tres puntos se les llama primer cuartil (también llamado el

cuartil inferior), segundo cuartil (el cuartil medio; es la mediana) y el tercer cuartil (cuartil

superior), respectivamente. Se pueden utilizar para darnos una idea de la dispersión de

los datos.

Cálculo de la ubicación de los Cuartiles:

1Q Se ubica en la posición

1

4

n

2 eQ M Se ubica en la posición

1

2

n

3Q Se ubica en la posición

3 1

4

n

Si queremos entender de una mejor forma cual es la principal función de las Medidas de

Tendencia Central, vamos a utilizar un Polígono de Frecuencia, donde representamos las

poblaciones totales indígenas de nuestro país.

Luego podremos calcular las medidas de tendencia central y las ubicaremos dentro del

gráfico.



Gráfico que representa las poblaciones totales indígenas que posee el país de Costa Rica

Fuente: Censo poblacional 2011:


Medidas de Posición y Tipo de Asimetría

La Media Aritmética o Promedio representa el valor alrededor del cual se concentran los

datos, pero su posición tiende a sesgarse (a presentar error) influenciada por dichos

valores debido a que la medida es muy sensible ante la presencia de valores extremos

(datos muy altos o muy bajos de lo normal).

Para que el promedio cumpla con su propósito, la distribución de los datos debe ser

aproximadamente simétrica, en caso contrario se debe recurrir a la Mediana, que por sus

características se ubica en el centro de la distribución.

En las siguientes tres gráficas se muestra la posición de la media de acuerdo con la

distribución de los datos, en la primera y tercera se observa el desplazamiento hacia los

valores extremos.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

TOTALES

TOTALES

MEDIA

MEDIANA

MODA



La Media Aritmética Ponderada

La media ponderada es una medida de tendencia central, es muy útil cuando en un

conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa o peso, en la relación

con los demás datos y se construye asignándole a cada clase un peso, y obteniendo un

promedio para los pesos, luego se divide entre la suma de los pesos asignados.

Hay dos fórmulas para el cálculo de esta medida de tendencia central, para datos

agrupados y datos sin agrupar.

Fórmulas

Datos sin agrupar:

i i

i

p xX

p

Donde: : significa “sumatoria” e indica que se deben sumar todos los

cálculos.

ip : es el peso que se le asigna a cada variable de forma directa

ix : es el valor de cada dato.



Datos Agrupados:

i ix nX

n

Donde: : significa “sumatoria” e indica que se deben sumar todos los

cálculos.

ix : es el valor de la frecuencia absoluta de los datos en cada

categoría

in : es cada valor ubicado dentro de la distribución de frecuencias

absolutas.

n : es el total de las frecuencias absolutas.

Veamos un ejemplo con datos sin agrupar:

La nota final de una asignatura es una media ponderada de las notas que han obtenido

los alumnos en los cuatro elementos evaluables que determina el profesor. El responsable

de la asignatura otorga un peso de 3 al examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al

trabajo final y 4 al examen final. Las notas de un alumno han sido las siguientes:



Se hace la suma de los productos de las notas por el peso de cada nota y se divide por la

suma de los pesos.

La nota final del alumno en esta asignatura es de 6,14. Se puede ver en el siguiente

gráfico como la nota es muy próxima a las notas sacadas en los exámenes. Esto es a

causa de que los exámenes eran más importantes y tenían unos pesos mucho mayores

que los de los trabajos.

Dibujo del diagrama de barras con la media ponderada y las notas con sus pesos.



Ahora veamos un ejemplo con datos agrupados:

La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de preguntas de 81 encuestados

sobre un Test que consta de sólo seis preguntas.

Preguntas acertadas Número de Personas

1 15

2 13

3 8

4 19

5 21

6 5

Total 81

Solución.

Paso 1: Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuencia

absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15 veces el valor 1, 13

veces el valor 2, 8 veces el valor 3, y así sucesivamente hasta llegar a la última clase:

(115) (2 13) (3 8) (4 19) (5 21) (6 5) 276i ix n

Paso 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.

2763.41

81

i ix nX

n

En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es 3.41)

preguntas acertadas.



Eventos Probabilísticos

Definición

“Un evento o suceso aleatorio, probabilístico o estadístico es un subconjunto de un

espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un

experimento aleatorio”

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el

espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son

eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Unión de Eventos

La unión de eventos A y B es el evento de que ocurra A ó B (o los dos), podemos

entonces afirmar que es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los

elementos de B.

Se denota: A B

Con el uso de los diagramas de Venn, tenemos:



Ejemplo:

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =

"sacar múltiplo de 3". Calcular A unión B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {2, 3, 4, 6}

Complemento de un Evento

Si el evento A es un subconjunto de un espacio muestral S, el complemento de A contiene

los elementos de S que no son miembros de A. El símbolo para el complemento de un

evento A es: A o cA

Entonces el complemento de un evento A, es el de que A no ocurra.

Gráficamente se representaría:



Ejemplo:

Considere el experimento de lanzar un dado.

1,2,3,4,5,6S . Digamos que A sea el evento que al lanzar el dado nos arroje

un número mayor que 4. A = {5, 6}. 5,6A Entonces 1,2,3,4A .

Intersección de Eventos

Suceso formado por todos los elementos que son a la vez de A y B al mismo tiempo y se

denota:

Ejemplo:

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =

"sacar múltiplo de 3". Calcular A intersección B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A intersección B = {6}



Eventos Mutuamente Excluyentes

Los eventos mutuamente excluyentes son dos resultados de un evento que no pueden

ocurrir al mismo tiempo. Si A y B son eventos, entonces decimos que A y B son disjuntos

o mutuamente excluyentes si A B es conjunto vacío.

Gráficamente su representación es:

Ejemplo:

- Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son eventos

mutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.

- Sin embargo, sacar una carta roja y rey no son eventos mutuamente excluyentes,

ya que puedes sacar perfectamente un rey rojo.



Probabilidades

La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o

condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se

obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se

conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el

contexto supone de antemano.

Probabilidad de un Evento

La probabilidad “P” de que suceda un evento “S” de un total de “n” casos posibles e

igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias “h” de dicho

evento o casos favorables y el número total de casos posibles “n”.

Fórmula: h

P Sn

Ejemplo:

Un surtido de dulces contiene seis mentas, cuatro chicles y tres chocolates. Si una

persona hace una selección aleatoria de uno de estos dulces, calcular la probabilidad de

sacar:

a- Una menta

b- Un chicle o un chocolate.

Si M, CI y CO representan los eventos de que la persona seleccione, respectivamente,

una menta, un chicle y un chocolate. El número total de dulces es 13, los cuales tiene la

misma probabilidad de ser seleccionados.

a) Como seis de los 13 dulces son mentas: 6

0,4613

P M



b) Como siete de los 13 dulces son chicles o chocolates:

7

0,5413

P CI CO

Axiomas de las Probabilidades

1- La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. Es decir:

0 1P A

2- La probabilidad del evento seguro es 1. Es decir,

1P E

3- Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, es decir 4 que:

A B

p A B P A P B

Propiedades Básicas de las Probabilidades

La suma de las probabilidades de un evento y su complemento es 1, por lo tanto la

probabilidad del complemento es:

1cP A P A

La probabilidad del evento imposible es cero.

0P



La probabilidad de la unión de dos eventos que no son mutuamente excluyentes, es la

suma de sus probabilidades restándosele la probabilidad de su intersección.

P A B P A P B p A B

Ejemplo:

La probabilidad de que Paula apruebe Estadística es 2/3 y la probabilidad de que apruebe

Ecuaciones Diferenciales es 4/9. Si la probabilidad de aprobar ambos cursos es 1/4.

¿Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de estos cursos?

Si E es el evento aprobar Estadística y D el evento aprobar Ecuaciones Diferenciales,

entonces

2 4 2 4 2 4 2 4 1 310,86

3 9 3 9 3 9 3 9 4 36

P E D P E P D P E D

P P P P

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