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Tema 1Tema 1

Envolvente Envolvente convexaconvexa

Parte 2: Aplicaciones Parte 2: Aplicaciones (anchura y diámetro)(anchura y diámetro)

Envolvente Envolvente convexaconvexa

Parte 2: Aplicaciones Parte 2: Aplicaciones (anchura y diámetro)(anchura y diámetro)

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Tema 1Tema 1

Anchura: La distancia más corta entre paralelas que contienen el conjunto.Diámetro: La mayor distancia entre dos puntos del conjunto.

Aplicaciones de la Aplicaciones de la envolvente convexaenvolvente convexa

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Tema 1Tema 1

La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura.

Lema: La anchura equivale al cálculo de la recta centro.

Recta centro (que minimiza la distancia a los puntos de la

nube)

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa.

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjuntoLa distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura.

Usaremos el método de rotación de un calibre (rotating calliper).

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

Algunos vértices no son antipodales de ninguna arista.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente.

Trazamos dos rectas horizontales (calibre).

En cada paso:

• Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente.

• Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño.

• Almaceno los nuevos pares antipodales.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjuntoLema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa.Lema: Es posible determinar todos los pares antipodales arista-punto de un polígono convexo en tiempo lineal.

Teorema: Es posible determinar la anchura de un conjunto en tiempo lineal a partir de su envolvente convexa.

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

¿Conoces alguna figura de anchura constante?

…que no sea un círculo…

La más conocida es el Triángulo de Reuleaux

¿Conoces alguna figura de anchura constante?

…que no sea un círculo…

La más conocida es el Triángulo de Reuleaux

Ventana de la Catedral de Notre Dame de Brujas

Ventana de la Catedral de Notre Dame de Brujas

http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

¿Conoces alguna figura de anchura constante?

…que no sea un círculo…

La más conocida es el Triángulo de Reuleaux

que se utiliza, por ejemplo, en el motor Wankel (vídeo).

¿Conoces alguna figura de anchura constante?

…que no sea un círculo…

La más conocida es el Triángulo de Reuleaux

que se utiliza, por ejemplo, en el motor Wankel (vídeo).

http://mecanicavirtual.iespana.es/inyeccion-wankel.htmhttp://mecanicavirtual.iespana.es/inyeccion-wankel.htm

Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Aunque podemos construir muchas más:Aunque podemos construir muchas más:

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Anchura de un conjuntoAnchura de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos más alejados

El par más alejado

Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con el diámetro de sus puntos extremos.

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

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Tema 1Tema 1

Puntos antipodales

Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

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Matemática Aplicada I

Jesús Valenzuelahttp://personal.us.es/jesusv

En

volv

ente

con

vexa

: A

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Tema 1Tema 1Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

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Tema 1Tema 1Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

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Tema 1Tema 1Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

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Tema 1Tema 1Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con la distancia entre su par antipodal punto-punto más lejano.

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

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Matemática Aplicada I

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: A

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Tema 1Tema 1

Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

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vexa

: A

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Tema 1Tema 1

Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v

Diámetro de un conjuntoDiámetro de un conjunto

Corolario 5.1: Todos los pares antipodales vértice-vértice pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa.

Teorema: El diámetro de un conjunto pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa.

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Matemática Aplicada I

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En

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Tema 1Tema 1

1.- Probar que dado un conjunto de puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo O(n log n) un polígono que tenga a dicho conjunto como sus vértices.

2.- Sea P un polígono monótono (existe una recta tal que toda perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo lineal.

3.- Dado un conjunto con n puntos rojos y n puntos azules en el plano, dar un algoritmo que una cada punto rojo con un azul mediante segmentos que no se corten entre sí (emparejamiento geométrico perfecto).  

1.- Probar que dado un conjunto de puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo O(n log n) un polígono que tenga a dicho conjunto como sus vértices.

2.- Sea P un polígono monótono (existe una recta tal que toda perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo lineal.

3.- Dado un conjunto con n puntos rojos y n puntos azules en el plano, dar un algoritmo que una cada punto rojo con un azul mediante segmentos que no se corten entre sí (emparejamiento geométrico perfecto).  

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