Matemática

Actividades para repensar el Bicentenario: Matemática.

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ACTIVIDADES PARA REPENSAR EL BICENTENARIO

ESPACIO CURRICULAR:

MATEMÁTICA

Durante los principios del siglo XIX en el virreinato

La época del virreinato tuvo ciertas particularidades en lo que a educación se refiere. El

sometimiento de los indios fue, fundamentalmente, de evangelización, con la que estuvieron a

cargo los sacerdotes jesuitas.

En cuanto a los procesos de escolarización, eran para unos pocos elegidos. Solo los “criollos”

tenían acceso a un maestro particular para el aprendizaje de la lectura, escritura y cálculo. Los

reyes de España, incluso, consideraban poco conveniente que se ilustrara a los americanos.

En cuanto a las escuelas solo había unas pocas –para unos pocos- que se denominaban “Escuelas

del Rey”.

Los revolucionarios de Mayo, en cambio, vieron la educación como un medio para afianzar la

revolución y el progreso de los habitantes de este suelo. Por eso, una de las primeras medidas

de la Primera Junta fue la de convertir las “Escuelas del Rey” en “Escuelas de la Patria” y

ponerlas bajo las órdenes de los Cabildos. En cuanto a la Educación Superior, la antigua

Universidad de Córdoba (1664) permaneció en manos de los jesuitas.

Hay nombres de próceres asociados a la libertad y derecho a la educación popular. Uno de ellos

fue Manuel Belgrano, quien promovió la educación gratuita y pública, como así también estuvo

en el espíritu de los hombres de mayo.

La época de Rivadavia fue floreciente para la educación pública; se fundaron escuelas en varias

provincias del país, se construyeron edificios escolares, se promovió la educación de las

mujeres y se inauguró la Universidad de Buenos Aires.

En las escuelas de formación básica, en el área de matemática, los conocimientos trasmitidos

se basaban en la adquisición del cálculo y estaba casi reservado para los varones, las niñas

tenían su formación orientada hacia la lectoescritura, música y las manualidades.

En la escuela media, (muy escasa para estas épocas) se formaban las clases dirigentes y los

maestros para las escuelas.

La formación universitaria estaba dirigida preferentemente a las áreas humanísticas (abogados,

teólogos…) y las matemáticas lejos estaban de incorporar los conocimientos del llamado “siglo

de oro de la matemática”1.

Durante los principios del siglo XIX en el mundo Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en cantidad como en

calidad, la producción reunida en épocas anteriores. Este siglo fue también, con la excepción

de la época de la antigua Grecia, el más revolucionario de la historia de la matemática2.

1 Nuestras bases. Centro Editor de América latina . Bs As. (1971) 2 García Venturini, Alejandro. Los matemáticos que hicieron la historia. Ediciones cooperativas. Bs As (2004)


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Gauss, Ruffini, Bolzano, Cauchy –para nombrar solo algunos- dan pie para afirmar el álgebra

moderna, el análisis matemático, la teoría de las funciones y las transformaciones de la

geometría (aparece la geometría no euclideana).

Solo como comentario informativo, se citan tres rasgos que distinguen los progresos en la

ciencia matemática:

� La ampliación del contenido del objeto de la Matemática.

� La necesidad de fundamentar la Matemática en su conjunto.

� La ampliación del campo de las aplicaciones.

Durante los principios del siglo XX en la Argentina

La educación tuvo un papel central en la constitución de la nación, considerada una condición

esencial para hacer del país una república. En ese marco se sancionó la Ley Nº1420 de

educación común, estableciendo su carácter obligatorio, estatal, laico y graduado. Sin

embargo, este impulso del Estado a la educación pública universal entró pronto en

contradicción con el sistema político restrictivo. Las consecuencias de esta tensión estallaron

en las primeras décadas del siglo XX, cuando los nuevos sectores medios en expansión pusieron

fin al régimen conservador.

En las primeras décadas del siglo XX, la población escolar se duplicó, alcanzando prácticamente

al 70% de los niños de edad entre 6 y 13 años. Hacia 1910, en el marco de los festejos del

centenario, se profundizaron los contenidos patrióticos a fin de consolidar una concepción

unificadora de la identidad nacional. En esta línea de acción, se había sancionado la Ley Láinez

que señalaba claramente el influjo del estado nacional en los sistemas educativos provinciales.

Por otra parte, en la universidad tuvo lugar una profunda democratización en los claustros, a

través de la Reforma Universitaria de 1918. Paralelamente, la discusión sobre la reforma en la

enseñanza media entre 1916 y 1917, giró en torno al proceso de ampliación política3.

Nuevos aires llegan con el comienzo del siglo. En los primeros años del siglo XX comienzan a

aparecer nuevas revistas científicas, entre ellas la "Revista de Matemáticas" cuyo director fue

Manuel Guitarte. La tirada de esta revista circula hasta el año 1918.

En 1919 se da a conocer la "Revista de Matemáticas y Física Elementales".

Llega a nuestros oídos el nombre de un gran maestro: Rey Pastor.

Pastor llega a Buenos Aires en 1917 invitado por la Institución Cultural Española, para fomentar

la renovación en los estudios matemáticos y participar en el Instituto de Matemáticas de la

Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad de Buenos Aires, quien lo contrata como

profesor del Doctorado en Matemática.

Entre sus mayores logros en nuestro suelo se cuentan:

• La creación del Doctorado de Ciencias Exactas y el impulso en la construcción de una

importante biblioteca matemática.

• Publica en la Facultad de Ciencias Exactas el Boletín del Seminario Matemático

Argentino.

3 www.argentina.gob.ar. Educación


3

• Crea la Unión Matemática Argentina.

Pero a Pastor no sólo le inquietaban las matemáticas. También fue profesor de la Cátedra de

Epistemología de la Facultad de Filosofía y Letras y, algo que muy pocos saben, fue también

fundador del pueblo General Enrique de Godoy, situado en la localidad de General Roca,

provincia de Río Negro.

Por esos años, y por impulso de Pastor, la Universidad de Buenos Aires se llena de gloriosos

matemáticos como nunca antes.

Fue alumna de dicha universidad la célebre Celina Repetto.

Repetto, oriunda de la Ciudad de Buenos Aires era Doctora en Ciencias Físico-Matemáticas y se

desempeñó como profesora de enseñanza secundaria en las áreas de matemática y física.

Trabajó en numerosas instituciones y escribió una docena de libros reeditados varias veces y

con los cuales se formaron unas cuantas generaciones de argentinos ( ¿quién –joven o no tanto-

ha tenido un libro de ella en sus manos?).

Por el año 1911 la Universidad de La Plata tiene como profesor de Matemáticas al alemán Paul

Frank, y poco más tarde se incorporaría el italiano Hugo Broggi en la cátedra de Matemática

Superior. Entre los profesores argentinos que trabajaban en esa universidad se destacaron los

nombres de José A. Medina y Alberto Sagastume Berra4.

Durante los principios del siglo XX en el mundo

Con el advenimiento del siglo XX, en el resto del mundo, David Hilbert enuncia en París, en el

marco del Congreso Internacional de Matemática, los 23 problemas más importantes de la

matemática que aún no tenían solución. Con esto desafió al mundo –matemático, obviamente–

e invitó a la comunidad científica a “arremangarse” y tratar de producir resultados.

Nuevas ramas, como la topología, y del análisis nacieron de la geometría, y dominaron la

investigación en matemática durante muchísimo tiempo. Se produjo también la enfática

irrupción de las “Probabilidades y estadísticas”, muy ligadas a la teoría de conjuntos, las

funciones que se llaman “medibles” y las “teorías de integración”.

Los últimos dos matemáticos universalistas fueron Gauss y Poincaré. Es que hace un siglo era

posible imaginar que un extraordinario matemático pudiera manejar todo lo que se

sabía de su especialidad en el mundo. Pero eso hoy no puede pasar. Otra vez, no sólo es

improbable, sino casi “imposible”.

Finalmente, es interesante acotar que a comienzos de este siglo, aparecen los estudios sobre

lógica y complejidad que han conducido a la creación de la computadora, el invento del siglo

XX que ha transformado nuestra sociedad5.

4 Recorrido histórico de la matemática en la Argentina. www.monografías.com


4

Primera actividad

Lea atentamente los siguientes párrafos correspondientes al texto “Didáctica de matemáticas.

Aportes y reflexiones”

“…una redacción que muestra en toda su complejidad los pasos del algoritmo puede leerse en

el libro de Díaz de Rueda (1850). Este libro, a partir de preguntas, pretende dar a conocer

todos los temas de todas las materias de la primera enseñanza.

En el capítulo de “Aritmética” se plantea, entre otras, la pregunta:

¿Cómo se divide un número compuesto por un dígito? se lee:

Después de colocar el divisor a la derecha del dividendo separados por medio del

correspondiente signo, se averigua cuántas veces el primer guarismo de éste, empezando por

la izquierda y separándolo con una coma, contiene a aquél o si dicho guarismo es menor, las

veces que los dos primeros están contenidos en el divisor; y el resultado se pone debajo de

éste. Después se multiplica dicho resultado por el divisor, y colocando el producto debajo del

dividendo parcial se restan entre sí. Luego se separa con una coma otro guarismo en el

dividendo, y uniéndolo al residuo de la resta, si lo hay, se ve igualmente las veces que

contiene al divisor, y se procede de la misma manera que en el caso anterior y sucesivamente

hasta concluir la operación. Finalmente, si hubiera algún residuo por no salir cociente exacto,

se escribe delate de éste en forma de quebrado…”

“…al maestro corresponde hacer algunas advertencias especiales para facilitar la división

de un compuesto por otro compuesto”

Luego de la lectura:

1.1.- Trate de construir el cálculo a medida que los párrafos lo indican.

1.2.- Compare los pasos realizados con lo que habitualmente se observa en las aulas para

éste cálculo en particular.

1.3.- Reflexione: ¿qué dificultades encuentra entre sus procedimientos (consideramos su

conocimiento experto) para la construcción del cálculo y la apropiación del mismo por

parte de los alumnos que desconocen la técnica?

1.4.- Trate, con sus palabras, de explicar cómo se resuelve un cálculo de división con un

divisor de más de una cifra.

5 Collette . Jean Paul. Historia de las matemáticas, vol II. Siglo XXI Editores. Bs As: (2007)


5

1.5 -¿Considera que con “algunas advertencias especiales” los alumnos (o el docente)

puedan transferir el conocimiento del cálculo con divisor por una cifra al de dos?

Justifique su respuesta.

1.6.- ¿Qué opina sobre la técnica que explicita el libro y la fecha del libro en que fue

utilizado? ¿Considera que hay distancia entre esa propuesta y las técnicas actuales?

¿Cuáles?

Segunda actividad

Lea con atención los siguientes párrafos que pertenecen al texto “Los CBC y la enseñanza de la

matemática”, del capítulo “El cálculo en la escuela: las cuentas, ¿son un problema?” de la Mg.

Graciela Chemello.

Pensar las cuentas

“…es posible plantear a los alumnos la resolución de un problema: buscar el resultado de un

cálculo.

¿Por qué y cómo hacerlo?

Si elegimos como modelo de aprendizaje aquél que se centra en la construcción del saber por

el alumno, habrá que partir de sus concepciones y ponerlas a prueba en distintas situaciones

con distintos obstáculos, para mejorarlas, modificarlas y construir otras.

Puede, por ejemplo, plantearse un problema que los alumnos investiguen individualmente o en

grupos. Los chicos generarán estrategias propias para resolverlos y, frente al cálculo,

procedimientos propios para llegar a los resultados.

La producción de dicho procedimiento será realmente un problema para ellos, si hemos sabido

elegir la situación de manera que les permita poner en juego sus conocimientos sobre la

operación planteada, sus propiedades, los símbolos que deberán manipular.

Luego de la lectura:

2.1.- Según el texto, un cálculo ¿puede ser considerado un problema?, o, ¿es necesario

plantear un problema cada vez que se pretenda resolver un cálculo? Justifique su

respuesta.

2.2.- ¿Qué diferencias significativas encuentra entre el planteo de la enseñanza del

cálculo por Díaz de Rueda y la profesora Chemello?

2.3.- ¿Cómo serían observables las diferencias que enunció en una clase habitual de

enseñanza?


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Tercera actividad

El siguiente relato, si bien es verdadero, está matizado por la figura novelesca y un poco loca

del Dr. Semmelweis. Léalo con atención.

“La fiebre puerperal, azote de la maternidad, diezmaba las salas con regularidad aterradora,

atacando en algunos casos de manera simultánea a todas las mujeres de una hilera de camas

de los grandes pabellones. La lúgubre fatalidad imperaba en los hospitales de París, Londres,

Milán y Viena. Los más famosos obstetras de la época habían aprendido a convivir con la

detestable, pero tan corriente fiebre de las parturientas: en la sombra, habían pactado con la

muerte. Había incluso quienes, sin confesárselo demasiado, la consideraban como una especie

de doloroso tributo que frecuentemente tenían que pagar las mujeres del pueblo a su entrada

en la maternidad. No pocas veces se habían nombrado comisiones que reunían a sabios

responsables, siendo sus esfuerzos al final, como de costumbre, completamente inútiles. Tal

sucedió con la que investigó la recrudescencia de la fiebre puerperal en 1842 entre las

pacientes del Hospital General de Viena, cuando el 27% de las embarazadas sucumbieron en

agosto, el 20% en octubre, y cuando, incluso, se alcanzó una media de 33 muertos por cada 100

alumbramientos en el mes de diciembre. Después de sutiles conciertos y sinfonías verbales, se

volvía a la grey oficial, como si la enfermedad, por fuerza, hubiera de pertenecer al orden de

las catástrofes cósmicas, inevitables.

Muchas otras comisiones se habían desfondado ante este mismo y eterno problema. La

convocada por Luis XVI durante la epidemia de fiebre puerperal de 1774 que diezmó al Hotel

Dieu de París, concluyó que la causa se encontraba en la leche y el Colegio de Médicos de París

logró que se propusiese al rey, como remedio contra la epidemia, la clausura de todas las

maternidades así como el destierro de las nodrizas. Alrededor de la fiebre puerperal todo era

incoherente y contradictorio. Ni uno solo de los remedios eventuales de las Comisiones

Imperiales de Viena, o de las de París, y cuya aplicación se intentaba, había dado resultados.

Frente al terrible flagelo no parecía existir ni un resquicio de esperanza.


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El 27 de febrero de 1846 es nombrado como profesor ayudante en la Primer Clínica Obstétrica

de Viena, Felipe Ignacio Semmelweis, médico nacido en Budapest, en el hogar de un tendero

de comestibles, el 18 de julio de 1818 .. Mientras se suceden en cascadas las tentativas para

controlar la enfermedad -cuyo recuento no deja de producir en el lector contemporáneo una

mezcla de asombro y furor- Semmelweis observa que las mujeres que, cogidas por sorpresa,

parían en la calle y sólo después llegaban a la sala del hospital, casi siempre se salvaban,

incluso en las llamadas épocas de epidemias. Por esta razón, dichas mujeres quedan por fuera

de los controles de tocología que de manera rutinaria hacen médicos y practicantes. Relaciona

entonces la presencia de la enfermedad con las visitas que día a día, temprano en la mañana,

realizan estudiantes y profesores a la sala de necropsias luego de las cuales pasan

directamente a la clínica obstétrica, donde examinan sistemáticamente a parturientas y

puérperas. Sin tener todavía muy claro el por qué, decide obligar a los estudiantes a lavarse

las manos antes de que se acerquen a las embarazadas. La medida, no cuadró por completo

dentro del espíritu científico de la época. Faltan todavía 20 años para que Pasteur demuestre

que las infecciones son causadas por microorganismos que se diseminan víctima a víctima, y

otros tantos para que Lister abogue por la antisepsia con la aplicación rutinaria de ácido

fénico. Semmelweis, sin embargo, decide instalar lavados en las puertas de las clínicas y da

orden a los estudiantes de limpiarse cuidadosamente las manos antes de cualquier

reconocimiento o maniobra a una parturienta. Al día siguiente 20 de octubre de 1846,

Semmelweis es brutalmente destituido.

"Los dedos de los estudiantes -escribirá entonces el pionero-, contaminados durante recientes

disecciones, son los que conducen las fatales partículas cadavéricas a los órganos genitales de

las mujeres encinta y, sobre todo, al nivel del cuello uterino". Como estas ínfimas partículas

cadavéricas -cuyo simple contacto suponía Semmelweis bastaba totalmente para provocar la

infección puerperal- eran imponderables, sólo era posible reconocerlas por el olor. El "veneno

cadavérico" se transmitía por las manos sin lavar. "Desodorar las manos --decidió-, todo el

problema radica en eso". Meses más tarde, Semmelweis logra reintegrarse a la planta

hospitalaria, permitiéndosele finalmente poner en práctica la técnica de desodorización. En el

mes que siguió a la aplicación de esta medida, la mortalidad descendió al 2,38%. Decidió

entonces convertir la práctica de lavado en una rutina aplicable a todo el personal, hubiese o

no disecado cadáveres. Los resultados no se hicieron esperar. En las semanas siguientes, la

mortalidad por fiebre puerperal se hace casi nula, descendiendo por primera vez en la historia

a la cifra de 0,23%. La suerte, aunque parezca increíble, no acompañó en esta ocasión a

Semmelweis. Por extraño que parezca, la mayoría de sus colegas, se mostraron adversarios al

nuevo método. La inercia triunfa en toda Europa: Los médicos miran displicentes la verdad que

se les presenta. En medio de la incomprensión colectiva, Hebrá, uno de los pocos colegas que

lo acompañó, escribe: "Cuando se haga la historia de los errores humanos, se encontrarán

difícilmente ejemplos de esta clase y provocará asombro que hombres tan competentes, tan

especializados, pudiesen, en su propia ciencia, ser tan ciegos y tan estúpidos". Bajo múltiples

presiones, el médico húngaro será por segunda vez destituido el 20 de marzo de 1849.

Veinticinco años más tarde morirá loco y solitario sin que su labor haya sido reconocida.


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Después de su muerte, debieron pasar todavía cuarenta años para que las puertas que con

tanta insistencia tocó, se abrieran, y su memoria fuera reivindicada.”

Luego de la lectura del texto:

3.1.- Es evidente que para la cultura actual, lo explicitado en el relato parece cruelmente

absurdo. Sin embargo, no es este el único caso en el que un adelanto de la ciencia ha sido

resistido. Por lo expuesto: ¿reconoce algún paralelismo entre el relato de Semmelweis y la

resistencia de algunos ámbitos escolares para utilizar el modelo de resolución de

problemas en las aulas? ¿a qué lo atribuye?

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