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CBC

Matemtica (51)

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PROGRAMA ANALTICO1

:: UNIDAD 1

Nmeros Reales y Coordenadas Cartesianas Representacin de los nmeros reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta real. Representacin de puntos en el plano. Distancia entre dos puntos del plano.

:: UNIDAD 2

Funciones polinmicas Definicin y ejemplos. Dominio e imagen. Representacin grfica. Ceros de una funcin. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales. Funcin lineal. Grfico de una funcin lineal. Rectas en el plano. Pendiente. Interseccin de rectas. Funciones cuadrticas. Grfico. Determinacin de ceros. Imagen de una funcin cuadrtica. Vrtice y eje de simetra de una parbola. Interseccin entre rectas y parbolas. Problemas de aplicacin. Funciones polinmicas. Ceros. Factorizacin. Nocin de continuidad. Teorema de Bolzano para funciones continuas. Determinacin de intervalos de positividad y de negatividad de funciones polinmicas.

:: UNIDAD 3

Funciones racionales Funciones homogrficas. Nocin de lmite en el infinito y de lmites infinitos. Asntotas horizontales y verticales de funciones racionales. Composicin de funciones. Funciones inversas. Dominio y grfico. Ejemplos.

:: UNIDAD 4

Funciones trigonomtricas y exponenciales Definicin de las funciones trigonomtricas. Grficos. Propiedades. Ceros, imagen, amplitud y perodo. Positividad y negatividad. Valores mximos y mnimos. Aplicaciones. Funciones exponenciales y logartmicas. Estudio de ambas funciones a travs de sus grficos. Dominio e imagen. Asntotas. Aplicaciones al crecimiento de poblaciones.

:: UNIDAD 5

Derivadas Cociente incremental. Definicin de derivada. Interpretacin geomtrica y cintica. Recta tangente. Reglas de derivacin. Aplicaciones a la construccin de curvas.

:: UNIDAD 6

Integracin Primitivas. Mtodos de integracin: integracin por partes y sustitucin. Clculo de integrales definidas. Teorema fundamental del clculo. Regla de Barrow. Aplicacin al clculo de reas y a problemas de mecnica.

1 http://www.cbc.uba.ar/dat/catedras/mate/mate51.html

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Ejercicios de examen ordenados por tema segn la unidad a la que corresponden.

Como ocurre generalmente en matemtica, para poder realizar ejercicios de la unidad 2

se necesita previamente conocer y dominar los temas de la unidad 1, para trabajar con

la unidad 3, los temas de la unidad 1 y 2 y as sucesivamente.

Primer parcial

Unidad 1

1. Sean P = (9, -3) y Q = (1, ). Determinar todos los valores de para los cuales la

distancia entre P y Q es 10.

2. Hallar analticamente todos los valores de para que la distancia de A = (3, 0) a P = ( , ) sea 3.

3. Escribir como un intervalo o una unin de intervalos el conjunto

4. Escribir el conjunto

como un intervalo o una unin de intervalos.

5. Sea Q = (0,3). Hallar todos los puntos de la forma P = ( , ), tales que la distancia entre P y Q sea .

6. Escribir como intervalo o unin de intervalos el conjunto

7. Hallar analticamente todos los puntos del eje tales que su distancia al punto (-6, 1) es igual a 10.

8. Hallar analticamente las coordenadas de todos los puntos de la recta que estn a distancia 1 del punto (0; 0).

9. Dadas

escribir como intervalo o unin de intervalos el

conjunto .

10. Sean y el punto donde el grfico de corta al eje . Determinar todos los

puntos del grfico de que estn a distancia de .

Unidad 2

1. Sean y el vrtice del grfico de . Hallar la distancia entre y el

punto

2. Sea Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de

3. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P = (2,3) y por el vrtice de la

parbola que es el grfico de

4. Sea y P el punto donde el grfico de corta al eje x. Sea V el vrtice del grfico de la funcin cuadrtica Calcular la distancia entre los puntos P y V.

5. Hallar los ceros e intervalos de positividad de la funcin

6. Sea la funcin cuadrtica cuyo grfico pasa por los puntos (-4, 0), (5, 0) y (0, -5), y sea Dar el conjunto de positividad de .

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7. Sean y la funcin lineal tal que y . Encontrar y todos los puntos del plano en que se cortan los grficos de y .

8. 2Sean la funcin lineal tal que y , y Hallar el conjunto imagen de .

9. Dadas y hallar de modo que . Para el valor de hallado, encontrar todos los puntos de interseccin de los grficos de y .

10. Hallar la funcin cuadrtica que tiene y conjunto de positividad .

11. Sea Determinar y sabiendo que la abscisa del vrtice del grfico de

es

y que la distancia entre los ceros de es 7.

12. Encontrar la funcin polinmica de grado 3 cuyo grfico pasa por (-3, 0), (-2, 0), (-1, 5) y

(3, 0) y escribir los conjuntos de positividad y de negatividad de .

13. Sea la funcin cuadrtica Determinar el valor de para que tenga un solo cero. Para el valor de hallado determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de .

14. Sea V el punto de interseccin de las rectas de ecuaciones: e . Encontrar la funcin cuadrtica tal que su grfico tiene vrtice V y pasa por el punto (2, 0).

15. Sean la funcin lineal tal que y y . Hallar

el conjunto imagen de .

16. Determina el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de 11 .

17. Determina la funcin polinmica de grado 3 cuyo grfico corta al eje en los puntos (-4,0), (1,0) y (2,0), y corta al eje en (0,-4).

18. Dada hallar el valor de sabiendo que tiene un cero en . Para el valor de encontrado, indicar conjuntos de ceros e intervalos de positividad y de negatividad de .

19. Sean y la funcin cuyo grfico tiene vrtice y pasa por el punto

Encontrar todos los puntos de interseccin de los grficos de y .

20. Sea el punto (-2,5) y el vrtice de la parbola Hallar la funcin lineal cuyo grfico pasa por los puntos y .

Unidad 3

1. Dada

, calcular el valor de tal que la recta de ecuacin sea

asntota horizontal de . Para el valor de encontrado, hallar todas las asntotas de .

2. Sea

Hallar y para que las rectas de ecuacin y sean

asntotas de .

2 Tanto el ejercicio 8 como el ejercicio 15 estn relacionados con composicin de funciones, tema perteneciente a la unidad 3.

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3. Sean

y Dar las ecuaciones de todas las

asntotas de la funcin .

4. Sea

y Hallar para que sea un cero de Para el valor

de encontrado dar las ecuaciones de las asntotas de .

5. Calcular las ecuaciones de todas las asntotas de

..

6. Sean

con y . Hallar el valor de para que

la funcin tenga por asntota vertical a la recta de ecuacin

. Para el valor de

encontrado, calcular

7. Sea f(x) la funcin lineal cuyo grfico pasa por los puntos (1,3) y (0,5)

y

. Dar las ecuaciones de las asntotas de

8. Calcular tal que

tenga asntota horizontal . Para el valor de

encontrado, hallar todas las asntotas de .

9. Sean

y la funcin inversa de . Calcular y dar las ecuaciones de

todas las asntotas de .

10. Sean

. Hallar las ecuaciones de todas las asntotas de .

Unidad 4

1. Calcular la funcin inversa de . Indicar el dominio de y el de .

2. Determinar los conjuntos de positividad y de negatividad de .

3. Sea

. Hallar y dar su imagen.

4. Sea . Determinar sabiendo que , calcular y dar el dominio y la imagen de .

5. Sea

. Calcular , la funcin inversa de .

6. Sea . Hallar y calcular el dominio de y el dominio de .

7. Sean ; y . Calcular

8. Hallar los ceros de en el intervalo .

9. Sea Determinar el valor mximo de y encontrar todos los en los que alcanza dicho valor mximo.

10. Se sabe que tiene un cero en

. Determinar el valor de e

indicar, para el valor de encontrado, la imagen de .

11. Sea

. Calcular los ceros de que pertenecen al intervalo .

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12. Sean

y . Dar la imagen de .

13. Sean y . Hallar los tales que .

14. Hallar todos los tales que .

Segundo parcial

Unidad 5

1. Sea . Determinar el valor de para el cual la recta tangente al

grfico de en el punto de abscisa 0 es paralela a la recta dada por

.

2. Sea . Hallar el punto del grfico de donde la recta tangente es horizontal. Dar la ecuacin de dicha recta.

3. Sea . Hallar el punto del grfico de en el cual la ecuacin de la recta tangente es .

4. Sea Hallar el valor de para el cual la recta tangente al grfico de en el punto de abscisa es paralela a la recta de ecuacin . Para el valor de encontrado, dar la ecuacin de dicha recta tangente.

5. Sea Hallar los tales que .

6. Hallar el punto P tal que la pendiente de la recta tangente al grfico de

en el punto P sea

. Escribir la ecuacin de la recta tangente en dicho punto.

7. Sea . Dar la pendiente de la recta tangente al grfico de en el punto de abscisa .

8. Hallar el punto P tal que la ecuacin de la recta tangente al grfico de

en el

punto P es

.

9. En la funcin existe un tal que la ecuacin de la recta tangente al grfico en dicho punto es . Hallar .

10. Sea Hallar para que la recta tangente al grfico de en tenga pendiente 11.

11. Sea

. Determinar el dominio, las asntotas verticales, los intervalos de

crecimiento y de decrecimiento y los mximos y los mnimos relativos de .

12. Sea . Determinar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos locales de .

13. Sea

. Hallar el dominio, la ecuacin de la asntota vertical, los intervalos de

crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de . Graficar aproximadamente.

14. Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los mximos y mnimos

relativos de . Graficar aproximadamente.

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15. Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y determinar los mximos y

mnimos relativos de .

16. Sea . Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los mximos y los mnimos relativos de .

17. Sea

. Hallar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y

mximos y mnimos relativos de .

18. Sea

. Hallar mximos y mnimos relativos, intervalos de crecimiento y de

decrecimiento, ecuaciones de las asntotas y hacer un grfico aproximado de .

Unidad 6

1. Calcular .

2. Calcular

.

3. Calcular

.

4. Calcular

.

5. Calcular .

6. Calcular .

7. Calcular

.

8. Calcular .

9. Calcular

.

10. Calcular .

11. Hallar el rea de la regin del primer cuadrante encerrada por los grficos de , y el eje .

12. Hallar el rea de la regin encerrada por los grficos de y

, para

.

13. Calcular el rea de la regin limitada por los grficos de y .

14. Calcular el rea de la regin encerrada entre los grficos de y .

15. Hallar el rea de la regin encerrada por las curvas e .

16. Calcular el rea de la regin encerrada entre el eje , los grficos de

y

la recta .

17. Hallar el rea de la regin encerrada por las curvas e .

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18. Hallar el rea de la regin determinada por

y el eje .

19. Calcular el rea de la regin encerrada por las curvas y

20. Sea . Encontrar el rea de la regin encerrada entre el grfico de y el eje .

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Soluciones

Unidad 1

1. a = - 9

2. k = 0 ; k = 3

3. (-1/2; 0)

4. (-; 2)(6; +)

5. k = 0 ; k = 5

6. (0; 1/12]

7. P1 = (0; -7) ; P2 = (0; 9)

8. P1 = (0; -1) ; P2 = (4/5; 3/5)

9. (-; 4][6; +)

10. P1 = (-11; -5) ; P2 = (-1; 5)

Unidad 2

1. d = 2

2. I+ = (-; -3)(2; +) ; I- = (-3; 0)(0; 2)

3. y = -3x + 9

4. d =

5. C0 = {-5; 0; 2} ; I+ = (-; -5)(2; +)

6. C+ = (-4; 2)(5; +)

7. g(x) = 4x 12; P1 = (1; -8) ; P2 = (3; 0) ;

P3 = (-4; -28)

8. fog(x) = - x2 + 4x 2 ; Im fog = (-; 2]

9. m = 4; P1 = (1; 3) ; P2 = (1/2; 1)

10. y = -3/5(x + 8)(x 2)

11. b = 3; c = -10

12. f(x) = -5/8(x + 3)(x + 2)(x 3);

C+ = (-; -3)(-2; 3); C- = (-3; -2)(3; +)

13. c = 18; IC = (-3; +) ; ID = (-; -3)

14. f(x) = 5(x 1)2 5

15. h(x) = - x2 +3x + 3; Im h = (-; 21/4]

16. C+ = (-; -3)(0; 3)(11/2; +);

C- = (-3; 0)(3; 11/2)

17. y = -1/2(x + 4)(x 1)(x 2)

18. ] =a = 12; C0 = {-4; 0; 1}; C+ = (-; -4)(0;

1); C- = (-4; 0)(1; +)

19. P1 = (3; 21) ; P2 = (1/4; 29/4)

20. y = (2/5)x + 29/5

Unidad 3

1. a = - 3; A.V. en x = 3 ; x = - 3

2. a = 2; b = 49

3. A.V. en x = 1; A.H. en y = 2

4. a = - 3; A.V. en x = ; A.H. en y = - 3

5. A.V. en x = -3; A.H. en y = 1

6. k = 4; h(x) =

+ 4; h-1(x) =

;

Dom h-1 = IR {4}; Im h-1 = IR {-3/2}

7. h(x) =

; A.V. en x = 7/4 ;

A.H. en y =0

8. a = 6; A.V. en x = 2; x = - 2

9. f-1(x) =

; A.V. en x = - 2 ;

A.H. en y = - 6

10. h(x) =

; A.V. en x = - 11/3 ;

A.H. en y = 2/3

Unidad 4

1. f-1(x) =

; Dom f = (1/5; +) ;

Dom f-1= IR 2. C+ = (-; -3)(4; +); C- = (-3; 4)

3. f-1(x) = 3e5x 4; Im f-1= (-4; +)

4. k = 3; f-1(x) = 1 + ln

; Dom f-1= (6;

+); Im f-1= IR

5. f-1(x) =

.

6. f-1(x) = 2 + ln

; Dom f = IR;

Dom f-1= (3; +)

7. h-1 (5)= 2/3

8. C0 = {/2; 3/2}

9. Mximo en 3 ; x = {3/8; 7/8}

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10. a = 6 ; Im f = [- 9; 3]

11. C0 = {-13/12; -5/12; 11/12; 19/12;

35/12}

12. h(x) = 4.sen(3x + /4) + 3 ; Im h = [-1; 7]

13. h(x) = 3.sen(2x) 1 ; x [0; 2] = {/4;

5/4}

14. S = {x/xIR: x = k + /12 ; x = k +

11/12 ; kZ}

Unidad 5

1. b = 3/10

2. P = (-2; 7)

3. P = (-3; -7)

4. a = 3 ; y = 5x + 4

5. x = 1/3 ; x = 2/3

6. P = (6; ln(72)) ; y =

x 1 + ln(72)

7. 41/5

8. P = (-5; -1)

9. x = - 2

10. a = - 7/2

11. Dom f = IR {3} ; A.V. en x = 3 ; IC = (-;

1)(5; +) ; ID = (1; 3)(3;5) ; mx. rel.:

(1; -4) ; mn. rel.: (5; 4)

12. Dom f = IR; IC = (-; -1)(0; +) ; ID =

(-1; 0); mx. rel.: (-1; 1/e) ; mn. rel.: (0; 0)

13. Dom f = IR {3}; A.V. en x = 3; IC = (-;

0)(6; +) ; ID = (0; 3)(3;6) ; mx. rel.:

(0; 0) ; mn. rel.: (6; 12)

14. IC = (- 6; 6) ; ID = (-; -6)(6; +); mx.

rel.: (6; 5184) ; mn. rel.: (-6; -5184)

15. IC = (-; -3 )( 3; +); ID = (-3; 3);

mx.rel.: (-3; 16/e2) ; mn.rel.: (3; -8e4).

16. IC = (3; +) ; ID = (-; 3); mx.rel.: ;

mn.rel.: (3;0).

17. Dom f = (3; +); IC = (3; e + 3); ID = (e +

3; +) mx.rel.: (e + 3; 1/e); mn.rel.: .

18. IC = (-2; 2) ; ID = (-; -2)(2; +);

mx.rel.: (2; 21/4) ; mn.rel.: (-2; 19/4).

Unidad 6

1.

;

2. -2cos( + 3) + x5/5 + C

3.

e2x +

(4x + 1)4/3 + C

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11

4. 2 ln(x2 x + 4) + C

5. 2/5(x 2)3/2(x + 3) + C

6.

x2 +

(7x2 + 9)3/2 + C

7. x6 10 cos(-4 + ) + C

8. 1/4 sen(x4) cos (x) + C

9. 9(x2 + 5)2/3 + C

10. ex(5 3x) + C

11. A 11,73 u2.

12. A 9,29 u2.

13. 125/6 u2.

14. 81/2 u2.

15. 70/3 u2.

16. A 6,33 u2.

17. 5/6 u2.

18. A 0,69 u2.

19. 128/3 u2.

20. 8 u2.