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CBC

Matemática (51)

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PROGRAMA ANALÍTICO1

:: UNIDAD 1

Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta real. Representación de puntos en el plano. Distancia entre dos puntos del plano.

:: UNIDAD 2

Funciones polinómicas Definición y ejemplos. Dominio e imagen. Representación gráfica. Ceros de una función. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales. Función lineal. Gráfico de una función lineal. Rectas en el plano. Pendiente. Intersección de rectas. Funciones cuadráticas. Gráfico. Determinación de ceros. Imagen de una función cuadrática. Vértice y eje de simetría de una parábola. Intersección entre rectas y parábolas. Problemas de aplicación. Funciones polinómicas. Ceros. Factorización. Noción de continuidad. Teorema de Bolzano para funciones continuas. Determinación de intervalos de positividad y de negatividad de funciones polinómicas.

:: UNIDAD 3

Funciones racionales Funciones homográficas. Noción de límite en el infinito y de límites infinitos. Asíntotas horizontales y verticales de funciones racionales. Composición de funciones. Funciones inversas. Dominio y gráfico. Ejemplos.

:: UNIDAD 4

Funciones trigonométricas y exponenciales Definición de las funciones trigonométricas. Gráficos. Propiedades. Ceros, imagen, amplitud y período. Positividad y negatividad. Valores máximos y mínimos. Aplicaciones. Funciones exponenciales y logarítmicas. Estudio de ambas funciones a través de sus gráficos. Dominio e imagen. Asíntotas. Aplicaciones al crecimiento de poblaciones.

:: UNIDAD 5

Derivadas Cociente incremental. Definición de derivada. Interpretación geométrica y cinética. Recta tangente. Reglas de derivación. Aplicaciones a la construcción de curvas.

:: UNIDAD 6

Integración Primitivas. Métodos de integración: integración por partes y sustitución. Cálculo de integrales definidas. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow. Aplicación al cálculo de áreas y a problemas de mecánica.

1 http://www.cbc.uba.ar/dat/catedras/mate/mate51.html

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Ejercicios de examen ordenados por tema según la unidad a la que corresponden.

Como ocurre generalmente en matemática, para poder realizar ejercicios de la unidad 2

se necesita previamente conocer y dominar los temas de la unidad 1, para trabajar con

la unidad 3, los temas de la unidad 1 y 2 y así sucesivamente.

Primer parcial

Unidad 1

1. Sean P = (9, -3) y Q = (1, ). Determinar todos los valores de para los cuales la

distancia entre P y Q es 10.

2. Hallar analíticamente todos los valores de para que la distancia de A = (3, 0) a

P = ( , ) sea 3.

3. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos el conjunto

4. Escribir el conjunto

como un intervalo o una unión de intervalos.

5. Sea Q = (0,3). Hallar todos los puntos de la forma P = ( , ), tales que la distancia

entre P y Q sea .

6. Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto

7. Hallar analíticamente todos los puntos del eje tales que su distancia al punto (-6, 1) es

igual a 10.

8. Hallar analíticamente las coordenadas de todos los puntos de la recta que

están a distancia 1 del punto (0; 0).

9. Dadas

escribir como intervalo o unión de intervalos el

conjunto .

10. Sean y el punto donde el gráfico de corta al eje . Determinar todos los

puntos del gráfico de que están a distancia de .

Unidad 2

1. Sean y el vértice del gráfico de . Hallar la distancia entre y el

punto

2. Sea Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (2,3) y por el vértice de la

parábola que es el gráfico de

4. Sea y P el punto donde el gráfico de corta al eje x. Sea V el vértice del

gráfico de la función cuadrática Calcular la distancia entre los puntos P

y V.

5. Hallar los ceros e intervalos de positividad de la función

6. Sea la función cuadrática cuyo gráfico pasa por los puntos (-4, 0), (5, 0) y (0, -5), y sea

Dar el conjunto de positividad de .

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7. Sean y la función lineal tal que y . Encontrar y

todos los puntos del plano en que se cortan los gráficos de y .

8. 2Sean la función lineal tal que y , y Hallar

el conjunto imagen de .

9. Dadas y hallar de modo que . Para

el valor de hallado, encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de y .

10. Hallar la función cuadrática que tiene y conjunto de positividad

.

11. Sea Determinar y sabiendo que la abscisa del vértice del gráfico de

es

y que la distancia entre los ceros de es 7.

12. Encontrar la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico pasa por (-3, 0), (-2, 0), (-1, 5) y

(3, 0) y escribir los conjuntos de positividad y de negatividad de .

13. Sea la función cuadrática Determinar el valor de para que

tenga un solo cero. Para el valor de hallado determinar los intervalos de crecimiento y de

decrecimiento de .

14. Sea V el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: e .

Encontrar la función cuadrática tal que su gráfico tiene vértice V y pasa por el punto

(2, 0).

15. Sean la función lineal tal que y y . Hallar

el conjunto imagen de .

16. Determina el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de 11 .

17. Determina la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico corta al eje en los puntos (-4,0),

(1,0) y (2,0), y corta al eje en (0,-4).

18. Dada hallar el valor de sabiendo que tiene un cero en .

Para el valor de encontrado, indicar conjuntos de ceros e intervalos de positividad y de

negatividad de .

19. Sean y la función cuyo gráfico tiene vértice y pasa por el punto

Encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de y .

20. Sea el punto (-2,5) y el vértice de la parábola Hallar la función lineal

cuyo gráfico pasa por los puntos y .

Unidad 3

1. Dada

, calcular el valor de tal que la recta de ecuación sea

asíntota horizontal de . Para el valor de encontrado, hallar todas las asíntotas de .

2. Sea

Hallar y para que las rectas de ecuación y sean

asíntotas de .

2 Tanto el ejercicio 8 como el ejercicio 15 están relacionados con composición de funciones, tema perteneciente a la unidad 3.

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3. Sean

y Dar las ecuaciones de todas las

asíntotas de la función .

4. Sea

y Hallar para que sea un cero de Para el valor

de encontrado dar las ecuaciones de las asíntotas de .

5. Calcular las ecuaciones de todas las asíntotas de

..

6. Sean

con y . Hallar el valor de para que

la función tenga por asíntota vertical a la recta de ecuación

. Para el valor de

encontrado, calcular

7. Sea f(x) la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (1,3) y (0,5)

y

. Dar las ecuaciones de las asíntotas de

8. Calcular tal que

tenga asíntota horizontal . Para el valor de

encontrado, hallar todas las asíntotas de .

9. Sean

y la función inversa de . Calcular y dar las ecuaciones de

todas las asíntotas de .

10. Sean

. Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de .

Unidad 4

1. Calcular la función inversa de . Indicar el dominio de y el de .

2. Determinar los conjuntos de positividad y de negatividad de .

3. Sea

. Hallar y dar su imagen.

4. Sea . Determinar sabiendo que , calcular y dar el dominio

y la imagen de .

5. Sea

. Calcular , la función inversa de .

6. Sea . Hallar y calcular el dominio de y el dominio de .

7. Sean ; y . Calcular

8. Hallar los ceros de en el intervalo .

9. Sea Determinar el valor máximo de y encontrar todos los en los que alcanza dicho valor máximo.

10. Se sabe que tiene un cero en

. Determinar el valor de e

indicar, para el valor de encontrado, la imagen de .

11. Sea

. Calcular los ceros de que pertenecen al intervalo .

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12. Sean

y . Dar la imagen de .

13. Sean y . Hallar los tales que .

14. Hallar todos los tales que .

Segundo parcial

Unidad 5

1. Sea . Determinar el valor de para el cual la recta tangente al

gráfico de en el punto de abscisa 0 es paralela a la recta dada por

.

2. Sea . Hallar el punto del gráfico de donde la recta tangente es

horizontal. Dar la ecuación de dicha recta.

3. Sea . Hallar el punto del gráfico de en el cual la ecuación de la recta

tangente es .

4. Sea Hallar el valor de para el cual la recta tangente al gráfico de

en el punto de abscisa es paralela a la recta de ecuación . Para el valor

de encontrado, dar la ecuación de dicha recta tangente.

5. Sea Hallar los tales que .

6. Hallar el punto P tal que la pendiente de la recta tangente al gráfico de

en el punto P sea

. Escribir la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

7. Sea . Dar la pendiente de la recta tangente al gráfico de en el punto de

abscisa .

8. Hallar el punto P tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico de

en el

punto P es

.

9. En la función existe un tal que la ecuación de la recta

tangente al gráfico en dicho punto es . Hallar .

10. Sea Hallar para que la recta tangente al gráfico de en

tenga pendiente 11.

11. Sea

. Determinar el dominio, las asíntotas verticales, los intervalos de

crecimiento y de decrecimiento y los máximos y los mínimos relativos de .

12. Sea . Determinar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y

extremos locales de .

13. Sea

. Hallar el dominio, la ecuación de la asíntota vertical, los intervalos de

crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de . Graficar aproximadamente.

14. Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y mínimos

relativos de . Graficar aproximadamente.

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15. Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y determinar los máximos y

mínimos relativos de .

16. Sea . Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y

los máximos y los mínimos relativos de .

17. Sea

. Hallar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y

máximos y mínimos relativos de .

18. Sea

. Hallar máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y de

decrecimiento, ecuaciones de las asíntotas y hacer un gráfico aproximado de .

Unidad 6

1. Calcular .

2. Calcular

.

3. Calcular

.

4. Calcular

.

5. Calcular .

6. Calcular .

7. Calcular

.

8. Calcular .

9. Calcular

.

10. Calcular .

11. Hallar el área de la región del primer cuadrante encerrada por los gráficos de , y el eje .

12. Hallar el área de la región encerrada por los gráficos de y

, para

.

13. Calcular el área de la región limitada por los gráficos de y .

14. Calcular el área de la región encerrada entre los gráficos de y .

15. Hallar el área de la región encerrada por las curvas e .

16. Calcular el área de la región encerrada entre el eje , los gráficos de

y

la recta .

17. Hallar el área de la región encerrada por las curvas e .

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18. Hallar el área de la región determinada por

y el eje .

19. Calcular el área de la región encerrada por las curvas y

20. Sea . Encontrar el área de la región encerrada entre el gráfico de y el eje

.

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Soluciones

Unidad 1

1. a = - 9

2. k = 0 ; k = 3

3. (-1/2; 0)

4. (-∞; 2)(6; +∞)

5. k = 0 ; k = 5

6. (0; 1/12]

7. P1 = (0; -7) ; P2 = (0; 9)

8. P1 = (0; -1) ; P2 = (4/5; 3/5)

9. (-∞; 4][6; +∞)

10. P1 = (-11; -5) ; P2 = (-1; 5)

Unidad 2

1. d = 2

2. I+ = (-∞; -3)(2; +∞) ; I- = (-3; 0)(0; 2)

3. y = -3x + 9

4. d =

5. C0 = {-5; 0; 2} ; I+ = (-∞; -5)(2; +∞)

6. C+ = (-4; 2)(5; +∞)

7. g(x) = 4x – 12; P1 = (1; -8) ; P2 = (3; 0) ;

P3 = (-4; -28)

8. fog(x) = - x2 + 4x – 2 ; Im fog = (-∞; 2]

9. m = 4; P1 = (1; 3) ; P2 = (1/2; 1)

10. y = -3/5·(x + 8)(x – 2)

11. b = 3; c = -10

12. f(x) = -5/8·(x + 3)(x + 2)(x – 3);

C+ = (-∞; -3)(-2; 3); C- = (-3; -2)(3; +∞)

13. c = 18; IC = (-3; +∞) ; ID = (-∞; -3)

14. f(x) = 5(x – 1)2 – 5

15. h(x) = - x2 +3x + 3; Im h = (-∞; 21/4]

16. C+ = (-∞; -3)(0; 3)(11/2; +∞);

C- = (-3; 0)(3; 11/2)

17. y = -1/2·(x + 4)(x – 1)(x – 2)

18. ] =a = 12; C0 = {-4; 0; 1}; C+ = (-∞; -4)(0;

1); C- = (-4; 0)(1; +∞)

19. P1 = (3; 21) ; P2 = (1/4; 29/4)

20. y = (2/5)x + 29/5

Unidad 3

1. a = - 3; A.V. en x = 3 ; x = - 3

2. a = 2; b = 49

3. A.V. en x = 1; A.H. en y = 2

4. a = - 3; A.V. en x = ½ ; A.H. en y = - 3

5. A.V. en x = -3; A.H. en y = 1

6. k = 4; h(x) =

+ 4; h-1(x) =

;

Dom h-1 = IR – {4}; Im h-1 = IR – {-3/2}

7. h(x) =

; A.V. en x = 7/4 ;

A.H. en y =0

8. a = 6; A.V. en x = 2; x = - 2

9. f-1(x) =

; A.V. en x = - 2 ;

A.H. en y = - 6

10. h(x) =

; A.V. en x = - 11/3 ;

A.H. en y = 2/3

Unidad 4

1. f-1(x) =

; Dom f = (1/5; +∞) ;

Dom f-1= IR 2. C+ = (-∞; -3)(4; +∞); C- = (-3; 4)

3. f-1(x) = 3e5x – 4; Im f-1= (-4; +∞)

4. k = 3; f-1(x) = 1 + ln

; Dom f-1= (6;

+∞); Im f-1= IR

5. f-1(x) =

.

6. f-1(x) = 2 + ln

; Dom f = IR;

Dom f-1= (3; +∞)

7. h-1 (5)= 2/3

8. C0 = {π/2; 3π/2}

9. Máximo en – 3 ; x = {3π/8; 7π/8}

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10

10. a = 6 ; Im f = [- 9; 3]

11. C0 = {-13π/12; -5π/12; 11π/12; 19π/12;

35π/12}

12. h(x) = 4.sen(3x + π/4) + 3 ; Im h = [-1; 7]

13. h(x) = 3.sen(2x) – 1 ; x [0; 2] = {π/4;

5π/4}

14. S = {x/xIR: x = kπ + π/12 ; x = kπ +

11π/12 ; kZ}

Unidad 5

1. b = 3/10

2. P = (-2; 7)

3. P = (-3; -7)

4. a = 3 ; y = 5x + 4

5. x = 1/3 ; x = 2/3

6. P = (6; ln(72)) ; y =

x – 1 + ln(72)

7. 41/5

8. P = (-5; -1)

9. x = - 2

10. a = - 7/2

11. Dom f = IR – {3} ; A.V. en x = 3 ; IC = (-∞;

1)(5; +∞) ; ID = (1; 3)(3;5) ; máx. rel.:

(1; -4) ; mín. rel.: (5; 4)

12. Dom f = IR; IC = (-∞; -1)(0; +∞) ; ID =

(-1; 0); máx. rel.: (-1; 1/e) ; mín. rel.: (0; 0)

13. Dom f = IR – {3}; A.V. en x = 3; IC = (-∞;

0)(6; +∞) ; ID = (0; 3)(3;6) ; máx. rel.:

(0; 0) ; mín. rel.: (6; 12)

14. IC = (- 6; 6) ; ID = (-∞; -6)(6; +∞); máx.

rel.: (6; 5184) ; mín. rel.: (-6; -5184)

15. IC = (-∞; -3 )( 3; +∞); ID = (-3; 3);

máx.rel.: (-3; 16/e2) ; mín.rel.: (3; -8e4).

16. IC = (3; +∞) ; ID = (-∞; 3); máx.rel.: ;

mín.rel.: (3;0).

17. Dom f = (3; +∞); IC = (3; e + 3); ID = (e +

3; +∞) máx.rel.: (e + 3; 1/e); mín.rel.: .

18. IC = (-2; 2) ; ID = (-∞; -2)(2; +∞);

máx.rel.: (2; 21/4) ; mín.rel.: (-2; 19/4).

Unidad 6

1.

;

2. -2cos( + 3) + x5/5 + C

3.

e2x +

(4x + 1)4/3 + C

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11

4. 2 ln(x2 – x + 4) + C

5. 2/5(x – 2)3/2(x + 3) + C

6.

x2 +

(7x2 + 9)3/2 + C

7. x6 – 10 cos(-4 + ) + C

8. 1/4 sen(x4) – cos (x) + C

9. 9(x2 + 5)2/3 + C

10. ex(5 – 3x) + C

11. A ≃ 11,73 u2.

12. A ≃ 9,29 u2.

13. 125/6 u2.

14. 81/2 u2.

15. 70/3 u2.

16. A ≃ 6,33 u2.

17. 5/6 u2.

18. A ≃ 0,69 u2.

19. 128/3 u2.

20. 8 u2.