Matemática 4to.

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4to. 1ra. T. T. - Matemática Prof. Flavia Terrizzano 1er. Trimestre Unidad 1. Radicales Concepto de número real. Concepto y propiedades de la potenciación y la radicación. Extraer e introducir factores del radicando. Operaciones con radicales. Racionalización del divisor. Potencias de exponente fraccionario. Ecuaciones. Número Real Ejercitación Indicar con una cruz de qué tipo de número se trata: Número N 0 Z Q I R -125 0,14 57 -22,5 Potenciación si n 0 Ejemplo: n veces si a 0 Ejemplo: 1 1,2,3,4,… N -1,-2,-3,-4,… Z 0 N 0 0,25 Q I R

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Apunte teórico-práctico de Matemática de 4to. Comercial 18

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1er. Trimestre

Unidad 1. RadicalesConcepto de número real. Concepto y propiedades de la potenciación y la radicación. Extraer e introducir factores del radicando. Operaciones con radicales. Racionalización del divisor. Potencias de exponente fraccionario. Ecuaciones.

Número Real

Ejercitación

Indicar con una cruz de qué tipo de número se trata:

Número N0 Z Q I R

-125

0,14

57-22,5

Potenciación

si n 0 Ejemplo:

n veces

si a 0 Ejemplo:

si a 0 Ejemplo:

Propiedades de la potenciación

1. por ejemplo:

2. por ejemplo:

3. por ejemplo: 4. La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y la división.

por ejemplo:

1

1,2,3,4,…N

-1,-2,-3,-4,… Z

0N0

0,25 Q

I

R

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con por ejemplo:

5. La potenciación NO es distributiva respecto de la suma y de la resta.

Recordamos

1.

Ejemplos:

2.Ejemplo:

3.Diferencia de cuadrados: Ejemplos:

Ejercitación

1) Resolver indicando qué propiedad se aplica en cada caso.

a)

b)

c)

2) Resolver aplicando las propiedades de la potenciación.a)b)c)d)

e)

f)

g)

h)i)

j)

k)

3) Resolver de dos formas distintas.a) b)

c)

4) Buscar el error y resolver correctamente.a)

Radicación

porque con y

Ejemplos: porque y porque no tiene solución en R

Recordar: por ejemplo

2

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Propiedades de la radicación

1. La radicación NO es distributiva respecto de la suma y de la resta.Ejemplos:

2. La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y la división.

Multiplicación:

Ejemplo:

Propiedad recíproca

Ejemplo:

División

Ejemplo:

Propiedad recíproca

Ejemplo:

3.

Ejemplo:

4. Ejemplo:

5. Ejemplos:

Ejercitación

1) Indicar V o F. Justificar.a)b)c)

d)e)

f)

2) Aplicando las propiedades correspondientes hallar.a)b)

c)d)

3) Resolver indicando qué propiedad se aplica en cada caso.

a)

b)c)

d)

e)

3

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4) Resolver de dos formas distintas.

5) Buscar el error y resolver correctamente.

6) Resolvera)

b)

c)

Extraer factores del radical

Ejemplos: = =

Ejercitación

Extraer factores del radicala)

b) }

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Introducir factores en el radical

Ejemplos:

Ejercitación

1) Introducir factores en el radical.a)b)c)

d)

e)

f)

g)

2) Indicar V o F. Justificar.a)

b)

c)

d)

e)

4

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Operaciones con radicales

Adición y sustracción

Para sumar o restar dos términos que tienen como factor el mismo radical, extraemos dicho radical como factor común.

Ejemplos

Ejercitación

Efectuar las siguientes operaciones.

a) Rta.

b) Rta.

c) Rta.

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

g) Rta. h) Rta.

i) 4 Rta.

j) Rta.

k) Rta.

l) Rta.

m) Rta.

n)Rta.

o) Rta.

Multiplicación y división

Pueden presentarse dos casos:

1. Los radicales tienen el mismo índice.

Ejemplos

5

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2. Los radicales tienen distinto índice.

Ejemplos

(hallamos un múltiplo común de los índices y utilizando las propiedades de la radicación, reducimos los radicales a común índice).

Ejercitación

1) Efectuar las siguientes operaciones.a) Rta.

b) Rta.

c) Rta.

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

g) Rta.

h) Rta.

i) Rta.

j) Rta.

k) Rta.

l) Rta.

m) Rta.

n) Rta. o) Rta.

2) Resolver las siguientes operaciones combinadas.a) Rta. b) Rta.

c) Rta.

d) Rta.

Racionalización del divisor

En aquellos casos en que el divisor de un cociente es un número o una expresión irracional, resulta conveniente transformar a este cociente en otro equivalente de manera tal que el divisor sea racional.

Ejemplos

6

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Ejercitación

Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones.

a) Rta.

b) Rta.

c) Rta.

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

g) Rta.

h) Rta.

i) = Rta.

j) Rta.

k) Rta.

l) Rta.

m) Rta.

n) Rta.

o) Rta.

p) Rta.

Potencias de exponente fraccionario

Definición

Ejercitación

1) Expresar como potencia de exponente fraccionario:

a) b) c) d) e) f)

2) Expresar en forma radical

a) b) c) d) x = e) z = f) a =

3) Calcular:

a) b) c)

d) e) f)

g)

Respuestas:

a) b) c) 2 d) e) f) g)

Ecuaciones

Ejercitación

1) Resolver las siguientes ecuaciones.

7

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a)

b)

c)

d)

e)

2) Hallar x, indicar a qué conjunto numérico pertenece.a)b)

c)

d)

e)

3) Hallar x:

a) b) c) d)

e) f) g)

h) i) j)

k) l) m)

Respuestas:

a) x=16 b) x=8 c) x=36 d) x=3 e) x= f) x=25 g) x=4 h) x=

i) x= j) x= k) x=5 l) x=18 m) x=4

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2do. Trimestre

Unidad 2. Números complejosConcepto de número complejo. Forma binómica de un número complejo. Representación gráfica. Operaciones con números complejos.

Concepto de número complejo

No tiene solución en R.

La imposibilidad de resolver ecuaciones como ésta, crea la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de números reales, mediante la introducción de los números complejos.

Ejemplos

Forma binómica de un número complejo

a + b i a es la parte real y b es la parte imaginaria

Ejemplos

2 + 3i i (unidad imaginaria) -4i 3 -0,5 +

Representación gráfica

Pueden representarse lo números complejos mediante puntos en el plano, haciendo corresponder a cada número complejo Z = a + bi el punto de coordenadas (a;b).

Z = a + b i

Ejemplos

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a

bZ = a + bi

y

x

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Z = 2 + 3i Z = i

Z = -5 Z =

Ejercitación

1) Representar gráficamente cada uno de los siguientes números complejos.a) z1 = 2 + 3 i b) z2 = i c) z3 = 5 d) z4 = -3 + 5 i e) z5 = - 5 + 2 i

2) Hallar el valor de cada una de las siguientes raícesa) = b) = c) = d) =

Operaciones con números complejos

Suma

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Ejemplo

Resta

(a + bi) - (c + di) = a + bi – c – di = (a – c) + (b – d) i

Ejemplo

(3 – 2 i) – (-6 + 4i) = 3 – 2i + 6 – 4i = (3 + 6) (- 2 - 4) i = 9 – 6 i

Ejercitación

10

2

3Z = 2 + 3i

x

y

-5 x

y

1Z = i

-2

2

1

y

x

Z = -2i

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1) Resolver las siguientes operaciones si z1 = 9 + 18 i, z2 = 8 + 2 i, z3 = - 8 + 9 i y z4 = - 5 + i a) z1 + z2 = b) z3 – z4 = c) z3 – z2 = d) z1 + z4 =

2) Resolver cada una de las operaciones combinadasa) 2 i + 8 i + (- 3 i)=

b) 5 i + 1 - i – 5 + 2 i =

c) (3 – i) – (4 + 3 i) + (1 – 2 i) =

d) + - =

e) (1 – 3 i) - + =

f) - - (3 + i) =

Multiplicación

(a + bi) . (c + di) = ac + ad i + bc i + bd i2 = ac + ad i + bc i – bd = (ac – bd) + (ad + bc) i

Ejemplos

(5 + 2i) . (3 + 4i) = 15 + 20i + 6i + 8 i2 =15 + 20i + 6i -8 = (15-8) + (20+6)i = 7 + 26i

Ejercitación

1) Resolver las siguientes multiplicaciones

a) (- 3 + 2 i) . (- 3 – 2 i) = b) c) (8 + 2 i) . (-3 +

i)d) ( + i) . (2 + 4i) =

2) Calcular las siguientes potenciasa) (2 – 6i)2 = b) (1 + i)2 = c) (4 + 2i)3 =

División

Complejos conjugados

Dado el número complejo Z = a + bi se llama conjugado de Z al número complejo = a - bi

Para calcular el cociente entre dos números complejos, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo

Ejercitación

1) Halla el conjugado de los siguientes números complejosa) z1 = 12 + 5i b) z2 = - 4 – 2 ic) z3 = 7 – 3 i

2) Resuelve las siguientes divisiones

a) b) c) d)

3) Resuelve los siguientes cálculos combinados

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a) b) c)

d)

Unidad 3. Funciones cuadráticasConceptos de función, dominio, imagen, eje de simetría, máximo y mínimo. Función cuadrática. Gráfico. Funciones del tipo f(x) = x2 Vy, f(x) = (x Vx)2 y f(x) = a x2. Expresión canónica. Expresión polinómica. Pasaje de una expresión a otra. Ceros de la función.

Funciones cuadráticas

Se dice que f es una función de A en B y se denota f: A → B si a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota f(a) = b.

El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Se denota Dom f.

El conjunto imagen está formado por los valores que alcanza la función. Se denota Im f.

Ejemplo

f(x) = x2 y = x2

Para representar esta función construiremos una tabla de valores, mediante la cual obtenemos algunos de los pares ordenados correspondientes a su gráfica.

x y = x2

0 01 12 43 94 16-1 1-2 4-3 9-4 16

Para f(x) = x2 tenemos que Dom f: R.

Como todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo, el conjunto imagen serán los reales positivos incluido el cero. Im f: [0;+ ).

La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola.

Sus dos ramas son simétricas respecto a una recta. En la gráfica construida x=0 es eje de simetría.

Se llama vértice al único punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. En el ejemplo el vértice es el punto V = (0;0).

Dado que la función pasa a ser decreciente a creciente en x=0, entonces en este punto hay un mínimo. No tiene máximo.

Ejercitación

12

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Graficara) g(x) = x2 + 2 b) h(x) = x2 – 1 c) i (x) = x2 + 3d) j (x) = -x2 e) k(x) = -x2 -1

Indicar en cada caso Dom f, Im f, eje de simetría, vértice, mínimo o máximo.

Observamos

f(x) = x2 Vy, la parábola se desplaza sobre el eje y hacia abajo (-Vy) o hacia arriba (+Vy)

Cuando el coeficiente de x2 es positivo, la parábola “mira” hacia arriba, es cóncava hacia arriba. Si el coeficiente de x2 es negativo, la parábola “mira” hacia abajo, es cóncava hacia abajo.

Ejercitación

Representar construyendo las diferentes tablas de valores, en un mismo gráfico, las siguientes funciones.

f(x) = x2 g(x) = (x + 1)2 h(x) = (x – 2)2 i(x) = - (x – 1)2

Indicar en cada caso Dominio, imagen, eje de simetría, vértice, máximo o mínimo.

13

g(x) = x2 + 2

i(x) =x2 + 3

f(x) = x2

h(x) = x2 - 1

j(x) = - x2

k(x) = - x2 + 1

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Observamos

Si f(x) = (x Vx)2 la parábola se desplaza sobre el eje x hacia la derecha (-Vx) o hacia la izquierda (+ Vx).

Vx es el valor sobre el eje x del vértice de la parábola y = (x – Vx)2.

Ejercitación

Dadas las siguientes parabolas correspondientes a funciones del tipo y=(x-vx)2 indicar en cada caso de qué función se trata, el vértice y la ecuación del eje de simetría:

a)

y = ______________V = ( ____ ; ____)Eje: x = _____

b)

y = ______________V = ( ____ ; ____)Eje: x = _____

c)

y = ______________V = ( ____ ; ____)Eje: x = _____

d)

y = ______________V = ( ____ ; ____)Eje: x = _____

Ejercitación

Representar en un mismo gráfico las siguientes funciones del tipo y = a x2.

f(x) = x2 g(x) = 2 x2 h(x) = x2 i(x) = - 3 x2 j(x) = - 0,75 x2

14

f(x) = x2

g(x) = (x + 1)2

h(x) = (x-2)2

i(x) = - (x – 1)2

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Completar

Todas las parábolas de la representación gráfica tienen como eje de simetría x = ___ y

vértice en V = ( ___ ; ___).

Si a>0 las ramas de la parábola están orientadas hacia ____________.

Si a<0 las ramas de la parábola están orientadas hacia ____________.

A medida que el valor absoluto de a aumenta, la abertura de las ramas de la parábola

__________________.

A medida que el valor absoluto de a disminuye, la abertura de las ramas de la parábola

__________________.

Conclusiones

Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba. Si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo.

La abertura de las ramas de la parábola y = a x2, depende del valor absoluto de a. Cuanto más grande es el valor absoluta de a, más cerca del eje de simetría se encuentran las ramas de la parábola.

El vértice y el eje de simetría no dependen del valor de a.

Ejercitación

Dadas f(x) = a x2 g(x) = a1 x2

Completar en cada caso

a _____ 0

a _____ 0

a _____ 0

15

f(x) = x2

g(x) = 2 x2

h(x) = x2

i(x) = -3 x2

j(x) = - 0,75 x2

f(x)

g(x)

f(x) g(x)f(x)

g(x)

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a1 _______ 0 a1 _______ 0 ____

a1 _______ 0 ____

Expresión canónica

Si aplicamos lo visto hasta el momento al mismo tiempo, tendremos una expresión (llamada canónica) f(x) = a (x + (-Vx))2 + Vy donde el vértice será (Vx;Vy).

a representa la concavidad de la parábola, al ser positiva el vértice es el valor mínimo de la función, si es negativa, la concavidad se invierte y el vértice es el máximo.

La abertura de las ramas de la parábola depende del valor absoluto de a. Cuanto mayor es el valor absoluto, más cera están las ramas de la parábola del eje.

Ejemplo

f(x) = (x – 2)2 + 1

Observamos que el vértice es (2;1). a = 1, por lo tanto la parábola es cóncava hacia arriba y su vértice coincide con el mínimo.

Ejercitación

1) Completar la siguiente tabla.Parábola Vértice Eje de

simetríaMínimo Máximo.

y = (x+2)2-3y = -2(x+1)2

y = -(x-1)2-1

y = x2-4

y = 3(x-2)2 +1

y =

Representar aproximadamente las parábolas del cuadro.Sugerencias: Representar el vértice y el eje. Calcular el valor de la función para un valor x a la derecha del eje de simetría y otro para la izquierda del mismo.

Indicar dominio e imagen de cada una de las funciones.

2) Indicar dos parábolas para cada uno de los siguientes vértices.a) V1 = (-1;3)

b) V2 =

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c) V3 = (-5:-4)d) V4 = (2;-3)

Expresión polinómica

Otra forma de escribir la función cuadrática es en forma polinómica.

f(x) = a x2 + b x + c a, b y c R a 0

Pasaje de la expresión canónica a la polinómica

Ejemplos

y = 3 (x–1)2 + 2 = 3 (x2 – 2x + 1) + 2 = 3x2 – 6x + 3 + 2 = 3x2 – 6x + 5

Pasaje de la expresión polinómica a la canónica

Dada y = a x2 + b x + c

O sea

Ejemplos

y = 3 x2 – 6x + 5

y = 3 (x - 1)2 + 2

Ejercitación

1) Expresar en forma polinómica cada una de las siguientes funciones.a)b)

c)

d)

2) Expresar en forma canónica cada una de las siguientes funciones.

a)

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b)

c)

d)e)

3) Indicar para las funciones de los puntos 1) y 2) dominio, imagen, vértice, eje de simetría, máximo o mínimo y gráfico aproximado.

4) Representar gráficamente utilizando tabla de valores las siguientes funciones:a) y = 2 x 2 b) y = - 2x2 c) y = x2 – 1d) y = x2 + 3 e) y = x2 – x f) y = x2 + x

5) Representar gráficamente cada una de las siguientes parábolas y determinar el vértice y la ecuación del eje.a) y = x2 – 2x + 1 b) y = -x2 + 8x – 7c) y = 4 x2 – 20x +25 d) y = 2x2 – 3x + 1

Ceros de la función

También llamadas raíces, representa los valores de x cuya imagen tiene valor cero, (x;0). Al ser cuadrática se obtiene, como máximo, 2 valores, denominados x1 y x2.

Para calcular los ceros de la función a partir de la ecuación polinómica aplicamos

Ejemplos

f(x) = x2 + 6 x – 27

x2 + 6 x – 27 = 0

x1=3

x2=-9

f(x) = 3x2 + 6x + 3

3x2 + 6x + 3 = 0

x1 = x2 Tiene solución única.

f(x) = x2 - 4x + 5

x2 - 4x + 5 = 0

18

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No tiene solución en R. La parábola no corta al eje x.

Ejercitación

Representar las siguientes parábolas, determinar exactamente el vértice; hallar los puntos de intersección con los ejes.

a) y= x2 – 3x – 4 b) y = -2x2 – 3x +2 c) y = -x2 – 2x +8 d) y = x2 + 2x -3

e) y = x2 – 3x f) y = x2 + x g) y = -x2 + 9 h) y = x2 – 4

i) y = -x2 + 6x -5 j) y = -x2 + x + 2

19

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3er. Trimestre

Unidad 3. Funciones cuadráticasEcuaciones de segundo grado. Ecuaciones bicuadradas. Factorización del trinomio de segundo grado.

Ecuaciones de segundo grado

Para resolver ecuaciones de segundo grado se aplica.

Esta ecuación se denomina ecuación cuadrática.

La ecuación puede tener:

Dos soluciones

Ejemplo

x2 + 6 x – 27 = 0

x1=3

x2=-9

Una solución

Ejemplo

3x2 + 6x + 3 = 0

x1 = x2 Tiene solución única.

Soluciones imaginarias.

Ejemplo

x2 - 4x + 5 = 0

x1 = 2 + 2i

x2 = 2 – 2i

Ecuaciones bicuadradas

Se llama ecuación bicuadrada a una ecuación de la forma a x4 + b x2 + c = 0 (a 0)

20

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Para resolver una ecuación de este tipo hacemos la siguiente sustitución x2 = z y x4 = z2

luego, puede escribirse a z2 + bz + c = 0 y resolverse como una ecuación de segundo

grado. Finalmente se vuelve a sustituir z por x.

Ejemplo

Hallar las raíces de la ecuación x4 – 3 x2 + 2 = 0

Sustituimos z = x2 y nos queda

z2 – 3 z + 2 = 0

z1 = 1 x1,22 = 1 x1= 1

x2 = -1

z2 = 2 x3,42 = 2 x3 =

x4 = -

Factorización del trinomio de segundo grado

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación a x2 + b x + c = 0 (a 0) entonces el trinomio de segundo grado puede escribirse

a x2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2)

Ejemplo

Factorear el trinomio 4 x2 – 16 x – 48.

Hallamos las raíces

x1 = 6

x2 = -2

Factoreamos el trinomio teniendo en cuenta que a = 4, x1 = 6 y x2 = -2

4 x2 – 16 x – 48 = 4 . (x-6) (x + 2)

Ejercitación

1) Hallar xa) x2 - 16 = 0b) 2x2 + 30 = 0c) x2 -7x -18 = 0d) 2x2 – 16x + 30 = 0e) 20 x2 = 0f)6x – 9 = -x2

g) x2 + 8x + 12 = 0h) 4 x4 = 37 x 2 - 9 i) x2 – 1 = 0j) x2 – 9x = 18 xk) x4 – 25 x2 + 4 = 0l) 16 x2 – 50 x + 4 = 0m) x2 – 10 x -25 = 0n) 3 x2 – 5 x = 8o) 4 x4 + 16 x2 = 0

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x2 – 2 (x + 4) = 0 b)

c) x (x-1) + 2x = x + 25 d) (x – 1)2 = (x + 3) (x – 1) – 4x2

e) 3 x ( x-1) – 2 (2x2 – 2x) = - 6 f) 7 – 5 x (x – 2) = x (2 – 6x)

g) h) (2x – 1)2 – 9 = 0

21

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i) j)

k) l)

3) Dado x2 – 2x – 1 = 0. Hallar x12 + x2

2

4) La suma de dos números es 4 y su producto es 1 ¿Cuáles son los números?

5) La superficie de un rectángulo es de 48 cm2 y el perímetro es de 28 cm. Calcular la diagonal del rectángulo.

6) Los lados de un triángulo rectángulo son números consecutivos. Calcular el perímetro del rectángulo.

7) Resolver -x2 - x + 2 m = 0

8) Hallar dos números naturales impares consecutivos tales que su producto sea 255.

9) Si al triple de un número se le suma la mitad de su cuadrado, se obtiene el duplo del mismo número. ¿Cuáles son los números que cumplen esa condición?

10) La superficie de un rectángulo es 108 cm2. Sabiendo que uno de sus lados es igual a

del otro. Calcular el perímetro del rectángulo.

11) Un número más su inverso es igual a ¿Cuáles son los números que cumplen esa

condición?

12) Dada la ecuación 5x2 + 6x + 5 = 0 de raíces x1 y x2. Calcular =

13) Dada mx2 + 4x + 4 = 0. Hallar m para que las raíces sean iguales.

14) Resolvera) 4 (x2 – 1)2 + 3x2 – 3 = 0 b) 2 x2 + 4 = - (x2 + 2).(x2 – 2)

15) Factorear

a) x2 – 4x – 5 = b) x2 + 5x + 8 = c) x2 – 6x = d) 9x2 + 6x +1 =

Unidad 4. Función exponencialFunción exponencial. Gráficos. Ecuaciones exponenciales.

Función exponencial

f: R R+ / f(x) = ax con a R a>0 y a1

Gráficos

f(x) = 2x g(x) =

22

Page 23: Matemática 4to.

4to. 1ra. T. T. - MatemáticaProf. Flavia Terrizzano

f(x) = ax con a>1 f(x) = ax con a<1

ObservamosLa recta de ecuación y=0 (eje x) es asíntota horizontal. No tiene asíntota vertical.

Ejercitación

1) Hacer la gráfica de las siguientes funciones exponenciales.

a) f(x) = 2x b) f(x) = 2x c) f(x) = 3x

g(x) = 3x g(x) = 2x+1 g(x) = 3x – 2 h(x) = 2x-3 h(x) = 3x + 1

Determinar dominio e imagen de cada función.Observar: ¿En qué punto cortan al eje y? ¿Por qué?¿Por qué no cortan al eje x?¿Cuáles de las funciones es creciente? ¿Por qué? ¿Qué relación tiene con las gráficas de las funciones cuadráticas?

2) Sea f (x) = 2 x

a) Hallar la imagen de 3 y la pre-imagen de

b) Hallar x:b1) f (x +2) - f (x-2) = 60 Rta. x = 4

b2) f (x+2) – f (-1) = f (-3) - Rta. x = -5

c) Probar

c1) f (x-3) – f (x+2) = f (x)

c2) f (2) . f (x+1) – f (3) . f (x-1) = 4 f (x)

Ecuaciones exponenciales

Ejemplos

3 x+2 = 7293x+2 = 36 al tener la misma base, puedo igualar los exponentes.x + 2 = 6x = 6 – 2x = 4

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4to. 1ra. T. T. - MatemáticaProf. Flavia Terrizzano

-3x = -6x = (-6) : (-3)x = 2

Ejercitación

1) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

a) 5 x + 1 = 625 Rta. x = 3b) 2.3 x + 3 x + 1 = 45 Rta. x = 2c) 5. 2 x + 2 x + 3 =208 Rta. x = 4d) 3 . 5 x + 5 x – 2 = 380 Rta. x = 3

e) 2 x + = 2 x + 3 Rta.

x = -2

f) Rta. x = -1

g) Rta. x

=

h) Rta. x = 3

i) Rta. x=

j) 2 . 3 x – 1 + 3 x + 1 = 297 Rta. x = 4k) 4 . 3 x – 4 = 0 Rta. x = 0l) 2 . 2x – 10 . 2x + 4 = 0 Rta. x = -1m) 3 x + 1 + 3 x – 1 = 90 Rta.

x = 3n) 3 x + 9 x Rta. x = 2

o) Rta. x = 3 ó x =

p) Rta. x = 2 ó x =

q) 2 x + 4 x = 72 Rta. x = 3r) 2 2x + 2 x – 2 = 0 Rta. x = 0s) 3 x – 12 + 27 . 3 –x = 0

Rta. x = 2 ó x = 1

2) Sea f (x) = . Hallar x:

f (x) + f (2) = f (1) Rta. x = 2

3) Sea f(x) = 3x. Hallar x:[f (x)]2 + 9 . f (0) = 10 f (x) Rta. x = 0 ó x = 2

4) Hallar x

Rta. x =

Unidad 5. Función logarítmicaDefinición de logaritmo. Función logarítmica. Gráficos. Ecuaciones logarítmicas. Propiedades de los logaritmos. Ecuaciones logarítmicas utilizando las propiedades. Cambio de base.

Logaritmo

Completar las siguientes tablasf(x) = x + 2 f(x) = x - 2

x y x y4 3

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Page 25: Matemática 4to.

4to. 1ra. T. T. - MatemáticaProf. Flavia Terrizzano

-1 -553 2

f-1(x) = x – 2 f-1(x) = x + 2

f(x) = 2x f(x) = x : 2x y x y

3 510

-61,3

f-1(x) = x : 2 f-1(x) = 2x

f(x) = x2 f(x) = x y x y

1 34

0,01 4f-1(x) = f-1(x) = x2

f(x) = 2x

x Y28

1f-1(x) = log2 x

log2 2 = 1 21 = 2

log2 8 = 3 23 = 8

log2 = -1 2-1 =

log2 1 = 0 20 = 1

Función logarítmica

Es la función inversa a la función exponencialf: R R+ / f(x) = ax (a>0 y a1) Función exponencial

f-1: R+ R / f-1(x) = log a x (a>0 y a1) es la función logarítmica de base a donde

loga x = y ay = x

Ejemplos

log3 9 = 2 32 = 9 log25 1 = 0 250 = 1

log2 1 = -2 2-2 =

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Page 26: Matemática 4to.

4to. 1ra. T. T. - MatemáticaProf. Flavia Terrizzano

Ejercitación

1) Resolver aplicando la definición de logaritmoa) log2 32 = b) log3 81 = c) log5 125 = d) log8 4096 = e) log13 1 = f)log3 243 =

g) log5 =

h) 49 =

i) Log4 64 = j) 2 =

k) log2 0,25 = l) log13 169 = m) log2 512 =

n) m-3 =

o) Log16 =

p) Loga =

q) Log11 11 = r)log2a 16ª4 = s)log2 =

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Page 27: Matemática 4to.

2) Graficar en un mismo par de ejes cartesianosa) f(x) = 2x b) f(x) = log2 x

g(x) = g(x) =

3) Calcular.

a) Rta. -2

b) Rta.

c) Rta. 4

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

Ecuaciones logarítmicas

Ejemplo

log5 (x – 2) = 0 aplicando la definición de logaritmos es 50 = x – 21 = x – 2x = 3

EjercitaciónHallar x.

a) Rta. x=25

b) Rta. x=125

c) Rta.

Page 28: Matemática 4to.

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

g) Rta.

h) Rta.

i) Rta.

j) Rta.

k) Rta.

l) Rta.

m) Rta.

n) Rta.

o) Rta.

p) Rta.

q) Rta.

Page 29: Matemática 4to.

Propiedades de los logaritmos

1) logb x.y = logb x + logb y2) logb x:y = logb x - logb y3) logb xy = y . logb x

4) logb = logb = logb x

Ejemplos log2 32 = log2 4.8 = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5 log3 9 = log3 27:3 = log3 27 – log3 3 = 3 – 1 = 2 log5 625 = log5 252 = 2. log5 25 = 2.2 = 4 Dado log2 3 = 1,58 y log2 5 = 2,32

log2 12 = log2 3.4 = log2 3 + log2 4 = 1,58 + 2 = 3,58log2 45 = log2 5.32 = log2 5 + 2. log2 3 = 2,32 + 3,16 = 5,48

Ejercitación

1) Resolver sin aplicar las propiedades de los logaritmos, y luego aplicandolas.a) Rta. b) Rta. x=2 ó x=-4

2) Dado y . Calcular aplicando las propiedades de los logaritmos.a) Rta. 3,1 b) Rta. 2,8 c) Rta. 5,6

3) Si . Hallar . Rta. 1,864) Si . Hallar . Rta. 2,125) Dado y . Hallar aplicando las propiedades de los logaritmos.

a) Rta. 1,3b) Rta. 0,15 c) Rta. 10,8

6) Dado log 2 = 0,30 y log 3 = 0,47. Calcular aplicando propiedades de los logaritmos.

Page 30: Matemática 4to.

a) log 27 Rta. 1,41b) log 32 Rta. 1,5c) log 6 Rta. 0,77d) log 5 Rta. 0,7

e) log 0,008 Rta. -2,1

f) log Rta. 0,535

g) log 300 Rta. 2,47

h) log Rta.

Page 31: Matemática 4to.

7) Hallar xa) log4 x + 3 log4 x = 2 Rta. x = 2

b) log3 2 (x+1) – log3 (-x + 2) – 2 = 0 Rta.

c) log (x + 3) + log (2x - 1) = log 2 (x2 + 4) Rta.

d) loga x + loga x3 = -1 Rta.

Cambio de base

log b x = y

por definición de logaritmo

by = x

aplico logaritmo en la nueva base que quiero utilizar a ambos miembros

logn by = logn x

por propiedad de los logaritmos

y.lognb = logn x

Luego

log b x =

Ejemplo

Ejercitación

1) Calcular en base 10 (utilizar cambio de base).a) =b) =c)d) =

2) Dado y . Hallar:

Page 32: Matemática 4to.

a)

b)3) Hallar x

a) Rta. x = 9

b) Rta. x = 64