•Las razones trigonométricas se obtienen realizando el cociente entre los lados de un triangulo rectángulo•Los lados toman un nombre en particular con respecto a un ángulo. Para poder determinarlos debemos ubicarnos en el vértice del ángulo dado, obteniendo así:la hipotenusa, que esta en frente del ángulo recto; el cateto opuesto, que esta frente de ángulo en que nos ubicamos; y el tercer lado, por descarte, es el cateto adyacente.

HIPOTENUSA

CA

TE

TO

OP

UE

ST

O

Â

CATETO ADYACENTE

¿Cuántas razones diferentes se pueden encontrar con los lados del triangulo?

Cat. Adyacente

Cat. Opuesto

Cat. Opuesto

Hipotenusa

Hipotenusa

Cat. Adyacente

Hipotenusa

Cat. Opuesto

Cat. Opuesto

Cat. Adyacente

Cat. Adyacente

Hipotenusa

=

=

=

=

=

= Cotangente Â

Seno Â

Secante Â

Cosecante Â

Tangente Â

Coseno Â

Uso de la calculadora científica Para calcular la razón del ángulo: 48º 15‘ 37''

Sen=

Para calcular el ángulo dada la siguiente razón:

Cos Â= 0,9315

Â=

SIN 48 º ‘ '' 15 º ‘ '' º ‘ ''37 = 0,7461

SHIFT COS 0 . 9315 = SHIFT º ‘ '' 21º 19‘ 48''

Una expresion algebraica en una combinacion de numeros reales y/o letras (variables) ligadas entre si con la adicion, sustraccion, multiplicacion, division, potenciacion y radicacion.

Clasificacion: Irracionales: alguna de las variables es base de

una raiz. Racionales: Ninguna de las variables es base de

una raiz: - Fraccionarias: alguna variable actua como

divisor. - Enteras: ninguna variable actua como divisor.

Las expresiones algebraicas enteras se denominan polinomios.Cuando en algun polinomio haya terminos semejantes, se deben sumar o restar dichos terminos para obtener el polinomio reducido.Para elevar al cuadrado un polinomio, se debe multiplicar por si mismo, en el caso de un binomio: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2Para elevar al cubo un binomio, se multiplica su cuadrado por el binomio: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Factorear un polinomio, al igual que un numero, es expresarlo como un producto de factores primos.Hay varios procedimientos para factorear un polinomio, uno de ellos es el factor comun, que consiste en considerar el o los factores que se repiten en todos sus terminos.

Diferencia de cuadrados.El producto entre la suma y la diferencia de los terminos de un binomio es igual a la diferencia de sus cuadrados: a2-b2 = (a+b) (a-b)

Trinomio cuadrado perfecto.El cuadrado de un binomio es: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, por lo tanto: a2 + 2ab + b2 = (a+b)2

Inecuaciones. Intervalo solucion.Las inecuaciones se resuelven como las ecuaciones, salvo que se multiplique o divida por un numero negativo; en dicho caso, cambia el sentido de la desigualdad. El conjunto solucion de una inecuaciones un intervalo real.

Unidades de Volumen

La unidad de volumen es 1m3, que es el volumen de un cubo de 1m de arista

Los submúltiplos (Un numero entero “a” es submúltiplo de otro numero ”b” si solo “b” es múltiplo de “a”) de la unidad se obtienen dividiéndola sucesivamente por 1000

Los múltiplos de la unidad se obtienen multiplicándola sucesivamente por 1000

Unidades de capacidad

La unidad de capacidad es el litro (l)Los submúltiplos de la unidad se obtienen dividiéndola sucesivamente por 101 dl = 1 l/10 -> 1 dl =0,1l 1 cl =1 l/100 -> 1 cl = 0,01 l 1 ml = 1 l/1000 ->1 ml = 0,001 l

Los múltiplos de la unidad se obtienen multiplicándola sucesivamente por 10 1 dl =10 l 1 hl =100 l 1 kl =1000l

Es decir: kl hl dal l dl cl ml 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

Equivalencias entre unidades de capacidad y volumen: Capacidad 1kl 1l 1ml Volumen 1m3 1dm3 1cm3

Definición: RAZON: Dados dos números en un cierto orden, distintos de cero, se denomina razón al cociente (resultado de la división) entre ellos. Ej : En una examen un alumno respondió correctamente 10 preguntas de 20. * 10/20 = ½ } resultado de la división = razón. PROPORCION: Dados 4 números distintos de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. Ej : * Primera situación: 2/5=10/25 *Segunda situación: en una promoción de gaseosa se ofrece cambiar 50=50 5 tapitas por un vaso. ¿cuantos vasos tendré con 10 tapitas? 5/10=1/x 10x1/5=X 2=X } tendré 2 vasos con 10 tapitas.

Para calcular el extremo de una proporción ordinaria se aplica la propiedad fundamental de las proporciones(El producto de los medios es igual al producto (resultado de la multiplicación) de los extremos. Ej: * a/b=c/d * X/1,2=3/5 a.d=c.b X=3 . 1,2/ 5 X=0,72

Asi como se puede calcular el extremo de una proporcion, se podra calcular los medios de la misma teniendo en cuenta de que se dara en una proporcion continua (que tenga los dos medios iguales) y se tendra en cuenta esta propiedad. * a/b=b/c b= a .c b = a . c

•En toda proporción el producto (resultado de la multiplicación) de los extremos es igual al producto de los medios. Ej: 6/4 = 3/2 6 . 2 =4 . 3 12=12*en toda proporcion la suma del antecedente y consecuente de la primera razon es a su ntecedente como la suma del antecedente y consecuente de la segunda razon. Ej: 6/4=3/2 6+4=3+2 6 3 10/6=5/3 10 . 3 = 6 . 5 30=30*En toda proporcion la suma del antecedente y consecuente de la primera razon es a su consecuente como la suma del antecedente y consecuente de la segunda razon es a su consecuente. Ej: 6/4=3/2 6+4=3+2 4 2 10/4=5/2 20=20*En toda proporcion la diferencia del antecedente y consecuente de la primera razon es a su antecedente como la diferencia del antecedente y consecuente de la segunda razón es a su antecedente.Ej: 6/4=3/2 6 – 4=3 – 2 4 2 2/4=1/2 4=4

•La suma del antecedente y consecuente de la primera razon es a su diferencia como la suma del antecedente y consecuente de la segunda razon es a su diferencia.Ej: 6/4=3/2 6+4=3+2 6-4 3-2 10/2=5/1 10=10*La diferencia del antecedente y consecuente de la primera razon es a su suma como la diferencia del antecedente y consecuente de la segunda razon es a su suma. Ej: 6/4=3/2 6-4=3-2 6+4 3+2 2/10=1/5 10=10*Una proporcion puede transformarse en otras 7 equivalentes. DADOS: m=p 5=10 n q 6 121.Cambiando los extremos: q=p 12=10 n m 6 52.Cambiando los medios: m=n 5=6 p q 10 123. Cambiando las razones: p=m 10=5 q n 12 64.Invirtiendo las razones : n=q 6=12 m p 5 105.Invirtiendo las razones y permutando los extremos: p=q 10=12 m p 5 66.Invirtiendo las razones y permutando los medios: n=m 6=5 q p 12 10 7.Invirtiendo las razones y permutándolas: q=n 12=6 p m 10 5

•Cuando trasamos rectas paralelas (a;b,c) son cortadas por dos transversales (r;r’), quedan determinados en ambas transversales varios segmentos ( AB ; BC ; A’B’ ,B’C’)• Los segmentos homologos son los que se encuentran entre dos paralelas yUno en cada transversal. Por ejemplo: AB y A´B´ ,estas son homologas, Como tambien lo son : BC y B´C´

CABE DESTACAR: que la razon entre cualquier par de segmentos determi_nados en una de las transversales es igual a la razon de sus homologos.

Los n° reales surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Se denotan por y son todos aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y , como por ejemplo: 3/5, - 2/3. etc. En general:

Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1). También se consideran números racionales los siguientes decimales:

a. Los decimales finitos: aquellos que tienen un número finito de cifras decimales, como por ejemplo: 0.23, 2.3, - 0.324

b. Los decimales infinitos periódicos puros : Aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales y cuyas cifras decimales se repiten, como por ejemplo: 0.2222… ,0.3535353… ,2.3333…, - 1,7777…

c. Los decimales infinitos periódicos mixtos : Aquellos que tienen un número finito de cifras decimales que no se repiten y a continuación un número infinito de cifras decimales que se repiten, como por ejemplo: 0.23333…, 0.2355555…., - 0.32424242…, 3.25555…., - 1.2345454…

Todos estos decimales son racionales porque cada uno de ellos se origina al dividir dos números enteros. La fracción que los origina se denomina fracción generatriz.

Aproximacion y Truncamiento. ErrorLas cifras decimales de una expresión decimal se pueden acortar por razones practicas

aproximando o truncando a la cifra de los decimos, centésimos, milésimos, etc.

Para aproximar, primero se debe determinar hasta que la cifra decimal se va a considerar y luego observar la cifra que se encuentra a su derecha.

*Si la cifra de la derecha es 0,1,2,3,o 4, la cifra considerada se deja igual (por defecto).

*Si la cifra de la derecha es 5,6,7,8, o 9,a la cifra considerada se le suma 1 (por defecto).

Decimos:(<0,1) Centésimos: (<0,01) Milésimos: (<0,001)

a)1,43=1,4 a)4,584=4,58 a)5,8062=5,806

b)2,68=2,7 b)7,135=7,14 b)8,0109=8,011 Al realizar una aproximación, se obtiene un nuevo numero decimal distinto al original y se genera un ERROR. El valor absoluto es el modulo de la diferencia entre el numero original y el nuevo valor.

EJEMPLO:

A)|1,43 -1,4|= 0,03

B)|4,584-4,58|= 0,004

C)|5,8062-5,806|=0,0002

TRUNCAR: es acortar el numero en una determinada cifra decimal y eliminar las restantes.

Potenciación de números Racionales

*Para calcular cualquier potencia de una fracción: (a/b)n=an/bn

*El exponente entero negativo se define: (a)-n=1/a-n y (a/b)-n =(b/a)n

Para calcular cualquier potencia de una expresión decimal, existe una regla practica: la cantidad de lugares decimales de la potencia es igual al producto de la cantidad de lugares decimales de la base por el exponente.

Ejemplos:

a)0,05 2 = 0,05 * 0,05 =0,0025 LUGARES DECIMALES 4 LUGARES DECIMALES

2 * 2 = 4

Radicación de números Racionales

Para calcular cualquier raíz de una fracción: n√a/b = n√ a / n√b. Para calcular cualquier raíz de una expresión decimal existe una regla practica: La cantidad de lugares decimales de la raíz es igual a la cantidad de lugares decimales de la base

dividida el índice.

a) √0,09 = 0,3 porque (0,3)2 =0,09

b) 3√0,008 =0,2 porque (0,2)3 =0,008

Si la cantidad de lugares decimales de la base no se puede dividir exactamente por el indice entonces la raíz no es exacta: √0,4, √0,009,etc..NO TIENEN RAIZ EXACTA

Relaciones entre conjuntos numéricos. Concepto de función. Dominio e imagen. Conjunto de ceros, positividad y negatividad. Crecimiento y Decrecimiento. Función lineal . Pendiente y ordenada al origen. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos. Función de proporcionalidad directa. Función de proporcionalidad inversa. Sistema de ecuaciones lineales

Concepto de función, dominio e imagen, conjunto de ceros , positividad, negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimientos.

Función: es la relación entre dos conjuntos numéricos A y B; que forman pares ordenados (x ; y) con la condición de que X pertenece A e Y pertenece a B. Para que la función sea relación debe cumplir con dos condiciones: unicidad y existencia.

Dominio e imagen: en una función su dominio es un conjunto de números reales que pueden ser valorados de x y su imagen , los que pueden ser valorados de y.

Conjunto de ceros o raíces: son los puntos en los que se marcan en el eje x por donde atraviesa el grafico.

Conjunto de positividad: son los intervalos reales de los valores de x que determinan que la función sea positiva.

Conjunto de negatividad: son los intervalos reales de los valores de y que determina que la función sea negativa.

Crecimiento: cuando los valores de y aumentan la función crece . Decrecimiento: cuando los valores de y disminuyen, la función

decrece.

Función lineal y ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Toda función cuya formula es : y = m.x+b se denomina función lineal y su

grafica es una recta. La formula y = m (pendiente) .x + b (ordenada al origen) se denomina

ecuación explicita. La ordenada al origen (b): es el valor de donde la recta corta al eje y. La pendiente (m): es la inclinación de la recta. ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente

(de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula y = m.x + b que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el

punto de intercepción en la ordenada (b), y es conocida como ecuación principal de la recta.

En la ecuación aparecen 2 variables “m” y “b” esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción en el eje de las ordenadas (y).

Función de proporcionalidad directa e inversa. Sistema de ecuaciones. Una función lineal de proporcionalidad directa es aquella cuya

expresión matemática viene dada por: y = m. x donde X e Y son variables y M una constante que se denomina pendiente o constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Decimos que una función es de proporcionalidad inversa cuando la relación numérica entre sus variables es de proporcionalidad inversa.

Su expresión algebraica es y = k x . La gráfica de una función de proporcionalidad inversa es una curva,

simétrica respecto del origen de coordenadas, que se llama hipérbola. La gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa no pasa por el

origen de coordenadas (0, 0). un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones

con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

• “Billiken” – La enciclopedia libre – Buenos Aires 2000

• “CLASA “– Enciclopedia tematica ilustrada – Buenos Aires 2001• •“Biblioteca hipermedia” – editorial OCEANO – volumen 9 Matematicas – Barcelona, España 2004.

• “Matematica 3/9” – editorial KAPELUZ – ciudad autonoma de Buenos Aires 2010

• www.wikipwdia.com/

• www.monografias.com/

• www.elrincondelbago.com/

• www.yahoopreguntas.com/